中華民國-高中課程-108課綱 選修物理2 CH1-力矩與靜力平衡 1.1 摩擦力 1.2 力矩與轉動平衡 1.3 靜力平衡

1. 阿 Samn 的物理課本 http://mysecretpark.blogspot.com
1
力矩與靜力平衡
本章的目的
靜力平衡的應用是處處可見，比方說台北 101 大樓可以穩定聳
立在地面上就是外型、鋼骨結構等，符合「靜力平衡」的原
理。同樣的，人體肌肉與骨骼、關節進行連結之後，可以拿穩
定地提拿重物，也是「靜力平衡」的應用。
然而，討論任何物理問題一定從最簡單的開始，本章就從物體
在靜止時候的力平衡切入，再開始討論物體轉動時候的物理現
象，進而討論什麼樣的因素讓一個物體在受到外力作用下維持
「靜力平衡」
相關版權說明：
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或網路，版權仍屬原創者所有
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業化(印給學生工本費除外)
趙州橋,隋代傑出的工匠李春建造於大業六年(610 年)，是目前世界上最古老，完好的大跨度單孔敞肩坦
弧石拱橋，歐洲到了 1340 年才建成跨度 29.9 米，曲率為 0.37 的圓弧拱橋
力矩與靜力平衡
高中物理

2. 2 CH 1 力矩與靜力平衡
REVIEW AND SUMMARY

3. 3
1.1 摩擦力
1.1 摩擦力
摩擦力 friction
1.起源：1699 年，法國科學家 Guillaume Amontons 研究「機器
中因為摩擦產生的損耗」
，而找出經驗關係式，用來描述摩
擦力。
 摩擦力的量值與接觸面之間的正向力量值有關。
 摩擦力的量值與接觸面的性質有關。
 摩擦力的量值與接觸面積的無關。
2.意義：兩物體互相接觸時，接觸面便存在一對阻止兩物體做
相對運動的作用力。
3.靜摩擦力(static friction)
 任意兩堆疊之物體受力作用後而呈現 相對靜止 時，在
兩物之間的接觸面會出現一個阻止滑動的作用力，以 𝑓
表示。
 此力方向平行倆物之間接觸面，並與施力方向 相反 。
 當外力達到某個臨界值，物體恰可開始移動，此臨界值稱
為最大靜摩擦力，以 𝑓 . 表示。
𝑓 . 𝜇 𝑁
𝜇 ：靜摩擦係數
(1.1)
4.動摩擦力(kinetic friction)
 當外力大於物體與接觸面之間的最大摩擦力時，物體會開
始移動。一旦外力消失，物體移動速率將會變慢。因此接
觸面亦會出現一個使物體減速(阻止滑動)的作用力。
 此力方向平行倆物之間接觸面與速度方向 相反 。
 任意兩堆疊之物體出現相對滑動狀態時，在兩物之間的接
觸面之間相互存在的摩擦力，以 𝑓 表示。
𝑓 𝜇 𝑁
𝜇 ：動摩擦係數
(1.2)
圖 1-1 (a)物體受外力仍維持靜止狀態，接觸面給予反向的 靜 摩擦
力，保持平衡。(b)球員滑壘時會減速，是因為地面給予 動 摩擦力。
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 區分靜摩擦力與動摩擦力
2. 判斷摩擦力的方向與大小
3. 根據相關條件計算 動摩擦力
與最大靜摩擦力。
圖 1-2 一物體放在某接觸面上，施
力𝐹，欲拉動此物體，但維持不
動。因此接觸面除了給予正向力
𝑁，還給了靜摩擦力𝑓 。
摩擦力𝑓
外力𝐹
圖 1-3 摩擦力與外力的關係圖

4. 4 CH 1 力矩與靜力平衡
5.摩擦係數 (coefficient of friction)
 無單位的物理量，是「兩接觸」面之間的最大靜摩擦力或
動摩擦力與正向力的比值，習慣用 𝝁𝒔、𝝁𝒌 表示。
 由兩物體之間接觸面的 材質 、 粗糙程度 、 溫
度 ，決定摩擦係數的大小。
 測定接觸面的靜摩擦係數及動摩擦係數。
說明 1：
將物體靜置於可以改變角度的傾斜平面，當角度增大至某
特殊角度 𝜃 瞬間，物體開始下滑
物體的最大靜摩擦力 =沿斜面下滑的作用力
𝑚𝑔sin𝜃 𝜇 𝑁 𝜇 𝑚𝑔cos𝜃
得
𝜇 tan𝜃
說明 2：
物體在可以改變角度的傾斜平面，當角度挑整至某特殊角
度𝜃 瞬間，物體等速下滑
物體的動摩擦力 =沿斜面下滑的作用力
𝑚𝑔sin𝜃 𝜇 𝑁 𝜇 𝑚𝑔cos𝜃
得
𝜇 tan𝜃
表 1-1 常見的摩擦係數
物質 靜摩擦係數 滑動摩擦係數
鎳-鎳 1.10 0.53
鋼-鋼 0.7 0.5
輪胎-結冰路面 0.3 0.02
輪胎-乾燥路面 1.0 0.5
冰-冰 0.05 0.04
木-木 0.35 0.04
圖 1-6 摩擦力的起因來自原子之間
的電磁作用力。接觸面的凹凸不平
造成許多接觸點，被接觸面之間的
原子電磁作用力而熔接在一起。當
物體在另一物體開始移動時候，這
些微小的熔合點會斷裂並不斷的重
組，最後形成摩擦力。而熔接點的
數量來自於接觸面上方物體的正向
力。圖片來源：
https://bit.ly/2L2pCbw

圖 1-5 將斜面抬高至特定角度，待
物體開始下滑即可測定靜摩擦係數
或當物體等速下滑時也可測定動摩
擦係數。
圖 1-4 量測靜摩擦係數測定儀器。
From：Tamasaki 網站。

5. 5
1.1 摩擦力
答：(1)𝑅/2 (2)
類題 1：物體質量為 115 kg，靜摩擦係數 0.2，與水平成 37
施一斜拉力𝐹，求能拉動物體的最小𝐹值。(𝑔 10 m/s2
) 答：250
N
答：𝐹 1 𝜇
類題：A、B 兩物體重量分別為𝑊 、𝑊 ，施一水平力𝐹可以兩
物體靠在牆壁上不滑下。則(1)A 所受的摩擦力多少？ (2)B
與牆壁間之靜摩擦係數的範圍？ 答：(1)𝑊 (2)𝜇
螞蟻在半徑𝑅的碗中，沿碗壁上爬，若螞蟻與碗壁的摩擦係數
為√3，則此螞蟻可爬升距碗底的最大鉛直高度為何？此時正
向力大小為何？
最大靜摩擦力-基礎題
例題
質量為𝑚的物體，靠於鉛直牆上。物體與牆壁之間的摩擦係
數為 ，今施一水平力量𝐹與物體上，使物體不滑下。則牆壁
施於物體的合力為多少？
最大靜摩擦力(鉛直方向)-基礎題
例題
37
115kg
𝐹
𝑚
𝐹
B
𝐹
A

6. 6 CH 1 力矩與靜力平衡
答：(1)略 (2) 10 N (3) -16 J
類題 2：一人在水平地面上，分別以斜向上拉及斜向下推等兩種
方式使行李箱等速度往前移動，若拉力及推力與水平面的夾角
皆為 ，如圖所示。已知行李箱與地面的動摩擦係數為 0.30，且
sin 𝜃 0.60
，
cos 𝜃 0.80
，
則拉力量值為推力量值的幾倍？答
：
約 0.63
在一斜角為37 的斜面固定於水平面上，有一質量為 5.5 kg 的
均勻金屬塊置於斜面上
，
受一固定方向及量值的水平力𝐹作用
，
恰可使金屬塊沿著斜面等速度向下滑動，如圖所示。已知金屬
塊與斜面之間的動摩擦係數為 0.50
，
取重力加速度為 10 m/s2
。
回答下列各問題：
(1)若將金屬塊視為一個質點
，
畫出金屬塊在斜面上所受各外力
的力圖，並標示各外力的名稱。
(2)水平作用力 𝐹 的量值為多少?
(3)當金屬塊沿斜面等速度下滑 2.0 m 時，水平力 對金屬塊所
作的功為多少？
摩擦力與正向力【104 指考】
例題
𝐹
37∘
θ θ
拉力 推力

7. 7
1.1 摩擦力
答：4 m/s2
類題：在水平筆直的道路上，摩托車因太慢剎車而撞上正前方
靜止等候紅燈的汽車，若摩托車開始剎車前的車速為 20
m/s，且警察在地面上量到碰撞前摩托車的直線剎車痕為 16
m。假設摩托車在剎車過程中輪胎鎖死而不轉動，且輪胎與路
面的動摩擦係數為 0.8 ，忽略其他阻力，取重力加速度為
10 m/𝑠 ，則與汽車接觸前瞬間摩托車的車速為多少 m/s？
(A) 0 (B) 6 (C) 12 (D) 24 (E) 36 [104.指考]
答：10 4√3 N 𝐹 10 4√3 N
質量為 2000 kg 的轎車，原本在水平地面上以等速度前進，
接著駕駛急踩煞車，使車輪迅速停止轉動，在車輪不轉的情
況下，轎車隨即減速滑行至靜止。若地面與輪胎間的動摩擦
係數為 0.4，且取重力加速度 𝑔 10 m/s2
，則減速滑行時的
加速度量值為多少？
動摩擦力-基礎題 100 年指考
例題
傾斜角為 30 度的固定斜面上放置質量 2 kg 的物體，物體和斜
面之間的靜摩擦係數為 0.4。今施以平行斜面向上的力使物體
靜止在斜面上，求此力的量值範圍
斜面上的摩擦力
例題
𝜃

8. 8 CH 1 力矩與靜力平衡
摩擦力的應用-皮帶輸送機
1. 皮帶輸送機是一種摩擦驅動以連續方式運輸物料的機械，
主要由兩個端點轉動滾筒及緊套其上的閉合輸送帶組成。
2. 力學分析
 利用輸送帶與轉動滾筒之間的摩擦力，可帶動輸送帶跟著
滾動轉動，使機器可以運轉。
 靜止的物體落在傳動的輸送帶上時，依靠物體與輸送帶之
間的動摩擦力，將物體快速輸送。
答：A
一水平輸送帶恆以等速度 𝑣 沿 𝑥 方向移動，在時刻 𝑡 0
時，將一質量為 𝑚 的箱子以水平速度 𝑢 0 置於輸送帶上，
如圖所示。若箱子與輸送帶之間的靜摩擦係數為 𝜇 ， 動摩
擦係數為  ，重力加速度為 𝑔 ，則下列有關此箱子的敘述，
何者正確？ (A) 摩擦力對箱子所做的總功為 0.5𝑚𝑣 (B)
當 𝑡 𝑣/ 𝜇 𝑔 時
，
箱子的速度會等於輸送帶的速度 (C) 在
時刻 𝑡 0 時，箱子所受的淨力為 𝜇 𝑚𝑔，向 𝑥 方向 (D)
在時刻 𝑡 0 時
，
箱子所受的淨力為 𝜇 𝑚𝑔 向 𝒙 方向 (E)
當箱子的速度等於 𝑣 時，箱子所受的摩擦力為 𝜇 𝑚𝑔，向 𝑥
方向。
輸送帶【91 指考】
例題
圖 1-7 皮帶輸送機。
https://www.kneader.com.tw/
𝑥
𝑣
𝑢
輸送帶
𝑓
𝑣
𝑣

9. 9
1.1 摩擦力
答：A
類題：木塊 A、B 靜置於光滑水平桌面上，如圖。已知木塊 A、
B 質量分別為 2 公斤與 3 公斤，且木塊接觸面的靜摩擦係數為
0.5，動摩擦係數為 0.1，令𝑔 10公尺/秒 2
。今施水平拉力𝐹於
木塊 B 上，則下列敘述何者正確？（應選 2 項） (A)當𝐹 10
牛頓時，A、B 間的摩擦力為零 (B)當𝐹 10牛頓時，A、B 間
的摩擦力為 4 牛頓 (C)當𝐹 10牛頓時，A、B 間的摩擦力為
10 牛頓 (D)若欲使 A、B 無相對運動，則𝐹最大值為 20 牛頓
(E)若欲使 A、B 無相對運動，則𝐹最大值為 25 牛頓。答：BE
如圖所示，先將質量𝑀為 1.5 kg 的金屬板置於光滑平面上，再
將質量𝑚為 0.5 kg 的木塊置於金屬板上，金屬板與木塊之間的
靜摩擦係數為𝜇 。今施一漸增的外力𝐹沿水平方向拉動木塊𝑚，
當木塊與金屬板間開始相對滑動時，𝐹恰為 7.8 N，則 𝜇 值最
接近下列何者？(A) 1.2 (B) 0.8 (C) 0.4 (D) 0.2 (E) 0.05。
摩擦力不一定是阻礙物體移動【99 指考】
例題
𝐹
𝑀
𝑚
𝐹
B
A
𝑣

10. 10 CH 1 力矩與靜力平衡
BIO 生物工程題目。※ 進階題
1.如圖所示，木塊放在粗糙的水準桌面上，外力 𝐹 、𝐹 沿水平
方向作用在木塊上
，
木塊處於靜止狀態
，
其中 𝐹 10 N
，
𝐹
2 N.若撤去 𝐹 ，則木塊受到的摩擦力 (A) 8 N，方向向右 (B)
8 N，方向向左 (C)2 N，方向向右 (D) 2 N，方向向左
2.關於產生摩擦力的條件，下列說法中正確的是 (A)相互壓緊
的粗糙物體之間總有摩擦力存在 (B)相對運動的物體間一定
有滑動摩擦力存在 (C)只有相互擠壓和有相對運動的物體之
間才有摩擦力的作用 (D)只有相互擠壓和發生相對運動或有
相對運動趨勢的粗糙物體之間才有摩擦力的作用
3.在一條靜止的輸送帶上有一質量為 𝑚 的木塊，如圖所示。今
輸送帶突然開始對地向右作等速運動時
，
則由地面的觀點描述
木塊的運動，以下各項敘述正確的為何？(A)輸送帶突然起動
時，木塊受到向右的摩擦力，且只要輸送帶的運動不停止，作
用於木塊的摩擦力就會一直存在 (B)輸送帶突然起動時，木
塊受一向右的動摩擦力，但此力經過一段時間後會消失，此後
木塊將不再受摩擦力的作用 (C)輸送帶突然起動時，木塊受
到向右的動摩擦力，但此力經過一段時間後會消失，此後木塊
將持續受到靜摩擦力的作用 (D)輸送帶突然起動時，由於慣
性的作用，木塊初期會向左運動，後因摩擦力的作用而開始向
右運動。
4.如圖，有兩個木塊 A、B 相疊，且靜置於光滑水平面上，受一
水平拉力𝐹作用後，兩木塊一起向右滑動（A、B 接觸面間無
滑動）
，下列有關兩木塊的敘述哪些正確？(A)兩者相同時間內
其速度變化量相同 (B) A 所受摩擦力向左 (C) B 所受摩擦
力向右 (D) A 所受摩擦力較 B 所受摩擦力為小 (E)兩者速
度量值愈來愈小。
5.如圖均勻柔軟之繩長𝐿、質量 𝑚 ，當 𝐿/4 在斜面上時，繩子
靜止，則繩與接觸面間之摩擦力為______，當 2𝐿/3 在斜面上
時，恰將下滑，則繩與接觸面間之靜摩擦係數為______。
6.一小蟲在半徑為𝑅之碗壁沿壁上爬，若蟲與碗壁間靜摩擦係數
為 𝜇 ，則小蟲可爬升距碗底之最大鉛直高度為若干？
課後 練習題
𝐹 𝐹

11. 11
1.1 摩擦力
大考試題觀摩
7. 一物體在某水平面上開始時為靜止，後來物體受一由小而大
的作用力作用，其所受摩擦力與作用力的關係如右圖所示。
下列有關摩擦力的敘述何者正確？（應選三項）
【96 學測】
(A)物體受力作用後立即開始運動 (B)作用力如圖從 O 到 P
點時，物體維持靜止 (C)作用力如圖 P 點時，物體所受摩擦
力最大 (D)作用力如圖 P 點時，物體的加速度最大 (E)作
用力如圖從 Q 到 R 點時，物體運動的加速度愈來愈大。
8. 已知月球表面的重力加速度為地球表面重力加速度 g 的六
分之一。在月球的水平面上有一質量為 𝑚 的物體受水平推
力𝐹作用，而作加速度為 2𝑔 的等加速運動，已知物體與水
平面之動摩擦係數為 0.5 ，則推力 𝐹 的量值為下列何者？
(A) 𝑚𝑔 (B) 𝑚𝑔 (C) 𝑚𝑔 (D) 𝑚𝑔 (E) 2𝑚𝑔。
【101 指考】
9. 車子在 𝜇 0.4 的地面上做迴轉半徑為 16 m 的轉彎，則該
車的安全速率為多少？(𝑔 10 m/s2
)【103.指考】
10. 某卡車的水平載貨廂的長度為 3.0 m，上面載有一裝滿衛生
紙的紙箱，其長、寬、高皆為 0.50 m，緊貼前方駕駛室背面
放置，如圖所示。卡車在水平道路上由靜止開始，以加速度
1.2 m/s2
往前方行駛 10 s，已知紙箱和載貨廂底部間的動摩
擦係數為 0.10、靜摩擦係數為 0.11，取重力加速度為 10.0
m/s2
，
若載貨廂後方的擋板沒有關上
，
則下列敘述何者正確？
(A)紙箱自始至終都不會掉出載貨廂 (B)紙箱在卡車開始行
駛後 3 秒至 4 秒間會掉出載貨廂 (C)紙箱在卡車開始行駛
後 4 秒至 5 秒間會掉出載貨廂 (D)紙箱在卡車開始行駛後
5 秒至 6 秒間會掉出載貨廂 (E)紙箱在卡車開始行駛後 6 秒
至 7 秒間會掉出載貨廂。
【109 指考】
11. 水平面上有一圓盤半徑為 𝑅 ，圓盤邊緣放置一質點，圓盤
和質點一起繞圓盤中心旋轉，如圖所示，若圓盤角速度超過
𝜔時，質點就會脫離圓盤。設重力加速度為 𝑔 ，當質點和圓
盤一起旋轉時，則質點與圓盤間靜摩擦係數?【改自 109 指
考】
練習題答案
1. C 2. D 3. B 4. ABC 5.(1) 𝟎. 𝟐𝒎𝒈 (2) 8/11 6.
𝑹 𝟏－
𝟏
𝟏 𝝁𝟐
) 7. BCE 8.B 9. 8 m/s 10.D 11. E
※
摩
擦
力
(
牛
頓
)
O
1
2
Q
P
R
作用力
(牛頓)
1 2 3
紙箱
3.0 m

12. 12 CH 1 力矩與靜力平衡
1.2 力矩與轉動平衡
力矩 Torque
1.可以改變物體的 轉動狀態
 靜止的物體開始 轉動 。
 正在轉動中的物體，轉速產生 改變 。
2.定義：力與力臂的乘積。SI 單位：牛頓⋅公尺,N⋅m
 純量式
𝜏 𝑟𝐹sin𝜃 (1.3)
圖 1-9 力矩概念示意圖
 向量式：方向由右手定則決定
𝜏
⃑ 𝑟
⃑ 𝐹
⃑
ı̂ ȷ̂ k
𝑟 𝑟 𝑟
𝐹 𝐹 𝐹
(1.4)
3.性質
 使物體產生逆時針轉動的力矩，訂為 正值 。
 使物體產生順時針轉動的力矩，訂為 負值 。
力偶矩(Moment of Couple)
1.力偶(Couple)：一對大小相等，方向相反的平行力，作用在
同一物體但是不同直線上的物理量。
2.力偶的力矩成為力偶矩
𝜏 𝐹 𝑑 𝑑 (1.5)
 力偶對於物體 沒有移動的作用 ，僅有純粹的轉動。
 力偶矩與 轉軸的位置 無關。
3.應用：汽車方向盤、水龍頭
𝐹 𝐹sin𝜃
𝐹∥ 𝐹cos𝜃
𝜏 𝐹 𝑟 𝐹 sin 𝜃 𝑟
𝑟 𝑟sin𝜃
𝑟∥ 𝑟cos𝜃
𝜏 𝐹 𝑟 𝐹 sin 𝜃 𝑟
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1.說明力矩的定義
2.應用力與力臂的夾角、受力大
小、有效力臂，來計算力矩
3.當物體(系統)受到一個以上的
力矩作用時候，能夠計算力矩
總和。
p
𝐹
𝐹
𝑑 𝑑
圖 1-10 力偶矩示意圖
圖 1-8 (a) 力矩使物體產生轉動或
使物體轉速改變。(b) 以右手四指
伸直指向𝑟
⃑，然後四指向 𝐹
⃑ 方向彎
曲，拇指所指方向是力矩方向。

13. 13
1.2 力矩與轉動平衡
力矩平衡又稱轉動平衡
1.當數個力矩的向量合為 零 時，物體不會改變其轉動狀
態，稱此數個力矩達成力矩平衡。
向量式
𝜏
⃑逆時針 𝜏
⃑順時針 0 (1.6)
純量式
𝜏逆時針 𝜏順時針 (1.7)
2.應用-槓桿
答:
類題：一支均勻直尺的長度為 30 cm，若在直尺上距離直尺左
端 25 cm 處放置一質量為 50 g 的小物體，則須於直尺上距離
直尺左端 20 cm 處支撐直尺，方可使其維持水平狀態。該直尺
的質量為多少 g？ (A) 20 (B) 30 (C) 50 (D) 60 (E) 70。
【107 指考】答：C
為在水平面上的高架工作車示意圖，車體質量為 M（不含支架），
質心恰在前輪軸正上方，前後輪軸間距為 a。均質支架質量為
M/8，支架底端的支點恰在後輪軸正上方。支架頂端工作台與人員
總質量為 M/4，質心恰在支架頂端正上方。設工作時支架與鉛垂線
的夾角為 30°，要使車體不至翻覆，支架長度最大可為多少？
工程車力學 【99 年指考】
例題
支
點

14. 14 CH 1 力矩與靜力平衡
答： (1) 375 N-m (2)
√
N-m
類題：如圖，木棒重量不計，一端掛以重 20 N 的重物，今在
距 A 端 棒長處之 B 點以水平繩施力使之平衡，則繩子張力多
大？答： 60√3 N
答案：
類題：
如圖所示，質量不計的輕桿，其長度為 3 公尺，且 B 點為輕
桿的中點。今輕桿的一端固定在地面的樞紐上(O 點)，另一端
懸掛 25 公斤重的物體 W，而在中點 B 處施一水平拉力，恰
可使輕桿保持力矩平衡，則：(1)重物 W 對 O 點的力矩量值
為何？ (2)人所施的拉力量值為何(g=10 m/s2
)
力矩平衡-基礎題
例題
一車輪半徑𝑟，重量為𝑊，若欲使其滾上高度為 的台階，如
圖，則
(1)施力於輪緣所需之最小力為______。
(2)若此力改為水平力，則最小施力的量值為 。
力矩平衡-基礎題
例題
𝑇
60o
A
B
20 N
60o
B
W
O
𝑟
5
𝑟

15. 15
1.2 力矩與轉動平衡
1. 關於力矩，下列說法中正確的是? (A)力對物體的轉動作
用決定於力矩的大小和方向 (B)力矩等於零時，力對物體
不產生轉動作用 (C)力矩等於零時，力對物體也可以產生
轉動作用 (D)力矩的單位是“N·m”，也可以寫成“J”
2. 一長度為 𝑑，質量可以略去的細桿，其中心點 O 固定，兩
端各置有質量 𝑚 及 2𝑚 的質點，細桿與鉛垂方向之夾角
為 𝜃 。如圖所示，設重力加速度為𝑔，則重力對 O 點所
產生的力矩之量值為多少？
大考試題觀摩
3. 在光滑水平面上，有一正三角形的均勻面板，現以如圖所
示的幾種方式施水平力，圖中各力的大小都相等(施力與面
板邊緣的夾角為(0o
、60o
、90o
、120o
或 150o
)。試問下列圖
中，哪些施力方式會使面板轉動而不會移動？[94.指定科
考](A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D) 丁 (E) 戊
4. 如圖所示的輪軸（左邊為側視圖，右邊為正視圖）
，外輪半徑𝑅為
內軸半徑 𝑟 的 2 倍。當施定力𝐹於外輪上的細繩時，可使質量
為 m 的物體以加速度 0.2g 向上運動，𝑔為重力加速度。若空氣
阻力、繩子的重量與摩擦力皆可忽略不計，則懸掛物體的繩子張
力對軸心O 點所產生的力矩之量值為下列何者？(A) 0(B)
0.6𝑚𝑔𝑅 (C) 1.2𝑚𝑔𝑅 (D) 1.6𝑚𝑔𝑅 (E) 2.0𝑚𝑔𝑅【105 指定
科考】
5. 如圖為起重機示意圖
，
起重機臂 PO 和水平線的夾角為 60o
，
且可繞 O 點自由轉動，其質量為 200 kg 且分布均勻，鋼索
PS 段和水平線的夾角為 30o
，PSO 位於垂直面。起重機臂
右端懸掛一質量為160 kg的重物，若此時處於平衡狀態，且
整條鋼索質量可忽略不計，則鋼索上的張力是多少牛頓？
（取重力加速度 g=10 m/s2
）(A) 1600(B) 2600 (C) 3200 (D)
3600 (E) 5200【110 年指考】
練習題答案
1. AB 2.
𝟏
𝟐
𝒎𝒈𝒅𝐬𝐢𝐧𝜽 3.CD 4. 5. B
課後 練習題
(乙)
(甲) (戊)
(丁)
(丙)
𝜃
2𝑚
𝑚 鉛
直
線
正視圖
𝐹
𝑚
O
𝑅
側視圖
𝑟
P
60
o
30
o
160 kg
S O

16. 16 CH 1 力矩與靜力平衡
1.3 靜力平衡
作用於一點的三力平衡
1.說明：三個力量 𝐹 、𝐹 、𝐹 同時作用在同一點(或物體)上，
使其維持靜止狀態合力為零
𝐹
⃑ 𝐹
⃑ 𝐹
⃑ 0 (1.8)
 三力作用在 同一點 。
 任兩力的合力的大小與第三力的大小 相等 ，方向 相反
 三力必在 同一平面上 。
2.幾何意義：三力之合力為零，可形成封閉的三角形
𝐹
sin𝜃
𝐹
sin𝜃
𝐹
sin𝜃
(1.9)
說明：
3.解析法：在力平面上，取一正交座標系統，取分量
𝐹 𝐹 𝐹 0
𝐹 𝐹 𝐹 0
(1.10)
4.多力平衡
：
作用於同一點
、
同一平面的多個力
，
所受合力為零
，
構成一個封閉多邊型。
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 知道物體(系統)保持靜力平
衡，所需要的條件-合力為
零(移動平衡)，合力矩為零
(轉動平衡)。
圖 1-11 受三個方向，不同數量砝
碼拉扯，達成平衡後，可發現受力
大小與夾角有各自對應數學關係-正
弦定律
圖 1-12 用解析座標法討論三力平
衡

17. 17
1.3 靜力平衡
答： 1 2
類題：均勻之粗繩重量為𝑊，懸掛在兩鉛直的壁間而成平衡，
如圖所示。則此時最低點的繩子張力為何? 答：
答：(1) 20 (2) 30
類題：如圖所示，銅球的質量為 10 公斤，懸掛於鉛直牆上，
求(1)繩上的張力 (2)牆作用於球上的力為何？(𝑔 10 m/s2
)
答：
√
N (2)
√
N
將一條粗細均勻的繩子(重量𝑊)，懸掛於天花板下，如圖所
示。
(1)繩子對天花板接點處 P 的作用力為何?
(2)繩子在 Q 點處的張力量值為何?
三力平衡-懸繩
例題
圖中，一木塊 A 重 100 N，其和平面間之靜之摩擦係數為 0.30，
物重𝑊 20 N 時系統平衡，則作用於物體之靜摩擦力量值為
若干(N)？欲使系統平衡則 W 之最大量值為若干？
三力平衡-
例題
  P
Q
53o
37o
A
45
𝑊
30o

18. 18 CH 1 力矩與靜力平衡
答：(1) 40 N (2)
√
N (3)
√
N
類題：將三個半徑皆為 𝑅，質量為 𝑚 的光滑小球靜置於半徑
為 3𝑅 的大碗內，如右圖所示，求：(1) B、C 兩球之間的作
用力？(2) A、B 兩球之間的作用力？(3) A 球作用於碗壁的
力？ 答：(1)
√
(2)
√
(3) √3𝑚𝑔
兩相同的光滑球體質量皆為 2 kg，截面半徑為 𝑟 ，置於內
壁光滑的長方體容器中，容器的寬度與長度分別為 3𝑟 與
2𝑟，其橫截面如圖所示。求球體與容器底部、容器壁以及兩
球體間的作用力量值。(𝑔 10 m/s2
)
多重物體的三力平衡-經典題
例題
3𝑟
𝑟
B
C
A

19. 19
1.3 靜力平衡
靜力平衡的條件(The condition of Static Equilibrium)
1.定義：靜止的系統(或任一物體)，受到數個外力的作用，仍
然保持靜止的物理狀態。
2.靜力平衡的條件：同時具備 移動平衡 與 轉動平衡 。
系統處於移動平衡時，所受合力必須為 零 ，即
𝐹
⃑ 𝐹
⃑ 𝐹
⃑ ⋯ 0
𝐹 0
𝐹 0
(1.11)
系統處於轉動平衡時，則以任何一點當轉軸，系統力矩和
都必須為 零 ，即
𝜏
⃑ 𝜏
⃑ 𝜏
⃑ ⋯ 0 (1.12)
PROBLEM-SOLVING STRATEGY
Step1.尋找受力體
 物體(系統)為多重連結體，建議先以整體看待，再各別討論。
Step2.分析受力體的外力，包含種類與數量並畫出力圖。
 外力：重力、正向力、接觸面之間的摩擦力、彈簧的彈力、繩張
力..等。
 粗略畫出力的量值、方向、作用點(以箭頭表示)。
Step3. 列出已知項、未知項及求解項。
Step4. 選擇適當的座標平面(一般指𝑥 𝑦座標)，將所有外力沿座標軸進
行分解；應用「移動平衡」之條件，列出方程式。
Step5. 選擇適當的旋轉軸心(支點)，計算所有分力形成的力矩，應用「轉
動平衡」的條件，列出方程式。
Step6.求解
將收集到的資訊放入相關方程式，求解。若是數字，可進行估算求
解。需加強演算能力，避免無法在極短時間解出方程式。
Step7.驗證
用因次分析或答案的單位檢驗答案是否合理。最後將答案帶回原始列
式，是否合乎原本假設。
圖 1-13 處於靜力平衡的巨大岩石
(Symon Lobsang/Photis/Juiter Images
Corp.)

20. 20 CH 1 力矩與靜力平衡
答：(1) 𝑇
√
𝑊
類題：如圖，一木棒長𝐿(重量不計)，在距離2𝐿/3處懸一物重
𝑊，一端以樞鈕固定牆上，另一端用細繩以與水平成 30夾角
懸於牆上使其平衡，則牆上樞鈕作用於棒之力量值為
√
類題：若一梯子長 𝐿 ，重量可不計，靠在牆與地上，如圖所
示。牆面光滑。一個重 𝑊 的人立於梯的中間，問：(1)梯子與
牆的作用力為何？(2)梯子與地面的作用力為何？(3)若人稍往
上一爬，梯子便開始下滑，由此計算梯子與地面的靜摩擦係數
為若干？ 答：(1) (2) √tan 𝜃 4 (3) tan𝜃
一木棒長𝐿，其重量可以忽略，在中點處懸一重量為𝑊的物
體，一端以一樞紐固定於牆上，另一端用繩以 45∘角懸於牆
上使其平衡，求：(1)繩的張力𝑇 (2)若考慮均勻棒重𝑊，則
如何？
靜力平衡-基礎題
例題
如圖，長度為𝐿的梯子斜靠在光滑的牆壁上，梯子與地面夾角
為 60 度，一人質量 50 kg 站在梯子上距梯子底端𝐿/3處，若
人稍往上爬，梯子將滑動，則梯與地面的靜摩擦係數是多
少？
梯子的平衡問題
例題
450
W
300
2𝐿
3
60o
𝜃

21. 21
1.3 靜力平衡
一重量為𝑊的均勻圓柱體，半徑為𝑅，中心軸通過重心 O，靜
止置於一水平地板上。以一沿半徑通過 O 點的水平力𝑓作用
於圓柱體左側，使其右側緊靠著一鉛直的牆壁，並在𝑓的作用
點處施一向上之鉛直力𝐹，使圓柱體仍與地板接觸而且保持靜
力平衡，如圖所示。若地板與牆壁均非光滑，且所有力矩均
以 O 點為參考點，則下列敘述哪些正確？
(A)作用於圓柱體的靜摩擦力，其總力矩的量值為𝐹𝑅 (B)作
用於圓柱體的靜摩擦力，其總力矩為零 (C) 𝐹所產生的力矩
量值為𝐹𝑅 (D) 𝑊所產生的力矩量值為𝑊𝑅 (E) 𝐹與𝑊的量
值一定相等。
靜力平衡【101 指考】
例題
𝑓
𝐹
𝑊
𝑂

22. 22 CH 1 力矩與靜力平衡
1.長度為𝐿質量可以略去的輕質橫桿，以力常數為𝑘的彈簧懸
吊於天花板下。一重量為𝑊的重物掛於離橫桿一端 𝐿/3處，
如圖所示。設𝑊 𝑘𝐿，在靜力平衡之情況下，二彈簧相互
平行，求橫桿與水平方向之夾角？以反三角函數表示角度
2.如圖，一根質量均勻的木棒擱在杯子上，木棒重量𝑤，木棒
和杯子都是光滑的。若AB BC，則杯子 B 點對木棒的作
用力為多少？
3.一均勻木棍質量為 1.6 kg，長度為 1.2 𝑚 ，斜靠在半徑𝑟為
0.4 m 的光滑固定半球面上，如圖。若
棍與粗糙地面的夾角為 30 度，則木棍
作用在球面之力為多少？ (𝑔 10
m/s2
)
4.如圖所示，兩個重都為 𝑊 、半徑都為 𝑟 的光滑均勻小圓
柱，靠放在半徑為 𝑅 𝑅 2𝑟 的弧形凹面內，處於靜止狀
態.試求凹面對小圓柱的彈力及小圓柱相互間的正向力為?
大考試題觀摩
5.一均勻圓球置於一水平 V 形槽中，其截面如圖所示。球與
槽壁面間無摩擦力，則球作用於右壁之力𝐹 與作用於左壁之
力𝐹 之量值比值 𝐹 /𝐹 為__________。
6.一支均勻直尺的長度為 30 cm，若在直尺上距離直尺左端 25
cm 處放置一質量為 50 g 的小物體，則須於直尺上距離直尺
左端 20 cm 處支撐直尺，方可使其維持水平狀態。該直尺的
質量為多少 g？ (A) 20 (B) 30 (C) 50 (D) 60 (E) 70。
【107 指考】
7.在水平地面上，以不可伸長的細繩繞過定滑輪，將質量分別
為𝑚 、𝑚 的上、下兩個均質箱子連接如圖。已知重力加速
度為𝑔，細繩與滑輪之間無摩擦力，且其質量均可忽略，下
箱之上、下表面的動摩擦係數皆為𝜇，若下箱受到水平拉力
𝐹時，兩箱不轉動，均以等速度水平移動，則下列敘述哪些
正確？(A)地面施於下箱的正向力為 𝑚 𝑚 𝑔 (B)施於下
箱的水平拉力𝐹𝜇 3𝑚 𝑚 𝑔 (C)所有作用於上箱的水平
力所產生的力矩為零 (D)所有作用於上箱的垂直力所產生
的力矩為零 (E)右邊支架施予滑輪的水平力量值𝐹′，一定
小於𝐹。
【111 分科考】
課後 練習題
※
W
30o


A
B
C 60o

23. 23
1.3 靜力平衡
8.一顆落地前沒有旋轉的網球落在水平地面前瞬間的速度為
𝑣 , 𝑣 ，其中𝑣 , 𝑣 0，落地反彈後瞬間的速度為
𝑣 ′
, 𝑣 ′
，其中𝑣 ′
, 𝑣 ′
0，如圖所示。若網球和地面間有
摩擦力，忽略空氣阻力，則下列有關網球反彈後運動的敘述
何者正確？(A)𝑣 ′
𝑣 ，且網球以逆時針方向旋轉
(B)𝑣 ′
𝑣 ，且網球以順時針方向旋轉 (C)𝑣 ′
𝑣 ，且網
球以逆時針方向旋轉 (D)𝑣 ′
𝑣 ，且網球以順時針方向旋
轉 (E)𝑣 ′
𝑣 ，且網球並不旋轉。
【109 指考】
他山之石-大陸高考
9.如圖所示，光滑的半球形物體固定在水準地面上，球心正上
方有一光滑的小滑輪，輕繩的一端系一小球.靠放在半球上
的 A 點，另一端繞過定滑輪後用力拉住，使小球靜止.現緩
慢地拉繩，在使小球使球面由 A 到半球的頂點 B 的過程
中，半球對小球的支援力𝑁和繩對小球的拉力𝑇的大小變化
情況是？ (A) 𝑁變大，𝑇變小 (B) 𝑁變小，𝑇變大 (C) 𝑁
變小，𝑇先變小後變大 (D) 𝑁不變，𝑇變小
10. 如圖所示，相距 4 m 的兩根柱子上拴著一根 5 m 長的細
繩，細繩上有一光滑的小滑輪，吊著 180 N 的重物，靜止時
AO、BO 繩所受的拉力各是多大?
練習題答案
1. 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝟏 𝟏
𝟔
2. 3. 12.1 N 4.
𝑹 𝒓 𝑾
𝑹 𝟐𝒓 𝑹
,
𝒓𝑾
𝑹 𝟐𝒓 𝑹
5.
𝑭𝑹
𝑭𝑳
𝐬𝐢𝐧 𝜶
𝐬𝐢𝐧 𝜷
6. C 7. ABE 8. D 9. D 10. 150 N，150 N
用適合自己的方式努力 http://godpig.com/blog/?p=2686
每個人都是不一樣的個體，遇到的狀況都不盡相同，所以或許沒有一
種方式是適合全部人的。而要用怎樣的方式去努力，還是要自己細細
去體會
只要每天早上一覺醒來，不會感到愧對自己，那就夠了吧。
※