เมทริกซ์

1. Pisit Nakjai
เมทริกซ์ (Matrix)

2. สัญลักษณ์ของเมทริกซ์
• เมตริกซ์ (Matrix) หมายถึง กลุ่มของจานวนที่เรียงเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุม
ฉาก โดยที่แต่ละแถวมีจานวนเท่าๆ กันและอยู่ในเครื่องหมาย [] หรือ ( )
ก็ได้
• ตัวเลขภายใน [] จะเรียกว่าสมาชิกใน Matrix
• Matrix ที่มีจานวนแถวเท่ากับ m และ จานวนหลักเท่ากับ n เราเรียกว่า
Matrix mxn
• ความรู้เกี่ยวกับเมตริกซ์ จะเป็นเครื่องมือที่ช่วยในการแก้ปัญหาระบบ
สมการเส้นตรง และใช้ในงานเรื่อง Graph , Image, Vector

3. ตัวอย่าง Matrix
• เมตริกซ์ A มีมิติ 3×3 จะเขียนเมตริกซ์ ด้วยสัญลักษณ์
จะเห็นมีสมาชิก 9 ตัว โดยมีสัญลักษณ์ทั่วไปคือ
A = [aij]mxn
i=1,2,3,4…,m
j=1,2,3,4…,n
หมายถึง เมตริกซ์ A มีจานวนแถว m จานวนหลัก n
โดยที่ a11 หมายถึงสมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 1 หลักที่ 1
a23 หมายถึงสมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 3
aij หมายถึงสมาชิกที่อยู่ในแถวที่ i หลักที่ j
11 12 13
21 22 23
31 32 33 3 3x
a a a
a a a a
a a a
 
 
  
 
 

4. ชนิดของเมตริกซ์
การเรียงตัวของกลุ่มตัวเลข หรือสมาชิก สามารถจาแนกและ
เรียกชื่อเฉพาะและมีคุณสมบัติดังนี้
1. เมตริกซ์แถว (Row Matrix)
2. เมตริกซ์หลัก(Column Matrix)
3. เมตริกซ์ศูนย์(Zero Matrix)
4. เมตริกซ์จัตุรัส (Square Matrix)
5. สเกลาร์เมตริกซ์(Scalar Matrix)
6. เมตริกซ์เอกลักษณ์ (Identity Matrix)

5. เมตริกซ์แถว (Row Matrix)
เมตริกซ์แถว (Row Matrix) เป็นเมตริกซ์ที่มีสมาชิกเพียงแถวเดียว
เช่น
เป็นเมตริกซ์ขนาดมิติ 1×3
เป็นเมตริกซ์ขนาดมิติ 1×4
เป็นเมตริกซ์ขนาดมิติ 1×n
 1 3
0 1 2 x
A  
 1 4
1 3 5 7 x
A  
 1
1 5 xn
A  

6. เมตริกซ์หลัก(Column Matrix)
เมตริกซ์หลัก(Column Matrix) เป็นเมตริกซ์ที่มี สมาชิกเพียง หลักเดียว
เช่น
เป็นเมตริกซ์ขนาดมิติ 3×1
เป็นเมตริกซ์ขนาดมิติ 4×1
เป็นเมตริกซ์ขนาดมิติ m×1
3 1
1
2
9 x
A
 
   
  
4 1
1
5
0
6 x
A
 
  
 
 
 
1
2
6 mx
A
 
   
  


7. เมตริกซ์ศูนย์(Zero Matrix)
เมตริกซ์ศูนย์(Zero Matrix) เป็นเมตริกซ์ที่มี สมาชิกทุกตัวเป็น 0 ทุกตัว
เช่น
3 1
0
0
0 x
A
 
   
  
 1 3
0 0 0 x
A 
2 2
0 0
0 0 x
A
 
  
 
3 3
0 0 0
0 0 0
0 0 0 x
A
 
   
  

8. เมตริกซ์จัตุรัส (Square Matrix)
• เมตริกซ์จัตุรัส (Square Matrix) เป็นเมตริกซ์ที่มีจานวนแถวและหลัก
เท่ากัน
3 3
5 1 2
9 5 3
4 8 7 x
A
 
   
  
2 2
9 5
4 7 x
A
 
  
 

9. สเกลาร์เมตริกซ์(Scalar Matrix)
สเกลาร์เมตริกซ์(Scalar Matrix) เป็นเมตริกซ์จัตุรัส ที่มีสมาชิกในแนวเส้น
ทแยงมุมหลัก(Main Diagonal) เท่ากันหมด และสมาชิกที่เหลือเป็น 0
หมด
เช่น
3 3
5 0 0
0 5 0
0 0 5 x
A
 
   
   3 3
9 0 0
0 9 0
0 0 9 x
A
 
   
  
2 2
7 0
0 7 x
A
 
  
 

10. เมตริกซ์เอกลักษณ์ (Identity Matrix)
• เมตริกซ์เอกลักษณ์ (Identity Matrix) เป็น scalar matrix ที่มีสมาชิกใน
แนวเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเป็น 1 เท่ากันหมด สัญลักษณ์ ใช้ I แทน Identity
Matrix
เมตริกซ์เอกลักษณ์เป็นเมตริกซ์ที่มีคุณสมบัติสาคัญในการคูณ การหาอิน
เวอร์สของเมตริกซ์ A
3 3
3 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
x
x
I
 
   
  
2 2
2 2
1 0
0 1
x
x
I
 
  
 

11. ทรานสโพสของเมตริกซ์(Transpose Matrix)
ถ้า A เป็นเมตริกซ์ที่มี มิติ 33 ทรานสโพสของเมตริกซ์ A เกิด
จากการเปลี่ยนที่จากแถวเป็นหลักของเมตริกซ์ A
สัญลักษณ์ At แทน ทรานสโพสของเมตริกซ์ A
นั่นคือ A = [aij] มีมิติ m  n
At = [aji] มีมิติ n  m
ตัวอย่างเช่น
3 3
1 2 3
4 5 6
7 8 9 x
A
 
   
   3 3
1 4 7
2 5 8
3 6 9
t
x
A
 
   
  

12. การเท่ากันของเมตริกซ์
เมตริกซ์ใด ๆ จะเป็นเมตริกซ์เท่ากันภายใต้เงื่อนไข
1. เมตริกซ์จะต้องมีมิติเท่ากัน
2. สมาชิกในแต่ละตาแหน่งเท่ากัน
เช่น Matrix A = Matrix B
2 3
2 3
1 2 2
0.5 4 1
8
1 2
4
1
16 1
2
x
x
A
B
 
   
 
 
  
 
  

13. การบวกและการลบเมตริกซ์
การบวกและการลบเมตริกซ์สองเมตริกซ์ใด ๆ สามารถกระทาได้ภายใต้เงื่อนไข
เมตริกซ์
1. ทั้งสองต้องมีมิติเท่ากัน
2. นาสมาชิกที่อยู่ตาแหน่งเดียวกันบวกหรือลบกัน
นิยาม ให้ A = [aij]mn และ B = [bij]mn จะได้
(1) A + B = C = [c1j]mn โดยที่ Cij = Aij + Bij
(2) A - B = C = [c1j]mn โดยที่ Cij = Aij - Bij

14. ตัวอย่าง
1.
จากโจทย์จงหาค่าของ
B – A =
(A + B ) + C =
(B + A) - C =
B – (A + C) =
A + ( B + C) =
1 2 3 5 3 8
, ,
2 7 6 2 4 1
A B C
      
            
1 ( 3) 2 5 2 7
2 6 7 ( 2) 8 5
A B
      
          

15. สมบัติของการบวก
สมบัติของการบวก
ถ้า A , B , C เป็นเมตริกซ์มิติ mn
1. A + B เป็นเมตริกซ์มิติ mn (คุณสมบัติปิด)
2. A + B = B + A (คุณสมบัติสลับที่)
3. A + (B + C) = (A + B ) + C (คุณสมบัติเปลี่ยนกลุ่มได้)
4. 0 + A = A + 0 = A
5. A + (-A) = 0
6.
7.
ij mxn
kA ka   
CBCABAC  )(

16. การคูณเมตริกซ์ ด้วย สเกลาร์
กาหนด k เป็นสเกลาร์ ใด ๆ แล้ว
a b ka kb
kA k
c d kc kd
   
    
   
3 3
3 3
3 3
a b a b
A
c d c d
   
    
   

17. การคูณเมตริกซ์ ด้วยเมตริกซ์
การคูณเมตริกซ์ ด้วยเมตริกซ์
เมตริกซ์ จะคูณกันได้ก็ต่อเมื่อ จานวนหลักของเมตริกซ์ตัวตั้งเท่ากับ
จานวนแถวของเมตริกซ์ตัวคูณ
ถ้า A , B ,C เป็นเมตริกซ์
A มีมิติ m  n
B มีมิติ n  p และ
AB = C แล้ว C มีมิติ m  p

18. การคูณ คือ แถวของตัวตั้งไปคูณกับหลักของตัวคูณ ทาเช่นนี้เรื่อย ๆ จน
ครบทุกหลักและเริ่มที่แถวที่สองต่อไป
22 เป็นตัวอย่าง
1 2 2 1
,
3 4 4 3
A B
    
        
1 2 2 1
3 4 4 3
AB x
    
        
   
1
1 2 2 4 2 – 8
1 2
3 3
2
0
4 4
1x
   
        

   
   
1 2 12
1 1 +2 3 1– 6
3 3
7
4 4
x
   
          


   
1 2 2
3 1 4 3 3 12
1
3 4 3
15
4
x
   
 


           
   
1 2 1
3 2 4 4 6 –16
2
3 4 4
22
3
x
   
           

 
10 7
22 15
AB
  
    

19. ดีเทอร์มิแนนท์ (Determinant)
ดีเทอร์มิแนนท์ (Determinant) เป็นค่าที่ได้จากการคานวณจากเมตริกซ์ที่
กาหนดให้ A เป็น nn เมตริกซ์ ดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริกซ์ A เขียน
แทนด้วย det(A) หรือ A ดังนี้
1. det(At) =det(A)
2. det(An) = (det(A))n
3. det(AB) = det(A)det(B)
 , det A ad bc
a b a b
A
c d c d
   
      
   
-
+

20. การหา Determinant โดยใช้วิธีการการกระจาย
Cofactor
ไมเนอร์(Minor) ของเมตริกซ์ A คือดีเทอร์มีแนนท์ของเมตริกซ์ A ที่เกิดจาก
การตัดแถว i และหลักที่ j ออก
โคแฟคเตอร์ของ aij คือผลคูณของ (-1)i+j และไมเนอร์ของ aij เขียนแทนโค
แฟคเตอร์ของ aij ด้วย Cof.Aij
โดยที่ Aij = (-1)I+j Mij
และ Mij แทนไมเนอร์ของ aij

21. จงหาค่าของ โคแฟคเตอร์ A12 และ A23
หลักการ: จะหาค่า โคแฟคเตอร์ A12 ต้อง
ตัดแถวที่ 1 และ Column ที่ 2 ออก จะได้ไมเนอร์
ของ A12
2 1 0
9 4 6
5 3 8
A
 
   
  
2 1 0
9 4 6
5 3 8
 
 
 
  
9 6
5 8
 
(1 2)
12
9 6
1 42
5 8
A

   

22. การหาค่า A23 ก็ทาเช่นเดียวกัน คือตัดแถวที่ 2 และ Column ที่ 3 ออก จะ
ได้
2 1 0
9 4 6
5 3 8
 
 
 
  
2 1
5 3
 
(2 3)
23
2 1
1 1
5 3
A

   

23. การหา Determinant โดยใช้วิธีการการกระจาย
Cofactor
ทาการหา Cofactor ของแต่ละหลัก
เพื่อให้งานต่อการหา เราจะพยายามใช้ ตาแหน่งที่เป็น 0 เนื่องจากเมื่อทาการ
หา Det แล้วจะได้ค่าเป็น 0 เช่นกัน
a b c
e f d f d e
d e f a b c
h i g i g h
g h i
  

24. อินเวอร์การคูณของเมตริกซ์ (Inverse Matrix)
การหาอินเวอร์ของเมตริกซ์ ให้มีคุณสมบัติ AA-1 – In = A-1A
เมตริกซ์ที่จะหาอินเวอร์สได้ต้องเป็นเมตริกซ์จัตุรัส
เมตริกซ์ผูกพัน (Adjoint Matrix)
เมตริกซ์ผูกพันธ์ของ A คือทรานสโพสของโคแฟกเตอร์ของเมตริกซ์A
1
1
1
,
det( )
1
( )
det( )
a b d b
A A
c d c aA
A Adj A
A


   
       

adj.A = (Cof.A)t