Chapter 20 磁

Chapter 20 磁場
國立台東高中趙臨軒老師
09/07/14 國立台東高級中學1

目錄
• §20-1 磁場與磁力線
• §20-2 電流的磁效應
• §20-3 載流導線載磁場中所受的力
• §20-4 載流線圈在磁場中所受的力矩
• §20-5 帶電質點在磁場中所受的力

導讀
• 本章的地位：在介紹過靜電及電流之後，
本章要介紹電與磁之間的關係，這裡可以
說和前面有關電與磁的關係不大。
• 可是卻是許多同學覺得困難的地方。
• 原因就在於公式很多並且代數也很多。
• 更需要有很強的數學背景。
• 所以在這一章不僅要認真聽講，更要自行
整理公式，消化成為自己的東西才行。

重點
Outline
• 磁場
The Magnetic Field
• 移動中的電荷所受的磁力
The Magnetic Force on Moving Charges
• 帶電粒子在磁場中的運動
The Motion of Charged Particles in a Magnetic Field
• 載流導線上的磁力
The Magnetic Force Exerted on a Current-Carrying Wire
• 磁力矩
Magnetic Torque

§20-1 磁場與磁力線
• 基本概念
• 磁的現象發現很早，並非所有東西都具有
磁性
• 拿一個磁鐵接近鐵釘，鐵釘會因此被磁化
而具有磁性，這個現象稱為磁感應
• 也並非所有東西都能夠被磁化

磁化的現象
• 內部分子本來是混亂排
列的，後來因為磁性物
質的靠近，使得分子排
列的整齊一些，使得整
體帶有了磁性
• 這個磁性會隨著磁性物
質的消失而回復原狀。
• 磁學和電學的討論相同
，都是超距力，作用力
大小也都隨距離增大而
變小，

磁極
Magnetic poles
• 磁極：為磁鐵之磁性最
強處。
• N極(指北極)：指向北
方的磁極
• S極(指南極)：指向南
方的磁極
• 同性極相斥，而異性極
相吸。

磁場
The Magnetic Field
• 在磁鐵的周圍，磁力作用所及的區域稱為
磁場。
• 磁場的觀念源自於法拉第
• 以虛擬的磁力線來描述空間中的磁場形狀
與強度。

磁場
The Magnetic Field
• 兩磁棒平行放置且同極相鄰時
• 兩磁棒平行放置且異極相鄰時

磁力線
Magnetic lines of force
• 磁力線上各點的切線方向便是該處磁場的方向
，
• 磁力線之間不會相交。
• 磁力線的密集程度代表磁場的強弱
• 愈近磁極處的磁力線愈密集，磁場就愈強。
• 磁力線是一條封閉曲線
• 在磁鐵外部，其方向從N極指向S極;
• 在磁鐵內部，則從S極指向N極。

磁場
The Magnetic Field
• 在磁場中所置小磁針所受的磁力愈大，表
示該處磁場強度愈大
• 在磁場中所置小磁針N 極的指向，則定義
為該處磁場的方向。
• 磁場雖然是指空間中磁場強度的分佈，但
為了方便，空間中某處的磁場強度也常簡
稱為磁場。

磁場方向的表示法（重要）
• 磁場的方向向內垂直
於紙面，其記號類似
於向內射入紙面的箭
尾形狀
• 磁場的方向向外垂直
於紙面，其記號類似
於向外射出紙面的箭
頭形狀

磁與電的相異點
• 單一電荷與雙極磁場
• 正、負電荷可以單獨存在
• 磁鐵的N極和S極總是成對存在
• 科學家至今仍未找到單獨存在的N極或S極。

• 固有性質
• 磁性是磁鐵所具有的固有特性，
• 不像玻璃、琥珀等須經摩擦才帶有電性。
• 帶電、帶磁的能力
• 磁鐵僅能使部份物質(如鐵、鈷、鎳等元素或
其合金等)磁化，
• 但帶電體卻能使所有物質產生靜電感應。

• 屏蔽情形
• 磁鐵間的磁力不因一般物質阻隔而消失
• 但靜電力則可能被某些物質所阻隔。

地球磁場
The Earth’s Magnetic Field
• 地球的磁軸(即磁棒的中
心線)方向和地球的極軸
(即地理南北極的連線)方
向之間的夾角約為11°。
• 磁棒的S極靠近地理北極
，而其N極靠近地理南極
，地球外部的磁力線方向
由地理的南方指向北方。

地球磁場
• 地磁三要素：
• 地磁水平強度
• 磁偏角
• 磁傾角
• 若磁針可在水平面上
自由轉動，則當磁針
靜止時，其N極指示
的方向稱為地磁北方
。
• 地磁北方和地理北方
的方向並不一致，兩
者之間的夾角θ稱為
磁偏角，其值隨地球
表面上的位置而異。

地球磁場
• 若磁針可在鉛直面上
自由轉動，則磁針將
靜止在地球磁力線的
方向上。
• 磁針和水平面之間的
夾角ψ稱為磁傾角。
• 地磁強度B在水平方
向的分量，稱為水平
地磁強度。
Bh = B´cosf

地球磁場
• 太陽表面的強
烈爆炸，送出
大量的帶電離
子（稱為電
漿）射向太空。
這種電漿以超
音速的速度直
奔地球而來，
稱為太陽風。

地球磁場
• 還好地球有強
烈的磁場。帶
電離子只能順
著磁場跑，而
難以穿越磁場
，因此太陽風
無法直接打擊
地球，但已足
以把地球磁場
予以嚴重扭曲
。

地球磁場
• 部分電漿順著磁場
跑到離地球很遠的
地方後，再順著磁
場回來，並且集中
射向南、北兩磁極
（和地理的南、北
兩極相差不是很
遠），然後打擊大
氣上層的空氣分子
，而造成極光奇景
。

地球磁場
• 如果沒有大
氣，這些回
流的電漿仍
然具有相當
的威力，打
擊地球上的
生物。

地球磁場
• 極光，是太陽發出的高速帶電粒
子（太陽風）被地球磁場捕獲，
在極區上空與大氣分子產生交互
作用，所產生的發光現象；
• 隨著高空的風飄動，形成美麗又
變幻莫測的光之舞。
• 在離地球南北極圈附近約一百公
里以上的高空，釋放出相當於一
百萬兆瓦電力的光芒，編織出一
道道藍綠、紅或黃的光河與光幕
。

地球磁場
• 極光的出現和太陽黑子活動有明顯的關聯，太陽
黑子的數量由多變少，週期約為十一年。
• 本圖為中興大學研究生林致君在加拿大白馬市
〈Whitehorse〉攝氏零下三十八度的環境下，使
用Sony數位相機拍攝，拍攝日期為2003年1月
23日
• 正值太陽黑子活動極大期過後不久，仍可感受到
高潮迭起的極光秀。

§20-2 電流的磁效應
• 1820年，厄司特發現一條通有電流的直導
線，可使附近的磁針產生偏轉，表示載流
導線的周圍會產生磁場

安培右手定則
Ampere’s right-hand rule
• 1820年，安培提出安
培右手定則用以判定
載流導線周圍磁場方
向。

必歐- 沙伐定律
Biot-Savart law
• 1820年，必歐與沙伐
兩人建立一小段電流
在空間中產生磁場的
數學式。
• 載電流 I 的一小段導
線Δl，在任意點P
所產生的磁場ΔB
v
D = Dg l 0
m q
p
B 0
i
( sin )
B i r
2
4
r
2
ˆ
4
r
m
p
v D = ´ ´D l
´
向量式
純量式

必歐-沙伐定律的說明
• 磁場的單位：特士拉
TT
• μμ00為真空中的磁導率
，其大小為
0 m = p ´ - ×
4 10 7T m/ A
• 向量外積其大小定義
為
• 在載流直導線的前後
方的磁場為零，
• 向量外積方向在垂直
於兩向量所構成的平
面，由右手螺旋定則
決定。
Dl´ rˆ = Dl rˆ sinq = Dl sinq

右手螺旋定則
Right-hand Rule (RHR)
• 先將右手四指順著
第一個向量的方向
伸直，然後沿兩向
量夾角(θ<1800) 彎
向第二個向量的方
向，則拇指伸出的
方向為向量積的方
向。

無限長載流直導線所建立之磁場
Magnetic field for a long,straight wire
• 考慮一載有電流 I的無
限長的直導線，在與導
線相距 r 處所產生的
磁場大小 B 為
m
p
B = ´
0
2
I
r
• 由 Biot-Savart Law
積分可推得
i
r

數學積分過程
B I dB I d
m q m q
p p
D = ´D ¾¾ ¾® = ´ l 積分式l
sin sin
0 0
2 2
r r
4 4
B dB I dy
m q
p
= ò =
ò 0
+
sin
2 2
4
y a
+¥ +¥
-¥ -¥
令a = p -q Þ sin q = cos
a
2
r
i
y = a ´tana Þdy = a ´sec2a ´da
a2 + y2 = a2 + a2 tan2a == a2 (1+ tan2a ) = a2 sec2a

數學積分
B I a d
m cos a sec
a a
p a
= ò 0 ´ ´ ´ 2
´
2 2
a
4 sec
p
p
m a a
p
m a
p
= ´
m
p
B = ´
0
2
I
r
r
i
0 2
2
0 2
2
cos
4
sin
4
I d
a
-
I
p
a
-
p
=
ò

例1.基本題
• 兩長直導線平行，
距離 a，各載電流
i，但電流反向，如
圖所示，試求與兩
導線等距離之P點
磁場B為何？

解：
B oi
m q
p
/ 2
B = i a
o´
r a r a
B m
ia
o2
(4 )
θ
a
r
P
θ
2 cos
2
R
= ´
2 2 2 2
( ) ( )
2 2
m
p
+ +
2 2
r a
p
=
+

[75.日大]概念題
• 將一柔軟導線彎成星形迴路(如
圖)，並將它置於一光滑水平桌面
上，通以交流電流，則星形迴路：
• (A)會變形使其所圍面積變小
• (B)會變形使其所圍面積時增時減
• (C)會變形使其所圍面積增大
• (D)必須要有外加磁場存在，再通
以電流，才會變形並改變其所圍面
積。

載流圓線圈在其對稱軸(中心軸)上
所建立之磁場
• 載電流 i 、半徑為 a 的
圓形線圈上，在中心軸上
與圓心相距 R 處所生的
磁場 B 為
2
B = m
ia
0
( )
3
2 a 2 +
R
2 2
• 右手四指沿電流方向彎曲
，大拇指表磁場方向

載流圓線圈在其對稱軸(中心軸)上所建
立之磁場
• 載電流 i 、半徑為 a 的圓
形線圈上，在中心軸上與
圓心相距 R 處所生的磁場
B 為
2
B = m
ia
0
( )
3
2 a 2 +
R
2 2
• 圓心處之磁場 B 為
I
a
B = m
0
2

載流圓線圈在其對稱軸上所建立之磁場
1
ℓ• 將線圈細分成許多小段Δℓ
• 首先看Δ所產生的磁場
ΔB1
，
• 由於對稱的原因水平分量會
互相抵銷
• 我們指取它的垂直分量：
D B f = i Dl cos
f
2 2
m
cos 0
2
1 4
p
r
cos f = a =
a
r R a
+

載流圓線圈在其對稱軸上所建立之磁
場
• 當我們全部相加會得
j
i
m
D
+ å l
0
2 2
= p
1
f
cos
a R
4 ( )
n
j
B
=
B = m
ia
( )
m
i B
a å l
n
m
+ å l
= D
B = m ia ´ p a =
m
ia
a R a R
p
+ +
R = B = m
I
2
0
3
2 a 2 +
R
2 2
0
2 2 2 2 1 4 ( )
n
j
j
a R a R
= p
D
= ´
+ +
0
2 2 3/ 2
4 ( ) 1
j
j
B ia
a R
p =
2
0 0
2 2 3/ 2 2 2 3/ 2 2
4 ( ) 2( )
0 0
2
a

圓線圈的磁場
• 若僅半圓時： • 圓心角為θ之一段圓弧
B i
= m 0
0
4
a
B i
m q
a
2 2
p
= ´

例2.中女中月考考題
• 如圖所示，直線部分
為無限長，電流i，
圓半徑r，則在圓心
O點的磁場為何？
• 假定導線材質、粗細
均相同
i1
i2

解：
• 在圓形導線部分
• i1佔 ¼圓、i2佔3/4
圓
• 兩者併聯
i1
i2
R2
R1
i1 ´ R1 = i2 ´ R2
1 2
2 1
3
1
i R
i R
= =
1 2 i + i = i 1
3
4
i = i 2
1
4
i = i

解：
• 在O點建立的磁場
B i
= m ´ ´ 穿入紙面
B i
= m ´ 0 2
´ 穿出紙面
i 2
2 4
3
r
v v
代入、
i1
i2
R2
R1
2
1
4
i = i
0 1
1
1
i 2 r
4
1
3
4
i = i
1 2 1 2 0 i i i i B B Þ B + B =

解：
• 直線部分
• 相當於兩個「半長直
導線」
• 在O點所建立的磁
場
B = m ´
i
i1
i2 0
1 2
p
穿入紙面

載流螺線管內所建立之磁場
Magnetic Field of a
Solenoid
• 緊密纏繞N匝，長度
L(遠大於半徑a)之理
想螺線管
• 管外與邊界：弱而不均
勻
• 管內：磁場強且均勻
(任意位置)
B = m0 ´i ´n n N
L
=
http://phys23p.sl.psu.edu/phys_anim/EM/indexer_EM.html
MIT

核磁共振造影
Magnetic Resonance
Imaging
• 黃色：主要線圈
• 產生強的、均勻的磁
場
• 灰色：副線圈
• 產生x、y、z三方
向的小磁場
• 原理：
• 人體中的氫原子核
• 量子力學
主線圈
電磁波副線圈
發射器/接收器

核磁共振造影
Magnetic Resonance
Imaging
• 當電磁波入射到人體時
，氫原子在合適的頻率
下達到共振態，而後從
共振態的氫釋放出能量
而恢復到穩定態。
• 染病細胞比正常細胞的
恢復時間較長，而檢測
的靈敏度取決於磁場強
度，超導體所製做的超
導磁鐵可提供更高的磁
場
主線圈
電磁波副線圈
發射器/接收器

• 2003年諾貝爾生理學或醫學獎得主：
美國化學家保羅．勞特伯及
英國物理學家彼得．曼斯菲爾德爵士
• 獲獎理由：
兩人在1970年代的研究成果，開創出「磁共振造影」
(MRI, Magnetic resonance imaging 或NMR, Nuclear magnetic
resonance imaging) 醫學診斷技術，造福全球無數病患
• ＭＲＩ可說是一種全身上下、無處不能使用的重要檢查技術
，不使用高能電磁波，且不具輻射威脅，從神經系統到腹腔
，骨骼關節肌肉等各部位都可以使用，特別是在心臟疾病的
診斷上有非常好的發展。現在還發展成為血管攝影、膽管攝
影之用。甚至有能力做腦部腫瘤惡性或良性鑑別診斷，準確
度非常高。
• 全球各地目前約有2萬2千台磁共振造影儀，每年為各類病
患施行6千餘萬次掃瞄。

MRI的原理：
• 核磁共振（nuclear magnetic resonance ），是指具有磁矩的原
子核在靜磁場中，受電磁波（通常為射頻電磁振盪 radio
frequency oscillating field ）激發，而產生的共振躍遷現象。搭
配數據分析軟體，可得到如下的掃瞄影像。
• MRI主要是利用遍布全身的氫原子核，也就是質子。其他元
素的原子核在正常情況下核磁共振特性較差。
美國
General
Electric
Medical
System提供
利用MRI所得人體腦部的掃瞄圖
奇異公司
http://www.ge
med.com.tw/m
achines

核磁共振造影
Magnetic Resonance
Imaging

電磁鐵
• 如果在螺線管內插入
軟鐵芯，可使磁場大
為增強。
• 當線圈接通電流時，
軟鐵磁化成為磁鐵；
當電流切斷時，其磁
性隨之消失，因此電
磁鐵屬於暫時磁鐵。

磁性儲存
Magnetism Recording
• 用磁頭的電磁鐵來磁
化磁片或是磁帶表面
鍍層的鐵磁性材質

磁浮現象
magnetic levitation
• 利用磁力使物體懸浮
• 吸引力
• 德國
• electromagnetic
suspension (EMS)
• 排斥力
• 日本
• electrodynamic
suspension (EDS)

電動懸浮
Electrodynamic Suspension,EDS
• 是利用同性相斥的原理
• 當列車經由外力而移動，裝置於列車上
的常電導磁石產生移動磁場，而在軌道
上的線圈產生感應電流，此電流再生磁
場，由於此二磁場方向相同，故列車與
軌道間產生互斥力，列車隨即由此互
斥力舉升而懸浮。
• 列車必須先以其他方式啟動，其所帶之
磁場才能產生感應電流與磁場，車輛才
會懸浮；因此，列車必須裝置車輪以便
「起飛」與「降落」之用，
• 採用電動懸浮 (EDS) 的系統，只能以
「線性同步馬達」(Linear Synchronous
Motor, LSM) 作為推進系統，且其速度
相對較慢 (約300kph) 。

電磁懸浮
Electromagnetic Suspension,EMS
• 利用異性相吸的原理
• 列車兩側向導軌環抱 (類似跨座式
單軌系統
• 列車環抱的下部裝有電磁石，導軌
的底部裝有鋼板代替線圈，此時導
軌之鋼板在上
• 電磁石產生之磁場吸引力吸引列車
向上，列車因重力而下沉，兩力平
衡時使列車與導軌間產生間隙
(Gap)，列車即因此懸浮
• 列車一開始 (速度為零時) 即可產
生懸浮，因此列車不須裝置車輪。
• 通常採用電磁懸浮 (EMS) 的系統
，

20-3 載流導線在磁場中所受
的力
• 1825年，安培發表的
論文中記載，由於電
流的磁效應使載流導
線周圍產生磁場，此
磁場與外加磁場產生
磁力的交互作用。

載電流直導線的磁力
Magnetic Force on Current-Carrying
Wire
• 原因
• 導線通電後產生
磁場B1
• 圓形磁場
• 外加磁場B
• 鉛直向下
• 導線因磁場交互
影響
• 產生向右的「磁
力」

Wire
• 安培經過實驗及理論的分析
• 長度ℓ導線，若帶有電流i
• 在外加磁場B中，則受力大小
為
F = i ´B´l

Wire
• 用這個方法的條件是電
流與磁場必須垂直，但
若不是垂直呢？
• 則磁場必須取垂直於電
流方向的分量，如右圖
：
F = i ´l´Bsinq
B´sinq

Wire
一載有電流i ，長度為的直導線，在磁場中所B
受到的磁力
v v
v
v v
l l
l
，為電流的方向
= ´
= q q ìíî
l
F i B
F i Bsin ( 為電流方向和磁場方向的夾角
)
F
的方向遵守右手定則，如右下圖所示。

兩平行載流長直導線間相互作用之磁
力
• 實驗上發現，當兩條導線接
通以電流時會產生相互排斥
或吸引的作用力
• 這個作用力並不受金屬的屏
蔽作用影響
• 事實上也證實兩導線雖然有
電流通過，卻不代表本身會
帶電
• 所以這個作用力並非靜電的
庫侖作用力。

平行導線-電流同向-互相吸引

平行導線-電流異向-互相排斥

兩平行載流導線受力的關係
• 長直導線 1 在長直導線 2 處所生
的磁場大小
B i
m
p
0 1
=
1 2
d
• 導線 2 ( 長度為L) 所受的磁力
F = i ´ L ´ B = m
´ i ´ i ´
L
0 1 2
2 2 1 2
d
p

例3.
• 兩條平行導線，以長度為4公分的線懸掛
在相同的軸上，如右圖所示。已知兩導線
的質量密度為50公克／公尺，且導線上的
電流大小相同，方向相反，則平衡時導線
上的電流為多少安培？（重力加速度g ＝
10公尺／秒2）

解：
• 電流方向相反
• 兩者產生排斥力
• 令通過電流為 I 時
，導線(長度為L)
達成靜力平衡
mg
FB
2
mg F I L
´ tan 300 = = m
´ ´ 0
30 mg
B 2
d
p
FB

解：
• 假設兩導線長度均為1 (m)
mg
FB
mg ´ = F = ´ I ´
L
p
-
2
d
7 2
m
tan 300 0
B 2
p I
p
´ ´ ´ = ´ ´ ´
50 10 -
3
10 1 4 10 1
2
´ ´
3 2 4 10
-
I = 240(A)

例4.
• 如圖，邊長為h的正
方形線圈A，其電流
I固定，以兩條長度
恆為h的細繩，靜止
懸吊於水平長直導線
CD的正下方。

例4. (91.指考)
• 最初通過導線CD的電流為
零，兩細繩的張力為T。
• 當通過CD的電流為i，兩
細繩張力降為aT(0＜a＜
1)，
• 當CD上電流為i’時，細繩
張力正好為零。
• 若C、D兩點的電壓分別
為VC與VD，則下列選項，
何者正確？

mg = 2T T T
mg
解：
• 假設方形導線質量m
• 尚未通過電流時候

i
FB1
aT aT
mg
解：
• 通過電流為 i
F = ´ I ´
i
m
0
p
B1 2
h
´
F = ´ I ´
i
m
0
p
B2 2 2
h
´
1 2 2 B B ´aT + F = mg + F
I i I i mg aT
h h
m m
p p
´ ´ - ´ ´ = -
´ ´
( 0 0 ) 2
2 2 2
I i mg aT T a
h
m
p
´ ´ = - = -
´
0 2 2 (1 )
4
式 1
FB2

解：
• 通過電流 i’
B1 B2 F = mg + F
´ ´¢ ´ ´¢ - =
´ ´
I i I i mg
h h
m m
p p
0 0
2 2 2
´ ´¢ =
´
I i mg
h
m
p
式2 04
i’
FB1
mg
FB2

解
I i mg aT T a
h
m
p
´ ´ = - = -
´
0 2 2 (1 )
4
´ ´¢ = =
´ 式2
I i mg T
h
m
p
0 2
4
式 1
i a
i
= = -
¢
式
式2
1 1
1

20-4 載流線圈在磁場中所受的力
矩
• 上一節，一載流導線在均
勻磁場中，載電流直導線
的磁力
v v
v
l
F = i ´ B
• 故我們可將導線彎成線圈
型態，使磁力對線圈產生
力矩，而讓線圈產生旋轉

矩
• 故我們可將導線彎成
線圈型態，使磁力對
線圈產生力矩，而讓
線圈產生旋轉

矩
• 一個載流封閉線圈在均勻磁場中所受的力矩
t = i ´BÁ´sinq
t = i Á´ B
v v v
t = N í Á´ B
v v v
A：線圈面積
N：線圈圈數
 ：線圈法向量與
磁場方向的夾角
向量式

載流線圈在磁場中所受的力矩
Torque on a Current Loop in a Magnetic Field
• 說明：
• 將一個矩形的線圈放
置於固定磁場中，ef
段及cd段皆受力：
F1 = i ´L´B = i ´b´B
2 F = i ´L´B = i ´b´B

• 這兩個力方向相反，如
圖左所示，這兩個力針
對O點會產生相同方
向（順時針）的力矩，
且力矩的大小皆為：
t = F ´a q
sin
2

• 所以總和的力矩為：
t = 2 ´F á ´ sin
q
2
t = i ´Bá ´b´sinq
• 又ab為矩形的面積A，所以
上式可以改寫成：
t = i ´BÁ´sinq

• 由於力矩也是向量，這裡可
以用向量的方式來表示：
v v v
t = i Á´ B
• 若線圈共繞總數N匝，則
總力矩為：
v v v
t = N í Á´ B
A

直流電動機( 馬達)
Direct-Current (DC)Motor
• 電流流經導線4時所產生的力向下，流經導線3所產
生的力向上，使得矩形線圈作時針方向的旋轉

• 當轉過1/4週期後，由於電刷的作用使得
導線上沒有電流通過，此時線圈依靠慣性
繼續逆時針旋轉

• 當兩段導線互換位置後
，電流卻又與原來方向
相同，使線圈繼續以順
時針方向旋轉，於是線
圈便一直旋轉下去，將
電能轉換為功而輸出。
• 範例

檢流計的原理
• 當線圈通電流時，其在磁
場中會受磁力作用，使線
圈轉動，但磁力所造成的
力矩為渦行彈簧所平衡。
• 力矩的大小與通過線圈的
電流成正比。因此測量連
接在線圈上的指針的偏轉
角度，便可以得知線圈所
受力矩的大小，因而測得
通過線圈的電流。

例5
• 一載電流 i 的線
圈，其面積為
A ，今有一由左向
右的均勻磁場B
平行線圈面，如右
圖所示，則

例5
a)線圈所受的磁力矩的量
值及方向為何？
b)該線圈可繞圖中所示
(1)、(2)、(3)、(4)
中的哪幾個軸轉動？
（不計摩擦力）
c)若磁場的方向改為平行
紙面的法向量，由下向
上時，則(b)的結果如
何改變？

解：
a) 如附圖
b) 繞(2)號軸線旋轉
B
i
i i
i
A
FB
FB
(1) (2)
(3)
(4)

例6.
• 如圖，質量m，半徑R，
長度L的圓柱木頭，其上
有N匝線圈，將其放在仰
角θ 的斜面上，若要阻止
圓柱轉動，則需加一電流
i，求此電流大小？
• (圓柱置於垂直水平面且向
上的磁場B中)

解：
• 線圈通電流 i
• 磁場B向上
• 線圈產生逆時針方向
旋轉的力矩 τB
• 靜摩擦力產生順時針
力矩 τf
• 不滾動，則兩力矩大
小相等，方向相反
i
P
q
q
A v
B v
R FB
FB
fs
mg

解：不向下滾動物體達成靜力平衡狀態
åF = 0Þmg sinq = fs
i mg
i
q
A v
B v
R FB
FB
fs
mg
sin f s t = f ´R = mg q ´R
sin B t = N í Á´B´ q
t = N í ´2R ´B´sinq B l
0 B f åt = Þt =t
N í ´2Rl´B´sinq = mg sinq ´R
2
N B
=
l

20-5 帶電質點在磁場中所受
的力
• 我們知道一載流導線
在均勻磁場中，會產
生磁力，使導線偏離
• 電流的本質是電荷移
動
• 在均勻磁場中，移動
中的電荷會產生磁力

洛仁茲力
Lorentz Force
• 1892 年， Hendrik
Antoon Lorentz 在電
子發現前，提出假設
• 一電量為q、質量為
m、速度為v的帶電質
點在均勻磁場B的垂直
平F面=上q運´v動´B ´sinq

洛仁茲力
Lorentz Force
• 磁場方向恆與電荷運動
方向垂直
• 磁力對電荷恆不作功
• 電荷在磁場中的運動速
率永遠不變

帶電質點在磁場中的運動
• 當質點速度與磁場方向
垂直時，質點在磁場中
作等速率圓周運動
r mv
qB
=
T = 2 p r = 2 p
m
v qB
f = 1
=
qB
T 2
p m

螺旋運動
Helical Motion
• 一電量為q 、質量為m 、速度為v 的帶
電質點在與均勻磁場B 夾θ 角度上運動。

螺旋運動
Helical Motion
• 一電量為q 、質量為
m 、速度為v 的帶電
質點在與均勻磁場B
夾θ 角度上運動。

螺旋運動
Helical Motion
• 當質點速度與磁場方向不互相平
且不相垂直時，運動軌跡為螺旋
線。
• 垂直於磁場方向的牛頓定律：
• θ為速度與磁場方向的夾角
d
( ) 2 sin
sin
v
qvB m
r
q
q =

螺旋運動
Helical Motion
• 當質點速度與磁場方向不互相
平且不相垂直時，運動軌跡為
螺旋線。
• (1)圓周半徑：
• (2)週期：
d v T 2 mv cos
• (3)螺距：
r mv sin
= q
qB
T r m
p p
q
= =
= = p q
d
2 2
sin
v qB
//
qB

應用
• 電荷在均勻磁場中作圓周運動現象之應用
• 當帶電宇宙射線朝地球射來時，受地磁作用彎
曲而作曲線運動，使人類免於這些射線的傷害
。
• 迴旋加速器
• 質譜儀
• 磁動力學
• 拘束高溫電漿(離子體)

質譜儀
Mass Spectrometer
如右圖所示的質譜儀，將一束帶
正電荷的離子，使其直線通過
一速率選擇器（電場與磁場的交
叉區），則離子受到的電力與磁
力大小相等，方向相反，因此
0
q
qE = qvB Þ v =
E
0 0
0
離子進入上方的磁場中作圓周
運動，測出圓周半徑，即可
算出離子質量
m= qBR = qB BR
0
0
B
R
v E

磁動力學
Magnetohydrodynamics

拘束高溫電漿
• 在螺旋運動
• 當磁場變強，半徑就
會變小
r mv sin
= q
qB
• 磁力指向磁場較弱的
區域
• 核融合用來拘束高溫
電漿

迴旋加速器
cyclotron
• 帶電粒子（電量 q )
在磁場 B 中運動(速
度為（ V ）時會受到
磁力 FB 的作用
• 利用電場產生電力，
使粒子加速

迴旋加速器
cyclotron

例7.
•如圖所示，在大區域的均勻磁
場B 中，質量為m 、電量為－
q 的電荷以大小為vo，方向與
+x軸夾成30o角的速度，垂直
於磁場自原點O射出，則
•(1)經過多久時間此電荷首次通
過y軸?
•(2)此時其與原點之間的距離為
何?

解：
• 速度與磁場垂直
• 帶電質點做圓週運動
= p = p
• 首次通過y軸的時間
t = T = p
m
30度
30度
FB
120度
T 2 r 2 m
v qB
120 2
360 3
qB

解：
• 帶電質點做圓週運動
= r
• 距原點距離為L
= ´ ´ =
30度
30度
FB
150度
r mv
qB
L
L 2 mv sin 600 3mv
qB qB

例8.
• 質子(P)，氘核(D)，α質點三者在同一電
位差下加速垂直打入磁場B中，則
• (1)三者動能比?
• (2)三者速率比?
• (3)在磁場中迴轉半徑比?
• (4)若三者動能相等則在磁場中圓周運動半
徑比?

解：(1)
• 質子(P)帶正電，質量為mP ，電量QP
• 氘核(D)帶正電，質量為mD ，電量QD
• α質點帶正電，質量為mα，電量Qα : : 1: 2 : 4 p D m m ma =
: : 1:1: 2 p D Q Q Qa =

解：(1)
• 質子(P)帶正電，電量QP
• 氘核(D)帶正電，電量QD
• α質點帶正電，電量Q α
Ek =UE =q´V
: : : : kP kD k p D E E E Q Q Q a a =
: : 1:1: 2 kP kD k E E E a =

解: (2 )
• 磁力形成帶電粒子的向心力
FB = Fc v2 q v B m
r
´ ´ = ´
mv 2 mE 2 m ´
qV r
= = k = m
m qB qB qB q
m m m r r r
: : p : D :
p D
q q q
p D
a
a
a
=
: : 1 : 2 : 4 1: 2 : 2
p D 1 1 2 r r ra = =

解： (3)
• 若三者動能相同
r
= mv 2mEk = =m
m qB qB q
m m m
: : : : p D
p D
q q q
p D
r r r
a
a
a
=
: : 1 : 2 : 4 1: 2 :1
p D 1 1 2 r r ra = =

Chapter 20 磁

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (11)

Similar to Chapter 20 磁

Similar to Chapter 20 磁 (14)

More from 阿Samn的物理課本

More from 阿Samn的物理課本 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (6)

Chapter 20 磁

Editor's Notes