Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος για το lisari.blogspot.gr

1. Δπηκέιεηα: Υαηδόπνπινο Μάθεο Καζεγεηήο Μαζεκαηηθώλ
lisari@blogspot.com 1ν
Λύθεην Εαθύλζνπ
Γευμεηπία Α΄ Λςκείος
Ειζαγυγικό Κεθάλαιο 1
 Βαζηθή ζεσξία
 Ιζηνξηθή εμέιημε ηεο Γεσκεηξίαο
 Δξσηήζεηο - απαληήζεηο
 Βαζηθέο έλλνηεο από ην 2ν
θεθάιαην
 ΢πκπιήξσζε θελώλ
Εάθπλζνο 2010 – 11

2. Γεωμετρία Α΄ Λσκείοσ 1
ο
Λύκειο Ζακύνθοσ Χατζόποσλος Μάκης
http://lisari.blogspot.com
SΣχολικόςέτος:2010-11
Δηζαγσγή ζηελ Γεσκεηξία Α΄ Λπθείνπ
Κεθάιαην 1ν
Η Γευμεηπία ζε άλλερ γλώζζερ:
Geometry : Αγγιηθά, Géométrie: Γαιιηθά, Geometría: Ιζπαληθά – Ιηαιηθά – Πνισληθά,
Geometrie: Γεξκαληθά – Οιιαλδηθά – Ρνπκαληθά,
Geometri: Γαληθά – Σνύξθηθα - ΢νπεδηθά, Gjeometri: Αιβαληθά
ΓΓΔΔΩΩΜΜΔΔΣΣΡΡΗΗΑΑ : «« γγ αα ίί αα »» ++ «« μμ εε ττ ρρ ώώ »» == μμεεττρράάεειι ττηηνν γγηη
Οξηζκόο: Γεσκεηξία είλαη ν θιάδνο ησλ Μαζεκαηηθώλ πνπ αζρνιείηαη κε ηελ κειέηε ηνπ ρώξνπ θαη ησλ
ζρεκάησλ πνπ κπνξνύλ λα ππάξμνπλ κέζα ζ’ απηό.
Ηζηνξηθή αλαδξνκή: Η Γεσκεηξία είλαη ν πξώηνο θιάδνο ηεο αλζξώπηλεο γλώζεο πνπ δηακνξθώζεθε σο
επηζηήκε θαη επί αηώλεο θαη κόλνο. Οη πξώηεο γξαπηέο καξηπξίεο γεσκεηξηθώλ γλώζεσλ αλάγνληαη ζηελ
ηξίηε κε δεύηεξε ρηιηεηία π.Υ θαη πξνέξρνληαη από ηνπο ιανύο ηεο Αηγύπηνπ θαη ηεο Μεζνπνηακίαο.
Γεσκεηξία
Πξαθηηθή Γεσκεηξία
(απηή πνπ δηδαρζήθακε ζην Γπκλάζην)
Θεσξεηηθή Γεσκεηξία
(απηή πνπ ζα δηδαρζνύκε ζην Λύθεην)
Υξεζηκνπνηεί σο εξγαιείν ηε κέηξεζε. Έηζη θάζε
ζπκπέξαζκα πξνθύπηεη ύζηεξα από κεηξήζεηο.
Μεηνλεθηήκαηα
 Οη κεηξήζεηο δελ είλαη πάληνηε αθξηβείο.
 Σα ζπκπεξάζκαηα ησλ κεηξήζεσλ ηζρύνπλ κόλν γηα
ηελ πεξίπησζε πνπ πξαγκαηνπνηήζεθαλ.
Γειαδή δελ κπνξνύλ λα γεληθεπηνύλ.
Υξεζηκνπνηεί σο εξγαιείν ηε ινγηθή θαη ηνπο
θαλόλεο πνπ θαζηέξσζε πξώηνο ν Αξηζηνηέιεο.
Έηζη θάζε λέν ζπκπέξαζκα πξνθύπηεη σο ινγηθή
ζπλέπεηα πξνεγνπκέλσλ γλώζεσλ
Σε δηαδηθαζία απηή ηελ νλνκάδνπκε απόδεημε.
Θεκέιηα ηεο Θεσξεηηθήο Γεσκεηξίαο
Πξσηαξρηθέο έλλνηεο Αμηώκαηα
Ολνκάδνληαη νη έλλνηεο πνπ δελ νξίδνληαη
από άιιεο απινύζηεξεο.
Οη έλλνηεο απηέο ζεσξνύληαη γλσζηέο από
ηελ εκπεηξία καο.
΢εκείν Α (δελ έρεη δηάζηαζε)
Δπζεία (ε) (δηάζηαζε 1)
Δπίπεδν (2 δηαζηάζεηο)
Ολνκάδνληαη νη πξνηάζεηο πνπ ηηο δερόκαζηε ωο αιεζείο ρωξίο
απόδεημε.
Με ηα αμηώκαηα θαζνξίδνληαη νη ηδηόηεηεο ησλ πξσηαξρηθώλ
ελλνηώλ θαζώο θαη νη κεηαμύ ηνπο ζρέζεηο.
 Σα αμηώκαηα δελ απνδεηθλύνληαη αιιά επηιέγνληαη θαη ζα
πξέπεη λα ηθαλνπνηνύλ νξηζκέλεο ζπλζήθεο.
Η ζεσξεηηθή γεσκεηξία ζεκειηώζεθε γηα πξώηε θνξά σο
επηζηήκε από ηνλ Έιιελα καζεκαηηθό Δπθιείδε (΢ηνηρεία,
300 π.Υ., πνπ ρσξίδεηαη ζε 13 βηβιία). Σα αμηώκαηα
νλνκάδνληαη θαη αηηήκαηα.
Οη βαζηθέο πξνηάζεηο ζηελ Γεσκεηξία
Οξηζκνί :
Πξνζδηνξίδεηαη κηα θαηλνύξηα έλλνηα κε ηελ βνήζεηα άιιωλ γλωζηώλ
ελλνηώλ.
Παξάδεηγκα: Έλα ηξίγσλν ιέγεηαη ηζόπιεπξν, αλ έρεη θαη ηηο ηξεηο πιεπξέο ηνπ ίζεο
Πξόηαζε:
Λέγεηαη ε έθθξαζε πνπ έρεη πιήξεο λόεκα θαη ραξαθηεξίδεηαη κόλν τεςδήρ ή
αληθήρ.
Παπάδειγμα: Το άθποιζμα ηυν γυνιών ενόρ ηπιγώνος είναι 1800
Αμηώκαηα:
Λέγνληαη νη πξνηάζεηο πνπ ηηο δερόκαζηε σο αιεζείο ρσξίο απόδεημε.
Παξάδεηγκα (δεο παξαθάησ πεξηζζόηεξα αμηώκαηα)
1. Από δύν ζεκεία δηέξρεηαη κόλν κηα επζεία
2. Κάζε επζεία έρεη άπεηξα ζεκεία θαη εθηείλεηαη απεξηόξηζηα θαη πξνο ηηο δύν
θαηεπζύλζεηο

3. Γεωμετρία Α΄ Λσκείοσ 1
ο
Λύκειο Ζακύνθοσ Χατζόποσλος Μάκης
http://lisari.blogspot.com
SΣχολικόςέτος:2010-11
Θεσξήκαηα:
Πξνηάζεηο πνπ ε αιήζεηά ηνπο πξνθύπηεη σο ινγηθή ζπλέπεηα
πξνεγνπκέλσλ γλώζεσλ δειαδή κε απόδεημε.
Παξάδεηγκα ην Ππζαγόξεην Θεώξεκα
Πνξίζκαηα:
Πξνηάζεηο πνπ ε αιήζεηά ηνπο πξνθύπηεη σο άκεζε ζπλέπεηα ελόο
ζεσξήκαηνο.
Παξάδεηγκα
΢ε έλα νξζνγώλην ηξίγσλν, νη νμείεο γσλίεο είλαη ζπκπιεξσκαηηθέο
(έξρεηαη σο άκεζν ζπκπέξαζκα ηνπ Θεσξήκαηνο όηη ην άζξνηζκα γσληώλ ηξηγώλνπ
είλαη 180 κνίξεο)
Απόδεημε:
Λέγεηαη ε δηαδηθαζία θαηά ηελ νπνία απνδεηθλύνπκε ηελ αιήζεηα κηαο πξόηαζεο
(ζεσξήκαηνο ή πνξίζκαηνο) κε ζεηξά θαηάιιεισλ ζπιινγηζκώλ, έηζη θάζε λέν
ζπκπέξαζκα πξνθύπηεη σο ινγηθή ζπλέπεηα πξνεγνπκέλσλ γλώζεσλ – αμησκάησλ.
Θεσξεηηθή Γεσκεηξία
Δπθιείδεηα Γεσκεηξία Με Δπθιείδεηεο Γεσκεηξίεο
Έηζη ραξαθηεξίδεηαη ε γεσκεηξία ε νπνία ζεκειηώλεηαη
ζύκθσλα κε ηηο αξρέο θαη ηα αμηώκαηα πνπ θαζηέξσζε ν
Δπθιείδεο (από όπνπ πήξε θαη ην όλνκά ηεο).
΢ήκεξα ε Δπθιείδεηα γεσκεηξία ζεκειηώλεηαη κε
απζηεξό ηξόπν, κε έλα «ζύζηεκα» αμησκάησλ πνπ
πξόηεηλε ν Γεξκαλόο καζεκαηηθόο D. Hilbert
(1862-1943).
Σα 20 αμηώκαηα πνπ έζεζε ν Hilbert
ρσξίδνληαη ζε πέληε νκάδεο.
Οκάδα Ι (8 αμηώκαηα ζπλύπαξμεο)
Οκάδα ΙΙ (4 αμηώκαηα δηάηαμεο)
Οκάδα ΙΙΙ (5 αμηώκαηα ηζόηεηαο)
Οκάδα ΙV (1 αμίσκα, αίηεκα ηνπ Δπθιείδε)
Οκάδα V (2 αμηώκαηα ζπλέρεηαο)
Αμηώκαηα Δπθιείδε
1. Από νπνηνδήπνηε ζεκείν κπνξνύκε λα θέξνπκε κηα
επζεία γξακκή πξνο νπνηνδήπνηε άιιν ζεκείν. (Ζηηήζζσ
από παληόο ζεκείνπ επί παλ ζεκείνλ επζείαλ γξακκήλ
αγάγεηλ.)
2. Οπνηνδήπνηε επζύγξακκν ηκήκα κπνξεί λα επεθηαζεί
πξνο ηα δύν ηνπ άθξα ζπλερώο, ώζηε λα καο δώζεη κηα
επζεία γξακκή. (Καη πεπεξαζκέλελ επζείαλ θαηά ην
ζπλερέο επ’επζείαο εθβάιεηλ.)
3. Είλαη δπλαηόλ λα ραξάμνπκε έλα θύθιν, κε
νπνηνδήπνηε θέληξν θαη αθηίλα. (Καη παληί θέληξσ θαη
δηαζηήκαηη θύθινλ γξάθεζζαη.)
4. Όιεο νη νξζέο γωλίεο είλαη ίζεο κεηαμύ ηνπο. (Καη
πάζαο ηαο νξζάο γσλίαο ίζαο αιιήιαηο είλαη.)
5. Αλ κηα επζεία γξακκή ε νπνία ηέκλεη δύν άιιεο,
ζρεκαηίδεη εζωηεξηθέο γωλίεο κ' απηέο πξνο ηελ ίδηα
πιεπξά ηεο, κε άζξνηζκα ιηγόηεξν από 2 νξζέο, ηόηε αλ νη
2 επζείεο επεθηαζνύλ επ' άπεηξνλ, ηέκλνληαη πξνο εθείλε
ηελ πιεπξά πξνο ηελ νπνία ην άζξνηζκα ηωλ παξαπάλω
γωληώλ ήηαλ ιηγόηεξν από 2 νξζέο. (Καη εάλ εηο δύν
επζείαο επζεία εκπίπηνπζα ηαο εληόο θαη επί ηα απηά
κέξε γσλίαο δύν νξζώλ ειάζζνλνο πνηή,
εθβαιινκέλαο ηαο δύν επζείαο επ’άπεηξνλ ζπκπίπηεηλ,
εθ’ά κέξε εηζίλ αη ησλ δύν νξζώλ ειάζζνλεο.)
Οη Με Δπθιείδεηεο Γεσκεηξίεο βαζίδνληαη ζηα αμηώκαηα
ηεο Γεσκεηξίαο ηνπ Δπθιείδε θαη ζηελ άξλεζε θπξίσο ηνπ
5νπ
αμηώκαηνο (Από ζημείο εκηόρ εςθείαρ ε μποπούμε να
θέποςμε μια μόνο εςθεία
παπάλληλη ππορ ηην εςθεία ε).
Από λσξίο ην 5ν αίηεκα ηνπ Δπθιείδε κπήθε ζην
ζηόραζηξν ησλ καζεκαηηθώλ, αθνύ πίζηεπαλ όηη δελ
κπνξεί λα κελ απνδεηθλύεηαη κηα πξόηαζε γηα ηελ νπνία ε
αληίζηξνθή ηεο απνδεηθλύεηαη ζρεηηθά εύθνια. Έηζη, ηνπο
έγηλε έκκνλε ε ηδέα όηη ζα κπνξνύζαλ λα ην απνδείμνπλ.
Καη όκσο παξά ηηο πξνζπάζεηέο ηνπο απέηπραλ. Η
απνηπρία γηα κηα απεπζείαο απόδεημε ηνπ 5νπ αηηήκαηνο
από ηα ππόινηπα 9 αμηώκαηα ηεο Δπθιείδεηαο Γεσκεηξίαο
(θάζε ππνθαηάζηαην εκπεξηείρε άκεζα ή έκκεζα κηα
ππόζεζε ζρεηηθά κε ηη ζπλέβαηλε πνιύ καθξηά ζην ρώξν,
δειαδή πήγαηλαλ πην καθξηά απ' ηελ εκπεηξία), έζηξεςε
από λσξίο ηελ πξνζνρή ησλ καζεκαηηθώλ πξνο ηε
δπλαηόηεηα κηαο έκκεζεο απόδεημήο ηνπ, με ηη μέθοδο
ηηρ απαγυγήρ ζε άηοπο.
Σα αμηώκαηα ηνπ Δπθιείδε ήηαλ 10, αλ θάπνηνο κπνξνύζε
λα απνδείμεη κηα ππόζεζε ζρεηηθά κε ηηο παξάιιειεο
επζείεο κε ρξήζε ησλ άιισλ 9 αμησκάησλ, ζα ιπλόηαλ ην
πξόβιεκα.
Οη ιόγνη γηα ηνπο νπνίνπο νη καζεκαηηθνί αζρνιήζεθαλ
γηα 20 αηώλεο κε ην 5ν αίηεκα ηνπ Δπθιείδε είλαη απ' ηε
κηα κεξηά όηη ε Δπθιείδεηα Γεσκεηξία ήηαλ ζ' όιν απηό ην
ρξνληθό δηάζηεκα ν κνλαδηθόο θιάδνο ησλ Μαζεκαηηθώλ
πνπ είρε ινγηθή ζεκειίσζε, νπόηε νη καζεκαηηθνί γηα λα
είλαη ζίγνπξνη όηη ζηεξίδνληαη ζε γεξά ζεκέιηα, θα-
ηέθεπγαλ ζ' απηήλ, θαη απ' ηελ άιιε όηη ε απόιπηε
εκπηζηνζύλε ζηελ αιήζεηα ηεο Δπθιείδεηαο Γεσκεηξίαο
είρε επεθηαζεί θαη πέξα από ηα Μαζεκαηηθά θαη ηελ έθαλε
ππόδεηγκα ζεκειίσζεο γηα ηηο άιιεο επηζηήκεο.
Οη δεκηνπξγνί ησλ γεσκεηξηώλ απηώλ (ν Lobatchevsky
θαη ν Bolyai) πίζηεπαλ πσο αξγά ή γξήγνξα ζα
θαηαιήμνπλ ζε άηνπν. Αιιά νη πξνηάζεηο πνπ βγήθαλ από
ην λέν ζύζηεκα αμησκάησλ απνηέιεζαλ έλα ινγηθά ζηεξεό
νηθνδόκεκα θαη κάιηζηα κε πνιιέο θαη ελδηαθέξνπζεο

4. Γεωμετρία Α΄ Λσκείοσ 1
ο
Λύκειο Ζακύνθοσ Χατζόποσλος Μάκης
http://lisari.blogspot.com
SΣχολικόςέτος:2010-11
ή πην απιά
«Από ένα ζημείο εκηόρ μίαρ εςθείαρ πεπνά μμίίαα κκααιι
μμόόννηη ππααππάάλλλληηλληη υρ ππορ ηην εςθεία αςηή.»
(ζρ. 3)
Σίζεηαη ην εξώηεκα:
Πόζεο επζείεο δηέξρνληαη από ην Α θαη είλαη
παξάιιειεο ζηελ (ε1);
Απ.: Η θνηλή δηαίζζεζε ιέεη όηη είλαη κόλν κία, ε
δηαθεθνκκέλε επζεία (ε2)
Τπάξρεη θαη άιιν εξώηεκα:
Ζ επζεία (ε2) είλαη ε κ ν λ α δ η θ ή παξάιιειε ηεο
(ε1), πνπ δηέξρεηαη από ην Α;
Απ.: Πάιη ε δηαίζζεζε καο ιέεη όηη είλαη κνλαδηθή.
Αποηέλεζμα: Τα παξαπάλω επεηδή δελ κπόξεζε λα
ηα απνδείμεη ν Επθιείδεο, όπωο κεηέπεηηα θαη
θαλέλαο άιινο καζεκαηηθόο, ην έθαλε αμίωκα, ην
αξίυμα νούμεπο 5!
εθαξκνγέο.
Σα ζπκπεξάζκαηα ζηα νπνία νδεγήζεθαλ, βξηζθόηαλ
πξάγκαηη ζε αζπκθσλία κε ηε δηαίζζεζε, αιιά ν
Lobatchevsky θαη ν Bolyai είραλ ζπλεηδεηνπνηήζεη κηα
κεγάιε αιήζεηα: απηό πνπ βξίζθεηαη ζε αληίζεζε κε ην
θαζηεξσκέλν γηα ην ρώξν δελ είλαη θαη' αλάγθε ινγηθά
αληηθαηηθό θαη επνκέλσο κπνξνύκε λα ην επεμεξγαζηνύκε
ζεσξεηηθά.
Σν έξγν ησλ Gauss - Lohatchevsky - Bolyai νδήγεζε ζηα
εμήο ζπκπεξάζκαηα:
α) Σν Δπθιείδεην αίηεκα είλαη αδύλαην λα απνδεηρηεί,
αθνύ ε άξλεζε ηνπ δελ νδεγεί ζε θάπνηα ινγηθή
αληίθαζε.
β) Με ηελ πξνζζήθε ηεο αληίζεηεο πξόηαζεο ζηα
αμηώκαηα ηεο Γεσκεηξίαο είλαη δπλαηό λα δεκηνπξγεζεί
κηα ινγηθά άςνγε θαη θαηαλνεηή Γεσκεηξία, δηαθνξεηηθή
από ηελ Δπθιείδεηα.
γ) Η αιήζεηα ησλ απνηειεζκάησλ κηαο ηέηνηαο Γεσκεηξίαο
κπνξεί λα δηαπηζησζεί κόλν πεηξακαηηθά.
•Lobatschewski (1829)- Bolyai (1832)
•Gauss (Τπεξβνιηθή γεσκεηξία)
•Riemann (Διιεηπηηθή γεσκεηξία)
ΑΑΠΠΟΟΚΚΛΛΗΗ΢΢ΔΔΗΗ΢΢ ΑΑΠΠΟΟ ΣΣΖΖΝΝ ΔΔΤΤΚΚΛΛΔΔΗΗΓΓΔΔΗΗΑΑ ΓΓΔΔΩΩΜΜΔΔΣΣΡΡΗΗΑΑ
ΛΛΟΟΓΓΩΩ ΚΚΑΑΜΜΠΠΤΤΛΛΟΟΣΣΖΖΣΣΑΑ΢΢
 Σν άζξνηζκα ησλ γσληώλ ηνπ ηξηγώλνπ δελ ηζνύηαη κε
180°.
 Η πεξίκεηξνο ηνπ θύθινπ δελ ηζνύηαη κε
2πR, όπνπ R ε αθηίλα ηνπ.
 Γελ ηζρύεη ην Ππζαγόξεην Θεώξεκα.
Γηα ηηο κηθξέο απνζηάζεηο θαη ηηο κηθξέο ηαρύηεηεο βνιηθή είλαη ε Δπθιείδεηα γεσκεηξία, ελώ γηα ηα θαηλόκελα πνπ
ζπκβαίλνπλ ζην απνκαθξπζκέλν ζύκπαλ πην αθξηβήο είλαη ε γεσκεηξία ηνπ Riemann (ηελ ρξεζηκνπνίεζε ν Einstein
ζηε δηαηύπσζε ηεο ζεσξίαο ηεο ζρεηηθόηεηαο – για ζεηηθά θακππισκέλνπο ρώξνπο )
Πηζαλέο εξσηναπαληήζεηο καζεηώλ - θαζεγεηή
Δξώηεζε 1: Γηα πξνρσξήζακε ζηελ Θεσξεηηθή Γεσκεηξία; Γηαηί δελ καο θάιππηε ε Πξαθηηθή Γεσκεηξία
πνπ κάζακε ζην Γπκλάζην;
Απάληεζε: Αξρηθά, ε κειέηε ησλ ηδηνηήησλ ησλ δηάθνξσλ
γεσκεηξηθώλ ζρεκάησλ έγηλε κε ηξόπν εκπεηξηθό, όπσο
ζπλαληάκε ζην Γπκλάζην. Η κέζνδνο πνπ αθνινπζήζακε ήηαλ
ε εύξεζε ή επαιήζεπζε ησλ ηδηνηήησλ θαη ζρέζεσλ αλάκεζα
ζηα γεσκεηξηθά ζρήκαηα κε βάζε ηε κέηξεζε (όπσο ζα δνύκε
παξαθάησ), γηα ηελ νπνία ρξεζηκνπνηνύκε ηνλ δηαβαζκηζκέλν
θαλόλα (ππνδεθάκεηξν) θαη ην κνηξνγλσκόλην.
Όκσο πξόεθπςαλ θάπνηα ζέκαηα όπσο ζα δνύκε θαη
παξαθάησ: ζρ. 1
ζρ. 2
Γείηε ηα παξαπάλσ ζρήκαηα:
Έρνπκε ηα εμήο εξωηήκαηα: ΢ην ζρήκα (1) νη επζείεο είλαη παξάιιειεο; ΢ην ζρήκα (2), ην ηξίγσλν είλαη
ηζνζθειέο; Μήπσο ηζόπιεπξν ή νξζνγώλην;
Αλ κεηξήζεηε κε ην κνηξνγλσκόλην ηηο γσλίεο Α, Β, Γ θαη ηηο πξνζζέζεηε καο δίλεη 180 κνίξεο;

5. Γεωμετρία Α΄ Λσκείοσ 1
ο
Λύκειο Ζακύνθοσ Χατζόποσλος Μάκης
http://lisari.blogspot.com
SΣχολικόςέτος:2010-11
Γειαδή παξαηεξνύκε όηη νη κεηξήζεηο κε ηνλ αξηζκεκέλν ράξαθα (ππνδεθάκεηξν) θαη ην κνηξνγλσκόλην έρνπλ
απνθιίζεηο θαη απηό νθείιεηαη ζην γεγνλόο όηη ην κήθνο ησλ πιεπξώλ δελ είλαη πάληα αθέξαηνη αξηζκνί, όπσο θαη ην
κέηξν ησλ γσληώλ, θάηη πνπ δελ κπνξεί λα κεηξεζεί κε αθξίβεηα από ηα γεσκεηξηθά όξγαλα, δειαδή έρνπκε απώιεηεο.
Άξα ε κέηξεζε απηή δεν μποπεί να είναι πάνηα ακπιβήρ και κςπίυρ ηα αποηελέζμαηά ηηρ δε γενικεύονηαι, δει. όπνην
ζπκπέξαζκα θαη λα πξνθύςεη ηζρύεη κόλν γη απηό ην ηξίγσλν πνπ αζρνινύκαζηε θαη όρη γηα όια ηα ηξίγσλα κε
δηαθνξεηηθέο κεηξήζεηο.
Δξώηεζε 2ε
: Γειαδή ζην Λύθεην δελ ζα έρνπκε γεσκεηξηθά όξγαλα;
Απάληεζε: Θα έρνπκε κόλν 2 όξγαλα: α. Σνλ κανόνα (ράξαθαο όρη αξηζκεκέλνο) θαη ηνλ β. διαβήηη
θαη νη απνδείμεηο πνπ ζα θάλνπκε ζην ζρήκα, ζα νθείινληαη απνθιεηζηηθά από ηηο πξνηάζεηο ηεο ζεσξίαο θαη όρη κέζσ
ησλ γεσκεηξηθώλ νξγάλσλ. Γειαδή ηα ζπκπεξάζκαηα γηα λα είλαη γεληθά, δελ πξέπεη λα είλαη ζπλέπεηεο ΜΟΝΟ ηεο
παξαηήξεζεο ηνπ ζρεδίνπ, αιιά είλαη αλαγθαίν λα πξνθύπηνπλ κε νξζό ζπιινγηζκό από ηηο ηδηόηεηεο ηνπ ζρήκαηνο, νη
νπνίεο όπσο είδακε κπνξεί λα κελ είλαη όιεο νξαηέο ζην ζρήκα.
Δξώηεζε 3ε
: Άξα γηαηί λα θάλνπκε έλα αθξηβέο ζρήκα; Αθνύ δελ καο βνεζάεη ζηελ ιύζε!
Απάληεζε: Σν αθξηβέο θαη ην ζωζηό ζρήκα καο δίλεη δηαίζζεζε θαη επνπηεία(=έιεγρνο, επηηήξεζε), δελ καο δίλεη ηελ
ιύζε, έλα θαιό ζρήκα καο «καξηπξάεη» ηελ ιύζε, είλαη αξσγόο ζηελ πξνζπάζεηα καο γηα αλαθάιπςε εθείλσλ ησλ
ηδηνηήησλ πνπ ζα καο νδεγήζνπλ ζηε ιύζε ηνπ πξνβιήκαηνο. Μαο «καξηπξάεη» πνηνπο ζπιινγηζκνύο πξέπεη λα
θάλνπκε γηα λα αληηκεησπίζνπκε ην γεσκεηξηθό πξόβιεκα, πνπ πξέπεη λα είλαη ζεσξεηηθνί (δειαδή κέζα από ηελ
ζεσξία) θαη γεληθνί.
Π.σ. Έλα θαιό ζρήκα καο δείρλεη όηη ηξίγωλν κνηάδεη γηα νξζνγώλην, άξα αξθεί λα ην απνδείμνπκε κε πξνηάζεηο ηεο
ζεωξίαο
Π.ρ. Έλα θαιό ζρήκα, καο δείρλεη όηη ηα δύν ηξίγωλα πξέπεη λα είλαη ίζα, άξα αξθεί λα εθαξκόζνπκε έλα από ηα θξηηήξηα
ηζόηεηαο ηξηγώλωλ (δει. ζεωξία) θαη λα ην απνδείμνπκε.
Δξώηεζε 4ε
: Πόζα είλαη ηα Δπθιείδεηα αμηώκαηα;
Απάληεζε: Δίλαη 20 αμηώκαηα πνπ ν Hilbert ηα ρώξηζε ζε πέληε νκάδεο.
Δξώηεζε 5ε
: Ο Δπθιείδεο δεκηνύξγεζε – θαηαζθεύαζε – αλαθάιπςε, ηελ Γεσκεηξία;
Απάληεζε: Λάζνο, ε γεσκεηξία πξνϋπήξρε ηνπ Δπθιείδε, κεγάινη Γεσκέηξεο πξνεγήζεθαλ από απηόλ, όπσο ν Θαιήο ν
Μηιήζηνο. Η νπζηαζηηθή αμία ηνπ έξγνπ ηνπ Δπθιείδε δελ ζπλίζηαηαη ηόζν ζηηο πξνηάζεηο πνπ αλαθάιπςε θαη απέδεημε (
άιισζηε πνιιέο από απηέο ήηαλ γλσζηέο θαη πξηλ από απηόλ), όζν ζην όηη αλαθάιπςε ηελ αμησκαηηθή κέζνδν ζηα
καζεκαηηθά ( αξρηθή όξνη, νξηδόκελε όξνη, αμηώκαηα, ζεσξήκαηα). Η Δπθιείδεηνο Γεσκεηξία είλαη ε πξώηε καζεκαηηθή
αμησκαηηθή ζεσξία.
Δξώηεζε 6ε
: Πνηα είλαη ε κέζνδνο εηο άηνπνλ απαγσγή; Πσο πξνζπάζεζαλ λα ην εθαξκόζνπλ ζην 5 αμίσκα;
Απάληεζε: Έζησ όηη ζέινπκε λα απνδείμνπκε ηνλ ηζρπξηζκό P Q . Σόηε ππνζέηνπκε όηη δελ ηζρύεη ην ζπκπέξαζκα Q
θαη κε ηζνδπλακίεο θαηαιήγνπκε ζε θάηη άηνπν (αληίθαζε), νπόηε ε ππόζεζε πνπ θάλακε δελ είλαη ζσζηή, άξα, ε Q
πξόηαζε είλαη αιεζήο.
΢ηελ πεξίπησζε ηνπ 5νπ
αμηώκαηνο, έπξεπε λα απνδείμνπκε όηη ππάξρεη κνλαδηθή παξάιιειε επζεία πνπ δηέξρεηαη από ην
ζεκείν Α θαη είλαη παξάιιειε ζηελ ε1 (δεο παξαπάλσ ζρήκα 3). Η κέζνδνο εηο απαγσγή ζε άηνπν δηαηππώλεηαη σο εμήο:
Έζηω όηη δελ ππάξρεη κνλαδηθή παξάιιειε πνπ δηέξρεηαη από ην Α θαη είλαη παξάιιειε ζηελ ε1, δειαδή ππάξρνπλ δύν
επζείεο ε2 θαη ε3 πνπ είλαη παξάιιειε ηεο ε1 θαη πεξλάλε από ην ζεκείν Α, άξα …

6. Γεωμετρία Α΄ Λσκείοσ 1
ο
Λύκειο Ζακύνθοσ Χατζόποσλος Μάκης
http://lisari.blogspot.com
SΣχολικόςέτος:2010-11
Βαζηθά Γεσκεηξηθά ΢ρήκαηα – Κεθάιαην 2ν
(εθηόο ύιεο)
1. ΢πκπιεξώζηε αληίζηνηρα ηα ζρήκαηα, γηα ηηο παξαθάησ Γεσκεηξηθέο έλλνηεο:
Γεσκεηξηθέο έλλνηεο ΢ρήκα
Δπζεία (ε)
Ηκηεπζεία Αρ
Δπζύγξακκν ηκήκα ΑΒ θαη
θνξέαο (ε)
Κπξηή γσλία xAy
Οξζή, νμεία θαη ακβιεία γσλία
Δθεμήο γσλίεο
΢πκπιεξσκαηηθέο γσλίεο σ, θ
Παξαπιεξσκαηηθέο γσλίεο σ, θ
Καηαθνξπθήλ γσλίεο
Κύθινο κε θέληξν Ο θαη αθηίλα ξ
Δπίθεληξε γσλία xOy
Δγγεγξακκέλε γσλία xAy
Υνξδή ΑΒ θαη ηόμν AB
Γηάκεηξνο θαη αληηδηακεηξηθά
ζεκεία
Απόζηεκα

7. Γεωμετρία Α΄ Λσκείοσ 1
ο
Λύκειο Ζακύνθοσ Χατζόποσλος Μάκης
http://lisari.blogspot.com
SΣχολικόςέτος:2010-11
2. Σν Μ είλαη κέζν ηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο ΑΒ, όπσο θαίλεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα
΢πκπιεξώζηε ηα θελά: α. {Μ κέζν ηνπ ΑΒ}
.........
....... .......
.....
  
β. Σν κέζν Μ ηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο ΑΒ είλαη…………………….
3. Γίλεηαη έλα επζύγξακκν ηκήκα ΓΓ θαη ηα ηπραία ζεκεία Κ, Λ ζην εζσηεξηθό ηνπ, όπσο θαίλεηαη
ζην παξαθάησ ζρήκα:
΢πκπιεξώζηε ηα θελά:
α. ΓΛ = …………….. + ……………….
β. ΓΓ =…………+………+……………..
γ. ΚΛ = ……. – …… = …….. –……………= ………… – ………….. –……………….
δ. ΓΚ = ……. – …… = …….. –……………= ………… – ………….. –……………….
Δ. Αλ ΓΚ = ΛΓ ηόηε ην κέζν ηνπ επζύγξακκνπ ηκήκαηνο ΓΓ θαη ΚΛ ……………………..
γηαηί……………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………...
4. Να θέξεηαη ηελ δηρνηόκν Οδ ζηελ παξαθάησ γσλία xOy
΢πκπιεξώζηε ηα θελά:
α. Οδ δηρνηόκνο ηεο xOy
.........
....... .......
.....
  
β. Η δηρνηόκνο ηεο γσλίαο είλαη ……………….
5. Έζησ ην επζύγξακκν ηκήκα ΑΒ. Να θέξεηαη ηελ κεζνθάζεην (ε) ζην παξαθάησ ζρήκα:
΢πκπιεξώζηε ηα θελά:
Η κεζνθάζεηνο (ε) είλαη ………. …….. ….θαη δηέξρεηαη από ην …………… ηνπ ΑΒ.
6. ΢ρεδηάζηε θαηαθνξπθήλ γσλίεο θαη ζπκπιεξώζηε ηελ πξόηαζε:
Οη θαηαθνξπθήλ γσλίεο είλαη ……………….

8. Γεωμετρία Α΄ Λσκείοσ 1
ο
Λύκειο Ζακύνθοσ Χατζόποσλος Μάκης
http://lisari.blogspot.com
SΣχολικόςέτος:2010-11
7. Γίλεηαη ην ζρήκα:
΢πκπιεξώζηε ηα θελά:
α. Οη γσλίεο , ,X NZ Z NW W NY ιέγνληαη
…………………………………….
Δλώ ηα δεύγε ησλ γσληώλ ,X NZ Z NW ή
,Z NW W NY ή X NZ ,Z NY ιέγνληαη
………………………………………..
β. X NY =……..+…….+…….
γ. X NW = ……. + …………..
δ. X NZ =….. - ….. = …… - ……
ε. Z NW =…… - ….. = ……. - …..… - ……….
8. ΢ρεδηάζηε κηα επίθεληξε θαη κηα εγγεγξακκέλε γσλία ζε θύθιν (Ο,ξ) πνπ βαίλνπλ ζην
ίδην ηόμν.
α. Ση ζρέζε έρνπλ νη παξαπάλσ γσλίεο;
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
β. Η εγγεγξακκέλε γσλία πνπ βαίλεη ζε
εκηθύθιην ηζνύηαη……………………
γ. Οη εγγεγξακκέλεο γσλίεο είλαη ίζεο όηαλ
………………………………………………
………………………………………………
δ. Πνηα είλαη ε ζρέζε ηεο επίθεληξεο γσλίαο κε ην αληίζηνηρν ηόμν ηεο;
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
ε. Έζησ Μ ην κέζν ηνπ ηόμνπ AB
.........
....... .......
.....
  
θαη ην κέζν ηνπ ηόμνπ είλαη ………………….