ภาคตัดกรวย วิชาคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 โรงเรียนตาคลีประชาสรรค์

1. ภา ค ตัดก รวย
พาราโบลา
(parabola)

2. บทนิยาม
• พาราโบลา คือ เซตของจุดทุกจุด
บนระนาบ ซึ่งอยู่ห่างจากเส้นตรงที่
เส้นหนึ่งบนระนาบและจุดคงที่จุด
หนึ่งบนระนาบนอกเส้นตรงคงที่นั้น
เป็นระยะทางเท่ากันเสมอ

3. เลตัส เรกตัม
• เลตัส เรกตัม ( latus rectum ) คือ คอร์ด
ที่ ตั้ง ฉากกับ แกนพาราโบลาและผ่า น
โฟกัส ของพาราโบลา ( ส่ว นของเส้น
ตรงที่ม ีจ ุด ปลายอยูบ นพาราโบลา
่
เรีย กกว่า คอร์ด (chord)ของ
พาราโบลา ) ความยาวของเลตั
สเรกตัม ใช้วมีค“ความ กว้า า กับของ
เลตัส เรกตัม ัด วามยาวเท่ ง ”
4c
พาราโบลา
หน่ว ย

4. • เส้น ตรงคงที่ เรีย กว่า ไดเรกตริก ซ์ข อง
พาราโบลา
• จุด คงที่ เรีย กว่า โฟกัส ของ
เส้น ตรง
พาราโบลา
คงที่( ไดเ จุด ใดๆบน
รกตริก ซ์) พาราโบลา
Y
X
O
แกนของพาราโบล
จุด ยอดของพาราโบลา
จุด คงที่ (โฟกัส )

5. 1. พาราโบลาที่ม จ ุด ยอดทีอ ยู่ ่
1. พาราโบลาที่มี ีจ ุด ยอดทีอ ยู
ที่จ ุด (0 ,, 0)
ที่จ ุด (0 0)
1) มีแ กน X เป็น แกนของพาราโบลา
x =Y Y x =
-c
D(- - c P(X, P(X, D(-
C,Y) Y) Y) C,Y)
V(0, F(c, F(c, V(0,
0) 0) 0) 0)
เมื่อ c > 0 เปิด เมื่อ c < 0เปิด
ทางขวา ทางซ้า ย

6. • กำาหนดให้ P(x, y) เป็นจุดใดๆบนพาราโบลา
และ PD ตั้งฉากกับไดเรกตริกซ์ที่จุด D(x, –c)
จากบทนิยามจะได้ PF = PD
ยกกำาลังสองทั้งสองข้างจะได้
ดังนัน
้

7. นั่น คือ สมการพาราโบลา
x 2 = 4cy
จุดยอดอยู่ที่จุด(0, 0) จุดโฟกัสอยู่ที่จุด(0,
c)
ไดเรกตริกซ์คือ เส้นตรง y = – c และมีแกน Y
เป็นแกนของพาราโบลา
ถ้า c > 0 แล้ว x2= 4cy เป็นสมการของพาราโบลา
ที่มีกราฟหงายขึ้น
ถ้า c < 0 แล้ว x2= 4cy เป็นสมการของพาราโบลา
ที่มีกราฟควำ่าลง

8. ตัวอย่างที่ 1 จงหาสมของการพาราโบลา จากสิ่งที่
กำาหนดให้ดังต่อไปนี้
(1) จุดโฟกัสอยู่ที่ (0, 5) และจุดยอดอยูที่ (0, 0)
่
จากโจทย์ จุดโฟกัสอยู่ที่ (0, 5) และจุดยอดอยูที่ (0, 0)
่
แสดงว่าแกนพาราโบลาคือ แกน Y (เส้นตรง x = 0)
c = 5 เป็นกราฟพาราโบลาหงาย
ขึ้น
ไดเรกตริกซ์คือเส้นตรง y = –5
ลาตัสเรกตัมยาวเท่ากับ | 4(5) | = 20 หน่วย
สมการอยูในรูป x2= 4cy
่
จะได้สมการ x2= 4(5)y

9. Y
(- 1
10,5 0 (10,
5
) 5)
X
-1 - 5 1
0 5 F(0, 0
- 5)
5

10. 2) มีแ กน Y เป็น แกนของ
พาราโบลา
Y Y
y = D(x,
F(0,
-c -c)
c) P(x,
X P(x,X
V(0, y) V(0
y = y)
0) D(x,-c) ,0) F(0,c
-c
)
เมื่อ c > 0 หงาย เมื่อ c < 0
ขึ้น ควำ่า ลง

11. • กำาหนดให้ P(x, y) เป็นจุดใดๆบนพาราโบลา
และ PD ตั้งฉากกับไดเรกตริกซ์ที่จุด D(– c, y)
ยกกำาลังสองทั้งสองข้าง
ดังนั้น

12. • นั่น คือ สมการพาราโบลา y2
= 4cx
จุดยอดอยู่ทจุด (0,0)
ี่ จุดโฟกัสอยู่ทจุด (C,0)
ี่
ไดเรกตริกซ์คือ เส้นตรง X = -C และมีแกน X เป็น
แกนของพาราโบลา
ถ้า C>0 แล้ว y2 = 4cx เป็นสมการของพาราโบลา
ที่มีกราฟทางขาว
ถ้า C<0 แล้ว y2 = 4cx เป็นสมการของพาราโบลา
ที่มีกราฟทางซ้าย

13. ข้อสังเกต
1) ระยะทางจากจุด ยอดไปยัง
โฟกัส เท่า กับ ระยะห่า ง ระหว่า งจุด
ยอดกับ ไดเรกตริก ซ์
2) แกนของพาราโบลาผ่า นจุด
ยอดและโฟกัส
3) แกนของพาราโบลาเป็น
แกนสมมาตร

14. ตัวอย่างที่ 2 จงหาสมการพาราโบลา จากสิงที่กำาหนดให้
่
ดังต่อไปนี้
(1) จุดโฟกัสอยู่ที่ (5, 0) และจุดยอดอยูที่ (0, 0)
่
วิธีทำา จากโจทย์ จุดโฟกัสอยู่ที่ (5, 0) และจุดยอดอยูที่
่
(0, 0)
แสดงว่าแกนพาราโบลาคือ แกน X (เส้นตรง y =
0)
c = 5 เป็นกราฟพาราโบลาเปิดทางขวา
ไดเรกตริกซ์คือเส้นตรง x = –5
ลาตัสเรกตัมยาว | 4(5) | = 20 หน่วย
สมการอยู่ในรูป y2 = 4cx จะได้สมการ y2=
4(5)x
ดังนั้นสมการพาราโบลาทีต้องการคือ y2= 20x
่

15. X= Y
-5 1 (5,
05 10)
F(5,
50) 1 X
0
- 0
5 -- (5,
15 -10)
0

16. จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (h , k)
1. เมื่อแกนของพาราโบลาขนานกับแกน X
การหาสมการพาราโบลาทีมจุดยอดอยู่ทจุด(h, k) และมี
่ ี ี่
แกนขนานกับแกน X
X = h-c X = h-c
Y Y P(x , P , Y
(x Y
´ y) y) ´
D D
V(h , F +c,
(h F +c,
(h V(h ,
X k) X
k) k) k)
´
X ´
X
0 0

17. กำาหนดให้ V(h, k) เป็นจุดยอด และ จุดโฟกัสอยู่ที่ F(h +
c, k) เมือเลื่อนแกนไปทีจุด (h, k) จะได้จุดยอด และ
่ ่
โฟกัสของพาราโบลาเมือเทียบกับแกนใหม่มพกัดเป็น (0,
่ ี ิ
0) และ (c, 0) ตามลำาดับ
• ถ้าให้ P(x´, y´) เป็นพิกัดของจุดบนพาราโบลาเมื่อ
เทียบกับแกนใหม่ จะได้สมการของพาราโบลาเมื่อ
เทียบกับแกนใหม่ คือ (y´)2= 4cx´
แต่ y´= y – k และ x´= x – h 2 3
ดัง นัน จะได้ส มการพาราโบลาเมือ เทีย บ
้ ่
กับ แกนเดิม คือ
(y – k) 2 = 4c(x – h)

18. นั่น คือ สมการพาราโบลา (y –
k) 2= 4c(x – h)
มีจ ุด ยอดอยู่ท ี่ (h, k)
โฟกัส อยู่ท ี่จ ุด (h +c, k)
ไดเรกตริก ซ์ค อ เส้น ตรง x = h – c
ื
แกนของพาราโบลาขนานกับ แกน X อยู่
บนเส้น ตรง y = k
ความยาวของลาตัส เรกตัม (L atus rectum)
เท่า กับ |4c | หน่ว ยเมือ c > 0 เป็น กราฟ
่
พาราโบลาเปิด ทางขวา
และ c < 0 เป็น กราฟพาราโบลาเปิด ทาง
ซ้า ย

19. 1. เมือ แกนของพาราโบลาขนานกับ
่
แกน Y
การหาสมการพาราโบลาที่มจุดยอดอยูทจุด(h, k) และมี
ี ่ ี่
แกนขนานกับแกน Y
Y(h ,k
F Y Y Y
P ,
(x
+ c) ´ Y = k-c ´
y) X
0 V(h ,
V(h , k) D
Y = k-c k) X P ,X
(x
0 D ´ F ,k
(h y) ´
X + c)

20. กำาหนดให้ V(h, k) เป็นจุดยอด และ จุดโฟกัสอยูที่ F(h , k
่
+ c) เมือเลื่อนแกนไปทีจุด (h, k) จะได้จุดยอด และโฟกัส
่ ่
ของพาราโบลาเมือเทียบกับแกนใหม่มพกัดเป็น (0, 0)
่ ี ิ
และ (0, c) ตาลำาดับ
• ถ้าให้ P(x´, y´) เป็นพิกัดของจุดบนพาราโบลาเมื่อ
เทียบกับแกนใหม่ จะได้สมการของพาราโบลาเมือ ่
เทียบกับแกนใหม่ คือ (x´)2= 4cy´
แต่ x´= x – h และ y´= y – k
ดัง นั้น จะได้ส มการพาราโบลาเมือ เทีย บกับ แกน
่
เดิม คือ
(x – h) 2= 4c(y – k)

21. นั่น คือ สมการพาราโบลา (x –
h) 2= 4c(y – k)
มีจ ุด ยอดอยูท ี่( h, k)
่
โฟกัส อยู่ท ี่จ ุด (h , k + c)
ไดเรกตริก ซ์ค อ เส้น ตรง y = k – c
ื
แกนของพาราโบลาขนานกับ แกน Y อยู่บ น
เส้น ตรง x = h
ความยาวของลาตัส เรกตัม (L atus rectum)
เท่า กับ |4c | หน่ว ย
เมือ c > 0 เป็น กราฟพาราโบลาหงายขึ้น
่
และ c < 0 เป็น กราฟพาราโบลาควำ่า ลง

22. ตัวอย่างที่ 3 จงหาสมการของพาราโบลา จากสิ่งที่
กำาหนดให้ดังต่อไปนี้
(1) จุดยอดอยู่ที่ (– 2, 3) และจุดโฟกัสอยูที่ (1, 3)
่
วิธีทำา จากโจทย์ จุดยอดอยูที่ V(– 2, 3) = V(h, k) จะได้
่
h=–2, k=3
จุดโฟกัสอยู่ที่ F(h + c, k) = F(1, 3)
จะได้ h + c = 1 ซึ่ง –2 + c = 1 : c = 3
แกนพาราโบลาขนานกับ X คือ เส้นตรง y = 3 (y
= k)
ไดเรกตริกซ์คือเส้นตรง x = – 5 (x = h – c = –2
– 3 = – 5)
เป็นกราฟพาราโบลาเปิดทางขวา (c >0)
ลาตัสเรกตัมยาวเท่ากับ | 4(3) | = 12 หน่วย
สมการอยู่ในรูป (y – k)2= 4c(x – h)

23. y 2– 6y + 9 = 12x + 24
y 2– 6y – 12x – 15 = 0
ดังนัน สมการพาราโบลาทีต้องการคือ y 2– 6y – 12x – 15
้ ่
= 0
Y Y (1,
´ 9)
V(- F(1,
2,3) 3) X
´X
X= F(1,-
-5 3)

24. ตัวอย่างที่ 4จงหาสมการของพาราโบลา ซึ่งมีจุดยอดอยู่ทจF(− เนิด)
ี่ ุดกำา 3,0
และโฟกัสอยู่ที่จุด 2
วิธีทำา นำาสิ่งทีกำาหนดให้ไปเขียนกราฟคร่าวๆ เพือดูว่า
่ ่
จัดอยู่ในสมการแบบใด จากกราฟจะได้สมการ
พาราโบลาอยูในรูป่ y2 = 4cx
จาก − 2,0
3
F( ) จะได้ − 3 =
c2
−2
3
นำา c = ไปแทนค่าในสมการ y2 = 4cx
จะได้ − 2y2 3
= 4( )x
ดัง นัน สมการของพาราโบลาที่ไ ด้ คือ
้
y 2 = -6x

25. สมาชิ
ก
1.) น.ส. กุลธร กลำ้ากระโทก ชัน ม.4/8 เลขที่ 11
้
2.) น.ส. ชญาภา ถีติปริวัตร ชัน ม.4/8 เลขที่ 12
้
3.) น.ส. ชีราพรรณ แก่นกลางดอน ชัน ม.4/8 เลข
้
ที่ 14
4.) น.ส. ธัญจิรา พวงทอง ชัน ม.4/8 เลขที่ 21
้
5.) น.ส. พภัสรา เดชอยู่ ชัน ม.4/8 เลข
้
ที่ 32