Semigrup adalah struktur aljabar dengan dua operasi biner yang memenuhi syarat tertutup dan assosiatif. Sebuah monoid adalah semigrup yang memiliki unsur identitas, di mana contoh termasuk himpunan bilangan cacah dan bilangan bulat dengan operasi penjumlahan dan perkalian. Dokumen ini menjelaskan definisi, syarat, serta contoh semigrup dan monoid dengan buktinya.

1. SEMIGRUP dan MONOID
Oleh:
JOKO SUPRIHATIN

2. SEMIGRUP
Semigrup yaitu suatu struktur aljabar dengan dua
operasi biner. Semigrup merupakan grupoid
yang memenuhi syarat assosiatif.
Syarat Semigrup :
(G, *) disebut semigrup jika memenuhi Aksioma 1
dan 2, yaitu:
1. (Tertutup) Untuk setiap a,b ∈ G, a * b ∈ G
2. (Assosiatif) Untuk setiap a, b, c ∈ G, a*(b*c) =
(a*b)*c

3. Contoh :
Misalkan W adalah himpunan bilangan cacah, Selidikilah (W,+) adalah
semigrup!
Penyelesaian :
W = { 0,1,2,3,..)
a, b ∈ W → a + b ∈ W
= 3 + 2 ∈ W
= 5 ∈ W (tertutup)
a, b, c ∈ W → (a + b ) + c = a + (b + c ) ∈ W
(3 + 2) + 1 = 3 + (2 + 1)
6 = 6 (assosiatif)
Maka, terbukti bahwa himpunan bilangan cacah merupakan semigrup
karena memenuhi syarat tertutup dan assosiatif.

4. * A B c d
A B C d a
B C D a b
C D A b c
D A B c d
Misalkan suatu grupoid yang didefinisikan dalam disajikan
daftar Cayley
sebagai berikut :
Tabel
Daftar Cayley suatu grupoid
Tunjukan apakah grupoid tersebut merupakan suatu
semigrup.

5. Penyelesaian :
Akan ditunjukan apakah grupoid tersebut assosiatif atau bukan.
Misalkan x = a, y = a dan z = a
(x . y) . z = (a . a) . a
= b . a
= c
x . (y . z) = a . (a . a)
= a . b
= c
didapat (x . y) . z = d dan x . (y . z) = c
sehingga (x . y) . z = x . (y . z)
Jadi grupoid tersebut merupakan suatu semigrup.

6. MONOID
Suatu semigrup yang memiliki unsur satuan atau
identitas dinamakan sebuah monoid.
Syarat:
1. (Tertutup) Untuk setiap a,b ∈ G, a * b ∈ G
2. (Assosiatif) Untuk setiap a, b, c ∈ G,( a*b)*c = a*(b*c)
3. (Unsur Identitas)Ada e ∈ G sehingga untuk setiap a ∈
G, a*e = e*a=a
Dengan kata lain unsur satuan atau identitas terhadap
operasi penjumlahan adalah nol (0) dan pada operasi
perkalian adalah (1).

7. Contoh :
Himpunan bilangan bulat Z = {.., -2,-1,0, 1, 2,..}
terdapat operasi binner perkalian (*). Buktikan (Z,*) adalah monoid
Penyelesaian :
a,b ∈ Z → a*b ∈ Z
= 4*2 ∈ Z
= 8∈ Z (tertutup)
a, b, c ∈ Z →(a*b)*c = a*(b*c)∈ Z
(4*2)*1 = 4*(2*1) ∈ Z
8 = 8 ∈ Z (assosiatif)
a, e ∈ Z →a*e = e*a = a∈ Z
4*1 =1*4 = 4 ∈ Z (unsuridentitas)