Pre โควตา มช. คณิตศาสตร์1

สงวนลิขสิทธิ์ © โดยบริษัทรัชดาแอสโซซิเอท จากัด ห้ามเผยแพร่และลอกเลียนแบบไม่ว่าส่วนใดส่วนหนึ่งของเอกสาร
ฉบับนี้ นอกจากได้รับอนุญาติ

การสอบ Pre Quota CMU ปี 2554
ข้อสอบ วิชา 05 คณิตศาสตร์ 1
สอบวันที่ 10 – 31 สิงหาคม 2554

1. ข้อสอบฉบับนี้มีทั้งหมด 30 ข้อ แบ่งออกเป็น 2 ตอน ดังนี้
ตอนที่ 1 มี 10 ข้อ ตั้งแต่ข้อ 1 – 10 ข้อละ 4 คะแนน
ตอนที่ 2 มี 20 ข้อ ตั้งแต่ข้อ 1 – 20 ข้อละ 3 คะแนน
2. ข้อสอบฉบับนี้มคะแนนเต็ม 100 คะแนน
ี
3. ข้อสอบทุกข้อเป็นข้อสอบแบบเลือกตอบ แต่ละข้อจะมีคาตอบให้เลือก 4 ตัวเลือก คือ 1, 2, 3, 4
ให้พิจารณา เลือกคาตอบที่เห็นว่าถูกต้องที่สุดหรือเหมาะสมที่สุดเพียงคาตอบเดียว ดังตัวอย่าง

ตัวอย่าง การตอบ
(0) 2 + 3 = ? ข้อนี้ คาตอบที่ถูกคือ 5
1. 2 จึงไปตอบตัวเลือก 4 ในกระดาษคาตอบ ดังนี้
2. 3
3. 4 (0) ① ② ③
4. 5

หน้า 1


ข้อสอบ 05 วิชาคณิตศาสตร์ 1

ตอนที่ 1
1. ให้ x เป็นจานวนเต็มบวกซึ่งเมื่อเขียน x ในรูปตัวเลขฐาน 7 แล้วจะได้ x = (3456)7 จงหาเศษเหลือเมื่อหาร 3x
ด้วย 13

2. ถ้า a เป็นจานวนอตรรกยะที่ทาให้คาตอบของสมการ 2 log( x  3  x  3 )  log 2a  log
x
0 เป็นจานวน
2
เต็มแล้ว จงหาค่า a ที่มีค่ามากที่สุด (กาหนดให้ 2  1.41, 3  1.73 )

3. ถ้าระบบสมการข้างล่างมีเพียงคาตอบเดียว คือ x = 1 และ y = 3 ค่า c – d + 4 เท่ากับเท่าใด โดยที่ c > 0
(c  2) 2 x  (c  5) y  c  4
d  3x  4  2d y  c  d

1
2
4. กาหนดให้ ƒ(x) = Ax 2  Bx  C ถ้า ƒ’(2) = 36, ƒ’’(2) = 16 และ  f ( x)dx  จงหาค่า A – B – C
0 3

5. กาหนดให้ f(x) = A(2x2 – 3)2 – 5x3 + 7x2 + 4x จงหาค่าของจานวนจริง A ที่ทาให้ ƒ’’’(1) = 66

6. กาหนดให้ P ( x, y ) เป็นจุดบนวงกลม x2 + y2 = 1 ที่อยู่ใกล้จุด A(5,12) มากที่สุด จงหาระยะห่างระหว่างจุด
P(x,y) และเส้นตรง -2x + 3y – 8 = 0

7. จงหาพื้นที่บริเวณที่แรเงาในรูปต่อไปนี้

8. ถ้า 4 x  y  (log x  log y)i  64  i เมื่อ i 2  1 แล้ว จงหาค่าของ 7 x 4 y

หน้า 2


9. การเลือกตั้งสมาชิกสภาผู้แทนราษฎรของจังหวัดหนึ่งซึ่งมีสมาชิกได้ 3 คน มีพรรคการเมืองจานวนทั้งสิ้น 5
พรรค ส่งผู้สมัครรับเลือกตั้งพรรคละ 4 คน จงหาจานวนวิธีที่ผู้ได้รับการเลือกตั้งจะอยู่ต่างพรรคกันทั้งหมด

10. โรงงานแห่งหนึ่งผลิตสินค้า 2 ชนิด คือ A และ B โดยที่สินค้า A ได้กาไรชิ้นละ 30 บาท สินค้า B ได้กาไร
ชิ้นละ 20 บาท ถ้าโรงงานนี้ผลิตสินค้า A จานวน x ชิ้น ผลิตสินค้า B จานวน y ชิ้น ภายใต้อสมการข้อจากัด
ต่อไปนี้
2 x  3y  30
4x  y  20

x  0
y  0

จงหาว่าโรงงานนี้ได้กาไรมากที่สุดเท่าใด

1. กาหนดให้ a, b, c เป็นจานวนจริงใด และ n เป็นจานวนเต็มใดๆ ข้อใดถูกต้อง
1. ถ้า a  c  b  c แล้ว a  b
2. ถ้า ab  ac แล้ว b  c
3. ถ้า a  b แล้ว a  b n n

4. ถ้า a  b แล้ว ac  bc

2. ก. ประพจน์ 
xy x  y  x  y  เมื่อ เอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจานวนจริง มีค่าความจริงเป็น จริง
 
 1  5 
ข. เวกเตอร์ 3 และ เวกเตอร์  2  ตั้งฉากกัน
4
   1
 
 4
จากข้อความที่กาหนดให้ ข้อใดกล่าวได้ถูกต้อง
1. ก และ ข ถูก 2. ก ถูก แต่ ข ผิด
3. ก ผิด แต่ ข ถูก 4. ก และ ข ผิด

3. จานวนเซลล์แบคทีเรียในการเพาะเชื้อจุลินทรีย์ที่เวลา t ชั่วโมงมีสูตรเป็น n( t ) = 400ekt เมื่อ k เป็นค่าคงที่ ถ้ า
เวลาผ่านไป 3 ชั่วโมงมีจานวนแบคทีเรีย 1,600 เซลล์ แล้ว เมื่อเวลาผ่านไป 6 ชั่วโมงจะมีจานวนแบคทีเรียกี่
เซลล์
1. 3,400 2. 4,600
3. 6,400 4. 8,200

หน้า 3


4. ให้ p แทนประพจน์ สาหรับทุกจานวนนับ n จะได้ log n 2 เป็นจานวนจริงบวก q แทนประพจน์ มี n เป็นจานวน
2n
เต็มที่ทาให้ 1 เป็นจานวนเต็ม และ r และ s เป็นประพจน์ใด ๆ
3 n 1  2
พิจารณาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้
ก. ประพจน์ q  r  p  s มีค่าความจริงเป็น เท็จ
ข. ประพจน์ r  s  p  q มีค่าความจริงเป็น จริง
ข้อใดถูก
1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด
3. ก ผิด และ ข ถูก 4. ก ผิด และ ข ผิด

5. ให้ f และ g เป็นฟังก์ชันที่เป็นสับเซตของ R × R กาหนด ( fog)(x)  3 x  5 และ g ( x)  x3 ข้อความข้อใดผิด
1. f ( x)  3 x 2  6 2. g 1 ( x)  x 2  3 ; x  0
3. fog เป็นฟังก์ชัน 1 – 1 4. โดเมนของ fog   3, 

6. เซตคาตอบของสมการ ln( x2  9)  ln( x  3)  ln( x 2  x  5) คือข้อใด
1. {1} 2. {2} 3. {3} 4. {4}

7. วงรีวงหนึ่งมีจุดโฟกัสอยู่ที่ (  (c + 1), 0) จุดยอดที่ (  (c + 2), 0) เมื่อ c เป็นระยะทางระหว่างจุดยอดและจุดโฟกัส
ของพาราโบลา x 2  16 y  0 สมการของวงรีรูปนี้คือข้อใด
1. 3x 2  9 y 2  27 2. 6 x 2  11y 2  66
3. 8x 2  20 y 2  160 4. 11x 2  36 y 2  396

8. เส้นตรง L1 : 3 x  4 y  10 ตัดกับเส้นตรง L2 : x  2 y  5 ที่จุด (4, 1 ) ถ้า  เป็นมุมแหลมที่เกิดจากการตัด
2
กันของเส้นตรงทั้งสองแล้ว ค่าของ sin คือข้อใด
1. 1 2. 2 3. 3
4. 4
5 5 5 5

9. พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. sin  5   tan  5   1 
    3
 6   3  2
ข. กราฟของสมการ z  2  4i  z  3  i เป็นเส้นตรง
ข้อใดถูกต้อง
1. ก และ ข ถูก 2. ก ถูก แต่ ข ผิด
3. ก ผิด แต่ ข ถูก 4. ก และ ข ผิด

หน้า 4


10. ให้ A และ B เป็นเมทริกซ์จัตุรัสที่มีมิติเดียวกันซึ่ง det(B) > 0, det(A) = 4, det(BA-1Bt) = 3 และ det(A-1(At + Bt)B)
= 5 3 แล้ว det(A + B) มีค่าเท่ากับข้อใด
1. 4 3 2. 10
3. 3 2 4. 8

11. กาหนดให้ วงรี x2

y2
1 มีจุดยอดอยู่ที่จุด Ax1 , y1  และ Bx2 , y2  โดยที่ x2  0 แล้ว สมการ
25 9
ของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด B และสัมผัสเส้นตรง 4y = 3x + 5 คือข้อใด
1. x 2  ( y  5) 2  10 2. x 2  ( y  5) 2  20

3. ( x  5) 2  y 2  4 4. ( x  5) 2  y 2  5

12. กาหนด u  3i  2 j  k และ v  2i  3 j  k ถ้า 9  (u  v)  a u  v แล้วค่า a คือข้อใด
1. 4 2. 4
5 5
3. 5 4. 4

13. ค่าของ x ที่ทาให้ x + x2 + x3+ ….. + xn +….. = 0. 3 6 คือข้อใด  

2
1. 2. 1
13 7

3. 2
4. 4
9 15

14. การประมาณจานวนต้นวัชพืชในนาแปลงหนึงโดยวิธีการสุ่มตัวอย่างพื้นที่นา ขนาด 6 ตารางเมตร จานวน 10 จุด
่
แล้วบันทึกจานวนต้นวัชพืช ของแต่ละจุดได้ดังนี้
6 9 7 5 8 9 6 7 9 4
ถ้าแปลงนามีขนาด 3,000 ตารางเมตร แล้วแปลงนานี้จะมีต้นวัชพืชประมาณกี่ต้น
1. 1,500 2. 2,500
3. 3,500 4. 4,500

15. พนักงานของบริษัทแห่งหนึ่งมีรายได้เฉลี่ยต่อเดือน 10,000 บาท ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 2,000 บาท ถ้าแต่
ละคนมีค่าใช้จ่ายต่อเดือน 6,000 บาท ส่วนที่เหลือจะเป็นเงินออมส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของเงินออมต่อเดือน
เท่ากับกี่บาท
1. 1,000 2. 2,000
3. 3,000 4. 4,000

หน้า 5


16. ถ้าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ x1 , x2 , x3 , … , xn เท่ากับ a แล้ว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ
x1 + 3 , x2 + 3 , x3 + 3 , … , xn + 3 เท่ากับเท่าใด
1. a
2. a + 3
3. 3a
4. ไม่สามารถสรุปได้เนื่องจากไม่ทราบข้อมูลจริงของ xi , i =1, 2, 3, …, n

17. นายอาเภอคนหนึ่งของจังหวัดพิษณุโลก ได้ส่งเสริมอาชีพของครัวเรือนตามหลักปรัชญาเศรษฐกิจพอเพียง ปรากฏ
ว่า “แต่ละครัวเรือนมีรายได้ต่าในระดับที่ใกล้เคียงกัน”
จากข้อมูลข้างต้น ข้อใดกล่าวถูกต้อง
1. ค่าเฉลี่ย และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของรายได้ต่า
2. ค่าเฉลี่ยของรายได้ต่า แต่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานสูง
3. ค่าเฉลี่ยของรายได้สูง แต่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานต่า
4. ค่าเฉลี่ย และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของรายได้สูง

18. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 10 คน ได้คะแนน (X) สรุปดังนี้

 X i2  25,360 and  X i  X   360
10 10 2

i 1 i 1

ข้อใดถูก
1. สมชายสอบได้คะแนน 68 คะแนนสูงกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิต 15 คะแนน
2. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนเท่ากับ 10
3. สมศรีสอบได้คะแนน 62 คะแนน ค่ามาตรฐานของคะแนนของมณีนุชเท่ากับ 2
4. คะแนนรวมวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 10 คน เท่ากับ 600 คะแนน

19. ในการสอบแข่งขันครั้งหนึ่ง มีผู้เข้าสอบจานวนมาก ประมวลผลคะแนนสอบเบื้องต้นได้ดังนี้
เปอร์เซ็นไทล์ที่ 25 = 50 คะแนน
เปอร์เซ็นไทล์ที่ 75 = 84 คะแนน
มัธยฐาน = 70 คะแนน
คะแนนต่าสุด = 30 คะแนน
คะแนนสูงสุด = 100 คะแนน
จากข้อมูลข้างต้นข้อใดกล่าวถูกต้อง
1. คะแนนสอบแจกแจงปกติ
2. ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์เท่ากับ 17 คะแนน
3. คะแนนในช่วง 50 – 70 หนาแน่นมากกว่าคะแนนในช่วง 70 – 84
4. คะแนนในช่วง 30 – 50 หนาแน่นน้อยกว่าคะแนนในช่วง 85 – 100

หน้า 6


20. ตารางแจกแจงความถี่ต่อไปนี้ แสดงผลผลิตเฉลี่ยต่อไร่ (หน่วย : กิโลกรัม) ของถั่วเหลืองที่ผลิตได้จากแหล่งที่ปลูก
ทั่วประเทศจานวน 40 จังหวัดของประเทศไทย
ผลผลิตข้าวเฉลี่ยต่อไร่ ความถี่
61 – 80 12
81 – 100 7
101 – 120 5
121 – 140 10
141 – 160 6
ถ้ารัฐบาลมีโครงการขยายพื้นที่การเพาะปลูกข้าว สาหรับจังหวัดที่มีผลผลิตข้าวเฉลี่ยต่อไร่สูงกว่าจังหวัดอื่นๆ
ประมาณร้อยละ 70 ของจังหวัดที่มีพื้นที่ปลูกจานวน 40 จังหวัด ดังนั้นจังหวัดที่จะได้เข้าร่วมโครงการดังกล่าว
จะต้องมีผลผลิตข้าวเฉลี่ยต่อไร่สูงกว่ากี่กิโลกรัม
1. 102.5 2. 110.0 3. 124.5 4. 128.5

หน้า 7


เฉลยข้อสอบ 05 วิชาคณิตศาสตร์ 1

เฉลยตอนที่ 1
1. ตอบ เศษเหลือ เท่ากับ 2
วิธีทา จาก x = (3 × 73) + (4 × 72) + (5 × 7) + (6 × 1)
= 1029 + 196 + 35 + 6
x = 1266
ดังนั้น 3x = 3798 นั่นคือ 3798 ÷ 13 ได้เศษ 2

2. ตอบ ค่า a ที่มีค่ามาก คือ 3.73
วิธีทา
x
2 log[ x  3  x  3  (log 2a  log  0)
2

log[  x3  x3 2  log ax  0
 ( x  3  x  3)2 
log  0

 ax 


( x  3  x  3)2
 10 
ax

( x  3)  2 ( x  3)( x  3)  x  3  ax

2 x  2 ( x  3)( x  3)  ax

2 x 2  9  ax  2 x
ยกกาลัง 2 ทั้งสองข้าง
[2 x 2  9 ]2  (ax  2 x) 2

4(x - 9) = a x - 4ax + 4x2
2 2 2 2

4x2 - 36 = a2x2 - 4ax2 + 4x2
-36 = x2 (a2 - 4a)
36
  x2
a  4a
2

พบว่า a – 4a < 0 เท่านั้นจึงจะทาให้สมการเป็นจริงและคาตอบต้องเป็นจานวนเต็มทาให้ a2 – 4a = -1
2

หรือ -4 หรือ -16 หรือ -36 เท่านั้น และ a เป็นจานวนตรรกยะ
ดังนั้น a2 – 4a = -1 ∴ a2 – 4a + 1 = 0
(4) 2  4(1)(1)
a  (4) 
2

4  16  4 4  12 4  2 3
a  
2 2 2

 a  2  3, 2  3
และถ้า a – 4a = -4 ∴ a2 – 4a + 4 = 0
2

หน้า 8


( a  2) 2  0

a2
และถ้าเป็น -4 และ -16 ทาให้ค่าใน ติดลบ
จากโจทย์ให้หา a ที่มีค่ามากที่สุด ดังนั้น a  2  3  3.73( 3  1.73)

3. ตอบ เท่ากับ 5
วิธีทา แทนค่า (c  2) 2  3(c  5)  c  4-----------①
d  3  34  2d   c  d ------------②
จาก ① c 2  4c  4  3c  15  c  4  0

c 2 2c  15  0
(c  5)(c  3)  0

c  5, 3
โจทย์กาหนดให้ c > 0  c มีค่าเท่ากับ 3
แทนค่า ② (d  3)  3(4  2d )  3  d
6d  12  0

d 2
 c  d  4  3 2  4  5

4. ตอบ มีค่าเท่ากับ 8
วิธีทา f ( x)  Ax 2  Bx  C ; f (1)  A  B  C

f ( x)  2 Ax  B
f ( x)  2 A
f (2)  2 A  16
 A8
f (2)  4 A  B
36  4(8)  B
 B4
1 1
0 f ( x)dx  0 ( Ax  Bx  C )dx
2

1
 Ax 3 Bx 2 
    Cx 

 3 2 0

2 A B
  C
3 3 2
2 8 4
  C
3 3 2
C  4
ดังนั้น A – B – C = 8 – 4 – (-4) = 8

หน้า 9


5. ตอบ ค่าของจานวนจริง A คือ 1
วิธีทา ƒ(x) = A(2x2 – 3)2 – 5x3 + 7x2 + 4x
ƒ’(x) = 2A(2x2 – 3)(4x) – 15x2 + 14x + 4
= 16Ax3 – 24Ax – 15x2 + 14x + 4
ƒ’’(x) = 48Ax2 – 24A – 30x + 14
ƒ’’’(x) = 96Ax – 30
ƒ’’’(1) = 96A(1) – 30
66 = 96A – 30
ดังนั้น A = 1

6. ตอบ ระยะห่างเท่ากับ 1.2
วิธีทา โจทย์กาหนด x2 + y2 = 1 เป็นวงกลม 1 หน่วย จุดศูนย์กลาง (0,0)
ให้ P(x,y) เป็นจุดบนวงกลมที่อยู่ใกล้ A (5,12) มากที่สุด หา P(x,y)
วิธีการหาจุด P โดยการ หาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุดกาเนิด (0, 0) และ จุด A (5,12)
จะได้ M = 12  0  12
50 5

รูปแบบทั่วไปของสมการเส้นตรง Ax + By + C = 0 แทนค่า 12x – 5y = 0 ---------------①
เนื่องจากเส้นตรงผ่านจุด (0,0) แสดงว่าเส้นตรงตัดผ่านวงกลมใช้สมการเส้นตรงหาจุดตัดบนวงกลม
จะได้ 12x – 5y = 0
12x = 5y
5
x y
12

แทนค่า x ลงในสมการ x2 + y2 = 1
จะได้ 25 2
y  y2  1
144
12 12
y  ,
13 13

(จุด A มีค่าเป็นบวกดังนั้นใช้ค่า y ที่เป็นบวกเท่านั้น) แทน y = 12 ใน สมการที่ ① จะได้ x = 5
13 13

ดังนั้นจุด P คือ  5 , 12  หาระยะทางระหว่างจุด P และเส้นตรง –2x + 3y – 8 = 0
 
 13 13 
 5   12 
 2   3   8
จะได้ D = Ax1  By1  C
  13   13  6
  1.2
A2  B 2 16  9 5

หน้า 10


7. ตอบ พื้นที่บริเวณที่แรเงาเท่ากับ 27
วิธีทา จากรูปจะได้ว่า
พื้นที่ =
3
 [(2 x )  ( x )] dx
2 2
0

=
3
2
 3x dx
0

= x 3 3
0

= 33  03
= 27

8. ตอบ มีค่าเท่ากับ 49
วิธีทา 4 x  y  (log x  log y)i  64  i
x
4 x  y  (log )i  64  i
y
ใช้การเทียบสมการ จะได้ 4x – y = 64 = 43
ทาให้ x – y = 3 ------------------①
(log x ) = 1
y
x = 101
y
x = 10y แทนลงใน ①
จะได้ 10y – y = 3
9y = 3
1
y
3
10
x
3
ดังนั้น แทนค่า x, y ใน 7 x4 y จะได้เท่ากับ 7 2 = 49

9. ตอบ จานวนวิธีที่ผู้ได้รับการเลือกตั้งจะอยู่ต่างพรรคกันเท่ากับ 640 วิธี
วิธีทา
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5

ขั้นที่ 1 เราต้องเลือกพรรคการเมืองเพียง 3 พรรคจาก 5 พรรคเท่านั้น
ซึ่งเราทาได้  5  10
 3
 
ขั้นที่ 2 พรรคการเมืองที่เราเลือกมา 3 พรรคแล้วนั้น แต่ละพรรคจะได้เป็นสภาผู้แทนราษฎร
เพียงพรรคละ 1 คนเท่านั้น ซึ่งเราเลือกได้  1    1    1   64
4 4
     
4
     
ดังนั้น จานวนวิธีในการเลือกตั้ง มีทั้งหมด 10  64  640 วิธี

หน้า 11


10. ตอบ โรงงานได้กาไรมากที่สุดคือ 450 บาท
วิธีทา สมการวัตถุประสงค์ คือ Z = 30x + 20y

จากรูป ที่จุด (3,8) ค่า Z  30(3)  20(8)  90  160  250
ที่จุด (5,0) ค่า Z  30(5)  20(0)  150  0  150
ที่จุด (15,0) ค่า Z  30(15)  20(0)  450  0  450
ดังนั้น โรงงานนี้จะได้กาไรมากที่สุดเท่ากับ 450 บาท

1. ตอบข้อ 1 ถ้า a + b > b + c แล้ว a > b
วิธีทา เพราะ ข้อ 2 ถ้า ab = ac แล้ว b = c เมื่อแทน a = 0 ทาให้ ab = ac จริง แต่ b อาจจะไม่เท่ากับ c
เสมอไป
ข้อ 3 ถ้า a > b แล้ว an > bn เมื่อแทน a = 1 และ b = -3 แล้วจะได้ 12 < (-3)2
ข้อ 4 ถ้า a > b แล้ว ac > bc เมื่อแทน a = 1 , b = -3 และ c = -4 ทาให้ 1(-4) <(-3)(-4)

2. ตอบข้อ 1 ก และ ข ถูก
วิธีทา ก. ถูกเพราะไม่มีจานวนจริงใด ที่แทนค่าแล้วทาให้สมการเป็นเท็จ
ข. ถูกเพราะเมื่อนาสองเวกเตอร์มา dot แล้วมีค่าเท่ากับ 0
 1
(1)(5)  (3)(2)  (4)   0
 4 

3. ตอบข้อ 2 เมื่อเวลาผ่านไป 6 ชั่วโมงจะมีจานวนแบคทีเรีย 6,400 เซลล์
วิธีทา n(t )  400e kt

จาก t  3, n(t )  1600
จะได้ 1600  400e 3k

ln 4  3k ln e1

หน้า 12


ln 4
k
3
 ln 4 
6 
n(6)  400e  3 

2
 400e ln 4
 400(16)

 6,400

4. ตอบข้อ 1 ก ถูก และ ข ถูก
วิธีทา p แทน log n เป็นจานวนจริงบวก สาหรับ n  N มีค่าความจริงเป็นเท็จ
2

2n
+
เพราะเมื่อ แทน n = 1 จะได้ log1
 0 ซึ่ง 0 ไม่ใช่ R
2
Q แทน มี n ∈ I ที่ทาให้ 1 เป็นจานวนเต็ม มีค่าความจริงเป็นจริง
3n1  2
เพราะ n= 0 ทาให้ 1
01
1 เป็นจริง
3 2
ดังนั้น ก. เป็นเท็จ จึงถูก
ข. เป็นจริง จึงถูก

5. ตอบข้อ 1 f ( x)  3 x 2  6 เป็นข้อความที่ผิด
วิธีทา ( fog )( x)  3
x5

g ( x)  x3

f ( g ( x))  3
x5
f ( x  3)  3
x5
ให้ x3  a

x  a2  3
f (a)  3 (a 2  3)  5  3 a 2  8
แทน a = x จะได้ f ( x)  x  8 3 2

พิจารณา g ( x)  x  3
หาโดเมนของ g จะได้ x  3  0 ; x  3
โดเมนของ g   3,  
เนื่องจากโดเมนของ fog เป็นสับเซตของโดเมนของ g
ดังนั้น โดเมนของ fog   3, 
หา อินเวอร์สขอ g ( x)  x  3
y  x3
x  y3 ; x  0

x2  y  3

y  x2  3

g 1 ( x)  x 2  3 ; x  0

หน้า 13


ตรวจสอบฟังก์ชัน 1-1
แทนค่า x 1 ค่า แล้วต้องได้ y 1 ค่า เช่น x = 13 จะได้ y = 2
เพราะฉะนั้น f o g เป็นฟังก์ชัน 1 -1

6. ตอบข้อ 4 เซตคาตอบของสมการคือ {4}
วิธีทา จาก ln( x  9)  ln( x  3)  ln( x  x  5)
2 2

จะได้ว่า ln x  9   ln( x  x  5)
 
2
2
 x3 
 
นั่นคือ ln( x  3)  lnx  x  5 2

ดังนั้น x  3  x  x  5 2

จะได้ว่า x  2x  8  0
2

นั่นคือ ( x  2)( x  4)  0
จะได้ว่า x = -2 หรือ x = 4
แต่เนื่องจากหลัง log ต้องมากกว่า 0 ดังนั้นจึงมีเพียงคาตอบเดียวคือ x = 4

7. ตอบข้อ 4 สมการของวงรีคือ 11x  36 y  396 2 2

วิธีทา ให้ c เป็นระยะห่างระหว่างจุดยอดและจุดโฟกัสของ x  16 y  4(4) y จะได้ว่า c = 4
2

ดังนั้น พาราโบลามีจุดยอดอยู่ที่ (0,0) และมีจุดโฟกัสอยู่ที่ (0,4)
เพราะฉะนั้นวงรีมีจุดโฟกัสอยู่ที่ (5 , 0) และมีจุดยอดอยู่ที่ (6 , 0)
นั่นคือ c วงรี  5 และ a วงรี  6

   
(-6,0) -5 5 (6,0)

จึงทาให้เรารู้ว่า จุดศูนย์กลางของวงรีอยู่ที่จุด (0,0)
จากความสัมพันธ์ของวงรี a 2  b 2  c 2 จะได้ว่า 36  b  25 นั่นคือ 2
b 2  11
ดังนั้นสมการวงรีคือ ( x  0)  ( y  0)  1 นั่นคือ 11x  36 y  396
2 2
2 2

36 11

8. ตอบข้อ 1 ค่าของ sin คือ 1
5
วิธีทา เนื่องจาก m L1
3
 , mL2 
1
4 2

หน้า 14

3 1 5
mL1  mL 2 
ดังนั้น 4 2 1
tan     4 
1  mL1  mL 2  3   1  5 2
1    
 4  2  8
1
เพราะฉะนั้น sin  
5

9. ตอบข้อ 1 (ก) และ (ข) ถูก
วิธีทา (ก) sin 5   tan 5 
    
1
 3
 6   3  2
1 1
 3   3
2 2
ดังนั้น (ก) จึงถูก
(ข) ให้ z = a + bi หากราฟของ z  2  4i  z  3  i

a  bi  2  4i  a  bi  3  i
2 2

 (a  2) 2
 (b  4) 2    (a  3)
2
2
 (b  1) 2 
2

(a  2) 2  (b  4) 2  (a  3) 2  (b  1) 2
จะได้ a  b  1 เป็นสมการเส้นตรง ข้อ (ข) ถูก

10. ตอบข้อ 2 มีค่าเท่ากับ 10
วิธีทา
det( BA 1 B t )  3
det B  det A 1  det B t  3
 1 
(det B)   det B  3
 det A 
(det B ) 2  3 det A  (det B) 2  3(4)
(det B) 2  12 ; det B  12  2 3
det( A 1 ( A t  B t ) B)  5 3
det A 1  det( A t  B t )  det B  5 3
det B
 det( A t  B t )  5 3
det A
2 3
det( A  B) t  5 3
4
 det( A  B)  10
หมายเหตุ det( A  B) t  det( A  B)

11. ตอบข้อ 3 สมการที่ได้คือ ( x  5) 2  y 2  4
วิธีทา เนื่องจาก วงรี x  y  1 เป็นวงรีตามแนวแกน x มีจุดศูนย์กลางที่ (0,0) และ มีค่า a = 5
2 2

25 9
ดังนั้น จุดยอด คือ A(-5,0) และ B(5,0)
เนื่องจากระยะทางจากจุด B(5,0) ไปยังเส้นตรง 3x - 4y + 5 = 0 เท่ากับ 3(5)  4(0)  5  20
5 32  4 2

ดังนั้น วงกลมที่มี จุดศูนย์กลาง คือ B(5,0) และ มีรัศมีเท่ากับ 4 คือ ( x  5) 2  y 2  4

หน้า 15


12. ตอบข้อ 2 แล้วค่า a คือ 4
5

วิธีทา จาก u  3i  2 j  k และ v  2i  3 j  k
จะได้ว่า u  v  (3)(2)  (2)(3)  (1)(1)  11
i j k 
และ  
u  v  det 3 2  1  2i  2 j  9k  4k  3i  3 j  5i  5 j  5k
2 3 1 
 

ซึ่ง | u  v |  5  (5)2 2
 52  125  5 5
จาก 9  (u  v)  a u  v
จะได้ว่า a 
9  (u  v)

20

4
| uv | 5 5 5

13. ตอบข้อ 4 ค่าของ x คือ 4
15
วิธีทา จาก x  x  x    x    0. 3 6
 
2 3 n

(ซึ่งเป็นอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ ที่มีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ x )
จะได้ว่า x  x  x  x  
2 3 36
 n 4
99 11
จากสูตรผลบวกของอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ S 
a1 เมื่อ | r | 1
1 r
จะได้ว่า x

4
1 x 11
ดังนั้น x 
4
15

14. ตอบข้อ 3 แปลงนานี้จะมีต้นวัชพืชประมาณ 3,500 ต้น
วิธีทา จากโจทย์กาหนดให้ จะได้คาเฉลี่ยจานวนวัชพืชในแปลงขนาด 6 ตารางเมตร คือ
่
 7 ต้น
697589679 4
x
10
แปลงขนาด 6 ตารางเมตร สามารถปลูกวัชพืชได้ประมาณ 7 ต้น
แสดงว่าแปลง 1 ตารางเมตร ปลูกได้ประมาณ 7 ต้น
6
ดังนั้นแปลงขนาด 3,000 ตารางเมตร สามารถปลูกวัชพืชได้ประมาณ 7
 3,000  7  500  3,500 ต้น
6

15. ตอบข้อ 2 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของเงินออมต่อเดือนเท่ากับ 2,000 บาท
วิธีทา ถ้านาค่าคงที่ไปบวกหรือลบจากค่าแต่ละตัวในข้อมูลจะได้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานใหม่ที่เท่ากับส่วน
เบี่ยงเบน มาตรฐานเดิม ดังนั้นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของเงินออม จึงเท่ากับ 2,000 บาท

หน้า 16


16. ตอบข้อ 1 เท่ากับ a
วิธีทา จากสูตร S
fx i
2
i
 x2 
 f (x
i i  x)2
N N
ถ้าข้อมูลเพิ่มขึ้นเท่าๆ กันทุกตัว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะมีค่าเท่าเดิม

17. ตอบข้อ 1 ค่าเฉลี่ย และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของรายได้ต่า
วิธีทา ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (SD) ใช้บอกการกระจายของข้อมูล มีค่าเป็นบวกเสมอ ถ้าเป็นศูนย์แสดง
ข้อมูลเท่ากัน หมดไม่มีการกระจาย
โจทย์บอกว่า “แต่ละครัวเรือนมีรายได้ต่าในระดับใกล้เคียงกัน” หมายความว่า ค่าเฉลี่ยของรายได้
ต่า และมีการกระจายรายได้น้อยเพราะอยู่ในระดับใกล้เคียงกันทาให้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานต่า

18. ตอบข้อ 3 สมศรีสอบได้คะแนน 62 คะแนน ค่ามาตรฐานของคะแนนของมณีนุชเท่ากับ 2
วิธีทา SD 
 ( xi  x ) 2  360
 6
N 10

 xi  x 2
2
SD 
N

25,360
6   x2
10
25,360
36   x2
10
x2  2,500

x  50

 (xi  x)2
SD   6
N
 ( xi  x ) 2  36
N

 ( xi  2 xi x  x 2 )  36
2

N

 xi 2 x  xi   x 2  360
2

25,360  2(50) xi  (10)(50) 2  360

100 xi  50,000

 xi  500
xi  x 62  50
Z    2
SD 6
ดังนั้น ข้อ 3 ถูก

19. ตอบข้อ 2 ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์เท่ากับ 17 คะแนน
วิธีทา จากข้อมูลที่โจทย์กาหนดให้ สามารถหาค่าควอร์ไทล์ได้ เนื่องจากค่าเปอร์เซ็นไทล์
นั่นค่า P25 = Q1 , P75 = Q3 เมื่อได้ค่าควอร์ไทล์ หาส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์จาก
 17 ตรงกับคาตอบข้อ 2
Q Q 84  50
3
 1

2 2

หน้า 17


20. ตอบข้อ 4 จังหวัดที่จะได้เข้าร่วมโครงการดังกล่าว จะต้องมีผลผลิตข้าวเฉลี่ยต่อไร่สูงกว่า 128.5 กิโลกรัม
วิธีทา จาก ตาแหน่ง P  rN
r
100
70(40)

100
= 28
 rN 
   fL 
Pr  L   100 I
 f Pr 
 
 
 28  24 
P70  120.5   20
 10 
= 120.5 + 8
ดังนั้น P  128.5
70

หน้า 18

Pre โควตา มช. คณิตศาสตร์1

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to Pre โควตา มช. คณิตศาสตร์1

More from yinqpant

Pre โควตา มช. คณิตศาสตร์1