Sub Semigroup

2. Teorema 1:
Diketahui (S, ∗) semigrup.
Jika 𝐴 ≤ 𝑆, 𝐵 ≤ 𝑆 dan 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅, maka 𝐴 ∩ 𝐵 ≤ 𝑆.
Bukti :
Diambil sebarang elemen 𝑝, 𝑞 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵, maka 𝑝, 𝑞 ∈ 𝐴 dan
𝑝, 𝑞 ∈ 𝐵. Oleh karena 𝐴 ≤ 𝑆 dan 𝐵 ≤ 𝑆, maka 𝑝 ∗ 𝑞 ∈
𝐴 dan 𝑝 ∗ 𝑞 ∈ 𝐵. Sehingga 𝑝 ∗ 𝑞 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵.

3. Teorema 2:
Diketahui (𝑆, ∗) adalah semigrup dan 𝐴𝑖 ≤ 𝑆 untuk semua 𝑖 ∈
𝐼, dengan 𝐼 adalah himpunan indeks. Jika irisan dari 𝐴𝑖 untuk
semua 𝑖 ∈ 𝐼 tidak kosong, maka
∩𝑖∈𝐼 𝐴𝑖 ≤ 𝑆
Bukti :
Jika 𝑥, 𝑦 ∈ ∩𝑖∈𝐼 𝐴𝑖, maka 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴𝑖 untuk setiap 𝑖 ∈ 𝐼. Karena 𝐴𝑖
≤ 𝑆 untuk semua 𝑖 ∈ 𝐼, maka 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐴𝑖 untuk setiap 𝑖 ∈ 𝐼.
Sehingga 𝑥 ∗ 𝑦 ∈∩𝑖∈𝐼 𝐴𝑖 .

4. Jika irisan dari subsemigrup membentuk semigrup, apakah
demikian juga halnya dengan gabungan subsemigrup ?
Jawab : Tidak.
Hal ini dapat ditunjukkan dengan counter example sbb :
Sudah ditunjukkan bahwa 2ℤ ≤ ℤ dan 3ℤ ≤ ℤ. Untuk
2 ∈ 2ℤ dan 3 ∈ 3ℤ,
diperoleh bahwa 2 + 3 = 5 ∉ 2ℤ ∪ 3ℤ.
Operasi penjumlahan di ℤ tidak bersifat tertutup di
2ℤ ∪ 3ℤ.

5. Selanjutnya diketahui (𝑆,∗) adalah semigrup dan 𝐴 ≤ 𝑆, 𝐵 ≤ 𝑆.
Apakah 𝐴 ∗ 𝐵 ≤ 𝑆 ?
Diambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 ∗ 𝐵. Apakah 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐴 ∗ 𝐵 ?
Karena 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 ∗ 𝐵, maka 𝑥 = 𝑎1 ∗ 𝑏1 dan 𝑦 = 𝑎2 ∗ 𝑏2.
dengan 𝑎1, 𝑎2 ∈ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑏1, 𝑏2 ∈ 𝐵.
𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑎1 ∗ 𝑎2 ∗ 𝑏1 ∗ 𝑏2 ∈ 𝐴 ∗ 𝐵
𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑎1 ∗ 𝑏1 ∗ 𝑎2 ∗ 𝑏2
Jika operasi "∗" di 𝑆 bersifat komutatif

6. Diketahui semigrup (ℤ, +)
Bilangan 2, 3 ∈ 2ℤ + 3ℤ, sebab 2 = 2.1 + 3.0 dan 3 = 2.0 + 3.1.
Diperoleh 2 + 3 = 2.1 + 3.0 + 2.0 + 3.1
Karena operasi " +” pada ℤ bersifat komutatif, maka
2 + 3 = 2.1 + 2.0 + 3.0 + 3.1
= 2.1 + 3.1
∈ 2ℤ + 3ℤ.

7. (ℤ,+)
𝐴
5
2
𝐴 ⊆ ℤ
2ℤ
2ℤ ≤ ℤ
Meskipun 𝐴 bukan subsemigrup dari ℤ,
apakah masih bisa diperoleh semigrup yang memuat 𝐴
Jawab : bisa yaitu
semigrup trivial dan terbesar yang memuat 𝐴 yaitu ℤ
apakah masih bisa diperoleh
semigrup terkecil yang memuat 𝐴

8. 𝑋
𝑋 ⊆ S
(𝑆,∗)
Dihimpun 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 ≤ 𝑆
𝑑engan 𝑋 ⊆ 𝐴𝑖, 𝑖 = 1,2, …, 𝑛
𝐴1
𝐴2
𝑋 𝑆 = ∩ 𝐴𝑖 𝑋 ⊆ 𝐴𝑖, 𝐴𝑖 ≤ 𝑆, 𝑖 = 1,2, …, 𝑛
Irisan dari subsemigrup
membentuk subsemigrup
𝑋 𝑆 subsemigrup terkecil yang memuat 𝑋

9. 𝑋
𝑋 𝑆
(𝑆,∗)
Tugas :
Formulasikan bentuk elemen d𝑖 𝑋 𝑆
Tunjukkan 𝑋 𝑆 subsemigrup
Buat contohnya

10. Terimakasih