สรุปเนื้อหาความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087

1

ครู เสวตร

www.krusawed.wordpress.com

สรุปเนือหา ฟังก์ ชัน
้
1. คู่อนดับและผลคูณคาร์ ทเี ชียน
ั
คู่อนดับ หมายถึง การจับคู่สิ่งสองสิ่ งโดยถือลาดับเป็ นสาคัญ ถ้า
ั
a,b

เขียนแทนด้วย

( a,b)

เรี ยก

a

เป็ นสิ่งสองสิ่ง คู่อนดับ
ั
ว่า สมาชิกตัวหน้ า เรี ยก b ว่า สมาชิกตัวหลัง
a,b

การเท่ ากันของคู่อนดับ
ั
ถ้า

เป็ นจานวนจริ งใดๆ
( a , b)  ( c , d ) ก็ต่อเมื่อ a  c และ
( a , b)  ( c , d ) ก็ต่อเมื่อ a  c หรื อ

a , b , c ,d

ผลคูณคาร์ ทเี ชียน ของเซต

bd
bd

่ ั
และ B คือ เซตของคูอนดับ ( a , b) ทั้งหมด โดยที่ a
และ b เป็ นสมาชิกของเซต B ผลคูณของเซต A และเซต B
A

เป็ นสมาชิกของเซต A
เขียนแทนด้วย A B
ซึ่งเขียนในรู ปของเซตแบบบอกเงื่อนไขได้
A B { a, b | a  A และ b  B }

ตัวอย่ างที่ 1 จงหาผลคูณคาร์ทีเชียนในข้อต่อไปนี้เมื่อกาหนดให้
A  1, 3 , 4  และ B   2 , 3 
1.

A B 

2.

B A 

3.

A A

4.

B B 


2



สมบัติของผลคูณคาร์ ทเี ชียน
ให้ A , B , C เป็ นเซตใดๆ
1. A  B  B  A ก็ต่อเมื่อ A  B หรื อ A   หรื อ B  
2. A      A  
3. ถ้า A และ B เป็ นเซตจากัดแล้ว n( A  B)  n( A)  n(B)
4. A  (B  C)  ( A  B)  ( A  C)
5. A  (B  C)  ( A  B)  ( A  C)
6. A  (B  C)  ( A  B)  ( A  C)
ตัวอย่ างที่ 2 ถ้า n( A)  25 , n(B)  18 , n(C)  13 และ
1.

n( A  B) 

3.

n( A  C ) 

4.

n( A  ( B  C )) 

5.

n(( A  B)  ( A  C )) 

6.

n( A  ( B  C )) 

7.

n(( A  B)  ( A  C )) 

8.

n( A  ( B  C )) 

9.

n(( A  B)  ( A  C )) 

n( B  C )  6

2. n( B  C ) 

จงหาผลลัพธ์ในข้อต่อไปนี้


3



2. ความสั มพันธ์
ความสั มพันธ์ หมายถึง เซตของคู่อันดับ หรื อ เซตว่ าง

บทนิยาม กาหนดให้

และ B เป็ นเซตใดๆ
1. r เป็ นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r  A  B
นันคือสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อนดับใน r เป็ นสมาชิกของเซต
ั
่
เป็ นสมาชิกของเซต B
2.

A

A

และสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อนดับใน r
ั

่
เป็ นความสัมพันธ์ใน A ก็ตอเมื่อ r  A  A
นันคือสมาชิกตัวหน้าและตัวหลังของทุกคู่อนดับใน r เป็ นสมาชิกของเซต
ั
่
r

A

ตัวอย่ างที่ 3 กาหนดให้ A  2 , 3  และ B  3 , 4 
ความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็ นความสัมพันธ์จากเซตใดไปเซตใด
1. r1  (2 , 3) , (3, 4 )
2.

r2  (2 , 2) , (3 , 3 )

3.

r3  (3 , 2) , (4 , 3 )

4.

r4  (3 , 4) , (4 , 3 )

ตัวอย่ างที่ 4 กาหนดให้ A  2 , 4 , 5 , 6  และ B  5 , 6 , 7  จงหาความสัมพันธ์ในข้อต่อไปนี้
1. r1 เป็ นความสัมพันธ์ “ น้อยกว่า” จาก A ไป B

2.

r2

เป็ นความสัมพันธ์ “มากกว่า ” จาก

ไป

3.

r3

เป็ นความสัมพันธ์ “เป็ นรากที่สอง” ใน

A

4.

r4

เป็ นความสัมพันธ์ “หารลงตัว” จาก

ไป B

B

A

A


4


ตัวอย่ างที่ 5 กาหนดให้ A  0 ,1, 2 , 3  และ B  0 , 2 , 4 , 6, 8 
จงเขียนความสัมพันธ์ในข้อต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก
1.

r1  ( x, y)  A  B | x  y 

2.

r2  ( x, y)  B  A | y  x 

3.

r3  ( x, y) A  A | y  2 x 

4.

r4  ( x, y) B  B | y  x 2

5.

r5  ( x, y) A  B | y  x 2 

6.

r6  ( x, y) B  A | y  x  1







5



3. โดเมนและเรนจ์ ของความสั มพันธ์
ให้ r เป็ นความสัมพันธ์จาก A ไป B
1. โดเมนของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าทุกคู่อนดับที่เป็ นสมาชิกของ r
ั
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Dr
นันคือ Dr  x | ( x , y )r 
่
2. เรนจ์ของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหลังทุกคู่อนดับที่เป็ นสมาชิกของ r
ั
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Rr
นันคือ Rr   y | ( x , y )r 
่

หลักเกณฑ์ ทั่วไปในการหาโดเมนและเรนจ์ ของความสัมพันธ์
1. ความสั มพันธ์ ที่เขียนในรูปแบบแจกแจงสมาชิก
- หา Dr โดยการนาสมาชิกตัวหน้ าของคู่อันดับทุกคู่อันดับที่เป็ นสมาชิกของ r มาเขียนในรู ปเซตแบบแจกแจง
สมาชิก
- หา Rr โดยการนาสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับทุกคู่อันดับที่เป็ นสมาชิกของ r มาเขียนในรู ปเซตแบบแจกแจง
สมาชิก
ตัวอย่ างที่ 1 จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ในข้อต่อไปนี้
1. r = { (1 , 1) , (2 , 4) , ( 3 , 9) }
Dr =

Rr =

2. r = { (-1 , 1) , (-2 , 4) , ( -3 , 1) , (-4 , 7 ) }
Dr =

Rr =

3. r = { (1 , 0) , (2 , 5) , ( -1 , 0) , (-2 , 5 ) }
Dr =

Rr =


6



2. ความสั มพันธ์ ทเี่ ขียนในรูปแบบบอกเงือนไข
่
2.1 ) ถ้าสามารถแจกแจงสมาชิกให้แจกแจงสมาชิก แล้วหาเหมือนกับข้อ 1.
ตัวอย่ างที่ 2 จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ต่อไปนี้
1.

r  { x, y   N  N | y 

x
2

และ

x  8}

Rr 

Dr 

2.

r  { x, y   N  N | x  y  3

และ

Rr 

Dr 

3.

r   x, y   N  N | x 2  y 2  25

Rr 

Dr 

4.

x  6}

r   x, y   I  I | x 2  y 2  25

Rr 

Dr 

2.2 ) ถ้าไม่สามารถแจกแจงสมาชิกได้
- หา Dr โดยการจัด y ในรู ปของ
- หา R r โดยการจัด x ในรู ปของ

x

y

แล้วพิจารณาค่าของ x ที่ทาให้หาค่า
แล้วพิจารณาค่าของ y ที่ทาให้หาค่า

y
x

ได้
ได้


7


สามารถแยกโจทย์ ได้ คร่ าวๆดังนี้
1. ความสั มพันธ์ ที่มเี งื่อนไขเป็ นสมการเชิงเส้ น
1. r  ( x , y)R  R | y  2x  3 

2. r  ( x , y)R  R |

2x  y  3  0



2. ความสั มพันธ์ ที่มเี งื่อนไขในรูปของเศษส่ วนของพหุนาม
ถ้า

aR

และ

bR

แล้ว

a
R
b

เมื่อ

b0

1.

2x  3 

r   ( x , y ) R  R | y 

x5 


2.

3x  2 

r   ( x , y ) R  R | y 

x 1 




3.

8


3  4x


r   ( x , y ) R  R | y 
1 
2x  1



3. ความสั มพันธ์ ที่มเี งื่อนไขในรูปของเครื่องหมายกรณฑ์
ถ้า x  R แล้ว x  0 เมื่อ x  0
1. r = { ( x , y )  y  x   }

2. r = { ( x , y ) 

y  x   

}



3. r = { ( x , y ) 

y   2x  3  5 }

4. r = { ( x , y ) 

y  x   

5. r = { ( x , y ) 

y  9  x2

}

}

9




10


4. ความสั มพันธ์ ที่มเี งื่อนไขในรูปของตัวแปรกาลังสอง
่
กาหนดให้ a  R และ b  R จะได้วา
1)
2)

a 2  2ab  b 2  a  b

และ  a  b 2  0 เสมอ
2
2
a 2  2ab  b 2  a  b และ  a  b   0 เสมอ
2

1. r  ( x , y)R  R | y  x 2  6x  2 



2.

r  ( x , y ) R  R | y   x 2  2 x  2

3.

r  ( x , y ) R  R | x  y 2  4 y  9









4. r  ( x , y)R  R | y 2  4  x 2

11



5. r  ( x , y)R  R | 2x 2  3 y 2 12 

5. ความสั มพันธ์ ทมเี งือนไขในรูปของค่ าสั มบูรณ์
ี่ ่
ถ้า a  R และ x  R
1) x  0
2) x  a ก็ต่อเมื่อ
3)

x a

ก็ต่อเมื่อ

a  x  a
xa

หรื อ

x a

1. r  ( x , y)R  R | y  | x  3 | 




12


2. r  ( x , y)R  R | x  | 2 y  5 | 

3. r  ( x , y)R  R | y  2 | 4  x | 1 

นอกจากนี้ยงมีความสัมพันธ์ที่มีเงื่อนไขในรู ปอื่นๆอีกมากมายดังต่อไปนี้
ั


1. r   ( x , y) R  R | y 




x2 1 
2



2.

13





5
r   ( x , y ) R  R | y 

x 2  2x  3 


3. r   ( x , y) R  R | y 




2

| x  1 | 1 

4. อินเวอร์ สของความสั มพันธ์
บทนิยาม อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r คือ ความสัมพันธ์ซ่ ึงเกิดจากการสลับที่ของสมาชิกตัว
หน้าและสมาชิกตัวหลัง ในแต่ละคู่อนดับที่เป็ นสมาชิกของ r เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ r 1
ั
ดังนั้น r 1   ( y , x) | ( x , y) r 
หมายเหตุ D r  R r และ R r  D r
1

การหาอินเวอร์ สของความสั มพันธ์

1

r

ทาได้ ดงนี้
ั

1. ถ้ าความสั มพันธ์ เป็ นแบบแจกแจงสมาชิก ทาได้โดยการสลับที่ระหว่างสมาชิกตัวหน้าและ
สมาชิกตัวหลังทุกคู่อนดับที่เป็ นสมาชิกของ r
ั


14



ตัวอย่ างที่ 1 จงหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ในข้อต่อไปนี้
1. r  (, ) , (  , ) , ( ,  )

2. r  (  , ) , (  ,  ) , ( , )

2. ถ้ าความสั มพันธ์ เป็ นแบบบอกเงื่อนไขทาได้ 2 วิธี ดังนี้
2.1 สลับที่ระหว่าง x และ y ที่คู่อนดับ แต่เงื่อนไขเหมือนเดิม
ั
2.2 สลับที่ระหว่าง x และ y ที่เงื่อนไข โดยแทนที่ x ด้วย y และแทนที่
ของ x ถ้าสามารถทาได้ แต่ที่คู่อนดับยังคงเขียนเป็ น ( x , y ) รู ปเดิม
ั
ตัวอย่ างที่ 2 จงหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ในแต่ละข้อต่อไปนี้
1. r  ( x , y) | y  2x  3 

2.

2x  1 

r  ( x , y) | y 

x5 


y

ด้วย

x

แล้ว จัด

y

ในรู ป


ตัวอย่ างที่ 3 จงหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ในข้อต่อไปนี้
1. r  ( x , y) | y  x  5 



2.

r  ( x , y ) | y  3x  1  1

3.

r  ( x , y) | y  x 2  3

4.

r  ( x , y) | y  x3  1











15




16



5. ฟังก์ชัน
1. ความหมายของฟังก์ชัน
บทนิยาม ฟังก์ชน คือ ความสัมพันธ์ ซึ่งจะไม่ มีคู่อนดับสองคู่ใดๆในความสัมพันธ์น้ ีที่มีสมาชิก
ั
ั
ตัวหน้ าเหมือนกัน แต่สมาชิกตัวหลังต่ างกัน
นันคือ f จะเป็ นฟังก์ชนก็ต่อเมื่อ ( x, y1 ) f และ ( x, y 2 )f แล้ว y1  y 2
ั
่
กรณี ความสั มพันธ์ เขียนแบบแจกแจงสมาชิก
่
ตัวอย่ างที่ 1 จงพิจารณาดูวา ความสัมพันธ์ r ต่อไปนี้เป็ นฟังก์ชนหรื อไม่
ั
1. r = { (2,2 ),(-2, 2),(3,3),(-3,3),(4,4),(-4,4) }

2. r = {(-3,2),(-2,1),(2,2),(3,2),(2,-2) }

กรณี ความสั มพันธ์ เขียนบอกเงือนไข (ที่นิยมใช้ มี 3 วิธี)
่
1. จากเงื่อนไข เขียน y ในรู ปของ x ถ้าแต่ ละค่าของ x หาค่า y ได้เพียงค่าเดียวเท่านั้น
สรุ ปว่า r เป็ นฟังก์ ชัน
่
2. กาหนดความสัมพันธ์ ( x , y )  r และ ( x , z)  r ถ้าสามารถแสดงได้วา y = z
แล้ว r เป็ นฟังก์ ชัน
3. เขียนกราฟของความสัมพันธ์ แล้วลากเส้นตรงขนานแกน y ถ้า ตัดกราฟเพียงจุดเดียว
แล้ว r เป็ นฟังก์ ชัน ถ้าตัดกราฟมากกว่าหนึ่งจุด r ไม่ เป็ นฟังก์ ชัน
ตัวอย่ างที่ 2 กาหนดความสัมพันธ์ r = { (x,y) RxR | 2x +3 y = 6 } r เป็ นฟังก์ชนหรื อไม่
ั

ตัวอย่ างที่ 3 กาหนดความสัมพันธ์ r = {(x,y)  R  R  |

x  y 2 4 }

r เป็ นฟังก์ชนหรื อไม่
ั


ตัวอย่ างที่ 4 กาหนดความสัมพันธ์ r1 และ
1) r1  x, y   R  R y  x 2  1

r2

17



จงพิจารณาว่า r1 และ r2 เป็ นฟังก์ชนหรื อไม่
ั
2) r2  x, y   R  R x  y 2  1

ข้ อตกลงเกี่ยวกับสั ญลักษณ์
ถ้า ความสัมพันธ์ f เป็ นฟังก์ชน แล้ว เราจะเขียน y  f (x) แทน ( x , y) f และเรี ยก
ั
f (x) ว่าเป็ น ค่ าของฟั งก์ ชัน f ที่ x อ่านว่า เอฟของเอกซ์ หรื อ เอฟที่เอกซ์ หรื อ เอฟเอกซ์

ตัวอย่ างที่ 5 กาหนดให้

 2x  3

f ( x)   x 2  2 x  1
 x3


; x 2
;  2 x 3
; x 3

จงหาค่าในแต่ละข้อต่อไปนี้
1.

f (1)

2.

f (3)

3.

f (5)

4.

f (2)  f (4)

ตัวอย่ างที่ 6 กาหนดให้ f ( x  2)  2x  3 และ
จงหาค่าในแต่ละข้อต่อไปนี้
1. f (2)

3.

f (x)

g (2 x  1)  x 2  2 x  5

2.

g (1)

4. g x 


18



2. ฟังก์ ชันจากเซตหนึ่งไปเซตหนึ่ง
2.1) ฟังก์ ชันจากเซต A ไป เซต B
บทนิยาม กาหนด A และ B เป็ นเซต f เป็ นฟังก์ชนจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ
ั
1. f เป็ นฟังก์ชน
ั
2. D f  A
3. R f  B
สั ญลักษณ์ f เป็ นฟังก์ชนจากเซต A ไป B เขียนแทนด้วย f : A  B
ั
ตัวอย่ างที่ 1 กาหนดให้ A  1, 2,3, 4 และ B  1, 2,3, 4,5,6,7,8
ฟังก์ชนใดต่อไปนี้เป็ นฟังก์ชนจากเซต A ไปเซต B
ั
ั
1.

2.

f  x, y   A  B y  2 x  1





g  x, y   A  B y  x 2  1

3. h  x, y   A  B y  x  2

2.2) ฟังก์ ชันจากเซต A ไปทั่วถึง B
บทนิยาม กาหนด A และ B เป็ นเซต f เป็ นฟังก์ชนจาก A ไปทัวถึง B ก็ต่อเมื่อ
ั
่
1. f เป็ นฟังก์ชน (สมาชิกตัวหน้ าห้ ามซ้า)
ั
2. D f  A
3. R f  B
สั ญลักษณ์ f เป็ นฟังก์ชนจาก เซต A ไปทัวถึง B
ั
่



เขียนแทนด้วย f : A ง B หรื อ f : A onto B
ทัวถึ
่


19



2.3) ฟังก์ ชันหนึ่งต่ อหนึ่งจาก A ไป B
บทนิยาม กาหนดให้ f : A  B
ั
ั
f เป็ นฟั งก์ชนหนึ่ งต่อหนึ่ งจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ ไม่ มีคู่อนดับสองคู่ใดๆใน f ที่สมาชิกตัวหลังเหมือนกัน
แต่สมาชิกตัวหน้ าต่ างกัน
11
สั ญลักษณ์ f เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B เขียนแทนด้วย f : A  B
ั
ตัวอย่ างที่ 2 กาหนดให้
ไปได้ท้งหมด
ั

A  1 , 3 , 4

ตัวอย่างที่ 3 จงพิจารณาว่าฟั งก์ชน
ั

 และ

f

B  2,5 

และ

g

จงเขียนฟังก์ชนจาก
ั

A

ไป

B

ที่เป็ น

เป็นฟังก์ชนหนึ่ งต่อหนึ่ งหรื อไม่
ั

1.

f   0, 1 , 1,0  ,  2, 2  ,  3,1 ,  4, 3

2.

g  1, 2  ,  2, 4  ,  3,3 ,  4,6  , 5,3

กรณี ฟังก์ ชันเขียนแบบบอกเงื่อนไข ที่นิยมใช้ มี 3 วิธี คือ
1. จากเงื่อนไข เขียน x ในรู ปของ y ถ้าแต่ ละค่าของ y หาค่า x ได้เพียงค่าเดียวเท่านั้น
สรุ ปว่า r เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง
ั
่
2. กาหนดความสัมพันธ์ ( x 1 , y )  r และ ( x 2 , y)  r ถ้าสามารถแสดงได้วา x 1 = x 2 แล้ว
r เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง
ั
3. เขียนกราฟของความสัมพันธ์ แล้วลากเส้นตรงขนานแกน x ถ้าตัดกราฟเพียงจุดเดียว
r เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง
ั


20



ตัวอย่ างที่ 3 กาหนดฟังก์ชน f = {(x,y)RxR | y  x }
ั
จงตรวจสอบว่า f เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งหรื อไม่
ั

ตัวอย่ างที่ 6 กาหนดฟังก์ชน f = {(x,y) )RxR | y  x 2  1 }
ั
่
จงตรวจสอบดูวา f เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งหรื อไม่
ั

3. ชนิดของฟังก์ชัน
่
1. ฟังก์ ชันเชิงเส้ น คือ ฟังก์ชนที่อยูในรู ป
ั
เป็ นเส้นตรง เช่น
1.1) y  x  1

y  mx  b

เมื่อ

m ,b

1.2)

เป็ นจานวนจริ ง และ m  0 ซึ่งกราฟของฟังก์ชนจะ
ั

y  2 x  3


2. ฟังก์ ชันกาลังสอง
่
ฟังก์ชนกาลังสอง คือ ฟังก์ชนที่อยูในรู ป
ั
ั
และ a  0 ซึ่งกราฟมีลกษณะดังนี้ เช่น
ั
1. y  x2  4x 12

2.

y   x2  2x  3

21


y  k  a( x  h)2

เมื่อ

a,h,k




3. ฟังก์ ชันค่าสั มบูรณ์
่
ฟั งก์ชนค่าสัมบูรณ์ คือ ฟังก์ชนที่อยูในรู ป
ั
ั
และ a  0 ซึ่งกราฟมีลกษณะดังนี้ เช่น
ั
กรณี a  0

เช่น 1.

y 1  2 x  2

22

yk  a xh

เมื่อ

a,h,k

กรณี


a0

2.


y  2  3 x  1


4. ฟังก์ ชันเอกซ์ โพเนนเชียล
่
ฟังก์ชนเอกซ์โพเนนเชียล คือฟังก์ชนที่อยูในรู ป
ั
ั
กรณี a  1

เช่น 1.

y2

x

23



เมื่อ a  0 และ a  1 กราฟของฟังก์ชนจะมีลกษณะดังนี้
ั
ั
กรณี 0  a  1

y  ax

2.

1
y  
3

x


24


ข้ อสอบ O-NET ฟังก์ชัน
1)

2)

3)

4)


สรุปเนื้อหาความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to สรุปเนื้อหาความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

More from sawed kodnara

สรุปเนื้อหาความสัมพันธ์และฟังก์ชัน