1. 2
บัตรเนือหาที่ 4.1
้
มุมภายในรู ปสามเหลียม่
ทฤษฎีบท ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรู ปสามเหลียมรวมกันเท่ ากับ 180 องศา
่
ทฤษฎีบท ถ้ ามุมของรู ปสามเหลียมสองรู ปใด ๆ มีขนาดเท่ ากันสองคู่แล้ วมุมคู่ทสาม
่ ่ี
จะมีขนาดเท่ากันด้ วย
จากทฤษฎีบท เราสามารถพิสูจน์ได้ ดังนี้
C D C E
A B A B
กาหนดให้ ABC เป็ นรู ปสามเหลี่ยมใด ๆ
่
ต้องการพิสูจน์วา CAB  ABC  BCA  180
พิสูจน์ สร้าง DE ผ่านจุด C ให้ DE//AB
เนื่องจาก AC เป็ นเส้นตัด DEและAB
DCA  CAB (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด
แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน)
ECB  ABC (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด
แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน)
DCA  BCA  ECB  180 (ขนาดของมุมตรง)
CAB  BCA  ABC  180 (แทน DCAด้วยCABและ ECB
ด้วย ABC )
ดังนั้น CAB  ABC  BCA  180 (สมบัติของการเท่ากัน)

2. 3
บัตรกิจกรรมที่ 4.1
มุมภายในรู ปสามเหลียม่
1. ให้นกเรี ยนทากิจกรรมที่กาหนดให้ต่อไปนี้ โดยใช้โปรแกรม GSP สร้าง
ั
R
P Q
1. สร้างรู ปสามเหลี่ยมหนึ่งรู ป กาหนดชื่อจุดแต่ละจุด
2. สร้างส่ วนของเส้นตรงผ่านจุดยอดจุดหนึ่งให้ขนานกันเส้นฐาน
3. วัดมุมทั้งสามของรู ปสามเหลี่ยม
4. คานวณหาผลบวกของมุมของรู ปสามเหลี่ยม
5. นาเสนอและพิจารณาการเปลี่ยนแปลง
6. สรุ ปผลการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้น
2. ให้นกเรี ยนทากิจกรรมที่กาหนดให้ต่อไปนี้ โดยใช้โปรแกรม GSP สร้าง
ั
1. สร้างรู ปสามเหลี่ยม VUW จากรู ปที่กาหนดให้
2. วัดมุมที่เหลือของรู ปสามเหลี่ยมว่าเท่ากันหรื อไม่
3. สรุ ปผลที่เกิดขึ้น
N
75 45
M L

3. 4
เฉลยบัตรกิจกรรมที่ 4.1 มุมภายในรู ปสามเหลียม
่
1. ให้ นักเรียนทากิจกรรมที่กาหนดให้ ต่อไปนี้ โดยใช้ โปรแกรม GSP สร้ าง
D C E
mACB = 66 
A mBAC = 59  mABC = 55 
B
สร้ างรูปสามเหลี่ ยมหนึ่งรูป กาหนดชือจุดแต่ล ะจุด
่
2. สร้ างส่ วนของเส้ นตรงผ่านจุดยอดจุดหนึ่งให้ ข นานกันเส้ นฐาน
3. วัดมุมทั้งสามของรูปสามเหลี่ ยม
4. คานวณหาผลบวกของมุมของรูปสามเหลี่ ยม mBAC+mABC+mACB = 180
5. นาเสนอและพิจารณาการเปลี่ ยนแปลง
6. สรุปผลการเปลี่ ยนแปลงที่เกิดขึ้น
ผลบวกของขนาดของมุมทั้งสามของรูปสามเหลี่ ยม เท่ ากับ 180o
mBAC mABC mACB mBA C+mABC+mACB
59 55 66 18 0
2. ให้ นักเรียนทากิจกรรมที่กาหนดให้ ต่อไปนี้ โดยใช้ โปรแกรม GSP สร้ าง
N W
mMNL = 60.00 mVWU = 60.00
75 45 V
M L U
1. สร้ างรูปสามเหลี่ ยม VUW จากรูปที่กาหนดให้
1.1 สร้ างเส้ นตรง  VU 
1.
1.2 สร้ างมุม 75 องศา mUVW = 75.00
2.
1.3 สร้ างมุม 45 องศา mVUW = 45.00
3.
2.2 วัดมุมที่เหลื อของรูปสามเหลี่ ยมว่าเท่ ากันหรือไม่ mMNL = 60.00mVWU = 60.00
3.3 สรุปผลที่เกิดขึ้น
 ถ้ ามุมของรูปสามเหลี่ ยมสองรูปใด ๆ มีข นาดเท่ ากันสองคู่แล้ วมุมคู่ที่ส ามจะมีข นาดเท่ ากันด้วย

4. 5
บัตรเนือหาที่ 4.2
้
มุมภายนอกกับมุมภายในรู ปสามเหลียม
่
ทฤษฎีบท ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของรู ปสามเหลี่ยมออกไปมุมภายนอกที่เกิดขึ้นจะมีขนาดเท่ากับ
ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น
ให้นกเรี ยนพิจารณารู ปต่อไปนี้
ั
A
B D
C
กาหนดให้ ABC เป็ นสามเหลี่ยมรู ปหนึ่งต่อ BC ถึงจุด D

เรี ยก ACD ว่า มุมภายนอกของรู ป ABC
 
เรี ยก ACB ว่ามุมประชิดของ ACD
  
่
เรี ยก ABC และ BAC ว่ามุมที่อยูตรงข้ามมุมภายนอก ACD
  
จงแสดงว่า ACD  ABC  BAC
  
พิสูจน์ เนื่องจาก ABC  BAC  ACB  180 (เป็ นมุมภายในรู ปสามเหลี่ยม
รวมกันได้ 180 องศา)
 
และ ACB  ACD  180 (เป็ นมุมตรง)
    
ดังนั้น ACB  ACD  ABC  BAC  ACB (สมบัติการถ่ายทอด)
   
จะได้ ACD  ABC  BAC (สมบัติการเท่ากัน เมื่อนา ACB
ลบทั้งสองข้าง)

5. 6
บัตรกิจกรรมที่ 4.2
มุมภายนอกกับมุมภายในรู ปสามเหลียม
่

1. จากรู ปที่กาหนดให้ต่อไปนี้ จงหาขนาดของ ABC
1. A ตอบ ………………………………………..
30
………………………………………..
………………………………………..
………………………………………..
D C
………………………………………..
A B
2. 40 ตอบ 2………………………………………..
………………………………………..
D ………………………………………..
………………………………………..
B
………………………………………..
C
3.
………………………………………..
D B C ตอบ 2………………………………………..
………………………………………..
130
………………………………………..
………………………………………..
A
………………………………………..
2. ABCDEF เป็ นรู ปหกเหลี่ยมใด ๆ จงหาผลบวกของขนาดของมุมภายใน
ทั้งหกมุมของรู ปหกเหลี่ยมนี้ 2………………………………………..
E D
ตอบ ………………………………………..
………………………………………..
F C ………………………………………..
………………………………………..
A B ………………………………………..
2………………………………………..

6. 7
เฉลยบัตรกิจกรรมที่ 4.2
มุมภายนอกกับมุมภายในรู ปสามเหลียม
่

1. จากรู ปที่กาหนดให้ต่อไปนี้ จงหาขนาดของ ABC
1. A
ตอบ เนื่องจาก ABC  ADB  BAD
 90  30
30
 120
D C
A B
2. 40
ตอบ เนื่องจาก ABC  ADB  BAD
D  40  40
 80
B
C
3.
D B C
ตอบ เนื่องจาก ABC  ADB  BAD
130  130  25
 155
A
2. ABCDEF เป็ นรู ปหกเหลี่ยมใด ๆ จงหาผลบวกของขนาดของมุมภายใน
ทั้งหกมุมของรู ปหกเหลี่ยมนี้
ตอบ 1. ลากส่ วนของเส้นตรง AC,AD,AE
E D mCDE = 117.64 2. จะได้รูปสามเหลี่ยม 4 รู ป
mDEF = 123.37
3. มุมภายในรู ปสามเหลี่ยมรวมกันได้ 180
F mEFA = 119.39 C mBCD = 118.71 4. ดังนั้น มุมภายในทั้งหมดจะได้
180  4  720
mFAB = 120.96
A B mABC = 119.93
mFAB mABC mBCD mCDE mDEF mEFA mFAB+mABC+mBCD+mCDE+mDEF+mEFA
120.96 119.93 118.71 117.64 123.37 119.39 720.00

7. 8
บัตรเนือหาที่ 4.3
้
ความสั มพันธ์ ของรู ปสามเหลียมสองรู ปแบบ มุม – มุม – ด้ าน
่
ทฤษฎีบท ถ้ารู ปสามเหลี่ยมสองรู ปมีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่ และด้านคู่ที่ตรงข้ามกับ
มุมคู่ที่มีขนาดเท่ากัน ยาวเท่ากันหนึ่งคู่แล้วรู ปสามเหลี่ยมสองรู ปนั้นจะ
เท่ากันทุกประการ
ให้นกเรี ยนพิจารณารู ปต่อไปนี้
ั D
A
C E F
B
   
กาหนดให้ ABCและDEF มี CAB  FDE,ABC  DEFและBC  EF
ต้องการพิสูจน์ ABC DEF
   
พิสูจน์ เนื่องจาก CAB  FDEและABC  DEF ( กาหนดให้)
  
CAB  ABC  ACB  180 (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของ
รู ปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 องศา)
  
FDE  DEF  EFD  180 (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของ
รู ปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 องศา)
     
จะได้ CAB  ABC  ACB  FDE  DEF  EFD (สมบัติการเท่ากัน)
 
ดังนั้น ACB  EFD (สมบัติการเท่ากัน)
และเนื่องจาก BC  EF (กาหนดให้)
ดังนั้น ABC DEF (ความสัมพันธ์แบบ มุม – ด้าน – มุม)
ั
รู ปสามเหลี่ยมสองรู ปที่มีความสัมพันธ์กนแบบทฤษฎีบทนี้ เรี ยกว่า มีความสั มพันธ์ กนแบบ
ั
มุม – มุม – ด้ าน และบางครั้งเขียนย่อว่า ม. ม. ด.

8. 9
บัตรกิจกรรมที่ 4.3
ความสั มพันธ์ ของรู ปสามเหลียมสองรู ปแบบ มุม – มุม – ด้ าน
่
1. จากรู ปกาหนดให้ MN//PQ และ O เป็ นจุดกึ่งกลางของ NQ จงแสดงว่า
MNO  PQO โดยความสัมพันธ์แบบ ม.ม.ด.
N P
O
M Q
พิสูจน์ 1. ……………………………….. (……………………………….)
2. ……………………………….. (……………………………….)
3. ……………………………….. (……………………………….)
4. ……………………………….. (……………………………….)
  
2. จากรู ปกาหนดให้ AB//CD,ABE  35 และ ADC  45 จงหาว่า AEC กางกี่องศา
A B
35
E
C 45
D
วิธีทา ………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………

9. 10
เฉลยบัตรกิจกรรมที่ 4.3
ความสั มพันธ์ ของรู ปสามเหลียมสองรู ปแบบ มุม – มุม – ด้ าน
่
2. จากรู ปกาหนดให้ MN//PQ และ O เป็ นจุดกึ่งกลางของ NQ จงแสดงว่า
MNO  PQO โดยความสัมพันธ์แบบ ม.ม.ด.
N P เคลื่ อนที่ OPQ ทับ NMO
NO = 4.46 ซม. ไป
81.23
56.02 O 56.02 กลั บ
ซ่ อน การวัด
81.23 OQ = 4.46 ซม.
M Q
พิสูจน์ 1. NMP  OPQ (มุมแย้ง)
2. N0M  POQ (มุมตรงข้าม)
3. NO  OQ ( O เป็ นจุดกึ่งกลางของ NQ )
4. MNO  PQO ( มุม – มุม – ด้าน )
  
2. จากรู ปกาหนดให้ AB//CD,ABE  35 และ ADC  45 จงหาว่า AEC กางกี่องศา
A B
35
E
C 45
D
วิธีทา 1. CDE  BAE  45 (มุมแย้ ง)
2. BAE  ABE  AEC (มุมภายนอกกับมุมภายในที่อยู่ตรงข้ ามกัน)
จะได้ 45  35  80
AEC  80

10. 11
บัตรเนือหาที่ 4.4
้
การนาสมบัติของรู ปสามเหลียมและเส้ นขนานไปใช้ ในการแก้ปัญหา
่
ตัวอย่างที่ 1 จงหาขนาดของ x และ y ของรู ปสามเหลี่ยมที่กาหนดให้
x
45 y 135
วิธีทา เนื่องจาก X  45  135 (ผลบวกของมุมตรงข้ามภายในรู ปสามเหลี่ยม
กับมุมภายนอกจะมีขนาดเท่ากัน)
X  135  45
X  90
เนื่องจาก Y  135  180 (ขนาดของมุมตรง)
Y  180 135
Y  45
  
ตัวอย่างที่ 2 กาหนดให้ BE//CF EBG  40 ,BGH  110 และCHG  100

จงหาขนาดของ FCH
  
A
่
วิธีทา ใน BEG จะได้วา BGH  GBE  BEG
C 
ดังนั้น 110  40  BEG

BEG  110  40  70
E G 100 F  
110 H BEG  CFH  70 ( มุมแย้ง)
  
40 CHG  HFC  FCH

B D ดังนั้น 100  70  FCH

FCH  100  70  30

11. 12
บัตรกิจกรรมที่ 4.4
การนาสมบัติของรู ปสามเหลียมและเส้ นขนานไปใช้ ในการแก้ปัญหา
่
  
1. กาหนดให้ AB//CD ถ้า DCF  40 , BEF  80 ,ABE  130

จงหาขนาดของ CFE พร้อมเขียนขั้นตอนการหาด้วยเป็ นข้อ ๆ
E
ตอบ 1………………………………………..
80
A
130 2………………………………………..
B
F 3………………………………………..
4………………………………………..
5………………………………………..
40
C D
2………………………………………..
 
2. กาหนดให้ AB//CD ถ้า DEF  120 ,BGF  160 จงหาค่าของ X พร้อมเขียนขั้นตอนการ
หามาด้วยเป็ นข้อ ๆ
C E
ตอบ 1………………………………………..
D
120
2………………………………………..
3………………………………………..
F X 4………………………………………..
A
160
B
5………………………………………..
G
 
2………………………………………..

3. กาหนดให้ AB//CD ถ้า BEF  60 ,ACF  75 และCAF  70
  
จงหาขนาดของ AFD,FAE,EFA พร้อมเขียนขั้นตอนการหามาด้วยเป็ นข้อ ๆ
A E B ตอบ 1………………………………………..
60
70
2………………………………………..
3………………………………………..
C 75 D
4………………………………………..
F
5………………………………………..
2………………………………………..

12. 13
เฉลยบัตรกิจกรรมที่ 4.4
การนาสมบัติของรู ปสามเหลียมและเส้ นขนานไปใช้ ในการแก้ปัญหา
่
  
1. กาหนดให้ AB//CD ถ้า DCF  40 , BEF  80 ,ABE  130

จงหาขนาดของ CFE พร้อมเขียนขั้นตอนการหาด้วยเป็ นข้อ ๆ
E
1. ลาก GF//CD จะได้ขนาดของ CFG  40
80
A
130 50 H
(เป็ นมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน)
B
mEFG = 50 F
2. ลากเส้นตรงต่อจุด B ไปตัด EF ที่จุด H
G
mCFG = 40 จะได้ขนาดของ EHB  50  EFG
(มุมภายนอกและมุมภายในข้างเดียวกันของเส้นตัด)
C 40 D
3. จะได้ CFE  CFG  EFG  40  50  90
 
2. กาหนดให้ AB//CD ถ้า DEF  120 ,BGF  160 จงหาค่าของ X พร้อมเขียนขั้นตอนการ
หามาด้วยเป็ นข้อ ๆ
E
1. ลาก FH//AB
C D
120 2. จาก FH//AB จะได้ GFH  20
(มุมภายในข้างเดียวกันรวมกันได้ 180 )
3. จาก CD//FH จะได้ E FH  60
F X
60 H
20 (มุมภายในข้างเดียวกันรวมกันได้ 180 )
160
A B
G 4. จะได้ x  GFH  EFH  20  60  80
  
3. กาหนดให้ AB//CD ถ้า BEF  60 ,ACF  75 และCAF  70
  
จงหาขนาดของ AFD,FAE,EFA พร้อมเขียนขั้นตอนการหามาด้วยเป็ นข้อ ๆ
mFAE = 35  mEFA = 25 
A E
60
B
1. จากรู ปจะได้ AFD  70  75  145
70
2. จะได้ FAE  180 145  35
3. จะได้ EFA  180 120  35  25
C 75
mAFD = 145
D
F