Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

1. ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ
Α΄ ΛΤΚΕΙΟΤ
ΠΑΡΑΛΛΗΛΕ΢ ΕΤΘΕΙΕ΢
ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2009
Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης
Μαθηματικός
Ρόδος – ΕΠΑ.Λ Παραδεισίου

2. Γεσκεηξία Α΄ Λπθείνπ - Δπαι Παξαδεηζίνπ Ρόδνο - Θεσξία – Αζθήζεηο Κεθαιαίν 4
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Χατζόπουλος Μ. - 2 - http://lisari.blogspot.com
ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4
Παπάλληλερ εςθείερ
Γύν επζείεο (ε1),(ε2) πνπ δεν
ηέμνονηαι ζην επίπεδν θαη
ζπκβνιίδνληαη ε1//ε2
Αίηημα παπαλληλίαρ
Από ζεκείν Α εθηόο επζείαο (ε)
ππάξρεη μοναδική επζεία (ε΄) πνπ
είλαη
 παξάιιειε ζηελ επζεία (ε)
 & δηέξρεηαη από ην ζεκείν Α
Δύο εςθείερ είναι παπάλληλερ
(Τα τρηζιμοποιούμε όηαν
θέλοσμε να ΑΠΟΔΕΙΞΟΥΜΕ
όηι δύο εσθείες – πλεσρές είναι
παράλληλες)
 Δίλαη κάθεηερ ζηην ίδια εςθεία
(ε)
 Δίλαη παπάλληλερ ππορ ηπίηη
επζεία
 Σέκλνληαη από ηξίηε επζεία θαη
ζρεκαηίδνπλ
 ηηο ενηόρ εναλλάξ γσλίεο
Η΢Δ΢
 ηηο ενηόρ εκηόρ και επί ηα
αςηά γσλίεο ηνπο Η΢Δ΢
 ηηο ενηόρ και επί ηα αςηά
γσλίεο
ΠΑΡΑΠΛΖΡΩΜΑΣΗΚΔ΢
Αν δύο εςθείερ (ε1),(ε2) είναι
παπάλληλερ και (ε) ηπίηη
εςθεία
(Τα τρηζιμοποιούμε όηαν ηα
δεδομένα μας δίνοσν
παράλληλες πλεσρές – εσθείες)
 (ε) (ε1) (ε) (ε2)
 αλ ε (ε) ηέκλεη ηελ (ε1) ηόηε ζα
ηέκλεη θαη ηελ (ε2)
 νη ενηόρ εναλλάξ γσλίεο είλαη
Η΢Δ΢
 οι ενηόρ εκηόρ και επί ηα
αςηά γσλίεο είλαη Η΢Δ΢
 νη ενηόρ και επί ηα αςηά
γσλίεο είλαη
ΠΑΡΑΠΛΖΡΩΜΑΣΗΚΔ΢

3. Γεσκεηξία Α΄ Λπθείνπ - Δπαι Παξαδεηζίνπ Ρόδνο - Θεσξία – Αζθήζεηο Κεθαιαίν 4
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Χατζόπουλος Μ. - 3 - http://lisari.blogspot.com
Δύο γωνίερ πος έσοςν ηιρ
πλεςπέρ ηοςρ παπάλληλερ ή
κάθεηερ
 είλαη Η΢Δ΢, αλ θαη νη δύν είλαη
νμείεο ή θαη νη δύν γσλίεο
είλαη ακβιείεο
 είλαη
ΠΑΡΑΠΛΖΡΩΜΑΣΗΚΔ΢, αλ
ε κία γσλία είλαη νμεία θαη ε
άιιε ακβιεία
Αξιοζημείωηοι κύκλοι
ηπιγώνος και ηα κένηπα ηοςρ
 Πεπίκενηπο, ζεκείν ηνκήο
ησλ κεζνθαζέησλ,
πεξηγεγξακκέλνο θύθινο ζην
ηξίγσλν
 Έγκενηπο, ζεκείν ηνκήο ησλ
δηρνηόκσλ, εγγεγξακκέλνο
θύθινο ζην ηξίγσλν
Σσέζειρ γωνιών ηπιγώνος
 Α+Β+Γ=1800
 Κάζε εξωηεπική γωνία
ιζούηαι με ηο άθποιζμα ηων
δύο απένανηι εζωηεπικών,
δει. Αεξ=Β+Γ
 Αλ δύν ηξίγσλα έρνπλ 2
γσλίεο ίζεο ηόηε ζα έρνπλ θαη
ηηο ηξίηεο γσλίεο ίζεο
 Οη γωνίερ ηος ιζόπλεςπος
ηπιγώνος είναι 600
 Οη νμείεο γσλίεο ηνπ
νξζνγσλίνπ ηξηγώλνπ είλαη
ζπκπιεξσκαηηθέο
 Σν άζξνηζκα γσληώλ θπξηνύ
λ-γώλνπ είλαη (λ – 2)180
κνίξεο.

4. Γεσκεηξία Α΄ Λπθείνπ - Δπαι Παξαδεηζίνπ Ρόδνο - Θεσξία – Αζθήζεηο Κεθαιαίν 4
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Χατζόπουλος Μ. - 4 - http://lisari.blogspot.com
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Έζησ επζείεο ε1//ε2 πνπ ηέκλνληαη από ηξίηε επζεία ε. Να δείμεηε
όηη:
i. Οη δηρνηόκνη δύν εληόο ελαιιάμ γσληώλ είλαη παξάιιειεο
ii. Οη δηρνηόκνη δύν εληόο θαη επί ηα απηά γσληώλ είλαη θάζεηεο
2. Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ΑΜ δηάκεζνο. Φέξνπκε
ΓρΒΓ πξνο ην εκηεπίπεδν πνπ δελ αλήθεη ην ζεκείν Α. Παίξλνπκε
ηκήκα ΓΓ=ΑΒ. Να δείμεηε όηη:
i. Γρ // ΑΜ
ii. ΑΓ δηρνηόκνο ηεο γσλίαο MA
iii. Αλ γσλία A=800
βξείηε ηηο γσλίεο ηνπ ηξηγώλνπ ΑΓΓ
3. Φέξλνπκε ηηο δηρνηόκνπο ησλ γσληώλ B, θαη ηέκλνληαη
εζσηεξηθά ηνπ ηξηγώλνπ ζην ζεκείν Η. Από ην Η θέξλνπκε επζεία
παξάιιειε ζηελ ΒΓ θαη ηέκλεη ηελ ΑΒ, ΑΓ αληίζηνηρα ζηα ζεκεία
Γ, Δ αληίζηνηρα. Να δείμεηε όηη:
i. ,IE
 
  είλαη ηζνζθειή ηξίγσλα
ii. ΓΔ=ΒΓ+ΔΓ
4. Από έγθεληξν Η ηξηγώλνπ
ΑΒΓ θέξνπκε ΗΓ // ΑΒ θαη ΗΔ //
ΑΓ όπνπ Γ, Δ ζεκεία ηνπ ΒΓ.
Να δείμεηε όηη:
α) ηα

θαη IE

 είλαη
ηζνζθειή ηξίγσλα

5. Γεσκεηξία Α΄ Λπθείνπ - Δπαι Παξαδεηζίνπ Ρόδνο - Θεσξία – Αζθήζεηο Κεθαιαίν 4
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Χατζόπουλος Μ. - 5 - http://lisari.blogspot.com
β) Ζ πεξίκεηξνο ηνπ ηξηγώλνπ ΗΓΔ ηζνύηαη κε ΒΓ
5. Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε ΑΒ<ΑΓ θαη Μ κέζν ηεο πιεπξάο ΒΓ.
Από ην Μ θέξνπκε παξάιιειε ζηελ δηρνηόκν ΑΓ πνπ ηέκλεη ηηο
ΑΒ θαη ΑΓ ζηα ζεκεία Δ θαη Ε.
i. Να δείμεηε όηη ην EAZ

είλαη ηζνζθειέο.
ii. Αλ πξνεθηείλνπκε ηκήκα ΜΖ=ΜΔ ηόηε λα δείμεηε όηη:
a) BEM
 
 
b)

 ηζνζθειέο
c) ΒΔ=ΓΕ
d)
2
  
   
B
A A
2
  
   
6. Θεσξνύκε ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ηελ δηρνηόκν Αρ ηεο εμσηεξηθήο
γσλίαο Α ηνπ ηξηγώλνπ.
Α) αλ AB

 ηζνζθειέο ηόηε λα δείμεηε όηη Αρ // ΒΓ
Β) αλ Αρ // ΒΓ ηόηε λα δείμεηε όηη ην ηξίγσλν AB

 είλαη ηζνζθειέο
7. ΢ε ηξίγσλν ΑΒΓ θέξνπκε ηηο εζσηεξηθέο θαη εμσηεξηθέο
δηρνηόκνπο ησλ γσληώλ ηνπ Β θαη Γ. Να δείμεηε όηη:
i. γσλία ησλ δύν εζσηεξηθώλ δηρνηόκσλ είλαη 90
2



ii. γσλία ησλ δύν εμσηεξηθώλ δηρνηόκσλ είλαη 90
2



iii. γσλία ηεο κίαο εμσηεξηθήο θαη εζσηεξηθήο δηρνηόκνπ είλαη
2



6. Γεσκεηξία Α΄ Λπθείνπ - Δπαι Παξαδεηζίνπ Ρόδνο - Θεσξία – Αζθήζεηο Κεθαιαίν 4
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Χατζόπουλος Μ. - 6 - http://lisari.blogspot.com
8. Έζησ AB

 νξζνγώλην ηξίγσλν ( 0
A 90

 ) θαη ΑΓ δηρνηόκνο θαη
Δ ζεκείν ηνπ ΑΓ ηέηνην ώζηε ΓΔ //ΑΒ. Αλ A E
 
   θαη E
 
  
θαη ε γσλία B

είλαη 20 κνίξεο κεγαιύηεξε από ηελ γσλία

 ηόηε:
i. Τπνινγίζηε ηηο γσλίεο: B

=;

=;
ii. Απνδείμηε όηη ην ηξίγσλν ΑΔΓ είλαη ηζνζθειέο
iii. Τπνινγίζηε ηελ γσλία

=;
iv. Να δείμεηε όηη: ΓΔΑΓ
v. Τπνινγίζηε ηελ γσλία


9. ΢ε ηξίγσλν ΑΒΓ κε B

>

 θαη ε δηρνηόκνο ΑΓ. Αλ νη γσλίεο B

θαη

 δηαθέξνπλ θαηά 20 κνίξεο ηόηε λα απνδείμεηε όηη:
i. 0
A A B 20
 
   
ii. 0
A B 80

 
iii. 0
A 100

 
10. ΢ε ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη 0 A
B 90
2


   ηόηε λα δείμεηε όηη ην
ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη ηζνζθειέο.
11. Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ κε ΑΓ > ΑΒ θαη ΑΓ ύςνο θαη ΑΔ δηρνηόκνο
ηεο γσλίαο A

.
i. Να δείμεηε όηη:
 
  
 


7. Γεσκεηξία Α΄ Λπθείνπ - Δπαι Παξαδεηζίνπ Ρόδνο - Θεσξία – Αζθήζεηο Κεθαιαίν 4
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Χατζόπουλος Μ. - 7 - http://lisari.blogspot.com
ii. Αλ νη γσλίεο

 θαη

 δηαθέξνπλ θαηά 40 κνίξεο ππνινγίζηε
ηηο γσλίεο ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ
12. Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ ) θαη ηπραίν ζεκείν
Γ ηεο πιεπξάο ΑΒ. ΢ηελ πξνέθηαζε ΓΑ παίξλνπκε ηκήκαηα
ΑΔ = ΑΓ. Αλ E
 
   , ηόηε λα απνδείμεηε όηη:
i.
A
2


 
ii. νη γσλίεο

 θαη B

είλαη ζπκπιεξσκαηηθέο
iii. ΓΔ  ΒΓ
13. Ολνκάζηε ηα παξαθάησ δεπγάξηα γσληώλ γηα ην ζρήκα πνπ
αθνινπζεί:
Α) (1) θαη (5) ιέγνληαη …………………………………………
(1) θαη (6) ιέγνληαη …………………………………………

8. Γεσκεηξία Α΄ Λπθείνπ - Δπαι Παξαδεηζίνπ Ρόδνο - Θεσξία – Αζθήζεηο Κεθαιαίν 4
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Χατζόπουλος Μ. - 8 - http://lisari.blogspot.com
(1) θαη (7) ιέγνληαη …………………………………………
(1) θαη (8) ιέγνληαη …………………………………………
(4) θαη (5) ιέγνληαη …………………………………………
(4) θαη (6) ιέγνληαη …………………………………………
(4) θαη (8) ιέγνληαη …………………………………………
(1) θαη (3) ιέγνληαη …………………………………………
(4) θαη (1) ιέγνληαη …………………………………………
Β) Αλ ε1 // ε2 πνηεο γσλίεο είλαη ίζεο;
Γ) Αλ ε1 // ε2 πνηεο γσλίεο είλαη παξαπιεξσκαηηθέο;
Γ) ΢σζηό ή ιάζνο;
α) Οη θαηαθνξπθήλ γσλίεο είλαη πάληα ίζεο
β) Οη εληόο ελαιιάμ γσλίεο είλαη πάληα ίζεο
γ) Αλ ε1 // ε2 θαη κηα επζεία ε ηέκλεη θάζεηα ηελ ε1 ηόηε ζα
ηέκλεη θάζεηα θαη ηελ ε2
δ) Έλα ηξίγσλν έρεη 3 εμσηεξηθέο γσλίεο
ε) Σν άζξνηζκα ησλ εμσηεξηθώλ γσληώλ ελόο ηξηγώλνπ ηζνύηαη
κε 1800
ζη) Σν άζξνηζκα ησλ εζσηεξηθώλ γσληώλ ελόο ηξηγώλνπ
ηζνύηαη κε 1800
.
14. Βξείηε ηηο παξαθάησ γσλίεο αλ γλσξίδεηε όηη ε1 // ε2 θαη
ηέκλνληαη από ηξίηε επζεία.

9. Γεσκεηξία Α΄ Λπθείνπ - Δπαι Παξαδεηζίνπ Ρόδνο - Θεσξία – Αζθήζεηο Κεθαιαίν 4
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Χατζόπουλος Μ. - 9 - http://lisari.blogspot.com
15. Βξείηε ηηο παξαθάησ γσλίεο ηνπ ζρήκαηνο, αλ ε1 // ε2
16. Γίλεηαη ην ηξίγσλν ΑΒΓ κε 0
A x , 0
B 2x θαη 0
x 40  
όπσο θαίλνληαη ζην παξαθάησ ζρήκα:
α) Βξείηε ην ρ=;

10. Γεσκεηξία Α΄ Λπθείνπ - Δπαι Παξαδεηζίνπ Ρόδνο - Θεσξία – Αζθήζεηο Κεθαιαίν 4
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Χατζόπουλος Μ. - 10 - http://lisari.blogspot.com
β) Βξείηε ηηο γσλίεο
ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ
θαζώο θαη ην είδνο
γ) Τπνινγίζηε ηηο
εμσηεξηθέο γσλίεο ηνπ
ηξηγώλνπ ΑΒΓ
δ) Πόζν θάλεη ην
άζξνηζκα ησλ
εμσηεξηθώλ γσληώλ ηνπ;
ε) Πνηα ζρέζε ζπλδέεη ηελ εμσηεξηθή γσλία κε ηηο 2 εζσηεξηθέο
γσλίεο ηνπ ηξηγώλνπ;
17. Γίλεηαη ην ηξίγσλν ΑΒΓ όπσο θαίλεηαη ζην παξαθάησ
ζρήκα:
α) Βξείηε ην ρ=;
β) Βξείηε ηηο εζσηεξηθέο γσλίεο
ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ θαζώο θαη
ην είδνο ηνπ
γ) Βξείηε ηηο εμσηεξηθέο γσλίεο
ηνπ ηξηγώλνπ
δ) Αλ θέξνπκε κηα επζεία (ε) παξάιιειε ζηελ ΒΓ πνπ ηέκλεη
ηελ ΑΒ, ΑΓ ζηα Κ θαη Λ αληίζηνηρα, βξείηε ηηο γσλίεο Κ θαη Λ
18. Αλ ΑΒ=ΑΓ θαη Γρ δηρνηόκνο ηεο γσλίαο , όπσο
θαίλεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα: Σόηε λα βξείηε:

11. Γεσκεηξία Α΄ Λπθείνπ - Δπαι Παξαδεηζίνπ Ρόδνο - Θεσξία – Αζθήζεηο Κεθαιαίν 4
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Χατζόπουλος Μ. - 11 - http://lisari.blogspot.com
α) Σελ γσλία Β=;
β) Σελ γσλία Γ =;
γ) Σελ γσλία θ = ;
19. Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ , ΑΓ δηρνηόκνο θαη
ΓΔ//ΑΒ. Αλ ε γσλία Β είλαη κεγαιύηεξε από ηελ Γ θαηά 200
,
ηόηε βξείηε ηηο γσλίεο:
α) B ;
β) ; 
γ) θ = ;
δ) σ =;