高二基礎物理2B-CH5-牛頓定律的應用-週期運動

阿 Samn 的物理課本 http://mysecretpark.blogspot.tw/
5 週期運動 PERIODIC
MOTIO
牛頓運動定律的應用
週期運動 PERIODIC MOTION
高中物理
相關版權說明：
◼ 內頁部分圖片來自各版本教科書
或網路，版權仍屬原創者所有
◼ 講義內容採用創用授權，不得商
業化(印給學生工本費除外)
本章學什麼？
在北半球仰望天空，都知道恆星繞著北極星轉，夜空下，
藉由長時間曝光攝影可以拍出接近正圓形的星軌，其實這
是圓週運動的延伸。
而圓週運動也是一種週期性運動，就像單擺，週而復始來
回。因此，我們的世界也充滿著不斷來回的振動，但是振
動有時候會造成財物的損失，好比，地震發生時候建築物
會開始振動一樣。
所以關於圓周運動及振動的研究與控制，也是力學的研究
的目標之一。

5-2 週期運動 Periodic Motion
REVIEW AND SUMMARY

5-35.1 等速率圓周運動
5.1 等速率圓周運動
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 理解角速度的意涵
2. 描繪等速率圓周運動的軌跡，並標示出任意位置時
的速度、加速度及向心力的向量
3. 應用軌道半徑、週期及切線速率的關係
4. 應用軌道半徑、週期及向心加速度的關係
5. 根據切線速率，計算系統所需要的向心力
❑轉動 Rotational Motion
1.物理現象：剛體1
繞一定軸旋轉的運動
圖 5-1 鏈球運動的示意圖
2.當系統發生轉動，會有下列狀態或概念要處理。
◼ 角度變化→ 角位移 ◼ 轉動的快慢→ 角速度
◼ 轉動變快或變慢→角加速度 ◼ 物體為什麼轉動→力矩
❑角位移 Angular Displacement
1. 定義：剛體在時間 Δt 內的角位置變化量 Δθ
2 1   = − 單位：度(degrees)與弧度(rad)
以度為單位
◼ 繞 ¼ 圈- 90 度
◼ 繞 1 圈- 360 度
2. 方向：以右手四指為旋轉方向
◼ 在高中物理範圍內，簡化為：逆時針為正，順時針為負
◼ 角位移方向並非單純的「逆時針」「順時針」兩種方向
1
剛體（rigid body）是一種有限尺寸，可以忽略形變的固體。不論是否感受到
外力，在剛體內部，質點與質點之間的距離都不會改變。
From http://en.wikipedia.org/wiki/Rigid_body
圖 5-2 物體以定軸轉動時候
的角度變化
x
y

3. 弧度(radian)的概念
◼ 弧長 S 越長，圓心角 θ 越大
◼ 定義：弧度=弧長/半徑的比例常數
s
r
 = ➔ 1 弧度是指弧長=半徑時的圓心角，以 rad 表示
◼ 弧度與度的換算：
說明：完整一圈的弧長(圓周長)= 2 r
其圓心角的弧度=
2
2
r
r

=
其圓心角的度= 360o
𝟏度 =
𝟐𝝅
𝟑𝟔𝟎
=
𝝅
𝟏𝟖𝟎
(𝐫𝐚𝐝)
❑角速度 Angular Velocity
1.定義：角位移對時間的變化率，代表剛體旋轉的快慢
◼ 平均角速度 average angular velocity
t



=

對比：
x
v
t

=

◼ 瞬時角速度 instantaneous angular velocity
0
lim
t t


 →

=

對比：
0
lim
t
x
v
t →

=

2.方向：右手定則
3.單位：
◼ 度/秒、弧度/秒 rad/s、
◼ rps(一秒旋轉圈數)、rpm(一分鐘旋轉圈數)
◼ 1rps＝1rev/s＝60rev/min＝60rpm＝2 rad/s＝360 /s
❑等速率圓週運動(Uniform Circular Motion)
1.現象：當一物以相同的速率在圓形路徑上運動，所以速度方向
不斷地改變，因而具有加速度，加速度方向永遠指向圓心
◼ 變速度運動：
質點移動速率不變，質點環繞一周的時間為定值
速度量值恆定、方向為沿軌跡的切線方向
◼ 變加速度運動：
加速度方向不斷改變，恆指向圓心。
加速度的量值不變，又稱為向心加速度
◼ 向心力：物體受到指向圓心的力
說明：
向心力並非真實存在的「外力」而是物體做等速率圓週運動
時候所受各種外力的總和(合力)。
圖 5-4 角速度方向概念(右手定
則)
圖 5-5 等速率圓週運動示意圖
其中，速度向量與加速度向量垂
直
圖 5-3 1 弧度示意圖，
x
y
𝜽

2.相關名詞
◼ 週期 period：質點繞一圈所經時間，以 T 表示，單位：秒/次
◼ 頻率 frequency：質點每秒所繞的圈數，以 f 表示，單位：Hz
有時候會以 1 rps 表示，即 1 Hz=1 rps
◼ 角速度：
2
2 f
t T
 
 

= = =

單位互換：一物作等速率圓運動，在 10 秒內它共轉 4 圈，
則週期為
10
4
= 2.5 秒/次，頻率為
4
10
Hz =
4
10
rps，角速度為
◼ 切線速率：
2 r
v r
T

= = 方向：軌跡的切線方向
簡易證明：
質點等速在正圓形路徑上運動
繞一圈的時間，恰等於週期 T
繞一圈的路徑長，恰等於 2 r
質點移動速率：
2 r
v r
T

= = 
◼ 向心加速度量值：
2 2
2
2
4
c
v r
a v r
r T

 = = = =
方向是指向圓心
簡易證明：瞬時加速度
0
limc
t
v
a
t →

=

速度變化量恆指向圓心➔加速度的方向必然恆指向圓心
𝟐𝝅
y
xr
y
x
r
𝑣
𝑣
𝑣
𝑣
𝛥𝜃
𝛥𝜃′
𝑣𝑣 𝛥𝜃
𝛥𝑣𝑣
𝑣
𝛥𝑣′
𝛥𝜃′

◼ 向心力量值：
2 2
2
2
4
c c
v r
F ma mv m r m m
r T

 = = = = =
應用牛頓第二定律，質點的向心力(質點的外力總和)
例題1：等速率圓週運動-基礎題
半徑為 R=0.5(m)的車輪，每分鐘均勻旋轉 180 圈，則輪緣上任一
點的速率和加速度量值各為多少？
Hint：請熟記等速率圓週運動公式，並注意轉速單位的轉換。
解：
答：(1) 3 (m/s) (2) 182
(m/s2
)
類題：一機械式時鐘的秒針長 10 cm，試求秒針尖端的角速度與
瞬時加速度的量值。答：(1)
30

 = (rad/s) (2)
2
90
a

= (cm/s2
)
類題：假設地球為正球體，地球因等速自轉所產生向心加速度的
量值，赤道上為北緯 60o
處的幾倍？答： 0
1
2
cos60
= 倍
範例演練

例題2：等速率圓週運動-「平均」與「瞬時」的差異
等速率圓周運動繞 1/6 周與繞 1/4 周的平均加速度的量值的比為
何？
Hint:向心加速度實際是等速率圓週運動的「瞬時」加速度
解：
答：
3 2
4
類題：以 20 米/秒之固定速率作圓周運動之質點，在 3 秒內，其
運動方向改變了 135°，則：(1) 平均加速度量值為？ (2)在 8/3
秒內之速度孌化量的大小為？ (3)週期？ (4)質點的向心加速度
量值為？
1. 一物作半徑 2.00 m 之等速率圓運動，在 10 秒內它共轉 4 圈，
則(1)頻率為若干 r.p.s？(2)週期為何？(3)角速度為何？(4)切
線速度值為何？(5)向心加速度值為何？
2. 某時鐘的秒針長 10 公分，作等速率轉動，求：(1)0～15 秒針
尖的位移、平均速度、平均速率、平均加速度各為何？(2)第
30 秒時針尖的速度、速率、加速度各為何？
3. 質點以等速率v在半徑為r的圓周上運動，求： (1)切線加速度
值 (2)法線加速度值 (3)經1/4圓周的平均速率 (4)經1/4圓周
的平均加速度的量值
4. 下列敘述何者正確？ (A)曲線運動一定有切線加速度 (B)曲
線運動一定有法線加速度 (C)曲線運動一定有切線加速度和
法線加速度 (D)圓周運動可以有切線加速度 (E)圓周運動必
為等速率運動。
5. 質量 4 公斤的物體在無摩擦的水平面上，以 10m/s 之速度作
半徑 2 公尺的等速率圓周運動，則其向心加速度為 (A)20m/s2
(B)200m/s2
(C)50m/s2
(D)5m/s2
。
6. 半徑 50cm 之兩傘在高出地面 19.6m 處以穩定頻率 f=
5
3
r.p.s.
繞鉛直軸轉動，設傘源上有足夠的水滴，沿切線方向濺出，水
滴在地面上所成軌跡為一圓，此圓的半徑為_1.3m_。
課後練習題

7. 一質點沿 x−y 平面作等速率圓周運動，其質點位置向量為 r

(t)=8cos(5 t)i

+8sin(5t) j

（M.K.S.制）試問：(1)軌跡方程式
為____ (2)週期為_____秒。 (3)軌道切線速率為_____公尺/
秒。(4)加速度量值為_____公尺/秒 2
（以 表示之）。【82 附
中】
8. 等速率曲線運動：(A)具有切線加速度 (B)具有向心加速度 (C)
變加速度 (D)具有法線加速度 (E)速度之變化量恆為 0 之運
動。
9. 阻力不計，那些是變加速度運動？(A)等速率圓周運動 (B)水
平拋射運動 (C)斜向上拋運動 (D)單擺擺動 (E)自由落體運
動。
10. 以一定速率 V，半徑 R 作圓周運動，則：(A)繞 1/6 周時間內
之平均速度量值為 3V/π (B)同(A)但為 3V/2 (C)繞 1/4 周時間
內之平均加速度量值為(2 )V2
/πR (D)同(C)但為(2 )V2
(E)
運動一周需時 2πR/v。
11. 甲、乙兩質點之速率均為 v，分別在半徑為
a 及 b 的同心圓周上做等速圓周運動。若在
某一瞬間質點甲的速度方向為朝-x 方向，
質點乙的速度方向為朝+y 方向（如圖所
示），則在此瞬間兩質點的相對加速度之量
值為 (A)
2 2 2
v a b
ab
+
(B)
2 2 2
v b a
ab
−
(C)
2
v
ab
(D)
2
2
v
ab
(E)
2
2 2
v
a b+
。 [89.日大]
練習題答案
1. (1)0.4r.p.s (2)2.5s (3)0.8π rad/s (4)1.6π m/s (5)1.28π2
m/s2
2. (1)10 2 cm；
3
22
cm/s；
3

cm/s；
2
45

cm/s2
(2)
3

cm/s；
3

cm/s；
90
2

cm/s2
3. (1)0 (2)
2
V
r
(3)V (4)
2
2 2V
r
4.BD 5.C
6.1.3m 7. (1) x2
+y2
=64 (2)
5
2
秒 (3)40 m/s (4)200 2
8.BCD 9.AD 10.ACE 11.A
2 2
乙
甲
xb
a
y

❑等速率圓週運動的應用
1. 錐動擺：又稱圓錐擺
擺球受重量 mg 及張力 T 之合力作用，沿水平面作等速率圓周
運動
說明：
2. 人造衛星繞地球等速率圓週運動-高二下冊-ch 7 萬有引力
說明：人造衛星與行星之間的萬有引力成為向心力
3. 電子繞原子核等速率圓週運動-高三下冊內容
實例：氫原子模型-電子與原子核之間的庫侖力成為向心力
4.均勻磁場中帶電質點垂直射入磁場-高三下冊內容
實例：帶電且運動的質點受到磁力成為向心力
圖 5-6 錐動擺示意圖

m
+
+
-
圖 5-7 電子繞原子核示意圖

例題3：等速圓周運動
如圖所示，水平桌面上有一小孔 O，一條細繩穿過此孔，兩端分別
與質量 m、M 的兩物體連接，其中 m 在桌面上作等速圓周運動，
而 M 則靜止懸掛。忽略所有阻力與細繩質量，則 m 作圓周運動的
向心加速度大小為
M
g
m
　　　　，角速度大小為
Mg
mr
　　　　，速率為
Mgr
m
　　　　，週期為 2
mr
Mg
　　　　。
解：
例題4：圓錐擺
長度為 L 的細繩，懸吊質量為 m 的質點，作幅角 θ=60°的錐動擺，
設重力加速度為 g，求：(1)細繩的張力？ (2)質點繞轉的週期？
解：
答：F=2mg、
2
T
g
=
範例演練

m

類題：彈簧長 10cm，將一端固定另一端懸一物時伸長 2 cm，若
以通過固定端的鉛直線為軸，使該物體旋轉如圖，則在測得彈簧
長為 14 cm，則彈簧和旋轉間的角度 為何？答：60
※※類題：如圖所示，質量 m 的物體以 CD 為鉛直軸作半徑 R，
速率 v 的水平圓周運動，A、B 兩繩張力各為 TA、TB，則 A B
A B
T T
T T
＋
－
的比值為何？
答：
2 cotT T vA B
T T gR
A B
＋
＝
－
(改自物奧賽題)
※※類題：右圖中質量 4 公斤的物體受長均為 1.25 公尺繩作用，
作等速率圓周運動。若上方繩的張力是 60 牛頓。則：(1)下方繩
的張力是_____牛頓。(2)物體旋轉的週期是_____。（g=10 公尺/秒
2
）【建中】答：(1) 10 (2)
2
2
7

類題：一人騎腳踏車以 V 的速率前進，進入半徑為 R 的彎路，則
車身應與鉛垂方向成 角度才不致翻倒，求 tan =？答：
Rg
V 2
例題5：假想力與等速率圓週運動
如圖，人與轉筒間的靜摩擦係數為 s，當轉筒靜止時，此人會掉
下來，欲使人不會掉下來，轉筒的切線速率至少需為多大？
解：
答：
s
gR
類題：一物體放置在水平轉盤上，其與盤中心 O 距離 R，若物體
與盤面之靜摩擦係數為 µs，動摩擦係數為 µk，欲使硬幣在轉盤上
不生相對運動，轉盤最大轉速為何？答：每秒轉
R
gs
2
1
(圈)

2 公尺 4 公斤
1.25 公尺
1.25 公尺
=?
m
10cm

例題6：路面傾斜角度與等速率圓週運動的關係
車子在彎路上前進，變路與水平成 角傾斜，其曲率半徑為 R，
則求：(1)如果此車不利用摩擦力轉彎，車子速率應為多少？ (2)
若車與路之間的靜摩擦係數為，則車轉彎而不側滑的最大速率
為何？【台北聯合】
解：
答：(1) tanRg (2)
( tan )
1 tan
gR  
 
+
−
※類題：上題中，車不致下滑的車速範圍為何？
答：


tan1
tan
+
−
Rg V


tan1
tan
−
+
Rg
1.如圖，質量 m 之小球，在一頂角為 600
之玻
璃漏斗中，距地高 h 之平面上，作等速圓周
運動，問：(1)小球作用予漏斗壁上的正向力
為何?(2)球旋轉之週期若干?(3)速率為何?
2.一彈力常數為 k 之彈簧，上端固定，下端懸
質量為 m 之物體，使物體做水平面圓周運
課後練習題
h
m
60o

動，當懸線與鉛直夾角為 θ 時，彈簧伸長量為？
3.彈簧自然長度 Lo，力常數為 k，一端繫一質量 m 之球，一端固定
於光滑水平圓桌上，作等速率圓周運動，角速度為 ω，則彈簧之
全長為何?
4.一物做等速率圓周運動，頻率 f，半徑 R，質量 m，則其(1)向心
力? (2)速度? (3)轉 1/4 周之速度變化量?
5.若地球可視為半徑為 r 的正球體，且自轉
的角速率為 ，則赤道上質量為 m 的人，
其視重為何？（重力加速度 g）
6.單擺長 L，擺錘質量 m。當擺錘在一水平
面上以等角速度 ω 繞鉛垂線旋轉時（見右
圖），如擺線與鉛垂線的夾角為 θ，則 cosθ
等於多少？
7.將質量分別為 m 與 M 的兩物體，擺
在以角速度  轉動的唱片上，如右
圖所示，則 m 與 M 所受向心力的比
值為何？若唱片的角速度增加，M
會發生滑動現象，則 M 與唱片間的
靜摩擦係數為何？
8.以 36 km/hr 的速度在半徑 200 m 的
彎路上行駛之火車，欲使鐵軌不受側壓，則外側鐵軌應較內側鐵
軌高出若干?(但二鐵軌之間距離為 120 cm，而 g=10 m/s2
)
9.汽車輪胎與地面摩擦係數  ，在水平路面上欲做半徑 R 之轉彎，
則 (A)其加速度不能超過 g (B)其加速度不能超過 g (C)速度不
能超過 gR (D)速度應小於 gR2 (E)速度應小於

gR
。
10. 在天雨時，有一摩托車選手在傾斜路面上轉彎。已知路面的傾
斜角為 ，而機車的迴轉半徑為 R，則在摩擦力甚小的情況下，
機車安全轉彎的速率為何？若機車（含騎士）的總重量為 W，
則來自地面的正向力為何？
11. 下列有關「等速率圓周運動」的敘述，何者正確？ (A)因為等
速率，所以物體的動量亦為定值 (B)地球上的物體隨地球自轉
的向心力皆指向地心 (C)同一物體隨緯度的增加而向心加速度
變小 (D)物體的動量變化量值不隨時間而變 (E)物體的衝量時
變率量值為一定值。
12. 下列關於”等速圓周運動”之敘述，何者為正確的？ (A)為等速
率運動 (B)為等速度運動(C)為等加速度運動 (D)受定力作用
(E)動量為定值。
13. 錐動擺為一質量 m 的小球繫於輕繩的下端，繩的上端固定。小

m

m
M
r
R

球以等速率作水平圓周運動，輕繩在空中掃轉一圓錐面。若已
知繩長為 L，繩和鉛直方向的夾角為，則(A)繩上張力為
mgsec (B)小球運轉的軌道半徑為 Lsin (C)小球的軌道速
率為 tangL (D)小球的切線加速度的量值為 gtan (E)小
球運轉週期為 2
cosL
g
。【87 建中】
14. 有一質量為 m 之小珠，串於 Y 形桿上，如圖
所示，該 Y 形桿繞鉛直軸旋轉，使小珠維持
於一固定長度 h 處。若小珠與 Y 形桿間無摩
擦，則 Y 形桿旋轉的角速度為何？ [91.指
定科考]
15. 車子在 s = 0.4 的地面上做迴轉半徑為 16 m 的轉彎，則該車的
安全速率為多少？(g=10m/s2
)答： 8 m/s
練習題答案
1. (1)2mg (2)
g
h
3
2 (3) gh 2.
cosk
mg
3. 2
mk
kLo
−
4. (1)4π2
mf2
r (2)2πf r (3) 2 2 πf r 5. mg－m 2
r 6. 2
g
L
7.
mr
MR
，
2
g

R 8. 0.06m 9.BCD 10. tangR  ，
cos
W
11.CE 12.A 13.ABE 14. 2
cos
sin
g
h



= 15.8m/s
h
※
v
r
Fc
mg
N
Max.fs

克里斯蒂安·惠更斯-介於伽利略與牛頓之間的物理學先驅-1
1629 年 4 月 14 日生於海牙的富裕家庭，惠更斯自幼聰明好學，思想敏捷，多
才多藝，父親常稱他為“我的阿基米德”。
13 歲時曾自製一台車床，表現出很強的動手能力，並受到當時名人的笛卡兒
的直接指導。16 歲時進入大學學習法律及數學，獲得博士學位後，惠更斯結
識了不少著名的學者如牛頓，並於 1663 年成為倫敦皇家學會的第一個外國會
員。惠更斯一生研究成果豐富，在多個領域都有所建樹，許多重要著作是在他
逝世後才發表的，《惠更斯全集》共有 22 卷，由荷蘭科學院編輯出版
力學
在《擺式時鐘或用於時鐘上的擺的運動的幾何證明》、《擺鐘論》等論文中提出
了鐘擺擺動周期的公式。在《論物體的碰撞運動》研究了完全彈性碰撞，證明
了碰撞前後能量和動量的守恆。在《關於運動及離心力》引入向心加速度的概
念及公式(死後出版)
光學
《光論》一書中正式提出了光的波動說，建立了著名的惠更斯原理。
天文學
他把大量的精力放在了研製和改進光學儀器上，設計製造的光學和天文儀器精
巧超群，改進了望遠鏡（用它發現了土星光環及土星最大衛星-泰坦)與顯微
鏡，並發明了望遠鏡上用的消色差的目鏡-後人稱為惠更斯目鏡，至今仍然採
用。
數學
和數學家巴斯卡、費馬等人通信上，建立了機率論的第一篇正式論文，現在高
中數學中的數學期望值就是他引進來的，他也解決了許多有趣又不容易的問
題。他於微積分和概率上都有許多重要成果。他研究過包絡線、二次曲線、曲
線求長法，他發現懸鏈線《擺線》與拋物線的區別，他是概率論的創始人。
總結
惠更斯處於富裕寬鬆的家庭和社會條件中，沒受過宗教迫害的干擾，能比較自
由地發揮自己的才能．他善於把科學實踐和理論研究結合起來，透徹地解決問
題，因此在擺鐘的發明、天文儀器的設計、彈性體碰撞和光的波動理論等方
面都有突出成就。
參考資料
1. Wiki, http://en.wikipedia.org/wiki/Christiaan_Huygens
2. 邱韻如,前人的足跡,
3. 陳毓芳、鄒延肅編：物理學史簡明教程，北京師範大學出版社。
圖 5-8 Christiaan Huygens 肖像
荷蘭物理學家、天文學家和數學
家，土衛六的發現者。他還發現了
獵戶座大星雲和土星光環。
From Wiki

5.2 簡諧運動
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 知道簡諧運動是【振盪】其中一種。
2. 知道質點做簡諧運動時候，質點合力遵守虎克定律
3. 知道質點做簡諧運動時候，質點加速度永遠與質點
位移方向相反。
4. 應用簡諧運動中質點與時間之關係，畫出相關圖
形。
5. 應用簡諧運動中質點速度與時間之關係，畫出相
關圖形，並找出最大速度之量值
6. 應用簡諧運動中質點加速度與時間之關係，畫出相
關圖形，並找出最大加速度之量值
7. 給定質點位置-時間的函數關係，能夠求出質點的
速度-時間函數，並能夠計算質點任意時間的速度。
8. 給定質點速度-時間的函數關係，能夠求出質點的
加速度-時間函數，並能夠計算質點任意時間的加
速度。
❑振盪(Oscillation)
1.在平衡點(中央位置)的兩端做具備重複性，週期性的變化。或
在兩個狀態或多種狀態之間做重複性，週期性的變化
2.分類：
◼ 簡諧振盪 Simple harmonic motion
◼ 阻尼與驅動振盪 Damped and driven oscillations
◼ 耦合振盪 Coupled oscillations
3. 應用
◼ 動力學：單擺、傅科擺，101 大樓的阻尼球、音叉..等
◼ 生物：大腦中神經細胞的訊號傳遞、
◼ 電子學：交流電、RCL 電路…等
◼ 天文學：造父變星、中子星
◼ 醫學：心臟的脈動
圖 5-12 正常人的心電圖,From Wiki
圖 5-11 耦合振盪 Coupled oscillations
From Wiki
圖 5-10 阻尼震盪 From HighPhysics

5-175.2 簡諧運動
❑簡諧運動(Simple Harmonic Motion，簡稱 S.H.M.)
1.振盪系統在一直線上來回週期性之振動，且系統的合力遵守虎
克定律，這樣的振盪稱為簡諧運動或簡諧振盪。
2.SHM 的重要名詞
◼平衡點：振動的中央位置，質點的加速度=0，受力=0
◼端點：距離平衡點的最遠位置
◼振幅：平衡點與端點的距離，以 R 表示
振幅的兩倍（2R）表示質點運動範圍
◼週期：完整往返振動一次所經過的時間，以 T 表示
振動物體從某一初始狀態開始，再次回到初始狀態
1 個週期 T 之後，質點走過路徑 4R
◼頻率：單位時間振動的次數，以 f 表示
3.簡諧運動的應用範例
◼ 彈簧拉著物體在彈性限度內的振動。
◼ 小角度震盪的單擺
◼ 等速率圓周運動在某一方的投影。
Physlet® Physics 2E：Representations of Simple Harmonic Motion
Java Programs on Physics-Walter Fendt
http://www.compadre.org/Physlets/waves/illustration16_1.cfm
0x = 0x =
F
F
0x = 0x =
F
F
0x = 0x =
F
F
0x = 0x =
F
F0x = 0x =
F
F
圖 5-13 簡諧運動位置與時間關係

❑S.H.M.幾何分析
1.用半徑(與振幅相等)的等速率圓週運動在某方向的投影來分析
說明：
水平方向的 SHM(eg.彈簧在水平面來震盪)的一切行為(位置、
速度、加速度)，可由等速率圓週運動(又稱參考圓)在水平方向
的投影來解釋。
假設此等速率圓周運動半徑為 R，角速度為 ω ，從 x=R 處
出發，逆時針旋轉，則經過 t 時間之後，物體所旋轉的角度為
ωt
可知：簡諧震盪週期=等速率圓週運動週期
a. 質點的位置： ˆcos( )x R t i=  
說明：
b. 質點速度： ˆsin( )xv R t i = −  
說明：參考圓的質點速度大小 v R=
t 秒時，參考圓的質點對軸心的角位移為 ωt
圖 5-14 簡諧運動可視為等速率圓週
運動投影
x- R 0 R x- R 0 R
端
點
端
點
平
衡
點
x
y
θ
x- R 0 R x- R 0 R
端
點
端
點
平
衡
點
x
y
θ

5-195.2 簡諧運動
c. 質點的加速度： 2 2
cos( )xa R t x  = − = −
說明：
參考圓的質點向心加速度大小 ca R=
t 秒時，參考圓的質點對軸心的角位移為 ωt
2.由「力」的觀點看 SHM➔物體受力與位移成正比，方向相反
F kx= −
說明：t 秒時，簡諧運動的加速度、位置分別是
3.SHM 的週期 2
m
T
k
=
說明：
x
y
θ

4.高中物理常見的 SHM
◼ 用彈簧懸掛物體之振盪系統(不論水平振盪或鉛直振盪)均屬
SHM，因此彈簧的力常數恰為 SHM 運動的力常數，故彈簧
振盪模式只是簡諧運動的一個例子。
◼ 小角度擺盪的單擺，擺錘的運動近似簡諧運動
說明：一單擺擺長為 L，擺垂質量為 m，擺繩重量可忽略不
記。擺動角度小於 5 度。
(1)其為 S.HM (2)週期
g
L
T 2=
❑總整理及解題策略
1.判斷物體是否做 S.H.M.
◼ 確定平衡點位置、再確定端點位置➔振幅 R 即可得
◼ 確認質點所受的淨力(合力)滿足 F kx= −
◼ 找出恢復力常數 k ，算出振盪週期 2
m
T
k
= 及角頻率
(角速度)➔所有物理量就可全數得到
◼ 上述無法解題時候，則可再加入「參考圓」概念來解題。
2.S.H.M 六大公式：
物體從端點開始振盪，振盪半徑為 R，角速度為，振盪時間
為 t，物體質量為 m，振盪過程中恢復力常數為 k
以 x 軸分析
222
0
2
2
22
2
1
2
1
2
1
2
1
22
2
cos
sin
cos
kxmvmvkR
xmxkF
a
x
k
m
T
xtRa
tRv
tRx
+==
−=−=
===
−=−=
−=
=
力學能守恆：
恢復力：
週期：
加速度：
速度：
位移：








左端點平衡點右端點
位置 -R 0 R
速度 0 ±𝑅𝜔 0
加速度 𝜔2
𝑅 0 −𝜔2
𝑅
合力 𝑚𝜔2
𝑅 0 −𝑚𝜔2
𝑅
θ
mg
v
圖 5-15 小角度單擺可視為
簡諧運動

5-215.2 簡諧運動
例題7：基礎題
某物體做簡諧運動，若其位置和時間關係為 )
5
cos(8 tx

= 公分，時
間單位為秒。則
(1) 週期為?10 秒 (2)最大速率? (3)最大加速度?
(4) t＝2 秒時質點的速率為?；加速度的量值為?
(5) 當物體自其初始位置向平衡點運動，行至位移為振幅之半處
解：
答：(1)10 秒 (2)
類題：物體做 S.H.M.，若其位置與時間的關係為
1
cos( )
2 4
x t

=
cm，t 以秒做單位，則：(1)振福多少？ (2)週期為多少？ (3)當 2
秒時候，其速率為多少？(4)加速度的量值？(5) 當物體自其初始
位置向平衡點運動，移至 x=-1/4 費時多少?答：1/2cm 、8 秒、
0 、 2
2
/
32
sm

−
範例演練

例題8：基礎題
一物體做 S.H.M.，其振幅為 15 cm，且頻率為 4Hz，求：
(1)速率及加速度的最大值 (2)當物體位在平衡位置相距 9cm 時候
之加速度的量值
解：
答：
2 2
2 2
max max 9
6 48 144
( / ) ( / ) ( / )
5 5 25
v m s a m s a m s
  
= = =
類題：如圖，質量 m=200 公克的木塊繫於一條力常數 k=5 牛頓/
公尺的輕彈簧上，木塊可在一光滑水平面移動。若將木塊自其平
衡位置向右拉移 5 公分後出靜止釋放，試求：(1)木塊運動的週期
(2)木塊的最大加速度答：(1)2π/5 s (2) 1.25 m/s2
類題：一物繫於彈力常數為 k 的彈簧上，在水平面上作 S.H.M，
週期為 T，振幅為 R (1)當物距平衡點為 R / 2 時之速度值、加速
度值、彈力之量值為何 (2)物由平衡點位移 R/2 所需最少時間
為何？答：(1)
2
2
3 2
2
x x
R R kR
v a F
T T
 
= = = (2)
12
T
m

5-235.2 簡諧運動
例題9： SHM 應用
一質點作簡諧運動，當其距平衡點為 4 公尺和 3 公尺時的速度量
值分別為 6 公尺/秒、8 公尺/秒，則該簡諧運動的振幅為 5 公
尺，角頻率為 2 弧度/秒，週期為 　　　秒，最大速度的大小
為 10 公尺/秒，最大加速度的大小為 20 公尺/秒 2
。
解：
類題：一質點作簡諧運動，當位移量值為 8 公尺時，速率為 6 公
尺/秒；位移量值為 6 公尺時，速率為 8 公尺/秒，則該簡諧運動
的振幅為 10 公尺，角頻率為 1 弧度/秒，週期為 2　　　　
秒，最大速度的大小為 10 公尺/秒，最大加速度的大小為 10
公尺/秒 2
例題10： SHM 應用
地震時，如果地面運動的加速度太大，地面上的建築物會被破
壞。某建築物可以承受的最大地面水平加速度為 0.32g（g 為重
力加速度，為 9.8 m∕s2）。假設地震時，該建築物基地的運動可
視為水平簡諧運動，則角頻率為 5.6 rad∕s 的地震發生時，此建
築物可承受的最大地面水平振幅為多少 cm？【聯考題】
解：
答：10 cm
類題：假設地震時，臺北 101 建築物基地的運動可視為水平簡
諧運動。若角頻率為 5 rad∕s 的地震發生時，臺北 101 可承受
的最大地面水平振幅為 0.5 m，則地震時建築物最大速率為多少
m∕s？(A) 2.5 (B) 1.25 (C) 5 (D) 2.5 (E) 5。答 (A)

1. 一作簡諧運動的物體，設其振幅為 R，則由端點移動 R/2 與由
平衡點移動 R/2 所需之時間比為？
2. 某次地震時，一建築物在水平面上沿一直線作簡諧運動，其
振幅為 0.10m，週期為
5

秒，則(1)此建築物之最大加速度量
值為何？(2)當建築物離開平衡點 0.06m 時的速率為何？
3. 一物作簡諧運動，其週期為 4 秒，最大加速度值為 2m/s2
，則
此物體自端點開始運動後，第 6 秒末之瞬間加速度值為何？
4. 作簡諧運動之物體，其位置(m)與時間(s)關係為：x＝5sin(
2

t
＋
6

)，則由開始至平衡點需耗時多少？
5. 設一質點作 S.H.M.，其振幅為 R，最大加速度量值為 a，若由
平衡點算起，則 1/2 週期內的平均加速度值為何？
6. 一質點作週期為 T 的簡諧運動，令質點通過平衡點的時間為
零，則當時間為 T/6 時，當時的速率為最大速率的幾倍？
7. 一質點作簡諧運動，當其距平衡點為 4cm 和 3cm 時的速度值
分別為 6cm/s、8cm/s，則週期為何？
8. 質量 4(kg)的木塊受彈簧牽引，在光滑水平面上作簡諧運動。
已知兩端點間的距離為 1(m)，且木塊的最大速率為 2(m/s)，
則 (A)振幅為 1(m) (B)週期為
2

(s) (C)彈簧的力常數為
64(N/m) (D)最大加速度量值為 64(m/s2
) (E)最大加速度與最大
速率的量值之比為 1：4。
9. 將力常數 k 的彈簧掛在天花板上，在其下方懸掛質量 m 的木
塊。當木塊達成平衡時，再將木塊下拉 R 距離後釋放，則木
塊通過平衡點上方 0.5R 處的速率為何？
10. 一理想彈簧下端懸掛 1 公斤的物體，先將其托住，使彈簧不
伸縮，然後放手，使其沿鉛直方向做簡諧運動，則在振盪的中
央位置時，彈簧施於物的力為多少牛頓？（重力加速度為 9.8
公尺/秒 2
）
11. 一物體掛在彈簧的下端，從平衡點拉下 0.5m 後釋放，此時最
大速率為 4m/s，若拉下 1m 後再釋放，則
最大速率變為何？
12. 質量 m 的木塊在光滑斜面上作簡諧運動
時，已知彈簧的力常數為 k，且木塊的振
課後練習題
※
※

5-255.2 簡諧運動
幅為
2mg sin
k

，則當木塊移動到最高點時，當時木塊的加速
度為何？質點在最低點處的合力量值為何？(重力加速度 g）
13. 將質量 m 的木塊放在木板上後，使木板在鉛直方向作簡諧運
動。已知木塊在最高點時，其加速度為
3
g
，且簡諧運動的週
期為 T，則 (1)簡諧運動的振幅為何？ (2)木塊通過平衡點時
的速率為何？ (3)木塊在最低點處所受來自木板的正向力為
何？
14. 質量 0.3 公斤的木塊掛在力常數 30 牛頓／公尺的彈簧下方。
今在平衡點下方 0.2 公尺處將木塊釋放 (1)木塊運動的週期
為何？ (2)木塊回到平衡點的最短時間為何？ (3)木塊通
過平衡點的速率為何？ (4)木塊通過平衡點下方 0.1 公尺處
的瞬時速率為何？
15. 當一物作簡諧運動時，其加速度之絕對值，在每次運動路徑
端點處為：(A)零 (B)一極小值 (C)一極大值 (D)無窮大 (E)極
小值與極大值之平均。【70 年夜大】
16. 下列有關「簡諧運動」的敘述，何者正確？ (A)屬於變加速度
直線運動 (B)物體至平衡點的距離與加速度的量值成正比
(C)動量對位置的函數圖形為橢圓 (D)週期與振幅的的量值無
關(E)運動至平衡點時，加速度為零。
17. 有關質點作簡諧運動之敘述何者正確？ (A)質點作直線運動
(B)質點作週期運動 (C)質點受定力作用 (D)加速度方向恒指
向平衡點 (E)質點加速度量值最大時，速率最大。
18. 下例哪一種運動具有切線加速度？ (A)鉛直上拋運動 (B)鉛
直面之等速圓周運動 (C)斜拋運動 (D)簡諧運動 (E)在太空
中之靜止物體爆炸成兩塊小物體後，各物之運動。
19. 簡諧運動是：(A)週期運動 (B)等加速度運動 (C)變加速度運
動 (D)等速度運動 (E)等速圓周運動的一種特例。
練習題答案
1. 2：1 2. (1)10 rad/s (2)0.8 m/s 3. 2m/s 4.
3
5
s 5.

a2
6.
2
1
7.π (s) 8. (B)(C) 9.
2
R 3k
m
10. 9.8 11. 8 m/s 12.
2gsin ，2mgsin 13.(1)
2
2
12
gT

(2)
6
gT

(3)
4
3
mg 14.
(1)0.2 (s) (2)0.05 s (3) 2 m/s (4) 3 (m/s) 15. C 16.全 17.
ABD 18.ACD 19.AC

5.3 因次
❑因次 dimension
1.中學物理學的三個基本量是：長度、時間、質量
2.因次的意義—用來表示物理量的性質
◼ 長度的因次記為 L
◼ 時間的因次記為 T
◼ 質量的因次記為 M
3.物理學的導出量都可以用基本量的因次表示
◼ 頻率: T -1
◼ 面積: L2
◼ 體積: L3
◼速度: LT -1
◼加速度: LT -2
◼力: MLT -2
4.因次的用處
◼ 分析物理量的關係➔用因次猜考題的答案
◼ 效能: 可以有效地提高答題率, 並節約時間.
◼ 檢驗理論公式推導的錯誤方面
5.因次分析
◼ 在等式兩邊的物理量必然有相同的因次
◼ 相同的因次才能進行相加、相減的代數運算

高二基礎物理2B-CH5-牛頓定律的應用-週期運動

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

More from 阿Samn的物理課本

More from 阿Samn的物理課本 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (6)

高二基礎物理2B-CH5-牛頓定律的應用-週期運動