SlideShare a Scribd company logo
1 of 78
Download to read offline
1
Struktur Aljabar I
TEORI GRUP
MUH. ALFIANSYAH
Email: muhalfiansyah95@yahoo.com
PENDIDIKAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR
2
GRUP
1. Buktikan unsur identitas suatu grup adalah tunggal.
Bukti:
Misalkan G adalah grup
Misalkan š‘’1 dan š‘’2 adalah unsur identitas di G
Akan dibuktikan š‘’1 = š‘’2
Perhatikan bahwa:
š‘’1 adalah unsur identitas di G dan š‘’2 āˆˆ G ā‡’ š‘’1 š‘’2 = š‘’2 š‘’1 = š‘’2 ā€¦ (i)
š‘’2 adalah unsur identitas di G dan š‘’1 āˆˆ G ā‡’ š‘’2 š‘’1 = š‘’1 š‘’2 = š‘’1 ā€¦(ii)
Dari (i) dan (ii) diperoleh š‘’1 = š‘’2 š‘’1 = š‘’1 š‘’2 = š‘’2.
āˆ“ š‘’1 = š‘’2, dengan demikian unsur identitas suatu grup adalah tunggal. āˆŽ
Struktur Pembuktian Grup
Misalkan G adalah suatu himpunan
(i) Buktikan G ā‰  āˆ….
(ii) Buktikan G bersifat tertutup terhadap operasi biner *.
(iii) Buktikan G bersifat assosiatif terhadap operasi biner *.
(iv) Buktikan G memiliki unsur identitas terhada operasi biner *.
(v) Buktikan G memiliki unsur invers terhada operasi biner *.
Catatan
ļ¶ Jika (i) & (ii) terpenuhi maka disebut Grupoid.
ļ¶ Jika (i), (ii) & (iii) terpenuhi maka disebut Semigrup.
ļ¶ Jika (i), (ii), (iii) & (iv) terpenuhi maka disebut Monoid.
3
2. Buktikan unsur invers suatu grup adalah tunggal.
Bukti:
Misalkan G adalah grup, dan e āˆˆ G [e=identitas]
Ambil sebarang a āˆˆ G
Misalkan š‘1 dan š‘2 invers dari a
Akan dibuktikan š‘1 = š‘2
Perhatikan bahwa:
š‘1 adalah invers dari a ā‡’ š‘1 š‘Ž = š‘Žš‘1 = š‘’ [e=identitas] ā€¦ (i)
š‘2 adalah invers dari a ā‡’ š‘2 š‘Ž = š‘Žš‘2 = š‘’ [e=identitas] ā€¦ (ii)
dari (ii) diperoleh š‘Žš‘2 = š‘’ ā‡’š‘1 š‘Žš‘2 = š‘1 ā€¦ iii
dari (i) diperoleh š‘1 š‘Ž = š‘’ ā‡’ (š‘1 š‘Ž)š‘2 = š‘2 ā€¦ iv
Karena diketahui G grup maka jelas G memenuhi sifat assosiatif sehingga
dari (iii) dan (iv) diperoleh bahwa:
š‘1 = š‘1 š‘Žš‘2 = (š‘1 š‘Ž)š‘2 = š‘2
āˆ“ š‘1 = š‘2, dengan demikian unsur invers suatu grup adalah tunggal. āˆŽ
3. Buktikan invers dari invers suatu anggota dalam grup adalah anggota itu
sendiri.
Bukti:
Misalkan G grup
Ambil sebarang a āˆˆ G dan āˆƒ e āˆˆ G [e=identitas]
Misalkan š‘Žāˆ’1
adalah invers dari a ā‡’ akan dibuktikan (š‘Žāˆ’1
)āˆ’1
Perhatikan bahwa:
š‘Žāˆ’1
adalah invers dari a ā‡’ š‘Žāˆ’1
š‘Ž = š‘Žāˆ’1
š‘Ž = š‘’
Pandang š‘Žāˆ’1
š‘Ž = š‘’
š‘Žāˆ’1
š‘Ž = š‘’
(š‘Žāˆ’1
)āˆ’1
(š‘Žāˆ’1
š‘Ž) = (š‘Žāˆ’1
)āˆ’1
š‘’ [Kedua ruas dikalikan (š‘Žāˆ’1
)āˆ’1
]
4
[(š‘Žāˆ’1
)āˆ’1
(š‘Žāˆ’1
)]š‘Ž = (š‘Žāˆ’1
)āˆ’1
[hukum assosiatif]
š‘’š‘Ž = (š‘Žāˆ’1
)āˆ’1
[ (š‘Žāˆ’1
)āˆ’1
(š‘Žāˆ’1
) = š‘’]
š‘Ž = (š‘Žāˆ’1
)āˆ’1
[š‘’š‘Ž = š‘Ž]
Pandang š‘Žš‘Žāˆ’1
= š‘’
š‘Žš‘Žāˆ’1 = š‘’
(š‘Žāˆ’1
š‘Ž) (š‘Žāˆ’1
)āˆ’1
= š‘’ (š‘Žāˆ’1
)āˆ’1
[Kedua ruas dikalikan (š‘Žāˆ’1
)āˆ’1
]
š‘Ž š‘Žāˆ’1
š‘Žāˆ’1 āˆ’1
= (š‘Žāˆ’1
)āˆ’1
[hukum assosiatif]
š‘Žš‘’ = (š‘Žāˆ’1
)āˆ’1
[ (š‘Žāˆ’1
)(š‘Žāˆ’1
)āˆ’1
= š‘’]
š‘Ž = (š‘Žāˆ’1
)āˆ’1
[š‘Žš‘’ = š‘Ž]
āˆ“ Jadi, terbukti bahwa (š‘Žāˆ’1
)āˆ’1
= š‘Ž. āˆŽ
4. Buktikan bahwa setiap grup memenuhi hukum pencoretan.
Bukti:
Misalkan G grup
Ambil sebarang š‘Ž, š‘, š‘ āˆˆ G
Akan dibuktikan
(i) š‘Žš‘ = š‘Žš‘ ā‡’ š‘ = š‘ [Pencoretan kiri]
(ii) š‘š‘Ž = š‘š‘Ž ā‡’ š‘ = š‘ [Pencoretan kanan]
Akan ditunjukkan bagian (i) pandang š‘Žš‘ = š‘Žš‘
š‘Ž āˆˆ šŗ Ė„ šŗ š‘”š‘Ÿš‘¢š‘ ā‡’ āˆƒ š‘Žāˆ’1
āˆˆ šŗ
š‘Žš‘ = š‘Žš‘
š‘Žāˆ’1
(š‘Žš‘) = š‘Žāˆ’1
(š‘Žš‘) [Kedua ruas dikalikan š‘Žāˆ’1
]
(š‘Žāˆ’1
š‘Ž)š‘ = (š‘Žāˆ’1
š‘Ž)š‘ [hukum assosiatif]
š‘’š‘ = š‘’š‘ [ (š‘Žāˆ’1
)š‘Ž = š‘’]
š‘ = š‘ [e=identitas]
5
Akan ditunjukkan bagian (ii) pandang š‘š‘Ž = š‘š‘Ž
š‘Ž āˆˆ šŗ Ė„ šŗ š‘”š‘Ÿš‘¢š‘ ā‡’ āˆƒ š‘Žāˆ’1
āˆˆ šŗ
š‘š‘Ž = š‘š‘Ž
(š‘š‘Ž)š‘Žāˆ’1
= (š‘š‘Ž)š‘Žāˆ’1
[Kedua ruas dikalikan š‘Žāˆ’1
]
š‘(š‘Žš‘Žāˆ’1
) = š‘(š‘Žš‘Žāˆ’1
) [hukum assosiatif]
š‘š‘’ = š‘š‘’ [ (š‘Žāˆ’1
)š‘Ž = š‘’]
š‘ = š‘ [e=identitas]
āˆ“ karena i dan ii terbukti Jadi, G memenuhi hukum pencoretan. āˆŽ
5. Jika G adalah grup dan āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ, ā‡’ (š‘Ž. š‘)āˆ’1
= š‘āˆ’1
š‘Žāˆ’1
.
Bukti:
Misalkan G adalah grup
Ambil sebarang š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ
Karena G grup ā‡’ āˆƒ š‘’ āˆˆ šŗ [e=identitas]
Akan dibuktikan (š‘Ž. š‘)āˆ’1
= š‘āˆ’1
. š‘Žāˆ’1
Hal ini ekuivalen jika ditunjukkan
š‘Žš‘ (š‘āˆ’1
š‘Žāˆ’1
) = (š‘āˆ’1
š‘Žāˆ’1
) š‘Žš‘ = š‘’
pandang š‘Žš‘ (š‘āˆ’1
š‘Žāˆ’1
) = š‘’
š‘Žš‘ (š‘āˆ’1
š‘Žāˆ’1
) = [ š‘Žš‘ (š‘āˆ’1
)] š‘Žāˆ’1
[assosiatif]
= [š‘Ž(š‘š‘āˆ’1
)] š‘Žāˆ’1
[assosiatif]
= (ae) š‘Žāˆ’1
[š‘š‘āˆ’1
= š‘’]
= š‘Žš‘Žāˆ’1 [š‘Žš‘’ = š‘Ž]
= š‘’ [š‘Žš‘Žāˆ’1
= š‘’]
6
pandang (š‘āˆ’1
š‘Žāˆ’1
) š‘Žš‘ = š‘’
š‘Žš‘ (š‘āˆ’1
š‘Žāˆ’1
) = [(š‘āˆ’1
š‘Žāˆ’1
)š‘Ž]š‘ [assosiatif]
= [š‘āˆ’1
(š‘Žāˆ’1
š‘Ž)]š‘ [assosiatif]
= (š‘āˆ’1
š‘’)š‘ [š‘Žš‘Žāˆ’1
= š‘’]
= š‘š‘āˆ’1
[š‘āˆ’1
š‘’ = š‘āˆ’1
]
= š‘’ [š‘š‘āˆ’1
= š‘’]
āˆ“ Jadi, terbukti bahwa š‘Žš‘ (š‘āˆ’1
š‘Žāˆ’1
) = (š‘āˆ’1
š‘Žāˆ’1
) š‘Žš‘ = š‘’, ini berarti bahwa
(š‘Ž. š‘)āˆ’1
= š‘āˆ’1
. š‘Žāˆ’1
. āˆŽ
6. G = himpunan bilangan bulat, š‘Ž āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ’ š‘ āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ, Periksa apakah G
membentuk grup?
Bukti:
(i) Tidak Kosong
G ā‰  āˆ… sebab āˆƒ 2 āˆˆ G ā€¦ (terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
āˆ€ š‘Ž, š‘, āˆˆ šŗ berlaku š‘Ž āˆ— š‘ āˆˆ šŗ
Ambil sebarang š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ maka berlaku š‘Ž āˆ’ š‘ āˆˆ šŗ ā€¦ (terpenuhi)
(iii) Sifat Assosiatif
āˆ€š‘Ž, š‘, š‘ āˆˆ šŗ berlaku š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘
Ambil sebarang š‘Ž, š‘, š‘ āˆˆ šŗ
Perhatikan bahwa:
š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ’ š‘ āˆ’ š‘
=
š‘Ž āˆ’ š‘ āˆ’ š‘ ā€¦ (i)
š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ’ š‘ āˆ’ š‘
= š‘Ž āˆ’ (š‘ + š‘) ā€¦ (ii)
Dari (i) dan (ii) diperoleh š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ ā‰  š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘
Akibatnya G tidak memenuhi sifat assosiatif
āˆ“ jadi, G = himpunan bilangan bulat, š‘Ž āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ’ š‘ āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ bukan Grup. āˆŽ
7
7. G=himpunan bilangan bulat, š‘Ž āˆ— š‘ = š‘Ž + š‘ + š‘Žš‘, āˆ€ š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ Periksa apakah
G membentuk grup?
Bukti:
(i) Tidak Kosong
G ā‰  āˆ… sebab āˆƒ 2 āˆˆ G ā€¦ (terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
āˆ€ š‘Ž, š‘, āˆˆ šŗ berlaku š‘Ž āˆ— š‘ āˆˆ šŗ
Ambil sebarang š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ maka berlaku (š‘Ž + š‘ + š‘Žš‘ ) āˆˆ šŗ ā€¦ (terpenuhi)
(iii) Sfat Assosiatif,
āˆ€š‘Ž, š‘, š‘ āˆˆ šŗ berlaku š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘
Ambil sebarang š‘Ž, š‘, š‘ āˆˆ šŗ
Perhatikan bahwa:
š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ— š‘ + š‘ + š‘š‘
= š‘Ž + š‘ + š‘ + š‘š‘ + š‘Ž(š‘ + š‘ + š‘š‘)
= š‘Ž + š‘ + š‘ + š‘š‘ + š‘Žš‘ + š‘Žš‘ + š‘Žš‘š‘
= š‘Ž + š‘ + š‘Žš‘ + š‘ + š‘Žš‘ + š‘š‘ + š‘Žš‘š‘
= š‘Ž + š‘ + š‘Žš‘ + š‘ + š‘Ž + š‘ + š‘Žš‘ š‘
= š‘Ž + š‘ + š‘Žš‘ āˆ— š‘
= š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ ā€¦ (terpenuhi)
(iv) Unsur Identitas
āˆ€š‘Ž āˆˆ šŗ āˆƒš‘’ āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘’ āˆ— š‘Ž = š‘Ž āˆ— š‘’ = š‘Ž
Perhatikan bahwa:
š‘Ž āˆ— š‘ = š‘ āˆ— š‘Ž = š‘
š‘Ž + š‘ + š‘Žš‘ = š‘ + š‘Ž + š‘š‘Ž = š‘
š‘Ž 1 + š‘ = š‘Ž 1 + š‘ = š‘ āˆ’ š‘
š‘Ž 1 + š‘ = š‘Ž 1 + š‘ = 0
š‘Ž = 0
Sehingga š‘’ = 0 āˆˆ šŗ [e=identitas] ā€¦ (terpenuhi)
8
(v) Unsur Invers
āˆ€š‘Ž āˆˆ šŗ āˆƒš‘Žāˆ’1
āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘Žāˆ’1
āˆ— š‘Ž = š‘Ž āˆ— š‘Žāˆ’1
= š‘’
perhatikan bahwa:
š‘Ž āˆ— š‘ = š‘ āˆ— š‘Ž = 0
š‘Ž + š‘ + š‘Žš‘ = š‘ + š‘Ž + š‘š‘Ž = 0
š‘Ž 1 + š‘ = š‘Ž 1 + š‘ = āˆ’š‘
š‘Ž = āˆ’
š‘
1+š‘
āˆ‰ G ā€¦ (tidak memiliki unsur invers)
āˆ“ jadi, G=himpunan bilangan bulat, š‘Ž āˆ— š‘ = š‘Ž + š‘ + š‘Žš‘, āˆ€ š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ bukan
Grup. āˆŽ
8. G = himpunan bilangan bulat tak negatif, š‘Ž āˆ— š‘ = š‘Ž + š‘ āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ Periksa
apakah G membentuk grup?
Bukti:
(i) Tidak Kosong
G ā‰  āˆ… sebab āˆƒ 2 āˆˆ G ā€¦ (terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
āˆ€ š‘Ž, š‘, āˆˆ šŗ berlaku š‘Ž āˆ— š‘ āˆˆ šŗ
Ambil sebarang š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ maka berlaku š‘Ž + š‘ āˆˆ šŗ ā€¦ (terpenuhi)
(iii) Sfat Assosiatif,
āˆ€š‘Ž, š‘, š‘ āˆˆ šŗ berlaku š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘
Ambil sebarang š‘Ž, š‘, š‘ āˆˆ šŗ
Perhatikan bahwa:
š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ— š‘ + š‘
= š‘Ž + š‘ + š‘
= š‘Ž + š‘ + š‘
= š‘Ž + š‘ āˆ— š‘
= š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ ā€¦ (terpenuhi)
9
(iv) Unsur Identitas
āˆ€š‘Ž āˆˆ šŗ āˆƒš‘’ āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘’ āˆ— š‘Ž = š‘Ž āˆ— š‘’ = š‘Ž
Perhatikan bahwa:
š‘Ž āˆ— š‘ = š‘ āˆ— š‘Ž = š‘
š‘Ž + š‘ = š‘ + š‘Ž = š‘
š‘Ž = 0
Sehingga š‘’ = 0 āˆˆ šŗ [e=identitas] ā€¦ (terpenuhi)
(v) Unsur Invers
āˆ€š‘Ž āˆˆ šŗ āˆƒš‘Žāˆ’1
āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘Žāˆ’1
āˆ— š‘Ž = š‘Ž āˆ— š‘Žāˆ’1
= š‘’
perhatikan bahwa:
š‘Ž āˆ— š‘ = š‘ āˆ— š‘Ž = 0
š‘Ž + š‘ = š‘ + š‘Ž = 0
š‘Ž = āˆ’š‘ āˆ‰ G ā€¦ (tidak memiliki unsur invers)
āˆ“ jadi, G = himpunan bilangan bulat tak negatif, š‘Ž āˆ— š‘ = š‘Ž + š‘ āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ
bukan Grup. āˆŽ
9. G=himpunan bilangan rasional ā‰  1, š‘Ž āˆ— š‘ = š‘Ž + š‘ + š‘Žš‘ āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ Periksa
apakah G membentuk grup? (Soal Quis I)
Bukti:
(i) Tidak Kosong
G ā‰  āˆ… sebab āˆƒ 2 āˆˆ G ā€¦ (terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
āˆ€ š‘Ž, š‘, āˆˆ šŗ berlaku š‘Ž āˆ— š‘ āˆˆ šŗ
Ambil sebarang 2 āˆˆ šŗ maka
Perhatikan bahwa:
2+b+2b=1
b(1+2)=-1
b= āˆ’
1
3
10
perhatikan kembali
jika a=2 dan b=āˆ’
1
3
maka diperoleh
a+b+ab=2āˆ’
1
3
+(2)(āˆ’
1
3
)
=2āˆ’
1
3
āˆ’
2
3
=2-(
1
3
+
2
3
)
=2 - (
3
3
)
=2-1
=1āˆ‰ G ā€¦ (tidak memenuhi sifat tertutup)
āˆ“ jadi, G=himpunan bilangan rasional ā‰  1, š‘Ž āˆ— š‘ = š‘Ž + š‘ + š‘Žš‘ āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ
bukan Grup. āˆŽ
10. Jika (G,*) grup komutatif, buktikan š‘Ž āˆ— š‘ š‘›
= š‘Ž š‘›
š‘ š‘›
, āˆ€š‘› āˆˆ š‘, (Z himpunan
bilangan bulat).
Bukti
Misalkan (G,*) grup komutatif
Akan dibuktikan š‘Žš‘ š‘›
= š‘Ž š‘›
š‘ š‘›
, āˆ€š‘› āˆˆ š‘+
, ditinjau dalam tiga kasus yakni:
(1) Kasus I: n>0
(2) Kasus II: n=0
(3) Kasus III: n<0
Perhatikan bahwa:
(1) Kasus I: n>0 akan dibuktikan menggunakan induksi matematika
(i) Untuk n = 1, maka š‘Žš‘ 1
= š‘Ž1
š‘1
= š‘Žš‘ (pernyataan benar)
(ii) Asumsikan bahwa š‘Žš‘ š‘˜
= š‘Ž š‘˜
š‘ š‘˜
(hipotesis induksi)
Akan ditunjukkan š‘Žš‘ š‘˜+1
(juga benar)
š‘Žš‘ š‘˜+1
= š‘Žš‘ š‘˜
. š‘Žš‘
= š‘Ž š‘˜
š‘ š‘˜
. š‘Žš‘
11
= š‘Ž š‘˜
. š‘Ž. š‘ š‘˜
š‘ [sifat komutatif]
= š‘Ž(š‘˜+1)
. š‘(š‘˜+1)
[benar]
Karena (i) dan (ii) dipenuhi maka dapat disimpulkan š‘Žš‘ š‘›
=
š‘Ž š‘›
š‘ š‘›
, berlaku āˆ€š‘› āˆˆ š‘+
(2) Kasus II: n=0
š‘Žš‘ 0
= š‘’ = š‘’0
. š‘’0
= š‘Ž0
š‘0
(3) Kasus III: n<0
Jika š‘› āˆˆ š™, maka š‘Žš‘ š‘›
ļƒž š‘Žš‘ āˆ’1 āˆ’š‘›
ļƒž (š‘āˆ’1
. š‘Žāˆ’1
)āˆ’š‘›
[ š‘Žš‘ āˆ’1
=š‘āˆ’1
. š‘Žāˆ’1
]
ļƒž š‘āˆ’1 āˆ’š‘›
(š‘Žāˆ’1
)āˆ’š‘›
ļƒž (š‘Žāˆ’1
)āˆ’š‘›
š‘āˆ’1 āˆ’š‘›
[komutatif]
ļƒž š‘Ž š‘›
š‘ š‘›
Sehingga š‘Žš‘ š‘›
= š‘Ž š‘›
š‘ š‘›
, terbukti āˆ€ š‘Ž, š‘ āˆˆ š‘
āˆ“ jadi, Jika (G,*) grup komutatif, maka š‘Ž āˆ— š‘ š‘›
= š‘Ž š‘›
š‘ š‘›
, āˆ€š‘› āˆˆ š‘. āˆŽ
11. Jika G grup dengan unsur identitas e, dan a2 = e, āˆ€š‘Ž āˆˆ šŗ, buktikan G
komutatif! (Soal Quis I)
Bukti:
Misalkan (G,*) dan grup berlaku a2 = e
Akan dibuktikan a*b = b*a = e
Karena a2 = e ļƒž a * a = e
ļƒž a a a-1= ea-1 [kalikan kedua ruas dengan a-1]
ļƒž a (a a-1)= ea-1 [assosiatif]
ļƒž a e= a-1 [a a-1=e dan ea-1= a-1]
ļƒž a= a-1 [ae=a]
Karena diperoleh a= a-1 akibatnya:
(a*b)(a*b) = e ļƒž (a*b) = (a*b)-1
12
Berdasarkan teorema yang menyatakan jika G grup dan a,b āˆˆ G, berlaku
(š‘Žš‘)āˆ’1
= š‘āˆ’1
. š‘Žāˆ’1
Sehingga:
š‘Ž āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ— š‘ āˆ’1
š‘Ž āˆ— š‘ = š‘āˆ’1
. š‘Žāˆ’1
Karena š‘ āˆ— š‘Ž = š‘āˆ’1
āˆ— š‘Žāˆ’1
, maka š‘Ž āˆ— š‘ = š‘ āˆ— š‘Ž
āˆ“ jadi, jika G grup dan a2 = e. āˆ€ š‘Ž āˆˆ šŗ, maka G komutatif. āˆŽ
12. Misalkan š“ š›¼ =
cos š›¼ āˆ’sin š›¼
sin š›¼ cos š›¼
; š›¼ āˆˆ ā„ Buktikan š“ š›¼ dengan operasi
perkalian matriks membentuk grup. Apakah komutatif? (Soal Quis I)
Bukti:
Akan dibuktikan (š“ š›¼ ,Ɨ) merupakan grup
(i) Tidak Kosong
š“ š›¼ ā‰  āˆ… sebab āˆƒ š“30Ā° = cos 30Ā°
āˆ’sin 30Ā°
sin 30Ā°
cos 30Ā° ; 30 āˆˆ ā„
(ii) Sifat tertutup
āˆ€ š“ š›½ , š“ š›¾ āˆˆ š“ š›¼ berlaku š“ š›½ š‘„ š“ š›¾ āˆˆ š“ š›¼
Ambil sebarang š“ š›½, š“ š›¾ āˆˆ š“ š›¼
Perhatikan bahwa
š“ š›½ š‘„ š“ š›¾ =
cos š›½ āˆ’ sin š›½
sin š›½ cos š›½
Ɨ
cos š›¾ āˆ’ sin š›¾
sin š›¾ cos š›¾
=
cos š›½ cos š›¾ āˆ’ sin š›½ sin š›¾ āˆ’ cos š›½ sin š›¾ + sin š›½ cos š›¾
sin š›½ cos š›¾ + cos š›½ sin š›¾ āˆ’ sin š›½ sin š›¾ + cos š›½ cos š›¾
=
cos(š›½ + š›¾) āˆ’ sin(š›½ + š›¾)
sin(š›½ + š›¾) cos(š›½ + š›¾)
=
cos šœ‡ āˆ’ sin šœ‡
sin šœ‡ cos šœ‡
āˆˆ š“ šœ‡ ā€¦ (terpenuhi)
Catatan: (šœ‡ = š›½ + š›¾, šœ‡ āˆˆ ā„)
13
(iii) Sifat asosiatif
āˆ€š“ š›½ , š“ š›¾ , š“ šœ‡ āˆˆ š“ š›¼ berlaku š“ š›½ āˆ— š“ š›¾ āˆ— š“ šœ‡ = (š“ š›½ āˆ— š“ š›¾ ) āˆ— š“ šœ‡
Jelas terpenuhi, sebab matriks 2x2 memenuhi sifat assosiatif.
(iv) Unsur Identitas
āˆ€š“ š›½ āˆˆ š“ š›¼ āˆƒš‘’ āˆˆ š“ š›¼ āˆ‹ š‘’ āˆ— š“ š›½ = š“ š›½ āˆ— š‘’ = š“ š›½
Unsur identitas pada matriks yaitu
š‘’ =
1 0
0 1
ā‡’ š‘’ =
cos 0 āˆ’ sin 0
sin 0 cos 0
Akan dibuktikan: š“ š›½ āˆ— š‘’ = š‘’ āˆ— š“ š›½ = š“ š›½
Perhatikan bahwa:
cos š›½ āˆ’ sin š›½
sin š›½ cos š›½
cos 0 āˆ’ sin 0
sin 0 cos 0
=
cos 0 āˆ’ sin 0
sin 0 cos 0
cos š›½ āˆ’ sin š›½
sin š›½ cos š›½
=
cos š›¼ āˆ’ sin š›¼
sin š›¼ cos š›¼
cos(š›½ + 0) āˆ’ sin(š›½ + 0)
sin(š›½ + 0) cos(š›½ + 0)
=
cos(š›½ + 0) āˆ’ sin(š›½ + 0)
sin(š›½ + 0) cos(š›½ + 0)
=
cos š›½ āˆ’ sin š›½
sin š›½ cos š›½
ā€¦ (terpenuhi)
(v) unsur invers
āˆ€š“ š›½ āˆˆ š“ š›¼ āˆƒš“ š›½
āˆ’1
āˆˆ š“ š›¼ āˆ‹ š“ š›½ Ɨ š“ š›½
āˆ’1
= š“ š›½
āˆ’1
Ɨ š“ š›½ = š‘’
š“ š›½
āˆ’1
=
1
detā”(š“ š›½ )
š‘Žš‘‘š‘— š“ š›½
detā”(š“ š›½ ) = cos š›½ cos š›½ āˆ’ āˆ’ sin š›½ sin š›½
= cos2
š›½ + sin2
š›½
= 1
š“ š›½
āˆ’1
=
1
1
cos š›½ āˆ’ sin š›½
sin š›½ cos š›½
=
cos š›½ sin š›½
āˆ’ sin š›½ cos š›½
āˆˆ š“ š›½
Akan dibuktikan š“ š›½ Ɨ š“ š›½
āˆ’1
= š“ š›½
āˆ’1
Ɨ š“ š›½ = š‘’
14
Perhatikan bahwa:
cos š›¼ āˆ’ sin š›¼
sin š›¼ cos š›¼
Ɨ
cos š›¼ sin š›¼
āˆ’sin š›¼ cos š›¼
=
cos š›¼ āˆ’ sin š›¼
sin š›¼ cos š›¼
Ɨ
cos š›¼ āˆ’ sin š›¼
sin š›¼ cos š›¼
=
cos 0 āˆ’ sin 0
sin 0 cos 0
ā‡’ cos2
š›¼ + sin2
š›¼ āˆ’ sin š›¼ cos š›¼ + sin š›¼ cos š›¼
sin š›¼ cos š›¼ āˆ’ sin š›¼ cos š›¼ cos2
š›¼ + sin2
š›¼
= cos2
š›¼ + sin2
š›¼ āˆ’ sin š›¼ cos š›¼ + sin š›¼ cos š›¼
sin š›¼ cos š›¼ āˆ’ sin š›¼ cos š›¼ cos2
š›¼ + sin2
š›¼
=
cos 0 āˆ’ sin 0
sin 0 cos 0
ā‡’
1 0
0 1
=
1 0
0 1
=
cos 0 āˆ’ sin 0
sin 0 cos 0
ā€¦ (terpenuhi)
āˆ“ jadi, š“ š›¼ merupakan grup.
Akan dibuktikan š“ š›¼ merupakan grup komutatif
āˆ€š“ š›½ , š“ š›¾ āˆˆ š“ š›¼ , berlaku š“ š›½ š‘„ š“ š›¾ = š“ š›¾ š‘„ š“ š›½ āˆˆ š“ š›¼
Perhatikan bahwa:
š“ š›½ š‘„ š“ š›¾ = š“ š›¾ š‘„ š“ š›½
cos š›½ āˆ’ sin š›½
sin š›½ cos š›½
Ɨ
cos š›¾ āˆ’ sin š›¾
sin š›¾ cos š›¾
=
cos š›¾ āˆ’ sin š›¾
sin š›¾ cos š›¾
Ɨ
cos š›½ āˆ’ sin š›½
sin š›½ cos š›½
ā‡’
cos š›½ cos š›¾ āˆ’ sin š›½ sin š›¾ āˆ’ cos š›½ sin š›¾ āˆ’ sin š›½ cos š›¾)
sin š›½ cos š›¾ + cos š›½ sin š›¾ āˆ’ sin š›½ sin š›¾ + cos š›½ cos š›¾
=
cos š›¾ cos š›½ āˆ’ sin š›¾ sin š›½ āˆ’ sin š›¾ cos š›½ āˆ’ sin š›¾ cos š›½
sin š›¾ cos š›½ āˆ’ cos š›¾ sin š›½ āˆ’ sin š›¾ sin š›½ + cos š›¾ cos š›½
ā‡’
cos(š›½ + š›¾) āˆ’ sin(š›½ + š›¾)
sin(š›½ + š›¾) cos(š›½ + š›¾)
=
cos(š›¾ + š›½) āˆ’ sin(š›¾ + š›½)
sin(š›¾ + š›½) cos(š›¾ + š›½)
ā‡’
cos(š›½ + š›¾) āˆ’ sin(š›½ + š›¾)
sin(š›½ + š›¾) cos(š›½ + š›¾)
=
cos(š›½ + š›¾) āˆ’ sin(š›½ + š›¾)
sin(š›½ + š›¾) cos(š›½ + š›¾)
[Sifat komutatif penjumlahan]
ā‡’
cos šœ‡ āˆ’ sin šœ‡
sin šœ‡ cos šœ‡
=
cos šœ‡ āˆ’ sin šœ‡
sin šœ‡ cos šœ‡
[šœ‡ = š›½ + š›¾, šœ‡ āˆˆ ā„] ā€¦ (terpenuhi)
āˆ“ jadi, š“ š›¼ merupakan grup komutatif. āˆŽ
15
13. Misalkan šŗ = š‘Ž + š‘ 2; š›¼, š‘ āˆˆ š‘„} Buktikan G grup terhadap operasi
penjumlahan, Apakah G komutatif?
Bukti:
Akan dibuktikan G membentuk grup
(i) Tidak Kosong
G ā‰  āˆ… sebab āˆƒ 2 + 4 2; 2,4 āˆˆ š‘„} āˆˆ G ā€¦ (terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
āˆ€ š‘„, š‘¦ āˆˆ šŗ berlaku š‘„ āˆ— š‘¦ āˆˆ šŗ
Ambil sebarang š‘„, š‘¦ āˆˆ šŗ
Pandang x= š‘Ž1 + š‘1 2; š‘Ž1, š‘1 āˆˆ š‘„}
y= š‘Ž2 + š‘2 2; š‘Ž2, š‘2 āˆˆ š‘„}
perhatikan bahwa
x*y = (š‘Ž1 + š‘1 2) āˆ— (š‘Ž2 + š‘2 2)
=(š‘Ž1 + š‘1 2) + (š‘Ž2 + š‘2 2)
=(š‘Ž1 + š‘Ž2) + (š‘1 2 + š‘2 2)
=(š‘Ž1 + š‘Ž2) + (š‘1 + š‘2) 2
Catatan:
[š‘Ž1 āˆˆ š‘„ Ė„š‘Ž2 āˆˆ š‘„ ā‡’ (š‘Ž1 + š‘Ž2) āˆˆ š‘„ misalkan (š‘Ž1 + š‘Ž2) = š‘Ž3 āˆˆ š‘„
š‘1 āˆˆ š‘„ Ė„š‘2 āˆˆ š‘„ ā‡’ (š‘1 + š‘2) āˆˆ š‘„ misalkan (š‘1 + š‘2) = š‘3 āˆˆ š‘„]
= š‘Ž3 + š‘3 2 [ š‘Ž3, š‘3 āˆˆ š‘„]
= š‘Ž3 + š‘3 2 āˆˆ šŗ
(iii) Sfat Assosiatif,
āˆ€š‘„, š‘¦, š‘§ āˆˆ šŗ berlaku š‘„ āˆ— š‘¦ āˆ— š‘§ = š‘„ āˆ— š‘¦ āˆ— š‘§
Ambil sebarang š‘„, š‘¦, š‘§ āˆˆ šŗ
Pandang x= š‘Ž1 + š‘1 2; š‘Ž1, š‘1 āˆˆ š‘„}
y= š‘Ž2 + š‘2 2; š‘Ž2, š‘2 āˆˆ š‘„}
z= š‘Ž3 + š‘3 2; š‘Ž3, š‘3 āˆˆ š‘„}
16
Perhatikan bahwa:
š‘„ āˆ— š‘¦ āˆ— š‘§ = š‘Ž1 + š‘1 2 āˆ— { š‘Ž2 + š‘2 2 āˆ— (š‘Ž3 + š‘3 2)}
= š‘Ž1 + š‘1 2 āˆ— { š‘Ž2 + š‘2 2 + (š‘Ž3 + š‘3 2)}
= š‘Ž1 + š‘1 2 + { š‘Ž2 + š‘2 2 + (š‘Ž3 + š‘3 2)}
= š‘Ž1 + š‘1 2 + { š‘Ž2 + š‘Ž3 + (š‘2 2 + š‘3 2)}
= š‘Ž1 + š‘1 2 + { š‘Ž2 + š‘Ž3 + (š‘2 + š‘3) 2}
= š‘Ž1 + š‘Ž2 + š‘Ž3 + {(š‘1 + š‘2) 2 + š‘3 2}
= š‘Ž1 + š‘Ž2 + š‘1 + š‘2 2 + (š‘Ž3 + š‘3 2)
= { š‘Ž1 + š‘1 2 āˆ— š‘Ž2 + š‘2 2 } + (š‘Ž3 + š‘3 2)
= š‘Ž1 + š‘1 2 āˆ— š‘Ž2 + š‘2 2 āˆ— (š‘Ž3 + š‘3 2)
= š‘„ āˆ— š‘¦ āˆ— š‘§ ā€¦ (terpenuhi)
(iv) Unsur Identitas
āˆ€š‘„ āˆˆ šŗ āˆƒš‘’ āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘’ āˆ— š‘„ = š‘„ āˆ— š‘’ = š‘„
Ambil sebarang š‘„, š‘¦ āˆˆ šŗ
Pandang x= š‘Ž1 + š‘1 2; š‘Ž1, š‘1 āˆˆ š‘„}
y= š‘Ž2 + š‘2 2; š‘Ž2, š‘2 āˆˆ š‘„}
Perhatikan bahwa:
š‘„ āˆ— š‘¦ = š‘¦ āˆ— š‘„ = š‘¦
(š‘Ž1 + š‘1 2) āˆ— š‘Ž2 + š‘2 2 = š‘Ž2 + š‘2 2 āˆ— (š‘Ž1 + š‘1 2) = š‘Ž2 + š‘2 2
(š‘Ž1 + š‘1 2) + š‘Ž2 + š‘2 2 = š‘Ž2 + š‘2 2 + (š‘Ž1 + š‘1 2) = š‘Ž2 + š‘2 2
ā‡’(š‘Ž1 + š‘1 2) = š‘Ž1 + š‘1 2 = š‘Ž2 + š‘2 2 āˆ’ š‘Ž2 + š‘2 2
ā‡’(š‘Ž1 + š‘1 2) = š‘Ž1 + š‘1 2 = š‘Ž2āˆ’š‘Ž2) + (š‘2 āˆ’ š‘2) 2
ā‡’ (š‘Ž1 + š‘1 2) = š‘Ž1 + š‘1 2 = 0 + 0 2
ā‡’ š‘„ = {0 + 0 2 ; 0 āˆˆ š‘„} āˆˆ šŗ
Sehingga š‘’ = {0 + 0 2 ; 0 āˆˆ š‘„} āˆˆ šŗ [e=identitas] ā€¦ (terpenuhi)
17
(v) Unsur Invers
āˆ€š‘„ āˆˆ šŗ āˆƒš‘„āˆ’1
āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘„āˆ’1
āˆ— š‘„ = š‘„ āˆ— š‘„āˆ’1
= š‘’
Ambil sebarang š‘„ āˆˆ šŗ
Pandang x= š‘Ž1 + š‘1 2; š‘Ž1, š‘1 āˆˆ š‘„}
perhatikan bahwa:
š‘„āˆ’1
āˆ— š‘„ = š‘„ āˆ— š‘„āˆ’1
= š‘’
ā‡’ š‘„āˆ’1
āˆ— (š‘Ž1 + š‘1 2) = š‘Ž1 + š‘1 2 āˆ— š‘„āˆ’1
= 0 + 0 2
ā‡’ š‘„āˆ’1
āˆ— (š‘Ž1 + š‘1 2) = š‘Ž1 + š‘1 2 āˆ— š‘„āˆ’1
= 0
ā‡’ š‘„āˆ’1
= 0 āˆ’ š‘Ž1 + š‘1 2
ā‡’ š‘„āˆ’1
= āˆ’ š‘Ž1 + š‘1 2
ā‡’ š‘„āˆ’1
= āˆ’š‘Ž1 āˆ’ š‘1 2 [āˆ’š‘Ž1, āˆ’š‘1 āˆˆ š‘„]
ā‡’ š‘„āˆ’1
= {āˆ’š‘Ž1 āˆ’ š‘1 2} āˆˆ šŗ ā€¦ terpenuhi
āˆ“ jadi, šŗ = š‘Ž + š‘ 2; š›¼, š‘ āˆˆ š‘„} merupakan Grup.
Akan dibuktikan šŗ = š‘Ž + š‘ 2; š›¼, š‘ āˆˆ š‘„} merupakan grup komutatif
āˆ€ š‘„, š‘¦ āˆˆ šŗ berlaku š‘„ āˆ— š‘¦ = š‘¦ āˆ— š‘„ āˆˆ šŗ
Ambil sebarang š‘„, š‘¦ āˆˆ šŗ
Pandang x= š‘Ž1 + š‘1 2; š‘Ž1, š‘1 āˆˆ š‘„}
y= š‘Ž2 + š‘2 2; š‘Ž2, š‘2 āˆˆ š‘„}
perhatikan bahwa
x*y = (š‘Ž1 + š‘1 2) āˆ— (š‘Ž2 + š‘2 2)
=(š‘Ž1 + š‘1 2) + (š‘Ž2 + š‘2 2)
=(š‘Ž1 + š‘Ž2) + (š‘1 2 + š‘2 2)
=(š‘Ž2 + š‘Ž1) + (š‘2 + š‘1) 2
=(š‘Ž2 + š‘Ž1) + (š‘2 2 + š‘1 2)
= š‘Ž2 + š‘2 2 +(š‘Ž1 + š‘1 2)
=š‘¦ āˆ— š‘„ ā€¦ (terbukti) āˆ“ jadi, šŗ merupakan grup komutatif. āˆŽ
18
14. Misalkan š‘€ =
š‘Ž š‘
š‘ š‘‘
: š‘Žš‘‘ āˆ’ š‘š‘ ā‰  0; š‘Ž, š‘, š‘, š‘‘ āˆˆ ā„
Buktikan M dengan perkalian matriks membentuk grup, Apakah M
komutatif?
Bukti:
(i) Tidak Kosong
G ā‰  āˆ… sebab āˆƒ
1 0
0 1
: 1 ā‰  0; 0, 1 āˆˆ ā„ āˆˆ M ā€¦ (terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
āˆ€ š‘‹, š‘Œ āˆˆ šŗ berlaku š‘‹ āˆ— š‘Œ āˆˆ šŗ
Ambil sebarang š‘‹, š‘Œ āˆˆ šŗ
Pandang š‘‹ =
š‘Ž1 š‘1
š‘1 š‘‘1
: š‘Ž1 š‘‘1 āˆ’ š‘1 š‘1 ā‰  0; š‘Ž1, š‘1, š‘1, š‘‘1 āˆˆ ā„
š‘Œ =
š‘Ž2 š‘2
š‘2 š‘‘2
: š‘Ž2 š‘‘2 āˆ’ š‘2 š‘2 ā‰  0; š‘Ž2, š‘2, š‘2, š‘‘2 āˆˆ ā„
perhatikan bahwa
X*Y=
š‘Ž1 š‘1
š‘1 š‘‘1
āˆ—
š‘Ž2 š‘2
š‘2 š‘‘2
=
š‘Ž1 š‘1
š‘1 š‘‘1
š‘Ž2 š‘2
š‘2 š‘‘2
digunakan teorema ššžš­ š‘Øš‘© = ššžš­ š‘Ø ššžš­ā”(š‘©)
diketahui detā”(š‘‹) ā‰  0 dan detā”(š‘Œ) ā‰  0 maka
det š‘‹š‘Œ = detā”(š‘‹)detā”(š‘Œ) ā‰  0 ā€¦ (terpenuhi)
(iii) Sfat Assosiatif,
āˆ€š‘‹, š‘Œ, š‘ āˆˆ šŗ berlaku š‘‹ āˆ— š‘Œ āˆ— š‘ = š‘‹ āˆ— š‘Œ āˆ— š‘
Jelas terpenuhi sebab matriks 2x2 bersifat assosiatif
(iv) Unsur Identitas
āˆ€š‘‹ āˆˆ šŗ āˆƒš‘’ āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘’ āˆ— š‘‹ = š‘‹ āˆ— š‘’ = š‘‹
Ambil sebarang š‘‹ āˆˆ šŗ
Pandang š‘‹ =
š‘Ž1 š‘1
š‘1 š‘‘1
: š‘Ž1 š‘‘1 āˆ’ š‘1 š‘1 ā‰  0; š‘Ž1, š‘1, š‘1, š‘‘1 āˆˆ ā„
19
Unsur identitas pada matriks yaitu š‘’ =
1 0
0 1
Akan ditunjukkan š‘’ āˆ— š‘‹ = š‘‹ āˆ— š‘’ = š‘‹
š‘Ž1 š‘1
š‘1 š‘‘1
1 0
0 1
=
1 0
0 1
š‘Ž1 š‘1
š‘1 š‘‘1
=
š‘Ž1 š‘1
š‘1 š‘‘1
ā€¦ (terpenuhi)
(v) Unsur Invers
āˆ€š‘‹ āˆˆ šŗ āˆƒš‘‹āˆ’1
āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘‹āˆ’1
āˆ— š‘‹ = š‘‹ āˆ— š‘‹āˆ’1
= š‘’
Ambil sebarang š‘‹ āˆˆ šŗ
Pandang š‘‹ =
š‘Ž1 š‘1
š‘1 š‘‘1
: š‘Ž1 š‘‘1 āˆ’ š‘1 š‘1 ā‰  0; š‘Ž1, š‘1, š‘1, š‘‘1 āˆˆ ā„
š‘‹āˆ’1
=
1
detā”(š‘‹)
š‘Žš‘‘š‘— š‘‹
š‘‹āˆ’1
=
1
š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1
š‘‘1 āˆ’š‘1
āˆ’š‘1 š‘Ž1
=
š‘‘1
š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1
āˆ’š‘1
š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1
āˆ’š‘1
š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1
š‘Ž1
š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1
āˆˆ š‘‹
Catatan: det (š‘‹āˆ’1
) =
š‘‘1
š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1
š‘Ž1
š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1
āˆ’
āˆ’š‘1
š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1
āˆ’š‘1
š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1
=
š‘Ž1 š‘‘1 āˆ’ š‘1 š‘1
š‘Ž1 š‘‘1 āˆ’ š‘1 š‘1
ā‰  0
Akan dibuktikan š‘‹āˆ’1
āˆ— š‘‹ = š‘‹ āˆ— š‘‹āˆ’1
= š‘’
Perhatikan bahwa:
š‘‘1
š‘Ž1 š‘‘1 āˆ’ š‘1 š‘1
āˆ’š‘1
š‘Ž1 š‘‘1 āˆ’ š‘1 š‘1
āˆ’š‘1
š‘Ž1 š‘‘1 āˆ’ š‘1 š‘1
š‘Ž1
š‘Ž1 š‘‘1 āˆ’ š‘1 š‘1
š‘Ž1 š‘1
š‘1 š‘‘1
=
š‘Ž1 š‘1
š‘1 š‘‘1
š‘‘1
š‘Ž1 š‘‘1 āˆ’ š‘1 š‘1
āˆ’š‘1
š‘Ž1 š‘‘1 āˆ’ š‘1 š‘1
āˆ’š‘1
š‘Ž1 š‘‘1 āˆ’ š‘1 š‘1
š‘Ž1
š‘Ž1 š‘‘1 āˆ’ š‘1 š‘1
=
1 0
0 1
š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1
š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1
š‘1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘‘1
š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1
š‘Ž1 š‘1āˆ’š‘Ž1 š‘1
š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1
š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1
š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1
=
š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1
š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1
š‘Ž1 š‘1āˆ’š‘Ž1 š‘1
š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1
š‘1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘‘1
š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1
š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1
š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1
=
1 0
0 1
ā€¦ (terpenuhi)
āˆ“ jadi, š‘€ =
š‘Ž š‘
š‘ š‘‘
: š‘Žš‘‘ āˆ’ š‘š‘ ā‰  0; š‘Ž, š‘, š‘, š‘‘ āˆˆ ā„ merupakan grup.
Akan dibuktikan apakah M merupakan grup komutatif:
20
Contoh penyangkal:
Ambil sebarang š‘‹, š‘Œ āˆˆ šŗ
Pandang š‘‹ =
1 0
2 1
: 1 ā‰  0; 1,0,2 āˆˆ ā„
š‘Œ =
1 2
0 1
: 1 ā‰  0; 1,0,2 āˆˆ ā„
š‘‹š‘Œ =
1 0
2 1
1 2
0 1
=
1 2
2 5
ā€¦ (i)
š‘Œš‘‹ =
1 2
0 1
1 0
2 1
=
5 2
2 1
ā€¦ (ii)
Dari (i) dan (ii) diperoleh bahwa š‘‹š‘Œ ā‰  š‘Œš‘‹,
āˆ“ jadi, š‘€ =
š‘Ž š‘
š‘ š‘‘
: š‘Žš‘‘ āˆ’ š‘š‘ ā‰  0; š‘Ž, š‘, š‘, š‘‘ āˆˆ ā„ bukan grup komutatif. āˆŽ
15. Misalkan ā„¤ himpunan bilangan bulat dengan operasi * yang didefenisikan
š‘Ž āˆ— š‘ = š‘Ž + š‘ + 1 āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ ā„¤ . apakah (G,*) membentuk grup?
Bukti:
(i) Tidak Kosong
G ā‰  āˆ… sebab āˆƒ 2 āˆˆ G ā€¦ (terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
āˆ€ š‘Ž, š‘, āˆˆ šŗ berlaku š‘Ž āˆ— š‘ āˆˆ šŗ
Ambil sebarang š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ maka berlaku (š‘Ž + š‘ + 1 ) āˆˆ šŗ ā€¦ (terpenuhi)
(iii) Sfat Assosiatif,
āˆ€š‘Ž, š‘, š‘ āˆˆ šŗ berlaku š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘
Ambil sebarang š‘Ž, š‘, š‘ āˆˆ šŗ
Perhatikan bahwa:
š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ— š‘ + š‘ + 1
= š‘Ž + š‘ + š‘ + 1 + 1
= š‘Ž + š‘ + 1 + š‘ + 1
= š‘Ž + š‘ + 1 āˆ— š‘
= š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ ā€¦ (terpenuhi)
21
(iv) Unsur Identitas
āˆ€š‘Ž āˆˆ šŗ āˆƒš‘’ āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘’ āˆ— š‘Ž = š‘Ž āˆ— š‘’ = š‘Ž
Perhatikan bahwa:
š‘Ž āˆ— š‘ = š‘ āˆ— š‘Ž = š‘
š‘Ž + š‘ + 1 = š‘ + š‘Ž + 1 = š‘
š‘Ž = š‘Ž = š‘ āˆ’ (š‘ + 1)
š‘Ž = āˆ’1 āˆˆ šŗ
Sehingga š‘’ = 1 āˆˆ šŗ [e=identitas] ā€¦ (terpenuhi)
(v) Unsur Invers
āˆ€š‘Ž āˆˆ šŗ āˆƒš‘Žāˆ’1
āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘Žāˆ’1
āˆ— š‘Ž = š‘Ž āˆ— š‘Žāˆ’1
= š‘’
perhatikan bahwa:
š‘Ž āˆ— š‘ = š‘ āˆ— š‘Ž = āˆ’1
š‘Ž + š‘ + 1 = š‘ + š‘Ž + 1 = āˆ’1
š‘Ž = š‘Ž = āˆ’1 āˆ’ (š‘ + 1)
š‘Ž = āˆ’2 + š‘ āˆˆ G ā€¦ (terpenuhi)
āˆ“ jadi, š‘Ž āˆ— š‘ = š‘Ž + š‘ + 1 āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ ā„¤ merupakan grup. āˆŽ
16. Misalkan ā„š{1} dengan operasi * yang didefenisikan š‘Ž āˆ— š‘ = š‘Ž + š‘ āˆ’
š‘Žš‘ āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ ā„š{1}. Apakah ā„š{1},*) membentuk grup?
Bukti:
(i) Tidak Kosong
ā„š{1} ā‰  āˆ… sebab āˆƒ 2 āˆˆ G ā€¦ (terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
āˆ€ š‘Ž, š‘, āˆˆ šŗ berlaku š‘Ž āˆ— š‘ āˆˆ ā„š{1}
Ambil sebarang š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ maka berlaku š‘Ž + š‘ āˆ’ š‘Žš‘ āˆˆ ā„š{1} ā€¦
(terpenuhi)
(iii) Sfat Assosiatif,
āˆ€š‘Ž, š‘, š‘ āˆˆ ā„š{1} berlaku š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘
22
Ambil sebarang š‘Ž, š‘, š‘ āˆˆ ā„š{1}
Perhatikan bahwa:
š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ— š‘ + š‘ āˆ’ š‘š‘
= š‘Ž + š‘ + š‘ āˆ’ š‘š‘ āˆ’ š‘Ž š‘ + š‘ āˆ’ š‘š‘
= š‘Ž + š‘ + š‘ āˆ’ š‘š‘ āˆ’ š‘Žš‘ āˆ’ š‘Žš‘ + š‘Žš‘š‘
= š‘Ž + š‘ āˆ’ š‘Žš‘ + š‘ āˆ’ š‘Žš‘ āˆ’ š‘š‘ + š‘Žš‘š‘
= š‘Ž + š‘ āˆ’ š‘Žš‘ + š‘ āˆ’ š‘ š‘Ž + š‘ āˆ’ š‘Žš‘
= š‘Ž + š‘ āˆ’ š‘Žš‘ āˆ— š‘
= š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ ā€¦ (terpenuhi)
(iv) Unsur Identitas
āˆ€š‘Ž āˆˆ šŗ āˆƒš‘’ āˆˆ ā„š{1} āˆ‹ š‘’ āˆ— š‘Ž = š‘Ž āˆ— š‘’ = š‘Ž
Perhatikan bahwa:
š‘Ž āˆ— š‘ = š‘ āˆ— š‘Ž = š‘ ā‡’ š‘Ž + š‘ āˆ’ š‘Žš‘ = š‘ + š‘Ž āˆ’ š‘Žš‘ = š‘
ā‡’ š‘Ž āˆ’ š‘Žš‘ = š‘Ž āˆ’ š‘Žš‘ = š‘ āˆ’ š‘
ā‡’ š‘Ž(1 āˆ’ š‘) = š‘Ž(1 āˆ’ š‘) = 0
ā‡’ š‘Ž = š‘Ž = 0
ā‡’ š‘Ž = 0 āˆˆ ā„š{1}
Sehingga š‘’ = 0 āˆˆ šŗ [e=identitas] ā€¦ (terpenuhi)
(v) Unsur Invers
āˆ€š‘Ž āˆˆ ā„š{1} āˆƒš‘Žāˆ’1
āˆˆ ā„š{1} āˆ‹ š‘Žāˆ’1
āˆ— š‘Ž = š‘Ž āˆ— š‘Žāˆ’1
= š‘’
perhatikan bahwa:
š‘Ž āˆ— š‘ = š‘ āˆ— š‘Ž = 0 ā‡’ š‘Ž + š‘ āˆ’ š‘Žš‘ = š‘ + š‘Ž āˆ’ š‘š‘Ž = 0
ā‡’ š‘Ž āˆ’ š‘Žš‘ = š‘Ž āˆ’ š‘Žš‘ = āˆ’š‘
ā‡’ š‘Ž 1 āˆ’ š‘ = š‘Ž 1 āˆ’ š‘ = āˆ’š‘
ā‡’ š‘Ž =
āˆ’š‘
1āˆ’š‘
āˆˆ ā„š{1} ā€¦ (terpenuhi)
āˆ“ jadi, š‘Ž āˆ— š‘ = š‘Ž + š‘ āˆ’ š‘Žš‘ āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ ā„š{1} merupakan grup. āˆŽ
23
17. Misalkan G grup dengan e unsur identitas di G dengan š‘¦āˆ’1
š‘„āˆ’1
š‘¦š‘„ = š‘’,
buktikan G merupakan grup komutatif! (Soal UTS)
Bukti:
Misalkan G grup dan š‘’ āˆˆ šŗ, [e=identitas]
Akan dibuktikan G komutatif dengan cara menunjukkan š‘„š‘¦ = š‘¦š‘„
Perhatikan bahwa:
š‘¦āˆ’1
š‘„āˆ’1
š‘¦š‘„ = š‘’ ā‡’ š‘¦āˆ’1
š‘„āˆ’1
š‘¦š‘„ = š‘’ [e=identitas]
ā‡’ (š‘¦āˆ’1
š‘„āˆ’1
)(š‘¦š‘„) = š‘’ [assosiatif]
ā‡’ (š‘„š‘¦)āˆ’1
(š‘¦š‘„) = š‘’ [(š‘„š‘¦)āˆ’1
= š‘¦āˆ’1
š‘„āˆ’1
, sifat grup]
ā‡’ (š‘„š‘¦)(š‘„š‘¦)āˆ’1
(š‘¦š‘„) = š‘„š‘¦ š‘’ [kalikan kedua ruas dengan š‘„š‘¦ ]
ā‡’ { š‘„š‘¦ š‘„š‘¦ āˆ’1
}(š‘¦š‘„) = š‘„š‘¦ [assosiatif, š‘„š‘¦ š‘’ = š‘„š‘¦]
ā‡’ š‘’(š‘¦š‘„) = š‘„š‘¦ [ š‘„š‘¦ š‘„š‘¦ āˆ’1
= š‘’]
ā‡’ š‘¦š‘„ = š‘„š‘¦ [š‘’(š‘¦š‘„) = š‘¦š‘„]
āˆ“ jadi, grup G dengan š‘¦āˆ’1
š‘„āˆ’1
š‘¦š‘„ = š‘’ [e=identitas] merupakan grup
komutatif. āˆŽ
18. Misalkan M adalah himpunan matriks real 2x2 yang tak singular,
didefenisikan operasi M adalah š“ āˆ— šµ = š“š½šµ, āˆ€š“, šµ āˆˆ š‘€, dengan
š½ =
1 0
0 āˆ’1
, periksa apakah (M,*) membentuk grup? (Soal UTS)
Bukti:
(i) Tidak Kosong
M ā‰  āˆ… sebab āˆƒ
1 0
0 1
: 0, 1 āˆˆ ā„ āˆˆ M ā€¦ (terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
āˆ€ š‘‹, š‘Œ āˆˆ š‘€ berlaku š‘‹ āˆ— š‘Œ āˆˆ š‘€
Ambil sebarang š‘‹, š‘Œ āˆˆ š‘€
Pandang š‘‹ =
š‘Ž1 š‘1
š‘1 š‘‘1
: š‘Ž1 š‘‘1 āˆ’ š‘1 š‘1 āˆˆ ā„; š‘Ž1, š‘1, š‘1, š‘‘1 āˆˆ ā„
24
š‘Œ =
š‘Ž2 š‘2
š‘2 š‘‘2
: š‘Ž2 š‘‘2 āˆ’ š‘2 š‘2 āˆˆ ā„; š‘Ž2, š‘2, š‘2, š‘‘2 āˆˆ ā„
perhatikan bahwa
X*Y=
š‘Ž1 š‘1
š‘1 š‘‘1
āˆ—
š‘Ž2 š‘2
š‘2 š‘‘2
=
š‘Ž1 š‘1
š‘1 š‘‘1
1 0
0 1
š‘Ž2 š‘2
š‘2 š‘‘2
digunakan teorema ššžš­ š‘Øš‘© = ššžš­ š‘Ø ššžš­ā”(š‘©)
diketahui detā”(š‘‹) āˆˆ ā„, detā”(š‘Œ) āˆˆ ā„ serta det š½ = āˆ’1 āˆˆ ā„ maka
det š‘‹š½š‘Œ = detā”(š‘‹) det š½ detā”(š‘Œ) āˆˆ ā„ ā€¦ (terpenuhi)
(iii) Sfat Assosiatif,
āˆ€š‘‹, š‘Œ, š‘ āˆˆ šŗ berlaku š‘‹ āˆ— š‘Œ āˆ— š‘ = š‘‹ āˆ— š‘Œ āˆ— š‘
Ambil sebarang š‘‹, š‘Œ, š‘ āˆˆ š‘€
Perhatikan bahwa:
š‘‹ āˆ— š‘Œ āˆ— š‘ = š‘‹ āˆ— (š‘Œš½š‘)
= š‘‹š½(š‘Œš½š‘)
= (š‘‹š½š‘Œ)š½š‘
= (š‘‹ āˆ— š‘Œ)š½š‘
= š‘‹ āˆ— š‘Œ āˆ— š‘ ā€¦ (terpenuhi)
(iv) Unsur Identitas
āˆ€š‘‹ āˆˆ šŗ āˆƒšø āˆˆ šŗ āˆ‹ šø āˆ— š‘‹ = š‘‹ āˆ— šø = š‘‹
Ambil sebarang š‘‹, š‘Œ āˆˆ šŗ
Perhatikan bahwa:
š‘‹ āˆ— š‘Œ = š‘‹ ā‡’ š‘‹š½š‘Œ = š‘‹
ā‡’ (š‘‹š½)āˆ’1
š‘‹š½š‘Œ = (š‘‹š½)āˆ’1
š‘‹ [Kalikan (š‘‹š½)āˆ’1
pada kedua ruas]
ā‡’ { š‘‹š½ āˆ’1
(š‘‹š½)}š‘Œ = (š‘‹š½)āˆ’1
š‘‹ [assosiatif]
ā‡’ š‘Œ = š½āˆ’1
š‘‹āˆ’1
š‘‹ [ š‘‹š½ āˆ’1
š‘‹š½ = šø
šø = š‘šš‘Žš‘”š‘Ÿš‘–š‘˜š‘  š‘–š‘‘š‘’š‘›š‘”š‘–š‘”š‘Žš‘  serta (š‘‹š½)āˆ’1
= š½āˆ’1
š‘‹āˆ’1
]
ā‡’ š‘Œ = š½āˆ’1
(š‘‹āˆ’1
š‘‹) [assosiatif]
25
ā‡’ š‘Œ = š½āˆ’1
E [š‘‹āˆ’1
š‘‹ = šø šø = š‘šš‘Žš‘”š‘Ÿš‘–š‘˜š‘  š‘–š‘‘š‘’š‘›š‘”š‘–š‘”š‘Žš‘  ]
ā‡’ š‘Œ = š½āˆ’1
[š½āˆ’1
E=š½āˆ’1
]
ā‡’ š‘Œ = š½āˆ’1
= š½
Perhatikan š½āˆ’1
= š½:
Dketahui: š½ =
1 0
0 āˆ’1
š½āˆ’1
=
1
detā”(š½)
š‘Žš‘‘š‘—š½
=
1
āˆ’1
āˆ’1 0
0 1
=
1 0
0 āˆ’1
= š½
Sehingga unsur identitasnya adalah š½āˆ’1
= š½ ā€¦(terpenuhi)
(v) Unsur Invers
āˆ€š‘‹ āˆˆ šŗ āˆƒš‘‹āˆ’1
āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘‹āˆ’1
āˆ— š‘‹ = š‘‹ āˆ— š‘‹āˆ’1
= šø
Ambil sebarang š‘‹, š‘Œ āˆˆ šŗ
Perhatikan bahwa:
š‘‹ āˆ— š‘Œ = š½ ā‡’ š‘‹š½š‘Œ = š½
ā‡’ (š‘‹š½)š‘Œ = š½ [Assosiatif]
ā‡’ (š‘‹š½)āˆ’1
(š‘‹š½)š‘Œ = (š‘‹š½)āˆ’1
š½ [kalikan (š‘‹š½)āˆ’1
kedua ruas]
ā‡’ { š‘‹š½ āˆ’1
(š‘‹š½)}š‘Œ = š½āˆ’1
š‘‹āˆ’1
š½ [Assosiatif, (š‘‹š½)āˆ’1
= š½āˆ’1
š‘‹āˆ’1
]
ā‡’ šøš‘Œ = š½āˆ’1
š‘‹āˆ’1
š½ [ š‘‹š½ āˆ’1
š‘‹š½ = šø]
[šø = š‘šš‘Žš‘”š‘Ÿš‘–š‘˜š‘  š‘–š‘‘š‘’š‘›š‘”š‘–š‘”š‘Žš‘ ]
ā‡’ š‘Œ = š½āˆ’1
š‘‹āˆ’1
š½ [šøš‘Œ = š‘Œ] ā€¦(terpenuhi)
āˆ“ jadi, M dengan defenisi š“ āˆ— šµ = š“š½šµ, āˆ€š“, šµ āˆˆ š‘€, dengan š½ =
1 0
0 āˆ’1
merupakan grup. āˆŽ
26
19. Misalkan ā„š+
himpunan bilangan rasional positif dengan defenisi operasi
š‘Ž āˆ— š‘ =
š‘Žš‘
2
, āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ ā„š+
, apakah (ā„š+
,āˆ—) membentuk grup, jika tidak berikan
contoh penyangkal! (Soal UTS)
Bukti:
(i) Tidak Kosong
ā„š+
ā‰  āˆ… sebab āˆƒ 2 āˆˆ ā„š+
ā€¦ (terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
āˆ€ š‘Ž, š‘ āˆˆ ā„š+
berlaku š‘Ž āˆ— š‘ āˆˆ ā„š+
Ambil sebarang š‘Ž, š‘ āˆˆ ā„š+
maka berlaku
š‘Žš‘
2
āˆˆ ā„š+
ā€¦ (terpenuhi)
(iii) Sfat Assosiatif,
āˆ€š‘Ž, š‘, š‘ āˆˆ šŗ berlaku š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘
Ambil sebarang š‘Ž, š‘, š‘ āˆˆ šŗ
Perhatikan bahwa:
š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ—
š‘š‘
2
=
š‘Ž
š‘š‘
2
2
=
š‘Žš‘š‘
2
2
=
š‘Žš‘
2
š‘
2
=
š‘Žš‘
2
āˆ— š‘
= š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ ā€¦ (terpenuhi)
(iv) Unsur Identitas
āˆ€š‘Ž āˆˆ šŗ āˆƒš‘’ āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘’ āˆ— š‘Ž = š‘Ž āˆ— š‘’ = š‘Ž
Perhatikan bahwa:
š‘Ž āˆ— š‘ = š‘ āˆ— š‘Ž = š‘
27
š‘Žš‘
2
=
š‘š‘Ž
2
= š‘
š‘Žš‘ = š‘Žš‘ = 2š‘
š‘Ž =
2š‘
š‘
š‘Ž = 2
Sehingga š‘’ = 2 āˆˆ ā„š+
[e=identitas] ā€¦ (terpenuhi)
(v) Unsur Invers
āˆ€š‘Ž āˆˆ šŗ āˆƒš‘Žāˆ’1
āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘Žāˆ’1
āˆ— š‘Ž = š‘Ž āˆ— š‘Žāˆ’1
= š‘’
perhatikan bahwa:
š‘Ž āˆ— š‘ = š‘ āˆ— š‘Ž = 2
š‘Žš‘
2
=
š‘š‘Ž
2
= 2
š‘Žš‘ = š‘š‘Ž = 4
š‘Ž =
š‘
4
āˆˆ ā„š+
ā€¦ (terpenuhi)
āˆ“ jadi, ā„š+
himpunan bilangan rasional positif dengan defenisi operasi
š‘Ž āˆ— š‘ =
š‘Žš‘
2
, āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ ā„š+
adalah Grup. āˆŽ
20. Misalkan šŗ = ā„¤ š‘„ ā„¤ = {(š‘Ž, š‘) āˆ£ š‘Ž, š‘ āˆˆ ā„¤} didefenisikan operasi biner * pada
G, yaitu āˆ€ š‘Ž, š‘ , (š‘, š‘‘) āˆˆ šŗ berlaku š‘Ž, š‘ āˆ— š‘, š‘‘ = (š‘Ž + š‘, š‘ + š‘‘), Apakah G
merupakan grup terhadap operasi *?
Bukti:
(i) Tidak Kosong
šŗ ā‰  āˆ… sebab āˆƒ {(1, 2) āˆ£ 1,2 āˆˆ ā„¤} āˆˆ šŗ ā€¦ (terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
āˆ€ š‘„, š‘¦ āˆˆ šŗ berlaku š‘„ āˆ— š‘¦ āˆˆ šŗ
Ambil sebarang š‘Ž, š‘ , (š‘, š‘‘) āˆˆ šŗ maka berlaku (š‘Ž + š‘, š‘ + š‘‘) āˆˆ šŗ ā€¦
(terpenuhi)
28
(iii) Sfat Assosiatif,
āˆ€š‘„, š‘¦, š‘§ āˆˆ šŗ berlaku š‘„ āˆ— š‘¦ āˆ— š‘§ = š‘„ āˆ— š‘¦ āˆ— š‘§
Ambil sebarang š‘„, š‘¦, š‘§ āˆˆ šŗ
Pandang: š‘„ = š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ
š‘¦ = š‘, š‘‘ āˆˆ šŗ
š‘§ = š‘’, š‘“ āˆˆ šŗ
Perhatikan bahwa:
š‘„ āˆ— š‘¦ āˆ— š‘§ = š‘„ āˆ— { š‘, š‘‘ āˆ— š‘’, š‘“ }
= š‘„ āˆ— (š‘ + š‘’, š‘‘ + š‘“)
= (š‘Ž, š‘) āˆ— (š‘ + š‘’, š‘‘ + š‘“)
= (š‘Ž + š‘ + š‘’, š‘ + š‘‘ + š‘“)
= š‘Ž + š‘, š‘ + š‘‘ āˆ— (š‘’, š‘“)
= š‘Ž + š‘, š‘ + š‘‘ āˆ— š‘§
= š‘Ž, š‘ āˆ— š‘, š‘‘ āˆ— š‘§
= š‘„ āˆ— š‘¦ āˆ— š‘§ ā€¦ (terpenuhi)
(iv) Unsur Identitas
āˆ€š‘„ āˆˆ šŗ āˆƒš‘’ āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘’ āˆ— š‘„ = š‘„ āˆ— š‘’ = š‘„
Ambil sebarang š‘„, š‘¦, šŗ
Pandang: š‘„ = š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ
š‘¦ = š‘, š‘‘ āˆˆ šŗ
Perhatikan bahwa:
š‘„ āˆ— š‘¦ = š‘¦ āˆ— š‘„ = š‘¦
š‘Ž, š‘ āˆ— š‘, š‘‘ = š‘, š‘‘ āˆ— š‘Ž, š‘ = (š‘, š‘‘)
š‘Ž + š‘, š‘ + š‘‘ = š‘ + š‘Ž, š‘‘ + š‘ = (š‘ , š‘‘)
š‘Ž, š‘ = š‘Ž, š‘ = (0,0)
š‘„ = (0,0)
Sehingga š‘’ = (0,0) āˆˆ šŗ [e=identitas] ā€¦ (terpenuhi)
29
(v) Unsur Invers
āˆ€š‘„ āˆˆ šŗ āˆƒš‘„āˆ’1
āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘„āˆ’1
āˆ— š‘„ = š‘„ āˆ— š‘„āˆ’1
= š‘’
Ambil sebarang š‘„, š‘¦, šŗ
Pandang: š‘„ = š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ
š‘¦ = š‘, š‘‘ āˆˆ šŗ
Perhatikan bahwa:
š‘„ āˆ— š‘¦ = š‘¦ āˆ— š‘„ = š‘’
š‘Ž, š‘ āˆ— š‘, š‘‘ = š‘, š‘‘ āˆ— š‘Ž, š‘ = (0,0)
š‘Ž + š‘, š‘ + š‘‘ = š‘ + š‘Ž, š‘‘ + š‘ = (0 ,0)
š‘Ž, š‘ = š‘Ž, š‘ = (āˆ’š‘, āˆ’š‘‘)
š‘„ = (āˆ’š‘, āˆ’š‘‘) āˆˆ šŗ ā€¦ (terpenuhi)
āˆ“ jadi, šŗ adalah Grup. āˆŽ
21. Misalkan G = {-1, 1}. Tunjukan bahwa G adalah suatu grup abel terhadap
perkalian biasa (G, Ɨ).
Bukti:
Daftar Cayley G = {-1, 1} terhadap (G, Ɨ) sebagai berikut:
x 1 -1
1 1 -1
-1 -1 1
(i) Tidak Kosong
šŗ ā‰  āˆ… sebab āˆƒ 1 āˆˆ šŗ ā€¦ (terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
āˆ€ š‘„, š‘¦ āˆˆ šŗ berlaku š‘„ āˆ— š‘¦ āˆˆ šŗ
Perhatikan tebel diatas G tertutup terhadap operasi perkalian biasa
sebab:
-1 Ɨ -1 = 1 āˆˆ G -1 Ɨ 1 = -1 āˆˆ G
1 Ɨ -1 = -1 āˆˆ G 1 Ɨ 1 = 1 āˆˆ G
30
(iii) Sfat Assosiatif,
āˆ€š‘„, š‘¦, š‘§ āˆˆ šŗ berlaku š‘„ āˆ— š‘¦ āˆ— š‘§ = š‘„ āˆ— š‘¦ āˆ— š‘§
Ambil sebarang š‘„, š‘¦, š‘§ āˆˆ šŗ
š‘„ āˆ— š‘¦ āˆ— š‘§ = š‘„ āˆ— (š‘¦ Ɨ š‘§)
= š‘„ Ɨ š‘¦ Ɨ š‘§
= (š‘„ Ɨ š‘¦) Ɨ š‘§
= š‘„ Ɨ š‘¦ āˆ— š‘§
= š‘„ āˆ— š‘¦ āˆ— š‘§ ā€¦ (terpenuhi)
(iv) Unsur Identitas
āˆ€š‘„ āˆˆ šŗ āˆƒš‘’ āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘’ āˆ— š‘„ = š‘„ āˆ— š‘’ = š‘„
Ambil sebarang š‘„, š‘¦ āˆˆ šŗ
Perhatikan bahwa:
š‘„ āˆ— š‘¦ = š‘¦ āˆ— š‘„ = š‘„
š‘„ Ɨ š‘¦ = š‘¦ Ɨ š‘„ = š‘„
š‘¦ = š‘¦ = 1
Sehingga š‘’ = 1 āˆˆ šŗ [e=identitas] ā€¦ (terpenuhi)
(v) Unsur Invers
āˆ€š‘„ āˆˆ šŗ āˆƒš‘„āˆ’1
āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘„āˆ’1
āˆ— š‘„ = š‘„ āˆ— š‘„āˆ’1
= š‘’
Perhatikan kembali tebel diatas (1) adalah invers di G sebab:
Ambil 1 āˆˆ šŗ Diketahui š‘’ = 1 maka
1 Ɨ 1 = 1
Perhatikan kembali tebel diatas (-1) adalah invers di G sebab:
Ambil āˆ’1 āˆˆ šŗ Diketahui š‘’ = 1 maka
āˆ’1 Ɨ (āˆ’1) = 1
ā§‰ Sehingga 1, āˆ’1 āˆˆ šŗ masing-masing invers di G ā€¦ (terpenuhi)
āˆ“ jadi, G = {-1, 1} merupakan grup terhadap (G, Ɨ). āˆŽ
***
31
GRUP SIKLIK
āˆ€š‘Ž āˆˆ šŗ, š‘œ š‘Ž ā‰  ~
āˆ€š‘Ž āˆˆ šŗ, š‘Ž ā‰  š‘’, š‘œ š‘Ž = ~
āˆƒ š‘ ā‰  š‘’, āˆ‹ š‘œ š‘ ā‰  ~
Tingkat & Orde
Defenisi Pangkat: Misalkan G grup dan š‘Ž āˆˆ šŗ, didefenisikan š‘Ž1
=
š‘Ž; š‘Ž š‘›+1
= an
= a . ā– 
Order dari anggota grup: misalkan šŗ grup, š‘Ž āˆˆ šŗ dan š‘’ unsur identitas di
šŗ. jika š‘ƒ = {š‘› āˆˆ š‘; š‘Ž š‘›
= š‘’} ā‰  āˆ…, maka tingkat (order) dari a adalah
minimum {nāˆˆ š‘; an
= š‘’}. ā– 
Notasi š‘œ š‘Ž = š‘›; š‘œ š‘’ = 1. ā– 
Catatan:
1. Order dari š‘Ž āˆˆ šŗ adalah bilangan bulat positif terkecil m sehingga
š‘Ž š‘š
= š‘’, e adalah identitas di G
2. Jika m bilangan bulat positif sehingga š‘Ž š‘š
= š‘’ dinotasikan š‘œ š‘Ž = š‘š
3. Jika tidak terdapat m bilangan bulat positif terkecil sedemikian
sehingga š‘Ž š‘š
= š‘’, maka š‘œ š‘š = 0 š‘Žš‘”š‘Žš‘¢ 0 š‘š = ~
4. Untuk G grup sebarang dan e identitas di G, mempunyai order satu
š‘œ š‘’ = 1.
Suatu grup G disebut:
ļ¶ Periodik (berkala)
ļ¶ Aperiodik
ļ¶ Campuran
āˆƒ š‘Ž āˆˆ šŗ, š‘œ š‘Ž = ~ dan
32
1. Misalkan šŗ = {1, āˆ’1, š‘–, āˆ’š‘–} dengan š‘– menyatakan imaginer, tunjukkan bahwa
(šŗ, š‘„) merupakan periodik, š‘–2
= āˆ’1.
Bukti:
šŗ = {1, āˆ’1, š‘–, āˆ’š‘–} dengan identitas š‘’ = 1
1 š‘›
= 1 āŸ¹ 11
= 1 āŸ¹ š‘œ 1 = 1
(āˆ’1) š‘›
= 1 āŸ¹ (āˆ’1)2
= 1 āŸ¹ š‘œ āˆ’1 = 2
š‘– š‘›
= 1 āŸ¹ š‘–4
= 1 āŸ¹ š‘œ š‘– = 4
(āˆ’š‘–) š‘›
= 1 āŸ¹ (āˆ’š‘–)4
= 1 āŸ¹ š‘œ āˆ’š‘– = 4
āˆ“ Jadi, š‘œ š‘Ž ā‰  ~ sehingga merupakan grup periodik . āˆŽ
2. (Q{0}, Ɨ) adalah grup dengan identitas 1, tunjukkan (Q{0}, Ɨ) merupakan
grup campuran!
Bukti:
Diketahui unsur identitas dari (Q{0}, Ɨ) adalah š‘’ = 1
Grup Siklik
Defenisi Siklik: Misalkan G adalah grup, dan ā„¤ = {x | x bilangan bulat}. G
disebut grup siklik jika ada g āˆˆ G sedemikian sehingga G = {gn | n āˆˆ ā„¤}.
Elemen g pada G disebut generator dari grup siklik tersebut. ā– 
Defenisi Grup Siklik Terhadap Perkalian: Grup (G, .) disebut siklik, āˆƒ š‘Ž āˆˆ šŗ
āˆ‹ G ={an | n āˆˆ ā„¤ }. Elemen a disebut generator dari grup siklik tersebut. ā– 
Defenisi Grup Siklik Terhadap Penjumlahan: Grup (G, +) disebut siklik,
āˆƒ š‘Ž āˆˆ šŗ āˆ‹ G ={na | n āˆˆ ā„¤ }. Elemen a disebut generator dari grup siklik
tersebut. ā– 
Dalam hal š‘Ž āˆˆ šŗ yang membentuk grup siklik G, a disebut generator/
monogenic dari G dan ditulis š‘Ž . ā– 
33
Untuk menunjukkan (Q{0}, Ɨ) merupakan grup campuran maka perlu
ditunjukkan dua syarat dipenuhi yaitu sebagai berikut:
a. āˆƒ š‘Ž āˆˆ šŗ, š‘œ š‘Ž = ~ dan
Ambil 2 āˆˆ (Q{0}, Ɨ) āŸ¹ 2 š‘›
= 1 āŸ¹ 20
= 1 āŸ¹ š‘œ 2 = ~
b. āˆƒ š‘ ā‰  š‘’, āˆ‹ š‘œ š‘ ā‰  ~
Ambil āˆ’1 āˆˆ (Q{0}, Ɨ) āŸ¹ (āˆ’1) š‘›
= 1 āŸ¹ (āˆ’1)2
= 1 āŸ¹ š‘œ āˆ’1 = 2
āˆ“ Jadi, (Q{0}, Ɨ) merupakan grup campuran . āˆŽ
3. Misalkan Q+ adalah bilangan rasional positif tunjukkan grup (Q+,Ɨ)
merupakan grup aperiodik.
Bukti:
Misalkan grup (Q+,Ɨ), unsur identitasnya adalah 1
āˆ€š‘š āˆˆ š+
dengan š‘š ā‰  1
ā‹®
(2) š‘›
= 1 āŸ¹ 20
= 1 āŸ¹ š‘œ 2 = ~
ā‹®
(š‘š) š‘›
= 1 āŸ¹ š‘š0
= 1 āŸ¹ š‘œ š‘š = ~
āˆ“ Jadi, (Q+,Ɨ) merupakan grup aperiodik . āˆŽ
4. Misalkan M(ā„) =
š‘Ž š‘
š‘ š‘‘
, š‘Ž, š‘, š‘, š‘‘ āˆˆ ā„ , pandang M2 ā„ = {x; x āˆˆ
M ā„ , x ā‰  0 membentuk grup dengan (M2 ā„ ,Ɨ). Tunjukkan (M2 ā„ ,Ɨ)
adalah grup campuran!
Bukti:
Unsur identitas dari (M2 ā„ ,Ɨ) =
1 0
0 1
Ambil sebarang A2 ā„ āˆˆ M2 ā„
Pandang (A2 ā„ ,Ɨ) =
āˆ’1 0
0 āˆ’1
Perhatikan bahwa:
34
(A2 ā„ ) š‘›
=
1 0
0 1
āŸ¹ (A2 ā„ )2
=
āˆ’1 0
0 āˆ’1
āˆ’1 0
0 āˆ’1
=
1 0
0 1
āŸ¹ š‘œ A2 ā„ = 2
Ambil sebarang B2 ā„ āˆˆ M2 ā„
Pandang (B2 ā„ ,Ɨ) =
2 0
0 2
Perhatikan bahwa:
(B2 ā„ ) š‘›
=
1 0
0 1
āŸ¹ āˆ„(B2 ā„ ) š‘›
=
1 0
0 1
āŸ¹ š‘œ B2 ā„ = ~
āˆ“ Jadi, (M2 ā„ , Ɨ) merupakan grup campuran . āˆŽ
5. Misalkan G himpunan bilangan bulat modulo empat yaitu G = {0, 1, 2, 3},
pandang grup (G, +4), tunjukkan G merupakan grup siklik!
Bukti:
Misalkan (G, +4) adalah grup
Akan ditunjukkan G membentuk grup siklik
Perhatikan bahwa:
a. 0 = {š‘› 0 ; š‘› āˆˆ ā„¤},
0 āˆˆ šŗ
0 = {0}
b. 1 = {š‘› 1 ; š‘› āˆˆ ā„¤},
1 āˆˆ šŗ
1+41 = 0.4 + 2 = 2 atau 2 š‘šš‘œš‘‘ 4 = 2 āˆˆ šŗ
1+41+41 = 0.4 + 3 = 3 atau 3 š‘šš‘œš‘‘ 4 = 3 āˆˆ šŗ
1+41+41+41 = 1.4 + 0 = 0 atau 4 š‘šš‘œš‘‘ 4 = 0 āˆˆ šŗ
1 = {0, 1, 2, 3}
c. 2 = {š‘› 2 ; š‘› āˆˆ ā„¤},
2 āˆˆ šŗ
2+42 = 1.4 + 0 = 0 atau 4 š‘šš‘œš‘‘ 4 = 0 āˆˆ šŗ
2 = {0, 2}
35
d. 3 = {š‘› 3 ; š‘› āˆˆ ā„¤},
3 āˆˆ šŗ
3+43 = 1.4 + 2 = 2 atau 6 š‘šš‘œš‘‘ 4 = 2 āˆˆ šŗ
3+43+43 = 2.4 + 1 = 1 atau 9 š‘šš‘œš‘‘ 4 = 3 āˆˆ šŗ
3+43+43+43 = 3.4 + 0 = 0 atau 12 š‘šš‘œš‘‘ 4 = 0 āˆˆ šŗ
3 = {0, 1, 2, 3}
āˆ“ Jadi, G merupakan grup siklik dengan generator 1 = 3 = {0, 1, 2, 3} . āˆŽ
6. Diketahui matriks š‘€ =
1 0
0 1
,
āˆ’1 0
0 āˆ’1
,
0 1
āˆ’1 0
,
0 āˆ’1
1 0
, (š‘€,Ɨ)
adalah sebuah grup, apakah M merupakan grup siklik?
Bukti:
Diketahui (š‘€,Ɨ) adalah sebuah grup
Misalkan
š“ =
1 0
0 1
, šµ =
āˆ’1 0
0 āˆ’1
, š¶ =
0 1
āˆ’1 0
š‘‘š‘Žš‘› š· =
0 āˆ’1
1 0
Perhatikan tabel dibawah ini:
Ɨ A B C D
A A B C D
B B A D C
C C D B A
D D C A B
Dari tabel diperoleh bahwa identitas di M yaitu A
Akan ditunjukkan G membentuk grup siklik, Perhatikan bahwa:
a. š“ = { š“ š‘›
; š‘› āˆˆ ā„¤}
š“ āˆˆ š‘€
š“ = {A}
b. šµ = { šµ š‘›
; š‘› āˆˆ ā„¤}
šµ āˆˆ š‘€
36
šµ2
= š“ āˆˆ š‘€ [Perhatikan tabel]
šµ = {A, B}
c. š¶ = { š¶ š‘›
; š‘› āˆˆ ā„¤}
š¶ āˆˆ š‘€
š¶2
= šµ āˆˆ š‘€ [Perhatikan tabel]
š¶3
= (š¶2
) š¶ = šµš¶ = š· āˆˆ š‘€ [Perhatikan tabel]
š¶4
= (š¶3
) š¶ = š·š¶ = š“ āˆˆ š‘€ [Telah diperoleh š¶3
= š·, perhatikan
tabel]
š¶ = {A, B, C, D}
d. š· = { š· š‘›
; š‘› āˆˆ ā„¤}
š· āˆˆ š‘€
š·2
= šµ āˆˆ š‘€ [Perhatikan tabel]
š·3
= (š·2
) š· = šµš· = š¶ āˆˆ š‘€ [Perhatikan tabel]
š·4
= (š·3
) š· = š¶š· = š“ āˆˆ š‘€ [Telah diperoleh š¶3
= š·, perhatikan
tabel]
š· = {A, B, C, D}
āˆ“ Jadi, jadi M merupakan grup siklik dengan generator š¶ = š· =
{A, B, C, D} . āˆŽ
7. Misalkan G himpunan bilangan bulat modulo empat yaitu G =
{0, 1, 2, 3, 4, 5}, pandang grup (G, +6), tunjukkan G merupakan grup siklik!
Bukti:
Misalkan (G, +6) adalah grup
Akan ditunjukkan G membentuk grup siklik
Perhatikan bahwa:
a. 0 = {š‘› 0 ; š‘› āˆˆ ā„¤},
0 āˆˆ šŗ
0 = {0}
37
b. 1 = {š‘› 1 ; š‘› āˆˆ ā„¤},
1 āˆˆ šŗ
1+61 = 0.6 + 2 = 2 atau 2 š‘šš‘œš‘‘ 6 = 2 āˆˆ šŗ
1+61+61 = 0.6 + 3 = 3 atau 3 š‘šš‘œš‘‘ 6 = 3 āˆˆ šŗ
1+61+61+61 = 0.6 + 4 = 4 atau 4 š‘šš‘œš‘‘ 6 = 4 āˆˆ šŗ
1+61+61+61+61 = 0.6 + 5 = 5 atau 5 š‘šš‘œš‘‘ 6 = 5 āˆˆ šŗ
1+61+61+61+61+61 = 1.6 + 0 = 0 atau 6 š‘šš‘œš‘‘ 6 = 0 āˆˆ šŗ
1 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
c. 2 = {š‘› 2 ; š‘› āˆˆ ā„¤},
2 āˆˆ šŗ
2+62 = 0.6 + 4 = 4 atau 4 š‘šš‘œš‘‘ 6 = 4 āˆˆ šŗ
2+62+62 = 1.6 + 0 = 0 atau 6 š‘šš‘œš‘‘ 6 = 0 āˆˆ šŗ
2 = {0, 2, 4}
d. 3 = {š‘› 3 ; š‘› āˆˆ ā„¤},
3 āˆˆ šŗ
3+63 = 1.6 + 0 = 0 atau 6 š‘šš‘œš‘‘ 6 = 0 āˆˆ šŗ
3 = {0, 3}
e. 4 = {š‘› 4 ; š‘› āˆˆ ā„¤},
4 āˆˆ šŗ
4+64 = 1.6 + 2 = 2 atau 8 š‘šš‘œš‘‘ 6 = 2 āˆˆ šŗ
4+64+64 = 2.6 + 0 = 0 atau 12 š‘šš‘œš‘‘ 6 = 0 āˆˆ šŗ
2 = {0, 2, 4}
f. 5 = {š‘› 5 ; š‘› āˆˆ ā„¤},
5 āˆˆ šŗ
5+65 = 1.6 + 4 = 4 atau 10 š‘šš‘œš‘‘ 6 = 4 āˆˆ šŗ
5+65+65 = 2.6 + 3 = 3 atau 15 š‘šš‘œš‘‘ 6 = 3 āˆˆ šŗ
5+65+65+65 = 3.6 + 2 = 2 atau 20 š‘šš‘œš‘‘ 6 = 2 āˆˆ šŗ
5+65+65+65+65 = 4.6 + 1 = 1 atau 24 š‘šš‘œš‘‘ 6 = 1 āˆˆ šŗ
38
5+65+65+65+65+65 = 5.6 + 0 = 0 atau 30 š‘šš‘œš‘‘ 6 = 0 āˆˆ šŗ
5+65+65+65+65+65+65 = 5.6 + 5 = 5 atau 35 š‘šš‘œš‘‘ 6 = 5 āˆˆ šŗ
5 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
āˆ“ Jadi, G merupakan grup siklik dengan generator 1 = 5 = {0, 1, 2, 3} . āˆŽ
8. šŗ = āˆ’1,1 , (šŗ,Ɨ) adalah grup, tunjukkan G membentuk grup siklik!
Bukti:
a. 1 = { 1 š‘›
; š‘› āˆˆ ā„¤}
= { ā€¦ , 1 āˆ’2
, 1 āˆ’1
, 1 0
, 1 1
, ā€¦ }
= {1}
b. āˆ’1 = { āˆ’1 š‘›
; š‘› āˆˆ ā„¤}
= { ā€¦ , āˆ’1 āˆ’2
, āˆ’1 āˆ’1
, āˆ’1 0
, āˆ’1 1
, ā€¦ }
= {1, āˆ’1}
āˆ“ Jadi, G merupakan grup siklik dengan generator āˆ’1 = {āˆ’1,1} . āˆŽ
9. Misalkan bilangan bulat membentuk grup dibawah operasi penjumlahan.
Buktikan bilangan bulat dengan operasi jumlah membentuk grup siklik!
Bukti:
Misalkan (ā„¤, +) adalah grup
Akan ditunjukkan (ā„¤, +) membentuk grup siklik. Perhatikan bahwa:
a. 1 = {š‘›(1); š‘› āˆˆ ā„¤}
= { ā€¦ , āˆ’2 1 , āˆ’1 1 , 0 1 , 1 1 , 2(1), ā€¦ }
= { ā€¦ , āˆ’2, āˆ’1, 0, 1, 2 ā€¦ }
b. āˆ’1 = {š‘›(āˆ’1); š‘› āˆˆ ā„¤}
= { ā€¦ , āˆ’2 āˆ’1 , āˆ’1 āˆ’1 , 0 āˆ’1 , 1 āˆ’1 , 2(āˆ’1), ā€¦ }
= { ā€¦ , āˆ’2, āˆ’1, 0, 1, 2 ā€¦ }
āˆ“ Jadi, (ā„¤, +) merupakan grup siklik dengan generator 1 = āˆ’1 = ā„¤ . āˆŽ
39
10. Misalkan šŗ = {1, āˆ’1, š‘–, āˆ’š‘–} i bilangan imaginer, tunjukkan (G, x) membentuk
grup. Apakah G juga siklik
Bukti:
Misalkan (G, x) adalah grup
Akan ditunjukkan (G, x) membentuk grup siklik. Perhatikan bahwa:
a. 1 = {(1) š‘›
; š‘› āˆˆ ā„¤}
= { ā€¦ , (1)āˆ’1
, (1)0
, (1)1
, ā€¦ }
= {1}
b. āˆ’1 = {(āˆ’1) š‘›
; š‘› āˆˆ ā„¤}
= { ā€¦ , (āˆ’1)āˆ’1
, (āˆ’1)0
, (āˆ’1)1
, ā€¦ }
= {āˆ’1, 1}
c. š‘– = {(š‘–) š‘›
; š‘› āˆˆ ā„¤}
= { ā€¦ , (š‘–)0
, (š‘–)1
, (š‘–)2
, (š‘–)3
ā€¦ }
= {1, š‘–, āˆ’1, āˆ’š‘–}
Catatan: š‘–2
= āˆ’1
š‘–3
= š‘–2
š‘– = āˆ’1 š‘– = āˆ’š‘–
d. āˆ’š‘– = {(āˆ’š‘–) š‘›
; š‘› āˆˆ ā„¤}
= { ā€¦ , (āˆ’š‘–)0
, (āˆ’š‘–)1
, (āˆ’š‘–)2
, (āˆ’š‘–)3
, ā€¦ }
= {1, āˆ’š‘–, āˆ’1, š‘–}
Catatan: š‘–2
= āˆ’1
(āˆ’š‘–)3
= āˆ’š‘– 2
āˆ’š‘– = { āˆ’1 š‘–}2
= { āˆ’1 āˆ’1 }š‘– = š‘–
āˆ“ Jadi, (šŗ,Ɨ) merupakan grup siklik dengan generator š‘– = āˆ’š‘– =
{1, āˆ’1, š‘–, āˆ’š‘–} . āˆŽ
11. Misalkan šŗ =< 1 > grup siklik dan š‘” š‘Ž = š‘›. Buktikan bahwa š‘Ž š‘š
generator
dari G untuk 1 ā‰¤ š‘š ā‰¤ š‘›, jika dan hanya jika m dan n relatif prima?
Bukti:
Misalkan šŗ =< 1 > grup siklik dan š‘” š‘Ž = š‘›
40
Digunakan teorema š‘š, š‘› = 1 āŸŗ āˆƒš‘„, š‘¦ āˆˆ ā„¤ āˆ‹ š‘šš‘„ + š‘›š‘¦ = 1
āŸ¹) bukti dari arah kiri ke kanan
š‘Ž š‘š
generator dari G untuk 1 ā‰¤ š‘š ā‰¤ š‘›, āŸ¹m dan n relatif prima
Karena š‘Ž generator dari G dan dan š‘œ š‘Ž = š‘› maka š‘Ž š‘›
= š‘’,
Diketahui š‘Ž š‘š
generator dari G dan š‘Ž āˆˆ šŗ maka
š‘Ž š‘š š‘„
= š‘Ž āŸ¹ š‘Ž š‘šš‘„
= š‘Ž [teorema š‘Ž š‘ š‘ž
= š‘Ž š‘š‘ž
]
āŸ¹ š‘Ž š‘šš‘„
š‘Žāˆ’1
= š‘Žš‘Žāˆ’1
[masing-masing dikali š‘Žāˆ’1
]
āŸ¹ š‘Ž š‘šš‘„ āˆ’1
= š‘Ž0
[š‘Žš‘Žāˆ’1
= š‘Ž0
]
āŸ¹ š‘Ž š‘šš‘„ āˆ’1
= š‘’ [š‘Ž0
= š‘’]
āŸ¹ š‘Ž š‘šš‘„ āˆ’1
= š‘Ž š‘›
[š‘Ž š‘›
= š‘’]
Karena š‘šš‘„ āˆ’ 1 kelipatan dari n yaitu order dari š‘Ž misalkan š‘›š‘¦
sedemikian sehingga š‘šš‘„ āˆ’ 1 = š‘›š‘¦ āŸ¹ š‘šš‘„ + š‘›š‘¦ = 1 (terbukti relatif
prima)
āŸø) bukti dari arah kanan ke kiri
š‘š dan š‘› relatif prima āŸ¹ š‘Ž š‘š
generator dari G untuk 1 ā‰¤ š‘š ā‰¤ š‘›
Diketahui m dan n relatif prima maka dari teorema diperoleh
š‘š, š‘› = 1 āŸ¹ āˆƒš‘„, š‘¦ āˆˆ ā„¤ āˆ‹ š‘šš‘„ + š‘›š‘¦ = 1 sehingga:
š‘Ž š‘š š‘„
= š‘Ž š‘šš‘„
= š‘Ž š‘›š‘¦ āˆ’1
= š‘Žš‘Žāˆ’š‘›š‘¦
= š‘Ž(š‘Ž š‘›
)āˆ’š‘¦
= š‘Ž(š‘’)āˆ’š‘¦
= š‘Ž
Artinya a dapat dinyatakan sebagai perpangkatan bulat dari š‘Ž š‘š
dan
karena a sebagai generator dari G, maka setiap elemen G dapat
dinyatakan sebagai perpangkatan bulat dari š‘Ž š‘š
akibatnya šŗ = š‘Ž š‘š
āˆ“ Jadi, š‘Ž š‘š
generator dari G untuk 1 ā‰¤ š‘š ā‰¤ š‘›, jika dan hanya jika m dan n
relatif prima . āˆŽ
41
12. Buktikan bahwa jika G grup siklik terhingga dengan generator a maka
š‘œ šŗ = š‘” š‘Ž (š‘œ šŗ = orde grup G, yaitu banyaknya anggota yang berada di
G.
Bukti:
Misalkan G grup hingga dan š‘œ šŗ = š‘›
š‘Ž āˆˆ šŗ dan š‘” š‘Ž = š‘› yaitu š‘Ž š‘›
= š‘’
Dibentuk š“ = {š‘Ž, š‘Ž2
, ā€¦ , š‘Ž š‘›
= š‘’}
Jelas elemen di A tidak ada yang sama, sebab jika ada yang sama sebut
š‘Ž š‘
= š‘Ž š‘ž
dengan 0 < š‘ < š‘ž < š‘› āŸ¹ š‘Ž š‘žāˆ’š‘
= š‘’ dengan 0 < š‘ āˆ’ š‘ž < š‘› hal ini
tidak mungkin terjadi sebab š‘” š‘Ž = š‘›; š‘› āˆˆ ā„¤+
š‘”š‘’š‘Ÿš‘˜š‘’š‘š‘–š‘™ āˆ‹ š‘Ž š‘›
= š‘’ āŸ¹ š‘” š‘Ž =
š‘›
āˆ“ jadi, G grup siklik terhingga dengan generator a maka š‘œ šŗ = š‘” š‘Ž . āˆŽ
13. Buktikan bahwa jika G grup terhingga berorde n dan ada š‘Žšœ–šŗ dengan t(a) =
n, maka G siklik.
Bukti:
Misalkan G grup terhingga dan š‘œ šŗ = š‘›
š‘Žšœ–šŗ dengan t(a) = n yaitu š‘Ž š‘›
= š‘’,
Misalkan dibentuk subgrup dari G yaitu š“ = {š‘Ž, š‘Ž2
, š‘Ž3
, ā€¦ š‘Ž š‘›
= š‘’}.
Elemen dari A tidak ada yang sama sebab jika ada yang sama, Misalnya
š‘Ž š‘”
= š‘Ž š‘Ÿ
dengan 0 < š‘Ÿ < š‘” < š‘› maka
š‘Ž š‘”āˆ’š‘Ÿ
= š‘’ dengan 0 < š‘” āˆ’ š‘Ÿ < š‘›. Hal ini tidak mungkin,
sebab š‘” š‘Ž = š‘›; š‘› āˆˆ ā„¤+
š‘”š‘’š‘Ÿš‘˜š‘’š‘š‘–š‘™ āˆ‹ š‘Ž š‘›
= š‘’ āŸ¹ š‘” š‘Ž = š‘›
karena A sub grup dari G dan š‘œ šŗ = š‘›, maka G = A. A adalah suatu grup
siklik dengan generator a, maka demikian pula G.
āˆ“ jadi, G grup terhingga berorde n dan ada š‘Žšœ–šŗ dengan t(a) = n, maka G
siklik. āˆŽ
42
14. Berapa banyakkah generator yang terdapat pada grup siklik berorde 10?
Bukti:
Untuk mencari banyaknya generator maka dapat digunakan teorema pada
soal no.11, Karena grup siklik mempunyai orde 10 dan bilangan bulat positif
mempunyai orde 10 dan bilangan bulat positif yang kurang dari 10 dan
saling prima dengan 10 adalah 1, 3, 7, 9, maka generator-generator dari
grup Siklik yang berorde 10 adalah š‘Ž1
, š‘Ž3
, š‘Ž7
, š‘Ž9
āˆ“ banyaknya generator adalah 4. āˆŽ
15. Buktikan Jika a suatu anggota grup G dengan o(a) = n dan e unsur identitas di G:
š‘Ž š‘˜
= š‘’ ļƒ› š‘˜ kelipatan dari n.
Bukti:
Misal š‘Ž āˆˆ šŗ, G grup, š‘’ identitas di G dan š‘œ š‘Ž = š‘›
āŸ¹) bukti dari arah kiri ke kanan
Akan ditunjukkan
š‘Ž š‘˜
= š‘’ āŸ¹ š‘˜ kelipatan dari n
perhatikan bahwa:
š‘œ š‘Ž = š‘› dan š‘˜ āˆˆ ā„¤+
āˆ‹ š‘Ž š‘˜
= š‘’ akibatnya š‘˜ ā‰„ š‘›
Kasus I: š‘˜ = š‘› āŸ¹ š‘—š‘’š‘™š‘Žš‘  š‘› āˆ£ š‘˜
Kasus II: š‘˜ > š‘›
Berdasarkan algoritma pembagian āˆƒš‘, š‘Ÿ āˆˆ ā„¤+
āˆ‹ š‘˜ = š‘›š‘ + š‘Ÿ; 0 ā‰¤ š‘Ÿ < š‘›
Perhatikan bahwa:
š‘Ž š‘˜
= š‘Ž š‘›š‘ +š‘Ÿ
[ š‘˜ = š‘›š‘ + š‘Ÿ]
= š‘Ž š‘›š‘
š‘Ž š‘Ÿ
[teorema š‘Ž š‘+š‘ž
= š‘Ž š‘
š‘Ž š‘ž
]
= (š‘Ž š‘›
) š‘
š‘Ž š‘Ÿ
[teorema š‘Ž š‘š‘ž
= (š‘Ž š‘
) š‘ž
]
= (š‘’) š‘
š‘Ž š‘Ÿ
[š‘Ž š‘›
= š‘’]
= š‘’ š‘Ž š‘Ÿ
[(š‘’) š‘
= š‘’]
= š‘Ž š‘Ÿ
[ š‘’ š‘Ž š‘Ÿ
= š‘Ž š‘Ÿ
]
43
Diperoleh š‘Ž š‘˜
= š‘Ž š‘Ÿ
= š‘’ padahal 0 ā‰¤ š‘Ÿ < š‘› dan š‘œ š‘Ž = š‘› maka haruslah
š‘Ÿ = 0 sedemikian sehingga diperoleh š‘˜ = š‘›š‘. Jadi, š‘› āˆ£ š‘˜
āŸø) bukti dari arah kanan ke kiri
š‘˜ kelipatan dari š‘› āŸ¹ š‘Ž š‘˜
= š‘’
š‘˜, š‘› āˆˆ ā„¤+
āˆ§ š‘› āˆ£ š‘˜ āŸ¹ āˆƒš‘ āˆˆ ā„¤+
āˆ‹ š‘˜ = š‘›š‘
š‘Ž š‘˜
= š‘Ž š‘›š‘
[š‘˜ = š‘›š‘]
= (š‘Ž š‘›
) š‘
[teorema š‘Ž š‘š‘ž
= (š‘Ž š‘
) š‘ž
]
= (š‘’) š‘
[š‘Ž š‘›
= š‘’]
= š‘’ [(š‘’) š‘
= š‘’]
āˆ“ š‘Ž š‘˜
= š‘’ ļƒ› š‘˜ kelipatan dari n. āˆŽ
16. Jika G grup siklik maka G abelian.
Bukti:
Misalkan G grup siklik.
Karena G siklik maka šŗ =< š‘Ž > untuk suatu š‘Ž āˆˆ šŗ.
Misalkan šŗ = š‘Ž š‘˜
k āˆˆ ā„¤
Akan ditunjukkan bahwa š‘„š‘¦ = š‘¦š‘„ untuk setiap š‘„, š‘¦ āˆˆ šŗ.
Ambil sebarang š‘Ž āˆˆ šŗ.
Karena x, y dalam G maka
š‘„ = š‘Ž š‘š
dan š‘¦ = š‘Ž š‘›
; Untuk suatu š‘š, š‘› āˆˆ ā„¤, sehingga
š‘Ž š‘š
š‘Ž š‘›
= š‘Ž š‘š+š‘›
dan
š‘¦š‘„ = š‘Ž š‘›
š‘Ž š‘š
[š‘„ = š‘Ž š‘š
dan š‘¦ = š‘Ž š‘›
]
= š‘Ž š‘›+š‘š
[š‘Ž š‘›
š‘Ž š‘š
= š‘Ž š‘›+š‘š
]
= š‘Ž š‘š+š‘›
[sifat komutatif ā„¤ dibawah operasi penjumlahan]
= š‘Ž š‘š
š‘Ž š‘›
[š‘Ž š‘š+š‘›
= š‘Ž š‘š
š‘Ž š‘›
]
= š‘„š‘¦ [š‘„ = š‘Ž š‘š
dan š‘¦ = š‘Ž š‘›
]
āˆ“ Terbukti G grup abelian. āˆŽ
***
44
KOMPLEKS & SUBGRUP
17. Jika š‘‹, š‘Œ š‘‘š‘Žš‘› š‘ kompleks dari grup G maka š‘‹š‘Œ š‘ = š‘‹(š‘Œš‘)
Bukti :
Untuk membuktikan š‘‹š‘Œ š‘ = š‘‹ š‘Œš‘ harus dibuktikan š‘‹š‘Œ š‘ āŠ† š‘‹ š‘Œš‘ &
š‘‹š‘Œ š‘ āŠ‡ š‘‹ š‘Œš‘
āŸ¹) Akan dibuktikan š‘‹š‘Œ š‘ āŠ† š‘‹ š‘Œš‘
Ambil š‘ āˆˆ XY Z , berarti š‘ = š‘„š‘¦ š‘§ dengan š‘„ āˆˆ X, š‘¦ āˆˆ Y, š‘§ āˆˆ
Z dan š‘„, š‘¦, š‘§ āˆˆ G.
karena š‘‹, š‘Œ š‘‘š‘Žš‘› š‘ kompleks dari grup G, sehingga dipenuhi sifat
asosiatif yaitu : š‘  = š‘„š‘¦ š‘§ = š‘„ š‘¦š‘§ āˆˆ š‘‹ š‘Œš‘ .
Diperoleh āˆ€š‘  āˆˆ š‘‹š‘Œ š‘ ā‡’ š‘  āˆˆ š‘‹ š‘Œš‘
Jadi š‘‹š‘Œ š‘ āŠ† š‘‹(š‘Œš‘) ā€¦ (i)
Pendahuluan
āˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup āŸ¹ H Kompleks dari šŗ . ā– 
Misalkan M dan N kompleks dari grup (G,*) maka hasil kali kompleks MN
adalah himpunan m*n dengan š‘š āˆˆ š‘€ dan š‘› āˆˆ š‘. Secara matematis
dinotasikan : š‘€š‘ = {š‘š āˆ— š‘› āˆ£ š‘š āˆˆ š‘€ dan š‘› āˆˆ š‘}. ā– 
Jika M kompleks dari grup G maka š‘€āˆ’1
= {š‘šāˆ’1
āˆ£ š‘š āˆˆ š‘€}. ā– 
āˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup, H subgrup dari G, apabila H membentuk gerup
dibawah operasi yang sama di dalam G. ā– 
Grup yang memiliki elemen lebih dari satu dijamin memiliki minimal dua
subgrup yaitu G sendiri dan {e}, e adalah unsur identitas di G.
ā§‰ G dan {e} disebut subgrup trivial atau subgrup improper.
ā§‰ Jika ada H subgrup dari G dan H ā‰  G dan H ā‰  {e} maka H disebut
subgrup proper. ā– 
Subgrup biasa disimbolkan dengan " ā‰¤ ". ā– 
45
ā‡) Akan dibuktikan š‘‹š‘Œ š‘ āŠ‡ š‘‹(š‘Œš‘) ā‰… š‘‹(š‘Œš‘) āŠ† š‘‹š‘Œ š‘
Ambil š‘ āˆˆ X(YZ), berarti š‘” = š‘„ š‘¦š‘§ dengan š‘„ āˆˆ X, š‘¦ āˆˆ Y, š‘§ āˆˆ
Z dan š‘„, š‘¦, š‘§ āˆˆ G.
karena š‘‹, š‘Œ š‘‘š‘Žš‘› š‘ kompleks dari grup G, sehingga dipenuhi sifat
asosiatif yaitu : š‘  = š‘„ š‘¦š‘§ = š‘„š‘¦ š‘§ āˆˆ (š‘‹š‘Œ)š‘.
Diperoleh āˆ€š‘” āˆˆ š‘‹ š‘Œš‘ ā‡’ š‘” āˆˆ (š‘‹š‘Œ)š‘
Jadi š‘‹(š‘Œš‘) āŠ† š‘‹š‘Œ š‘ ā€¦ (ii)
āˆ“ Dari i dan ii dapat disimpulkan bahwa š‘‹š‘Œ š‘ = š‘‹(š‘Œš‘) . āˆŽ
2. Misalkan āˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup dan š‘’ āˆˆ šŗ [e=identitas]. himpunan H
merupakan subgrup dari G jika dan hanya jika memenuhi sifat :
a. š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘ āˆˆ š»
b. š‘Ž āˆˆ š» ā‡’ š‘Žāˆ’1
āˆˆ š»
Bukti :
āŸ¹) bukti dari kiri ke kanan
a. š» grup (sebab š» subgrup dari G) maka š» mmnuhi sifat tertutup di
bawah operasi dalam G.
b. Ambil sebarang š‘Ž āˆˆ š»
Karena š» grup maka š‘Ž mempunyai invers š‘Žā€²
dalam š»,
Berdasarkan sifat ketunggalan dari suatu invers maka š‘Žā€²
= š‘Žāˆ’1
yaitu invers dari š‘Ž dalam G.
ā‡) bukti dari kanan ke kiri
Akan dibuktikan bahwa jika H memenuhi sifat:
a. āˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ
b. āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘ āˆˆ š»
c. āˆ€š‘Ž āˆˆ š» ā‡’ š‘Žāˆ’1
āˆˆ š», maka H merupakan grup
46
Syarat a sampai c merupakan tiga syarat supaya suatu himpunan
merupakan grup. Syarat lain yang harus dipenuhi adalah
(i) Hukum assosiatif
Karena (ab) c = a (bc) untuk semua anggota dalam G maka tentu
saja juga berlaku untuk semua anggota dalam S āŠ† G.
(ii) Unsur Identitas
Diketahui š‘Ž āˆˆ š» āˆ§ š‘Žāˆ’1
āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘Žāˆ’1
= š‘’ āˆˆ š» [e=identitas]
āˆ“ jadi, dapat disimpulkan š» ā‰¤ šŗ. āˆŽ
3. Misalkan H kompleks tidak kosong dari grup G. H merupakan subgrup dari G
jika dan hanya jika untuk setiap š‘Ž āˆˆ š», š‘ āˆˆ š» menyebabkan š‘Žš‘āˆ’1
āˆˆ š».
Bukti:
Misalkan āˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup
āŸ¹) bukti dari kiri ke kanan
Diketahui š» subgrup dari G sehingga š» juga merupakan grup terhadap
operasi yang berlaku di G
Akan ditunjukkan āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ š»,berlaku š‘Žš‘āˆ’1
āˆˆ š», perhatikan:
Ambil sebarang š‘Ž, š‘ āˆˆ š», karena š» grup maka terdapat š‘āˆ’1
āˆˆ š»
sehingga š‘Ž, š‘āˆ’1
āˆˆ š» dan š» memenuhi sifat tertutup maka š‘Žš‘āˆ’1
āˆˆ š»
ā‡) bukti dari kanan ke kiri
š‘Ž, š‘ āˆˆ š» berlaku š‘Žš‘āˆ’1
āˆˆ š» Akan ditunjukkan H subgrup yakni H
merupakan grup, perhatikan bahwa :
Ambil sebarang š‘š āˆˆ š» maka š‘šš‘šāˆ’1
āˆˆ š» (diketahui)
š‘šš‘šāˆ’1
= š‘’ maka š‘’ āˆˆ š» [e=identitas] ā€¦ (*1)
š‘’, š‘š āˆˆ š» maka š‘’š‘šāˆ’1
= š‘šāˆ’1
āˆˆ š» (diketahui) ā€¦ (*2)
Ambil sebarang š‘Ž, š‘ āˆˆ š», karena š» grup maka terdapat š‘āˆ’1
āˆˆ š»,
jika š‘Ž š‘āˆ’1
āˆˆ š» maka š‘Ž (š‘āˆ’1
)āˆ’1
āˆˆ š»
47
Karena š‘Ž (š‘āˆ’1
)āˆ’1
= š‘Žš‘ ā‡’ š‘Žš‘ āˆˆ š», jadi dapat disimpulkan bahwa H
memenuhi sifat tertutup ... (*3)
Jelas bahwa H mempunyai sifat asosiatif karena H āŠ†G maka āˆ€š‘„, š‘¦, š‘§ āˆˆ š»
pasti š‘„, š‘¦, š‘§ āˆˆ šŗ dan G adalah grup maka berlaku š‘„ š‘¦š‘§ = š‘„š‘¦ š‘§ ā€¦ (*4)
ļ¶ Dari (*1), (*2),(*3), dan (*4) terbukti H merupakan grup yang
berarti H subgrup dari G.
4. Tunjukkan bahwa š‘„{0 , š‘„) merupakan subgrup dari (R{0),x)
Bukti:
a) Akan ditunjukkan (R{0),x) membentuk grup.
Perhatikan bahwa:
(i) Tidak Kosong
R{0} ā‰  āˆ… sebab āˆƒ 2 āˆˆ R{0} ā€¦ (terpenuhi)
(ii) Sifat tertutup
āˆ€ š‘Ž, š‘, āˆˆ R{0} berlaku š‘Ž āˆ— š‘ āˆˆ R{0}
Ambil sebarang š‘Ž, š‘ āˆˆ R{0} maka berlaku š‘Ž Ɨ š‘ āˆˆ R{0}ā€¦
(terpenuhi)
(iii) Sfat Assosiatif,
āˆ€š‘Ž, š‘, š‘ āˆˆ R{0} berlaku š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘
Ambil sebarang š‘Ž, š‘, š‘ āˆˆ R{0}
Perhatikan bahwa:
š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ— š‘ Ɨ š‘
= š‘Ž Ɨ (š‘ Ɨ š‘)
= (š‘Ž Ɨ š‘) Ɨ š‘
= š‘Ž Ɨ š‘ āˆ— š‘
= š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ ā€¦ (terpenuhi)
(iv) Unsur Identitas
āˆ€š‘Ž āˆˆ R{0} āˆƒš‘’ āˆˆ R{0} āˆ‹ š‘’ āˆ— š‘Ž = š‘Ž āˆ— š‘’ = š‘Ž
48
Perhatikan bahwa:
š‘Ž Ɨ š‘ = š‘ Ɨ š‘Ž = š‘
š‘Ž = š‘Ž =
š‘
š‘
; š‘ āˆˆ R{0}
š‘Ž = 1
Sehingga š‘’ = 1 āˆˆ R{0} [e=identitas] ā€¦ (terpenuhi)
(v) Unsur Invers
āˆ€š‘Ž āˆˆ R{0} āˆƒš‘Žāˆ’1
āˆˆ R{0} āˆ‹ š‘Žāˆ’1
āˆ— š‘Ž = š‘Ž āˆ— š‘Žāˆ’1
= š‘’
perhatikan bahwa:
š‘Ž Ɨ š‘ = š‘ Ɨ š‘Ž = 1
š‘Ž = š‘Ž =
1
š‘
; š‘ āˆˆ R{0}
š‘Ž =
1
š‘
āˆˆ R{0} ā€¦ (tidak memiliki unsur invers)
āˆ“ jadi, (R{0),x) membentuk grup.
b) Untuk membuktikan š‘„{0 , š‘„) merupakan subgrup dari (R{0),x)
digunakan teorema ā€œāˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup, H ā‰¤ G āŸŗ š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘āˆ’1
āˆˆ š»"
berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
š‘„{0} ā‰  āˆ…
š‘„{0} āŠ† š‘…{0}
āˆ€š‘„, š‘¦ āˆˆ š‘„{0} āŸ¹ š‘„š‘¦āˆ’1
āˆˆ š‘„{0}
Perhatikan bahwa:
š‘„{0} ā‰  āˆ… sebab āˆƒ 2 āˆˆ Q{0} ā€¦ (terpenuhi)
š‘„{0} āŠ† š‘…{0} jelas ā€¦ (terpenuhi)
Ambil searang š‘„, š‘¦ āˆˆ š‘„{0}
Perhatikan bahwa:
š‘„š‘¦āˆ’1
āˆˆ š‘„{0} sebab š‘„ āˆˆ š‘„{0} & š‘¦āˆ’1
āˆˆ š‘„{0} ā€¦ (terpenuhi)
āˆ“ jadi, š‘„{0 , š‘„) ā‰¤ (R{0),x). āˆŽ
49
5. Buktikan bahwa (š’ š‘š , +) dengan š’ š‘š = š‘˜š‘š ; š‘˜ āˆˆ š’ merupakan subgrup
dari grup (š’, +)!
Bukti:
Diketahui (š’, +) membentuk grup
Untuk membuktikan (š’ š‘š , +) merupakan subgrup dari (š’, +) digunakan
teorema ā€œāˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup, H ā‰¤ G āŸŗ š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘āˆ’1
āˆˆ š»".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. š’ š‘š ā‰  āˆ…
Perhatikan bahwa:
š’ š‘š ā‰  āˆ… sebab āˆƒ (2š‘š ; 2 āˆˆ š’) āˆˆ š’ š‘š ā€¦ (terpenuhi)
b. š’ š‘š āŠ† š’
Ambil sebarang š‘„ āˆˆ š’ š‘š ā€¦ (i)
Pandang: š‘„ = š‘˜1 š‘š; š‘˜1 āˆˆ š’, š‘š āˆˆ š’
Perhatikan bahwa:
š‘„ = š‘˜1 š‘š; š‘˜1 āˆˆ š’, š‘š āˆˆ š’
š‘„ = š‘˜1 š‘š āˆˆ š’ (memenuhi sifat tertutup sebab diketahui š‘ membentuk
grup) ā€¦ (ii)
Dari (i) dan (ii), sehingga disimpulkan bahwa š’ š‘š āŠ† š’ ā€¦ (terpenuhi)
c. āˆ€š‘„, š‘¦ āˆˆ š’ š‘š āŸ¹ š‘„š‘¦āˆ’1
āˆˆ š’ š‘š
Ambil sebarang š‘„, š‘¦ āˆˆ š’ š‘š
Pandang:
š‘„ = š‘˜1 š‘š; š‘˜1 āˆˆ š’
š‘¦ = š‘˜2 š‘š; š‘˜2 āˆˆ š’
perhatikan bahwa:
š‘„š‘¦āˆ’1
= (š‘˜1 š‘š) + (āˆ’š‘˜2 š‘š)
= š‘˜1 š‘š āˆ’ š‘˜2 š‘š [š‘˜1, š‘˜2 āˆˆ š’]
= (š‘˜1 āˆ’ š‘˜2)š‘š āˆˆ š’ š‘š ā€¦ (terpenuhi)
āˆ“ jadi, š’ š‘š ā‰¤ š’. āˆŽ
50
6. š‘ƒ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 merupakan grup, buktikan (M,+8) dengan
š‘€ = 0, 2, 4, 6, 8 subgrup dari (P, +8)
Bukti:
Misalkan (P, +8) merupakan grup
Untuk membuktikan (M,+8) merupakan subgrup dari (P, +8) digunakan
teorema ā€œāˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup higga, H ā‰¤ G āŸŗ š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘ āˆˆ š»".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. P grup hingga
š‘ƒ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 jelas merupakan grup hingga ā€¦ (terpenuhi)
b. š‘€ ā‰  āˆ…
š‘€ ā‰  āˆ… sebab āˆƒ 2 āˆˆ š‘€ ā€¦ terpenuhi
c. š‘€ āŠ† š‘ƒ
š‘€ āŠ† š‘ƒ jelas sebab 0, 2, 4, 6, 8 āŠ† 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
d. āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ š‘€ ā‡’ š‘Žš‘ āˆˆ š‘€
Ambil sebarang š‘Ž, š‘ āˆˆ š‘€ akan ditunjukkan š‘Žš‘ āˆˆ š‘€
Karena M adalah subset P yang hingga maka cukup dibuktikan M
tertutup terhadap operasi +8.
Perhatikan tabel dibawah ini:
+8 0 2 4 6
0 0 2 4 6
2 2 4 6 0
4 4 6 0 2
6 6 0 2 4
Dari tabel diatas terlihat bahwa operasi +8 tertutup dalam M ā€¦
(terpenuhi)
āˆ“ Jadi, (M, +8) ā‰¤ (P, +8). āˆŽ
51
7. Dengan operasi perkalian tunjukkan š‘ƒ2 š‘¹ Ɨ š‘„2 š‘¹ merupakan subgrup
dari grup (š‘€2 š‘¹ ,Ɨ) dengan pendefenisian
š‘ƒ2 š‘¹ =
š‘Ž š‘
š‘ š‘‘
; š‘Ž, š‘, š‘, š‘‘ āˆˆ ā„, š‘Žš‘‘ āˆ’ š‘š‘ = 1
š‘„2 š‘¹ =
š‘’ š‘“
š‘” š‘•
; š‘’, š‘“, š‘”, š‘• āˆˆ ā„, š‘’š‘“ āˆ’ š‘”š‘• = āˆ’2
Bukti:
Untuk membuktikan š‘ƒ2 š‘¹ Ɨ š‘„2 š‘¹ merupakan subgrup dari
(š‘€2 š‘¹ , ) digunakan teorema "šŗ grup , āˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ š‘‘š‘Žš‘› āˆ… ā‰  š¾ āŠ† šŗ , HK ā‰¤ G
āŸŗ š»š¾ = š¾š»".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. š‘ƒ2 š‘¹ ā‰  āˆ… & š‘„2 š‘¹ ā‰  āˆ…
Perhatikan bahwa:
š‘ƒ2 š‘¹ ā‰  āˆ… sebab āˆƒ
1 0
2 1
; 1, 0, 2 āˆˆ ā„, 1 āˆ’ 0 = 1 āˆˆ š‘ƒ2 š‘¹
š‘„2 š‘¹ ā‰  āˆ… sebab āˆƒ
1 2
2 2
; 1, 2 āˆˆ ā„, 2 āˆ’ 4 = āˆ’2 āˆˆ š‘„2 š‘¹
b. š‘ƒ2 š‘¹ āŠ† š‘€2 š‘¹ & š‘„2 š‘¹ āŠ† š‘€2 š‘¹
Perhatikan bahwa:
det (š‘ƒ2 š‘¹ ) = š‘Žš‘‘ āˆ’ š‘š‘ = 1 āŠ† det (š‘€2 š‘¹ ) = š‘Žš‘‘ āˆ’ š‘š‘ āˆˆ š‘¹
det (š‘„2 š‘¹ ) = š‘Žš‘‘ āˆ’ š‘š‘ = āˆ’2 āŠ† det (š‘€2 š‘¹ ) = š‘Žš‘‘ āˆ’ š‘š‘ āˆˆ š‘¹
c. š‘ƒ2 š‘¹ š‘„2 š‘¹ = š‘„2 š‘¹ š‘ƒ2 š‘¹
Perhatikan bahwa:
š‘ƒ2 š‘¹ š‘„2 š‘¹ =
š‘Ž š‘
š‘ š‘‘
š‘’ š‘“
š‘” š‘•
digunakan teorema ššžš­ š‘Øš‘© = ššžš­ š‘Ø ššžš­ā”(š‘©)
karena diketahui det (š‘ƒ2 š‘¹ ) = 1 & det (š‘„2 š‘¹ ) = āˆ’2 maka
detā”(š‘ƒ2 š‘¹ š‘„2 š‘¹ ) = det (š‘ƒ2 š‘¹ )det (š‘„2 š‘¹ )
= 1 āˆ’2
= āˆ’2 ā€¦ (i)
52
š‘„2 š‘¹ š‘ƒ2 š‘¹ =
š‘’ š‘“
š‘” š‘•
š‘Ž š‘
š‘ š‘‘
digunakan teorema ššžš­ š‘Øš‘© = ššžš­ š‘Ø ššžš­ā”(š‘©)
karena diketahui det (š‘ƒ2 š‘¹ ) = 1 & det (š‘„2 š‘¹ ) = āˆ’2 maka
detā”( š‘„2 š‘¹ š‘ƒ2 š‘¹ ) = det (š‘„2 š‘¹ )det (š‘ƒ2 š‘¹ )
= āˆ’2 1
= āˆ’2 ā€¦ (ii)
Dari (i) dan (ii) disimpulkan bahwa š‘ƒ2 š‘¹ š‘„2 š‘¹ = š‘„2 š‘¹ š‘ƒ2 š‘¹
āˆ“ jadi, š‘ƒ2 š‘¹ Ɨ š‘„2 š‘¹ ā‰¤ (š‘€2 š‘¹ ,Ɨ) . āˆŽ
8. Misalkan (š‘€2 š‘¹ ,Ɨ) grup
š‘€2 š‘¹ =
š‘Ž š‘
š‘ š‘‘
; š‘Ž, š‘, š‘, š‘‘ āˆˆ ā„, š‘Žš‘‘ āˆ’ š‘š‘ ā‰  āˆ…
š»2 š‘¹ =
š‘Ž š‘
0 š‘‘
; š‘Ž, š‘, š‘‘ āˆˆ ā„, š‘Žš‘‘ ā‰  āˆ…
Apakah š»2 š‘¹ merupakan subgrup dari š‘€2 š‘¹
Bukti:
Diketahui (š‘€2 š‘¹ ,Ɨ) membentuk grup
Untuk membuktikan š»2 š‘¹ merupakan subgrup dari š‘€2 š‘¹
digunakan teorema ā€œāˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup, H ā‰¤ G āŸŗ š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘āˆ’1
āˆˆ š»".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. š»2 š‘¹ ā‰  āˆ…
Perhatikan bahwa:
š»2 š‘¹ ā‰  āˆ… sebab āˆƒ
1 2
0 1
; 1, 0, 2 āˆˆ ā„, 1 ā‰  0 āˆˆ š»2 š‘¹
b. š»2 š‘¹ āˆ… āŠ† š‘€2 š‘¹
perhatikan bahwa:
det (š»2 š‘¹ ) = š‘Žš‘‘ ā‰  0 āŠ† det (š‘€2 š‘¹ ) = š‘Žš‘‘ āˆ’ š‘š‘ ā‰  0
c. āˆ€ š‘‹2 š‘¹ , š‘Œ2 š‘¹ āˆˆ š»2 š‘¹ āŸ¹ š‘‹2 š‘¹ š‘Œ2 š‘¹
āˆ’1
āˆˆ š»2 š‘¹
Ambil sebarang š‘‹2 š‘¹ , š‘Œ2 š‘¹ āˆˆ š»2 š‘¹
53
Pandang:
š‘‹2 š‘¹ =
š‘Ž š‘
0 š‘‘
; š‘Ž, š‘, š‘‘ āˆˆ š‘¹, š‘Žš‘‘ ā‰  0
š‘Œ2 š‘¹ =
š‘’ š‘“
0 š‘•
; š‘’, š‘“, h, āˆˆ š‘¹, š‘’š‘• ā‰  0
Invers dari š‘Œ2 š‘¹ adalah
š‘Œ2 š‘¹
āˆ’1
=
1
š‘‘š‘’š‘” š‘Œ2 š‘¹
š‘Žš‘‘š‘— š‘Œ2 š‘¹
=
1
š‘’š‘•
š‘• āˆ’š‘“
0 š‘’
ket: š‘’š‘• ā‰  0
=
1
š‘’
āˆ’š‘“
š‘’š‘•
0
1
š‘•
āˆˆ š»2 š‘¹
š‘‘š‘’š‘” š‘Œ2 š‘¹
āˆ’1
=
1
š‘’
1
š‘•
=
1
š‘’š‘•
Karena š‘’š‘• ā‰  0 akibatnya
1
š‘’š‘•
ā‰  0 sehingga š‘‘š‘’š‘” š‘Œ2 š‘¹
āˆ’1
ā‰  0
Akan ditunjukkan š‘‹2 š‘¹ š‘Œ2 š‘¹
āˆ’1
āˆˆ š»2 š‘¹
š‘‹2 š‘¹ š‘Œ2 š‘¹
āˆ’1
=
š‘Ž š‘
0 š‘‘
1
š‘’
āˆ’š‘“
š‘’š‘•
0
1
š‘•
digunakan teorema ššžš­ š‘Øš‘© = ššžš­ š‘Ø ššžš­ā”(š‘©)
karena diketahui det (š‘‹2 š‘¹ ) ā‰  0 & det (š‘Œ2 š‘¹ )āˆ’1
ā‰  0 maka
š‘‘š‘’š‘” š‘‹2 š‘¹ š‘Œ2 š‘¹
āˆ’1
= š‘‘š‘’š‘” š‘‹2 š‘¹ š‘‘š‘’š‘” š‘Œ2 š‘¹
āˆ’1
ā‰  0
sehingga dapat disimpulkan š‘‹2 š‘¹ š‘Œ2 š‘¹
āˆ’1
āˆˆ š»2 š‘¹
āˆ“ jadi, š» š‘¹ ā‰¤ š‘€2 š‘¹ . āˆŽ
9. Tunjukkan š‘† = {3 š‘˜
; š‘˜ āˆˆ š’} merupakan grup bagian dari grup (R, x)!
Bukti:
misalkan (š‘¹, Ɨ) membentuk grup
54
Untuk membuktikan š‘† merupakan subgrup dari š‘¹
digunakan teorema ā€œāˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup, H ā‰¤ G āŸŗ š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘āˆ’1
āˆˆ š»".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. š‘† ā‰  āˆ…
Perhatikan bahwa:
š‘† ā‰  āˆ… sebab āˆƒ(32
; 2 āˆˆ š’) āˆˆ š‘† ā€¦ (terpenuhi)
b. š‘† āŠ† š‘¹
Ambil sebarang š‘„ āˆˆ š‘†
Pandang š‘„ = 3 š‘˜
; š‘˜ āˆˆ š’
Perhatikan bahwa: š‘„ = (3 š‘˜
; š‘˜ āˆˆ š’) āˆˆ š‘¹
š‘„ āˆˆ š‘† āˆ§ š‘„ = (3 š‘˜
; š‘˜ āˆˆ š’) āˆˆ š‘¹ āŸ¹ š‘† āŠ† š‘¹ ā€¦ (terpenuhi)
c. āˆ€š‘, š‘ž āˆˆ š‘† āŸ¹ š‘š‘žāˆ’1
āˆˆ š‘†
Ambil sebarang š‘, š‘ž āˆˆ š‘†
Pandang: š‘ = (3 š‘š
; š‘š āˆˆ š’) āˆˆ š‘ŗ
š‘ž = (3 š‘›
; š‘› āˆˆ š’) āˆˆ š‘ŗ
Akan dibuktikan bahwa š‘š‘žāˆ’1
āˆˆ š‘†
Perhatikan bahwa:
š‘š‘žāˆ’1
= (3 š‘š
)
1
3 š‘›
= (3 š‘š
) 3āˆ’š‘›
= 3 š‘šāˆ’š‘›
[š‘š āˆˆ š’ āˆ§ š‘› āˆˆ š’ āŸ¹ š‘š āˆ’ š‘› āˆˆ š’]
= (3 š‘šāˆ’š‘›
) āˆˆ š‘ŗ ā€¦ (terpenuhi)
āˆ“ jadi, š‘† = {3 š‘˜
; š‘˜ āˆˆ š’} ā‰¤ (R, x) . āˆŽ
10. Misalkan šŗ = {1, āˆ’1, š‘–, āˆ’š‘–} dengan operasi perkalian maka {šŗ,Ɨ}
membentuk grup. Pandang š» = {1, āˆ’1} apakah H subgrup dari G?
Bukti:
Misalkan šŗ = {1, āˆ’1, š‘–, āˆ’š‘–} dengan operasi perkalian, {šŗ,Ɨ} merupakan grup
55
Untuk membuktikan š» merupakan subgrup dari G digunakan teorema
ā€œāˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup higga, H ā‰¤ G āŸŗ š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘ āˆˆ š»".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. G grup hingga
šŗ = {1, āˆ’1, š‘–, āˆ’š‘–} jelas merupakan grup hingga ā€¦ (terpenuhi)
b. š» ā‰  āˆ…
š» ā‰  āˆ… sebab āˆƒ 1 āˆˆ š» ā€¦ terpenuhi
c. š» āŠ† šŗ
š» āŠ† šŗ jelas sebab {1, āˆ’1} āŠ† {1, āˆ’1, š‘–, āˆ’š‘–}
d. āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ š‘€ ā‡’ š‘Žš‘ āˆˆ š‘€
Ambil sebarang š‘Ž, š‘ āˆˆ š‘€ akan ditunjukkan š‘Žš‘ āˆˆ š‘€
Karena H adalah subset G yang hingga maka cukup dibuktikan H tertutup
terhadap operasi Ɨ.
Perhatikan tabel dibawah ini:
Ɨ 1 -1
1 1 -1
-1 -1 1
Dari tabel diatas terlihat bahwa operasi Ɨ tertutup dalam H ā€¦
(terpenuhi)
āˆ“ Jadi, (H, Ɨ) ā‰¤ (G, Ɨ). āˆŽ
11. (š’, +) merupakan grup, pandang 2š’ = {2š‘§; š‘§ āˆˆ š’} maka 2š’ merupakan
subgrup dari Z!
Bukti:
Misalkan (š’, +) merupakan grup
Untuk membuktikan 2š’ merupakan subgrup dari Z
digunakan teorema ā€œāˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup, H ā‰¤ G āŸŗ š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘āˆ’1
āˆˆ š»".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
56
a. 2š’ ā‰  āˆ…
Perhatikan bahwa:
2š’ ā‰  āˆ… sebab āˆƒ(2 1 = 2; 1 āˆˆ š’) āˆˆ š‘† ā€¦ (terpenuhi)
b. 2š’ āŠ† š’
Ambil sebarang š‘„ āˆˆ 2š’
Pandang š‘„ = 2š‘§; š‘§ āˆˆ š’
Perhatikan bahwa: š‘„ = (2š‘§; š‘§ āˆˆ š’) āˆˆ š’ sebab š‘§ āˆˆ š’, 2 āˆˆ š’ āˆ§ š’ memenuhi
sifat tertutup karena š’ membentuk grup.
š‘„ āˆˆ 2š’ āˆ§ š‘„ = š‘„ = (2š‘§; š‘§ āˆˆ š’) āˆˆ š’ āŸ¹ 2š’ āŠ† š’ ā€¦ (terpenuhi)
c. āˆ€š‘, š‘ž āˆˆ 2š’ āŸ¹ š‘š‘žāˆ’1
āˆˆ 2š’
Ambil sebarang š‘, š‘ž āˆˆ 2š’
Pandang: š‘ = (2š‘§1; š‘§1 āˆˆ š’) āˆˆ 2š’
š‘ž = (2š‘§2; š‘§2 āˆˆ š’) āˆˆ 2š’
Akan dibuktikan bahwa š‘š‘žāˆ’1
āˆˆ 2š’
Perhatikan bahwa:
š‘š‘žāˆ’1
= 2š‘§1 + āˆ’2š‘§2
= 2š‘§1 āˆ’ 2š‘§2
= 2(š‘§1 āˆ’ š‘§2) [š‘§1 āˆˆ š’ āˆ§ š‘§2 āˆˆ š’ āŸ¹ š‘§1 āˆ’ š‘§2 āˆˆ š’]
= 2(š‘§1 āˆ’ š‘§2) āˆˆ 2š’ ā€¦ (terpenuhi)
āˆ“ jadi, 2š’ ā‰¤ š’. āˆŽ
12. Misalkan H, K kompleks sebarang dari grup G, Apakah HK = KH?
(jika ā€œyaā€ tunjukkan, jika ā€œtidakā€ berikan contoh penyangkal)
Bukti:
š»š¾ ā‰  š¾š»
Contoh penyangkal
Misalkan M adalah himpunan matriks real 2x2 dan (M,*) membentuk grup
57
š‘€ =
š‘Ž š‘
š‘ š‘‘
, š‘Ž, š‘, š‘, š‘‘ āˆˆ ā„, š‘Žš‘‘ āˆ’ š‘š‘ ā‰  0
Ambil sebarang š‘€1, š‘€2 āˆˆ M
Pandang:
š‘€1 =
1 0
2 1
; 1,0,2 āˆˆ ā„, 1 ā‰  0
š‘€2 =
1 2
0 1
; 1,0,2 āˆˆ ā„, 1 ā‰  0
Perhatikan bahwa:
š‘€1 š‘€2 =
1 0
2 1
1 2
0 1
=
1 2
2 5
ā€¦ (i)
š‘€2 š‘€1 =
1 2
0 1
1 0
2 1
=
5 2
2 1
ā€¦ (ii)
Dari (i) dan (ii) diperoleh bahwa š‘€1 š‘€2 ā‰  š‘€2 š‘€1,
13. Misalkan G grup dan H, K, L masing-masing subset dari H. Buktikan
š» š¾ āˆŖ šæ = š»š¾ āˆŖ š»šæ, Apakah š» š¾ āˆ© šæ = š»š¾ āˆ© š»šæ?
Bukti:
I. š» š¾ āˆŖ šæ = š»š¾ āˆŖ š»šæ
Untuk membuktikan š» š¾ āˆŖ šæ = š»š¾ āˆŖ š»šæ mka akan diperlihatkan
bahwa š» š¾ āˆŖ šæ āŠ† š»š¾ āˆŖ š»šæ dan š» š¾ āˆŖ šæ āŠ‡ š»š¾ āˆŖ š»šæ
Akan ditunjukkan š» š¾ āˆŖ šæ āŠ† š»š¾ āˆŖ š»šæ
Ambil sebarang š‘„ āˆˆ š» š¾ āˆŖ šæ ā€¦ (i)
Perhatikan bahwa:
š‘„ āˆˆ š» š¾ āˆŖ šæ āŸ¹ š‘„ = h (k āˆØ l) , untuk š‘• āˆˆ š», š‘˜ āˆˆ š¾ dan š‘™ āˆˆ šæ
š‘„ = š‘• (š‘˜ āˆØ š‘™)
š‘„ = š‘•š‘– [misalkan (š‘˜ āˆØ š‘™) = š‘–]
š‘„ = š‘•š‘– [untuk š‘• āˆˆ š», š‘˜ āˆˆ š¾ dan š‘™ āˆˆ šæ]
š‘„ = š‘•š‘– [untuk š‘•š‘– āˆˆ š»š¾ atau š‘•š‘– āˆˆ š»šæ]
š‘„ āˆˆ š»š¾ atau š‘„ āˆˆ š»šæ
š‘„ āˆˆ š»š¾ āˆŖ š»šæ ā€¦ (ii)
58
Berdasarkan (i) dan (ii) disimpulkan bahwa š» š¾ āˆŖ šæ āŠ† š»š¾ āˆŖ š»šæ ā€¦(iii)
Akan ditunjukkan š» š¾ āˆŖ šæ āŠ‡ š»š¾ āˆŖ š»šæ
Ambil sebarang š‘¦ āˆˆ š»š¾ āˆŖ š»šæ ā€¦ (iv)
š‘¦ āˆˆ š»š¾ āˆŖ š»šæ āŸ¹ š‘¦ = š‘•š‘˜ š‘Žš‘”š‘Žš‘¢ š‘¦ = š‘•š‘™, untuk š‘• āˆˆ š», š‘˜ āˆˆ š¾ dan š‘™ āˆˆ šæ
š‘¦ = š‘•š‘˜ š‘Žš‘”š‘Žš‘¢ š‘¦ = š‘•š‘™
š‘¦ = š‘•(š‘˜ āˆØ š‘™)
š‘¦ āˆˆ š» š¾ āˆŖ šæ ā€¦ (v)
Berdasarkan (iv) dan (v) disimpulkan bahwa š» š¾ āˆŖ šæ āŠ‡ š»š¾ āˆŖ š»šæā€¦(vi)
āˆ“ berdasarkan iii dan vi dapat disimpulkan bahwa š» š¾ āˆŖ šæ = š»š¾ āˆŖ š»šæ
II. Apakah š» š¾ āˆ© šæ = š»š¾ āˆ© š»šæ?
š» š¾ āˆ© šæ ā‰  š»š¾ āˆ© š»šæ
Contoh penyangkal:
Misalkan G = {1, -1, i, -i} grup; H,K dan L masing-masing subset dari G
Pandang H = {-1, 1} āŠ† G, K = {1, i} āŠ† G dan L ={-1, i} āŠ† G perhatikan:
K āˆ© L = {i}
H (K āˆ© L) = {(-1,1),(i)}= {-i,i} ā€¦ (i)
HK = {(-1, 1), (1, i)} = {-1, 1, -i, i}
HL = {(-1, 1), (-1, i)} = {1, -1, -i, i}
HK āˆ© HL = {1, -1, -i, i} ā€¦ (ii)
āˆ“ berdasarkan i dan ii dapat disimpulkan bahwa H(K āˆ© L) ā‰  HK āˆ© HL. āˆŽ
14. Misalkan š» āŠ† šŗ, š» ā‰  āˆ… dan G grup. Buktikan H subgrup dari G āŸŗ š»š»āˆ’1
=
š»
Bukti:
Misalkan š» āŠ† šŗ, š» ā‰  āˆ…
āŸ¹) akan dibuktikan H subgrup dari G āŸ¹ š»š»āˆ’1
= š»
Untuk membuktikan š»š»āˆ’1
= š» maka perlu ditunjukkan a) š»š»āˆ’1
āŠ† š»
b) š»š»āˆ’1
āŠ‡ š»
59
ambil sebarang š‘„ āˆˆ š»š»āˆ’1
ā€¦ (i)
š‘„ āˆˆ š»š»āˆ’1
maka š‘„ = š‘Žš‘āˆ’1
; untuk suatu š‘Ž, š‘ āˆˆ š»
Karena H subgrup G dan š‘Ž, š‘ āˆˆ š» maka š‘Žš‘āˆ’1
āˆˆ š» akibatnya š‘„ āˆˆ š» ā€¦ (ii)
dari (i) dan (ii) disimpulkan š»š»āˆ’1
āŠ† š» ā€¦(iii)
ambil sebarang š‘Ž āˆˆ š» ā€¦(iv)
karena H subgrup G, maka āˆƒš‘’ āˆˆ š» [e=identitas]
catatan: š‘’ āˆˆ š» = š‘’āˆ’1
āˆˆ š»āˆ’1
[e=identitas]
Sehingga dapat dituliskan š‘Žš‘’āˆ’1
= š‘Ž āˆˆ š»š»āˆ’1
ā€¦ (v)
Dari (iv) dan (v) disimpulkan š» āŠ† š»š»āˆ’1
atau š»š»āˆ’1
āŠ‡ š» ā€¦ (vi)
āˆ“ dari (iii) dan (vi) disimpulkan bahwa š»š»āˆ’1
= š»
āŸø) akan dibuktikan š»š»āˆ’1
= š» āŸ¹ H subgrup dari G
ambil sebarang š‘¦ āˆˆ š»š»āˆ’1
š‘¦ āˆˆ š»š»āˆ’1
āŸ¹ š‘¦ = š‘Žš‘āˆ’1
; š‘Ž, š‘ āˆˆ š»
Diktahui š»š»āˆ’1
= š» maka
š‘¦ āˆˆ š» atau y= š‘Žš‘āˆ’1
āˆˆ š»
āˆ“ Karena š‘Žš‘āˆ’1
āˆˆ š» dan diketahui š» āŠ† šŗ, š» ā‰  āˆ… āŸ¹ š» ā‰¤ šŗ.
āˆ“ jadi, š» āŠ† šŗ, š» ā‰  āˆ…, H ā‰¤ G āŸŗ š»š»āˆ’1
= š». āˆŽ
15. Misalkan G grup dan H, K masing-masing komplex dari G.
Buktikan: HK subgrup dari G jika dan hanya jika HK = KH
Bukti:
Misalkan šŗ grup , āˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ š‘‘š‘Žš‘› āˆ… ā‰  š¾ āŠ† šŗ
āŸ¹) akan dibuktikan HK ā‰¤ G āŸ¹ HK = KH
Untuk membuktikan HK=KH maka perlu ditunjukkan š»š¾ āŠ† š¾š» dan
š¾š» āŠ† š»š¾
(i) Ambil sebarang š‘„ āˆˆ š»š¾
Diketahui HK ā‰¤ G maka š‘„ memiliki unsur invers sehingga š‘„āˆ’1
āˆˆ š»š¾
60
Pandang š‘„āˆ’1
= š‘•1 š‘˜1; untuk suatu š‘•1 āˆˆ š», š‘˜1 āˆˆ š¾
Perhatikan bahwa:
š‘„ = š‘„āˆ’1 āˆ’1
[sifat grup]
= š‘•1 š‘˜1
āˆ’1
[š‘„āˆ’1
= š‘•1 š‘˜1]
= š‘˜1
āˆ’1
š‘•1
āˆ’1
[ š‘•1 š‘˜1
āˆ’1
= š‘˜1
āˆ’1
š‘•1
āˆ’1
]
= š‘˜1
āˆ’1
š‘•1
āˆ’1
[diketahui HK ā‰¤ G maka unsur invers jelas
dipenuhi sehingga š‘˜1
āˆ’1
āˆˆ š¾, š‘•1
āˆ’1
āˆˆ š»]
= š‘˜1
āˆ’1
š‘•1
āˆ’1
āˆˆ š¾š» [memenuhi sifat tertutup sebab HK ā‰¤ G]
āˆ“ š‘„ āˆˆ š»š¾ ā‹€ š‘„ = š‘˜1
āˆ’1
š‘•1
āˆ’1
āˆˆ š¾š» āŸ¹ š»š¾ āŠ† š¾š»
(ii) Ambil sebarang š‘•2 āˆˆ š» dan š‘˜2 āˆˆ š¾
Karena HK ā‰¤ G maka unsur invers jelas dipenuhi sehingga
š‘˜1
āˆ’1
āˆˆ š¾, š‘•1
āˆ’1
āˆˆ š»
Tulis š‘•1
āˆ’1
š‘˜1
āˆ’1
āˆˆ š»š¾
Perhatikan bahwa:
š‘˜1 š‘•1 āˆˆ š¾š»
š‘˜1 š‘•1 = š‘•1
āˆ’1
š‘˜1
āˆ’1 āˆ’1
āˆˆ š»š¾ [sifat grup š‘„ = š‘„āˆ’1 āˆ’1
]
āˆ“ š‘˜1 š‘•1 āˆˆ š¾š» ā‹€ š‘˜1 š‘•1 = š‘•1
āˆ’1
š‘˜1
āˆ’1 āˆ’1
āˆˆ š»š¾ āŸ¹ š¾š» āŠ† š»š¾
āˆ“ HK ā‰¤ G āŸ¹ HK = KH. āˆŽ
16. Buktikan: Jika H, K subgrup dari G, maka š» ļƒ‡ š¾ juga subgrup dari G
Bukti:
Misalkan G grup, H ā‰¤ G, K ā‰¤ G
Untuk membuktikan š» ļƒ‡ š¾ ā‰¤ G
digunakan teorema ā€œāˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup, H ā‰¤ G āŸŗ š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘āˆ’1
āˆˆ š»".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. š» āˆ© š¾ ā‰  āˆ…
61
Karena H ā‰¤ G, K ā‰¤ G maka jelas āˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ š‘‘š‘Žš‘› āˆ… ā‰  š¾ āŠ† šŗ
Sehingga jelas š» āˆ© š¾ ā‰  āˆ… ā€¦ (terpenuhi)
b. š» āˆ© š¾ļƒ G
Karena H ā‰¤ G, K ā‰¤ G maka memiliki unsur identitas yang sama di G
Misalkan e adalah unsur identitas tulis š‘’ āˆˆ š» āˆ© š¾
karena š‘’ āˆˆ š» āˆ© š¾ āˆ§ š‘’ āˆˆ šŗ āŸ¹ š» āˆ© š¾ļƒ G ā€¦ (terpenuhi)
c. š‘„š‘¦āˆ’1
āˆˆ š» āˆ© š¾
Ambil sebarang š‘„, š‘¦ āˆˆ š» āˆ© š¾
karena š‘„, š‘¦ āˆˆ š» āˆ© š¾, maka:
š‘„ āˆˆ š» āˆ© š¾ļƒž š‘„ āˆˆ š» āˆ§ š‘„ āˆˆ š¾
š‘¦ āˆˆ š» āˆ© š¾ļƒž š‘¦ āˆˆ š» āˆ§ š‘¦ āˆˆ š¾
Perhatikan bahwa:
š‘¦ āˆˆ š» dan H subgrup G maka āˆƒ š‘¦āˆ’1
āˆˆ š»
š‘¦ āˆˆ š¾ dan K subgrup G maka āˆƒ š‘¦āˆ’1
āˆˆ š¾
Sehingga
š‘„ āˆˆ š» āˆ§ š‘¦āˆ’1
āˆˆ š» āŸ¹ š‘„š‘¦āˆ’1
āˆˆ š» ā€¦ (i)
š‘„ āˆˆ š¾ āˆ§ š‘¦āˆ’1
āˆˆ š¾ āŸ¹ š‘„š‘¦āˆ’1
āˆˆ š¾ ā€¦(ii)
Dari (i) dan (ii) maka š‘„š‘¦āˆ’1
āˆˆ š» āˆ© š¾ ā€¦ (terpenuhi)
āˆ“ H āˆ© K ā‰¤ G. āˆŽ
17. Buktikan: Teorema 4.9 (Tahmir, S. 2004: 73)
Teorema 4.9: Irisan sebarang keluarga subgrup dari grup G juga merupakan
subgrup dari G.
Bukti:
Misalkan š»1, š»2, š»3, ā€¦ masing-masing sebarang keluarga subgrup dari grup
G. Akan dibuktikan š»1 āˆ© š»2 āˆ© š»3 āˆ© ā€¦
Misalkan š»š‘– = š»1, š»2, š»3, ā€¦ ; š‘– = 1,2,3, ..
Untuk membuktikan š»š‘– ā‰¤ G
62
digunakan teorema ā€œāˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup, H ā‰¤ G āŸŗ š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘āˆ’1
āˆˆ š»".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. š»š‘– ā‰  āˆ…
diketahui G grup sehingga āˆƒ š‘’ āˆˆ šŗ dan diketahui H ā‰¤ G maka
š»š‘– ā‰  āˆ… sebab āˆƒ š‘’ āˆˆ š»š‘– [e=identitas] ā€¦ (terpenuhi)
b. š»š‘– ļƒ G
š»š‘– ļƒ G jelas dipenuhi sebab š»š‘– = š»1, š»2, š»3, ā€¦ ; š‘– = 1,2,3, .. adalah
himpunan sebarang keluarga subgrup dari G ā€¦ (terpenuhi)
c. āˆ€š‘„, š‘¦ āˆˆ š»š‘– āŸ¹ š‘„š‘¦āˆ’1
āˆˆ š»š‘–
Ambil sebarang š‘„, š‘¦ āˆˆ š»š‘–
š‘„ āˆˆ š»š‘– ; š‘– = 1,2,3, ..
š‘¦ āˆˆ š»š‘– ; š‘– = 1,2,3, ..
Karena š»š‘– ; š‘– = 1,2,3, .. adalah sebarang keluarga subgrup dari G maka
āˆƒ š‘¦āˆ’1
āˆˆ š»š‘– ; š‘– = 1,2,3, .. [memiliki unsur invers]
Perhatikan bahwa š‘„ āˆˆ š»š‘– & š‘¦āˆ’1
āˆˆ š»š‘– ; š‘– = 1,2,3, .. maka
š‘„š‘¦āˆ’1
āˆˆ š»š‘– ; š‘– = 1,2,3, . .. [memenuhi sifat tertutup sebab š»š‘– ; š‘– = 1,2,3, ..
adalah sebarang keluarga subgrup dari G] ā€¦ (terpenuhi)
āˆ“ Hi ā‰¤ G ; š‘– = 1,2,3, . ... āˆŽ
18. Jika H, K subgrup dari grup H, apakah š» āˆŖ š¾ juga subgrup dari G?
Bukti:
š» āˆŖ š¾ bukan subgrup dari G
contoh penyangkal
misalkan (š‘, +) adalah grup dan (2Z, +) dan (3Z, +) adalah subgrup dari G
š‘, + . akan dibuktikan 2Z atau 3Z subgrup Z
2š‘ = { ā€¦ āˆ’ 2, 0, 2, ā€¦ }
3š‘ = { ā€¦ āˆ’ 3, 0, 3, ā€¦ }
2š‘ āˆŖ 3š‘ = ā€¦ , āˆ’3, āˆ’2, 0, 2, 3, 4, ā€¦
63
Perhatikan bahwa:
4 āˆˆ 2š‘ āˆŖ 3š‘
3 āˆˆ 2š‘ āˆŖ 3š‘
4 + 3 = 7 ļƒ(2š‘ āˆŖ 3š‘)
Sehingga 7ļƒ2š‘ āˆŖ 3š‘ bukan subgrup Z sebab tidak memenuhi sifat tertutup.
āˆ“ Jadi jika H, K subgrup dari grup G, maka š» āˆŖ š¾ bukan subgrup dari G. āˆŽ
19. Misalkan G grup dan š» = {š‘Ž āˆˆ šŗ, š‘„š‘Ž = š‘Žš‘„, āˆ€š‘„ āˆˆ šŗ}
Buktikan bahwa H subgrup dari G.
Bukti:
Untuk membuktikan š» ā‰¤ G
digunakan teorema ā€œāˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup, H ā‰¤ G āŸŗ š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘āˆ’1
āˆˆ š»".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. š» ā‰  āˆ…
š» ā‰  0 sebab G adalah grup maka āˆƒš‘’ āˆˆ šŗ, e unsur identitas dari G
āˆ‹ š‘’š‘Ž = š‘Žš‘’ = š‘Ž āˆˆ š».
b. š» āŠ† šŗ
š‘Ž āˆˆ šŗ, š‘„ āˆˆ šŗ dan š‘„š‘Ž āˆˆ šŗ, sedangkan š‘„š‘Ž = š‘Žš‘„ āˆˆ š», maka š»ļƒŒ šŗ.
c. āˆ€š‘„, š‘¦ āˆˆ š» āŸ¹ š‘„š‘¦āˆ’1
āˆˆ š»
Ambil sebarang š‘„, š‘¦ āˆˆ š», maka š‘„š‘Ž = š‘Žš‘„ dan š‘¦š‘Ž = š‘Žš‘¦, selanjutnya
perhatikan bahwa:
š‘„š‘¦āˆ’1
š‘Ž = š‘„š‘¦āˆ’1
š‘Žš‘’ [e=identitas]
= š‘„š‘¦āˆ’1
š‘Ž š‘¦š‘¦āˆ’1
[e= š‘¦š‘¦āˆ’1
]
= š‘„š‘¦āˆ’1
š‘Žš‘¦ š‘¦āˆ’1
[sifat asosiatif]
= š‘„š‘¦āˆ’1
š‘¦š‘Ž š‘¦āˆ’1
[š‘¦š‘Ž = š‘Žš‘¦]
= š‘„ š‘¦š‘¦āˆ’1
(š‘Ž š‘¦āˆ’1
) [sifat asosiatif]
= š‘„š‘’š‘Žš‘¦āˆ’1
[š‘¦š‘¦āˆ’1
= e]
= (š‘„š‘’)š‘Žš‘¦āˆ’1
[sifat asosiatif]
64
= š‘„š‘Žš‘¦āˆ’1
[š‘„š‘’ = š‘„]
= š‘„š‘Ž š‘¦āˆ’1
[sifat asosiatif]
= š‘Žš‘„ š‘¦āˆ’1
[š‘„š‘Ž = š‘Žš‘„]
= š‘Ž(š‘„š‘¦āˆ’1
) [sifat asosiatif]
Sehingga š‘„š‘¦āˆ’1
āˆˆ š»
āˆ“ Jadi H adalah subgrup dari G. āˆŽ
20. Jika G grup komutatif dengan unsur identitas e, dan š» = {š‘Ž āˆˆ šŗ: š‘Ž2
= š‘’}.
Buktikan H subgrup dari G.
Bukti:
Untuk membuktikan š» ā‰¤ G
digunakan teorema ā€œāˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup, H ā‰¤ G āŸŗ š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘āˆ’1
āˆˆ š»".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. š» ā‰  āˆ…
š» ā‰  0 sebab š‘Ž āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘Ž2
= š‘’ āˆˆ š» [e=identitas].
b. š» āŠ† šŗ
Karena š‘’ āˆˆ šŗ dan berlaku š‘Ž2
= š‘’ āˆˆ š» [e = identitas] maka š» āŠ† šŗ
c. āˆ€š‘š, š‘› āˆˆ š» āŸ¹ š‘šš‘›āˆ’1
āˆˆ š»
Ambil sebarang š‘š, š‘› āˆˆ š»
Perhatikan bahwa:
š‘š āˆˆ š»; š‘š2
= š‘’ āŸ¹ š‘šš‘š = š‘’
āŸ¹ š‘šš‘šš‘šāˆ’1
= š‘’š‘šāˆ’1
[kalikan kedua ruas š‘šāˆ’1
]
āŸ¹ š‘š(š‘šš‘šāˆ’1
) = š‘šāˆ’1
[sifat assosiatif, š‘’š‘šāˆ’1
= š‘šāˆ’1
]
āŸ¹ š‘šš‘’ = š‘šāˆ’1
[š‘šš‘šāˆ’1
= š‘’]
āŸ¹ š‘š = š‘šāˆ’1
āˆˆ š» [š‘šš‘’ = š‘š]
š‘› āˆˆ š»; š‘›2
= š‘’ āŸ¹ š‘›š‘› = š‘’
āŸ¹ š‘›š‘›š‘›āˆ’1
= š‘’š‘›āˆ’1
[kalikan kedua ruas š‘›āˆ’1
]
āŸ¹ š‘›(š‘›š‘›āˆ’1
) = š‘›āˆ’1
[sifat assosiatif, š‘’š‘›āˆ’1
= š‘›āˆ’1
]
65
āŸ¹ š‘›š‘’ = š‘›āˆ’1
[š‘›š‘›āˆ’1
= š‘’]
āŸ¹ š‘› = š‘›āˆ’1
āˆˆ š» [š‘›š‘’ = š‘›]
Akan dibuktikan (š‘šš‘›āˆ’1
)2
= š‘’
(š‘šš‘›āˆ’1
)2
= (š‘šš‘›āˆ’1
)(š‘šš‘›āˆ’1
)
= (š‘šš‘›āˆ’1
)(š‘›āˆ’1
š‘š) [sifat komutatif]
= š‘š(š‘›āˆ’1
š‘›āˆ’1
)š‘š [sifat assosiatif]
= š‘š(š‘›āˆ’1
)2
š‘š [š‘›āˆ’1
š‘›āˆ’1
= (š‘›āˆ’1
)2
]
= š‘š(š‘›)2
š‘š [š‘›āˆ’1
= š‘›]
= š‘šš‘’š‘š [š‘›2
= š‘’]
= š‘š(š‘’š‘š) [sifat assosiatif]
= š‘šš‘š [š‘’š‘š = š‘š]
= š‘š2
[š‘šš‘š = š‘š2
]
= š‘’ [š‘š2
= š‘’]
āˆ“ Jadi, š» = š‘Ž āˆˆ šŗ: š‘Ž2
= š‘’ adalah subgrup dari G. āˆŽ
21. Jika š‘€, š‘ masing-masing subgrup dari grup G, dan untuk setiap š‘„ āˆˆ šŗ,
š‘„āˆ’1
š‘€š‘„ = š‘€ dan š‘„āˆ’1
š‘š‘„ = š‘. Buktikan, Jika š‘€ āˆ© š‘ = {š‘’} maka š‘šš‘› = š‘›š‘š
untuk š‘š āˆˆ š‘€, š‘› āˆˆ š‘ (e unsur identitas di G).
Bukti:
Diketahui: š‘€, š‘ ā‰¤ šŗ, š‘„ āˆˆ šŗ
š‘„āˆ’1
š‘€š‘„ = š‘€
š‘„āˆ’1
š‘š‘„ = š‘
Akan dibuktikan: š‘€ āˆ© š‘ = {š‘’} āŸ¹ š‘šš‘› = š‘›š‘š untuk
Ambil sebarang š‘š, š‘› dengan š‘š āˆˆ š‘€, š‘› āˆˆ š‘
Perhatikan bahwa:
š‘ ā‰¤ šŗ dan š‘€ ā‰¤ šŗ āŸ¹ āˆ… ā‰  š‘ āŠ† šŗ dan āˆ… ā‰  š‘€ āŠ† šŗ āˆ‹ š‘š, š‘› āˆˆ šŗ
Karena š‘„āˆ’1
š‘€š‘„ = š‘€, š‘š āˆˆ š‘€, š‘› āˆˆ šŗ maka
š‘›āˆ’1
š‘€š‘› = š‘€ atau š‘›āˆ’1
š‘šš‘› āˆˆ š‘€ ā€¦ā€¦ (1)
66
karena š‘„āˆ’1
š‘š‘„ = š‘, š‘› āˆˆ š‘, š‘š āˆˆ šŗ maka
š‘šāˆ’1
š‘š‘š = š‘ atau š‘šāˆ’1
š‘›š‘š āˆˆ š‘ ā€¦ā€¦ (2)
Perhatikan š‘›āˆ’1
š‘šāˆ’1
š‘›š‘š = š‘›āˆ’1
(š‘šāˆ’1
š‘›š‘š) = (š‘›āˆ’1
š‘šāˆ’1
š‘›)š‘š ā€¦ā€¦ (3)
Dari (1) š‘›āˆ’1
š‘šš‘› āˆˆ š‘€ dan š‘šāˆ’1
āˆˆ š‘€ maka (š‘›āˆ’1
š‘šāˆ’1
š‘›)š‘š āˆˆ š‘€ ā€¦ā€¦ (4)
Dari (2) š‘šāˆ’1
š‘›š‘š āˆˆ š‘ dan š‘›āˆ’1
āˆˆ š‘ maka š‘›āˆ’1
(š‘šāˆ’1
š‘›š‘š) āˆˆ š‘ ā€¦ā€¦ (5)
Dari (4) dan (5) dapat disimpulkan bahwa:
š‘›āˆ’1
š‘šāˆ’1
š‘›š‘š āˆˆ š‘€ āˆ© š‘ = {š‘’}
Jadi: š‘’ = š‘›āˆ’1
š‘šāˆ’1
š‘›š‘š
Akan dibuktikan: š‘šš‘› = š‘›š‘š
š‘šš‘› = š‘šš‘› (š‘’) [kalikan e, e=indentitas]
= š‘šš‘› š‘›āˆ’1
š‘šāˆ’1
š‘›š‘š [š‘’ = š‘›āˆ’1
š‘šāˆ’1
š‘›š‘š]
= š‘šš‘› š‘›āˆ’1
š‘šāˆ’1
)(š‘›š‘š [sifat assosiatif]
= š‘šš‘› š‘šš‘› āˆ’1
(š‘›š‘š) [š‘›āˆ’1
š‘šāˆ’1
= š‘šš‘› āˆ’1
, sifat grup]
= {š‘šš‘› š‘šš‘› āˆ’1
}(š‘›š‘š) [sifat assosiatif]
= š‘’(š‘›š‘š) [š‘šš‘› š‘šš‘› āˆ’1
= š‘’]
= š‘›š‘š [š‘’(š‘›š‘š) = š‘›š‘š]
āˆ“ Jadi, š‘€ āˆ© š‘ = {š‘’} maka š‘šš‘› = š‘›š‘š untuk š‘š āˆˆ š‘€, š‘› āˆˆ š‘ (e unsur identitas
di G). āˆŽ
22. Diketahui G grup abelian dan š», š¾ subgrup di šŗ. Buktikan bahwa
š»š¾ = {š‘•š‘˜; š‘• āˆˆ š», š‘˜ āˆˆ š¾} merupakan subgrup di G.
Bukti:
Misalkan G grup, H ā‰¤ G, K ā‰¤ G
Untuk membuktikan š»š¾ ā‰¤ G
digunakan teorema ā€œāˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup, H ā‰¤ G āŸŗ š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘āˆ’1
āˆˆ š»".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. š»š¾ ā‰  āˆ…
67
Diketahui: G grup āŸ¹ āˆƒš‘’ āˆˆ šŗ [e=identitas]
H ā‰¤ G āŸ¹ āˆƒš‘’ āˆˆ š» ā€¦ā€¦ (1)
K ā‰¤ G āŸ¹ āˆƒš‘’ āˆˆ š¾ ā€¦ā€¦ (2)
Dari (1) dan (2) maka š»š¾ = {š‘’} akibatnya š»š¾ ā‰  āˆ…
b. š»š¾ āŠ† šŗ
H ā‰¤ G āŸ¹ āˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ & K ā‰¤ G āŸ¹ āˆ… ā‰  š¾ āŠ† šŗ sehingga š»š¾ āŠ† šŗ
c. āˆ€š‘, š‘ž āˆˆ š»š¾ āŸ¹ š‘š‘žāˆ’1
āˆˆ š»š¾
Ambil sebarang š‘, š‘ž āˆˆ š»š¾
Pandang: š‘ = š‘•1 š‘˜1 untuk suatu š‘•1 āˆˆ š», š‘˜1 āˆˆ š¾
š‘ž = š‘•2 š‘˜2 untuk suatu š‘•2 āˆˆ š», š‘˜2 āˆˆ š¾
Keterangan: H ā‰¤ G āŸ¹ āˆƒ š‘•1
āˆ’1
, š‘•2
āˆ’1
āˆˆ š»
K ā‰¤ G āŸ¹ āˆƒš‘˜1
āˆ’1
, š‘˜2
āˆ’1
āˆˆ š¾
Akan ditunjukkan š‘š‘žāˆ’1
āˆˆ š»š¾
š‘š‘žāˆ’1
= š‘•1 š‘˜1 š‘•2 š‘˜2
āˆ’1
= š‘•1 š‘˜1 (š‘˜2
āˆ’1
š‘•2
āˆ’1
) [sifat grup, š‘•2 š‘˜2
āˆ’1
= š‘˜2
āˆ’1
š‘•2
āˆ’1
]
= š‘•1(š‘˜1 š‘˜2
āˆ’1
)š‘•2
āˆ’1
[sifat assosiatif]
= š‘•1(š‘˜3)š‘•2
āˆ’1
[š‘˜1 āˆˆ š¾ āˆ§ š‘˜2
āˆ’1
āˆˆ š¾ āŸ¹ š‘˜1 š‘˜2
āˆ’1
āˆˆ š¾ ā€¦
ā€¦ Memenuhi sifat tertutup dan misalkan š‘˜1 š‘˜2
āˆ’1
= š‘˜3 āˆˆ š¾]
= š‘•1(š‘˜3 š‘•2
āˆ’1
) [sifat assosiatif]
= š‘•1 š‘•2
āˆ’1
š‘˜3 [sifat komutatif]
= (š‘•1 š‘•2
āˆ’1
)š‘˜3 [sifat assosiatif]
= š‘•3 š‘˜3 [š‘•1 āˆˆ š» āˆ§ š‘•2
āˆ’1
āˆˆ š» āŸ¹ š‘•1 š‘•2
āˆ’1
āˆˆ š» ā€¦
ā€¦ Memenuhi sifat tertutup dan misalkan š‘•1 š‘•2
āˆ’1
= š‘•3 āˆˆ š»]
= š‘•3 š‘˜3 [š‘˜3 āˆˆ š¾, š‘•3 āˆˆ š»]
= š‘•3 š‘˜3 āˆˆ š»š¾
āˆ“ jadi, HK ā‰¤ G āˆŽ
68
23. Jika H subgrup dari G dan š‘Ž āˆˆ šŗ. Misalkan š‘Žš»š‘Žāˆ’1
= {š‘Žš‘•š‘Žāˆ’1
; š‘• āˆˆ š»} maka
tunjukkan bahwa š‘Žš»š‘Žāˆ’1
subgrup dari G!
Bukti:
Misalkan G grup, H ā‰¤ G, š‘Ž āˆˆ šŗ
Untuk membuktikan š‘Žš»š‘Žāˆ’1
ā‰¤ G
digunakan teorema ā€œāˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup, H ā‰¤ G āŸŗ š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘āˆ’1
āˆˆ š»".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. š‘Žš»š‘Žāˆ’1
ā‰  āˆ…
Diketahui H ā‰¤ G āŸ¹ āˆƒš‘’ āˆˆ š» [e=identitas]
Perhatikan bahwa: š‘Žš»š‘Žāˆ’1
= {š‘Žš‘’š‘Žāˆ’1
= š‘’; š‘’ āˆˆ š»} akibatnya š‘Žš»š‘Žāˆ’1
ā‰  āˆ…
b. š‘Žš»š‘Žāˆ’1
āŠ† šŗ
Diketahui š‘Ž āˆˆ šŗ dan H ā‰¤ G artinya āˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ āŸ¹ jelas š‘Žš»š‘Žāˆ’1
āŠ† šŗ
c. āˆ€ š‘, š‘ž āˆˆ š‘Žš»š‘Žāˆ’1
āŸ¹ š‘š‘žāˆ’1
āˆˆ š‘Žš»š‘Žāˆ’1
Ambil sebarang š‘, š‘ž āˆˆ š‘Žš»š‘Žāˆ’1
Pandang: š‘ = š‘Žš‘•1 š‘Žāˆ’1
; untuk suatu š‘•1 āˆˆ š»
š‘ž = š‘Žš‘•2 š‘Žāˆ’1
; untuk suatu š‘•2 āˆˆ š»
H ā‰¤ G āŸ¹ āˆƒš‘•1
āˆ’1
, š‘•2
āˆ’1
āˆˆ š»
Akan ditunjukkan š‘š‘žāˆ’1
āˆˆ š‘Žš»š‘Žāˆ’1
š‘š‘žāˆ’1
= š‘Žš‘•1 š‘Žāˆ’1
š‘Žš‘•2 š‘Žāˆ’1 āˆ’1
= š‘Žš‘•1 š‘Žāˆ’1
š‘Žš‘•2
āˆ’1
š‘Žāˆ’1
= š‘Žš‘•1(š‘Žāˆ’1
š‘Ž)š‘•2
āˆ’1
š‘Žāˆ’1
[sifat assosiatif]
= š‘Žš‘•1 š‘’š‘•2
āˆ’1
š‘Žāˆ’1
[š‘Žāˆ’1
š‘Ž = š‘’]
= š‘Ž(š‘•1 š‘’)š‘•2
āˆ’1
š‘Žāˆ’1
[sifat assosiatif]
= š‘Žš‘•1 š‘•2
āˆ’1
š‘Žāˆ’1
[š‘•1 š‘’ = š‘•1]
= š‘Ž(š‘•1 š‘•2
āˆ’1
)š‘Žāˆ’1
[sifat assosiatif]
= š‘Žš‘•3 š‘Žāˆ’1
[š‘•1 āˆˆ š», š‘•2
āˆ’1
āˆˆ š» āŸ¹ š‘•1 š‘•2
āˆ’1
āˆˆ š» ā€¦
ā€¦ misalkan š‘•3=š‘•1 š‘•2
āˆ’1
āˆˆ š»]
69
= š‘Žš‘•3 š‘Žāˆ’1
[š‘•3 āˆˆ š»]
= š‘Žš‘•3 š‘Žāˆ’1
āˆˆ š‘Žš»š‘Žāˆ’1
āˆ“ jadi, š‘Žš»š‘Žāˆ’1
ā‰¤ G āˆŽ
24. Himpunan š» =
1
2 š‘š ; š‘š āˆˆ š’ dengan operasi perkalian merupakan subgrup
dari grup (Q{0},*).
Bukti:
Misalkan (Q{0},*) grup
Untuk membuktikan š» ā‰¤ G
digunakan teorema ā€œāˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup, H ā‰¤ G āŸŗ š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘āˆ’1
āˆˆ š»".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
a. š» ā‰  āˆ…
š» ā‰  āˆ… sebab āˆƒ
1
4
=
1
22 ; 2 āˆˆ š’ āˆˆ š»
b. š» āŠ† š‘ø{šŸŽ}
Ambil sebarang š‘¢ āˆˆ š»
Pandang š‘¢ =
1
2 š‘¤ ; š‘¤ āˆˆ š’ āˆˆ š»
Perhatikan bahwa
1
2 š‘¤
; š‘¤ āˆˆ š’ āŸ¹ 2 š‘¤
āˆˆ š‘ø{šŸŽ}
Sehingga
1
2 š‘¤ āˆˆ š‘ø{šŸŽ}
š‘¢ āˆˆ š» āˆ§ š‘¢ =
1
2 š‘¤
āˆˆ š‘ø{šŸŽ} āŸ¹ š» āŠ† š‘ø{šŸŽ}
c. āˆ€ š‘, š‘ž āˆˆ š» āŸ¹ š‘š‘žāˆ’1
āˆˆ š»
Ambil sebarang š‘, š‘ž āˆˆ š»
Pandang: š‘ =
1
2 š‘  ; š‘  āˆˆ š’ āˆˆ š»
š‘ž =
1
2š‘”
; š‘” āˆˆ š’ āˆˆ š»
70
Akan ditunjukkan š‘š‘žāˆ’1
āˆˆ š»
š‘š‘žāˆ’1
=
1
2 š‘ 
1
2š‘”
āˆ’1
=
1
2 š‘ 
1
1
2š‘”
=
1
2 š‘ 
2š‘”
=
1
2 š‘ āˆ’š‘”
āˆˆ š»
Karena š‘  āˆˆ š’ āˆ§ š‘” āˆˆ š’ āŸ¹ š‘  āˆ’ š‘” āˆˆ š’
āˆ“ jadi, š» ā‰¤ G āˆŽ
***
71
KOSET & SUBGRUP NORMAL
Pendahuluan
Misalkan G suatu grup dan H subgrup dari G. jika š‘Ž āˆˆ šŗ sebarang, maka
kompleks dari G yang dinyatakan oleh Ha dan aH yang didefenisikan
sebagai berikut:
š»š‘Ž = š‘•š‘Ž; š‘• āˆˆ š» [kosest kanan]
š‘Žš» = {š‘Žš‘•; š‘• āˆˆ š»} [koset kiri]
Subgrup Normal
ļƒ˜ Bila G suatu grup dan N subgrup dari G dinamakan subgrup normal dari
G jika untuk setiap g ļƒŽļ€ G dan n ļƒŽļ€ N maka g n g-1
ļƒŽļ€ N
atau ekivalen dengan pernyataan
N merupakan subgrup normal dari G jika g N g-1 = {gng-1
/ n ļƒŽļ€ N} ļƒŒļ€ N
untuk setiap gļƒŽG
ļƒ˜ Subgrup N merupakan subgrup normal dalam grup G, jika dan hanya jika
untuk setiap g ļƒŽļ€ G maka g N g-1
= N
Perhatikan
g N g-1
= N tidak boleh diartikan g n g-1
= n, tetapi g n g-1
= n' untuk suatu
n' ļƒŽļ€ N.
ļƒ˜ Dalam suatu grup G, N merupakan subgrup normal jika dan hanya jika
koset kanan dari N dalam G sama dengan koset kiri dari N dalam G.
ļƒ˜ Dalam suatu grup G, N merupakan subgrup normal jika dan hanya jika
perkalian dua koset kanan dari N dalam G, lagi merupakan koset
kanan dari N dalam G.
72
1. Jika H subgrup dari G
Buktikan: aH=bH jika dan hanya jika š‘āˆ’1
š‘Ž āˆˆ š», āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ.
Bukti:
Misalkan G grup dan š» ā‰¤ šŗ
Akan dibuktikan š‘Žš» = š‘š» ļƒ› š‘āˆ’1
š‘Ž āˆˆ š», āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ
āŸ¹) bukti dari kiri ke kanan
Akan ditunjukkan š‘Žš» = š‘š» ļƒž š‘āˆ’1
š‘Ž āˆˆ š», āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ
Ambil sebarang š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘Žš» = š‘š»
Karena š‘’ āˆˆ š»(š‘’ unsur identitas) maka
š‘Ž š‘’ āˆˆ š‘Žš» atau š‘Ž āˆˆ š‘Žš»
Karena š‘Žš» = š‘š»ļƒž š‘Ž āˆˆ š‘š» [š‘Ž āˆˆ š‘Žš»]
ļƒž š‘āˆ’1
š‘Ž āˆˆ š‘āˆ’1
(š‘š») [kalikan š‘āˆ’1
dari kiri]
ļƒž š‘āˆ’1
š‘Ž āˆˆ (š‘āˆ’1
š‘)š» [sifat assosiatif]
ļƒž š‘āˆ’1
š‘Ž āˆˆ š‘’š» [š‘āˆ’1
š‘ = š‘’]
ļƒž š‘āˆ’1
š‘Ž āˆˆ š» [š‘’š» = š»]
āŸ¹) bukti dari kanan ke kiri
Akan ditunjukkan š‘āˆ’1
š‘Ž āˆˆ š» ļƒž š‘Žš» = š‘š» , āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ
Misalkan š‘āˆ’1
š‘Ž āˆˆ š» akan ditunjukkan š‘Žš» = š‘š»
š‘āˆ’1
š‘Ž āˆˆ š» ļƒž š‘āˆ’1
š‘Žš» = š» [Menurut teorema š‘š» = š»; š‘ āˆˆ š» ]
ļƒž š‘š‘āˆ’1
š‘Žš» = š‘š» [kalikan š‘ dari arah kiri]
ļƒž (š‘š‘āˆ’1
)š‘Žš» = š‘š» [sifat assosiatif]
ļƒž(š‘’š‘Ž)š» = š‘š» [š‘š‘āˆ’1
= š‘’ & sifat assosiatif]
ļƒžš‘Žš» = š‘š» [š‘’š‘Ž = š‘Ž]
āˆ“ Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa š‘Žš» = š‘š» ļƒž š‘āˆ’1
š‘Ž āˆˆ
š», āˆ€ š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ. āˆŽ
2. Jika H subgrup dari G
Buktikan: Ha=Hb jika dan hanya jika š‘āˆ’1
š‘Ž āˆˆ š», āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ.
73
Bukti:
Misalkan G grup dan š» ā‰¤ šŗ
Akan dibuktikan š»š‘Ž = š»š‘ ļƒ› š‘āˆ’1
š‘Ž āˆˆ š», āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ
āŸ¹) bukti dari kiri ke kanan
Akan ditunjukkan š»š‘Ž = š»š‘ ļƒž š‘āˆ’1
š‘Ž āˆˆ š», āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ
Ambil sebarang š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ āˆ‹ š»š‘Ž = š»š‘
Karena š‘’ āˆˆ š»(š‘’ unsur identitas) maka
š‘Ž š‘’ āˆˆ š»š‘Ž atau š‘Ž āˆˆ š»š‘Ž
Karena š»š‘Ž = š»š‘ļƒž š‘Ž āˆˆ š»š‘ [š‘Ž āˆˆ š»š‘Ž]
ļƒž š‘Žš‘āˆ’1
āˆˆ (š»š‘)š‘āˆ’1
[kalikan š‘āˆ’1
dari kanan]
ļƒž š‘Žš‘āˆ’1
āˆˆ š»(š‘š‘āˆ’1
) [sifat assosiatif]
ļƒž š‘Žš‘āˆ’1
āˆˆ š»š‘’ [š‘š‘āˆ’1
= š‘’]
ļƒž š‘Žš‘āˆ’1
āˆˆ š» [š»š‘’ = š»]
āŸ¹) bukti dari kanan ke kiri
Akan ditunjukkan š‘Žš‘āˆ’1
āˆˆ š» ļƒž š»š‘Ž = š»š‘ , āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ
Misalkan š‘Žš‘āˆ’1
āˆˆ š» akan ditunjukkan š»š‘Ž = š»š‘
š‘Žš‘āˆ’1
āˆˆ š» ļƒž š»š‘Žš‘āˆ’1
= š» [Menurut teorema š‘š» = š»; š‘ āˆˆ š» ]
ļƒž š»š‘Žš‘āˆ’1
š‘ = š»š‘ [kalikan š‘ dari arah kanan]
ļƒž š»š‘Ž(š‘āˆ’1
š‘) = š»š‘ [sifat assosiatif]
ļƒžš»(š‘Žš‘’) = š»š‘ [š‘āˆ’1
š‘ = š‘’ & sifat assosiatif]
ļƒžš»š‘Ž = š»š‘ [š‘Žš‘’ = š‘Ž]
āˆ“ Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa š»š‘Ž = š»š‘ ļƒž š‘Žš‘āˆ’1
āˆˆ
š», āˆ€ š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ. āˆŽ
3. Buktikan, jika H subgrup dari G, maka G merupakan gabungan semua koset
kanan (kiri) dari H di G.
Bukti:
Misalkan G grup dan š» ā‰¤ šŗ
74
Akan dibuktikan šŗ = š»š‘Ž āˆŖ š»š‘
H ā‰¤ šŗ ļƒžš» ā‰  āˆ…
š»š‘Ž = š‘•š‘Ž; š‘• āˆˆ š» [defenisi]
š»š‘ = š‘•š‘; š‘• āˆˆ š» [defenisi]
š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ
š‘• āˆˆ š» ļƒž š‘• āˆˆ šŗ [H ā‰¤ šŗ]
š‘Ž āˆˆ šŗ, š‘• āˆˆ šŗ ļƒž š‘•š‘Ž āˆˆ šŗ
š‘ āˆˆ šŗ, š‘• āˆˆ šŗ ļƒž š‘•š‘ āˆˆ šŗ
Misalkan diambil sebarang š‘„ āˆˆ š»š‘Ž āˆŖ š»š‘
š‘„ āˆˆ š»š‘Ž āˆŖ š»š‘ ļƒž š‘„ āˆˆ š‘•š‘Ž āˆŖ š‘•š‘ ļƒž š‘„ āˆˆ šŗ [š‘•š‘Ž āˆˆ šŗ āˆ§ š‘•š‘ āˆˆ šŗ]
āˆ“ Jadi jika H subgrup dari G, maka merupakan gabungan semua koset kanan
(kiri) dari H di G. āˆŽ
4. Misalkan H dan M masing-masing sungrup normal dari grup G. Buktikan
š» āˆ© š‘€ āŠ“ šŗ.
Bukti:
Misalkan G grup, š» āŠ“ šŗ & š‘€ āŠ“ šŗ
Akan ditunjukkan bahwa š» āˆ© š‘€ āŠ“ šŗ
Perhatikan bahwa:
G grup maka jelas šŗ ā‰  āˆ…, Ambil sebarang š‘” āˆˆ šŗ dan
Ambil sebarang š‘ āˆˆ š» āˆ© š‘€
š‘ āˆˆ š» āˆ© š‘€ āŸ¹ š‘ āˆˆ š» āˆ§ š‘ āˆˆ š‘€
Diketahui š» āŠ“ šŗ & š‘€ āŠ“ šŗ sehingga:
š» āŠ“ šŗ āŸ¹ š‘š»š‘āˆ’1
= š» atau š‘š‘”š‘āˆ’1
āˆˆ š»; š‘ āˆˆ š», š‘” āˆˆ šŗ ā€¦ā€¦ā€¦.. (i)
š‘€ āŠ“ šŗ āŸ¹ š‘š‘€š‘āˆ’1
= š‘€ atau š‘š‘šš‘āˆ’1
āˆˆ š‘€; š‘ āˆˆ š‘€, š‘” āˆˆ šŗ ā€¦ā€¦ā€¦.. (ii)
Berdasarkan (i) dan (ii) diperoleh š‘š‘”š‘āˆ’1
āˆˆ š» āˆ© š‘€
āˆ“ š‘š‘”š‘āˆ’1
āˆˆ š» āˆ© š‘€; š‘ āˆˆ š» āˆ© š‘€ dan š‘” āˆˆ šŗ berdasarkan defenisi akibatnya
š» āˆ© š‘€ āŠ“ šŗ. āˆŽ
75
5. Misalkan G grup, N dan H masing-masing subgrup dari G, dan normal di G.
buktikan:
a) š‘š» = {š‘›š‘•: š‘› āˆˆ š‘, š‘• āˆˆ š»} subgrup dari G
b) š» subgrup normal dari š‘
Bukti:
Misalkan G grup, š» ā‰¤ šŗ, š‘ āŠ“ šŗ
a) Akan dibuktikan š‘š» = {š‘›š‘•: š‘› āˆˆ š‘, š‘• āˆˆ š»} ā‰¤ šŗ
Untuk membuktikan š‘š» = {š‘›š‘•: š‘› āˆˆ š‘, š‘• āˆˆ š»} ā‰¤ šŗ
digunakan teorema ā€œāˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup, H ā‰¤ G āŸŗ š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘āˆ’1
āˆˆ š»".
Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
d. š‘š» ā‰  āˆ…
Diketahui š» ā‰¤ šŗ āŸ¹ āˆƒš‘’1 āˆˆ š» [š‘’1=identitas]
š‘’1 āˆˆ š» āˆ§ š» ā‰¤ šŗ āŸ¹ š‘’1 āˆˆ šŗ
Diketahui š‘ ā‰¤ šŗ āŸ¹ āˆƒš‘’2 āˆˆ š‘ [š‘’2=identitas]
š‘’2 āˆˆ š‘ āˆ§ š‘ ā‰¤ šŗ āŸ¹ š‘’2 āˆˆ šŗ
š‘’1 āˆˆ šŗ dan š‘’2 āˆˆ šŗ sementara diketahui G grup berdasarkan sifat
ketunggalan unsur identitas pada grup akibatnya š‘’1 = š‘’2, misalkan
š‘’ = š‘’1 = š‘’2 [e=identitas]
Sekarang perhatikan:
š‘š» = {š‘’ = š‘’1 š‘’2: š‘’1 āˆˆ š‘, š‘’2 āˆˆ š»} sehingga āˆƒš‘’ āˆˆ š‘š» akibatnya
š‘š» ā‰  āˆ…
e. š‘š» āŠ† šŗ
Pada bagian (a) diperoleh š‘’ āˆˆ š‘š»; š‘’ āˆˆ š‘ dan š‘’ āˆˆ š»
Diketahui bahwa š» ā‰¤ šŗ, š‘ āŠ“ šŗ maka jelas š‘’ āˆˆ šŗ
Akibatnya pasti š‘š» āŠ† šŗ
f. Ambil sebarang š‘„, š‘¦ āˆˆ š‘š»
Pandang š‘„ = š‘›1 š‘•1; š‘›1 āˆˆ š‘ dan š‘•1 āˆˆ š»
š‘¦ = š‘›2 š‘•2; š‘›2 āˆˆ š‘ dan š‘•2 āˆˆ š»
76
š‘›1, š‘›2 āˆˆ š‘ āˆ§ š‘ ā‰¤ šŗ āŸ¹ š‘›1, š‘›2 āˆˆ šŗ
š‘›1, š‘›2 āˆˆ š‘ āˆ§ š‘ ā‰¤ šŗ āŸ¹ š‘›1
āˆ’1
, š‘›2
āˆ’1
āˆˆ šŗ
š‘•1, š‘•2 āˆˆ š» āˆ§ š» ā‰¤ šŗ āŸ¹ š‘•1, š‘•2 āˆˆ šŗ
š‘•1, š‘•2 āˆˆ š» āˆ§ š» ā‰¤ šŗ āŸ¹ š‘•1
āˆ’1
, š‘•2
āˆ’1
āˆˆ šŗ
Adit š‘„yāˆ’1
āˆˆ š‘š»
š‘„yāˆ’1
= (š‘›1 š‘•1)(š‘›2 š‘•2)āˆ’1
= (š‘›1 š‘•1) (š‘•2
āˆ’1
š‘›2
āˆ’1
) [(š‘›2 š‘•2)āˆ’1
= š‘•2
āˆ’1
š‘›2
āˆ’1
]
= (š‘›1 š‘•1 š‘•2
āˆ’1
) š‘›2
āˆ’1
[assosiatif]
= (š‘›1 š‘•1 š‘•2
āˆ’1
) (š‘•2 š‘›2
āˆ’1
š‘•2
āˆ’1
) [š‘•2, š‘•2
āˆ’1
āˆˆ šŗ, š‘›2
āˆ’1
āˆˆ š‘, š‘ āŠ“ šŗ]
= (š‘›1 š‘•1)(š‘•2
āˆ’1
š‘•2) (š‘›2
āˆ’1
š‘•2
āˆ’1
) [assosiatif]
= (š‘›1 š‘•1)(š‘’) (š‘›2
āˆ’1
š‘•2
āˆ’1
) [š‘•2
āˆ’1
š‘•2 = š‘’, š‘’ = š‘–š‘‘š‘’š‘›š‘”š‘–š‘”š‘Žš‘ ]
= š‘›1(š‘•1 š‘’) (š‘›2
āˆ’1
š‘•2
āˆ’1
) [assosiatif]
= (š‘›1 š‘•1) (š‘›2
āˆ’1
š‘•2
āˆ’1
) [š‘•1 š‘’ = š‘•1]
= š‘›1 š‘•1 (š‘•1
āˆ’1
š‘›2
āˆ’1
š‘•1)(š‘•2
āˆ’1
) [š‘•1, š‘•1
āˆ’1
āˆˆ šŗ, š‘›2
āˆ’1
āˆˆ š‘, š‘ āŠ“ šŗ]
= š‘›1 (š‘•1 š‘•1
āˆ’1
)š‘›2
āˆ’1
š‘•1 š‘•2
āˆ’1
[assosiatif]
= š‘›1 (š‘’)š‘›2
āˆ’1
š‘•1 š‘•2
āˆ’1
[š‘•1 š‘•1
āˆ’1
= š‘’; š‘’ = š‘–š‘‘š‘’š‘›š‘”š‘–š‘”š‘Žš‘ ]
= (š‘›1 š‘’)š‘›2
āˆ’1
š‘•1 š‘•2
āˆ’1
[assosiatif]
= š‘›1 š‘›2
āˆ’1
š‘•1 š‘•2
āˆ’1
[š‘›1 š‘’ = š‘›1; š‘’ = š‘–š‘‘š‘’š‘›š‘”š‘–š‘”š‘Žš‘ ]
= (š‘›1 š‘›2
āˆ’1
)(š‘•1 š‘•2
āˆ’1
)
[š‘›1, š‘›2
āˆ’1
āˆˆ š‘ āŸ¹ š‘›1 š‘›2
āˆ’1
āˆˆ š‘ misalkan š‘›1 š‘›2
āˆ’1
= š‘›3 āˆˆ š‘
š‘•1, š‘•2
āˆ’1
āˆˆ š» āŸ¹ š‘•1 š‘•2
āˆ’1
āˆˆ š» misalkan š‘•1 š‘•2
āˆ’1
= š‘•3 āˆˆ š»]
= š‘›3 š‘•3 āˆˆ š‘š»
āˆ“ telah dibuktikan š‘š» ā‰  āˆ…, š‘š» āŠ† šŗ & āˆ€ š‘„, š‘¦ āˆˆ š‘š» āŸ¹ š‘„yāˆ’1
āˆˆ š‘š»
sehingga hipotesis dinyatakan benar yakni š‘š» ā‰¤ šŗ. āˆŽ
b) Akan dibuktikan H āŠ“ NH
Digunakan teorema ā€œš» ā‰¤ šŗ adalah normal āŸŗ š‘„š»š‘„āˆ’1
āŠ† š», āˆ€š‘„ āˆˆ šŗ.
Berdasarkan teorema diatas akan ditunjukkan:
77
a. NH membentuk grup
Pada bagian (a) telah ditunjukkan bahwa š‘š» ā‰¤ šŗ sehingga jelas NH
membentuk grup.
b. H subgrup dari NH
Digunakan teorema ā€œāˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup, H ā‰¤ G āŸŗ š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘āˆ’1
āˆˆ
š»".
Dari teorema diatas maka yang diambil sebagai hipotesis adalah H
subgrup dari NH. Untuk itu akan ditunjukkan:
(i) š» ā‰  āˆ…
Diketahui H ā‰¤ G āŸ¹āˆƒ e āˆˆ H [e=identitas] akibatnya š» ā‰  āˆ…
(ii) š» āŠ† š‘š»
Diketahui N ā‰¤ G āŸ¹āˆƒ e āˆˆ N [e=identitas]
Pandang š» = š‘’š‘•1 = š‘•1; š‘•1 āˆˆ š», š‘’ āˆˆ š‘
sementara š‘•1 = š‘’š‘•1 āˆˆ Nš» akibatnya š» āŠ† š‘š»
(iii)āˆ€š‘, š‘ž āˆˆ š» āŸ¹ š‘š‘žāˆ’1
āˆˆ š»
Ambil sebarang š‘, š‘ž āˆˆ š»
Pandang š‘ = š‘•1; š‘•1 āˆˆ š»
š‘ž = š‘•2; š‘•2 āˆˆ š»
Akan ditunjukkan š‘š‘žāˆ’1
āˆˆ š»
š‘š‘žāˆ’1
= š‘•1 š‘•2
āˆ’1
[š‘•1, š‘•2
āˆ’1
āˆˆ š» āŸ¹ š‘•1 š‘•2
āˆ’1
āˆˆ š»]
= š‘•1 š‘•2
āˆ’1
[Misalkan š‘•1, š‘•2
āˆ’1
= š‘•3 āˆˆ š»]
= š‘•3 āˆˆ š»
Karena (i), (ii) & (iii) terpenuhi maka hipotesis dinyatakan benar
yakni H ā‰¤ š‘š»
c. āˆ€š‘„ āˆˆ š‘š» āŸ¹ š‘„š»š‘„āˆ’1
āŠ† š»
Ambil sebarang š‘„ āˆˆ š‘š»
Pandang š‘„ = š‘›š‘•; š‘› āˆˆ š‘, š‘• āˆˆ š»
Invers dari x adalah š‘„āˆ’1
= (š‘›š‘•)āˆ’1
78
= š‘•āˆ’1
š‘›āˆ’1
[dijamin sebab NH membentuk grup]
= š‘•āˆ’1
š‘›āˆ’1
[š‘•āˆ’1
āˆˆ š», š‘›āˆ’1
āˆˆ š‘]
Ambil sebarang š‘•1 āˆˆ š», akan dibuktikan š‘„š»š‘„āˆ’1
āŠ† š»
š‘„š»š‘„āˆ’1
= š‘›š‘• (š‘•1)(š‘•āˆ’1
š‘›āˆ’1
)
= š‘›(š‘•š‘•1)(š‘•āˆ’1
š‘›āˆ’1
) [assosiatif]
= š‘›(š‘•š‘•1)(š‘•āˆ’1
š‘›āˆ’1
) [š‘•, š‘•1 āˆˆ š» āŸ¹ š‘•š‘•1 āˆˆ š»]
= (š‘›š‘•3)(š‘•āˆ’1
š‘›āˆ’1
) [misalkan š‘•š‘•1 = š‘•3 āˆˆ š»]
= š‘›(š‘•3 š‘•āˆ’1
)š‘›āˆ’1
[assosiatif]
= š‘›(š‘•3 š‘•āˆ’1
)š‘›āˆ’1
[š‘•3, š‘•āˆ’1
āˆˆ š» āŸ¹ š‘•3 š‘•āˆ’1
āˆˆ š»]
= š‘›(š‘•4)š‘›āˆ’1
[misalkan š‘•3 š‘•āˆ’1
= š‘•4 āˆˆ š»]
= š‘›š‘•4(š‘•4
āˆ’1
š‘›āˆ’1
š‘•4) [š‘•4 āˆˆ š», š‘›āˆ’1
āˆˆ š‘ & š‘ normal]
= š‘›(š‘•4 š‘•4
āˆ’1
)š‘›āˆ’1
š‘•4 [assosiatif]
= (š‘›š‘’)š‘›āˆ’1
š‘•4 [š‘•4 š‘•4
āˆ’1
= š‘’; š‘’ = š‘–š‘‘š‘’š‘›š‘”š‘–š‘”š‘Žš‘ ]
= (š‘›š‘›āˆ’1
)š‘•4 [š‘›š‘’ = š‘›, assosiatif]
= š‘’š‘•4 [š‘›š‘›āˆ’1
= š‘’]
= š‘•4 āˆˆ š» [š‘’š‘•4 = š‘•4; š‘’ = š‘–š‘‘š‘’š‘›š‘”š‘–š‘”š‘Žš‘ ]
āˆ“ Karena telah dibuktikan š‘š» membentuk grup š» āŠ† š‘š» & āˆ€ š‘„ āˆˆ š‘š» āŸ¹
š‘„š»š‘„āˆ’1
āŠ† š», maka hipotesis dinyatakan benar yakni š» āŠ“ š‘š». āˆŽ
***
REFERENSI
Defila, F. 2012. ā€œDiktat Kuliah, Struktur Aljabar 1 (Teori Grup)ā€. Padang. STKIP
Sumater Barat (Tidak diterbitkan)
Herstein, I.N. 1975. Topics In Algebra, Second Edition. Inc New York. John Wiley &
Sons.
Isnarto. 2008. ā€œBuku Ajar Pengantar Struktur Aljabar 1ā€. Semarang. Universitas
Negeri Semarang (Tidak diterbitkan)
Tahmir, S. 2004. Teori Grup. Makassar: Andira Publisher

More Related Content

What's hot

Analisis real-lengkap-a1c
Analisis real-lengkap-a1cAnalisis real-lengkap-a1c
Analisis real-lengkap-a1c
Ummu Zuhry
Ā 
Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)
Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)
Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)
Dyas Arientiyya
Ā 
Contoh soal dan pembahasan subgrup
Contoh soal dan pembahasan subgrupContoh soal dan pembahasan subgrup
Contoh soal dan pembahasan subgrup
Kabhi Na Kehna
Ā 
Struktur aljabar-2
Struktur aljabar-2Struktur aljabar-2
Struktur aljabar-2
Safran Nasoha
Ā 
Aljabar 3-struktur-aljabar
Aljabar 3-struktur-aljabarAljabar 3-struktur-aljabar
Aljabar 3-struktur-aljabar
maman wijaya
Ā 
Pengantar analisis real_I
Pengantar analisis real_IPengantar analisis real_I
Pengantar analisis real_I
Ferry Angriawan
Ā 
Pertemuan 3 relasi & fungsi
Pertemuan 3 relasi & fungsiPertemuan 3 relasi & fungsi
Pertemuan 3 relasi & fungsi
aansyahrial
Ā 

What's hot (20)

Analisis real-lengkap-a1c
Analisis real-lengkap-a1cAnalisis real-lengkap-a1c
Analisis real-lengkap-a1c
Ā 
Homomorfisma grup
Homomorfisma grupHomomorfisma grup
Homomorfisma grup
Ā 
Sub grup normal dan grup fakto
Sub grup normal dan grup faktoSub grup normal dan grup fakto
Sub grup normal dan grup fakto
Ā 
Makalah setengah putaran
Makalah setengah putaranMakalah setengah putaran
Makalah setengah putaran
Ā 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
Ā 
Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)
Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)
Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)
Ā 
Contoh soal dan pembahasan subgrup
Contoh soal dan pembahasan subgrupContoh soal dan pembahasan subgrup
Contoh soal dan pembahasan subgrup
Ā 
Struktur aljabar-2
Struktur aljabar-2Struktur aljabar-2
Struktur aljabar-2
Ā 
Aljabar 3-struktur-aljabar
Aljabar 3-struktur-aljabarAljabar 3-struktur-aljabar
Aljabar 3-struktur-aljabar
Ā 
Koset Suatu Grup
Koset Suatu GrupKoset Suatu Grup
Koset Suatu Grup
Ā 
BAB 1 Transformasi
BAB 1 Transformasi BAB 1 Transformasi
BAB 1 Transformasi
Ā 
Rangkuman materi Isometri
Rangkuman materi IsometriRangkuman materi Isometri
Rangkuman materi Isometri
Ā 
Pengantar analisis real_I
Pengantar analisis real_IPengantar analisis real_I
Pengantar analisis real_I
Ā 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
Ā 
BAB 2 Pencerminan (Refleksi)
BAB 2 Pencerminan (Refleksi)BAB 2 Pencerminan (Refleksi)
BAB 2 Pencerminan (Refleksi)
Ā 
Pembuktian dalam matematika
Pembuktian dalam matematikaPembuktian dalam matematika
Pembuktian dalam matematika
Ā 
Pertemuan 3 relasi & fungsi
Pertemuan 3 relasi & fungsiPertemuan 3 relasi & fungsi
Pertemuan 3 relasi & fungsi
Ā 
Modul 3 kongruensi
Modul 3   kongruensiModul 3   kongruensi
Modul 3 kongruensi
Ā 
Operasi biner
Operasi binerOperasi biner
Operasi biner
Ā 
Prinsip Inklusi Eksklusi
Prinsip Inklusi EksklusiPrinsip Inklusi Eksklusi
Prinsip Inklusi Eksklusi
Ā 

Viewers also liked

142.full book matematika vii
142.full book matematika vii142.full book matematika vii
142.full book matematika vii
Cut Nta
Ā 

Viewers also liked (20)

Jawaban Soal Latihan
Jawaban Soal LatihanJawaban Soal Latihan
Jawaban Soal Latihan
Ā 
Menilai problem solving di kurikulum matematika
Menilai problem solving di kurikulum matematikaMenilai problem solving di kurikulum matematika
Menilai problem solving di kurikulum matematika
Ā 
Subgrup normal dan grup faktor
Subgrup normal dan grup faktorSubgrup normal dan grup faktor
Subgrup normal dan grup faktor
Ā 
JENIS-JENIS METODE PEMBELAJARAN DAN STRATEGI PEMBELAJARAN
JENIS-JENIS METODE PEMBELAJARAN DAN STRATEGI PEMBELAJARANJENIS-JENIS METODE PEMBELAJARAN DAN STRATEGI PEMBELAJARAN
JENIS-JENIS METODE PEMBELAJARAN DAN STRATEGI PEMBELAJARAN
Ā 
JENIS-JENIS MODEL PEMBELAJARAN DAN PENDEKATAN PEMBELAJARAN
JENIS-JENIS MODEL PEMBELAJARAN DAN PENDEKATAN PEMBELAJARANJENIS-JENIS MODEL PEMBELAJARAN DAN PENDEKATAN PEMBELAJARAN
JENIS-JENIS MODEL PEMBELAJARAN DAN PENDEKATAN PEMBELAJARAN
Ā 
Grup
GrupGrup
Grup
Ā 
deret kuasa
deret kuasaderet kuasa
deret kuasa
Ā 
Perbandingan senilai dan tak senilai
Perbandingan senilai dan tak senilaiPerbandingan senilai dan tak senilai
Perbandingan senilai dan tak senilai
Ā 
buku ajar materi fungsi invers kelas XI MIA
buku ajar materi fungsi invers kelas XI MIAbuku ajar materi fungsi invers kelas XI MIA
buku ajar materi fungsi invers kelas XI MIA
Ā 
142.full book matematika vii
142.full book matematika vii142.full book matematika vii
142.full book matematika vii
Ā 
pewarnaan graf pada frekuensi radio
pewarnaan graf pada frekuensi radiopewarnaan graf pada frekuensi radio
pewarnaan graf pada frekuensi radio
Ā 
Laporan Magang (Landasan Keguruan 2)
Laporan Magang (Landasan Keguruan 2)Laporan Magang (Landasan Keguruan 2)
Laporan Magang (Landasan Keguruan 2)
Ā 
Asking question
Asking questionAsking question
Asking question
Ā 
Ontologi/hakikat pendidikan matematika perspektif Islam
Ontologi/hakikat pendidikan matematika perspektif IslamOntologi/hakikat pendidikan matematika perspektif Islam
Ontologi/hakikat pendidikan matematika perspektif Islam
Ā 
Analisis proses berpikir reflektif siswa
Analisis proses berpikir reflektif siswaAnalisis proses berpikir reflektif siswa
Analisis proses berpikir reflektif siswa
Ā 
TEORI-TEORI BELAJAR
TEORI-TEORI BELAJARTEORI-TEORI BELAJAR
TEORI-TEORI BELAJAR
Ā 
Teori Belajar dalam Pembelajaran Matematika
Teori Belajar dalam Pembelajaran MatematikaTeori Belajar dalam Pembelajaran Matematika
Teori Belajar dalam Pembelajaran Matematika
Ā 
Matematika Diskrit part 2
Matematika Diskrit part 2Matematika Diskrit part 2
Matematika Diskrit part 2
Ā 
Relasi rekursif
Relasi rekursifRelasi rekursif
Relasi rekursif
Ā 
Bahan ajar matriks
Bahan ajar matriksBahan ajar matriks
Bahan ajar matriks
Ā 

Similar to Teori Group

KELOMPOK_1_GRUP FIKS.pptx
KELOMPOK_1_GRUP FIKS.pptxKELOMPOK_1_GRUP FIKS.pptx
KELOMPOK_1_GRUP FIKS.pptx
Amir917685
Ā 
Presentasi aljabar
Presentasi aljabarPresentasi aljabar
Presentasi aljabar
Khoirun Nisa
Ā 
MATEMATIKANLANJUT, GRUP SIKLIK (CONTOH SOAL DAN TEOREMA)
MATEMATIKANLANJUT, GRUP SIKLIK (CONTOH SOAL DAN TEOREMA)MATEMATIKANLANJUT, GRUP SIKLIK (CONTOH SOAL DAN TEOREMA)
MATEMATIKANLANJUT, GRUP SIKLIK (CONTOH SOAL DAN TEOREMA)
IndahSari499061
Ā 
Centralizers, normalizers, center, stabilizers
Centralizers, normalizers, center, stabilizersCentralizers, normalizers, center, stabilizers
Centralizers, normalizers, center, stabilizers
wahyuhenky
Ā 
Soal dan pembahasan operasi biner dan teori grup dasar - mathcyber1997
Soal dan pembahasan   operasi biner dan teori grup dasar - mathcyber1997Soal dan pembahasan   operasi biner dan teori grup dasar - mathcyber1997
Soal dan pembahasan operasi biner dan teori grup dasar - mathcyber1997
HabibisSaleh1
Ā 

Similar to Teori Group (20)

KELOMPOK_1_GRUP FIKS.pptx
KELOMPOK_1_GRUP FIKS.pptxKELOMPOK_1_GRUP FIKS.pptx
KELOMPOK_1_GRUP FIKS.pptx
Ā 
Presentation Peta Konsep Grup Mata Kuliah Struktur Aljabar
Presentation Peta Konsep Grup Mata Kuliah Struktur AljabarPresentation Peta Konsep Grup Mata Kuliah Struktur Aljabar
Presentation Peta Konsep Grup Mata Kuliah Struktur Aljabar
Ā 
Presentasi aljabar
Presentasi aljabarPresentasi aljabar
Presentasi aljabar
Ā 
Teori grup
Teori grupTeori grup
Teori grup
Ā 
MATEMATIKANLANJUT, GRUP SIKLIK (CONTOH SOAL DAN TEOREMA)
MATEMATIKANLANJUT, GRUP SIKLIK (CONTOH SOAL DAN TEOREMA)MATEMATIKANLANJUT, GRUP SIKLIK (CONTOH SOAL DAN TEOREMA)
MATEMATIKANLANJUT, GRUP SIKLIK (CONTOH SOAL DAN TEOREMA)
Ā 
Grup
GrupGrup
Grup
Ā 
Grup
GrupGrup
Grup
Ā 
Grup siklik makalah
Grup siklik makalahGrup siklik makalah
Grup siklik makalah
Ā 
PPT DEFINISI RING & CONTOHNYA_K.1 (1).pptx
PPT DEFINISI RING & CONTOHNYA_K.1 (1).pptxPPT DEFINISI RING & CONTOHNYA_K.1 (1).pptx
PPT DEFINISI RING & CONTOHNYA_K.1 (1).pptx
Ā 
Aljabar
AljabarAljabar
Aljabar
Ā 
Aljabar kelompok 1
Aljabar kelompok 1Aljabar kelompok 1
Aljabar kelompok 1
Ā 
Semigrup dan monoid
Semigrup dan monoidSemigrup dan monoid
Semigrup dan monoid
Ā 
05 Materi Subgrup.pdf
05 Materi Subgrup.pdf05 Materi Subgrup.pdf
05 Materi Subgrup.pdf
Ā 
Centralizers, normalizers, center, stabilizers
Centralizers, normalizers, center, stabilizersCentralizers, normalizers, center, stabilizers
Centralizers, normalizers, center, stabilizers
Ā 
Soal dan pembahasan operasi biner dan teori grup dasar - mathcyber1997
Soal dan pembahasan   operasi biner dan teori grup dasar - mathcyber1997Soal dan pembahasan   operasi biner dan teori grup dasar - mathcyber1997
Soal dan pembahasan operasi biner dan teori grup dasar - mathcyber1997
Ā 
220307 Catatan Perkuliahan Aljabar I Kelas B Pert 10.pdf
220307 Catatan Perkuliahan Aljabar I Kelas B Pert 10.pdf220307 Catatan Perkuliahan Aljabar I Kelas B Pert 10.pdf
220307 Catatan Perkuliahan Aljabar I Kelas B Pert 10.pdf
Ā 
VD-108 klmpk 5: Operasi Biner dan Grup
VD-108 klmpk 5: Operasi Biner dan GrupVD-108 klmpk 5: Operasi Biner dan Grup
VD-108 klmpk 5: Operasi Biner dan Grup
Ā 
VD-108 kelompok 5: Operasi Biner dan Grup
VD-108 kelompok 5: Operasi Biner dan GrupVD-108 kelompok 5: Operasi Biner dan Grup
VD-108 kelompok 5: Operasi Biner dan Grup
Ā 
Subsemigrup - Copy.pptx
Subsemigrup - Copy.pptxSubsemigrup - Copy.pptx
Subsemigrup - Copy.pptx
Ā 
Tugas matif
Tugas matifTugas matif
Tugas matif
Ā 

More from Muhammad Alfiansyah Alfi

Pencegahan-dan-Penanganan-Kekerasan-di-Lingkungan-Sekolah.pdf
Pencegahan-dan-Penanganan-Kekerasan-di-Lingkungan-Sekolah.pdfPencegahan-dan-Penanganan-Kekerasan-di-Lingkungan-Sekolah.pdf
Pencegahan-dan-Penanganan-Kekerasan-di-Lingkungan-Sekolah.pdf
Muhammad Alfiansyah Alfi
Ā 

More from Muhammad Alfiansyah Alfi (20)

Pencegahan-dan-Penanganan-Kekerasan-di-Lingkungan-Sekolah.pdf
Pencegahan-dan-Penanganan-Kekerasan-di-Lingkungan-Sekolah.pdfPencegahan-dan-Penanganan-Kekerasan-di-Lingkungan-Sekolah.pdf
Pencegahan-dan-Penanganan-Kekerasan-di-Lingkungan-Sekolah.pdf
Ā 
Infografis Laporan Aktualisasi.pdf
Infografis Laporan Aktualisasi.pdfInfografis Laporan Aktualisasi.pdf
Infografis Laporan Aktualisasi.pdf
Ā 
Laporan Aktualisasi "Pelita Mabit" dengan Penerapan Nilai-nilai Dasar BerAKHL...
Laporan Aktualisasi "Pelita Mabit" dengan Penerapan Nilai-nilai Dasar BerAKHL...Laporan Aktualisasi "Pelita Mabit" dengan Penerapan Nilai-nilai Dasar BerAKHL...
Laporan Aktualisasi "Pelita Mabit" dengan Penerapan Nilai-nilai Dasar BerAKHL...
Ā 
ANALISIS KKM
ANALISIS KKMANALISIS KKM
ANALISIS KKM
Ā 
PROGRAM SEMESTER KELAS 8
PROGRAM SEMESTER KELAS 8PROGRAM SEMESTER KELAS 8
PROGRAM SEMESTER KELAS 8
Ā 
PROGRAM TAHUNAN KELAS 8
PROGRAM TAHUNAN KELAS 8PROGRAM TAHUNAN KELAS 8
PROGRAM TAHUNAN KELAS 8
Ā 
SILABUS MATEMATIKA KELAS 8
SILABUS MATEMATIKA KELAS 8SILABUS MATEMATIKA KELAS 8
SILABUS MATEMATIKA KELAS 8
Ā 
Bab v 2. perbandingan dua besaran dengan satuan yang berbeda
Bab v   2. perbandingan dua besaran dengan satuan yang berbedaBab v   2. perbandingan dua besaran dengan satuan yang berbeda
Bab v 2. perbandingan dua besaran dengan satuan yang berbeda
Ā 
Bab v 1. perbandingan dua besaran
Bab v   1. perbandingan dua besaranBab v   1. perbandingan dua besaran
Bab v 1. perbandingan dua besaran
Ā 
Bab iv 8. remedial dan pengayaan ke-4
Bab iv   8. remedial dan pengayaan ke-4Bab iv   8. remedial dan pengayaan ke-4
Bab iv 8. remedial dan pengayaan ke-4
Ā 
Bab iv 7. ujian harian ke-4
Bab iv   7. ujian harian ke-4Bab iv   7. ujian harian ke-4
Bab iv 7. ujian harian ke-4
Ā 
Bab iv 6. tugas projek ke-4
Bab iv   6. tugas projek ke-4Bab iv   6. tugas projek ke-4
Bab iv 6. tugas projek ke-4
Ā 
Bab iv 5. menyelesaikan masalah pt lsv
Bab iv   5. menyelesaikan masalah pt lsvBab iv   5. menyelesaikan masalah pt lsv
Bab iv 5. menyelesaikan masalah pt lsv
Ā 
Bab iv 4. konsep pt lsv
Bab iv   4. konsep pt lsvBab iv   4. konsep pt lsv
Bab iv 4. konsep pt lsv
Ā 
Bab iv 3. menyelesaikan persamaan menggunakan perkalian dan pembagian
Bab iv   3. menyelesaikan persamaan menggunakan perkalian dan pembagianBab iv   3. menyelesaikan persamaan menggunakan perkalian dan pembagian
Bab iv 3. menyelesaikan persamaan menggunakan perkalian dan pembagian
Ā 
Bab iv 2. menyelesaikan persamaan menggunakan penjumlahan dan pengurangan
Bab iv   2. menyelesaikan persamaan menggunakan penjumlahan dan penguranganBab iv   2. menyelesaikan persamaan menggunakan penjumlahan dan pengurangan
Bab iv 2. menyelesaikan persamaan menggunakan penjumlahan dan pengurangan
Ā 
Bab iv 1. konsep plsv
Bab iv   1. konsep plsvBab iv   1. konsep plsv
Bab iv 1. konsep plsv
Ā 
Bab iii 8. remedial dan pengayaan ke-3
Bab iii   8. remedial dan pengayaan ke-3Bab iii   8. remedial dan pengayaan ke-3
Bab iii 8. remedial dan pengayaan ke-3
Ā 
Bab iii 7. ujian harian ke-3
Bab iii   7. ujian harian ke-3Bab iii   7. ujian harian ke-3
Bab iii 7. ujian harian ke-3
Ā 
Bab iii 6. tugas projek ke-3
Bab iii   6. tugas projek ke-3Bab iii   6. tugas projek ke-3
Bab iii 6. tugas projek ke-3
Ā 

Recently uploaded

prinsip dasar kepramukaan dan metode kepramukaan
prinsip dasar kepramukaan dan metode kepramukaanprinsip dasar kepramukaan dan metode kepramukaan
prinsip dasar kepramukaan dan metode kepramukaan
aji guru
Ā 
konsep pidato Bahaya Merokok bagi kesehatan
konsep pidato Bahaya Merokok bagi kesehatankonsep pidato Bahaya Merokok bagi kesehatan
konsep pidato Bahaya Merokok bagi kesehatan
SuzanDwiPutra
Ā 
Penjelasan Asmaul Khomsah bahasa arab nahwu
Penjelasan Asmaul Khomsah bahasa arab nahwuPenjelasan Asmaul Khomsah bahasa arab nahwu
Penjelasan Asmaul Khomsah bahasa arab nahwu
Khiyaroh1
Ā 
perwalian IKLIM SEKOLAH AMAN Mencegah Intoleransi.pptx
perwalian IKLIM SEKOLAH AMAN Mencegah Intoleransi.pptxperwalian IKLIM SEKOLAH AMAN Mencegah Intoleransi.pptx
perwalian IKLIM SEKOLAH AMAN Mencegah Intoleransi.pptx
Mas PauLs
Ā 

Recently uploaded (20)

prinsip dasar kepramukaan dan metode kepramukaan
prinsip dasar kepramukaan dan metode kepramukaanprinsip dasar kepramukaan dan metode kepramukaan
prinsip dasar kepramukaan dan metode kepramukaan
Ā 
konsep pidato Bahaya Merokok bagi kesehatan
konsep pidato Bahaya Merokok bagi kesehatankonsep pidato Bahaya Merokok bagi kesehatan
konsep pidato Bahaya Merokok bagi kesehatan
Ā 
MODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 4 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 4 KURIKULUM MERDEKA.pdfMODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 4 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 4 KURIKULUM MERDEKA.pdf
Ā 
Materi E-modul Ekosistem kelas X SMA.docx
Materi E-modul Ekosistem kelas X SMA.docxMateri E-modul Ekosistem kelas X SMA.docx
Materi E-modul Ekosistem kelas X SMA.docx
Ā 
Ppt kelompok 6 (preeklamsia ringan).pptx
Ppt kelompok 6 (preeklamsia ringan).pptxPpt kelompok 6 (preeklamsia ringan).pptx
Ppt kelompok 6 (preeklamsia ringan).pptx
Ā 
MODUL AJAR PENDIDIKAN AGAMA ISLAM & BUDI PEKERTI (PAIBP) KELAS 6.pdf
MODUL AJAR PENDIDIKAN AGAMA ISLAM & BUDI PEKERTI (PAIBP) KELAS 6.pdfMODUL AJAR PENDIDIKAN AGAMA ISLAM & BUDI PEKERTI (PAIBP) KELAS 6.pdf
MODUL AJAR PENDIDIKAN AGAMA ISLAM & BUDI PEKERTI (PAIBP) KELAS 6.pdf
Ā 
Variasi dan Gaya Mengajar, Mata Kuliah Strategi Belajar Mengajar
Variasi dan Gaya Mengajar, Mata Kuliah Strategi Belajar MengajarVariasi dan Gaya Mengajar, Mata Kuliah Strategi Belajar Mengajar
Variasi dan Gaya Mengajar, Mata Kuliah Strategi Belajar Mengajar
Ā 
MODUL AJAR MATEMATIKA KELAS 4 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR MATEMATIKA KELAS 4 KURIKULUM MERDEKA.pdfMODUL AJAR MATEMATIKA KELAS 4 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR MATEMATIKA KELAS 4 KURIKULUM MERDEKA.pdf
Ā 
Slide Kick Off for Public - Google Cloud Arcade Facilitator 2024.pptx
Slide Kick Off for Public - Google Cloud Arcade Facilitator 2024.pptxSlide Kick Off for Public - Google Cloud Arcade Facilitator 2024.pptx
Slide Kick Off for Public - Google Cloud Arcade Facilitator 2024.pptx
Ā 
MODUL AJAR PENDIDIKAN PANCASILA KELAS 4 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR PENDIDIKAN PANCASILA KELAS 4 KURIKULUM MERDEKA.pdfMODUL AJAR PENDIDIKAN PANCASILA KELAS 4 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR PENDIDIKAN PANCASILA KELAS 4 KURIKULUM MERDEKA.pdf
Ā 
Penjelasan Asmaul Khomsah bahasa arab nahwu
Penjelasan Asmaul Khomsah bahasa arab nahwuPenjelasan Asmaul Khomsah bahasa arab nahwu
Penjelasan Asmaul Khomsah bahasa arab nahwu
Ā 
UAS Matematika kelas IX 2024 HK_2024.pdf
UAS Matematika kelas IX 2024 HK_2024.pdfUAS Matematika kelas IX 2024 HK_2024.pdf
UAS Matematika kelas IX 2024 HK_2024.pdf
Ā 
PPDB SMAN 1 SURADE - PROV JABAR 2024 / 2025
PPDB SMAN 1 SURADE - PROV JABAR 2024 / 2025PPDB SMAN 1 SURADE - PROV JABAR 2024 / 2025
PPDB SMAN 1 SURADE - PROV JABAR 2024 / 2025
Ā 
MODUL AJAR SENI MUSIK KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR SENI MUSIK KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdfMODUL AJAR SENI MUSIK KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR SENI MUSIK KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdf
Ā 
Modul Ajar Matematika Kelas 5 Fase C Kurikulum Merdeka [abdiera.com]
Modul Ajar Matematika Kelas 5 Fase C Kurikulum Merdeka [abdiera.com]Modul Ajar Matematika Kelas 5 Fase C Kurikulum Merdeka [abdiera.com]
Modul Ajar Matematika Kelas 5 Fase C Kurikulum Merdeka [abdiera.com]
Ā 
MODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdfMODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdf
Ā 
Lokakarya tentang Kepemimpinan Sekolah 1.pptx
Lokakarya tentang Kepemimpinan Sekolah 1.pptxLokakarya tentang Kepemimpinan Sekolah 1.pptx
Lokakarya tentang Kepemimpinan Sekolah 1.pptx
Ā 
MODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 2 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 2 KURIKULUM MERDEKA.pdfMODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 2 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 2 KURIKULUM MERDEKA.pdf
Ā 
perwalian IKLIM SEKOLAH AMAN Mencegah Intoleransi.pptx
perwalian IKLIM SEKOLAH AMAN Mencegah Intoleransi.pptxperwalian IKLIM SEKOLAH AMAN Mencegah Intoleransi.pptx
perwalian IKLIM SEKOLAH AMAN Mencegah Intoleransi.pptx
Ā 
MODUL AJAR IPAS KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR IPAS KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdfMODUL AJAR IPAS KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR IPAS KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdf
Ā 

Teori Group

  • 1. 1 Struktur Aljabar I TEORI GRUP MUH. ALFIANSYAH Email: muhalfiansyah95@yahoo.com PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR
  • 2. 2 GRUP 1. Buktikan unsur identitas suatu grup adalah tunggal. Bukti: Misalkan G adalah grup Misalkan š‘’1 dan š‘’2 adalah unsur identitas di G Akan dibuktikan š‘’1 = š‘’2 Perhatikan bahwa: š‘’1 adalah unsur identitas di G dan š‘’2 āˆˆ G ā‡’ š‘’1 š‘’2 = š‘’2 š‘’1 = š‘’2 ā€¦ (i) š‘’2 adalah unsur identitas di G dan š‘’1 āˆˆ G ā‡’ š‘’2 š‘’1 = š‘’1 š‘’2 = š‘’1 ā€¦(ii) Dari (i) dan (ii) diperoleh š‘’1 = š‘’2 š‘’1 = š‘’1 š‘’2 = š‘’2. āˆ“ š‘’1 = š‘’2, dengan demikian unsur identitas suatu grup adalah tunggal. āˆŽ Struktur Pembuktian Grup Misalkan G adalah suatu himpunan (i) Buktikan G ā‰  āˆ…. (ii) Buktikan G bersifat tertutup terhadap operasi biner *. (iii) Buktikan G bersifat assosiatif terhadap operasi biner *. (iv) Buktikan G memiliki unsur identitas terhada operasi biner *. (v) Buktikan G memiliki unsur invers terhada operasi biner *. Catatan ļ¶ Jika (i) & (ii) terpenuhi maka disebut Grupoid. ļ¶ Jika (i), (ii) & (iii) terpenuhi maka disebut Semigrup. ļ¶ Jika (i), (ii), (iii) & (iv) terpenuhi maka disebut Monoid.
  • 3. 3 2. Buktikan unsur invers suatu grup adalah tunggal. Bukti: Misalkan G adalah grup, dan e āˆˆ G [e=identitas] Ambil sebarang a āˆˆ G Misalkan š‘1 dan š‘2 invers dari a Akan dibuktikan š‘1 = š‘2 Perhatikan bahwa: š‘1 adalah invers dari a ā‡’ š‘1 š‘Ž = š‘Žš‘1 = š‘’ [e=identitas] ā€¦ (i) š‘2 adalah invers dari a ā‡’ š‘2 š‘Ž = š‘Žš‘2 = š‘’ [e=identitas] ā€¦ (ii) dari (ii) diperoleh š‘Žš‘2 = š‘’ ā‡’š‘1 š‘Žš‘2 = š‘1 ā€¦ iii dari (i) diperoleh š‘1 š‘Ž = š‘’ ā‡’ (š‘1 š‘Ž)š‘2 = š‘2 ā€¦ iv Karena diketahui G grup maka jelas G memenuhi sifat assosiatif sehingga dari (iii) dan (iv) diperoleh bahwa: š‘1 = š‘1 š‘Žš‘2 = (š‘1 š‘Ž)š‘2 = š‘2 āˆ“ š‘1 = š‘2, dengan demikian unsur invers suatu grup adalah tunggal. āˆŽ 3. Buktikan invers dari invers suatu anggota dalam grup adalah anggota itu sendiri. Bukti: Misalkan G grup Ambil sebarang a āˆˆ G dan āˆƒ e āˆˆ G [e=identitas] Misalkan š‘Žāˆ’1 adalah invers dari a ā‡’ akan dibuktikan (š‘Žāˆ’1 )āˆ’1 Perhatikan bahwa: š‘Žāˆ’1 adalah invers dari a ā‡’ š‘Žāˆ’1 š‘Ž = š‘Žāˆ’1 š‘Ž = š‘’ Pandang š‘Žāˆ’1 š‘Ž = š‘’ š‘Žāˆ’1 š‘Ž = š‘’ (š‘Žāˆ’1 )āˆ’1 (š‘Žāˆ’1 š‘Ž) = (š‘Žāˆ’1 )āˆ’1 š‘’ [Kedua ruas dikalikan (š‘Žāˆ’1 )āˆ’1 ]
  • 4. 4 [(š‘Žāˆ’1 )āˆ’1 (š‘Žāˆ’1 )]š‘Ž = (š‘Žāˆ’1 )āˆ’1 [hukum assosiatif] š‘’š‘Ž = (š‘Žāˆ’1 )āˆ’1 [ (š‘Žāˆ’1 )āˆ’1 (š‘Žāˆ’1 ) = š‘’] š‘Ž = (š‘Žāˆ’1 )āˆ’1 [š‘’š‘Ž = š‘Ž] Pandang š‘Žš‘Žāˆ’1 = š‘’ š‘Žš‘Žāˆ’1 = š‘’ (š‘Žāˆ’1 š‘Ž) (š‘Žāˆ’1 )āˆ’1 = š‘’ (š‘Žāˆ’1 )āˆ’1 [Kedua ruas dikalikan (š‘Žāˆ’1 )āˆ’1 ] š‘Ž š‘Žāˆ’1 š‘Žāˆ’1 āˆ’1 = (š‘Žāˆ’1 )āˆ’1 [hukum assosiatif] š‘Žš‘’ = (š‘Žāˆ’1 )āˆ’1 [ (š‘Žāˆ’1 )(š‘Žāˆ’1 )āˆ’1 = š‘’] š‘Ž = (š‘Žāˆ’1 )āˆ’1 [š‘Žš‘’ = š‘Ž] āˆ“ Jadi, terbukti bahwa (š‘Žāˆ’1 )āˆ’1 = š‘Ž. āˆŽ 4. Buktikan bahwa setiap grup memenuhi hukum pencoretan. Bukti: Misalkan G grup Ambil sebarang š‘Ž, š‘, š‘ āˆˆ G Akan dibuktikan (i) š‘Žš‘ = š‘Žš‘ ā‡’ š‘ = š‘ [Pencoretan kiri] (ii) š‘š‘Ž = š‘š‘Ž ā‡’ š‘ = š‘ [Pencoretan kanan] Akan ditunjukkan bagian (i) pandang š‘Žš‘ = š‘Žš‘ š‘Ž āˆˆ šŗ Ė„ šŗ š‘”š‘Ÿš‘¢š‘ ā‡’ āˆƒ š‘Žāˆ’1 āˆˆ šŗ š‘Žš‘ = š‘Žš‘ š‘Žāˆ’1 (š‘Žš‘) = š‘Žāˆ’1 (š‘Žš‘) [Kedua ruas dikalikan š‘Žāˆ’1 ] (š‘Žāˆ’1 š‘Ž)š‘ = (š‘Žāˆ’1 š‘Ž)š‘ [hukum assosiatif] š‘’š‘ = š‘’š‘ [ (š‘Žāˆ’1 )š‘Ž = š‘’] š‘ = š‘ [e=identitas]
  • 5. 5 Akan ditunjukkan bagian (ii) pandang š‘š‘Ž = š‘š‘Ž š‘Ž āˆˆ šŗ Ė„ šŗ š‘”š‘Ÿš‘¢š‘ ā‡’ āˆƒ š‘Žāˆ’1 āˆˆ šŗ š‘š‘Ž = š‘š‘Ž (š‘š‘Ž)š‘Žāˆ’1 = (š‘š‘Ž)š‘Žāˆ’1 [Kedua ruas dikalikan š‘Žāˆ’1 ] š‘(š‘Žš‘Žāˆ’1 ) = š‘(š‘Žš‘Žāˆ’1 ) [hukum assosiatif] š‘š‘’ = š‘š‘’ [ (š‘Žāˆ’1 )š‘Ž = š‘’] š‘ = š‘ [e=identitas] āˆ“ karena i dan ii terbukti Jadi, G memenuhi hukum pencoretan. āˆŽ 5. Jika G adalah grup dan āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ, ā‡’ (š‘Ž. š‘)āˆ’1 = š‘āˆ’1 š‘Žāˆ’1 . Bukti: Misalkan G adalah grup Ambil sebarang š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ Karena G grup ā‡’ āˆƒ š‘’ āˆˆ šŗ [e=identitas] Akan dibuktikan (š‘Ž. š‘)āˆ’1 = š‘āˆ’1 . š‘Žāˆ’1 Hal ini ekuivalen jika ditunjukkan š‘Žš‘ (š‘āˆ’1 š‘Žāˆ’1 ) = (š‘āˆ’1 š‘Žāˆ’1 ) š‘Žš‘ = š‘’ pandang š‘Žš‘ (š‘āˆ’1 š‘Žāˆ’1 ) = š‘’ š‘Žš‘ (š‘āˆ’1 š‘Žāˆ’1 ) = [ š‘Žš‘ (š‘āˆ’1 )] š‘Žāˆ’1 [assosiatif] = [š‘Ž(š‘š‘āˆ’1 )] š‘Žāˆ’1 [assosiatif] = (ae) š‘Žāˆ’1 [š‘š‘āˆ’1 = š‘’] = š‘Žš‘Žāˆ’1 [š‘Žš‘’ = š‘Ž] = š‘’ [š‘Žš‘Žāˆ’1 = š‘’]
  • 6. 6 pandang (š‘āˆ’1 š‘Žāˆ’1 ) š‘Žš‘ = š‘’ š‘Žš‘ (š‘āˆ’1 š‘Žāˆ’1 ) = [(š‘āˆ’1 š‘Žāˆ’1 )š‘Ž]š‘ [assosiatif] = [š‘āˆ’1 (š‘Žāˆ’1 š‘Ž)]š‘ [assosiatif] = (š‘āˆ’1 š‘’)š‘ [š‘Žš‘Žāˆ’1 = š‘’] = š‘š‘āˆ’1 [š‘āˆ’1 š‘’ = š‘āˆ’1 ] = š‘’ [š‘š‘āˆ’1 = š‘’] āˆ“ Jadi, terbukti bahwa š‘Žš‘ (š‘āˆ’1 š‘Žāˆ’1 ) = (š‘āˆ’1 š‘Žāˆ’1 ) š‘Žš‘ = š‘’, ini berarti bahwa (š‘Ž. š‘)āˆ’1 = š‘āˆ’1 . š‘Žāˆ’1 . āˆŽ 6. G = himpunan bilangan bulat, š‘Ž āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ’ š‘ āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ, Periksa apakah G membentuk grup? Bukti: (i) Tidak Kosong G ā‰  āˆ… sebab āˆƒ 2 āˆˆ G ā€¦ (terpenuhi) (ii) Sifat tertutup āˆ€ š‘Ž, š‘, āˆˆ šŗ berlaku š‘Ž āˆ— š‘ āˆˆ šŗ Ambil sebarang š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ maka berlaku š‘Ž āˆ’ š‘ āˆˆ šŗ ā€¦ (terpenuhi) (iii) Sifat Assosiatif āˆ€š‘Ž, š‘, š‘ āˆˆ šŗ berlaku š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ Ambil sebarang š‘Ž, š‘, š‘ āˆˆ šŗ Perhatikan bahwa: š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ’ š‘ āˆ’ š‘ = š‘Ž āˆ’ š‘ āˆ’ š‘ ā€¦ (i) š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ’ š‘ āˆ’ š‘ = š‘Ž āˆ’ (š‘ + š‘) ā€¦ (ii) Dari (i) dan (ii) diperoleh š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ ā‰  š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ Akibatnya G tidak memenuhi sifat assosiatif āˆ“ jadi, G = himpunan bilangan bulat, š‘Ž āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ’ š‘ āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ bukan Grup. āˆŽ
  • 7. 7 7. G=himpunan bilangan bulat, š‘Ž āˆ— š‘ = š‘Ž + š‘ + š‘Žš‘, āˆ€ š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ Periksa apakah G membentuk grup? Bukti: (i) Tidak Kosong G ā‰  āˆ… sebab āˆƒ 2 āˆˆ G ā€¦ (terpenuhi) (ii) Sifat tertutup āˆ€ š‘Ž, š‘, āˆˆ šŗ berlaku š‘Ž āˆ— š‘ āˆˆ šŗ Ambil sebarang š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ maka berlaku (š‘Ž + š‘ + š‘Žš‘ ) āˆˆ šŗ ā€¦ (terpenuhi) (iii) Sfat Assosiatif, āˆ€š‘Ž, š‘, š‘ āˆˆ šŗ berlaku š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ Ambil sebarang š‘Ž, š‘, š‘ āˆˆ šŗ Perhatikan bahwa: š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ— š‘ + š‘ + š‘š‘ = š‘Ž + š‘ + š‘ + š‘š‘ + š‘Ž(š‘ + š‘ + š‘š‘) = š‘Ž + š‘ + š‘ + š‘š‘ + š‘Žš‘ + š‘Žš‘ + š‘Žš‘š‘ = š‘Ž + š‘ + š‘Žš‘ + š‘ + š‘Žš‘ + š‘š‘ + š‘Žš‘š‘ = š‘Ž + š‘ + š‘Žš‘ + š‘ + š‘Ž + š‘ + š‘Žš‘ š‘ = š‘Ž + š‘ + š‘Žš‘ āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ ā€¦ (terpenuhi) (iv) Unsur Identitas āˆ€š‘Ž āˆˆ šŗ āˆƒš‘’ āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘’ āˆ— š‘Ž = š‘Ž āˆ— š‘’ = š‘Ž Perhatikan bahwa: š‘Ž āˆ— š‘ = š‘ āˆ— š‘Ž = š‘ š‘Ž + š‘ + š‘Žš‘ = š‘ + š‘Ž + š‘š‘Ž = š‘ š‘Ž 1 + š‘ = š‘Ž 1 + š‘ = š‘ āˆ’ š‘ š‘Ž 1 + š‘ = š‘Ž 1 + š‘ = 0 š‘Ž = 0 Sehingga š‘’ = 0 āˆˆ šŗ [e=identitas] ā€¦ (terpenuhi)
  • 8. 8 (v) Unsur Invers āˆ€š‘Ž āˆˆ šŗ āˆƒš‘Žāˆ’1 āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘Žāˆ’1 āˆ— š‘Ž = š‘Ž āˆ— š‘Žāˆ’1 = š‘’ perhatikan bahwa: š‘Ž āˆ— š‘ = š‘ āˆ— š‘Ž = 0 š‘Ž + š‘ + š‘Žš‘ = š‘ + š‘Ž + š‘š‘Ž = 0 š‘Ž 1 + š‘ = š‘Ž 1 + š‘ = āˆ’š‘ š‘Ž = āˆ’ š‘ 1+š‘ āˆ‰ G ā€¦ (tidak memiliki unsur invers) āˆ“ jadi, G=himpunan bilangan bulat, š‘Ž āˆ— š‘ = š‘Ž + š‘ + š‘Žš‘, āˆ€ š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ bukan Grup. āˆŽ 8. G = himpunan bilangan bulat tak negatif, š‘Ž āˆ— š‘ = š‘Ž + š‘ āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ Periksa apakah G membentuk grup? Bukti: (i) Tidak Kosong G ā‰  āˆ… sebab āˆƒ 2 āˆˆ G ā€¦ (terpenuhi) (ii) Sifat tertutup āˆ€ š‘Ž, š‘, āˆˆ šŗ berlaku š‘Ž āˆ— š‘ āˆˆ šŗ Ambil sebarang š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ maka berlaku š‘Ž + š‘ āˆˆ šŗ ā€¦ (terpenuhi) (iii) Sfat Assosiatif, āˆ€š‘Ž, š‘, š‘ āˆˆ šŗ berlaku š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ Ambil sebarang š‘Ž, š‘, š‘ āˆˆ šŗ Perhatikan bahwa: š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ— š‘ + š‘ = š‘Ž + š‘ + š‘ = š‘Ž + š‘ + š‘ = š‘Ž + š‘ āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ ā€¦ (terpenuhi)
  • 9. 9 (iv) Unsur Identitas āˆ€š‘Ž āˆˆ šŗ āˆƒš‘’ āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘’ āˆ— š‘Ž = š‘Ž āˆ— š‘’ = š‘Ž Perhatikan bahwa: š‘Ž āˆ— š‘ = š‘ āˆ— š‘Ž = š‘ š‘Ž + š‘ = š‘ + š‘Ž = š‘ š‘Ž = 0 Sehingga š‘’ = 0 āˆˆ šŗ [e=identitas] ā€¦ (terpenuhi) (v) Unsur Invers āˆ€š‘Ž āˆˆ šŗ āˆƒš‘Žāˆ’1 āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘Žāˆ’1 āˆ— š‘Ž = š‘Ž āˆ— š‘Žāˆ’1 = š‘’ perhatikan bahwa: š‘Ž āˆ— š‘ = š‘ āˆ— š‘Ž = 0 š‘Ž + š‘ = š‘ + š‘Ž = 0 š‘Ž = āˆ’š‘ āˆ‰ G ā€¦ (tidak memiliki unsur invers) āˆ“ jadi, G = himpunan bilangan bulat tak negatif, š‘Ž āˆ— š‘ = š‘Ž + š‘ āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ bukan Grup. āˆŽ 9. G=himpunan bilangan rasional ā‰  1, š‘Ž āˆ— š‘ = š‘Ž + š‘ + š‘Žš‘ āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ Periksa apakah G membentuk grup? (Soal Quis I) Bukti: (i) Tidak Kosong G ā‰  āˆ… sebab āˆƒ 2 āˆˆ G ā€¦ (terpenuhi) (ii) Sifat tertutup āˆ€ š‘Ž, š‘, āˆˆ šŗ berlaku š‘Ž āˆ— š‘ āˆˆ šŗ Ambil sebarang 2 āˆˆ šŗ maka Perhatikan bahwa: 2+b+2b=1 b(1+2)=-1 b= āˆ’ 1 3
  • 10. 10 perhatikan kembali jika a=2 dan b=āˆ’ 1 3 maka diperoleh a+b+ab=2āˆ’ 1 3 +(2)(āˆ’ 1 3 ) =2āˆ’ 1 3 āˆ’ 2 3 =2-( 1 3 + 2 3 ) =2 - ( 3 3 ) =2-1 =1āˆ‰ G ā€¦ (tidak memenuhi sifat tertutup) āˆ“ jadi, G=himpunan bilangan rasional ā‰  1, š‘Ž āˆ— š‘ = š‘Ž + š‘ + š‘Žš‘ āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ bukan Grup. āˆŽ 10. Jika (G,*) grup komutatif, buktikan š‘Ž āˆ— š‘ š‘› = š‘Ž š‘› š‘ š‘› , āˆ€š‘› āˆˆ š‘, (Z himpunan bilangan bulat). Bukti Misalkan (G,*) grup komutatif Akan dibuktikan š‘Žš‘ š‘› = š‘Ž š‘› š‘ š‘› , āˆ€š‘› āˆˆ š‘+ , ditinjau dalam tiga kasus yakni: (1) Kasus I: n>0 (2) Kasus II: n=0 (3) Kasus III: n<0 Perhatikan bahwa: (1) Kasus I: n>0 akan dibuktikan menggunakan induksi matematika (i) Untuk n = 1, maka š‘Žš‘ 1 = š‘Ž1 š‘1 = š‘Žš‘ (pernyataan benar) (ii) Asumsikan bahwa š‘Žš‘ š‘˜ = š‘Ž š‘˜ š‘ š‘˜ (hipotesis induksi) Akan ditunjukkan š‘Žš‘ š‘˜+1 (juga benar) š‘Žš‘ š‘˜+1 = š‘Žš‘ š‘˜ . š‘Žš‘ = š‘Ž š‘˜ š‘ š‘˜ . š‘Žš‘
  • 11. 11 = š‘Ž š‘˜ . š‘Ž. š‘ š‘˜ š‘ [sifat komutatif] = š‘Ž(š‘˜+1) . š‘(š‘˜+1) [benar] Karena (i) dan (ii) dipenuhi maka dapat disimpulkan š‘Žš‘ š‘› = š‘Ž š‘› š‘ š‘› , berlaku āˆ€š‘› āˆˆ š‘+ (2) Kasus II: n=0 š‘Žš‘ 0 = š‘’ = š‘’0 . š‘’0 = š‘Ž0 š‘0 (3) Kasus III: n<0 Jika š‘› āˆˆ š™, maka š‘Žš‘ š‘› ļƒž š‘Žš‘ āˆ’1 āˆ’š‘› ļƒž (š‘āˆ’1 . š‘Žāˆ’1 )āˆ’š‘› [ š‘Žš‘ āˆ’1 =š‘āˆ’1 . š‘Žāˆ’1 ] ļƒž š‘āˆ’1 āˆ’š‘› (š‘Žāˆ’1 )āˆ’š‘› ļƒž (š‘Žāˆ’1 )āˆ’š‘› š‘āˆ’1 āˆ’š‘› [komutatif] ļƒž š‘Ž š‘› š‘ š‘› Sehingga š‘Žš‘ š‘› = š‘Ž š‘› š‘ š‘› , terbukti āˆ€ š‘Ž, š‘ āˆˆ š‘ āˆ“ jadi, Jika (G,*) grup komutatif, maka š‘Ž āˆ— š‘ š‘› = š‘Ž š‘› š‘ š‘› , āˆ€š‘› āˆˆ š‘. āˆŽ 11. Jika G grup dengan unsur identitas e, dan a2 = e, āˆ€š‘Ž āˆˆ šŗ, buktikan G komutatif! (Soal Quis I) Bukti: Misalkan (G,*) dan grup berlaku a2 = e Akan dibuktikan a*b = b*a = e Karena a2 = e ļƒž a * a = e ļƒž a a a-1= ea-1 [kalikan kedua ruas dengan a-1] ļƒž a (a a-1)= ea-1 [assosiatif] ļƒž a e= a-1 [a a-1=e dan ea-1= a-1] ļƒž a= a-1 [ae=a] Karena diperoleh a= a-1 akibatnya: (a*b)(a*b) = e ļƒž (a*b) = (a*b)-1
  • 12. 12 Berdasarkan teorema yang menyatakan jika G grup dan a,b āˆˆ G, berlaku (š‘Žš‘)āˆ’1 = š‘āˆ’1 . š‘Žāˆ’1 Sehingga: š‘Ž āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ— š‘ āˆ’1 š‘Ž āˆ— š‘ = š‘āˆ’1 . š‘Žāˆ’1 Karena š‘ āˆ— š‘Ž = š‘āˆ’1 āˆ— š‘Žāˆ’1 , maka š‘Ž āˆ— š‘ = š‘ āˆ— š‘Ž āˆ“ jadi, jika G grup dan a2 = e. āˆ€ š‘Ž āˆˆ šŗ, maka G komutatif. āˆŽ 12. Misalkan š“ š›¼ = cos š›¼ āˆ’sin š›¼ sin š›¼ cos š›¼ ; š›¼ āˆˆ ā„ Buktikan š“ š›¼ dengan operasi perkalian matriks membentuk grup. Apakah komutatif? (Soal Quis I) Bukti: Akan dibuktikan (š“ š›¼ ,Ɨ) merupakan grup (i) Tidak Kosong š“ š›¼ ā‰  āˆ… sebab āˆƒ š“30Ā° = cos 30Ā° āˆ’sin 30Ā° sin 30Ā° cos 30Ā° ; 30 āˆˆ ā„ (ii) Sifat tertutup āˆ€ š“ š›½ , š“ š›¾ āˆˆ š“ š›¼ berlaku š“ š›½ š‘„ š“ š›¾ āˆˆ š“ š›¼ Ambil sebarang š“ š›½, š“ š›¾ āˆˆ š“ š›¼ Perhatikan bahwa š“ š›½ š‘„ š“ š›¾ = cos š›½ āˆ’ sin š›½ sin š›½ cos š›½ Ɨ cos š›¾ āˆ’ sin š›¾ sin š›¾ cos š›¾ = cos š›½ cos š›¾ āˆ’ sin š›½ sin š›¾ āˆ’ cos š›½ sin š›¾ + sin š›½ cos š›¾ sin š›½ cos š›¾ + cos š›½ sin š›¾ āˆ’ sin š›½ sin š›¾ + cos š›½ cos š›¾ = cos(š›½ + š›¾) āˆ’ sin(š›½ + š›¾) sin(š›½ + š›¾) cos(š›½ + š›¾) = cos šœ‡ āˆ’ sin šœ‡ sin šœ‡ cos šœ‡ āˆˆ š“ šœ‡ ā€¦ (terpenuhi) Catatan: (šœ‡ = š›½ + š›¾, šœ‡ āˆˆ ā„)
  • 13. 13 (iii) Sifat asosiatif āˆ€š“ š›½ , š“ š›¾ , š“ šœ‡ āˆˆ š“ š›¼ berlaku š“ š›½ āˆ— š“ š›¾ āˆ— š“ šœ‡ = (š“ š›½ āˆ— š“ š›¾ ) āˆ— š“ šœ‡ Jelas terpenuhi, sebab matriks 2x2 memenuhi sifat assosiatif. (iv) Unsur Identitas āˆ€š“ š›½ āˆˆ š“ š›¼ āˆƒš‘’ āˆˆ š“ š›¼ āˆ‹ š‘’ āˆ— š“ š›½ = š“ š›½ āˆ— š‘’ = š“ š›½ Unsur identitas pada matriks yaitu š‘’ = 1 0 0 1 ā‡’ š‘’ = cos 0 āˆ’ sin 0 sin 0 cos 0 Akan dibuktikan: š“ š›½ āˆ— š‘’ = š‘’ āˆ— š“ š›½ = š“ š›½ Perhatikan bahwa: cos š›½ āˆ’ sin š›½ sin š›½ cos š›½ cos 0 āˆ’ sin 0 sin 0 cos 0 = cos 0 āˆ’ sin 0 sin 0 cos 0 cos š›½ āˆ’ sin š›½ sin š›½ cos š›½ = cos š›¼ āˆ’ sin š›¼ sin š›¼ cos š›¼ cos(š›½ + 0) āˆ’ sin(š›½ + 0) sin(š›½ + 0) cos(š›½ + 0) = cos(š›½ + 0) āˆ’ sin(š›½ + 0) sin(š›½ + 0) cos(š›½ + 0) = cos š›½ āˆ’ sin š›½ sin š›½ cos š›½ ā€¦ (terpenuhi) (v) unsur invers āˆ€š“ š›½ āˆˆ š“ š›¼ āˆƒš“ š›½ āˆ’1 āˆˆ š“ š›¼ āˆ‹ š“ š›½ Ɨ š“ š›½ āˆ’1 = š“ š›½ āˆ’1 Ɨ š“ š›½ = š‘’ š“ š›½ āˆ’1 = 1 detā”(š“ š›½ ) š‘Žš‘‘š‘— š“ š›½ detā”(š“ š›½ ) = cos š›½ cos š›½ āˆ’ āˆ’ sin š›½ sin š›½ = cos2 š›½ + sin2 š›½ = 1 š“ š›½ āˆ’1 = 1 1 cos š›½ āˆ’ sin š›½ sin š›½ cos š›½ = cos š›½ sin š›½ āˆ’ sin š›½ cos š›½ āˆˆ š“ š›½ Akan dibuktikan š“ š›½ Ɨ š“ š›½ āˆ’1 = š“ š›½ āˆ’1 Ɨ š“ š›½ = š‘’
  • 14. 14 Perhatikan bahwa: cos š›¼ āˆ’ sin š›¼ sin š›¼ cos š›¼ Ɨ cos š›¼ sin š›¼ āˆ’sin š›¼ cos š›¼ = cos š›¼ āˆ’ sin š›¼ sin š›¼ cos š›¼ Ɨ cos š›¼ āˆ’ sin š›¼ sin š›¼ cos š›¼ = cos 0 āˆ’ sin 0 sin 0 cos 0 ā‡’ cos2 š›¼ + sin2 š›¼ āˆ’ sin š›¼ cos š›¼ + sin š›¼ cos š›¼ sin š›¼ cos š›¼ āˆ’ sin š›¼ cos š›¼ cos2 š›¼ + sin2 š›¼ = cos2 š›¼ + sin2 š›¼ āˆ’ sin š›¼ cos š›¼ + sin š›¼ cos š›¼ sin š›¼ cos š›¼ āˆ’ sin š›¼ cos š›¼ cos2 š›¼ + sin2 š›¼ = cos 0 āˆ’ sin 0 sin 0 cos 0 ā‡’ 1 0 0 1 = 1 0 0 1 = cos 0 āˆ’ sin 0 sin 0 cos 0 ā€¦ (terpenuhi) āˆ“ jadi, š“ š›¼ merupakan grup. Akan dibuktikan š“ š›¼ merupakan grup komutatif āˆ€š“ š›½ , š“ š›¾ āˆˆ š“ š›¼ , berlaku š“ š›½ š‘„ š“ š›¾ = š“ š›¾ š‘„ š“ š›½ āˆˆ š“ š›¼ Perhatikan bahwa: š“ š›½ š‘„ š“ š›¾ = š“ š›¾ š‘„ š“ š›½ cos š›½ āˆ’ sin š›½ sin š›½ cos š›½ Ɨ cos š›¾ āˆ’ sin š›¾ sin š›¾ cos š›¾ = cos š›¾ āˆ’ sin š›¾ sin š›¾ cos š›¾ Ɨ cos š›½ āˆ’ sin š›½ sin š›½ cos š›½ ā‡’ cos š›½ cos š›¾ āˆ’ sin š›½ sin š›¾ āˆ’ cos š›½ sin š›¾ āˆ’ sin š›½ cos š›¾) sin š›½ cos š›¾ + cos š›½ sin š›¾ āˆ’ sin š›½ sin š›¾ + cos š›½ cos š›¾ = cos š›¾ cos š›½ āˆ’ sin š›¾ sin š›½ āˆ’ sin š›¾ cos š›½ āˆ’ sin š›¾ cos š›½ sin š›¾ cos š›½ āˆ’ cos š›¾ sin š›½ āˆ’ sin š›¾ sin š›½ + cos š›¾ cos š›½ ā‡’ cos(š›½ + š›¾) āˆ’ sin(š›½ + š›¾) sin(š›½ + š›¾) cos(š›½ + š›¾) = cos(š›¾ + š›½) āˆ’ sin(š›¾ + š›½) sin(š›¾ + š›½) cos(š›¾ + š›½) ā‡’ cos(š›½ + š›¾) āˆ’ sin(š›½ + š›¾) sin(š›½ + š›¾) cos(š›½ + š›¾) = cos(š›½ + š›¾) āˆ’ sin(š›½ + š›¾) sin(š›½ + š›¾) cos(š›½ + š›¾) [Sifat komutatif penjumlahan] ā‡’ cos šœ‡ āˆ’ sin šœ‡ sin šœ‡ cos šœ‡ = cos šœ‡ āˆ’ sin šœ‡ sin šœ‡ cos šœ‡ [šœ‡ = š›½ + š›¾, šœ‡ āˆˆ ā„] ā€¦ (terpenuhi) āˆ“ jadi, š“ š›¼ merupakan grup komutatif. āˆŽ
  • 15. 15 13. Misalkan šŗ = š‘Ž + š‘ 2; š›¼, š‘ āˆˆ š‘„} Buktikan G grup terhadap operasi penjumlahan, Apakah G komutatif? Bukti: Akan dibuktikan G membentuk grup (i) Tidak Kosong G ā‰  āˆ… sebab āˆƒ 2 + 4 2; 2,4 āˆˆ š‘„} āˆˆ G ā€¦ (terpenuhi) (ii) Sifat tertutup āˆ€ š‘„, š‘¦ āˆˆ šŗ berlaku š‘„ āˆ— š‘¦ āˆˆ šŗ Ambil sebarang š‘„, š‘¦ āˆˆ šŗ Pandang x= š‘Ž1 + š‘1 2; š‘Ž1, š‘1 āˆˆ š‘„} y= š‘Ž2 + š‘2 2; š‘Ž2, š‘2 āˆˆ š‘„} perhatikan bahwa x*y = (š‘Ž1 + š‘1 2) āˆ— (š‘Ž2 + š‘2 2) =(š‘Ž1 + š‘1 2) + (š‘Ž2 + š‘2 2) =(š‘Ž1 + š‘Ž2) + (š‘1 2 + š‘2 2) =(š‘Ž1 + š‘Ž2) + (š‘1 + š‘2) 2 Catatan: [š‘Ž1 āˆˆ š‘„ Ė„š‘Ž2 āˆˆ š‘„ ā‡’ (š‘Ž1 + š‘Ž2) āˆˆ š‘„ misalkan (š‘Ž1 + š‘Ž2) = š‘Ž3 āˆˆ š‘„ š‘1 āˆˆ š‘„ Ė„š‘2 āˆˆ š‘„ ā‡’ (š‘1 + š‘2) āˆˆ š‘„ misalkan (š‘1 + š‘2) = š‘3 āˆˆ š‘„] = š‘Ž3 + š‘3 2 [ š‘Ž3, š‘3 āˆˆ š‘„] = š‘Ž3 + š‘3 2 āˆˆ šŗ (iii) Sfat Assosiatif, āˆ€š‘„, š‘¦, š‘§ āˆˆ šŗ berlaku š‘„ āˆ— š‘¦ āˆ— š‘§ = š‘„ āˆ— š‘¦ āˆ— š‘§ Ambil sebarang š‘„, š‘¦, š‘§ āˆˆ šŗ Pandang x= š‘Ž1 + š‘1 2; š‘Ž1, š‘1 āˆˆ š‘„} y= š‘Ž2 + š‘2 2; š‘Ž2, š‘2 āˆˆ š‘„} z= š‘Ž3 + š‘3 2; š‘Ž3, š‘3 āˆˆ š‘„}
  • 16. 16 Perhatikan bahwa: š‘„ āˆ— š‘¦ āˆ— š‘§ = š‘Ž1 + š‘1 2 āˆ— { š‘Ž2 + š‘2 2 āˆ— (š‘Ž3 + š‘3 2)} = š‘Ž1 + š‘1 2 āˆ— { š‘Ž2 + š‘2 2 + (š‘Ž3 + š‘3 2)} = š‘Ž1 + š‘1 2 + { š‘Ž2 + š‘2 2 + (š‘Ž3 + š‘3 2)} = š‘Ž1 + š‘1 2 + { š‘Ž2 + š‘Ž3 + (š‘2 2 + š‘3 2)} = š‘Ž1 + š‘1 2 + { š‘Ž2 + š‘Ž3 + (š‘2 + š‘3) 2} = š‘Ž1 + š‘Ž2 + š‘Ž3 + {(š‘1 + š‘2) 2 + š‘3 2} = š‘Ž1 + š‘Ž2 + š‘1 + š‘2 2 + (š‘Ž3 + š‘3 2) = { š‘Ž1 + š‘1 2 āˆ— š‘Ž2 + š‘2 2 } + (š‘Ž3 + š‘3 2) = š‘Ž1 + š‘1 2 āˆ— š‘Ž2 + š‘2 2 āˆ— (š‘Ž3 + š‘3 2) = š‘„ āˆ— š‘¦ āˆ— š‘§ ā€¦ (terpenuhi) (iv) Unsur Identitas āˆ€š‘„ āˆˆ šŗ āˆƒš‘’ āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘’ āˆ— š‘„ = š‘„ āˆ— š‘’ = š‘„ Ambil sebarang š‘„, š‘¦ āˆˆ šŗ Pandang x= š‘Ž1 + š‘1 2; š‘Ž1, š‘1 āˆˆ š‘„} y= š‘Ž2 + š‘2 2; š‘Ž2, š‘2 āˆˆ š‘„} Perhatikan bahwa: š‘„ āˆ— š‘¦ = š‘¦ āˆ— š‘„ = š‘¦ (š‘Ž1 + š‘1 2) āˆ— š‘Ž2 + š‘2 2 = š‘Ž2 + š‘2 2 āˆ— (š‘Ž1 + š‘1 2) = š‘Ž2 + š‘2 2 (š‘Ž1 + š‘1 2) + š‘Ž2 + š‘2 2 = š‘Ž2 + š‘2 2 + (š‘Ž1 + š‘1 2) = š‘Ž2 + š‘2 2 ā‡’(š‘Ž1 + š‘1 2) = š‘Ž1 + š‘1 2 = š‘Ž2 + š‘2 2 āˆ’ š‘Ž2 + š‘2 2 ā‡’(š‘Ž1 + š‘1 2) = š‘Ž1 + š‘1 2 = š‘Ž2āˆ’š‘Ž2) + (š‘2 āˆ’ š‘2) 2 ā‡’ (š‘Ž1 + š‘1 2) = š‘Ž1 + š‘1 2 = 0 + 0 2 ā‡’ š‘„ = {0 + 0 2 ; 0 āˆˆ š‘„} āˆˆ šŗ Sehingga š‘’ = {0 + 0 2 ; 0 āˆˆ š‘„} āˆˆ šŗ [e=identitas] ā€¦ (terpenuhi)
  • 17. 17 (v) Unsur Invers āˆ€š‘„ āˆˆ šŗ āˆƒš‘„āˆ’1 āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘„āˆ’1 āˆ— š‘„ = š‘„ āˆ— š‘„āˆ’1 = š‘’ Ambil sebarang š‘„ āˆˆ šŗ Pandang x= š‘Ž1 + š‘1 2; š‘Ž1, š‘1 āˆˆ š‘„} perhatikan bahwa: š‘„āˆ’1 āˆ— š‘„ = š‘„ āˆ— š‘„āˆ’1 = š‘’ ā‡’ š‘„āˆ’1 āˆ— (š‘Ž1 + š‘1 2) = š‘Ž1 + š‘1 2 āˆ— š‘„āˆ’1 = 0 + 0 2 ā‡’ š‘„āˆ’1 āˆ— (š‘Ž1 + š‘1 2) = š‘Ž1 + š‘1 2 āˆ— š‘„āˆ’1 = 0 ā‡’ š‘„āˆ’1 = 0 āˆ’ š‘Ž1 + š‘1 2 ā‡’ š‘„āˆ’1 = āˆ’ š‘Ž1 + š‘1 2 ā‡’ š‘„āˆ’1 = āˆ’š‘Ž1 āˆ’ š‘1 2 [āˆ’š‘Ž1, āˆ’š‘1 āˆˆ š‘„] ā‡’ š‘„āˆ’1 = {āˆ’š‘Ž1 āˆ’ š‘1 2} āˆˆ šŗ ā€¦ terpenuhi āˆ“ jadi, šŗ = š‘Ž + š‘ 2; š›¼, š‘ āˆˆ š‘„} merupakan Grup. Akan dibuktikan šŗ = š‘Ž + š‘ 2; š›¼, š‘ āˆˆ š‘„} merupakan grup komutatif āˆ€ š‘„, š‘¦ āˆˆ šŗ berlaku š‘„ āˆ— š‘¦ = š‘¦ āˆ— š‘„ āˆˆ šŗ Ambil sebarang š‘„, š‘¦ āˆˆ šŗ Pandang x= š‘Ž1 + š‘1 2; š‘Ž1, š‘1 āˆˆ š‘„} y= š‘Ž2 + š‘2 2; š‘Ž2, š‘2 āˆˆ š‘„} perhatikan bahwa x*y = (š‘Ž1 + š‘1 2) āˆ— (š‘Ž2 + š‘2 2) =(š‘Ž1 + š‘1 2) + (š‘Ž2 + š‘2 2) =(š‘Ž1 + š‘Ž2) + (š‘1 2 + š‘2 2) =(š‘Ž2 + š‘Ž1) + (š‘2 + š‘1) 2 =(š‘Ž2 + š‘Ž1) + (š‘2 2 + š‘1 2) = š‘Ž2 + š‘2 2 +(š‘Ž1 + š‘1 2) =š‘¦ āˆ— š‘„ ā€¦ (terbukti) āˆ“ jadi, šŗ merupakan grup komutatif. āˆŽ
  • 18. 18 14. Misalkan š‘€ = š‘Ž š‘ š‘ š‘‘ : š‘Žš‘‘ āˆ’ š‘š‘ ā‰  0; š‘Ž, š‘, š‘, š‘‘ āˆˆ ā„ Buktikan M dengan perkalian matriks membentuk grup, Apakah M komutatif? Bukti: (i) Tidak Kosong G ā‰  āˆ… sebab āˆƒ 1 0 0 1 : 1 ā‰  0; 0, 1 āˆˆ ā„ āˆˆ M ā€¦ (terpenuhi) (ii) Sifat tertutup āˆ€ š‘‹, š‘Œ āˆˆ šŗ berlaku š‘‹ āˆ— š‘Œ āˆˆ šŗ Ambil sebarang š‘‹, š‘Œ āˆˆ šŗ Pandang š‘‹ = š‘Ž1 š‘1 š‘1 š‘‘1 : š‘Ž1 š‘‘1 āˆ’ š‘1 š‘1 ā‰  0; š‘Ž1, š‘1, š‘1, š‘‘1 āˆˆ ā„ š‘Œ = š‘Ž2 š‘2 š‘2 š‘‘2 : š‘Ž2 š‘‘2 āˆ’ š‘2 š‘2 ā‰  0; š‘Ž2, š‘2, š‘2, š‘‘2 āˆˆ ā„ perhatikan bahwa X*Y= š‘Ž1 š‘1 š‘1 š‘‘1 āˆ— š‘Ž2 š‘2 š‘2 š‘‘2 = š‘Ž1 š‘1 š‘1 š‘‘1 š‘Ž2 š‘2 š‘2 š‘‘2 digunakan teorema ššžš­ š‘Øš‘© = ššžš­ š‘Ø ššžš­ā”(š‘©) diketahui detā”(š‘‹) ā‰  0 dan detā”(š‘Œ) ā‰  0 maka det š‘‹š‘Œ = detā”(š‘‹)detā”(š‘Œ) ā‰  0 ā€¦ (terpenuhi) (iii) Sfat Assosiatif, āˆ€š‘‹, š‘Œ, š‘ āˆˆ šŗ berlaku š‘‹ āˆ— š‘Œ āˆ— š‘ = š‘‹ āˆ— š‘Œ āˆ— š‘ Jelas terpenuhi sebab matriks 2x2 bersifat assosiatif (iv) Unsur Identitas āˆ€š‘‹ āˆˆ šŗ āˆƒš‘’ āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘’ āˆ— š‘‹ = š‘‹ āˆ— š‘’ = š‘‹ Ambil sebarang š‘‹ āˆˆ šŗ Pandang š‘‹ = š‘Ž1 š‘1 š‘1 š‘‘1 : š‘Ž1 š‘‘1 āˆ’ š‘1 š‘1 ā‰  0; š‘Ž1, š‘1, š‘1, š‘‘1 āˆˆ ā„
  • 19. 19 Unsur identitas pada matriks yaitu š‘’ = 1 0 0 1 Akan ditunjukkan š‘’ āˆ— š‘‹ = š‘‹ āˆ— š‘’ = š‘‹ š‘Ž1 š‘1 š‘1 š‘‘1 1 0 0 1 = 1 0 0 1 š‘Ž1 š‘1 š‘1 š‘‘1 = š‘Ž1 š‘1 š‘1 š‘‘1 ā€¦ (terpenuhi) (v) Unsur Invers āˆ€š‘‹ āˆˆ šŗ āˆƒš‘‹āˆ’1 āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘‹āˆ’1 āˆ— š‘‹ = š‘‹ āˆ— š‘‹āˆ’1 = š‘’ Ambil sebarang š‘‹ āˆˆ šŗ Pandang š‘‹ = š‘Ž1 š‘1 š‘1 š‘‘1 : š‘Ž1 š‘‘1 āˆ’ š‘1 š‘1 ā‰  0; š‘Ž1, š‘1, š‘1, š‘‘1 āˆˆ ā„ š‘‹āˆ’1 = 1 detā”(š‘‹) š‘Žš‘‘š‘— š‘‹ š‘‹āˆ’1 = 1 š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1 š‘‘1 āˆ’š‘1 āˆ’š‘1 š‘Ž1 = š‘‘1 š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1 āˆ’š‘1 š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1 āˆ’š‘1 š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1 š‘Ž1 š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1 āˆˆ š‘‹ Catatan: det (š‘‹āˆ’1 ) = š‘‘1 š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1 š‘Ž1 š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1 āˆ’ āˆ’š‘1 š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1 āˆ’š‘1 š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1 = š‘Ž1 š‘‘1 āˆ’ š‘1 š‘1 š‘Ž1 š‘‘1 āˆ’ š‘1 š‘1 ā‰  0 Akan dibuktikan š‘‹āˆ’1 āˆ— š‘‹ = š‘‹ āˆ— š‘‹āˆ’1 = š‘’ Perhatikan bahwa: š‘‘1 š‘Ž1 š‘‘1 āˆ’ š‘1 š‘1 āˆ’š‘1 š‘Ž1 š‘‘1 āˆ’ š‘1 š‘1 āˆ’š‘1 š‘Ž1 š‘‘1 āˆ’ š‘1 š‘1 š‘Ž1 š‘Ž1 š‘‘1 āˆ’ š‘1 š‘1 š‘Ž1 š‘1 š‘1 š‘‘1 = š‘Ž1 š‘1 š‘1 š‘‘1 š‘‘1 š‘Ž1 š‘‘1 āˆ’ š‘1 š‘1 āˆ’š‘1 š‘Ž1 š‘‘1 āˆ’ š‘1 š‘1 āˆ’š‘1 š‘Ž1 š‘‘1 āˆ’ š‘1 š‘1 š‘Ž1 š‘Ž1 š‘‘1 āˆ’ š‘1 š‘1 = 1 0 0 1 š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1 š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1 š‘1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘‘1 š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1 š‘Ž1 š‘1āˆ’š‘Ž1 š‘1 š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1 š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1 š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1 = š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1 š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1 š‘Ž1 š‘1āˆ’š‘Ž1 š‘1 š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1 š‘1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘‘1 š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1 š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1 š‘Ž1 š‘‘1āˆ’š‘1 š‘1 = 1 0 0 1 ā€¦ (terpenuhi) āˆ“ jadi, š‘€ = š‘Ž š‘ š‘ š‘‘ : š‘Žš‘‘ āˆ’ š‘š‘ ā‰  0; š‘Ž, š‘, š‘, š‘‘ āˆˆ ā„ merupakan grup. Akan dibuktikan apakah M merupakan grup komutatif:
  • 20. 20 Contoh penyangkal: Ambil sebarang š‘‹, š‘Œ āˆˆ šŗ Pandang š‘‹ = 1 0 2 1 : 1 ā‰  0; 1,0,2 āˆˆ ā„ š‘Œ = 1 2 0 1 : 1 ā‰  0; 1,0,2 āˆˆ ā„ š‘‹š‘Œ = 1 0 2 1 1 2 0 1 = 1 2 2 5 ā€¦ (i) š‘Œš‘‹ = 1 2 0 1 1 0 2 1 = 5 2 2 1 ā€¦ (ii) Dari (i) dan (ii) diperoleh bahwa š‘‹š‘Œ ā‰  š‘Œš‘‹, āˆ“ jadi, š‘€ = š‘Ž š‘ š‘ š‘‘ : š‘Žš‘‘ āˆ’ š‘š‘ ā‰  0; š‘Ž, š‘, š‘, š‘‘ āˆˆ ā„ bukan grup komutatif. āˆŽ 15. Misalkan ā„¤ himpunan bilangan bulat dengan operasi * yang didefenisikan š‘Ž āˆ— š‘ = š‘Ž + š‘ + 1 āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ ā„¤ . apakah (G,*) membentuk grup? Bukti: (i) Tidak Kosong G ā‰  āˆ… sebab āˆƒ 2 āˆˆ G ā€¦ (terpenuhi) (ii) Sifat tertutup āˆ€ š‘Ž, š‘, āˆˆ šŗ berlaku š‘Ž āˆ— š‘ āˆˆ šŗ Ambil sebarang š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ maka berlaku (š‘Ž + š‘ + 1 ) āˆˆ šŗ ā€¦ (terpenuhi) (iii) Sfat Assosiatif, āˆ€š‘Ž, š‘, š‘ āˆˆ šŗ berlaku š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ Ambil sebarang š‘Ž, š‘, š‘ āˆˆ šŗ Perhatikan bahwa: š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ— š‘ + š‘ + 1 = š‘Ž + š‘ + š‘ + 1 + 1 = š‘Ž + š‘ + 1 + š‘ + 1 = š‘Ž + š‘ + 1 āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ ā€¦ (terpenuhi)
  • 21. 21 (iv) Unsur Identitas āˆ€š‘Ž āˆˆ šŗ āˆƒš‘’ āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘’ āˆ— š‘Ž = š‘Ž āˆ— š‘’ = š‘Ž Perhatikan bahwa: š‘Ž āˆ— š‘ = š‘ āˆ— š‘Ž = š‘ š‘Ž + š‘ + 1 = š‘ + š‘Ž + 1 = š‘ š‘Ž = š‘Ž = š‘ āˆ’ (š‘ + 1) š‘Ž = āˆ’1 āˆˆ šŗ Sehingga š‘’ = 1 āˆˆ šŗ [e=identitas] ā€¦ (terpenuhi) (v) Unsur Invers āˆ€š‘Ž āˆˆ šŗ āˆƒš‘Žāˆ’1 āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘Žāˆ’1 āˆ— š‘Ž = š‘Ž āˆ— š‘Žāˆ’1 = š‘’ perhatikan bahwa: š‘Ž āˆ— š‘ = š‘ āˆ— š‘Ž = āˆ’1 š‘Ž + š‘ + 1 = š‘ + š‘Ž + 1 = āˆ’1 š‘Ž = š‘Ž = āˆ’1 āˆ’ (š‘ + 1) š‘Ž = āˆ’2 + š‘ āˆˆ G ā€¦ (terpenuhi) āˆ“ jadi, š‘Ž āˆ— š‘ = š‘Ž + š‘ + 1 āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ ā„¤ merupakan grup. āˆŽ 16. Misalkan ā„š{1} dengan operasi * yang didefenisikan š‘Ž āˆ— š‘ = š‘Ž + š‘ āˆ’ š‘Žš‘ āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ ā„š{1}. Apakah ā„š{1},*) membentuk grup? Bukti: (i) Tidak Kosong ā„š{1} ā‰  āˆ… sebab āˆƒ 2 āˆˆ G ā€¦ (terpenuhi) (ii) Sifat tertutup āˆ€ š‘Ž, š‘, āˆˆ šŗ berlaku š‘Ž āˆ— š‘ āˆˆ ā„š{1} Ambil sebarang š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ maka berlaku š‘Ž + š‘ āˆ’ š‘Žš‘ āˆˆ ā„š{1} ā€¦ (terpenuhi) (iii) Sfat Assosiatif, āˆ€š‘Ž, š‘, š‘ āˆˆ ā„š{1} berlaku š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘
  • 22. 22 Ambil sebarang š‘Ž, š‘, š‘ āˆˆ ā„š{1} Perhatikan bahwa: š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ— š‘ + š‘ āˆ’ š‘š‘ = š‘Ž + š‘ + š‘ āˆ’ š‘š‘ āˆ’ š‘Ž š‘ + š‘ āˆ’ š‘š‘ = š‘Ž + š‘ + š‘ āˆ’ š‘š‘ āˆ’ š‘Žš‘ āˆ’ š‘Žš‘ + š‘Žš‘š‘ = š‘Ž + š‘ āˆ’ š‘Žš‘ + š‘ āˆ’ š‘Žš‘ āˆ’ š‘š‘ + š‘Žš‘š‘ = š‘Ž + š‘ āˆ’ š‘Žš‘ + š‘ āˆ’ š‘ š‘Ž + š‘ āˆ’ š‘Žš‘ = š‘Ž + š‘ āˆ’ š‘Žš‘ āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ ā€¦ (terpenuhi) (iv) Unsur Identitas āˆ€š‘Ž āˆˆ šŗ āˆƒš‘’ āˆˆ ā„š{1} āˆ‹ š‘’ āˆ— š‘Ž = š‘Ž āˆ— š‘’ = š‘Ž Perhatikan bahwa: š‘Ž āˆ— š‘ = š‘ āˆ— š‘Ž = š‘ ā‡’ š‘Ž + š‘ āˆ’ š‘Žš‘ = š‘ + š‘Ž āˆ’ š‘Žš‘ = š‘ ā‡’ š‘Ž āˆ’ š‘Žš‘ = š‘Ž āˆ’ š‘Žš‘ = š‘ āˆ’ š‘ ā‡’ š‘Ž(1 āˆ’ š‘) = š‘Ž(1 āˆ’ š‘) = 0 ā‡’ š‘Ž = š‘Ž = 0 ā‡’ š‘Ž = 0 āˆˆ ā„š{1} Sehingga š‘’ = 0 āˆˆ šŗ [e=identitas] ā€¦ (terpenuhi) (v) Unsur Invers āˆ€š‘Ž āˆˆ ā„š{1} āˆƒš‘Žāˆ’1 āˆˆ ā„š{1} āˆ‹ š‘Žāˆ’1 āˆ— š‘Ž = š‘Ž āˆ— š‘Žāˆ’1 = š‘’ perhatikan bahwa: š‘Ž āˆ— š‘ = š‘ āˆ— š‘Ž = 0 ā‡’ š‘Ž + š‘ āˆ’ š‘Žš‘ = š‘ + š‘Ž āˆ’ š‘š‘Ž = 0 ā‡’ š‘Ž āˆ’ š‘Žš‘ = š‘Ž āˆ’ š‘Žš‘ = āˆ’š‘ ā‡’ š‘Ž 1 āˆ’ š‘ = š‘Ž 1 āˆ’ š‘ = āˆ’š‘ ā‡’ š‘Ž = āˆ’š‘ 1āˆ’š‘ āˆˆ ā„š{1} ā€¦ (terpenuhi) āˆ“ jadi, š‘Ž āˆ— š‘ = š‘Ž + š‘ āˆ’ š‘Žš‘ āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ ā„š{1} merupakan grup. āˆŽ
  • 23. 23 17. Misalkan G grup dengan e unsur identitas di G dengan š‘¦āˆ’1 š‘„āˆ’1 š‘¦š‘„ = š‘’, buktikan G merupakan grup komutatif! (Soal UTS) Bukti: Misalkan G grup dan š‘’ āˆˆ šŗ, [e=identitas] Akan dibuktikan G komutatif dengan cara menunjukkan š‘„š‘¦ = š‘¦š‘„ Perhatikan bahwa: š‘¦āˆ’1 š‘„āˆ’1 š‘¦š‘„ = š‘’ ā‡’ š‘¦āˆ’1 š‘„āˆ’1 š‘¦š‘„ = š‘’ [e=identitas] ā‡’ (š‘¦āˆ’1 š‘„āˆ’1 )(š‘¦š‘„) = š‘’ [assosiatif] ā‡’ (š‘„š‘¦)āˆ’1 (š‘¦š‘„) = š‘’ [(š‘„š‘¦)āˆ’1 = š‘¦āˆ’1 š‘„āˆ’1 , sifat grup] ā‡’ (š‘„š‘¦)(š‘„š‘¦)āˆ’1 (š‘¦š‘„) = š‘„š‘¦ š‘’ [kalikan kedua ruas dengan š‘„š‘¦ ] ā‡’ { š‘„š‘¦ š‘„š‘¦ āˆ’1 }(š‘¦š‘„) = š‘„š‘¦ [assosiatif, š‘„š‘¦ š‘’ = š‘„š‘¦] ā‡’ š‘’(š‘¦š‘„) = š‘„š‘¦ [ š‘„š‘¦ š‘„š‘¦ āˆ’1 = š‘’] ā‡’ š‘¦š‘„ = š‘„š‘¦ [š‘’(š‘¦š‘„) = š‘¦š‘„] āˆ“ jadi, grup G dengan š‘¦āˆ’1 š‘„āˆ’1 š‘¦š‘„ = š‘’ [e=identitas] merupakan grup komutatif. āˆŽ 18. Misalkan M adalah himpunan matriks real 2x2 yang tak singular, didefenisikan operasi M adalah š“ āˆ— šµ = š“š½šµ, āˆ€š“, šµ āˆˆ š‘€, dengan š½ = 1 0 0 āˆ’1 , periksa apakah (M,*) membentuk grup? (Soal UTS) Bukti: (i) Tidak Kosong M ā‰  āˆ… sebab āˆƒ 1 0 0 1 : 0, 1 āˆˆ ā„ āˆˆ M ā€¦ (terpenuhi) (ii) Sifat tertutup āˆ€ š‘‹, š‘Œ āˆˆ š‘€ berlaku š‘‹ āˆ— š‘Œ āˆˆ š‘€ Ambil sebarang š‘‹, š‘Œ āˆˆ š‘€ Pandang š‘‹ = š‘Ž1 š‘1 š‘1 š‘‘1 : š‘Ž1 š‘‘1 āˆ’ š‘1 š‘1 āˆˆ ā„; š‘Ž1, š‘1, š‘1, š‘‘1 āˆˆ ā„
  • 24. 24 š‘Œ = š‘Ž2 š‘2 š‘2 š‘‘2 : š‘Ž2 š‘‘2 āˆ’ š‘2 š‘2 āˆˆ ā„; š‘Ž2, š‘2, š‘2, š‘‘2 āˆˆ ā„ perhatikan bahwa X*Y= š‘Ž1 š‘1 š‘1 š‘‘1 āˆ— š‘Ž2 š‘2 š‘2 š‘‘2 = š‘Ž1 š‘1 š‘1 š‘‘1 1 0 0 1 š‘Ž2 š‘2 š‘2 š‘‘2 digunakan teorema ššžš­ š‘Øš‘© = ššžš­ š‘Ø ššžš­ā”(š‘©) diketahui detā”(š‘‹) āˆˆ ā„, detā”(š‘Œ) āˆˆ ā„ serta det š½ = āˆ’1 āˆˆ ā„ maka det š‘‹š½š‘Œ = detā”(š‘‹) det š½ detā”(š‘Œ) āˆˆ ā„ ā€¦ (terpenuhi) (iii) Sfat Assosiatif, āˆ€š‘‹, š‘Œ, š‘ āˆˆ šŗ berlaku š‘‹ āˆ— š‘Œ āˆ— š‘ = š‘‹ āˆ— š‘Œ āˆ— š‘ Ambil sebarang š‘‹, š‘Œ, š‘ āˆˆ š‘€ Perhatikan bahwa: š‘‹ āˆ— š‘Œ āˆ— š‘ = š‘‹ āˆ— (š‘Œš½š‘) = š‘‹š½(š‘Œš½š‘) = (š‘‹š½š‘Œ)š½š‘ = (š‘‹ āˆ— š‘Œ)š½š‘ = š‘‹ āˆ— š‘Œ āˆ— š‘ ā€¦ (terpenuhi) (iv) Unsur Identitas āˆ€š‘‹ āˆˆ šŗ āˆƒšø āˆˆ šŗ āˆ‹ šø āˆ— š‘‹ = š‘‹ āˆ— šø = š‘‹ Ambil sebarang š‘‹, š‘Œ āˆˆ šŗ Perhatikan bahwa: š‘‹ āˆ— š‘Œ = š‘‹ ā‡’ š‘‹š½š‘Œ = š‘‹ ā‡’ (š‘‹š½)āˆ’1 š‘‹š½š‘Œ = (š‘‹š½)āˆ’1 š‘‹ [Kalikan (š‘‹š½)āˆ’1 pada kedua ruas] ā‡’ { š‘‹š½ āˆ’1 (š‘‹š½)}š‘Œ = (š‘‹š½)āˆ’1 š‘‹ [assosiatif] ā‡’ š‘Œ = š½āˆ’1 š‘‹āˆ’1 š‘‹ [ š‘‹š½ āˆ’1 š‘‹š½ = šø šø = š‘šš‘Žš‘”š‘Ÿš‘–š‘˜š‘  š‘–š‘‘š‘’š‘›š‘”š‘–š‘”š‘Žš‘  serta (š‘‹š½)āˆ’1 = š½āˆ’1 š‘‹āˆ’1 ] ā‡’ š‘Œ = š½āˆ’1 (š‘‹āˆ’1 š‘‹) [assosiatif]
  • 25. 25 ā‡’ š‘Œ = š½āˆ’1 E [š‘‹āˆ’1 š‘‹ = šø šø = š‘šš‘Žš‘”š‘Ÿš‘–š‘˜š‘  š‘–š‘‘š‘’š‘›š‘”š‘–š‘”š‘Žš‘  ] ā‡’ š‘Œ = š½āˆ’1 [š½āˆ’1 E=š½āˆ’1 ] ā‡’ š‘Œ = š½āˆ’1 = š½ Perhatikan š½āˆ’1 = š½: Dketahui: š½ = 1 0 0 āˆ’1 š½āˆ’1 = 1 detā”(š½) š‘Žš‘‘š‘—š½ = 1 āˆ’1 āˆ’1 0 0 1 = 1 0 0 āˆ’1 = š½ Sehingga unsur identitasnya adalah š½āˆ’1 = š½ ā€¦(terpenuhi) (v) Unsur Invers āˆ€š‘‹ āˆˆ šŗ āˆƒš‘‹āˆ’1 āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘‹āˆ’1 āˆ— š‘‹ = š‘‹ āˆ— š‘‹āˆ’1 = šø Ambil sebarang š‘‹, š‘Œ āˆˆ šŗ Perhatikan bahwa: š‘‹ āˆ— š‘Œ = š½ ā‡’ š‘‹š½š‘Œ = š½ ā‡’ (š‘‹š½)š‘Œ = š½ [Assosiatif] ā‡’ (š‘‹š½)āˆ’1 (š‘‹š½)š‘Œ = (š‘‹š½)āˆ’1 š½ [kalikan (š‘‹š½)āˆ’1 kedua ruas] ā‡’ { š‘‹š½ āˆ’1 (š‘‹š½)}š‘Œ = š½āˆ’1 š‘‹āˆ’1 š½ [Assosiatif, (š‘‹š½)āˆ’1 = š½āˆ’1 š‘‹āˆ’1 ] ā‡’ šøš‘Œ = š½āˆ’1 š‘‹āˆ’1 š½ [ š‘‹š½ āˆ’1 š‘‹š½ = šø] [šø = š‘šš‘Žš‘”š‘Ÿš‘–š‘˜š‘  š‘–š‘‘š‘’š‘›š‘”š‘–š‘”š‘Žš‘ ] ā‡’ š‘Œ = š½āˆ’1 š‘‹āˆ’1 š½ [šøš‘Œ = š‘Œ] ā€¦(terpenuhi) āˆ“ jadi, M dengan defenisi š“ āˆ— šµ = š“š½šµ, āˆ€š“, šµ āˆˆ š‘€, dengan š½ = 1 0 0 āˆ’1 merupakan grup. āˆŽ
  • 26. 26 19. Misalkan ā„š+ himpunan bilangan rasional positif dengan defenisi operasi š‘Ž āˆ— š‘ = š‘Žš‘ 2 , āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ ā„š+ , apakah (ā„š+ ,āˆ—) membentuk grup, jika tidak berikan contoh penyangkal! (Soal UTS) Bukti: (i) Tidak Kosong ā„š+ ā‰  āˆ… sebab āˆƒ 2 āˆˆ ā„š+ ā€¦ (terpenuhi) (ii) Sifat tertutup āˆ€ š‘Ž, š‘ āˆˆ ā„š+ berlaku š‘Ž āˆ— š‘ āˆˆ ā„š+ Ambil sebarang š‘Ž, š‘ āˆˆ ā„š+ maka berlaku š‘Žš‘ 2 āˆˆ ā„š+ ā€¦ (terpenuhi) (iii) Sfat Assosiatif, āˆ€š‘Ž, š‘, š‘ āˆˆ šŗ berlaku š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ Ambil sebarang š‘Ž, š‘, š‘ āˆˆ šŗ Perhatikan bahwa: š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ— š‘š‘ 2 = š‘Ž š‘š‘ 2 2 = š‘Žš‘š‘ 2 2 = š‘Žš‘ 2 š‘ 2 = š‘Žš‘ 2 āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ ā€¦ (terpenuhi) (iv) Unsur Identitas āˆ€š‘Ž āˆˆ šŗ āˆƒš‘’ āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘’ āˆ— š‘Ž = š‘Ž āˆ— š‘’ = š‘Ž Perhatikan bahwa: š‘Ž āˆ— š‘ = š‘ āˆ— š‘Ž = š‘
  • 27. 27 š‘Žš‘ 2 = š‘š‘Ž 2 = š‘ š‘Žš‘ = š‘Žš‘ = 2š‘ š‘Ž = 2š‘ š‘ š‘Ž = 2 Sehingga š‘’ = 2 āˆˆ ā„š+ [e=identitas] ā€¦ (terpenuhi) (v) Unsur Invers āˆ€š‘Ž āˆˆ šŗ āˆƒš‘Žāˆ’1 āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘Žāˆ’1 āˆ— š‘Ž = š‘Ž āˆ— š‘Žāˆ’1 = š‘’ perhatikan bahwa: š‘Ž āˆ— š‘ = š‘ āˆ— š‘Ž = 2 š‘Žš‘ 2 = š‘š‘Ž 2 = 2 š‘Žš‘ = š‘š‘Ž = 4 š‘Ž = š‘ 4 āˆˆ ā„š+ ā€¦ (terpenuhi) āˆ“ jadi, ā„š+ himpunan bilangan rasional positif dengan defenisi operasi š‘Ž āˆ— š‘ = š‘Žš‘ 2 , āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ ā„š+ adalah Grup. āˆŽ 20. Misalkan šŗ = ā„¤ š‘„ ā„¤ = {(š‘Ž, š‘) āˆ£ š‘Ž, š‘ āˆˆ ā„¤} didefenisikan operasi biner * pada G, yaitu āˆ€ š‘Ž, š‘ , (š‘, š‘‘) āˆˆ šŗ berlaku š‘Ž, š‘ āˆ— š‘, š‘‘ = (š‘Ž + š‘, š‘ + š‘‘), Apakah G merupakan grup terhadap operasi *? Bukti: (i) Tidak Kosong šŗ ā‰  āˆ… sebab āˆƒ {(1, 2) āˆ£ 1,2 āˆˆ ā„¤} āˆˆ šŗ ā€¦ (terpenuhi) (ii) Sifat tertutup āˆ€ š‘„, š‘¦ āˆˆ šŗ berlaku š‘„ āˆ— š‘¦ āˆˆ šŗ Ambil sebarang š‘Ž, š‘ , (š‘, š‘‘) āˆˆ šŗ maka berlaku (š‘Ž + š‘, š‘ + š‘‘) āˆˆ šŗ ā€¦ (terpenuhi)
  • 28. 28 (iii) Sfat Assosiatif, āˆ€š‘„, š‘¦, š‘§ āˆˆ šŗ berlaku š‘„ āˆ— š‘¦ āˆ— š‘§ = š‘„ āˆ— š‘¦ āˆ— š‘§ Ambil sebarang š‘„, š‘¦, š‘§ āˆˆ šŗ Pandang: š‘„ = š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ š‘¦ = š‘, š‘‘ āˆˆ šŗ š‘§ = š‘’, š‘“ āˆˆ šŗ Perhatikan bahwa: š‘„ āˆ— š‘¦ āˆ— š‘§ = š‘„ āˆ— { š‘, š‘‘ āˆ— š‘’, š‘“ } = š‘„ āˆ— (š‘ + š‘’, š‘‘ + š‘“) = (š‘Ž, š‘) āˆ— (š‘ + š‘’, š‘‘ + š‘“) = (š‘Ž + š‘ + š‘’, š‘ + š‘‘ + š‘“) = š‘Ž + š‘, š‘ + š‘‘ āˆ— (š‘’, š‘“) = š‘Ž + š‘, š‘ + š‘‘ āˆ— š‘§ = š‘Ž, š‘ āˆ— š‘, š‘‘ āˆ— š‘§ = š‘„ āˆ— š‘¦ āˆ— š‘§ ā€¦ (terpenuhi) (iv) Unsur Identitas āˆ€š‘„ āˆˆ šŗ āˆƒš‘’ āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘’ āˆ— š‘„ = š‘„ āˆ— š‘’ = š‘„ Ambil sebarang š‘„, š‘¦, šŗ Pandang: š‘„ = š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ š‘¦ = š‘, š‘‘ āˆˆ šŗ Perhatikan bahwa: š‘„ āˆ— š‘¦ = š‘¦ āˆ— š‘„ = š‘¦ š‘Ž, š‘ āˆ— š‘, š‘‘ = š‘, š‘‘ āˆ— š‘Ž, š‘ = (š‘, š‘‘) š‘Ž + š‘, š‘ + š‘‘ = š‘ + š‘Ž, š‘‘ + š‘ = (š‘ , š‘‘) š‘Ž, š‘ = š‘Ž, š‘ = (0,0) š‘„ = (0,0) Sehingga š‘’ = (0,0) āˆˆ šŗ [e=identitas] ā€¦ (terpenuhi)
  • 29. 29 (v) Unsur Invers āˆ€š‘„ āˆˆ šŗ āˆƒš‘„āˆ’1 āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘„āˆ’1 āˆ— š‘„ = š‘„ āˆ— š‘„āˆ’1 = š‘’ Ambil sebarang š‘„, š‘¦, šŗ Pandang: š‘„ = š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ š‘¦ = š‘, š‘‘ āˆˆ šŗ Perhatikan bahwa: š‘„ āˆ— š‘¦ = š‘¦ āˆ— š‘„ = š‘’ š‘Ž, š‘ āˆ— š‘, š‘‘ = š‘, š‘‘ āˆ— š‘Ž, š‘ = (0,0) š‘Ž + š‘, š‘ + š‘‘ = š‘ + š‘Ž, š‘‘ + š‘ = (0 ,0) š‘Ž, š‘ = š‘Ž, š‘ = (āˆ’š‘, āˆ’š‘‘) š‘„ = (āˆ’š‘, āˆ’š‘‘) āˆˆ šŗ ā€¦ (terpenuhi) āˆ“ jadi, šŗ adalah Grup. āˆŽ 21. Misalkan G = {-1, 1}. Tunjukan bahwa G adalah suatu grup abel terhadap perkalian biasa (G, Ɨ). Bukti: Daftar Cayley G = {-1, 1} terhadap (G, Ɨ) sebagai berikut: x 1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 (i) Tidak Kosong šŗ ā‰  āˆ… sebab āˆƒ 1 āˆˆ šŗ ā€¦ (terpenuhi) (ii) Sifat tertutup āˆ€ š‘„, š‘¦ āˆˆ šŗ berlaku š‘„ āˆ— š‘¦ āˆˆ šŗ Perhatikan tebel diatas G tertutup terhadap operasi perkalian biasa sebab: -1 Ɨ -1 = 1 āˆˆ G -1 Ɨ 1 = -1 āˆˆ G 1 Ɨ -1 = -1 āˆˆ G 1 Ɨ 1 = 1 āˆˆ G
  • 30. 30 (iii) Sfat Assosiatif, āˆ€š‘„, š‘¦, š‘§ āˆˆ šŗ berlaku š‘„ āˆ— š‘¦ āˆ— š‘§ = š‘„ āˆ— š‘¦ āˆ— š‘§ Ambil sebarang š‘„, š‘¦, š‘§ āˆˆ šŗ š‘„ āˆ— š‘¦ āˆ— š‘§ = š‘„ āˆ— (š‘¦ Ɨ š‘§) = š‘„ Ɨ š‘¦ Ɨ š‘§ = (š‘„ Ɨ š‘¦) Ɨ š‘§ = š‘„ Ɨ š‘¦ āˆ— š‘§ = š‘„ āˆ— š‘¦ āˆ— š‘§ ā€¦ (terpenuhi) (iv) Unsur Identitas āˆ€š‘„ āˆˆ šŗ āˆƒš‘’ āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘’ āˆ— š‘„ = š‘„ āˆ— š‘’ = š‘„ Ambil sebarang š‘„, š‘¦ āˆˆ šŗ Perhatikan bahwa: š‘„ āˆ— š‘¦ = š‘¦ āˆ— š‘„ = š‘„ š‘„ Ɨ š‘¦ = š‘¦ Ɨ š‘„ = š‘„ š‘¦ = š‘¦ = 1 Sehingga š‘’ = 1 āˆˆ šŗ [e=identitas] ā€¦ (terpenuhi) (v) Unsur Invers āˆ€š‘„ āˆˆ šŗ āˆƒš‘„āˆ’1 āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘„āˆ’1 āˆ— š‘„ = š‘„ āˆ— š‘„āˆ’1 = š‘’ Perhatikan kembali tebel diatas (1) adalah invers di G sebab: Ambil 1 āˆˆ šŗ Diketahui š‘’ = 1 maka 1 Ɨ 1 = 1 Perhatikan kembali tebel diatas (-1) adalah invers di G sebab: Ambil āˆ’1 āˆˆ šŗ Diketahui š‘’ = 1 maka āˆ’1 Ɨ (āˆ’1) = 1 ā§‰ Sehingga 1, āˆ’1 āˆˆ šŗ masing-masing invers di G ā€¦ (terpenuhi) āˆ“ jadi, G = {-1, 1} merupakan grup terhadap (G, Ɨ). āˆŽ ***
  • 31. 31 GRUP SIKLIK āˆ€š‘Ž āˆˆ šŗ, š‘œ š‘Ž ā‰  ~ āˆ€š‘Ž āˆˆ šŗ, š‘Ž ā‰  š‘’, š‘œ š‘Ž = ~ āˆƒ š‘ ā‰  š‘’, āˆ‹ š‘œ š‘ ā‰  ~ Tingkat & Orde Defenisi Pangkat: Misalkan G grup dan š‘Ž āˆˆ šŗ, didefenisikan š‘Ž1 = š‘Ž; š‘Ž š‘›+1 = an = a . ā–  Order dari anggota grup: misalkan šŗ grup, š‘Ž āˆˆ šŗ dan š‘’ unsur identitas di šŗ. jika š‘ƒ = {š‘› āˆˆ š‘; š‘Ž š‘› = š‘’} ā‰  āˆ…, maka tingkat (order) dari a adalah minimum {nāˆˆ š‘; an = š‘’}. ā–  Notasi š‘œ š‘Ž = š‘›; š‘œ š‘’ = 1. ā–  Catatan: 1. Order dari š‘Ž āˆˆ šŗ adalah bilangan bulat positif terkecil m sehingga š‘Ž š‘š = š‘’, e adalah identitas di G 2. Jika m bilangan bulat positif sehingga š‘Ž š‘š = š‘’ dinotasikan š‘œ š‘Ž = š‘š 3. Jika tidak terdapat m bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga š‘Ž š‘š = š‘’, maka š‘œ š‘š = 0 š‘Žš‘”š‘Žš‘¢ 0 š‘š = ~ 4. Untuk G grup sebarang dan e identitas di G, mempunyai order satu š‘œ š‘’ = 1. Suatu grup G disebut: ļ¶ Periodik (berkala) ļ¶ Aperiodik ļ¶ Campuran āˆƒ š‘Ž āˆˆ šŗ, š‘œ š‘Ž = ~ dan
  • 32. 32 1. Misalkan šŗ = {1, āˆ’1, š‘–, āˆ’š‘–} dengan š‘– menyatakan imaginer, tunjukkan bahwa (šŗ, š‘„) merupakan periodik, š‘–2 = āˆ’1. Bukti: šŗ = {1, āˆ’1, š‘–, āˆ’š‘–} dengan identitas š‘’ = 1 1 š‘› = 1 āŸ¹ 11 = 1 āŸ¹ š‘œ 1 = 1 (āˆ’1) š‘› = 1 āŸ¹ (āˆ’1)2 = 1 āŸ¹ š‘œ āˆ’1 = 2 š‘– š‘› = 1 āŸ¹ š‘–4 = 1 āŸ¹ š‘œ š‘– = 4 (āˆ’š‘–) š‘› = 1 āŸ¹ (āˆ’š‘–)4 = 1 āŸ¹ š‘œ āˆ’š‘– = 4 āˆ“ Jadi, š‘œ š‘Ž ā‰  ~ sehingga merupakan grup periodik . āˆŽ 2. (Q{0}, Ɨ) adalah grup dengan identitas 1, tunjukkan (Q{0}, Ɨ) merupakan grup campuran! Bukti: Diketahui unsur identitas dari (Q{0}, Ɨ) adalah š‘’ = 1 Grup Siklik Defenisi Siklik: Misalkan G adalah grup, dan ā„¤ = {x | x bilangan bulat}. G disebut grup siklik jika ada g āˆˆ G sedemikian sehingga G = {gn | n āˆˆ ā„¤}. Elemen g pada G disebut generator dari grup siklik tersebut. ā–  Defenisi Grup Siklik Terhadap Perkalian: Grup (G, .) disebut siklik, āˆƒ š‘Ž āˆˆ šŗ āˆ‹ G ={an | n āˆˆ ā„¤ }. Elemen a disebut generator dari grup siklik tersebut. ā–  Defenisi Grup Siklik Terhadap Penjumlahan: Grup (G, +) disebut siklik, āˆƒ š‘Ž āˆˆ šŗ āˆ‹ G ={na | n āˆˆ ā„¤ }. Elemen a disebut generator dari grup siklik tersebut. ā–  Dalam hal š‘Ž āˆˆ šŗ yang membentuk grup siklik G, a disebut generator/ monogenic dari G dan ditulis š‘Ž . ā– 
  • 33. 33 Untuk menunjukkan (Q{0}, Ɨ) merupakan grup campuran maka perlu ditunjukkan dua syarat dipenuhi yaitu sebagai berikut: a. āˆƒ š‘Ž āˆˆ šŗ, š‘œ š‘Ž = ~ dan Ambil 2 āˆˆ (Q{0}, Ɨ) āŸ¹ 2 š‘› = 1 āŸ¹ 20 = 1 āŸ¹ š‘œ 2 = ~ b. āˆƒ š‘ ā‰  š‘’, āˆ‹ š‘œ š‘ ā‰  ~ Ambil āˆ’1 āˆˆ (Q{0}, Ɨ) āŸ¹ (āˆ’1) š‘› = 1 āŸ¹ (āˆ’1)2 = 1 āŸ¹ š‘œ āˆ’1 = 2 āˆ“ Jadi, (Q{0}, Ɨ) merupakan grup campuran . āˆŽ 3. Misalkan Q+ adalah bilangan rasional positif tunjukkan grup (Q+,Ɨ) merupakan grup aperiodik. Bukti: Misalkan grup (Q+,Ɨ), unsur identitasnya adalah 1 āˆ€š‘š āˆˆ š+ dengan š‘š ā‰  1 ā‹® (2) š‘› = 1 āŸ¹ 20 = 1 āŸ¹ š‘œ 2 = ~ ā‹® (š‘š) š‘› = 1 āŸ¹ š‘š0 = 1 āŸ¹ š‘œ š‘š = ~ āˆ“ Jadi, (Q+,Ɨ) merupakan grup aperiodik . āˆŽ 4. Misalkan M(ā„) = š‘Ž š‘ š‘ š‘‘ , š‘Ž, š‘, š‘, š‘‘ āˆˆ ā„ , pandang M2 ā„ = {x; x āˆˆ M ā„ , x ā‰  0 membentuk grup dengan (M2 ā„ ,Ɨ). Tunjukkan (M2 ā„ ,Ɨ) adalah grup campuran! Bukti: Unsur identitas dari (M2 ā„ ,Ɨ) = 1 0 0 1 Ambil sebarang A2 ā„ āˆˆ M2 ā„ Pandang (A2 ā„ ,Ɨ) = āˆ’1 0 0 āˆ’1 Perhatikan bahwa:
  • 34. 34 (A2 ā„ ) š‘› = 1 0 0 1 āŸ¹ (A2 ā„ )2 = āˆ’1 0 0 āˆ’1 āˆ’1 0 0 āˆ’1 = 1 0 0 1 āŸ¹ š‘œ A2 ā„ = 2 Ambil sebarang B2 ā„ āˆˆ M2 ā„ Pandang (B2 ā„ ,Ɨ) = 2 0 0 2 Perhatikan bahwa: (B2 ā„ ) š‘› = 1 0 0 1 āŸ¹ āˆ„(B2 ā„ ) š‘› = 1 0 0 1 āŸ¹ š‘œ B2 ā„ = ~ āˆ“ Jadi, (M2 ā„ , Ɨ) merupakan grup campuran . āˆŽ 5. Misalkan G himpunan bilangan bulat modulo empat yaitu G = {0, 1, 2, 3}, pandang grup (G, +4), tunjukkan G merupakan grup siklik! Bukti: Misalkan (G, +4) adalah grup Akan ditunjukkan G membentuk grup siklik Perhatikan bahwa: a. 0 = {š‘› 0 ; š‘› āˆˆ ā„¤}, 0 āˆˆ šŗ 0 = {0} b. 1 = {š‘› 1 ; š‘› āˆˆ ā„¤}, 1 āˆˆ šŗ 1+41 = 0.4 + 2 = 2 atau 2 š‘šš‘œš‘‘ 4 = 2 āˆˆ šŗ 1+41+41 = 0.4 + 3 = 3 atau 3 š‘šš‘œš‘‘ 4 = 3 āˆˆ šŗ 1+41+41+41 = 1.4 + 0 = 0 atau 4 š‘šš‘œš‘‘ 4 = 0 āˆˆ šŗ 1 = {0, 1, 2, 3} c. 2 = {š‘› 2 ; š‘› āˆˆ ā„¤}, 2 āˆˆ šŗ 2+42 = 1.4 + 0 = 0 atau 4 š‘šš‘œš‘‘ 4 = 0 āˆˆ šŗ 2 = {0, 2}
  • 35. 35 d. 3 = {š‘› 3 ; š‘› āˆˆ ā„¤}, 3 āˆˆ šŗ 3+43 = 1.4 + 2 = 2 atau 6 š‘šš‘œš‘‘ 4 = 2 āˆˆ šŗ 3+43+43 = 2.4 + 1 = 1 atau 9 š‘šš‘œš‘‘ 4 = 3 āˆˆ šŗ 3+43+43+43 = 3.4 + 0 = 0 atau 12 š‘šš‘œš‘‘ 4 = 0 āˆˆ šŗ 3 = {0, 1, 2, 3} āˆ“ Jadi, G merupakan grup siklik dengan generator 1 = 3 = {0, 1, 2, 3} . āˆŽ 6. Diketahui matriks š‘€ = 1 0 0 1 , āˆ’1 0 0 āˆ’1 , 0 1 āˆ’1 0 , 0 āˆ’1 1 0 , (š‘€,Ɨ) adalah sebuah grup, apakah M merupakan grup siklik? Bukti: Diketahui (š‘€,Ɨ) adalah sebuah grup Misalkan š“ = 1 0 0 1 , šµ = āˆ’1 0 0 āˆ’1 , š¶ = 0 1 āˆ’1 0 š‘‘š‘Žš‘› š· = 0 āˆ’1 1 0 Perhatikan tabel dibawah ini: Ɨ A B C D A A B C D B B A D C C C D B A D D C A B Dari tabel diperoleh bahwa identitas di M yaitu A Akan ditunjukkan G membentuk grup siklik, Perhatikan bahwa: a. š“ = { š“ š‘› ; š‘› āˆˆ ā„¤} š“ āˆˆ š‘€ š“ = {A} b. šµ = { šµ š‘› ; š‘› āˆˆ ā„¤} šµ āˆˆ š‘€
  • 36. 36 šµ2 = š“ āˆˆ š‘€ [Perhatikan tabel] šµ = {A, B} c. š¶ = { š¶ š‘› ; š‘› āˆˆ ā„¤} š¶ āˆˆ š‘€ š¶2 = šµ āˆˆ š‘€ [Perhatikan tabel] š¶3 = (š¶2 ) š¶ = šµš¶ = š· āˆˆ š‘€ [Perhatikan tabel] š¶4 = (š¶3 ) š¶ = š·š¶ = š“ āˆˆ š‘€ [Telah diperoleh š¶3 = š·, perhatikan tabel] š¶ = {A, B, C, D} d. š· = { š· š‘› ; š‘› āˆˆ ā„¤} š· āˆˆ š‘€ š·2 = šµ āˆˆ š‘€ [Perhatikan tabel] š·3 = (š·2 ) š· = šµš· = š¶ āˆˆ š‘€ [Perhatikan tabel] š·4 = (š·3 ) š· = š¶š· = š“ āˆˆ š‘€ [Telah diperoleh š¶3 = š·, perhatikan tabel] š· = {A, B, C, D} āˆ“ Jadi, jadi M merupakan grup siklik dengan generator š¶ = š· = {A, B, C, D} . āˆŽ 7. Misalkan G himpunan bilangan bulat modulo empat yaitu G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, pandang grup (G, +6), tunjukkan G merupakan grup siklik! Bukti: Misalkan (G, +6) adalah grup Akan ditunjukkan G membentuk grup siklik Perhatikan bahwa: a. 0 = {š‘› 0 ; š‘› āˆˆ ā„¤}, 0 āˆˆ šŗ 0 = {0}
  • 37. 37 b. 1 = {š‘› 1 ; š‘› āˆˆ ā„¤}, 1 āˆˆ šŗ 1+61 = 0.6 + 2 = 2 atau 2 š‘šš‘œš‘‘ 6 = 2 āˆˆ šŗ 1+61+61 = 0.6 + 3 = 3 atau 3 š‘šš‘œš‘‘ 6 = 3 āˆˆ šŗ 1+61+61+61 = 0.6 + 4 = 4 atau 4 š‘šš‘œš‘‘ 6 = 4 āˆˆ šŗ 1+61+61+61+61 = 0.6 + 5 = 5 atau 5 š‘šš‘œš‘‘ 6 = 5 āˆˆ šŗ 1+61+61+61+61+61 = 1.6 + 0 = 0 atau 6 š‘šš‘œš‘‘ 6 = 0 āˆˆ šŗ 1 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} c. 2 = {š‘› 2 ; š‘› āˆˆ ā„¤}, 2 āˆˆ šŗ 2+62 = 0.6 + 4 = 4 atau 4 š‘šš‘œš‘‘ 6 = 4 āˆˆ šŗ 2+62+62 = 1.6 + 0 = 0 atau 6 š‘šš‘œš‘‘ 6 = 0 āˆˆ šŗ 2 = {0, 2, 4} d. 3 = {š‘› 3 ; š‘› āˆˆ ā„¤}, 3 āˆˆ šŗ 3+63 = 1.6 + 0 = 0 atau 6 š‘šš‘œš‘‘ 6 = 0 āˆˆ šŗ 3 = {0, 3} e. 4 = {š‘› 4 ; š‘› āˆˆ ā„¤}, 4 āˆˆ šŗ 4+64 = 1.6 + 2 = 2 atau 8 š‘šš‘œš‘‘ 6 = 2 āˆˆ šŗ 4+64+64 = 2.6 + 0 = 0 atau 12 š‘šš‘œš‘‘ 6 = 0 āˆˆ šŗ 2 = {0, 2, 4} f. 5 = {š‘› 5 ; š‘› āˆˆ ā„¤}, 5 āˆˆ šŗ 5+65 = 1.6 + 4 = 4 atau 10 š‘šš‘œš‘‘ 6 = 4 āˆˆ šŗ 5+65+65 = 2.6 + 3 = 3 atau 15 š‘šš‘œš‘‘ 6 = 3 āˆˆ šŗ 5+65+65+65 = 3.6 + 2 = 2 atau 20 š‘šš‘œš‘‘ 6 = 2 āˆˆ šŗ 5+65+65+65+65 = 4.6 + 1 = 1 atau 24 š‘šš‘œš‘‘ 6 = 1 āˆˆ šŗ
  • 38. 38 5+65+65+65+65+65 = 5.6 + 0 = 0 atau 30 š‘šš‘œš‘‘ 6 = 0 āˆˆ šŗ 5+65+65+65+65+65+65 = 5.6 + 5 = 5 atau 35 š‘šš‘œš‘‘ 6 = 5 āˆˆ šŗ 5 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} āˆ“ Jadi, G merupakan grup siklik dengan generator 1 = 5 = {0, 1, 2, 3} . āˆŽ 8. šŗ = āˆ’1,1 , (šŗ,Ɨ) adalah grup, tunjukkan G membentuk grup siklik! Bukti: a. 1 = { 1 š‘› ; š‘› āˆˆ ā„¤} = { ā€¦ , 1 āˆ’2 , 1 āˆ’1 , 1 0 , 1 1 , ā€¦ } = {1} b. āˆ’1 = { āˆ’1 š‘› ; š‘› āˆˆ ā„¤} = { ā€¦ , āˆ’1 āˆ’2 , āˆ’1 āˆ’1 , āˆ’1 0 , āˆ’1 1 , ā€¦ } = {1, āˆ’1} āˆ“ Jadi, G merupakan grup siklik dengan generator āˆ’1 = {āˆ’1,1} . āˆŽ 9. Misalkan bilangan bulat membentuk grup dibawah operasi penjumlahan. Buktikan bilangan bulat dengan operasi jumlah membentuk grup siklik! Bukti: Misalkan (ā„¤, +) adalah grup Akan ditunjukkan (ā„¤, +) membentuk grup siklik. Perhatikan bahwa: a. 1 = {š‘›(1); š‘› āˆˆ ā„¤} = { ā€¦ , āˆ’2 1 , āˆ’1 1 , 0 1 , 1 1 , 2(1), ā€¦ } = { ā€¦ , āˆ’2, āˆ’1, 0, 1, 2 ā€¦ } b. āˆ’1 = {š‘›(āˆ’1); š‘› āˆˆ ā„¤} = { ā€¦ , āˆ’2 āˆ’1 , āˆ’1 āˆ’1 , 0 āˆ’1 , 1 āˆ’1 , 2(āˆ’1), ā€¦ } = { ā€¦ , āˆ’2, āˆ’1, 0, 1, 2 ā€¦ } āˆ“ Jadi, (ā„¤, +) merupakan grup siklik dengan generator 1 = āˆ’1 = ā„¤ . āˆŽ
  • 39. 39 10. Misalkan šŗ = {1, āˆ’1, š‘–, āˆ’š‘–} i bilangan imaginer, tunjukkan (G, x) membentuk grup. Apakah G juga siklik Bukti: Misalkan (G, x) adalah grup Akan ditunjukkan (G, x) membentuk grup siklik. Perhatikan bahwa: a. 1 = {(1) š‘› ; š‘› āˆˆ ā„¤} = { ā€¦ , (1)āˆ’1 , (1)0 , (1)1 , ā€¦ } = {1} b. āˆ’1 = {(āˆ’1) š‘› ; š‘› āˆˆ ā„¤} = { ā€¦ , (āˆ’1)āˆ’1 , (āˆ’1)0 , (āˆ’1)1 , ā€¦ } = {āˆ’1, 1} c. š‘– = {(š‘–) š‘› ; š‘› āˆˆ ā„¤} = { ā€¦ , (š‘–)0 , (š‘–)1 , (š‘–)2 , (š‘–)3 ā€¦ } = {1, š‘–, āˆ’1, āˆ’š‘–} Catatan: š‘–2 = āˆ’1 š‘–3 = š‘–2 š‘– = āˆ’1 š‘– = āˆ’š‘– d. āˆ’š‘– = {(āˆ’š‘–) š‘› ; š‘› āˆˆ ā„¤} = { ā€¦ , (āˆ’š‘–)0 , (āˆ’š‘–)1 , (āˆ’š‘–)2 , (āˆ’š‘–)3 , ā€¦ } = {1, āˆ’š‘–, āˆ’1, š‘–} Catatan: š‘–2 = āˆ’1 (āˆ’š‘–)3 = āˆ’š‘– 2 āˆ’š‘– = { āˆ’1 š‘–}2 = { āˆ’1 āˆ’1 }š‘– = š‘– āˆ“ Jadi, (šŗ,Ɨ) merupakan grup siklik dengan generator š‘– = āˆ’š‘– = {1, āˆ’1, š‘–, āˆ’š‘–} . āˆŽ 11. Misalkan šŗ =< 1 > grup siklik dan š‘” š‘Ž = š‘›. Buktikan bahwa š‘Ž š‘š generator dari G untuk 1 ā‰¤ š‘š ā‰¤ š‘›, jika dan hanya jika m dan n relatif prima? Bukti: Misalkan šŗ =< 1 > grup siklik dan š‘” š‘Ž = š‘›
  • 40. 40 Digunakan teorema š‘š, š‘› = 1 āŸŗ āˆƒš‘„, š‘¦ āˆˆ ā„¤ āˆ‹ š‘šš‘„ + š‘›š‘¦ = 1 āŸ¹) bukti dari arah kiri ke kanan š‘Ž š‘š generator dari G untuk 1 ā‰¤ š‘š ā‰¤ š‘›, āŸ¹m dan n relatif prima Karena š‘Ž generator dari G dan dan š‘œ š‘Ž = š‘› maka š‘Ž š‘› = š‘’, Diketahui š‘Ž š‘š generator dari G dan š‘Ž āˆˆ šŗ maka š‘Ž š‘š š‘„ = š‘Ž āŸ¹ š‘Ž š‘šš‘„ = š‘Ž [teorema š‘Ž š‘ š‘ž = š‘Ž š‘š‘ž ] āŸ¹ š‘Ž š‘šš‘„ š‘Žāˆ’1 = š‘Žš‘Žāˆ’1 [masing-masing dikali š‘Žāˆ’1 ] āŸ¹ š‘Ž š‘šš‘„ āˆ’1 = š‘Ž0 [š‘Žš‘Žāˆ’1 = š‘Ž0 ] āŸ¹ š‘Ž š‘šš‘„ āˆ’1 = š‘’ [š‘Ž0 = š‘’] āŸ¹ š‘Ž š‘šš‘„ āˆ’1 = š‘Ž š‘› [š‘Ž š‘› = š‘’] Karena š‘šš‘„ āˆ’ 1 kelipatan dari n yaitu order dari š‘Ž misalkan š‘›š‘¦ sedemikian sehingga š‘šš‘„ āˆ’ 1 = š‘›š‘¦ āŸ¹ š‘šš‘„ + š‘›š‘¦ = 1 (terbukti relatif prima) āŸø) bukti dari arah kanan ke kiri š‘š dan š‘› relatif prima āŸ¹ š‘Ž š‘š generator dari G untuk 1 ā‰¤ š‘š ā‰¤ š‘› Diketahui m dan n relatif prima maka dari teorema diperoleh š‘š, š‘› = 1 āŸ¹ āˆƒš‘„, š‘¦ āˆˆ ā„¤ āˆ‹ š‘šš‘„ + š‘›š‘¦ = 1 sehingga: š‘Ž š‘š š‘„ = š‘Ž š‘šš‘„ = š‘Ž š‘›š‘¦ āˆ’1 = š‘Žš‘Žāˆ’š‘›š‘¦ = š‘Ž(š‘Ž š‘› )āˆ’š‘¦ = š‘Ž(š‘’)āˆ’š‘¦ = š‘Ž Artinya a dapat dinyatakan sebagai perpangkatan bulat dari š‘Ž š‘š dan karena a sebagai generator dari G, maka setiap elemen G dapat dinyatakan sebagai perpangkatan bulat dari š‘Ž š‘š akibatnya šŗ = š‘Ž š‘š āˆ“ Jadi, š‘Ž š‘š generator dari G untuk 1 ā‰¤ š‘š ā‰¤ š‘›, jika dan hanya jika m dan n relatif prima . āˆŽ
  • 41. 41 12. Buktikan bahwa jika G grup siklik terhingga dengan generator a maka š‘œ šŗ = š‘” š‘Ž (š‘œ šŗ = orde grup G, yaitu banyaknya anggota yang berada di G. Bukti: Misalkan G grup hingga dan š‘œ šŗ = š‘› š‘Ž āˆˆ šŗ dan š‘” š‘Ž = š‘› yaitu š‘Ž š‘› = š‘’ Dibentuk š“ = {š‘Ž, š‘Ž2 , ā€¦ , š‘Ž š‘› = š‘’} Jelas elemen di A tidak ada yang sama, sebab jika ada yang sama sebut š‘Ž š‘ = š‘Ž š‘ž dengan 0 < š‘ < š‘ž < š‘› āŸ¹ š‘Ž š‘žāˆ’š‘ = š‘’ dengan 0 < š‘ āˆ’ š‘ž < š‘› hal ini tidak mungkin terjadi sebab š‘” š‘Ž = š‘›; š‘› āˆˆ ā„¤+ š‘”š‘’š‘Ÿš‘˜š‘’š‘š‘–š‘™ āˆ‹ š‘Ž š‘› = š‘’ āŸ¹ š‘” š‘Ž = š‘› āˆ“ jadi, G grup siklik terhingga dengan generator a maka š‘œ šŗ = š‘” š‘Ž . āˆŽ 13. Buktikan bahwa jika G grup terhingga berorde n dan ada š‘Žšœ–šŗ dengan t(a) = n, maka G siklik. Bukti: Misalkan G grup terhingga dan š‘œ šŗ = š‘› š‘Žšœ–šŗ dengan t(a) = n yaitu š‘Ž š‘› = š‘’, Misalkan dibentuk subgrup dari G yaitu š“ = {š‘Ž, š‘Ž2 , š‘Ž3 , ā€¦ š‘Ž š‘› = š‘’}. Elemen dari A tidak ada yang sama sebab jika ada yang sama, Misalnya š‘Ž š‘” = š‘Ž š‘Ÿ dengan 0 < š‘Ÿ < š‘” < š‘› maka š‘Ž š‘”āˆ’š‘Ÿ = š‘’ dengan 0 < š‘” āˆ’ š‘Ÿ < š‘›. Hal ini tidak mungkin, sebab š‘” š‘Ž = š‘›; š‘› āˆˆ ā„¤+ š‘”š‘’š‘Ÿš‘˜š‘’š‘š‘–š‘™ āˆ‹ š‘Ž š‘› = š‘’ āŸ¹ š‘” š‘Ž = š‘› karena A sub grup dari G dan š‘œ šŗ = š‘›, maka G = A. A adalah suatu grup siklik dengan generator a, maka demikian pula G. āˆ“ jadi, G grup terhingga berorde n dan ada š‘Žšœ–šŗ dengan t(a) = n, maka G siklik. āˆŽ
  • 42. 42 14. Berapa banyakkah generator yang terdapat pada grup siklik berorde 10? Bukti: Untuk mencari banyaknya generator maka dapat digunakan teorema pada soal no.11, Karena grup siklik mempunyai orde 10 dan bilangan bulat positif mempunyai orde 10 dan bilangan bulat positif yang kurang dari 10 dan saling prima dengan 10 adalah 1, 3, 7, 9, maka generator-generator dari grup Siklik yang berorde 10 adalah š‘Ž1 , š‘Ž3 , š‘Ž7 , š‘Ž9 āˆ“ banyaknya generator adalah 4. āˆŽ 15. Buktikan Jika a suatu anggota grup G dengan o(a) = n dan e unsur identitas di G: š‘Ž š‘˜ = š‘’ ļƒ› š‘˜ kelipatan dari n. Bukti: Misal š‘Ž āˆˆ šŗ, G grup, š‘’ identitas di G dan š‘œ š‘Ž = š‘› āŸ¹) bukti dari arah kiri ke kanan Akan ditunjukkan š‘Ž š‘˜ = š‘’ āŸ¹ š‘˜ kelipatan dari n perhatikan bahwa: š‘œ š‘Ž = š‘› dan š‘˜ āˆˆ ā„¤+ āˆ‹ š‘Ž š‘˜ = š‘’ akibatnya š‘˜ ā‰„ š‘› Kasus I: š‘˜ = š‘› āŸ¹ š‘—š‘’š‘™š‘Žš‘  š‘› āˆ£ š‘˜ Kasus II: š‘˜ > š‘› Berdasarkan algoritma pembagian āˆƒš‘, š‘Ÿ āˆˆ ā„¤+ āˆ‹ š‘˜ = š‘›š‘ + š‘Ÿ; 0 ā‰¤ š‘Ÿ < š‘› Perhatikan bahwa: š‘Ž š‘˜ = š‘Ž š‘›š‘ +š‘Ÿ [ š‘˜ = š‘›š‘ + š‘Ÿ] = š‘Ž š‘›š‘ š‘Ž š‘Ÿ [teorema š‘Ž š‘+š‘ž = š‘Ž š‘ š‘Ž š‘ž ] = (š‘Ž š‘› ) š‘ š‘Ž š‘Ÿ [teorema š‘Ž š‘š‘ž = (š‘Ž š‘ ) š‘ž ] = (š‘’) š‘ š‘Ž š‘Ÿ [š‘Ž š‘› = š‘’] = š‘’ š‘Ž š‘Ÿ [(š‘’) š‘ = š‘’] = š‘Ž š‘Ÿ [ š‘’ š‘Ž š‘Ÿ = š‘Ž š‘Ÿ ]
  • 43. 43 Diperoleh š‘Ž š‘˜ = š‘Ž š‘Ÿ = š‘’ padahal 0 ā‰¤ š‘Ÿ < š‘› dan š‘œ š‘Ž = š‘› maka haruslah š‘Ÿ = 0 sedemikian sehingga diperoleh š‘˜ = š‘›š‘. Jadi, š‘› āˆ£ š‘˜ āŸø) bukti dari arah kanan ke kiri š‘˜ kelipatan dari š‘› āŸ¹ š‘Ž š‘˜ = š‘’ š‘˜, š‘› āˆˆ ā„¤+ āˆ§ š‘› āˆ£ š‘˜ āŸ¹ āˆƒš‘ āˆˆ ā„¤+ āˆ‹ š‘˜ = š‘›š‘ š‘Ž š‘˜ = š‘Ž š‘›š‘ [š‘˜ = š‘›š‘] = (š‘Ž š‘› ) š‘ [teorema š‘Ž š‘š‘ž = (š‘Ž š‘ ) š‘ž ] = (š‘’) š‘ [š‘Ž š‘› = š‘’] = š‘’ [(š‘’) š‘ = š‘’] āˆ“ š‘Ž š‘˜ = š‘’ ļƒ› š‘˜ kelipatan dari n. āˆŽ 16. Jika G grup siklik maka G abelian. Bukti: Misalkan G grup siklik. Karena G siklik maka šŗ =< š‘Ž > untuk suatu š‘Ž āˆˆ šŗ. Misalkan šŗ = š‘Ž š‘˜ k āˆˆ ā„¤ Akan ditunjukkan bahwa š‘„š‘¦ = š‘¦š‘„ untuk setiap š‘„, š‘¦ āˆˆ šŗ. Ambil sebarang š‘Ž āˆˆ šŗ. Karena x, y dalam G maka š‘„ = š‘Ž š‘š dan š‘¦ = š‘Ž š‘› ; Untuk suatu š‘š, š‘› āˆˆ ā„¤, sehingga š‘Ž š‘š š‘Ž š‘› = š‘Ž š‘š+š‘› dan š‘¦š‘„ = š‘Ž š‘› š‘Ž š‘š [š‘„ = š‘Ž š‘š dan š‘¦ = š‘Ž š‘› ] = š‘Ž š‘›+š‘š [š‘Ž š‘› š‘Ž š‘š = š‘Ž š‘›+š‘š ] = š‘Ž š‘š+š‘› [sifat komutatif ā„¤ dibawah operasi penjumlahan] = š‘Ž š‘š š‘Ž š‘› [š‘Ž š‘š+š‘› = š‘Ž š‘š š‘Ž š‘› ] = š‘„š‘¦ [š‘„ = š‘Ž š‘š dan š‘¦ = š‘Ž š‘› ] āˆ“ Terbukti G grup abelian. āˆŽ ***
  • 44. 44 KOMPLEKS & SUBGRUP 17. Jika š‘‹, š‘Œ š‘‘š‘Žš‘› š‘ kompleks dari grup G maka š‘‹š‘Œ š‘ = š‘‹(š‘Œš‘) Bukti : Untuk membuktikan š‘‹š‘Œ š‘ = š‘‹ š‘Œš‘ harus dibuktikan š‘‹š‘Œ š‘ āŠ† š‘‹ š‘Œš‘ & š‘‹š‘Œ š‘ āŠ‡ š‘‹ š‘Œš‘ āŸ¹) Akan dibuktikan š‘‹š‘Œ š‘ āŠ† š‘‹ š‘Œš‘ Ambil š‘ āˆˆ XY Z , berarti š‘ = š‘„š‘¦ š‘§ dengan š‘„ āˆˆ X, š‘¦ āˆˆ Y, š‘§ āˆˆ Z dan š‘„, š‘¦, š‘§ āˆˆ G. karena š‘‹, š‘Œ š‘‘š‘Žš‘› š‘ kompleks dari grup G, sehingga dipenuhi sifat asosiatif yaitu : š‘  = š‘„š‘¦ š‘§ = š‘„ š‘¦š‘§ āˆˆ š‘‹ š‘Œš‘ . Diperoleh āˆ€š‘  āˆˆ š‘‹š‘Œ š‘ ā‡’ š‘  āˆˆ š‘‹ š‘Œš‘ Jadi š‘‹š‘Œ š‘ āŠ† š‘‹(š‘Œš‘) ā€¦ (i) Pendahuluan āˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup āŸ¹ H Kompleks dari šŗ . ā–  Misalkan M dan N kompleks dari grup (G,*) maka hasil kali kompleks MN adalah himpunan m*n dengan š‘š āˆˆ š‘€ dan š‘› āˆˆ š‘. Secara matematis dinotasikan : š‘€š‘ = {š‘š āˆ— š‘› āˆ£ š‘š āˆˆ š‘€ dan š‘› āˆˆ š‘}. ā–  Jika M kompleks dari grup G maka š‘€āˆ’1 = {š‘šāˆ’1 āˆ£ š‘š āˆˆ š‘€}. ā–  āˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup, H subgrup dari G, apabila H membentuk gerup dibawah operasi yang sama di dalam G. ā–  Grup yang memiliki elemen lebih dari satu dijamin memiliki minimal dua subgrup yaitu G sendiri dan {e}, e adalah unsur identitas di G. ā§‰ G dan {e} disebut subgrup trivial atau subgrup improper. ā§‰ Jika ada H subgrup dari G dan H ā‰  G dan H ā‰  {e} maka H disebut subgrup proper. ā–  Subgrup biasa disimbolkan dengan " ā‰¤ ". ā– 
  • 45. 45 ā‡) Akan dibuktikan š‘‹š‘Œ š‘ āŠ‡ š‘‹(š‘Œš‘) ā‰… š‘‹(š‘Œš‘) āŠ† š‘‹š‘Œ š‘ Ambil š‘ āˆˆ X(YZ), berarti š‘” = š‘„ š‘¦š‘§ dengan š‘„ āˆˆ X, š‘¦ āˆˆ Y, š‘§ āˆˆ Z dan š‘„, š‘¦, š‘§ āˆˆ G. karena š‘‹, š‘Œ š‘‘š‘Žš‘› š‘ kompleks dari grup G, sehingga dipenuhi sifat asosiatif yaitu : š‘  = š‘„ š‘¦š‘§ = š‘„š‘¦ š‘§ āˆˆ (š‘‹š‘Œ)š‘. Diperoleh āˆ€š‘” āˆˆ š‘‹ š‘Œš‘ ā‡’ š‘” āˆˆ (š‘‹š‘Œ)š‘ Jadi š‘‹(š‘Œš‘) āŠ† š‘‹š‘Œ š‘ ā€¦ (ii) āˆ“ Dari i dan ii dapat disimpulkan bahwa š‘‹š‘Œ š‘ = š‘‹(š‘Œš‘) . āˆŽ 2. Misalkan āˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup dan š‘’ āˆˆ šŗ [e=identitas]. himpunan H merupakan subgrup dari G jika dan hanya jika memenuhi sifat : a. š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘ āˆˆ š» b. š‘Ž āˆˆ š» ā‡’ š‘Žāˆ’1 āˆˆ š» Bukti : āŸ¹) bukti dari kiri ke kanan a. š» grup (sebab š» subgrup dari G) maka š» mmnuhi sifat tertutup di bawah operasi dalam G. b. Ambil sebarang š‘Ž āˆˆ š» Karena š» grup maka š‘Ž mempunyai invers š‘Žā€² dalam š», Berdasarkan sifat ketunggalan dari suatu invers maka š‘Žā€² = š‘Žāˆ’1 yaitu invers dari š‘Ž dalam G. ā‡) bukti dari kanan ke kiri Akan dibuktikan bahwa jika H memenuhi sifat: a. āˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ b. āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘ āˆˆ š» c. āˆ€š‘Ž āˆˆ š» ā‡’ š‘Žāˆ’1 āˆˆ š», maka H merupakan grup
  • 46. 46 Syarat a sampai c merupakan tiga syarat supaya suatu himpunan merupakan grup. Syarat lain yang harus dipenuhi adalah (i) Hukum assosiatif Karena (ab) c = a (bc) untuk semua anggota dalam G maka tentu saja juga berlaku untuk semua anggota dalam S āŠ† G. (ii) Unsur Identitas Diketahui š‘Ž āˆˆ š» āˆ§ š‘Žāˆ’1 āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘Žāˆ’1 = š‘’ āˆˆ š» [e=identitas] āˆ“ jadi, dapat disimpulkan š» ā‰¤ šŗ. āˆŽ 3. Misalkan H kompleks tidak kosong dari grup G. H merupakan subgrup dari G jika dan hanya jika untuk setiap š‘Ž āˆˆ š», š‘ āˆˆ š» menyebabkan š‘Žš‘āˆ’1 āˆˆ š». Bukti: Misalkan āˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup āŸ¹) bukti dari kiri ke kanan Diketahui š» subgrup dari G sehingga š» juga merupakan grup terhadap operasi yang berlaku di G Akan ditunjukkan āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ š»,berlaku š‘Žš‘āˆ’1 āˆˆ š», perhatikan: Ambil sebarang š‘Ž, š‘ āˆˆ š», karena š» grup maka terdapat š‘āˆ’1 āˆˆ š» sehingga š‘Ž, š‘āˆ’1 āˆˆ š» dan š» memenuhi sifat tertutup maka š‘Žš‘āˆ’1 āˆˆ š» ā‡) bukti dari kanan ke kiri š‘Ž, š‘ āˆˆ š» berlaku š‘Žš‘āˆ’1 āˆˆ š» Akan ditunjukkan H subgrup yakni H merupakan grup, perhatikan bahwa : Ambil sebarang š‘š āˆˆ š» maka š‘šš‘šāˆ’1 āˆˆ š» (diketahui) š‘šš‘šāˆ’1 = š‘’ maka š‘’ āˆˆ š» [e=identitas] ā€¦ (*1) š‘’, š‘š āˆˆ š» maka š‘’š‘šāˆ’1 = š‘šāˆ’1 āˆˆ š» (diketahui) ā€¦ (*2) Ambil sebarang š‘Ž, š‘ āˆˆ š», karena š» grup maka terdapat š‘āˆ’1 āˆˆ š», jika š‘Ž š‘āˆ’1 āˆˆ š» maka š‘Ž (š‘āˆ’1 )āˆ’1 āˆˆ š»
  • 47. 47 Karena š‘Ž (š‘āˆ’1 )āˆ’1 = š‘Žš‘ ā‡’ š‘Žš‘ āˆˆ š», jadi dapat disimpulkan bahwa H memenuhi sifat tertutup ... (*3) Jelas bahwa H mempunyai sifat asosiatif karena H āŠ†G maka āˆ€š‘„, š‘¦, š‘§ āˆˆ š» pasti š‘„, š‘¦, š‘§ āˆˆ šŗ dan G adalah grup maka berlaku š‘„ š‘¦š‘§ = š‘„š‘¦ š‘§ ā€¦ (*4) ļ¶ Dari (*1), (*2),(*3), dan (*4) terbukti H merupakan grup yang berarti H subgrup dari G. 4. Tunjukkan bahwa š‘„{0 , š‘„) merupakan subgrup dari (R{0),x) Bukti: a) Akan ditunjukkan (R{0),x) membentuk grup. Perhatikan bahwa: (i) Tidak Kosong R{0} ā‰  āˆ… sebab āˆƒ 2 āˆˆ R{0} ā€¦ (terpenuhi) (ii) Sifat tertutup āˆ€ š‘Ž, š‘, āˆˆ R{0} berlaku š‘Ž āˆ— š‘ āˆˆ R{0} Ambil sebarang š‘Ž, š‘ āˆˆ R{0} maka berlaku š‘Ž Ɨ š‘ āˆˆ R{0}ā€¦ (terpenuhi) (iii) Sfat Assosiatif, āˆ€š‘Ž, š‘, š‘ āˆˆ R{0} berlaku š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ Ambil sebarang š‘Ž, š‘, š‘ āˆˆ R{0} Perhatikan bahwa: š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ— š‘ Ɨ š‘ = š‘Ž Ɨ (š‘ Ɨ š‘) = (š‘Ž Ɨ š‘) Ɨ š‘ = š‘Ž Ɨ š‘ āˆ— š‘ = š‘Ž āˆ— š‘ āˆ— š‘ ā€¦ (terpenuhi) (iv) Unsur Identitas āˆ€š‘Ž āˆˆ R{0} āˆƒš‘’ āˆˆ R{0} āˆ‹ š‘’ āˆ— š‘Ž = š‘Ž āˆ— š‘’ = š‘Ž
  • 48. 48 Perhatikan bahwa: š‘Ž Ɨ š‘ = š‘ Ɨ š‘Ž = š‘ š‘Ž = š‘Ž = š‘ š‘ ; š‘ āˆˆ R{0} š‘Ž = 1 Sehingga š‘’ = 1 āˆˆ R{0} [e=identitas] ā€¦ (terpenuhi) (v) Unsur Invers āˆ€š‘Ž āˆˆ R{0} āˆƒš‘Žāˆ’1 āˆˆ R{0} āˆ‹ š‘Žāˆ’1 āˆ— š‘Ž = š‘Ž āˆ— š‘Žāˆ’1 = š‘’ perhatikan bahwa: š‘Ž Ɨ š‘ = š‘ Ɨ š‘Ž = 1 š‘Ž = š‘Ž = 1 š‘ ; š‘ āˆˆ R{0} š‘Ž = 1 š‘ āˆˆ R{0} ā€¦ (tidak memiliki unsur invers) āˆ“ jadi, (R{0),x) membentuk grup. b) Untuk membuktikan š‘„{0 , š‘„) merupakan subgrup dari (R{0),x) digunakan teorema ā€œāˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup, H ā‰¤ G āŸŗ š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘āˆ’1 āˆˆ š»" berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan: š‘„{0} ā‰  āˆ… š‘„{0} āŠ† š‘…{0} āˆ€š‘„, š‘¦ āˆˆ š‘„{0} āŸ¹ š‘„š‘¦āˆ’1 āˆˆ š‘„{0} Perhatikan bahwa: š‘„{0} ā‰  āˆ… sebab āˆƒ 2 āˆˆ Q{0} ā€¦ (terpenuhi) š‘„{0} āŠ† š‘…{0} jelas ā€¦ (terpenuhi) Ambil searang š‘„, š‘¦ āˆˆ š‘„{0} Perhatikan bahwa: š‘„š‘¦āˆ’1 āˆˆ š‘„{0} sebab š‘„ āˆˆ š‘„{0} & š‘¦āˆ’1 āˆˆ š‘„{0} ā€¦ (terpenuhi) āˆ“ jadi, š‘„{0 , š‘„) ā‰¤ (R{0),x). āˆŽ
  • 49. 49 5. Buktikan bahwa (š’ š‘š , +) dengan š’ š‘š = š‘˜š‘š ; š‘˜ āˆˆ š’ merupakan subgrup dari grup (š’, +)! Bukti: Diketahui (š’, +) membentuk grup Untuk membuktikan (š’ š‘š , +) merupakan subgrup dari (š’, +) digunakan teorema ā€œāˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup, H ā‰¤ G āŸŗ š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘āˆ’1 āˆˆ š»". Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan: a. š’ š‘š ā‰  āˆ… Perhatikan bahwa: š’ š‘š ā‰  āˆ… sebab āˆƒ (2š‘š ; 2 āˆˆ š’) āˆˆ š’ š‘š ā€¦ (terpenuhi) b. š’ š‘š āŠ† š’ Ambil sebarang š‘„ āˆˆ š’ š‘š ā€¦ (i) Pandang: š‘„ = š‘˜1 š‘š; š‘˜1 āˆˆ š’, š‘š āˆˆ š’ Perhatikan bahwa: š‘„ = š‘˜1 š‘š; š‘˜1 āˆˆ š’, š‘š āˆˆ š’ š‘„ = š‘˜1 š‘š āˆˆ š’ (memenuhi sifat tertutup sebab diketahui š‘ membentuk grup) ā€¦ (ii) Dari (i) dan (ii), sehingga disimpulkan bahwa š’ š‘š āŠ† š’ ā€¦ (terpenuhi) c. āˆ€š‘„, š‘¦ āˆˆ š’ š‘š āŸ¹ š‘„š‘¦āˆ’1 āˆˆ š’ š‘š Ambil sebarang š‘„, š‘¦ āˆˆ š’ š‘š Pandang: š‘„ = š‘˜1 š‘š; š‘˜1 āˆˆ š’ š‘¦ = š‘˜2 š‘š; š‘˜2 āˆˆ š’ perhatikan bahwa: š‘„š‘¦āˆ’1 = (š‘˜1 š‘š) + (āˆ’š‘˜2 š‘š) = š‘˜1 š‘š āˆ’ š‘˜2 š‘š [š‘˜1, š‘˜2 āˆˆ š’] = (š‘˜1 āˆ’ š‘˜2)š‘š āˆˆ š’ š‘š ā€¦ (terpenuhi) āˆ“ jadi, š’ š‘š ā‰¤ š’. āˆŽ
  • 50. 50 6. š‘ƒ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 merupakan grup, buktikan (M,+8) dengan š‘€ = 0, 2, 4, 6, 8 subgrup dari (P, +8) Bukti: Misalkan (P, +8) merupakan grup Untuk membuktikan (M,+8) merupakan subgrup dari (P, +8) digunakan teorema ā€œāˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup higga, H ā‰¤ G āŸŗ š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘ āˆˆ š»". Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan: a. P grup hingga š‘ƒ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 jelas merupakan grup hingga ā€¦ (terpenuhi) b. š‘€ ā‰  āˆ… š‘€ ā‰  āˆ… sebab āˆƒ 2 āˆˆ š‘€ ā€¦ terpenuhi c. š‘€ āŠ† š‘ƒ š‘€ āŠ† š‘ƒ jelas sebab 0, 2, 4, 6, 8 āŠ† 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 d. āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ š‘€ ā‡’ š‘Žš‘ āˆˆ š‘€ Ambil sebarang š‘Ž, š‘ āˆˆ š‘€ akan ditunjukkan š‘Žš‘ āˆˆ š‘€ Karena M adalah subset P yang hingga maka cukup dibuktikan M tertutup terhadap operasi +8. Perhatikan tabel dibawah ini: +8 0 2 4 6 0 0 2 4 6 2 2 4 6 0 4 4 6 0 2 6 6 0 2 4 Dari tabel diatas terlihat bahwa operasi +8 tertutup dalam M ā€¦ (terpenuhi) āˆ“ Jadi, (M, +8) ā‰¤ (P, +8). āˆŽ
  • 51. 51 7. Dengan operasi perkalian tunjukkan š‘ƒ2 š‘¹ Ɨ š‘„2 š‘¹ merupakan subgrup dari grup (š‘€2 š‘¹ ,Ɨ) dengan pendefenisian š‘ƒ2 š‘¹ = š‘Ž š‘ š‘ š‘‘ ; š‘Ž, š‘, š‘, š‘‘ āˆˆ ā„, š‘Žš‘‘ āˆ’ š‘š‘ = 1 š‘„2 š‘¹ = š‘’ š‘“ š‘” š‘• ; š‘’, š‘“, š‘”, š‘• āˆˆ ā„, š‘’š‘“ āˆ’ š‘”š‘• = āˆ’2 Bukti: Untuk membuktikan š‘ƒ2 š‘¹ Ɨ š‘„2 š‘¹ merupakan subgrup dari (š‘€2 š‘¹ , ) digunakan teorema "šŗ grup , āˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ š‘‘š‘Žš‘› āˆ… ā‰  š¾ āŠ† šŗ , HK ā‰¤ G āŸŗ š»š¾ = š¾š»". Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan: a. š‘ƒ2 š‘¹ ā‰  āˆ… & š‘„2 š‘¹ ā‰  āˆ… Perhatikan bahwa: š‘ƒ2 š‘¹ ā‰  āˆ… sebab āˆƒ 1 0 2 1 ; 1, 0, 2 āˆˆ ā„, 1 āˆ’ 0 = 1 āˆˆ š‘ƒ2 š‘¹ š‘„2 š‘¹ ā‰  āˆ… sebab āˆƒ 1 2 2 2 ; 1, 2 āˆˆ ā„, 2 āˆ’ 4 = āˆ’2 āˆˆ š‘„2 š‘¹ b. š‘ƒ2 š‘¹ āŠ† š‘€2 š‘¹ & š‘„2 š‘¹ āŠ† š‘€2 š‘¹ Perhatikan bahwa: det (š‘ƒ2 š‘¹ ) = š‘Žš‘‘ āˆ’ š‘š‘ = 1 āŠ† det (š‘€2 š‘¹ ) = š‘Žš‘‘ āˆ’ š‘š‘ āˆˆ š‘¹ det (š‘„2 š‘¹ ) = š‘Žš‘‘ āˆ’ š‘š‘ = āˆ’2 āŠ† det (š‘€2 š‘¹ ) = š‘Žš‘‘ āˆ’ š‘š‘ āˆˆ š‘¹ c. š‘ƒ2 š‘¹ š‘„2 š‘¹ = š‘„2 š‘¹ š‘ƒ2 š‘¹ Perhatikan bahwa: š‘ƒ2 š‘¹ š‘„2 š‘¹ = š‘Ž š‘ š‘ š‘‘ š‘’ š‘“ š‘” š‘• digunakan teorema ššžš­ š‘Øš‘© = ššžš­ š‘Ø ššžš­ā”(š‘©) karena diketahui det (š‘ƒ2 š‘¹ ) = 1 & det (š‘„2 š‘¹ ) = āˆ’2 maka detā”(š‘ƒ2 š‘¹ š‘„2 š‘¹ ) = det (š‘ƒ2 š‘¹ )det (š‘„2 š‘¹ ) = 1 āˆ’2 = āˆ’2 ā€¦ (i)
  • 52. 52 š‘„2 š‘¹ š‘ƒ2 š‘¹ = š‘’ š‘“ š‘” š‘• š‘Ž š‘ š‘ š‘‘ digunakan teorema ššžš­ š‘Øš‘© = ššžš­ š‘Ø ššžš­ā”(š‘©) karena diketahui det (š‘ƒ2 š‘¹ ) = 1 & det (š‘„2 š‘¹ ) = āˆ’2 maka detā”( š‘„2 š‘¹ š‘ƒ2 š‘¹ ) = det (š‘„2 š‘¹ )det (š‘ƒ2 š‘¹ ) = āˆ’2 1 = āˆ’2 ā€¦ (ii) Dari (i) dan (ii) disimpulkan bahwa š‘ƒ2 š‘¹ š‘„2 š‘¹ = š‘„2 š‘¹ š‘ƒ2 š‘¹ āˆ“ jadi, š‘ƒ2 š‘¹ Ɨ š‘„2 š‘¹ ā‰¤ (š‘€2 š‘¹ ,Ɨ) . āˆŽ 8. Misalkan (š‘€2 š‘¹ ,Ɨ) grup š‘€2 š‘¹ = š‘Ž š‘ š‘ š‘‘ ; š‘Ž, š‘, š‘, š‘‘ āˆˆ ā„, š‘Žš‘‘ āˆ’ š‘š‘ ā‰  āˆ… š»2 š‘¹ = š‘Ž š‘ 0 š‘‘ ; š‘Ž, š‘, š‘‘ āˆˆ ā„, š‘Žš‘‘ ā‰  āˆ… Apakah š»2 š‘¹ merupakan subgrup dari š‘€2 š‘¹ Bukti: Diketahui (š‘€2 š‘¹ ,Ɨ) membentuk grup Untuk membuktikan š»2 š‘¹ merupakan subgrup dari š‘€2 š‘¹ digunakan teorema ā€œāˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup, H ā‰¤ G āŸŗ š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘āˆ’1 āˆˆ š»". Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan: a. š»2 š‘¹ ā‰  āˆ… Perhatikan bahwa: š»2 š‘¹ ā‰  āˆ… sebab āˆƒ 1 2 0 1 ; 1, 0, 2 āˆˆ ā„, 1 ā‰  0 āˆˆ š»2 š‘¹ b. š»2 š‘¹ āˆ… āŠ† š‘€2 š‘¹ perhatikan bahwa: det (š»2 š‘¹ ) = š‘Žš‘‘ ā‰  0 āŠ† det (š‘€2 š‘¹ ) = š‘Žš‘‘ āˆ’ š‘š‘ ā‰  0 c. āˆ€ š‘‹2 š‘¹ , š‘Œ2 š‘¹ āˆˆ š»2 š‘¹ āŸ¹ š‘‹2 š‘¹ š‘Œ2 š‘¹ āˆ’1 āˆˆ š»2 š‘¹ Ambil sebarang š‘‹2 š‘¹ , š‘Œ2 š‘¹ āˆˆ š»2 š‘¹
  • 53. 53 Pandang: š‘‹2 š‘¹ = š‘Ž š‘ 0 š‘‘ ; š‘Ž, š‘, š‘‘ āˆˆ š‘¹, š‘Žš‘‘ ā‰  0 š‘Œ2 š‘¹ = š‘’ š‘“ 0 š‘• ; š‘’, š‘“, h, āˆˆ š‘¹, š‘’š‘• ā‰  0 Invers dari š‘Œ2 š‘¹ adalah š‘Œ2 š‘¹ āˆ’1 = 1 š‘‘š‘’š‘” š‘Œ2 š‘¹ š‘Žš‘‘š‘— š‘Œ2 š‘¹ = 1 š‘’š‘• š‘• āˆ’š‘“ 0 š‘’ ket: š‘’š‘• ā‰  0 = 1 š‘’ āˆ’š‘“ š‘’š‘• 0 1 š‘• āˆˆ š»2 š‘¹ š‘‘š‘’š‘” š‘Œ2 š‘¹ āˆ’1 = 1 š‘’ 1 š‘• = 1 š‘’š‘• Karena š‘’š‘• ā‰  0 akibatnya 1 š‘’š‘• ā‰  0 sehingga š‘‘š‘’š‘” š‘Œ2 š‘¹ āˆ’1 ā‰  0 Akan ditunjukkan š‘‹2 š‘¹ š‘Œ2 š‘¹ āˆ’1 āˆˆ š»2 š‘¹ š‘‹2 š‘¹ š‘Œ2 š‘¹ āˆ’1 = š‘Ž š‘ 0 š‘‘ 1 š‘’ āˆ’š‘“ š‘’š‘• 0 1 š‘• digunakan teorema ššžš­ š‘Øš‘© = ššžš­ š‘Ø ššžš­ā”(š‘©) karena diketahui det (š‘‹2 š‘¹ ) ā‰  0 & det (š‘Œ2 š‘¹ )āˆ’1 ā‰  0 maka š‘‘š‘’š‘” š‘‹2 š‘¹ š‘Œ2 š‘¹ āˆ’1 = š‘‘š‘’š‘” š‘‹2 š‘¹ š‘‘š‘’š‘” š‘Œ2 š‘¹ āˆ’1 ā‰  0 sehingga dapat disimpulkan š‘‹2 š‘¹ š‘Œ2 š‘¹ āˆ’1 āˆˆ š»2 š‘¹ āˆ“ jadi, š» š‘¹ ā‰¤ š‘€2 š‘¹ . āˆŽ 9. Tunjukkan š‘† = {3 š‘˜ ; š‘˜ āˆˆ š’} merupakan grup bagian dari grup (R, x)! Bukti: misalkan (š‘¹, Ɨ) membentuk grup
  • 54. 54 Untuk membuktikan š‘† merupakan subgrup dari š‘¹ digunakan teorema ā€œāˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup, H ā‰¤ G āŸŗ š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘āˆ’1 āˆˆ š»". Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan: a. š‘† ā‰  āˆ… Perhatikan bahwa: š‘† ā‰  āˆ… sebab āˆƒ(32 ; 2 āˆˆ š’) āˆˆ š‘† ā€¦ (terpenuhi) b. š‘† āŠ† š‘¹ Ambil sebarang š‘„ āˆˆ š‘† Pandang š‘„ = 3 š‘˜ ; š‘˜ āˆˆ š’ Perhatikan bahwa: š‘„ = (3 š‘˜ ; š‘˜ āˆˆ š’) āˆˆ š‘¹ š‘„ āˆˆ š‘† āˆ§ š‘„ = (3 š‘˜ ; š‘˜ āˆˆ š’) āˆˆ š‘¹ āŸ¹ š‘† āŠ† š‘¹ ā€¦ (terpenuhi) c. āˆ€š‘, š‘ž āˆˆ š‘† āŸ¹ š‘š‘žāˆ’1 āˆˆ š‘† Ambil sebarang š‘, š‘ž āˆˆ š‘† Pandang: š‘ = (3 š‘š ; š‘š āˆˆ š’) āˆˆ š‘ŗ š‘ž = (3 š‘› ; š‘› āˆˆ š’) āˆˆ š‘ŗ Akan dibuktikan bahwa š‘š‘žāˆ’1 āˆˆ š‘† Perhatikan bahwa: š‘š‘žāˆ’1 = (3 š‘š ) 1 3 š‘› = (3 š‘š ) 3āˆ’š‘› = 3 š‘šāˆ’š‘› [š‘š āˆˆ š’ āˆ§ š‘› āˆˆ š’ āŸ¹ š‘š āˆ’ š‘› āˆˆ š’] = (3 š‘šāˆ’š‘› ) āˆˆ š‘ŗ ā€¦ (terpenuhi) āˆ“ jadi, š‘† = {3 š‘˜ ; š‘˜ āˆˆ š’} ā‰¤ (R, x) . āˆŽ 10. Misalkan šŗ = {1, āˆ’1, š‘–, āˆ’š‘–} dengan operasi perkalian maka {šŗ,Ɨ} membentuk grup. Pandang š» = {1, āˆ’1} apakah H subgrup dari G? Bukti: Misalkan šŗ = {1, āˆ’1, š‘–, āˆ’š‘–} dengan operasi perkalian, {šŗ,Ɨ} merupakan grup
  • 55. 55 Untuk membuktikan š» merupakan subgrup dari G digunakan teorema ā€œāˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup higga, H ā‰¤ G āŸŗ š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘ āˆˆ š»". Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan: a. G grup hingga šŗ = {1, āˆ’1, š‘–, āˆ’š‘–} jelas merupakan grup hingga ā€¦ (terpenuhi) b. š» ā‰  āˆ… š» ā‰  āˆ… sebab āˆƒ 1 āˆˆ š» ā€¦ terpenuhi c. š» āŠ† šŗ š» āŠ† šŗ jelas sebab {1, āˆ’1} āŠ† {1, āˆ’1, š‘–, āˆ’š‘–} d. āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ š‘€ ā‡’ š‘Žš‘ āˆˆ š‘€ Ambil sebarang š‘Ž, š‘ āˆˆ š‘€ akan ditunjukkan š‘Žš‘ āˆˆ š‘€ Karena H adalah subset G yang hingga maka cukup dibuktikan H tertutup terhadap operasi Ɨ. Perhatikan tabel dibawah ini: Ɨ 1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 Dari tabel diatas terlihat bahwa operasi Ɨ tertutup dalam H ā€¦ (terpenuhi) āˆ“ Jadi, (H, Ɨ) ā‰¤ (G, Ɨ). āˆŽ 11. (š’, +) merupakan grup, pandang 2š’ = {2š‘§; š‘§ āˆˆ š’} maka 2š’ merupakan subgrup dari Z! Bukti: Misalkan (š’, +) merupakan grup Untuk membuktikan 2š’ merupakan subgrup dari Z digunakan teorema ā€œāˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup, H ā‰¤ G āŸŗ š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘āˆ’1 āˆˆ š»". Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan:
  • 56. 56 a. 2š’ ā‰  āˆ… Perhatikan bahwa: 2š’ ā‰  āˆ… sebab āˆƒ(2 1 = 2; 1 āˆˆ š’) āˆˆ š‘† ā€¦ (terpenuhi) b. 2š’ āŠ† š’ Ambil sebarang š‘„ āˆˆ 2š’ Pandang š‘„ = 2š‘§; š‘§ āˆˆ š’ Perhatikan bahwa: š‘„ = (2š‘§; š‘§ āˆˆ š’) āˆˆ š’ sebab š‘§ āˆˆ š’, 2 āˆˆ š’ āˆ§ š’ memenuhi sifat tertutup karena š’ membentuk grup. š‘„ āˆˆ 2š’ āˆ§ š‘„ = š‘„ = (2š‘§; š‘§ āˆˆ š’) āˆˆ š’ āŸ¹ 2š’ āŠ† š’ ā€¦ (terpenuhi) c. āˆ€š‘, š‘ž āˆˆ 2š’ āŸ¹ š‘š‘žāˆ’1 āˆˆ 2š’ Ambil sebarang š‘, š‘ž āˆˆ 2š’ Pandang: š‘ = (2š‘§1; š‘§1 āˆˆ š’) āˆˆ 2š’ š‘ž = (2š‘§2; š‘§2 āˆˆ š’) āˆˆ 2š’ Akan dibuktikan bahwa š‘š‘žāˆ’1 āˆˆ 2š’ Perhatikan bahwa: š‘š‘žāˆ’1 = 2š‘§1 + āˆ’2š‘§2 = 2š‘§1 āˆ’ 2š‘§2 = 2(š‘§1 āˆ’ š‘§2) [š‘§1 āˆˆ š’ āˆ§ š‘§2 āˆˆ š’ āŸ¹ š‘§1 āˆ’ š‘§2 āˆˆ š’] = 2(š‘§1 āˆ’ š‘§2) āˆˆ 2š’ ā€¦ (terpenuhi) āˆ“ jadi, 2š’ ā‰¤ š’. āˆŽ 12. Misalkan H, K kompleks sebarang dari grup G, Apakah HK = KH? (jika ā€œyaā€ tunjukkan, jika ā€œtidakā€ berikan contoh penyangkal) Bukti: š»š¾ ā‰  š¾š» Contoh penyangkal Misalkan M adalah himpunan matriks real 2x2 dan (M,*) membentuk grup
  • 57. 57 š‘€ = š‘Ž š‘ š‘ š‘‘ , š‘Ž, š‘, š‘, š‘‘ āˆˆ ā„, š‘Žš‘‘ āˆ’ š‘š‘ ā‰  0 Ambil sebarang š‘€1, š‘€2 āˆˆ M Pandang: š‘€1 = 1 0 2 1 ; 1,0,2 āˆˆ ā„, 1 ā‰  0 š‘€2 = 1 2 0 1 ; 1,0,2 āˆˆ ā„, 1 ā‰  0 Perhatikan bahwa: š‘€1 š‘€2 = 1 0 2 1 1 2 0 1 = 1 2 2 5 ā€¦ (i) š‘€2 š‘€1 = 1 2 0 1 1 0 2 1 = 5 2 2 1 ā€¦ (ii) Dari (i) dan (ii) diperoleh bahwa š‘€1 š‘€2 ā‰  š‘€2 š‘€1, 13. Misalkan G grup dan H, K, L masing-masing subset dari H. Buktikan š» š¾ āˆŖ šæ = š»š¾ āˆŖ š»šæ, Apakah š» š¾ āˆ© šæ = š»š¾ āˆ© š»šæ? Bukti: I. š» š¾ āˆŖ šæ = š»š¾ āˆŖ š»šæ Untuk membuktikan š» š¾ āˆŖ šæ = š»š¾ āˆŖ š»šæ mka akan diperlihatkan bahwa š» š¾ āˆŖ šæ āŠ† š»š¾ āˆŖ š»šæ dan š» š¾ āˆŖ šæ āŠ‡ š»š¾ āˆŖ š»šæ Akan ditunjukkan š» š¾ āˆŖ šæ āŠ† š»š¾ āˆŖ š»šæ Ambil sebarang š‘„ āˆˆ š» š¾ āˆŖ šæ ā€¦ (i) Perhatikan bahwa: š‘„ āˆˆ š» š¾ āˆŖ šæ āŸ¹ š‘„ = h (k āˆØ l) , untuk š‘• āˆˆ š», š‘˜ āˆˆ š¾ dan š‘™ āˆˆ šæ š‘„ = š‘• (š‘˜ āˆØ š‘™) š‘„ = š‘•š‘– [misalkan (š‘˜ āˆØ š‘™) = š‘–] š‘„ = š‘•š‘– [untuk š‘• āˆˆ š», š‘˜ āˆˆ š¾ dan š‘™ āˆˆ šæ] š‘„ = š‘•š‘– [untuk š‘•š‘– āˆˆ š»š¾ atau š‘•š‘– āˆˆ š»šæ] š‘„ āˆˆ š»š¾ atau š‘„ āˆˆ š»šæ š‘„ āˆˆ š»š¾ āˆŖ š»šæ ā€¦ (ii)
  • 58. 58 Berdasarkan (i) dan (ii) disimpulkan bahwa š» š¾ āˆŖ šæ āŠ† š»š¾ āˆŖ š»šæ ā€¦(iii) Akan ditunjukkan š» š¾ āˆŖ šæ āŠ‡ š»š¾ āˆŖ š»šæ Ambil sebarang š‘¦ āˆˆ š»š¾ āˆŖ š»šæ ā€¦ (iv) š‘¦ āˆˆ š»š¾ āˆŖ š»šæ āŸ¹ š‘¦ = š‘•š‘˜ š‘Žš‘”š‘Žš‘¢ š‘¦ = š‘•š‘™, untuk š‘• āˆˆ š», š‘˜ āˆˆ š¾ dan š‘™ āˆˆ šæ š‘¦ = š‘•š‘˜ š‘Žš‘”š‘Žš‘¢ š‘¦ = š‘•š‘™ š‘¦ = š‘•(š‘˜ āˆØ š‘™) š‘¦ āˆˆ š» š¾ āˆŖ šæ ā€¦ (v) Berdasarkan (iv) dan (v) disimpulkan bahwa š» š¾ āˆŖ šæ āŠ‡ š»š¾ āˆŖ š»šæā€¦(vi) āˆ“ berdasarkan iii dan vi dapat disimpulkan bahwa š» š¾ āˆŖ šæ = š»š¾ āˆŖ š»šæ II. Apakah š» š¾ āˆ© šæ = š»š¾ āˆ© š»šæ? š» š¾ āˆ© šæ ā‰  š»š¾ āˆ© š»šæ Contoh penyangkal: Misalkan G = {1, -1, i, -i} grup; H,K dan L masing-masing subset dari G Pandang H = {-1, 1} āŠ† G, K = {1, i} āŠ† G dan L ={-1, i} āŠ† G perhatikan: K āˆ© L = {i} H (K āˆ© L) = {(-1,1),(i)}= {-i,i} ā€¦ (i) HK = {(-1, 1), (1, i)} = {-1, 1, -i, i} HL = {(-1, 1), (-1, i)} = {1, -1, -i, i} HK āˆ© HL = {1, -1, -i, i} ā€¦ (ii) āˆ“ berdasarkan i dan ii dapat disimpulkan bahwa H(K āˆ© L) ā‰  HK āˆ© HL. āˆŽ 14. Misalkan š» āŠ† šŗ, š» ā‰  āˆ… dan G grup. Buktikan H subgrup dari G āŸŗ š»š»āˆ’1 = š» Bukti: Misalkan š» āŠ† šŗ, š» ā‰  āˆ… āŸ¹) akan dibuktikan H subgrup dari G āŸ¹ š»š»āˆ’1 = š» Untuk membuktikan š»š»āˆ’1 = š» maka perlu ditunjukkan a) š»š»āˆ’1 āŠ† š» b) š»š»āˆ’1 āŠ‡ š»
  • 59. 59 ambil sebarang š‘„ āˆˆ š»š»āˆ’1 ā€¦ (i) š‘„ āˆˆ š»š»āˆ’1 maka š‘„ = š‘Žš‘āˆ’1 ; untuk suatu š‘Ž, š‘ āˆˆ š» Karena H subgrup G dan š‘Ž, š‘ āˆˆ š» maka š‘Žš‘āˆ’1 āˆˆ š» akibatnya š‘„ āˆˆ š» ā€¦ (ii) dari (i) dan (ii) disimpulkan š»š»āˆ’1 āŠ† š» ā€¦(iii) ambil sebarang š‘Ž āˆˆ š» ā€¦(iv) karena H subgrup G, maka āˆƒš‘’ āˆˆ š» [e=identitas] catatan: š‘’ āˆˆ š» = š‘’āˆ’1 āˆˆ š»āˆ’1 [e=identitas] Sehingga dapat dituliskan š‘Žš‘’āˆ’1 = š‘Ž āˆˆ š»š»āˆ’1 ā€¦ (v) Dari (iv) dan (v) disimpulkan š» āŠ† š»š»āˆ’1 atau š»š»āˆ’1 āŠ‡ š» ā€¦ (vi) āˆ“ dari (iii) dan (vi) disimpulkan bahwa š»š»āˆ’1 = š» āŸø) akan dibuktikan š»š»āˆ’1 = š» āŸ¹ H subgrup dari G ambil sebarang š‘¦ āˆˆ š»š»āˆ’1 š‘¦ āˆˆ š»š»āˆ’1 āŸ¹ š‘¦ = š‘Žš‘āˆ’1 ; š‘Ž, š‘ āˆˆ š» Diktahui š»š»āˆ’1 = š» maka š‘¦ āˆˆ š» atau y= š‘Žš‘āˆ’1 āˆˆ š» āˆ“ Karena š‘Žš‘āˆ’1 āˆˆ š» dan diketahui š» āŠ† šŗ, š» ā‰  āˆ… āŸ¹ š» ā‰¤ šŗ. āˆ“ jadi, š» āŠ† šŗ, š» ā‰  āˆ…, H ā‰¤ G āŸŗ š»š»āˆ’1 = š». āˆŽ 15. Misalkan G grup dan H, K masing-masing komplex dari G. Buktikan: HK subgrup dari G jika dan hanya jika HK = KH Bukti: Misalkan šŗ grup , āˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ š‘‘š‘Žš‘› āˆ… ā‰  š¾ āŠ† šŗ āŸ¹) akan dibuktikan HK ā‰¤ G āŸ¹ HK = KH Untuk membuktikan HK=KH maka perlu ditunjukkan š»š¾ āŠ† š¾š» dan š¾š» āŠ† š»š¾ (i) Ambil sebarang š‘„ āˆˆ š»š¾ Diketahui HK ā‰¤ G maka š‘„ memiliki unsur invers sehingga š‘„āˆ’1 āˆˆ š»š¾
  • 60. 60 Pandang š‘„āˆ’1 = š‘•1 š‘˜1; untuk suatu š‘•1 āˆˆ š», š‘˜1 āˆˆ š¾ Perhatikan bahwa: š‘„ = š‘„āˆ’1 āˆ’1 [sifat grup] = š‘•1 š‘˜1 āˆ’1 [š‘„āˆ’1 = š‘•1 š‘˜1] = š‘˜1 āˆ’1 š‘•1 āˆ’1 [ š‘•1 š‘˜1 āˆ’1 = š‘˜1 āˆ’1 š‘•1 āˆ’1 ] = š‘˜1 āˆ’1 š‘•1 āˆ’1 [diketahui HK ā‰¤ G maka unsur invers jelas dipenuhi sehingga š‘˜1 āˆ’1 āˆˆ š¾, š‘•1 āˆ’1 āˆˆ š»] = š‘˜1 āˆ’1 š‘•1 āˆ’1 āˆˆ š¾š» [memenuhi sifat tertutup sebab HK ā‰¤ G] āˆ“ š‘„ āˆˆ š»š¾ ā‹€ š‘„ = š‘˜1 āˆ’1 š‘•1 āˆ’1 āˆˆ š¾š» āŸ¹ š»š¾ āŠ† š¾š» (ii) Ambil sebarang š‘•2 āˆˆ š» dan š‘˜2 āˆˆ š¾ Karena HK ā‰¤ G maka unsur invers jelas dipenuhi sehingga š‘˜1 āˆ’1 āˆˆ š¾, š‘•1 āˆ’1 āˆˆ š» Tulis š‘•1 āˆ’1 š‘˜1 āˆ’1 āˆˆ š»š¾ Perhatikan bahwa: š‘˜1 š‘•1 āˆˆ š¾š» š‘˜1 š‘•1 = š‘•1 āˆ’1 š‘˜1 āˆ’1 āˆ’1 āˆˆ š»š¾ [sifat grup š‘„ = š‘„āˆ’1 āˆ’1 ] āˆ“ š‘˜1 š‘•1 āˆˆ š¾š» ā‹€ š‘˜1 š‘•1 = š‘•1 āˆ’1 š‘˜1 āˆ’1 āˆ’1 āˆˆ š»š¾ āŸ¹ š¾š» āŠ† š»š¾ āˆ“ HK ā‰¤ G āŸ¹ HK = KH. āˆŽ 16. Buktikan: Jika H, K subgrup dari G, maka š» ļƒ‡ š¾ juga subgrup dari G Bukti: Misalkan G grup, H ā‰¤ G, K ā‰¤ G Untuk membuktikan š» ļƒ‡ š¾ ā‰¤ G digunakan teorema ā€œāˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup, H ā‰¤ G āŸŗ š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘āˆ’1 āˆˆ š»". Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan: a. š» āˆ© š¾ ā‰  āˆ…
  • 61. 61 Karena H ā‰¤ G, K ā‰¤ G maka jelas āˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ š‘‘š‘Žš‘› āˆ… ā‰  š¾ āŠ† šŗ Sehingga jelas š» āˆ© š¾ ā‰  āˆ… ā€¦ (terpenuhi) b. š» āˆ© š¾ļƒ G Karena H ā‰¤ G, K ā‰¤ G maka memiliki unsur identitas yang sama di G Misalkan e adalah unsur identitas tulis š‘’ āˆˆ š» āˆ© š¾ karena š‘’ āˆˆ š» āˆ© š¾ āˆ§ š‘’ āˆˆ šŗ āŸ¹ š» āˆ© š¾ļƒ G ā€¦ (terpenuhi) c. š‘„š‘¦āˆ’1 āˆˆ š» āˆ© š¾ Ambil sebarang š‘„, š‘¦ āˆˆ š» āˆ© š¾ karena š‘„, š‘¦ āˆˆ š» āˆ© š¾, maka: š‘„ āˆˆ š» āˆ© š¾ļƒž š‘„ āˆˆ š» āˆ§ š‘„ āˆˆ š¾ š‘¦ āˆˆ š» āˆ© š¾ļƒž š‘¦ āˆˆ š» āˆ§ š‘¦ āˆˆ š¾ Perhatikan bahwa: š‘¦ āˆˆ š» dan H subgrup G maka āˆƒ š‘¦āˆ’1 āˆˆ š» š‘¦ āˆˆ š¾ dan K subgrup G maka āˆƒ š‘¦āˆ’1 āˆˆ š¾ Sehingga š‘„ āˆˆ š» āˆ§ š‘¦āˆ’1 āˆˆ š» āŸ¹ š‘„š‘¦āˆ’1 āˆˆ š» ā€¦ (i) š‘„ āˆˆ š¾ āˆ§ š‘¦āˆ’1 āˆˆ š¾ āŸ¹ š‘„š‘¦āˆ’1 āˆˆ š¾ ā€¦(ii) Dari (i) dan (ii) maka š‘„š‘¦āˆ’1 āˆˆ š» āˆ© š¾ ā€¦ (terpenuhi) āˆ“ H āˆ© K ā‰¤ G. āˆŽ 17. Buktikan: Teorema 4.9 (Tahmir, S. 2004: 73) Teorema 4.9: Irisan sebarang keluarga subgrup dari grup G juga merupakan subgrup dari G. Bukti: Misalkan š»1, š»2, š»3, ā€¦ masing-masing sebarang keluarga subgrup dari grup G. Akan dibuktikan š»1 āˆ© š»2 āˆ© š»3 āˆ© ā€¦ Misalkan š»š‘– = š»1, š»2, š»3, ā€¦ ; š‘– = 1,2,3, .. Untuk membuktikan š»š‘– ā‰¤ G
  • 62. 62 digunakan teorema ā€œāˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup, H ā‰¤ G āŸŗ š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘āˆ’1 āˆˆ š»". Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan: a. š»š‘– ā‰  āˆ… diketahui G grup sehingga āˆƒ š‘’ āˆˆ šŗ dan diketahui H ā‰¤ G maka š»š‘– ā‰  āˆ… sebab āˆƒ š‘’ āˆˆ š»š‘– [e=identitas] ā€¦ (terpenuhi) b. š»š‘– ļƒ G š»š‘– ļƒ G jelas dipenuhi sebab š»š‘– = š»1, š»2, š»3, ā€¦ ; š‘– = 1,2,3, .. adalah himpunan sebarang keluarga subgrup dari G ā€¦ (terpenuhi) c. āˆ€š‘„, š‘¦ āˆˆ š»š‘– āŸ¹ š‘„š‘¦āˆ’1 āˆˆ š»š‘– Ambil sebarang š‘„, š‘¦ āˆˆ š»š‘– š‘„ āˆˆ š»š‘– ; š‘– = 1,2,3, .. š‘¦ āˆˆ š»š‘– ; š‘– = 1,2,3, .. Karena š»š‘– ; š‘– = 1,2,3, .. adalah sebarang keluarga subgrup dari G maka āˆƒ š‘¦āˆ’1 āˆˆ š»š‘– ; š‘– = 1,2,3, .. [memiliki unsur invers] Perhatikan bahwa š‘„ āˆˆ š»š‘– & š‘¦āˆ’1 āˆˆ š»š‘– ; š‘– = 1,2,3, .. maka š‘„š‘¦āˆ’1 āˆˆ š»š‘– ; š‘– = 1,2,3, . .. [memenuhi sifat tertutup sebab š»š‘– ; š‘– = 1,2,3, .. adalah sebarang keluarga subgrup dari G] ā€¦ (terpenuhi) āˆ“ Hi ā‰¤ G ; š‘– = 1,2,3, . ... āˆŽ 18. Jika H, K subgrup dari grup H, apakah š» āˆŖ š¾ juga subgrup dari G? Bukti: š» āˆŖ š¾ bukan subgrup dari G contoh penyangkal misalkan (š‘, +) adalah grup dan (2Z, +) dan (3Z, +) adalah subgrup dari G š‘, + . akan dibuktikan 2Z atau 3Z subgrup Z 2š‘ = { ā€¦ āˆ’ 2, 0, 2, ā€¦ } 3š‘ = { ā€¦ āˆ’ 3, 0, 3, ā€¦ } 2š‘ āˆŖ 3š‘ = ā€¦ , āˆ’3, āˆ’2, 0, 2, 3, 4, ā€¦
  • 63. 63 Perhatikan bahwa: 4 āˆˆ 2š‘ āˆŖ 3š‘ 3 āˆˆ 2š‘ āˆŖ 3š‘ 4 + 3 = 7 ļƒ(2š‘ āˆŖ 3š‘) Sehingga 7ļƒ2š‘ āˆŖ 3š‘ bukan subgrup Z sebab tidak memenuhi sifat tertutup. āˆ“ Jadi jika H, K subgrup dari grup G, maka š» āˆŖ š¾ bukan subgrup dari G. āˆŽ 19. Misalkan G grup dan š» = {š‘Ž āˆˆ šŗ, š‘„š‘Ž = š‘Žš‘„, āˆ€š‘„ āˆˆ šŗ} Buktikan bahwa H subgrup dari G. Bukti: Untuk membuktikan š» ā‰¤ G digunakan teorema ā€œāˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup, H ā‰¤ G āŸŗ š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘āˆ’1 āˆˆ š»". Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan: a. š» ā‰  āˆ… š» ā‰  0 sebab G adalah grup maka āˆƒš‘’ āˆˆ šŗ, e unsur identitas dari G āˆ‹ š‘’š‘Ž = š‘Žš‘’ = š‘Ž āˆˆ š». b. š» āŠ† šŗ š‘Ž āˆˆ šŗ, š‘„ āˆˆ šŗ dan š‘„š‘Ž āˆˆ šŗ, sedangkan š‘„š‘Ž = š‘Žš‘„ āˆˆ š», maka š»ļƒŒ šŗ. c. āˆ€š‘„, š‘¦ āˆˆ š» āŸ¹ š‘„š‘¦āˆ’1 āˆˆ š» Ambil sebarang š‘„, š‘¦ āˆˆ š», maka š‘„š‘Ž = š‘Žš‘„ dan š‘¦š‘Ž = š‘Žš‘¦, selanjutnya perhatikan bahwa: š‘„š‘¦āˆ’1 š‘Ž = š‘„š‘¦āˆ’1 š‘Žš‘’ [e=identitas] = š‘„š‘¦āˆ’1 š‘Ž š‘¦š‘¦āˆ’1 [e= š‘¦š‘¦āˆ’1 ] = š‘„š‘¦āˆ’1 š‘Žš‘¦ š‘¦āˆ’1 [sifat asosiatif] = š‘„š‘¦āˆ’1 š‘¦š‘Ž š‘¦āˆ’1 [š‘¦š‘Ž = š‘Žš‘¦] = š‘„ š‘¦š‘¦āˆ’1 (š‘Ž š‘¦āˆ’1 ) [sifat asosiatif] = š‘„š‘’š‘Žš‘¦āˆ’1 [š‘¦š‘¦āˆ’1 = e] = (š‘„š‘’)š‘Žš‘¦āˆ’1 [sifat asosiatif]
  • 64. 64 = š‘„š‘Žš‘¦āˆ’1 [š‘„š‘’ = š‘„] = š‘„š‘Ž š‘¦āˆ’1 [sifat asosiatif] = š‘Žš‘„ š‘¦āˆ’1 [š‘„š‘Ž = š‘Žš‘„] = š‘Ž(š‘„š‘¦āˆ’1 ) [sifat asosiatif] Sehingga š‘„š‘¦āˆ’1 āˆˆ š» āˆ“ Jadi H adalah subgrup dari G. āˆŽ 20. Jika G grup komutatif dengan unsur identitas e, dan š» = {š‘Ž āˆˆ šŗ: š‘Ž2 = š‘’}. Buktikan H subgrup dari G. Bukti: Untuk membuktikan š» ā‰¤ G digunakan teorema ā€œāˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup, H ā‰¤ G āŸŗ š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘āˆ’1 āˆˆ š»". Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan: a. š» ā‰  āˆ… š» ā‰  0 sebab š‘Ž āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘Ž2 = š‘’ āˆˆ š» [e=identitas]. b. š» āŠ† šŗ Karena š‘’ āˆˆ šŗ dan berlaku š‘Ž2 = š‘’ āˆˆ š» [e = identitas] maka š» āŠ† šŗ c. āˆ€š‘š, š‘› āˆˆ š» āŸ¹ š‘šš‘›āˆ’1 āˆˆ š» Ambil sebarang š‘š, š‘› āˆˆ š» Perhatikan bahwa: š‘š āˆˆ š»; š‘š2 = š‘’ āŸ¹ š‘šš‘š = š‘’ āŸ¹ š‘šš‘šš‘šāˆ’1 = š‘’š‘šāˆ’1 [kalikan kedua ruas š‘šāˆ’1 ] āŸ¹ š‘š(š‘šš‘šāˆ’1 ) = š‘šāˆ’1 [sifat assosiatif, š‘’š‘šāˆ’1 = š‘šāˆ’1 ] āŸ¹ š‘šš‘’ = š‘šāˆ’1 [š‘šš‘šāˆ’1 = š‘’] āŸ¹ š‘š = š‘šāˆ’1 āˆˆ š» [š‘šš‘’ = š‘š] š‘› āˆˆ š»; š‘›2 = š‘’ āŸ¹ š‘›š‘› = š‘’ āŸ¹ š‘›š‘›š‘›āˆ’1 = š‘’š‘›āˆ’1 [kalikan kedua ruas š‘›āˆ’1 ] āŸ¹ š‘›(š‘›š‘›āˆ’1 ) = š‘›āˆ’1 [sifat assosiatif, š‘’š‘›āˆ’1 = š‘›āˆ’1 ]
  • 65. 65 āŸ¹ š‘›š‘’ = š‘›āˆ’1 [š‘›š‘›āˆ’1 = š‘’] āŸ¹ š‘› = š‘›āˆ’1 āˆˆ š» [š‘›š‘’ = š‘›] Akan dibuktikan (š‘šš‘›āˆ’1 )2 = š‘’ (š‘šš‘›āˆ’1 )2 = (š‘šš‘›āˆ’1 )(š‘šš‘›āˆ’1 ) = (š‘šš‘›āˆ’1 )(š‘›āˆ’1 š‘š) [sifat komutatif] = š‘š(š‘›āˆ’1 š‘›āˆ’1 )š‘š [sifat assosiatif] = š‘š(š‘›āˆ’1 )2 š‘š [š‘›āˆ’1 š‘›āˆ’1 = (š‘›āˆ’1 )2 ] = š‘š(š‘›)2 š‘š [š‘›āˆ’1 = š‘›] = š‘šš‘’š‘š [š‘›2 = š‘’] = š‘š(š‘’š‘š) [sifat assosiatif] = š‘šš‘š [š‘’š‘š = š‘š] = š‘š2 [š‘šš‘š = š‘š2 ] = š‘’ [š‘š2 = š‘’] āˆ“ Jadi, š» = š‘Ž āˆˆ šŗ: š‘Ž2 = š‘’ adalah subgrup dari G. āˆŽ 21. Jika š‘€, š‘ masing-masing subgrup dari grup G, dan untuk setiap š‘„ āˆˆ šŗ, š‘„āˆ’1 š‘€š‘„ = š‘€ dan š‘„āˆ’1 š‘š‘„ = š‘. Buktikan, Jika š‘€ āˆ© š‘ = {š‘’} maka š‘šš‘› = š‘›š‘š untuk š‘š āˆˆ š‘€, š‘› āˆˆ š‘ (e unsur identitas di G). Bukti: Diketahui: š‘€, š‘ ā‰¤ šŗ, š‘„ āˆˆ šŗ š‘„āˆ’1 š‘€š‘„ = š‘€ š‘„āˆ’1 š‘š‘„ = š‘ Akan dibuktikan: š‘€ āˆ© š‘ = {š‘’} āŸ¹ š‘šš‘› = š‘›š‘š untuk Ambil sebarang š‘š, š‘› dengan š‘š āˆˆ š‘€, š‘› āˆˆ š‘ Perhatikan bahwa: š‘ ā‰¤ šŗ dan š‘€ ā‰¤ šŗ āŸ¹ āˆ… ā‰  š‘ āŠ† šŗ dan āˆ… ā‰  š‘€ āŠ† šŗ āˆ‹ š‘š, š‘› āˆˆ šŗ Karena š‘„āˆ’1 š‘€š‘„ = š‘€, š‘š āˆˆ š‘€, š‘› āˆˆ šŗ maka š‘›āˆ’1 š‘€š‘› = š‘€ atau š‘›āˆ’1 š‘šš‘› āˆˆ š‘€ ā€¦ā€¦ (1)
  • 66. 66 karena š‘„āˆ’1 š‘š‘„ = š‘, š‘› āˆˆ š‘, š‘š āˆˆ šŗ maka š‘šāˆ’1 š‘š‘š = š‘ atau š‘šāˆ’1 š‘›š‘š āˆˆ š‘ ā€¦ā€¦ (2) Perhatikan š‘›āˆ’1 š‘šāˆ’1 š‘›š‘š = š‘›āˆ’1 (š‘šāˆ’1 š‘›š‘š) = (š‘›āˆ’1 š‘šāˆ’1 š‘›)š‘š ā€¦ā€¦ (3) Dari (1) š‘›āˆ’1 š‘šš‘› āˆˆ š‘€ dan š‘šāˆ’1 āˆˆ š‘€ maka (š‘›āˆ’1 š‘šāˆ’1 š‘›)š‘š āˆˆ š‘€ ā€¦ā€¦ (4) Dari (2) š‘šāˆ’1 š‘›š‘š āˆˆ š‘ dan š‘›āˆ’1 āˆˆ š‘ maka š‘›āˆ’1 (š‘šāˆ’1 š‘›š‘š) āˆˆ š‘ ā€¦ā€¦ (5) Dari (4) dan (5) dapat disimpulkan bahwa: š‘›āˆ’1 š‘šāˆ’1 š‘›š‘š āˆˆ š‘€ āˆ© š‘ = {š‘’} Jadi: š‘’ = š‘›āˆ’1 š‘šāˆ’1 š‘›š‘š Akan dibuktikan: š‘šš‘› = š‘›š‘š š‘šš‘› = š‘šš‘› (š‘’) [kalikan e, e=indentitas] = š‘šš‘› š‘›āˆ’1 š‘šāˆ’1 š‘›š‘š [š‘’ = š‘›āˆ’1 š‘šāˆ’1 š‘›š‘š] = š‘šš‘› š‘›āˆ’1 š‘šāˆ’1 )(š‘›š‘š [sifat assosiatif] = š‘šš‘› š‘šš‘› āˆ’1 (š‘›š‘š) [š‘›āˆ’1 š‘šāˆ’1 = š‘šš‘› āˆ’1 , sifat grup] = {š‘šš‘› š‘šš‘› āˆ’1 }(š‘›š‘š) [sifat assosiatif] = š‘’(š‘›š‘š) [š‘šš‘› š‘šš‘› āˆ’1 = š‘’] = š‘›š‘š [š‘’(š‘›š‘š) = š‘›š‘š] āˆ“ Jadi, š‘€ āˆ© š‘ = {š‘’} maka š‘šš‘› = š‘›š‘š untuk š‘š āˆˆ š‘€, š‘› āˆˆ š‘ (e unsur identitas di G). āˆŽ 22. Diketahui G grup abelian dan š», š¾ subgrup di šŗ. Buktikan bahwa š»š¾ = {š‘•š‘˜; š‘• āˆˆ š», š‘˜ āˆˆ š¾} merupakan subgrup di G. Bukti: Misalkan G grup, H ā‰¤ G, K ā‰¤ G Untuk membuktikan š»š¾ ā‰¤ G digunakan teorema ā€œāˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup, H ā‰¤ G āŸŗ š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘āˆ’1 āˆˆ š»". Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan: a. š»š¾ ā‰  āˆ…
  • 67. 67 Diketahui: G grup āŸ¹ āˆƒš‘’ āˆˆ šŗ [e=identitas] H ā‰¤ G āŸ¹ āˆƒš‘’ āˆˆ š» ā€¦ā€¦ (1) K ā‰¤ G āŸ¹ āˆƒš‘’ āˆˆ š¾ ā€¦ā€¦ (2) Dari (1) dan (2) maka š»š¾ = {š‘’} akibatnya š»š¾ ā‰  āˆ… b. š»š¾ āŠ† šŗ H ā‰¤ G āŸ¹ āˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ & K ā‰¤ G āŸ¹ āˆ… ā‰  š¾ āŠ† šŗ sehingga š»š¾ āŠ† šŗ c. āˆ€š‘, š‘ž āˆˆ š»š¾ āŸ¹ š‘š‘žāˆ’1 āˆˆ š»š¾ Ambil sebarang š‘, š‘ž āˆˆ š»š¾ Pandang: š‘ = š‘•1 š‘˜1 untuk suatu š‘•1 āˆˆ š», š‘˜1 āˆˆ š¾ š‘ž = š‘•2 š‘˜2 untuk suatu š‘•2 āˆˆ š», š‘˜2 āˆˆ š¾ Keterangan: H ā‰¤ G āŸ¹ āˆƒ š‘•1 āˆ’1 , š‘•2 āˆ’1 āˆˆ š» K ā‰¤ G āŸ¹ āˆƒš‘˜1 āˆ’1 , š‘˜2 āˆ’1 āˆˆ š¾ Akan ditunjukkan š‘š‘žāˆ’1 āˆˆ š»š¾ š‘š‘žāˆ’1 = š‘•1 š‘˜1 š‘•2 š‘˜2 āˆ’1 = š‘•1 š‘˜1 (š‘˜2 āˆ’1 š‘•2 āˆ’1 ) [sifat grup, š‘•2 š‘˜2 āˆ’1 = š‘˜2 āˆ’1 š‘•2 āˆ’1 ] = š‘•1(š‘˜1 š‘˜2 āˆ’1 )š‘•2 āˆ’1 [sifat assosiatif] = š‘•1(š‘˜3)š‘•2 āˆ’1 [š‘˜1 āˆˆ š¾ āˆ§ š‘˜2 āˆ’1 āˆˆ š¾ āŸ¹ š‘˜1 š‘˜2 āˆ’1 āˆˆ š¾ ā€¦ ā€¦ Memenuhi sifat tertutup dan misalkan š‘˜1 š‘˜2 āˆ’1 = š‘˜3 āˆˆ š¾] = š‘•1(š‘˜3 š‘•2 āˆ’1 ) [sifat assosiatif] = š‘•1 š‘•2 āˆ’1 š‘˜3 [sifat komutatif] = (š‘•1 š‘•2 āˆ’1 )š‘˜3 [sifat assosiatif] = š‘•3 š‘˜3 [š‘•1 āˆˆ š» āˆ§ š‘•2 āˆ’1 āˆˆ š» āŸ¹ š‘•1 š‘•2 āˆ’1 āˆˆ š» ā€¦ ā€¦ Memenuhi sifat tertutup dan misalkan š‘•1 š‘•2 āˆ’1 = š‘•3 āˆˆ š»] = š‘•3 š‘˜3 [š‘˜3 āˆˆ š¾, š‘•3 āˆˆ š»] = š‘•3 š‘˜3 āˆˆ š»š¾ āˆ“ jadi, HK ā‰¤ G āˆŽ
  • 68. 68 23. Jika H subgrup dari G dan š‘Ž āˆˆ šŗ. Misalkan š‘Žš»š‘Žāˆ’1 = {š‘Žš‘•š‘Žāˆ’1 ; š‘• āˆˆ š»} maka tunjukkan bahwa š‘Žš»š‘Žāˆ’1 subgrup dari G! Bukti: Misalkan G grup, H ā‰¤ G, š‘Ž āˆˆ šŗ Untuk membuktikan š‘Žš»š‘Žāˆ’1 ā‰¤ G digunakan teorema ā€œāˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup, H ā‰¤ G āŸŗ š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘āˆ’1 āˆˆ š»". Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan: a. š‘Žš»š‘Žāˆ’1 ā‰  āˆ… Diketahui H ā‰¤ G āŸ¹ āˆƒš‘’ āˆˆ š» [e=identitas] Perhatikan bahwa: š‘Žš»š‘Žāˆ’1 = {š‘Žš‘’š‘Žāˆ’1 = š‘’; š‘’ āˆˆ š»} akibatnya š‘Žš»š‘Žāˆ’1 ā‰  āˆ… b. š‘Žš»š‘Žāˆ’1 āŠ† šŗ Diketahui š‘Ž āˆˆ šŗ dan H ā‰¤ G artinya āˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ āŸ¹ jelas š‘Žš»š‘Žāˆ’1 āŠ† šŗ c. āˆ€ š‘, š‘ž āˆˆ š‘Žš»š‘Žāˆ’1 āŸ¹ š‘š‘žāˆ’1 āˆˆ š‘Žš»š‘Žāˆ’1 Ambil sebarang š‘, š‘ž āˆˆ š‘Žš»š‘Žāˆ’1 Pandang: š‘ = š‘Žš‘•1 š‘Žāˆ’1 ; untuk suatu š‘•1 āˆˆ š» š‘ž = š‘Žš‘•2 š‘Žāˆ’1 ; untuk suatu š‘•2 āˆˆ š» H ā‰¤ G āŸ¹ āˆƒš‘•1 āˆ’1 , š‘•2 āˆ’1 āˆˆ š» Akan ditunjukkan š‘š‘žāˆ’1 āˆˆ š‘Žš»š‘Žāˆ’1 š‘š‘žāˆ’1 = š‘Žš‘•1 š‘Žāˆ’1 š‘Žš‘•2 š‘Žāˆ’1 āˆ’1 = š‘Žš‘•1 š‘Žāˆ’1 š‘Žš‘•2 āˆ’1 š‘Žāˆ’1 = š‘Žš‘•1(š‘Žāˆ’1 š‘Ž)š‘•2 āˆ’1 š‘Žāˆ’1 [sifat assosiatif] = š‘Žš‘•1 š‘’š‘•2 āˆ’1 š‘Žāˆ’1 [š‘Žāˆ’1 š‘Ž = š‘’] = š‘Ž(š‘•1 š‘’)š‘•2 āˆ’1 š‘Žāˆ’1 [sifat assosiatif] = š‘Žš‘•1 š‘•2 āˆ’1 š‘Žāˆ’1 [š‘•1 š‘’ = š‘•1] = š‘Ž(š‘•1 š‘•2 āˆ’1 )š‘Žāˆ’1 [sifat assosiatif] = š‘Žš‘•3 š‘Žāˆ’1 [š‘•1 āˆˆ š», š‘•2 āˆ’1 āˆˆ š» āŸ¹ š‘•1 š‘•2 āˆ’1 āˆˆ š» ā€¦ ā€¦ misalkan š‘•3=š‘•1 š‘•2 āˆ’1 āˆˆ š»]
  • 69. 69 = š‘Žš‘•3 š‘Žāˆ’1 [š‘•3 āˆˆ š»] = š‘Žš‘•3 š‘Žāˆ’1 āˆˆ š‘Žš»š‘Žāˆ’1 āˆ“ jadi, š‘Žš»š‘Žāˆ’1 ā‰¤ G āˆŽ 24. Himpunan š» = 1 2 š‘š ; š‘š āˆˆ š’ dengan operasi perkalian merupakan subgrup dari grup (Q{0},*). Bukti: Misalkan (Q{0},*) grup Untuk membuktikan š» ā‰¤ G digunakan teorema ā€œāˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup, H ā‰¤ G āŸŗ š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘āˆ’1 āˆˆ š»". Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan: a. š» ā‰  āˆ… š» ā‰  āˆ… sebab āˆƒ 1 4 = 1 22 ; 2 āˆˆ š’ āˆˆ š» b. š» āŠ† š‘ø{šŸŽ} Ambil sebarang š‘¢ āˆˆ š» Pandang š‘¢ = 1 2 š‘¤ ; š‘¤ āˆˆ š’ āˆˆ š» Perhatikan bahwa 1 2 š‘¤ ; š‘¤ āˆˆ š’ āŸ¹ 2 š‘¤ āˆˆ š‘ø{šŸŽ} Sehingga 1 2 š‘¤ āˆˆ š‘ø{šŸŽ} š‘¢ āˆˆ š» āˆ§ š‘¢ = 1 2 š‘¤ āˆˆ š‘ø{šŸŽ} āŸ¹ š» āŠ† š‘ø{šŸŽ} c. āˆ€ š‘, š‘ž āˆˆ š» āŸ¹ š‘š‘žāˆ’1 āˆˆ š» Ambil sebarang š‘, š‘ž āˆˆ š» Pandang: š‘ = 1 2 š‘  ; š‘  āˆˆ š’ āˆˆ š» š‘ž = 1 2š‘” ; š‘” āˆˆ š’ āˆˆ š»
  • 70. 70 Akan ditunjukkan š‘š‘žāˆ’1 āˆˆ š» š‘š‘žāˆ’1 = 1 2 š‘  1 2š‘” āˆ’1 = 1 2 š‘  1 1 2š‘” = 1 2 š‘  2š‘” = 1 2 š‘ āˆ’š‘” āˆˆ š» Karena š‘  āˆˆ š’ āˆ§ š‘” āˆˆ š’ āŸ¹ š‘  āˆ’ š‘” āˆˆ š’ āˆ“ jadi, š» ā‰¤ G āˆŽ ***
  • 71. 71 KOSET & SUBGRUP NORMAL Pendahuluan Misalkan G suatu grup dan H subgrup dari G. jika š‘Ž āˆˆ šŗ sebarang, maka kompleks dari G yang dinyatakan oleh Ha dan aH yang didefenisikan sebagai berikut: š»š‘Ž = š‘•š‘Ž; š‘• āˆˆ š» [kosest kanan] š‘Žš» = {š‘Žš‘•; š‘• āˆˆ š»} [koset kiri] Subgrup Normal ļƒ˜ Bila G suatu grup dan N subgrup dari G dinamakan subgrup normal dari G jika untuk setiap g ļƒŽļ€ G dan n ļƒŽļ€ N maka g n g-1 ļƒŽļ€ N atau ekivalen dengan pernyataan N merupakan subgrup normal dari G jika g N g-1 = {gng-1 / n ļƒŽļ€ N} ļƒŒļ€ N untuk setiap gļƒŽG ļƒ˜ Subgrup N merupakan subgrup normal dalam grup G, jika dan hanya jika untuk setiap g ļƒŽļ€ G maka g N g-1 = N Perhatikan g N g-1 = N tidak boleh diartikan g n g-1 = n, tetapi g n g-1 = n' untuk suatu n' ļƒŽļ€ N. ļƒ˜ Dalam suatu grup G, N merupakan subgrup normal jika dan hanya jika koset kanan dari N dalam G sama dengan koset kiri dari N dalam G. ļƒ˜ Dalam suatu grup G, N merupakan subgrup normal jika dan hanya jika perkalian dua koset kanan dari N dalam G, lagi merupakan koset kanan dari N dalam G.
  • 72. 72 1. Jika H subgrup dari G Buktikan: aH=bH jika dan hanya jika š‘āˆ’1 š‘Ž āˆˆ š», āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ. Bukti: Misalkan G grup dan š» ā‰¤ šŗ Akan dibuktikan š‘Žš» = š‘š» ļƒ› š‘āˆ’1 š‘Ž āˆˆ š», āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ āŸ¹) bukti dari kiri ke kanan Akan ditunjukkan š‘Žš» = š‘š» ļƒž š‘āˆ’1 š‘Ž āˆˆ š», āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ Ambil sebarang š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ āˆ‹ š‘Žš» = š‘š» Karena š‘’ āˆˆ š»(š‘’ unsur identitas) maka š‘Ž š‘’ āˆˆ š‘Žš» atau š‘Ž āˆˆ š‘Žš» Karena š‘Žš» = š‘š»ļƒž š‘Ž āˆˆ š‘š» [š‘Ž āˆˆ š‘Žš»] ļƒž š‘āˆ’1 š‘Ž āˆˆ š‘āˆ’1 (š‘š») [kalikan š‘āˆ’1 dari kiri] ļƒž š‘āˆ’1 š‘Ž āˆˆ (š‘āˆ’1 š‘)š» [sifat assosiatif] ļƒž š‘āˆ’1 š‘Ž āˆˆ š‘’š» [š‘āˆ’1 š‘ = š‘’] ļƒž š‘āˆ’1 š‘Ž āˆˆ š» [š‘’š» = š»] āŸ¹) bukti dari kanan ke kiri Akan ditunjukkan š‘āˆ’1 š‘Ž āˆˆ š» ļƒž š‘Žš» = š‘š» , āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ Misalkan š‘āˆ’1 š‘Ž āˆˆ š» akan ditunjukkan š‘Žš» = š‘š» š‘āˆ’1 š‘Ž āˆˆ š» ļƒž š‘āˆ’1 š‘Žš» = š» [Menurut teorema š‘š» = š»; š‘ āˆˆ š» ] ļƒž š‘š‘āˆ’1 š‘Žš» = š‘š» [kalikan š‘ dari arah kiri] ļƒž (š‘š‘āˆ’1 )š‘Žš» = š‘š» [sifat assosiatif] ļƒž(š‘’š‘Ž)š» = š‘š» [š‘š‘āˆ’1 = š‘’ & sifat assosiatif] ļƒžš‘Žš» = š‘š» [š‘’š‘Ž = š‘Ž] āˆ“ Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa š‘Žš» = š‘š» ļƒž š‘āˆ’1 š‘Ž āˆˆ š», āˆ€ š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ. āˆŽ 2. Jika H subgrup dari G Buktikan: Ha=Hb jika dan hanya jika š‘āˆ’1 š‘Ž āˆˆ š», āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ.
  • 73. 73 Bukti: Misalkan G grup dan š» ā‰¤ šŗ Akan dibuktikan š»š‘Ž = š»š‘ ļƒ› š‘āˆ’1 š‘Ž āˆˆ š», āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ āŸ¹) bukti dari kiri ke kanan Akan ditunjukkan š»š‘Ž = š»š‘ ļƒž š‘āˆ’1 š‘Ž āˆˆ š», āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ Ambil sebarang š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ āˆ‹ š»š‘Ž = š»š‘ Karena š‘’ āˆˆ š»(š‘’ unsur identitas) maka š‘Ž š‘’ āˆˆ š»š‘Ž atau š‘Ž āˆˆ š»š‘Ž Karena š»š‘Ž = š»š‘ļƒž š‘Ž āˆˆ š»š‘ [š‘Ž āˆˆ š»š‘Ž] ļƒž š‘Žš‘āˆ’1 āˆˆ (š»š‘)š‘āˆ’1 [kalikan š‘āˆ’1 dari kanan] ļƒž š‘Žš‘āˆ’1 āˆˆ š»(š‘š‘āˆ’1 ) [sifat assosiatif] ļƒž š‘Žš‘āˆ’1 āˆˆ š»š‘’ [š‘š‘āˆ’1 = š‘’] ļƒž š‘Žš‘āˆ’1 āˆˆ š» [š»š‘’ = š»] āŸ¹) bukti dari kanan ke kiri Akan ditunjukkan š‘Žš‘āˆ’1 āˆˆ š» ļƒž š»š‘Ž = š»š‘ , āˆ€š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ Misalkan š‘Žš‘āˆ’1 āˆˆ š» akan ditunjukkan š»š‘Ž = š»š‘ š‘Žš‘āˆ’1 āˆˆ š» ļƒž š»š‘Žš‘āˆ’1 = š» [Menurut teorema š‘š» = š»; š‘ āˆˆ š» ] ļƒž š»š‘Žš‘āˆ’1 š‘ = š»š‘ [kalikan š‘ dari arah kanan] ļƒž š»š‘Ž(š‘āˆ’1 š‘) = š»š‘ [sifat assosiatif] ļƒžš»(š‘Žš‘’) = š»š‘ [š‘āˆ’1 š‘ = š‘’ & sifat assosiatif] ļƒžš»š‘Ž = š»š‘ [š‘Žš‘’ = š‘Ž] āˆ“ Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa š»š‘Ž = š»š‘ ļƒž š‘Žš‘āˆ’1 āˆˆ š», āˆ€ š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ. āˆŽ 3. Buktikan, jika H subgrup dari G, maka G merupakan gabungan semua koset kanan (kiri) dari H di G. Bukti: Misalkan G grup dan š» ā‰¤ šŗ
  • 74. 74 Akan dibuktikan šŗ = š»š‘Ž āˆŖ š»š‘ H ā‰¤ šŗ ļƒžš» ā‰  āˆ… š»š‘Ž = š‘•š‘Ž; š‘• āˆˆ š» [defenisi] š»š‘ = š‘•š‘; š‘• āˆˆ š» [defenisi] š‘Ž, š‘ āˆˆ šŗ š‘• āˆˆ š» ļƒž š‘• āˆˆ šŗ [H ā‰¤ šŗ] š‘Ž āˆˆ šŗ, š‘• āˆˆ šŗ ļƒž š‘•š‘Ž āˆˆ šŗ š‘ āˆˆ šŗ, š‘• āˆˆ šŗ ļƒž š‘•š‘ āˆˆ šŗ Misalkan diambil sebarang š‘„ āˆˆ š»š‘Ž āˆŖ š»š‘ š‘„ āˆˆ š»š‘Ž āˆŖ š»š‘ ļƒž š‘„ āˆˆ š‘•š‘Ž āˆŖ š‘•š‘ ļƒž š‘„ āˆˆ šŗ [š‘•š‘Ž āˆˆ šŗ āˆ§ š‘•š‘ āˆˆ šŗ] āˆ“ Jadi jika H subgrup dari G, maka merupakan gabungan semua koset kanan (kiri) dari H di G. āˆŽ 4. Misalkan H dan M masing-masing sungrup normal dari grup G. Buktikan š» āˆ© š‘€ āŠ“ šŗ. Bukti: Misalkan G grup, š» āŠ“ šŗ & š‘€ āŠ“ šŗ Akan ditunjukkan bahwa š» āˆ© š‘€ āŠ“ šŗ Perhatikan bahwa: G grup maka jelas šŗ ā‰  āˆ…, Ambil sebarang š‘” āˆˆ šŗ dan Ambil sebarang š‘ āˆˆ š» āˆ© š‘€ š‘ āˆˆ š» āˆ© š‘€ āŸ¹ š‘ āˆˆ š» āˆ§ š‘ āˆˆ š‘€ Diketahui š» āŠ“ šŗ & š‘€ āŠ“ šŗ sehingga: š» āŠ“ šŗ āŸ¹ š‘š»š‘āˆ’1 = š» atau š‘š‘”š‘āˆ’1 āˆˆ š»; š‘ āˆˆ š», š‘” āˆˆ šŗ ā€¦ā€¦ā€¦.. (i) š‘€ āŠ“ šŗ āŸ¹ š‘š‘€š‘āˆ’1 = š‘€ atau š‘š‘šš‘āˆ’1 āˆˆ š‘€; š‘ āˆˆ š‘€, š‘” āˆˆ šŗ ā€¦ā€¦ā€¦.. (ii) Berdasarkan (i) dan (ii) diperoleh š‘š‘”š‘āˆ’1 āˆˆ š» āˆ© š‘€ āˆ“ š‘š‘”š‘āˆ’1 āˆˆ š» āˆ© š‘€; š‘ āˆˆ š» āˆ© š‘€ dan š‘” āˆˆ šŗ berdasarkan defenisi akibatnya š» āˆ© š‘€ āŠ“ šŗ. āˆŽ
  • 75. 75 5. Misalkan G grup, N dan H masing-masing subgrup dari G, dan normal di G. buktikan: a) š‘š» = {š‘›š‘•: š‘› āˆˆ š‘, š‘• āˆˆ š»} subgrup dari G b) š» subgrup normal dari š‘ Bukti: Misalkan G grup, š» ā‰¤ šŗ, š‘ āŠ“ šŗ a) Akan dibuktikan š‘š» = {š‘›š‘•: š‘› āˆˆ š‘, š‘• āˆˆ š»} ā‰¤ šŗ Untuk membuktikan š‘š» = {š‘›š‘•: š‘› āˆˆ š‘, š‘• āˆˆ š»} ā‰¤ šŗ digunakan teorema ā€œāˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup, H ā‰¤ G āŸŗ š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘āˆ’1 āˆˆ š»". Berdasarkan teorema di atas, akan ditunjukkan: d. š‘š» ā‰  āˆ… Diketahui š» ā‰¤ šŗ āŸ¹ āˆƒš‘’1 āˆˆ š» [š‘’1=identitas] š‘’1 āˆˆ š» āˆ§ š» ā‰¤ šŗ āŸ¹ š‘’1 āˆˆ šŗ Diketahui š‘ ā‰¤ šŗ āŸ¹ āˆƒš‘’2 āˆˆ š‘ [š‘’2=identitas] š‘’2 āˆˆ š‘ āˆ§ š‘ ā‰¤ šŗ āŸ¹ š‘’2 āˆˆ šŗ š‘’1 āˆˆ šŗ dan š‘’2 āˆˆ šŗ sementara diketahui G grup berdasarkan sifat ketunggalan unsur identitas pada grup akibatnya š‘’1 = š‘’2, misalkan š‘’ = š‘’1 = š‘’2 [e=identitas] Sekarang perhatikan: š‘š» = {š‘’ = š‘’1 š‘’2: š‘’1 āˆˆ š‘, š‘’2 āˆˆ š»} sehingga āˆƒš‘’ āˆˆ š‘š» akibatnya š‘š» ā‰  āˆ… e. š‘š» āŠ† šŗ Pada bagian (a) diperoleh š‘’ āˆˆ š‘š»; š‘’ āˆˆ š‘ dan š‘’ āˆˆ š» Diketahui bahwa š» ā‰¤ šŗ, š‘ āŠ“ šŗ maka jelas š‘’ āˆˆ šŗ Akibatnya pasti š‘š» āŠ† šŗ f. Ambil sebarang š‘„, š‘¦ āˆˆ š‘š» Pandang š‘„ = š‘›1 š‘•1; š‘›1 āˆˆ š‘ dan š‘•1 āˆˆ š» š‘¦ = š‘›2 š‘•2; š‘›2 āˆˆ š‘ dan š‘•2 āˆˆ š»
  • 76. 76 š‘›1, š‘›2 āˆˆ š‘ āˆ§ š‘ ā‰¤ šŗ āŸ¹ š‘›1, š‘›2 āˆˆ šŗ š‘›1, š‘›2 āˆˆ š‘ āˆ§ š‘ ā‰¤ šŗ āŸ¹ š‘›1 āˆ’1 , š‘›2 āˆ’1 āˆˆ šŗ š‘•1, š‘•2 āˆˆ š» āˆ§ š» ā‰¤ šŗ āŸ¹ š‘•1, š‘•2 āˆˆ šŗ š‘•1, š‘•2 āˆˆ š» āˆ§ š» ā‰¤ šŗ āŸ¹ š‘•1 āˆ’1 , š‘•2 āˆ’1 āˆˆ šŗ Adit š‘„yāˆ’1 āˆˆ š‘š» š‘„yāˆ’1 = (š‘›1 š‘•1)(š‘›2 š‘•2)āˆ’1 = (š‘›1 š‘•1) (š‘•2 āˆ’1 š‘›2 āˆ’1 ) [(š‘›2 š‘•2)āˆ’1 = š‘•2 āˆ’1 š‘›2 āˆ’1 ] = (š‘›1 š‘•1 š‘•2 āˆ’1 ) š‘›2 āˆ’1 [assosiatif] = (š‘›1 š‘•1 š‘•2 āˆ’1 ) (š‘•2 š‘›2 āˆ’1 š‘•2 āˆ’1 ) [š‘•2, š‘•2 āˆ’1 āˆˆ šŗ, š‘›2 āˆ’1 āˆˆ š‘, š‘ āŠ“ šŗ] = (š‘›1 š‘•1)(š‘•2 āˆ’1 š‘•2) (š‘›2 āˆ’1 š‘•2 āˆ’1 ) [assosiatif] = (š‘›1 š‘•1)(š‘’) (š‘›2 āˆ’1 š‘•2 āˆ’1 ) [š‘•2 āˆ’1 š‘•2 = š‘’, š‘’ = š‘–š‘‘š‘’š‘›š‘”š‘–š‘”š‘Žš‘ ] = š‘›1(š‘•1 š‘’) (š‘›2 āˆ’1 š‘•2 āˆ’1 ) [assosiatif] = (š‘›1 š‘•1) (š‘›2 āˆ’1 š‘•2 āˆ’1 ) [š‘•1 š‘’ = š‘•1] = š‘›1 š‘•1 (š‘•1 āˆ’1 š‘›2 āˆ’1 š‘•1)(š‘•2 āˆ’1 ) [š‘•1, š‘•1 āˆ’1 āˆˆ šŗ, š‘›2 āˆ’1 āˆˆ š‘, š‘ āŠ“ šŗ] = š‘›1 (š‘•1 š‘•1 āˆ’1 )š‘›2 āˆ’1 š‘•1 š‘•2 āˆ’1 [assosiatif] = š‘›1 (š‘’)š‘›2 āˆ’1 š‘•1 š‘•2 āˆ’1 [š‘•1 š‘•1 āˆ’1 = š‘’; š‘’ = š‘–š‘‘š‘’š‘›š‘”š‘–š‘”š‘Žš‘ ] = (š‘›1 š‘’)š‘›2 āˆ’1 š‘•1 š‘•2 āˆ’1 [assosiatif] = š‘›1 š‘›2 āˆ’1 š‘•1 š‘•2 āˆ’1 [š‘›1 š‘’ = š‘›1; š‘’ = š‘–š‘‘š‘’š‘›š‘”š‘–š‘”š‘Žš‘ ] = (š‘›1 š‘›2 āˆ’1 )(š‘•1 š‘•2 āˆ’1 ) [š‘›1, š‘›2 āˆ’1 āˆˆ š‘ āŸ¹ š‘›1 š‘›2 āˆ’1 āˆˆ š‘ misalkan š‘›1 š‘›2 āˆ’1 = š‘›3 āˆˆ š‘ š‘•1, š‘•2 āˆ’1 āˆˆ š» āŸ¹ š‘•1 š‘•2 āˆ’1 āˆˆ š» misalkan š‘•1 š‘•2 āˆ’1 = š‘•3 āˆˆ š»] = š‘›3 š‘•3 āˆˆ š‘š» āˆ“ telah dibuktikan š‘š» ā‰  āˆ…, š‘š» āŠ† šŗ & āˆ€ š‘„, š‘¦ āˆˆ š‘š» āŸ¹ š‘„yāˆ’1 āˆˆ š‘š» sehingga hipotesis dinyatakan benar yakni š‘š» ā‰¤ šŗ. āˆŽ b) Akan dibuktikan H āŠ“ NH Digunakan teorema ā€œš» ā‰¤ šŗ adalah normal āŸŗ š‘„š»š‘„āˆ’1 āŠ† š», āˆ€š‘„ āˆˆ šŗ. Berdasarkan teorema diatas akan ditunjukkan:
  • 77. 77 a. NH membentuk grup Pada bagian (a) telah ditunjukkan bahwa š‘š» ā‰¤ šŗ sehingga jelas NH membentuk grup. b. H subgrup dari NH Digunakan teorema ā€œāˆ… ā‰  š» āŠ† šŗ, šŗ grup, H ā‰¤ G āŸŗ š‘Ž, š‘ āˆˆ š» ā‡’ š‘Žš‘āˆ’1 āˆˆ š»". Dari teorema diatas maka yang diambil sebagai hipotesis adalah H subgrup dari NH. Untuk itu akan ditunjukkan: (i) š» ā‰  āˆ… Diketahui H ā‰¤ G āŸ¹āˆƒ e āˆˆ H [e=identitas] akibatnya š» ā‰  āˆ… (ii) š» āŠ† š‘š» Diketahui N ā‰¤ G āŸ¹āˆƒ e āˆˆ N [e=identitas] Pandang š» = š‘’š‘•1 = š‘•1; š‘•1 āˆˆ š», š‘’ āˆˆ š‘ sementara š‘•1 = š‘’š‘•1 āˆˆ Nš» akibatnya š» āŠ† š‘š» (iii)āˆ€š‘, š‘ž āˆˆ š» āŸ¹ š‘š‘žāˆ’1 āˆˆ š» Ambil sebarang š‘, š‘ž āˆˆ š» Pandang š‘ = š‘•1; š‘•1 āˆˆ š» š‘ž = š‘•2; š‘•2 āˆˆ š» Akan ditunjukkan š‘š‘žāˆ’1 āˆˆ š» š‘š‘žāˆ’1 = š‘•1 š‘•2 āˆ’1 [š‘•1, š‘•2 āˆ’1 āˆˆ š» āŸ¹ š‘•1 š‘•2 āˆ’1 āˆˆ š»] = š‘•1 š‘•2 āˆ’1 [Misalkan š‘•1, š‘•2 āˆ’1 = š‘•3 āˆˆ š»] = š‘•3 āˆˆ š» Karena (i), (ii) & (iii) terpenuhi maka hipotesis dinyatakan benar yakni H ā‰¤ š‘š» c. āˆ€š‘„ āˆˆ š‘š» āŸ¹ š‘„š»š‘„āˆ’1 āŠ† š» Ambil sebarang š‘„ āˆˆ š‘š» Pandang š‘„ = š‘›š‘•; š‘› āˆˆ š‘, š‘• āˆˆ š» Invers dari x adalah š‘„āˆ’1 = (š‘›š‘•)āˆ’1
  • 78. 78 = š‘•āˆ’1 š‘›āˆ’1 [dijamin sebab NH membentuk grup] = š‘•āˆ’1 š‘›āˆ’1 [š‘•āˆ’1 āˆˆ š», š‘›āˆ’1 āˆˆ š‘] Ambil sebarang š‘•1 āˆˆ š», akan dibuktikan š‘„š»š‘„āˆ’1 āŠ† š» š‘„š»š‘„āˆ’1 = š‘›š‘• (š‘•1)(š‘•āˆ’1 š‘›āˆ’1 ) = š‘›(š‘•š‘•1)(š‘•āˆ’1 š‘›āˆ’1 ) [assosiatif] = š‘›(š‘•š‘•1)(š‘•āˆ’1 š‘›āˆ’1 ) [š‘•, š‘•1 āˆˆ š» āŸ¹ š‘•š‘•1 āˆˆ š»] = (š‘›š‘•3)(š‘•āˆ’1 š‘›āˆ’1 ) [misalkan š‘•š‘•1 = š‘•3 āˆˆ š»] = š‘›(š‘•3 š‘•āˆ’1 )š‘›āˆ’1 [assosiatif] = š‘›(š‘•3 š‘•āˆ’1 )š‘›āˆ’1 [š‘•3, š‘•āˆ’1 āˆˆ š» āŸ¹ š‘•3 š‘•āˆ’1 āˆˆ š»] = š‘›(š‘•4)š‘›āˆ’1 [misalkan š‘•3 š‘•āˆ’1 = š‘•4 āˆˆ š»] = š‘›š‘•4(š‘•4 āˆ’1 š‘›āˆ’1 š‘•4) [š‘•4 āˆˆ š», š‘›āˆ’1 āˆˆ š‘ & š‘ normal] = š‘›(š‘•4 š‘•4 āˆ’1 )š‘›āˆ’1 š‘•4 [assosiatif] = (š‘›š‘’)š‘›āˆ’1 š‘•4 [š‘•4 š‘•4 āˆ’1 = š‘’; š‘’ = š‘–š‘‘š‘’š‘›š‘”š‘–š‘”š‘Žš‘ ] = (š‘›š‘›āˆ’1 )š‘•4 [š‘›š‘’ = š‘›, assosiatif] = š‘’š‘•4 [š‘›š‘›āˆ’1 = š‘’] = š‘•4 āˆˆ š» [š‘’š‘•4 = š‘•4; š‘’ = š‘–š‘‘š‘’š‘›š‘”š‘–š‘”š‘Žš‘ ] āˆ“ Karena telah dibuktikan š‘š» membentuk grup š» āŠ† š‘š» & āˆ€ š‘„ āˆˆ š‘š» āŸ¹ š‘„š»š‘„āˆ’1 āŠ† š», maka hipotesis dinyatakan benar yakni š» āŠ“ š‘š». āˆŽ *** REFERENSI Defila, F. 2012. ā€œDiktat Kuliah, Struktur Aljabar 1 (Teori Grup)ā€. Padang. STKIP Sumater Barat (Tidak diterbitkan) Herstein, I.N. 1975. Topics In Algebra, Second Edition. Inc New York. John Wiley & Sons. Isnarto. 2008. ā€œBuku Ajar Pengantar Struktur Aljabar 1ā€. Semarang. Universitas Negeri Semarang (Tidak diterbitkan) Tahmir, S. 2004. Teori Grup. Makassar: Andira Publisher