Άλγεβρα Β Γυμνασίου

1
qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq
σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn
mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι
qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj
klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz
xcvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ
ωυdfghjργklαzxcvbnβφδγωmζqwert
λκοθξyuiύασφdfghjklzxcvbnmqwerty
uiopaβsdfghjklzxcεrυtγyεuνiιoαpasdf
ghjklzxcηvbnασφδmqwertασδyuiopa
sdfασδφγθμκxcvυξσφbnmσφγqwθeξ
τσδφrtyuφγςοιopaασδφsdfghjklzxcv
ασδφbnγμ,mqwertyuiopasdfgασργκο
ϊτbnmqwertyσδφγuiopasσδφγdfghjk
lzxσδδγσφγcvbnmqwertyuioβκσλπp
asdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdγαε
ορlzxcvbnmqwertyuiopasdfghjkαεργ
ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΜΟΥ ΤΕΤΡΑΔΙΟ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
(Μέρος Α: Άλγεβρα)
Θεωρία, μεθοδολογίες, λυμένα παραδείγματα
και φύλλα εργασίας
Ράβδου Μαρία
05.10.2018 lisari.blogspot.gr Page 1 of 55

Ράβδου Μαρία-Μαθηματικός Άλγεβρα Β Γυμνασίου
2
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
1.1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ-ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ
ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Μεταβλητή: είναι ένα σύμβολο, συνήθως γράμμα (χ,y,z…) με το οποίο παριστάνουμε
οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου.
Αριθμητική παράσταση: μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς.
Π.χ. Α= 2∙(4−72
)+33
:(3∙12−32
)
Τιμή της αριθμητικής παράστασης: το αποτέλεσμα που βρίσκουμε αν εκτελέσουμε τις
πράξεις που είναι σημειωμένες στην αριθμητική παράσταση.
Π.χ. για την παραπάνω παράσταση έχουμε(θυμηθείτε προτεραιότητα πραξεων, πράξεις μέσα
σε παρενθέσεις και αγκύλες- δυνάμεις- πολ/μοί και διαρέσεις- προσθέσεις και αφαιρέσεις)
Α= 2∙(4−49)+33
:(3∙12− 9)
= 2∙(−45)+33
:(36−9)
= 2∙(−45)+ 33
:(36−9)
= 2∙(−45)+ 27:(36−9)
=−90+27:27
=−90+1
=−89
Αλγεβρική παράσταση: μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς και μεταβλητές
Π.χ. 3(x+2y)−2x+7
Εργαλεία για να κάνουμε πράξεις με αλγεβρικές παραστάσεις
 Επιμεριστική ιδιότητα
α∙(β±γ)=(β±γ)∙α=αβ±αγ
► η επιμεριστική ιδιότητα χρησιμοποιείται και αν περιέχονται περισσότεροι όροι μέσα
στην παρένθεση.
Π.χ. 3(x+2y−4z)=3x+6y−12z
► η επιμεριστική ιδιότητα χρησιμοποιείται και για να υπολογίσουμε το γινόμενο δύο ή
και περισσότερων αλγεβρικών παραστάσεων
Π.χ. (α+β)(3−2γ)=3α−2αγ+3β−2βγ
 Αναγωγή ομοίων όρων
Προσθέτουμε τους όμοιους όρους, κατόπιν της επιμεριστικής ιδιότητας.
Π.χ. Β=3(α−2β)−5(β−3α)=3α−6β−5β+15α=18α−11β

3
Αριθμητική τιμή της αλγεβρικής παράστασης: η τιμή της παράστασης αν
αντικαταστήσουμε την μεταβλητή με κάποιον αριθμό.
► όταν αντικαθιστούμε την μεταβλητή θα την βάζουμε σε παρένθεση με το
πρόσημο της, για να μην γίνουν λάθη στα πρόσημα.
Π.χ. στην παράσταση Β για α=−1 και β=−2 έχουμε
Β=3[(−1) − 2(−2)] − 5[−2 − 3(−1)]
= 3(−1 + 4) − 5( −2+3)
= 3 ∙ 3 − 5 ∙ 1
= 9 − 5
= 4

4
1.2. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
Αν έχουμε δύο αριθμούς α και β, τότε ισχύει μία μόνο από τις σχέσεις
 α = β (ισότητα)
 α < β (ανισότητα)
 α > β (ανισότητα)
ιδιότητες
1) Αν α = β τότε α+γ=β+γ και α−γ=β−γ δηλαδή μπορούμε να προσθέσουμε ή να
αφαιρέσουμε και στα 2 μέλη μιας ισότητας τον ίδιο αριθμό
2) Αν α = β τότε αγ=βγ δηλαδή μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε και τα 2 μέλη μιας
ισότητας με τον ίδιο αριθμό
3) Αν α = β και γ≠0 τότε
𝛼
𝛾
=
𝛽
𝛾
δηλαδή μπορούμε να διαιρέσουμε και τα 2 μέλη μιας
ισότητας με τον ίδιο αριθμό
Εξίσωση με έναν άγνωστο: λέμε μια ισότητα που περιέχει αριθμούς και μία μεταβλητή. Η
μεταβλητή λέγεται άγνωστος της εξίσωσης. Οι όροι που περιέχουν την μεταβλητή λέγονται
άγνωστοι όροι, ενώ οι άλλοι όροι λέγονται γνωστοί.
Λύση ή ρίζα της εξίσωσης: θα λέμε ότι ένας αριθμός επαληθεύει μια εξίσωση όταν
βάζοντας τον στην θέση του αγνώστου προκύπτει ισότητα που αληθεύει. Ο αριθμός που
επαληθεύει την εξίσωση λέγεται λύση ή ρίζα της εξίσωσης.
Π.χ. η εξίσωση x+6=5 έχει λύση τον αριθμό x=−1
Για μια πρωτοβάθμια εξίσωση υπάρχουν οι παρακάτω περιπτώσεις
έχει μοναδική λύση, είναι της μορφής αχ=β με α≠0 τότε έχει μοναδική
λύση τον αριθμο χ=β/α
είναι αδύνατη, δεν έχει καμία λύση, είναι της μορφής 0χ=α με α≠0
είναι αόριστη ή ταυτότητα, έχει άπειρες λύσεις, είναι της μορφής 0χ=0

5
Διαδικασία επίλυσης εξισώσεων
► Καλό είναι στο τέλος να κάνουμε επαλήθευση βάζοντας την τιμή της λύσης που βρήκαμε
στην αρχική εξίσωση και ελέγχοντας αν την επαληθεύει.
βήμα 1
•αν υπάρχουν παρανομαστές πολλαπλασιάζω με το εκπ των παρανομαστών
κάθε όρο και κάνω απαλοιφή. Προσοχή!!! πολλαπλασιάζω και τους όρους
που δεν έχουν παρανομαστη. Επίσης, όταν φεύγει η γραμμή κλάσματος
μπαίνει παρένθεση.
βήμα 2
•κάνω τις επιμεριστικές,ώστε να απαλοίψω(διώξω) τις παρενθέσεις.
βήμα 3
•χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, στο ένα μέλος κρατάω τους όρους που
περιέχουν την μεταβλητή στο αριστερό(συνήθως) μέλος και τους υπόλοιπους
στο δεξί. Προσοχή!!! ό,τι αλλάζει μέλος, αλλάζει και πρόσημο.
βήμα 4
•κάνω τις πράξεις και στα δύο μελη
βήμα 5
• αν καταλήξω σε εξίσωση της μορφής αχ=β με α≠0 τότε διαιρώ με τον συντελεστή του
αγνώστου και βρίσκω τη λύση της εξίσωσης
• αν καταλήξω σε εξίσωση της μορφής 0χ=α με α≠0 τότε η εξίσωση είναι αδύνατη.
• αν καταλήξω σε εξίσωση της μορφής 0χ=0 τότε η εξίσωση είναι αόριστη
Τα βήματα σκαλάκι-
σκαλάκι, αλλιώς ΜΠΟΥΜ!!

6
π.χ. Να λυθεί η εξίσωση:
3𝑥−5
2
− 2 ∙
1−𝑥
3
−
𝑥
2
= 3𝑥 − 2 +
3
2
6∙
3𝑥−5
2
− 6 ∙ 2 ∙
1−𝑥
3
− 6 ∙
𝑥
2
= 6 ∙ 3𝑥 − 6 ∙ 2 + 6
3
2
► Πολ/ζω με το
εκπ(2,3,6)=6,προσέχω να πολ/σω και τους όρους που δεν έχουν κλάσμα
3∙(3X-5)−4∙(1−Χ)−3Χ =18Χ−12+3∙3 ► κάνω απαλοιφή παρανομαστών, προσοχή η
γραμμή κλάσματος λειτουργεί σαν παρένθεση, όταν κάνω απαλοιφή θα βάζω
παρένθεση
9x−15−4+4Χ−3Χ=18Χ−12+9 ► κάνω τις επιμεριστικές
9Χ+4Χ−18Χ−3Χ=15+4−12 +9 ► χωρίζω γνωστούς από αγνώστους ότι αλλάζει μέλος
αλλάζει και πρόσημο
−8x=16 ► κάνω πράξεις και στα δύο μέλη
−8𝑥
−8
=
16
−8
►διαιρώ με τον συντελεστή του αγνώστου
x= −2 ►απλοποιώ το αποτέλεσμα αν γίνεται
Παρατηρήσεις
1. Αν έχω πολλαπλασιασμό κλασμάτων στην εξίσωση είτε τα κλάσματα είναι εντός
παρενθέσεως, κάνω πρώτα τον πολλαπλασιασμό ή βγάζω την παρένθεση και μετά την
απαλοιφή παρανομαστών.
Παράδειγμα: άσκηση 6, σελ 20
β) 5 − (
𝑡+1
2
+
1+2𝑡
3
) = 12 − (𝑡 −
𝑡+5
6
)
5 −
𝑡 + 1
2
−
1 + 2𝑡
3
= 12 − 𝑡 +
𝑡 + 5
6
6 ∙ 5 − 6
𝑡 + 1
2
− 6
1 + 2𝑡
3
= 6 ∙ 12 − 6 ∙ 𝑡 + 6
𝑡 + 5
6
30 − 3 ∙ (𝑡 + 1) − 2 ∙ (1 + 2𝑡) = 72 − 6𝑡 + 𝑡 + 5
30−3t−3−2−4t = 72 – 6t + t + 5
−3t−4t +6t –t = 72 + 5 + 3 +2−30
−2t = 52
t=−26

7
2. Σε εξισώσεις που περιέχουν σύνθετα κλάσματα, εργάζομαι κάνοντας πράξεις σε
αριθμητή και παρανομαστή και κάνω το σύνθετο κλάσμα απλό και κατόπιν απαλοιφή
παρανομαστών
Παράδειγμα: άσκηση 7, σελ. 20
β)
2𝑡 −
1
3
2+
1
2
=
1−
𝑡
2
2−
1
2
6𝑡
3
−
1
3
4
2
+
1
2
=
2
2
−
𝑡
2
4
2
−
1
2
6𝑡 − 1
3
4 + 1
2
=
2 − 𝑡
2
4 − 1
2
6𝑡 − 1
3
5
2
=
2 − 𝑡
2
3
2
2 ∙ (6𝑡 − 1)
15
=
2 ∙ (2 − 𝑡)
6
12𝑡 − 2
15
=
4 − 2𝑡
6
30 ∙
12𝑡 − 2
15
= 30 ∙
4 − 2𝑡
6
2 ∙ (12𝑡 − 2) = 5 ∙ (4 − 2𝑡)
24𝑡 − 4 = 20 − 10𝑡
24𝑡 + 10𝑡 = 20 + 4
34𝑡 = 24
𝑡 =
24
34
𝑡 =
12
17

8
3. Σε παραμετρικές εξισώσεις, θυμάμαι ότι η παράμετρος θεωρείται γνωστός, αφού είναι
μία μεταβλητή η οποία μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή.
Δίνεται η εξίσωση μ(χ + 6) – 2 = (2μ – 1)χ + 2
a) Αν μ = 2, να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει λύση χ = 8
Αντικαθιστώ την τιμή του μ και λύνω την εξίσωση που προκύπτει:
2(χ + 6) – 2 = (2∙2 – 1)χ + 2
2χ + 12 – 2 = 3χ + 2
2χ – 3χ = 2 + 2 – 12
-χ = - 8
χ=8
b) Αν η εξίσωση έχει λύση χ = 7, να αποδείξετε ότι μ = 3
Αντικαθιστώ την τιμή του χ και λύνω την εξίσωση με άγνωστο το μ:
μ(7 + 6) – 2 = (2μ – 1)∙7 + 2
13μ – 2 = 14μ – 7 + 2
13μ – 14μ = 2 + 2 – 7
-μ = - 3
μ = 3
c) Αν μ=1 να λύσετε την εξίσωση.
Αντικαθιστώ την τιμή του μ και λύνω την εξίσωση που προκύπτει:
1∙(χ + 6) - 2 = (2∙1 – 1 )χ + 2
χ + 6 – 2 = χ + 2
χ – χ = 2 + 2 - 6
0∙χ = - 2

9
Παράδειγμα: να προσδιορίσετε τον αριθμό μ, ώστε η παρακάτω εξίσωση να είναι
ταυτότητα:
μ−1
2
χ +
1
3
=
χ+1
3
6∙
μ−1
2
χ + 6 ∙
1
3
= 6 ∙
χ+1
3
3χ(μ - 1) + 2∙1 = 2∙(χ + 1)
3χμ – 3χ + 2 = 2χ + 2
3χμ – 3χ – 2χ = 2 - 2
(3μ – 3 – 2)χ = 0
(3μ – 5)χ = 0
Για να είναι ταυτότητα πρέπει να είναι της μορφής: 0χ = 0
Άρα 3μ – 5= 0 δηλαδή 3μ =5 άρα μ =
5
3

10
1.4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
1. Διαβάζω καλά το πρόβλημα, ώστε να καταλάβω τι μου ζητάει.
2. Εκφράζω ένα ζητούμενο του προβλήματος με μία μεταβλητή.
3. Με την βοήθεια της μεταβλητής εκφράζω και τα άλλα ζητούμενα του προβλήματος.
4. Σχηματίζω την εξίσωση και την λύνω.
5. Ελέγχω αν η λύση του προβλήματος ανταποκρίνεται στα δεδομένα του προβλήματος,
αν όχι την απορρίπτω.
Αν η εξίσωση βγει αδύνατη τότε το πρόβλημα δεν έχει λύση, επίσης αν η λύση
απορριφθεί το πρόβλημα δεν έχει λύση.
Παράδειγμα 1: Η Αλίκη έχει τριπλάσια χρήματα από την Χριστίνα, αν η Χριστίνα είχε 20€
επιπλέον θα είχαν τα ίδια, πόσα χρήματα έχει η καθεμία;
Λύση: έστω χ τα χρήματα της Χριστίνας, άρα 3χ της Αλίκης (προτιμώ να δίνω στο χ την
μικρότερη τιμή ώστε να αποφύγω τα κλάσματα). Αφού με 20€ επιπλέον στην Χριστίνα θα
ήταν ίσα τα χρήματα τους, άρα 3χ=χ+20. Κατόπιν λύνω το πρόβλημα 3χ=χ+20⇒3χ-
χ=20⇒2χ=20⇒χ=10
Παράδειγμα 2: Σε ένα αγρόκτημα υπάρχουν κότες και λαγοί αν συνολικά μετρήσαμε 60
κεφάλια και 160 πόδια, πόσοι είναι οι λαγοί και πόσες οι κότες;
Λύση: Αφού τα κεφάλια είναι 60, όλα τα ζώα είναι 60.
Έστω χ οι κότες (θα μπορούσαμε να θέσουμε και τους λαγούς χ δεν αλλάζει κάτι)
Άρα οι λαγοί είναι 60-χ (κότες + λαγοί =όλα τα ζώα, άρα όλα τα ζώα - κότες =λαγοί)
Κάθε κότα έχει 2 πόδια άρα 2∙χ πόδια όλα τα πόδια των κοτών, κάθε λαγός έχει 4 πόδια άρα
4∙(60-χ) τα πόδια όλων των λαγών. Οπότε συνολικά έχουμε 2χ+4(60-χ)=160 και λύνουμε
την εξίσωση
2χ+4(60-χ)=160⇒2χ+240-4χ=160⇒2χ-4χ=-240+160⇒-2χ=-80⇒χ=40 κότες άρα 60-40=20
λαγοί.

11
Παράδειγμα 3: άσκηση 3, σελ. 30
Ένας πατέρας είναι 44 ετών και ο γιος του είναι 8 ετών. Μετά από πόσα έτη η ηλικία του
πατέρα θα είναι θα είναι τριπλάσια της ηλικίας του γιου;
Έστω χ τα έτη που θα συμβεί το ζητούμενο, πρέπει ο χ να είναι θετικός
Σε χ χρόνια ο πατέρας θα είναι 44+ χ
ο γιος θα είναι : 8+ χ
άρα 44+ χ = 3(8 + χ)
44 +χ = 24 + 3χ
3χ – χ = 44 – 24
2χ = 20
χ = 10

12
1.5. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
Ιδιότητες ανισοτήτων
1. Αν και στα 2 μέλη μιας ανισότητας προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο
αριθμό τότε προκύπτει ανισότητα με ίδια φορά.
Αν α < β τότε α + γ < β + γ και α – γ < β – γ
Αν α > β τότε α + γ > β + γ και α – γ > β – γ
2. Αν και τα 2 μέλη πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο θετικό αριθμό
τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά.
Αν α < β και γ>0 τότε αγ<βγ και 𝛼
γ
<
β
γ
Αν α > β και γ>0 τότε αγ>βγ και 𝛼
γ
>
β
γ
3. Αν και τα 2 μέλη πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο αρνητικό αριθμό
τότε προκύπτει ανισότητα με αντίστροφη φορά.
Αν α < β και γ<0 τότε αγ>βγ και 𝛼
γ
>
β
γ
Αν α > β και γ<0 τότε αγ<βγ και 𝛼
γ
<
β
γ
Ανίσωση α΄ βαθμού με έναν άγνωστο λέμε κάθε ανίσωση που περιέχει μία μεταβλητή και
η οποία αληθεύει για ορισμένες τιμές της μεταβλητής.
Μέθοδος επίλυσης ανισώσεων
1. Κάνουμε απαλοιφή παρανομαστών αν υπάρχουν, πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο με το
εκπ των παρανομαστών. Όταν φεύγει η γραμμή κλάσματος μπαίνει παρένθεση.
2. Κάνουμε τις επιμεριστικές για να φύγουν οι παρενθέσεις.
3. Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους. Προσοχή ότι αλλάζει μέλος αλλάζει και
πρόσημο.
4. Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων.
5. Φτάνουμε στην μορφή αχ > β.
 Αν α > 0 τότε χ >
𝛽
𝛼
 Αν α < 0 τότε χ <
𝛽
𝛼
 Αν α = 0 και β > 0 τότε 0χ > β(θετικός) αδύνατη
 Αν α = 0 και β < 0 τότε 0χ > β(αρνητικός)
Σημείωση: Παρόμοια λογική στο βήμα 5 αν καταλήξουμε στην μορφή αχ<β.
Παρατηρήσεις
1. Σε ανισώσεις που περιέχουν σύνθετα κλάσματα, εργάζομαι κάνοντας πράξεις σε
αριθμητή και παρανομαστή και κάνω το σύνθετο κλάσμα απλό και κατόπιν απαλοιφή
παρανομαστών
2. Αν έχω πολλαπλασιασμό κλασμάτων στην ανίσωση κάνω πρώτα τον
πολλαπλασιασμό και μετά την επιμεριστική.

13
Παράσταση λύσεων στην ευθεία των αριθμών
Επειδή οι ανισώσεις έχουν ένα πλήθος λύσεων αναπαριστούμε τις λύσεις στην ευθεία
των αριθμών. Αν αληθεύει για κάθε τιμή της μεταβλητής τότε είναι όλη η ευθεία.
Π.χ.
3𝜒−5
2
− 2 ∙
1−𝜒
3
−
𝜒
2
−
5𝜒
6
> −3Χ −
4
3
+
𝜒
6
6∙
3𝑥−5
2
− 6 ∙ 2 ∙
1−𝑥
3
− 6 ∙
χ
2
− 6
5χ
6
> 6 ∙ (−3χ) − 6 ∙
4
3
+ 6 ∙
χ
6
► Πολ/ζω με το
εκπ(2,3,6)=6,προσέχω να πολ/σω και τους όρους που δεν έχουν κλάσμα
3∙(3Χ-5)−4∙(1−Χ)−3Χ −5Χ > −18Χ−8+Χ ► κάνω απαλοιφή παρανομαστών, προσοχή η
γραμμή κλάσματος λειτουργεί σαν παρένθεση, όταν κάνω απαλοιφή θα βάζω
παρένθεση
9x−15−4+4Χ−3Χ −5Χ >−18Χ−8+ Χ ► κάνω τις επιμεριστικές
9Χ+4Χ+18Χ−Χ−3Χ −5Χ >15+4−8 ► χωρίζω γνωστούς από αγνώστους ότι αλλάζει
μέλος αλλάζει και πρόσημο
22x > 11 ► κάνω πράξεις και στα δύο μέλη
22𝑥
22
>
11
22
►διαιρώ με τον συντελεστή του αγνώστου
x >
1
2
► απλοποιώ το αποτέλεσμα αν γίνεται
Συναλήθευση ανισώσεων-Κοινές λύσεις
Αφού λύσουμε χωριστά κάθε λύση, βρίσκουμε τις τιμές για τις οποίες αληθεύουν και οι
δύο ανισώσεις. Έχουμε τις εξής περιπτώσεις: αν a<b
1. χ > a και χ ≥b τότε κοινές λύσεις για χ > b (η μεγαλύτερη τιμή)
2. χ < a και χ ≤ b τότε κοινές λύσεις για χ < a (η μικρότερη τιμή)
3. χ ≤ b και χ > a τότε κοινές λύσεις για a<χ<b (ανάμεσα στις δύο τιμές)
4. χ < a και χ ≥ b τότε δεν συναληθεύουν.

14
Παρατήρηση: όπου έχω ισότητα στην παράσταση λύσεων στην ευθεία των αριθμών βάζουμε
κουκίδα(κλειστό), ενώ όταν δεν έχω ισότητα βάζω κυκλάκι(ανοιχτό).

15
Φύλλο εργασίας 1ου
κεφαλαίου
Άσκηση 1: Α) να χαρακτηριστούν οι ακόλουθες προτάσεις ως σωστές οι λανθασμένες.
a) Κάθε εξίσωση της μορφής 0∙χ=0 είναι αδύνατη
b) Κάθε εξίσωση της μορφής 0∙χ=β είναι αδύνατη
c) Κάθε εξίσωση της μορφής 0∙χ=β, με β≠0 είναι αδύνατη
d) Κάθε εξίσωση της μορφής 0∙χ=0 είναι αόριστη
e) Κάθε εξίσωση της μορφής α∙χ=0 έχει μοναδική λύση
f) Κάθε εξίσωση της μορφής α∙χ=0,με α≠0 έχει μοναδική λύση
g) Μία εξίσωση 1ου
βαθμού μπορεί να έχει καμία ή μία ή άπειρες λύσεις
h) Η εξίσωση 2χ-7=2χ+7 είναι αόριστη
i) Η εξίσωση -6y+9+6y=9 είναι αόριστη
j) Η εξίσωση 2(χ-2)-4χ=12 έχει λύση τον αριθμό -8
Β) Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α με ένα στοιχείο της στήλης Β
i.
Στήλη Α Στήλη Β
Το πενταπλάσιο ενός αριθμού
είναι ισο με το διπλάσιο του
αυξημένο κατά 9
𝜒
2
+ 3
Το μισό ενός αριθμού αυξημένο
κατά 3 είναι ίσο με
5χ-
𝜒
4
το πενταπλάσιο ενός αριθμού
μειωμένο κατά το
1
4
του αριθμού
αυτού
5χ=2χ-9
Το τριπλάσιο του αθροίσματος
δύο διαδοχικών αρτίων
3∙(χ+χ+1)
Το τριπλάσιο του αθροίσματος
δύο διαδοχικών φυσικών
3∙(χ+χ+2)
ii.
2χ-3=9(χ-1)-1 -3
-3(2χ-1)-10=-2∙3χ Αόριστη
7(2-χ)=35 αδύνατη
𝜒
4
=
2
5
1
3-2χ=4∙(2χ-3)+9-10χ 10
0,4χ-1,6=2,4 8,5
2𝜒 − 1
3
=
5
2
1,6

16
Άσκηση 2: Να λυθούν οι εξισώσεις.
a. 2𝜒 + 5=7
b. 2(𝑦 + 23
) + 1 = 5𝑦 − 2
c.
𝑡−2
3
−
1− 𝑡
2
2
=
5𝑡+1
6
d.
3(𝑎+1)−2
2
−
32 −2(𝑎−1)
4
=
1
2
(4𝑎 − 6)
e.
𝜔+2
3
−
2−2𝜔
2
+ 3 = 2
3
∙ (5𝜔 + 1)
f.
1
2
(
𝜑+1
3
+ 1) −
7−𝜑
5
+
5𝜑+2
6
= 𝜑

18
Άσκηση 3: Να βρείτε το λ στις παρακάτω περιπτώσεις
a. Αν η εξίσωση λχ-5=χ-5 είναι αόριστη
b. Αν η εξίσωση λχ-7=5(1-2λ) ∙χ είναι αδύνατη
c. Αν η εξίσωση 3(χ-λ)+ 1= -5(χ+3) έχει λύση τον αριθμό 1

19
Άσκηση 4: Αν η εξίσωση 2χ-3 =5χ +6 έχει ίδια λύση με την 2αχ+5=3(χ-α),να βρεθεί
η τιμή του α.

20
Άσκηση 5: Έναν αγώνα τον παρακολούθησαν 6000 θεατές, αν τα εισιτήρια ήταν των
20€ και των 30€ και η συνολική είσπραξη από την αγορά των εισιτηρίων ήταν
145.000€, να βρείτε πόσα εισιτήρια των 20€ και πόσα των 30€ πουλήθηκαν
Άσκηση 6: Ο πατέρας της Μαρίας έχει τετραπλάσια ηλικία από αυτήν. Αν μετά από 5
χρόνια έχει τριπλάσια ηλικία από την κόρη του, να βρείτε πόσο χρονών είναι η Μαρία
σήμερα.

21
Άσκηση 7: Αν το τριπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά 20 γίνεται ίσο με το
εξαπλάσιο του ελαττωμένο κατά 25, να βρείτε τον αριθμό.
Άσκηση 8: Να βρείτε τρεις διαδοχικούς περιττούς με άθροισμα 39.
Άσκηση 9: Μια γωνία είναι 100ο
μικρότερη από το τριπλάσιο της
παραπληρωματικής της. Να βρείτε την γωνία.

22
Άσκηση 10: Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις:
a)
𝜒−2
3
− 2𝜒 + 3 >
1−3𝜒
6
b)
1−2𝜒
7
+ 2(1 − 𝜒) ≤ 3𝜒 −
𝜒
2
c) 3(2χ−1) + 5𝜒 < 2𝜒 − 7
d) −3 < 2χ−4 < 8

23
Άσκηση 11: Να βρεθούν οι κοινές λύσεις (αν υπάρχουν) των παρακάτω ανισώσεων:
a) 2(𝜒 − 4) < 2(𝜒 − 1) − 3𝜒 και
𝜒−5
3
−
2𝜒+1
2
< −3(
2
3
− 𝜒)
b)
2𝜒−5
2
< 𝜒 + 1 και
𝜒+1
4
−
2𝜒−7
4
<
𝜒+5
2

24
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2.1. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
ΟΡΙΣΜΟΣ: Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού λέγεται ένας θετικός αριθμός ο οποίος
όταν υψωθεί στο τετράγωνο δίνει τον αριθμό α. Συμβολίζεται με √ 𝛼.
Δηλαδή αν για τον θετικό αριθμό χ ισχύει χ2
=α τότε χ=√ 𝛼.
Ορίζουμε ακόμη √0 = 0 αφού 02
=0
Επίσης αν α>0 ισχύει √ 𝛼
2
= 𝛼
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ:
1. Η ποσότητα κάτω από την ρίζα λέγεται υπόρριζη ποσότητα και πρέπει να είναι πάντα
θετική.
2. Το √ 𝛼 πρέπει να είναι πάντα θετικός αριθμός ή μηδέν.
3. Αν α<0 τότε√ 𝛼
2
= −𝛼 π.χ. √(−7)2 = 7
4. η εξίσωση χ2
=α είναι
a. αδύνατη όταν α <0, αφού δεν μπορεί ένα ‘’τετράγωνο’’ να είναι αρνητικό
b. έχει ρίζα το 0, όταν α=0
c. έχει 2 ρίζες όταν α >0 τις χ = √ 𝛼 και χ = −√ 𝛼.
5. Όταν έχουμε παραστάσεις με όμοια ριζικά, ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα και τις
απλοποιούμε.
i. Π.χ.−√2 + 5√7 − 3√7 − 6√2 = (−1 − 6)√2 + (5 − 3)√7 = −7√2 +
2√7
ii. Όπως παρατηρούμε προσθέτω μόνο ίδιες ρίζες.
6. Όταν έχουμε παραστάσεις της μορφής√√9 − √25 = √9 − 5 = √4 = 2, υπολογίζω
όπως φαίνεται στο παράδειγμα, δηλαδή από την «μέσα ρίζα προς τα έξω»,
φανταστείτε ότι είστε μέσα στο
υπνοδωμάτιο σας και θέλετε να
βγείτε έξω από το σπίτι, ποια πόρτα
θα ανοίξετε πρώτη, ποια δεύτερη,
κ.ο.κ.

25
Ιδιότητες:
1. √ 𝛼 ∙ √𝛽 = √𝛼𝛽
2.
√ 𝛼
√𝛽
=√
α
𝛽
3. √α ± β ≠ √α ± √𝛽
Παράδειγμα 1: άσκηση 12,σελ.44
Παράδειγμα 2: άσκηση 13,σελ.44
Παράδειγμα 3: άσκηση 14, σελ.44

26
2.2. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: Ονομάζονται οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν με την μορφή
κλάσματος
𝜇
𝜈
με μ,ν ακέραιους και ν≠0
ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: Ονομάζονται οι αριθμοί που δεν είναι ρητοί. Είναι δηλαδή οι
αριθμοί που δεν μπορούν να γραφούν στην μορφή
𝜇
𝜈
με μ,ν ακέραιους και ν≠0.
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: οι άρρητοι αριθμοί έχουν άπειρα δεκαδικά ψηφία μη περιοδικά, συνεπώς
δεν είναι ούτε δεκαδικοί ούτε περιοδικοί δεκαδικοί. Είναι τετραγωνικές ρίζες αριθμών που
δεν είναι τετράγωνα ρητών, ο π, ο e και άλλοι...
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: το σύνολο που αποτελείται από τους ρητούς και τους
άρρητους αριθμούς λέγεται σύνολο των πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται με ℝ.
ΑΞΟΝΑΣ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ:
Στην ευθεία των αριθμών μάθαμε να τοποθετούμε τους ρητούς, ανάμεσα στους ρητούς
τοποθετούμε και τους άρρητους και τώρα έχουμε την ευθεία των πραγματικών αριθμών
όπου κάθε σημείο της ευθείας παριστάνει έναν πραγματικό και αντίστροφα κάθε
πραγματικός παριστάνεται με ένα σημείο της ευθείας.
1. Ρητός±άρρητος=άρρητος
Ρητός×άρρητος=άρρητος
Ρητός:άρρητος=άρρητος
2. Μία πράξη μεταξύ δύο άρρητων μπορεί να δώσει ρητό
Π.χ.−√3 × √12 = −√3 × 12 = −√36 = −6
3. Για να βρούμε πόσο περίπου είναι ένας άρρητος, δηλ να βρούμε μία
προσέγγιση του, τον «κλείνουμε» μεταξύ δύο διαδοχικών τετραγώνων.
Π.χ. για να βρούμε μεταξύ ποιων ρητών βρίσκεται ο √7, έχουμε: 4<7<9 ⟹
22
<(√7)2
<32
⟹ 2<√7 <3 πλησιάζουμε πιο κοντά 6,76<7<7,29 ⟹
(2,6)2
<(√7)2
<(2,7)2
⟹2,6<7<2,7 (προσέγγιση στα δέκατα) πάμε ακόμα πιο
κοντά 6,9696<7<7,0225⟹(2,64)2
<(√7)2
<(2,65)2
⟹2,64<√7<2,65 (προσέγγιση
εκατοστού).

27
κεφαλαίου
Άσκηση 1: Α) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες.
a. √𝛼 + 𝛽 = √ 𝛼 + √𝛽
b. √9 + 25 = √9 + √25 = 3+5=8
c. √𝛼𝛽 = √ 𝛼√𝛽
d. √𝛼: 𝛽 = √ 𝛼: √𝛽
e. Η √(−5) 2 δεν ορίζεται
f. Η √−5 2 δεν ορίζεται
g. √(−5) 2 =5
h. √(−5) 2 = -5
i. √4 ∙ 25 = 10
j. √ 𝜒 = 9 τότε χ=81
k. Αν χ2
=5 τότε χ=√5 ή χ=-√5
l. Αν χ2
=5 τότε χ=√5
Β) να συμπληρώσετε τις ισότητες.
√
4
25
=
√0,36 =
√8100 =
√1,21 =
√62500 =
√9 ∙ 25 =

28
Άσκηση 2: Α) να υπολογίσετε τους α, β και γ :
α = (3√2)
2
− √11 + √3(√3 + √
11
3
)
β= −2√(−25)2 + √25 ∙ 25 + √25
γ = √144 − √34 + √122
Β) να υπολογίσετε την τετραγωνικήρίζα του αριθμού α+β+γ

29
Άσκηση 3: Να απλοποιήσετε τις παρακάτω τετραγωνικές ρίζες.
a. √32 =
b. √48 =
c. √50 =
d. √12 =
Άσκηση 4: Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή
a.
1
√2
=
b.
3
√3
=
c.
2
2√2
=
Άσκηση 5: Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων.
Α= √11 + √16 + √81
Β=√6 + √6 + √6 + √9

30
Γ= √√25 + √24 + 25 + 4√8 − √48 + √8 − √49
Δ= 3√1024+√676 ∙ √
25
169
−√2601
Ε= √900 + √19 ∙ 19 (√625 − √400)

31
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
3.1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΟΡΙΣΜΟΣ: Μια σχέση με την οποία κάθε τιμή της μεταβλητής χ αντιστοιχίζεται σε
μία μόνο τιμή της μεταβλητής ψ ονομάζεται συνάρτηση. Στην περίπτωση αυτή λέμε
ότι η μεταβλητή ψ εκφράζεται ως συνάρτηση ή συναρτήσει τη μεταβλητής χ.
Στο σχήμα 1 έχουμε συνάρτηση διότι κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχεί σε ένα μόνο του Β.
Στο σχήμα 2 δεν έχουμε συνάρτηση διότι το α αντιστοιχεί σε δύο στοιχεία του Β.
Στο σχήμα 3 δεν έχουμε συνάρτηση διότι το γ δεν αντιστοιχεί σε κανένα στοιχείο του Β.
Στο σχήμα 4 δεν έχουμε συνάρτηση διότι το α αντιστοιχεί σε δύο στοιχεία και επιπλέον το γ
σε κανένα.
Π.χ. με 1€ αγοράζουμε 2 μολύβια, με 2€ αγοράζουμε 4 μολύβια… με χ€ αγοράζουμε
ψ μολύβια. Δηλαδή το πλήθος ψ των μολυβιών που θα αγοράσουμε εξαρτάται από το
πλήθος χ των € που θα δώσουμε. Η σχέση που συνδέει τα ποσά χ και ψ είναι y =2χ.
ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΙΜΩΝ: ο πίνακας τιμών μιας συνάρτησης είναι ένας πίνακας με τον
οποίο παρουσιάζουμε με καλύτερο τρόπο την αντιστοιχία μεταξύ των τιμών των
μεταβλητών χ και ψ σε μια συνάρτηση. Περιέχει τα ζεύγη των αντίστοιχων τιμών των
μεταβλητών της. Π.χ. για τις τιμές του προηγούμενου παραδείγματος έχουμε
χ(χρήματα
σε €)
1 2 3 4 5
ψ(μολύβια) 2 4 6 8 10
Για να συμπληρώσω τον πίνακα τιμών αντικαθιστώ την τιμή του χ ή του ψ στην
δοσμένη συνάρτηση

32
Παράδειγμα: άσκηση 7 σελ. 57
Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών της συνάρτησης y = 3χ – 5
χ 2 -3
ψ 7 -2
Λύση:
Για χ = 2, y = 3∙2 – 5 = 6 – 5 = 1
Για y = 7, 7 = 3χ – 5 ⇒ 3χ = 7 + 5 ⇒ 3χ = 12 ⇒ χ = 4
Για χ = -3, y = 3(-3) – 5 = -9 -5 = -14
Για y = -2, -2 = 3χ – 5 ⇒ 3χ = 5 – 2 ⇒ 3χ = 3 ⇒ χ = 1
Άρα ο πίνακας τιμών συμπληρωμένος είναι:
χ 2 4 -3 1
y 1 7 -14 -2
 οι τιμές που μπορεί να πάρει το χ έχουν κάποιους περιορισμούς ανάλογα με την σχέση
που συνδέει τα χ και ψ π.χ.1 αν y =
1
𝜒
τότε πρέπει χ≠0) ή ανάλογα με το τι εκφράζει
το χ
π.χ.2 αν το χ εκφράζει πλήθος μαθητών προφανώς πρέπει να παίρνει τιμές μόνο
φυσικούς αριθμούς). Οι τιμές που μπορεί να πάρει το χ είναι το πεδίο ορισμού της
συνάρτησης, έτσι για το πρώτο παράδειγμα το πεδίο ορισμού είναι όλοι οι
πραγματικοί εκτός από το 0, ενώ στο δεύτερο είναι όλοι οι φυσικοί.
 Η μεταβλητή χ ονομάζεται ανεξάρτητη, γιατί μπορούμε να δώσουμε οποιαδήποτε
επιτρεπτή τιμή. Ενώ η y εξαρτημένη γιατί η τιμή της εξαρτάται από την τιμή που θα
πάρει το χ.
 Όταν η μεταβλητή y εκφράζεται σαν συνάρτηση της χ, τότε σε κάθε τιμή της
μεταβλητής χ αντιστοιχίζεται μόνο μία τιμή της μεταβλητής χ, ενώ διαφορετικές τιμές
της μεταβλητής χ μπορεί να αντιστοιχίζονται στην ίδια τιμή της μεταβλητής ψ.
 Υπάρχουν συναρτήσεις που η μεταβλητή ψ παίρνει πάντα την ίδια τιμή, για όλες τις
τιμές του χ και λέγονται σταθερές συναρτήσεις, είναι της μορφής y =κ, π.χ. y =3,
y = −2 κλπ.

33
3.2. ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ-
ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
 Αν πάρουμε δύο άξονες χ΄χ και y΄y που τέμνονται κάθετα και έχουν την ίδια αρχή,
τότε λέμε ότι έχουμε ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων, αν επιπλέον έχουν την ίδια
μονάδα μέτρησης, τότε λέμε ότι έχουμε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων.
 Ο χ΄χ λέγεται άξονας των τετμημένων και ο y΄y λέγεται άξονας των τεταγμένων.
 Κάθε σημείο Μ(α,β) του επιπέδου αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο ζεύγος συντεταγμένων
 Αντίστροφα, κάθε ζεύγος αριθμών αντιστοιχεί σε ένα μόνο σημείο του επιπέδου.
 Το α λέγεται τετμημένη του σημείου, το β τεταγμένη, το διατεταγμένο ζεύγος (α,β)
λέγεται συντεταγμένες του σημείου.
 Το ζεύγος (α,β) είναι διατεταγμένο, αφού έχει σημασία η σειρά, δηλαδή πρώτα είναι ο
αριθμός που αντιστοιχεί στον χ΄χ(τετμημένη) και μετά ο αριθμός που αντιστοιχεί στον
y΄y(τεταγμένη).
 Το Ο(0,0) λέγεται αρχή των αξόνων.

34
 Η απόσταση 2 σημείων Α(χ1,y1) και Β (χ2,y2) δίνεται από τον τύπο
ΑΒ=√(𝜒2 − 𝜒1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
Και είναι το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ.
Παράδειγμα:
Να βρείτε την απόσταση των σημείων Α(2,3) και Β(0,4).
Η απόσταση δύο σημείων Α(χ1,y1) και Β(χ2,y2) δίνεται από τον τύπο (ΑΒ)=
   2 1
22
2 1x x y y   . (Εφαρμογή του Πυθαγόρειου θεωρήματος).
Έχουμε: (ΑΒ)=    
2 2
0 ( 2) 4 3 4 1 5       .
→ Αν το σημείο βρίσκεται πάνω στους άξονες τα πράγματα απλουστεύονται, το μήκος του
ευθύγραμμου τμήματος είναι η απόλυτη τιμή της διαφοράς των τετμημένων ή των
τεταγμένων των 2 σημείων.

35
α) βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β και Γ.
Α(1,3), Β(-2,-1), Γ(-2,3)
β) το μήκος του ΒΓ = 1 + 3 = 4
το μήκος του ΑΓ = 1 + 2 = 3
γ) ΒΓ ∥ y ΄y και ΑΓ ∥ χ ΄χ άρα θα είναι ΒΓ⊥ΑΓ, άρα Γ = 90ο
εφόσον το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο από Π.Θ. έχουμε:
ΑΒ2
= ΑΓ2
+ ΒΓ2
= 32
+ 42
= 9 + 16 = 25
ΑΒ = √25 = 5
 Το σύστημα των αξόνων χωρίζει το επίπεδο σε 4 τεταρτημόρια, το πρόσημο των
συντεταγμένων κάθε τεταρτημορίου φαίνεται στο σχήμα.
 Αν ένα σημείο βρίσκεται πάνω στον χ΄χ είναι της μορφής Κ(χ,0) και αν βρίσκεται
πάνω στον y΄y είναι της μορφής Λ(0,y)
Παράδειγμα: Δίνεται το σημείο Μ(2χ–4, y–3). Να βρείτε τα χ και y, αν:
α) Το σημείο Μ βρίσκεται στον άξονα χ'χ.
β) Το σημείο Μ βρίσκεται στον άξονα y'y.
α) Ένα σημείο βρίσκεται στον άξονα χ'χ, αν η τεταγμένη του είναι ίση με 0.
Άρα πρέπει y–3=0, οπότε y=3, δηλαδή Μ(2χ–4, 0).
β) Ένα σημείο βρίσκεται στον άξονα y'y, αν η τετμημένη του είναι ίση με 0.
Άρα πρέπει 2χ–4=0, οπότε χ=2, δηλαδή Μ(0, y–3).
 Αν 2 σημεία έχουν ίδια τετμημένη βρίσκονται σε μια ευθεία παράλληλη στον
y΄y(κάθετη στον χ΄χ),ενώ αν έχουν ίδια τεταγμένη βρίσκονται σε μια ευθεία
παράλληλη στον χ΄χ(κάθετη στον y΄y).
ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Έστω ότι έχουμε μία συνάρτηση με
την οποία ένα μέγεθος ψ εκφράζεται ως συνάρτηση ενός άλλου μεγέθους χ.
Ονομάζουμε γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής το σύνολο όλων των
σημείων του επιπέδου με συντεταγμένες (χ,y).Για να κάνουμε την γραφική
παράσταση μιας συνάρτησης ακολουθούμε την εξής διαδικασία:
1. Κάνουμε τον πίνακα τιμών
2. Τοποθετούμε τα διατεταγμένα ζεύγη από τον πίνακα τιμών σε ένα σύστημα
ορθογωνίων αξόνων οπότε βρίσκουμε τα αντίστοιχα σημεία
3. Ενώνουμε τα σημεία με μία γραμμή, η γραμμή αυτή είναι η γραφική
παράσταση της συνάρτησης.

36
Παράδειγμα 1: Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=2χ–3.
α) Κατασκευάζουμε πίνακα τιμών:
Για χ=0 βρίσκουμε y=20–3= –3
Για χ=1 βρίσκουμε y=21–3= –1
Για χ=2 βρίσκουμε y=22–3= 1
Για χ=3 βρίσκουμε y=23–3= 3.
Άρα
β) Τοποθετούμε τα ζεύγη που βρήκαμε
στο σύστημα αξόνων
χ 0 1 2 3
y –3 –1 1 3

37
Παράδειγμα 2:
Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=χ2
– 1
 Ένα σημείο Α(χ,y) απέχει από τον άξονα χ'χ απόσταση y και από τον y'y
απόσταση χ.
Παράδειγμα: Να βρείτε τις αποστάσεις από τους άξονες των σημείων
Α(2,3) και Β(0,4).
To A απέχει από τον άξονα χ'χ απόσταση 3=3 και από τον y'y
απόσταση 2=2.
To Β απέχει από τον άξονα χ'χ απόσταση 0=0 και από τον y'y
απόσταση 4=4.
 Επειδή σε κάθε συνάρτηση η τιμή της μεταβλητής χ αντιστοιχίζεται σε
μία μόνο τιμή της μεταβλητής ψ, στην γραφική παράσταση δεν πρέπει να
υπάρχουν σημεία με ίδια τετμημένη(χ).
 Όταν ένα σημείο βρίσκεται στην γραφική παράσταση της συνάρτησης,
τότε οι συντεταγμένες του σημείου επαληθεύουν την συνάρτηση.
Αντίστροφα, όταν οι συντεταγμένες ενός σημείου επαληθεύουν την
συνάρτηση, τότε το σημείο θα ανήκει στην γραφική παράσταση της
συνάρτησης. Άρα για να είναι ένα σημείο, σημείο της γραφικής
παράστασης μιας συνάρτησης θα πρέπει αν αντικαταστήσω τα χ και ψ με
τις συντεταγμένες του σημείου να πάρω μία ισότητα που ισχύει.
 Εύρεση συμμετρικών σημείων του Α(χ,y)
 ως προς χ΄χ Β(χ, -y)
 ως προς y’yΓ(-χ,y)
 ως προς Ο(0,0) Δ(-χ,-y)
χ –2 –1 0 1 2
y 3 0 –1 0 3

38
Παράδειγμα:
Για να βρούμε το συμμετρικό ενός σημείου ως προς άξονα, φέρνουμε από
το σημείο ευθεία κάθετη στον άξονα και την προεκτείνουμε άλλο τόσο.
Για να βρούμε το συμμετρικό ενός σημείου ως προς κέντρο, ενώνουμε το
σημείο με το κέντρο και προεκτείνουμε άλλο τόσο.
Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Α(1,3):
α) Ως προς τον άξονα των
τετμημένων.
β) Ως προς τον άξονα των
τεταγμένων.
γ) Ως προς κέντρο το Ο(0,0).
Λύση:
α) Το συμμετρικό του σημείου Α ως προς τον
άξονα των τετμημένων είναι το Α'.
β) Το συμμετρικό του σημείου Α ως προς τον άξονα των τεταγμένων είναι το Α''.
γ) Το συμμετρικό του σημείου Α ως προς κέντρο το Ο είναι το Α"'.

39
3.3. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y =αχ
Υπενθύμιση: Δύο ποσά λέγονται ανάλογα όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του ενός
ποσού επί έναν αριθμό πολλαπλασιάζονται και οι αντίστοιχες τιμές του άλλου με τον ίδιο
αριθμό. Αν χ και ψ οι αντίστοιχες τιμές δύο ανάλογων ποσών, τότε ο λόγος
𝑦
𝜒
είναι
σταθερός.
π.χ. 5 εργάτες βάφουν 25 m σε μία ημέρα. Αν εργαστούν 10 εργάτες, πόσα μέτρα θα
βάψουν;
(Διπλάσιοι εργάτες θα βάψουν διπλάσια μέτρα, άρα τα ποσά εργάτες- ημέρες είναι
ανάλογα).
Άρα
5χ=25∙10 άρα χ =50m
Εργάτες Μέτρα
5 25
10 χ

40
Η συνάρτηση y =αχ:
Aν δύο ποσά είναι ανάλογα τότε οι τιμές του ενός εκφράζονται ως συνάρτηση των τιμών
του άλλου με την ισότητα y =αχ, όπου α είναι ο σταθερός λόγος
𝑦
𝜒
με χ≠0 και λέγεται
συντελεστής αναλογίας ή κλίση της ευθείας .
Η συνάρτηση y =αχ, με χ πραγματικό αριθμό έχει γραφική παράσταση μια ευθεία που
διέρχεται από την αρχή των αξόνων, στην ειδική περίπτωση που α=0 τότε y =0 και η
γραφική παράσταση είναι ο άξονας χ΄χ.
1. ο άξονας y’y έχει εξίσωση χ=0, αλλά δεν είναι συνάρτηση.
2. Η συνάρτηση y =αχ, όταν α>0 έχει γραφική παράσταση μια ευθεία που βρίσκεται
στο 1ο
και 3ο
τεταρτημόριο, ενώ όταν α<0 έχει γραφική παράσταση μια ευθεία που
βρίσκεται στο 2ο
και 4ο
.
3. Ειδικότερα, η ευθεία y =χ είναι η διχοτόμος του 1ου
και 3ου
τεταρτημορίου, ενώ η
y =−𝜒 είναι η διχοτόμος του 2ου
και 4ου
τεταρτημορίου.

41
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
1. Αν δίνεται ο πίνακας τιμών δύο ανάλογων ποσών χ και y, για να τον
συμπληρώσουμε θυμόμαστε ότι όταν πολλαπλασιάζονται οι τιμές του
ενός ποσού (ή διαιρούνται) με έναν αριθμό αντίστοιχα
πολλαπλασιάζονται (ή διαιρούνται )και οι τιμές του άλλου με τον ίδιο
αριθμό. Στην περίπτωση αυτή για να βρω το α βρίσκω τον λόγο
𝑦
𝜒
από τις
αντίστοιχες τιμές στον πίνακα.
Γνωρίζοντας ότι τα ποσά χ και y είναι ανάλογα α) να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα
τιμών β) να εκφράσετε το y ως συνάρτηση του χ γ) να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση
αυτή.
Λύση: α) ο πίνακας συμπληρωμένος είναι:
χ 1 2 5 7 10
y 3 6 15 21 30
β) α =
𝑦
𝜒
=
6
2
= 3
γ) βάζω τα σημεία στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων και τα ενώνω
(αφού είναι ευθεία αρκούν 2 σημεία)

42
2. Για να χαράξουμε μία ευθεία χρειαζόμαστε δύο σημεία(αφού από 2
σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία), στην περίπτωση της y =αχ το ένα
είναι το Ο(0,0) για να βρούμε το άλλο, αν δεν μας το δίνουν, θέτουμε
αυθαίρετα μια τιμή στο χ και βρίσκουμε την αντίστοιχη τιμή του ψ,
κατόπιν ενώνουμε τα δύο σημεία. Τα δύο αυτά σημεία μπορεί να
βρεθούν και από τον πίνακα τιμών της συνάρτησης.
3. Αν δίνεται ο συντελεστής αναλογίας(ή κλίση ευθείας) τότε
αντικαθιστούμε στην σχέση y =αχ την το α και έχουμε την εξίσωση της
ευθείας.
Να σχεδιάσετε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων μια ευθεία η οποία να διέρχεται από την
αρχή Ο των αξόνων και να έχει κλίση
3
2
Λύση: εφόσον διέρχεται από την αρχή των αξόνων είναι της μορφής y = αχ, και έχει κλίση
α=
3
2
άρα y=
3
2
χ αφού διέρχεται από το Ο το ένα σημείο είναι το (0,0) και το άλλο θέτω χ=2
(μια αυθαίρετη τιμή) άρα y=
3
2
∙2= 3, οπότε έχουμε τον πίνακα τιμών: χ 0 2
y 0 3

43
4. Αν μας δίνουν ένα σημείο Α(χ,y) που διέρχεται τότε 𝛼 =
𝑦
𝜒
, αντικαθιστώ στην y =αχ
και βρίσκω την εξίσωση.
Βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το
σημείο Α(2,6)
Λύση: αφού διέρχεται από το σημείο Α(2,6) άρα αντικαθιστώ τις συντεταγμένες του
σημείου στην σχέση y =αχ και έχω 6=α∙2 άρα 𝛼 =
6
2
= 3
Οπότε η εξίσωση της ευθείας είναι: y =3χ

44
3.4. Η συνάρτηση y =αχ+β
 Η συνάρτηση y =αχ+β, β≠0 έχει γραφική παράσταση μια ευθεία που διέρχεται από το
σημείο (0,β) του άξονα y’yκαι είναι παράλληλη στην y =αχ. Ο αριθμός α λέγεται
κλίση της ευθείας.
 Κάθε εξίσωση της μορφής αχ+βy =γ με α≠0 ή β≠0 παριστάνει ευθεία
 Αν α≠0 και β≠0, τότε λύνουμε ως προς y και έχουμε:
𝛼𝜒 + 𝛽𝑦 = 𝛾 ⟹ 𝛽𝑦 = −𝛼𝜒 + 𝛾 ⟹ 𝑦 = −
𝛼
𝛽
𝜒 +
𝛾
𝛽
που παριστάνει ευθεία με κλίση −
𝛼
𝛽
και διέρχεται από το (0,
𝛾
𝛽
)
 Αν α=0 και β≠0, τότε 0𝜒 + 𝛽𝑦 = 𝛾 ⟹ 𝛽𝜓 = 𝛾 ⟹ 𝑦 =
𝛾
𝛽
που παριστάνει ευθεία
παράλληλη στον άξονα χ΄χ
 Αν α≠0 και β=0, τότε 𝛼𝜒 + 0𝑦 = 𝛾 ⟹ 𝛼𝜒 = 𝛾 ⟹ 𝜒 =
𝛾
𝛼
που παριστάνει ευθεία
παράλληλη στον άξονα y΄y

45
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ
1. Αν θέλω να βρω που τέμνει η ευθεία αχ+βy =γ τους άξονες, τότε θέτω χ=0 και
βρίσκω που τέμνει τον y΄y και y =0 και βρίσκω που τέμνει τον χ΄χ.
Π.χ. έστω η ευθεία y = 2χ - 2, για χ=0 έχουμε y = -2, δηλαδή τέμνει τον y΄y στο
(0,-2) και για y =0 έχουμε χ = 1, δηλαδή τέμνει τον χ΄χ στο (1,0).
2. Γενικά κάθε ευθεία της μορφής y = κ, όπου κ πραγματικός αριθμός, παριστάνει
ευθεία παράλληλη στον χ΄χ, ειδικότερα η y =0, είναι ο χ΄χ, επίσης κάθε ευθεία της
μορφής χ = κ, όπου κ πραγματικός αριθμός παριστάνει ευθεία παράλληλη στον
ψ΄ψ, ειδικότερα η χ=0, είναι ο y΄y.
3. Δύο ευθείες που έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης/κλίση είναι παράλληλες.
Π.χ. οι ευθείες y =2χ+1, y =2χ και y =2χ─1 είναι παράλληλες.
4. Για να βρω αν ένα σημείο ανήκει στην ευθεία, δηλαδή αν η ευθεία διέρχεται από
αυτό το σημείο πρέπει οι συντεταγμένες του σημείου να επαληθεύουν την εξίσωση
της ευθείας, δηλαδή αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες του σημείου στην ευθεία
πρέπει να προκύψει μία αληθής ισότητα. Π.χ. το σημείο (2,2) ανήκει στην ευθεία
y =2χ─2, αφού 2=2∙2─2, ενώ το (3,5) δεν είναι σημείο τη ευθείας αφού η ισότητα
5=2∙3─2 δεν αληθεύει.

46
5. Αν μου ζητείται να βρω το σημείο τομής 2 ευθειών λύνω το σύστημα των 2
εξισώσεων, αφού είναι σημείο τομής οι συντεταγμένες του επαληθεύουν και τις 2
εξισώσεις, άρα αν y =χ+1 και y =2χ+3 οι ευθείες τότε χ+1=2χ+3 ⟹ χ-2χ=3-1 ⟹-
χ = 2 ⟹ χ = - 2, τώρα αντικαθιστώ το χ που βρήκα σε όποια θέλω, άρα
y = - 2+1 = -1, άρα το σημείο τομής είναι (-2,-1).
6. Χάραξη της y = αχ - β:
i. 1ος
τρόπος: σχεδιάζω την y =αχ, όπως μάθαμε στην προηγούμενη ενότητα
και κατόπιν φέρνω παράλληλη από το (0,β).
ii. 2ος
τρόπος: φτιάχνω πίνακα τιμών και βρίσκω 2 σημεία της και χαράσω την
ευθεία που διέρχεται από αυτά τα σημεία. Αν προηγείται ερώτημα να βρω
που τέμνει τους άξονες, προφανώς χρησιμοποιώ αυτά τα 2 σημεία και
«γλυτώνω» από τον κόπο να βρω άλλα.

47
3.5. Η συνάρτηση 𝛙 =
𝛂
𝛘
- η υπερβολή
Υπενθύμιση: δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιμές
του ενός ποσού με έναν αριθμό, διαιρούνται οι τιμές του άλλου με τον ίδιο αριθμό. Αν δύο
ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, τότε το γινόμενο των αντίστοιχων τιμών τους είναι
σταθερό.
π.χ. 4 εργάτες βάφουν έναν τοίχο σε 12 ημέρες. Αν εργαστούν 6 εργάτες σε πόσες ημέρες θα
βάψουν τον ίδιο τοίχο;
Διπλάσιοι εργάτες θα βάψουν τον τοίχο σε λιγότερες ημέρες. Άρα τα ποσά είναι
αντιστρόφως ανάλογα.
Άρα:
6χ=412 άρα χ=8 ημέρες.
Αν α≠0 είναι το σταθερό γινόμενο δύο αντιστρόφως ανάλογων ποσών χ και ψ, τότε το τότε
το ψ εκφράζεται ως συνάρτηση του χ από τον τύπο 𝜓 =
𝛼
𝜒
, α≠0. Η γραφική παράσταση της
συνάρτησης 𝜓 =
𝛼
𝜒
, α≠0 λέγεται υπερβολή και αποτελείται από δύο κλάδους που
βρίσκονται:
 Στο 1ο
και 3ο
τεταρτημόριο, όταν α>0
 Στο 2ο
και 4ο
τεταρτημόριο, όταν α<0
1. Η υπερβολή έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων Ο(0,0)
2. Έχει άξονες συμμετρίας τις ευθείες y =χ και y =─χ, δηλαδή τις διχοτόμους των
γωνιών των αξόνων.
3. Έχει ασύμπτωτες τους άξονες χ΄χ και y’y, δηλαδή οι κλάδοι μιας υπερβολής
όσο και αν προεκτείνονται δεν τέμνουν ποτέ του άξονες χ’χ και ψ’ψ, κατά
συνέπεια τα χ και ψ δεν παίρνουν την τιμή 0, οπότε και το γινόμενο τους
α=χ∙ψ≠0.
4. Αν θέλω να ελέγξω αν δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, ελέγχω αν τα
γινόμενα των αντίστοιχων τιμών τους είναι σταθερά.
5. Αν θέλω να σχεδιάσω μία υπερβολή, φτιάχνω πίνακα τιμών, τοποθετώ τα
διατεταγμένα ζεύγη τιμών στο επίπεδο και τα ενώνω.
Εργάτες Ημέρες
4 12
6 χ

48
Να σχεδιάσετε στο ίδιο ορθογώνιο σύστημα τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:
a) 𝑦 =
3
𝑥
, b) y =
5
𝑥
, c) y =
20
𝑥
Λύση: Σχηματίζουμε τους πίνακες τιμών σε κάθε περίπτωση

49
κεφαλαίου
Άσκηση 1: Α) να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες.
a. Το συμμετρικό του σημείου (-2,3) ως προς τον άξονα χ΄χ είναι το (-2,-3)
b. Το συμμετρικό του σημείου (0,7) ως προς y΄y είναι το (0,-7)
c. Η ευθεία y=3χ-5 έχει κλίση -5
d. Η ευθεία y=-5χ+3 έχει κλίση -5
e. Η ευθεία y=9χ-2 τέμνει τον άξονα των τετμημένων στο σημείο (0,-2)
f. Η ευθεία y=-2χ+9 τέμνει τον άξονα των τεταγμένων στο σημείο (0,9)
g. Οι ευθείες y=8χ και y=8χ-7 είναι κάθετες
h. Οι ευθείες y=χ-1 και y=-χ-1 είναι παράλληλες
i. Οι ευθείες y=6χ-9 και y=6χ-2018 είναι παράλληλες
j. Οι κλάδοι της υπερβολής διέρχονται από το (0,0)
k. Η υπερβολή 𝑦 =
−4
𝑥
βρίσκεται στο 2ο
και 4ο
τεταρτημόριο
Β) Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της στήλης Α με τα στοιχεία της στήλης Β
Α(3,2) Α) το σημείο βρίσκεται πάνω στον άξονα yy΄
Β(−2,0) Β) το σημείο βρίσκεται στο 4ο τεταρτημόριο
Γ(0,8) Γ) το σημείο βρίσκεται πάνω στον άξονα χχ΄
Δ(6, −2) Δ) το σημείο βρίσκεται στο 1ο τεταρτημόριο
Ε(−8,−9) Ε) το σημείο βρίσκεται στο 2ο τεταρτημόριο
Ζ(−8,2) Στ) το σημείο βρίσκεται στο 3ο
τεταρτημόριο

50
Άσκηση 2: Μια ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει κλίση -
5
2
Α) να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας και να γίνει γραφική παράσταση
Β) να εξετάσετε αν η παραπάνω ευθεία διέρχεται από το (0,0)

51
Άσκηση 3: Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση y = −2χ + 3 όταν
Α) ο χ είναι πραγματικός
Β) χ≤0
Γ)-3≤χ≤3

52
Άσκηση 4:Ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ έχει πλευρές που ανήκουν στις ευθείες y = − 2, y=1,
y= −χ+1, y=−χ+2
A) Να εξηγήσετε γιατί είναι παραλληλόγραμμο
B) Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του
C) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του

53
Άσκηση 5: Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας y=αχ+1, αν διέρχεται από το (1,1).
Να εξετάσετε αν το σημείο (2,-1) ανήκει στην ευθεία.

54
Άσκηση 6: Α) Να σχεδιάσετε την ευθεία y= -4χ
B) Να σχεδιάσετε την ευθεία που είναι παράλληλη στην y= -4χ και τέμνει τον y΄y στο
σημείο (0,1)
Γ) Να βρείτε σε ποιο σημείο τέμνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y=2χ+7
και αυτής που βρήκατε στο Β ερώτημα
Δ) Να βρείτε τα σημεία τομής της y=2χ+7 με τους άξονες

55
Άσκηση 7: Δίνεται η συνάρτηση y=
2𝜆−5
𝜒
.
Α) Να βρεθεί το λ αν η γραφική παράστασή της διέρχεται από το σημείο (-3,1).
Β) Να γίνει η γραφική παράσταση

56
Άσκηση 8: Ένας πωλητής έχει μηνιαίο μισθό 500€ και 15% επί της αξίας των ειδών που
πουλάει.
Α) να εκφράσετε τις μηνιαίες αποδοχές y του πωλητή ως συνάρτηση χ των ειδών που
πουλάει.
Β) να κάνετε τη γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης.
Γ) να βρείτε την αξία των ειδών που πρέπει να πουλήσει ώστε οι αποδοχές να γίνουν 2000€

Άλγεβρα Β Γυμνασίου

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Άλγεβρα Β Γυμνασίου

Similar to Άλγεβρα Β Γυμνασίου (20)

More from Μάκης Χατζόπουλος

More from Μάκης Χατζόπουλος (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Άλγεβρα Β Γυμνασίου