Indahnya Belajar Matematika

1. SEMIGRUP dan MONOID
Oleh:
JOKO SUPRIHATIN

2. SEMIGRUP
Semigrup yaitu suatu struktur aljabar dengan dua
operasi biner. Semigrup merupakan grupoid
yang memenuhi syarat assosiatif.
Syarat Semigrup :
(G, *) disebut semigrup jika memenuhi Aksioma 1
dan 2, yaitu:
1. (Tertutup) Untuk setiap a,b ∈ G, a * b ∈ G
2. (Assosiatif) Untuk setiap a, b, c ∈ G, a*(b*c) =
(a*b)*c

3. Contoh :
Misalkan W adalah himpunan bilangan cacah, Selidikilah (W,+) adalah
semigrup!
Penyelesaian :
W = { 0,1,2,3,..)
a, b ∈ W → a + b ∈ W
= 3 + 2 ∈ W
= 5 ∈ W (tertutup)
a, b, c ∈ W → (a + b ) + c = a + (b + c ) ∈ W
(3 + 2) + 1 = 3 + (2 + 1)
6 = 6 (assosiatif)
Maka, terbukti bahwa himpunan bilangan cacah merupakan semigrup
karena memenuhi syarat tertutup dan assosiatif.

4. * A B c d
A B C d a
B C D a b
C D A b c
D A B c d
Misalkan suatu grupoid yang didefinisikan dalam disajikan
daftar Cayley
sebagai berikut :
Tabel
Daftar Cayley suatu grupoid
Tunjukan apakah grupoid tersebut merupakan suatu
semigrup.

5. Penyelesaian :
Akan ditunjukan apakah grupoid tersebut assosiatif atau bukan.
Misalkan x = a, y = a dan z = a
(x . y) . z = (a . a) . a
= b . a
= c
x . (y . z) = a . (a . a)
= a . b
= c
didapat (x . y) . z = d dan x . (y . z) = c
sehingga (x . y) . z = x . (y . z)
Jadi grupoid tersebut merupakan suatu semigrup.

6. MONOID
Suatu semigrup yang memiliki unsur satuan atau
identitas dinamakan sebuah monoid.
Syarat:
1. (Tertutup) Untuk setiap a,b ∈ G, a * b ∈ G
2. (Assosiatif) Untuk setiap a, b, c ∈ G,( a*b)*c = a*(b*c)
3. (Unsur Identitas)Ada e ∈ G sehingga untuk setiap a ∈
G, a*e = e*a=a
Dengan kata lain unsur satuan atau identitas terhadap
operasi penjumlahan adalah nol (0) dan pada operasi
perkalian adalah (1).

7. Contoh :
Himpunan bilangan bulat Z = {.., -2,-1,0, 1, 2,..}
terdapat operasi binner perkalian (*). Buktikan (Z,*) adalah monoid
Penyelesaian :
a,b ∈ Z → a*b ∈ Z
= 4*2 ∈ Z
= 8∈ Z (tertutup)
a, b, c ∈ Z →(a*b)*c = a*(b*c)∈ Z
(4*2)*1 = 4*(2*1) ∈ Z
8 = 8 ∈ Z (assosiatif)
a, e ∈ Z →a*e = e*a = a∈ Z
4*1 =1*4 = 4 ∈ Z (unsuridentitas)