κεφ. 3 εξισωσεις

Θεωρία
Μεθοδολογία
Προτεινόμενες
Ασκήσεις
Διαγωνίσματα
2016-2017
Η εξίσωση αx+β=0
 Παραμετρικές Εξισώσεις
 Εξισώσεις με απόλυτες τιμές
 Η εξίσωση xν= α
 Η εξίσωση αx2+βx+γ=0 , α  0
 Άθροισμα και Γινόμενο Ριζών
της αx2+βx+γ=0 , α  0
 Εξισώσεις που ανάγονται
σε εξισώσεις 2ου βαθμού
Α΄ Λυκείου
Κεφάλαιο 30
Εξισώσεις

Άλγεβρα Α΄ Λυκείου-Εξισώσεις Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις
http://www.perikentro.blogspot.gr/ Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης- 1 -
Εξισώσεις Κεφ.3
Ονομασία Περιγραφή Μεθόδου
Η εξίσωση
αx+β=0
Παραμετρική
Εξίσωση
Για τη λύση μιας εξίσωσης 1ου
βαθμού ακολουθούμε την
παρακάτω διαδικασία:
 Κάνουμε απαλοιφή των παρονομαστών (αν φυσικά υπάρχουν)
πολλαπλασιάζοντας και τα δυο μέλη της εξίσωσης με το Ε.Κ.Π.
των παρονομαστών. (Δεν ξεχνάμε ότι πρέπει Ε.Κ.Π 0 )
 Εκτελούμε τις πράξεις ,διώχνοντας τις παρενθέσεις
 Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους. (Να θυμόμαστε ότι κατά
την μεταφορά ενός παράγοντα από το 10
μέλος στο 20
και
αντίστροφα ,αλλάζουμε πρόσημο)
 Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων και στα δυο μέλη φθάνοντας
στη μορφή αx=β
 Αν α 0 , διαιρούμε και τα δυο μέλη της παραπάνω
εξίσωσης με α και βρίσκουμε


x
 Αν α=0 και β 0 η εξίσωση είναι αδύνατη
 Αν α=0 και β=0 η εξίσωση είναι ταυτότητα.
Αν οι συντελεστές α και β της εξίσωσης αx=β εκφράζονται με τη
βοήθεια γραμμάτων , τα γράμματα αυτά λέγονται παράμετροι, η
εξίσωση λέγεται παραμετρική και η εργασία που κάνουμε για να
βρούμε το πλήθος των ριζών λέγεται διερεύνηση.
αx+β=0
α 0
Μοναδική Λύση
x=-


α=0 και β 0
αδύνατη
α=0 και β=0
Ταυτότητα δηλ.
Αληθεύει για
κάθε x IR
Σ υ ν ο π τ ι κ ή Θ ε ω ρ ί α - Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α

Εξισώσεις που
ανάγονται σε
εξισώσεις
1ου
βαθμού
Εξισώσεις με
Απόλυτες
Τιμές
Η εξίσωση
xν
=α
Για να λύσουμε μια παραμετρική εξίσωση 1ου
βαθμού
 Κάνουμε απαλοιφή των παρονομαστών (αν φυσικά υπάρχουν)
 Εκτελούμε τις πράξεις
 Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους.
 Βγάζουμε κοινό παράγοντα από δεξιά το x στο 10
μέλος και
έρχεται η εξίσωση στη μορφή αx=β
 Παραγοντοποιούμε τα α και β
 Διακρίνουμε περιπτώσεις για το α σε σχέση με το μηδέν και
βρίσκουμε για ποιες τιμές του α η εξίσωση αx=β
 Έχει μοναδική λύση
 Είναι αδύνατη
 Είναι ταυτότητα
Για να λύσουμε εξισώσεις που δεν είναι της μορφής αx=β, τότε
 Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο 10
μέλος (εκτός της
μορφής xν
=α)
 Κάνουμε γινόμενο παραγόντων το 10
μέλος με παράγοντες της
μορφής αx+β
 Εξισώνουμε κάθε παράγοντα με το μηδέν και λύνουμε τις
εξισώσεις που έχουν μορφή αx+β=0.
Μορφές Εξισώσεων:
 |f(x)|=θ
 Αν θ<0 τότε είναι αδύνατη
 Αν θ 0 τότε  )x(fή)x(f|)x(f|
 |f(x)|=|g(x)|
 Επειδή |x|=θ x=θ ή x=-θ έχουμε
)x(g)x(fή)x(g)x(f|)x(g||)x(f| 
 |f(x)|=g(x)
 Πρέπει g(x) 0 (1)
Κάνουμε δεκτές τις ρίζες των εξισώσεων f(x)=g(x) και f(x)=-g(x)
που ικανοποιούν τον περιορισμό (1)
α ν Λύσεις της xν
=α
α=0 Άρτιος ή Περιττός Μία: x=0
α>0
Άρτιος Δυο: x=
 και x= 

Περιττός Μια: x=

α<0
Άρτιος Καμμία (Αδύνατη)
Περιττός Μία: x= 


Σχόλιο:
Για τις λύσεις της εξίσωσης xν
=αν
διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
 Αν ν περιττός , τότε  
xx
 Αν ν άρτιος , τότε  
xx
Η εξίσωση
αx2
+βx+γ=0
0
Ορισμός:
Εξίσωση δεύτερου βαθμού λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής
αx2
+βx+γ=0 , 0
Διακρίνουσα: Δ=β2
-4αγ
Πλήθος ριζών της αx2
+βx+γ=0 , 0
Δ=β2
-4αγ αx2
+βx+γ=0 , 0
Δ>0
Έχει δυο ρίζες άνισες τις



2
x 2,1
Δ=0
Έχει μια διπλή ρίζα



2
x
Δ<0 Είναι αδύνατη στο IR
Σχόλιο: Αν Δ 0 τότε έχει ρίζες πραγματικές
Άθροισμα και
γινόμενο ριζών
της
αx2
+βx+γ=0
0
Άθροισμα και γινόμενο ριζών
Αν x1 και x2, είναι οι ρίζες της εξίσωσης αx2
+βx+γ=0 , 0
τότε να αποδείξετε ότι:
S=x1 + x2=


 και P= x1x2=


Απόδειξη:
 S=x1+x2=











2
2
22
   
 


















22
22
2
22
21
4
4
4
4
422
xxP

Διτετράγωνη
Εξίσωση
 Αν S= x1 + x2 και P= x1 x2 τότε η εξίσωση x2
-Sx+P=0 έχει
ρίζες τις x1 και x2
(S=


 , P=


τύποι Vieta)
 Η εξίσωση αx2
+βx +γ=0 ,α 0
1. Έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες  Δ>0,α 0
2. Έχει δυο ρίζες ίσες  Δ=0, α 0
3. Δεν έχει ρίζες πραγματικές  Δ<0
4. Έχει ρίζες πραγματικές  Δ 0
5. Έχει δυο ρίζες ετερόσημες  Ρ<0
6. Έχει δυο ρίζες θετικές  0S,0,0 
7. Έχει δυο ρίζες αρνητικές  0S,0,0 
8. Έχει δυο ρίζες αντίθετες  0S,0 
9. Έχει δυο ρίζες αντίστροφες 1P,0 
Μια εξίσωση ονομάζεται διτετράγωνη , όταν είναι της μορφής
αx4
+βx2
+γ=0, α 0
Εξισώσεις που
ανάγονται σε
εξισώσεις 2ου
βαθμού
Μπορούμε να επιλύσουμε εξισώσεις που δεν είναι 2ου
βαθμού ,
αλλά με κατάλληλο μετασχηματισμό (βοηθητικό άγνωστο),
ανάγονται σε εξισώσεις 2ου
βαθμού.
 Μορφή α(f(x))2
+βf(x)+γ=0 ,α 0 (1)
Θέτουμε f(x)=ω (2). Οπότε η (1) γίνεται αω2
+βω+γ=0 (3)
Λύνουμε την (3) , αντικαθιστούμε τις λύσεις στη (2) και
βρίσκουμε τις ρίζες της (1)
 Μορφή α(f(x))2
+β|f(x)|+γ=0, α 0 Επειδή |x|2
=x2
η εξίσωση
γίνεται α|f(x)|2
+β|f(x)|+γ=0 (1)
Θέτουμε |f(x)|=ω (2) . Οπότε η (1) γίνεται αω2
+βω+γ=0 (3)
Λύνουμε την (3) , αντικαθιστούμε τις λύσεις στη (2) και
βρίσκουμε τις ρίζες της (1)
 Μορφή αx4
+βx2
+γ=0, α 0 Επειδή x4
=(x2
)2
Θέτουμε x2
=ω
οπότε η εξίσωση γίνεται αω2
+βω+γ=0 . Συνεχίζουμε όπως
παραπάνω

1.1 Να λύσετε τις εξισώσεις
α. 7x35x2  β. 1x2016x2  γ. x47)3x3(5 
δ. )1x3(22)1x3(2  ε. x104)3x2(5  στ. x20143x2 
α. )1008x(22016x2  β. 5)1x(27)2x(2 
γ. )6x()1x(31)1x(4  δ. )x1(3)2x(2)1x(43x 
α.     )2x(2x3122)x5(3143 
β.    x)1x(3222017 
α.
2
3x
2
4
x 
 β.
6
1x
3
2x
4
7x 




γ.
12
x
x
3
x
1  δ.
3
1x
x2
6
1x2
1




α.
6
5x
5
4x
4
3x
3
2x 






β.
3
x2
1
3
x3
x 


γ.
4
14
2
x7
)3x(3
2
2x


δ.
3
x
4
x
2
2x
12
12x5




α.
1
2
1
2
x3
1
x
2
1x




β.
2
1
4
3
2
2
1
x



γ.
4
1
1
3
x2
1
8
3
4
5
6
1
4
x





1.7 Αν οι εξισώσεις
3
2x5
2
1x3 


και k
3
x
2
k
x 

 έχουν κοινή λύση να βρείτε
την τιμή του k
Π ρ ο τ ε ι ν ό μ ε ν ε ς Α σ κ ή σ ε ι ς
Διδακτική Ενότητα: Κεφ. 3ο
Εξισώσεις
Εξισώσεις 1ου
Βαθμού- Η Εξίσωση αx+β =0 1
Άλγεβρα
Α΄
Λυκείου

2.1 Δίνεται η εξίσωση (λ3
-4λ)x =λ2
+4λ+4 . Να συμπληρωθεί ο πίνακας
Τιμή του λ Εξίσωση Λύση της εξίσωσης
λ=1
λ=2
λ=-2
λ=0
λ 0,2,-2
2.2 Να λυθούν οι εξισώσεις για τις διάφορες τιμές του λ IR
α. )1(x  β. (λ-1)x=λ-1 γ. 1xx  δ. λ(λ-1)x=λ-1
2.3 Να λυθούν οι εξισώσεις για τις διάφορες τιμές του λ IR
α. λ(λ-x)-3x=5(λ-x)-6 β. )x2(2)1x(2
 γ. 2
x)x2(4 
2.4 Να λυθεί η εξίσωση







2
12x
2
x 2
2.5 Αν 0,  να λύσετε την εξίσωση:
201720172016201720172016
11xx







2.6 Αν η εξίσωση (λ2
-4)x=λ2
-5λ+6 είναι ταυτότητα τότε η εξίσωση (λ2
-3λ+2)x =λ-2
είναι: i. Ταυτότητα ii. Αδύνατη
(Να επιλέξετε την σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε)
2.7 Αν η εξίσωση (λ2
-9)x=λ3
-27 είναι ταυτότητα να βρείτε το μ ώστε η εξίσωση
(λ+μ2
-4)x =μ2
-μ να είναι αδύνατη.
2.8 Να βρείτε τις τιμές των λ, μ για τις οποίες η εξίσωση 1x)2( 2
 να είναι
ταυτότητα και η εξίσωση  2
x)2( να είναι αδύνατη.
2.9 Για ποια τιμή του Rk η εξίσωση )1kx(x3x)1x()1x( 2333

είναι ταυτότητα;
Εξισώσεις
Παραμετρικές Εξισώσεις 2
Άλγεβρα
Α΄
Λυκείου

α. x2
-4x=0 β. x2
-2x+1=0 γ. x3
-3x2
-x+1=0
δ. 9-4x2
=0 ε. 9x2
-6x+1=0 στ. x3
-2x2
-9x+18=0
α. x2
(x-4)+2x(x-4)+(x-4)=0 β. x(x2
-1)-x3
+x2
=0
γ. (x2
-4)(x-1)=(x2
-1)(x-2) δ. x3
-2x2
-(2x-1)(x-2)=0
ε. )3x)(1x()1x)(9x( 22
 στ. )5x4(x5)1x(x5)3x5( 2

α. 05x5xx 23
 β. 09x9xx 224

γ. 04x)4x(x2)4x(x2
 δ.      0x4x22x
2

ε. )1x4(x4x3
 στ. 0)2x)(1x2(x2x 23

α.
4x
x
2x
1
2
2



β.
xx
1
1x
x
2



γ. 0
1x2x
2
1x
1x
22





α. 1
1
x
2
2x



β.
x
1
1
x
1
1
x
1
1 2



γ.
x
1
xx
1
x
1
1
1
2




3.6 Να διερευνήσετε την εξίσωση 22
22
k9x
k15x
k3x
k3x





για όλες τις τιμές του Rk
3.7 Να βρείτε την τιμή του k ώστε οι εξισώσεις
1x
1
1x
1x
22




και
6
)kx(5
6
1k2
2
2x 




να έχουν κοινή ρίζα.
Άλγεβρα
Α΄
Λυκείου
Εξισώσεις
Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις 1ου
βαθμού 3

4.1 Να λυθούν οι εξισώσεις
α. x3
=27 β. (2x-1)3
=-8 γ. (x+1)4
=16 δ. 01x2 4

ε. 01x1024 10
 στ. x5
+x3
=0 ζ. 8x3
+1=0 η. (x+1)5
-16(x+1)=0
4.2 Δίνεται η εξίσωση 08x3
 (1)
α. Να λύσετε την εξίσωση (1)
β. Αν οι εξισώσεις 01xk4 24
 και (1) έχουν κοινή λύση , να βρείτε το k
γ. Αν οι εξισώσεις 32x)1( 105
 και (1) έχουν κοινή λύση , να βρείτε το ω.
4.3 Να λυθούν οι παρακάτω τύποι
α. υ=υ0+γt , ως προς t β.
21 R
1
R
1
R
1
 , ως προς R1 γ.
R
m
F
2

 , ως προς R
δ. 


2
E 21
, ως προς υ ε. 



x
x
y , ως προς x στ. Ε=mc2
, ως προς m
4.4 Αν οι μαθητές μιας τάξης Λυκείου καθήσουν στα θρανία ανά 2 , θα μείνουν
όρθιοι 3 μαθητές . Αν όμως καθήσουν ανά 3 τότε χρειάζονται άλλοι 5 μαθητές
για να συμπληρώσουν τα θρανία. Πόσα είναι τα θρανία και πόσοι οι μαθητές;
4.5 Ο αριθμός των σελίδων ενός βιβλίου είναι τριψήφιος και τα ψηφία του είναι
διαδοχικοί περιττοί αριθμοί. Αν το άθροισμα των ψηφίων του είναι 15 να βρεθεί
ο αριθμός αυτός.
4.6 Ο Γιάννης είναι τώρα 14 χρόνια μεγαλύτερος από τον Βασίλη. Αν σε 10 χρόνια
ο Γιάννης θα έχει ηλικία διπλάσια της ηλικίας του Βασίλη , πόσων χρονών θα
είναι ο Γιάννης σε πέντε χρόνια από τώρα;
4.7 Σε μια γιορτή βρίσκονται 40 άτομα. Αν φύγουν 8 αγόρια και έρθουν 2 κορίτσια
τότε ο αριθμός των αγοριών είναι ίσος με τον αριθμό των κοριτσιών. Να βρείτε
των αρχικό αριθμό των αγοριών και των κοριτσιών.
4.8 Το μήκος και το πλάτος ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι 10m και 6m
αντίστοιχα. Αν αυξηθεί το μήκος του κατά 5m ,να βρείτε πόσο πρέπει να αυξηθεί
το πλάτος του ,ώστε να διπλασιαστεί το εμβαδόν του.
Άλγεβρα
Α΄
Λυκείου
Εξισώσεις
H Εξίσωση xν
=α
Επίλυση Τύπων – Προβλήματα
4

5.1 Να λυθούν οι εξισώσεις:
α. |x|-6=0 β. |2x-1|=|x+2| γ. 3|x|+7=0
δ. 4-2|x|=0 ε. 2|x|+8=0 στ. |3x-4|=0
α. ||x-1|-3|=0 β. |x2
-1|+|x4
-1|=0 γ. d(x,x2
)=d(x,0)
α. |2x-4|-3|4-2x|+2=0 β. ||x-2|+1|=4 γ. x 2
-3|x|=0
α. ||x|+2|=6 β. ||x-1|-4|=5 γ. ||x|-5|=|2|x|+3|
α. 2
1|x|
1x2



β. 5
3|x|
9|x|6x2



γ. 3
x|x|
3|x|2



5.6 Να λυθούν οι εξισώσεις :
α.
4
2|x|
3
1|x|2
2
1|x|3 




β.
4
1|1x2|
|x21|
8
2|1x2|3
1




γ. |2x2|
2
x1
3
1x




5.7 Να λυθούν οι εξισώσεις :|
α. 59x6x2
 β. 025x20x41x6x9 22

α. |x-3|=2x-4 β. |x2
-2|=x2
γ. ||x|-x|=4-3|x|
Άλγεβρα
Α΄
Λυκείου
Εξισώσεις
Εξισώσεις με Απόλυτες Τιμές 5

α. |x2
-5x+5|=1 β. x2
-x-6=|x-3|
6.2 Η εξίσωση x2
+λx+λ2
-7=0 , λ IR , έχει ρίζα το -2.
α. Να βρείτε τις τιμές του λ
β. Για κάθε τιμή του λ που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα να λύσετε την
εξίσωση
6.3 Δίνεται η εξίσωση x2
-x+λ-1=0. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η εξίσωση να
έχει:
α. Δυο ρίζες άνισες β. Μια ρίζα διπλή γ. Ρίζες πραγματικές
δ. Καμία ρίζα πραγματική.
6.4 Δίνεται η εξίσωση (λ-1)x2
+(2λ+1)x+λ=0
Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση :
α. Έχει μία μόνο ρίζα; Ποια είναι αυτή;
β. Έχει μια ρίζα διπλή;
γ. Έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες;
6.5 Αν η εξίσωση αx2
+βx +γ=0 ,α 0 έχει ρίζες πραγματικές , τότε να αποδείξετε ότι
το ίδιο συμβαίνει και για την εξίσωση : αx2
+2(α+β)x+(α+2β+4γ)=0
6.6 Να δείξετε ότι η εξίσωση : x2
-λ3
x-(|λ|+2)=0 έχει δυο ρίζες για κάθε λ IR
6.7 Η μία ρίζα της εξίσωσης x2
-(λ+1)x+λ2
-10=0 , λ IR είναι ο αριθμός x1=2.
Να βρεθεί η άλλη ρίζα της.
6.8 Αν α+β+γ=0 να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αx2
+βx+γ=0 IR,,  , 0
είναι πραγματικές
6.9 Να δείξετε ότι το είδος των ριζών των εξισώσεων αx2
+2βx+γ=0 και
αx2
+2βλx+λ2
γ=0 IR,,  *
IR είναι το ίδιο.
6.10 Αν IR,,  και |α+1|+|α+β+2||+|α+β+γ+3+|=0 να λυθεί η εξίσωση
-βx2
+(α+β+γ)x-α-γ=0
6.11 Αν ρ1, ρ2 οι ρίζες της εξίσωσης x2
-2(α+1)x +α2
+2α=0 , IR να αποδείξετε ότι
(ρ1-ρ2)2010
=22010
Άλγεβρα
Α΄
Λυκείου
Εξισώσεις
Η Εξίσωση αx2
+βx+γ=0,α 0 6

7.1 Έστω x1,x2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης: x2
-2x-4=0
Χωρίς να βρείτε τις x1,x2 , να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων:
α. x1+x2 , x1x2 , (x1+3)(x2+3) , 2
2
2112
2
1 xxxxxx 
β. 2
2
2
1 xx  ,
1
2
2
1
x
x
x
x
 , ( 2
21 )xx 
γ. 3
2
3
1 xx  ,
1
2
2
2
2
1
x
2x
x
2x 


7.2 Έστω η εξίσωση αx2
+βx +γ=0 ,α 0 . Αν x1,x2 οι δυο ρίζες της να δείξετε ότι:


 |xx| 21
-4x-7=0.
α. Χωρίς να λύσετε την εξίσωση να δείξετε ότι έχει δυο ρίζες άνισες
β. Αν x1,x2 οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να κατασκευάσετε εξίσωση  βαθμού
με ρίζες τις: i. 2
2
2
1 x,x ii. x1+2x2 , x2 +2x1 iii.
1
2
2
1
x
x
,
x
x
-4(λ+1)x+8λ-1=0
α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε τιμή
της παραμέτρου λ.
β. Αν x1,x2 είναι οι ρίζες της , να αποδείξετε ότι η παράσταση:
Α=(x1-2)(x2-2) είναι ανεξάρτητη του λ.
7.5 Οι ρίζες της εξίσωσης x2
+κx+12=0 είναι τέτοιες ώστε x1-x2=1. Να βρείτε τον
κ IR
+(λ+5)x+2λ=0 , IR . Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε οι
ρίζες ρ1, ρ2 της εξίσωσης
α. Να είναι αντίθετες
β. Να είναι αντίστροφες
γ. Να ικανοποιούν τη σχέση 2
2
2
1  =20
δ. Να ικανοποιούν τη σχέση 8
22
1
2
2
1 














Άλγεβρα
Α΄
Λυκείου
Εξισώσεις
Άθροισμα και Γινόμενο Ριζών της εξίσωσης
αx2
+βx+γ=0,α 0
7

8.1 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αx2
-(α+2β)x +β=0 έχει πάντα λύση για κάθε
IR, 
8.2 Έστω η εξίσωση αx2
+βx +γ=0 ,α 0 . Αν ισχύει |β|> |α|+ |γ| να αποδείξετε ότι η
εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες
8.3 Αν ρ1 ,ρ2 ρίζες της εξίσωσης x2
-(λ-2)x+λ+1=0 , IR να λυθεί η εξίσωση
(ρ1+ρ2-ρ1ρ2)x= 2
212
2
1 
8.4 Αν ρ1 ,ρ2 IR , 0, 21  ρίζες της εξίσωσης αx2
+βx +γ=0 ,αγ 0 , IR,, 
να δείξετε ότι οι
21
1
,
1

είναι ρίζες της εξίσωσης γx2
+βx +α=0.
+αx +β=0, IR,  ,β>1, και |α|=2β
α. Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες
β. Αν ρ1 ,ρ2 οι ρίζες της εξίσωσης να δείξετε ότι: 2
||
1
||
1
21




8.6 Έστω η εξίσωση x2
-(λ+1)x+λ=0 και x1, x2 είναι οι ρίζες της. Αν οι αριθμοί
2, x1, x2 είναι πλευρές τριγώνου , να δείξετε ότι 1<λ<3
8.7 Για ποιες τιμές των IR,  η εξίσωση
(α+β)x4
+(2α -β-10)x3
+2x2
-(α-β-7)x+6-α=0
γίνεται διτετράγωνη και για ποιες τιμές γίνεται δευτεροβάθμια;
Σε καθεμιά από τις παραπάνω περιπτώσεις να λυθεί η αντίστοιχη εξίσωση.
α. x2
+|x|-2=0 β. x4
-3x2
-4=0 γ. x10
-33x5
+32=0
δ. 08|x|9|x| 4
3
2
3
 ε. (x2
-5x+2)2
-2(x2
-5x+1)-26=0
στ. 03
3x
2x
2
3x
2x
2
















ζ. x2
-3|x-1|-1=0 η. |x2
-5x+6|+(x2
-7x+10)70
=0
8.9 Η εξίσωση (3-x)50
(2β-1)2
+(5-3x)51
|2β-1|=2(α2
-5α )(x2
-5x+6)75
+2 με άγνωστο
τον x έχει ρίζα τον αριθμό 2. Να βρείτε το β.
Άλγεβρα
Α΄
Λυκείου
Εξισώσεις
Άθροισμα και Γινόμενο Ριζών
Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις 2ου
Βαθμού
8

9.1 Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί k, λ για τους οποίους ισχύει:
0|12k3||3k| 
α. Να βρείτε τα k ,λ
β. Αν k=3, λ=5 να λύσετε τις εξισώσεις:
i. |x2||kx| 
ii. 2
5
4|2x|
k
1|6kx|
k
8|x2| 3
2







9.2 Δίνονται οι αριθμοί
26
24
26
8



 και 333
74743 
α. Να βρείτε τους αριθμούς α, β
β. Αν α=4, β=3 να λύσετε τις εξισώσεις
i. )x2x)(xx()x)(9x( 2222
 ii.
2x
2x
x
x
4x2 2
2







9.3 Δίνεται η παράσταση
9|x|6x
3|x|
9x
|x|3x
A 22
2






α. Να βρείτε για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Α
β. Να απλοποιήσετε την παράσταση Α
γ. Να λύσετε την εξίσωση Α=3
9.4 Δίνεται η παράσταση   2017
241816
222A 

και η εξίσωση
0|A4x||Ax2|  (1)
α. Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α
β. Να λύσετε την εξίσωση (1)
γ. Αν 1 η θετική ρίζα της εξίσωσης (1) να λύσετε την εξίσωση 07||x|| 1 
δ. Αν 2 η αρνητική ρίζα της εξίσωσης (1) να λύσετε την εξίσωση
0|1x3| 2020
2
2017

Άλγεβρα
Α΄
Λυκείου
Εξισώσεις
Συνδυαστικές Ασκήσεις 9

10.1 Δίνονται οι παραστάσεις
3x
9x6x
x
x
K
22


 0<x<3, και 44
182182 
α. Να δείξετε ότι Κ=2 και Λ=3
β. Να λύσετε την εξίσωση
3
5|3|
K
|3|





όπου Κ και Λ οι τιμές των
παραπάνω παραστάσεων.
γ. Έστω η εξίσωση R,23x4)1x(2
 (1) . Για την τιμή του λ για την
οποία η (1) έχει παραπάνω από μια λύση να λύσετε την εξίσωση
1008)x,(d
8
1
3

10.2 Δίνεται η παράσταση 6x5xA 2

α. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες Α=0
β. Να λύσετε την εξίσωση 06x5x 24

γ. Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες 024A2A2

10.3 Δίνεται η παράσταση |3|K 
α. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες είναι Κ=2
β. Να λύσετε την εξίσωση |12|K 
γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση 5,1,01x)3(x)2K(2 2
 έχει
πραγματικές ρίζες.
10.4 Η εξίσωση 0
2
1
)(x2x2






 (1) έχει μια διπλή ρίζα
α. Να βρείτε τις τιμές του αριθμούς λ μια μ
β. Αν ρ η διπλή ρίζα της εξίσωσης (1) να λύσετε την εξίσωση
0x)1(x2

Άλγεβρα
Α΄
Λυκείου
Εξισώσεις

11.1 Δίνεται η εξίσωση 07xx 22
 (1)
α. Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό λ η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες
πραγματικές και άνισες.
β. Έστω 21 x,x οι ρίζες της εξίσωσης (1) για τις οποίες ισχύει:
2)2x)(2x( 21 
i. Να βρείτε το λ
ii. Να σχηματίσετε εξίσωση 2ου
βαθμού που να έχει ρίζες τους αριθμούς
2
2
1
x
x
και
1
2
2
x
x
11.2 Δίνεται η εξίσωση 018x)1(4x2
 (1)
α. Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό λ η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες
πραγματικές και άνισες.
β. Έστω 21 x,x οι ρίζες της εξίσωσης (1)
i. Να αποδείξετε ότι η παράσταση )2x)(2x(A 21  είναι ανεξάρτητη του λ
ii. Να βρείτε την τιμή του λ ώστε να ισχύει 64xxxxxx 2
2
2112
2
1 
11.3 Δίνεται η εξίσωση R,01xx2

α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες 21 x,x πραγματικές και άνισες
β. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ για τον οποίο ισχύει: 2121 xxxx 
γ. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ για τον οποίο η εξίσωση έχει ρίζες
αντίθετες
δ. Αν λ=2 να βρείτε την εξίσωση 2ου
βαθμού που έχει ρίζες 1x2 και 2x2
11.4 Δίνεται η εξίσωση   0
4
5
x2x2


 (1) όπου Δ η διακρίνουσα της.
α. Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ
β. Να λύσετε την εξίσωση (1)
Άλγεβρα
Α΄
Λυκείου
Εξισώσεις

Θέμα Α
Α1. Δίνεται η εξίσωση αx+β =0 (1). Να γράψετε τις λύσεις της εξίσωσης (1) για τις
διάφορες τιμές των παραμέτρων R,  . Μονάδες 7
Α2. Δίνεται η εξίσωση 
x (1). Να γράψετε τις συνθήκες για τις παραμέτρους α
και ν για τις οποίες η εξίσωση (1) έχει
α. Μία μόνο λύση θετική β. Δύο λύσεις διαφορετικές Μονάδες 8
Α3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ)
α. Η εξίσωση kx)2016k( 2
 είναι αδύνατη
β. Η εξίσωση xk έχει μοναδική λύση όταν k=λ=0
γ. Η εξίσωση 0)2|x)(|1|x(|  είναι αδύνατη
δ. Αν θ>0 τότε η εξίσωση |x| έχει δύο ρίζες αντίθετες
ε. Αν α<0 και ν άρτιος φυσικός τότε η εξίσωση 
x είναι αδύνατη.
Μονάδες 10
Θέμα Β
Β1. Να λυθεί για τις διάφορες τιμές του R η εξίσωση )1x(9)6x( 2

Μονάδες 8
Β2. Να λύσετε την εξίσωση |1x|
7
11|x1|
2
1|1x|3




Μονάδες 8
Β3. Να λύσετε την εξίσωση 2)1|x(|3|x|x3 2
 Μονάδες 9
Θέμα Γ
Δίνεται η εξίσωση R,0x2x 22
 (1).
Γ1. Αν S και P είναι το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης (1)
αντίστοιχα και ισχύει S+P=4 να βρεθεί το R Μονάδες 10
Γ2. Για την μικρότερη τιμή του λ να βρεθεί η τιμή της παράστασης
2211 x3xx5x3K  όπου 21 x,x οι ρίζες της (1) Μονάδες 15
Θέμα Δ
Δίνεται η εξίσωση 0,0x5x2
 (1)
Δ1.Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) αν
2
5
||  έχει ρίζες πραγματικούς αριθμούς που
είναι αντίστροφοι μεταξύ τους. Μονάδες 10
Δ2. Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης όταν α=2 Μονάδες 5
Δ3.Να λύσετε την εξίσωση 02
x
1
x5
x
1
x2
2












 Μονάδες 10
Άλγεβρα
Α΄
Λυκείου
Εξισώσεις
1ο
Διαγώνισμα 1ο

Θέμα Α
Α1. Αν x1 και x2, είναι οι ρίζες της εξίσωσης αx2
+βx+γ =0 , 0 να αποδείξετε ότι:
S=x1 + x2=


 και P= x1x2=


Μονάδες 15
Α2. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ)
α. Μια εξίσωση 2ου
βαθμού δεν έχει πραγματικές ρίζες όταν Δ=0
β. Αν για τις ρίζες της εξίσωσης αx2
+βx+γ =0 , 0 ισχύει ότι Ρ=1, τότε οι δύο
ρίζες είναι αντίθετες.
γ. Υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί x και y που έχουν άθροισμα S=-10 και
γινόμενο Ρ=16
δ. Η εξίσωση 0,02x2x22
 δεν έχει πραγματικές ρίζες.
ε. Αν δύο εξισώσεις 2ου
βαθμού έχουν τις ίδιες ρίζες, τότε οι συντελεστές των
ίσων δυνάμεων του x των εξισώσεων αυτών είναι ίσοι.
Μονάδες 10
Θέμα Β
Β1. Δίνονται οι παραστάσεις
4x2
x
A


x2
1x3
B


 και
4x
2
2


α. Να βρείτε για ποιες τιμές του x ορίζεται καθεμιά από τις παραπάνω
παραστάσεις. Μονάδες 5
β. Να λύσετε την εξίσωση Α+Β=Γ. Μονάδες 7
γ. Να λύσετε την εξίσωση B =4. Μονάδες 6
δ. Να λύσετε την εξίσωση  =-2. Μονάδες 3
Β2. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση λ2
x+1=λx+λ να έχει πάνω από μία λύσεις.
Μονάδες 4
Θέμα Γ
Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση 0)12(x3x2
 έχει:
Γ1. Δύο ρίζες θετικές Μονάδες 7
Γ2. Δύο ρίζες ετερόσημες Μονάδες 6
Γ3. Δύο ρίζες ίσες. Μονάδες 6
Γ4. Δύο ρίζες αντίστροφες Μονάδες 6
Θέμα Δ
Δίνεται η εξίσωση 0x2x2
 με παράμετρο λ<1
Δ1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες 21 x,x . Μονάδες 6
Δ2. Να δείξετε ότι 2xx 21  Μονάδες 4
Δ3. Αν για τις ρίζες 21 x,x ισχύει επιπλέον |2x||2x| 21  τότε
α. Να δείξετε ότι 4xx 21  Μονάδες 7
β. Να προσδιορίσετε τις ρίζες 21 x,x και την τιμή του λ Μονάδες 8
Άλγεβρα
Α΄
Λυκείου
Εξισώσεις
2ο
Διαγώνισμα 2ο

κεφ. 3 εξισωσεις

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to κεφ. 3 εξισωσεις

Similar to κεφ. 3 εξισωσεις (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

κεφ. 3 εξισωσεις