中華民國高中物理教材 108課綱 選修物理1-CH5 牛頓運動定律 5.1 等速圓周運動 5.2 簡諧運動

1. 阿 Samn 的物理課本 http://mysecretpark.blogspot.tw/
5 週期運動
牛頓運動定律(II)
高中物理
相關版權說明：
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本章簡介
在北半球仰望天空，都知道恆星繞著北極星轉。夜空下，藉
由長時間曝光攝影可以拍出接近正圓形的星軌，這是圓週
運動的延伸，而圓週運動也是一種週期性運動，就像單擺，
週而復始來回。同時，我們的世界也充滿著不斷來回的週
期性振動，但是振動有時候會造成財物的損失，好比，地震
發生時候 建築物會開始振動一樣。
關於圓周運動及振動的研究與控制，也是力學的研究的目
標之一。

2. 100
CHAPTER 5 牛頓運動定律(II) | 選修物理 1
REVIEW AND SUMMARY

3. 101
5.1 等速率圓周運動
❑轉動 Rotational Motion
1.現象：質點(或系統)繞一定軸旋轉的運動模式
圖 5-1 鏈球運動的示意圖,From 網路。
2.當系統發生轉動現象，會有下列狀態或概念要處理。
◼ 角度變化： 角位移
◼ 轉動的快慢： 角速度
◼ 轉動變快或變慢： 角加速度
◼ 物體轉動狀態發生改變： 力矩
❑角位移 Angular Displacement
1. 定義：剛體在時間 Δt 內的角位置變化量 Δθ 單位：度
(degrees)與弧度(rad)
Δ𝜃 = 𝜃2 − 𝜃1 (5.1)
2. 方向：以右手四指為旋轉方向
◼ 在高中物理範圍，簡化為：逆時針為 正 ，順時針為 負
◼ 角位移方向並非單純的「逆時針」
「順時針」兩種方向
3. 弧度(rad)：弧長/半徑的比例常數，SI 單位
𝜽 =
𝒔
𝒓
(5.2)
說明：1 弧度是指弧長=半徑時的圓心角量值，以 rad 表示
完整一圈的弧長(圓周長)= 2𝜋𝑟
其圓心角的弧度=
2𝜋𝑟
𝑟
= 2𝜋
其圓心角的度= 360o
1 度 =
2𝜋
360
=
𝜋
180
(rad)
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1.理解角速度的意涵
2.描繪等速率圓周運動的軌跡，
並標示出任意位置時的速度
(切線速率)
、
加速度及向心力的
向量
3.知道切線速率、向心加速度受
那些因素影響。
4.應用等速圓周運動的概念解釋
行星(人造衛星)繞恆星(行星)
等相關科學現象。
圖 5-2 (a)物體以定軸轉動時候的角
度變化 (b) 1 弧度示意圖
x
y
(a)
y
x
𝜽
𝑺
𝑟
(b)
𝜽 = 𝟏 (𝐫𝐚𝐝)

4. 102
CHAPTER 5 牛頓運動定律(II) | 選修物理 1
❑角速度 Angular Velocity
1.定義：角位移對時間的變化率，代表剛體旋轉的快慢。其方
向以右手定則決定。
◼ 平均角速度
𝝎 =
𝚫𝜽
𝚫𝒕
(5.3)
◼ 瞬時角速度
𝝎 = 𝐥𝐢𝐦
𝚫𝒕→𝟎
𝚫𝜽
𝚫𝒕
(5.4)
2.單位：
◼ 度/秒 、弧度/秒 rad/s、
◼ rps(一秒旋轉圈數)、rpm(一分鐘旋轉圈數)
◼ 1 rps＝1 rev/s＝60 rev/min＝60 rpm＝𝟐𝝅 rad/s＝360  /s
❑等速率圓週運動(Uniform Circular Motion)
1.現象：當一物以相同的速率在圓形路徑上運動，速度方向不
斷地改變，因而具有加速度，加速度方向永遠指向圓心
◼ 週期 period：質點繞一圈所經時間，以 T 表示，單位：秒/
次
◼ 頻率 frequency：質點每秒所繞的圈數，以 f 表示，單位：
Hz，有時候 會以 1 rps 表示，即 1 Hz=1 rps
2.等速圓周運動的角速度：
𝝎 =
𝚫𝜽
𝚫𝒕
=
𝟐𝝅
𝑻
= 𝟐𝝅𝒇 (5.5)
3.等速圓周運動的切線速率：質點移動速率 不變 ，質點環
繞一周的時間為定值，方向為沿軌跡的 切線 方向
𝒗 =
𝟐𝝅𝒓
𝑻
= 𝝎𝒓 (5.6)
說明：質點在正圓形路徑上等速運動，繞一圈的時間，恰等於
週期 𝑇，繞一圈的路徑長，恰等於 2𝜋𝑟
圖 5-3 角速度方向概念(右手定
則) From hyperphysics
圖 5-4 等速率圓週運動示意圖
其中，速度向量與加速度向量垂
直
r
𝑣
𝑎c

5. 103
4.向心加速度𝒂𝒄：加速度方向不斷改變，恆指向 圓心 ，其量
值 不變 。
𝒂𝒄 = 𝒗𝝎 = 𝝎𝟐
𝒓 =
𝒗𝟐
𝒓
=
𝟒𝝅𝟐
𝒓
𝑻𝟐
(5.7)
說明：
瞬時加速度
𝑎
⃑𝑐 = lim
Δ𝑡→0
Δ𝑣
⃑
Δ𝑡
速度變化量恆指向圓心➔加速度的方向必然恆指向圓心
5.向心力(Centripetal force)：物體(質點)做等速率圓週運動時候
所受各種外力的總和(合力)。
𝑭𝒄 = 𝒎𝒂𝒄 (5.8)
錐動擺又稱圓錐擺
說明：擺球受重量𝑚𝑔 及張力𝑇 之合力作用，沿水平面作等
速率圓周運動
圖 5-6 錐動擺示意圖

𝑚
r
𝑣
𝑣
𝑣
𝑣
Δ𝜃
Δ𝜃′
𝑣
𝑣 Δ𝜃
Δ𝑣
𝑣
𝑣
Δ𝑣′ Δ𝜃′
圖 5-5 任意時間的速度變化
量𝛥𝑣 指向圓心。

6. 104
CHAPTER 5 牛頓運動定律(II) | 選修物理 1
答：(1)𝑓 = 90 Hz，𝑇 =
1
90
s (2)𝑣 ≈ 79
m
s
，𝑎c ≈ 44768
m
s2
類題：一機械式時鐘的秒針長 10 cm，試求秒針尖端的角速度
與瞬時加速度的量值。 答：(1) 𝜔 =
𝜋
30
(rad/s) (2) 𝑎 =
𝜋2
90
(cm/s2
)
等速率圓週運動-離心機
生物/生科/醫學領域常用離心機將血液中的細胞、蛋白質、血
小板等、血清分開，以利後續科學研究或是醫療用途，如圖
(a)所示。其原理是利用向心力將不同密度粒子從溶液中加速
分離出來。如圖(b)，試管某點與中心軸距離為 14 cm，當內
盤轉速達到 5400 rpm 時，請回答下列問題
(1) 離心機的週期、頻率
(2) 該點的切線速率與向心加速度(用計算機處理數據)
例題
𝑟 = 14 cm
𝜔 = 5400 rpm
(b)
(a)
Check Your Understanding 離心力?向心力?
當汽車經歷彎道時，汽車內乘客也會受到一沿轉動
半徑向外推出(或拉出)的作用力
，
將乘客往靠彎道外
側方向推，這樣的力常稱為離心力(Centrifugal
force)。因此，常有人誤認為離心力與向心力是兩種
不同的概念。
但離心力實際上是假想力(虛設力)
，
只是在旋轉座標
系(非慣性座標)中
，
此離心力量值恰巧等於向心力量
值，其方向與向心力相反，因而造成上述誤解。

7. 105
❑等速率圓週運動的應用
1.行星(人造衛星)繞恆星(地球)視為等速率圓週運動
說明：人造衛星與行星之間的萬有引力成為向心力
2.帶電質點垂直射入均勻磁場，質點受到磁力成為向心力而開
始繞行。
圖 5-7 帶電粒子進入均勻磁場後，會因為【電性】而有不同方向的繞行
軌跡，可用來區分粒子是否帶電。
3.氫原子模型：假設電子繞原子核等速率圓週運動
圖 5-8 電子繞原子核進行等速圓周運動
恆星
行星
+ －
+
+
-

8. 106
CHAPTER 5 牛頓運動定律(II) | 選修物理 1
答：1. 1.5 rad/s 2.約 4.4 N
類題：彈簧長 10cm，將一端固定另一端懸一物時伸長 2 cm，
若以通過固定端的鉛直線為軸，使該物體旋轉如圖，則在測得
彈簧長為 14 cm，則彈簧和旋轉間的角度 為何？ 答：60
※※類題：右圖中質量 4 公斤的物體受長均為 1.25 公尺繩作
用，作等速率圓周運動。若上方繩的張力是 60 牛頓。則：(1)
下方繩的張力是_____牛頓。(2)物體旋轉的週期是_____。
（𝑔 = 10公尺/秒 2
）
【物理奧林初試題改編】答：(1) 10
(2)√
2𝜋2
7
等速圓周運動的應用-調速器【110 年指考】
調速器可用來控制馬達的轉速，其結構如圖所示、圓筒狀的外
殼固定不動，中心轉軸隨馬達旋轉，軸上兩側各有一質量可忽
略的短棒，其上端與中心轉軸連接，下端各有一個質量為 1.0
kg 的擺錘，兩短棒與中心轉軸恆在同一平面，且此平面隨中
心轉軸旋轉時，短棒可以自由張開或合攏，當張角為 45o
時，
擺錘恰可觸及外殼；當轉速夠大時擺錘會貼著外殼，對外殼施
力，以傳達馬達轉速過大的訊息。已知外殼的內半徑為 0.40
m，重力加速度 g=10 m/s2
1. 當擺錘恰可觸及外殼而不對外殼施力時，計算此時中心轉
軸的角速度。
2. 當中心轉軸以角速度 6 rad/s 旋轉時，計算任一擺錘對外殼
施加的正向力量值。
例題

2 公尺 4 公斤
1.25 公尺
1.25 公尺

9. 107
答：(1) √𝑅𝑔 tan 𝜃 (2)√𝑅𝑔
tan 𝜃−𝜇
1+𝜇 tan 𝜃
V√𝑅𝑔
tan 𝜃+𝜇
1−𝜇 tan 𝜃
類題：一人騎腳踏車以𝑉的速率前進，進入半徑為 R 的彎路，
則車身應與鉛垂方向成 𝜃 角度才不致翻倒，求 tan =？
答：
𝑉2
𝑅𝑔
等速率圓週運動的應用-彎道設計問題
如圖，車子在彎路上前進，變路與水平成 𝜃 角傾斜，其曲率
半徑為𝑅，則求：(1)如果此車不利用摩擦力轉彎，車子速率應
為多少？ (2)若車與路之間的靜摩擦力為𝑓，則車轉彎而不側
滑的速率範圍為何？
例題

10. 108
CHAPTER 5 牛頓運動定律(II) | 選修物理 1
BIO 生物工程題目。※ 進階題
1.下列敘述何者正確？ (A)曲線運動一定有切線加速度 (B)曲
線運動一定有法線加速度 (C)曲線運動一定有切線加速度和
法線加速度 (D)圓周運動可以有切線加速度 (E)圓周運動必
為等速率運動。
2.下列關於”等速圓周運動”之敘述，何者為正確的？ (A)為等速
率運動 (B)為等速度運動(C)為等加速度運動 (D)受定力作
用 (E)動量為定值。
3.質量 4 kg 的物體在無摩擦的水平面上，以 10 m/s 之速度作半
徑 2 m 的等速率圓周運動，則其向心加速度為 (A)20 m/s2
(B)200 m/s2
(C)50 m/s2
(D)5 m/s2
。
4.以一定速率𝑉，半徑𝑅作圓周運動，則：(A)繞 1/6 周時間內之
平均速度量值為
3𝑉
𝜋
(B)同(A)，但為
3𝑉
2
(C)繞 1/4 周時間內之
平均加速度量值為
2√2𝑉2
𝜋𝑅
(D)同(C)
，
但為2√2𝑉2
(E)運動一周
需時
2𝜋𝑅
𝑣
。
5.一物作半徑 2.00 m 之等速率圓運動，在 10 秒內它共轉 4 圈，
則(1)頻率為若干 Hz？(2)週期為何？(3)角速度為何？(4)切線
速度值為何？(5)向心加速度值為何？
6.如圖，質量𝑚之小球，在一頂角為 600
之
玻璃漏斗中，距地高ℎ之平面上，作等速
圓周運動，問：(1)小球作用予漏斗壁上
的 正 向 力 為 何 ?(2) 球 旋 轉 之 週 期 若
干?(3)速率為何?
7.一彈力常數為𝑘之彈簧，上端固定，下端
懸質量為𝑚之物體，使物體做水平面圓周運動，當懸線與鉛直
夾角為𝜃時，彈簧伸長量為？
8.一物做等速率圓周運動，頻率𝑓，半徑𝑅，質量𝑚，則其(1)向心
力? (2)速度? (3)轉 1/4 周之速度變化量?
9.若地球可視為半徑為𝑟的正球體，且自轉的角速率為w，則赤道
上質量為𝑚的人，其視重為何？（重力加速度𝑔）
10. 單擺長𝐿，擺錘質量𝑚。當擺錘在一水平面上以等角速度𝜔
繞鉛垂線旋轉時（見右圖）
，如擺線與鉛垂線的夾角為𝜃，則
cos𝜃等於多少？
課後 練習題
ℎ
𝑚
60o

11. 109
11. 以 36 km/hr 的速度在半徑 200 m 的彎路上行駛之火車，欲
使鐵軌不受側壓，則外側鐵軌應較內側鐵軌高出若干?(但二鐵
軌之間距離為 120 cm，而𝑔 = 10 m/s2
)
12. 在天雨時，有一摩托車選手在傾斜路面上轉彎。已知路面的
傾斜角為𝜃，而機車的迴轉半徑為𝑅，則在摩擦力甚小的情況
下，機車安全轉彎的速率為何？若機車（含騎士）的總重量
為 W，則來自地面的正向力為何？
13. 半徑 50 cm 之兩傘在高出地面 19.6 m 處以穩定頻率𝑓 =
3
5𝜋
Hz 繞鉛直軸轉動，設傘源上有足夠的水滴，沿切線方向濺
出，水滴在地面上所成軌跡為一圓，此圓的半徑為_1.3m_。
大考試題觀摩
14. 自行車以等速繞行水平的圓弧彎道時，與輪胎接觸的地面須
提供自行車足夠的向心力，方能順利轉彎。在相同的彎道轉
彎，若速率變為原來的 2 倍時，所需的向心力約需變為原來
的多少倍？(A)
1
4
(B)
1
2
(C) 1 (D) 2 (E) 4。
【106 學測】
15. 甲、乙兩質點之速率均為 v，分別在半徑為 a 及 b 的同心圓
周上做等速圓周運動。若在某一瞬間質點甲的速度方向為朝
-x 方向，質點乙的速度方向為朝+y 方向（如圖所示）
，則在
此 瞬 間 兩 質 點 的 相 對 加 速 度 之 量 值 為 (A)
𝑣2√𝑎2+𝑏2
𝑎𝑏
(B)
𝑣2√𝑏2−𝑎2
𝑎𝑏
(C)
𝑣2
√𝑎𝑏
(D)
𝑣2
√2𝑎𝑏
(E)
𝑣2
√𝑎2+𝑏2
。 【89.大學聯考】
16. 有一質量為𝑚之小珠，串於 Y 形桿上，如圖所示，該 Y 形桿
繞鉛直軸旋轉，使小珠維持於一固定長度ℎ處。若小珠與 Y
形桿間無摩擦，則 Y 形桿旋轉的角速度為何？【91.指定科
考】
17. 如圖所示，一錐擺（亦稱錐動擺或圓錐擺）的擺線長為𝐿，擺
錘質量為𝑚，一端固定於天花板上。若摩擦力、空氣阻力與
繩子的質量可忽略不計，擺線與鉛直線的夾角為𝜃，擺線的
張力設為𝐹且擺錘在水平面上以 O 點為圓心作等速圓周運動，
重力加速度為𝑔，則下列敘述哪些正確？
(A)擺錘作圓周運動所需的向心力量值為𝐹 cos 𝜃 (B)擺錘在
鉛直線的方向所受合力為零 (C)擺錘所受合力的方向沿擺
線的方向 (D)擺錘所受合力的方向指向 O 點 (E) 擺錘對
點的角動量守恆。
【106 指考】
h
※
乙
甲
x
b
a
y

O
𝑚
𝐿

12. 110
CHAPTER 5 牛頓運動定律(II) | 選修物理 1
題組【107 指考】
如圖所示，兩條長度固定為ℓ1、ℓ2且質量可忽略不計的細繩，
分別繫著質量為5𝑚和𝑚的質點，兩質點以相同的角頻率繞同
一鉛直線水平等速圓周運動。已知重力加速度為𝑔，兩繩的張
力分別為𝑇1及𝑇2，兩繩與鉛直線夾角的正弦值分別是
1
√5
及
2
√5
，
回答下列問題：
18. 張力𝑇2 為 mg 的多少倍？(A)√3 (B) 2 (C)√5 (D)√7
(E)3√5。
19. 兩細繩張力的比值
𝑇1
𝑇2
為何？(A) 3 (B) 2 (C)
6
5
(D)
5
6
(E)
1
3
。
練習題答案
1.BD 2. A 3. C 4.ACE 5. (1)0.4 r.p.s (2)2.5 s (3)0.8π
rad/s (4)1.6π m/s (5)1.28π2
m/s2
6. (1)2mg (2)2𝜋√
ℎ
3𝑔
(3)√𝑔ℎ 7.
𝑚𝑔
𝑘 cos 𝜃
8. (1)4𝜋2
𝑚𝑓2
𝑟 (2)2𝜋𝑓𝑟 (3) 2√2𝜋𝑓𝑟
9. 𝑚𝑔 − 𝑚w2
𝑟 10.
𝑔
𝜔2𝐿
11. 0.06 m 12.√𝑔𝑅 tan 𝜃 ，
𝑊
cos 𝜃
13. 1.3 14.E 15.A 16. 𝜔 = √
𝑔 cos 𝜃
ℎ 〖𝑠𝑖𝑛)2 𝜃
17. BD 18.C
19.A
※

13. 111
5.2 簡諧運動
❑振盪(Oscillation)
1.在平衡點(中央位置)的兩端或多種狀態之間做 重複性 ，
週期性 的變化。
◼ 簡諧振盪 Simple harmonic motion
◼ 阻尼與驅動振盪 Damped and driven oscillations(大學課程)
◼ 耦合振盪 Coupled oscillations(大學課程)
2.應用
◼ 動力學：單擺、傅科擺、101 大樓的阻尼球、音叉..等
◼ 地球科學：地震
圖 5-10 地震傳遞時會產生 S-wave、P-wave、Surface wave。
◼ 電子學：交流電、RCL 電路…等
◼ 天文學：造父變星、中子星
◼ 生物：大腦中神經細胞的訊號傳遞
◼ 醫學：心臟的脈動
圖 5-11 正常人的心電圖,From Wiki
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 知道簡諧運動是【振盪】其中
一種。
2. 應用等速圓周運動(參考圓)描
述簡諧運動的位置、速度、加
速度與時間的關係。
3. 知道質點做簡諧運動時候，質
點合力遵守虎克定律
0
x = 0
x =
F
F
0
x = 0
x =
F
F
(a)
(b)
圖 5-9 (a)簡諧運動的示意圖 (b)模
擬動畫 https://reurl.cc/rgeXaN

14. 112
CHAPTER 5 牛頓運動定律(II) | 選修物理 1
❑簡諧運動(Simple Harmonic Motion，簡稱 S.H.M.)
1.振盪系統在一直線上來回週期性之振動，且系統的合力遵守
虎克定律，這樣的振盪稱為簡諧運動或簡諧振盪。
2.SHM 的重要名詞
◼平衡點：振動的中央位置，質點的加速度=0，受力=0
◼端點：距離平衡點的最遠位置
◼振幅：平衡點與端點的距離，以𝑅表示。振幅的兩倍
（2𝑅）表示質點運動範圍
◼週期：完整往返振動一次所經過的時間，以𝑇表示。
◼頻率：單位時間振動的次數，以𝑓表示
3.用半徑與振幅相等的等速率圓週運動(又稱參考圓)在特定方
向的投影來分析
說明：將平衡點訂為座標原點，質點從右側端點開始移動。
◼質點位置
𝒙
⃑
⃑⃑ = 𝑹𝐜𝐨 𝐬( 𝝎𝒕) 𝐢̂ (5.9)
◼質點速度
𝒗
⃑
⃑⃑𝒙 = −𝝎𝑹𝐬𝐢 𝐧( 𝝎𝒕) 𝐢̂ (5.10)
◼質點加速度
𝒂
⃑
⃑⃑𝒙 = −𝑹𝝎𝟐
𝐜𝐨 𝐬 (𝝎𝒕) = −𝝎𝟐
𝒙 (5.11)
◼質點的受力
𝑭
⃑⃑⃑ = −𝒌𝒙
⃑
⃑⃑ (5.12)
◼質點的振盪週期
𝑻 = 𝟐𝝅√
𝒎
𝒌
(5.13)
端點
平衡點
端點
𝜃
𝑥
𝑥
𝑎
⃑𝑥
𝑣
⃑𝑥
𝜃
𝑥
圖 5-13 簡諧運動可用等速率圓週運
動投影來分析相關運動特徵
0
x = 0
x =
F
F
0
x = 0
x =
F
F
0
x = 0
x =
F
F
0
x = 0
x =
F
F
0
x = 0
x =
F
F
圖 5-12 簡諧運動位置與時間關係

15. 113
4.高中物理常見的 SHM
◼用彈簧懸掛物體之振盪系統(不論水平振盪或鉛直振盪)
說明：彈簧的力常數恰為 SHM 運動的力常數，故彈簧振盪
模式只是簡諧運動的一個例子。
◼小角度擺盪的單擺，擺錘的運動近似簡諧運動
說明：一單擺擺長為𝐿，擺垂質量為𝑚，擺繩重量可忽略不
記。擺動角度小於 5 度。
𝑻 = 𝟐𝝅√
𝑳
𝒈
(5.14)
❑總整理及解題策略
1.判斷物體是否做 S.H.M.
◼ 確定平衡點位置、再確定端點位置➔振幅 R 即可得
◼ 確認質點所受的淨力(合力)滿足 F kx
= −
◼ 找出恢復力常數 k ，算出振盪週期 𝑇 = 2𝜋√
𝑚
𝑘
及角頻
率(角速度)➔所有物理量就可全數得到
◼ 上述無法解題時候，則可再加入「參考圓」概念來解題。
2.S.H.M 六大公式：
物體從端點開始振盪，振盪半徑為𝑅，角速度為w，振盪時
間為𝑡，物體質量為𝑚，振盪過程中恢復力常數為𝑘
左端點 平衡點 右端點
位置 −𝑅 0 R
速度 0 ±𝑅𝜔 0
加速度 𝜔2
𝑅 0 −𝜔2
𝑅
合力 𝑚𝜔2
𝑅 0 −𝑚𝜔2
𝑅
週期 𝑇 = 2𝜋√
𝑚
𝑘
= 2𝜋√
𝑥
𝑎
力學能守恆 1
2
𝑘𝑅2
=
1
2
𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥
2
=
1
2
𝑚𝑣𝑥
2
+
1
2
𝑘𝑥2
θ
mg
P
𝐿
圖 5-14 小角度單擺可視為簡諧運
動

16. 114
CHAPTER 5 牛頓運動定律(II) | 選修物理 1
類題：物體做 S.H.M.，若其位置與時間的關係為𝑥 =
1
2
cos (
𝜋
4
𝑡) cm，t 以秒做單位，則：(1)振福多少？ (2)週期為
多少？ (3)當 2 秒時候，其速率為多少？(4)加速度的量值？(5)
當物體自其初始位置向平衡點運動，移至𝑥 = −
1
4
費時多少?
答：1/2 cm 、8 秒 、0 、−
𝜋2
32
𝑚
𝑠2
類題：一質點作簡諧運動，當位移量值為 8 公尺時，速率為 6
公尺/秒；位移量值為 6 公尺時，速率為 8 公尺/秒，則該簡諧
運動的振幅為 10 公尺，角頻率為 1 弧度/秒，週期為
2 秒，最大速度的大小為 10 公尺/秒，最大加速度的
大小為 10 公尺/秒 2
簡諧運動-基礎題
某物體做簡諧運動，若其位置和時間關係為𝑥 = 8 cos(
𝜋
5
𝑡)公
分，時間單位為秒。則(1) 週期為?10 秒 (2)最大速率? (3)最
大加速度? (4) t＝2 秒時質點的速率為?；加速度的量值為?
(5) 當物體自其初始位置向平衡點運動，行至位移為振幅之半
處
例題
簡諧運動-進階題
一質點作簡諧運動，當其距平衡點為 4 公尺和 3 公尺時的速度
量值分別為 6 公尺/秒、8 公尺/秒，則該簡諧運動的振幅為 5
公尺，角速度為 2 弧度/秒，週期為 秒，最大速度的
大小為 10 公尺/秒，最大加速度的大小為 20 公尺/秒 2
。
例題

17. 115
類題：一力常數為 1.00 N/m 的彈簧，一端固定在牆上，另一
端連結質量為 1.00 kg 的質點，且質點在光滑水平面上作一維
簡諧運動，以𝑥代表質點偏離平衡點（彈簧自然長度）的位
移，𝑥＞0 表示彈簧被拉長，𝑥＜0 表示彈簧被壓縮。在時間 t
= 0s 時，質點朝彈簧伸長的方向運動速率不為零，且位移
𝑥 = 0.02 m。若運動過程中力學能守恆，則時間 𝑡 = 𝜋 s
時，下列有關質點運動的敘述何者正確？(A)朝彈簧壓縮的方
向運動，且𝑥 = －0.02 m (B)朝彈簧壓縮的方向運動，且
𝑥 = 0.02 m (C)質點回到平衡點，且開始被壓縮 (D)質點回
到平衡點，且開始被拉長 (E)質點動量和時間 t =0 s 時的動量
一樣。
【109 指考補考】答：A
答：(1) 約 1.3 m/s (2) 約 7.9 × 103 m
s2
簡諧運動-【107 指考】
一物體在光滑水平面上作簡諧運動，當其位移為振幅一半
時，速率為 v，則此物體通過位移為零之平衡點時的速率為
下列何者？(A) 2𝑣 (B)
2√3
3
𝑣 (C) 𝑣 (D)
√3
2
𝑣 (E)
1
2
𝑣
例題
簡諧運動-應用題
喇叭的振膜以簡諧運動模式進行前後振動而發出聲音，如圖所
示。若某單頻音的頻率為 1.0 kHz，振膜的振幅為 0.20 mm。
(1) 振膜的最大速率為何?以及其發生位置在哪?
(2) 振膜的最大加速度為何?
例題
振膜
磁鐵
音圈
冷卻器
支承

18. 116
CHAPTER 5 牛頓運動定律(II) | 選修物理 1
類題：一物繫於彈力常數為 𝑘 的彈簧上，在光滑水平面上作
S.H.M
，
週期為𝑇
，
振幅為𝑅 (1)當物距平衡點為
𝑅
2
時之速度值
、
加速度值、彈力之量值為何 (2)物由平衡點位移 R/2 所需最
少時間為何？答：(1) 𝑣𝑥 =
√3𝜋𝑅
𝑇
𝑎𝑥 =
2𝜋2𝑅
𝑇2 𝐹 =
𝑘𝑅
2
(2)
𝑇
12
答：10 cm
類題：假設地震時，臺北 101 建築物基地的運動可視為水平
簡諧運動。若角頻率為 5 rad∕s 的地震發生時，臺北 101 可承
受的最大地面水平振幅為 0.5 m，則地震時建築物最大速率為
多少 m∕s？(A) 2.5 (B) 1.25 (C) 5 (D) 2.5 (E) 5。 答
(A)
1. 當一物作簡諧運動時，其加速度之絕對值，在每次運動路
徑端點處為：(A)零 (B)一極小值 (C)一極大值 (D)無窮大
(E)極小值與極大值之平均。
2. 有關質點作簡諧運動之敘述何者正確？ (A)質點作直線運
動 (B)質點作週期運動 (C)質點受定力作用 (D)加速度方
簡諧運動-應用題
地震時，如果地面運動的加速度太大，地面上的建築物會被破
壞。某建築物可以承受的最大地面水平加速度為 0.32𝑔
（𝑔 為
重力加速度，為 9.8 m/s2
）
。假設地震時，該建築物基地的運動
可視為水平簡諧運動，則角頻率為 5.6 rad/s 的地震發生時，
此建築物可承受的最大地面水平振幅為多少 cm？
例題
課後 練習題
𝑚

19. 117
向恒指向平衡點 (E)質點加速度量值最大時，速率最大。
3. 簡諧運動是：(A)週期運動 (B)等加速度運動 (C)變加速度
運動 (D)等速度運動 (E)等速圓周運動的一種特例。
4. 一作簡諧運動的物體，設其振幅為 R，則由端點移動 R/2 與
由平衡點移動 R/2 所需之時間比為？
5. 一物作簡諧運動，其週期為 4 秒，最大加速度值為 2 m/s2
，
則此物體自端點開始運動後，第 6 秒末之瞬間加速度值為
何？
6. 一質點作週期為𝑇的簡諧運動，令質點通過平衡點的時間
為零，則當時間為𝑇/6時，當時的速率為最大速率的幾倍？
7. 一質點作簡諧運動，當其距平衡點為 4 cm 和 3 cm 時的速
度值分別為 6 cm/s、8 cm/s，則週期為何？
8. 質量 4 kg 的木塊受彈簧牽引
，
在光滑水平面上作簡諧運動
。
已知兩端點間的距離為1(m)
，
且木塊的最大速率為2(m/s)
，
則 (A)振幅為 1(m) (B)週期為
𝜋
2
(s) (C)彈簧的力常數為
64(N/m) (D)最大加速度量值為64(m/s2
) (E)最大加速度與最
大速率的量值之比為 1：4。
9. 將力常數𝑘的彈簧掛在天花板上，在其下方懸掛質量𝑚的木
塊。當木塊達成平衡時，再將木塊下拉𝑅距離後釋放，則木
塊通過平衡點上方0.5𝑅處的速率為何？
10. 一理想彈簧下端懸掛 1 公斤的物體，先將其托住，使彈簧
不伸縮，然後放手，使其沿鉛直方向做簡諧運動，則在振
盪的中央位置時，彈簧施於物的力為多少牛頓？（𝑔 = 9.8
m/s2
）
11. 一物體掛在彈簧的下端，從平衡點拉下 0.5 m 後釋放，此
時最大速率為 4 m/s，若拉下 1 m 後再釋放，則最大速率變
為何？
12. 質量𝑚的木塊在光滑斜面上作簡諧運動時，已知彈簧的力
常數為𝑘，且木塊的振幅為(2𝑚𝑔sin𝜃)/𝑘，則當木塊移動到
最高點時，當時木塊的加速度為何？質點在最低點處的合
力量值為何？(重力加速度𝑔）
13. 質量 0.3 公斤的木塊掛在力常數 30 N/m 的彈簧下方。今在
平衡點下方 0.2 m 處將木塊釋放 (1)木塊運動的週期為何？
(2)木塊回到平衡點的最短時間為何？ (3)木塊通過平衡
點的速率為何？ (4)木塊通過平衡點下方 0.1 m 處的瞬時
速率為何？

20. 118
CHAPTER 5 牛頓運動定律(II) | 選修物理 1
大考試題觀摩
14. 地震時，如果地面運動的加速度太大，地面上的建築物會
被破壞
。
某建築物可以承受的最大地面水平加速度為 0.32g
(g 為重力加速度)。假設地震時，該建築物基地的運動可視
為水平簡諧運動，則角頻率為 5.6 弧度/秒的地震發生時，
此建築物可承受的最大地面水平振幅為 公分【89 年聯
考】
15. 假設繫住高空彈跳者的繩索可近似為質量可忽略的理想
彈簧，而空氣阻力亦可忽略。一彈跳者甲自高處鉛直落下，
最後以頻率 f 作上下的小振幅簡諧振盪。若換成一個體重
為甲的 2 倍之彈跳者乙，以同一繩索重複相同的過程，則
乙最後作簡諧振盪的頻率為下列何者？(A) 2𝑓 (B)√2𝑓
(C) 𝑓 (D)
𝑓
√2
(E)
𝑓
2
。
【100 指考】
16. 比較單擺小角度的週期性擺動與物體連結於理想彈簧所作
的簡諧運動，在忽略空氣阻力與摩擦力下，下列敘述哪些
正確？ (A)若僅將單擺細繩的長度變長，則單擺的週期會
變長 (B)若僅將單擺擺錘的質量變大，則單擺的週期會變
長 (C)若僅將彈簧的振幅變大，則簡諧運動的週期會變長
(D)若僅將彈簧的力常數變大，則簡諧運動的週期會變長
(E)若僅將連結彈簧的物體質量變大，則簡諧運動的週期會
變長。
【104 指考】
17. 當地震表面波在到達某地區時，假設固定於地面的物體僅
作水平方向的簡諧運動，其振幅為 0.20 cm，週期為 0.40 s，
最大加速度量值為 a m/s2
。若固定於地面的水平書架上的
書本不會因地震而滑動，則書本與書架板間的靜摩擦係數
不能小於μ。以下各組(a , μ)數值，何者正確？（取重力
加速度量值 g=10 m/s2）(A)(0.25 , 0.050) (B)(0.50 , 0.050)
(C)(0.50 , 0.10) (D)(1.0 , 0.10) (E)(1.5 , 0.15)。
【110 年指
考】
練習題答案
1. C 2.ABD 3.AC 4. 2：1 5. 2 m/s 6.
1
2
7. π s 8. (B)(C)
9.
𝑅
2
√
3𝑘
𝑚
10. 9.8 11. 8 m/s 12. 2𝑔sin，2𝑚𝑔sin 13. (1)0.2 (s)
(2)0.05 s (3) 2 m/s (4)√3 (m/s) 14. 10 cm 15. D 16. AB 17. B

21. 119
臺灣地處地震頻繁區域，地震發生常常帶來破壞，比方說發生
在 1999 年 9 月 21 日的 921 大地震，又稱集集大地震，其中最
大震度發生在南投縣、台中石岡測到震度 7 級(表一)。根據中
央氣象局地震報告，地震源於車籠埔斷層，斷層南端的振動周
期約為 0.25 秒；北端的振動周期約為 1 秒。
當地震來襲時，P 波速度最快，置於地板的物體開始水平搖擺
作運動，如圖所示。基於研究方便，可先將地震簡化為簡諧震
動，請回答下列問題
表一：交通部中央氣象局地震震度分級表
震度
分級
地動加速度範圍
1Gal= 1 cm/s2
人的感受
0 無感 0.8Gal 以下 人無感覺。
1 微震 0.8~2.5Gal 人靜止時可感覺微小搖晃。
2 輕震 2.5~8.0Gal 大多數的人可感到搖晃，睡眠中的人有
部分會醒來。
3 弱震 8~25Gal 幾乎所有的人都感覺搖晃，有的人會有
恐懼感。
4 中震 25~80Gal 有相當程度的恐懼感，部分的人會尋求
躲避的地方，睡眠中的人幾乎都會驚
醒。
5 強震 80~250Gal 大多數人會感到驚嚇恐慌。
6 烈震 250~400Gal 搖晃劇烈以致站立困難。
7 劇震 400Gal 以上 搖晃劇烈以致無法依意志行動。
1.台中石岡位在車籠埔斷層北段，請根據表一估算當時石岡地
面產生的最大振幅約多少公分?
(A)2.1 (B)5.2 (C)10.1 (D)20.2 (E)40.4
2.摩天大樓(100層)興建時候，就考慮耐震設計-當角速度為5.0
rad∕s的地震發生時，臺北101可承受的最大地面水平振幅為50
cm，請估算出振動時候的最大加速度大小
(A) 500 (B)1050 (C) 1250 (D)1750 (E)2500 cm/s2
3.請參考下列表格，判斷101大樓可承受多大震度等級？
(A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) 5 (E) 7。
閱讀素養題答案
1. BD 2.C 3. E
閱讀 素養題