Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Bab ix ruas garis berarah

37,907 views

Published on

Rangkuman materi ruas garis berarah

Published in: Education
  • Be the first to comment

Bab ix ruas garis berarah

  1. 1. RANGKUMAN MATERI, SOAL DAN PEMBAHASAN BAB IX RUAS GARIS BERARAH disusun guna melengkapi tugas mata kuliah Geometri Transformasi Dosen pengampu Bapak Ishaq Nuriadin, M.Pd Oleh Niamatus Saadah 1201125122 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA 2015
  2. 2. RUAS GARIS BERARAH 9.1 Definisi dan Sifat-sifat yang Sederhana Untuk melajutkan penyelidikan tentang isometri diperlukan pengertian tentang ruas garis berarah sebagai berikut: Definisi: Suatu ruas garis berarah adalah sebuah ruas garis yang salah satu ujungnya dinamakan titik pangkal dan ujung yang lain dinamakan titik akhir. Apabila A dan B dua titik, lambang 𝐴𝐡̅̅̅̅ kita gunakan sebagai ruas garis berarah dengan pangkal A dan titik akhir B. Perhatikan 𝐴𝐡̅̅̅̅ dan AB melukiskan dua hal yang berbeda. Seperti diketahui bahwa 𝐴𝐡⃗⃗⃗⃗⃗ menggambarkan sinar atau setengah garis yang berpangkal di A dan melalui B. Dua ruas garis 𝐴𝐡̅̅̅̅ dan 𝐢𝐷̅̅̅̅ disebut kongruen apabila AB = CD. Walaupun AB = CD, 𝐴𝐡̅̅̅̅ dan 𝐢𝐷̅̅̅̅ tidak perlu sama; 𝐴𝐡̅̅̅̅ adalah sebuah himpunan sedangkan AB adalah bilangan real. Jika 𝐴𝐡̅̅̅̅ dan 𝐢𝐷̅̅̅̅ kongruen ditulis 𝐴𝐡̅̅̅̅ β‰… 𝐢𝐷̅̅̅̅. Andaikan sekarang ada 2 ruas garis berarah 𝐴𝐡̅̅̅̅ dan 𝐢𝐷̅̅̅̅. Dalam membandingkan dua ruas garis berarah 𝐴𝐡̅̅̅̅ dan 𝐢𝐷̅̅̅̅ tidaklah sukup, jika AB = CD; kedua ruas garis berarah itu searah. Jika demikian, dikatakan bahwa ruas garis berarah 𝐴𝐡̅̅̅̅ ekivalen dengan ruas garis berarah 𝐢𝐷̅̅̅̅ yang ditulis sebagai 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝐢𝐷̅̅̅̅. Definisi: 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝐢𝐷̅̅̅̅ apabila Sp(A) = D dengan P titik tengah 𝐡𝐢̅̅̅̅. Gambar 9.1 Teorema 9.1: A B C D P
  3. 3. Andaikan 𝐴𝐡̅̅̅̅dan 𝐢𝐷̅̅̅̅ dua ruas garis berarah yang tidak segaris, maka segi-4 ABCD sebuah jajargenjang jika dan hanya jika 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝐢𝐷̅̅̅̅. Bukti: Akan ditunjukkan jika 𝐴𝐡̅̅̅̅ dan 𝐢𝐷̅̅̅̅ adalah dua ruas garis berarah yang tidak segaris maka ABCD jajargenjang ⟺ 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝐢𝐷̅̅̅̅. (⟹) Akan ditunjukkan jika ABCD sebuah jajar genjang dengan 𝐴𝐡̅̅̅̅ dan 𝐢𝐷̅̅̅̅ adalah 2 ruas garis berarah yang tidak segaris maka 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝐢𝐷̅̅̅̅. Dipunyai ABCD sebuah jajar genjang. Diagonal-diagonal 𝐴𝐷̅̅̅̅ dan 𝐡𝐢̅̅̅̅ berpotongan di tengah-tengah, misalkan titik P. Dengan demikian Sp(A) = D, dengan P adalah titik tengah 𝐴𝐷̅̅̅̅ maupun 𝐡𝐢̅̅̅̅. Berdasarkan definisi keekivalenan diperoleh 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝐢𝐷̅̅̅̅. (⟸) Akan ditunjukkan jika 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝐢𝐷̅̅̅̅ maka ABCD jajargenjang dengan 𝐴𝐡̅̅̅̅ dan 𝐢𝐷̅̅̅̅ adalah 2 ruas garis berarah yang tidak segaris. Dipunyai 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝐢𝐷̅̅̅̅. Misalkan titik P adalah titik tengah 𝐡𝐢̅̅̅̅. Menurut definisi keekivalenan maka Sp(A) = D. Berarti AP = PD, jadi P juga titik tengah AD. Hubungkan titik A ke C dan titik B ke D sehingga terbentuklah segiempat ABCD. 𝐴𝐷̅̅̅̅ dan 𝐡𝐢̅̅̅̅ adalah diagonal-diagonal segiempat ABCD yang terbagi sama panjang di P (definisi jajar genjang). Akibatnya segiempat ABCD sebuah jajar genjang. Jadi terbukti jika 𝐴𝐡̅̅̅̅ dan 𝐢𝐷̅̅̅̅ adalah dua ruas garis berarah yang tidak segaris maka ABCD jajargenjang ⟺ 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝐢𝐷̅̅̅̅. Akibat Teorema 9.1: Jika 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝐢𝐷̅̅̅̅ maka AB = CD dan 𝐴𝐡⃑⃗⃗⃗⃗ dan 𝐢𝐷⃑⃗⃗⃗⃗ sejajar atau segaris. Bukti:
  4. 4. Akan dibuktikan 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝐢𝐷̅̅̅̅ ⟹ 𝐴𝐡 = 𝐢𝐷 dan 𝐴𝐡⃑⃗⃗⃗⃗ dan 𝐢𝐷⃑⃗⃗⃗⃗ sejajar atau segaris. Dipunyai 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝐢𝐷̅̅̅̅ Kasus 𝑝 ∈ 𝐴𝐡⃑⃗⃗⃗⃗ : Karena 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝐢𝐷̅̅̅̅, maka menurut definisi keekivalenan, Sp(A) = D dengan P adalah titik tengah 𝐡𝐢̅̅̅̅ sehingga BP = PC. Pilih titik P pada perpanjangan 𝐴𝐡̅̅̅̅. Karena Sp(A) = D, maka AP = PD. Diperoleh AP = PD ⟺ AB + BP = PC + CD. Karena BP = PC, maka AB + PC = PC + CD ⟺ AB = CD. Buat garis yang melalui titik A dan D. Diperoleh 𝐴𝐡̅̅̅̅ βŠ‚ 𝐴𝐡⃑⃗⃗⃗⃗ dan 𝐢𝐷̅̅̅̅ βŠ‚ 𝐢𝐷⃑⃗⃗⃗⃗ sehingga 𝐴𝐡̅̅̅̅ dan 𝐢𝐷̅̅̅̅ βŠ‚ 𝐴𝐷⃑⃗⃗⃗⃗ . Karena 𝐴𝐡̅̅̅̅ segaris dengan 𝐢𝐷̅̅̅̅ maka 𝐴𝐡⃑⃗⃗⃗⃗ segaris dengan 𝐢𝐷⃑⃗⃗⃗⃗ . Kasus 𝑝 βˆ‰ 𝐴𝐡⃑⃗⃗⃗⃗ : Karena 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝐢𝐷̅̅̅̅, maka 𝐴𝐡̅̅̅̅ tidak segaris. Berdasarkan teorema 9.1, diperoleh segiempat ABCD jajar genjang. Menurut karakteristik jajar genjang bahwa sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar, akibatnya AB = CD. Karena 𝐴𝐡̅̅̅̅ // 𝐢𝐷̅̅̅̅, 𝐴𝐡̅̅̅̅ βŠ‚ 𝐴𝐡⃑⃗⃗⃗⃗ dan 𝐢𝐷̅̅̅̅ βŠ‚ 𝐢𝐷⃑⃗⃗⃗⃗ maka 𝐴𝐡⃑⃗⃗⃗⃗ //𝐢𝐷⃑⃗⃗⃗⃗ . Teorema 9.2: Diketahui ruas-ruas garis berarah 𝐴𝐡̅̅̅̅, 𝐢𝐷̅̅̅̅, dan 𝐸𝐹̅̅̅̅ maka 1. 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝐴𝐡̅̅̅̅ (sifat reflexi); 2. jika 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝐢𝐷̅̅̅̅ maka 𝐢𝐷̅̅̅̅ = 𝐴𝐡̅̅̅̅ (sifat simetrik); 3. jika 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝐢𝐷̅̅̅̅ dan 𝐢𝐷̅̅̅̅ = 𝐸𝐹̅̅̅̅ maka 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝐸𝐹̅̅̅̅ (sifat transitif). Bukti: 1. Akan dibuktikan 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝐴𝐡̅̅̅̅ (sifat reflexi) Misalkan P adalah titik tengah 𝐴𝐡̅̅̅̅, maka Sp(A) = B Menurut definisi keekivalenan diperoleh 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝐴𝐡̅̅̅̅. 2. Akan dibuktikan jika 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝐢𝐷̅̅̅̅ maka 𝐢𝐷̅̅̅̅ = 𝐴𝐡̅̅̅̅ (sifat simetrik)
  5. 5. Menurut teorema 9.1 jika 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝐢𝐷̅̅̅̅ maka segiempat ABCD jajargenjang, diagonal-diagonal 𝐡𝐢̅̅̅̅ dan 𝐴𝐷̅̅̅̅ membagi sama panjang di P, maka P dalah titik tengah 𝐴𝐷̅̅̅̅ akibatnya Sp(C) = B menurut definisi kekeivalenan apabila Sp(C) = B dengan P titik tengah 𝐴𝐷̅̅̅̅ maka 𝐢𝐷̅̅̅̅ = 𝐴𝐡̅̅̅̅. 3. Akan dibuktikan jika 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝐢𝐷̅̅̅̅ dan 𝐢𝐷̅̅̅̅ = 𝐸𝐹̅̅̅̅ maka 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝐸𝐹̅̅̅̅ (sifat transitif): Diperoleh 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝐢𝐷̅̅̅̅ maka Sp(A) = D dengan P titik tengah 𝐡𝐢̅̅̅̅ Diperoleh 𝐢𝐷̅̅̅̅ = 𝐸𝐹̅̅̅̅ maka Sq(C) = F dengan Q titik tengah 𝐷𝐸̅̅̅̅ Menurut teorema 9.1 jika 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝐢𝐷̅̅̅̅ maka segiempat ABCD jajargenjang sehingga 𝐴𝐡̅̅̅̅//𝐢𝐷̅̅̅̅ dan 𝐢𝐷̅̅̅̅//𝐸𝐹̅̅̅̅ akibatnya 𝐴𝐡̅̅̅̅//𝐸𝐹̅̅̅̅. Menurut akibat dari teorema 9.1 bahwa jika 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝐢𝐷̅̅̅̅ maka AB = CD, jika 𝐢𝐷̅̅̅̅ = 𝐸𝐹̅̅̅̅ maka CD = EF Akibatnya AB = EF. Karena AB = EF dan 𝐴𝐡̅̅̅̅//𝐸𝐹̅̅̅̅ maka ABFE jajargenjang. Menurut teorema 9.1 jika ABCD jajargenjang maka 𝐴𝐡̅̅̅̅//𝐸𝐹̅̅̅̅. Teorema 9.3: Diketahui sebuah titik P dan suatu ruas garis berarah 𝐴𝐡̅̅̅̅ maka ada titik tunggal Q sehingga 𝑃𝑄̅̅̅̅ = 𝐴𝐡̅̅̅̅. Gambar 9.2 Bukti: Akan dibuktikan keberadaan Q sehingga 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝑃𝑄̅̅̅̅ Andaikan ada titik Q misal R adalah titik tengah 𝐡𝑃̅̅̅̅ dengan Sp(A) = Q maka 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝑃𝑄̅̅̅̅ A Q B R P
  6. 6. Menurut teorema 9.2 (2) maka 𝑃𝑄̅̅̅̅ = 𝐴𝐡̅̅̅̅ Akan dibuktikan Q tunggal, Andaikan ada titik T sehingga 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝑃𝑇̅̅̅̅ Karena R titik tengah 𝐡𝑃̅̅̅̅ maka SR(A) = T Setengah putaran A terhadap R atau SR(A) tunggal sehingga 𝑅𝑄̅̅̅̅ = 𝐴𝑅̅̅̅̅ Akibat 1: Jika Jika 𝑃1(π‘₯1, 𝑦1), 𝑃2(π‘₯2, 𝑦2), dan 𝑃3(π‘₯3, 𝑦3) titik-titik yang diketahui maka titik 𝑃(π‘₯3 + π‘₯2 βˆ’ π‘₯1, 𝑦3 + 𝑦2 βˆ’ 𝑦1) adalah titik tunggal sehingga 𝑃3 𝑃̅̅̅̅̅ = 𝑃1 𝑃2 Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…. Andaikan P bukan titik tungga maka 𝑃3 𝑃̅̅̅̅̅ β‰  𝑃1 𝑃2 Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ… artinya 𝑃3 𝑃̅̅̅̅̅ βˆ’ 𝑃1 𝑃2 Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ… β‰  0 diperoleh 𝑃3 𝑃̅̅̅̅̅ βˆ’ 𝑃1 𝑃2 Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…=(𝑃 βˆ’ 𝑃3) βˆ’ (𝑃2 βˆ’ 𝑃1) = [(π‘₯3 + π‘₯2 βˆ’ π‘₯1, 𝑦3 + 𝑦2 βˆ’ 𝑦1) βˆ’ (π‘₯3, 𝑦3)] βˆ’ [(π‘₯2, 𝑦2) βˆ’ (π‘₯1, 𝑦1)] = [(π‘₯3 + π‘₯2 βˆ’ π‘₯1 βˆ’ π‘₯3, 𝑦3 + 𝑦2 βˆ’ 𝑦1 βˆ’ 𝑦3)] βˆ’ [(π‘₯2 βˆ’ π‘₯1, 𝑦2 βˆ’ 𝑦1)] = (π‘₯2 βˆ’ π‘₯1, 𝑦2 βˆ’ 𝑦1) βˆ’ (π‘₯2 βˆ’ π‘₯1, 𝑦2 βˆ’ 𝑦1) = (0,0) = 0. Akibat 2: Jika 𝑃𝑛 = (π‘₯ 𝑛, 𝑦𝑛), 𝑛 = 1,2,3,4, maka 𝑃1 𝑃2 Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…= 𝑃3 𝑃4 Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ… ⟺ π‘₯2 βˆ’ π‘₯1 = π‘₯4 βˆ’ π‘₯3, 𝑦2 βˆ’ 𝑦1 = 𝑦4 βˆ’ 𝑦3 (⟹) Akan dibuktikan jika Jika 𝑃𝑛 = (π‘₯ 𝑛, 𝑦𝑛), 𝑛 = 1,2,3,4 maka 𝑃1 𝑃2 Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…= 𝑃3 𝑃4 Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ… ⟹ π‘₯2 βˆ’ π‘₯1 = π‘₯4 βˆ’ π‘₯3, 𝑦2 βˆ’ 𝑦1 = 𝑦4 βˆ’ 𝑦3 Karena 𝑃1 𝑃2 Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…= 𝑃3 𝑃4 Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ… maka 𝑃1 𝑃2=𝑃3 𝑃4 sehingga 𝑃2 βˆ’ 𝑃1 = 𝑃4 βˆ’ 𝑃3 ⟺ [(π‘₯2, 𝑦2) βˆ’ (π‘₯1, 𝑦1)] = [(π‘₯4, 𝑦4) βˆ’ (π‘₯3, 𝑦3)] ⟺ (π‘₯2 βˆ’ π‘₯1, 𝑦2 βˆ’ 𝑦1) = (π‘₯4 βˆ’ π‘₯3, 𝑦4 βˆ’ 𝑦3) menurut definisi sebuah titik pada aljabar, dua titik A(a,b) = B(c,d) jika dan hanya jika π‘Ž = 𝑏 dan 𝑐 = 𝑑 diperoleh π‘₯2 βˆ’ π‘₯1 = π‘₯4 βˆ’ π‘₯3 dan 𝑦2 βˆ’ 𝑦1 = 𝑦4 βˆ’ 𝑦3 (⟸) Akan ditunjukkan jika π‘₯2 βˆ’ π‘₯1 = π‘₯4 βˆ’ π‘₯3, 𝑦2 βˆ’ 𝑦1 = 𝑦4 βˆ’ 𝑦3 maka Jika 𝑃𝑛 = (π‘₯ 𝑛, 𝑦𝑛), 𝑛 = 1,2,3,4 maka 𝑃1 𝑃2 Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…= 𝑃3 𝑃4 Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…
  7. 7. Dipunyai π‘₯2 βˆ’ π‘₯1 = π‘₯4 βˆ’ π‘₯3, 𝑦2 βˆ’ 𝑦1 = 𝑦4 βˆ’ 𝑦3 maka dapat dibuat titik yang sama misalkan R dan S, dengan 𝑅 = (π‘₯2 βˆ’ π‘₯1, 𝑦2 βˆ’ 𝑦1) dan 𝑆 = (π‘₯4 βˆ’ π‘₯3, 𝑦4 βˆ’ 𝑦3) misalkan R = S ⟺ (π‘₯2 βˆ’ π‘₯1, 𝑦2 βˆ’ 𝑦1) = (π‘₯4 βˆ’ π‘₯3, 𝑦4 βˆ’ 𝑦3) ⟺ [(π‘₯2, 𝑦2) βˆ’ (π‘₯1, 𝑦1)] = [(π‘₯4, 𝑦4) βˆ’ (π‘₯3, 𝑦3)] ⟺ 𝑃2 βˆ’ 𝑃1 = 𝑃4 βˆ’ 𝑃3 ⟺ 𝑃1 𝑃2=𝑃3 𝑃4 ⟺ 𝑃1 𝑃2 Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…= 𝑃3 𝑃4 Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ… Jadi jika π‘₯2 βˆ’ π‘₯1 = π‘₯4 βˆ’ π‘₯3, 𝑦2 βˆ’ 𝑦1 = 𝑦4 βˆ’ 𝑦3 maka Jika 𝑃𝑛 = (π‘₯ 𝑛, 𝑦𝑛), 𝑛 = 1,2,3,4 maka 𝑃1 𝑃2 Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…= 𝑃3 𝑃4 Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ… Mengalikan Ruas Garis Berarah dengan Sebuah Skalar Definisi: Andaikan 𝐴𝐡̅̅̅̅ sebuah ruas garis berarah dan k suatu bilangan real, maka k𝐴𝐡̅̅̅̅ adalah ruas garis berarah 𝐴𝑃̅̅̅̅ sehingga 𝑃 ∈ 𝐴𝐡̅̅̅̅ dan AP = k (AB) jika k>0. Apabila k<0 maka k𝐴𝐡̅̅̅̅ adalah ruas garis berarah 𝐴𝑃̅̅̅̅ dengan P anggota sinar yang berlawanan arah dengan 𝐴𝐡⃗⃗⃗⃗⃗ sedangkan AP = |π‘˜|𝐴𝐡. Dikatakan bahwa 𝐴𝑃̅̅̅̅ adalah kelipatan 𝐴𝐡̅̅̅̅.
  8. 8. SOAL-SOAL LATIHAN DAN PEMBAHASAN 1. Diketahui titik-titik A, B, C, dan D, tiap tiga titik tidak segaris. Ditanya: a. Lukis titik D sehingga 𝐢𝐸̅̅̅̅ = 𝐴𝐡̅̅̅̅ b. Lukis titik F sehingga 𝐷𝐸̅̅̅̅ = 𝐡𝐴̅̅̅̅ c. 𝑆𝐴(𝐴𝐡̅̅̅̅) Jawab: a. Misalkan titik D adalah titik tengah 𝐸𝐴̅̅̅̅ sehingga 𝑆 𝐷(𝐢) = 𝐡 b. Misalkan titik F merupakan titik tengah 𝐸𝐡̅̅̅̅ sehingga 𝑆 𝐹(𝐷) = 𝐴 c. 𝑆𝐴(𝐴𝐡̅̅̅̅) 2. Diketahui titik-titik A, B, C yang tidak segaris. Lukislah: a. Titik D sehingga 𝐴𝐷̅̅̅̅ = 3𝐴𝐡̅̅̅̅ b. Titik F sehingga 𝐴𝐸̅̅̅̅ = βˆ’ 4 3 𝐴𝐡̅̅̅̅ c. Titik F sehingga 𝐢𝐹̅̅̅̅ = √2 𝐴𝐡̅̅̅̅ E B C C A D B’ E A D B F B A
  9. 9. Jawab: a. Titik D sehingga 𝐴𝐷̅̅̅̅ = 3𝐴𝐡̅̅̅̅ b. Titik F sehingga 𝐴𝐸̅̅̅̅ = βˆ’ 4 3 𝐴𝐡̅̅̅̅ c. Titik F sehingga 𝐢𝐹̅̅̅̅ = √2 𝐴𝐡̅̅̅̅ 3. Diantara ungkapan-ungkapan di bawah ini manakah yang benar? a. 𝐴𝐡̅̅̅̅ = βˆ’π΅π΄Μ…Μ…Μ…Μ… b. 𝑆𝐴(𝐴𝐡̅̅̅̅) = 𝐡𝐴̅̅̅̅ c. 𝑆𝐴(𝐴𝐡̅̅̅̅) = 𝑆 𝐡(𝐴𝐡̅̅̅̅) d. Jika 𝐴′ = 𝑆 𝐡(𝐴) maka 𝐴𝐴′̅̅̅̅̅ = 2𝐴𝐡̅̅̅̅ e. Jika 𝐡′ = 𝑆𝐴 𝑆 𝐡(𝐡) dan 𝐴′ = 𝑆𝐴 𝑆 𝐡(𝐴), maka 𝐴′ 𝐡′̅̅̅̅̅̅ = 𝐴𝐡̅̅̅̅ Jawab: a. 𝐴𝐡̅̅̅̅ = βˆ’π΅π΄Μ…Μ…Μ…Μ… 𝐴𝐡̅̅̅̅ 𝐡𝐴̅̅̅̅ βˆ’π΅π΄Μ…Μ…Μ…Μ… (Benar) √2 C A B F A BE B’ A B BA A B DBA
  10. 10. b. 𝑆𝐴(𝐴𝐡̅̅̅̅) = 𝐡𝐴̅̅̅̅ 𝑆𝐴(𝐴𝐡̅̅̅̅) 𝐡𝐴̅̅̅̅ (Benar) c. 𝑆𝐴(𝐴𝐡̅̅̅̅) = 𝑆 𝐡(𝐴𝐡̅̅̅̅) 𝑆𝐴(𝐴𝐡̅̅̅̅) 𝑆 𝐡(𝐴𝐡̅̅̅̅) (Benar) d. Jika 𝐴′ = 𝑆 𝐡(𝐴) maka 𝐴𝐴′̅̅̅̅̅ = 2𝐴𝐡̅̅̅̅ (Benar) e. Jika 𝐡′ = 𝑆𝐴 𝑆 𝐡(𝐡) dan 𝐴′ = 𝑆𝐴 𝑆 𝐡(𝐴), maka 𝐴′ 𝐡′̅̅̅̅̅̅ = 𝐴𝐡̅̅̅̅ (Benar) 4. Diketahui A (0,0), B (5,3), dan C (-2,4). Tentukan: a. R sehingga 𝐴𝑅̅̅̅̅ = 𝐡𝐢̅̅̅̅ b. S sehingga 𝐢𝑆̅̅̅̅ = 𝐴𝐡̅̅̅̅ c. T sehingga 𝑇𝐡̅̅̅̅ = 𝐴𝐢̅̅̅̅ Jawab: a. R sehingga 𝐴𝑅̅̅̅̅ = 𝐡𝐢̅̅̅̅ Berdasarkan teorema akibat jika 𝐴𝑅̅̅̅̅ = 𝐡𝐢̅̅̅̅ maka AR = BC sehingga ( π‘₯ 𝑅 𝑦 𝑅 ) βˆ’ ( π‘₯ 𝐴 𝑦 𝐴 ) = ( π‘₯ 𝐢 𝑦 𝐢 ) βˆ’ ( π‘₯ 𝐡 𝑦 𝐡 ) ⟺ ( π‘₯ 𝑅 𝑦 𝑅 ) = ( π‘₯ 𝐢 𝑦 𝐢 ) βˆ’ ( π‘₯ 𝐡 𝑦 𝐡 ) + ( π‘₯ 𝐴 𝑦 𝐴 ) ⟺ ( π‘₯ 𝑅 𝑦 𝑅 ) = ( βˆ’2 4 ) βˆ’ ( 5 3 ) + ( 0 0 ) = ( βˆ’7 1 ) A BB’ BA A BB’ A B A’ BA A’ B’ A BA’
  11. 11. Jadi R = (-7,1). b. S sehingga 𝐢𝑆̅̅̅̅ = 𝐴𝐡̅̅̅̅ Berdasarkan teorema akibat jika 𝐢𝑆̅̅̅̅ = 𝐴𝐡̅̅̅̅ maka CS = AB sehingga ( π‘₯ 𝑆 𝑦𝑆 ) βˆ’ ( π‘₯ 𝐢 𝑦 𝐢 ) = ( π‘₯ 𝐡 𝑦 𝐡 ) βˆ’ ( π‘₯ 𝐴 𝑦 𝐴 ) ⟺ ( π‘₯ 𝑆 𝑦𝑆 ) = ( π‘₯ 𝐡 𝑦 𝐡 ) βˆ’ ( π‘₯ 𝐴 𝑦 𝐴 ) + ( π‘₯ 𝐢 𝑦 𝐢 ) ⟺ ( π‘₯ 𝑆 𝑦𝑆 ) = ( 5 3 ) βˆ’ ( 0 0 ) + ( βˆ’2 4 ) = ( 3 7 ) Jadi R = (3,7). c. T sehingga 𝑇𝐡̅̅̅̅ = 𝐴𝐢̅̅̅̅ Berdasarkan teorema akibat jika 𝑇𝐡̅̅̅̅ = 𝐴𝐢̅̅̅̅ maka TB = AC sehingga ( π‘₯ 𝐡 𝑦 𝐡 ) βˆ’ ( π‘₯ 𝑇 𝑦 𝑇 ) = ( π‘₯ 𝐢 𝑦 𝐢 ) βˆ’ ( π‘₯ 𝐴 𝑦 𝐴 ) ⟺ ( π‘₯ 𝑇 𝑦 𝑇 ) = ( π‘₯ 𝐡 𝑦 𝐡 ) βˆ’ ( π‘₯ 𝐢 𝑦 𝐢 ) + ( π‘₯ 𝐴 𝑦 𝐴 ) ⟺ ( π‘₯ 𝑇 𝑦 𝑇 ) = ( 5 3 ) βˆ’ ( βˆ’2 4 ) + ( 0 0 ) = ( 7 βˆ’1 ) Jadi R = (7,-1). 5. Diketahui: A (2,1), B (3,-4), dan C (-1,5). Tentukan: a. D sehingga CD = AB b. E sehingga AE = BC c. F sehingga AF = 1 2 𝐴𝐢 Jawab: a. D sehingga CD = AB √(π‘₯ 𝐷 βˆ’ π‘₯ 𝐢)2 + (𝑦 𝐷 βˆ’ 𝑦 𝐢)2 = √(π‘₯ 𝐡 βˆ’ π‘₯ 𝐴)2 + (𝑦 𝐡 βˆ’ 𝑦 𝐴)2 ⟺ √(π‘₯ 𝐷 + 1)2 + (𝑦 𝐷 βˆ’ 5)2 = √(3 βˆ’ 2)2 + (βˆ’4 βˆ’ 1)2 ⟺ √(π‘₯ 𝐷 + 1)2 + (𝑦 𝐷 βˆ’ 5)2 = √(1)2 + (βˆ’5)2 ⟺ √(π‘₯ 𝐷 + 1)2 + (𝑦 𝐷 βˆ’ 5)2 = √26 ⟺ (π‘₯ 𝐷 + 1)2 + (𝑦 𝐷 βˆ’ 5)2 = 26 ⟺ π‘₯ 𝐷 2 + 2π‘₯ 𝐷 + 1 + 𝑦 𝐷 2 βˆ’ 10𝑦 𝐷 + 25 = 26 ⟺ π‘₯ 𝐷 2 +𝑦 𝐷 2 + 2π‘₯ 𝐷 βˆ’ 10𝑦 𝐷 + 26 = 26 ⟺ π‘₯ 𝐷 2 +𝑦 𝐷 2 + 2π‘₯ 𝐷 βˆ’ 10𝑦 𝐷 = 0 Jadi D adalah semua titik pada lingkaran π‘₯ 𝐷 2 +𝑦 𝐷 2 + 2π‘₯ 𝐷 βˆ’ 10𝑦 𝐷 = 0 b. E sehingga AE = BC √(π‘₯ 𝐸 βˆ’ π‘₯ 𝐴)2 + (𝑦 𝐸 βˆ’ 𝑦 𝐴)2 = √(π‘₯ 𝐢 βˆ’ π‘₯ 𝐡)2 + (𝑦 𝐢 βˆ’ 𝑦 𝐡)2
  12. 12. ⟺ √(π‘₯ 𝐸 βˆ’ 2)2 + (𝑦 𝐸 βˆ’ 1)2 = √(βˆ’1 βˆ’ 3)2 + (5 + 4)2 ⟺ √(π‘₯ 𝐸 βˆ’ 2)2 + (𝑦 𝐸 βˆ’ 1)2 = √(βˆ’4)2 + (9)2 ⟺ √(π‘₯ 𝐸 βˆ’ 2)2 + (𝑦 𝐸 βˆ’ 1)2 = √16 + 81 ⟺ √(π‘₯ 𝐸 βˆ’ 2)2 + (𝑦 𝐸 βˆ’ 1)2 = √97 ⟺ (π‘₯ 𝐸 βˆ’ 2)2 + (𝑦 𝐸 βˆ’ 1)2 = 97 ⟺ π‘₯ 𝐸 2 βˆ’ 4π‘₯ 𝐸 + 4 + 𝑦 𝐸 2 βˆ’ 2𝑦 𝐷 + 1 = 97 ⟺ π‘₯ 𝐸 2 +𝑦 𝐸 2 βˆ’ 4π‘₯ 𝐸 βˆ’ 2𝑦 𝐷 + 5 = 97 ⟺ π‘₯ 𝐸 2 +𝑦 𝐸 2 βˆ’ 4π‘₯ 𝐸 βˆ’ 2𝑦 𝐷 βˆ’ 92 = 0 Jai E adalah semua titik pada lingaran π‘₯ 𝐸 2 +𝑦 𝐸 2 βˆ’ 4π‘₯ 𝐸 βˆ’ 2𝑦 𝐷 βˆ’ 92 = 0 c. F sehingga AF = 1 2 𝐴𝐢 √(π‘₯ 𝐹 βˆ’ π‘₯ 𝐴)2 + (𝑦 𝐹 βˆ’ 𝑦 𝐴)2 = 1 2 √(π‘₯ 𝐢 βˆ’ π‘₯ 𝐴)2 + (𝑦 𝐢 βˆ’ 𝑦 𝐴)2 ⟺ √(π‘₯ 𝐹 βˆ’ 2)2 + (𝑦 𝐹 βˆ’ 1)2 = 1 2 √(βˆ’1 βˆ’ 2)2 + (5 βˆ’ 1)2 ⟺ √(π‘₯ 𝐹 βˆ’ 2)2 + (𝑦 𝐹 βˆ’ 1)2 = 1 2 √(βˆ’3)2 + (4)2 ⟺ √(π‘₯ 𝐹 βˆ’ 2)2 + (𝑦 𝐹 βˆ’ 1)2 = 1 2 √9 + 16 ⟺ √(π‘₯ 𝐹 βˆ’ 2)2 + (𝑦 𝐹 βˆ’ 1)2 = 1 2 √25 ⟺ (π‘₯ 𝐹 βˆ’ 2)2 + (𝑦 𝐹 βˆ’ 1)2 = 1 4 . 25 ⟺ π‘₯ 𝐹 2 βˆ’ 4π‘₯ 𝐹 + 4 + 𝑦 𝐹 2 βˆ’ 2𝑦 𝐹 + 1 = 1 4 . 25 ⟺ π‘₯ 𝐹 2 +𝑦 𝐹 2 βˆ’ 4π‘₯ 𝐹 βˆ’ 2𝑦 𝐹 + 5 = 1 4 . 25 ⟺ 4π‘₯ 𝐹 2 +4𝑦 𝐹 2 βˆ’ 16π‘₯ 𝐹 βˆ’ 8𝑦 𝐹 + 20 = 25 ⟺ 4π‘₯ 𝐹 2 +4𝑦 𝐹 2 βˆ’ 16π‘₯ 𝐹 βˆ’ 8𝑦 𝐹 βˆ’ 5 = 0 Jadi F adalah semua titik pada lingkaran 4π‘₯ 𝐹 2 +4𝑦 𝐹 2 βˆ’ 16π‘₯ 𝐹 βˆ’ 8𝑦 𝐹 βˆ’ 5 = 0 6. Jika A = (1,3), B = (2,7), dan C = (-1,4) adalah titik-titik parallelogram ABCD. Tentukan koordinat-koordinat titik D. Jawab: Menurut teorema 9.1 jika ABCD jajargenjang maka AB=CD dengan K adalah titik tengah BC dan AD.
  13. 13. Karena K titik tengah BC maka 𝐾 = ( π‘₯ 𝐡+π‘₯ 𝐢 2 , 𝑦 𝐡+𝑦 𝐢 2 ) = ( 2βˆ’1 2 , 7+4 2 ) = ( 1 2 , 11 2 ) Karena K titik tengah AD maka 𝐾 = ( π‘₯ 𝐴+π‘₯ 𝐷 2 , 𝑦 𝐴+𝑦 𝐷 2 ) ⟺ ( 1 2 , 11 2 ) = ( 1 + π‘₯ 𝐷 2 , 3 + 𝑦 𝐷 2 ) ⟺ 1 + π‘₯ 𝐷 2 = 1 2 ⟺ 1 + π‘₯ 𝐷 = 1 ⟺ π‘₯ 𝐷 = 0 ⟺ 3 + 𝑦 𝐷 2 = 11 2 ⟺ 3 + 𝑦 𝐷 = 11 ⟺ 𝑦 𝐷 = 8 Jadi koordinat D adalah (0,8). 7. Jika A(-2,4), B(h,3), C(3,0), dan D(5,k) adalah titik sudut jajargenjang ABCD, tentukan h dan k. Jawab: Karena ABCD jajargenjang maka 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝐢𝐷̅̅̅̅ dan 𝐴𝐷̅̅̅̅ = 𝐡𝐢̅̅̅̅ Dari 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝐢𝐷̅̅̅̅ menurut akibat teorema 9.1 diperoleh AB=CD maka ( π‘₯ 𝐡 𝑦 𝐡 ) βˆ’ ( π‘₯ 𝐴 𝑦 𝐴 ) = ( π‘₯ 𝐷 𝑦 𝐷 ) βˆ’ ( π‘₯ 𝐢 𝑦 𝐢 ) ⟺ ( β„Ž 3 ) βˆ’ ( βˆ’2 4 ) = ( 3 0 ) βˆ’ ( 5 π‘˜ ) ⟺ ( β„Ž + 2 βˆ’1 ) = ( βˆ’2 βˆ’π‘˜ ) Sehingga diperoleh β„Ž + 2 = βˆ’2 ⟺ β„Ž = βˆ’4 dan – π‘˜ = βˆ’1 ⟺ π‘˜ = 1. 8. Jika A(-h,-k), B(5,-2√3), C(k,8√3) dan D(-9,h) adalah titik-titik sehingga 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝐢𝐷̅̅̅̅, tentukan h dan k. Jawab: Karena 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝐢𝐷̅̅̅̅ maka menurut akibat teorema 9.1 diperoleh AB=CD sehingga ( π‘₯ 𝐡 𝑦 𝐡 ) βˆ’ ( π‘₯ 𝐴 𝑦 𝐴 ) = ( π‘₯ 𝐷 𝑦 𝐷 ) βˆ’ ( π‘₯ 𝐢 𝑦 𝐢 ) ⟺ ( 5 + β„Ž βˆ’2√3 + π‘˜ ) = ( βˆ’9 βˆ’ π‘˜ β„Ž βˆ’ 8√3 ) ⟺ 5 + β„Ž = βˆ’9 βˆ’ π‘˜ ⟺ β„Ž + π‘˜ = βˆ’14 ... (1) ⟺ βˆ’2√3 + π‘˜ = β„Ž βˆ’ 8√3 ⟺ β„Ž βˆ’ π‘˜ = 6√3 ...(2) Dari (1) dan (2) diperoleh k = - 7 - 3√3 dan h = - 7 - 3√3. 9. Diantara relasi-relasi di bawah ini manakah yang termasuk relasi ekivalensi? a. Kesejajaran pada himpunan semua garis. b. Kekongruenan pada himpunan semua sudut. c. Kesebangunan pada himpunan semua segitiga.
  14. 14. d. Kekongruenan antara bilangan-bilangan bulat modulo 3. Jawab: a. Relasi ekivalensi b. Relasi ekivalensi c. Relasi ekivalensi d. Bukan relasi ekivalensi e. Bukan relasi ekivalensi 10. Buktikan jika 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝐢𝐷̅̅̅̅ dan 𝐢𝐷̅̅̅̅ = 𝐸𝐹̅̅̅̅ maka 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝐸𝐹̅̅̅̅ dengan jalan memisalkan 𝐴 = (π‘Ž1, π‘Ž2), 𝐡 = (𝑏1, 𝑏2), 𝐢 = (0,0) π‘‘π‘Žπ‘› 𝐸 = (𝑒1, 𝑒2). Bukti: Dari 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝐢𝐷̅̅̅̅ diperoleh AB = CD maka ( 𝑏1 𝑏2 ) βˆ’ ( π‘Ž1 π‘Ž2 ) = ( 𝑑1 𝑑2 ) βˆ’ ( 𝑐1 𝑐2 ) ⟺ ( 𝑑1 𝑑2 ) = ( 𝑏1 βˆ’ π‘Ž1 + 0 𝑏2 βˆ’ π‘Ž2 + 0 ) = ( 𝑏1 βˆ’ π‘Ž1 𝑏2 βˆ’ π‘Ž2 ) Dari 𝐢𝐷̅̅̅̅ = 𝐸𝐹̅̅̅̅ diperoleh CD = EF maka ( 𝑑1 𝑑2 ) βˆ’ ( 𝑐1 𝑐2 ) = ( 𝑓1 𝑓2 ) βˆ’ ( 𝑒1 𝑒2 ) ⟺ ( 𝑏1 βˆ’ π‘Ž1 𝑏2 βˆ’ π‘Ž2 ) βˆ’ ( 0 0 ) = ( 𝑓1 𝑓2 ) βˆ’ ( 𝑒1 𝑒2 ) ⟺ ( 𝑓1 𝑓2 ) = ( 𝑏1 βˆ’ π‘Ž1 + 𝑒1 𝑏2 βˆ’ π‘Ž2 + 𝑒2 ) Sehingga 𝐸𝐹̅̅̅̅ = ( 𝑏1 βˆ’ π‘Ž1 + 𝑒1 𝑏2 βˆ’ π‘Ž2 + 𝑒2 ) βˆ’ ( 𝑒1 𝑒2 ) = ( 𝑏1 βˆ’ π‘Ž1 𝑏2 βˆ’ π‘Ž2 ). 11. Jika A=(0,0), B=(1,-3), dan C=(5,7), tentukan: a. D sehingga AD = 3 AB b. E sehingga AE = 1 2 𝐡𝐢 c. F sehingga AF = -2 AB Jawab: a. D sehingga AD = 3 AB √(π‘₯ 𝐷 βˆ’ π‘₯ 𝐴)2 + (𝑦 𝐷 βˆ’ 𝑦 𝐴)2 = 3√(π‘₯ 𝐡 βˆ’ π‘₯ 𝐴)2 + (𝑦 𝐡 βˆ’ 𝑦 𝐴)2 ⟺ √(π‘₯ 𝐷 + 0)2 + (𝑦 𝐷 βˆ’ 0)2 = 3√(1 βˆ’ 0)2 + (βˆ’3 βˆ’ 0)2 ⟺ √π‘₯ 𝐷 2 + 𝑦 𝐷 2 = 3√(1)2 + (βˆ’3)2 ⟺ √π‘₯ 𝐷 2 + 𝑦 𝐷 2 = 3√10 ⟺ π‘₯ 𝐷 2 + 𝑦 𝐷 2 = 90
  15. 15. Jadi D adalah semua titik pada lingkaran π‘₯ 𝐷 2 + 𝑦 𝐷 2 = 90 b. E sehingga AE = 1 2 𝐡𝐢 √(π‘₯ 𝐸 βˆ’ π‘₯ 𝐴)2 + (𝑦 𝐸 βˆ’ 𝑦 𝐴)2 = 1 2 √(π‘₯ 𝐢 βˆ’ π‘₯ 𝐡)2 + (𝑦 𝐢 βˆ’ 𝑦 𝐡)2 ⟺ √(π‘₯ 𝐸 βˆ’ 0)2 + (𝑦 𝐸 βˆ’ 0)2 = 1 2 √(5 βˆ’ 1)2 + (7 βˆ’ (βˆ’3))2 ⟺ √π‘₯ 𝐸 2 + 𝑦 𝐸 2 = 1 2 √(4)2 + (10)2 ⟺ √π‘₯ 𝐸 2 + 𝑦 𝐸 2 = 1 2 √16 + 100 ⟺ √π‘₯ 𝐸 2 + 𝑦 𝐸 2 = 1 2 √116 ⟺ π‘₯ 𝐸 2 + 𝑦 𝐸 2 = 1 4 . 116 ⟺ π‘₯ 𝐸 2 + 𝑦 𝐸 2 = 29 Jadi E adalah semua titik pada lingkaran π‘₯ 𝐸 2 + 𝑦 𝐸 2 = 29 c. F sehingga AF = -2 AB √(π‘₯ 𝐹 βˆ’ π‘₯ 𝐴)2 + (𝑦 𝐹 βˆ’ 𝑦 𝐴)2 = -2√(π‘₯ 𝐡 βˆ’ π‘₯ 𝐴)2 + (𝑦 𝐡 βˆ’ 𝑦 𝐴)2 ⟺ √(π‘₯ 𝐹 βˆ’ 0)2 + (𝑦 𝐷 βˆ’ 0)2 =-2√(1 βˆ’ 0)2 + (βˆ’3 βˆ’ 0)2 ⟺ √π‘₯ 𝐹 2 + 𝑦 𝐹 2 = βˆ’2√(1)2 + (βˆ’3)2 ⟺ √π‘₯ 𝐹 2 + 𝑦 𝐹 2 = 4√10 ⟺ π‘₯ 𝐹 2 + 𝑦 𝐹 2 = 40 Jadi D adalah semua titik pada lingkaran π‘₯ 𝐹 2 + 𝑦 𝐹 2 = 40 12. Jika 𝑃0 = (0,0), 𝑃1 = (π‘₯1, 𝑦1), 𝑃2 = (π‘₯2, 𝑦2) dan 𝑃3 = (π‘₯3, 𝑦3) sedangkan k>0, tentukan: a. P sehingga 𝑃0 𝑃̅̅̅̅̅ = π‘˜π‘ƒ0 𝑃1 Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ… b. P sehingga 𝑃1 𝑃̅̅̅̅̅ = π‘˜π‘ƒ1 𝑃2 Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ… c. Jika 𝑃3 𝑃̅̅̅̅̅ = π‘˜π‘ƒ1 𝑃2 Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ… maka 𝑃 = [π‘₯3 + π‘˜(π‘₯2 βˆ’ π‘₯1), 𝑦3 + π‘˜(𝑦2 βˆ’ 𝑦1)] d. Apakah rumus tetap berlaku apabila k < 0? Jawab: a. P sehingga 𝑃0 𝑃̅̅̅̅̅ = π‘˜π‘ƒ0 𝑃1 Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…
  16. 16. Karena 𝑃0 𝑃̅̅̅̅̅ = π‘˜π‘ƒ0 𝑃1 Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ… maka menurut akibat teorema 9.1 diperoleh P0P = kP0P1 sehingga ( π‘₯ 𝑃 βˆ’ π‘₯ 𝑃0 𝑦 𝑃 βˆ’ 𝑦 𝑃0 ) = π‘˜ ( π‘₯ 𝑃1 βˆ’ π‘₯ 𝑃0 𝑦 𝑃1 βˆ’ 𝑦 𝑃0 ) ⟺ ( π‘₯ 𝑝 βˆ’ 0 𝑦𝑝 βˆ’ 0 ) = π‘˜ ( π‘₯1 βˆ’ 0 𝑦1 βˆ’ 0 ) ⟺ ( π‘₯ 𝑝 𝑦𝑝 ) = ( π‘˜π‘₯1 π‘˜π‘¦1 ) b. P sehingga 𝑃1 𝑃̅̅̅̅̅ = π‘˜π‘ƒ1 𝑃2 Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ… Karena 𝑃1 𝑃̅̅̅̅̅ = π‘˜π‘ƒ1 𝑃2 Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ… maka menurut akibat teorema 9.1 diperoleh P1P=kP1P2 sehingga ( π‘₯ 𝑃 βˆ’ π‘₯ 𝑃1 𝑦𝑝 βˆ’ 𝑦 𝑃1 ) = π‘˜ ( π‘₯ 𝑃2βˆ’ π‘₯ 𝑃1 𝑦 𝑃2 βˆ’ 𝑦 𝑃1 ) ⟺ ( π‘₯ 𝑃 βˆ’ π‘₯1 𝑦 𝑃 βˆ’ 𝑦1 ) = π‘˜ ( π‘₯2 βˆ’ π‘₯1 𝑦2 βˆ’ 𝑦1 ) ⟺ π‘₯ 𝑃 βˆ’ π‘₯1 = π‘˜π‘₯2 βˆ’ π‘˜π‘₯1 ⟺ π‘₯ 𝑃 = π‘˜π‘₯2 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)π‘₯1 ⟺ 𝑦 𝑃 βˆ’ 𝑦1 = π‘˜π‘¦2 βˆ’ π‘˜π‘¦1 ⟺ 𝑦 𝑃 = π‘˜π‘¦2 βˆ’ (π‘˜βˆ’1)𝑦1 Jadi 𝑃 = (π‘˜π‘₯2 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)π‘₯1, π‘˜π‘¦2 βˆ’ (π‘˜βˆ’1)𝑦1) c. Jika 𝑃3 𝑃̅̅̅̅̅ = π‘˜π‘ƒ1 𝑃2 Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ… maka 𝑃 = [π‘₯3 + π‘˜(π‘₯2 βˆ’ π‘₯1), 𝑦3 + π‘˜(𝑦2 βˆ’ 𝑦1)] Karena 𝑃3 𝑃̅̅̅̅̅ = π˜Œπ‘ƒ1 𝑃2 Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ… maka menurut akibat teorema 9.1 diperoleh P3P=kP1P2 sehingga ( π‘₯ 𝑃 βˆ’ π‘₯ 𝑃3 𝑦 𝑃 βˆ’ 𝑦 𝑃3 ) = π‘˜ ( π‘₯ 𝑃2βˆ’ π‘₯ 𝑃1 𝑦 𝑃2 βˆ’ 𝑦 𝑃1 ) ⟺ ( π‘₯ 𝑃 βˆ’ π‘₯3 𝑦 𝑃 βˆ’ 𝑦3 ) = π‘˜ ( π‘₯2 βˆ’ π‘₯1 𝑦2 βˆ’ 𝑦1 ) ⟺ π‘₯ 𝑃 βˆ’ π‘₯3 = π‘˜π‘₯2 βˆ’ π‘˜π‘₯1 ⟺ π‘₯ 𝑃 = π‘˜(π‘₯2 βˆ’ π‘₯1) + π‘₯3 ⟺ 𝑦 𝑃 βˆ’ 𝑦3 = π‘˜π‘¦2 βˆ’ π‘˜π‘¦1 ⟺ 𝑦 𝑃 = π‘˜(𝑦2 βˆ’ 𝑦1) + 𝑦3 Jadi 𝑃 = (π‘˜(π‘₯2 βˆ’ π‘₯1) + π‘₯3, π‘˜(𝑦2 βˆ’ 𝑦1) + 𝑦3) d. Apakah rumus tetap berlaku apabila k < 0? rumus tetap berlaku tetapi arahnya berlawanan. 13. Jika A = (0,0), B = (1,3), C = (-2,5), dan D = (4,-2) titik-titik diketahui, gunakan hasil pada soal nomor 12, untuk menentukan koordinat-koordinat titik-titik berikut: a. P sehingga 𝐴𝑃̅̅̅̅ = 4 𝐴𝐢̅̅̅̅ b. R sehingga 𝐡𝑅̅̅̅̅ = 1 2 𝐡𝐢̅̅̅̅ c. S sehingga 𝐷𝑆̅̅̅̅ = 3𝐡𝐢̅̅̅̅ d. T sehingga 𝐢𝑇̅̅̅̅ = βˆ’2𝐷𝐡̅̅̅̅ Jawab: a. P sehingga 𝐴𝑃̅̅̅̅ = 4 𝐴𝐢̅̅̅̅
  17. 17. Karena 𝐴𝑃̅̅̅̅ = 4 𝐴𝐢̅̅̅̅ maka 𝐴𝑃 = 4𝐴𝐢 sehingga 𝑃 βˆ’ 𝐴 = 4(𝐢 βˆ’ 𝐴) Diperoleh ( π‘₯ 𝑃 βˆ’ π‘₯ 𝐴 𝑦 𝑃 βˆ’ 𝑦 𝐴 ) = 4 ( π‘₯ 𝐢 βˆ’ π‘₯ 𝐴 𝑦 𝐢 βˆ’ 𝑦 𝐴 ) ⟺ ( π‘₯ 𝑃 𝑦 𝑃 ) = 4 ( βˆ’2 βˆ’ 0 5 βˆ’ 0 ) + ( 0 0 ) ⟺ ( π‘₯ 𝑃 𝑦 𝑃 ) = ( βˆ’8 20 ) Jadi koordinat P = (-8,20). b. R sehingga 𝐡𝑅̅̅̅̅ = 1 2 𝐡𝐢̅̅̅̅ Karena 𝐡𝑅̅̅̅̅ = 1 2 𝐡𝐢̅̅̅̅ maka BR= 1 2 BC sehingga R – B = 1 2 (𝐢 βˆ’ 𝐡) Diperoleh ( π‘₯ 𝑅 βˆ’ π‘₯ 𝐡 𝑦 𝑅 βˆ’ 𝑦 𝐡 ) = 1 2 ( π‘₯ 𝐢 βˆ’ π‘₯ 𝐡 𝑦 𝐢 βˆ’ 𝑦 𝐡 ) ⟺ ( π‘₯ 𝑅 βˆ’ 1 𝑦 𝑅 βˆ’ 3 ) = 1 2 ( βˆ’2 βˆ’ 1 5 βˆ’ 3 ) ⟺ π‘₯ 𝑅 βˆ’ 1 = βˆ’3 2 ⟺ π‘₯ 𝑅 = βˆ’1 2 ⟺ 𝑦 𝑅 βˆ’ 3 = 1 ⟺ 𝑦 𝑅 = 4 Jadi koordinat R = ( βˆ’1 2 , 4). c. S sehingga 𝐷𝑆̅̅̅̅ = 3𝐡𝐢̅̅̅̅ Karena 𝐷𝑆̅̅̅̅ = 3𝐡𝐢̅̅̅̅ maka S – D = 3 (C – B) Diperoleh ( π‘₯ 𝑆 βˆ’ π‘₯ 𝐷 𝑦𝑆 βˆ’ 𝑦 𝐷 ) = 3 ( π‘₯ 𝐢 βˆ’ π‘₯ 𝐡 𝑦 𝐢 βˆ’ 𝑦 𝐡 ) ⟺ ( π‘₯ 𝑆 βˆ’ 4 𝑦𝑆 βˆ’ (βˆ’2) ) = 3 ( βˆ’2 βˆ’ 1 5 βˆ’ 3 ) ⟺ π‘₯ 𝑆 βˆ’ 4 = βˆ’9 ⟺ π‘₯ 𝑆 = βˆ’5 ⟺ 𝑦𝑆 + 2 = 6 ⟺ 𝑦𝑆 = 4 Jadi koordinat S = (βˆ’5,4). d. T sehingga 𝐢𝑇̅̅̅̅ = βˆ’2𝐷𝐡̅̅̅̅ Karena 𝐢𝑇̅̅̅̅ = βˆ’2𝐷𝐡̅̅̅̅ maka T – C = -2 ( B – D ) Diperoleh ( π‘₯ 𝑇 βˆ’ π‘₯ 𝐢 𝑦 𝑇 βˆ’ 𝑦 𝐢 ) = βˆ’2 ( π‘₯ 𝐡 βˆ’ π‘₯ 𝐷 𝑦 𝐡 βˆ’ 𝑦 𝐷 ) ⟺ ( π‘₯ 𝑇 βˆ’ (βˆ’2) 𝑦 𝑇 βˆ’ 5 ) = βˆ’2 ( 1 βˆ’ 4 3 βˆ’ (βˆ’2) ) ⟺ π‘₯ 𝑇 + 2 = 6 ⟺ π‘₯ 𝑇 = 4 ⟺ 𝑦 𝑇 βˆ’ 5 = βˆ’10 ⟺ 𝑦 𝑇 = βˆ’5 Jadi koordinat R = (4, βˆ’5). 14. Diketahui garis-garis g dan h yang sejajar. Titik 𝑃 ∈ 𝑔 sedangkan titik 𝑄 tidak pada g maupun h. a. Lukislah P’=MhMg(P) dan Q’=MhMg(Q)
  18. 18. b. Buktikan bahwa 𝑃𝑃′̅̅̅̅̅ = 𝑄𝑄′̅̅̅̅̅ Jawab: a. Gambar P’=MhMg(P) dan Q’=MhMg(Q) b. Bukti bahwa 𝑃𝑃′̅̅̅̅̅ = 𝑄𝑄′̅̅̅̅̅ 15. Diketahui garis-garis u dan v yang sejajar; ada titik-titik Z dan W tidak pada garis-garis itu. a. Lukislah Z’=MvMu(Z) dan W’=MvMu(W) b. Buktikan bahwa 𝑍𝑍′̅̅̅̅̅ = π‘Šπ‘Šβ€²Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ… Jawab: a. Gambar Z’=MvMu(Z) dan W’=MvMu(W) b. Bukti bahwa 𝑍𝑍′̅̅̅̅̅ = π‘Šπ‘Šβ€²Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ… 16. Diketahui garis g dan lingkaran-lingkaran L1 dan L2; garis itu tidak memotong lingkaran-lingkaran. Dengan memperhatikan Mg(L1), tentukan Mg(Q) h g P P’ Q’ Q Z’ u v ZW’ W Mu(Z) Mu(W)
  19. 19. semua titik X pada g sehingga βˆ π‘ƒπ‘‹π΄ β‰… βˆ π‘„π‘‹π΅ dengan 𝐴 ∈ 𝐿1, 𝐡 ∈ 𝐿2 sedangkan 𝑋𝐴⃑⃗⃗⃗⃗ dan 𝑋𝐡⃑⃗⃗⃗⃗ adalah garis-garis singgung. Jawab: 17. Diketahui garis g dan lingkaran-lingkaran L1 dan L2. Garis tidak memotong L1 maupun L2. Gunakna sebuah transformasi untuk melukis sebuah bujur sangkar yang dua titik sudutnya terletak pada g, satu titik sudut ada pada L1 dan titik sudut yang keempat ada pada L2. Jawab:

Γ—