Presentasi Peta Konsep Grup

1. G ≠ ∅ Operasi Biner * (G,*) SA
(G,*) Grupoid
Hanya berlaku
sifat tertutup
(G,*) Semigrup
Suatu grupoid
(G,*) yang
memenuhi
sifat asosiatif
(G,*) Monoid
Suatu semigrup (G,*)
yang mempunyai
unsur identitas
(G,*) Grup
Suatu monoid (G,*) dan
setiap anggota G
mempunyai invers di G
" a,b  Z
•a*b = a + b  Z
•a*b = a – b  Z
•a*b = a x b  Z
Contoh:
1 + 2 = 3
3 – 1 = 2
2 x 3 = 6
(a*b)*c = a*(b*c), " a, b, c G
Contoh:
(N,+) dengan N bilangan Asli
∃ e  G " a  G berlaku a*e = e*a = a
Contoh:
(N,*) dengan N bilangan Asli, 1  N
dan 1 identitas
" a  G, ada a-1 G sehinggga
a*a-1=a-1*a = e
Contoh:
(Z,+) yaitu himpunan bilangan Bulat
dengan penjumlahan
Grup Komutatif
Jika (G,*) merupakan grup
dan memenuhi sifat
komutatif
Grup Tidak Komutatif
Jika (G,*) merupakan grup
dan tidak memenuhi sifat
komutatif
Grup terhingga
Jika (G,*) merupakan grup
dan banyaknya anggota G
terhingga (finite)
Grup Tak terhingga
Jika (G,*) merupakan grup
dan banyaknya anggota G
terhingga (finite)
Contoh
Himpunan bil.
Real dengan
operasi
penjumlahan
Contoh
Perkalian
matriks persegi
di mana AB ≠ BA
Contoh
Himpunan bil. Real
dengan operasi
penjumlahan
Contoh
T = {-1,1}, (T,X)
Grup Tak berhingga

2. Invers Tunggal
𝑎−1 −1
= 𝑎
Identitas Tunggal
Hukum Pencoretan
𝒂 ∗ 𝒃 −𝟏
= 𝒃−𝟏
∗ 𝒂−𝟏
Misalkan G adalah grup
Juga misalkan e dan e’ adalah unsur identitas di G,
Akan ditunjukkan bahwa e = e’.
Karena e unsur identitas di g dan e’  G maka ee’ = e’e = e’
Juga e’ unsur identitas di G dan e  G, maka e’e = ee’ = e
Jadi e = e’e = ee’ = e’
Dengan demikian terbukti bahwa unsur identitas suatu grup adalah
tunggal
Misalkan e  G, e adalah undur identitas, karena 𝑎−1
adalah invers dari a maka:
𝑎−1
𝑎 = 𝑎𝑎−1
= 𝑒
Pandang 𝑎𝑎−1
= e 𝑎−1 −1
(𝑎−1
𝑎) = 𝑎−1 −1
e [kalikan 𝑎−1 −1
]
[ 𝑎−1 −1
(𝑎−1
)]a = 𝑎−1 −1
[hukum asosiatif]
ea = 𝑎−1 −1
[ 𝑎−1 −1
(𝑎−1
) = e]
a = 𝑎−1 −1
Selanjutnya pandang juga a. 𝑎−1
= e
(𝑎−1
𝑎) 𝑎−1 −1
= e( 𝑎−1 −1
a[ 𝑎−1
𝑎−1 −1
] = 𝑎−1 −1
[asosiatif]
ae = 𝑎−1 −1
[(𝑎−1
𝑎) 𝑎−1 −1
= e]
a = 𝑎−1 −1
Oleh karena itu terbukti bahwa 𝑎−1 −1
= 𝑎
Misalkan G adalah grup dan a, b, c anggota sebarang di G
Akan ditunjukkan
(i) Jika ab = ac maka b = c [pencoretan kiri]
(ii) Jika ba = ca maka b = c [pencoretan kanan]
Untuk menunjukkan (i) pandang ab = ac. Karena a  G, G grup maka 𝑎−1
 G,
𝑎−1
(ab) = 𝑎−1
(ac)
(𝑎−1
a)b = (𝑎−1
a)c
eb = ec [𝑎−1
a = e]
b = c [ e identitas di G]
Jadi terbukti bahwa untuk ab = ac maka b = c
Misalkan e unsur identitas di G, dan a,b anggota sebarang di G.
Akan ditunjukkan (𝑎𝑏)−1
= 𝑏−1
𝑎−1
Hal ini ekivalen jika ditunjukkan 𝑎𝑏 𝑏−1
𝑎−1
= (𝑏−1
𝑎−1
) 𝑎𝑏 = e
𝑎𝑏 𝑏−1
𝑎−1
= [ 𝑎𝑏 𝑏−1
] 𝑎−1
[assosiatif] juga (𝑏−1
𝑎−1
) 𝑎𝑏 = [(𝑏−1
𝑎−1
)𝑎]𝑏 [assosiatif]
= [a(𝑏𝑏−1
)] 𝑎−1
[assosiatif] = [𝑏−1
((𝑎−1
𝑎)]b [assosiatif]
= (ae) 𝑎−1
[b𝑏−1
=e] = (𝑏−1
e)b [𝑎𝑎−1
=e]
= a𝑎−1
[ae = a] = 𝑏−1
𝑏−1
[𝑏−1
e = 𝑏−1
]
= e [a𝑎−1
= e] = e [b𝑏−1
= e]
(G,*) Grup
Pembuktian
Teorema2.4
Pembuktian
Teorema2.8
Pembuktian
Teorema2.6
Pembuktian
Teorema2.9