中華民國高中物理教材 108課綱

1. 阿 Samn 的物理課本 http://mysecretpark.blogspot.com/
2 磁場 Magnetic field
電流的磁效應
Magnetic fields Due to currents
相關版權說明：
◼ 內頁部分圖片來自各版本教科書
或網路，版權仍屬原創者所有
◼ 首頁Ｑ版頭像為畢業生繪製．
◼ 講義內容採用創用授權，不得商
業化(印給學生工本費除外)
本章的目的
在介紹過靜電及電流之後，本章要介紹電與磁之間的關係-現在
我們已經知道移動中的電荷(電流)在其周圍會產生磁場。因此，
早期的磁性材料，比方說磁帶，就是利用電流的磁效應來紀錄
資料。然而，隨科學進展也發現帶電粒子在磁場中在某些條件
下將會受磁力作用。
可是卻是許多同學覺得困難的地方，原因就在於公式很多並且
代數也很多，更需要有很強的數學背景，所以在這一章不僅要
認真聽講，更要自行整理公式，消化成為自己的東西才行。

2. 2-2 磁場 Magnetic field
REVIEW AND SUMMARY

3. 2-3
2.1 電流與磁場
2.1 電流與磁場
❑電流 Electric current
1.電流是電荷在電場或（半）導體內的平均定向移動。
2.成因：
◼金屬導體迴路之兩端分別與電源之正負極相接時，導體兩
端產生 電位差 ，內部產生 電場 且導體構成 封閉回
路 ，電場驅使導體內的自由電子往正極移動。
◼在很短時間內，自由電子會達成穩定的定向流動-從 低電
位 移向 高電位 ，簡稱電子流。
◼ 基於歷史因素，電流方向定為 正電荷載子 流動方向。
圖 2-1 電池產生電位差驅使導體中的自由電子移動而形成電流。
3.定義：單位時間內通過導體任一虛構截面的電量
𝐼 =
𝛥𝑄
𝛥𝑡
(2-1)
若在導電物質中同時有正、負離子同時移動，形成電流
𝐼 =
𝛥𝑄+ + 𝛥𝑄−
𝛥𝑡
(2-2)
◼ SI 單位：安培,A
1 安培電流代表 1 秒鐘通過 1 庫侖的電量
1 毫安培 mA＝10-3
A；1 微安培 μA＝10-6
A
◼ 電流方向：正電荷在電路中的流動方向
微觀
+ -
電池
𝑰
𝑰
𝑰
-
E
-
-
𝐸
ሬറ
低電位
高電位
外加電場使導體內部的自由電
子加速，讓電子往電場反方向
移動。
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1.理解電流是載流粒子(自由電
子、正負離子)受到外加電場
驅動而產生的流動現象。
圖 2-2 鋅銅電池電解槽內的電荷流
動由正、負離子共同形成。

4. 2-4 磁場 Magnetic field
2.2 電流的磁效應
❑磁極 Magnetic poles 與磁場 Magnetic Field
1. 磁極 Magnetic poles：磁鐵之磁性最強處
◼ N 極(指北極)：指向北方的磁極
◼ S 極(指南極)：指向南方的磁極
◼ 同性極 相斥 ，而異性極 相吸 。
圖 2-3 (1)長條磁鐵的磁場分布。 (2)馬蹄形磁鐵的磁場分布。From：
https://www.sciencefacts.net/
2. 磁場：磁力作用的區域，高中物理習慣以𝐵來表示
圖 2-5 (a) 兩磁棒平行放置且同極相鄰時，磁場(磁力線)分布。(b) 兩磁棒平
行放置且異極相鄰時，磁場(磁力線)分布。
◼ SI 單位：特士拉(tesla 或 T)、高斯(Gauss 或 G)
◼ 1 Tesla = 10,000 gauss
3. 常見物質的磁場量值
◼ 在地球表面的地球磁場約為 0.5 高斯(0.5×10-4
特士拉)
◼ 一般小磁鐵棒的磁場約為 100 高斯
◼ 大型的電磁鐵可達 20,000 高斯的磁場
◼ MRI(磁振造影)所用超導磁鐵，磁場強度有 0.2 T 到 7.0 T
（特斯拉）
，常見的為 1.5T 和 3.0T。
(a) (b)
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1.理解磁場是向量
，同時包含
「量
值」與「方向」
1.針對載流導線外的任一點，能
夠應用必歐沙伐定則、安培右
手定則判斷該點磁場量值及方
向。
2.理解電荷移動時候，其周遭將
有磁場產生。
3.理解載流長直導線、圓形導線、
螺線管的的磁場分佈。
地理北極
地磁北極
地理南極
地磁南極
圖 2-4 地球磁場分布會因為地球自
轉而改變。

5. 2-5
2.2 電流的磁效應
4. 磁力線(Magnetic lines of force)：描述空間中的磁場分布與強
度的虛擬曲線。
◼ 在磁鐵外部由 N 極射出，指向 S 極；磁鐵內部由 S 極射向
N 極，為一條封閉曲線-磁單極並不存在。
◼ 磁力線密度愈大，磁場愈 強 。
◼ 任兩磁力線之間不會相交。
◼ 磁力線 切線方向 就是該點的 磁場方向
5. 磁場方向的表示法（重要）
圖 2-6(a)磁場垂直穿入紙面時的示意圖 (b)磁場垂直穿出紙面時的示意圖。
❑必歐-沙伐定律 Biot-Savart law
1. 實驗定律：法國物理學者必歐(Jean-Baptiste Biot,1774 –
1862)與沙伐(Félix Savart,1791–1841)共同以實驗確立了通有
電流的長直導線周遭磁場的性質
2. 由實驗得知：一小段導線（長Δℓ）通以電流 𝑖 時，會在距
導線𝑟 的 P 點產生磁場Δ𝐵
◼ 向量式
𝛥𝐵
ሬറ =
𝜇0
4𝜋
𝑖 ⋅ 𝛥ℓ
ሬറ × 𝑟̂
𝑟2
(2-3)
◼ 純量式
𝛥𝐵 =
𝜇0
4𝜋
𝑖 ⋅ 𝑠𝑖𝑛 𝜃
𝑟2
𝛥ℓ (2-4)
(a) (b)
圖 2-7 (a) 讓-巴蒂斯特·必
歐（法語：Jean-Baptiste
Biot） (b) 菲利克斯·沙伐
（法語：Félix Savart ）共
同創建了必歐-沙伐定律。
From wiki
N
S
真空磁導率(magnetic permeability)
𝜇0 = 4𝜋 × 10−7
T ⋅ m/A
電流在其周圍所產生的磁場與 電
流的量值 、 方向 、以及 距
離 有關。
磁場方向可用 安培右手定則
來判定

6. 2-6 磁場 Magnetic field
答：BCE
❑安培定律
1.安培 (André-Marie Ampère) 在 1826 年所發現：
載流長直導線中電流為𝑖在距離導線 𝑟 處的磁場量值𝐵：
𝐵 =
𝜇0
2𝜋
𝑖
𝑟
(2-5)
◼ 磁場𝐵量值與導線的垂直距離成 反比 關係
◼ 磁場𝐵量值與電流量值成 正比 關係
◼ 磁力線成 同心圓 分布，越內側 磁力線越 密集 、
◼ 磁場方向在圓形磁力線的切線方向
2.安培右手定則
◼ 拇指指向為 電流 方向
◼ 四指彎曲方向為 磁場 方向
如圖所示，通有電流𝐼的導線，其經原點時有長度Δℓ的一小段
直導線與𝑥軸重合，請問下列有關這小段直線在圖中 A 至 F
等六個不同位置所產生的磁場量值的敘述，哪些是正確的？
此六個點均位於𝑥𝑦面上，其坐標分別為A : (5, 0)、
B : (0, 5)、C : (−5, 0)、D : (0, −5)、E : (3, 4)、
F : (6, 8) (A) A 的磁場量值大於 B 的磁場 (B) B 的磁場量
值大於 E 的磁場 (C) C 的磁場為零 (D) D 的磁場為零 (E)
E 的磁場量值為 F 的 4 倍
必歐-沙伐定律
例題
圖 2-8 安培定律示意圖。From
Opentax

7. 2-7
2.2 電流的磁效應
簡易證明：屬補充資料，需要微積分的基礎概念
Δ𝐵 =
𝜇0
4𝜋
𝑖 sin 𝜃
𝑟2
Δℓ → 𝑑𝐵 =
𝜇0
4𝜋
𝑖 ⋅ sin 𝜃
𝑅2
𝑑𝑦
式子中的Δℓ因為取無限長的導線，從−∞積到+∞，對應的𝜃
角度從−𝜋到𝜋：
𝑅 = √𝑟2 + 𝑦2 → sin 𝜃 = sin( 𝜋 − 𝜃) =
𝑅
√𝑦2 + 𝑟2
可以知道導線上半部與下半部產生的磁場完全相同
𝐵 = ∫ 𝑑𝐵 = 2 ∫
𝜇0
4𝜋
𝑖 sin 𝜃
𝑅2
𝑑𝑦
∞
0
=
𝜇0𝑖
2𝜋
∫
𝑟
(𝑦2 + 𝑟2)3/2
𝑑𝑦
∞
0
=
𝜇0
2𝜋
𝑖
𝑟
答：C
某城市的輕軌電車自上方電線引電，其引電構造側視圖，如
圖所示，電線連接直流高壓電源，在空中沿水平延伸，可視
為一載流長直導線。若電線離地面 3 m 且電流為 150 A，為
探討電線的高電流產生的磁場是否對行人有害，試計算在其
正下方 1.5 m 處所產生磁場的量值，約為該處地球磁場的幾
倍？（該處的地球磁場約0.5 × 10−4
T，磁導率約4𝜋 ×
10−7
T．m/A） (A) 40 (B) 4.0 (C) 0.4 (D) 0.04 (E)
0.004。
直導線的磁場-【109 指考】
例題
電線
圖 2-9 載流長直導線產生的磁場，
也可由必歐沙伐定律進行積分來解
釋

8. 2-8 磁場 Magnetic field
答：P：6.7×10-5
T，穿出紙面；Q：4.0×10-5
T，穿出紙面；R：
9.3×10-5
T，穿入紙面
類題：二長直導線平行排列，相距 0.20 公尺，各載電流 10
安培，方向相同，如圖所示。試求圖中 A、B、C 三點，磁場
的量值和方向。(設三點與二導線均在同一平面內)。答：A：
2.7×10-5
T，垂直穿出紙面；B：0；C：1.5×10-5
T，垂直穿入紙
面
兩根很長之導線，彼此平行，相隔 10 cm。其中一導線上有
10 安培之電流，另一導線有 20 安培之電流（如圖所示），
試求圖上 P、Q、R 三點處磁場𝐵之量值及方向。
直導線的磁場-標準題
例題
B
C
A
0.2m
0.1m 0.1m
𝐼1 = 10(A) 𝐼2 = 10(A)
0.1m
Q
R
P
5 cm
5 cm
5 cm
5 cm 𝐼1 = 10(A)
𝐼2 = 20(A)

9. 2-9
2.2 電流的磁效應
❑載流圓線圈的磁場
1. 圓線導線通以電流𝑖 時，周遭產生磁場。僅中心軸線的磁場
𝐵，能以簡單方式求得。
◼ 安培右手定則：拇指指向為 電流 方向，四指彎曲方向
為 磁場 方向。
2. 半徑為 𝑎 的圓線圈通以電流𝑖 時，則在圓線圈對稱軸上距
離線圈平面為𝑅 的 P 點，其磁場𝐵 的量值
𝐵 =
𝜇0𝑖𝑎2
2(𝑎2 + 𝑅2)3/2
(2-6)
說明：Δℓ1所產生的磁場Δ𝐵1為
𝛥𝐵1 =
𝜇0
4𝜋
𝐼𝛥ℓ
𝑟2
由於對稱的原因，𝑥𝑦平面的分量會互相抵銷，僅取它的垂直
分量
𝛥𝐵1 𝑐𝑜𝑠 𝜑 =
𝜇0
4𝜋
𝑖𝛥ℓ
𝑟2
𝑐𝑜𝑠 𝜑 , 𝑐𝑜𝑠 𝜑 =
𝑎
𝑟
取Δℓ 進行積分時會得到2𝑎
𝐵 =
𝜇0
4𝜋
𝑖(2𝜋𝑎)
𝑟2
𝑎
𝑟
=
𝜇0𝑖𝑎2
2𝑟3
=
𝜇0𝑖𝑎2
2(𝑎2 + 𝑅2)
3
2
延伸整理
在圓心處，則可寫成：𝐵 =
𝜇0𝑖
2𝑎
圓心角為 θ 之一段圓弧：𝐵 =
𝜇0𝑖
2𝑎
⋅
𝜃
2𝜋
在圓形導線
內的磁力線
在圓形導線
外的磁力線
穿出紙面
穿入紙面
圖 2-11 載流圓形線圈在圓心的垂
直線上產生磁場必然垂直圓形平面
圖 2-10 用細鐵粉顯示載流圓形導
線的磁場分佈。

10. 2-10 磁場 Magnetic field
答：𝑩/𝟖
類題：如下圖示，一半徑為𝑎之圓導線，其單位長度的電量為
𝜆，若此圓以其中心軸旋轉，頻率為𝑓，求 P 點之磁場。答：
𝜋𝜇0𝑎3𝜆𝑓
(𝑎2+𝑏2)
3
2
已知半徑𝑟的正圓形載流線圈，圓心處之磁場量值為𝐵，則在此
線圈之中垂線上，如附圖，距圓心ξ3𝑟處之 P 點磁場量值為
______B。
圓形導線的磁場-基礎題
例題

11. 2-11
2.2 電流的磁效應
答：13 N/A-m
類題：一金屬圓環，半徑為 10 cm，環上帶有 2×10−5
庫侖之電
荷，此環繞其中心軸每秒轉動 100 次， 則環中心處之磁場強度
為若干？ 答：4π ×10−9
N/A-m
❑載流螺線管內的磁場分佈 Magnetic Field of a Solenoid
1.理想螺線管，纏繞圈數𝑁匝，管長𝐿，產生的磁場𝐵
𝐵 = 𝜇0𝑛𝑖 = 𝜇0
𝑁
𝐿
𝑖 (2-7)
說明：螺線管可視為由許許多多個單一圓線圈所組成 在內
部，由於每一段導線所產生的磁場在內部的總和會是均勻且
平行管的中心軸線。
氫原子中，電子之軌道半徑為 5.3×10−11
m，電子迴轉之頻率為
6.8×1015
次/秒，則由於電子之轉動，在其軌道中心處所造成之
磁場強度為若干？
圓形導線的磁場-基礎題
例題
圖 2-12 螺線管外側的磁場極弱，
但管內磁場極為均勻。而磁場方向
可由安培右手定則決定。From
Cutnell Physics

12. 2-12 磁場 Magnetic field
答：C
1.兩平行長直導線 A、B，各負載同向電流2𝐼、3𝐼，且兩導線
相距為𝑑，則在距離 A 導線多遠處磁場強度為零？
2.一形狀如右圖所示之封閉線圈，兩半圓的半徑各為𝑎和𝑏。若
通以逆時鐘方向的電流𝑖時，則圓心處 O 點的磁場為何?
3.兩單匝圓形線圈如右圖，半徑皆為𝑎，電流皆為𝐼，且同軸並
立，電流方向相同，圓心相距亦為𝑎，求在兩圓心中點之磁
場。
4.兩長度相等之同種導線截面積比 2：1，今將之繞成管長 2：
1，管截面半徑比亦為 2：1 之螺線管，欲使兩螺線管內之磁
場量值相等，則其所需電功率之比為何?
5.一細長直導線載有電流𝑖，被彎成如圖之形狀，其中兩直線部
份互相垂直，圓弧部份半徑為𝑎，則在圓心 O 處磁場之量值
為?
設有A、B兩螺線管。A管長2公尺，半徑2公分，載電流兩安
培，單位長度中繞2000匝；B管長1公尺，半徑1公分，在電
流1安培，單位長度中繞1000匝。則A、B兩螺線館內所產生
磁場強度之比為(A)1 (B)2 (C)4 (D)8。
載流螺線管的磁場-基礎題
例題
課後 練習題
O
a
i
i
𝑎
𝑏
O

13. 2-13
2.2 電流的磁效應
大考試題觀摩
6.假設電子繞著原子核作圓周運動，如圖所示。則下列有關此
原子模型的敘述，哪一項正確？(A)圖中電子運動產生的電流
為順時針方向 (B)原子核與電子帶同性電荷，提供電子運動
所需之力 (C)圖中電子運動產生磁場的 N 極方向為射出紙
面 (D)原子核與電子之間的作用力，類似於彈簧，相距愈
遠，作用力愈強。
【97 學測】
7.附圖為一根磁棒置於𝑥軸上，它的兩個磁極分別位於𝑦軸的左
右兩邊並且和原點等距，而𝑥 − 𝑦平面則由坐標軸劃分為 I、
II、III、IV 四個區域。下列有關這磁棒所產生之磁力線分布
與方向的敘述，哪些是正確的？（應選 2 項） (A)若在 y 軸
上直立一無限大的平面鏡，則區域 I 之磁力線所成的像，與
區域 II 上的磁力線分布與方向完全相同 (B)若在 x 軸上直
立一無限大的平面鏡，則區域 II 之磁力線所成的像，與區域
III 上的磁力線分布與方向完全相同 (C)若在𝑦軸上直立一無
限大的平面鏡，則區域 IV 之磁力線所成的像，與區域 III 上
的磁力線分布與方向完全相同 (D)若在𝑥軸上直立一無限大
的平面鏡，則區域 I 之磁力線所成的像，與區域 IV 上的磁力
線分布與方向完全相同 (E)若在𝑥軸上直立一無限大的平面
鏡，則區域 I 之磁力線所成的像，與區域 III 上的磁力線分布
與方向完全相同。
【100 學測】
8.有一固定不動的磁棒及螺線管，磁棒的長軸通過垂直置放之
螺線管的圓心 P 點，當螺線管通以電流時，空間中的磁力線
分布如圖中的虛線。若在圖中 P 點右方觀察，則下列關於電
流與磁場的敘述，何者正確？(A)螺線管上電流為零 (B) P
點的磁場方向為向上 (C) P 點的磁場方向為向下 (D)螺線
管上電流方向為順時針方向 (E)螺線管上電流方向為逆時針
方向。
【102 學測】
9.在紙面上兩條垂直的載流長直導線，其電流均為𝐼，方向如
圖所示。圖中四個象限分別為 I、II、III、IV，則下列關於各
區磁場的敘述，哪一項正確？(A)除象限 I 外，其餘均無磁場
垂直穿出紙面的區域 (B)僅有象限 II 具磁場量值為零的區
域 (C)僅有象限 III、IV 具磁場量值為零的區域 (D)象限
III 的磁場方向均為垂直穿入紙面 (E)象限 IV 的磁場方向均
為垂直穿出紙面。
【105 學測】
10. 兩個通有穩定電流的圓形線圈相對而立，如圖所示。若忽
略地磁的影響，則兩載流線圈在線圈圓心連線中點處造成的
磁場方向為何？(A)向東 (B)向西 (C)向北 (D)向上 (E)
兩線圈產生的磁場方向相反。
【107 學測】

14. 2-14 磁場 Magnetic field
11. 如圖所示，一條細長的直導線與水平桌面垂直，桌面上平
放的小磁針沿桌面到導線的距離 𝑅 = 10 cm 。設導線未通
電流時，小磁針保持水平且其 N 極指向北方；而當導線上的
直流電流為𝐼時，小磁針 N 極與北方的夾角為 𝜃。當𝑅改為
20 cm 時，若欲使小磁針 N 極與北方的夾角仍為 𝜃，則導線
的電流量值必須調整成下列何者？(A) 𝐼/4 (B) 𝐼/2 (C)
𝐼 (D) 2𝐼 (E) 4𝐼。
【100 指考】
12. 一個半徑為𝑅的圓形線圈通有順時針方向的電流𝐼，其圓心
的磁場為𝐵。今在同一平面上加上一個同心的圓形線圈，若
欲使其圓心處的磁場為零，則所加上圓形線圈的條件為下列
何者？(A)半徑為2𝑅，電流為 ξ2𝐼 ，方向為順時針方向
(B)半徑為ξ2𝑅，電流為2𝐼，方向為順時針方向 (C)半徑為
2𝑅，電流為 2I，方向為順時針方向 (D)半徑為2𝑅，電流為
2𝐼，方向為逆時針方向 (E)半徑為 ξ2𝑅 ，電流為2𝐼，方
向為逆時針方向。
【102 指考】
13. 美國早期使用愛迪生創設的直流供電系統，電壓為 110
V。已知此系統之傳輸電纜線的電流為 100 A，供電區域的地
球磁場量值為5.0 × 10−5
T，而真空磁導率 𝜇0 = 4𝜋 × 0−7
T．m/A。試問距此供電系統中一段長直的電纜線多少垂直距
離處，其電流所產生的磁場與地球磁場的量值相等？(A) 50
m (B) 35 m (C) 10 m (D) 2.5 m (E) 0.40 m。
【106 指
考】
14. 如圖所示，在𝑦𝑧平面的環形金屬線圈以坐標系原點 O 為
中心，𝑥𝑦平面為水平面，地球磁場指向 +𝑦方向。位於原點
O 處的小磁針，可繞𝑧軸在𝑥𝑦平面自由轉動，當環形線圈中
的電流為 2.0 A 時，磁針與 +𝑥軸的夾角為 37 度。若要使磁
針與+𝑥 軸的夾角變為 45 度，則環形線圈中的電流應調整為
多少 A？ (A) 1.0 (B) 1.5 (C) 2.0 (D) 2.7 (E) 3.5。
【108
指考】
練習題答案
1.
𝟐𝒅
𝟓
2.
𝜇0𝑖(𝑎+𝑏)
4𝑎𝑏
3.
8𝜇0𝐼
ξ125𝑎
，向左 4. 8：1 5.
𝜇0𝑖
8𝑎
6.C 7.B
8.D 9.D 10.A 11.D 12.D 13.E 14.B

15. 2-15
2.3 載流導線在磁場中的受力
2.3載流導線在磁場中的受力
❑載流導線在磁場中的受力 Magnetic Force on Current-Carrying
Wire
1.1825 年，安培發表的論文中記載：由於電流的磁效應使載流
導線周圍產生磁場，此磁場與外加磁場產生磁力的交互作用
說明：長度𝐿導線，若帶有電流𝑖在磁場𝐵中，而電流與磁場
方向相互垂直，則導線受力𝐹量值
𝐹 = 𝑖𝐿𝐵 (2-8)
圖 2-13 當電流方向改變時候，導線受力方向也不同
2.向量的記法(外積)
𝐹
റ = 𝑖𝐿
ሬറ × 𝐵
ሬറ (2-9)
圖 2-14 載流長直導線在磁場中的磁力𝐹
റ是磁場𝐵
ሬറ、電流流向𝐿
ሬറ的外積
3.均勻磁場中任意形狀載流導線的受力，相當於其兩端點連線
之載流線段所受之力。
說明：將導線 AA’，分割成數個相等的Δ𝐿
每一小段的磁力
𝛥𝐹
റ𝑖 = 𝐼𝛥𝐿
ሬറ𝑖 × 𝐵
ሬറ
𝐹
റ = 𝛴𝛥𝐹
റ = 𝐼𝛥𝐿
ሬറ1 × 𝐵
ሬറ + ⋯ + 𝐼𝛥𝐿
ሬറ𝑛 × 𝐵
ሬറ
得
𝐹
റ = 𝛴𝛥𝐹
റ = 𝐼(𝛥𝐿
ሬറ1 + ⋯ + 𝛥𝐿
ሬറ𝑛) × 𝐵
ሬറ
𝐹
റ = 𝛴𝛥𝐹
റ = 𝐼𝐴𝐴′
ሬሬሬሬሬሬറ × 𝐵
ሬറ
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1.在已知導線內電流、外加磁場
的方向時候，能應用右手定則
找出導線所受磁力的方向。
2.在載流導線放在外部磁場時，
能夠藉由導線長度及外部磁場
的向量外積，計算出載流導線
受力量值。
A’
A
𝐵
ሬറ
𝐼
Δ𝐿𝑖
𝐼
𝐼
𝜃
手掌攤平
四指方向代表磁場方向
拇指方向代表電流流向
掌心朝向代
表導線受力
方向
𝐿
ሬറ
𝐵
ሬറ
𝐹
റ𝐵

16. 2-16 磁場 Magnetic field
類題：重量為 0.25 公斤重/公尺之導線東西向置於有效強度
2.0N/A-m，向北之磁場中，則其電流量值及方向為何方可使導
線"失重"？ (A) 0.2 A 向西 (B) 0.5 A 向東 (C) l.0 A 向西
(D)l.25 A 向東 (E)2.25 A 向西。 答：D
類題 2：一導線長 0.020 m，質量 0.0060 kg，通以 100 A 的電
流，若置放於與導線垂直的均勻磁場中，磁場 B＝0.30 T，則
導線所受磁力及加速度為何？答：0.6N，100 m/s2
質量𝑚 (kg) 之金屬線橫跨於水平面上之兩線相距𝑑 公尺，若
強度為𝐵 特士拉之磁場垂直向上，依如圖方向流入𝑖 安培之電
流，則不計摩擦力時，由靜止起第𝑡 秒的速度為若干 m/s？
(A)𝑖𝐵𝑑𝑡2
/𝑚向左 (B)𝑖𝑑𝐵𝑡/𝑚向右 (C)𝑖𝑑𝑡/𝑚𝐵 向左 (D)𝑖𝑑𝑡/
𝑚𝐵 向右。
帶電滑動軌道的處理
例題
𝐵
𝑖

17. 2-17
2.3 載流導線在磁場中的受力
答：ξ3𝐼𝑅𝐵
類題：.導線 ACDE 置於垂直紙面的均勻磁場𝐵 中，導線上通
有電流𝑖，AC、DE 為直導線， CD 為 1/4 圓弧，AC＝DE＝𝑟，
圓弧半徑亦為𝑟，如圖所示，則導線 ACDE 所受之磁力量值為?
答： ξ10𝑖𝑟𝐵
如圖所示，一段導線載有𝐼 之電流，所受磁力為多少？(半徑為
𝑅)
任意形狀導線在均勻磁場中受力
例題
120度
𝑟
𝑟
A C
D E
𝑖

18. 2-18 磁場 Magnetic field
❑兩載流平行長直導線受力 Magnetic Force Between Wires
1.1825 年安培研究發現兩導線之間的力量與下列相關：
𝐹
𝐿
=
𝜇0
2𝜋
⋅
𝑖1𝑖2
𝑟
(2-10)
說明：
假設兩導線的電流為同方向，分別為𝑖1、𝑖2，導線相距為𝑑，
導線長為𝐿，
導線 1 在導線 2 的位置產生了磁場量值
𝐵1 =
𝜇0
2𝜋
𝑖1
𝑑
該磁場𝐵1對導線 2 的作用力
𝐹 = 𝑖2𝐿𝐵1 = 𝑖2𝐿 (
𝜇0𝑖1
2𝜋𝑑
) =
𝜇0
2𝜋
𝑖1𝑖2
𝑑
𝐿
導線 2 受到單位長度的磁力(指向導線 1)
𝐹
𝐿
=
𝜇0
2𝜋
𝑖1𝑖2
𝑑
導線 2 在導線 1 的位置產生了磁場量值
𝐵2 =
𝜇0
2𝜋
𝑖2
𝑑
該磁場𝐵2對導線 1 的作用力
𝐹 = 𝑖1𝐿𝐵2 = 𝑖1𝐿 (
𝜇0𝑖2
2𝜋𝑑
) =
𝜇0
2𝜋
𝑖1𝑖2
𝑑
𝐿
導線 1 受到單位長度的磁力(指向導線 2)
𝐹
𝐿
=
𝜇0
2𝜋
𝑖1𝑖2
𝑑
結論：兩導線之間所帶的電流方向相同，則其間的作用力為
吸引力 。
推論：兩導線之間所帶的電流方向相反，則其間的作用力為
排斥力
2.應用：電磁彈射軌道、電磁砲
補充說明：
前面介紹過電流的單位為安
培，卻沒有真正定義安培，
在這裡可以用上面的公式來
定義：兩載有相同電流的平
行長直導線，在真空中相距
1 公尺，而導線上每公尺所
受的作用力為 2×10-7
牛頓，
則導線上的電流稱為 1 安
培。
圖 2-15 兩載流平行長直導線的受
力圖，同向電流為吸引力，異向電
流為排斥立。From Yaclass。

19. 2-19
2.3 載流導線在磁場中的受力
類題：右圖表示一載流 𝑖1 的長直導線與一載流 𝑖2 之長方形線
圈的長邊平行，則長直導線施以線圈之淨磁力(合力)量值為何？
答：
𝜇0
2𝜋
𝑖1𝑖2𝐿𝑏
𝑎(𝑎+𝑏)
1.一長為ℓ，質量為𝑚之均勻導線懸掛於一均勻磁場𝐵(由紙前向
紙後)內。設每條彈簧可耐住最大力量為𝑇，則通過導線的電
流量值應為多少?方向為何?才恰可使彈簧失效?
2.a、b、c 三平行導線，載有相同方向、相同量值之電流，相
距 d 成一字排列如上方右圖所示，則 (A) b 導線所受磁力方
向為向上 (B) a 導線所處磁場之磁場強度為
3𝜇0𝐼
4𝜋𝑑
(C)c 導線單
位長度所受磁力為
𝜇0𝐼2
4𝜋𝑑
(D)a、c 兩導線間之磁力為斥力
(E)a、b 兩導線間之磁力為斥力。
兩平行直導線，各載有 10 安培的電流，二電流方向相反。若
兩導線間單位長度有 1.0×10-4
牛頓的排斥力
，
則兩者間的距離
應為何？
載流平行導線的磁力-基礎題
例題
課後 練習題
𝑖2
𝑖1
a b
𝐿
𝐵
ሬറ
𝐼
𝑑
𝑑
A
C
B

20. 2-20 磁場 Magnetic field
3.垂直紙面之四平行長直導線，分別穿過紙面上邊長為𝑎的正
方形四頂點 A、B、C 及 D(如右圖)。導
線上各通以電流𝑖。A、B 及 C 導線之電
流方向穿入紙內，D 導線之電流方向穿出
紙外。求： (1)中心軸線上一點 P 其磁
場之量值及方向。 (2)在 D 導線上單位
長度所受磁力之量值及方向
4.如右上圖，邊長為 0.50 m 之正立方體， 置於量值為 0.80
T、方向向右的均勻磁場中。立方
體表面繞有曲折之導線 abcde，若
導線上電流為 0.30 A，則(1)𝑎𝑏
̅̅̅ (2)
𝑏𝑐
̅̅̅ (3) 𝑐𝑑
̅̅̅導線所受的磁力為何?
5.有一導線彎成如圖所示，將其置於
垂直射出紙面的磁場𝐵中，若導線中之電流為𝑖，則此導線所
受的磁力為何?
6.如圖所示，兩根光滑金屬的軌道置於同一水平面上，相互距
離 = 0.1 米，質量為 3 克的均勻金屬棒置於軌道上，均強
磁場方向垂直於軌道平面向上，磁場強度大小 B = 0.1 N /
A．m，軌道平面距地面高 h = 0.8 米，當電鍵開關 K 接通
後，金屬棒被水平拋出，落地點距拋出點的水平距離 s = 2
米。
（g = 10 m / s2
）試求接通 K 期間，金屬棒上通過的電量
為若干？
大考試題觀摩
7.附圖中甲、乙、丙為量值相同且位置固定的三個同軸圓線
圈，三圈面相互平行且與連接三圓心的軸線垂直。當三線圈
通有同方向、量值均為𝐼的穩定電流時，若僅考慮電流 I 所產
生的磁場，下列有關此三線圈所受磁力方向的敘述，何者正
確？ (A)甲線圈受到乙線圈的吸引力，丙線圈則受到乙線圈
的排斥力 (B)甲線圈受到乙線圈的排斥力，丙線圈則受到乙
線圈的吸引力 (C)甲、丙兩線圈均受到乙線圈的排斥力
(D)甲、丙兩線圈均受到乙線圈的吸引力 (E)三線圈間無磁
力相互作用。
【101 學測】
8.一攜帶電流的長直導線，與紙面垂直（O 為導線與紙面的交
點）
；電流由下往上，穿出紙面。紙面上有一封閉線圈
abcda，其 bc 與 ad 邊是以 O 為圓心的同心圓弧，ab 及 cd 邊
的延長線交於 O 點。封閉線圈攜有順時針方向的電流，如圖
所示。若不考慮重力作用，則下列敘述何者正確？
(A)線圈將受到直導線的排斥，遠離 O 點而移動 (B)線圈將

21. 2-21
2.3 載流導線在磁場中的受力
受到直導線的吸引，趨向 O 點而移動 (C)線圈將以直導線
為軸，在紙面上依逆時針方向轉動 (D)直導線對 ab 邊的施
力方向為穿出紙面，垂直向上 (E)直導線對 bc 邊的施力方
向為穿入紙面，垂直向下。
【聯考】
9.如圖所示，有四條垂直紙面且互相平行的長直導線，它們與
紙面的交點分別為 P、Q、N 及 S，緊鄰兩條導線的間距為
2𝑎，圖中正方形中心 O 點為參考坐標 的原點，都在紙面
上，M 為 PS 連線的中點。已知四條長直導線上的電流量值
都為𝐼，電流的方向也都是射出紙面，則下列敘述哪些正確？
(A) O 點的磁場等於零 (B) M 點的磁場指向+𝑥方向
(C) M 點的磁場的量值等於
5
4
(
𝜇0𝐼
2𝜋𝑎
) (D)與紙面交點為 S 的導
線所受到磁作用力的方向為由 O 指向 S (E)在紙面上距離 O
點為𝑟(𝑟 ≫ 𝑎)的任一點，其磁場的量值約為
2𝜇0𝐼
𝜋𝑟
。
【98 指考】
10. 兩根位置固定的絕緣長直導線互相垂直，導線甲在上，導
線乙在下，兩者緊臨但並不接觸且均與水平面（即紙面）平
行，相對位置如圖所示。若兩根導線都帶有相同的電流 I，
方向如箭頭所示，則下列關於導線乙所受電磁力的敘述，何
者正確？(A)受一向上之淨力 (B)受一向下之淨力 (C)受一
逆時針方向之力矩 (D)受一順時針方向之力矩 (E)所受之
淨力及力矩皆為零。
【105 指考】
11. 為驗證通有電流𝐼的長直導線在磁場中受到磁力，將一條
平行於𝑥軸的導線通以沿+𝑥軸方向的電流，如圖所示，其中
𝑥、𝑦軸在紙面上。若一均勻磁場對導線的作用力可使導線懸
浮空中，即磁力指向+𝑧軸方向（垂直穿出紙面）
，則此均勻
磁場的方向為何？(A)+𝑦軸方向 (B)−𝑦軸方向 (C)+𝑧軸方
向 (D)−𝑧軸方向 (E)−𝑥軸方向。
【106 指考】
練習題答案
1.
2𝑇−𝑚𝑔
ℓ𝐵
→ 2. B 3. (1)
ξ2𝜇0𝑖
𝑎𝜋
，// 𝐶𝐷
→
(2)
3ξ2𝜇0𝑖2
4𝜋𝑎
，// 𝐵𝐷
→
4.
(1)0.12 N// 𝑎𝑑
→
(2)0.12 N// 𝑐𝑑
→
(3)0.12 N// 𝑑𝑎
→
5.2𝑖𝐵(𝑙 +
𝑅)↓ 6. 1.5 C 7. D 8. D 9. AE 10. C 11. A

22. 2-22 磁場 Magnetic field
❑導線在磁場中受力所產生的力矩(應用 1)
1.電動機，將電能轉換成力學能的裝置。
2.構造
◼ 磁場鐵：產生磁場的裝置，可用永久磁鐵，亦可用電磁
鐵。
◼ 電樞：可轉動的線圈，係繞在圓柱形鐵心上。
◼ 整流子：使線圈轉動半周後電流方向自動反轉的裝置，為
二半圓形金屬，當線圈轉動時，兩環隨之轉動，經由電刷
交替與電源的正、負極連接。
3.將一個矩形的線圈放置於固定磁場𝐵中，線圈面積為𝐴
◼力矩向量式
𝜏
റ = 𝑖 ⋅ 𝐴
റ × 𝐵
ሬറ (2-11)
◼力矩量值
𝜏 = 𝑖𝐵𝐴 sin 𝜃 (2-12)
◼線圈共繞𝑁匝
𝜏 = 𝑖𝑁𝐵𝐴 sin 𝜃 (2-13)
簡易證明：
單匝矩形線圈的 AB、CD 的長度為𝑏，兩線段在磁場中的受
力
𝐹 = 𝑖𝐵𝑏
兩個力方向相反，對 O 點會產生順時針的力矩，使線圈開始
旋轉。
當線圈法向量𝐴
റ與磁場𝐵
ሬറ之間角度為𝜃，則力矩的量值皆為
𝜏 =
𝑎
2
𝐹 𝑠𝑖𝑛 𝜃
總和的力矩為
𝜏 = 2𝐹
𝑎
2
𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 𝑖𝐵𝑎𝑏 𝑠𝑖𝑛 𝜃
矩形線圈的面積𝐴 = 𝑎𝑏，上式可以改寫成
𝜏 = 𝑖𝐵𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝜃
共繞𝑁匝
𝜏 = 𝑖𝑁𝐵𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝜃
補充：此結果能可以擴展到其他非規則性線圈。
說明：一任意形狀的線圈，可視為許多細小的長方形構成，電
流𝑖 可看成為許多細小長方形的導線圈組成，每相鄰兩小圈的
共同邊內的電流，方向相反，效應互相抵消，故所有的小線圈
的總效應和原來的線圈相等。
𝑎
2
𝑎
2
sin𝜃
𝐹
𝐹
場磁鐵
電樞
整流子
電刷
圖 2-16 電動機的結構圖。From
wiki

23. 2-23
2.3 載流導線在磁場中的受力
❑導線在磁場中受力所產生的力矩(應用 2
1.電流計，又稱安培計，量得電路中電流的儀器
說明：當電流流入匝數甚多之長方形線圈時，線圈即繞一固定
軸轉動。鐵心和外部永久磁鐵之空隙間有一輻射形磁場，在此
種磁場中，各點之強度幾為均勻不變。
答：2.510-3
(m-N)
通有 0.5 A 電流的長方形線圈在 0.25 T 的均均磁場（方向向 +
x）內，可繞 y 軸自由旋轉，圖示之瞬間其力矩為何？答：5.4
 10− 3
N．m
一長度為 0.1 m、寬度為 0.05 m 之矩形線圈，緊密纏繞 20 匝，
置於 0.5 T 的均勻磁場中，圈面與磁場方向夾角為 60?。當線
圈通以電流 0.1 A 時，此線圈瞬間所受力矩量值為何？
載流線圈在磁場中所受的力矩
例題
圖 2-17 電流計的外觀。
場磁鐵
線圈
游絲彈簧

24. 2-24 磁場 Magnetic field
1.有一正三角形線圈 ABC，內有電流𝑖，依照反時針方向流
通。若有一均勻磁場沿 BC 方向作用，如下圖所示，則線圈
ABC 必：(A)以中線 AM 為軸轉動，B 向紙前，C 向紙後
(B)以 BC 為軸轉動，A 向紙前 (C)以重心 G 為重心，依照
反時針方向轉動 (D)沿磁場方向平行移動
2.一長方形線圈長 15cm，寬 10cm，導線上的電流為 1 安培，
置於一強度為 0.5 特士拉的均勻磁場中，若圈面平行磁場，
則所受之磁力矩大小為多少？ (A)0 (B)2.5×10-3
N－m
(C)5×10-3
N－m (D)7.5×10-3
N－m。
3.有一均勻磁場𝐵水平向左，將一半徑為𝑅的圓形封閉迴路置於
其中，迴路面與磁場平行，如圖所示，並通過以順時針方向
的電流，則： (A)迴路所受之磁力量值為2𝐼𝑅𝐵 (B)以直徑
MN 為軸，迴路所受之磁力矩量值為𝜋𝑅2
𝐼𝐵 (C)若磁場變成
垂直紙面向內，但電流方向維持不變，則迴路上的張力量值
變為𝐼𝑅𝐵 (D)承(C)，以直徑 MN 為軸，迴路所受之磁力矩
量值為𝜋𝑅2
𝐼𝐵 (E)承(C)，磁力對迴路中電子恆不作功。
4.如圖所示，一長度為 0.25m、寬度為 0.20m 之矩形線圈，緊
密纏繞 100 匝，置於 0.5T、方向向右的均勻磁場中，圖面與
磁場方向夾角為 60o
。當線圈通以電流 0.4A 時，此線圈瞬間
所受力矩量值為何?
5.由二直線段和半徑𝑎、𝑏的二同心半圓構成的導線，載電流
𝑖，(1)由半圓 AED 部分導線在圓心 O 點產生的磁場為? (2)
外加一垂直紙面向內的磁場𝐵，則導線 AB 所受磁力的量值
為? (3)導線 BFC 所受磁力的量值為? (4)整個導線 ABFCDEA
所受磁力的量值為? (5)若外加磁場𝐵為平行紙面向上，則整
個導線所受力矩的量值為?
6.一長方形線圈長 15 公分，寬 10 公分，置於一強度為 0.5 特
士拉的均勻磁場中。如線圈的平面與磁場方向(1)垂直平行，
(2)平行時，則線圈所受的轉矩之量值各為若干?假設線圈的
電流為 10 安培。
7.如圖表示質量𝑚=0.25 kg、半徑𝑅、長ℓ = 0.10 m 之木製圓
柱上，沿其縱向繞有𝑁 = 10圈之導線迴路，且迴路面包含其
軸，若將圓柱置於斜角𝜃之斜面上，且使迴路面與斜面平
行，則當空間中有一鉛直向上 0.5 tesla 之磁場時，流經迴路
之電流最小需為 安培，才可防上圓柱由斜面上滾下？
（線圈之質量忽略不計） 答：0.25 A
課後 練習題

25. 2-25
2.3 載流導線在磁場中的受力
大考試題觀摩
8. 兩根位置固定的絕緣長直導線互相垂直，導線甲在上，導
線乙在下，兩者緊臨但並不接觸且均與水平面（即紙面）
平行，相對位置如圖所示。若兩根導線都帶有相同的電流
I，方向如箭頭所示，則下列關於導線乙所受電磁力的敘
述，何者正確？(A)受一向上之淨力 (B)受一向下之淨力
(C)受一逆時針方向之力矩 (D)受一順時針方向之力矩
(E)所受之淨力及力矩皆為零。
【105 指考】
練習題答案
1. A 2. D 3. BCE 4. 0.5 N ⋅ m 5.(1)
𝜇0𝐼
4𝑅
(2)𝐼𝐵(𝑎 − 𝑏)
(3)2𝐼𝑏𝑏 (4)0 (5)
1
2
𝐼𝐵𝜋(𝑎2
− 𝑏2
) 6. (1)0 (2)7.5 × 10−2
Nm
7. 0.25 A 8.C

26. 2-26 磁場 Magnetic field
2.4帶電質點在磁場中的運動
❑洛仁茲力 Lorentz Force
1.在電子尚未發現之前，勞侖茲（荷蘭語：Hendrik Antoon
Lorentz）已經提出理論來解釋具有速率的電荷，在磁場中的
受力現象。
2.帶電質點(電量𝑞)在磁場𝐵
ሬറ中以速度𝑣
റ運動時，所受到的力為
𝐹
റ𝐵 = 𝑞𝑣
റ × 𝐵
ሬറ (2-14)
◼磁力量值
𝐹𝐵 = 𝑞𝑣𝐵 𝑠𝑖𝑛 𝜃 (2-15)
說明：
前面所討論的是載流導線在磁場中受力情形：
𝐹
റ𝐵 = 𝑖𝐿
ሬറ × 𝐵
ሬറ
將上式作一個技巧性的改變
𝐹
റ𝐵 = 𝑖𝐿
ሬറ × 𝐵
ሬറ =
𝑞
𝛥𝑡
⋅ 𝐿
ሬറ × 𝐵
ሬറ = 𝑞 ⋅
𝐿
ሬറ
𝛥𝑡
× 𝐵
ሬറ = 𝑞𝑣
റ × 𝐵
ሬറ
上式解釋為帶電質點(電量為𝑞)在磁場𝐵
ሬറ中以速度𝑣
റ運動時，
所受到的力為：
𝐹
റ𝐵 = 𝑞𝑣
റ × 𝐵
ሬറ
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1.應用右手定則判運動於磁場的
帶電粒子所感受到的作用力方
向。
圖 2-18 磁力的方向可依右手開掌
定則或右手螺旋定則判定

27. 2-27
2.4 帶電質點在磁場中的運動
❑帶電質點在均勻磁場中，常見的運動模式
1.帶電質點做直線運動
◼磁場方向始終與質點速度方向 平行 ，磁力為零
2.帶電質點(質量𝑚)在均勻磁場中作半徑為𝑟的等速率圓周運動
說明：帶電質點速度𝑣
റ與均勻磁場𝐵
ሬറ相互垂直，則所受磁力即
為向心力
𝐹𝐵 = 𝐹
𝑐
𝑞𝑣𝐵 = 𝑚
𝑣2
𝑟
= 𝑚
4𝜋2
𝑟
𝑇2
= 𝑚𝜔2
𝑟
可知：迴旋半徑
𝑟 =
𝑚𝑣
𝑞𝐵
=
√2𝑚𝐸𝑘
𝑞𝐵
迴旋週期
𝑇 =
2𝜋𝑟
𝑣
=
2𝜋𝑚
𝑞𝐵
迴旋頻率
𝑓 =
1
𝑇
=
𝑞𝐵
2𝜋𝑚
3.帶電質點在均勻磁場中作 螺旋運動 Helical Motion
說明：質點之速度𝑣
റ與磁場𝐵
ሬറ交一角度𝜃
可將速度分為與磁場平行及垂直之兩分量
𝑣∥ = 𝑣cos𝜃
𝑣⊥ = 𝑣sin𝜃
垂直磁場方向，質點受力為
𝐹 = 𝑞𝑣𝐵sin𝜃
在這方向作 等速圓週運動
平行磁場方向，質點受力為 0 ，在這方向做 直線運動
綜合上述兩點，質點進行「螺旋運動」
圓周運動半徑
𝑟 =
𝑚𝑣sin𝜃
𝑞𝐵
繞轉週期：
𝑇 =
2𝜋𝑚
𝑞𝐵
螺距(質點旋轉一週時，在平行磁場方向行進之距離)
𝑑 = 𝑣∥𝑇 =
2𝜋𝑚
𝑞𝐵
𝑣cos𝜃
圖 2-19 帶電粒子在磁場，進行等
速率圓週運動
𝑞
+
𝑟
𝐵
ሬറ
𝑣
റ
𝐹
റ𝐵
𝑑

28. 2-28 磁場 Magnetic field
❑應用
1.速度選擇器是質譜儀的重要組成，能把某一特定速度𝑣
റ的帶
電粒子選擇出來，並剔除速度不同的粒子，提高檢測精度。
𝑣 =
𝐸
𝐵
(2-16)
說明：
兩塊平行帶電板能產生向下的電場𝐸
ሬറ，再加上垂直射入紙面
的磁場𝐵
ሬറ-電場𝑬
ሬሬറ和磁場𝑩
ሬሬറ相互垂直
電量為𝑞(𝑞＞0)的質點，以速度 𝑣
റ 水平射入均勻電場𝐸
ሬറ中，
如不計重力作用時，靜電力會使質點受到靜電力作用(向下)
𝐹𝐸
ሬሬሬሬറ = 𝑞𝐸
ሬറ → 𝐹𝐸 = 𝑞𝐸
垂直進入紙面的均勻磁場𝐵
ሬറ使質點受到磁力作用(向上)
𝐹𝐵
ሬሬሬሬറ = 𝑞𝑣
റ × 𝐵
ሬറ → 𝐹𝐵 = 𝑞𝑣𝐵
當磁力與靜電力達成力平衡，帶電質點將沿水平方向移動
𝑞𝐸 = 𝑞𝑣𝐵 → 𝑣 =
𝐸
𝐵
若速度量值(𝑣 ≠ 𝐸/𝐵)的帶電粒子射入後發生偏轉，無法平行
射出。
2.質譜儀 Mass Spectrometer 是以分析帶電粒子種類的儀器。
說明：
當質量𝑚、電量𝑞的質點，以速度𝑣 直線通過速度選擇器時
𝑣 =
𝐸
𝐵
質點進入均勻磁場𝐵′後，在磁場中作半徑𝑅 、速率𝑣的等速
率圓周運動
𝑞𝑣𝐵′
= 𝑚
𝑣2
𝑅
測量離子的圓週運動的半徑𝑅
𝑅 =
𝑚𝑣
𝑞𝐵′
=
𝑚𝐸
𝑞𝐵′𝐵
則可以求出離子質量
𝑚 =
𝑞𝐵′𝑅
𝑣
=
𝑞𝐵𝐵′
𝑅
𝐸
結論：離子電量、電性不同，則有不同圓週運動的軌跡與位
置，可以用來分析「離子的種類及相關性質」
+ + + + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
+
𝑞
𝐸
ሬറ
𝐵
ሬറ
𝑣
റ
圖 2-20 速度選擇器的示意圖

29. 2-29
2.4 帶電質點在磁場中的運動
3.迴旋加速器 cyclotron
原理：利用磁場使運動中之帶電粒子迴轉，並利用電極間交錯
變換之正負電場，使粒子於迴轉中不斷地獲得能量
答：(1) 6.2 × 10−14
k
̂ ；(2) − 6.2 × 10−14
k
̂
類題：電子以某一動能在與其運動方向垂直之均勻磁場中，
以頻率𝑓 作等速率圓周運動，若將電子的動能增為原來的 4
倍，則運動頻率為 答：𝑓倍
若一電子以𝑣
റ = 2.0 × 106
𝑖̂ + 3.0 × 106
𝑗̂，進入一磁場𝐵
ሬറ =
0.03𝑖̂ − 0.15𝑗̂內，(1)求出作用在此電子上的力和方向？(2)若
對質子以相同速度射入磁場，求其所受作用力和方向為何？
基礎題
例題

30. 2-30 磁場 Magnetic field
答：A
類題 1：一個質量𝑚、電量𝑞 的粒子，以速率𝑣進入一個均勻磁
場𝐵 中，恰好離開磁場時，運動方向與磁場邊緣夾 60°角，如附
圖所示，則(1) 𝑥 =? (2)該粒子在此均勻磁場的運動時間為多少？
答：(1)𝑥 =
ξ3𝑚𝑣
𝑞𝐵
(2)
2
𝜋𝑚
3𝑒𝐵
類題 2：一個質子與一個 粒子以相同速度分別射入不同的均
勻磁場中，其速度皆與磁場方向垂直，因而質子與 粒子在各
別磁場中皆作等速圓周運動。若質子與 粒子的軌道半徑相
同，則質子與 粒子所進入的磁場強度比為何？(A) 1：2 (B)
2：1 (C) 1：8 (D) 8：1 (E) 1：1。
【106 指考】 答：A
核反應：甲→乙+丙，產生的乙、丙粒子垂直經過出紙面方向
的均勻磁場之軌跡紀錄，如圖所示。若忽略重力與空氣阻力，
已知乙、丙的電量大小相同，且對應軌跡的圓弧半徑比
𝑅乙 : 𝑅丙 = 5 : 3 ， 則 甲 、 乙 、 丙 三 粒 子 動 量 的 量 值 比
𝑝甲 : 𝑝乙 : 𝑝丙為何？ (A) 8：5：3 (B) 8：3：5 (C) 2：5：3
(D) 2：3：5 (E) 1：1：1。
帶電粒子在磁場中的運動週期【109 指考】
例題

31. 2-31
2.4 帶電質點在磁場中的運動
答：A
類題：將質子與 α 粒子經相同電壓加速後垂直射入磁場中，
求：(1)動能比(2)動量比(3)速度比(4)旋轉半徑比(5)旋轉週期比
各為若干？答：(1) 1:2 (2)ξ2: 1 (3) 1:2 (4) 1: ξ2
附圖為某一類型質譜儀的結構示意圖，在兩平行電極板間有
一均勻電場𝐸，在電極板的右端有一阻隔板，板上有一小孔
只能讓沒有偏向的粒子穿過，板後面有可偵測粒子的裝置，
整個儀器置於一射出紙面的均勻磁場𝐵內。帶電量𝑞的粒子由
電極板的左端，對準小孔、平行於電極板射入，但粒子的初
速未知，若重力可忽略，且在離小孔𝑑的位置測得粒子，則此
粒子的質量𝑚為下列何者？(A)
𝑞𝑑𝐵2
2𝐸
(B)
𝑞𝐸𝑑
2𝐵
(C)
2𝑞𝐵2
𝐸𝑑
(D)
𝑞𝐸𝑑 (E) 𝑞𝐵𝑑
質譜儀 【104 指考】
例題
d
E
𝐵

32. 2-32 磁場 Magnetic field
1.一粒子質量𝑚，帶電荷𝑞，以速度𝑣進入均勻磁場𝐵和均勻電
場𝐸的交叉區內，同時受電力及磁力的作用而保持等速度運
動，則下列何者正確? (A) 𝑣 與 𝐵 必定互相垂直 (B) 𝐸 與
𝐵 必定互相垂直 (C)如將電荷加倍，其他不變，則粒子仍
能維持等速度運動 (D)如將電場與磁場同時加倍，其他不
變，則粒子仍能維持等速度運動 (E)如粒子由交叉區另一
端，以−𝑣的速度進入，其他不變，則粒子也能維持等速度運
動。
2.如圖所示，一束帶電荷+𝑞的正離子受到電位差𝑉加速後，進
入一相互垂直的電場及磁場中，電場為均勻向下，磁場則為
均勻射入紙面。如正離子通過電磁場後有點向下偏斜，欲使
正離子沿水平方向筆直通過電磁場，則下列作法何者正確？
(A)適當的減小磁場的量值 (B)適當的減小電場的量值 (C)適
當的增大加速電壓𝑉的量值 (D)適當增強電場同時減小加速
電壓𝑉的量值 (E)適當的將電場及磁場的量值等比例增大。
3.將兩個相同的帶電粒子以相同的初速，分別射入兩均勻磁場
中，作圓周運動。設甲粒子進入之磁場量值為 B，乙粒子進
入之磁場量值為 2B，則下列敘述何者為正確？ (A)乙粒子所
受磁力的量值為甲粒子所受磁力量值的兩倍 (B)乙粒子的動
能為甲粒子動能的兩倍 (C)乙粒子的迴旋頻率為甲粒子迴旋
頻率的兩倍 (D)乙粒子的軌道半徑為甲粒子軌道半徑的兩倍
(E)乙粒子對其軌道中心的角動量量值為甲粒子對其軌道中心
角動量量值的兩倍。AC
4.在𝑥 = 0至𝑥 = 𝑑之間有均勻磁場 B 朝 y 方向(垂直進入紙
面)，一質量為𝑚的粒子，帶電荷𝑄，以速度𝑣由左方進入磁
場區。此粒子剛進入磁場區時，運動方向與𝑥軸夾角為𝜃，當
粒子穿過磁場區後，其運動方向與𝑥軸的夾角也為𝜃，則
(1)sinθ=? (2)在磁場中所經歷的時間？(𝑚，𝑄，𝐵，𝑑，𝑣表示)
5.兩粒子的電荷相等，但質量相差一倍，較輕的粒子動能為
5000 電子伏特，另一粒子動能為 400 電子伏特;今兩粒子分
別在相同的均勻磁場中做圓周運動，較輕粒子的軌道半徑與
較重粒子的軌道半徑之比值約為?
6.如圖所示，yy'之兩側有強度 B 及 2B 之兩個均勻磁場，將質
量 m 及電量 q 之帶電粒子，自二磁場之交界線上 A 點以速
度 v 進入右方磁場迴轉半週後，又進入左方磁場後再迴轉半
週時恰過 D 點，則(1)A、D 二點之間的距離為何?(2)又帶電
粒子通過 D 點時的速率為何?
課後 練習題

33. 2-33
2.4 帶電質點在磁場中的運動
7.將一質子及 α 粒子，以相同速率及方向，分別射入相同之均
勻磁場中。由於入射速度不與磁場方向垂直，因此質子及 α
粒子均做螺線形運動。設質子及 α 粒子所做螺線運動之螺距
分別為 d1 及 d2，則 d1/d2 之值為?
8.如右圖所示，一長直的絕緣細棒沿鉛直方向固定放置；在一
質量為𝑚、帶正電荷𝑞的小球的直徑上穿孔，使其可以套在
細棒上滑動；整個系統置於均勻、不變、沿水平方向的電磁
場中，電場 向右，磁場 垂直進入紙面。假如小球與細棒的
動摩擦係數為m，且電場的量值、靜摩擦係數以及m都夠小，
可以讓小球沿細棒由靜止起向下滑，試求 (1)所有施於小球
的力（包括量值及方向）
。 (2)小球的最大加速度。 (3)小球
的最大速度。
9.右圖為「迴旋加速器」的示意圖。當質量𝑚、電量－𝑒的電
子，由中心 O 垂直射入磁場𝐵中（只分布於兩個半圓區域
內）
，在磁場中作圓運動。當電子通過兩半圓間的空隙帶
時，會受到電場作用而加速，則 (1)此圖中的磁場方向為
何？ (2)交流電源的頻率為何值時，才能使電子持續加速？
10. 一個射入均勻磁場的電子，速度垂直於磁場方向，在磁場
中作圓周運動，半徑為 R。入射的動能增為原來動能的 9
倍，以原來的方向進入磁場，其圓周運動的半徑為多少？
11. 有 5 種粒子以相同之速度垂直進入均勻磁場 B，其軌跡如
圖所示。設此 5 種粒子為：碳原子(12
C)，氧離子(16
O2－
)，鈉
離子(23
Na
＋
)，鎂離子(24
Mg2＋
)及氯離子(35
Cl
－
)。若不考慮重力
因素，則圖中 1、2、3、4 及 5 之示意軌跡分別代表何種粒
子？
12. 一電子槍將電子（質量 m，電量-e）加速為動能 K 後，垂
直射向一面積為無限大之絕緣平板，槍口與絕緣平板之距離
為 d。如果想避免電子打到絕緣平板，可在電子經過區域如
一均勻磁場，則 (1)該此磁場的量值至少應大於多少？ (2)承
問題(1)，電子在磁場中運動的時間為何？
13. 有甲、乙兩質點，其質量比為 1：2、電量比為 1：2，以
相同的速率，垂直射入均勻磁場 B 中，則其半徑比為若干？
14. 質量為𝑚，荷電量為𝑒 之電子以𝑝 之動量進入均勻磁場
𝐵 內，其速度與𝐵
ሬറ 成 53°時路徑將為螺旋線，若軸在 B
之方向，則(1)螺旋線半徑𝑟；(2)螺旋線之螺距；(3)𝑡 秒內
電子所經路徑長。

34. 2-34 磁場 Magnetic field
大考試題觀摩
15. 如圖所示，一磁場均勻且方向垂直紙面向下，則帶負電
的質點在磁場中作等速圓周運動時，其速度𝑣與所受磁力𝐹
的關係為何？【學測】
(A) (B) (C) (D)
16. 在一均勻磁場𝐵中，甲、乙兩帶電質點，皆以速率𝑣垂
直於磁場作等速圓周運動，磁場的方向為鉛直射入紙面，
如圖所示。甲為順時針運行，而乙為逆時針運行。若甲的
圓半徑為乙的 2 倍，則甲質點之荷質比（
𝑞
𝑚
之比值）為乙
的幾倍？甲質點所帶電荷之性質為何？ (A)
1
2
倍；甲帶負電
(B)
1
2
倍；甲帶正電 (C) 2 倍；甲帶負電 (D) 2 倍；甲帶正
電 (E) 4 倍；甲帶負電。
【99 指考】
17. 如圖所示，一質量為𝑚、帶正電荷𝑞的小球以一端固定
的細繩懸掛著，繩長為ℓ，系統置於均勻的磁場中，磁場𝐵
的方向垂直穿入紙面。開始時靜止的小球擺角與鉛直線夾
𝜃𝑖，釋放後帶電小球向左擺動，設其左側最大擺角與鉛直
線夾𝜃𝑓。若摩擦力與空氣阻力均可忽略，重力加速度為𝑔
而小球在最低點的速率為𝑣，則下列關於小球受力與運動
狀態的關係式或敘述，哪些正確？(A)𝜃𝑖 < 𝜃𝑓 (B)在擺動
過程中，磁力不對小球作功 (C)在擺動過程中，重力對小
球永遠作正功 (D)小球在第一次通過最低點時，繩子的張
力𝑇 = 𝑚𝑔 + 𝑞𝑣𝐵 +
𝑚𝑣2
ℓ
(E)小球在運動過程中所受的重力
及磁力均為定值。
【102 指考】
18. 在如圖所示的水平面（即紙面）
，有均勻的電場和磁場
兩者方向皆由紙面上方垂直穿入紙面，一電子沿紙面以向
右的初速度行進，則由紙面上方往下觀察時，電子在進入
電磁場後將會如何運動？(A)向右進行直線運動 (B)順時
針方向偏轉、在紙面運動 (C)反時針方向偏轉、在紙面運
動 (D)順時針方向偏轉、朝紙面上方離開 (E)反時針方
向偏轉、朝紙面下方離開。
【106 指考】

35. 2-35
2.4 帶電質點在磁場中的運動
19. 帶電粒子的速率可利用速度選擇器來測量，速度選擇器
是由一對狹長金屬平板內相互垂直的均勻電場與均勻磁場
所構成的，當電場與磁場匹配時可讓特定速率的帶電粒子
直線通過，而測得其速率。本題組僅考慮帶電粒子受電磁
力作用，而忽略其他作用力。
【101 指考】
(1)設符號 代表磁場的方向為垂直穿入紙面，而符號‧代
表磁場的方向為垂直穿出紙面；q 為帶電粒子所帶的正電
量，v 為其速度。下列電場或磁場方向互異的速度選擇
器，何者可讓入射的 q 或帶電粒子直線通過？
(A) (B) (C)
(D) (E)
(2)若速度選擇器的兩平行板間距為𝑑，所接電池的端電壓為
𝑉，均勻磁場的量值為𝐵，則電量為𝑞的粒子，可直線通過此速
度選擇器的速率為下列何者？(A)
𝐵𝑑
𝑉
(B)
𝑉
𝐵𝑑
(C)
𝑞𝐵𝑉
𝑑
(D)
𝑞𝑉
𝐵𝑑
(E)
𝑞𝐵𝑑
𝑉
。
練習題答案
1. BCD 2.BC 3.AC 4.
𝑄𝐵𝑑
2𝑚𝑣
5.
5
2
6. (1)
3𝑚𝑣
𝑞𝐵
(2)𝑣 7.
𝟏
𝟐
8.
(1)重力 mg(↓)、電力𝑞𝐸(→)、磁力𝑞𝑣𝐵(→)、正向力𝑁(
＝𝑞𝐸 + 𝑞𝑣𝐵)(←)、摩擦力m(𝑞𝐸 + 𝑞𝑣𝐵)(↑) (2) 𝑔- (3)
𝑚𝑔
𝜇𝑞𝐵
−
𝐸
𝐵
9. (1)垂直離開紙面 (2) 10.3𝑅 11. 23
Na
＋
，24
Mg2＋
，
12
C，16
O2－
及 35
Cl
－
12. (1)
ξ2𝑚𝐾
𝑒𝑑
(2)
𝜋𝑚
𝑒𝐵
13. 1：1 14.(1)
4𝑝
5𝑒𝐵
(2)
6𝜋𝑝
5𝑒𝐵
(3)
𝑝𝑡
𝑚
15. D 16.A 17. D 18. D 19.(1)D
(2)B