中華民國高中物理教材 108課綱 選修物理1-CH3 平面運動 3-1 平面運動的描述 3-2 拋體運動

1. 阿 Samn 的物理課本 http://mysecretpark.blogspot.tw/
3 平面運動
平面運動
高中物理
本章簡介
特技汽機車在特技人員的操作下，其行進移動軌跡接近拋物
線，分析這樣的運動模式需要新的數學工具-向量，方便把一維
的系統擴展到二維的系統（直線→平面）
。
很幸運的是，在高中物理範圍，只討論到二維運動，因此要先
介紹一些三角函數、向量的基本規則，請同學要好好學習。
版權說明：
◼ 內頁部分圖片來自各版本教科書
或網路，版權仍屬原創者所有
◼ 講義內容採用創用授權，不得商
業化(印給學生工本費除外)

2. 46
CHAPTER 3 平面運動 | 選修物理 1
REVIEW AND SUMMARY

3. 47
3.1 平面運動的描述
❑三角函數
1.圖中的直角三角形中，𝑎為∠A (角度𝜃)的對邊長，𝑏為角度 θ
的鄰邊長，𝑐為斜邊長。角度𝜃(0°＜𝜃＜90°)
2.物理常用的邊角關係：
❑向量(Vector)
1. 具有量值與方向的數學概念，可用有向線段來表示。
◼ 符號表示：在字母上頭加一箭號來表向量，如𝑎
⃑。
◼ 線段長度：向量的 量值 ，箭頭方向：向量的 方向 。
◼ 不管平移至何處，都代表同一向量。
◼ 向量的量值為 1 的向量稱為 單位向量 。
◼ 力、速度、加速度、位移及電場、磁場等都是向量。
◼ 向量可以分解兩個分量：𝑎
⃑ = 𝑎
⃑1 + 𝑎
⃑2，𝑎
⃑1、𝑎
⃑2稱為𝑎
⃑的分
向量，兩分量夾角為任意角度，但常以垂直角度分解。
tan𝜃 =
對邊長
鄰邊長
=
𝑎
𝑏
sin𝜃 =
對邊長
斜邊長
=
𝑎
𝑐
cos𝜃 =
鄰邊長
斜邊長
=
𝑏
𝑐
A
B
C
c
b
a
𝜃
𝑣
⃑0
圖 3-3 古巴選手 Angel Jimenez Cabeza 參加 2012 倫敦身障奧林匹克運動
會 F13 跳遠比賽，起跳時速度為𝑣
⃑0，以 7.14 公尺獲得銀牌。
https://flic.kr/p/d6QNhs
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1.理解三角函數的意義。
2.應用三角函數的基礎概念於向
量分解、加減法及拋體、牛頓
力學等相關物理情境。
3.理解向量包含量值與方向，與
向量加法(減法)與一般的加減
法是不相同
4.應用向量概念，描述平面運動
中的質點的位置與位移、速度
與速率、加速度..等概念。
終點
起點
𝑎
⃑
圖 3-1 地圖任兩點的位移可利用向量
可以標示。
𝑣
⃑0
圖 3-2 起跳時速度為𝑣
⃑0，可分解兩
個相互垂直量：水平分量𝑣𝑥、鉛直
分量𝑣𝑦

4. 48
CHAPTER 3 平面運動 | 選修物理 1
2. 以直角座標表示向量𝑎
⃑
◼ 𝑥, 𝑦, 𝑧軸同方向的單位向量，分別以î,j
̂,k
̂表示
◼ 其量值為𝑎，與正𝑥軸的夾角(方向角)為𝜃
𝒂
⃑
⃑⃑ = 𝒂𝒙𝐢̂ + 𝒂𝒚j
̂
𝒂𝒙 = 𝒂 𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝒂𝒚 = 𝒂 𝐬𝐢𝐧 𝜽 ⇒ 𝒂𝟐
= 𝒂𝒙
𝟐
+ 𝒂𝒚
𝟐
(3.1)
❑向量運算-加法與減法(Vector Addition and Subtraction)
1. 使用三角形法或平行四邊形法處理向量的加減法
2. 以三角函數來尋找向量加減法後的結果
◼ 正弦定律
𝒂
𝐬𝐢𝐧 𝜽𝐀
=
𝒃
𝐬𝐢𝐧 𝜽𝐁
=
𝒄
𝐬𝐢𝐧 𝜽𝐂
(3.2)
◼ 餘弦定律：
𝒄𝟐
= 𝒂𝟐
+ 𝒃𝟐
+ 𝟐𝒂𝒃 𝐜𝐨𝐬 𝛉𝑪 (3.3)
圖 3-4 以圖 3-1 的向量進行分解
𝜃
𝑎
⃑
𝑂 𝑎𝑥
𝑎𝑦
𝑥
𝑦
x 軸的分量
y 軸的分量
(a)加法
(b)減法
𝑂
𝑎
⃑
𝑏
⃑⃑
𝑏
⃑⃑
𝑎
⃑
𝑏
⃑⃑
𝑎
⃑
𝑎
⃑
𝑏
⃑⃑
圖 3-5 PhET 模擬動畫：向量加法

5. 49
3. 以解析幾何的計算式來尋找向量量值
說明：
𝑐
⃑ = 𝑎
⃑ + 𝑏
⃑⃑ = (𝑎𝑥î + 𝑎𝑦ĵ) + (𝑏𝑥î + 𝑏𝑦ĵ)
= (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥)î + (𝑎𝑦 + 𝑏𝑦)ĵ
𝑐
⃑ = 𝑐𝑥î + 𝑐𝑦ĵ → 𝑐𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥, 𝑐𝑦 = 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦
𝑑
⃑ = 𝑎
⃑ − 𝑏
⃑⃑ = (𝑎𝑥î + 𝑎𝑦ĵ) − (𝑏𝑥î + 𝑏𝑦ĵ)
= (𝑎𝑥 − 𝑏𝑥)î + (𝑎𝑦 − 𝑏𝑦)ĵ
𝑑
⃑ = 𝑑𝑥𝑖̂ + 𝑑𝑦𝑗̂ → 𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 − 𝑏𝑥, 𝑑𝑦 = 𝑎𝑦 − 𝑏𝑦
答： (1) 10 (2) 127 度
若 A=(2,5) B=(-4,13) 求 (1) หAB
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ห =? (2)AB
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 與 X 軸夾角
多少？ (3) 𝐴
⃑ + 𝐵
⃑⃑ (4) 𝐴
⃑ − 𝐵
⃑⃑
向量運算
例題
O
O

6. 50
CHAPTER 3 平面運動 | 選修物理 1
❑平面運動的位置與位移
1.位置(position)：用來描述物體(或質點)在平面位置的向量。
◼ A1 點的位置向量：
𝒓
⃑⃑𝟏 = 𝒙𝟏𝐢̂ + 𝒚𝟏𝐣̂ (3.4)
◼ A2 點的位置向量：
𝒓
⃑⃑𝟐 = 𝒙𝟐𝐢̂ + 𝒚𝟐𝐣̂ (3.5)
圖 3-6 位置與位移向量示意圖。
2.質點位置改變後，形成位移(Displacement)
𝚫𝒓
⃑⃑ = 𝒓
⃑⃑𝟐 − 𝒓
⃑⃑𝟏 (3.6)
說明：物體由𝑟
⃑1移動到𝑟
⃑2的位移
Δ𝑟
⃑ = 𝑟
⃑2 − 𝑟
⃑1 = (𝑥2î + 𝑦2ĵ) − (𝑥1î + 𝑦1ĵ)
= (𝑥2 − 𝑥1)î + (𝑦2 − 𝑦1)ĵ = Δ𝑥 î + Δ𝑦ĵ
|Δ𝑟
⃑| = √Δ𝑥2 + Δ𝑦2
❑平面運動的速度(Velocity)
1.質點在平面運動時候的 移動快慢 及 移動方向 。
◼ 平均速度：質點從 P 點移動到 Q 點的時間為𝑡
𝒗
⃑
⃑⃑𝒂𝒗 =
𝚫𝒓
⃑⃑
𝚫𝒕
=
𝚫𝒙
𝚫𝒕
𝐢̂ +
𝚫𝒚
𝚫𝒕
𝐣̂ = 𝒗𝒙𝐢̂ + 𝒗𝒚𝐣̂ (3.7)
方向：運動軌跡上的割線，由 P 指向 Q
◼ 瞬時速度：移動時間極短，則 P、Q 相當接近
𝒗
⃑
⃑⃑ = 𝐥𝐢𝐦
𝚫𝐭→𝟎
𝚫𝒓
⃑⃑
𝚫𝒕
= 𝐥𝐢𝐦
𝚫𝒕→𝟎
(
𝚫𝒙
𝚫𝒕
𝐢̂ +
𝚫𝒚
𝚫𝒕
𝐣̂) (3.8)
方向：P點的切線方向
𝑟
⃑1
𝑟
⃑2
x
y
圖 3-7 質點在時距Δ𝑡，從 P 點移
動 Q 點
x
y
P
Q
切線
Δ𝑟
⃑
Δ𝑥
Δ𝑦

7. 51
❑平面運動的加速度
1.質點在平面移動時速度變化
◼ 平均加速度：質點由 P 移到 Q，在 P 點移動速度為𝑣
⃑1 在
Q 點移動速度為𝑣
⃑2
𝒂
⃑
⃑⃑ =
𝚫𝒗
⃑
⃑⃑
𝚫𝒕
= (
𝚫𝒗𝒙
𝚫𝒕
𝐢̂ +
𝚫𝒗𝒚
𝚫𝒕
𝐣̂) (3.9)
|𝑎
⃑| = √𝑎𝑥
2 + 𝑎𝑦
2
◼ 瞬時加速度(向量)：極短時間的平均加速度
𝒂
⃑
⃑⃑ = 𝐥𝐢𝐦
𝚫𝐭→𝟎
𝚫𝒗
⃑
⃑⃑
𝚫𝒕
= 𝐥𝐢𝐦
𝚫𝒕→𝟎
(
𝚫𝒗𝒙
𝚫𝒕
𝐢̂ +
𝚫𝒗𝒚
𝚫𝒕
𝐣̂) (3.10)
瞬時加速度的方向未必沿著物體軌跡的切線方向
2.平面運動中的加速度與速度的關係
◼ 質點進行平面運動時，其瞬時速度(切線方向)與瞬時加速
度之間的夾角，將會決定速度方向與量值的改變程度
說明：
在平面運動的質點，可以將路徑某點的加速度分解成軌跡
的 切線 方向和 法線 方向
切線加速度𝑎
⃑𝑡：加速度平行速度方向的分量
◼ 可以改變速度 大小
◼ 不改變速度 方向
法線加速度𝑎
⃑𝑁：加速度鉛直速度方向的分量
◼ 功用：可以改變速度 方向
◼ 不改變速度 大小
圖 3-8 質點從 P 點沿軌跡移動到
Q 點時，速度產生改變，必然有
加速度
x
P
Q
P 點的法線方向
P
質點 P 的
移動軌跡
圖 3-9 左圖：質點速度量值不
變。中圖：速度量值增加。右
圖：速度量值減少
P 點的切線方向

8. 52
CHAPTER 3 平面運動 | 選修物理 1
答：D
類題 1-1：某物體初速為𝑣，於𝑡時間內運動方向偏轉 120o
，則此
時間內速度變化量為何？ 答：√3𝑣
類題：在𝑥 − 𝑦平面上運動的質點，其 x 方向與 y 方向位置對
時間的關係分別是𝑥 = 3𝑡2
+ 5，𝑦 = −4𝑡2
+ 3，單位為 M.K.S
制，則此質點的加速度大小為：答：10 m/s2
物體在水面上運動，在 5 秒內速度由 6 m/s 向東，變成 8 m/s
向北，則物體的平均加速度大小為多少？ (A) 10 m/s2
(B) 8
m/s2
(C) 4 m/s2
(D) 2 m/s2
。
向量運算-減法
例題
某質點在平面上運動，其位置與時間的函數為𝑟
⃑ = 4𝑡 ⋅ i
⃑ +
(3𝑡2
+ 8) ⋅ j
⃑（M.K.S.制）
，則下列何者正確？ (A)初位置離參
考點 8 公尺 (B)1 秒末的位移大小為 5 公尺 (C)2 秒末的平
均速度為4i
⃑ + 6j
⃑
（公尺/秒） (D)承(C)，瞬時速度為4i
⃑ + 12j
⃑
（公
尺/秒） (E)承(C)，瞬時加速度大小為 6 公尺/秒。
平面運動的位移、速度、加速度
例題
補充教材-多項式微分
若𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛
，𝑛為正整數，則
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓′
(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1
此部分之數學教材在於補足高中數學無
法銜接高中物理教學而特別添加。高中
物理著重於「微分」的應用，而非是微
分的數學意義
𝑥(𝑡)
微分
→ 𝑣(𝑡)
微分
→ 𝑎(𝑡)
𝑣
𝑣

9. 53
BIO 生物工程題目。※ 進階題
1. 等加速度運動的軌跡可以是直線（例如：鉛直上拋）或是拋
物線（例如：斜向拋射）
，下列有關等加速度運動之敘述，
何者錯誤？ (A)速度大小均勻改變 (B)運動方向可改變
(C)速度方向必不變 (D)為變速度運動 (E)可以沒有法線
加速度。
2. 有甲、乙兩個質點，其速度分別為(-1 , 3) m/s 與(1 , 2) m/s，
則兩質點之速度夾角為何？
3. 一物體在水平面上作等速率圓周運動，其軌道半徑為5/𝜋 m，
週期為 20 s。求此物體：(1)5 秒內位移的大 (2)5 秒內平均
加速度的大小
4. 某質點在平面上運動，前 10 秒以 20.0 m/s 等速度向北，後
15 秒以 10.0 m/s 等速度向東，然後停止運動。求全程之(1)
路徑長(2)位移(3)平均速度(4)平均速率
大考試題觀摩
5. 《木蘭詞》中寫到花木蘭代父從軍前的準備，
「……東市買
駿馬，西市買鞍韉，南市買轡頭，北市買長鞭。……」假設
以木蘭家為中心，東市、西市、南市與北市恰好分別在木蘭
家的正東方、正西方、正南方、正北方一公里處；假設木蘭
從家中出發，在東市買了駿馬，然後很高興的牽了駿馬到西
市買鞍韉，買到鞍韉後，駿馬馱著鞍韉讓木蘭牽著到南市買
轡頭，南市出來後基本配備已經完成，木蘭騎著駿馬到北市
買長鞭，然後騎馬出城門馳騁一番，最後騎馬回到了家中。
有關木蘭的這一段旅程，下列選項何者正確？ (A)木蘭牽
著駿馬的這一段路程，位移為向西 4 公里 (B)木蘭騎著駿
馬的這一段路程，位移為向北 4 公里 (C)木蘭從家中出發
到買到鞍韉的這一段路程，位移為向西 3 公里 (D)木蘭的
駿馬身上沒有後來買的配件的這一段路程
，
位移為向西 2 公
里 (E)木蘭騎著身上配件完整的駿馬出城門馳騁，跑了多
遠並未記載，所以從北市到回家中的這一段路程，其位移無
法估算。 【107 研究試卷】
練習題答案
1. C 2. 45° 3.(1)
5√2
𝜋
m (2)
√2
10
m/s2
4. (1)350 m (2)250
m，北偏東 37° (3)10 m/s， 北偏東 37° (4)14 m/s 5. D
課後 練習題

10. 54
CHAPTER 3 平面運動 | 選修物理 1
3.2 拋體運動
❑拋體運動(Projectile Motion)
1.在空間中，質點有初速𝑣0、重力加速度𝑔 的運動模式。
2.拋體運動的類型：水平拋射運動、斜向拋射運動。
3.運動的獨立性
◼任何的平面運動可以視為兩個相互垂方向運動(ex.水平、垂
直)的總和
圖 3-10 水平拋射運動，其鉛直方向的運動模式為等加速度運動；其水平
方向的運動模式為等速度運動。
❑水平拋射運動
1.情境假定：一水平初速𝑣
⃑0的救援飛機攜帶救災物資包裹，在
高度ℎ，將救災物資丟下(重力加速度𝑔)
說明：將包裹視為質點，並忽略空氣阻力。基於慣性，該質
點水平初速亦為𝑣
⃑0
水平方向：等速度運動
鉛直方向：等加速度運動-加速度為−𝑔的靜止落下運動
𝑡秒後
質點水平速度：𝑣𝑥 = 𝑣0 質點鉛直速度：𝑣𝑦 = −𝑔𝑡
速度量值：𝑣 = √𝑣𝑥
2 + 𝑣𝑦
2 = √𝑣𝑜
2 + (𝑔𝑡)2
速度方向：tan 𝜃 =
𝑣𝑦
𝑣𝑥
=
𝑔𝑡
𝑣0
質點水平位置：𝑥 = 𝑣0𝑡
質點鉛直位置：𝑦 = −
1
2
𝑔𝑡2
兩正交方向的物理量彼
此 互不影響 。
重力加速度僅能影響鉛
直方向的速度。
重力加速度不能改變水
平速度。
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1.理解運動的獨立性。
2.應用運動的獨立性分解質點在
拋體運動軌跡中任意位置時的
速度、加速度的量值與方向。
ℎ

11. 55
2.討論：
◼ 軌跡方程式
𝒚 = (−
𝒈
𝟐𝒗𝟎
𝟐
)𝒙𝟐
(3.11)
◼ 落地時間
𝑻 = √
𝟐𝒉
𝒈
(3.12)
◼ 水平飛行距離
𝑹 = 𝒗𝟎√
𝟐𝒉
𝒈
(3.13)
答：(1) 490 m (2) 392 m (3)約 105.5 m/s (4) at =5.88 m/s2
an = 7.84 m/s2
類題：一砲彈在 80 m 高的懸崖上，水平射出一彈，欲射中一
以 5 m/s 等速遠離的船隻，則彈之初速應為_____m/s。
（發射
時，船距崖底 200m）
【雄女】 答：55 m/s
一架救援飛機地以 39.2 m/s 的水平速度朝正在海中受難者
頭頂上飛過，並且準備投下一個救生包，恰可在第10秒時
落入中海面(g=9.8 m/s2
)則：
(1)飛機離海面多高？(2) 飛機需在受難者前方多少公尺就
必須投擲(水平距離)？ (3)當救生包落入海面時候速度值為
何？ (4)第3秒時救生包的法線及切線加速度值各為若干？
拋體運動-基本題
例題
水平 垂直
運動狀
態
等速 等加速
加速度 0 −𝑔
初速 𝑣0 0
𝒕秒速度 𝑣0 −𝑔𝑡
𝒕秒位置 𝑣0𝑡 −
1
2
𝑔𝑡2
軌跡
方程式
𝑦 = (−
𝑔
2𝑣0
2
)𝑥2
快速整理

12. 56
CHAPTER 3 平面運動 | 選修物理 1
答：第三階
類題：有石階每一階高 20 cm，寬 30 cm，某物自頂階水平拋
出，𝑣0 = 5 m/s，求：(1)此物將下落幾階？(2)需時幾秒？【嘉
中、附中】答：(1) 12 階 (2) 0.7 秒
BIO 生物工程題目。※ 進階題
1. 關於平拋運動，下列說法中正確的是 (A)平拋運動是勻速運
動 (B)平拋運動是勻變速曲線運動 (C)平拋運動不是勻變
速運動 (D)作平拋運動的物體落地時速度方向一定是豎直
向下的
2. 作平拋運動的物體，在水平方向通過的最大距離取決於(A)物
體所受的重力和拋出點的高度 (B)物體所受的重力
和初速度 (C)物體的初速度和拋出點的高度 (D) 物
體所受的重力、高度和初速度
3. 一質點由某高處以速度 20 m/s 水平拋出
。
今以出發時刻為零
，
且重力加速度𝑔＝10 m/s2
，則每經過 1 秒 (A)速度的水平分
量增加量為 20m/s (B)加速度的水平分量恆為零 (C)水平
球自樓梯頂端滾出，水平速度為 2 m/s，樓梯的高與寬均為
0.3 m，則球先擊中樓梯踏板的第______階。(g = 10 m/s2
)
拋體運動-階梯問題
例題
課後 練習題

13. 57
位移增加 20 公尺 (D)速度的鉛直分量增加 10m/s (E)加速度
的鉛直分量恆為零。
4. 一物自ℎ高之塔頂水平拋射，著地時速度與水平夾角45°，求
此時水平位移？
5. 以初速𝑣0水平拋射一物，當前進水平距離＝鉛直距離時，其
水平速度大小為鉛直速度大小的幾倍？
6. 一水平拋射之物自原點出發，當其運動方向與水平夾角30°
時 ，其所在橫坐標與縱坐標大小比值為若干？
7. 自高處以初速𝑣0水平拋出一物，2 秒後切線加速度大小等於
法線加速度大小，求此時速度大小？
8. 有一石階每階高20 cm，寬30 cm，自石階頂端將一石以5 m/s
之初速水平拋出，若𝑔＝10 m/s2
，則(1)此石將落於第幾階？
(2)此石碰到石階需幾秒？
9. 如圖所示，在水平路面上一運動員駕駛摩托車跨越壕溝，壕
溝兩側的高度差為0.8m，水準距離為8 m，則運動員跨過壕溝
的初速度至少為（取g=10m/s2
）
大考試題觀摩
10. 一棒球飛向二壘的正上方，球與二壘的水平距離為6.0 m 時，
教練開始計時，此時球的高度為1.8m，速度為20 m/s水平向前。
若忽略阻力，則下列有關此球運動的敘述哪些正確？（此題
假設重力加速度為10 m/s2
） (A) 0.3s時球飛至二壘正上方
(B)飛至二壘正上方時，水平速度分量大於20 m/s (C) 0.3 s時
球的高度為1.35 m (D)球落地點與二壘間的水平距離為6.0
m (E)若球與地面作彈性碰撞
， 則反彈後的最高點與二壘間
的水平距離為12 m。
【92.指考】
11. 同學們玩飛鏢遊戲，某生持一飛鏢水平瞄準靶心X點，將飛
鏢在距離X點2 m處，以20 m/s速率水平射出，如圖所示。若
飛鏢被射出後擊中Y點，則XY之間的距離為何？（假設飛鏢
可視為質點、空氣阻力可略，取重力加速度為10 m/s2
）
(A) 0.5
m (B) 0.2 m (C) 0.1 m (D) 0.05 m (E) 0.02 m。
【109指考
補考】
練習題答案
1. B 2.C 3.BCD 4. 2ℎ 5.
1
2
6. 2√3 7.√2𝑣0 8. (1)12 階
(2)
2√3
5
秒 9. 20 m/s 10. ACD 11. D
0.8m
2 m
X
Y

14. 58
CHAPTER 3 平面運動 | 選修物理 1
❑斜向拋射運動的分析
1.棒球或足球運動中，常看到球以特定速度、角度飛上空中，並
落下，整個過程形成拋物線軌跡。在物理學，此情境可以簡化
成一質點以初速𝑣0，仰角𝜃拋出，並假設無空氣阻力作用。
◼上升飛行時間
𝒕𝒖𝒑 =
𝒗𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝜽
𝒈
(3.14)
◼上升最大高度
𝑯 =
𝒗𝟎
𝟐
𝐬𝐢𝐧𝟐
𝜽
𝟐𝒈
(3.15)
◼回到原高度時的飛行時間
𝒕𝒂𝒍𝒍 =
𝟐𝒗𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝜽
𝒈
(3.16)
◼回到原高度時的水平飛行距離
𝑹 =
𝒗𝟎
𝟐
𝐬𝐢𝐧𝟐𝜽
𝒈
(3.17)
說明：
初始條件 𝑡 = 0
質點的水平速度： 𝑣0𝑥 = 𝑣0 cos 𝜃
質點的鉛直速度： 𝑣0𝑦 = 𝑣0 sin 𝜃
𝑡 秒時的物理量
質點的水平速度：
𝑣0𝑥 = 𝑣0cos𝜃
質點的鉛直速度：
𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡 = (𝑣0sin𝜃) − 𝑔𝑡
水平位移：
Δ𝑥 = 𝑥 − 𝑥0 = 𝑣0𝑥𝑡 = (𝑣0cos𝜃)𝑡
鉛直位移：
Δ𝑦 = 𝑦 − 𝑦0 = 𝑣0𝑦𝑡 −
1
2
𝑔𝑡2
= (𝑣0sin𝜃)𝑡 −
1
2
𝑔𝑡2
軌跡方程式：
𝑦 = tan𝜃 ⋅ 𝑥 −
𝑔
2𝑣0
2cos2𝜃
𝑥2
圖 3-11 罰球時，籃球員會以特定
角度、速率將球拋出，可類比為拋
體運動。From CK-12
𝑣0
𝑣𝑦
𝑣𝑥

15. 59
到達最高度𝐻，y 方向速度為 0，可得
𝑡 =
𝑣0 𝑠𝑖𝑛 𝜃
𝑔
下降過程：最高點開始落下到原出發點
全程飛行時間
𝑇 =
2𝑣0 𝑠𝑖𝑛 𝜃
𝑔
最大高度：
𝐻 =
𝑣0
2
sin2
𝜃
2𝑔
圖 3-13 以相同的初速，不同仰角計算出的拋物線軌跡，可以發現當角度
互餘時，水平移動距離相等。
水平方向：視為 等速度 運動
鉛直方向：視為
鉛直上拋 運動
圖 3-12 PhET ：拋體運動
水平 垂直
運動狀
態
等速 等加速
加速度 0 −𝑔
初速 𝑣0 0
𝒕秒速度 𝑣0 −𝑔𝑡
𝒕秒位置 𝑣0𝑡 −
1
2
𝑔𝑡2
軌跡
方程式
𝑦 = (−
𝑔
2𝑣0
2
)𝑥2
快速整理

16. 60
CHAPTER 3 平面運動 | 選修物理 1
答 ： (1) 𝑣
⃑(4) = 80î + 20ĵ m/s (2) 𝑆
⃑(4) = 320î + 160ĵ m
(3)180 m (4)12 s (5)960 m (6) 𝑎𝑡 = 0 m/s2
𝑎𝑛 = −10
m/s2
類題：一物體以 30 m/s 之速度，仰角 30o
，自地面向上拋射，
求：(1)2 秒後之位置向量和速度。(2)軌跡方程式。(3)飛行時
間。(4)水平射程。(5)最大高度和水平射程之比。答：(1)
30√3î+10j
̂ m, 30î − 20ĵ m/s (2) 𝑦 = −
1
135
𝑥2
(3) 3 秒 (4)
90 m (5)
1
4√3
以100 m/s之初速，仰角37°斜向拋射一物體，g＝10 m/s2
，
求物體：(1)4秒末速度 (2)4秒末位移 (3)可達最大高度
(4)飛行時間 (5)水平射程 (6)最高點切線加速度與法
線加速度
斜向拋射-基礎題
例題

17. 61
答：全
類題：一砲在高 50 m 之砲臺上向海面射擊，初速為 20 m/s，
仰角為 30，恰可擊中停泊於海面之敵艦，試求：(1)砲彈在空
中飛行之時間。 (2)艦與砲臺間之水平距離。 (3)設艦係以 5
m/s 之速度向砲臺進行，求發砲時艦與砲臺間之水平距離。
【北一女、師大附中】 答：(1) 4.3 s (2) 74.5 m (3) 96 m
類題：如圖，自ℎ高的 A 點將物體 P 以初速𝑣0仰角𝜃 拋出而落
於地面 B 點，另一物體 Q 同時以初速𝑣0、俯角𝜃 被拋出而落
於地面 C 點。(1) 求兩物落地時間差𝑡 ？(2) 求兩物水平射程
差𝑥？
答：(1)
2𝑣0 sin 𝜃
𝑔
(2)
2𝑣0
2 cos𝜃⋅sin 𝜃
𝑔
某物從30 m高的樓頂上，以速度10 m/s及仰角60度斜拋而
出，如右圖，則：(A)從拋出至落地，費時約3.5 秒 (B)物
體的水平射程約18公尺 (C)物體落地時的鉛直速度量值約
26 m/s (D)物體落地時的水平速度量值為5 (E)物體離地
的最大高度約34 m。
斜向拋射-綜合題
例題
30 m
60°
𝑣0
A
B
C
D
x
y


h
v0

18. 62
CHAPTER 3 平面運動 | 選修物理 1
BIO 生物工程題目。※ 進階題
1. 質量m之物置於光滑斜板上，由A點靜止釋放，若AB長為ℎ，
BC 高 亦 為 ℎ ， 則 物 落 地 點 距 C 點 多 遠 ？ (A)
√3
3
ℎ (B)
√3
2
ℎ
(C)
2√3
3
ℎ (D)√2ℎ (E)2ℎ。
2. 一質點以仰角 30、初速 50 m/s 射出後，已知質點於某時刻
通過前方某距離處一座高度 20 m 的塔頂尖端
，
則(g＝10 m/s2
)
(A)質點通過塔頂的時刻為 1 s (B)塔頂與發射點間的水平距
離為25√3 m (C)質點最大飛行高度為 31.25 m (D)全程的
飛行時間為 5 s (E)質點的水平射程為125√3 m。
3. 一質點由地面斜向拋出，其軌跡方程式為 𝑦 = −𝑥2
+ 𝑥，則
(𝑔 = 10 m/s2
) (A)拋射仰角為30° (B)最高點與出發點的水
平距離為0.5 m (C)最大高度為0.25 m (D)全程飛行時間為
1
√5
s (E)初速之量值為√10 m/s 。
4. 高空水平等速且直線飛行的轟炸機，每隔2s放下一顆炸彈，
若不計空氣阻力，下列說法中正確的有那些?
(A)炸彈落在地面時，所有炸彈落點可連成一條直線，相鄰兩
落點間距隨時間增加而加大 (B)炸彈落在地面時，所有炸彈
落點可連成一條直線，相鄰兩落點間距相等 (C)炸彈落地
瞬間，每個炸彈的速度大小及速度方向均相等
(D)在飛機上看到炸彈的相對
位置，如下圖
(E)在飛機上看到炸彈的相對
位置，如下圖
5. 兩次斜拋，最大高度相同，初速不相同且仰角分別為30°及45°，
求其水平射程的比?
6. 斜向拋射，若最大高度為水平射程之半，求拋射仰角。
7. 一球自斜角53°斜面頂端上拋出，球的初速10 m/s，方向與斜
面垂直，若重力加速度為10 m/s2
，則小球在空中的飛行時間
為何？，小球落點與出發點的距離為多少？
課後 練習題
h
A
B
C 地面
30
ℎ

19. 63
8. 由地面斜拋一物，落地時水平射程 𝑅，軌跡最大高度 ℎ，則
軌跡中高ℎ/2 二點A，B兩點的距離為何？
大考試題觀摩
9. 跳遠比賽時，某生助跑後從起跳板躍起落在沙坑中，已知起
跳點與落地點在同一水平面。若空氣阻力可忽略，跳遠者僅
受重力作用且可視為質量集中於質心的質點，則在該生起跳
後到落地前的過程中，下列有關其運動的敘述哪些是正確的？
（應選2項）(A)該生作等速度運動 (B)該生作等加速度運動
(C)該生作變速圓周運動 (D)該生的速率在最高點達最大
(E)該生落地前的瞬間速率等於躍起時的瞬間速率。
【101學測】
10. 如圖所示，一質量為m可視為質點的小球從離地𝐻處水平射
出，第一次落地時的水平位移為
4𝐻
3
，反彈高度為
9𝐻
16
。若地板為
光滑，且空氣阻力可以忽略，而小球與地板接觸的時間為t，
重力加速度為g。小球第一次落地點到第二次落地點的水平距
離為何？(A) 𝐻 (B)
4𝐻
3
(C)
3𝐻
2
(D) 2𝐻 (E)
8𝐻
3
。
【102指考】
11.籃 球 比 賽 中，進 攻 球 隊 的 當 家 射 手 運 球 在 三 分 線 外，
突 然 急 停 跳 投，以 與 水 平 面夾角𝜃
（cos 𝜃 = 4/5）
的仰角
、
初速𝑣0 = 9.00 m/s 將籃球投出，並通過籃框中心入網，已知
籃框距離水平地面的高度𝐻 = 3.05 m，籃球被投出時，距離
地面高度ℎ、與籃框中心點的水平距離 𝑑 = 7.20 m，若將籃
球視為質點，且忽略籃 球的旋轉與空 氣 阻 力 ， 則 下 列 有
關 籃 球 運 動 狀 態 的 描 述 哪 些 正 確 ？ （ 重 力 加 速 度 𝑔 = 10.0
m/s2
） (A) 在運動的過程中，籃球的動能守恆 (B) 籃球投
出時的初始速率比其通過籃框中心時的速率大 (C) 籃球從
被投出至運動軌跡最高點經過的時間約0.72 s (D) 籃球從
被投出至通過籃框中心經過的時間約1.00 s (E) 籃球被投
出時，距離地面高度 ℎ 約2.65 m 【109指考】
練習題答案
1. A 2.ABCDE 3. BCDE 4. BCE 5. √3: 1 6. tan-1
2 7.
10
3
,
400
9
8.
𝑅
√2
9.BE 10. D 11. BDE

20. 64
CHAPTER 3 平面運動 | 選修物理 1
1. 某日 小瑜、小嘉、小珊在討論理想狀態下的拋體運動相關細
節。
-----
小瑜：
「將小球向天空斜射出去後會往上飛，也會往前進，是受
到兩個力的作用，所以實際上有兩個加速度作用在小球上」
小嘉：
「才不是!!不論是水平還是斜向丟出，小球都會往下掉是
因為物體在空中時只受到一個力的作用，所以只有一個加速度
。」
小珊：
「你們忘了嗎?斜拋出去的小球在空中有法線加速度與切
線加速度，所以實際上有兩個加速度，一個在切線方向，一個
在法線方向」
小瑜：
「小球在天空飛，原本向上與往前運動，過了最高點之後
，改成往下落和繼續往前進，所以過了最高點之後，原本作用
在物體上的其中一個力變換方向，因此加速度也換了方向」
小嘉說：
「其實，切線與法線加速度都是同一個加速度在同一時
刻不同方向的分量而己，小球依舊只有一個加速度」
----
請根據所學，選出正確的選項
(A) 小瑜的解釋是錯誤的、但小珊的解釋是正確的
(B) 小瑜的解釋是正確的、但小珊的解釋是錯誤的
(C) 只有小嘉的解釋是錯誤，其餘兩人的解釋是正確的
(D) 只有小嘉的解釋是正確，其餘兩人的解釋是錯誤的
(E) 三人的解釋都是錯誤的。
題組：
台灣夜市裡的套環遊戲是一個老少咸宜的活動。從照片中可以
看到一個小女孩正在丟擲套環套到想要的東西。當小女孩水平
拋出套環，受地表重力影響，則可看見套環飛行軌跡類似拋物
線。請依序回下列問題。
閱讀 素養題
高度ℎ

21. 65
2. 假如忽略空氣阻力的影響，則下列敘述何者正確？
(A) 套環質量變大時，其落地的時間變長
(B) 套環質量變小時，其落地的時間變短
(C) 套環的水平初速變大時，其落地的時間變長
(D) 套環水平速度變小時，其落地的時間變短
(E) 投擲時的高度不變，其落地時間保持不變。
3. 承1.，套環在飛行過程中，下列那個量的量值會減小？
(A) 瞬時速度的水平分量 (B) 瞬時速度的鉛直分量
(C) 法線加速度 (D) 切線加速度
(E) 加速度 。
4. 承2.，套環在飛行過程中，速度方向與水平方向的夾角為𝛼，
則tan 𝛼隨時間t的關係圖為?
5. 承2.，套環在著地瞬間，在水平方向移動的的最大距離取決於
(A) 套環的初速度 (B) 套環所受的重力和初速度
(C) 套環的初速度和拋出點的高度
(D) 套環所受的重力、高度和初速度
(E) 套環所受的重力和拋出點的高度
練習題答案
1. D 2.E 3. C 4. B 5. C
𝑡
tan𝛼
(A)
𝑡
tan𝛼
(B)
𝑡
tan𝛼
(C)
𝑡
tan𝛼
(D)

22. 66
CHAPTER 3 平面運動 | 選修物理 1
看電影認識科學家：關鍵少數的原型人物 Katherine Johnson
這部電影主要講述了在美國種族隔離大行其道的 20 世紀 60 年代，三
位黑人女性衝破性別和種族的歧視，為「太空競賽」下的美國航空事業做
出了巨大貢獻。隨著《關鍵少數》的上映，真正的「隱藏人物」Katherine
Johnson 才漸漸走入人們的視野。
Katherine Johnson 生於美國西維吉尼亞州白硫磺泉鎮，於 1953 年應聘
入職 NASA，起初她被指派到由另一位非裔數學家和計算員多蘿西·沃恩
領導、名為「西區計算員」
（West Area Computers）的部門工作。這是因
為當時維吉尼亞州的種族隔離法律以及 20 世紀初頒布的聯邦工作場所隔
離規定，強森和其他非裔女性計算員工必須與白人同僚分隔工作、飲食和
如廁的場所。
後來改派到蘭利飛行研究分部的制導和控制部門，於 1961 年計算水
星計畫任務的飛行軌道，並劃定了後備航線圖，供太空人一旦遇上太空船
電子故障時作緊急回航之用。甚至 NASA 第一次運用電腦計算繞地球飛
行的軌道時，也應當時太空人格倫要求請 Johnson 來核實電腦的計算數
據，否則他將拒絕執行任務。
35 年任職生涯裡，Johnson 在航天動力學範疇的計算數據除了協助水
星計畫、登月計畫外，也替後來的太空梭計劃的啟動以及火星探測計劃的
籌備奠定了重要基礎。最後於 2015 年獲得平民最高級別的榮譽總統自由
獎章
參考資料
1. 凱瑟琳·強森,Wiki, https://reurl.cc/a9j34D
2. NASA 的超級女英雄逝世！看《關鍵少數》天才數學家，從家庭主婦
到太空小組的傳奇一生,數位時代,https://reurl.cc/a9j3VZ