1. คณิตศาสตร์ ม.5
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
(Trigonometry function)
รองศาสตราจารย์ ดร.ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท์

2. 2
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
A sin = ความยาวด้านตรงข้ามมุม A = ข้าม =
c
a
ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ฉาก
cosA= ความยาวด้านประชิดมุม A = ชิด =
c
b
ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ฉาก
A tan = ความยาวด้านตรงข้ามมุม A = ข้าม =
b
a หรือ
A
A
A
cos
sin
tan 
ความยาวด้านประชิดมุม A ชิด
a
c
A
ecA 
sin
1
cos หรือ sin A cosecA1
b
c
A
A  
cos
1
sec หรือ cosA sec A 1
a
b
A
A  
tan
1
cot หรือ
A
A
A
tan
cos
cot  หรือ tanA cot A 1
เนื่องจาก A B  B   A   90 90 จะได้
  A  A A
c
b
sinB  sin 90  A   cos sin 90   cos  
  A  A A
c
a
cosB  cos 90  A   sin cos 90   sin  
  A  A A
a
b
tanB  tan 90  A   cot tan 90   cot  
A
B
C
a c
b
(ด้านตรงข้ามมุม A)
(ด้านประชิดมุม A)
(ด้านตรงข้ามมุมฉาก)
2 2 2 a b  c

3. 3
อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30 องศา 45 องศา และ 60 องศา
อัตราส่วน/มุม  30  45  60
 sin
2
1
2
2
2
3
 cos
2
3
2
2 2
1
 tan
3
1 1 3
หลักง่ายๆ ในการจาตรีโกณมิติของมุม 30 องศา 45 องศา และ 60 องศา เพื่อนา ไปใช้ดังนี้
1. เขียนตารางดังกล่าว แต่ยังไม่มีค่าของตรีโกณมิติ
2. แถวบนสุด   sin ตัวเลขที่เขียนลงไปเป็นตัวเศษ 3 ช่องจากซ้ายไปขวาเป็นเลข
1,2,3 และตัวเลขที่เขียนลงไปเป็นตัวส่วน 3 ช่องจากซ้ายไปขวาเป็นเลข 2 ทุกตัว และใช้เครื่องหมาย
รากที่สองของตัวเศษทุกตัว จะได้
2
3
,
2
2
,
2
1
2
3
,
2
2
,
2
1
2
3
,
2
2
,
2
1
 
3. แถวที่สอง   cos ตัวเลขที่เขียนลงไปเป็นตัวเศษ 3 ช่องจากซ้ายไปขวาเป็นเลข
3,2,1, และตัวเลขที่เขียนลงไปเป็นตัวส่วน 3 ช่องจากซ้ายไปขวาเป็นเลข 2 ทุกตัว และใช้เครื่องหมาย
รากที่สองของตัวเศษทุกตัว จะได้
2
1
,
2
2
,
2
3
2
1
,
2
2
,
2
3
2
1
,
2
2
,
2
3
 
4. แถวที่สาม   tan ตัวเลขที่เขียนลงไปเป็นตัวเศษ 3 ช่องจากซ้ายไปขวา นาตัวเศษ
ของแถวบนสุดและแถวที่สองมาเขียนเป็นเศษส่วนตามลา ดับในแต่ละช่อง จะได้
, 1 , 3
3
1
1
3
,
2
2
,
3
1

ตัวอย่าง 1 ถ้า
5
4
cos  และ  0   90 แล้วจงหาค่าของ   2 5tan 4sec

4. 4
ตัวอย่าง 2 ถ้าสามเหลี่ยม ABC มีมุม B เป็นมุมฉาก และ
5
12
cot  A แล้วจงหาค่าของ
10cosecA12sec A
ตัวอย่าง 3 ถ้าสามเหลี่ยม ABC มีมุม B เป็นมุมฉาก และ
5
3
cos  A แล้วจงหาค่าของ
  A B  cos 10
ตัวอย่าง 4 ถ้าสามเหลี่ยม ABCมีมุม B เป็นมุมฉาก มีมุม A เท่ากับ 30 องศา และมีพื้นที่เท่ากับ
3 24 ตารางหน่วย จงหาความยาว AB

5. 5
ตัวอย่าง 5 ถ้ารูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปหนึ่งมีความสูงเท่ากับ 1 หน่วย จงหา เส้นรอบรูปของ
สามเหลี่ยมรูปนี้
ตัวอย่าง 6 ให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน มีพื้นที่เท่ากับ 20 ตารางหน่วย มุม BAD กาง
 120 ถ้า AB ยาว 5 หน่วยแล้ว เส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมรูปนี้มีความยาวเท่าใด
ตัวอย่าง 7 นักท่องเที่ยวคนหนึ่งยืนอยู่บนประภาคารสังเกตเห็นเรือสองลา จอดอยู่ในทะเลทางทิศ
ตะวันออกของประภาคารในแนวเส้นตรงเดียวกัน ทา มุมก้ม 30 องศา และ 60 องศา กับแนวระดับ
ประภาคารแห่งนี้อยู่สูงจากระดับน้า ทะเลประมาณเท่าใด ถ้าเรือทั้งสองลา อยู่ห่างกัน 200 เมตร

6. 6
ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
การกาหนดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ โดยใช้วงกลม 1 หน่วย (The unit circle)คือวงกลมรัศมี
1 หน่วยที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด  0,0 เป็นหลักในการกาหนดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ วงกลม 1
หน่วยนี้ มีกราฟของความสัมพันธ์  ,  1 2 2 x y R R x  y 
กาหนดจานวนจริง  โดยเริ่มวัดระยะจากจุด 0,1 ไปตามส่วนโค้งของวงกลม 1 หน่วยให้
ยาว  หน่วย ถึงจุด yx, ที่ต้องการบนวงกลม 1 หน่วย โดยมีข้อตกลงดังนี้
ถา้   0 จะเป็นการวัดส่วนโค้งจากจุด 1,0 ไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา
ถ้า 0 จะเป็นการวัดส่วนโค้งจากจุด 0,1 ไปในทิศทางตามเข็มนาฬิกา
ถ้า 0   จุดปลายของส่วนโค้งคือ จุด  0,0
จากสูตรเส้นรอบวงหรือส่วนโค้งของวงกลม 1 รอบเท่ากับ r 2 หน่วย ดังนั้นความยาวของ
เส้นรอบวงหรือส่วนโค้งของวงกลม 1 หน่วย 1 รอบ ยาว   2 1 2   หน่วย ถ้า 2 แสดงว่า
วัดส่วนโค้งเกิน 1 รอบ
ตาแหน่งของจุดปลายส่วนโค้งของวงกลม 1 หน่วย ที่สาคัญ
  0, 1
0
0
  0, 1
0  
0  


  0,2
  0
0
0
2

 
 
2
3
 
  0,2
2

  
  
2

  
  0

7. 7
กาหนดฟังก์ชัน RRf : และ RRg: สาหรับแต่ละจานวนจริง  ใดๆ ดังนี้
    y g x f     , เมื่อ yx, เป็นจุดปลายส่วนโค้งของวงกลม 1 หน่วย ที่วัดจากจุด 0,1 ยาว
 หน่วย ถึงจุด   y x, ที่ต้องการบนวงกลม 1 หน่วย เรียก ฟังก์ชัน g และ f ว่า ฟังก์ชันไซน์ (sine)
และฟังก์ชันโคไซน์ (cosine) ตามลา ดับ เขียน ฟังก์ชัน g ด้วย sin และฟังก์ชัน f ด้วย cos จะได้
y  sin , x cos
(หลักง่ายๆ หน้า คือค่า  cos และหลัง คือค่า  sin )
จากวงกลม 1 หน่วย เป็นวงกลมรัศมี 1 หน่วยที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด  0,0 มีกราฟของ
ความสัมพันธ์  ,  1 2 2 x y R R x  y  จะได้ 1 y 1, 1 x 1 และจาก
y  sin , x cos ความสัมพันธ์ดังนี้
       2 2 2 2 2 2 2 2 x  y 1 cos  sin 1;cos   cos ,sin   sin นิยมเขียนเป็น
cos sin 1 2 2    
1 sin 1, 1 cos 1
ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของจานวนจริงบางจานวน
ตัวอย่าง 8 จงหาค่าตรีโกณมิติต่อไปนี้
 0
2
 
2
3  2
2

 
2
3
  2 3
2
7

sin 0
 cos 1
  0,2
2

 
  
2
3
 
1,0
  1, 0
  0, 1 
  1 , 0 
  0,2
2
3
  
   
2

  
  0, 1
0,1
  0, 1 
  1 , 0 

8. 8
ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่น ๆ
นอกจากฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ดังกล่าวแล้ว ยังมีฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สา คัญอีกหลาย
ฟังก์ชัน โดยอาศัยค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ นิยามดังนี้
บทนิยาม สาหรับจานวนจริง  ใดๆ
; cos 0
cos
sin
tan   


 ; sin 0
sin
1
cos   

ec
; cos 0
cos
1
sec   

 ; sin 0
sin
cos
cot   



ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติ


 


tan
1
cos
sin
1
sin
cos
cot   
 
 



  2 2
2 2
2
2
2
2 2 1 tan sec
cos
1
cos
sin
cos
cos
cos  sin 1     
 
 



  2 2
2 2
2
2
2
2 2 1 cot cos
sin
1
sin
sin
sin
cos
cos  sin 1      ec
ตัวอย่าง 9 จงหาค่าตรีโกณมิติต่อไปนี้
 0
2
 
2
3  2
2
7 10  15
2
9

2
11
2
15

 sin 0
 cos 1
tan 0
1
0

ตัวอย่าง 10 จงบอกจานวนจริง  มา 5 จานวนที่ทาให้
1. sin  0
2. cos  0
3. sin 1
4. cos 1
5. sin  1

9. 9
ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของจานวนจริง  เมื่อ  เป็น
3
,
6
,
4
  
ค่าของ
4
, tan
4
,cos
4
sin
  
ให้   y x P, เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนโค้ง AB ดังรูป เนื่องจากส่วนโค้ง AB ยาว
2
 หน่วย
จะได้ คอร์ด PB ยาวเท่ากับ คอร์ด PA และจะได้ PAPB ดังนั้น
       2 2 2 2 x 0  y 1  x 1  y 0
2  2  2 2 2 2 2 2 x  y 1  x 1  y x  y  2y 1 x  2x 1 y
y x 
เนื่องจาก
2
2
2
1
2
1
1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 x  y   x  x   x  x  x    
ดังนั้น
2
2
2
2
x  y  เนื่องจาก x, y เป็นจุดในควอดรันต์ที่ 1
จะได้ จุดปลายส่วนโค้งที่ยาว
4
 หน่วย คือ 







2
2
,
2
2 นั่นคือ 7071 0.
2
2
4
cos
4
sin   
 
และ 1
4
cos
4
sin
4
tan  


 ยังสามารถหาค่าเมื่อ  เป็น ,...
4
7
,
4
5
,
4
3  
ได้
ตัวอย่าง 11 จงหาค่าตรีโกณมิติต่อไปนี้
 0
4

2

4
3 
4
5
2
3
4
7 2
 sin 0
cos 1
tan 0
1
0

  0, 1 A
  1, 0 B
  y x P,








2
2
,
2
2
P









2
2
,
2
2
Q









2
2
,
2
2
R








 
2
2
,
2
2
S

10. 10
ในทานองเดียวกันสามารถหาค่า เมื่อ  เป็น
3
,
6
 สรุปได้ดังนี้
ค่าของ
6
, tan
6
,cos
6
sin
  
ค่าของ
3
, tan
3
,cos
3
sin
  
ตัวอย่าง 12 จงหาค่าตรีโกณมิติต่อไปนี้

6

3

3
2
6
5
6
7
3
4
3
5
6
11
sin
cos
tan
  0, 1 A
  1, 0 B
  y x P,








2
1
,
2
3
P
 


 



2
1
,
2
3
Q









2
1
,
2
3
R
 


 


 
2
1
,
2
3
S
  0, 1 A
  1, 0 B
  y x P,








2
3
,
2
1
P









2
3
,
2
1
Q









2
3
,
2
1
R








 
2
3
,
2
1
S

11. 11
ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของจานวนจริงใดๆ
ค่าของ sin ,cos , tan 
ค่าของ                n n n 2 tan , 2 cos , 2 sin เมื่อ   I n
ตัวอย่าง 13 จงหาค่าตรีโกณมิติต่อไปนี้
1. 




3
sin

2. 




6
cos

3. 




3
11
tan

4. 


 

3
11
cos

5. 





3
11
sin

  0, 1 A
  y x P,
 
 
 
2
1
6
sin
6
. . sin
tan tan
cos cos
sin sin
    






  
 
  
 
 
 
 
i e
  y x Q,
A1,0
  y x P,
 
 
 
2
2
4
sin
4
sin 3 2
4
sin 6
4
25
. . sin
tan 2 tan
cos 2 cos
sin 2 sin
 





  




 
 
 
 






  
  
  
i e
n
n
n
Qx,y

12. 12
เมื่อจุดปลายส่วนโค้งยาว  หน่วยอยู่ในควอดรันต์ที่ 2 





   

2
ตัวอย่าง 14 จงหาค่าของ 





 





4
3
tan
3
2
sin2  
เมื่อจุดปลายส่วนโค้งยาว  หน่วยอยู่ในควอดรันต์ที่ 3 





 
2
3
 
ตัวอย่าง 15 จงหาค่าของ 





 



6
7
sin
3
4
cos  2 
  0, 1 A
  y x P,
 
 
 
2
3
6
cos
6
cos
6
5
. . cos
tan tan
cos cos
sin sin
   






  





  
  
 




  
  
  
i e
  y x P, 
  0, 1 A
Px, y
 
 
 
2
2
4
sin
4
sin
4
5
. . sin
tan tan
cos cos
sin sin
   




  



 
  
  




  
  
  
i e
P x,y

13. 13
เมื่อจุดปลายส่วนโค้งยาว  หน่วยอยู่ในควอดรันต์ที่ 4 





   

2
2
3
ตัวอย่าง 16 จงหาค่าของ 





 





3
5
cos
4
7
tan  2 
สรุปฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สาคัญ
 


 


2
1
,
2
3
6

01,0
01,0
  0, 1 A
  y x P,
 
 
 
2
1
6
sin
6
sin 2
6
11
. . sin
tan 2 tan
cos 2 cos
sin 2 sin
   





  



  
 
  




  
  
  
i e
  y x P,
0 1,0








2
1
,
2
3
6





 


2
2
,
2
2
4









2
3
,
2
1
3

0, 1
2
3


1,0
6
5
2
1
,
2
3 
 


 



3
2
2
3
,
2
1 









4
3
2
2
,
2
2 


















2
1
,
2
3
6
11
 







2
2
,
2
2
4
7
 


 



2
3
,
2
1
3
5
3
4
2
3
,
2
1 
 


 


 
4
5
2
2
,
2
2 








 
6
7
2
1
,
2
3 
 


 


 
  1, 0
2


14. 14
วิธีลัดอย่างง่ายในการหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
เมื่อ จุดปลายส่วนโค้งยาว  หน่วยอยู่ในควอดรันต์ที่ 2 , 3 และ 4 เช่น ,
6
5
sin

3
5
tan ,
4
15
cos
 ดาเนินการวิธีลัดดังนี้
1. ให้พิจารณาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของความยาวส่วนโค้ง  ในควอดรันต์ที่ 1 นามาเป็น
คา ตอบไว้ก่อน เช่น
3
2
cos

พิจารณาค่าของ
2
1
3
cos 

ดังนั้นจะได้
2
1
3
2
cos 

2. ให้พิจารณาว่าความยาวส่วนโค้ง ทั้งหมดอยู่ในควอดรันต์ใด แล้วพิจารณาว่า มีค่าเป็น
บวก หรือ ลบ แล้วนา บวก หรือ ลบ ไปใส่หน้าคา ตอบที่ได้ตอบไว้ในข้อ 1 เช่น จากตัวอย่างข้อ 1 จะ
เห็นว่า
3
2 อยู่ในควอดรันต์ที่ 2 มีค่าของ
3
2
cos
 เป็น ลบ นั่นคือ
2
1
3
2
cos  

ตัวอย่าง 17 จงหาค่าของ
1. 





 











 





6
7
tan
4
3
cos
3
4
sin
6
5
sin
   
2. 







 

 
 



4
5
tan
6
7
sin
6
11
cos
6
5
sin 2  2   
 ALL
  cos , sin
tan


   

tan, sin
cos
   

tan, cos
sin
1
4
2
3

15. 15
ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม
การวัดขนาดของมุมมี 2 แบบ คือ การวัดในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา และตามเข็มนาฬิกาดังรูป
หน่วยวัดมุมเป็น เรเดียน (Radian) กา หนดดังนี้
มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งของวงกลม
ที่ยาวเท่ากับรัศมีของวงกลมวงนั้น ถือว่าเป็นมุมที่มีขนาด 1 เรเดียน
เนื่องจากวงกลมที่มีรัศมียาว r หน่วย มีเส้นรอบวง r 2 หน่วย ดังนั้นมุมที่จุดศูนย์กลางของ
วงกลมซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งของวงกลมที่ยาว r 2 หน่วย จึงมีขนาด 

2
2

r
r เรเดียน
จะได้มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีรัศมียาว r หน่วย ที่ได้จากการหมนุนรัศมีครบ 1 รอบ
มีขนาด 2 เรเดียน เมื่อวัดเป็นองศาวัดได้ 360 องศา ดังนั้น
360 องศา 2  เรเดียน
180 องศา   เรเดียน
1 องศา
180

 เรเดียน 01745 . 0  เรเดียน
1 เรเดียน

180
 องศา 8 1 57   
หมายเหตุ ขนาดของมุมที่มีหน่วยเป็น เรเดียน มักไม่เขียนหน่วยกา กับไว้
ตัวอย่าง 18 จงหาค่าของ
1. 
6
5
องศา 2. 
5
11
องศา 3.  
3
2
องศา
4.   150 เรเดียน 5.   300 เรเดียน 6.    315 เรเดียน
ทวนเข็มนาฬิกา ขนาดของมุมเป็นจานวนบวก
A
ตามเข็มนาฬิกา ขนาดของมุมเป็นจานวนลบ
r
r
0

16. 16
เนื่องจากการวัดมุมของวงกลม 1 หน่วย จะเห็นได้ว่า จุดที่ด้านสิ้นสุดของมุมขนาด 
เรเดียน ตัดกับวงกลม 1 หน่วยนั้น มีเพียงจุดเดียวและเป็นจุดเดียวกันกับจุดปลายส่วนโค้งที่วัดจาก
จุด  0,1
ดังนั้นค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติในแง่ของมุมหรือในแง่ของความยาวส่วนโค้งมีค่าเท่ากัน
เช่น
2
2
4
, cos45 cos
2
1
sin30
6
sin  





   




   
การหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมหน่วยเป็นองศา
เนื่องจากค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติในแง่ของมุมหรือในแง่ของความยาวส่วนโค้งมีค่าเท่ากัน
ดังนั้นการหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมหน่วยเป็นองศา ดา เนินการได้ดังนี้
1. อาจจะเปลี่ยนหน่วยเป็นเรเดียนก่อน แล้วใช้การหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติในแง่ของ
ความยาวส่วนโค้ง
2. หากไม่เปลี่ยนหน่วยของมุมองศา สามารถใช้สูตรที่ปรับจากค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติใน
แง่ของความยาวส่วนโค้งดังนี้
เมื่อมุมอยู่ในควอดรันต์ที่ 2     90  180
sin180   sin cos180   cos tan180   tan   
เมื่อมุมอยู่ในควอดรันต์ที่3     180   270
sin180   sin cos180   cos tan180   tan   
เมื่อมุมอยู่ในควอดรันต์ที่ 4     270   360
sin360   sin cos360   cos tan360   tan   
ค่าของ                sin n 360 ,cos n 360 , tan n 360 เมื่อ  I n
sin 360   sin cos 360   cos tan 360   tan    n n n
เช่น  
2
1
cos120 cos 180 60  cos60      
 
2
2
sin 225  sin 180  45  sin 45      
 
3
1
tan330  tan 360 30  tan30      
  2
2
2
cos 405  cos 360  45  cos 45       ec ec ec

17. 17
ตัวอย่าง 19 จงหาค่าของ
1. 
 
2sin330
3tan 135 sec 300 2 2 
2.    
  
 
cos 390
tan 480 sin 480

  
ตัวอย่าง 20 กาหนดให้ 5cot  และ 0sin แล้ว จงหาค่าของ cos
ตัวอย่าง 21 กาหนดให้ 3cot  จงหาค่าของ
 
 
2 2
2 2
sin 2cos
sin cos


ตวัอย่าง 22 กา หนดให้ cos  sin  k จงหาค่าของ 10sin cos

18. 18
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ โดยเฉพาะกราฟของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ เป็นกราฟที่มี
ความสา คัญมากทั้งในวิชาคณิตศาสตร์และวิชาฟิสิกส์ โดยมีวิธีการเขียนกราฟดังนี้
ฟังก์ชันไซน์ ถ้า   Sine y x , จะได้ x y sin เขียนกราฟได้ดังนี้
กราฟของ x y sin เมื่อ 20x
x 0
6

4

3

2

3
2
4
3
6
5 
y  sin x 0
2
1
2
2
x 
6
7
4
5
3
4
2
3
3
5
4
7
6
11  2
x y sin 0
2
1

2
2

จากกราฟจะเห็นว่า เรนจ์ของฟังก์ชันไซน์คือ เซตของจา นวนจริงตั้งแต่ -1 ถึง 1 ดังนั้น
1 sin 1    x และ ค่าของ x sin เมื่อ    2 , 0  x มีค่าเพิ่มขึ้นหรือลดลงดังนี้




2
0 ,
 จะเห็นว่า x sin เพิ่มขึ้นจาก 0 ไป 1








,
2
จะเห็นว่า sin x ลดลงจาก 1 ไป 0




2
3
,

 จะเห็นว่า sin x ลดลงจาก 0 ไป -1






, 2
2
3 จะเห็นว่า x sin เพิ่มขึ้นจาก -1 ไป 0
Y
X

0
2

2
3
2
1 
1

19. 19
จาก   x x n sin 2 sin    เมื่อ In ทาให้กราฟของฟังก์ชันไซน์มีลกษณะซ้ากันเป็นช่วงๆ ดังนี้
จากกราฟจะเห็นว่า โดเมนของฟังก์ชันไซน์คือ เซตของจานวนจริง และเรนจ์คือ 1,1
ในทานองเดียวกันกับการเขียนกราฟของ x y cos  เมื่อ 20x ดังนี้
เนื่องจากฟังก์ชันตรีโกณมิติทุกฟังก์ชันเป็น ฟัก์ชันที่เป็นคาบ (periodic function) ซึ่งสามารถ
แบ่งกราฟแต่ละช่วงย่อยมีลักษณะเหมือนกัน โดยความยาวของช่วงย่อยที่สั้นที่สุดที่มีสมบัติดังกล่าว
เรียกว่า คาบ (period) ของฟังก์ชัน เช่น กราฟของ x y sin และ x y cos  ในช่วง   0, 2
ในช่วง   2, 0 ในช่วง   4, 2 ฯลฯ เป็นช่วงที่สั้นที่สุดที่ทาให้กราฟแต่ละช่วงเหล่านั้นมีลักษณะ
เหมือนกัน
ดังนั้นคาบของ y  sin x และ y  cos x เท่ากับ 2
ฟังก์ชันที่เป็นคาบซึ่งมีค่าต่า สุดและสูงสุด จะเรียกค่าที่เท่ากับครึ่งหนึ่งของค่า
สูงสุดลบด้วยค่าต่า สุดของฟังก์ชันนั้นว่า แอมพลิจูด (Amplitude)
ดงันั้นฟังก์ชัน y  sin x และ y  cos x มีแอมพลิจูดเท่ากับ 1
0
1
1 
Y
X

2
2 
 
2

2
3
2
3

2


0
1
Y
X

2
2 
 
2

2
3
2
3

2


1 

20. 20
ตัวอย่าง 23 จงเขียนกราฟ x y sin3 เมื่อ 20x
ตัวอย่าง 24 จงเขียนกราฟ x y sin เมื่อ 20x
ตัวอย่าง 25 จงเขียนกราฟ y  2cosx เมื่อ 0  x  2
ตัวอย่าง 26 จงเขียนกราฟ y  sin2x เมื่อ 0  x  2

21. 21
ตัวอย่าง 27 จงเขียนกราฟ x y 2sin3 เมื่อ 20x
ตัวอย่าง 28 จงเขียนกราฟ
2
sin 3
x
y  เมื่อ 4 0   x
สรุปกรณีทั่วไปดังนี้
f x  k sinnx ,n,k  0 f x k cosnx ,n,k  0
คาบเท่ากับ
n
2 คาบเท่ากับ
n
2
แอมพลิจูดเท่ากับ k แอมพลิจูดเท่ากับ k
เรนจ์เท่ากับ  k , k เรนจ์เท่ากับ  k , k

22. 22
ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวก และผลต่างของจานวนจริงหรือมุม
สิ่งแรกจะพิจารณาคือ ค่าของฟังก์ชันโคไซน์ของผลต่างระหว่างจานวนจริงสองจานวนหรือ
มุมสองมุม นั่นคือพิจารณาค่าของ   B A  cos เมื่อ B A, เป็นจานวนจริงหรือมุมใดๆ ดังนี้
จากวงกลม 1 หน่วย กาหนดให้ส่วนโค้ง 1PP ยาว A หน่วย และส่วนโค้ง 2PP ยาว B
หน่วย จะได้ส่วนโค้ง 2 1P P ยาว B A  หน่วย
ให้ 3P เป็นจุดบนวงกลม 1 หน่วยที่ทาให้ความยาวส่วนโค้ง 3PP เท่ากับส่วนโค้ง 2 1PP
ดังนั้นจะได้ส่วนโค้ง 3PP ยาว B A  หน่วยด้วย ดังรูป
ทาให้คอร์ด 3PP เท่ากับคอร์ด 2 1 P P นั่นคือ
3 1 2 PP  PP
       2
2 1
2
2 1
2
3
2
3 x 1  y  0  x  x  y  y
       2
2 1
2
2 1
2
3
2
3 x 1  y  0  x  x  y  y
2
2 1 1
2
2
2
2 1 1
2
2
2
3 3
2
3 x  2x 1 y  x  2x x  x  y  2y y  y
     2 
2
2
2
2
1
2
2 1 2 1 1
2
3
2
3 3  2x 1 x  y  2x x  2y y  x  y  x  y
2 1 1 2 2 1 1 3 2 1 2 1  x     x x  y y  
3 2 1 2 1  2x  2x x  2y y
3 2 1 2 1 x  x x  y y ...........1
เนื่องจาก จุด     1 1 2 2 x , y , x , y และ   3 3 x , y เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว A,B และ A B
ตามลา ดับ ดังนั้นจะได้
x cosA , y  sin A , x cosB , y  sinB , x  cosA B 1 1 2 2 3 แทนในสมการ 1 ได้
cosA B cosAcosB sin Asin B
และสามารถนา cosA Bไปหาฟังก์ชัน cosA B ,sinA B,sinA B ดังนี้
0
  0, 1 P
  1 1 1 , y x P
  2 2 2 , y x P
  3 3 3 , y x P

23. 23
cosA B cosA B
 cosAcos Bsin Asin B
 cosAcosB sin AsinB
ดังนั้น cosA B cosAcosB sin Asin B
ตัวอย่าง 29 จงแสดงว่า A sin A
2
cos  





และสามารถสรุปได้ดังนี้
cosA B cosAcosB  sin Asin B
sinA B sin AcosB  cosAsin B
 
A B
A B
A B
1 tan tan
tan tan
tan


 
 
B A
A B
A B
cot cot
cot cot 1
cot

 

ตัวอย่าง 30 จงแสดงว่า
4
6 2
4 3
3
cos

 






 
ตัวอย่าง 31 จงแสดงว่า
2
1
18
sin
9
cos
18
cos
9
sin  
   

24. 24
ตัวอย่าง 32 จงหา ค่า
12
11
,sin 75 , tan15 , tan
12
7
cos15 ,cos
    
ตัวอย่าง 33 จงแสดงว่า A cot A
2
tan   








25. 25
ตัวอย่าง 34 จงแสดงว่า A B A B A B 2 2 cos  cos   cos sin
ตัวอย่าง 35 จงหาค่าของ      
C A
C A
B C
B C
A B
A B
cos cos
sin
cos cos
sin
cos cos
sin 




ตัวอย่าง 36 จงหาค่าของ ก.     sin17 cos13 cos17 sin13
ข.     cos43 cos17 sin43 sin17
ค.
36
17
cos
36
11
sin
36
11
cos
36
17
sin
   

ตัวอย่าง 37 ถ้า
5
2
,sin
5
4
,sin
2
3
,
2
 A  B  A  B  

 
 แล้ว   cos s A B มีค่าเท่าใด

26. 26
ตัวอย่าง 38 กา หนดให้
2
0 ,
5
3
sin

x   x  และ  
2
3
,
13
5
sin

x  y     x  y 
จงหาค่าของ ysin และ   y x tan
ตัวอย่าง 39 ถ้า  A B  45 จงหาค่า 1 tan A1 tanB
ตัวอย่าง 40 จงแสดงว่า 
 
 
tan56
cos11 sin11
cos11 sin11




27. 27
ฟังก์ชันตรีโกณมิติของ มุม A 2 มุม
2
A และมุม A 3
เมื่อทราบค่าของ A sin หรือ A cos สามารถหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติซึ่งเป็นจา นวนสองเท่า
หรือครึ่งเท่าหรือสามเท่าได้ ในที่นี้พิจารณาค่าของ sin2Aได้ดังนี้
sin 2A  sinA A sin Acos Acos Asin A  2sin Acos A
ตัวอย่าง 41 จงแสดงว่า A A A 2 2 cos2  2cos 112sin
ตัวอย่าง 42 จงแสดงว่า
A
A
A 2 1 tan
2tan
tan2


ตัวอย่าง 43 จงแสดงว่า
2
1 cos
2
sin
A  A
 
ตัวอย่าง 44 จงแสดงว่า
A
A
A 2 1 tan
2tan
sin 2



28. 28
ในทานองเดียวกันสามารถหาค่าของ A3sin ในรูป Asin ได้ดังนี้
sin 3A  sin2A A  sin 2Acos Acos2Asin A
2sin Acos Acos A 1 2sin Asin A 2   
A A A A 2 3  2sin cos sin 2sin
A A A A 2 3  2sin 1sin sin 2sin
A A A A 3 3  2sin 2sin sin 2sin
A A 3 sin 4 sin 3  
ดังนั้น A A A 3 sin3  3sin 4sin
ตัวอย่าง 45 จงแสดงว่า cos3A 4cos A 3cosA 3  
และสามารถสรุปฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สา คัญได้ดังนี้
A
A
A A A 2 1 tan
2tan
sin 2 2sin cos

 
A
A
A A A A A 2
2
2 2 2 2
1 tan
1 tan
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin


      
A
A
A 2 1 tan
2tan
tan2


2
1 cos2
cos2 A
A


2
1 cos2
sin2 A
A


A A A 3 sin3 3sin 4sin
cos3A 4cos A 3cosA 3  
A
A A
A 2
3
1 3tan
3tan tan
tan3




29. 29
ตัวอย่าง 47 จงหาค่า 2cos และ 2tan ถ้า  

   
2
,
5
4
sin
ตัวอย่าง 48 จงแสดงว่า 
 
 
tan
2cos cos
sin 2sin
3
3



ตัวอย่าง 49 จงแสดงว่า A
A
A
tan
1 cos2
sin2


ตัวอย่าง 50 จงแสดงว่า 
 
1 sin
2
cos
2
sin
2
  

 


30. 30
ตัวอย่าง 51 จงแสดงว่า
2
2 2
cos22.5

 
ตัวอย่าง 52 จงหาค่าของ   10 cos
3
10 sin
1

ตัวอย่าง 53 จงแสดงว่า 2
cos
cos3
sin
sin3
 
A
A
A
A
ตัวอย่าง 54 จงหาค่าของ

 

 
sin
sin sin3
cos
cos cos3 3 3 



31. 31
สูตรผลคูณเป็นผลบวกหรือผลต่าง
จากค่าของ sinA B,sinA B,cosA B,cosA B เมื่อนา มาบวกหรือลบกันจะ
ได้ความสัมพันธ์ที่สา คัญดังนี้
จาก cosA B cosAcosB sin Asin B ..........1
cosA B  cos AcosBsin Asin B ..........2
   ; 21     B A B A B A cos cos 2 cos cos    
   ; 21     B A B A B A sin sin 2 cos cos    
จาก sinA B sin AcosBcos Asin B ..........3
sinA B sin AcosBcos Asin B ..........4
   ; 43     B A B A B A cos sin 2 sin sin    
   ; 43     B A B A B A sin cos 2 sin sin    
ดังนั้นสรุปได้ว่า
2cosAcosB  cosA B cosA B
2sin Asin B  cosA BcosA B
2sin AcosB  sinA BsinA B
2cos Asin B  sinA BsinA B
วิธีจา ง่าย ๆ 2coscos  cosDiff cosSum
2sin sin  cosDiff cosSum
2sin cos  sinSumsinDiff 
2cossin  sinSumsinDiff 
เช่น 2cos7 cos5  cos7 5 cos7 5   cos2 cos12
    



  




        sin 4 sin 2
2
1
sin 3 sin 3
2
1
sin3 cos
ตัวอย่าง 55 จงหาค่าของ    2sin40 sin10 cos50

32. 32
ตัวอย่าง 56 จงหาค่าของ    cos20 2sin20 sin40
ตัวอย่าง 57 จงหาค่าของ    cos20 cos40 cos80
ตัวอย่าง 58 จงหาค่าของ    sin20 sin40 sin80

33. 33
สูตรผลบวกหรือผลต่างให้เป็นผลคูณ
จากสูตรผลคูณเป็นผลบวกหรือผลต่าง สามารถนา มาหาความสัมพันธ์จากผลบวกหรือผลต่าง
ให้เป็นผลคูณได้ดังนี้
จาก     y x y x y x cos sin 2 sin sin       1..........
ให้ x  y  A ..........2
x  y  B ..........3
   ; 3 2 
2
2
A B
x A B x

   
   ; 3 2 
2
2
A B
y A B y

   
แทนใน 1;
2
cos
2
sin sin 2sin
A B A B
A B
 
 
ดังนั้นสรุปได้ว่า
2
cos
2
sin sin 2sin
A B A B
A B
 
 
2
sin
2
sin sin 2cos
A B A B
A B
 
 
2
cos
2
cos cos 2cos
A B A B
A B
 
 
2
sin
2
cos cos 2sin
A B A B
A B
 
  
วิธีจา ง่าย ๆ sin Asin B  2sinhalf sumcoshalf diff 
sin Asin B  2coshalf sumsinhalf diff 
cos AcosB  2coshalf sumcoshalf diff 
cos AcosB  2sinhalf sumsinhalf diff 
เช่น  
   
  2sin6 cos2
2
8 4
cos
2
8 4
sin8 sin 4 2sin 
 
 
 
   
  2cos5 cos2
2
7 3
cos
2
7 3
cos7 cos3 2cos 
 
 
ตัวอย่าง 59 จงแสดงว่า
2
6
sin 75 sin15   

34. 34
ตัวอย่าง 60 จงแสดงว่า 
 
 
tan15
cos80 cos50
sin80 sin50



ตัวอย่าง 61 จงหาค่าของ    cos20 cos100 cos140
ตัวอย่าง 62 จงหาค่าของ A   A   A   cos cos 60 cos 60 2 2 2

35. 35
ตัวอย่าง 63 จงแสดงว่า
2
3
cos cos
2
1 cos cos2 cos3 4cos
A
A
A
 A A A 
ถ้า  A BC 180 จงแสดงว่า sin2Asin2B sin2C  4sin AsinBsinC
จาก  A BC 180 จะได้ 2A 2B 2C  360 2C  360 2A B  
sin2Asin2Bsin2C  sin2Asin2Bsin360 2A B 
 sin 2Asin 2Bsin 2A B
 2sinA BcosA B2sinA BcosA B
 2sinA BcosA BcosA B
 2sin AcosBcos Asin Bcos AcosBsin Asin Bcos AcosBsin Asin B
 2sin AcosB 2cos Asin B2sin Asin B
A B B A A B 2 2  4sin sin cos 4sin cos sin
 4sin Asin Bsin AcosBcos Asin B
 4sin Asin BsinA B
 A B  C  4sin sin sin 180
 4sin Asin BsinC

36. 36
ตัวอย่าง 64 ถ้า  180    C B A จงแสดงว่า
2
cos
2
cos
2
sin sin sin 4cos
A B C
A B  C 
ตัวอย่าง 65 ถ้า  A BC 180 จงแสดงว่า tanA tanB  tanC  tanAtanBtanC

37. 37
อินเวอร์สของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
พิจารณากราฟของ x y sin โดยที่ 11, y Rx และกราฟอินเวอร์สฟังก์ชันไซน์ซึ่ง
เป็นความสัมพันธ์     y x y x sin,  ดังนี้
พิจารณา 0,0, 0, , 0,  จากx, y x  sin y จึงไม่เป็นฟังก์ชัน แต่ถ้ากา หนด
โดเมนของฟังก์ชันไซน์ใหม่เป็น






  
2 2
 
x x ทา ให้x, y x  sin y เป็นฟังก์ชันดังนี้
 






   
2 2
, sin ,
 
x y y x x เป็นฟังก์ชัน 1 – 1 ซึ่งมีฟังก์ชันอินเวอร์สเป็น
 






   
2 2
, sin ,
 
x y x y y เรียกฟังก์ชันอินเวอร์สนี้ว่า arcsine เขียนได้เป็น
   






    






   
2 2
, arcsin ,
2 2
, sin ,
   
x y x y y x y y x y
จะเห็นว่า โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน arcsine คือ 1 , 1และ 




2
,
2
  ตามลา ดับ
การหาฟังก์ชันอินเวอร์สดังกล่าวนอกจากใช้กราฟแล้ว สามารถใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิตินั้นๆ ดังนี้
การหาค่าของ arcsinx คือ การหา  ที่ อยู่ในเรนจ์คือ 




2
,
2
  ที่ทา ให้ sin  x
เช่น ต้องการหาค่าของ arcsin1 ได้ดังนี้
กา หนดให้ arcsin1 sin 1
จะพบว่าในช่วง 




2
,
2
  จะมี
2

  ค่าเดียวที่ทา ให้ sin 1
ดังนั้น
2
arcsin1


0
Y
X

2
2 

2

2
3
2
3

2


2


2



y x sin
x y sin

38. 38
ตัวอย่าง 66 จงหาค่าของ 







2
3
arcsin และ 






2
1
arcsin
ในทา นองเดียวกันจะได้ฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชันตรีโกณมิติต่างๆ สรุปได้ดังนี้
ฟังก์ชัน arcsine คือ เซตของคู่ลาดับ yx, โดยที่ y x sin และ
2 2
 
   y
 






     
2 2
, arcsin , 1  
f x y y x y
ฟังก์ชัน arccosine คือ เซตของคู่ลา ดับ x, yโดยที่ x  cos y และ 0  y 
        f x, y y arccosx,0 y 1
ฟังก์ชัน arctangent คือ เซตของคู่ลาดับ   y x, โดยที่ tanx และ
2 2
 
  y 
 






     
2 2
, arctan , 1  
f x y y x y
โดเมนและเรนจ์ของอินเวอร์สฟังก์ชันตรีโกณมิติ
1 f 1 r
D 1 r
R
y  arcsinx
y  arccosx
y  arctanx
y  arccot x
y  arcsec x
y  arccosecx
  1, 1
1,1
R
R
,11,
,11,







2
,
2
 
0, 







2
,
2
 
0, 






 






 
,
2 2
0,




 





2
,0 0,
2
 

39. 39
วิธีจาง่ายๆ ของเรนจ์ , arcsinx y  x y arccos  และ x y arctan จากiรูปวงกลม 1 หน่วยดังนี้
1. ครึ่งวงกลมด้านขวา ช่วงปิด 




2
,
2
  เป็นค่าของเรนจ์ y  arcsinx
2. ครึ่งวงกลมด้านขวา ช่วงเปิด 






2
,
2
 เป็นค่าของเรนจ์ x y arctan 
3. ครึ่งวงกลมด้านบน ช่วงปิด 





, 0 เป็นค่าของเรนจ์ x y arccos 
ตัวอย่าง 67 จงหาค่าของ
1.
2
2
arcsin 2.
2
3
arccos 3. 1arctan 4.   1 arctan 
5. 






2
1
arccos 6. 





4
arcsin cos
 7. 





3
arcsin sin
 8.  


 








6
tan arcsin cos

9. 





 





 
3
1
arctan
2
1
arcsin1 arcsin 10.  


 








3
17
arctan cot

2


2


0
x y arctan
x y arcsin x y arccos 

40. 40
บางกรณีนอกจากการหาค่าตรีโกณมิตินั้นๆ แล้ว อาจต้องอาศัยฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นที่
เกี่ยวข้องด้วย หรือใช้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากก็ได้ แต่ต้องพิจารณาเรนจ์ของอินเวอร์สฟังก์ชันด้วย เช่น
หาค่าของ  


 







3
1
cos arcsin ได้ดังนี้
กา หนดให้
3
1
sin
3
1
arcsin     





   โดยที่ 





 
2
,
2
 

เนื่องจาก 0
3
1
sin ดังนั้นจะได้ 




  ,0
2

 (ควอดรันต์ที่ 4)
จะได้ cos
3
1
arcsin cos   












จาก 





  0,
2

 จะได้ค่าของ 0 cos   หรือในควอดรันต์ที่ 4 ได้ cos เป็นบวก
หาค่า  cos โดยใช้สูตรหรือรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อทราบค่า
3
1
sin   
ในที่นี้เพื่อความสะดวกใช้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากดังนี้
จากรูป
3
2 2
cos   โดยที่cos เป็นบวก
ดังนั้น
3
2 2
3
1
arcsin cos   


 









ตัวอย่าง 68 จงหาค่าของ
1. 






5
3
arccos
13
5
cos arcsin 2.  


 







 
5
3
arcsin
5
3
sin arccos

1
3
8  2 2

41. 41
ตัวอย่าง 69 จงหาค่าของ
1. 






2
1
arctan
3
2
tan arctan 2. 







 


 



5
1
tan 2arcsin 3. sinarctan2 arcsec 10
ตัวอย่าง 70 จงแสดงว่า
13 2
12
arcsin
13
5
arcsin

 

42. 42
สมการตรีโกณมิติ
การแก้สมการตรีโกณมิติ คือ การหาค่าตัวแปรของสมการโดยอาศัยความรู้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ซึ่งคา ตอบของตัวแปร แยกได้ดังนี้
1. คา ตอบแบบมีขอบเขตหรือช่วงของค่ามุม
2. คา ตอบแบบหาค่ามุมทั่วไป หรือในกรณีไม่ได้กา หนดขอบเขตหรือช่วงของค่ามุม
ถ้า  เป็นมุมที่เล็กที่สุดในการแก้สมการ 1 รอบแรกตามทิศทวนเข็มนาฬิกา และ I n 
คา ตอบของสมการอาจเขียนได้ดังนี้
1. ถ้าคา ตอบมาจากมุมที่อยู่ในรูปฟังก์ชัน sin, cosec
 ทั่วไป =    n n 1  
2. ถ้าคา ตอบมาจากมุมที่อยู่ในรูปฟังก์ชัน cos, sec
 ทั่วไป = n2
3. ถ้าคา ตอบมาจากมุมที่อยู่ในรูปฟังก์ชัน tan, cot
 ทั่วไป = n
ตัวอย่าง 71 จงแก้สมการ 4sin 3 0 2    เมื่อ 0   2
ตัวอย่าง 72 จงแก้สมการ 2cos 3cos 0 2     เมื่อ 0   2

43. 43
ตัวอย่าง 73 จงแก้สมการ sin cos 5 0 2      เมื่อ 20
ตัวอย่าง 74 จงแก้สมการ 0 2 cos sec 3      เมื่อ 20
ตัวอย่าง 75 จงแก้สมการ 2sin 3cos 3 2     เมื่อ 0   2
ตัวอย่าง 76 จงแก้สมการ 1
2
cos2 2cos2  

 เมื่อ 0   2

44. 44
ตัวอย่าง 77 จงแก้สมการ   cos 2 sin  เมื่อ   2 0  
ตัวอย่าง 78 จงแก้สมการ 2cos 2cos2 1 2     เมื่อ 20
ตัวอย่าง 79 จงหาค่ามุมทั่วไปของ cos2 3sin  2
ตัวอย่าง 80 จงแก้สมการ    2cos  sin 30

45. 45
กฎของโคไซน์ (Law of cosine)
จากฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นฟังก์ชันของจา นวนจริงหรือมุม สมบัติของฟังก์ชันเหล่านี้อาจ
นา มาใช้หาความยาวของด้านและขนาดของมุมรูปสามเหลี่ยมใดๆ ได้ดังนี้
กาหนดให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมใด ๆ โดยที่ c b a , , เป็นด้านของสามเหลี่ยมซึ่งตรงกัน
ข้ามกับมุม CBA, , ตามลาดับ จะได้ว่า
C
b a
A c B
จงแสดงว่า a b c 2bccosA 2 2 2   
ให้ มุม A ของรูป ABC อยู่ในตาแหน่งมาตรฐาน ดังรูป
CbcosA,bsin A
b a
  0, 0A c D   0, c B
จากรูปจะได้    2 2 a  BC  bcosAc  bsin A0
a b A c b A 2 2 2 2  cos   sin
b A bc A c b A 2 2 2 2 2  cos 2 cos   sin
b cos A sin A c 2bccos A 2 2 2 2    
b c 2bccosA 2 2   
ในทา นองเดียวกัน สรุปได้ กฎของโคไซน์ ดังนี้
กฎของโคไซน์ a b c 2bccosA 2 2 2   
b a c 2accosB 2 2 2   
c a b 2abcosC 2 2 2   
หลักควรจา การหาความยาวของด้าน จะต้องทราบความยาวด้านอีก 2 ด้าน
และมุมระหว่างด้านทั้งสองนั้น

46. 46
และจะได้ว่า
,
2
cos
2 2 2
bc
b c a
A
 
 ,
2
cos
2 2 2
ac
a c b
B
 

ab
a b c
C
2
cos
2 2 2  

หลักควรจา การหามุม จะต้องทราบความยาวด้านทั้ง 3 ด้านของรูปสามเหลี่ยม
ตัวอย่าง 81 กา หนด  120 , 3 2 , 2    C c a จงหาความยาวด้าน b
ตัวอย่าง 82 กา หนด  60 , 1 3 , 2     C b a จงหา c
ตัวอย่าง 83 กาหนด 13 , 7 , 15    c b a จงหาขนาดของมุม C

47. 47
ตัวอย่าง 84 กา หนด c  60 ,a  2,c  6  จงหาขนาดของมุม B
ตัวอย่าง 85 รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานรูปหนึ่ง มีขนาดของมุมๆ หนึ่งเท่ากับ  60 และด้านที่ประกอบมุม
นี้ยาว 5 และ 10 เซนติเมตร จงหาความยาวของเส้นทแยงมุมทั้งสองของรูปสี่เหลี่ยมนี้   35, 75
ตัวอย่าง 86 รูปสามเหลี่ยม ABC ให้ c ba, , เป็นความยาวด้านของสามเหลี่ยมซึ่งอยู่ตรงกันข้าม
กับมุม CBA, , ตามลาดับ ถ้า    bc a c b c b a 3      แล้ว จงหาขนาดของมุม A

48. 48
กฎของไซน์ (Law of sine)
กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมใด ๆ โดยที่ cba,, เป็นด้านของสามเหลี่ยมซึ่งตรงกัน
ข้ามกับมุม CBA, , ตามลาดับ
จงแสดงว่า พื้นที่รูปสามเหลี่ยม ABC ใด ๆ Abcsin
2
1

ให้ มุม A ของรูป ABC อยู่ในตาแหน่งมาตรฐาน ดังรูป
  AbAbCsin, cos
b a
  0, 0A c D   0, c B
พื้นที่รูปสามเหลี่ยม ABC 
2
1 ความสูง ความยาวของฐาน
   c Absin
2
1

bcsin A
2
1

ในทานองเดียวกัน ให้ มุม B และมุม C ของรูป ABC อยู่ในตาแหน่งมาตรฐาน จะได้
พื้นที่รูปสามเหลี่ยม ABC ca B absinC
2
1
sin
2
1
 
สรุปพื้นที่รูปสามเหลี่ยม ABC ใด ๆดังนี้
พื้นที่รูปสามเหลี่ยม ABC bc A ca B absinC
2
1
sin
2
1
sin
2
1
  
หลักควรจา การหาพื้นที่ทราบความยาวด้าน 2 ด้านและมุมระหว่างด้านทั้งสองนั้น
จาก พื้นที่รูปสามเหลี่ยม ABC bc A ca B absinC
2
1
sin
2
1
sin
2
1
  
เมื่อ นา abc
2
1 หารตลอดจะได้ กฎของไซน์ ดังนี้
abc
ab C
abc
ca B
abc
bc A
2
1
sin
2
1
2
1
sin
2
1
2
1
sin
2
1
 
กฎของไซน์
c
C
b
B
a
sin A sin sin
 
หรือ
C
c
B
b
A
a
sin sin sin
 

49. 49
ตัวอย่าง 87 รูปสามเหลี่ยม ABC ให้มุม B  45 ,b  2 2, c  2 3  จงหาขนาดของมุมที่เหลือ
ตัวอย่าง 88 ในสามเหลี่ยม ABC ให้ cba,, เป็นความยาวด้านของสามเหลี่ยมซึ่งอยู่ตรงกันข้าม
กับมุม CBA, , ตามลาดับ ถ้า ba2 และ BA3 แล้ว จงหาขนาดของมุมทั้งสามของ
สามเหลี่ยนรูปนี้
หมายเหตุ กาหนดให้ ABC  เป็นรูปสามเหลี่ยมใด ๆ โดยที่ c ba, , เป็นด้านของสามเหลี่ยมซึ่ง
ตรงกันข้ามกับมุม A,B,C ตามลา ดับ จะได้สูตรอื่นๆ ดังนี้
ถ้า
2
a b c
s
 
 แล้ว ss as bs c
bc
A    
2
sin
ss as bs c
ac
B    
2
sin
ss as bs c
ab
C    
2
sin
และจะได้ พื้นที่รูปสามเหลี่ยม ABC  ss  as bs c

50. 50
การหาระยะทางและความสูง
เราสามารถใช้ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติ เพื่อหาระยะทางและความสูงได้
ตัวอย่าง 89 สมจิตยืนอยู่บนสนามแห่งหนึ่งมองเห็นยอดเสาธงเป็นมุมเงย 15 องศา แต่เมื่อตรงเข้าไป
หาเสาธงอีก 60 เมตร เขามองเห็นยอดเสาธงเป็นมุมเงย 75 องศา ถ้าสมจิตสูง 150 เซนติเมตร จงหา
ความสูงของเสาธง กาหนดให้ 732 . 1 3    82. 18
ตัวอย่าง 90 รุ่งเรืองยืนอยู่บนดาดฟ้าของตึกชมวิว 15 ชั้นหลังหนึ่ง เขามองเห็นป้อมยามทางทิศ
ตะวันออกของตึกชมวิวเป็นมุมก้ม 60 องศา และมองเห็นรถบรรทุกน้า มันคันหนึ่งจอดอยู่ทางทิศใต้
ของป้อมยามนั้นเป็นมุมก้ม 30 องศา อยากทราบว่ารถบรรทุกน้า มันคันนั้นอยู่ห่างจากป้อมยามเท่าไร
ถ้าตึกชมวิวหนึ่งมีความสูงชั้นละ 4 เมตร

51. 51
แนวข้อสอบเรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ
1. ถ้าสามเหลี่ยม ABC มีฐาน AB ยาว 6 หน่วย มุมCBAเท่ากับ 30 องศา และพื้นที่ของสามเหลี่ยม
ABC เท่ากับ 6 ตารางหน่วย แล้วด้าน BC ยาวเท่ากับข้อใด
1. 5.2 2. 0.3 3. 5.3 4. 0.4
2. กาหนดให้ ABCเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมีมุม ABCเป็นมุมฉาก และมุม CABกาง  60
ถ้าผลบวกของความยาวของด้าน AB กับ AC เท่ากับ 6 หน่วยแล้ว ด้าน CB จะยาวเท่ากับข้อใด
1.   126 2. 2 3. 22 4. 3 2
3. ถ้าสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABCมีมุม C กาง 120 องศา ด้าน AC=BC ดังรูป ถ้าลากเส้นตรงจากจุด A
มาตั้งฉากกับด้าน BC ที่ต่อออกไปที่จุด D และ AD ยาว 3 หน่วย จงหาความยาวเส้นรอบรูป
สามเหลี่ยม ABC
A
C B
1. 3 3
2
3
 2. 3 3 6  3. 3 4
2
3
 4. 3 4 6 
4. จงหาค่าของ  


 


 



cos10
cos30
sin10
sin30
1. -2 2. -1 3. 2 4. 1
5. ถ้า
3
5
cos Asin A  แล้ว sin2Aเท่ากับข้อใด
1.
9
4 2.
13
4 3.
13
9 4.
9
13
6. กา หนด
5
4
,cos
5
3
sin A  B  เมื่อ
2
0 ,

 A B  จงหาค่าของ cosA B
1. 0 2. 1 3. 2 4. 3
7. sinA BsinA B มีค่าตรงกับข้อใด
1. A 2 sin 2. B 2 sin 3. A B 2 2 sin sin 4. A B 2 2 sin sin
8. กา หนด  
2
1
, tan
4
3
tan     จงหาค่าของ tan
1.
11
2 2.
11
3 3.
5
2 4.
5
3
 120

52. 52
9. จงหาค่าของ     tan30  tan15  tan30 tan15
1. -2 2. -1 3. 0 4. 1
10. จงหาค่าของ      2 cos21 cos51 cos69 cos39  
1. 3 2. 3 2 3.
2
1
 4.
2
1
11. ถ้า
7
1
tan A  และ
10
1
sin  B เมื่อ B A, เป็นมุมแหลมแล้ว   B A 2 tan  เท่ากับข้อใด
1. 1 2. 2 3.
3
1 4.
2
3
12. ห้    
10
3 4 3
,cos
10
3 4 3
cos

 

A B  A B จงหาค่าของ sin 2Asin 2B
1.
25
3 6 2.
25
3 12 3.
25
3 6
 4.
25
3 12

13. ข้อใดต่อไปนี้ผิด
1. 

 2
2
2
sec
cot
cot 1

 2.
2
tan
cos 1
cos 1 2 





3. 



 2 cos
4
cos
4
sin  





  





 4.
2
1
2
1
sin arcsin   





 
14. ถ้า
4
3
cos A  แล้ว
2
5
sin
2
2sin
A A เท่ากับข้อใด
1.
32
11 2.
16
11 3.
16
9 4.
12
9
15. จงหาค่าของ    cos10 cos110 cos130
1. 0 2.
2
1 3. 1 4. 2
16. ถ้า
3
1
tan   จงหา 4sin
1.
25
23 2.
25
24 3.
22
21 4.
23
22
17.
A A
A A
sin5 sin3
cos5 cos3

 มีค่าตรงกับข้อใด
1. ecA cos 2. A sec 3. A cot 4. A tan
18.
A A A
A A A
cos cos3 cos5
sin sin3 sin5
 
  มีค่าตรงกับข้อใด
1. cosec3A 2. sec3A 3. cot3A 4. tan3A
19.    8sin20 sin40 sin80 มีค่าตรงกับข้อใด
1.
3
1 2.
2
1 3. 2 4. 3

53. 53
20.    sin70 sin50 sin10
8
1 มีค่าตรงกับข้อใด
1.
8
1 2.
16
1 3.
32
1 4.
64
1
21. จงหาค่าของ
















 








2
3
arcsin
2
1
2
3
cos arccos
1. 1  2.
2
1 3. 1 4. 2
22. จงหาค่าของ 











 





3
4
arctan
5
4
tan arccos
1.
17
6 2.
16
7 3.
7
16 4.
6
17
23. จงหาค่าของ
13
5
arccos
12
5
arctan 
1.
6
 2.
4
 3.
3
 4.
2

24. จงหาค่า  จากสมการ 0 cos 3 sin 2 2     เมื่อ   180 90  
1.  90 2.  120 3.  135 4.  180
25. จงหาค่า  จากสมการ 3
sin
1 cos



 เมื่อ  0  
1.
3
 2.
3
2 3.
4
3 4.
6
5
26.
12
cos
12
5
cos
 
 มีค่าเท่ากับข้อใด
1.
2
3 2.
2
1 3.
2
6 4.
2
1
27. กาหนด 5 , 3 5 , 5    c b a จงหาขนาดของมุม B
1.  90 2.  120 3.  135 4.  160
28. กา หนด   b  6,B  60 ,C 15 จงหาความยาวด้าน c
1. 1 3  2. 1 3  3. 1 2  4. 1 2 
29. กาหนด    ab c b a c b a 3      แล้ว จงหาขนาดของมุม C
1.  30 2.  45 3.  60 4.  90
30. ถ้า
5
sin
6
sin
7
sin A B C
  แล้ว จงหาค่าของ cosC
1.
8
3 2.
5
3 3.
15
8 4.
7
5

54. 54
31. กา หนดให้  






  


  
cos
2cos2
sin 1 tan sin A ผลบวกของสมาชิกในเซต Aเท่ากับข้อใด
1.
3
2 2.
3
5 3.
3
1
 4.
3
5

32. ถ้า   x   sin15 sin55 และ   y   55 cos 15 cos แล้ว   xyy x 2 2   เท่ากับข้อใด
1.  20 cos 4 2 2.  20 cos 2 2 3.  40 cos 4 2 4.  40 cos 2 2
33. 











  












5
4
arccos
5
4
arcsin
2
1
tan
5
3
arccos
5
3
arcsin
2
1
sec มีค่าเท่ากับข้อใด
1. 2 2. 3 3. 2 1  4. 3 2 
34. ถ้าสามเหลี่ยม ABC มีมุม BAC = 45 มุม ACB = 60 และด้าน AC ยาว 20 นิ้ว แล้วพื้นที่ของ
สามเหลี่ยม ABC มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.
1 3
2 300

ตารางหน่วย 2.
1 3
3 300

ตารางหน่วย
3.
1 3
2 200

ตารางหน่วย 4.
1 3
3 200

ตารางหน่วย
35. รูปสามเหลี่ยม ABC มีด้าน a, b และ c เป็นด้านตรงข้ามมุม A, B และ C ตามลา ดับ
ถ้า
4
1
cos  B และ    30      c b a c b a แล้ว ac มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 12 2. 20 3.
5
20 4.
3
40
36. จงหาค่าของ 



3
1
sec 2arcsin
1. 1 2. 3 3.
3
1 4.
2
3
37. จงหาค่าของ 




5
3
cos 2arcsin
1.
25
7 2.
25
8 3.
27
5 4.
27
8
38. จงหาค่าของ
 




 




2
4
3
arctan
sin
1.
3
3 2.
6
6 3.
10
10 4.
12
12
39. เซตคา ตอบของสมการ    
4
arctan1 arctan1

 x   x  เป็นสับเซตของเซตในข้อใด
1.  4,0 2.  2,2 3. 3,1 4. 1,3

55. 55
40. 





12
11
tan
 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.
3 1
1

 2.
3 1
3 1

 3.
3 1
3 1

 4.
3 1
3

41. ถ้า   x x f sin และ   x x x g arcsin 2 2 arcsin  
แล้วค่าของ   





3
1
gf  คือข้อใดต่อไปนี้
1.
9
4 2.   8 1
9
2

3.
12
10
2 4  4.   10 2 7
27
2

42. กาหนดให้   




 

24
7 x
x f  เมื่อ - 3 < x  3 และ     x f x f 6 ทุก ๆ x R
ถ้า   x A x g arcsin   โดยที่ A , 0 และ
5
2
cos  A แล้วค่าของ    5 1 f g  
เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.
10
1 2.
5
1 3.
5
1 4.
10
1
43. ถ้า arctan x = arctan
4
1 - 2arctan
2
1 แล้ว sin (180  + arctan x) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.
17 5
13 2.
17 5
16 3. 2 4. 3
44. สามเหลี่ยม ABC มีด้าน a, b, c เป็นด้านตรงข้ามมุม A, B, C ซึ่งมีความยาวเป็น 3, 2.5, 1 หน่วย
ตามลา ดับ ค่าของ b cos C + c cos B เท่ากับเท่าใด
1. 1 2. 3 3. 4 4. 5
45. ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมดังรูป
A
5 7
C 8 B
ค่าของ
2
sin2 B เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.
28
3 2.
28
7 3.
28
12 4.
28
21

56. 56
เฉลยแนวข้อสอบฟังก์ชันตรีโกณมิติ
1. ข้อ 4
2. ข้อ 4
3. ข้อ 4
4. ข้อ 3
5. ข้อ 1
6. ข้อ 2
7. ข้อ 3
8. ข้อ 1
9. ข้อ 4
10. ข้อ 1
11. ข้อ 1
12. ข้อ 2
13. ข้อ 4
14. ข้อ 2
15. ข้อ 1
16. ข้อ 2
17. ข้อ 3
18. ข้อ 4
19. ข้อ 4
20. ข้อ 4
21. ข้อ 1
22. ข้อ 4
23. ข้อ 4
24. ข้อ 2
25. ข้อ 2
26. ข้อ 3
27. ข้อ 2
28. ข้อ 1
29. ข้อ 3
30. ข้อ 4
31. ข้อ 3
32. ข้อ 1
33. ข้อ 3
34. ข้อ 4
35. ข้อ 1
36. ข้อ 2
37. ข้อ 1
38. ข้อ 3
39. ข้อ 2
40. ข้อ 2
41. ข้อ 4
42. ข้อ 1
43. ข้อ 1
44. ข้อ 2
45. ข้อ 1