中華民國 高中物理教材 99課綱 -基礎物理2B

1. 阿 Samn 的物理課本 http://mysecretpark.blogspot.tw/
6 牛頓運動定律(II)
6.牛頓運動定律(III)
高中物理
2020 年 2 月 24 日
本章簡介
牛頓運動定律是動力學的基礎，可以用來準確地預
測、控制質點的運動。但真實世界的物體運動是相當
複雜的，比方說芭蕾舞者在場中表演時，肢體一切行
為是複雜並沿著不同軌跡進行運動。但是看成許多質
點合成的系統並以人體質量中心為基礎，則運動軌跡
呈現相對簡單-而這就是我們之前處理物體運動的方
式。
同時，航空器(飛機，太空梭等)為什麼可以沿某個方
向推進，甚至不需要依賴空氣，而在太空中移動？
本章將介紹如何應用牛頓運動定律，並推廣到質點系
統及全新的物理概念-動量/衝量/動量守恆定律的概
念。
相關版權說明：
◼ 笑話集中的圖片來自彎彎的部落
格，Mr. Pig 漫畫集來自
http://godpig.com/blog/
◼ 內頁部分圖片來自各版本教科書
或網路，版權仍屬原創者所有
◼ 講義內容採用創用授權，不得商
業化(印給學生工本費除外)
太空梭 Atlantis 在 1988/12/2 執行 STS-27 任務，花費約 8.5 分鐘時間，進入預定軌道。
想想?為什麼要設計多節系統？ From NASA

2. 6-2 牛頓運動定律(II)
REVIEW AND SUMMARY

3. 6-3牛頓運動定律(II)
6.1 動量與衝量
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 理解動量是向量-包涵方向與量值
2. 計算質點的動量變化量-當質點改變速度方向及速
度量值
3. 理解衝量是向量，包含方向與量值。
4. 已知力隨時間變化的函數關係，可以計算某段時間
之內的衝量
5. 已知力隨時間變化的關係圖，藉由計算面積可以計
算衝量量值
❑動量(momentum，以 p

表示)
1.來源：1687 年，牛頓在他的《自然哲學的數學原理》中明確提
出了動量的定義-稱為「運動的量」(quantity of motion)代表物體
的運動瞬間狀態是由物體的 質量 與物體 瞬時速度 決定
2.定義：運動物體的質量與速度的乘積
p m v=  單位：kg-m/s
3.性質：動量是 向量 ，方向與速度同方向，因此可以分解兩個
互相垂直的分量。
說明：
❑衝量(impulse，以 J

表示)
1.定義：作用力與作用時間的乘積稱為物體所受到的衝量
J F t=  單位：N-s
說明：
讓物理系統與環境間的交互作用，促使系統的運動狀態(動量)
改變。
2.性質：
◼ 衝量是向量，方向與 作用力 同方向
◼ 不同時間的衝量可以累加，最終的物理效應與發生順序無
關。
圖 6-1 勒內·笛卡兒
法國著名的哲學家、數學家、
物理學家。
延伸了伽利略運動相對性的理
論，強調了慣性運動的直線
性。並提出「宇宙中運動的總
量是守恆的，應該把物體的質
量和速度的乘積作為“力”或
“運動量”的度量，即用
（mv）來量度。」
同時，也發現了動量守恆原理
的原始形式。

4. 6-4 牛頓運動定律(II)
◼ 作用力隨時間改變，則衝量量值等於 F-t 關係圖的面積
圖 6-2 左圖：變力作用的衝量需計算 F-t 圖的線下面積。
右圖：如果作用力呈現不規則變化，則需要積分計算面積
3.應用：生物力學-分析赤腳跑步時，不同跑步姿勢產生的差異
1
圖 6-3 慢跑時候，用腳跟著地時，身體受到的瞬間衝擊(impact transient)次數多於腳掌著地
❑衝量-動量定理 impulse-linear momentum theorem
1.定義：合力對物體(系統)所施的衝量等於該物體在施力前後的
動量變化
p
J F t p F
t

=  =   =

說明：牛頓在其原著裡將第二運動定律寫成如下形
1
From http://barefootrunning.fas.harvard.edu/4BiomechanicsofFootStrike.html
t
F(t)
Δt

5. 6-5牛頓運動定律(II)
例題1：動量變化量的計算-基礎題
質量 m 的物體以仰角  、初速 v0 自地面拋出，當落回地面後，
此期間動量變化量為何？
解：
答：2mvsin
類題：質量為 m 的物體做等速率圓週運動。若軌道半徑為 R，週
期為 T，則旋轉 1/4 週後，其動量變化為何？ 答：
2 2m R
T

例題2：動量對時間的微分就是瞬時受力量值
物體在直線上運動，其動量與時間關係方程式為 2
( ) 3 4p t t t= +
(單位為 MKS)，則 2 秒末物體瞬間受力多大？
答：16(N)
類題：質量 2kg 的物體，其動量與時間關係為 2
( ) 2 1p t t t= − + (單
位為 MKS)，做一維空間運動，第一秒末與第二秒末的受力比為
何？ 答：3:7
範例 演練
多項式微分
任意多項式
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑛
對 x 微分後
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑛 ⋅ 𝑎𝑥 𝑛−1
可應用 計算 瞬時速度、瞬時加
速，瞬時作用力..等
𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝐹 =
𝑑𝑝
𝑑𝑡

6. 6-6 牛頓運動定律(II)
例題3：變力求衝量-一維
在一直線上，以 F(t)=6-2t 之力( t：秒，F：牛頓)施於質量 2 公
斤，初速為 12 m/s 之物體上，則 8 秒後，物體所獲得的衝量為多
少？
解：
答：-16(N-s)
類題：光滑水平面上一物體受力作用由靜止而運動，在 t=0 秒
時，力為 10(N)，然後均勻增加到 t=2.0(s)時，力為 20(N)，此後
作用力保持 20(N)，則最初兩秒內物體所受衝量為何？第四秒
內，物體所受衝量為何？答：30 N-s，20 N-s
例題4：衝量-動量定理的應用-基礎題
一機槍每秒可發出 20 發子彈，每發子彈質量為 50 克，其出口速
率是 400m∕s，則(1)每發子彈作用在機槍的衝量為何？(2)機槍所受
之平均後座力多大？
解：
答：20 (kg-m/s) ； 400(N)
類題：質量為 100(g)的小球從 0.8(m)高的地方自由落下至一個軟
墊，小球由接觸軟墊到陷入最低點費時 0.2(s)，求這段接觸時間，
小球受到的衝量為何？(g=10m/s2
) 答：0.4(N-s)
類題：有一束子彈流，連續打在牆壁上，每顆子彈質量為 m，水平
速度為 V，若 t 時間內有 n 顆子彈打中牆，則牆之平均受力為何？
答：
t
nmV

7. 6-7牛頓運動定律(II)
例題5：衝量-動量定理-變力
質量為 3(kg)之物體沿著一直線受一變力作用，若其速度自 10 (m
/s)增至 18(m /s)，而作用力自 4(N)均勻增至 8(N)，則力作用之時
間為多少秒？ (A) 6 (B) 8 (C) 3 (D) 4 (E) 5。
解：
答：D
類題：光滑無摩擦之水平面上，一靜止物體受力作用開始移動，
已知 t=0~t=2 秒之間，作用力由 10 牛頓均勻增加至 20 牛頓，此
後皆受 20 牛頓之定力，則在頭 2 秒內所受之衝量為？若假設物
體質量為 1 公斤，則第四秒後物體速率多大？答：30(N-s)、
70m/s
例題6：衝量-動量定理-二維
某大樓的玻璃窗，受到大風沙的衝擊，風沙以每秒 u 公斤的總質
量，速度 v 公尺/秒，入射角 撞擊玻璃上。如風沙皆作完全彈性
的反射，則玻璃所受的力為______牛頓。
解：
答：2uvcos
類題：平面上粗細均勻的直角彎曲水管，內有水持續流動，流量
為每秒 3 公斤，流速為 3 m/s，在直角轉彎處，水管施於水的作
用力為何？答：9 2 (N)
1.一物質量 6 公斤，以 3 公尺/秒之速度向東運動，若受一大小為 6
牛頓，方向向北之恆力作用，則 4 秒末物體向東方向之動量大小
課後 練習題

8. 6-8 牛頓運動定律(II)
為多少公斤．公尺/秒？
2.質量為 5.0 公斤的物體，於 10 秒的時間內，其 M.K.S.制的速度
由 0v =48 i

+36 j

變為v =18 i

－4 j

，則物體所受的平均作用力之量
值應為多少牛頓？
3.機槍每秒發射 10 顆子彈，每顆子彈質量為 50 克，子彈出口速度
為對地 800 公尺/秒，(1)機槍的後座力是多少？(2)如果槍手緊握
槍最大施 240 牛頓的平均力，則欲不使槍後退，每秒鐘最多可發
射多少顆子彈？
4.質量 0.1 kg 的球自高度 20 m 處自由落下，撞擊地面後反彈，最
大高度為 5.0 m，則球觸地期間所受衝量為若干?(g=10 m/s2
)
5.在光滑平面上，質量 2 kg 之物，原以 4 m/s 速度向東運動，受
1 牛頓 向北之力作用 6 秒後，求(1)受力期間物所受衝量? (2)物
體之速度變化量? (3)物體末速度?
6.質量 1 公斤之球以速度 10 m/s2
水平撞向一牆，若投中點高度 5
米且反彈落地點距離牆角 8 米，若球與牆接觸時間為 1/5 秒，則
作用於牆的平均作用力大小為何?(g=10 m/s2
)
7.物體之動量變化之方向，與下列何者正確？(A)受力的方向 (B)速
度變化的方向 (C)加速度之方向 (D)速度之方向 (E)位移的方向。
8.同樣車速的砂石車(質量 ml)及摩托車(質量 m2)，m1 > m2，則 (A)
欲在相同的時間內停下來，摩托車煞車器比較費力 (B)在行駛當
中，砂石車的動量大於摩托車 (C)欲在相同的時間將車煞住，摩
托車滑行的距離較長 (D)若煞車器相同，以相同的力量煞車，則
砂石車所須時間最短 (E)同樣的時間停下來，砂石車的動量改變
量大於摩托車的動量改變量。
9.質量一定的物體，受恆定之淨外力作用時： (A)在相等時間內，
物體的速率變化量必都相等 (B)在相等時間內，物體的位置變化
量必都相等 (C)在相等時間內，物體的動量變化量相等 (D)物體
的質心作等速度運動 (E)物體速度的時變率與時間無關
10. 一雪塊原來質量 10 公斤，由靜止沿一波直線滾下，設其質量
與時間關係為 m(t)=3t+10，速度與時間關係為 V(t)=2t2
+2t，則在
t=3 所受的外力是_____。（速度單位是公尺/秒；時間單位是秒）
練習題答案
1. 18 2. 25 3. (1) 400 牛頓 (2) 6 顆 4. 3 N.s,方向：↑ 5.
(1)6 N.s 向北 (2)3m/s，向北 (3)5m/s，北偏東 53 度 6. 90N
7. ABC 8. BE 9. CE 10. 338 牛頓

9. 6-9牛頓運動定律(II)
應用及思考：汽車碰撞的傷害？！
根據統計，大約 9104
N 的力就可以造成脛骨骨折，而在 1:1
的人體汽車碰撞測試中，人的前面有約 0.7~0.9m2
的接觸面
積，衝撞造成的壓力達到 3.4105
N/m2
，就會有 50%的死亡機
會。就算本身沒有受傷，腦對腦殼的加速也有可能造成腦傷-腦
部受的 150g 加速持續 4 ms，或 50g 加速持續 60 ms 就有
50% 的受傷機會(此處的 g 代表地球上的重力加速度，ms 代
表毫秒，即 10-3
秒)。通常會造成脊索進入腦底處的神經受
損。
考慮一未繫上安全帶 75 kg 的駕駛，車子以 27 m/s (約 100
km/h) 速率行駛，人自撞車至撞上儀表板靜止下來，花了 0 .
010 s 時間。若他身體與頭部正面受撞擊的面積為 0.5 m2
，請
動手計算並思考是否有致命的可能？及要怎麼降低致命的風
險？
圖 6-4 Crash-Tested Volvo C30 Electric exhibited at the 2011 Washington Auto
Show,From Wiki

10. 6-10 牛頓運動定律(II)
6.2 質點系統的質心運動
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 知道力學系統處理「物體」的運動，均先假設為質
點系統。
2. 知道各質點的位置，能計算出系統質心座標。
3. 知道各質點的質量、速度，能計算出質心速度
4. 知道各質點的質量、加速度，能計算出質心加速度
5. 理解質點系統的質心運動可以代表系統整體運動
的運動狀態。
❑質點系統
1. 質點：在最初的力學中，都將物體簡化成一個點，可視為在座
標上具有質量的一個點
2. 質點系統(System of particles)：由一群相關質點構成的封閉系
統
◼ 一個物體視為多個質點組成而這些質點呈現 連續分佈 ➔在
數學上則用積分來表示。
◼ 質點之間的交互作用力為： 作用力 與 反作用力 ➔均
視為 內力
3. 質心(Center of Mass)
◼ 質心是質點系統其中的一個點(或位置)，可以想成整個系統
質量集中在「質心」
◼ 質心的運動狀態可代表 整體系統 的運動狀態
2
圖 6-5 球棒的質心代表整體運動狀態
◼ 質心所受的力為 質點系統 的外力和
◼ 在均勻重力場中：重心與質心兩點 重疊
◼ 規則形狀的物體：質心位於物體的 幾何中心
2
圖片來源：觀念物理叢書

11. 6-11牛頓運動定律(II)
❑質點系統中，質心的特徵狀態
1.質點系統的質心位置定義為： 1 1 2 2
1 2
n n
c
n
m r m r m r
r
m m m
+ + +
=
+ + +
2.質心速度：一般以 vc 表示： 1 1 2 2
1 2
n n
c
n
m v m v m v
v
m m m
+ + +
=
+ + +
3.質心加速度：一般以 ac 表示： 1 1 2 2
1 2
n n
c
n
m a m a m a
a
m m m
+ + +
=
+ + +
說明：
4. 質點系統的運動模式
◼ 質心的運動狀態(或軌跡)只受到 外力 作用，與 內力
無關
◼ 質點之間的交互作用力為內力，內力僅影響個別質點的運
動。
說明：
◼ 實際應用：飛行中的煙火在空中爆炸成許多碎
片，碎片運動的路徑很複雜，但是系統的質心仍
然維持原拋物線路徑前進。
圖 6-6 2012 年 1 月 2 號 高雄右昌「做醮」

12. 6-12 牛頓運動定律(II)
例題7：基礎題
質量分別為 2 kg、3 kg 之兩球，分別以 v1=2 m/s，向北；v2=1 m/s，
向東。求系統之質心速度。
解：
答：
3 4ˆ ˆ( ) 1( )
5 5
m m
s sc cv i j v= + → =
類題：二物之質量及速度分別為 m1=3 kg,

1V =4

i +2

j (
s
m
), m2=2kg,

2V =9

i −8

j (
s
m
)，求系統的質心速度大小。 答： 52( / )m s
例題8：阿特午機的質心加速度-標準題
如圖所示，有質量 M、m 的物體(M > m )以一輕繩繫住，跨過一無
摩擦之定滑輪，t = 0 時，兩者同時自靜止釋放，則
1.釋放後質量中心的加速度量值為何？、方向？
2.經過 t 秒後，質心速度量值為若干？、方向？
3.此時質心位移量值為若干、方向？？
解：
答： 2 2 2 21
( ) ( ) ( )
2
M m M m M m
a g v gt S gt
M m M m M m
− − −
= = =
+ + +
如圖所示，A 物質量為 3.0 公斤置於光滑平面上，B 物質量為 4.0
公斤，A 物原先以手拉住，若不計繩重且繩與滑輪無摩擦，則放手
後，於 A 物未撞滑輪，B 物未著地前兩物之質心加速度量值為多
少？答：4(m/s2
)
範例 演練
A
B
Mm

13. 6-13牛頓運動定律(II)
例題9：爆炸問題-1
一炸彈自 600 米之高空自由落下，中途爆裂成等量的兩片，在垂
直線上分上、下散開，炸彈下落後 10 秒時，有一破片擊中地面，
則此時另一破片之高度無若干？
解：
答：220 米
類題：一砲彈在地面上以速度 20m/s 鉛直向上發射，忽略空氣阻
力，重力加速度 g=10m/s2
，若砲彈在途中分裂成質量比為 2:3 的兩
片，兩片以上、下方向散開，質量小的一片在發射後第三秒末著地，
則此時，另一塊距離地面的高度為幾米？ 答：25m
例題10：質點系統-標準題
在光滑的水平地面上，有一長 L 的質量 M 的靜止車子，車的右
端有一質量 m 的人，當人走道車的左端時，車子向右移動多呢？
解題概念：
解：
答：
mL
m M+
類題：質量 M、長度 L 的小船停在湖面上。有一質量為 m1 的小
孩站立在船頭，另一質量 m2 的小孩站立在船尾。假定 m1m2 且
不計水的阻力，則在他們互換位置後，船移動的距離為何？答：
1 2
1 2
( )m m L
m m M
−
+ +

14. 6-14 牛頓運動定律(II)
※類題：在光滑平面上置一傾斜角，質量為 M 之斜面體。另一
質量為 m 的物體自斜面頂端高度 h 下滑，在物體滑下到斜面體底
端時，斜面體位移為多少？ 答： coth
mM
m
+
1.三個不同的質點，其質量及位置座標(米)分別為 m1：8 kg(4，1)，
m2：4 kg(－2，2) ，m3：4 kg(1、－3)；受力分別為16 j 、－6i 、
14i ，單位為SI制，求 (1)原質心的位置座標 (2)質心加速度 (3)
4秒末之質心速度及質心加速度
2.甲、乙兩球質量均為10 kg，二者沿同一
直線運動，甲之速度為2 m/s向東，乙速
度為1 m/s向西，則兩者質心速度為何，
質心動量為何?
3.光滑斜面上的兩物體，質量相等、自靜止釋放，如右圖所示，不
計繩重與任何摩擦力，若以兩物為系統，則此系統的質心加速度
的鉛直分量之量值為何？（g＝10公尺/秒2
）
4.有3 kg 之A以10 m/s 向東，而2 kg 之B 以15 3 m/s 向北，則
此二質量之質心速度為何？
5.三個物體質量和坐標如下：5 公斤(0，0)、3 公斤(8，8)、2 公斤
(3，0)，單位為米。若以2 牛頓的力作用在5 公斤之質量上，其
方向為負x 軸，求在2 秒末，此時系統質心位置為何？
6.甲乙兩物體質量分別為6 kg 及4 kg，加速度量值分別為2 m/s2
及
4m/s2
方向互相垂直，則甲乙兩物體共同質心加速度量值為
(A)25 (B)4 (C)6 (D)0 (E)2 m/s2
7.下列有關質心運動的敘述何者正確？ (A)不計空氣阻力，斜向拋
出的砲彈在空中爆炸後，系統的質心軌跡仍為拋物線，不受爆炸
影響 (B)兩質點距其質心的距離與其質量成反比 (C)系統內各質
點相對於質心之總動量和恆為0，即使有外力作用，其關係仍然
成立 (D)由靜止爆炸後瞬間系統的質心位置仍為靜止 (E)同方向
而不同速度運動之兩物體，某人站在此系統之質心觀之，看到兩
物體運動的方向恆相反 。
8.下列有關多質點系統的運動，何者是正確的敘述？ (A)質心的動
量等於系統的總動量 (B)質心的動能等於系統的總動能 (C)質心
加速度與系統總質量的相乘積等於系統所受外力之合力 (D)質
心加速度為零，系統恆靜止 (E)質心速度為零，系統內的組成質
課後 練習題
m
hM
x hcot −x


15. 6-15牛頓運動定律(II)
點恆靜止 。
9.有一船重250 kg，長6 公尺頭尾對稱，密度均勻之船靜止於水中
當重為50 kg的人由船頭走至船尾，則此時間內船身移動多少距離?
人真正位移值為何?
10. 右圖，長為L的長方形框(質量5 kg)置
於光滑桌面上，今於框中央放置1 kg 與
4 kg 的A、B二物體(中間以輕彈簧片頂
住)，突然A、B彈開分向左右運動，撞上
框邊而黏於邊上，則最後框之位移為何？
練習題答案
1. (1) (1.75、0.25)米 (2)0.5 i

+ j

m/s2
(3)2 i

+4 j

m/s ； 0.5
i

+ j

m/s2
2. 0.5m/s，向東；10 kgm/s，向東 3. 0.1 公尺/秒 2
4.12m/s 東偏北 60 度 5. (2.6，2.4) 6.E 7.全 8.AC 9.1
米；5 米 10.左移
3
20
L
4kg1kg

16. 6-16 牛頓運動定律(II)
6.3 質點系統的動量守恒定律
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 理解動量守恆定律是自然界守恆現象之一
2. 針對封閉(隔離)質點系統，能應用動量守恆定律連
結系統最初的動量與最後動量。
3. 理解質點系統在某軸線上(某方向)不受外力作用時
候，在該軸線上依然遵守動量守恆定律。
❑動量守恒定律 The law of Conservation of momentum
1. 定義：作用於一系統上的總外力為 F ，若此合力等於零，則系
統的總動量 P 必須守恆。
說明：
system
system system
0
ystem system
lim 0
=0
t
s
p
F F
t
p p
 →

=  =

  =則 定值
2. 由於力是向量，可以被分解成幾個方向來看，若系統在 x 方向
不受外力，或所受外力和為零，則系統在 x 方向的動量必須守
恆。
0
lim 0 0x
x x x x
t
p
F F p p
t →

=  =  = 

若 則 守恆
說明：
圖 6-7 發射砲彈前後，砲車與砲彈遵守動量守恆定
律

17. 6-17牛頓運動定律(II)
例題11：水平動量守恒【85 日大】
一質量為 55 公斤的人，手持 5.0 公斤的球，乘坐在一質量為 20 公
斤的車子上，車子在平直光滑軌道上以 2.0 公尺/秒的速率前進。
如將球沿車行方向水平拋出，球拋出瞬間相對於人的速率為 8.0 公
尺/秒，則球拋出後車子對地的速率為______公尺/秒。
解：
答：1.5(m/s)
類題：有一船重250kg速度2m/s向前運動，船上甲乙兩人質量各
為60kg、50kg，若甲、乙兩人分別以相對船3m/s速度，由船尾先
後跳入水中，甲、乙離開後，求船速? 答：3 m/s
牛頓運動定律的解題策略
1.系統不受外力或是合力為零，系統動量守恒
2.動量是向量，必要時以向量圖來求解
3.系統外力和不為零，但發現某方向不受外力或合力為零，則這個方向遵守
動量守恒
4.屬於內力作用的現象： 爆炸 、 碰撞 、 分離
5.應用動量守恒定律，要針對同一慣性座標才可以
牛頓第二定律
1. 衝量
2. 物體的動量
動量守恆定律
衝量-動量定理
範例 演練

18. 6-18 牛頓運動定律(II)
※類題：A、B 兩人在光滑冰面上，今 A 將手中的球拋傳給 B 接
住，若 A、B 質量各為 mA 及 mB，球的質量為 m，而球傳出時的水
平速度為 v，則當球接住後 A、B 兩人相對速度大小為：(A)
1 1
( )
A B
mv
m m m
−
+
(B)
1 1
( )
A B
mv
m m m
+
+
(C)
1 1
( )
A B
mv
m m
− (D)
1 1
( )
A B
mv
m m
+ (E)
1
( )
B A
mv
m m+
達：(B)
※※類題：質量為 5 m 之臺車，靜止於光滑水平地板上，車上有
三個質量皆為 m 之人，每人以v （相對於各人跳車前臺車之速
度）之水平速度跳離臺車，則：(1)三人相繼跳下後，臺車之末速
度為 (1) 。(2)若三人同時跳下，則臺車末速度為 (2) 。
答：(1)
107
210
v
−
；(2)
3
5
v
−
例題12：動量守恆-二維空間以向量解題
A 球質量 1 kg，以 4 m/s 之速率撞及靜止 B 球，相撞後 A 球以 3
m/s 速率與原來方向成直角方向運動，B 球被撞後速率 1.25 m/s，
求：(1) B 球質量 (2)系統質心速度(3)撞後 A 球相對於此系統質
心的速度量值。
解：
類題：靜止的岩石沿水平方向爆裂成為三塊，其中兩塊彼此互成
直角而飛開，質量分別為 1kg 和 2kg，速率分別為 12m/s 和
8m/s，若第三塊的速率為 40m/s，則原來岩石的總質量為多少？
答：3.5 kg.
類題：打撞球甲、乙兩球質量相等，甲球以2(m/s)之速度撞靜止
乙球，乙球以1(m/s)之速度沿垂直甲之入射方向離去，求：(1)撞
後甲球速度大小 (2)撞後兩球質心速度大小答：(1) m/s (2)1m/s5

19. 6-19牛頓運動定律(II)
例題13：水平方向的動量守恆
質量 m 之磚塊自高 h 處鉛直落入正以水平速度 v 之運動的質量
M 力學車，求：
1)系統方向之水平方向之質心速度
2)磚塊打中台車前瞬間系統鉛直方向的質心速度
3)若磚塊繫於一輕繩，打中台車後，鉛直拉繩使磚塊又離開台
車，則台車速度變如何？
解：
類題：質量為 1000 公斤之無蓬貨車於無摩擦之狀況下，沿水平
鐵道滑行，此時豪雨之雨點垂直落下，此車本身為空車，速度原
為 30 公尺／秒，在此車行一長距積存 500 公斤雨水，若後來車
底漏洞，所積之雨水逐漸漏完，最後車速為多少？ 答：20m/s
例題14：動量守恆定律的應用
一砲彈以初速 v 和仰角，自地面射出。當達到最高點時即時爆
裂成質量相等的兩塊，一片立即垂直落下，則：(1)另一片在爆裂
後的瞬時速度為何？ (2)兩片著地地點相聚？(3)兩片著地點相距
若干？ (4)第二片相對於質心的動量為何？ (5)質心座標系總動
量為何？
解：
類題：一物體做自由落體運動，經 2 秒後突爆為質量相等之兩碎
片，其中一片以 19.6 米/秒水平向右飛去，則爆炸後 2 秒，此系統
之質心速度為何？ 答：39.2 m/s

20. 6-20 牛頓運動定律(II)
類題：一質量 m 的砲彈，以初速 v 自地面斜向發射，到達最高點
瞬間的動量量值恰為發射時的 3/5，若突爆裂為質量比 3：2 的
A、B 二塊，其中 A 塊鉛直自由落下（重力加速度為 g），求：
(a)砲彈自地面發射時的仰角___ (b)B 塊落地點與發射點距離
____。 (c)B 塊落地瞬間的動量量值____。 答：(a)53°，(b)
2
6
5
v
g
，(c)
17
25
mv
1.光滑平面上，靜止A、B兩車質量各為MA與MB，有一人質量m由
A車跳至B車後，靜立於B車，隨B車前進，此時A、B兩車速率比
為何﹖
2.質量20 公斤之台車，以2 m/s之速度向右運動，一質量60 公斤之
人自車上躍起落於地面上，求下述各情況之車速，(1)人躍起後，
速度與車速相同(垂直起跳) (2)人向後躍起，相對車速為4 m/s。
3.甲、乙兩人分別作在小船的船頭與船尾，開始時，小船停在靜止
的水中。甲以水平方向的速度v0將質量mo的球擲向乙，同一時間
乙以水平方向的速度-2v0將一質量相同的球擲向甲。以知甲、乙
兩人的質量均為 m ，船的質量為M。假設水對船的阻力可以不
計，且在空中時，球速的改變可以忽略。(1)球兩球仍在空中時的
船速。(2)若乙接到甲擲來的球，但乙擲出的球並未被甲碰觸到，
直接落入甲後方的水中，球最後船的速度。
4.質量均為m的A、B兩球，A球以速率2 m/s撞擊靜止B球，撞後測
得A球與原方向左偏60°而B球向右偏30°，則撞後A、B兩物速度
大小各為何?
5.一砲彈沿水平方向向右飛行的某一瞬間，其動能為K，此時突然
爆炸成質量相等的兩塊，其中一塊以水平向左的方向飛出，其動
能為 K/2，則另一塊的動能為若干
6.兩木塊在光滑平面上做對
正碰撞。若質量 m 的木塊
以速率 v 去碰撞另一質
量 3m 的靜止木塊，如右圖所示。(1)碰撞前此兩木塊的質心速度
量值為何？(2)兩木塊碰撞後的質心速度量值為何？
7.一飛鳥於20公尺高處以20公尺/秒之速度水平飛行，被一速度為
80公尺/秒子彈向上擊中，子彈留在鳥體內。設飛鳥質量為0.75
公斤，子彈質量0.25 公斤，試求：(1)鳥中彈後的速度大小？ (2)
中彈後經幾秒落地？ (3)鳥中彈處與著地點間之水平距離（令g
＝10公尺/秒2
）？
課後 練習題
m 3m
v

21. 6-21牛頓運動定律(II)
8.自水平地面作斜拋運動的物體，若在最高時的動量量值恰為拋出
時的3/5，此時突然分裂為質量2：1的大小兩塊，其中較小一塊
以初速為0自由落下，求另一塊「大塊」落地時的動量值與「原
拋出物體」動量量值之比值為何？
9.一靜止炸彈炸成三塊，一塊質量1 kg，以12 m/s的速度向北；一塊
質量2 kg，以8 m/s的速度向東；第三塊速度為40 m/s。求第三塊
之質量及方向。
10. 如圖所示，質量M之均勻方形盒靜
置於光滑的水平面上，自其頂部的
中央A點，以長度5.0cm之細繩懸吊
一質量
3
M
m = 的質點，開始時該質
點靜止且繩與鉛直線夾角β為37o
，
A點的x坐標O取為原點。設重力加速度為10 2
s/m ，
3
sin37
5
o
= 。對靜立地面的觀察者而言， 下列敍述何者正
確？ (A)整個系統的動量守恆 (B)整個系統的質心位置固定
(C)整個系統質心的x坐標固定在 cm75.0− (D) m質點擺到最
低點時，m質點的速度為 s/cm9.3 (E) m質點擺到右邊最高點
時，M方形盒向左移 cm5.1 。 [95.指定科考]
11. 一個質點自水平地面朝右上方斜向拋射，在最高點時，突然爆
裂為質量相等的甲、乙、丙三質點，如圖7所示。爆裂之後乙自
靜止作自由落體運動，丙循原路徑回落到原拋射點。若忽略空
氣阻力，則爆裂瞬間甲與丙速率的比值約為何？(A) 1/2 (B)
1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 [99.指定科考]
練習題答案
1. ( MB + m )：MA 2.(1)2 m/s 向右 (2)5 m/s 向右 3.(1)
Mm
vm o
+2
(2)
Mmm
vm
o
oo
++ 2
2
4.1 m/s， 3 m/s 5.
9
2
K 6.(1)
1
4
v (2)
1
4
v 7.(1)25 m/s (2)4.8 秒 (3)72 公尺 8.
15
145
9.
0.5kg；西偏南 37°
10.CE 11.E
β
m
M
x
O
A

22. 6-22 牛頓運動定律(II)
科學家之間的矛盾大對決-動能與動量之爭
動量和動能都是度量物體運動的物理量，也都涉及物體的質量（m）和速度
（v）。在 17～18 世紀，科學界對於力的概念還不能完全確定，為了定量研
究運動，科學家們試圖尋找一個普遍的物理量來作為運動的量度，於是引起
了物理學史上著名的笛卡兒學派和萊布尼茨學派關於“運動的量度”的爭論-
動能與動量誰是誰非的爭論，長達半個多世紀，如同光是波動說與粒子說之
爭，多位著名的數學家、物理學家、哲學家都參加了這場爭辯。
圖 6-8 左：笛卡兒 右：萊布尼茨
動量派：笛卡兒提出「宇宙中運動的總量是守恆的，應該把物體的質量和
速度的乘積作為“力”或“運動量”的度量，即用（mv）來量度。」
牛頓接受了笛卡兒的主張，1687 年，牛頓在他的《自然哲學的數學原理》
中明確提出了動量的定義，並且通過他所總結的運動定律，提出在物體的
相互作用中，動量這個物理量反映著物體運動變化的客觀效果。
動能派：德國物理學家萊布尼茨提出「力必須由它所產生的效果來衡量，
而不能用“物體”（質量）與速度的乘積來衡量」。他建議用 mv2
而不是
mv 來量度物體「運動的力」。
經過了大約一百三十年後-19 世紀中葉，物質運動的量度問題終於明確-兩
者都對。因為，人類開始瞭解並區別「力」與「能量」的差異。
From 國科會高瞻計畫自然科學教育平台
http://highscope.ch.ntu.edu.tw/wordpress/?p=19072

23. 6-23牛頓運動定律(II)
6.4角動量
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 理解角動量是向量-包涵方向與量值
2. 理解計算角動量時候，需要指定參考點
3. 計算質點的角動量需要使用向量外積
4. 使用右手定則找到角動量的方向
❑角動量 Angular Momentum
1.定義：質量為 m 的質點以 v 的速度對一參考座標之原點 O 運動
時候，若質點對 O 點之位置向量 r，則質點對 O 點的角動量為
L
◼ 公式： L r mv= 
◼ 量值： sinL r m v =  
◼ 單位：公斤‧公尺 2
∕秒（kg‧m2
∕s）
◼ 方向：右手定則(right-hand rule)決定
2.角動量與力矩的關係：
0
lim
t
L
t

 →

=

又稱為 轉動的「牛頓第二定律」
角動量在轉動力學中的角色等同動量在移動力學中所扮演的角
色
說明：剛體所受到的力矩等於其角動量隨時間的變化率。
考慮一繞固定軸轉動的剛體
距離轉軸為 r 處的一質量為 m 的質點，受到一力量 Ft 的作
用
Ft
mr
轉軸
圖 6-9 角動量示意圖
ˆˆ ˆ
x y z
x y z
i j k
L r mv m r r r
v v v
=  = 

24. 6-24 牛頓運動定律(II)
❑力矩 Torque-複習
1.一個力作用於物體上，使物體繞某一定軸產生轉動的物理量。
◼ 原為靜止的物體將開始 轉動
◼ 原來在轉動的物體，轉速將產生 改變
2.力矩的公式： r F =  ，力矩的量值： sinr F = 
單位：N-m
❑轉動慣量(moment of inertia)-補充資料
1.物理意義：在轉動力學中的角色等同質量在移動力學中所扮演
的角色，在工程上，稱為慣性矩。
2.定義：質點繞一軸線轉動時，其「慣性」不但與質量有關，且
與質量距軸線之距離有關。
◼ 單一質點的轉動慣量→質點的質量為 m ，距離轉軸 r
2
I m r= 
◼ 剛體的質量如呈連續的分布，與轉軸的距離為 r1、r2、
r3 …..則轉動慣量必須以積分計算。
2 2
= ( )i i
i
I m r r dm=   積分式，補充用
3. 性質
◼ 相同質量的剛體其轉動慣量隨剛體中分佈位置的不同而有差
異。
◼ 轉動慣量越大的剛體，角速度越不容易產生變化。
◼ 相同剛體的轉動慣量隨 轉動軸位置 不同而改變。
3.角動量的另一個形式： L I = 
說明：以剛體為例
圖 6-10 力矩示意

25. 6-25牛頓運動定律(II)
例題15：角動量-基礎題
一錐擺，擺錐質量為 m，擺線長 L，擺線與鉛直線夾角為，懸點
為 A，圓心為 O，如圖，則：以 O 點為原點，求擺錐的角動量？
以 A 點為原點，求擺錐的角動量？
答： (1) mLsin sin tangL   (2) mL sin tangL  
類題：一質點質量為 1(kg)，對固定 O 做半徑為 50(cm)的等速率
圓周運動。若質點的角速度為 6(rad/s)，試求質點對 O 點的角動
量之值。【附中】 答：1.5 ㎏m2
/s
類題：兩小球質量分別為 m1 及 m2，由一長度 L 之細桿（質量不
計）相連，並以通過質量中心，且垂直於細桿的軸，作等角速度
 的轉動，m1 之角動量的量值為？。答： 22
1
1 2
( )
m L
m
m m

+
例題16：角動量-基礎題
如圖，光滑桌面中心穿有一孔，用繩繫物體 A(質量 m)，通過此
孔繞中心做等速圓周運動，半徑 r，繩的另一端需吊物 B 之質量
M 維持平衡。求(1)m 的速率？ (2)m 對 O 點的角動量？
答：1.√
𝑀𝑔𝑅
𝑚
2.√𝑀𝑚𝑔𝑅3
範例 演練
㎎
O
A

T
V
A
O
r
B

26. 6-26 牛頓運動定律(II)
❑角動量守恆定律-補充資料
1.定義：若剛體所受的合力矩為零，則其角動量守恆
說明：
2.應用：
◼ 行星繞太陽作橢圓形軌道運行➔角動量守恆。
行星受到太陽的吸引力為連線上的力量，此力的力臂為零，
產生的力矩亦為 零
◼ 花式溜冰選手，結尾時讓身體快速轉動為角動量守恆的應
用。
手腳伸展時轉動慣量較大，身體轉的慢，當手腳靠攏時，轉
動慣量變小，身體轉速變大。
◼直升機升空後，在機尾設計一副旋轉尾翼，以平衡主螺旋槳轉
動時所產生的機身轉動。
因機身受到的外力矩為零。當主螺旋槳要加速轉動時，為維持
角動量守恆，則機身將會產生反方向轉動，造成機身不穩。
例題17：角動量守恆定律-基礎題
某人做溜冰旋轉動作，若兩手伸出時其轉動慣量為 12 (kg-m2
)，
其轉速為 2(rad/s)，當手縮回時其轉動慣量變為 6 (kg-m2
) 則此時
某人的轉速變為
解：
答：4 rad/s
類題：某人兩臂平伸，立於 f = 2 s−1
之轉臺上旋轉，此時系統轉
動慣量為 8 kg·m2
，若將手臂收回轉動慣量變成 2 kg · m2
，求此
時轉臺的角速度多大？
範例 演練
圖 6-12
圖 6-11
圖 6-13

27. 6-27牛頓運動定律(II)
類題：A 和 B 兩飛輪裝在軸上，以離合器 C，把它們接連或分
開。A 的轉動慣量是 8kg-m2
。離合器鬆開時，A 被轉動到角速度
為 600r.p.m，B 最初是靜止的，把離合器接上後，B 加速，而 A
減速，直到二者之角速度相同，末角速度為 400r.p.m，求 B 之轉
動慣量?答：4 kg-m2
例題18：角動量守恆定律
如圖，光滑桌面中心穿有一孔，用繩繫 5(kg)的物體 A，通過此孔
繞中心做等速圓周運動，半徑 2 (m)，，速率 10(m/s)。
(1)繩的另一端需吊物 B 之質量應為若干才能維持平衡？
(2)桌下繩的一端改用手握住緩慢向下拉 1(m)後，其轉動之角速
度為何？
(3)承上，拉力作功為何？
答： (1) 25 kg (2) 20rad/s (3) 750J
類題：4 kg 的小物塊繫於繩的一端，繩子通過水平無摩擦面上的
一個洞，物塊原以 4 m/s 之切線速率，在距洞 0.5m 的圓周上旋
轉。自下方繩子緩緩拉下，使物塊所循圓周之半徑減小。繩之斷
裂強度為 600N。繩子斷的時候，圓的半徑是多大？ 答：0.299
1. 質量為 2 kg 的質點以 25 m/s 之速度，拋射仰角 53 度斜向
拋出，求當達最大高度時，該質點對拋出原點之角動量為何?
課後 練習題
A
O
r
B
※：屬角動量守恆的題型

28. 6-28 牛頓運動定律(II)
( g=10 m/s2
)
2. 三質點質量各為 2 公斤，各位於一正三角形(邊長 2 公尺)的
三個頂點，如三角形繞垂直其平面且 (1)通過其重心的軸轉動
(2)通過其中一個頂點的軸轉動，則其轉動慣量的值各為何？
3. 一薄圓環繞其環心並垂直環面之軸轉動，若其角動量 L 與時
間 t 之關係為：L= 2t3
-2t2
+5t+7(M.K.S 制)，
求：(1) t =2 秒時圓環所受之力矩。(2)自 t =1
秒至 3 秒間作用於圓環之平均力矩。
4. 質量同為 m 的兩球，以長度為 r 的輕桿連接，
並使之繞通過系統質心的軸轉動，如圖所示，
則該系統相對於 O 點的角動量量值為何？
5. 一長度為 d，質量可以略掉的細桿，其中心點 O 固定，兩端
各置有質量為 m 及 2m 的質點；細桿與鉛垂方向的夾角為 θ
（如圖所示）。設重力加速度為 g，則重力對 O 點所產生的力
矩之量值為何？
6. 在光滑水平面上，細繩的一端繫住一小質點，另一端施水平
拉力，使質點在平面上作速率 v 的等速率圓周運動，不考慮
繩重，今增加繩的拉力，使質點的半徑改變，而其週期減為
原來的一半，則該質點的速率改變為何值?
7. 一行星質量 m 繞太陽作橢圓軌道運動，在近日點與太陽距離
r 且對太陽的角動量值為 L，若在遠日點與太陽相距 2r ，則
此時對太陽角動量值為何?
8. 一質量為 m 的物體置於光滑的桌面上
（如圖），以跨過桌中央的小洞的線與一
質量為 M 的重物相連結。今 m 在桌面
上作等速率圓周運動，其半徑為 R，欲
使 M 靜止不動，則 m 之速率需為若干？
練習題答案
1. 600 kg-m2
/s 2.(1)8 kg-m2
(2)16 kg-m2
3.(1)21 N-m (2)23
N-m 4.
2
4
mr2
 5 .
2
sinmgd
8.
m
MgR
※
※
※