Dokumen ini membahas mengenai konsep subgrup dalam teori grup, termasuk definisi dan teorema yang berkaitan dengan subgrup, serta contoh-contohnya. Mahasiswa diharapkan dapat memahami dan membuktikan teorema subgrup serta menggunakan teorema tersebut dalam melakukan pembuktian. Beberapa contoh dan teorema juga diberikan untuk menunjukkan syarat-syarat yang harus dipenuhi agar suatu himpunan dapat dikategorikan sebagai subgrup.

1. Matakuliah Aljabar Grup 32
2.1 Grup Bagian (Subgrup)
Perkenalan kita dengan teori dasar grup sudah mulai memasuki bagian kedua. Setelah kita
memahami konsep-konsep dasar grup yang terkait dengan definisi grup dan sifat-sifatnya,
kita akan mencoba menelaah lebih dalam mengenai himpunan-himpunan yang termuat
dalam grup yang mungkin membentuk grup. Setelah mempelajari bagian ini, mahasiswa
diharapkan
1. mampu memahami definisi subgrup,
2. mampu menyebutkan dan membuktikan teorema subgrup, dan
3. mampu menggunakan teorema subgrup.
Secara non formal, subgrup kita artikan sebagai grup yang termuat dalam grup yang lebih
besar dengan operasi yang sama. Secara formal subgrup kita definisikan sebagai berikut.
Definisi 2.1.1 (Definisi Subgrup)
Misalkan hG, ∗i grup. Himpunan bagian tak kosong H dari G disebut subgrup jika H
merupakan grup terhadap operasi ∗.
Berdasarkan Definisi ?? tentang subgrup dan materi kita sebelumnya, berikut merupakan
contoh subgrup.
Contoh 2.1.2
(a) Q dan Z masing-masing merupakan subgrup dari R.
(b) Z merupakan subgrup dari Q.
(c) Q0, Q+, dan R+ masing-masing merupakan subgrup dari R0
(d) M2(Z) merupakan subgrup dari M2(R)
(e) SL2(R) merupakan subgrup dari GL2(R).
(f) Himpunan { 1, −1 } merupakan subgrup dari Q0 dan R0
(g) Dua subgrup yang sangat jelas dari grup G adalah G itu sendiri dan { e }, dengan e
adalah elemen identitas G.
Definisi 2.1.3
Subgrup H dari grup G disebut subgrup sejati jika { e } 6= H dan H 6= G.
c
Mahmudi
Prodi Matematika FMIPA Unsyiah

2. Matakuliah Aljabar Grup 33
Berdasarkan Definisi Subgrup, kita tahu bahwa semua subgrup merupakan himpunan
bagian. Apakah berlaku sebaliknya? Jika tidak, syarat apa yang harus dipenuhi oleh
suatu himpunan bagian untuk dapat membentuk subgrup?
Jawaban atas pertanyaan tersebut adalah berdasarkan definisi dan contoh-contoh yang su-
dah ada, suatu himpunan bagian tak kosong H dari G dapat menjadi subgrup jika H juga
merupakan grup. Tentunya kita sudah sangat ahli dalam menentukan suatu himpunan
grup atau bukan pada pembelajaran sebelumnya.
Contoh 2.1.4
Diberikan himpunan bilangan bulat kelipatan 5, yaitu 5Z = { · · · , −10, −5, 0, 5, 10, · · · }.
Secara matematis, himpunan tersebut, dapat kita tulis:
5Z = { x ∈ Z | x = 5k untuk suatu k ∈ Z } atau 5Z = { 5k | k ∈ Z } .
Sebenarnya 5Z merupakan subgrup dari Z terhadap operasi penjumlahan, untuk mem-
perlihatkan bahwa 5Z subgrup dari Z berdasarkan Definisi Subgrup harus dibuktikan:
(a) hZ, +i merupakan grup.
(b) 5Z himpunan bagian tak kosong dari Z.
(c) h5Z, +i merupakan grup.
Kita telah membuktikan hZ, +i merupakan grup pada Subbab 1.1, artinya bagian (a)
telah terpenuhi. Bagian (b) elemen 0 = 5 · 0 ∈ 5Z, artinya 5Z 6= ∅. Ambil sebarang
x ∈ 5Z maka x = 5k untuk suatu k ∈ Z, artinya x = 5k ∈ Z. Dengan demikian 5Z
merupakan himpunan bagian dari Z. Bagian (c) akan kita buktikan bahwa 5Z memenuhi
semua aksioma grup terhadap operasi penjumlahan:
• (Tertutup): ambil sebarang x, y ∈ 5Z maka x = 5k dan y = 5l untuk suatu k, l ∈ Z.
Diperoleh
x + y = 5k + 5l = 5(k + l),
karena k, l ∈ Z dan Z tertutup terhadap operasi penjumlahan maka k+l ∈ Z, artinya
x + y ∈ 5Z. Dengan demikian 5Z tertutup terhadap operasi penjumlahan.
• (Assosiatif ): ambil sebarang x, y, z ∈ 5Z maka x, y, z ∈ Z berakibat
(x + y) + z = x + (y + z)
bedasarkan sifat assosiatif pada Z terhadap penjumlahan. Dengan demikian operasi
penjumlahan bersifat assosiatif pada 5Z.
c
Mahmudi
Prodi Matematika FMIPA Unsyiah

3. Matakuliah Aljabar Grup 34
• (Elemen Identitas): 0 ∈ 5Z karena 0 = 5 · 0 dan untuk sebarang x ∈ 5Z berlaku
0 + x = x dan x + 0 = x
Dengan demikian, 5Z memuat elemen identitas, yaitu elemen 0.
• (Elemen Balikan): ambil sebarang x ∈ 5Z maka x = 5k untuk suatu k ∈ Z, jelas
bahwa −x memenuhi x + (−x) = 0 dan (−x) + x = 0. Hal yang masih perlu kita
perlihatkan adalah −x merupakan elemen 5Z.
−x = −(5k) = 5(−k), berdasarkan sifat assosiatif dan komutatif pada Z.
Dikarenakan −k ∈ Z maka −x ∈ 5Z. Dengan demikian, untuk setiap x ∈ 5Z
terdapat x−1 ∈ 5Z, yaitu x−1 = −x.
Berdasarkan keempat hal tersebut 5Z merupakan grup terhadap operasi penjumlahan.
Jadi 5Z merupakan subgrup dari Z.
Kita sudah mengenali beberapa contoh subgrup, berikut contoh yang bukan subgrup.
Contoh 2.1.5
(a) Zn bukan subgrup dari Z karena operasi di Zn berbeda dengan di Z.
(b) Un bukan subgrup dari Zn karena operasi di Un berbeda dengan di Zn.
(c) R+ bukan subgrup dari R karena operasi di R+ berbeda dengan di R.
(d) N bukan subgrup dari Z karena N bukan grup.
(e) R bukan subgrup dari Q karena R bukan himpunan bagian dari Q.
Contoh 2.1.4 memberikan illustrasi bahwa sifat assosiatif dapat diwariskan dari suatu
himpunan ke himpunan bagiannya, dengan demikian untuk membuktikan subgrup dapat
kita sederhanakan sebagai berikut.
Teorema 2.1.6. Misalkan hG, ∗i dengan elemen identitas e dan H ⊆ G. Himpunan H
merupakan subgrup dari G jika dan hanya jika H memenuhi kondisi berikut.
(a) e ∈ H,
(b) jika h1, h2 ∈ H maka h1 ∗ h2 ∈ H,
(c) jika h ∈ H maka h−1 ∈ H.
c
Mahmudi
Prodi Matematika FMIPA Unsyiah

4. Matakuliah Aljabar Grup 35
Bukti.
Teorema 2.1.6 berbentuk biimplikasi atau jika hanya jika. Diketahui hG, ∗i grup dengan
elemen identitas e dan H ⊆ G. Misalkan
p:= H merupakan subgrup dari G.
q:= H memenuhi kondisi (a), (b), dan (c).
(p =⇒ q) Asumsikan p benar, artinya H merupakan subgrup dari G. Dibuktikan bahwa q
juga benar, artinya H memenuhi kondisi (a), (b), dan (c).
Karena H subgrup maka H merupakan grup. Bagian (b), berdasarkan sifat tertutup H
berlaku untuk setiap h1, h2 ∈ H maka h1 ∗ h2 ∈ H. Bagian (c) karena H grup maka
untuk setiap h ∈ H berlaku h−1 ∈ H. Terakhir bagian (a), karena h, h−1 ∈ H maka
e = h ∗ h−1 ∈ H. Artinya H memenuhi kondisi (a), (b), dan (c).
(q =⇒ p) Soal Latihan.
Berikut, kita akan mencoba membuktikan suatu himpunan bagian merupakan subgrup
dengan Teorema 2.1.6 tersebut.
Contoh 2.1.7
Diberikan G = { (a, b) | a, b ∈ R, b 6= 0 } dan didefinisikan (a, b) ∗ (c, d) = (a + bc, bd)
untuk setiap (a, b); (c, d) ∈ G. Telah dibuktikan bahwa hG, ∗i merupakan grup. Buktik-
an/bantahlah bahwa K = { (a, b) ∈ G | b > 0 } merupakan subgrup dari G.
Solusi. Ambil sebarang (a, b) ∈ K maka (a, b) ∈ G, artinya K ⊆ G. Bagian (a), telah
dibuktikan bahwa elemen identitas G adalah e = (0, 1). Karena (0, 1) ∈ G dan 1 > 0
maka (0, 1) ∈ K, artinya e ∈ K. Bagian (b), ambil sebarang (a1, b1) dan (a2, b2) elemen
K maka (a1, b1); (a2, b2) ∈ G dan b1, b2 > 0. Kita peroleh
(a1, b1) + (a2, b2) = (a1 + b1a2, b1b2)
karena (a1, b1); (a2, b2) ∈ G maka (a1, b1) + (a2, b2) ∈ G dan karena b1, b2 > 0 maka
b1b2 > 0, dengan demikian (a1, b1) + (a2, b2) ∈ K. Bagian (c), ambil sebarang (a, b) ∈ K
maka (a, b) ∈ G dan b > 0. Karena G grup maka (a, b)−1 ∈ G dan (a, b)−1 =
−
a
b
,
1
b
.
Diketahui juga b 0 berakibat
1
b
0. Karena (a, b)−1 =
−
a
b
,
1
b
∈ G dan
1
b
0 maka
(a, b)−1 ∈ H.
Berdasarkan (a), (b), dan (c) terbukti bahwa K adalah subgrup dari G.
c
Mahmudi
Prodi Matematika FMIPA Unsyiah

5. Matakuliah Aljabar Grup 36
Salah satu cara lain yang lebih sederhana untuk membuktikan suatu himpunan bagian
merupakan subgrup atau bukan adalah menggunakan teorema berikut.
Teorema 2.1.8. Misalkan hG, ∗i grup dan H ⊆ G. Himpunan H merupakan subgrup
dari G jika dan hanya jika H 6= ∅ dan untuk setiap g, h ∈ H berlaku g ∗ h−1 ∈ H.
Bukti.
Teorema 2.1.8 berbentuk biimplikasi atau jika hanya jika. Diketahui hG, ∗i grup dengan
elemen identitas e dan H ⊆ G. Misalkan
p:= H merupakan subgrup dari G.
q:= H 6= ∅ dan untuk setiap g, h ∈ H berlaku g ∗ h−1 ∈ H.
(p =⇒ q) Asumsikan p benar, artinya H merupakan subgrup dari G. Dibuktikan bahwa q
juga benar, artinya H 6= ∅ dan untuk setiap g, h ∈ H berlaku g ∗ h−1 ∈ H.
Karena H subgrup dari G maka hH, ∗i merupakan grup, artinya H 6= ∅ dan H bersifat
tertutup terhadap operasi ∗ dan setiap elemen H memiliki balikan di H. Ambil sebarang
g, h ∈ H maka h−1 ∈ H, diperoleh g ∗ h−1 ∈ H.
(q =⇒ p) Soal Latihan.
Berikut, akan diberikan contoh penggunaan Teorema 2.1.8.
Contoh 2.1.9
Buktikan SL2(R) merupakan subgrup dari GL2(R) menggunakan Teorema 2.1.8.
Solusi. Kita tuliskan terlebih dahulu definisi kedua himpunan tersebut.
GL2(R) =



a =


a1 a2
a3 a4



11. a1, a2, a3, a4 ∈ R, dan |a| 6= 0



.
SL2(R) =



b =


b1 b2
b3 b4

