ฟังก์ชันตรีดกณมิติ

1. 1
ใบความรู้ที่ 2.1.1
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค 30203 บทที่ 2 เรื่อง วงกลมหนึ่งหน่วย
คำชี้แจง ให้นักเรียนศึกษาเนื้อหาและทากิจกรรมเพิ่มเติมตามที่กาหนด เป็นกลุ่ม (15 นาที)
(1) วงกลมหนึ่งหน่วย ในระบบแกนพิกัดฉาก
เป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด (0,0) จุดกาเนิด รัศมียาว 1 หน่วย
และมีความสัมพันธ์ว่า 2 2
( , ) | 1
{ }
x y R R x y
   
จากรูป เมื่อกาหนดจานวนจริง  (ทีตา) ให้ แล้วระยะจากจุด (1,0) ไปตามความยาว
ส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วย ให้ยาว |  | หน่วย จะถึงจุด (x , y) ซึ่งอยู่บน
วงกลมหนึ่งหน่วย และมีข้อตกลงดังนี้
- ถ้า  > 0 จะวัดส่วนโค้งจากจุด (1,0) ไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา
- ถ้า  < 0 จะวัดส่วนโค้งจากจุด (1,0) ไปในทิศทางตามเข็มนาฬิกา
- ถ้า  = 0 แล้ว จุดปลายส่วนโค้ง คือจุด (1,0)
ตัวอย่างที่ 1 จงหาว่า จุดปลายส่วนโค้ง  หน่วยที่กาหนดให้จะตกอยู่บนส่วนโค้ง
ในควอดรันด์ใด ของวงกลมหนึ่งหน่วย
(1) เมื่อ 
19
3

 (2) เมื่อ 
59
6


วิธีทา 
19
3

 6
3 3
 

   วิธีทา 
59
6


11 11
8
6 6
 

  
ตอบ จุดปลายส่วนโค้ง อยู่ในควอดรันด์ที่ 1 ตอบ จุดปลายส่วนโค้ง อยู่ในควอดรันด์ที่ 4
 < 0
 > 0
O 


( x , y )
Y
X O 


( x , y )
Y
X
(1 , 0 ) (1 , 0 )

2. 2
ใบความรู้ที่ 2.1.2
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค 30203 บทที่ 2 เรื่อง วงกลมหนึ่งหน่วย
คำชี้แจง ให้นักเรียนศึกษาเนื้อหาและทากิจกรรมเพิ่มเติมตามที่กาหนด เป็นกลุ่ม (20 นาที)
(2) การแบ่งความยาวส่วนโค้ง ของวงกลมหนึ่งหน่วย
ความยาว 1 รอบ 2
 
 ความยาวครึ่งรอบ  
 ความยาว
1
4
ของรอบ
2

 
ความยาว
3
2
ของรอบ
3
2

  ความยาว
1
6
รอบ
3

  ความยาว
1
8
ของรอบ
4

 
ข้อตกลง ค่าของ x คือ ค่าของฟังก์ชันโคไซน์ เขียนแทนด้วย y = cos 
ค่าของ y คือ ค่าของฟังก์ชันไซน์ เขียนแทนด้วย y = sin 
3

 
3
2

 
X
Y
(1 ,0 )

O X
Y
(1 ,0 )

O X
Y
(1 ,0 )

O
(0 , -1)

(0, 1)
2

 
 

X
Y
2
 

(1 ,0 )

O X
Y
(1 ,0 )

O X
Y
(1 ,0 )

O
(-1 ,0
)


 
4

 

3. 3
ใบความรู้ที่ 2.1.3
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค 30203 บทที่ 2 เรื่อง วงกลมหนึ่งหน่วย
คำชี้แจง ให้นักเรียนศึกษาเนื้อหาและทากิจกรรมเพิ่มเติมตามที่กาหนด เป็นกลุ่ม (15 นาที)
ข้อสังเกต เกี่ยวกับความยาวส่วนโค้งและวงกลมหนึ่งหน่วย
1) ถ้าความยาวส่วนโค้ง  หน่วยที่กาหนดให้ ยาวมากกว่า 1 รอบ ( 2
 ) ความยาว
ที่มากกว่านั้นก็จะวนกลับมาเริ่มต้นวัดที่จุด (1,0) เป็นรอบต่อไปเรื่อย ๆ และจุดสิ้นสุด
ก็จะตกอยู่ที่จุดใดจุดหนึ่งบนส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วย นั่นเอง
ดังนั้น ถ้า  ยาวมากกว่า 1 รอบ แล้ว 2 ; , 0 2
n n I
     
     
2) วงกลมหนึ่งหน่วย มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกาเนิด เป็นกราฟของความสัมพันธ์
2 2
( , ) | 1
{ }
x y R R x y
    จะเห็นว่า 1 1 , 1 1
x y
     
ดังนั้น ค่าของฟังก์ชันไซน์ และ โคไซน์ จะเป็นจานวนจริง ตั้งแต่ - 1 ถึง 1
นั่นคือ เรนจ์ ของฟังก์ชันทั้งสองคือ เซตของจานวนจริง ตั้งแต่ –1 ถึง 1
โดเมน ของฟังก์ชันทั้งสองคือ เซตของจานวนจริง
3) จากสมการวงกลมหนึ่งหน่วย 2 2
1
x y
  แทนค่าด้วย x = cos  , y = sin 
จะได้ความสัมพันธ์ในรูปของฟังก์ชันใหม่ว่า 2 2
(cos ) (sin ) 1
 
 
หรือเขียนตามความนิยม ได้ว่า 2 2
cos sin 1
 
 
7
2
3 3 3
  
 
    
7
2
3 3 3
  
 
   
(1 , 0 ) X
Y


(1 , 0 ) X
Y


4. 4
เอกสารฝึกหัดที่ 2.1.1
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค 30203 บทที่ 2 เรื่อง ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
คาชี้แจง ให้นักเรียนเติมคาตอบลงในช่องว่าง เกี่ยวกับการวัดความยาวส่วนโค้ง
ความยาวส่วนโค้ง
ที่กาหนด ให้ใน
วงกลมหนึ่งหน่วย
ถ้าความยาวเกิน 1 รอบ
ให้แจกแจงอยู่ในรูป
2n
  
 
เมื่อตัดความยาว
ครบรอบออกแล้ว
จะเหลือ = 
จุดปลายส่วนโค้ง
จะตกอยู่ในควอด
รันต์ใด หรือจุดใด
2

  - - จุด ( 0 , 1 )
2

  
 

 
 
3
2

 
3
2

  
2
 

2
 
 
6

 
3
4

 
4
3

 
11
6

 
15
2

 
29
3

 
41
3

  
67
4

  

5. 5
ใบกิจกรรมที่ 2.1.1
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ( ค 30203 ) บทที่ 2 เรื่อง ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
คำชี้แจง ให้นักเรียนทากิจกรรมที่กาหนดให้เป็นกลุ่ม พร้อมกับนาเสนอผลงาน (20 นาที )
ให้นักเรียน แบ่งวงกลมหนึ่งหน่วย ใน 1 รอบ ออกเป็น 4 , 6 , 8 , 12 ส่วน พร้อมระบุที่จุด
ปลายของแต่ละส่วนโค้งว่า เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่ยาวเท่าไร
X
 



Y

6. 6
ใบงานที่ 2.1
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ( ค 30203 ) บทที่ 2 เรื่อง ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
คำชี้แจง ให้นักเรียนทากิจกรรมที่กาหนดให้เป็นกลุ่ม พร้อมกับนาเสนอผลงาน (20 นาที )
(1) จงแสดงวิธีหา จุดปลายส่วนโค้ง  หน่วยที่กาหนดให้ว่า จะตกอยู่บนส่วนโค้ง
ในควอดรันด์ใด ของวงกลมหนึ่งหน่วย
1.1) เมื่อ 
33
4

 1.2) เมื่อ 
57
3


วิธีทา …………………………………………… วิธีทา ………………………………………………
……………………………………………………….. ………………………………………………………..
……………………………………………………….. ………………………………………………………..
……………………………………………………….. ………………………………………………………..
1.3) เมื่อ 
87
6

 1.4) เมื่อ 
101
3


วิธีทา …………………………………………… วิธีทา ………………………………………………
……………………………………………………….. ………………………………………………………..
……………………………………………………….. ………………………………………………………..
……………………………………………………….. ………………………………………………………..
1.5) เมื่อ 
17
6

  1.6) เมื่อ 
21
4

 
วิธีทา …………………………………………… วิธีทา ………………………………………………
……………………………………………………….. ………………………………………………………..
……………………………………………………….. ………………………………………………………..
……………………………………………………….. ………………………………………………………..
1.7) เมื่อ 
29
3

 1.8) เมื่อ 
38
4

 
วิธีทา …………………………………………… วิธีทา ………………………………………………
……………………………………………………….. ………………………………………………………..
……………………………………………………….. ………………………………………………………..
……………………………………………………….. ………………………………………………………..

7. 7
ใบงานที่ 2.2
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ( ค 30203 ) บทที่ 2 เรื่อง ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
1. จุดปลายของความยาวส่วนโค้ง 3

  ควรอยู่ที่ใด …………………………..………….
2. จุดปลายของความยาวส่วนโค้ง 6
 
  ควรอยู่ที่ใด …………………………..………….
3. จุดปลายของความยาวส่วนโค้ง 5
2


 ควรอยู่ที่ใด …………………………..………….
4. จุดปลายของความยาวส่วนโค้ง 3
4


 ควรอยู่ที่ใด …………………………..………….
5. จุดปลายของความยาวส่วนโค้ง 5
3


 ควรอยู่ที่ใด …………………………..………….
6. จุดปลายของความยาวส่วนโค้ง 7
6


 ควรอยู่ที่ใด …………………………..………….
7. จุดปลายของความยาวส่วนโค้ง 3
2
 
  ควรอยู่ที่ใด …………………………..………….
8. จุดปลายของความยาวส่วนโค้ง 5
6
 
  ควรอยู่ที่ใด …………………………..………….
9. จุดปลายของความยาวส่วนโค้ง 3
4
 

 ควรอยู่ที่ใด …………………………..………….
10. จุดปลายของความยาวส่วนโค้ง 11
6


 ควรอยู่ที่ใด …………………………..………….

8. 8
แบบทดสอบรายจุดประสงค์ (ก่อนเรียน) รายวิชา คณิตศาสตร์เพิ่มเติม (ค 30203)
บทที่ 2 เรื่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติและการประยุกต์
คำสั่ง ให้นักเรียนเลือกกากบาท ( x ) เพียงข้อละ 1 ตัวเลือก ลงในกระดาษคาตอบ
(1) จุดปลายของความยาวส่วนโค้ง
4

บนวงกลมหนึ่งหน่วย จะตกอยู่ในควอดรันต์ใด
ก. ควอดรันต์ที่ 1 ข. ควอดรันต์ที่ 2 ค. ควอดรันต์ที่ 3 ง. ควอดรันต์ที่ 4
(2) ข้อใดคือค่าของ 2
sin
3

ก. 1
2
ข.
3
2
ค.
3
2
 ง. 2
3
(3) ข้อใดคือค่าของ 5
cos
6

ก. 1
2
ข.
3
2
ค.
3
2
 ง. 1
2

(4) ข้อใดคือค่าของ tan( 150 )

ก. 3 ข.
3
2
 ค. 1
3
ง.
1
3

(5) ข้อใดคือค่าของ sin120 cos210 tan180 cot90

ก.
3
2
ข. 3
4
ค. 4
3
ง. ไม่มีข้อใดถูก
(6) )
x
90
sin( 0
 มีค่าเท่ากับข้อใด
ก. sin x ข. cos x ค. - sin x ง. - cos x
(7) 0
0
15
sin
75
sin  มีค่าเท่ากับข้อใด
ก.
2
3
ข.
2
2
ค.
4
6
ง.
2
6

9. 9
(8) ถ้า
2
1
A
cos 
 เมื่อ 90 0
<A<180 0
แล้ว cos 2A จะเท่ากับข้อใด
ก. -
2
1
ข.
2
1
ค. -1 ง.
2
3

(9) ข้อใดคือค่าของ )
2
3
(
sin 1

ก.
6

ข.
4

ค.
3

ง.
2

(9) ข้อใดคือค่าของ 1 1
cos ( )
2


ก. 5
6

ข. 3
4

ค.
3

ง. 2
3

(10) ข้อใดคือเซตคาตอบของสมการ 0
1
x
sin
2 2

 เมื่อ ]
,
0
[
x 

ก. }
4
3
,
4
{


ข. }
3
2
,
3
{


ค. }
6
5
,
6
{


ง. ไม่มีข้อถูก
(11) กาหนด  ABC มีด้าน a = 3
3 , A = 30 0
, C = 120 0
แล้ว b จะยาวเท่าไร
ก. 3
3 ข. 2
4 ค. 9 ง. 12
(12) ชายคนหนึ่งขับรถจากจุด ก. ลงไปทางทิศใต้เป็นระยะทาง 6 ก.ม. ต่อจากนั้นขับรถต่อไป
ในทิศ 210 0
ถึงจุด เป็นระยะทาง 10 ก.ม. จงหาระยะห่างระหว่างจุด ก. และจุด ข.
ก. 8 ก.ม. ข. 12 ก.ม. ค. 14 ก.ม. ง. 16 ก.ม.

10. 10
ใบความรู้ที่ 2.2.1
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค 30203 บทที่ 2 เรื่อง ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
คาชี้แจง ให้นักเรียนศึกษาเนื้อหาที่กาหนดให้ต่อไปนี้เป็นกลุ่ม ( เวลา 15 นาที )
1) ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ บนพิกัดจุดปลายของแกนพิกัดฉาก
- เมื่อ 0
  จะมีจุดปลายอยู่ที่จุด (1,0)
ดังนั้น cos 0 1
 และ sin 0 0

- เมื่อ
2

  จะมีจุดปลายอยู่ที่จุด (0,1)
ดังนั้น cos 0 sin 1
2 2
 
 
- เมื่อ  
 จะมีจุดปลายอยู่ที่จุด (-1,0)
ดังนั้น cos 1 sin 0
 
  
- เมื่อ
3
2

  จะมีจุดปลายอยู่ที่จุด (0,-1)
ดังนั้น 3 3
cos 0 sin 1
2 2
 
  
- เมื่อ 2
 
 จะมีจุดปลายอยู่ที่จุด (1,0)
ดังนั้น cos2 1 sin2 0
 
 
ตัวอย่าง จงหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของจานวนจริง ต่อไปนี้
(1) 5
sin
2

 ……………………………………………………………………………….……..….……….
(2) sin ( )
2

  ……………………………………………..………….……….…….…………….………
(3) sin 5  …………………………………..……………………………………………………………..
(4) 5
cos
2

 ………………………………………………..………….………….…..…………..………..
(5) cos( 8 )

  ……………….…………………………………………………………………..………..
(6) 3
cos ( )
2

  ………………………….……..………………………………………………………….
y
(0,1)
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
x
0 , 2
 

2

 
3
2

 
 





และ
และ
และ
และ

11. 11
ใบความรู้ที่ 2.2.2
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค 30203 บทที่ 2 เรื่อง ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
คาชี้แจง ให้นักเรียนศึกษาเนื้อหาที่กาหนดให้ต่อไปนี้เป็นกลุ่ม ( เวลา 20 นาที )
2) ค่าของฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์ที่จุดปลาย
4

 
จากรูป ส่วนโค้ง AP = ส่วนโค้ง PB
จะทาให้ | AP | = | PB |
2 2 2 2
( 1) ( 1)
x y x y
    
2 2 2 2
( 1) ( 1)
x y x y
    
2 2 2 2
2 1 2 1
x x y x y y
      
x y


แต่สมการวงกลมหนึ่งหน่วยคือ 2 2
1
x y
 
จะได้ว่า 2 2
1
x x
  หรือ 2
2 1
x 
ดังนั้น 1
2
x  และ 1
2
y 
แสดงว่า 1
cos
4 2

 และ 1
sin
4 2


ตัวอย่าง จงหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของจานวนจริง ต่อไปนี้
(1)
3
4
sin 

……………………………………
3
4
cos 

………………………..…….……..
(2)
5
4
sin 

……………………………………
5
4
cos 

……..…………....……..….………
(3)
7
4
sin 

……………………………………
7
4
cos 

…………………..….………….…
(4)
9
4
sin 

……………………………………
9
4
cos 

…………………..…….……….…
(5) (
4
sin )
 

………………………………… (
4
cos )
 

………………..….……………
(6)
3
(
4
sin )
 

……………………………….
3
(
4
cos )
 

………………….……………
4

 
y
B(0,1)
(-1,0) A (1,0)
(0,-1)
x
0 , 2
 

2

 
3
2

 
 






P (x , y)

12. 12
ใบความรู้ที่ 2.2.3
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค 30203 บทที่ 2 เรื่อง ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
คาชี้แจง ให้นักเรียนศึกษาเนื้อหาที่กาหนดให้ต่อไปนี้เป็นกลุ่ม ( เวลา 20 นาที )
3) ค่าของฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์ที่จุดปลาย
6

 
จากรูป ส่วนโค้ง AP =
6

ดังนั้น ส่วนโค้ง PB =
3

ให้จุด C เป็นจุดสะท้อนของจุด P โดยมีแกน X เป็น
แกนสะท้อน ทาให้ จุด C มีพิกัดเป็น (x ,- y)
และส่วนโค้ง PC =
3

ด้วย
ดังนั้น คอร์ด PC = คอร์ด PB
2 2 2
[ ( )] ( 1)
y y x y
    
2 2 2
4 2 1
y x y y
   
2
4 2 2 0
y y
  
(2 1)( 1) 0
y y
  
จะได้ว่า 2 1 0 , 1 0
y y
   
1
; 1
2
y y
  
ตัวอย่าง จงหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของจานวนจริง ต่อไปนี้
(1)
5
6
sin 

……………………………………
5
6
cos 

………………………..…….……..
(2)
7
6
sin 

……………………………………
7
6
cos 

……..…………....……..….………
(3)
11
6
sin 

……………………………………
11
6
cos 

…………………..….………….…
(4)
5
(
6
sin )
 

…………….……………………
5
(
6
cos )
 

…….…………..….……………
(5)
7
(
6
sin )
 

………………………………….
7
(
6
cos )
 

…………………….……………
เป็นไปไม่ได้
6

 
y
B(0,1)
(-1,0) A (1,0)
(0,-1)
x
2

  




P (x , y)
C (x ,- y)
ดังนั้น 1
sin
6 2

 และ 3
cos
6 2



13. 13
ใบความรู้ที่ 2.2.4
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค 30203 บทที่ 2 เรื่อง ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
คาชี้แจง ให้นักเรียนศึกษาเนื้อหาที่กาหนดให้ต่อไปนี้เป็นกลุ่ม ( เวลา 20 นาที )
4) ค่าของฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์ที่จุดปลาย
3

 
จากรูป ส่วนโค้ง AP =
3

ให้จุด C เป็นจุดสะท้อนของจุด P โดยมีแกน Y เป็น
แกนสะท้อน ทาให้ จุด C มีพิกัดเป็น (-x , y)
และส่วนโค้ง PC =
3

ด้วย
ดังนั้น คอร์ด AP = คอร์ด PC
2 2 2
( 1) [ ( )]
x y x x
    
2 2 2
2 1 4
x y x x
   
2
2 1 0
x x
  
(2 1)( 1) 0
x x
  
จะได้ว่า 1
; 1
2
x x
  
3
2
y 
ตัวอย่าง จงหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของจานวนจริง ต่อไปนี้
(1) 2
3
sin 

…………………………………… 2
3
cos 

…………………………..…….……..
(2) 4
3
sin 
 …………………………………… 4
3
cos 
 ……..……………...……..….………
(3) 5
3
sin 
 …………………………………… 5
3
cos 
 ……………………..….………….…
(4) 7
3
sin 
 …………………………………… 7
3
cos 
 ……………………..…….……….…
(5) (
3
sin )
 
 ………………………………… (
3
cos )
 
 ……………….…..….……………
(6) (
2
3
sin )
 
 ………………………………. (
2
3
cos )
 
 ………………….……….………
3

 
y
B(0,1)
(-1,0) A (1,0)
(0,-1)
x





P (x , y)

C (-x , y)
เป็นไปไม่ได้
ดังนั้น 3
sin
3 2

 และ 1
cos
3 2



14. 14
ใบความรู้ที่ 2.2.5
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค 30203 บทที่ 2 เรื่อง ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
คาชี้แจง ให้นักเรียนศึกษาเนื้อหาที่กาหนดให้ต่อไปนี้เป็นกลุ่ม ( เวลา 20 นาที )
5) ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของจานวนจริงใด ๆ
5.1 ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของจานวนจริง 

จะได้ว่า sin( ) sin
 
   และ cos( ) cos
 
 
5.2 ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของจานวนจริง ที่มากกว่า 1 รอบ ( 2 )
 

จะได้ว่า sin sin(2 ) sin
n
   
  
s s(2 ) s
co co n co
   
  
5.3 ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของจานวนจริง ที่มีจุดปลายตกอยู่ในควอดรันต์ที่ 2
จะได้ว่า sin sin( ) sin
   
   เมื่อ 0
2


 
s s( ) s
co co co
   
    เมื่อ 0
2


 
5.4 ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของจานวนจริง ที่มีจุดปลายตกอยู่ในควอดรันต์ที่ 3
จะได้ว่า sin sin( ) sin
   
    เมื่อ 0
2


 
s s( ) s
co co co
   
    เมื่อ 0
2


 
5.5 ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของจานวนจริง ที่มีจุดปลายตกอยู่ในควอดรันต์ที่ 4
จะได้ว่า sin sin(2 ) sin
n
   
   
s s(2 ) s
co co n co
   
  
ตัวอย่าง จงหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของจานวนจริง ต่อไปนี้
(1) 19
cos cos(6 )
3 3
 

  (2) 27 3
sin sin(6 )
4 4
 

 
……………………………………………………………. …………………………………………………………..
……………………………………………………………. …………………………………………………………..
……………………………………………………………. …………………………………………………………..

15. 15
ใบกิจกรรมที่ 2.2
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ( ค 30203 ) บทที่ 2 เรื่อง ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
คำชี้แจง จงระบุค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของจานวนจริงใด ๆ ที่กาหนดให้ลงในวงกลมหนึ่งหน่วย
โดยเขียนในรูปของคู่อันดับ และบอกตาแหน่งความยาวส่วนโค้งแต่ละจุด ให้ถูกต้อง
 



Y
X


 






 

16. 16
ใบกิจกรรมที่ 2.2
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ( ค 30203 ) บทที่ 2 เรื่อง ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
คำชี้แจง จงหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของจานวนจริง และบอกสูตรที่นามาใช้ด้วย ต่อไปนี้
1.1
29
( )
4
cos  

………………………………….………… เหตุผล……………………………
= …………………………………….……… เหตุผล……………………………
= ………………………………….………… เหตุผล……………………………
1.2
35
( )
6
sin  

……………………………………..…….… เหตุผล……………………………
= …………………………………….……… เหตุผล……………………………
= …………………………………….……… เหตุผล……………………………
1.3 5
5
3
sin( )
 
 …………………..………………….……… เหตุผล……………………………
= ……………………………………….…..… เหตุผล……………………………
= ……………………………………………… เหตุผล……………………………
1.4 67
2
( )
cos  
 …………………..…………….…………… เหตุผล……………………………
= …………………………………..………… เหตุผล……………………………
= …………………………………..………… เหตุผล……………………………
1.5 71
4
cos 

…………………..…………………….………… เหตุผล……………………………
= ………………………………………..………… เหตุผล……………………………
= …………………………………………..……… เหตุผล……………………………
1.6 88
3
sin 
 …………………..…………………….………… เหตุผล……………………………
= ………………………………………..………… เหตุผล……………………………
= …………………………………………..……… เหตุผล……………………………
1.7 77
6
( )
cos  
 ……………………………………..…….… เหตุผล……………………………
= ……………………………………..……… เหตุผล……………………………
= ……………………………………..……… เหตุผล……………………………

17. 17
ใบกิจกรรมที่ 2.2.1
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ( ค 30203 ) บทที่ 2 เรื่อง ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
คำชี้แจง ให้นักเรียนทากิจกรรมที่กาหนดให้เป็นกลุ่ม พร้อมกับนาเสนอผลงาน (20 นาที )
(1) จงหาค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ ที่ตาแหน่งของจุดปลายส่วนโค้ง  ต่อไปนี้
1.1 เมื่อ
4
3 

 จะได้ 

4
3
cos ...........……………………………………………..........
และ 

4
3
sin ............………………………………………………........
1.2 เมื่อ
4
5 

 จะได้ …………………………………………………………………………..
และ …………………………………………………………………………..
1.3 เมื่อ
4
7 

 จะได้ …………………………………………………………………………..
และ …………………………………………………………………………..
1.4 เมื่อ
4
15 

 จะได้ …………………………………………………………………………..
และ …………………………………………………………….……………..
1.5 เมื่อ
4
35 

 จะได้ …………………………………………………………………………..
และ …………………………………………………………….……………..
1.6 เมื่อ
4
5 


 จะได้ …………………………………………………………….……………..
และ …………………………………………………………………………..
1.7 เมื่อ 35
4

   จะได้ …………………………………………………………………………..
และ …………………………………………………………………………..
1.8 เมื่อ
4
55 


 จะได้ …………………………………………………………………………..
และ …………………………………………………………………………..

18. 18
ใบกิจกรรมที่ 2.2.2
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ( ค 30203 ) บทที่ 2 เรื่อง ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
ชื่อนักเรียน ..................………….....................................ชั้น.....…….........เลขที่........…...... กลุ่มที่ .....….....
คำชี้แจง ให้นักเรียนทากิจกรรมที่กาหนดให้เป็นกลุ่ม พร้อมกับนาเสนอผลงาน (20 นาที )
(1) จงหาค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ ที่ตาแหน่งของจุดปลายส่วนโค้ง  หน่วย ต่อไปนี้
1.1 เมื่อ
6
5 

 จะได้ 

6
5
cos .........................................................……....................
และ 

6
5
sin .........................................................…….....................
1.2 เมื่อ
6
7 

 จะได้ ………………………………………………………….………………..
และ …………………………………………………………………………..
1.3 เมื่อ
6
11 

 จะได้ …………………………………………………….……………………..
และ …………………………………………………………………………..
1.4 เมื่อ
6
17 

 จะได้ ……………………………………………………….…………………..
และ …………………………………………………………………………..
1.5 เมื่อ
6
35 

 จะได้ ……………………………………………………………..……………..
และ …………………………………………………………………………..
1.6 เมื่อ
6
5 


 จะได้ ………………………………………………………….………………..
และ …………………………………………………………………………..
1.7 เมื่อ 35
6

   จะได้ ……………………………………………………………….…………..
และ …………………………………………………………………………..
1.8 เมื่อ
6
55 


 จะได้ …………………………………………………………………………..
และ …………………………………………………………………………..

19. 19
ใบกิจกรรมที่ 2.2.3
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ( ค 30203 ) บทที่ 2 เรื่อง ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
คำชี้แจง ให้นักเรียนทากิจกรรมที่กาหนดให้เป็นกลุ่ม พร้อมกับนาเสนอผลงาน (20 นาที )
(1) จงหาค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ ที่ตาแหน่งของจุดปลายส่วนโค้ง  หน่วย ต่อไปนี้
1.1 เมื่อ
3
2 

 จะได้ 

3
2
cos .........................................................……...................
และ 

3
2
sin .........................................................……....................
1.2 เมื่อ
3
4 

 จะได้ …………………………………………………………………………..
และ …………………………………………………………………………..
1.3 เมื่อ
3
5 

 จะได้ …………………………………………………………………………..
และ …………………………………………………………………………..
1.4 เมื่อ
3
16 

 จะได้ …………………………………………………………………………..
และ …………………………………………………………………………..
1.5 เมื่อ
3
35 

 จะได้ …………………………………………………………………………..
และ …………………………………………………………………………..
1.6 เมื่อ
3
85 


 จะได้ ………………………………………………………………………….
และ …………………………………………………………………………..
1.7 เมื่อ
3
155 


 จะได้ ………………………………………………………………………….
และ ………………………………………………………………………….
1.8 เมื่อ 212
3

   จะได้ ………………………………………………………………………….
และ ………………………………………………………………………….

20. 20
ใบกิจกรรมที่ 2.2.4
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ( ค 30203 ) บทที่ 2 เรื่อง ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
คำชี้แจง ให้นักเรียนทากิจกรรมที่กาหนดให้เป็นกลุ่ม พร้อมกับนาเสนอผลงาน (20 นาที )
(1) จงหาค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ ที่ตาแหน่งของจุดปลายส่วนโค้ง  หน่วย ต่อไปนี้
1.1 29
cos ( )
4

 …………………………………………………………………
1.2
29
sin( )
6

 ………………………………………….………………………
1.3
35
sin( )
3

 …………………..……………………………………………..
1.4
37
cos( )
2

  …………………..……………………………………………
1.5
23
cos
4

 …………………..………………………………………………..
1.6
38
sin
3

…………………..……………………………………………
1.7 6
sin( ) 
  ………………………………… 6
sin( ) 
  ……………………..……….
1.8 2
3
sin( ) 
  ……………………………… 2
3
cos( ) 
  ……..…………....……….
1.9 7
4
sin( ) 
  ……………………………… 7
4
cos( ) 
  …………………...………
1.10 (
4
3
sin )
 
 …………….………………… (
4
3
cos )
 
 ….…………..….…………
1.11 (
5
6
sin )
 
 ………………………………. (
5
6
cos )
 
 ………………………………
1.12 ( 3
4
sin )
 
 ………………………………. ( 3
4
cos )
 
 ………………………………
1.13 (
5
4
sin )
 
 ………………………………. (
5
4
cos )
 
 ………………………………

21. 21
ใบงานที่ 2.2
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ( ค 30203 ) บทที่ 2 เรื่อง ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
คาสั่ง ให้นักเรียนแสดงวิธีทา / เขียนคาตอบที่ถูกต้อง ลงในช่องว่างที่กาหนดให้
(1) จุดปลายของความยาวส่วนโค้งต่อไปนี้ตกอยู่ในควอดรันต์ใด ในวงกลมหนึ่งหน่วย
..
..........
...
.......... ตกอยู่ใน
เมื่อ
ตกอยู่ใน
เมื่อ
3
73
)
4
3
13
)
1







..
..........
...
.......... ตกอยู่ใน
เมื่อ
ตกอยู่ใน
เมื่อ
5
78
)
5
6
47
)
2







..
..........
..
.......... ตกอยู่ใน
เมื่อ
ตกอยู่ใน
เมื่อ
10
87
)
6
4
119
)
3







(2) จงหาโคออร์ดิเนต ของจุดปลายส่วนโค้งของจานวนจริงหรือมุมที่กาหนดให้ ต่อไปนี้
1) เมื่อ  = 25
3

…………..……… 5) เมื่อ  = 74
3

 …………..………
2) เมื่อ  = 73
4

…………..……… 6) เมื่อ  = 95
4

 …………..………
3) เมื่อ  = 106
6

…………..……… 7) เมื่อ  = 149
6

 …………..………
4) เมื่อ  = 215
2

…………..……… 8) เมื่อ  = 456
3

 …………..………
(3) จงหาค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ จากข้อต่อไปนี้
1) 61 87
sin( ).cos
3 6
 
  ………..……………………………………………………………….
= ………..……………………………………………………………….
2) 11 19
sin cos
3 4
 
 …………………..………………………………………………………
= ………..…………………………………………………………………
3) 47 43
cos ( ) sin( )
2 6
 
   ………………………………………………………………
= ………..…………………………………………………….
= ………..…………………………………………………….

22. 22
ใบความรู้ที่ 2.3.1
วิชาคณิตศาสตร์ ( ค 30203 ) บทที่ 2 เรื่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่น ๆ
คำชี้แจง ให้นักเรียนศึกษาเนื้อหาที่กาหนดให้ เป็นกลุ่ม ( 30 นาที )
ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่น ๆ นอกจากจะมีฟังก์ชันไซน์และโคไซน์แล้ว ยังมีอีก 4 ฟังก็ชัน คือ
1) ฟังก์ชันแทนเจนต์ (tangent) เขียนแทนด้วย tan
2) ฟังก์ชันเชกแคนต์ (secant) เขียนแทนด้วย sec
3) ฟังก์ชันโคเซกแคนต์ (cosecant) เขียนแทนด้วย cosec หรือ csc
4) ฟังก์ชันโคแทนเจนต์ (cotangent) เขียนแทนด้วย cot หรือ ctn
นิยาม เมื่อ  คือ จานวนจริงใด ๆ แล้ว
sin
tan ; cos 0
cos

 

 
1
sec ; cos 0
cos
 

 
s
t ; sin 0
sin
co
co

 

 
1
cos ; sin 0
sin
ec  

 
ความสัมพันธ์เพิ่มเติมของฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้ง 4 ฟังก์ชัน
1
cot
tan



1
tan
cot



2 2
1 tan sec
 
  2 2
1 cot csc
 
 
โดเมนและ เรนจ์ของฟังก์ชันทั้ง 4 ฟังก์ชัน เป็นดังนี้
1) โดเมนของฟังก์ชัน tan และ sec คือ (2 1)
{ | , }
2
n
R x R x n I


   
2) โดเมนของฟังก์ชัน cot และ cosec คือ { | , }
R x R x n n I

   
3) เรนจ์ของฟังก์ชัน tan และ cot คือ R
4) เรนจ์ของฟังก์ชัน sec และ cosec คือ { | 1 1}
R x R x
    

23. 23
เอกสารฝึกหัดที่ 2.3.1
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค 30203 บทที่ 2 เรื่อง ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
คาชี้แจง ให้นักเรียนในกลุ่ม ช่วยกันเติมคาตอบลงในช่องว่าง ที่กาหนดให้ถูกต้อง
กาหนด
จานวนจริง 
ค่าของ
sin 
ค่าของ
cos 
ค่าของ
tan 
ค่าของ
csc 
ค่าของ
sec 
ค่าของ
cot 
 0
 
2

  
 
3
2

 
3

 
2
3

 
4
3

 
5
3

 
4

 
3
4

 
5
4

 
7
4

 
6

 
5
6

 
7
6


24. 24
เอกสารฝึกทักษะที่ 2
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค 30203 บทที่ 2 เรื่อง ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
จงหาค่าของข้อต่อไปนี้
(1) 5 3
sin cos
4 4
 
  ………………………………………………………………….…………
 ……………………………………………………………….……………
(2) 11 7
n( ) csc
6 6
 
ta
 
 ………………………………………………………………….…………
 ……………………………………………………………….……………
 …………………………………………………………………….………
(3)
8 21
s c csc
3 6
e
 
  ………………………………………………………………….…………
 ………………………………………………………………….…………
 ………………………………………………………………….…………
(4)
33 27
csc tan
3 4
 
  ………………………..……………………………………………………
 ………………………………………………………………….…………
 ……………………………………………………………….……………
(5)
35 51
sec( ) csc( )
4 6
  
 
 …………………………..…………………………………….………
 …………………………………………………………………….………
 …………………………………………………………………….………
(6) 2 2
17 32
cot tan
6 3
 
  ……………………………………………………………………….
 ……………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………

25. 25
ใบกิจกรรมที่ 2.3.2
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ( ค 30203 ) บท ที่ 2 เรื่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่น ๆ
คำชี้แจง ให้นักเรียนทากิจกรรมที่กาหนดให้เป็นกลุ่ม พร้อมกับนาเสนอผลงาน (20 นาที )
(1) จงหาค่าของข้อต่อไปนี้
1.1 5 3
sin cos
4 4
 
  ……………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………….…………………
1.2 11 7
n csc
6 6
ta
 
  …………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………….…………………
1.3 8 21
s c csc
3 6
e
 
  …………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………….…………………
1.4 33 27
csc tan
3 4
 
  …………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………….…………………
 ……………………………………………………………………………………….…………………
1.5 35 51
sec csc
4 6
 
  …………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………….…………………
 ……………………………………………………………………………………….…………………
1.6 2 2
17 32
cot tan
6 3
 
  …………………………………………………………………….
 ……………………………………………………………………………………….…………………
 ……………………………………………………………………………………….…………………

26. 26
ใบงานที่ 2.3
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ( ค 30203 ) บทที่ 2 เรื่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่น ๆ
คาสั่ง ให้นักเรียนแสดงวิธีทา / เขียนคาตอบที่ถูกต้อง ลงในช่องว่างที่กาหนดให้
(1) จงหาค่าของข้อต่อไปนี้
1.1 3 3 2 2
sin csc cos sec
4 4 3 3
   

 ……………………………………………………………………………………….…………………
 ……………………………………………………………………………………….…………………
1.2 5 3 7
n csc cos sin
6 6 4 4
ta
   
  …………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………….…………………
 ……………………………………………………………………………………….…………………
1.3 5 3 2 11
sin s c cot csc
4 4 3 6
e
   

 ……………………………………………………………………………………….…………………
 ……………………………………………………………………………………….…………………
1.4 13 13 15 21
cos csc tan cot
3 6 4 4
   

 ……………………………………………………………………………………….…………………
 ……………………………………………………………………………………….…………………
1.5 33 29 52 61
sec csc cos sin
4 4 3 6
   

 ……………………………………………………………………………………….…………………
 ……………………………………………………………………………………….…………………
1.6 2 2 2 2
4 17 25 22
sin cot cos tan
3 4 6 3
   

 ……………………………………………………………………………………….…………………
 ……………………………………………………………………………………….…………………

27. 27
ใบความรู้ที่ 2.4.1
วิชาคณิตศาสตร์ ( ค 30203) บทที่ 2 เรื่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม
คำชี้แจง ให้นักเรียนศึกษาเนื้อหาที่กาหนดให้ เป็นกลุ่ม
(1) มุมและการวัดมุม
- มุมเกิดจาก ส่วนของเส้นตรงของเส้นที่แยกออกจากกัน ส่วนของเส้นตรง 2 เส้น
นั้น เส้นหนึ่งเรียกว่า ด้านเริ่มต้นของมุม อีกเส้นหนึ่งเรียกว่า ด้านสิ้นสุดของมุม
- การวัดมุม วัดได้ 2 แบบ คือ แบบทวนเข็มนาฬิกา (กาหนดให้ค่าของมุมเป็น +)
และการวัดแบบตามเข็มนาฬิกา (กาหนดค่าของมุมเป็น - )
- หน่วยของมุม มี 2 แบบ คือ
- หน่วยของมุมที่เป็นองศา ( ) โดยถือว่า มุมที่เกิด จากการหมุนส่วนของเส้น
ตรงไปครบหนึ่งรอบ มีขนาดเท่ากับ 360 องศา และแบ่งหน่วยองศาออกเป็น
หน่วยย่อย คือ ลิปดา /
( ) และ ฟิลิปดา //
( ) โดยที่ / / //
1 60 , 1 60
 
- หน่วยของมุมที่เป็นเรเดียน (radian) คือ มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมซึ่งรอง
รับด้วยส่วนโค้งของวงกลมที่ยาวเท่ากับรัศมีของวงกลมวงนั้น จะถือว่ามีขนาด
เท่ากับ 1 เรเดียน
- เนื่องจากความยาวเส้นรอบวงของวกลมที่มีรัศมียาว r หน่วย ยาว 2 r
 หน่วย
ดังนั้น มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม ซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งที่ยาว 2 r
 หน่วย
จึงมีขนาดเท่ากับ 2
2
r
r


 เรเดียน
- การเปรียบเทียบมุม ทั้ง 2 แบบ
360 องศา = 2 เรเดียน
1 องศา =
180

เรเดียน 0.01745
 เรเดียน
1 เรเดียน = 180

องศา /
57 18

ตัวอย่าง จงเปลี่ยน 1
2
เรเดียน เป็น องศา และเปลี่ยน 75 องศา เป็น เรเดียน
วิธีทา 1
2
เรเดียน = /
1 180 1
57 18
2 2

   75 องศา = 75 75 0.01745
180

  
/
28 39

5
1.30875
12

 

28. 28
ใบความรู้ที่ 2.4.2
วิชาคณิตศาสตร์ ( ค 30203 ) บทที่ 2 เรื่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม
คำชี้แจง ให้นักเรียนศึกษาเนื้อหาที่กาหนดให้ เป็นกลุ่ม ( 20 นาที )
(2) ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม
- เมื่อจุดยอดมุมของมุม ๆ หนึ่งอยู่ที่จุด ( 0 , 0 ) ด้านเริ่มต้นทาบแกน x ทางบวก
จะเรียกมุมนั้นว่า มุมในตาแหน่งมาตรฐาน
- ส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วย ที่รองรับมุมที่จุดศูนย์กลางขนาด  เรเดียน
จึงยาวเท่ากับ  หน่วย
- เมื่อกาหนดมุมขนาด  เรเดียนให้หนึ่งมุม แล้วจุดสิ้นสุดของด้านสิ้นสุดของมุม
จะเป็นจุดเดียวกันกับ จุดปลายส่วนโค้งที่ยาว  หน่วย ด้วย
- ไม่ว่าจะนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมหรือความยาวส่วนโค้ง ของวงกลมหนึ่งหน่วย
ที่รองรับมุมนั้น ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของจานวนเหล่านั้น จึงมีค่า เท่ากัน
ตัวอย่าง จงหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม ต่อไปนี้
(1) sin 60 sin
3

 (2) cos 135 cos(180 45 )
 
3
2
 cos 45 cos
4

   
2
2
 
(3) tan( 210 )
 ………………………………. (4) sec( 405 )
 ……………………………….
= ……….……………………………………….… = ……….……………………………………….…
(x , y)
y
(1,0)
x





O
(x , -y)
y
(1,0)
x





O
 > 0  < 0

29. 29
ใบความรู้ที่ 2.4.3
วิชาคณิตศาสตร์ ( ค 30203 ) บทที่ 2 เรื่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม
คำชี้แจง ให้นักเรียนศึกษาเนื้อหาที่กาหนดให้ เป็นกลุ่ม ( 20 นาที )
(3) ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
- รูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่สร้างขึ้น บนวงกลมหนึ่งหนึ่งหน่วย และมีจุดยอดมุม
อยู่ที่จุด (0 , 0) มีขนาดเท่ากับ  เรเดียน หรือ  องศา จะได้ว่า
sin A = sin (ความยาวส่วนโค้ง FD) = DE
cos A = cos (ความยาวส่วนโค้ง FD) = AE
เนื่องจาก AED ACB

จะได้ว่า
DE BC AE AC
และ
AD AB AD AB
  แต่ AD = 1
ดังนั้น
BC a
DE
AB c
  และ
AC b
AE
AB c
 
นั่นคือ 
ความยาวของดา
้้
นตรงข้ามมุม A
sin
ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก
A
ความยาวของด้านประชดิมุม A
s
ความยาวของดา
้
้นตรงขา
้
้มมุมฉาก
co A 
ความยาวของด้านตรงขา
้้
มมมุ A
tan
ความยาวของดา
้
้นประชดิมุม A
A 
ตัวอย่าง กาหนด  มุมฉาก ABC โดยมี มุม C เป็นมุมฉาก ด้าน AC ยาว 4 หน่วย
และ มุม A = 30 องศา จงหา ความยาวด้าน AB และ BC
วิธีทา สร้างรูปประกอบ เนื่องจาก cos 30
b
c
 และ tan 30
a
b

ดังนั้น
cos30
b
c  tan 30
a b

4 8
3 3
2
 
3
4 ( )
3

4.618
 2.309




(1,0)
X
Y
A C
D
E F
B
A C
B
30
a
c
4

30. 30
ใบกิจกรรมที่ 2.4.1
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ( ค 30203 ) บท ที่ 2 เรื่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่น ๆ
คำชี้แจง ให้นักเรียนทากิจกรรมที่กาหนดให้เป็นกลุ่ม พร้อมกับนาเสนอผลงาน (20 นาที )
(1) จงเปลี่ยนมุมเรเดียนต่อไปนี้เป็นมุมองศา
1.1 2 เรเดียน =…………………………………………………..……………………………..
1.2 1
3
เรเดียน =…………………………………………………..……………………………..
1.3 1
4
เรเดียน =…………………………………………………..……………………………..
1.4 2
3
เรเดียน =…………………………………………………..……………………………..
1.5 3
4

เรเดียน =…………………………………………………..……………………………..
1.6 17
6

เรเดียน =…………………………………………………..……………………………..
1.7 22
5

เรเดียน =…………………………………………………..……………………………..
(2) จงเปลี่ยนมุมองศา ต่อไปนี้เป็นมุมเรเดียน
2.1 15 องศา =…………………………………………………..……………………………..
2.2 75 องศา =…………………………………………………..……………………………..
2.3 105 องศา =…………………………………………………..……………………………..
2.4 120 องศา =…………………………………………………..……………………………..
2.5 135 องศา =…………………………………………………..……………………………..
2.6 150 องศา =…………………………………………………..……………………………..
2.7 210 องศา =…………………………………………………..……………………………..
2.8 225 องศา =…………………………………………………..……………………………..
2.9 240 องศา =…………………………………………………..……………………………..
2.10 300 องศา =…………………………………………………..……………………………..
2.11 315 องศา =…………………………………………………..……………………………..
2.12 330 องศา =…………………………………………………..……………………………..

31. 31
ใบกิจกรรมที่ 2.4.2
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ( ค 30203 ) บท ที่ 2 เรื่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่น ๆ
ชื่อนักเรียน .......................................…………................ชั้น.......…........เลขที่............... กลุ่มที่ ............
คำชี้แจง ให้นักเรียนทากิจกรรมที่กาหนดให้เป็นกลุ่ม พร้อมกับนาเสนอผลงาน (20 นาที )
(1) จงหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม ต่อไปนี้
1.1 sin 135 ………………………….….. 1.2 cos 120  ……………………………..
= ……….……………………….…….……… = ……….…………………………………….
1.3 tan 150 ………………….…………… 1.4 sec 225 …………………..………….
= ……….……………………….………….… = ……….…………………………………….
= ……….……………………….………….… = ……….…………………………………….
1.5 csc 240 ………………….………….. 1.6 cot 300  ………………………………
= ……….……………………….………….… = ……….…………………………………….
= ……….……………………….………….… = ……….…………………………………….
1.7 sin( 210 )
 ………………………….. 1.8 cos( 315 )
 …………………………
= ……….……………………….………….… = ……….…………………………………….
= ……….……………………….………….… = ……….…………………………………….
1.9 tan( 450 )
 ………………….………1.10 sec( 240 )
 …………………..…….
= ……….……………………….………….… = ……….…………………………………….
= ……….……………………….………….… = ……….…………………………………….
1.11 csc( 480 )
 ………………….………1.12 cot( 510 )
 …………………………
= ……….……………………….………….… = ……….…………………………………….
= ……….……………………….………….… = ……….…………………………………….

32. 32
ใบกิจกรรมที่ 2.4.3
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ( ค 30203 ) บท ที่ 2 เรื่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่น ๆ
คำชี้แจง ให้นักเรียนทากิจกรรมที่กาหนดให้เป็นกลุ่ม พร้อมกับนาเสนอผลงาน (20 นาที )
(1) จงหาความยาวของด้านที่เหลือของสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC เมื่อกาหนด มุมและ
ด้านบางด้านมาให้ จากข้อต่อไปนี้
1.1 มีมุม C เป็นมุมฉาก มุม A = 45 องศา และด้าน AC ยาว 3 หน่วย
วิธีทา ……….…………………………………….……….……………………………………………….…….
……….…………………………………….……….……………………………………………………………….
……….…………………………………….……….……………………………………………………………….
……….…………………………………….……….……………………………………………………………….
……….…………………………………….……….……………………………………………………………….
……….…………………………………….……….……………………………………………………………….
1.2 มีมุม C เป็นมุมฉาก มุม A = 60 องศา และด้าน AB ยาว 8 หน่วย
วิธีทา ……….…………………………………….……….……………………………………………….…….
……….…………………………………….……….……………………………………………………………….
……….…………………………………….……….……………………………………………………………….
……….…………………………………….……….……………………………………………………………….
……….…………………………………….……….……………………………………………………………….
……….…………………………………….……….……………………………………………………………….
(2) กาหนดให้ 3
cos , 0 90
5
 
   จงหา sin  และ tan 
วิธีทา ……….…………………………………….……….……………………………………………….…….
……….…………………………………….……….……………………………………………………………….
……….…………………………………….……….……………………………………………………………….
……….…………………………………….……….……………………………………………………………….
……….…………………………………….……….……………………………………………………………….
……….…………………………………….……….……………………………………………………………….

33. 33
ใบงานที่ 2.4
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ( ค 30203 ) บทที่ 2 เรื่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่น ๆ
คาสั่ง ให้นักเรียนแสดงวิธีทา / เขียนคาตอบที่ถูกต้อง ลงในช่องว่างที่กาหนดให้
(1) จงหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติทุกฟังก์ชันของมุม 850 องศา
วิธีทา ……….…………………………………….……….……………………………………………….…….
……….…………………………………….……….……………………………………………………………….
……….…………………………………….……….……………………………………………………………….
……….…………………………………….……….……………………………………………………………….
……….…………………………………….……….……………………………………………………………….
……….…………………………………….……….……………………………………………………………….
……….…………………………………….……….……………………………………………………………….
(2) สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC มีมุม C เป็นมุมฉาก ด้าน AC = 1 ด้าน AB = 3
จงหามุมและด้านที่เหลือ
วิธีทา ……….…………………………………….……….……………………………………………….…….
……….…………………………………….……….……………………………………………………………….
……….…………………………………….……….……………………………………………………………….
……….…………………………………….……….……………………………………………………………….
……….…………………………………….……….……………………………………………………………….
……….…………………………………….……….……………………………………………………………….
(3) กาหนดให้ tan 2 , 0 90
A A
   จงหา ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม A
วิธีทา ……….…………………………………….……….……………………………………………….…….
……….…………………………………….……….……………………………………………………………….
……….…………………………………….……….……………………………………………………………….
……….…………………………………….……….……………………………………………………………….
……….…………………………………….……….……………………………………………………………….
……….…………………………………….……….……………………………………………………………….

34. 34
ใบความรู้ที่ 2.5.1
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม (ค 30203) บทที่ 2 เรื่อง การใช้ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
คำชี้แจง ให้นักเรียนศึกษาเนื้อหาที่กาหนดให้ เป็นกลุ่ม ( 15 นาที )
การใช้ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
จากหัวข้อที่กล่าวมาแล้ว ได้ทราบค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของจานวนจริงหรือมุม
บางมุมมาบ้างแล้ว และทราบด้วยว่า ไม่ว่าจะกาหนดจานวนจริง  ( หรือมุม ) ใด ๆ ที่อยู่ใน
โดเมนของฟังก์ชันตรีโกณมิตินั้นมาให้ จะสามารถหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของจานวนจริง
หรือมุมนั้นได้เสมอ
สาหรับค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติจากตาราง เป็นค่าที่หาจากจานวนจริง หรือมุมตั้งแต่
0 ถึง
2

หรือ 00
ถึง 900
ถ้ามุมหรือจานวนจริงที่มากกว่านี้ ให้ใช้วิธีการหาค่าฟังก์ชันที่เป็น
จุดสมมาตรของมุมหรือจานวนจริงตั้งแต่ 00
ถึง 900
หรือ 0 ถึง
2

ตัวอย่างตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
Degree Radians Sine tangent cotangent cosine
27๐
00/
0.4712 .4540 .5095 1.9626 .8910 63๐
00/
1.0996
10/
0.4741 .4566 .5132 1.9486 .8897 50/
1.0966
20/
0.4771 .4592 .5169 1.9347 .8884 40/
1.0937
30/
0.4800 .4617 .5206 1.9210 .8870 30/
1.0908
40/
0.4829 .4643 .5243 1.9074 .8857 20/
1.0879
50/
0.4858 .4669 .5280 1.8940 .8843 10/
1.0850
28๐
00/
0.4887 .4695 .5317 1.8807 .8829 62๐
00/
1.0821
10/
0.4916 .4720 .5354 1.8676 .8816 50/
1.0792
20/
0.4945 .4746 .5392 1.8546 .8802 40/
1.0763
30/
0.4974 .4772 .5430 1.8418 .8788 30/
1.0734
40/
0.5003 .4797 .5467 1.8291 .8774 20/
1.0705
50/
0.5032 .4823 .5505 1.8165 .8760 10/
1.0676
cosine cotangent tangent Sine Radians Degree

35. 35
ใบความรู้ที่ 2.5.1
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม (ค 30203) บทที่ 2 เรื่อง การใช้ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติจากตาราง เป็นค่าที่หาจากมุมหรือจานวนจริงตั้งแต่ 00
ถึง 900
หรือ 0 ถึง
2

ถ้ามุมหรือจานวนจริงที่มากกว่านี้ ให้ใช้วิธีการหาค่าฟังก์ชันที่เป็นจุดสมมาตร
ของมุมหรือจานวนจริงตั้งแต่ 00
ถึง 900
หรือ 0 ถึง
2

ตัวอย่างที่ 1 จงใช้ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติจากตาราง มาหาค่าของฟังก์ชันต่อไปนี้
(1) cos 125 (2) sin 226
วิธีทา cos 125 cos(180 55 )
  วิธีทา sin 226 sin (180 46 )
 
cos 55
  sin 46
 
เปิดตาราง จะได้ 0.5736
  เปิดตารางจะได้
(3) tan( 306 )
 (4) /
sin 100 20
วิธีทา tan( 306 ) tan 306
   วิธีทา / /
sin 100 20 sin(180 79 40 )
 
tan(360 54 )
   /
sin 79 40

( tan 54 )
   1.3764
 0.9838

ตัวอย่างที่ 2 จงใช้ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติจากตาราง มาหาค่าของฟังก์ชันต่อไปนี้
(1) /
cos 77 44 (2) /
sin 32 28
วิธีทา หาโดยวิธีเทียบสัดส่วน ดังนี้ วิธีทา หาโดยวิธีเทียบสัดส่วน ดังนี้
 44
0.0171 60
x
  28
0.0147 60
x

x = 0.0125 x = 0.0069
ดังนั้น /
cos 77 44 = 0.2250 - 0.0125 ดังนั้น /
sin 32 28 = 0.5299 + 0.0069
= 0.2125 = 0.5368
/
cos 77 44
/
cos 77 00
/
cos 78 00
0.2250
0.2079
+ 44/
+ 60/
- x
- 0.0171
+ x
/
sin 32 28
/
sin 32 00
/
sin 33 00
+ 28/
+ 60/
+ 0.0147
0.5299
0.5446

36. 36
เอกสารฝึกหัดที่ 2.5.1
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม (ค 30203) บทที่ 2 เรื่อง การใช้ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
คาสั่ง ให้นักเรียนเติมคาตอบลงในช่องว่าง ให้ถูกต้อง
(1) จงใช้ค่าจากตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตอบคาถามต่อไปนี้
1.1 '
cos 11 10 =……………………… 1.7 sin 0.5091 =…………..…….……..…
1.2 '
sin 16 20 =………………….…… 1.8 sin 1.1868 =…………..…….…..……
1.3 '
cos 32 30 =……………………… 1.9 cos 0.0785 =…………..……….……
1.4 '
sin 40 50 =………………….…… 1.10 cos 1.4515 =…………..……..………
1.5 '
tan 31 20 =……………….……… 1.11 tan 0.1338 =…………..……..……..
1.6 '
cot 44 40 =…………………….… 1.12 cot 0.1658 =…………..……..………
(2) จงใช้ค่าจากตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ ในการประยุกต์ ตอบคาถามต่อไปนี้
2.1 '
cos 135 20 =……………………… 2.5 '
sin 98 50 =…………..…….………
=…………………………………………… =…………..………………………..………
=…………………………………………… =…………..………………………..………
2.2 '
cos 241 30 =……………………… 2.6 '
tan 120 50 =…………..…….…….
=…………………………………………… =…………..………………………..………
=…………………………………………… =…………..………………………..………
2.3 '
s 131 40
in =……………………… 2.7 '
tan 248 30 =…………..…….……
=…………………………………………… =…………..………………………..………
=…………………………………………… =…………..………………………..………
2.4 '
sin278 10 =………………….…… 2.8 '
cot 134 20 =…………..……..…….
=…………………………………………… =…………..………………………..………
=…………………………………………… =…………..………………………..………

37. 37
ใบกิจกรรมที่ 2.5.1
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม (ค 30203) บทที่ 2 เรื่อง การใช้ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
คำชี้แจง ให้นักเรียนทากิจกรรมที่กาหนดให้เป็นกลุ่ม พร้อมกับนาเสนอผลงาน (20 นาที)
(1) จงหาค่าของฟังก์ชันต่อไปนี้โดยใช้ตาราง
1.1 '
20
31
cos  =…………….…………..…. 1.2 '
50
48
sin  =……………..…….………
1.3 '
50
73
tan  =…………….………….….. 1.4 '
30
148
sin  =…………….……………
1.5 '
10
330
cos  =…………….……….…… 1.6 '
40
448
tan  =…………….……….….
1.7 )
20
62
(
cos '

 =…………….…………. 1.8 )
50
84
(
sin '

 =…………….……….…
1.9 cos 0.3840=…………….………………. 1.10 tan 4.3546 =……………….….….…..
(2) จงหาค่าของ  เมื่อ 0 90

  เมื่อกาหนดค่าของฟังก์ชันดังนี้
2.1 cos 0.9194
  ……….….…………… 2.2 sin 0.8732
  ……………….………
2.3 cos 0.7660
  ……….….…………… 2.4 tan 3.4124
  ………..….….………
2.5 cos 0.8631
  …………………..……. 2.6 sin 0.3090
  ……………….………
2.7 tan 0.5280
  ……………….….……. 2.8 tan 1.0913
  ……………….….……
2.9 cos 0.5592
  ……………….………. 2.10 sin 0.1190
  ……………….…….…
(3) จงหาค่าของฟังก์ชันต่อไปนี้โดยใช้ตาราง
3.1 '
24
42
cos  =…………….……..……… 3.2 '
45
78
sin  =……………….……………
……………………………………………….………… …………………………….……………………………
……………………………………………….………… …………………………….……………………………
……………………………………………….………… …………………………….……………………………
……………………………………………….………… …………………………….……………………………
……………………………………………….………… …………………………….……………………………
……………………………………………….………… …………………………….……………………………
……………………………………………….………… …………………………….……………………………
……………………………………………….………… …………………………….……………………………
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

38. 38
ใบงานที่ 2.5
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม (ค 30203) บทที่ 2 เรื่อง การใช้ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
คาสั่ง ให้นักเรียนแสดงวิธีทา / เขียนคาตอบที่ถูกต้อง ลงในช่องว่างที่กาหนดให้
(1) จงหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติต่อไปนี้โดยใช้ตาราง
1.1 
'
30
28
sin  .............….......……......... 1.2 
'
20
100
sin  ..........................…........
1.3 
'
10
66
tan  ............................……… 1.4 
'
50
136
cos  ............................…….
1.5 
'
40
44
cos  .……............................. 1.6 
'
30
243
tan  ............................…….
(2) จงหาค่ามุม A เมื่อ 
 180
0 
 A เมื่อกาหนดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติมาให้
2.1 cos 0.9872
A  2.2 sin 0.9520
A 
.....................................….......................... ...............................................…................
2.3 tan 0.5206
A  2.4 sin 0.4540
A  
.....................................….......................... ...............................................…................
2.5 cos 0.8760
A   2.6 tan 0.6830
A  
.....................................….......................... ...............................................…................
(3) จงหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติต่อไปนี้โดยอาศัยค่าจาตาราง
3.1 '
24
36
cos 
วิธีทา .....................................................................….........................……………..............................
.....................................................................................….........................……………..............................
.....................................................................................….........................……………..............................
.....................................................................................….........................……………..............................
.....................................................................................….........................……………..............................
3.2 '
33
48
tan 
วิธีทา .....................................................................….........................……………..............................
.....................................................................................….........................……………..............................
.....................................................................................….........................……………..............................
.....................................................................................….........................……………..............................

39. 39
ใบความรู้ที่ 2.7.1
วิชาคณิตศาสตร์ ( ค 30203 )
บทที่ 2 เรื่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของจานวนจริงหรือมุม
คาชี้แจง ให้นักเรียนศึกษาเนื้อหาและทากิจกรรมที่กาหนดให้ เป็นกลุ่ม ( 15 นาที )
(1) การหาความสัมพันธ์ของ cos( )
A B
 และ cos( )
A B

จากรูป กาหนดวงกลมหนึ่งหน่วยบนระนาบพิกัดฉาก
และให้ 2 1
,
P P A P P B
 
ดังนั้น 3 1 2
P P P P A B
  
และจะได้ว่า 3 1 2
| | | |
PP P P

3 3 2 1 2 1
2 2 2 2
( 1) ( ) ( ) ( )
x y x x y y
     
…………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………..
ดังนั้น cos( ) cos cos sin sin
A B A B A B
  
ถ้าลองนาค่าของ cos( )
A B
 ไปหาค่าของ cos( )
A B
 จะได้ดังนี้
cos( )
A B
 cos[ ( )]
A B
  
 ……………………………………………………………………………………………..
 ……………………………………………………………………………………………..
สรุปเป็นสูตรได้ว่า cos( ) cos cos sin sin
A B A B A B
  
cos( ) cos cos sin sin
A B A B A B
  
P(1,0)




X
Y

P1(x1,y1)
P2(x2,y2) P3(x3,y3)

40. 40
ใบความรู้ที่ 2.7.2
วิชาคณิตศาสตร์ ( ค 30203 )
บทที่ 2 เรื่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของจานวนจริงหรือมุม
คาชี้แจง ให้นักเรียนศึกษาเนื้อหาและทากิจกรรมที่กาหนดให้ เป็นกลุ่ม ( 20 นาที )
(2) การหาความสัมพันธ์ของ sin ( )
A B
 และ sin ( )
A B

เนื่องจาก sin( ) cos[ ( )]
2
A B A B

    cos[( ) ]
2
A B

  
= ……………………………………………….…………………………….
= ……………………………………………….…………………………….
= ……………………………………………….…………………………….
ดังนั้น sin( ) sin cos s sin
A B A B co A B
  
ในลักษณะเดียวกัน จะได้ว่า sin( ) sin cos s sin
A B A B co A B
  
(3) การหาความสัมพันธ์ของ )
B
A
tan(  และ )
B
A
tan( 
)
B
A
tan(  = = ……………………………….……………………..……….
= ……………………………….…………………..………….
= ……………………………….…………………..………….
= ……………………………….…………………..………….
= ……………………………….…………………..………….
ดังนั้น
tan tan
tan( )
1 tan tan
A B
A B
A B

 

ในลักษณะเดียวกัน จะได้ว่า
tan tan
tan( )
1 tan tan
A B
A B
A B

 

sin( )
cos( )
A B
A B



41. 41
ใบงานที่ 2.8
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม (ค 30203) บทที่ 2 เรื่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและ
ผลต่างของจานวนจริงหรือมุม
จงเติมคาตอบลงในช่องว่างต่อไปนี้ ให้ถูกต้อง
(1) มุมที่มีหน่วยเป็นองศา ที่หาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติได้ง่าย เช่น ………………......................…………..
2) มุมที่มีหน่วยเป็นเรเดียน ที่หาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติได้ง่าย เช่น ....................…………….………...…
(3) จงแยกมุมที่กาหนดให้ให้อยู่ในรูปผลบวก หรือผลต่างของมุม 2 มุม ที่สามารถหาค่าของ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติได้ง่าย โดยใช้มุมในข้อ (1) หรือ ข้อ (2)
กาหนดมุมที่จะหาค่าของ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
แยกมุมให้อยู่ในรูปผลต่างของมุม
ที่หาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติได้ง่าย
แยกมุมให้อยู่ในรูปผลบวกของมุม
ที่หาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติได้ง่าย
15 45 30
 –
75 – 45 30

105
135
165
390
435
12

5
12

7
12


42. 42
ใบงานที่ 2.8.1
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม (ค 30203) บทที่ 2 เรื่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและ
ผลต่างของจานวนจริงหรือมุม
จงหาค่าของฟังก์ชันต่อไปนี้ ในรูปแบบของ ( )
cos 
A B และ ( )
cos 
A B
1) 15
cos = ………….………….…………….…… 2) 165
cos =…………………………...………….
……………………………….……………………. …………………..……………………………….
……………………………….……………………. …………………..……………………………….
……………………………….……………………. …………………..……………………………….
3) ( 105 )
cos  = …………………………...……. 4)
17
12
cos

=…...…………………………………
……………………………….……………………. …………………..……………………………….
……………………………….……………………. …………………..……………………………….
……………………………….……………………. …………………..……………………………….
……………………………….……………………. …………………..……………………………….
5) ให้






 B
cos
,
A
sin โดยที่ 0 A 90
  , 90 B 180
  จงหา
5.1 cos( )
A B
 =…………………………………………………………………………….
=…………………………………………………….………………………
=…………………………………………………….………………………
=…………………………………………………….………………………
5.2 cos( )
A B
 =…………………………………………………………………………….
=…………………………………………………….………………………
=…………………………………………………….………………………
=…………………………………………………….………………………