เลขยกกำลัง ระดับชั้น ม.4

1. 1
เอกสารประกอบการเรี ยนวิชาคณิตศาสตร์ ค 31101 เรื่ อง เลขยกกาลัง ระดับชั้นม.4
กรณฑ์
บทนิยาม รากที่ n ของจานวนจริ ง
ให้ x, y เป็ นจานวนจริ ง และ n เป็ นจานวนเต็มบวกที่มากกว่า y เป็ นรากที่ n ของ x ก็ต่อเมื่อ
yn  x
บทนิยาม ค่าหลักของรากที่ n
ให้ x เป็ นจานวนจริ งที่มีรากที่ n จานวนจริ ง y จะมีค่าหลักของรากที่ n ของ x ก็ต่อเมื่อ
1. y เป็ นรากที่ n ของ x
2. yx  0
แทนค่าหลักของรากที่ n ของ x ด้วย n x
รากที่ n ของ x แยกพิจารณาตามจานวนเต็มบวก n ว่าเป็ นจานวนคู่หรื อจานวนคี่ และ เปรี ยบเทียบ
กันได้ ดังนี้
n เป็ นจานวนคู่
1. รากที่ n ของ x จะหาค่าได้ก็ต่อเมื่อ
x0
2. ถ้า x = 0 แล้วรากที่ n ของ x คือ 0
3. ถ้า x > 0 แล้วรากที่ n ของ x จะมี
2 จานวน จานวนหนึ่ งเป็ นบวก และ
n เป็ นจานวนคี่
1. รากที่ n ของ x จะหาค่าได้เสมอ
สาหรับจานวนจริ งทุกจานวน
2. ถ้า x = 0 แล้วรากที่ n ของ x คือ 0
3. ถ้า x > 0 แล้วรากที่ n ของ x จะมีเพียง
จานวนเดียวและเป็ นจานวนจริ งบวก
อีกจานวนหนึ่งเป็ นลบ
4. ถ้า x < 0 แล้ว ไม่สามารถหารากที่ 4. ถ้า x < 0 แล้ว รากที่ n ของ x จะมีเพียง
n ของ x ได้ ในระบบจานวนจริ ง
จานวนเดียวและเป็ นจานวนจริ งลบ
ตัวอย่างที่ 1
1) รากที่ 4 ของ 16 คือ 2 และ -2
2) รากที่ 3 ของ -343 คือ 7
3) รากที่ 6 ของ 0 คือ 0
4) รากที่ 7 ของ 5 คือ 7 5
5) รากที่ 4 ของ -81
เพราะว่า 24  16 และ (2)4
เพราะว่า (7)3   343
เพราะว่า 06  0
เพราะว่า ( 7 5)7  5
ไม่มี ในระบบจานวนจริ ง
เรี ยบเรี ยงและจัดทาโดยนางสาวศิริกญญา กิตติวุฒิ โรงเรี ยนสุราษฎร์พิทยา
ั
 16

2. 2
เอกสารประกอบการเรี ยนวิชาคณิตศาสตร์ ค 31101 เรื่ อง เลขยกกาลัง ระดับชั้นม.4
ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าหลักของ 3 29 (ตอบเป็ นทศนิยม 2 ตาแหน่ง)
วิธีทา หาจานวนจริ ง x ที่ x 3 มีค่าใกล้เคียง 29
จาก
33  27
หาจานวนจริ ง x ที่มีค่ามากกว่า 3 และ x 3 มีค่าใกล้เคียง 29
เช่น
(3.1)3  29.791
(3.08)3  29.218
(3.07)3  28.934
(3.05)3  28.373
ดังนั้น
3.07
เป็ นค่าประมาณที่มีทศนิยม 2 ตาแหน่งของ
3
29
ตารางแสดงสมบัตของรากที่ n
ิ
สมบัตของรากที่ n
ิ
1.
n a 




n
 a
เมื่อ
ตัวอย่าง
na
เป็ น  3 2 
5
3 , 5  4    4




จานวนจริ ง
เมื่อ a  0
n n
a
 a เมื่อ a < 0 และ n
เป็ นจานวนคี่บวก
n n
a
 a เมื่อ a<0 และ n
เป็ นจานวนคู่บวก
2. n a n
 a
32
 3 ,
5 5
8
 8
4 (3) 4

3
 3
6 (2) 6

2
 2
สมบัตของรากที่ n
ิ
3. n ab  n a  n b
ตัวอย่าง
32

16  2

16  2
3 250
na
nb

na
nb
, b0
3 5
27


 3 (125)  3 2
 3 (125)( 2)
4 16
81
4.
35
3 27
4 16
4 81


 4 2
35
3
4 4
2
4 4
3

เรี ยบเรี ยงและจัดทาโดยนางสาวศิริกญญา กิตติวุฒิ โรงเรี ยนสุราษฎร์พิทยา
ั
2
3
  53 2

3. 3
เอกสารประกอบการเรี ยนวิชาคณิตศาสตร์ ค 31101 เรื่ อง เลขยกกาลัง ระดับชั้นม.4
ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่าของ
วิธีทา
12  27 
12  27  3
3  43  93  3
 2 3 3 3  3
 (2  3  1) 3
4 3
ในการหาผลคูณและผลหารของจานวนที่ติดกรณฑ์ ถ้าอันดับของกรณฑ์ไม่เท่ากันต้องทาให้
เท่ากันเสียก่อน จึงคูณหรื อหารกันได้ และใช้สมบัติของรากที่ n ที่ว่า เมื่อ x > 0 หรื อ y > 0 จะได้ว่า
1. x y  xy และ n x n y  n xy
x

y
2.
x
y
และ
n
n
x

y
n
x
y
ตัวอย่างที่ 4
1)
2)
5  7  5  35
7
3
2
3
3  3 23  3 6
ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่าของ (3 5  7 2)( 5  3 2)
วิธีทา เนื่องจาก (a  b)(c  d)  ac  ad  bc  db
ให้ a  3 5, b  7 2, c  5, d  3 2
จะได้ (3 5  7 2)( 5  3 2)  15  9 10  7
  27  2 10
ตัวอย่างที่ 6 จงหาค่าของ
วิธีทา
53 3  7 3
1
1
5 3 3  7 3  5(2) 3  7(3) 2
1 2

1 3

3
 5(2) 3 2  7(3) 2
2
3
 5(2) 6  7(3) 6
1
1
 5(22 ) 6  7(33 ) 6
1
 35(4  27) 6
 35 6 108
เรี ยบเรี ยงและจัดทาโดยนางสาวศิริกญญา กิตติวุฒิ โรงเรี ยนสุราษฎร์พิทยา
ั
10  42

4. 4
เอกสารประกอบการเรี ยนวิชาคณิตศาสตร์ ค 31101 เรื่ อง เลขยกกาลัง ระดับชั้นม.4
ตัวอย่างที่ 7 จงหาร
วิธีทา
52
3 1
ด้วย
5 2 2 3


3 1
5 2
2 3
5 2
5 2
5 2

3 1 2  3
( 5  2)( 5  2)
( 3  1)(2  3)
54

2 3 32 3
1

3 1


1
3 1
3 1
3 1
3 1
3 1
3 1

2

เรี ยบเรี ยงและจัดทาโดยนางสาวศิริกญญา กิตติวุฒิ โรงเรี ยนสุราษฎร์พิทยา
ั

5. 5
เอกสารประกอบการเรี ยนวิชาคณิตศาสตร์ ค 31101 เรื่ อง เลขยกกาลัง ระดับชั้นม.4
คาชี้แจง
ใบงานที่ 1
ให้นกเรี ยนเติมคาตอบลงในช่องว่างแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถกต้องสมบูรณ์
ั
ู
1. รากที่ 3
ของ - 152 คือ.................................................................................
2. รากที่ 5 ของ 243 คือ.................................................................................
3. รากที่ 6 ของ 64 คือ..................................................................................
4. รากที่ 4 ของ 256 คือ.................................................................................
5. ค่าหลักของรากที่ 3 ของ - 64 คือ.................................................................
6. ค่าหลักของรากที่ 4 ของ 16 คือ..................................................................
7. ค่าหลักของรากที่ 5 ของ 100,000 คือ..........................................................
8. จงเขียนจานวนต่อไปนี้ ให้อยูในรู ปอย่างง่าย
่
8.1 10  8 = …………………………………………………………
8.2 3 3027 = …………………………………………………………
8.3 4 8  4 50 = ………………………………………………………...
คะแนนที่ได้ = …………………………
ผูตรวจ …………………………………..
้
วันที่ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ………
เรี ยบเรี ยงและจัดทาโดยนางสาวศิริกญญา กิตติวุฒิ โรงเรี ยนสุราษฎร์พิทยา
ั

6. 6
เอกสารประกอบการเรี ยนวิชาคณิตศาสตร์ ค 31101 เรื่ อง เลขยกกาลัง ระดับชั้นม.4
สาหรับเลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็ นจานวนตรรกยะที่จะกล่าวต่อไปนี้ จะให้นิยามของเลขยกกาลัง
โดยอาศัยความหมายของรากที่ n ของ a เป็ นจานวนจริ ง ซึ่งก่อนจะกล่าวถึงเลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็ น
จานวนตรรกยะใด ๆ จะให้บทนิยามเลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็ น
1
n
เมื่อ n เป็ น จานวนเต็มบวกก่อน ดังนี้
บทนิยาม เมื่อ a เป็ นจานวนจริ ง n เป็ นจานวนเต็มที่มากกว่า -1 และ a มีรากที่ n แล้ว
1
an  n a
ตัวอย่างที่ 1
1
2
และ
4  4
1
3
(4 )  4
1
3 3
และ
8  8
3
1
2 2
(8 )  8
บทนิยาม ให้ a เป็ นจานวนจริ ง m, n เป็ นจานวนเต็มที่
n > 0 และ
m
n
เป็ นเศษส่วนอย่างต่า จะ
ได้ว่า
a
a
m
n
m
n
1
n m
 (a )
1
m n
 (a )
2
ตัวอย่างที่ 2 จากบทนิยาม
 ( n a )m

n
am
1
2 3  (2 3 )2  ( 3 2) 2
2
1
และ 2 3  (22 ) 3  ( 3 4)
สมบัตของเลขยกกาลัง
ิ
ให้ a และ b เป็ นจานวนจริ ง m และ n เป็ นเลขชี้กาลังที่เป็ นจานวนตรรกยะ จะได้ว่า
1.
2.
3.
4.
a m  a n  a mn
a m  bm  (a  b)m
(a m )n  a mn
a m  a n  a mn , a  0
n
an  a 
5. n    , b  0
b
b
1
ตัวอย่างที่ 3
(27a 3 ) 6
วิธีทา
(27a 3 ) 6  (27) 6 (a 3 ) 6
1
1
1
1
1
 (33 ) 6 (a 3 ) 6
1
1
 (3 2 )(a 2 )
1
 (3a) 2
เรี ยบเรี ยงและจัดทาโดยนางสาวศิริกญญา กิตติวุฒิ โรงเรี ยนสุราษฎร์พิทยา
ั

7. 7
เอกสารประกอบการเรี ยนวิชาคณิตศาสตร์ ค 31101 เรื่ อง เลขยกกาลัง ระดับชั้นม.4
ใบงานที่ 2
ให้นกเรี ยนเติมคาตอบลงในช่องว่างแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถกต้องสมบูรณ์
ั
ู
คาชี้แจง
ข้ อที่
1
คาถาม
จงเขียนจานวนต่อไปนี้ให้อยูรูปเลขยกกาลัง
่
1.1
1.2
1.3
1.4
2
4
64 3
1.1 ……………………
3
512
1.2……………………
3
 125
5
1.3……………………
1
32
1.4……………………
จงเขียนจานวนต่อไปนี้ให้อยูรูปกรณฑ์
่
2.1
1
(243 ) 5
2.2
2
( 27 ) 3
2.3
3
4
(16 )
2.4
3
คาตอบ
3
2
(144 )
2.1 ……………………
2.2……………………
2.3……………………
2.4……………………
จงหาค่าของจานวนต่อไปนี้
2
3.1
(1024 ) 5
3.2
1
[( 8) 4 ] 6
3.1 ……………………
3.2…………………….
คะแนนที่ได้ = …………………………
ผูตรวจ …………………………………..
้
วันที่ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ………
เรี ยบเรี ยงและจัดทาโดยนางสาวศิริกญญา กิตติวุฒิ โรงเรี ยนสุราษฎร์พิทยา
ั