中華民國 高中物理教材 High School Physics Textbook in Republic of China 99課綱 -基礎物理2B

1. 阿 Samn 的物理課本 http://mysecretpark.blogspot.tw/
7 萬有引力 Gravitational Force
2020/3/12
7 萬有引力 Gravitational Force
本章學什麼？
長久以來人類對於為什麼停留在地球上、月亮為什麼繞著地球及天體
的運行，都有各種「有趣」解釋。然而只有牛頓真正對這個現象做出
正確解釋。
現在，我們已經知道這些現象背後的原因是重力-也是宇宙中最神秘
結構-黑洞的根本原因。
藉由對萬有引力的發展歷史來引出大家對宇宙組成要素有最基本的概
念。
相關版權說明：
◼ 內頁部分圖片來自各版本教科書
或網路，版權仍屬原創者所有
◼ 講義內容採用創用授權，不得商
業化(印給學生工本費除外)

2. 7-2 萬有引力 Gravitational Force
REVIEW AND SUMMARY

3. 7-37.1 萬有引力定律
7.1 萬有引力定律
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 知道萬有引力是宇宙中的四種基本交互作用力之
一
2. 理解萬有引力的量值與兩質點之間的質量及距離
有關。
3. 能畫出某質點受到某物體的萬有引力的力圖
4. 當某一質點受到的多個萬有引力作用，能夠找出合
力。
❑萬有引力 Universal Gravitational Force
1.定義：
◼ 任一兩質點(均勻球體)之間都會互相 吸引 (attractive force)
◼ 吸引力的量值與兩質點的質量乘積成 正比 ，和它們之間的
距離成 平方反比 的關係。
2.公式： 1 2
2
m m
F G
r
=
11 2 2
6.67 10 [ / ]G N m kg
r
−
=  −
：兩物體質心之間的距離
說明：萬有引力常數 G 在牛頓死後約 150 年，由卡文狄希以
扭秤實驗計算出來(補充教材)
圖 7-2 萬有引力示意圖
3.性質：
◼ 重力可疊加，遵守向量加法
說明：當考慮對行、衛星系統而言(或更大的範圍)，因為討
論距離遠大於星體體積，所有星體都可視為質點。
◼ 引力是指向均勻球體的質心
◼ 長程力：作用範圍極大。例如：太陽吸引冥王星繞太陽運行
◼ 超距力：不需要與物體接觸，就有作用。例如：地球吸引人
造衛星，不需接觸
◼ 在相同比例條件下，與庫侖靜電力相比，重力是非常微弱
圖 7-1 艾薩克·牛頓 畫像
英格蘭物理學家、數學家、天
文學家、自然哲學家和鍊金術
士。

4. 7-4 萬有引力 Gravitational Force
4.萬有引力的應用
◼ 證實克卜勒行星運動定律，給予理論的基礎(稍後說明)
◼ 解釋天文學的雙星運動
◼ 解釋潮汐現象：海水受月球的萬有引力而有漲落潮之現象
(參考上課投影片)
補充資料-球體內部的重力狀況(補充資料)
球殼理論：均勻球殼對球殼內的任一位置的質點所產生的萬有引
力為 零
簡易說明：
◼ 錐面質量各為 m1 與 m2，對應的面積 A1 與 A2
2 2 2
1 1 1 2 24
4
A r r A r

  


=  =  = ；
◼ 所以質量比為
2 2
1 2 1 2 1 2: : :m m A A r r= =
◼ 兩錐面對質點的吸引力
1 2
1 2 2 2
1 2
: : 1:1
Gm m Gm m
F F
r r
= = ➔彼此抵銷
整個球殼對質點產生的吸引力(合力)=0
例題1.：基本題
60kg的人若站在另一個星球上，這個星球的半徑是地球半徑的
1/2，質量是地球質量的1/3，他受這星球重力多大
解：
答：800 N
類題：據報導,最近在太陽系外發現了首顆“宜居”行星，其質量
約為地球質量的 6.4 倍，一個在地球表面重量為 600 N 的人在這
個行星表面的重量將變為 960 N，由此可推知該行星的半徑與地
球半徑之比約為 答： 約 2:1
範例 演練
圖 7-3 球殼定理示意圖

5. 7-57.1 萬有引力定律
例題2.：重力的向量和
質量分別為 m1 與 m2 的二物體，相距 L，欲在 m1 與 m2 之連線上找
到受兩者引力之和為零的一點，這一點與 m1 的距離為：
解：
答： 1 2
1 2
1 2 1 2
m m
r L r L
m m m m
= =
+ +
類題：相距 d 的 A、B 兩靜止銅球之質心連線中點一小物體所受
A 之吸引力為 B 之 n2
倍，則欲使小物體所受之淨力為零，則物
體需置於距 A 多遠：
𝑛𝑑
𝑛+1
例題3.：重力的向量和
如圖所示，在距一質量為 M、半徑為 R、密度均勻的球體 R 處有
一質量為 m 的質點，此時球體對質點的萬有引力為 F1.當從球體
中挖去一半徑為
2
R
的球體時，剩下部分對質點的萬有引力為
F2，求 F1:F2.
答:9:7

6. 7-6 萬有引力 Gravitational Force
例題4.：重力的向量和(科學素養應用)
HD 188753 是一個三星系統，位於天鵝座，也是迄今唯一發現有
行星運行的三星系統。該系統的主星質量約為太陽的 1.06 倍，而
兩顆伴星的總質量則為太陽的 1.63 倍，它們互相繞對方公轉，而
該雙星系統也繞著主星公轉。假設主星質量為 m1 與兩個伴星質
量為 m，彼此距離為 2d。主星 m1 與兩顆伴星 m 物體的質心距離
為 R，則如右方兩圖所示，雙 m 系統與 m1 的萬有引力各為何？
若當 d << R 時，萬有引力為何？
解：
答：(1)
2𝐺𝑚1 𝑚(𝑅2+𝑑2)
[𝑅2−𝑑2]2 (2)
𝐺𝑚1(2𝑚)
𝑅2
類題：四個質點排在正方形的角上，如圖所示，則圖中對角線交
點 O 處放置質量為 M 物體，該物體的重力大小？ 答： 2
2GmM
L

7. 7-77.1 萬有引力定律
例題5.：綜合運用-簡諧運動與萬有引力【進階題】
很多行星(木星、土星、天王星)都是被無法形成衛星的小物質形
成的圓環包圍，此外，宇宙中類似的環狀結構也不在少數。讓我
們假設均勻的細圓環半徑為 R，質量為 M，在中心軸上距環中心
x 處有一質點 m，則：
(1) m 受的引力 F 的大小為何？
(2)當 m 落下經環心 O 瞬間受力 F 的大小為何？
(3)若 R  d，則 m 會做何種運動？
答：(1)𝐹 =
𝐺𝑀𝑚𝑥
(𝑅2+𝑥2)3/2
(2)0 (3) SHM 𝑇 = 2𝜋√
𝑅3
𝐺𝑀
類題：兩物質量都是 M，固定且相距 2d，另一小質點 m，放在二
固定 M 的垂直平分線上，距兩物之中點為 x，m 會受到二個 M 的
萬有引力而來回運動。當 x <<d 時，此時運動為 S.H.M，求週期。
答：𝑇 = 𝜋√
2𝑑3
𝐺𝑀
※※類題：假定我們可由地球一端沿徑向挖地道，通過地球中心達
到另外一端，則：(1)若忽略摩擦力及假設地球為均勻球體，證明
在此隧道中的物體運動為簡諧運動(地球密度為) (2)此物體運
動的週期 答：(1)
3
4 mG
(2)


G
3
來自 Principles of physics 9/e

8. 7-8 萬有引力 Gravitational Force
補充教材-卡文狄希實驗 Cavendish experiment
1. G 為萬有引力常數，是一個普遍性的常數，不受時間地點而改
變。卡文迪西(Henry Cavendish)是第一位推算出地球質量與密
度的科學家。
2. 測量 G 的方法則由卡文狄西在 1798 年經由實驗測得，實驗裝
置如下
圖 7-5 卡文狄希實驗細部操作裝置
3. 實驗方式：
◼ 以兩等重的大鉛球(質量 M )置於兩小鉛球(質量 m )旁 ， M
和 m 的吸引使絲線扭轉一小角 ，此時 M 和 m 距離
R。
◼ 由反射光線的角度變化，計算出扭轉的角度。
◼ 由絲線的平均扭角  及絲線對扭轉的彈性係數，可計算出
M 與 m 的吸引力，代入公式即可得 G 值
G=6.6710-11
m3
/kg.s2
扭線
入射光線
反射光線
固定的
大鉛球
固定的
大鉛球
小鉛球
小鉛球
小平面鏡
圖 7-4
當年 Cavendish Experiment 的裝置圖
From: Henry Cavendish

9. 7-97.2 地表附近重力與重力加速度
7.2 地表附近重力與重力加速度
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 區分自由落體加速度與重力加速度的差異
2. 理解均勻天體的重力加速度與位置的關係
3. 理解視重與實重的差異
❑場 Field
1.當某些物體(或現象)出現時，會在它們四周的空間裡造成某些
影響，場即代表這些影響。
◼ 場就是一種空間的分布，場可以是向量，也可以是純量
◼ 純量場：溫度➔ 等溫線 ，壓力➔ 等壓線 ，高度➔ 等高
線
◼ 向量場： 重力場 、 電場 、 磁場
萬有引力、電力及磁力等超距力藉由 場 的觀念分布在空間
之中（包含真空）
❑重力場又稱重力加速度 Gravitational acceleration
1.物理意義：具有質量的任一物體會在空間中建立某種【範圍】，
另一物體在此範圍中則受到萬有引力牽引，這個又稱為重力場
2.數學定義：每單位質量的物體在某個位置受到的重力
F
g
m
= 單位：N/kg or m/s2
3.性質：
◼ 屬於向量，具有疊加性。
◼ 在地表附近，重力加速度可視為定值，與高度無關。
說明：
表格 7-1 重力加速度與高度關係
高度(km) g值(m/s2
)
一般地表 0 9.83
喜馬拉雅山 8.8 9.80
熱氣球最大高度 36.6 9.71
同步衛星 35700 0.225

10. 7-10 萬有引力 Gravitational Force
◼ 均勻球體的重力加速度分布
球外側 2
F GM
g
m r
= = ，球內： 3
F GM
g r
m R
= = 
說明：假若球體密度均勻，質量為 M，半徑為 R 的球體。
距離其球心為 r，放置一個質量為 m 的質點
圖 7-6 均勻星體的重力加速度分佈圖

11. 7-117.2 地表附近重力與重力加速度
例題6.：重力加速度【基本題】
已知月球中心和地球中心的距離大約是地球半徑的 60 倍，則月球
繞地球運行的向心加速度與地球表面上的重力加速度的比為(A) 1：
1 (B) 1：60 (C) 1：600 (D) 1：3600 (E) 600：1
答：1:3600
類題：將兩個一樣的金屬球球體融為一個大球，若密度變成原來的
1/4，則金屬球表面的重力加速度變為原來的幾倍？答：1/2
類題：某星球之質量為地球的 5 倍，其半徑為地球之半，且密度均
勻。則此星球之重力加速度為地球表面重力加速度幾倍？答：20
例題7.：視重問題【基本題】
假定地球為正球形，今質量相同的 A、B 兩人分別站在北極與赤
道。若地球的半徑為 R，自轉的角速度為  ，且地表處的重力加
速度為 g，則
(1)A、B 兩人受地球引力比為何？
(2)A、B 兩人的視重比為何？
答：(1)1：1 ，(2)g：g－ 2
R
範例 演練

12. 7-12 萬有引力 Gravitational Force
類題：：設地球為質量 M、半徑 R 的均勻球體。已知當小明立於
赤道處時，磅秤的讀數為立於北極處的 a 倍（a＜1），則地球自
轉的角速度為何？ 答：√ 𝐺𝑀(1－ 𝑎)
𝑅3
例題8.：非球體物質的重力加速度【進階題】
質量 M、半徑 R 的鐵球，挖去直徑 R 的內切圓球部分，如附圖所
示，挖去部分的球心為 B，則剩餘部分對於(1)與原球心相距 r 的
A 點 (2)在 B 點所產生的重力加速度強度量值各為多少??
答：(1)
𝐺𝑀
𝑟2 −
1
2
𝐺𝑀
(2𝑟−𝑅)2，方向向左 (2)
𝐺𝑀
2𝑅2，方向向左
類題：O 為地球 ( 質量 M ) 的球心，在地表 A 點 ( 如附圖 )
的重力場強度為 g，今若內切去質量
1
64
的圓球 ( 斜線部分 ) 移
去，則 A 點的重力場強度變為原來若干？ 答：
195
196
𝑔
AB
O
rR

13. 7-137.2 地表附近重力與重力加速度
1. 某行星其平均密度與地球相同，半徑則為地球之 2 倍，在地
球上 64 公斤的人到該星球上時，其體重為多少公斤重？
2. 將小球由地面鉛直上拋時，上升的高度為
h0；若在離地高度等於地球半徑的地方，將
同樣的小球以相同的速度鉛直上拋時，小球
可以上升的高度為何？
3. 四個質點排在正方形的角上，如圖所示，則
圖中對角線交點 O 處的重力場強度為何？
4. 質量 m 的質點擺在質量 M 的大球外側，如
圖所示，則 (1)質點所受的引力為何？ (2)
若將大球中之直徑為 R 的虛線部分去掉，
則質點所受的引力又為何？
5. 三個質點排在正三角形的角上，其質量均為
m，則質點 p 所受的引力為何?
6. 一個密度均勻的星球分裂為 8 個密度不變，質
量相等的星球。則每個星球表面的重力加速度
變為原來的幾倍？
7. A 與 B 兩星球之半徑比為 2：1，密度比為 1：3，則兩者表
面之重力加速度比為若干？
8. 將密度相同的大、小實心球靠在一起，如右
圖。已知小球的質量為 m，則大、小兩球間
的萬有引力值為何？
9. 將密度相同的大、小實心球靠在一起。已知
小球的質量為 m，將密度均勻的大球挖去一
部分，如右圖所示，則此時大、小兩球間的引力為值何？
(挖去的部分與小球等大)
10. 假設地球為均勻球體，又假設地球保持現有的密度不改變，
半徑縮小一半，則地球上物體的重量變為原來的幾倍？
歷屆考題
11. 將萬有引力常數當作已知，則從下面哪些選項中的兩個數
據，就可以估計出地球的質量? (A)地球與同步衛星間的距
離，地球的自轉周期 (B)人造衛星的運動速率，人造衛星
的周期 (C)人造衛星與地球間的距離，人造衛星的周期
(D)地球繞太陽運轉的周期，地球與太陽間的距離 (E)月球
繞地球運轉的周期，月球與地球間的距離。 [96.指定科考]
課後 練習題

14. 7-14 萬有引力 Gravitational Force
12. 若有一行星繞著恆星S作橢圓軌
道運動，則下列有關行星在右圖
所示各點的加速度量值的敘述，
何者正確？ (A)所有點都一
樣大 (B)點A處最大 (C)點B與
點F處最大 (D)點C與點E處最大 (E)點D處最大。 [98.指
定科考]
進階題：
※※類題：設地球半徑為 Re，地表重力場強度為 ge，在地球表面
上某點沿弦（x 方向）穿向地球另一端，物自弦洞一端自由運
動，則該物在此洞內作 S.H.M.，求其週期大小？答： 2 e
e
R
T
g
=
類題：兩個質量 m 的物體相距 2d，在其中垂線上距離 x 之 P
點，則(1)此位置重力場強度為多少？(2)x >> d 重力場度為何？
(3) x << d 時，將質量為 M 的物體置於該處，求此物體的振動週
期？ 答： (1)
𝐺𝑚𝑥
(𝑥2+𝑑2)3/2
(2)
2𝐺𝑚
𝑥2
(3)𝜋√
2𝑑3
𝐺𝑚
練習題答案
1. 128 kgw 2. 4h0 3.
2𝐺𝑚
𝐿2 4. (1)
1
4
𝐺𝑀𝑚
𝑅2 (2)
7
36
𝐺𝑀𝑚
𝑅2 5.
√3𝐺𝑚2
𝐿2
，
向下 6.
1
2
7. 2:3 8.
8𝐺𝑚2
9𝑅2
9.
23𝐺𝑚2
36𝑅2
10.1/2
11. ABCE 12. B

15. 7-157.2 地表附近重力與重力加速度
科學故事：為什麼是【距離平方反比】
在牛頓之前，運動學有兩支：一是天上的，由 Kepler 的三個運動定律
所統攝；一是人間的，是 Galileo Galilei 所描述的落體運動。牛頓自大學
畢業後斷斷續續探索運動學的問題，一直到 1684 年才確立了萬有引力的想
法與計算公式。
為什麼 知道 萬有引力是 向心的??
如圖一，假定經過一秒鐘後，行星從 P0 走到 P1。假定太陽 S 並沒對行
星施以任何力量，則根據 Galilei 的慣性原理，行星會繼續走直線等速運動。
因此在下一秒鐘，從 P1 走到 P2 的距離 P1 P2 與 P0 P1 相等。 兩三角形
ΔSP0 P1 與 ΔSP1 P2 因為等底等高，所以面積相等，亦即面積律成立。
然而行星並不走直線。如圖二，假定第二秒鐘，從 P1 走到 P'2，則行
星改變的方向為 P2P'2；由於克卜勒第二定律-等面積定律， 則 ΔSP1 P'2 與
ΔSP0 P1 相等，也因此與ΔSP1P2 相等。所以 P2 P'2 與 SP1 平行，因此得到
引力是向心的結論。 反之，若假定了向心力，則 P2 P'2 與 SP1 平行， 因
此ΔSP1P'2 與ΔSP1 P2 相等，也因此與ΔSP0P1 相等，故得面積律。因此
解決了太陽的引力是向心的（即指向太陽）
解決了引力的方向，牛頓想要決定引力的大小。牛頓做了粗略的估計如
下：行星運行的軌道大致為圓形，半徑大約為 R。運動大致是等速的，其
角速度假定為 𝜔，則向心力為𝑚𝑅𝜔2
， m 為行星的質量。但因 𝜔𝑇 =
2𝜋 ，而且 T2/R3=k 為定值－Kepler 的第三運動定律（週期律），所以
𝑚𝑅𝜔2
=
4𝜋𝑚
𝑘𝑅2
牛頓猜出了平方反比律：引力的大小與距離的平方成反比。後續還有他
個人發展的微積分配合，才讓他解決原本理論中的矛盾，於是他開始編寫
《自然哲學的數學原理》一書，並於 1687 年（七月五日）出版。
參考資料
1.曹亮吉,自然哲學的數學原理
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_18_07_1/
2.姚珩,田芷綾, 萬有引力平方反比律來自於橢圓律還是週期律, 科學教育月刊
第 332 期 中華民國九十九年九月
http://phy.ntnu.edu.tw/~yao/newton-gravitation.pdf

16. 7-16 萬有引力 Gravitational Force
7.3 行星與人造衛星
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 以萬有引力驗證克卜勒的行星定律。
2. 理解克卜勒第二定律是角動量守恆的應用
3. 應用克卜勒定律處理衛星的繞行周期和半徑與軌
道上天體質量之間的關係。
❑科學家對太陽系的了解
1. 西元二世紀時，托勒密認為地球是宇宙的中心，提出「地心
說」。
2. 十六世紀哥白尼提出「日心說」，認為太陽才是宇宙的中心，
建構了現在所認識的太陽系
3. 克卜勒利用第谷所遺留給他的大量有關行星運動的精確數據，
發現了行星運動的規律，稱為克卜勒定律(Kepler's Laws of
Planetary Motion) ➔天文立法者
◼ 1609 年，發表行星運動第一定律與第二定律
◼ 1619 年，發表行星運動第三定律
4. 牛頓發現了萬有引力定律，從理論上直接的導出了克卜勒定
律。牛頓證明了天體運動和地面物體的運動都遵守同樣的力學
定律。
❑克卜勒行星運動第一定律(軌道定律)
1.定義：太陽系的行星，各在以太陽為焦點的橢圓形軌道運行
2.橢圓數學資料
◼ 軌道方程式：
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
◼ 橢圓面積： a b  
◼ 半長軸： a ，半短軸： b ，焦距： 2 2
c a b= −
◼ 離心率(eccentricity)：決定橢圓扁平的程度：
0 1
c
e e
a
=  ，
圖 7-8 離心率的示意圖
行
星
太
陽
近
日
點
遠
日
點
b
ac x
y
minr maxr
行
星
太
陽
近
日
點
遠
日
點
b
ac x
y
minr maxr
圖 7-7 軌道定律

17. 7-177.3 行星與人造衛星
❑克卜勒行星運動第二定律 Kepler’s Second Law (等面積定律)
1.定義：同一行星與太陽的連線在相同時間間隔內，掃過相同
的面積。
◼同一行星的平均面積速率：
2 1 4 3
A B
t t t t
= =
− −
的面積 的面積
定值
◼同一行星的瞬時面積速率：
2
0
1 1
lim sin
2 2t
A
r rv
t
 
 →

= = =

定值
2.簡易證明：
行星在 Δt 掃過的面積： 2 21
( )
2 2
A r r

 


  = 
因此，瞬時面積速率：
2
2 2
0 0 0
1
1 12lim lim lim
2 2t t t
r
A
r r
t t t
 

 →  →  →

 
= =  =  
  
掃過的行星在 Δt 內面積
1
( sin )
2
A v t r  =   
瞬時面積速率
0
1
lim sin
2t
A
r v
t

 →

=    =

定值
3.性質：
◼由近日點移動到遠日點，速率逐漸 減少
◼由遠日點移動到近日點，速率逐漸 增加
◼ 在近日點與遠日點的運動極為類似圓周運動
r v r v = 近 近 遠 遠
圖 7-10 瞬時面積速率
r
vvθθ
sunsun
圖 7-9 等面積定律
v遠v遠
遠
日
點太
陽
近
日
點
x
y
minr maxrmaxr
v近v近

18. 7-18 萬有引力 Gravitational Force
❑克卜勒行星運動第三定律(週期定律)
1.定義：不同行星距太陽的平均距離 R 的立方與行星繞太陽週期
T 的平方之比值皆相同。
3 3
1 2
2 2
1 2
R R
T T
= = = 定值
◼軌道為橢圓：R 為行星的遠日點距離與近日點距距
離的算術平均數 ( )max min
1
2
R r r= +
◼軌道如為圓形，則 R = 圓的半徑。
2.以萬有引力定律證明克卜勒行星運動第三定律：
說明：
2
2 34
T r
GM

=
3.性質
◼第三定律是不同行星對同一被繞星球間的比較
Planet Period(yr) Ave. Dist. (AU) T2/R3 (yr2/AU3)
Mercury 0.241 0.39 0.98
Venus .615 0.72 1.01
Earth 1.00 1.00 1.00
Mars 1.88 1.52 1.01
Jupiter 11.8 5.20 0.99
Saturn 29.5 9.54 1.00
Uranus 84.0 19.18 1.00
Neptune 165 30.06 1.00
Pluto 248 39.44 1.00
◼以太陽系諸行星來看，可知平均軌道半徑越小，其行星週期
越 小 、速率越 大 、加速度越 大
◼確立以太陽為中心的行星運動學說
◼克卜勒行星運動定律可視為牛頓導出萬有引力定律的根據
圖 7-11 克卜勒第三運動定律示意圖

19. 7-197.3 行星與人造衛星
❑天體運動的運動特徵
1.衛星質量 m，以軌道半徑 r 繞質量 M 的行星作等速率圓周運
動
2.雙星 Binary star：又稱聯星是兩顆恆星各自在軌道上環繞著共
同質量中心的恆星系統，較亮的一顆稱為主星，而另一顆稱為
伴星、伴隨者，或是第二星。
◼ 雙星互繞：獨立系統的兩個星球，彼此以萬有引力為向心
力，繞共同質心運動
說明：
圖 7-12 雙星示意
m
M
v
F

20. 7-20 萬有引力 Gravitational Force
3.同步衛星(synchronous satellite)的介紹
◼ 週期：與地球自轉同步，週期為 86400 秒。
◼ 位置：恆停留於赤道上某處的正上方。
例題13.：克卜勒行星運動第三定律【基本題】
土星與地球質量比約 100：1，半徑比約 10：1，軌道半徑比 4：1，
則土星上的一年約相當於地球上的______年。
解：
答：8 年
類題：假定火星和太陽的平均距離與地球和太陽的平均距離的比
為 3:2，求(1)火星繞太陽一週的時間需要多少年？(2)火星與地球
的公轉切線速率比為多少？ (3)火星與地球的公轉角速率比為多
少？ (4)火星與地球和太陽的連線在單位時間掃過面積比為多
少？ 答： 3/2 1/2 3/2 1/23 3 3 3
(1)( ) (2)( ) (3)( ) (4)( )
2 2 2 2
− −
類題：甲、乙兩衛星分別環繞地球作等速率圓周運動，已知兩者
的週期比值為 T1:T2=27，則兩者的速率比值為若干？ 答：1/3
範例 演練
中華民國第一枚商用衛星
「中新一號衛星 ST-1」
係由中華電信與新加坡電信
（Singapore Telecom）共同委託
馬特拉馬可尼太空公司(MMS)承
建，位於東經八八度上空，高度
三萬六千公里的地球同步軌道，
淨重一、五Ｏ三公斤，設計壽齡
十二年，裝載的燃料可使用十
三．一年。
87 年八月二十五日（台北時間八
月二十六日清晨）在南美洲法屬
圭亞那，由亞利安四號火箭載送
中新衛星順利發射升空。九月七
日順利抵達地球同步軌道，並定
位在東經八十八度的軌道位置
上。
中新一號衛星性能優異，其設計
可傳送高功率之電波，能用以改
善台灣離島與國內外通信，可供
衛星電視及廣播訊號傳送本地與
亞洲各主要國家。
From: 中華電信

21. 7-217.3 行星與人造衛星
例題14.：綜合運動-克卜勒行星運動第三定律【進階題】
設地球半徑為 R，一太空船以半徑 3R 的圓軌道環繞地球運轉，
其週期為 T。現太空船欲返回地球，可在其軌道上某點 A 將速率
降低至某適當數值，然後使太空船沿著以地心為焦點的橢圓軌道
運行，此橢圓軌道與地表相切於 B 點，如右圖。太空船由 A 至
B 需時 多少？
解：
答：
6
9
T
例題15.：行星運動與萬有引力-基礎題
一行星之旁有一質量為 m 的小衛星繞其轉動，軌道半徑為 r，週
期為 T。試求：(1)此行星的質量。(2)衛星向行星的加速度。(3)衛
星所受行星的引力。(4)若行星的半徑為衛星軌道的十分之一，則
此行星表面的 g 值若干？
答案：
2 3 2 2 2
2 2 2 2
4 4 4 400
(1) (2) (3) (4)
r r mr r
GT T T T
   
類題：半徑比為 1：2 之兩行星 A 與 B，分別有一表面衛星 a 與
b，若兩衛星之公轉週期比為 1：4，則 A 與 B 之密度比為?答：
16：1
原軌道
AB

22. 7-22 萬有引力 Gravitational Force
類題：假設地球半徑為 R，其質量為 M，又自轉週期為 T。則永遠
停留在地球赤道某處上空之人造衛星，距離地球表面之高度為多
少？答： R
GMT
−3
1
2
2
)
4
(

例題16.：人造衛星運動-進階應用
偵察衛星在通過地球兩極上空的圓軌道上運行，它的運行軌道距
地面的高度為 h，要使衛星在一天的時間內將地面上赤道各處在
日照條件下的情況全都拍攝下來，衛星在通過赤道上空時，衛星
上的攝像機至少應拍攝地面上赤道圓周的弧長是多少？已知地球
的半徑為 R，地面處的重力加速度為 g，地球自轉的週期為 T 。
答：
2 3
4 ( )R h
L
T g
 +
=
T

23. 7-237.3 行星與人造衛星
例題17.：雙星運動-相關特徵
外太空中，有相距 d，質量分別為 m1 及 m2 的雙星，在同一平面上
互繞其共同的質心做等速圓週運度，試求各星球的
(1)軌道半徑 (2)受力 (3)加速度 (4)速度 (5)週期
解：
答：(1) 1 2
2 1
1 2 1 2
m d m d
r r
m m m m
= =
+ +
(2) 1 2
2
m m
F G
d

=
(3) 2 1
1 22 2
m m
a G a G
d d
= = (4) 1 2 2 1
1 2 1 2( ) ( )
G G
v m v m
d m m d m m
= =
+ +
(5)
3
1 2
1 2
2
( )
d
T T
G m m
= =
+
類題：質量為 m 與 3m 的 A、B 兩恒星成一雙星系統，與外界獨
立無關。兩星相距 d 則：(1)A 星環繞的週期為何？ (2)B 星的軌
道速率為何？ 答：(1)
3
d
Gm
(2)
2
m G
d m．

24. 7-24 萬有引力 Gravitational Force
1. 一行星之旁有一質量 m 的小衛星繞其轉動，軌道半徑 r，
週期 T。求 (1) 此行星質量 (2) 衛星向行星之加速度 (3)
衛星所受行星之引力 (4) 若行星的半徑為衛星軌道半徑的
1/10，則此行星表面的重力加速度為若干？
2. 史波泥克一號衛星軌道為橢圓，已知該衛星離地最小高度為
228 km，最大高度為 947 km，求此衛星的週期。
3. 若地球密度加倍，半徑不變，則繞轉地球的衛星在原來軌道
上的 (1)軌道速率 (2)運轉週期 (3)所受引力 (4)向心加速度
各變為原來幾倍？
4. 假設萬有引力與兩物體間距離立方成反比，則 (1) 繞地球運
轉的人造衛星與軌道半徑的關係為何？ (2) 繞星球表面的人
造衛星，其週期與星球半徑關係為何？ (星球密度一定 )
5. 設有一行星之半徑 500 km，表面重力加速度為 3 m/s2
，則此
行星所有可能衛星中，最小的週期約幾分鐘？
6. 土星與地球質量比 100 : 1，半徑比 10 : 1，軌道半徑比 9 :
1，則(1) 土星一年相當地球上幾年？ (2) 若一太空人在地
球上的重量為 70 kg，則在土星上的重量為若干 ?
7. 設宇宙間另有一星球的質量、密度都和地球一樣，則 (1) 當
兩球熔成一新地球後，密度不變 (2) 若兩球熔成一新地球
後，體積與地球相等 (3) 若兩球熔成一新地球後，密度變為
原來 1/4；求地表之重力場強度各變為原來倍？
8. 同步衛星繞地球運行時，相對於地面某處而言是靜止於空中
的，則下列何者正確？ (A) 衛星不受地球引力的作用 (B)
衛星仍受地球引力的作用 (C) 衛星受何力為零 (D) 衛星受
到一對大小相等方向相反的力作用。
9. 宇宙邊際有一星球，其半徑為 r，距其表面 3r 處有一衛星
繞其旋轉，週期為 T，則此被繞星球之密度可推測為若干？
10. 兩行星密度比為 d1：d2，則其表面衛星週期比為何？
11. 地球繞日運動時，近日點與太陽相距為 r、運行速度為 v，
若太陽的質量為 M，則地球繞日的橢圓軌道於近日點處的曲
率半徑為何？
12. 兩個繞地球作等速圓周運動之人造衛星，其軌道半徑比為
4：9，則在軌道上運轉之 (1)速率比 (2)向心加速度量值比
各若干？
13. 某行星之半徑為地球之兩倍，密度為地球之 3 倍，求其表面
運行的衛星與地球表面人造衛星的 (1)週期比 (2)速率比 (3)
向心加速度量值比。
課後 練習題

25. 7-257.3 行星與人造衛星
14. 若繞日運轉之行星，其軌道平均半徑的立方與週期平方之比
值為 K，而萬有引力常數為 G，則太陽質量為何？
歷屆考題
15. 如右圖所示，甲、乙兩人造衛星以圓形軌
道繞地球運轉，假設運行的軌道在同一平
面上，且運行的方向相反。甲衛星發現每
隔 1∕9 週期會與乙衛星相遇（即甲、乙
兩衛星與地球恰在一直線上且在地球同
側），若忽略甲、乙兩衛星間的作用力，
則甲、乙兩衛星軌道半徑之比為何？ (A) 1：4 (B) 1：2 (C)
1：1 (D) 2：1 (E) 4：1。 [95.指定科考]
16. 假設有一星球其密度為地球的 a 倍，其半徑為地球的 b 倍，
下列敍述何者正確？ (A)該星球質量為地球的 3
ab 倍 (B)
該星球表面之重力加速度為地球的 ab 倍 (C)自該星球表面
之脫離速度為地球的a b 倍 (D)同一單擺在該星球表面上
小角度擺動的頻率為地球的 ab 倍 (E) 自該星球表面上以
相同初速及仰角拋射之質點， 其水平射程為地球的 ab 倍。
[95.指定科考]
17. 將萬有引力常數當作已知，則從下面哪些選項中的兩個數
據，就可以估計出地球的質量? (A)地球與同步衛星間的距
離，地球的自轉周期 (B)人造衛星的運動速率，人造衛星
的周期 (C)人造衛星與地球間的距離，人造衛星的周期
(D)地球繞太陽運轉的周期，地球與太陽間的距離 (E)月球
繞地球運轉的周期，月球與地球間的距離。 [96.指定科考]
18. 設人造衛星以半徑 r 繞地心作圓軌道運動，令地球的質量為
M，萬有引力常數為 G，則人造衛星與地心的連線，在單位
時間內所掃過的面積為下列哪一項？
(A) GMr
4
1
(B) GMr
2
1
(C) GMr (D) GMr2 (E)
GMr4 。 [98.指定科考]
19. 甲行星的質量是乙行星的 25 倍，兩衛星分別以半徑為 甲R 、
乙R 的圓軌道繞行甲、乙兩行星。若 4/ =乙甲 RR ，則兩衛星分
別繞行甲、乙兩行星的週期之比值 乙甲 TT / 為何？
(A) 6.25 (B) 2.5 (C) 1.6 (D) 0.4 (E) 0.16。[99.指定科考]
20. 已知某行星自轉週期為 T，半徑為 R。環繞它的某一衛星之
地球

26. 7-26 萬有引力 Gravitational Force
圓軌道半徑為 32R，繞行週期為 8T。則環繞該行星運行的同
步衛星，其圓軌道半徑應是多少？
(A) 16R (B) 8R (C) 4R (D) 8R (E) 2R 。
[100.指定科考]
練習題答案
1. (1) 2
32
4
GT
r
(2) 2
2
4
T
r
(3)
2
2
4 rm
T

(4) 2
2
400
T
r
2. 96.5 min
3. (1) 2 (2)
2
2
(3) 2 (4) 2 4. (1) V．R = 定值 (2) T 與 R 成
正比 5.約 43 分 6. (1) 27 年 (2) 70 kg 7. (1) 23 (2) 2
(3) 1/2 8. (B) 9. 2
192
GT

10. 2 1:d d 11.
( )
2
rv
GM
12.
(1)3：2 (2)81：16 13. (1)1： 3 (2)2 3 ：1 (3)6：1 14.
2
4 k
G

15. E 16. ABD 17. ABCE 18. A 19. C 20. B
天鵝座 X-1 物理學家史蒂芬•霍金和基普•索恩的科學賭局
天鵝座 X-1(簡稱 Cyg X-1)是一個銀河系內位於天鵝座的雙星系
統，是著名的 X 射線源，屬於高質量 X 射線聯星。而高質量 X
射線聯星的伴星是一顆緻密星，主星為大質量恆星(多數高於 10
倍太陽質量)而 X 射線輻射則主要由伴星(緻密星,是白矮星、中子
星、奇特星、黑洞等一類緻密天體的總稱)所貢獻。
天鵝座 X-1 是最先被廣泛承認為黑洞的候選星體，也是同類星體
中最受研究關注的。
1990 年霍金讓步，因爲觀測證據顯示這個系統中存在著引力奇
點。
截至 2006 年，人們已經在銀河系內發現了超過 300 個 X 射線聯
星。
From:Wiki(中文)，時間簡史(中文版)
老師的忠言
請你：
課堂中專心聽講，下課仍有疑問，
需向老師請教，不可敷衍自己。
學習任何事情，都會有不耐煩的心
裡，現在必須有「耐煩」的心。