1. แผนการการจัดการเรียนรูที่ 1
คณิตศาสตรเพิ่มเติม รายวิชา ค31202
ชั้น มัธยมศึกษาปที่ 4 ภาคเรียนที่ 2
เรื่อง วงกลมและพาราโบลา (Cicle and Parabola) เวลา 4 ชั่วโมง
ผลการเรียนรู สมการรูปทั่วไปของวงกลมและพาราโบลา
สาระการเรียนรู 1. หาสมการวงกลมได
2. เมื่อกําหนดสมการวงกลมมาให สามารถหาสวนประกอบตาง ๆ ของวงกลมได
3. หาสมการพาราโบลาได
4. เมื่อกําหนดสมการพาราโบลามาให สามารถหาสวนประกอบตาง ๆ
ของ พาราโบลาได
เนื้อหา สมการวงกลม
สมการพาราโบลา
กิจกรรมการจัดการเรียนรู
1. ผูสอนทบทวนเรื่องกรวยตรง แลวใหผูเรียนศึกษาภาพการตัดกรวยดวยระนาบในแนวตาง ๆ หนา
707 ในแบบเรียน
2. ผูสอนแจงในระดับนี้จะศึกษาภาคตัดกรายสี่ลักษณะคือ วงกลม พาราโบลา วงรี และไฮเพอรโบลา
ดังนี้
บทนิยามเชิงเรขาคณิตของวงกลม : - วงกลมคือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบที่หางจากจุด ๆ หนึ่งที่ตรึง
อยูกับที่ เปนระยะทางคงตัว จุดที่ตรึงอยูกับที่เรียกวา จุดศูนยกลางของวงกลม ระยะทางคงตัวเรียก รัศมี
ของวงกลม
รูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลม
สมการวงกลมที่มีจุดศูนยกลางอยูที่ (h,k) รัศมีเทากับ r คือ
( x - h ) 2 + ( y - k ) 2 = r 2
รูปทั่วไปคือ Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0 เมื่อ A = B
บทนิยามเชิงเรขาคณิตของพาราโบลา : - พาราโบลาคือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบ ซึ่งหางจากจุด F ที่
ตรึงอยูกับที่จุดหนึ่ง และเสนตรง l ที่ตรึงอยูกับเสนหนึ่งเปนระยะทางเทากัน เรียก F วาโฟกัส เสนตรง l
เรียกไดเรกตริกซหรือเสนบังคับ
รูปแบบมาตรฐานของสมการพาราโบลา
สมการพาราโบลาที่มีจุดยอด (h,k) คือ
( x - h ) 2 = 4 p ( y - k ) , p ¹ 0
( y - k ) 2 = 4 p ( x - h ) , p ¹ 0
สมการพาราโบลาที่มีจุดยอด (0,0) คือ
x 2 = 4 py , p ¹ 0
2
y = 4 px , p ¹ 0
ผูสอนใหผูเรียนเขียนพาราโบลาในกรณีตาง ๆ ทั้งหมดที่เปนไปได

2. 3. ผูสอนยกตัวอยางเชน
ตัวอยางที่ 1 จงหาสมการของพาราโบลาที่มีจุดยอด V(0,0) โฟกัส (0,3) พรอมทั้งเขียนกราฟ
ตัวอยางที่ 2 จงหาโฟกัสและไดเรกตริกซของพาราโบลา y = - 2 x 2 พรอมทั้งเขียนกราฟ
ตัวอยางที่ 3 จงหาสมการของพาราโบลาที่มีจุดยอด (2,1) โฟกัส (2,4)
1 1
ตัวอยางที่ 4 จงหาโฟกัสของพาราโบลา y = - x 2 - x +
2 2
4. ผูสอนอธิบายเกี่ยวกับเลตัสเรกตัม สามารถใชเลตัสเรกตัมชวยในการเขียนกราฟพาราโบลา ซึ่ง
ความยาวเลตัสเรกตัมจะเทากับ |4P| สําหรับการหาสมการเสนสัมผัสพาราโบลาศึกษาจากตัวอยาง
ดังนี้
ตัวอยางที่ 5 จงหาสมการเสนสัมผัสพาราโบลา y = x 2 ที่จุด (1,1)
y = x 2 Y 1
จาก y = x 2 จะได p =
4
A 1ö
(1,1) โฟกัสคือ æ 0, ÷
ç
F è 4 ø
X ใหเสนสัมผัสตัดแกน Y ที่ (0,b)
B (0,b) 1
FB = - b
4
2
1 5
FA = (1 - 0) + æ 1 - ö =
2
ç ÷
è 4 ø 4
1 5
Q FB = FA จะได - b = , b = - 1
4 4
1 - ( -1)
ความชันของเสนสัมผัส m = = 2
1 - 0
สมการเสนสัมผัส คือ y = 2 x - 1
5. ผูสอนใหผูเรียนทําใบกิจกรรม และมอบหมายงาน โจทยใหทําตามความเหมาะสมกับผูเรียน
สื่ออุปกรณ ใบกิจกรรม
รูปกรวย หนาตัดวงกลม พาราโบลา
การวัดและการประเมินผล สังเกตการตอบคําถาม
สังเกตจากทําใบกิจกรรม
สังเกตจากงานที่มอบหมาย

3. แผนการการจัดการเรียนรูที่ 2
คณิตศาสตรเพิ่มเติม รายวิชา ค31202
ชั้น มัธยมศึกษาปที่ 4 ภาคเรียนที่ 2
เรื่อง วงรี (Ellipses) เวลา 4 ชั่วโมง
สาระสําคัญ สมการรูปทั่วไปของวงรี จะมีตัวแปรอยูในรูปกําลังสองทั้งสองตัวแปร คือ
Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0 , A ¹ B ¹ 0 A, B เปนจํานวนบวกทั้งคู หรือ จํานวนลบทั้งคู
ผลการเรียนรู 1. สามารถหาสมการวงรีได
2. เมื่อกําหนดสมการวงรีมาให สามารถหาสวนประกอบตาง ๆ ของวงรีได
เนื้อหา สมการวงรี
กิจกรรมการจัดการเรียนรู
1. ทบทวนวงกลมและพาราโบลา แลวผูสอนเขียนรูปวงรีใหผูเรียนสังเกต จุดทุกจุดบนวงรี จะมี
ผลบวกของระยะทางจากจุดใด ๆ ไปยังจุดคงที่สองจุด เทากันเสมอ
P 1
P 2
. . P1 F1 + PF2 = P2 F1 + P2 F = คาคงที่
1 2
F 1 F 2
2. ผูสอนใหบทนิยามของวงรีเชิงเรขาคณิต เขียนรูปแลวใหผูเรียนบอกสวนประกอบของวงรี อยู
ตําแหนงใดบาง หรือเปนสวนใดในรูป แลวสรุปสมการในรูปมาตรฐาน ดังนี้
จุดศูนยกลาง (h,k) และ 0 < b < a
( x - h ) 2 ( y - k ) 2
+ 2 = 1
a2 b
( x - h ) ( y - k ) 2
2
+ 2 = 1
b2 a
x 2 y 2 x 2 y 2
จุดศูนยกลาง (0,0) จะได 2 + 2 = 1 , 2 + 2 = 1
a b b a
3. ผูสอนยกตัวอยางเชน
ตัวอยางที่ 1 วงรีรูปหนึ่งมีจุดยอดอยูที่ ( ± 4,0) โฟกัสอยูที่ ( ± 3,0) จงหาสมการวงรีพรอมทั้งเขียน
กราฟ
x 2 y 2
ตัวอยางที่ 2 จงหาโฟกัส จุดยอด ความยาวแกนเอกและแกนโทของวงรี + = 1
16 4
2 2
ตัวอยางที่ 3 จงเขียนสมการวงรี x + 4 y + 6 x - 8 y + 9 = 0 ในรูปสมการมาตรฐาน
ตัวอยางที่ 4 จงหาจุดศูนยกลาง จุดยอด และโฟกัสของวงรี 4 x 2 + y 2 - 8 x + 4 y - 8 = 0
c
4. ผูสอนอธิบาย Eccentricity (e) จะได e = , 0 < e < 1 , e = a 2 - b 2 พรอมยกตัวอยาง
a
ตัวอยางที่ 5 จงหาสมการของวงรีที่มีโฟกัสอยูที่ (0, ± 4) และมีความเยื้องศูนยกลาง (Eccentricity)
8
เทากับ
15

4. 5. ผูสอนใหผูเรียนทําใบกิจกรรม
6. ผูสอนสุมผูเรียนทําบนกระดาน และทําโจทย แลวมอบหมายงานตามความเหมาะสม
สื่ออุปกรณ ใบกิจกรรม
กรวย หนาตัดวงรี
การวัดและการประเมินผล สังเกตการตอบคําถาม
สังเกตการทําบนกระดาน
สังเกตจากใบกิจกรรม ที่ผูเรียนทํา
สังเกตจากงานที่มอบหมาย

5. แผนการการจัดการเรียนรูที่ 3
คณิตศาสตรเพิ่มเติม รายวิชา ค31202
ชั้น มัธยมศึกษาปที่ 4 ภาคเรียนที่ 2
เรื่อง ไฮเพอรโบลา) Hyperbola เวลา 4 ชั่วโมง
ผลการเรียนรู ไฮเพอรโบลาเกิดจากผลตางของระยะจากโฟกัสทั้งสอง สมการรูปทั่วไป
Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0 , A > 0 , B < 0 หรือ A < 0 , B > 0
สาระการเรียนรู 1. หาสมการไฮเพอรโบลาได
2. เมื่อกําหนดสมการไฮเพอรโบลามาให สามารถหาสวนประกอบตาง ๆ ของ
ไฮเพอรโบลาได
เนื้อหา สมการไฮเพอรโบลา
สมการของภาคตัดกรวยลดรูป
กิจกรรมการจัดการเรียนรู
1. ผูสอนทบทวนสมการวงรี พาราโบลา วงกลม แลวใหบทนิยามเชิงเรขาคณิตของไฮเพอรโบลา
เขียนรูปไฮเพอรโบลาที่มีแกนตามขวางขนานแกน X และแกน Y ถามสวนประกอบตาง ๆ ของ
ไฮเพอรโบลา แนะนําการเขียนรูปไฮเพอรโบลาโดยใชเสนกํากับ (Asymptotes)
2. ผูสอนสรุปสมการมาตรฐานของไฮเพอรโบลาดังนี้
จุดศูนยกลาง (h,k) , c 2 = a 2 + b 2
( x - h ) 2 ( y - k ) 2
- 2 = 1
a2 b
( y - k ) ( x - h ) 2
2
- 2 = 1
a2 b
จุดศูนยกลาง (0,0)
x 2 y 2 y 2 x 2
- = 1 หรือ 2 - 2 = 1
a 2 b 2 a b
b
สําหรับสมการเสนกํากับคือ y = k ± ( x - h )
a
a
หรือ y = k ± ( x - h )
b
3. ผูสอนยกตัวอยางเชน
ตัวอยางที่ 1 จงหาโฟกัส ความยาวแกนตามขวางและแกนสังยุค สมการเสนกํากับของไฮเพอรโบลา
4 x 2 - y 2 = 16
ตัวอยางที่ 2 จงเขียนสมการไฮเพอรโบลา 4 x 3 - 3 y 2 + 8 x + 16 = 0 ในรูปสมการมาตรฐาน และจงหา
สมการเสนกํากับ
ตัวอยางที่ 3 จงหาสมการไฮเพอรโบลาที่มีจุดยอด ( ± 2,0) โฟกัส ( ± 3,0)
ตัวอยางที่ 4 จงหาสมการไฮเพอรโบลาที่มีจุดยอด (0, ± 2) และเสนกํากับ y = ± x พรอมทั้งเขียน
กราฟ

6. 4. ผูสอนทบทวนคาความเยื้องศูนยกลางของวงรี ในไฮเพอรโบลาก็หาความเยื้องศูนยกลาง โดยใช
c
e = เชนเดียวกัน c > a และ e > 1 ผูสอนเพิ่มเติมกรณีที่เสนกํากับทั้งสองตั้งฉากกัน จะเรียก
a
ไฮเพอรโบลา
มุมฉาก
5. ผูสอนใหผูเรียนฝกทักษะทําโจทย
6. ผูสอนใหผูเรียนจําแนกรูปทั่วไปของภาคตัดกรวยทั้งสี่ ซึ่งจะสรุปไดวา
ถามีสมการรูปทั่วไป Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0
1. วงกลม A = B
2. พาราโบลา AB = 0 A = 0 หรือ B = 0 เปน 0 ทั้งคูไมได
3. วงรี AB > 0 A กับ B มีเครื่องหมายเหมือนกัน
4. ไฮเพอรโบลา AB < 0 A กับ B มีเครื่องหมายตางกัน
7. ผูสอนใหผูเรียนจําแนกสมการของภาคตัดกรวย โดยใชโจทยขอ 41-48 หนา 733
8. ผูสอนเพิ่มเติมบางกรณีการตรวจสอบดวยเงื่อนไขที่ผานมา อาจไมถูกตองก็ได ดังตัวอยางตอไปนี้
ตัวอยางที่ 5 จงเขียนกราฟของ 9 y 2 - x 2 + 18 y + 6 x = 0
จากเงื่อนไขดังกลาว สมการนี้นาจะเปนสมการไฮเพอรโบลา

พิจารณารูปกําลังสองสมบูรณ
9( y 2 + 2 y ) - ( x 2 - 6 x ) = 0
9( y 2 + 2 y + 1) - ( x 2 - 6 x + 9) = 0 + 9 - 9
9( y + 1) 2 - ( x - 3) 2 = 0
( x - 3) 2
2 ไมใชรูปไฮเพอรโบลา
( y + 1) - = 0
9
ทําตอ ( x - 3) 2
( y + 1) 2 =
9
1
y + 1 = ± ( x - 3)
3
1 1
y + 1 = ( x - 3) หรือ y + 1 = - ( x - 3)
3 3
1 1
y = x - 2 y = - x
3 3
จากสมการจะไดกราฟเปนเสนตรงสองเสน ดังรูป
Y
3
2
1
­2 2 4 6 8
X
­1
1 1
y = x - 2 y = - x
­2
3 3

7. ผูสอนเพิ่มเติม สมการเชนนี้เปนสมการของภาคตัดกรวยลดรูป เรียกชื่อเฉพาะวา ไฮเพอรโบลาลดรูป
สมการ x 2 + 4 y 2 + 2 x - 8 y + 6 = 0 ดูเหมือนจะเปนสมการของวงรี เมื่อจัดรูปใหมจะได
2
2 ( x + 1) 1
( y - 1) + = - ซึ่งเปนสมการที่ไมมีคําตอบ สมการนี้เปนสมการของวงรีลดรูป ภาคตัด
4 4
กรวยลดรูป กราฟอาจเปนเสนตรง 2 เสนตัดกัน จุด ๆ หนึ่ง หรืออาจไมมีกราฟเลยก็ได
9. ผูสอนใหผูเรียนทําใบกิจกรรม พรอมมอบหมายงานโจทยใหทํา
สื่ออุปกรณ ใบกิจกรรมที่
ภาคตัดกรวย ไฮเพอรโบลา
การวัดและการประเมินผล สังเกตจากตอบคําถาม
สังเกตการทํางานบนกระดาน
สังเกตการทําใบกิจกรรม
สังเกตจากงานที่มอบหมาย
ลงชื่อ............................................
(นายอุดม วงศศรีดา)
ตําแหนง ครู ชํานาญการพิเศษ
ผูจัดทํา