Dokumen ini membahas sifat dasar bilangan bulat, termasuk definisi, operasi, dan urutan-urutan yang berlaku di dalam himpunan bilangan bulat. Penjabaran mencakup sifat tertutup, komutatif, asosiatif, dan distributif yang berkaitan dengan penjumlahan, pengurangan, dan perkalian bilangan bulat. Selain itu, dokumen ini juga menyentuh pada pembagian dan relasi urutan antarbila serta pembuktian terkait berbagai sifat tersebut.

1. 1
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Himpuanan bilangan bulat adalah gabungan dari himpunan bilangan cacah
dan himpunan bilangan bulat negatif. Dengan demikian, sifat dasara bilangan
bulat dapat diturunkan dari sifat dasar bilangan cacah dengan berbagai sifat
tambahan. Karena itu koma sifat dasar bilangan bulat perlu dibicarakan.
B. RUMUSAN MASALAH
Rumusan masalah tentang makalah ini adalah
1. Apa sajakah sifat dasar bilangan bulat?
2. Bagaimana operasi-operasi pada bilangan bulat?
4. Bagaimanakah urutan-urutan pada bilangan bulat?
4. Bagaimana pembuktian operasi pada bilangan bulat?
C. TUJUAN
Adapun tujuan dari makalah ini adalah
1. Agar dapat memahami sifat dasar pada bilangan bulat
2. agar dapat mengetahui operasi – operasi pada bilangan bulat
3. Agar dapat memahami arti dari urutan bilangan-bilangan bulat,
4. Agar dapt mengetahui pembuktian dari operasi bilangan bulat

2. 2
BAB II
PEMBAHASAN
A. SIFAT DASAR BILANGAN BULAT
Menurut Muh. Arif Tiro dkk (Teori Bilangan, 2008:111) mengatakan
bahwa Sifat dasar bilangan bulat dimulai dengan definisi, karena definisi
adalah cara formal untuk menjelaskan suatu pengertian dalam matematika.
Jika n bilngan bulat, mak – n diidefinisikan tunggal sehinggan + (n)=(-n)+n=0
himpunan bikangan bulat adalah gabungan darihmpunan bilangan cacah
dan himpunan bilangan aslii sehingga untuk setiap bilangan bulat n belaku
sifat n + (n)=(-n)+n=0. Jadi himpunan bilangan bulat dapat ditulis dalam
bentuk daftar sebagai Z={… , −3, −2, −1, 0, 1 , 2 , 3, … }
sifat yang berlakudalnm himpunan bilangan bulat akan dibicarakan lebih
terperinci sebagai berikut.
1. Sifat tertutup
 Sifat tertutup terhadap penjumlahan ada dengan tunggal yakni
untuk setiap a dan b di dalam Z maka (a+b) juga di dalam Z
 Sifat tertutup terhadap perkalian ada dengan tunggal, yakni untuk
setiap a dan b dialam Z maka a x b juga ada di dalam Z
2. Sifat komutatif
 Sifat komutatif penjumlahan yaitu untuk setiap a dan b didalam Z
berlaku a+b = b+a.
 Sifat komutatif perkalian yaitu untuk setiap bilangan bulat a dan b
berlaku a x b = b x a.
3. Sifat asosiatif
 Sifat asosiati terhadap penjumlahan yaitu untuk sebarang bilangan
bulat a, b, dan c berlaku sifat (a+b)+c=a+(b+c)

3.  Sifat asosiatif terhadap perkalian yaitu untuk sebarang bilangan
3
bulat a, b, dan c berlaku (axb)xc=ax(bxc)
4. Siftat distributif
 Sifat distributif kiri perkalian terrhadap penjumlahan, yaitu
untuk sebarang bilangan bulat a, b danc berlku sifat
ax(b+c)=(axb)+(axc)
 Sifat distributive kanan perkalian terhadap penjumlhan yaitu
untuk sebarang bilangan u;at a, b, dan c berlaku sifat
(a+b)xc=(axc)+(bxc)
5. Unsur identitas penjumlahan
Untiuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku a+0=0+a=a sehingga 0
disebut unsur identitas penjumlahan
6. Unsur identitas perkalian
Untuk setiap bilangan bulat a, ada dengan tunggal bilangan bulat 1
sehingga ax1=1xa=1 sehingga satu disebut unsur identitas perkalian.
Sifat kesamaan berikut penting untuk diketahui :
a. Refleksi yaitu setiap bilangan bulat a berlaku a=a
b. Simetris yaitu jika a=b maka b=a untuk sebarang bilangan bulat a dan
b;
c. Transitif yaitu jika a=b dan b=c maka a=c untuk sebarang bilangan
bulat a, b, dan c.
d. Substitusi, yaitu jika a=b, maka dapat disubstitusi untuk a, dalam suatu
peryataan tanpa merubah nilai dari peryataan tersebut.

4. 4
B. PENJUMLAHAN BILANGAN BULAT
Jika a, b, dan c anggota himpunan blangan bulat Z, dan a=b maka a + c = b + c
Bukti :
Ambil a, b, dan c anggoata Z
(a + c) ∈Z (sifat tertutup)
(a + c) = (a + c) (sifat refleksi)
a = b (diberikan)
(a + c ) = (b + c) (substitusi, 3 ke 2)
Jika a, b, dan c anggota dari himpunan bilangan bulat Z, dan a+c = b+c
maka a = b
bukti :
ambil a, b, dan c di Z
1). (a + c) (a + c) ∈ Z Z sifat tertutup
2). a + c = b + c diberikan
3). – c ∈ Z Invers tambahan
4). (a+c) + (-c) = b + (c + (-c))
5). a + (c + (-c)) = b + (c + (-c))
6). c + (-c) = 0
7). a + 0 = b + 0
8). a+0=a dan b+0=b
9). a = b
Teorema diatas biasanya dikenal dengan sifat penghapusan dari
penjumlahan
Bukti bahwa (-a) + (-b) = - (a + b)
Misalkan a dan b bilangan – bilangan cacah, maka (-a) + (-b) merupakan
jumlah dua bilangan negatif. Misal (-a) + (-b) = c maka c = (-a) + (-b).
c + b = ((-a) + (-b)) + b sifat kesamaan
c + b = (-a) + ((-b) + b) sifat asosiatif penjumlahan

5. 5
c + b = (-a) + 0 invers penjumlahan
(c + b) + a = (-a) + a sifat kesamaan
(c + b) + a = 0 invers penjumlahan
c + (b + a) = 0 sifat asosiatif penjumlahan
c + (a + b) = 0 sifat komutatif penjumlahan
(c + (a + b)) + (-(a + b)) = – (a + b) sifat kesamaan
c +((a + b) + (-(a + b))) = – (a + b) sifat asosiatif
c + 0 = – (a + b) invers penjumlahan
Jadi kesimpulannya (-a) + (-b) = – (a + b)
C. PENGURANGAN BILANGAN BULAT
Bilangan bulat a dikurangi bialngan bulat bsama artinya dengan bulat a
ditambahkan dari lawan bilangan bulat , atau dapt ditulis a-b = a+(-b)
Pengurangan bilangan cacah tidak bersifat tertutup, artinya bila suatu
bilangna cacah dikurungkan dengan bilangan cacah yang lain, hasilnya belum
tentu bilangan cacah. Pengurangan bilangan cacah (a-b) menghasilkan
bulangan cacah hanya jika a≥b. tetapi, pengurangan bilangan bulatmemiliki
sifat tertutup
a-(-b)=a+b untuk sebarang bilangan bulat a dan b
bukti ;
ambil bilangan bulat a dan b
a-(-b) = a+(-(-b) defenisi pngurangan
= a+b teorema penjumlahan

6. 6
a-b = (a-c)-(b-c) untuk sebarang bilagan bulat a, b, dan c.
bukti :
ambil sebarang bilangan bulat a, b, dan c
a – b = a + (-b) defenisi pengurangan
= ((a+(-b))+0 identitas tambahan
= a + (-b)+c+(-c) invers tambahan
=(a+(-c))+((-b)+c) asosiatif tambah
= (a+(-c))+((-b)+(-(-c))) teorema dalam penjumlahan
= (a+(-c))+(-(b+(-c))) teorema dalam penjumlahan
= (a-c)-(b+(-c)) Defenisi pengurangan
= (a-c)-(b-c) Defenisi pengurangan
D. PERKALIAN BILANGAN BULAT
Jika a, b, dan c angggota himpunman bilangan bulat Z dan a=b
maka a x c = b x c
bukti :
ambil a, b, dan c di Z
1) (a x c ) ∈ Z sifat tertutup
2) a xc = a x c sifat refleksi
3) a = b diberikan
4) a x c = b x c substitusi 3 ke 2

7. 7
Jika a, b, dan c anggota himpumam bilanga bulat Z
maka (a+b)xc = (axc)+(bxc)
Bukti :
Ambil a, b, dan c di Z
1). (a+b)xc∈ Z
2). (a+b)xc = cx(a+b)
3). cx(a+b) = (cxa) + (cxb)
4). (cxa) = (axc) dan ((cxb)=(bxc)
5). (a+b)xc = (axc)+(bxc)
Jika a anggota bilanganbuklat Z maka ax0=0 dan 0xa=0
Bukti :
Ambil a, b, dan c di Z.
1). a = a
2). 0=0+0
3). a x 0 = a x (0+0)
4). a x 0 = (ax0) + (ax0)
5). 0 + (a x 0) = (a x 0)
6). 0+(ax0) = (ax0) + (ax0)
7). 0=(ax0)
8). (ax0) = 0
9). (0xa) = 0

8. 8
Berikut akan diperlihatkan bagaimana memberi makna perkalian dua
bilangan bulat yang satu negatif dan lainnya positif. Misalkan a dan b adalah
bilangan cacah, maka a bilangan bulat positif dan (-b) bilangan bulat negatif.
Akan diperlihatkan bahwa a x (-b) = -(a x b).
bukti :
1. a x (b + (-b)) = a x 0
2. (a x b) + (a x (-b)) = 0
3. (a x (-b)) + (a x b) = 0
4. ((a x (-b)) + (a x b)) + (-(a x b)) = 0 + (-(a x b))
5. (a x (-b)) + ((a x b) + (-a(a x b))) = -(a x b)
6. a x (-b) + 0 = -(a x b)
7. a x (-b) = -(a x b)
Mengingat sifat komutatif pada perkalian bilangan bulat, maka :
8. (-a) x b = b x (-a)
9. = – (b x a)
10. = -(a x b)
Buktikan bahwa (-a)(b + (-c)) = ac – ab.
Bukti :
(-a)(b + (-c))
= (-a)(b) + (-a)(-c) sifat distributif perkalian penjumlahan
= (-(ab)) + ac perkalian bilangan bulat (-a) x b = -ab dan (-a) x (-c) = ac
= ac + (-(ab)) sifat komutatif perkalian
=ac – ab penjumlahan 2 bilangan bulat (misal : a + (-b) = a – b)
Jadi terbukti bahwa (-a)(b + (-c)) = ac – ab.

9. 9
E. PEMBAGIAN BILANGAN BULAT
Jika a, b, dann c bilangan bulat dengan b ≠ 0, maka a:b=c jika dan hanya
jika a = bxc
Hasil bagi bilangan bulat (a:b) merupakan suatu bilangan bulat jika dan
hanya jika a kelipatan dari b, sehingga untuk setiap bilangan bulat a dan b
hasil bagi (a:b) tidak selalu merupakan bilangan bulat.karena it, pembaian
bilangan bulat tidak bersifat tertutup. Mengingat bahwa (-a)x(b)= (a)x(-b)=-
(ab) dan berdasarkan defnisi pembagian, kita dapat mengemukakan sifat
berikut :
1) –(ab) : a = (-b) 3) -(ab) : (-a) = b
2) –(ab) : b = (-a) 4) -(ab) : (-b) = a
Demikian pula karena (-a) x (-b) = a x b maka:
5) ab : (-a) = (-b)
6) ab : (-b) = (-a)
Buktikan bahwa (-a)(b + (-c)) = ac – ab.
Bukti :
(-a)(b + (-c))
= (-a)(b) + (-a)(-c) sifat distributif perkalian penjumlahan
= (-(ab)) + ac perkalian bilangan bulat (-a) x b = -ab dan (-a) x (-c) = ac
= ac + (-(ab)) sifat komutatif perkalian
=ac – ab penjumlahan 2 bilangan bulat (misal : a + (-b) = a – b)
Jadi terbukti bahwa (-a)(b + (-c)) = ac – ab.

10. 10
F. URUTAN BILANGAN BULAT
Berikut ini , kita akan mempelajari relasi urutan bilangan-bilangan bulat.
Ada beberapa definisi yaitu :
1. Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, a lebih kecil dari b (dinyatakan
dengan a < b) jika dan hanya jika ada bilangan bulat positif c sedemikian
hingga a + c = b
2. Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, a lebih besar dari b (dinyatakan
dengan a > b) jika dan hanya jika b < a atau b + c = a untuk suatu bilangan
positif c.
Urutan bilangan-bilangan bulat ini akan tampak jelas pada garis bilangan berikut.
←-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|--------|→
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Pada garis bilangan, a < b ditunjukkan bahwa titik yang menyatakan a
berada di sebelah kiri titik yang menyatakan b. Misalkan (-4) < (-1), terlihat pada
garis bilangan itu bahwa titik yang menyatakan (-4) berada di sebelah kiri dari
titik yang rnenyatakan (-1). Kita telah mempelajari bahwa jika a dan b bilangan-bilangan
cacah, maka berlaku tepat satu relasi di antara a < b, a = b dan a > b
yang terkenal sebagai sifat trikotomi.
Apakah sifat trikotomi berlaku pada bilangan-bilangan bulat? Coba
selidiki pula bahwa relasi "lebih kecil dari" pada bilangan-bilangan bulat berlaku
sifat-sifat irrefleksif, asimetris dan transitif! Demikian pula, Anda dengan mudah
dapat membuktikan kebenaran pernyataan-pernyataan berikut.
Apabila a, b, c, dan b bilangan-bilangan bulat pernyataan berikut bernilai
benar :
1) a = b maka a + c = b + c
2) a = b maka a x c = b x c
3) a = b dana.=d maka a +c = b + d

11. 11
4) a + c = b + c maka a = b
5) a x c = b x c dengan c ≠ 0 maka a = b.
Pembuktian Sifat-sifat itu adalah sebagai berikut :
Sifat 1
Jika a, b dan c bilangan-bilangan bulat, maka a < b Jika dan hanya jika
a + c < b + c.
Bukti:
i. Dibuktikan jika a < b maka a + c < b + c.
Ambil bilangan bulat a, b, dan c,untuk penyerhanaan symbol Z+
menyatakan himpunan bilangan bulat posistif.
a < b berarti ada bilangan bulat positif k sedemikian hingga
a + k = b definisi "lebih kecil dari"
(a + k) + c = b + c sifat penjumlahan pada kesamaan
a + (k + c) = b + c sifat asosiatif penjumlahan
a + (c + k) = b + c sifat komutatif penjumlahan
(a + c) + k = b + c sifat asosiatif penjumlahan
ii. Dibuktikan, jika a + c < b + c maka a < b.
Ambil bilangan bulat a, b dan c.
a + c < b + c berarti ada bilangan bulat positif p sedemikian hingga
(a + c) + p = b + c definisi "lebih kecil dari"
a + (c + p) = b + c sifat asosiatif penjumlahan
a + (p + c) = b + c sifat komutatif penjumlahan
(a + p) + c = b + c sifat asosiatif penjumlahan
{(a + p) + c} + (-c) _ (b + c) + (-c) sifat penjumlahan pada kesamaan
(a + p) + (c + (-c)) = b + (c + (-c)) sifat asosiatif
(a + p) + 0 = b+ 0 invers penjumlahan
a + p = b.
a < b definisi "lebih kecil dari"

12. 12
Dari (i) dan (ii) terbuktilah bahwa a < b jika dan hanya jika a + c < b + c
Perhatikan jika a + c < b + c maka a < b belum dapat dibuktikan apabila a, b dan c
bilanganbilangan cacah (Mengapa?).
Sifat 2.
Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat positif serta a < b
maka a x c < b x c.
Bukti:
Ambil bilangan bualat a dan b serta bilangan bulat positif c.
a < b berarti ∃ k ∈ Z+ ∋ a + k = b defenisi lebih kecil dari
( a + k) x c = b x c teorema 3.6
( a x c) + ( k x c) = b x c
a x c < b x c defenisi “lebih kecil dari “, karena ( k x c ) elemen z-+
konvers dari sifat 2 juga benar, seperti di jelaskan pada sifat 3.
Sifat 3.
Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat positif serta a x c < b
x c maka a < b
Bukti:
ambil bilangan bulat a dan b serta bilangan bulat positif c.
Diberikan a x c < b x c
a x c < b x c
(a x c) + (-(b x c)) < (b X c) + (-(b x c))
(a x c) + (-b)) x c < 0
(a + (-b)) + b < 0 + b

13. 13
a + ((-b) + b) < b
a < b
Sifat 4
Jika a dan b bilangan bilangan bulat dan c bilangan bulat negatif serta a < b
maka a x b > b x c
Bukti:
a < b berarti ada bilangan bulat positif k sedemikian hingga a + k = b definisi
"lebih kecil dari"
(a + k) x c = b x c sifat perkalian pada kesamaan
(a x c)+ (k x c) = b x c sifat distributive perkalian terhadap penjumlahan
Karena k bilangan bulat positif dan c bilangan bulat negatif, maka (k x c)
suatu bilangan bulat
negatif, sehingga (k x c) bilangan bulat positif.
{(a x c) + (k x c)} + ( -(k x c)) = (b x c) + (-(k x c)
Sifat penjumlahan pada kesamaan
(a x c) + {(k x c) + (-(k x c))} = (b x c) + (-(k x c))
Sifat asosiatif penjumlahan
(a x c) +0 = (b x c) + (-(k x c)= invers penjumlahan
(a x c) = (b x c) + (-(k x c)) Karena (-(k x c)) bilangan positif, maka
a x c > b x c Definisi “lebih kecil dari “.

14. 14
BAB III
PENUTUP
A. KESIMPULAN
Himpuanan bilangan bulat adalah gabungan dari himpunan
bilangan cacah dan himpunan bilangan bulat negatif. Sifat –sifat pada
bilangan bulat adalah sifat tertutup, sifat kmutatif, sifat asosiatif, sifat
distributive dan adapula unsur identitas penjumlahan dan perkalian.
Operasi-operasi pada bilangan bulat yaitu operasi penjumlahan,
pengurangan, perkalian dan pembagian
definisi relasi “lebih kecil dari” pada bilangan-bilangan cacah, dan
telah membuktikan sifat-sifatnya. Berikut ini , kita akan mempelajari relasi
urutan bilangan-bilangan bulat. Ada beberapa definisi yaitu :
1. Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, a lebih kecil dari b (dinyatakan
dengan a
2. Jika a dan b bilangan-bilangan bulat , a lebih besar dari b ( di nyatakan
dengan a > b ) bila dan hanya bila b
B. SARAN
Sebagai calon pendidik di bdang Matematika, hendaknya kita
dapat mengetahui tentang teori bilangan teutama mengenai sifat dan
operasi bilangan bulat serta urutan bilangan bulat dalam garis bilangan.
Sehingga dengan begitu sebagai calon pendidik tahu secara umum
mengenai teori bilangan

15. 15
DAFTAR PUSTAKA
http://septianari.blogdetik.com/ (di akses Rabu,12 November 2014)
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM (di akses Rabu,12 November 2014)
http://asbarsalim009.blogspot.com/ (di akses Rabu,12 November 2014)