สื่อการเรียนรู้เรื่อง ภาคตัดกรวย

2. บันทึกเพิ่มเติม
……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………….. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. .............................................................................................
จงเขียนกราฟของสมการ (x + 2)2 + (y – 3)2 = 16
วิธีทำ กราฟของสมการที่กาหนดให้เป็นวงกลม ในการเขียนกราฟ จะต้อง ทราบตาแหน่งของจุดศูนย์กลางและความยาวของรัศมีของวงกลม ซึ่งหาได้โดยการ เทียบสมการที่กาหนดให้กับรูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลม จะพบว่า h = -2,
k = 3 และ r – 4 ดังนั้น วงกลมมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (-2, 3) และรัศมียาว 4 หน่วย การเขียนวงกลมขั้นแรก ลงจุด ศูนย์กลางที่จุด (-2, 3) และเนื่องจาก รัศมีของวงกลมยาว 4 หน่วย ลงจุดอีก 4 จุดห่างไปจากจุดศูนย์กลางไปทางด้านซ้าย ทางด้านขวา ทางด้านล่าง และทางด้านบน 4 หน่วย แล้ววาดวงกลมผ่านจุด 4 จุดนี้จะได้วงกลมดังแสดงในรูป
ไปดูข้อต่อไปกัน

3. ไฮเพอร์โบลำตะแคง
สมการไฮเพอร์โบลาคือ
ถ้าจุดศูนย์กลางของสมการ c อยู่ที่จุด (0,0) เรา จะได้สมการไฮเพอร์โบลาที่จุดกาเนิดดังนี้
สังเกตว่าหน้า x เป็นบวก ดังนั้นแกนตามขวาง จึงวางตัวในแนวแกน x (a อยู่กับ x)แกนตาม ขวาง (แกนที่ลากตัดกึ่งกลางของกราฟ) มีความ ยาวเป็น 2a
แกนสังยุค มีความยาวเป็น 2b
ระยะโฟกัส มีความยาว
ไฮเพอร์โบลำตั้ง
สมการไฮเพอร์โบลาคือ
ถ้าจุดศูนย์กลางของสมการ c อยู่ที่จุด (0,0) เรา จะได้สมการไฮเพอร์โบลาที่จุดกาเนิดดังนี้
สังเกตว่าหน้า x เป็นบวก ดังนั้นแกนตามขวาง จึงวางตัวในแนวแกน x (a อยู่กับ x)แกนตาม ขวาง (แกนที่ลากตัดกึ่งกลางของกราฟ) มีความ ยาวเป็น 2a
แกนสังยุค มีความยาวเป็น 2b
ระยะโฟกัส มีความยาว
คำนำ
ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic) ในทางคณิตศาสตร์คือเส้นโค้งที่ ได้จากการตัดพื้นผิวกรวยกลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนี้ถูกตั้งเป็นหัวข้อศึกษา ตั้งแต่สมัย 200 ปีก่อนคริสต์ศักราชโดย อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผู้ซึ่งศึกษาภาค ตัดกรวยและค้นพบสมบัติหลายประการของภาคตัดกรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาค ตัดกรวยถูกนาไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133 (ค.ศ. 1590) กาลิ เลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิงขึ้นไปในมุมที่กาหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบ พาราโบลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์ พบว่าวงโคจรของดาว เคราะห์รอบนอกเป็นรูปวงรี ภาคตัดกรวยนั้นยังเป็นเนื้อหาที่ใช้เรียนในระดับชั้น มัธยมศึกษาปีที่ 4 อีก ตามหลักสูตรของกระทรวงศึกษาธิการ
ดังนั้นแล้วผู้จัดทาเล็งเห็นว่าเรื่องนี้อยู่รอบตัวในการใช้ชีวิตประจาวันทั่วไป ผู้จัดทาเลยจัดทาสื่อนี้ขึ้นเพื่อเป็นประโยชน์ต่อผู้อ่าน เพื่อให้ผู้อ่านนั้นได้พัฒนาความรู้ และน้าความรู้ไปต่อยอด เพราะเนื้อหาในนี้นั้นล้วนแต่เป็นเนื้อหาที่สรุปสั้นๆ เข้าใจง่าย ต่อการศึกษา
นายเสฏฐวุฒิ เรืองบุญ
ผู้จัดทา

4. สำรบัญ
คานา ก
สารบัญ ข
แผนผัง ค
ภาคตัดกรวย 1
จุดกาเนิดภาคตัดกรวย 1
การศึกษาภาคตัดกรวย 1
วงกลม 3
พาราโบลา 5
วงรี 7
ไฮเปอร์โบลา 10
ตัวอย่าง 12
เตรียมตัวกันให้ พร้อมนะจ้ะ
หลายคนอาจจะยังไม่รู้จักว่าไฮเพอร์โบลาคืออะไร เรามาลองทาความรู้จักกันมันดูกันนะ ครับ สมการไฮเพอร์โบลาในปัจจุบันได้ถูกตั้งชื่อโดยนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกที่ชื่อว่า Apollo- nius ต่อมานักคณิตศาสตร์ชื่อ Pappus ได้ค้นพบจุดที่เรียกว่าจุดโฟกัส (Focus) และเส้น ไดเรกตริกซ์ (Directrix) โดยสมการไฮเพอร์โบลานี้มีรูปร่างมาจากวงโคจรของดาวบริวารรอบ ดวงอาทิตย์
นิยำมของสมกำรไฮเพอร์โบลำ
ไฮเพอร์โบลา (Hyperbola) คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งผลต่างของระยะทางจากจุด ใดๆไปยังจุด F1 และ F2 ที่ตรึงอยู่กับที่มีค่าคงตัว โดยค่าคงตัวน้อยกว่าระยะห่างระหว่างจุด คงที่ที่ตรึงอยู่กับที่ทั้งสอง จุด F1 และ F2 ดังกล่าวนี้เรียกว่า โฟกัส (Focus) ของไฮเพอร์โบลา
ให้ระยะทางจากจุด F1 และ F2 ไปยังเส้นกราฟมีค่าเท่ากับ r1=F1 และ r2=F2 และ ระยะทางระหว่างจุด F และจุด F2 มีค่าเท่ากับ 2c หรือเรียกอีกอย่างว่าค่า k ซึ่งค่า k นี้จะมีค่า เป็นบวกเสมอ
r2-r1 = k
ถ้าจุด P ซึ่งอยู่บนเส้นกราฟด้านซ้ายมืออยู่บนแกน x แล้ว
k = (c+a) – (c-a) = 2a
ดังนั้นเราสามารถคานวณค่า k=2a ได้ หรือนั่นก็คือระยะทางระหว่างจุดยอดของกราฟ ไฮเพอร์โบลาทั้งสอง ข้อสังเกตุคือเส้นกราฟพาราโบลาที่เกิดจาดจุดโฟกัส F1 จะมีเส้นกราฟที่ เกิดจาด F2 สะท้อนเหมือนกันอยู่ในฝั่งตรงข้ามเสมอ

5. จงเขียนรูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลมที่มีรัศมียาว 3 หน่วย และจุดศูนย์กลาง อยู่ที่ (2, - 1)
วิธีทา จากรูปแบบมาตรฐานของวงกลม (x – h)2 + (y – k)2 = r2
แทน r, h และ k ด้วย 3, 2 และ -1 ตามลาดับ
(x – 2)2 + (y – (-1))2 = 32
(x – 2)2 + (y + 1)2 = 9
รูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลมที่มีรัศมียาว r หน่วย และจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด กาเนิด (0, 0) คือ x2 + y2 = r2
วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกาเนิดและรัศมียาว 1 หน่วย เรียกว่า วงกลมหนึ่งหน่วย (unit circle) และมีสมการเป็น x2 + y2 = 1 ดังแสดงในรูป
จากสมการของวงกลมในตัวอย่างที่ 2
(x – 2)2 + (y + 1)2 = 9
เมื่อหาผลการยกกาลังสองของ x – 2 และ y + 1 จะได้
x2 – 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = 9 หรือ x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0
ซึ่งเป็นกรณีหนึ่งของสมการ x2 + y2 + ax + by + c = 0 เมื่อ a, b และ c เป็นค่าคง ตัว สามารถพิสูจน์ได้ว่าสมการใน รูปแบบ x2 + y2 + ax + by + c = 0 มีกราฟเป็น วงกลม หรือจุดหนึ่งจุด หรือไม่มีกราฟ
ตัวอย่างเช่น กราฟของสมการ x2 + y2 = 0 คือจุดหนึ่งจุดคือ จุด (0, 0) สมการ x2 + y2 + 5 = 0 หรือ x2 + y2 = -5 ไม่มี กราฟ เพราะว่าผลบวกของกาลังสองของจานวนจริงเป็น จานวนลบไม่ได้ ในกรณีที่สมการ x2 + y2 + ax + by + c = 0 มี กราฟเป็นวงกลม เรียก สมการนี้ว่า รูปแบบทั่วไปของสมการวงกลม
ถ้าสมการของวงกลมอยู่ในรูปแบบทั่วไป สามารถเขียนสมการใหม่ให้อยู่ในรูปแบบ
บันทึกเพิ่มเติม
……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………….. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. .............................................................................................

6. บันทึกเพิ่มเติม
……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………….. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. .............................................................................................
จงแสดงว่า สมการ x2 + y2 + 2x – 6y + 6 = 0 เป็นสมการของวงกลม แล้วหาจุดศูนย์กลางและความยาวของรัศมีของวงกลม พร้อมทั้งเขียนกราฟ
วิธีทำ ขั้นแรก เขียนสมการที่กาหนดให้ในรูปแบบมาตรฐานของสมการ วงกลม โดยจัดกลุ่มของพจน์ที่มี ตัวแปร x และตัวแปร y แล้วทาให้เป็นกาลัง สองสมบูรณ์ กล่าวคือ ทาให้ x2 + 2x เป็นกาลังสองสมบูรณ์โดยการบวกด้วย ( 1/2• 2)2 = 1 และทาให้
y2 – 6y เป็นกาลังสองสมบูรณ์โดยการบวกด้วย (1/2 (-6))2 = 9
(x2 + 2x) + (y2 – 6y) = -6
(x2 + 2x + 1) + (y2 – 6y + 9) = -6 + 1 + 9
(x + 1)2 + (y – 3)2 = 4
เปรียบเทียบสมการนี้กับรูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลมจะได้ว่า h = - 1, k = 3 และ r = 2 ดังนั้น สมการที่กาหนดให้เป็นสมการของวงกลมที่มี (-1, 3) เป็นจุดศูนย์กลาง และรัศมียาว 2 หน่วย กราฟเป็นวงกลมแสดงในรูป

7. สรุปสมการวงรี
อย่ำลืมนะจ้ะ ค่า a เป็น ค่าที่มากที่สุด ถ้า a อยู่
ภาคตัดกรวย
วงกลม
วงรี
พาลาโบลา
ไฮเปอร์โบ
นิยาม
ส่วนประกอบ
สูตร
นิยาม
ส่วนประกอบ
นิยาม
ส่วนประกอบ
สูตร
นิยาม
ส่วนประกอบ
สูตร

8. กำเนิดภำคตัดกรวย
ภำคตัดกรวย (conic section) เป็นเนื้อหาแขนงหนึ่งจากเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์ในวิชา คณิตศาสตร์ที่ได้รับบรรจุให้อยู่ในเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.4 ภาคตัดกรวยหมายถึง เส้นโค้งที่ได้ จากการตัดพื้นผิวกรวยกลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนี้ถูกตั้งเป็นหัวข้อศึกษาตั้งแต่สมัย 200 ปีก่อนคริสต์ศักราชโดย อะพอลโลเนียสแห่งเพอร์กา (Apollonius of Perga) ผู้ที่มีชีวิต อยู่ในช่วง 262 – 190 ปีก่อนคริสต์ศักราช ผู้ซึ่งศึกษาภาคตัดกรวยและค้นพบสมบัติหลาย ประการของภาคตัดกรวย พบว่าภาคตัดกรวยไม่เพียงแต่เป็นเส้นโค้งที่สวยงามแต่นาไปใช้ ประโยชน์ได้หลายด้านต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูกนาไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่
กาลิเลโอ กาลิเลอี
ค.ศ.1590 กาลิเลโอ (Galileo Galile) พบว่าขีปนาวุธที่ยิงขึ้นไปในมุมที่กาหนดมีวิถีการ เคลื่อนที่เป็นพาราโบลา
ค.ศ.1609 เคปเลอร์ (Kapler) พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์เป็นวงรี
ค.ศ.1668 ไอแซค นิวตัน (Isaac Newton) เป็นบุคคลแรกที่ประดิษฐ์กล้องโทรทรรศน์ชนิด สะท้อนแสงโดยอาศัยหลักการที่มีพื้นฐานจากสมบัติของพาราโบลาและไฮเพอร์โบลา ใน ปัจจุบันมีการศึกษาเกี่ยวกับการนาสมบัติของภาคตัดกรวยไปใช้ประโยชน์ในด้านต่างๆ เพิ่มเติมตลอดเวลา เช่น ใช้จานทรงพาราโบลา (รูปเรขาคณิตสามมิติที่เกิดจากการหมุน พาราโบลารอบแกนสมมาตรของพาราโบลา) เป็นอุปกรณ์เก็บรวบรวมสัญญาณ เช่น จาน รับส่งสัญญาณในระบบโทรคมนาคม หรือใช้เป็นอุปกรณ์เก็บพลังงานจากดวงอาทิตย์ หรือใช้ เป็นอุปกรณ์สาหรับสะท้อนแสง เช่น โคมไฟ การหาตาแหน่งของเรือในทะเลโดยใช้จุดตัดของ ไฮเพอร์โบลา การทางานของอุปกรณ์ที่ใช้สลายก้อนนิ่วในไตใช้สมบัติการสะท้อนของวงรี
กำรศึกษำเรื่องภำคตัดกรวย
การศึกษาภำคตัดกรวยสามารถศึกษาได้หลายแนวทาง
ในที่นี้จะศึกษาภาคตัดกรวยโดยใช้วิธีทางเรขาคณิตวิเคราะห์
วงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0,0)
วงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกาเนิดและแกนเอกอยู่บนพิกัด

9. จงหาสมการเส้นสัมผัสวงกลม x2 + y2 = 13 ที่จุด (2, 3)
วิธีทำ
ความชันของรัศมีที่ผ่านจุด (2, 3) คือ
เส้นสัมผัสของวงกลมที่ผ่านจุด (2, 3) เป็นเส้นตรงที่ตั้งฉากกับรัศมีของวงกลมเส้นที่
มีความชัน
ดังนั้น ความชันของเส้นสัมผัสคือ
และสมการเส้นตรงที่สัมผัสวงกลมที่จุด (2, 3) คือ
บันทึกเพิ่มเติม
………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………….................... ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ...........................................................................

10. เมื่อเราได้ค่า a, b, และ c มาครบแล้ว จะสามารถเขียนรูปกราฟได้ดังนี้
จากรูปและสมบัติของไฮเพอร์โบลา จะได้
จุดศูนย์กลางคือ (0,0)
จุดโฟกัส คือ (±5,0)
จุดยอด คือ (±4,0)
ความยาวของแกนตามขวาง 2a = 8
ความยาวแกนสังยุค 2b = 3
ความยาวเส้นเลตัสเรกตัม
สมการเส้นกากับ
ค่าเอ็คเซนตริกซิตี (e) = c/a = 5/4 = 1.25
ง่ำยนิดเดียว
ใช่ไหมละ
จงหาสมการของพาราโบลาที่มีจุดโฟกัส (0,3) และจุดยอด (0,0)
วิธีทา จากโจทย์ที่กาหนดให้ เราสามารถวาดกราฟพาราโบลาได้ดังนี้
จากรูปเป็นพาราโบลาหงาย มีจุดยอดคือ (0,0) จุดโฟกัสคือ (0,3) และได้ค่า c=3
สมการพาราโบลาของกราฟนี้คือ x2=4cy แทนค่า c=3 ในสมการจะได้
x2=(4)(3)y
x2=12y
จงหาสมการของพาราโบลาที่มีจุดยอด (0,0) มีแกน x เป็นแกนพาราโบลา
ความยาวของลาตัสเลกตัมเท่ากับ 12 หน่วย
วิธีทา จากโจทย์ที่กาหนดให้ เราสามารถหาค่า c ได้จากสูตร
ลาตัสเลกตัม = |4c|
12 = |4c|
c = +- 3
จากรูปเราจะได้กราฟพาราโบลาสองอัน เป็นเปิดขวาและเปิดซ้ายอย่างละอัน
สมการพาราโบลารูปขวาคือ
y2=(4)|3|x
y2= 12x
สมการพาราโบลารูปซ้ายคือ
y2= -(4)|3|x

11. วงรีคือเส้นโค้งรูปไข่ที่เหมือนการดึงวงกลมให้ยืดออกตามเส้นผ่านศูนย์กลางเส้นใดเส้นหนึ่ง
นิยำมสมกำรวงรี
วงรี (Ellipse) คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดใดๆจุดหนึ่ง ในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีค่าคงตัว
ส่วนประกอบของวงรี
F, F’ เป็นจุดคงที่ เรียกว่าจุดโฟกัส (Focus)
V, V’ เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดโฟกัส และมีจุดปลายทั้งสองเป็นจุดยอด เรียกว่า แกนนอก
B, B’ เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดศูนย์กลางและตั้งฉากกับแกนเอก โดยมีจุดปลายทั้งสองอยู่บน วงรี เรียกว่า แกนโท
m1m2, m1‘m2‘ เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดโฟกัส และตั้งฉากกันแกนของรูป เรียกว่าเส้น ลาตัสเรกตัม
กรวยเป็นรูปเรขำคณิตที่มีวิธีกำรสร้ำงในเชิงคณิตศำสตร์ ดังนี้
ให้ a และ b เป็นเส้นตรงใดๆ สองเส้นตัดกันที่จุด V เป็นมุมแหลม ให้เส้นตรง a และจุด V ตรึงอยู่กับที่ ผิวที่เกิดจากการหมุนเส้นตรง b รอบเส้นตรง a (โดยมุม ระหว่างเส้นตรง a และ b มีขนาดคงตัว) เรียกว่า กรวยกลมตรง (right circular cone) ดังแสดงในรูปที่ 1 ในที่นี้เราจะ ศึกษาเฉพาะกรวยกลมตรงเท่านั้นและจะเรียกสั้นๆ ว่า กรวย เส้นตรงที่ตรึงอยู่กับที่ เรียกว่า แกน (axis) ของกรวย จุด V เรียกว่า จุดยอด (vertex)
เส้นตรง b ที่ผ่านจุด V ทามุม กับแกนของกรวย เรียกว่า ตัวก่อกาเนิด (generator) ของกรวย จุดยอด V แบ่งกรวยออกเป็นสองข้าง (nappes) ซึ่งอยู่คนละด้านของจุดยอด
ภาคตัดกรวย คือรูปในระนาบที่เกิดจากการตัดกันของระนาบกับกรวย ภาคตัดกรวยที่จะศึกษา กันเกิดจากระนาบที่ไม่ผ่านจุดยอดของกรวยดังแสดงในรูปที่2 เมื่อระนาบตั้งฉากกับแกนของ กรวย ระนาบตัดกรวยข้างเดียว ได้ภาคตัดกรวยที่เรียกว่า วงกลม (circle) เมื่อระนาบไม่ตั้งฉาก กับแกนของกรวยแต่ทามุมแหลมกับแกนของกรวยขนาดใหญ่กว่า ระนาบจะตัดกรวยข้างเดียวได้ ภาคตัดกรวยที่เรียกว่า วงรี (ellipse) เมื่อระนาบขนานกับตัวก่อกาเนิดของกรวยระนาบจะตัด กรวยข้างเดียว ได้ภาคตัดกรวยที่เรียกว่าพาราโบลา (parabola) และเมื่อระนาบขนานกับแกน ของกรวยระนาบจะตัดกรวยสองข้างได้ภาคตัดกรวยสองข้างได้ภาคตัดกรวยที่ เรียกว่า ไฮเพอร์โบลา (hyperbola)
รูปที่ 2: ภาคตัดกรวยชนิดต่างๆ
ถ้าระนาบผ่านจุดยอดของกรวย รอยตัดของระนาบกับกรวยจะเป็นจุด หรือเส้นตรงหนึ่งเส้น หรือเส้นตรงสองเส้นตัดกัน ซึ่งเรียกลักษณะดังกล่าวว่า ภาคตัดกรวยลดรูป (degenerate conics) ดังแสดงในรูปที่ 3
พร้อมเข้าสู่ เนื้อหากันหรือยัง

12. สมกำรวงกลม
วงกลม คือเซตของจุดทุกจุดซึ่งห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเป็นระยะทางคงตัว จุดคงที่ เรียกว่า จุดศูนย์กลาง ส่วนระยะคงที่เรียกว่า รัศมี
นิยำมของสมกำรวงกลมคือ
วงกลม (circle)คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบที่ห่างจากจุดๆหนึ่งตรึงอยู่กับที่เป็น ระยะทางคงตัวจุดที่ตรึงอยู่กับที่นี้เรียกว่า จุดศูนย์กลำง (center)ของวงกลม และระยะทาง คงตัวดังกล่าวเรียกว่า รัศมี (radius) ของวงกลม
รูปที่ 1: สมการวงกลม
จุด C(h,k) เป็นจุดคงที่ เรียกว่า จุดศูนย์กลาง
|CP| = ระยะทางคงที่ เรียกว่ารัศมี
รูปแบบของสมกำรวงกลม
รูปที่ 2: รูปแบบของสมการวงกลม
ข้อสังเกตุ
1.ถ้า D2 + E2 – 4F = 0 กราฟที่ได้จะเป็นจุดวงกลม
2.ถ้า D2 + E2 – 4F > 0 กราฟที่ได้จึงเป็นวงกลม
ถ้ำ D2 + E2 – 4F < 0 จะไม่เกิดกรำฟในระบบจำนวนจริง
อะไรในชีวิตเราที่เป็น วงกลมบ้าง
พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดที่จุด (0,0) และแกนของรูปทับแกน x
เรำสำมำรถสรุปสมกำรพำรำโบลำออกมำได้ดังนี้
จากันได้บ้างไหมเอ่ย? ถ้า อยากฝึกความจาตัวเอง

13. วงรีรูปหนึ่งมีสมการเป็น = 1
จงหาโฟกัส จุดยอด ความยาวของแกนเอกและแกนโท และเขียนวงรี
วิธีทำ จากสมการ = 1 เมื่อเทียบกับรูปแบบมาตรฐาน = 1
จะได้ว่า a2 = 16, b2 = 4 นั่นคือ a = 4, b = 2
เนื่องจากพจน์ a2 เป็นตัวส่วนของพจน์ x2
แกนเอกจึงอยู่บนแกน X ถ้าให้จุด (-c, 0) และ (c, 0) เมื่อ c > 0 เป็นโฟกัส
จะได้ว่า c2 = a2 – b2 = 16 – 4 = 12 นั่นคือ c =
ดังนั้น สรุปได้ว่า
โฟกัสของวงรี คือ (- , 0) และ ( , 0)
จุดยอด คือ (-4, 0) และ (4, 0)
แกนเอกมีความยาว 8 หน่วย
แกนโทมีความยาว 4 หน่วย
กราฟวงรีแสดงได้ดังรูปนี้
จงหาจุดศูนย์กลาง จุดโฟกัส จุดยอด ความยาวของแกนตามขวาง ความยาวแกนสังยุค ความ ยาวเส้นลาตัสเรกตัม ค่าเอ็คเซนตริกซิตี (e) และสมการเส้นกากับของไฮเพอร์โบลาต่อไปนี้ พร้อม ทั้งวาดกราฟ
วิธีทำ
ตัวเลขส่วนของสมการไฉเพอร์โบลาที่โจทย์ให้มาเป็นกาลังหนึ่ง แต่เราต้องการกาลังสองเพื่อ เข้าสูตรไฮเพอร์โบลา จึงแปลงสมการนี้ให้อยู่ในรูปกาลังสองได้ดังนี้
ซึ่งเมื่อนาไปเทียบกับสมการมาตรฐานของไฮเพอร์โบลา
เราจะได้ค่า a=4, b=3
ใช้สูตรพีธากอรัสเพื่อหาค่า c ได้ดังนี้
c2 = a2 + b2
c2 = 42 + 32
c2 = 25
c = 5

14. จงหาโฟกัสและเขียนวงรีที่มีสมการเป็น 25×2 + 9y2 = 225
วิธีทำ จากสมการวงรีที่กาหนดให้ เขียนในรูปแบบมาตรฐานได้ดังนี้ = 1
จากรูปแบบมาตรฐาน จะได้ว่าแกนเอกของวงรีอยู่บนแกน Y
และ a2 = 25, b2 = 9
นั่นคือ c2 = a2 – b2 = 25 – 9 = 16
ดังนั้น c = 4 และโฟกัสของวงรี คือ (0, -4) และ (0, 4)
กราฟของวงรีแสดงในรูปนี้
จะเห็นได้ว่า ถ้า 2a มากกว่า 2c เพียงเล็กน้อย วงรีมีรูปร่างเรียวยาว (วงรีมีความรีมาก) แต่ถ้า 2a มากกว่า 2c วงรีมีรูปร่างเกือบจะกลม (วงรีมีความรีน้อย) โดยทั่วไป จะใช้ อัตราส่วนของ c ต่อ a วัดความรีของวงรี อัตราส่วนนี้เรียกว่า ความเยื้องศูนย์กลาง
ความเยื้องศูนย์กลางของวงรีมีค่าระหว่าง 0 และ 1 นั่นคือ 0 < e < 1 ถ้า e มีค่าใกล้ 1 หรือ c มีค่าเกือบจะเท่ากับ a แล้ววงรีมีความรีมาก (มีรูปร่างเรียวยาว) แต่ถ้า e มีค่าใกล้ 0 แล้ววงรีมีความรีน้อย (รูปร่างเกือบจะกลม) รูปที่ 10 แสดงวงรีที่มีความเยื้องศูนย์กลาง ต่างๆ กัน
วงรีรูปหนึ่งมีจุดยอดอยู่ที่ (-4, 0), (4, 0) และโฟกัสอยู่ที่ (-3, 0), (3, 0) จงหาสมการและเขียน
วงรี
วิธีทำ จากสิ่งที่กาหนดให้จะได้ว่า แกนเอกของวงรีอยู่บนแกน X และเมื่อเทียบกับ
รูปแบบมาตรฐานของสมการวงรี = 1 จะได้ว่า a = 4, c = 3
จาก c2 = a2 – b2 จะได้ 32 = 42 – b2
b2 = 42 – 32 = 16 – 9 = 7
ดังนั้น สมการของวงรี คือ
= 1
กราฟเป็นวงรีแสดงในรูปนี้

15. นิยำมของสมกำรพำรำโบลำ
พำรำโบลำ คือเซตของจุดบนพื้นระนาบซึ่งมีระยะห่างจากจุดคงที่เท่ากับระยะที่ห่างจาก เส้นคงที่
จุดคงที่ คือจุดโฟกัส (Focus)
เส้นตรงที่คงที่ คือเส้นไดเรกตริกซ์ (Directrix)
เส้นลำตัสเลกตัม (Latus Rectum) คือเส้นตรงที่ลากผ่านจุดโฟกัสและตั้งฉากกับแกนของ รูป
แกนของรูปหรือแกนสมมำตร คือเส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอดและผ่านจุดโฟกัส
คอร์ดของพำรำโบลำ คือเส้นตรงที่ลากเชื่อมจุด 2 จุด ที่ต่างกันของพาราโบลาและคอร์ดที่ ลากผ่านจุดโฟกัสเรียกว่า
Focul ส่วนคอร์ดที่ลากผ่านจุดโฟกัสด้วย และตั้งฉากกับแกนของรูปด้วย เรียกว่า ลำตัสเรกตัม(Latus Recrum)
ข้อสังเกตุ
จากสมการ จะต้องมีตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งอยู่ในรูปกาลังสอง และอีกตัวหนึ่งยกกาลังหนึ่ง และอยู่ที่เทอมที่บวกลบกัน กราฟที่ได้จึงจะเป็นกราฟพาราโบลา
รูปแบบของพำรำโบลำที่มีจุดศูนย์กลำงอยู่ที่จุด (0,0)
กำรหำจุดศูนย์กลำงของวงกลม
การหาจุดศูนย์กลางของวงกลม จะหาได้ด้วยวิธีดังต่อไปนี้
โจทย์กาหนดมาให้โดยตรง เช่นให้จุดศูนย์กลางคือ C(h,k)
โจทย์กาหนดมาให้ทางอ้อม เช่นจุดที่เส้นตรงตัดกัน
โจทย์หาหนดมาให้ โดยมีความสัมพันธ์กับกราฟอื่นๆ
การหาความยาวรัศมี
การหาความยาวรัศมี จะหาได้ด้วยวิธีดังต่อไปนี้
โจทย์กาหนดมาให้โดยตรง (2¶r)
โจทย์กาหนดมาให้ทางอ้อม เช่นความยาวระหว่างจุดสองจุด หาได้จากสูตร
โจทย์กาหนดจุดศูนย์กลาง (h, k) และเส้นสัมผัส Ax + By + C = 0 เราจะหาทั้งเส้นผ่าน ศูนย์กลางและรัศมีได้จากสูตรต่อไปนี้
ควำมยำวของเส้นสัมผัส
ให้ |PQ| เป็นความยาวของเส้นสัมผัสที่ลากจากจุด P มาสัมผัสวงกลมที่จุด Q
ถ้าสมการวงกลมคือ (x-h)2 + (y-k)2 = r2 แล้ว |PQ| = ดัง รูป
ถ้าสมการวงกลมคือ x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
แล้ว |PQ| = ดังรูป