Bab 2 membahas operasi biner dan sifat-sifatnya. Operasi biner adalah proses menghubungkan dua himpunan menggunakan operator (+, -, x, /). Sifat operasi biner antara lain tertutup, komutatif, asosiatif, memiliki identitas dan invers, serta distributif. Bab 3 membahas grup, yakni himpunan yang dilengkapi operasi biner memenuhi sifat tertutup, asosiatif, komutatif, identitas dan invers. Grup

1. 1
BAB 2
OPERASI BINER
A. Definisi
1. Operasi artinya suatu tindakan atau proses menghubungkan dua buah objek atau himpunan
dengan ketentuan tertentu. Sedangkan Biner artinya dua bagian, dua benda atau basis dua.
2. Operasi Biner adalah proses menghubungkan atau memetakan sebuah himpunan ke himpunan
itu sendiri menggunakan operator biner. Operator biner yang dimaksud berupa penjumlahan
(+), pengurangan (-), perkalian (x) atau pembagian (/).
3. Operasi biner dilambangkan dengan “  ”
Jadi, dalam operasi biner diketahui sebuah himpunan S tak kosong yang kemudian diberikan
operasi biner dengan melakukan pemetaan dari S x S ke S. Berdasarkan hasil pemetaan ini
nantinya bisa diketahui apakah pada S berlaku operasi biner atau tidak dengan melihat beberapa
syarat/sifat tertentu.
B. Sifat-sifat Operasi Biner
Dikatakan operasi  pada S (himpunan tak kosong) disebut operasi biner jika:
1. Bersifat tertutup
Apabila a,b  S, maka berlaku a  bS.
2. Bersifat komutatif
Apabila a,b S, maka berlaku a  b  b  a.
3. Bersifat asosiatif
Apabila a, b, c  S, maka berlaku (a  b)  c  a  (b c).
4. Memiliki elemen identitas
Apabila eS  a  S, maka berlaku a  e  e  a  a.
a. Identitas kiri:
Jika terdapat 푒1 sedeikian hingga e1°a = a, untuk setiap a.
b. Identitas kiri:
Jika terdapat 푒2 sedeikian hingga a°e2 = a, untuk setiap a.
5. Memiliki invers
Apabila a S, b a S, maka berlaku a a a a e. -1 -1 -1         
dimana e adalah elemen identitas untuk operasi ° a−1 disebut invers dari elemen a
6. Bersifat distributif
Apabila a, b, c maka berlaku a  (b c)  a  b  a  c
a) Operasi perkalian bersifat distributif terhadap operasi penjumlahan
푎 × (푏 + 푐) = (a × b) + (a × c)
푎푡푎푢
(푏 + 푐) × 푎 = (b × a) + (c × a)
b) Operasi penjumlahan tidak bersifat distributif terhadap operasi perkalian
푎 + (푏 × 푐) ≠ (a + b) × (a + c)
Contoh :
A. Apakah Q dengan operasi pembagian termasuk operasi biner?
Penyelesaian:
1. Bersifat Tertutup
Misalnya: a =
1
, b = -3, maka:
2
-1
6
a  b   (-3)

1
2
Jurusan Pendidikan Matematika Kelompok 5
FITK IAIN Mataram VD-2014/2015

2. 2
Karena
1
6
juga merupakan bilangan rasional (Q) maka Q bersifat tertutup dengan operasi
pembagian.
2. Bersifat komutatif
Misalnya: a =
1
, b = -3, maka:
2
a b b a   
1
2
1
 (  3)  (-3)

2
6
1
 

6
Key Word:
Operasi Biner  himpunan
Operasi biner (+, -, x,  )
Karena pada bilangan rasional dengan operasi pembagian tidak memenuhi sifat komutatif,
maka Q dengan operasi pembagian bukan termasuk operasi biner.
Rangkuman
1. Operasi Biner adalah proses menghubungkan atau memetakan sebuah himpunan ke
himpunan itu sendiri menggunakan operator biner. Operator biner yang dimaksud
berupa penjumlahan (+), pengurangan (-), perkalian (x) atau pembagian (/).
2. Sifat-sifat operasi biner yaitu: bersifat tertutup, bersifat komutatif, bersifat asosiatif,
memiliki invers, memiliki identitas dan bersifat distributif.
Latihan 2.1
1. Selidiki, apakah operasi pada himpunan berikut ini (a) merupakan operasi biner, (b) bersifat
asosiatif, (c) mempunyai elemen identitas, (d) setiap elemennya mempunyai invers dan (e) bersifat
komutatif. Tunjukkanlah:
a. Z dengan operasi perkalian
b. Z dengan operasi penjumlahan
2. B dengan operasi  yang didefinisikan oleh a  b = a + b – 10, a, b  B
3. R dengan operasi  yang didefinisikan oleh a  b = ½ (a + b + ab), B b a,  
Jurusan Pendidikan Matematika Kelompok 5
FITK IAIN Mataram VD-2014/2015

3. 3
BAB 3
GRUP
A. Pengertian Grup
Misalkan   G dan  adalah operasi biner pada G, maka G dikatakan grup [ditulis  ,G ],
jika sifat-sifat operasi biner berlaku pada G yakni (1) bersifat tertutup, (2) bersifat asosiatif, (3) bersifat
komutatif, (4) memiliki elemen identitas, (5) memiliki invers.
Contoh grup
Bilangan Z, Q, R, dan C merupakan grup terhadap operasi penjumlahan. Elemen netral dari
grup tersebut adalah 0, sedangkan invers dari a adalah –a.
Contoh bukan grup
R bukan merupakan grup terhadap operasi perkalian, karena R  0 tidak memiliki invers.
Definisi 1:
1. Operasi biner ° pada S adalah jika ∀a, b ∈ S berlaku a°b ∈ S, atau sering dikatakan Operasi °
pada S bersifat tertutup.
2. Jika Operasi ° pada S tertutup maka (S, °) disebut Grupoid yaitu struktur aljabar dengan satu
operasi yang tertutup (biner).
3. Operasi biner ° pada S dikatakan assosiatif jika ∀a, b, c ∈ S, (a°b) °c = a° (b°c).
4. Grupoid (S, °) disebut semigrup jika Operasi biner ° pada S assosiatif
5. Himpunan S terhadap operasi ° dikatakan mempunyai elemen identitas e jika ∀e ∈ S, ∀a∈ S,
a°e = e°a = a
6. Semigrup (S, °) disebut monoid jika S terhadap ° mempunyai elemen identitas e.
7. Himpunan S terhadap operasi ° dikatakan komutatif jika ∀a, b ∈ S, a°b = b°a
Definisi 2 ;
Misalkan G adalah himpunan tidak kosong dilengkapi dengan operasi maka struktur aljabar (G,.)
disebut Grup jika dipenuhi aksioma-aksioma berikiut :
a. Tertutup, artinya ∀a, b ∈ G berlaku a.b ∈ G
b. Asosiatif, artinya ∀a, b, c ∈G berlaku (a.b).c = a.(b.c)
c. Mempunyai elemen identitas ditulis e, artinya (∀a ∈ G) a.e = e.a =a
d. Setiap elemen mempunyai invers dinotasikan a-1 adalah invers dari a, artinya (∀a ∈ G)
(∀a-1∈ G) sehingga a-1.a = a.a-1 = e
B. Sifat-sifat Grup
Dalam sembarang grup, berlaku sifat-sifat sebagai berikut
1. Hukum kanselasi kiri : Jika a x = a y maka x = y.
2. Hukum kanselasi kanan : Jika x a = y a maka x = y.
3. Anggota identitas itu tunggal yaitu jika e dan e′ elemen G yang memenuhi hukum identitas
maka e = e′.
4. Invers dari sebarang anggota G akan tunggal yaitu jika a dan b merupakan invers dari x maka a
= b.
5. ( ab) -1 = b-1a-1
Bukti :
1. Diberikan ax = ay. Karena G grup dan a ∈ G maka terdapat a-1 sehingga a a-1 = a-1 a = e
dengan e identitas. Akibatnya a-1 (ax) = a-1 (ay) dan dengan menggunakan hukum assosiatif
diperoleh (a-1 a)x = (a-1 a)y dan dengan hukum invers diperoleh ex = ey akhirnya dengan
hukum identitas x = y
2. Analog dengan 1 (untuk latihan).
3. Karena e suatu anggota identitas maka e e′ = e′. Pada sisi lain e e′ = e, sehingga e e′ = e′ = e.
Jurusan Pendidikan Matematika Kelompok 5
FITK IAIN Mataram VD-2014/2015

4. 4
4. Karena a dan b merupakan invers x maka berlaku xa = e dan xb = e. Karena anggota identitas
itu tunggal maka xa = e = xb Akibatnya dengan menggunakan hukum kanselasi kiri maka a =
b.
5. Karena ab . b-1 a-1 = a (b b-1) a-1 = a e a-1 = a a-1 = e dan b-1a-1 . ab = b-1(a-1 a)b = b-1 e b = b-1 b
= e maka (ab)-1 = b a.
C. Pembagian Grup
1. Berdasarkan sifatnya
Berdasarkan sifatnya grup dibagi menjadi tiga, yaitu :
a. Grupoid
Himpunan G bersama-sama dengan operasi biner ° ditulis  ,G
b. Semigrup
Dikatakan semigrup jika  ,G memiliki sifat asosiatif, yakni Gc ba, , , maka berlaku
a b c  a  b  c.
c. Monoid
Dikatakan monoid jika  ,G semigrup yang memiliki elemen identitas, yakni
GaGe   , maka berlaku aae e a  .
2. Berdasarkan ordernya
Berdasarkan ordernya grup dibagi menjadi 9
dua, yaitu:
a. Grup tak berhingga
Grup tak berhingga adalah grup yang memiliki order tak berhingga
Contoh:
{Z,+} merupakan gurp tak berhingga karena mempunyai orde tak berhingga karena Z
mempunyai tak berhingga banyak anggota.
b. Grup berhingga
Grup berhingga adalah grup yang memiliki order berhingga
Contoh :
{Z6,+} merupakn grup berhingga karena mempunyai order 6 karena mengandung 6
anggota yaitu 0, 1, 2, 3, 4 dan 5.
Key Word:
Grup  G  dan 
Rangkuman
Misalkan G  dan  adalah operasi biner pada G, maka G dikatakan grup
[ditulis G,], jika sifat-sifat operasi biner berlaku pada G.grup dibagi
menjadi dua, yaitu: berdasarkan sifatnya, dan berdasarkan ordernya.
Jurusan Pendidikan Matematika Kelompok 5
FITK IAIN Mataram VD-2014/2015

5. 5
Latihan
Buktikan bahwa himpunan berikut merupakan grup (menggunakan sifat)
a. (Z3,x) b. (Z5,x) c. (Z4,+) d. (Z6,+)
Jurusan Pendidikan Matematika Kelompok 5
FITK IAIN Mataram VD-2014/2015