中華民國高中物理教材 108課綱 選修物理1-CH6 萬有引力 6.1 萬有引力定 律 6.2 地表的重力與重力加速度 6.3 行星與衛星運動

1. 阿 Samn 的物理課本 http://mysecretpark.blogspot.tw/
6 萬有引力
本章簡介
長久以來人類對於為什麼停留在地球上、月亮為什麼繞著地球及
天體的運行，都有各種「有趣」解釋。然而只有牛頓真正對這個
現象做出正確解釋。
現在，我們已經知道這些現象背後的原因是重力-也是宇宙中最
神秘結構-黑洞的根本原因。
藉由對萬有引力的發展歷史來引出大家對宇宙組成要素有最基本
的概念。
相關版權說明：
◼ 內頁部分圖片來自各版本教科書
或網路，版權仍屬原創者所有
◼ 講義內容採用創用授權，不得商
業化(印給學生工本費除外)
萬有引力
高中物理

2. 122
REVIEW AND SUMMARY

3. 123
6.1 萬有引力定律
❑萬有引力 Universal Gravitational Force
1.起源：蘋果落下不偏向，也不向上；月亮為什麼不會掉下
呢？
圖 6-1 牛頓的林肯郡住家，他在這裡研究微積分、光學、力學、天文學，
奠定他在科學史上的定位。
2.定義：
◼ 任一兩質點(均勻球體)之間都會互相 吸引
◼ 吸引力的量值與兩質點的質量乘積成 正比 ，和它們之
間的距離成 平方反比 的關係。
𝑭 = 𝑮
𝒎𝟏𝒎𝟐
𝒓𝟐
(6.1)
◼ 萬有引力常數𝐺 = 6.67 × 10−11
Nm2
/kg2
在牛頓死後約
110 年，由卡文狄希(Henry Cavendish)以扭秤實驗計算出
來。
3.性質：
◼ 引力是指向均勻球體的質心
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 知道萬有引力是宇宙中的四
種基本交互作用力之一
2. 理解萬有引力的量值與兩質
點之間的質量及距離有關。
3. 能畫出某質點受到某物體的
萬有引力的力圖
4. 能夠找出某一質點受到的多
個萬有引力作用的合力。
圖 6-2 萬有引力是連心力，更滿足
牛頓第三運動定律
圖 6-3 PhET 模擬動畫
(a)萬有引力，https://bit.ly/3kAidne
(b)重力與軌道，
https://bit.ly/3DuIRGu
(b)
(a)

4. 124
◼ 作用範圍極大。例如：太陽吸引冥王星繞太陽運行。
◼ 不需要與物體接觸，就有作用。例如：地球吸引人造衛
星，不需接觸。
◼ 在相同比例條件下，與庫侖靜電力相比，重力是非常微弱
◼ 萬有引力(又稱重力)遵守向量加法
4.萬有引力的應用：對行、衛星系統而言(或更大的範圍)，因
為討論距離遠大於星體體積，所有星體都可視為質點。
◼ 證實克卜勒行星運動定律，給予理論的基礎(稍後說明)
◼ 解釋天文學的雙星運動
◼ 解釋潮汐現象：海水受月球的萬有引力而有漲落潮之現象
圖 6-5 地球潮汐(藍色)主要受球引力而產生。
5.萬有引力的缺陷：不能完全地解釋出水星在沿其軌道運動到
近日點時出現的進動現象。愛因斯坦以廣義相對論計算出水
星近日點的進動值。
球體內部的重力狀況
均勻球殼對球殼內的任一位置的質點所產生的萬有引力為 零
簡易推論：
錐面質量各為𝑚1與𝑚2，對應的面積𝐴1與𝐴2
𝐴1 = 4𝜋𝑟1
2
×
Δ𝜃
4𝜋
= 𝑟1
2
Δ𝜃 ； 𝐴2 = 𝑟2
2
Δ𝜃
質量比為
𝑚1: 𝑚2 = 𝐴1: 𝐴2 = 𝑟1
2
: 𝑟2
2
兩錐面對質點的吸引力彼此抵銷
𝐹1: 𝐹2 =
𝐺𝑚1𝑚
𝑟1
2 :
𝐺𝑚2𝑚
𝑟2
2 = 1: 1
可推論整個球殼對該質點產生的吸引力(合力)=0
質心
圖 6-4 雙星繞質心旋轉。
圖 6-6 水星在近日點時的軌道變化

5. 125
答：約2:1
類題：60 kg的人若站在另一個星球上，這個星球的半徑是地球
半徑的1/2，質量是地球質量的1/3，他受這星球重力多大
答：800 N
答:9:7
據報導,最近在太陽系外發現了首顆“宜居”行星，其質量約
為地球質量的 6.4 倍，一個在地球表面重量為 600 N 的人在這
個行星表面的重量將變為 960 N，由此可推知該行星的半徑與
地球半徑之比約為
基本題
例題
如圖所示，在距一質量為𝑀、半徑為𝑅、密度均勻的球體𝑅處有
一質量為𝑚的質點，此時球體對質點的萬有引力為𝐹1。當從球
體中挖去一半徑為
𝑅
2
的球體時，剩下部分對質點的萬有引力為
𝐹2，求𝐹1: 𝐹2
重力的向量和-非規則形物體
例題
𝑚
B
O
2𝑅
𝑅

6. 126
答：(1)
2𝐺𝑚1𝑚(𝑅2+𝑑2)
[𝑅2−𝑑2]2
(2)
𝐺𝑚1(2𝑚)
𝑅2
類題：四個質點排在正方形的角上，如圖所示，則圖中對角線
交點 O 處放置質量為 M 物體，該物體的重力大小？ 答：
2
2GmM
L
HD 188753 是一個三星系統，位於天鵝座，也是迄今唯一發現
有行星運行的三星系統。該系統的主星質量約為太陽的 1.06
倍，而兩顆伴星的總質量則為太陽的 1.63 倍，它們互相繞對
方公轉，而該雙星系統也繞著主星公轉。假設主星質量為𝑚1與
兩個伴星質量為𝑚，彼此距離為2𝑑。主星𝑚1與兩顆伴星𝑚物體
的質心距離為𝑅，則如兩圖所示，雙𝑚系統與𝑚1的萬有引力各
為何？若當𝑑 << 𝑅時，萬有引力為何？
重力的向量和(閱讀素養應用)
例題

7. 127
答：(1)𝐹 =
𝐺𝑀𝑚𝑥
(𝑅2+𝑥2)3/2
(2)0 (3) SHM 𝑇 = 2𝜋√
𝑅3
𝐺𝑀
類題：兩物質量都是𝑀，固定且相距2𝑑，另一小質點𝑚，放在二
固定𝑀的垂直平分線上，距兩物之中點為𝑥，𝑚會受到二個𝑀的
萬有引力而來回運動。當𝑥 << 𝑑時，此時運動為 S.H.M，求週
期。
答：𝑇 = 𝜋√
2𝑑3
𝐺𝑀
很多行星(木星、土星、天王星)都是被無法形成衛星的小物質
形成的圓環包圍，此外，宇宙中類似的環狀結構也不在少數。
讓我們假設均勻的細圓環半徑為𝑅，質量為𝑀，在中心軸上距
環中心𝑥處有一質點 m，則：
(1) 𝑚受的引力𝐹的大小為何？
(2)當𝑚落下經環心 O 瞬間受力𝐹的大小為何？
(3)若𝑅  𝑑，則𝑚會做何種運動？
綜合運用-簡諧運動與萬有引力【進階題】
例題
來自 Principles of physics 9/e

8. 128
卡文迪西實驗 CAVENDISH EXPERIMENT
G 為萬有引力常數，是一個普遍性的常數，不受時間地點而
改變。測量 G 的方法則由卡文迪西在 1798 年經由實驗測
得，實驗裝置簡圖如下
實驗方式：
◼ 以兩等重的大鉛球(質量𝑀 )置於兩小鉛球(質量𝑚 )旁 ，
𝑀 和 𝑚 的吸引使扭線扭轉一小角 Δ𝜃，此時 𝑀 和 𝑚 距
離 𝑅。
◼ 由反射光線的角度變化，計算出扭轉的角度Δ𝜃。
◼ 由絲線的平均扭角 Δ𝜃 及扭線對扭轉的彈性係數，可計算
出 𝑀 與 𝑚 的吸引力，代入公式即可得 𝐺 值
𝐺 = 6.67 × 10−11
m3
/kg.s2
測得重力常數𝐺之後，再加上地表附近的重力加速度資料，就
可推得地球質量約為5.97 × 1024
kg
參考資料
1.Wiki, http://en.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton
2.邱韻如,前人的足跡,
3.科學教授，故鄉出版社。
4.郭奕玲、沈慧君著：物理學演義，凡異出版社。
圖 6-7
當年 Cavendish Experiment 的裝置圖
From: Henry Cavendish

9. 129
1. 某行星其平均密度與地球相同，半徑則為地球之 2 倍，在
地球上 64 公斤的人到該星球上時，其體重為多少公斤
重？128 kgw
2. 假設地球為均勻球體，又假設地球保持現有的密度不改
變，半徑縮小一半，則地球上物體的重量變為原來的幾
倍？ 1/2
大考試題觀摩
3. 一般認為銀河系中心有一個超大質量的黑洞。有些天文學
家估計這黑洞的質量大約是太陽的四百萬倍，太陽離此超
大質量黑洞的距離約為28000光年。如果太陽、該超大質
量黑洞與地球排成一直線，且二者對地球的主要影響只有
重力，則這個超大質量黑洞和地球之間的重力，大約是地
球和太陽之間重力的多少倍？（28000光年大約是
1.8 × 109
AU）
【103學測】(A)1.2 × 10−12
(B)2.5 × 10−7
(C)2.2 × 10−3
(D)4 × 106
(E)8.1 × 1011
。
4. 已知地球(E)與火星(M)的平均半徑比值
𝑟𝐸
𝑟𝑀
約為1.86，質量
比值
𝑚𝐸
𝑚𝑀
約為9.3，試問同一物體在火星表面所受重力約為
在地球表面所受重力的多少倍？(A)0.10 (B)0.37
(C)0.72 (D)0.93 (E)1.86【111學測】
練習題答案
1. 128 kgw 2. 1/2 3. A 4. B
課後 練習題

10. 130
6.2 地表的重力與重力加速度
❑場(Field)
1.當某些物體(或現象)出現時，會在它們四周的空間裡造成某
些影響，場即代表這些影響。
◼ 場就是一種空間的分布，場可以是向量，也可以是純量
◼ 純量場：溫度➔ 等溫線 ，壓力➔ 等壓線 ，高度➔ 等
高線
◼ 向量場： 重力場 、 電場 、 磁場
萬有引力、電力及磁力等超距力藉由 場 的觀念分布在空
間之中（包含真空）
，進而影響進入該區域的相關物質。
❑重力場與重力加速度
1.重力場(Gravitational field)：任一具有質量的物體會在空間中
建立特定效應，另一物體進入此空間中則受到萬有引力牽
引，此【空間】又稱為重力場。
定義：某個位置的單位質量所受的重力。SI 單位：N/kg
𝒈
⃑⃑ =
𝑭
⃑
⃑
𝒎
(6.2)
2.重力加速度(Gravitational acceleration)：質量為 m 的物體置於
地球重力場(或任意星體)，會受到重力作用而產生加速度，
其量值如下。
𝒈 =
𝑭
𝒎
=
𝑮𝑴
𝒓𝟐
(6.3)
3.性質：
◼ 在地表附近，重力加速度可視為定值，與高度無關。
說明：
表格 6-1 重力加速度與高度關係
高度(km) g值(m/s2
)
一般地表 0 9.83
喜馬拉雅山 8.8 9.80
熱氣球最大高度 36.6 9.71
同步衛星 35700 0.225
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 區分𝑔與𝐺的差異
2. 理解【重力場】的概念
3. 計算均勻天體對任意位置形
成的重力加速度
4. 理解地表附近的重力加速度
𝑔為什麼可視為定值
圖 6-8 (a)測試物質的質量𝑚增為兩
倍，重力也會變大兩倍，可發現
𝐹/𝑚只與場源物質質量𝑀及 P 點到
場源物質的距離 r 有關。(b)質量 M
的物體在空間形成重力場。
𝑀
P
𝑟
𝑔
𝐹
𝑀
𝑚
𝑟
P
𝑀
𝑟
2𝐹
2𝑚
P
(a)
(b)

11. 131
◼ 屬於向量，具有疊加性。
說明：當空間有數個具有質量的物體，分別建立各自的
重力場
◼ 均勻球體的重力加速度分布
圖 6-10 重力場強度與地心距離關係圖
答：1:3600
類題：某星球之質量為地球的 5 倍，其半徑為地球之半，且密
度均勻。則此星球之重力加速度為地球表面重力加速度幾倍？
答：20
已知月球中心和地球中心的距離大約是地球半徑的 60 倍，則
月球繞地球運行的向心加速度與地球表面上的重力加速度的
比為何?
重力加速度【基本題】
例題
P
圖 6-9 重力疊加需考慮向量法則

12. 132
答：C
類題：質點間的重力與其質量的乘積成正比，而與其距離的平
方成反比。小君想從重力常數𝐺、地球表面的重力加速度 g 和地
球半徑𝑅去估算地球的質量𝑀，她寫出的正確計算式應為下列何
者 ？ (A) 𝑀 =
𝑔𝑅2
𝐺
(B) 𝑀 =
𝐺𝑅2
𝑔
(C) 𝑀 =
𝐺𝑔
𝑅2 (D) 𝑀 =
𝑅2
𝑔𝐺
(E)𝑀 = 𝑔𝐺𝑅2
【100 學測】 答：A
1. 四個質點排在正方形的角上，如圖所示，
則圖中對角線交點 O 處的重力場強度為
何？
2. A 與 B 兩星球之半徑比為 2：1，密度比
為 1：3，則兩者表面之重力加速度比為
若干？
大考試題觀摩
3. 某星球的平均密度與半徑，分別為地球的 0.10 倍與 10
倍，則此星球表面的重力加速度量值約是地球表面重力加
速度量值的幾倍？(A)0.010 (B)0.10 (C)1.0 (D)10
近年科學家發現某一顆巨大的類地球行星
，
其質量為地球的 17
倍、直徑為地球的 2.3 倍，它像地球一樣擁有堅固的表層，因
此被天文學家歸類為「巨無霸地球」
。假設該星球與地球皆可
視為均質的球體，則該行星表面的重力加速度約為地球的多少
倍？(A) 0.31 (B) 2.2 (C) 3.2 (D) 7.3 (E) 39。
重力加速度【106 指考】
例題
課後 練習題

13. 133
(E)100。
【110 學測】
4. 將萬有引力常數當作已知，則從下面哪些選項中的兩個數
據，就可以估計出地球的質量? (A)地球與同步衛星間的
距離，地球的自轉周期 (B)人造衛星的運動速率，人造
衛星的周期 (C)人造衛星與地球間的距離，人造衛星的
周期 (D)地球繞太陽運轉的周期，地球與太陽間的距離
(E)月球繞地球運轉的周期，月球與地球間的距離。
【96.指
定科考】
5. 若有一行星繞著恆星S作橢圓軌道運動
，
則下列有關行星在
右圖所示各點的加速度量值的敘述，何者正確？ (A)所有
點都一樣大 (B)點A處最大 (C)點B與點F處最大 (D)點
C與點E處最大 (E)點D處最大。
【98.指定科考】
6. 假設地球可視為密度均勻的孤立球體，比較以下甲、乙、
丙三處的重力場強度，由大至小排列順序為下列何者？
甲：臺灣東岸海平面一處
乙：大氣層對流層頂
丙：福衛五號人造衛星軌道（地面上空高度720 km）
(A)丙乙甲 (B)甲乙丙 (C)乙丙甲 (D)甲丙乙 (E)乙甲
丙。
【107指考】
練習題答案
1.
2𝐺𝑚
𝐿2 2. 2:3 3. C 4. B 5. B 6. B

14. 134
6.3 行星與衛星運動
❑科學家對太陽系的了解
1. 西元二世紀時，托勒密認為地球是宇宙的中心，提出「地心
說」
。
2. 十六世紀哥白尼提出「日心說」
，認為太陽才是宇宙的中
心，建構了現在所認識的太陽系
3. 克卜勒利用第谷所遺留給他的大量有關行星運動的精確數
據，發現了行星運動的規律，稱為克卜勒定律(Kepler's Laws
of Planetary Motion) ➔天文立法者
◼ 1609 年，發表行星運動第一定律與第二定律
◼ 1619 年，發表行星運動第三定律
4. 牛頓發現了萬有引力定律，從理論上直接的導出了克卜勒定
律。牛頓證明了天體運動和地面物體的運動都遵守同樣的力
學定律。
❑克卜勒行星運動定律(Kepler’s laws of planetary motion)
1.第一定律：行星在以太陽為 焦點的橢圓形軌道運行。
◼ 橢圓軌方程式
𝒙𝟐
𝒂𝟐
+
𝒚𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏 (6.4)
圖 6-11 (a)克卜勒第一定律示意圖 (b)橢圓軌道的數學概念：𝑎 是半長軸，𝑏是半短
軸，𝑐稱為焦距，其中 𝑎2
+ 𝑏2
= 𝑐2
；𝐹1、𝐹2 為橢圓的雙焦點。
遠日點
太陽
近日點
(b)
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 以萬有引力驗證克卜勒的行
星運動定律。
2. 理解克卜勒第二定律是角動量
守恆的應用
3. 應用克卜勒定律處理衛星的繞
行周期和半徑與軌道上天體質
量之間的關係。

15. 135
2.第二定律：同一行星與太陽的連線在相同時間間隔內，掃過
相同的面積。
𝑨𝟏
𝒕𝟏
=
𝑨𝟐
𝒕𝟐
= 𝑪 (6.5)
◼由近日點移動到遠日點，速率逐漸 減少
◼由遠日點移動到近日點，速率逐漸 增加
3.第三定律：不同行星距太陽的平均距離𝑅的立方與行星繞太
陽週期𝑇的平方之比值皆相同。
𝑹𝟏
𝟑
𝑻𝟏
𝟐 =
𝑹𝟐
𝟑
𝑻𝟐
𝟐
(6.6)
◼軌道為橢圓：𝑅為行星的遠日點距離與近日點距
距離的算術平均數
𝑅 =
1
2
(𝑟𝑚𝑖𝑛 + 𝑟𝑚𝑎𝑥)
◼軌道如為圓形，則 R = 圓的半徑。
◼第三定律是不同行星對同一被繞星球間的比較
行星 公轉週期(yr) 平均公轉半徑(AU) T2/R3
Mercury 0.241 0.39 0.98
Venus 0.615 0.72 1.01
Earth 1.00 1.00 1.00
Mars 1.88 1.52 1.01
Jupiter 11.8 5.20 0.99
Saturn 29.5 9.54 1.00
Uranus 84.0 19.18 1.00
Neptune 165 30.06 1.00
Pluto 248 39.44 1.00
◼以太陽系諸行星來看，可知平均軌道半徑越小，其行星週
期越 小 、速率越 大 、加速度越 大
◼確立以太陽為中心的行星運動學說
◼克卜勒行星運動定律可視為牛頓導出萬有引力定律的根據
說明：
圖 6-12 克卜勒第二定律示意圖
圖 6-13 克卜勒第三定律示意圖

16. 136
❑天體運動的運動特徵
1.Newton's cannonball 是牛頓闡述的思想實驗，用來說明萬有
引力的普世性。
◼ 關於 C 軌道-圓形軌道的推論
2.同步衛星(synchronous satellite)：在地球靜止軌道(geostationary
orbit,GEO)繞地球公轉的人造衛星，用於通訊、電視廣播 等。
◼ 週期：與地球自轉同步，週期為 86400 秒 。
◼ 位置：恆停留於赤道上空約 3 萬 6 千公里 。
◼ 相對於地球來說，軌道型態為 圓形
◼ 中新一號(退役)、中新二號由中華電信、新加坡電信共同
投資的以通訊為主的商業衛星。
3.繞極衛星(Polar-Orbiting satellite)：每次環繞地球的圓周運動中
都從兩極上空經過的人造衛星
，
用於地球繪測
、
遙測
、
偵察等
。
◼ 週期、位置：由任務決定。
◼ 相對於地球來說，軌道型態可以是 圓形 或 橢圓形 。
◼ 福爾摩沙衛星五號、福爾摩沙衛星七號屬於此類衛星，用
於光學遙測、全球氣象預報、氣象變遷研究、及電離層動
態監測等科學用途。
圖 6-16 衛星遙測的成像圖，可用於海岸變化、板塊等
繞極衛星
同步衛星
(a)
(b)
圖 6-15 (a)常見的人造衛星 (b)繞極
衛星繞地球一圈後，在地表呈現的
軌跡。
圖 6-14 以不同初始水平速度發射炮
彈後形成的炮彈運行軌跡。其中
（A）和（B）未達到軌道速度，
（C）和（D）的速度介於軌道速度
和逃逸速度之間，
（E）的速度大於
逃逸速度。

17. 137
4.雙星(Binary star)又稱聯星，是兩顆恆星各自在軌道上環繞著
共同質量中心的恆星系統，較亮的一顆稱為主星，而另一顆
稱為伴星、伴隨者，或是第二星。
◼ 獨立系統的兩個星球，彼此以萬有引力為向心力，繞共同
質心旋轉
◼ 觀測與確認雙星運動的方式： 亮度變化週期 、 光譜
分析 。
圖 6-19 從地球視角觀測的雙星運動模式與亮度變化關係圖
亮
度
時間
質心
圖 6-17 雙星繞質心旋轉。
天樞
天璇
天璣
天權
玉衡
瑤光
開陽
圖 6-18 北斗七星是由大熊座的七
顆明亮的恆星組成，在北天排列成
斗（或勺）形。開陽是位在北斗的
斗柄尾端第二顆星，實際上是六合
星系統(三組雙星)

18. 138
答：8 年
類題：假定火星和太陽的平均距離與地球和太陽的平均距離的
比為 3:2，求(1)火星繞太陽一週的時間需要多少年？(2)火星與
地球的公轉切線速率比為多少？ (3)火星與地球的公轉角速率
比為多少？ (4)火星與地球和太陽的連線在單位時間掃過面積
比為多少？ 答：(1)(
3
2
)3/2
(2)(
3
2
)−1/2
(3)(
3
2
)−3/2
(4)(
3
2
)1/2
答：
𝑇0
2
(
𝑅0+𝑅1
2𝑅0
)
3/2
土星與地球繞太陽的公轉軌道半徑比 4：1，則土星上的一年約
相當於地球上的______年。
克卜勒行星運動第三定律【基本題】
例題
從地球到火星並非走直線軌跡，而是當火星運行到地球前方
44 度的時候，如圖所示，從地球發射太空飛行器，讓太空飛
行器能沿著橢圓軌道，繞過半圈之後抵達火星公轉軌道，此
時火星也到達該位置。假設地球公轉週期為𝑇0，公轉半徑為
𝑅0。火星公轉週期為𝑇1，公轉半徑為𝑅1，請問 太空飛行器從
地球飛到火星花費多少時間？
霍曼轉移軌道【進階題】
例題
地球
火星
太陽
火星 44o
霍曼轉移軌道
火星公轉軌道
地球公轉軌道
𝑅0
𝑅1

19. 139
類題：2020 年 7 月有 3 艘太空船從地球出發前往火星，此時
地球在 A 處、火星在 B 處。太空船由火箭推動進入橢圓軌道
後在重力下航行，如圖所示，直到要與火星會合時，再進入繞
行火星的軌道，最後於 C 處會合。已知火星公轉週期為地球
公轉週期的 1.9 倍，則太空船由地球出發到與火星會合，所需
時間最接近下列何者？(A) 600 天 (B) 360 天 (C) 300 天
(D) 260 天 (E) 180 天。
【110 學測】 答：D
答案：(1)
4𝜋2𝑟3
𝐺𝑇2
(2)
4𝜋2𝑟
𝑇2
(3)
4𝜋2𝑚𝑟
𝑇2
(4)
400𝜋2𝑟
𝑇2
類題：半徑比為 1：2 之兩行星 A 與 B，分別有一表面衛星 a
與 b，若兩衛星之公轉週期比為 1：4，則 A 與 B 之密度比為?
答：16：1
如何判斷系外行星是否有生命可以用地球當作參考基準，某
次天文觀測發現一系外行星之旁有一質量為𝑚的小衛星繞其
轉動，軌道半徑為𝑟，週期為𝑇。試求：(1)此行星的質量 (2)
衛星向行星的加速度 (3)衛星所受行星的引力 (4)若行星的半
徑為衛星軌道的十分之一，則此行星表面的 g 值若干？
判斷系外行星是否符合人類存活標準
例題

20. 140
答：𝐿 =
4𝜋2
𝑇
√
(𝑅+ℎ)3
𝑔
偵察衛星在通過地球兩極上空的圓軌道(經線)上運行，它的
運行軌道距地面的高度為ℎ，要使衛星在一天的時間內將地面
上赤道各處在日照條件下的情況全都拍攝下來，衛星在通過
赤道上空時，衛星上的攝像機至少應拍攝地面上赤道圓周的
弧長是多少？已知地球的半徑為𝑅，地面處的重力加速度為
𝑔，地球自轉的週期為𝑇 。
人造衛星遙測-進階應用
例題
T

21. 141
類題：質量為𝑚與3𝑚的 A、B 兩恒星成一雙星系統，與外界獨
立無關。兩星相距𝑑則：(1)A 星環繞的週期為何？ (2)B 星的
軌道速率為何？ 答：(1)√
𝑑3
𝐺𝑚
(2)
𝑚
2
√
𝐺
𝑑．𝑚
黑洞本身不發射任何可見光，很難被發現，但當有氣體落入黑
洞時，氣體分子會在黑洞引力作用下會劇烈的碰撞摩擦，產生
百萬度的高溫，發射出大量 X 射線，這一現象為尋找黑洞提供
了指示。
天鵝座 X-1 恰好是這種情況，因而證實為黑洞與藍白巨星
(HDE226868)互繞的雙星系統。設黑洞質量為𝑚1、伴星質量為
𝑚2，相距𝑑，黑洞與伴星互繞時，會吸取伴星的物質，使伴星
質量逐漸減少
，
若兩星保持固定距離，則其互繞週期何時最大?
1.(A) 𝑚1 > 𝑚2 (B) 𝑚1 = 𝑚2 (C) 𝑚1 < 𝑚2 (D) 以上皆非
2.請詳述推論
雙星運動-相關特徵
例題
質心
圖片來源： S /CXC/M.W

22. 142
2021 年 12 月發射的 James Webb 太空望遠鏡（JWST）主要
用於紅外線天文學的研究，是目前太空中最強大的望遠鏡，
它的溫度必須保持低於 50 K，才可在不受其他熱輻射源的干
擾下觀察微弱的紅外線信號。JWST 的位置靠近日—地系統
的拉格朗日點𝐿2，此為日—地連心線上的定點，位於地球公
轉軌道外側，如圖所示，其中實線的圓弧與圓分別代表地球
與月球的公轉軌道。已知在𝐿2點的小物體，受到日—地系統
的重力，可與地球同步繞日—地系統的質心公轉。
假設只考慮來自日、地的重力，日—地的距離近似為定值
𝑅，日、地的質量分別為𝑀、𝑚，地心到𝐿2的距離為𝑟，重力
常數為𝐺，日—地系統繞其質心 C 轉動的角速率為𝜔。注意：
只有日—地系統的質心 C 可視為靜止，日、地與𝐿2處的小物
體均繞 C 以角速率𝜔做圓周運動。
1. 已知地心到 C 的距離為
𝑀𝑅
(𝑀+𝑚)
，則角速率的平方 為下
列何者？(A)𝜔2
= 𝐺
𝑀+𝑚
𝑟3
(B)𝜔2
= 𝐺
𝑀+𝑚
𝑅3
(C)𝜔2
=
𝐺
𝑚
𝑟3
(D)𝜔2
= 𝐺
𝑚
𝑅3
(E)𝜔2
= 𝐺
𝑀
𝑟3
。
2. 承上題，地心到𝐿2的距離𝑟滿足下列何者？
(A)𝐺 ቂ
𝑀
(𝑅+𝑟)2 +
𝑚
𝑟2ቃ = (
𝑀𝑅
𝑀+𝑚
+ 𝑟)𝜔2
(B)𝐺 ቂ
𝑀
(𝑅+𝑟)2 +
𝑚
𝑟2ቃ = 𝑅𝜔2
(C)𝐺 ቂ
𝑀
(𝑅+𝑟)2 +
𝑚
𝑟2ቃ = (𝑅 + 𝑟)𝜔2
(D)𝐺 ቂ
𝑀
(𝑅+𝑟)2 +
𝑚
𝑟2ቃ = 𝑟𝜔2
(E)𝐺 ቂ
𝑀
(𝑅+𝑟)2
+
𝑚
𝑟2
ቃ = (
𝑚𝑅
𝑀+𝑚
+ 𝑟)𝜔2
。
3. 將上題結果中的 r 改為 ，可看出在日—地連心線上，位
於地球公轉軌道內側、距離地心為𝑟處，尚有一個可與地
球同步繞日公轉的定點
，
稱為拉格朗日點𝐿1
。
依題幹所述
，
為了避免其他熱輻射源的干擾，以觀察廣闊範圍內來自宇
宙各處的微弱紅外線信號，JWST 的位置選擇𝐿2，比起𝐿1
有何優點？試舉出二項優點。
111 分科考-James Webb 太空望遠鏡
例題
老師的忠言
請你：
課堂中專心聽講，下課仍有疑問，
需向老師請教，不可敷衍自己。
學習任何事情，都會有不耐煩的心
裡，現在必須有「耐煩」的心。

23. 143
1. 史波泥克一號衛星軌道為橢圓，已知該衛星離地最小高度為
228 km，最大高度為 947 km，求此衛星的週期。
2. 若地球密度加倍，半徑不變，則繞轉地球的衛星在原來軌道
上的 (1)軌道速率 (2)運轉週期 (3)所受引力 (4)向心加速
度各變為原來幾倍？
3. 假設萬有引力與兩物體間距離立方成反比，則 (1) 繞地球
運轉的人造衛星與軌道半徑的關係為何？ (2) 繞星球表面
的人造衛星，其週期與星球半徑關係為何？(星球密度一定 )
4. 設有一行星之半徑 500 km，表面重力加速度為 3 m/s2
，則此
行星所有可能衛星中，最小的週期約幾分鐘？
5. 土星與地球質量比 100 : 1，半徑比 10 : 1，軌道半徑比 9 : 1，
則(1) 土星一年相當地球上幾年？ (2) 若一太空人在地球
上的重量為 70 kg，則在土星上的重量為若干 ?
6. 同步衛星繞地球運行時，相對於地面某處而言是靜止於空中
的，則下列何者正確？ (A) 衛星不受地球引力的作用 (B)
衛星仍受地球引力的作用 (C) 衛星受何力為零 (D) 衛星
受到一對大小相等方向相反的力作用。
7. 宇宙邊際有一星球，其半徑為 𝑟，距其表面 3𝑟 處有一衛星
繞其旋轉，週期為 𝑇，則此被繞星球之密度可推測為若干？
8. 地球繞日運動時，近日點與太陽相距為𝑟、運行速度為𝑣，若
太陽的質量為𝑀，則地球繞日的橢圓軌道於近日點處的曲率
半徑為何？
9. 兩個繞地球作等速圓周運動之人造衛星
，
其軌道半徑比為4
：
9，則在軌道上運轉之 (1)速率比 (2)向心加速度量值比各
若干？
10. 若繞日運轉之行星，其軌道平均半徑的立方與週期平方之比
值為 K，而萬有引力常數為 G，則太陽質量為何？
大考試題觀摩
11. 福衛三號衛星系統的衛星繞行於距離地面約 800 km 高度的
軌道上，假設衛星作等速圓周運動，則下列有關此衛星繞地
球運轉的敘述，哪些正確？（應選 2 項）(A)重力作為衛星
繞地球運轉所需的向心力 (B)衛星的加速度沿其軌道切線
方向，並與其切線速度同向 (C)衛星的加速度沿其軌道切
線方向，並與其切線速度反向 (D)衛星的加速度方向和衛
星與地心之連線方向平行，且為指向地心方向 (E)衛星的
課後 練習題

24. 144
加速度方向和衛星與地心之連線方向平行，且為指離地心方
向。
【99 學測】
12. 質量分別為 M1 與 M2 的甲、乙兩衛星均繞地球作等速圓周
運動，已知甲、乙衛星的軌道半徑分別為 R1 與 R2，則甲衛
星繞地球的速率是乙衛星繞地球速率的多少倍？(A)√
𝑅1
𝑅2
(B)√
𝑅2
𝑅1
(C)√
𝑀1𝑅1
𝑀2𝑅2
(D)√
𝑀2𝑅2
𝑀1𝑅1
(E)√
𝑀1𝑅2
𝑀2𝑅1
。
【105 學測】
13. 同步衛星繞地球運行的週期和地球自轉的週期相同。若部署
一顆與同步衛星質量相同的新衛星，使其繞行地球一次的時
間約為 3 hr，且兩顆衛星的軌道均為圓形，則該新衛星所受
的重力量值約是同步衛星的多少倍？(A) 16 (B) 8 (C) 1
(D)
1
8
(E)
1
16
。
【108 學測】
14. 假設重力完全來自地球，下列關於飛行中物體的敘述，哪些
正確？
（應選 3 項）
(A)在大氣中等速度直線飛行的民航機，
所受的合力為零 (B)在太空中等速繞地球飛行的人造衛星，
所受的合力為零 (C)在太空中等速繞地球飛行的人造衛星，
所需的向心力由重力提供 (D)在太空中等速繞地球飛行的
人造衛星，不需要耗用燃料提供動力 (E)在大氣中作鉛垂
面等速圓周運動的戰鬥機內飛行員，所需的向心力僅由重力
提供。
【109 學測】
15. 假設有一星球其密度為地球的𝑎倍，其半徑為地球的𝑏
倍，下列敍述何者正確？ (A)該星球質量為地球的𝑎𝑏3
倍
(B)該星球表面之重力加速度為地球的𝑎𝑏倍 (C)自該星球
表面之脫離速度為地球的𝑎√𝑏倍 (D)同一單擺在該星球
表面上小角度擺動的頻率為地球的√𝑎𝑏倍 (E) 自該星球
表面上以相同初速及仰角拋射之質點， 其水平射程為地
球的 ab 倍。 【95.指考】
16. 將萬有引力常數當作已知，則從下面哪些選項中的兩個數
據，就可以估計出地球的質量? (A)地球與同步衛星間的
距離，地球的自轉周期 (B)人造衛星的運動速率，人造
衛星的周期 (C)人造衛星與地球間的距離，人造衛星的
周期 (D)地球繞太陽運轉的周期，地球與太陽間的距離
(E)月球繞地球運轉的周期，月球與地球間的距離。
【96.指
考】
17. 設人造衛星以半徑𝑟繞地心作圓軌道運動，令地球的質量
為𝑀，萬有引力常數為𝐺，則人造衛星與地心的連線，在
單位時間內所掃過的面積為下列哪一項？

25. 145
(A) √
1
4
𝐺𝑀𝑟 (B)√
1
2
𝐺𝑀𝑟 (C)√𝐺𝑀𝑟 (D)√2𝐺𝑀𝑟
(E)√4𝐺𝑀𝑟。
【98.指定科考】
18. 甲行星的質量是乙行星的 25 倍
，
兩衛星分別以半徑為𝑅甲
、
𝑅乙的圓軌道繞行甲、乙兩行星。若𝑅甲/𝑅乙 = 4，則兩衛星
分別繞行甲、乙兩行星的週期之比值𝑇甲/𝑇乙為何？ (A)
6.25 (B) 2.5 (C) 1.6 (D) 0.4 (E) 0.16。
【99.指定科考】
19. 已知某行星自轉週期為𝑇，半徑為𝑅。環繞它的某一衛星
之圓軌道半徑為32𝑅，繞行週期為8𝑇。則環繞該行星運行
的同步衛星，其圓軌道半徑應是多少？(A) 16𝑅 (B) 8𝑅
(C) 4𝑅 (D) √8𝑅 (E) √2𝑅 。
【100.指定科考】
20. 地球繞太陽運動軌道的平均半徑定義為 1 個天文單位，某
行星繞太陽之平均半徑約為 10 個天文單位，則該行星公
轉的週期約為地球上的多少年？(A) 1 (B) 5 (C) 15
(D) 32 (E) 100。
【102 指考】
21. 甲、乙兩顆人造衛星分別以不同半徑繞地球作等速圓周運
動，若甲為同步衛星，且其軌道半徑較乙衛星的軌道半徑
大，則下列有關甲、乙兩衛星的敘述何者正確？(A)甲衛
星繞地球的速率較大 (B)甲衛星繞地球的向心加速度量
值較大 (C)甲衛星繞行地球的週期和地球的公轉週期相
同 (D)甲衛星與地心連線在單位時間內掃過的面積較大
(E)甲、乙兩衛星分別與地心連線在單位時間內掃過相同
面積。
【105 指考】
練習題答案
1. 96.5 min 2. (1)√2 (2)
√2
2
(3) 2 (4) 2 3. (1) 𝑉𝑅 = 𝐶 (2)
T 與√𝑅成正比 4.約 43 分 5. (1) 27 年 (2) 70 kg 6.
(B) 7.
192𝜋
𝐺𝑇2
8.
(𝑟𝑣)2
𝐺𝑀
9. (1)3：2 (2)81：16 10.
4𝜋2𝑘
𝐺
11. AD 12.B 13.A 14. ACD 15.ABD 16. ABCE 17.
A 18. C 19. B 20.D 21.D

26. 146
題組：綜合考題
太陽系是一個受太陽引力約束在一起的系統，包括太陽以及直
接或間接圍繞太陽運動的天體。在直接圍繞太陽運動的天體
中，最大的八顆被稱為行星，其餘的天體要比行星小很多，比
如矮行星、太陽系小行星和彗星。其中，八大行星除了自轉，
也會繞太陽公轉之外，公轉軌道均為橢圓形－其中水星的公轉
軌道則是明顯的橢圓形狀。
表格 2 部分行星相關資料
平均半徑
(公里)
體積
(地球=1)
質量
(地球=1)
公轉週期
(年)
自轉方向 衛星
水星 2439.7 0.054 0.055 0.24 由西向東 0
金星 6051.8 0.88 0.815 0.61 由東向西 0
地球 6378.14 1 1 1 由西向東 1
火星 3397 0.150 0.10744 1.88 由西向東 2
木星 71492 1316 317.82 11.8565 由西向東 63
土星 60268 763.6 95.16 29.448 由西向東 56
請回答下列題目：
1. 請根據表格 1 資料，推算水星平均軌道半徑為地球多少
倍？(A) (
6
25
)1/3
(B) (
6
25
)2/3
(C)
6
25
(D)(
6
25
)4/3
(E)
(
6
25
)5/3
2. 水星與太陽近、遠日點的距離比約為 2：3，則水星的下
列各物理量在近、遠日點的比值，下列何者為對？
(A) 面積速率比為 2：1 (B) 動量量值比為 1：1
(C) 角動量量值比為 3：2 (D) 速率比為 3：2
(E) 向心加速度量值比為 8：1 。
3. 若實現登陸火星，將是人類探索宇宙的一大里程碑，然
而，想要完成這項創舉，就必須做好面對各項問題的準
備，比方說 要先預估火星地表重力加速度，才能做好返
航的準備。請根據表格 1 資料 推算火星地表上的重力加
速度約為地球多少倍
(A)1 (B)0.1 (C)0.4 (D)0.04 E)0.2 。
遠日點
水星 太陽
va
近日點

27. 147
科學故事：為什麼是【距離平方反比】
在牛頓之前，運動學有兩支：一是天上的，由 Kepler 的三個運動
定律所統攝；一是人間的，是 Galileo Galilei 所描述的落體運動。牛頓
自大學畢業後斷斷續續探索運動學的問題，一直到 1684 年才確立了萬
有引力的想法與計算公式。
為什麼 知道 萬有引力是 向心的??
如圖一，假定經過一秒鐘後，行星從 P0 走到 P1。假定太陽 S 並沒
對行星施以任何力量，則根據 Galilei 的慣性原理，行星會繼續走直線等
速運動。因此在下一秒鐘，從 P1 走到 P2 的距離 P1 P2 與 P0 P1 相
等。 兩三角形 ΔSP0 P1 與 ΔSP1 P2 因為等底等高，所以面積相等，
亦即面積律成立。
然而行星並不走直線。如圖二，假定第二秒鐘，從 P1 走到 P'2，
則行星改變的方向為 P2P'2；由於克卜勒第二定律-等面積定律， 則
ΔSP1 P'2 與ΔSP0 P1 相等，也因此與ΔSP1P2 相等。所以 P2 P'2 與 SP1 平
行，因此得到引力是向心的結論。 反之，若假定了向心力，則 P2 P'2
與 SP1 平行， 因此ΔSP1P'2 與ΔSP1 P2 相等，也因此與ΔSP0P1 相
等，故得面積律。因此 解決了太陽的引力是向心的（即指向太陽）
解決了引力的方向，牛頓想要決定引力的大小。牛頓做了粗略的估
計如下：行星運行的軌道大致為圓形，半徑大約為 R。運動大致是等速
的，其角速度假定為 𝜔，則向心力為𝑚𝑅𝜔2
， m 為行星的質量。但因
𝜔𝑇 = 2𝜋 ，而且 T2/R3=k 為定值－Kepler 的第三運動定律（週期律）
，
所以
𝑚𝑅𝜔2
=
4𝜋𝑚
𝑘𝑅2
牛頓猜出了平方反比律：引力的大小與距離的平方成反比。後續還
有他個人發展的微積分配合，才讓他解決原本理論中的矛盾，於是他開
始編寫《自然哲學的數學原理》一書，並於 1687 年（七月五日）出
版。
參考資料
1.曹亮吉,自然哲學的數學原理
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_18_07_1/
2.姚珩,田芷綾, 萬有引力平方反比律來自於橢圓律還是週期律, 科學教育
月刊 第 332 期 中華民國九十九年九月
http://phy.ntnu.edu.tw/~yao/newton-gravitation.pdf