1. Dokumen tersebut membahas tentang konsep-konsep penting dalam teori grup, yaitu centralizers, normalizers, center, dan stabilizers. Centralizers, normalizers, dan center merupakan subgrup-subgrup penting dalam suatu grup yang merefleksikan struktur grup tersebut. Stabilizers merupakan konsep yang berkaitan dengan aksi grup.
Dokumen tersebut membahas tentang grup permutasi. Grup permutasi adalah himpunan permutasi-permutasi dari suatu himpunan yang membentuk sebuah grup dengan operasi komposisi fungsi. Dokumen tersebut menjelaskan definisi grup permutasi, sifat-sifatnya, cycle dan orbit dalam grup permutasi, serta beberapa teorema yang berkaitan dengan grup permutasi seperti teorema produk disjoint cycles dan order suatu permutasi.
Dokumen tersebut membahas tentang grup siklik, termasuk definisi, contoh, teorema, dan latihan soalnya. Grup siklik dijelaskan sebagai grup yang dibangun oleh satu generator, dan subgrup siklik adalah subgrup yang dibangun oleh satu unsur. Beberapa contoh grup siklik dan subgrup siklik diberikan beserta buktinya.
1. Grupoid adalah himpunan tidak kosong dengan operasi biner didalamnya.
2. Semigrup adalah grupoid yang memenuhi asosiativitas.
3. Grup adalah semigrup yang memiliki unsur identitas dan kebalikan.
Dokumen tersebut membahas tentang grup permutasi. Grup permutasi adalah himpunan permutasi-permutasi dari suatu himpunan yang membentuk sebuah grup dengan operasi komposisi fungsi. Dokumen tersebut menjelaskan definisi grup permutasi, sifat-sifatnya, cycle dan orbit dalam grup permutasi, serta beberapa teorema yang berkaitan dengan grup permutasi seperti teorema produk disjoint cycles dan order suatu permutasi.
Dokumen tersebut membahas tentang grup siklik, termasuk definisi, contoh, teorema, dan latihan soalnya. Grup siklik dijelaskan sebagai grup yang dibangun oleh satu generator, dan subgrup siklik adalah subgrup yang dibangun oleh satu unsur. Beberapa contoh grup siklik dan subgrup siklik diberikan beserta buktinya.
1. Grupoid adalah himpunan tidak kosong dengan operasi biner didalamnya.
2. Semigrup adalah grupoid yang memenuhi asosiativitas.
3. Grup adalah semigrup yang memiliki unsur identitas dan kebalikan.
1. Definisi grup, subgrup, koset kanan dan kiri, relasi ekivalensi, dan indeks subgrup.
2. Teori Lagrange menyatakan bahwa orde subgrup membagi habis orde grup.
3. Fungsi phi Euler dan akibatnya terkait bilangan yang relatif prima.
Dokumen tersebut membahas tentang isometri lanjutan yang merupakan kelanjutan dari isometri dasar. Terdapat empat jenis isometri dasar yaitu reflexi pada garis, translasi, rotasi, dan reflexi geser. Dokumen ini menjelaskan hasil kali dari dua isometri dasar tersebut dapat menghasilkan isometri baru seperti reflexi atau reflexi geser. Selain itu, dibahas pula teorema-teorema terkait is
The document appears to be a scanned collection of pages from a book or manual. It contains images of many pages with text and diagrams but no clear overall narrative or topic. The pages discuss a variety of technical topics including electrical components, wiring diagrams, schematics and other engineering concepts. However, without being able to read the full text it is difficult to determine the overall purpose or focus of the material presented.
1. Barisan (xn) terbatas dan monoton turun. Limitnya adalah 2.
2. Barisan (xn) terbatas antara 0 dan 1/2 dan monoton naik. Limitnya adalah 1/2.
3. Barisan (xn) terbatas dibawah oleh √a dan monoton turun. Limitnya adalah √a.
1. Dokumen ini membahas tentang geseran (translasi) sebagai transformasi geometri. Geseran adalah hasil kali dua pencerminan pada dua garis yang sejajar.
2. Beberapa teorema yang dijelaskan antara lain teorema yang menyatakan bahwa geseran adalah isometri, komposisi geseran dan setengah putaran adalah setengah putaran, dan balikan dari geseran GAB adalah GBA.
3. Contoh soal juga d
This document provides solutions to problems in group theory from the book Topics in Algebra by I.N. Herstein. The solutions cover problems related to determining if a system forms a group, properties of groups like abelian groups, and examples in the symmetric group S3. The preface explains that the solutions are meant to facilitate deeper understanding and some notations were changed for clarity.
Dokumen tersebut merupakan catatan kuliah tentang Teori Bilangan (MX 127) yang mencakup beberapa bab seperti aksioma dasar bilangan bulat, bukti dengan induksi, keterbagian, kongruensi, faktorisasi, algoritma Euclid, dan fungsi-fungsi bilangan teoritik."
1. Dokumen tersebut membahas tentang struktur aljabar khususnya grup simetri dan grup siklik.
2. Grup simetri adalah grup dari semua permutasi dari himpunan unsur, sedangkan grup siklik adalah grup yang dibangkitkan oleh satu elemen yang disebut generator.
3. Dokumen tersebut juga menjelaskan definisi, contoh, dan teorema-teorema terkait grup simetri dan grup siklik.
Dokumen tersebut membahas tentang grup dan subgrup dalam aljabar. Secara ringkas, dokumen menjelaskan definisi grup, sifat-sifatnya, contoh grup, teorema tentang grup, order grup dan elemen, serta definisi subgrup beserta teoremanya.
Dokumen tersebut membahas tentang definisi grup, sifat-sifat operasi biner dalam grup, contoh-contoh grup seperti grup siklis dan grup matriks, serta beberapa lemma yang berlaku untuk grup.
1. Definisi grup, subgrup, koset kanan dan kiri, relasi ekivalensi, dan indeks subgrup.
2. Teori Lagrange menyatakan bahwa orde subgrup membagi habis orde grup.
3. Fungsi phi Euler dan akibatnya terkait bilangan yang relatif prima.
Dokumen tersebut membahas tentang isometri lanjutan yang merupakan kelanjutan dari isometri dasar. Terdapat empat jenis isometri dasar yaitu reflexi pada garis, translasi, rotasi, dan reflexi geser. Dokumen ini menjelaskan hasil kali dari dua isometri dasar tersebut dapat menghasilkan isometri baru seperti reflexi atau reflexi geser. Selain itu, dibahas pula teorema-teorema terkait is
The document appears to be a scanned collection of pages from a book or manual. It contains images of many pages with text and diagrams but no clear overall narrative or topic. The pages discuss a variety of technical topics including electrical components, wiring diagrams, schematics and other engineering concepts. However, without being able to read the full text it is difficult to determine the overall purpose or focus of the material presented.
1. Barisan (xn) terbatas dan monoton turun. Limitnya adalah 2.
2. Barisan (xn) terbatas antara 0 dan 1/2 dan monoton naik. Limitnya adalah 1/2.
3. Barisan (xn) terbatas dibawah oleh √a dan monoton turun. Limitnya adalah √a.
1. Dokumen ini membahas tentang geseran (translasi) sebagai transformasi geometri. Geseran adalah hasil kali dua pencerminan pada dua garis yang sejajar.
2. Beberapa teorema yang dijelaskan antara lain teorema yang menyatakan bahwa geseran adalah isometri, komposisi geseran dan setengah putaran adalah setengah putaran, dan balikan dari geseran GAB adalah GBA.
3. Contoh soal juga d
This document provides solutions to problems in group theory from the book Topics in Algebra by I.N. Herstein. The solutions cover problems related to determining if a system forms a group, properties of groups like abelian groups, and examples in the symmetric group S3. The preface explains that the solutions are meant to facilitate deeper understanding and some notations were changed for clarity.
Dokumen tersebut merupakan catatan kuliah tentang Teori Bilangan (MX 127) yang mencakup beberapa bab seperti aksioma dasar bilangan bulat, bukti dengan induksi, keterbagian, kongruensi, faktorisasi, algoritma Euclid, dan fungsi-fungsi bilangan teoritik."
1. Dokumen tersebut membahas tentang struktur aljabar khususnya grup simetri dan grup siklik.
2. Grup simetri adalah grup dari semua permutasi dari himpunan unsur, sedangkan grup siklik adalah grup yang dibangkitkan oleh satu elemen yang disebut generator.
3. Dokumen tersebut juga menjelaskan definisi, contoh, dan teorema-teorema terkait grup simetri dan grup siklik.
Dokumen tersebut membahas tentang grup dan subgrup dalam aljabar. Secara ringkas, dokumen menjelaskan definisi grup, sifat-sifatnya, contoh grup, teorema tentang grup, order grup dan elemen, serta definisi subgrup beserta teoremanya.
Dokumen tersebut membahas tentang definisi grup, sifat-sifat operasi biner dalam grup, contoh-contoh grup seperti grup siklis dan grup matriks, serta beberapa lemma yang berlaku untuk grup.
Dokumen tersebut merupakan laporan kelompok tentang aljabar abstrak yang berisi 5 soal dan jawaban. Kelompok terdiri atas 5 anggota dari Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta.
Bab 1 membahas tentang grup. Definisi grup dijelaskan sebagai himpunan yang memenuhi sifat tertutup, asosiatif, adanya unsur identitas, dan adanya unsur invers. Contoh grup diantaranya grup bilangan bulat di bawah penjumlahan, grup matriks, dan grup permutasi.
1. Dokumen tersebut membahas tentang struktur aljabar khususnya subgrup normal dan grup faktor.
2. Subgrup normal didefinisikan sebagai subgrup H dimana untuk setiap g dalam G dan h dalam H, g-1hg masuk dalam H.
3. Grup faktor G/H didefinisikan sebagai himpunan koset G terhadap H dengan operasi (g1H)*(g2H)= (g1g2)H.
Himpunan H = {0, 2, 4} merupakan subgrup dari grup G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap operasi penjumlahan modulo 6 karena H memenuhi sifat-sifat tertutup, asosiatif, adanya unsur identitas dan balikan.
Fungsi komposisi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan yang menghasilkan fungsi baru. Fungsi komposisi dapat digunakan untuk menentukan fungsi ketika fungsi komposisi dan salah satu fungsi yang digunakan dalam komposisi tersebut diketahui.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi komposisi. Fungsi komposisi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan yang menghasilkan fungsi baru. Dokumen tersebut memberikan contoh-contoh soal tentang menentukan fungsi komposisi, fungsi identitas, sifat-sifat komposisi fungsi, dan menentukan suatu fungsi jika fungsi komposisi dan fungsi lain diketahui.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi komposisi. Fungsi komposisi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan yang menghasilkan fungsi baru. Dokumen tersebut memberikan contoh-contoh soal tentang menentukan fungsi komposisi, fungsi identitas, sifat-sifat komposisi fungsi, dan menentukan suatu fungsi jika fungsi komposisi dan fungsi lain diketahui.
Similar to Centralizers, normalizers, center, stabilizers (20)
1. Centralizers, Normalizers, Center, Stabilizers Centralizers Misal ( G , ) adalah grup, dan misal A G dengan A Centralizers A di G dilambangkan dengan CG(A) adalah himpunan elemen-elemen di G yang komutatif dengan semua elemen A. CG(A) = { g G g a = a g , a A } karena g a g-1 = a jika dan hanya jika g a = a g maka centralizers tersebut dapat dinyatakan pula sebagai CG(A) = { g G g a g-1 = a , a G } Selanjutnya centralizers A di G adalah subrgup dari G. Untuk itu kita cukup menunjukkan bahwa CG(A) dan x,y CG(A) maka x y-1 CG(A). Karena I a = a I , a A maka I CG(A), dengan demikian CG(A) . Asumsikan bahwa x CG(A) berarti xG x a x-1 = a , a A , dan y CG(A) berarti yG y a y-1 = a , a A. Kemudian xG dan yG maka x y-1 G ................... (Karena G adlh grup)
2. Kita akan tunjukkan dulu bahwa ada y-1 CG(A) yaitu y CG(A) maka y a y-1 = a , a G y-1 (y a (y-1)) y = y-1 a y (y-1 y) a (y-1) y ) = y-1 a y I a I = y-1 a y a = y-1 a y a = y-1 a (y-1)-1 Ini berarti y-1 CG(A) . Selanjutnya ( x y-1) a (x y-1)-1 = ( x y-1) a ((y-1)-1 x-1 ) .............. Idempoten = ( x y-1) a ( y x-1 ) ............... Sifat Invers = x ( y-1 a y ) x-1 ............... assosiatif = x a x-1 ............... y CG(A) ( x y-1) a (x y-1)-1 = a ............... x CG(A) Dengan demikian x y-1 CG(A) . Jadi CG(A) G
3. Contoh 1 : Diberikan (M6 , +) adalah grup, dengan M6 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } Jika A = { 0 , 2 , 4 } maka carilah CM6(A) ? Jawab : Dari contoh 2 jelas bahwa (M6 , +) adalah grup Abelian maka CG(A) = G Contoh 2 : Diberikan grup Dihedral-6 yaitu D6 = {1, r, r2, s, sr, sr2 } Jika B = { r, sr } maka tentukan CD6(B)
4. Jawab : Dengan menggunakan tabel berikut 2. Center dari grup G Misal ( G , ) adalah grup. Center G dilambangkan dengan Z(G) adalah himpunan elemen-elemen di G yang komutatif dengan semua elemen G. Z(G) = { g G g a = a g , a G } Perhatikan kembali center A di grup G yaitu CG(A) = { g G g a = a g , a A } Bila A kita ganti dengan G maka menjadi CG(G) = { g G g a = a g , a G } Ini sama dengan Z(G). Dengan demikian dapat dikatakan bahwa center dari G adalah centralizers G di G, atau Z(G) = CG(G)
5. Contoh 3 : Diberikan (M6 , +) adalah grup, dengan M6 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } Carilah Z(M6) ? Jawab : Operasi penjumlahan bersifat komutatif di M6 Karena untuk sebarang g M6 berlaku g + a = a + g , a M6 sehingga Z(M6) = M6 Contoh 4 : Diberikan grup Dihedral-3 yaitu D3 = {1, r, r2, s, sr, sr2 } Tentukan Z(D6) ? Jawab : 1 D6 dan 1 o x = x o 1 untuk setiap x D6 sehingga 1 Z(D6) r D6 dan r o x x o r untuk setiap x D6 sehingga r Z(D6) r2 D6 dan r2 o x x o r2 untuk setiap x D6 sehingga r2 Z(D6) s D6 dan s o x x o s untuk setiap x D6 sehingga s Z(D6) sr D6 dan sr o x x o sr untuk setiap x D6 sehingga sr Z(D6) sr2 D6 dan sr2 o x x o sr2 , x D6 sehingga sr2 Z(D6) Jadi Z(D6) = { 1 }
6. Selanjutnya kita dapat menunjukkan bahwa Z(G) G. Yaitu dengan syarat cukup dan perlu bagi subgrup seperti berikut Z(G) G Z(G) x, y Z(G) maka x y-1 Z(G) I G berlaku I a = a I , a G maka I Z(G), berarti Z(G) . x Z(G) berarti xG x a = a x , a G y Z(G) berarti yG y a = a y , a G maka (x y-1) a = x (y-1 a) ..... assosiatif = x (a y-1) ..... y-1 Z(G) = (x a) y-1 ..... assosiatif = (a x) y-1 ..... x Z(G) = a (x y-1)
7. Catatan : 3. Normalizers Misal ( G , ) adalah grup. Didefinisikan g A g-1 = { g a g-1 a A } Normalizers A di G dilambangkan dengan NG(A) = { g G g A g-1 = A }. Jadi, dapat kita katakan bahwa normalizer A di G adalah himpunan unsur di yang memenuhi g a g-1 A. Contoh : Diberikan grup Dihedral-6 yaitu D6 = {1, r, r2, s, sr, sr2 } Jika A = { r, sr } maka Carilah ND6(A) ? Jawab : Perhatikan tabel berikut. Selanjutnya kita perhatikan bila (G , ) adalah grup abelian. Karena g G komutatif dengan semua unsur di G sehingga berlaku g a = a g , a G maka Z(G) = G atau g a g-1 = a , a G maka CG(G) = G begitu pula jika A G dan A maka CG(A) = G
8. A A A A A A Jadi ND6(A) = { 1 } Selanjutnya kita perhatikan jika ( G , ) adalah grup abelian maka NG(A) = G. Ini karena g A g-1 = A ( g A g-1 ) g = A g ( g A ) ( g-1 g ) = A g ( g A ) I = A g g A = A g Sedangkan untuk setiap a A berlaku g a = a g , g G maka NG(A) = G
9. Selanjutnya sama dengan Centralizer dan center, maka suatu normalizers A di G adalah subgrup dari G atau NG(A) G. Untuk menunjukkan ini maka cukup ditunjukkan bahwa (i) NG(A) , dan (ii) untuk suatu x , y NG(A) maka x y-1 NG(A) (syarat perlu dan cukup bagi subgrup). Bukti ini diserahkan untuk latihan pembaca. 4. Stabilizers Suatu fakta bahwa CG(A), Z(G) dan NG(A) adalah subgrup-subgrup dari G , maka dapat dideduksi sebagai kasus khusus pada aksi grup (group actions), yang mengindikasikan bahwa struktur G yang direfleksikan oleh suatu himpunan pada aksi yang dikenakan padanya, seperti berikut : Jika ( G , ) adalah grup yang beraksi pada himpunan S dan misal x adalah unsur yang tetap di S, maka Stabilizers dari x di G adalah himpunan Gx = { g G g x = x } Kita dapat menunjukkan pula bahwa Gx G (subgrup dari G) seperti halnya centralizers dan yang lainnya. (bukti diserahkan untuk latihan pembaca).