1. เรื่อง
เสนอ
ครู นิศารัตน์ มาสุข
โดย
น.ส. อโรชา ชัยชนะ ม.5/2 เลขที่ 17
โรงเรียนปิยมิตรวิทยา
ภาคเรียนที่ 2 ปีการศึกษา 2557
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

2. ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

3. ฟังก์ชัน
ความหมายและสัญลักษณ์ของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด
ฟังก์ชันจาก A ไป B (แบบต่างๆ)
การดาเนินการของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันผกผัน

4. ความสัมพันธ์
ความหมายของความสัมพันธ์
โดเมนและเรนจ์ ของความสัมพันธ์
ผลคูณคาร์ทีเซียน
ความสัมพันธ์จาก A ไป B
หรือ จาก A ไป B
ตัวผกผันของความสัมพันธ์

5. คู่อันดับ (a, b) คือคู่สมาชิกที่มี
a เป็ นสมาชิกตัวหน้า หรือพิกัด x
b เป็ นสมาชิกตัวหลัง หรือพิกัด y
(a, b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = c
(a, b) น (b, a) เมื่อ a น b
คู่อันดับ (Ordered pairs)
ตัวอย่าง 1.1 (2,0) ≠ (0,2)
(x,4) = (3,y) เมื่อ x = 3 , y = 4
ตัวอย่าง 1.2 กาหนดให้ (2x , y-2) = (x + 3,1) จงหา (x+y , x-y)
วิธีทา จาก (2x , y-2) = (x + 3,1) จะได้ 2x = x + 3 และ y - 2 =
1
ดังนั้น 2x - x = 3 และ y = 1 + 2
นั้นคือ x = 3 และ y = 1 + 2
จะได้ (x+y , x-y) = (3 + 3 , 3 - 3) = (6 , 0)

6. โดเมนและเรนจ์ ของความสัมพันธ์
ให้ r แทนความสัมพันธ์จาก A ไป B
โดเมนของ r คือสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r เขียนแทนโดเมนของ r ด้วย Dr
เรนจ์ของ r คือสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับใน r เขียนแทนเรนจ์ของ r ด้วย Rr
การหาโดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่อยู่ในรูปสมการ 𝐃 𝐫
เช่น r = (1 , −3)(5 , 7)(6 , 8)
Dr = 1 , 5 , 6 Rr = −3 , 7 , 8
กำหนดให้ r = x , y ∈ R x R สมกำร
หำ Dr
1. จัดรูปสมกำร
ให้ y = term ของ x
2. หำ x ที่ทำให้ y เป็นจำนวน
จริง
หำ Rr
1. จัดรูปสมกำร
ให้ x = term ของ y
2. หำ y ที่ทำให้ x เป็นจำนวน
จริง

7. ตัวอย่าง จงหา โดเมนและเรนจ์ ของ r เมื่อกาหนด
r = { (x,y)| }92
 xy
วิธีทา หาโดเมน
จาก 92
 xy
จะหาค่า y ได้ก็ต่อเมื่อ
x2 - 9  0
(x-3)(x+3)  0
ดังนั้น x  -3 หรือ x  3
หาเรนจ์
จาก x2 - 9  0
จะได้ 092
x
ดังนั้นเรนจ์ r = }0|{  yRy
ดังนั้นโดเมน r = x ∈ R x ≤ −3

8. ความสัมพันธ์ (relation)
นิยาม
r เป็นความสัมพันธ์ จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ
r เป็นสับเซตของ A x B
ตัวอย่าง กาหนดให้ A = { 1, 2 ,3 ,4 } , B = { 0, 2 ,4 ,6 }
ให้ r แทนความสัมพันธ์ “ มากกว่า” จาก A ไป B
จะได้ r = { (1,0) ,(2,0) ,(3,0) ,(3,2) ,(4,0) ,(4,2) }
หรือ r = x, y ∈ A x B l 𝑎 > 𝑏

9. ตัวอย่าง
กาหนด A = { x | x เป็น จานวนเต็ม}
B = { x | x เป็น จานวนเต็มบวก}
ถ้า r1 = { (x,y) A x B | y = x2 }
เขียน r1 แบบแจกแจงสมาชิกได้ดังนี้
r1 = { (1,1) ,(-1,1) ,(2,4) ,(-2,4) ,(3,9) ,(-3,9) , . . . }

10. บทนิยาม
ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และ B คือ เซตของคู่อันดับ (a,b)
ทั้งหมด โดยที่ a เป็นสมาชิกของเซต A
และ b เป็นสมาชิกของเซต B
ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และ B เขียนแทนด้วย A x B
เขียน A x B ในรูปแบบบอกเงื่อนไขได้ดังนี้
ผลคูณคาร์ทีเซียน (Cartesian Product)
A x B = a , b a ∈ A และ b ∈ B

11. ตัวอย่าง
กาหนด A = {2,4,6} , B = {a,b}
จะได้ A x B = { (2,a),(2,b) ,(4,a) , (4,b) ,(6,a) ,(6,b) }
n(AxB) = 6
B x A = { (a,2), (a,4) , (a,6) , (b,2) , (b,4) , (b,6) }
n(B x A) = 6
B x B = { (a,a) , (a,b) , (b,a) , (b,b) }
n(B x B) = 4
สรุป ถ้า n(A) = m , n(B) = n จะได้ n( A x B) = mn

12. สมบัติที่สำคัญ
1. A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)
2. A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)
3. A x (B - C) = (A x B) - (A x C)

13. ความสัมพันธ์จาก A ไป B หรือ จาก A ไป A
r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r ⊂ A x B
r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป A ก็ต่อเมื่อ r ⊂ B x B
โดยความสัมพันธ์นี้ เรียกว่า ความสัมพันธ์ในเซต
จานวน r = 2n(AxB)

14. ตัวผกผันของความสัมพันธ์
คือ ความสัมพันธ์ที่เกิดจากการสลับที่ของตัวหน้า (x) และตัวหลัง (y) ในแต่ละคู่อันดับ
r แทนความสัมพันธ์
r−1
แทนตัวผกผันของความสัมพันธ์ r
ในกรณีที่ความสัมพันธ์ r อยู่ในรูปสมการบอกเงื่อนไข
ให้ r = 1,4 , 3,6 , (5,8)
Dr = 1,3,5
Rr = 4,6,8
ให้ r−1
= 4,1 , 6,3 , (8,5)
Dr−1 = 4,6,8
Rr−1 = 1,3,5
จะเห็นได้ว่ำ Dr = Rr−1 และ Rr = Dr−1
เช่น r = x, y y = 5x − 4 , x ∈ 1 , 6
เรำสำมำรถเขียน r−1
ได้สองแบบคือ
แบบที่ 1 r−1
= y, x y = 5x − 4 , x ∈ 1 , 6
แบบที่ 2 r−1
= x, 𝑦 x = 5y − 4 , y ∈ 1 , 6

15. ฟังก์ชัน
ความหมายของฟังก์ชัน
ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ ที่ไม่มีโดเมนตัวใดจับคู่กับเรนจ์มากกว่า 1 ตัว
เช่น
ความสัมพันธ์นี้ ไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะมีโดเมนก็คือ จับคู่กับเรนจ์ มากกว่า 1 ตัว ก็คือ และ 2 6 9
*** โดเมนซ้ากันไม่ได้
ความสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชัน เพราะไม่มีโดเมนตัวใดเลยที่จับคู่กับเรนจ์มากกว่า 1 ตัว
*** เรนจ์ซ้ากันได้
วิธีการดูว่าความสัมพันธ์ที่อยู่ในรูปกราฟเป็ นฟังก์ชันหรือไม่
ถ้าสามารถลากเส้นตรงขนานแกน และสามารถตัดกราฟได้มากกว่า 1 จุด จะไม่เป็นฟังก์ชัน Y
สัญลักษณ์ของฟังก์ชัน
ถ้าความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชัน เราสามารถเขียนแทน y ด้วย สัญลักษณ์ f(x)
𝑟1 = 1,5 , (2,6)(2,9)
𝑟2 = 1,5 , (2,5)(3,8)
y = f(x)

16. ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด
ฟังก์ชันเพิ่ม (คล้อยตาม)
เมื่อ ค่า x เพิ่มขึ้น ค่า y เพิ่มขึ้น
เมื่อ ค่า x ลดลง ค่า y ลดลง
ฟังก์ชันลด (ขัดแย้ง)
เมื่อ ค่า x เพิ่มขึ้น ค่า y ลดลง
เมื่อ ค่า x ลดลง ค่า y เพิ่มขึ้น

17. ฟังก์ชันจาก A ไป B (แบบต่างๆ)
ฟังก์ชันจาก A ไป B (f : A → B )
f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ
โดเมน ของ f (Dr) คือ (=) เซต A
เรนจ์ ของ f (Rr) เป็นสับเซต (⊂) ของ เซต B
D 𝑓 = A และ R 𝑓⊂ B
f = 1,6 , 2,6 , (3,7)
เป็นฟังก์ชัน จำก Aไป B
เพรำะ D 𝑓 = A และ R 𝑓 ∁ B
เช่น

18. ฟังก์ชันจาก A ไป B (f : A → B )
f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ
โดเมน ของ f (Dr) คือ (=) เซต A
เรนจ์ ของ f (Rr) คือ (=) ของ เซต B
D 𝑓 = A และ R 𝑓 = B
เช่น
f = 1,6 , 2,6 , (3,7)
เป็นฟังก์ชัน จำก Aไปทั่วถึง B
เพรำะ D 𝑓 = A และ R 𝑓 = B
ทั่วไ
ป

19. ฟังก์ชันจาก A ไป B แบบ 1-1 (f : A → B
)
f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B แบบ 1-1 ก็ต่อเมื่อ
โดเมน ของ f (Dr) คือ (=) เซต A
เรนจ์ ของ f (Rr) เป็นสับเซต (∁) ของ เซต B
วิธีการดูว่าฟังก์ชันที่อยู่ในรูปกราฟเป็ น ฟังก์ชัน1-1
หรือไม่
ถ้าสามารถลากเส้นตรงขนานแกน X
และสามารถตัดกราฟได้มากกว่า 1 จุด จะไม่เป็นฟังก์ชัน1-1
D 𝑓 = A และ R 𝑓⊂B
โดยที่ n(D 𝑓) = n(R 𝑓)
เช่น
f = 1,6 , 2,7 , (3,8)
เป็นฟังก์ชัน จำก Aไป B แบบ
1-1
เพรำะ n(D 𝑓) = n(R 𝑓)
1 - 1

20. ฟังก์ชันจาก A ไป B แบบ 1-1 (f : A → B )
f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B แบบทั่วถึง 1-1 ก็ต่อเมื่อ
โดเมน ของ f (Dr) คือ (=) เซต A
เรนจ์ ของ f (Rr) คือ (=) ของ เซต B
D 𝑓 = A และ R 𝑓 = B
โดยที่ n(D 𝑓) = n(A) = n(R 𝑓) =
n(B)
เช่น
f = 1,6 , 2,7 , (3,8)
เป็นฟังก์ชัน จำก Aไป B แบบ
1-1
เพรำะ D 𝑓 = A และ R 𝑓 = B
n(D 𝑓) =n(R 𝑓)
n(A) = n(B)
ทั่วไ
ป
1 - 1

21. การดาเนินการของฟังก์ชัน
ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน
ฟังก์ชันประกอบ
gof(x) = g(f(x))
ความหมาย
x ไปแทนค่าใน f(x) แล้วนา f(x) ที่ได้ไปแทนค่าใน g(x)
note

22. ฟังก์ชันผกผัน
การสลับที่ระหว่าง ตาแหน่งตัวหน้าและตัวหลังในแต่ละคู่อันดับของฟังก์ชัน
เช่น f = (1,2),(3,4),(5,6) จะได้
f−1 = (2,1),(4,3),(6,5)
ให้ f เป็ นฟังก์ชัน
จะมีฟังก์ชันผกผัน ก็ต่อเมื่อ f เป็ นฟังก์ชัน 1-
1
เช่น f = (1,3),(2,3),(4,5) ไม่เป็นฟังก์ชัน 1-1
f−1
= (3,1),(3,2),(5,4) จึงไม่เป็นฟังก์ชัน
จึงสรุปว่า f ไม่เป็นฟังก์ชันผกผัน

23. การเขียนกราฟของฟังก์ชันผกผัน
กรำฟ f และ f−1 จะมีแกนสมมำตร คือ x = y แปลว่ำถ้ำพับกระดำษตรงแกน
สมมำตร
กรำฟ f และ f−1
จะทับกันสนิท

24. สูตรนี้ใช่บ่อยสุดๆ
f(a) = b จะได้ว่ำ 𝑓−1
(b) =
a
สูตรนี้มีประโยชน์สุดๆ
(𝑔𝑜𝑓)−1
= 𝑓−1
𝑜 𝑔−1
สูตรนี้ควรต้องรู้
𝑓−1 𝑓 𝑎 = 𝑎
𝑓(𝑓−1(𝑎)) = 𝑎

25. ข้อสอบ
1. ถ้า A = {1, 2, 3, 4} และ r = {(m, n) ∈ A × A | m ≤ n} แล้ว จานวนสมาชิกของ
ความสัมพันธ์ r เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (O-NET: 49)
1. 8 2. 10 3. 12 4. 16
วิธีทา หา n(r) = ? โดยที่ (m , n) m ≤ n
จะได้ 1 1 (1,1)
2 2 (1,2) , (2,2)
3 3 (1,3) , (2,3) , (3,3)
4 4 (1,4) , (2,4) , (3,4) , (4,4)
∴ n(r) = 10

26. ข้อสอบ
2. ค่าของ a ที่ทาให้กราฟของฟังก์ชัน y = a(2)x
ผ่านจุด (3, 16) คือข้อใด ต่อไปนี้
(O-NET: 51)
1. 2 2. 3 3. 4 4. 5
วิธีทา (x , y) = (3 , 16) แทนใน 𝒚 = 𝒂(𝟐) 𝒙
จะได้ 16 = 𝑎 ∙ 23
16 = a ∙ (8)
16
8
= a
∴ a = 2

27. 3. ถ้า f = {(1, 0), (2, 1), (3, 5), (4, 6), (5, 2)} แล้ว f(2) + f(3) มีค่าเท่าใด
(O-NET: ปี 48 อัตนัย)
ข้อสอบ
วิธีทา f(x) = y
f(2) = 1
f(3) = 5
f(2) + f(3) = 1 + 5
∴ = 6

28. 4. กาหนด r = {(x ,y) ∈ R×R y = 4 − x2 } แล้ว โดเมนของ r คือเซตข้อใด
1. ( -∞ , -4 ] ∪ [4 , ∞ ) 2. [-4 ,4 ]
3. (-∞ , -2 ] ∪ [ 2 , ∞) 4. [-2 , 2]
ข้อสอบ
วิธีทา ตอบข้อ 4
จาก y = 4 − x2
จะได้ว่า 4 − x2
≥ 0
หรือ 𝑥2 − 4 ≤ 0
(x - 2)(x + 2) ≤ 0
∴ -2 ≤ x ≤ 2
ดังนั้น D 𝑓 = [-2 , 2]

29. 5. ให้ x เป็ นจานวนจริงใดๆ f , g และ h เป็ นฟังก์ชันโดยที่ f(x) = x+2 , h(x) =
x2
+x+1 และ f(g(x)) = h(x) แล้ว g(2) มีค่าตรงกับข้อใด
1. 3 2. 5 3. 7 4. 9
ข้อสอบ
วิธีทา ตอบข้อ 2
เนื่องจาก f(g(x)) = h(x)
จะได้ g(x) +2 = x2
+ x + 1
g(x) = x2
+ x – 1
∴ g(2) = 22
+ 2 – 1
= 4 + 2 - 1
= 5