(G,*) tidak membentuk group karena tidak memenuhi syarat assosiatif, identitas, dan invers."

1. Group
Nama Anggota Kelompok
1. Eni Tri Fatimah
2. Ismi Nadiya
3. Khoirun Nisa
4. Nadya Aulida Drajat

2. Misalkan G suatu himpunan sembarang dan
didefinisikan operasi biner * pada G. Apakah syarat
agar (G,*) merupakan group, apakah G bisa berupa
himpunan kosong?
- Carilah definisi group
- Tuliskan syarat-syarat grup
- Periksa apakah (ø,*) bisa membentuk group
Masalah 1

3. Suatu group (G,*) adalah suatu himpunan G dengan satu
operasi biner (*) yang memenuhi sifat-sifat berikut:
1. Tertutup: a*b ϵ G, Ѵa,b ϵ G
2. Assosiatif: a*(b*c)= (a*b)*c, Ѵa,b,c ϵ G
3. Adanya elemen satuan (identitas)
Ǝe ϵ G sehingga a*e=e*a=a, Ѵa ϵ G
4. Adanya elemen invers:
Ѵa ϵ G, Ǝ𝑎−1ϵ G sehingga a*𝑎−1=𝑎−1*a=e
(ø,*) tidak bisa membentuk group karena tidak ada objek
penderita (elemen-elemennya)

4. Misalkan 𝑍5={0,1,2,3,4} dan didefinisikan * adalah
operasi perkalian mod 5. Apakah (𝑍5,*) membentuk
group?
Masalah 2

5. Untuk operasi penjumlahan
+ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
1. Tertutup: a*b ϵ G, Ѵa,b ϵ G
Dapat kita lihat dalam tabel bahwa
semua hasil dari operasi (a+b)
merupakan elemen 𝑍5
2. Assosiatif: a*(b*c)= (a*b)*c, Ѵa,b,c
ϵ G
Pada operasi penjumlahan
a+(b+c)=(a+b)+c pasti benar

6. Untuk operasi penjumlahan
+ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
3. identitas: Ǝe ϵ G sehingga
a*e=e*a=a, Ѵa ϵ G
Pada operasi penjumlahan e=0
Ǝ0 ϵ G sehingga a+0=0+a=a, Ѵa ϵ G
4. Invers: Ѵa ϵ G, Ǝ𝑎−1ϵ G sehingga
a*𝑎−1=𝑎−1*a=e
e=0
0−1 = 0,
1−1
= 4
2−1
= 3
3−1
= 2
4−1
= 1

7. Untuk operasi penjumlahan
Karena memenuhi semua syarat pada group
maka pada operasi penjumlahan, (𝑍5,*)
membentuk group

8. Untuk Operasi Perkalian
x 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1
1. Tertutup: a*b ϵ G, Ѵa,b ϵ G
Dapat kita lihat dalam tabel bahwa
semua hasil dari operasi (axb)
merupakan elemen 𝑍5
2. Assosiatif: a*(b*c)= (a*b)*c, Ѵa,b,c
ϵ G
Pada operasi penjumlahan
ax(bxc)=(axb)xc pasti benar

9. Untuk Operasi Perkalian
x 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1
3. identitas: Ǝe ϵ G sehingga
a*e=e*a=a, Ѵa ϵ G
Pada operasi penjumlahan e=1
Ǝ1 ϵ G sehingga ax1=1xa=a, Ѵa ϵ G
4. Invers: Ѵa ϵ G, Ǝ𝑎−1ϵ G sehingga
a*𝑎−1=𝑎−1*a=e
e=0
0−1
tidak ada, maka pada operasi
perkalian tidak terdapat invers

10. Untuk operasi perkalian
Karena tidak memenuhi semua syarat pada group
maka pada operasi perkalian , (𝑍5,*) tidak
membentuk group

11. Apakah suatu group (G,*) mungkin mempunyai elemen lebih
dari satu?
Iya, contoh dari soal 2, 𝑍5={0,1,2,3,4} merupakan group dari
operasi penjumlahan yang memiliki elemen lebih dari satu.
Masalah 3

12. Misalkan G sembarang himpunan semua bilangan real tak
nol. Definisikan operasi * dengan a*b=𝑎2 𝑏. Syarat group mana
yang dipenuhi oleh (G,*)? Apakah (G,*) membentuk group?
Masalah 4

13. 1. Tertutup: a*b ϵ G, Ѵa,b ϵ G
Bilangan real adalah gabungan dari bilangan rasional dan bilangan
irrasioanal. Jadi hasil operasi a*b=𝑎2 𝑏 pasti terdapat dalam bilangan real.
2. Assosiatif: a*(b*c)= (a*b)*c, Ѵa,b,c ϵ G
a*(b*c)= (a*b)*c
𝑎2
(b*c)= (a∗b)
2
c
𝑎2
(𝑏2
c)= (𝑎2
b)
2
c
Hanya terpenuhi jika 𝑎2=1 atau a=±1, sedangkan a sembarang dari elemen
bilangan real tak nol. Syarat assosiatif tidak terpenuhi.

14. 3. Identitas: Ǝe ϵ G sehingga a*e=e*a=a, Ѵa ϵ G
Ǝe ϵ G sehingga 𝑎2 𝑒=𝑒2a=a, Ѵa ϵ G
Ǝe=b ϵ G sehingga 𝑎2 𝑏=𝑏2a=a, Ѵa ϵ G
Terpenuhi jika a=1, sedangkan a sembarang dari elemen bilangan real tak
nol. Syarat identitas tidak terpenuhi.
4. Invers: Ѵa ϵ G, Ǝ𝑎−1
ϵ G sehingga a*𝑎−1
=𝑎−1
*a=e
Karena tidak memiliki elemen identitas makan elemen invers juga tidak
terpenuhi.