Download as PPSX, PPTX
More Related Content
Similar to παρουσίαση χρυση τομη
More from 1o ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΒΑΡΒΑΡΑΣ
παρουσίαση χρυση τομη
- 1. Παροσζίαζη ηης ερεσνηηικής εργαζίας – project «Χρσζή ηομή» Έηος: 2011-2012 1ο Λύκειο Αγ.Βαρβάρας Λύκειο Γεσηεροβάθμιας Δκπαίδεσζης 1
- 2. ΠΡΟΛΟΓΟ ην Β‟ ηεηξάκελνηεο Α‟ ιπθείνπ ζην κάζεκα ηεο εξεπλεηηθήο εξγαζίαο. Δπεξεαζκέλνη από ηελ θξίζε ησλ άξξεησλ πνπ αληηκεηώπηζε ε Ππζαγόξεην ζρνιή, αζρνιεζήθακε κε ηνλ αξηζκό Φ. Καηά θαηξνύο ν Φ απνδόζεθε κε δηάθνξα νλόκαηα θαη ζεσξείηαη ν πην άξξεηνο από ηνπο άξξεηνπο. Υσξηζηήθακε ζε 3 νκάδεο πνπ ε θάζε κηα αλέιαβε έλα θνκκάηη ηεο εξγαζίαο. Ζ επηβιέπνπζα θαζεγήηξηα ήηαλ ε θα Καξάκπαιε ηεο νπνίαο βνήζεηα ήηαλ πνιύηηκε. 2
- 3. ηελ νκάδα καοΑ- project 2 ζπκκεηείραλ καζεηέο θαη καζήηξηεο από ηα ηκήκαηα Α1, Α2, Α3 ηεο Α ιπθείνπ ηνπ 1νπ Γεληθνύ Λπθείνπ Αγίαο Βαξβάξαο: Aξβαλίηεο Γεώξγηνο Μαλίθεο Ραθαήι Βνπζθνπδάθεο Μηραήι Παπαληθνιάνπ Υξήζηνο Γεσξγάξνπ Αζελά Πξνκπνλά Νεθέιε Γξεγνξηάδνπ Αζελά Φαθιάλα Γεσξγία Δζθηηδή Μαξία Υαξαιακπίδνπ Δπγελία Καξαβόινπ Έπα Υηελάο Γεώξγηνο Καηνύθα Εέηα Φαξαδέιιεο Γεκήηξηνο Κνπκεληάθνπ Διέλε Φξαληδή Μαξία Μαθξή Βάιηα αξηδάθε Δπαγγειία 3
- 4.
- 5. Ζ νκάδα «καζεκαηηθνίαξραηνιόγνη» (Βνπζθνπδάθεο,Παπαληθνιάνπ,Δζθηηδή, Γξεγνξηάδνπ, Φαξαδέιιεο, Υηελάο) αζρνιήζεθε κε ηελ ηζηνξία ηνπ αξηζκνύ θ θαη ηηο γεσκεηξηθέο θαηαζθεπέο. 5
- 6. Ζ νκάδα «θαιιηηερληθήθύζε» (Μαθξή, Φξάγθνπ, Μαλίθεο, Καηνύθα, Γεσξγάξνπ,Καξαβόινπ, Πξνκπνλά) αζρνιήζεθε κε ηελ εκθάληζε ηνπ αξηζκνύ θ ζηελ αξρηηεθηνληθή, γιππηηθή, δσγξαθηθή, κνπζηθή θαη θσηνγξαθία. 6
- 7. Ζ νκάδα «Χξπζάπαηδηά ελ δξάζε» (Κνπκεληάθνπ, Φαθιάλα, Υαξαιακπίδνπ, Αξβαλίηεο, αξηδάθε, Φξαληδή) αζρνιήζεθε κε ηελ παξνπζίαζε ηνπ αξηζκνύ θ ζηε θύζε, αζηξνλνκία, βηνινγία, δσνινγία, αλαηνκία ηνπ αλζξώπνπ, νξζνδνληηθή. 7
- 8. Γηεπθνιπλζήθακε ηδηαίηεξα απόηε ρξήζε ησλ λέσλ ηερλνινγηώλ ζπγθεθξηκέλα κε ην δηαδίθηπν θαη ην εθπαηδεπηηθό πξόγξακκα Geogebra (γηα ηηο γεσκεηξηθέο θαηαζθεπέο), πνιπεπνπηηθό εξγαιείν γηα ηε ζύγρξνλε άιγεβξα, ηελ ηξηγσλνκεηξία θαη ηελ αλάιπζε, πνπ επηηξέπεη ηε δηεξεύλεζε ησλ ζπλαξηήζεσλ θαη ηε καζεκαηηθή κνληεινπνίεζε. Ζ εθκάζεζή ηνπ έγηλε ζην εξγαζηήξην πιεξνθνξηθήο θαη επραξηζηνύκε ηελ θ. Φαξξή γηα ηελ πνιύηηκε βνήζεηά ηεο. 8
- 9. Μνπζείν «Ηξαθιεηδώλ» ηα πιαίζηαηνπ project επηζθεθηήθακε ην κνπζείν «Ζξαθιεηδώλ» ζην Θεζείν. Δπηζθεθζήθακε δύν εθζέζεηο ηνπ Vasarely θαη ηνπ Δscher θαη παξαθνινπζήζακε κηα παξνπζίαζε γηα ηε ρξπζή ηνκή. ην ζεκείν απηό ζα ζέιακε λα επραξηζηήζνπκε ηνλ θ. Αξηζηνηέιε Παλαγησηόπνπιν πνπ καο βνήζεζε ζηελ θαηαλόεζε ηεο ζρέζεο ηέρλεο-καζεκαηηθώλ. 9
- 10. Ο ηνκέαο ηνπα‟ νξόθνπ ηνπ κνπζείνπ είλαη αθηεξσκέλνο ζηνλ Γάιιν δσγξάθν, νπγγξηθήο θαηαγσγήο, Victor Vasarely (1906-1997), αδηακθηζβήηεην εγέηε ηεο Op-Art. 10
- 11. Σν έξγν ηνπδηαπλέεηαη ζπλνιηθά από ηελ πίζηε ηνπ ζηελ θνηλσληθή ιεηηνπξγία ηεο ηέρλεο θαη ηελ επηδίσμή ηνπ λα ελζσκαηώζεη ην θαιιηηερληθό έξγν ζηελ θαζεκεξηλόηεηα. Αλέπηπμε κία εηθαζηηθή πξνζέγγηζε πνπ βαζηδόηαλ ζηελ άκεζε νπηηθή αληίιεςε ηνπ ζεαηή, αλεμάξηεηα από ην θαιιηηερληθό ηνπ ππόβαζξν ή ηελ παηδεία ηνπ. 11
- 12. Οη πίλαθεο ηνπζρεδηάδνληαλ κε ηξόπν ώζηε λα γίλνληαη πιήξσο αληηιεπηνί κόλν κέζα από ηελ θίλεζε ηνπ ζεαηή, ν νπνίνο πιένλ δηαδξακαηίδεη ην δηθό ηνπ ξόιν ζηελ θαηαλόεζε ηνπ θαιιηηερληθνύ έξγνπ. 12
- 13. • Ο MauritsCornelis Escher (17 Ηνπλίνπ 1898 – 27 Μαξηίνπ 1972) ήηαλ Οιιαλδόο εηθαζηηθόο θαιιηηέρλεο. • Κύξην ζηνηρείν ηεο ηέρλεο ηνπ Escher είλαη ε απεηθόληζε αδύλαησλ γξαθηθώλ παξαζηάζεσλ (αλζξώπσλ, δώσλ, αληηθεηκέλσλ θηι.), νη νπνίεο δεκηνπξγνύλ ηελ ςεπδαίζζεζε ηνπ απείξνπ, δειαδή ηεο αηειείσηεο δεκηνπξγίαο ζρεδίσλ. Απηή ε ηδηαηηεξόηεηα ησλ ζρεδίσλ ηνπ νθείιεηαη ζηελ επηξξνή πνπ δέρηεθε ν Escher από ηα καζεκαηηθά. 13
- 14.
- 15. «καζεκαηηθνί αξραηνιόγνη» Ο JohannesKepler δήισζε ην 1618: «Ζ αξραία Διιάδα πξνίθηζε ηε γεσκεηξία κε δύν αλππέξβιεηνπο ζεζαπξνύο. Ο πξώηνο είλαη ην Ππζαγόξεην ζεώξεκα θαη ν δεύηεξνο, ν ρσξηζκόο ηκήκαηνο ζε κέζν θαη άθξν ιόγν. Σνλ πξώην κπνξνύκε λα ηνλ ζπγθξίλνπκε κε ρξπζάθη θαη ηνλ δεύηεξν κ‟ έλα πνιύηηκν δηακάληη …» 15
- 16. Σελ ρξπζή ηνκήεηζήγαγε θαη ππνιόγηζε ν Ππζαγόξαο, (585 – 500 π.Υ.). Από ηόηε έρεη ρξεζηκνπνηεζεί ζηελ αξρηηεθηνλη- θή θαη ηε δσγξαθηθή, ηόζν θαηά ηελ αξραία Διιάδα όζν θαη θαηά ηελ Αλαγέλλεζε. 16
- 17. • Κάπνηνη από ηνπο κεγαιύηεξνπο καζεκαηηθνύο όισλ ησλ επνρώλ, από ηνλ Δπθιείδε, ηνλ κεζαησληθό Ηηαιό καζεκαηηθό Leonardo of Pisa (Fibonacci), ηνλ αλαγελλεζηαθό αζηξνλόκν Johannes Kepler έσο ζεκεξηλέο επηζηεκνληθέο θπζηνγλσκίεο όπσο ν Καζεγεηήο ηεο Ομθόξδεο Roger Penrose έρνπλ αθηεξώζεη ακέηξεηεο ώξεο γύξσ από απηήλ ηελ αλαινγία θαη ηηο ηδηόηεηέο ηεο. Ο Δπθιείδεο ζε ιεπηνκέξεηα από ηε Σρνιή ησλ Αζελώλ ηνπ Ραθαήι, 1509. 17
- 18. H Υξπζή ΣνκήΦ δειώλεη κία αλαινγία. Ζ αλαινγία απηή είλαη πεξίπνπ 1:1,618 θαη ζεσξείηαη όηη δίλεη αξκνληθέο αλαινγίεο. Αλαινγίεο δειαδή πνπ ην κάηη καο, ζαλ λα ήηαλ πξνγξακκαηηζκέλν εμαξρήο έηζη, ζεσξεί αξκνληθέο θαη όκνξθεο. 18
- 19. Ολνκαζίεο • Ο “θ” είλαη ν αξηζκόο ηεο νκνξθηάο θαη ηεο αλαινγίαο. • Ο κνλαρόο ηνπ 15ος αιώνα Λούκα Παηζιόλι, επεξεαζκέλνο από ηελ αληίιεςε ηεο επνρήο ηνλ νλόκαζε “ε ζεία αλαινγία”. • Σν 1545 ρξεζηκνπνηείηαη ν όξνο “ρξπζόο θαλόλαο”. • Σελ πεξίνδν ηεο Αλαγέλλεζεο ν Λεονάπνηο νηα Βίνηζι ηνλ νλόκαζε “ρξπζό αξηζκό”. (Sectio aurea) • Χο ρξπζή ηνκή ρξεζηκνπνηήζεθε ην 1835 ζην βηβιίν “Σα θαζαξά ζηνηρεηώδε καζεκαηηθά” ηνπ Γεξκαλνύ καζεκαηηθνύ Martin Ohm. • Αηώλεο αξγόηεξα,ν Ακεξηθαλόο καζεκαηηθόο Μαπκ Μπαπ ζα ηνλ πξνζδηόξηδε κε ην ειιεληθό γξάκκα θη, πξνο ηηκήλ ηνπ γιύπηε Φεηδία, ν νπνίνο κε βάζε απηόλ ηνλ αξηζκό δεκηνπξγνύζε ηα έξγα ηνπ. 19
- 20. ΑΙΡΟΜ ΙΑΘ ΛΕΟΜΚΟΓΟΜ ΕΤΘΕΘΑ ΣΕΣΛΗΘΑΘ ΚΕΓΕΣΑΘ, ΌΣΑΜ Η Ω Η ΟΚΗ ΠΡΟ ΣΟ ΛΕΘΖΟΜ ΣΛΗΛΑ, ΟΤΣΩ ΣΟ ΛΕΘΖΟΜ ΠΡΟ ΣΟ ΕΚΑΣΣΟΜ. Οξηζκόο 3 ηνπ Σ΄ βηβιίνπ ησλ «ηνηρείσλ» ηνπ Δπθιείδε. 20
- 21. Οξηζκόο Ζ ρξπζή ηνκήδίλεη ην ζεκείν πνπ πξέπεη λα δηαηξεζεί έλα επζύγξακκν ηκήκα, ώζηε ν ιόγνο ηνπ σο πξνο ην κεγαιύηεξν ηκήκα λα ηζνύηαη κε ηνλ ιόγν ηνπ κεγαιύηεξνπ ηκήκαηνο σο πξνο ην κηθξόηεξν. ΑΒ/ΑΖ=1,6180 ΑΖ/ΖΒ=1,6180 21
- 22. Γειαδή Από ηελ δεμηάηζόηεηα παίξλνπκε όηη Αληηθαζηζηώληαο έρνπκε Απαινίθνληαο ηα b παίξλνπκε Πνπ ηειηθά δίλεη Ζ παξαπάλσ δεπηεξνβάζκηα εμίζσζε έρεη κία κόλν ζεηηθή ιύζε, ηελ 22
- 23. Πξόθεηηαη γηα έλαλάξξεην (όπσο θαη ν «π») αξηζκό, έλαλ αξηζκό δειαδή ηνπ νπνίνπ ηα δεθαδηθά ςεθία δελ ζηακαηνύλ πνπζελά. Με αθξίβεηα 150 δεθαδηθώλ ςεθίσλ ν αξηζκόο είλαη ν εμήο: 1,61803398874989484820458683436563811772030917980576286213544862 2705260462818902449707207204189391137484754088075386891752126633 862223536931793180060766... 23
- 24. Δξσηήκαηα Τπάξρεη αξηζκόοηέηνηνο ώζηε εάλ ηνλ πςώζεηο ζην ηεηξάγσλν λα απμεζεί θαηά κία κνλάδα; x2=x+1 x2-x-1=0 Γ=β2-4αγ=5 1 5 x 2 a 2 Τπάξρεη αξηζκόο ηέηνηνο ώζηε εάλ ηνλ ειαηηώζεηο θαηά κία κνλάδα λα αληηζηξαθεί; 1 x-1= x x2-x-1=0 1 5 x 2 a 2 24
- 25. Άιινη νξηζκνί Iζρύεη ζπλεπώοθ2=θ+1 θαη θ= 1 Ζ ζρέζε νηθνδνκεί έλαλ άιινλ νξηζκό ηνπ θ θ= 1 1 1 1 1 ... απηό κπνξεί λα ζπλερίδεηαη επ‟ άπεηξνλ. 1 Δπίζεο θ=1+ θαη απηό κπνξεί λα ζπλερίδεηαη επ‟ άπεηξνλ θ=1+ 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 25
- 26. O πην άξξεηνοαπό ηνπο άξξεηνπο Ζ θπξηόηεξε δηαπίζησζε ησλ αξραίσλ ειιήλσλ θαη όζσλ αζρνιήζεθαλ κε ηελ ρξπζή ηνκή είλαη όηη ην απνηέιεζκα είλαη άξξεηνο αξηζκόο. Απηό ζεκαίλεη πξαθηηθά όηη δελ είλαη δπλαηόλ έλα κηθξόηεξν επζύγξακκν ηκήκα λα ρσξάεη ζε έλα κεγαιύηεξό ηνπ αθξηβώο. Ζ ζπλεηδεηνπνίεζε όηη ππάξρνπλ αξηζκνί, όπσο ν Υξπζόο Λόγνο πνπ ηα ςεθία ηνπο ζπλερίδνληαη επ‟ άπεηξνλ ρσξίο λα εκθαλίδνπλ επαλάιεςε πξνθάιεζε δένο ζηα αλήζπρα καζεκαηηθά πλεύκαηα ηεο επνρήο εθείλεο. 26
- 27. Γεσκεηξηθέο θαηαζθεπέο Υξπζό νξζνγώλην Ο ιόγνο ησλ θάζεησλ πιεπξώλ είλαη ΑΒ/ΑΓ=1,16180 27
- 28. Υξπζό νμπγώλην ηξίγσλν Λέγεηαηθάζε ηζνζθειέο ζην νπνίν ν ιόγνο ηεο κεγάιεο πιεπξάο πξνο ηε κηθξή ζα είλαη ίζνο κε θ. Κάζε ηζνζθειέο κε γσλία θνξπθήο 36ν είλαη ρξπζό. Φέξλνληαο ηε δηρνηόκν κηαο από ηηο παξά ηε βάζε γσλίεο ηα ηξίγσλα ΑΒΓ θαη ΒΓΓ είλαη όκνηα ΑΒ/ΒΓ=θ Ζ δηρνηόκνο ηεο γσλίαο Γ δεκηνπξγεί ζηελ απέλαληη πιεπξά ρξπζή ηνκή. ΒΑ/ΑΓ=ΑΓ/ΒΓ=θ 28
- 29.
- 30.
- 31. Σν αζηέξη ησλΠπζαγνξείσλ Σν ζύκβνιν ηεο αδειθόηεηαο ησλ Ππζαγνξείσλ ήηαλ ην «πεληάγξακκν» ην αζηέξη πνπ ζρεκαηίδεηαη από ηηο πέληε δηαγσλίνπο ηνπ θαλνληθνύ πεληαγώλνπ. Σν αζηεξνεηδέο πεληάγσλν πνπ ζηηο πέληε θνξπθέο ηνπ νη Ππζαγόξεηνη ηνπνζεηνύζαλ ηα γξάκκαηα ηεο ιέμεσο πγεία, απνηεινύζε ζεκείν αλαγλώξηζεο θαη ζύκβνιν ηεξό. Κάζε γσλία ηνπ «πεληαγξάκκνπ» είλαη 36ν ην ηξίγσλν ΑΓΓ ε ΓΔ δηρνηνκεί ηε γσλία ΑΓΓ άξα ηέκλεη θαηά ρξπζή ηνκή ηελ ΓΑ. ΑΓ/ΑΗ=ΑΗ/ΑΝ=θ 31
- 32.
- 33.
- 34.
- 35. Παξαηήξεζε Κάζε ηξίγσλν πνπζρεκαηίδεηαη από ηε πιεπξά ηνπ δεθαγώλνπ θαη ηηο αθηίλεο ηνπ θύθινπ είλαη ηζνζθειέο κε γσλία θνξπθήο 36ν επνκέλσο νη άιιεο δύν είλαη 72ν Αλ θέξνπκε ηε δηρνηόκν ηεο γσλίαο Α παξαηεξνύκε όηη ηα ηξίγσλα ΟΑΒ θαη ΑΓΒ είλαη όκνηα δειαδή ηζρύεη ΟΑ/ΑΒ=ΑΓ/ΓΒ R/L=L/R-L R2-RL-L2=0 R=Lθ 35 Ζ αθηίλα ηνπ θύθινπ είλαη θ θνξέο κεγαιύηεξε από ηελ πιεπξά ηνπ θαλνληθνύ δεθαγώλνπ.
- 36. Υξπζό νξζνγώλην ΄Δρεη ιόγνησλ πιεπξώλ ηνπ ίζν κε θ a/b=θ Αλ ηνπ απνθόςνπκε έλα ηεηξάγσλν κε πιεπξά b ην νξζνγώλην κε πιεπξέο b, γ πνπ ζα απνκείλεη ζα είλαη θαη πάιη Υξπζό. Γειαδή b/γ=θ θαη απηό ζα ζπλερίδεηαη επ‟ άπεηξνλ. 36
- 37. Υξπζό ειηθνεηδέο Αλ ζηναξρηθό νξζνγώλην ζε θάζε ηεηξάγσλν πνπ ζρεκαηίδεηαη ζρεδηάζνπκε ηα αληίζηνηρα ηεηαξηνθύθιηα, θηηάρλνπκε ην ρξπζό ειηθνεηδέο. 37
- 38. Σν ζπηξάι πνπζρεκαηίδεη ε θύζε ηε θύζε θαη ην δηαθξίλνπκε ζηα θνπθνπλάξηα, ζηα θνρύιηα, ζηα ειηνηξόπηα, ζηνπο ηξόπνπο πνπ δηεπζεηνύληαη ηα πέηαια, ηα θύιια θαη ηα θιαδηά ησλ θπηώλ. ηνλ Ησληθό ξπζκό ην 38 ζύκπαλ
- 39. ηε θάια Βαηηθαλνύ Στοαυτί 39
- 40.
- 41. Υξπζή γσλία Αλ δηαηξέζνπµεέλα θύθιν ζε δύν ηόμα ζην ιόγν ηεο ρξπζήο ηνµήο, ε επίθεληξε γσλία ηνπ µηθξόηεξνπ ηόμνπ ζρεµαηίδεη ηε ρξπζή γσλία πνπ είλαη πεξίπνπ 137,5 µνίξεο. 41
- 42. Λενλάξλην ηεο Πίδαο Ο Λενλάξλην ηεο Πίδαο ή Λενλάξλην Πηδάλν γελλήζεθε πεξίπνπ ζηα 1170 θαη πέζαλε πεξίπνπ ην 1250, πηζαλώο ζηελ Πίδα. Έκεηλε γλσζηόο ζηελ ηζηνξία γηα ηελ πεξίθεκε αθνινπζία Fibonacci θαη γηα ηελ εηζαγσγή ζηελ Δπξώπε ηνπ αξαβηθνύ δεθαδηθνύ ζπζηήκαηνο αξίζκεζεο θαζώο θαη άιισλ καζεκαηηθώλ θαηλνηνκηώλ ζε κηα ζθνηεηλή επνρή γηα ηηο επηζηήκεο ζηελ Δπξώπε. ηα καζεκαηηθά νη αξηζκνί Fibonacci είλαη νη αξηζκνί ηεο παξαθάησ αθέξαηεο αθνινπζίαο: 0, 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233... 42
- 43. Ζ αθνινπζία Φηκπνλάηζη(Fibonacci) δεκηνπξγεί κία αθνινπζία αξηζκώλ πνπ νλνκάδνληαη αξηζκνί Φιμπονάηζι θαη νξίδνληαη από ηνλ εμήο αλαδξνκηθό ηύπν: αλ=αλ-1+αλ-2 ην ηξίην κέξνο ηνπ liber abaci εκθαλίδεηαη ην εμήο πξόβιεκα: «Κάποιορ ηοποθέηηζε ζε έναν αποκλειζμένο ηόπο ένα ζεςγάπι κοςνελιών. Τα κοςνέλια αςηά αναπαπάγονηαι με πςθμό ένα νέο ζεςγάπι ηον μήνα και κάθε νέο ζεςγάπι γίνεηαι γόνιμο δύο μήνερ μεηά κι αναπαπάγεηαι με ηον ίδιο πςθμό. Πόζα ζεςγάπια κοςνελιών έσοςν παπασθεί ζε έναν σπόνο από ηο απσικό ζεύγορ;» 43
- 44. Γηα λα κειεηήζεηαπηό ην πξόβιεκα έθαλε ηηο εμήο ζπκβάζεηο: • Σα θνπλέιηα πνηέ δελ πεζαίλνπλ. • Ζ ειηθία γνληκνπνίεζεο γηα θάζε δεπγάξη είλαη έλαο κήλαο, νπόηε θαη μεθηλνύλ ην δεπγάξσκα. • Ο ρξόλνο θύεζεο είλαη έλαο κήλαο θαη θάζε δεπγάξη γελλά πάληα ζηνλ έλα κήλα άιιν έλα δεπγάξη. 44
- 45. Υξπζή ηνκή θαηθνπλέιηα Αο δνύκε ινηπόλ βήκα πξνο βήκα πόζα θνπλέιηα ζα έρνπκε ζε έλαλ ρξόλν: ην ηέινο ηνπ πξώηνπ κήλα ην δεπγάξη δεπγαξώλεη, αιιά ηα δεπγάξηα είλαη αθόκα έλα. ην ηέινο ηνπ δεύηεξνπ κήλα ην ζειπθό γελλά έλα λέν δεπγάξη, έηζη έρνπκε δύν δεπγάξηα θνπλειηώλ. ην ηέινο ηνπ ηξίηνπ κήλα ην αξρηθό δεπγάξη γελλά μαλά έλα λέν δεπγάξη θνπλειηώλ ελώ ην δεύηεξν δεπγαξώλεη θαη ζπλεπώο ηα δεπγάξηα καο είλαη ηξία. ην ηέινο ηνπ ηέηαξηνπ κήλα ην αξρηθό δεπγάξη γέλλεζε αθόκα έλα δεπγάξη αιιά θαη ην δεύηεξν δεπγάξη γέλλεζε θαη απηό έλα δεπγάξη θαη έηζη 45 έρνπκε ζην αγξό πέληε δεπγάξηα.
- 46. Σν απνηέιεζκα είλαηε αθνινπζία 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,4181, 6765, 10946 ... Δδώ ινηπόλ θάζε λένο όξνο είλαη ην άζξνηζκα ησλ δύν πξνεγνπκέλσλ όξσλ. 46
- 47. Δκθάληζε ηεο αθνινπζίαοζην ηξίγσλν Pascal 47
- 48. ύγθιηζε αθνινπζίαο Fibonacci ζηνλ αξηζκό θ Αλ θηηάμνπκε κηα αθνινπζία κε όξνπο ηνπο ιόγνπο ησλ δηαδνρηθώλ όξσλ ηεο αθνινπζίαο Fibonacci 3 5 8 13 21 34 55 89 144 223 377 1,2, , , , , , , , , , , ,... 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 Θα δηαπηζηώζνπκε όηη ζπγθιίλεη ζε θάπνην αξηζκό. 48
- 49.
- 50. Nηύξεξ πιαθνζηξώζεηο Ο Άικπξερη Νηύξεξ (Albrecht Dürer, 21 Μαΐνπ 1471 - 6 Απξηιίνπ 1528) ήηαλ Γεξκαλόο δσγξάθνο, ραξάθηεο θαη καζεκαηηθόο. Τπήξμε ζεκαληηθόο θαιιηηέρλεο ηεο επνρήο ηνπ, ζπκβάιινληαο θαζνξηζηηθά ζηε δηάδνζε ησλ ηδεσδώλ ηεο Ηηαιηθήο Αλαγέλλεζεο 50
- 51. • Αζρνιήζεθε ηδηαίηεξακε ηελ θαηαζθεπή ηνπ θαλνληθνύ πεληαγώλνπ. Ο αξηζκόο 5 αζθνύζε κία καγεία ζηνπο θαιιηηέρλεο ηεο επνρήο εθείλεο επεηδή ήηαλ ηαπηηζκέλνο κε ηε κπζηηθή θαη ζετθή ηειεηόηεηα. ην κεζαίσλα ν αξηζκόο 5 αλαθέξόληαλ ζε όια ηα δσληαλά είδε (πνπιηά, ςάξηα, θπηά, δώα θαη αλζξώπηλα όληα) θαη ζπκβόιηδε ηα 5 πιάζκαηα ηνπ Θενύ. Σόζν ν Νηύξεξ όζν θαη ν Λενλάξλην ληα Βίληζη θαηαλόεζαλ ηε ζεκαζία ηνπ θαλνληθνύ πεληαγώλνπ θαη ήζειαλ λα θαηαζθεπάδνπλ κε απιό θαη γξήγνξν ηξόπν έλα ηέηνην ζετθό πνιύγσλν. 51
- 52. • Αζρνιήζεθε θαη κε πιαθνζηξώζεηο θαλνληθώλ πεληαγώλσλ. 52
- 53. Οη κε πεξηνδηθέο πιαθνζηξώζεηοPenrose Ο Robert Penrose, θαζεγεηήο ζην καζεκαηηθό ηκήκα ηνπ παλεπηζηεκίνπ ηεο Ομθόξδεο ζηελ Αγγιία, αλαθάιπςε ην 1970 ηα πιαθάθηα ηνπ. Ήηαλ ε πξώηε πιαθόζηξσζε πνπ κόλν κε δύν πιαθάθηα επέηξεπε κόλν κε πεξηνδηθέο πιαθνζηξώζεηο. Παξνπζηάδνπλ έλα είδνο ζπκκεηξίαο πνπ νλνκάδεηαη πεληαπιή θαη δεθαπιή ζπκκεηξία. Αλ πάξνπκε δειαδή έλα από ηα ζρεκαηηδόκελα δεθάγσλα θαη ζηξέςνπκε ηελ πιαθόζηξσζε γύξσ από ην θέληξν ηνπ θαηά 75ν ην ζρέδην επαλέξρεηαη ζηελ αξρηθή ηνπ ζέζε. 53
- 54.
- 55. πώο παξάγνληαη ηαπιαθάθηα 55
- 56.
- 57. «Χξπζά παηδηά ελ,δξάζε» Ο κεγάινο Γάιινο καζεκαηηθόο Henri Poincaré θάπνηε είπε: «Ο επιζηήμοναρ δεν μελεηά ηη θύζη επειδή είναι σπήζιμο,αλλά επειδή αςηό ηον εςσαπιζηεί. Και ηον εςσαπιζηεί επειδή η θύζη είναι όμοπθη. Εάν η θύζη δεν ήηαν όμοπθη, ηόηε δεν θα άξιζε ηον κόπο να ηην γνωπίζοςμε. Και εάν δεν άξιζε ηον κόπο να ηην γνωπίζοςμε,ηόηε δεν θα άξιζε να ζούμε». 57
- 58. Ο ρξπζόο αξηζκόοθ βξηζθόηαλ ζην ζύκπαλ πνιύ πξηλ από ηελ γέλλεζε ηνπ αλζξώπνπ (πρ ε δηάκεηξνο ηνπ Κξόλνπ είλαη ζε ζρέζε θ κε ηε δηάκεηξν ησλ δαθηπιίσλ ηνπ). 58
- 59. ηηο παξαπάλσ θσηνγξαθίεοαλαγλσξίδνπκε ηελ ζρέζε ηνπ ζύκπαληνο κε ηνλ αξηζκό θ. 59
- 60. Γεύηεξε εκθάληζε ηνπρξπζνύ αξηζκνύ θ βξίζθεηαη ζηα δώα. ηα δώα ζπλαληάκε ηνλ ρξπζό αξηζκό θ είηε ελζσκαησκέλν ζηε θπζηθή πξνζηαζία ηνπο πρ. θέιπθνο είηε ζηα αξηζκεηηθά ραξαθηεξηζηηθά ηνπ ζώκαηόο ηνπο π.ρ αλαινγίεο. 60
- 61.
- 62. Ο λαπηίινο (Nautiluspompilius). • Ζ ηζνγώληα ή ρξπζή ζπείξα δίλεη ζρήκα ζην θέιπθνο ησλ ζαιηγθαξηώλ θαη ζε κεξηθά θνρύιηα, θαη ίζσο ην πην αληηπξνζσπεπηηθό παξάδεηγκα είλαη ν λαπηίινο. Ζ δνκή ηνπ εζσηεξηθνύ ηνπ δεκηνπξγείηαη κε ηελ πξνζζήθε θνηινηήησλ νινέλα θαη κεγαιύηεξνπ κεγέζνπο, ελώ ην ζρήκα ηνπ δηαηεξείηαη πάληα ζηαζεξό. Πάλσ ζε θάζε ηκήκα ηνπ όζηξαθνπ πνπ παξακέλεη πξνζηίζεηαη θαη άιιν, ίδην ζε κνξθή αιιά κεγαιύηεξν ζε κέγεζνο. • Σε ζπεηξνεηδή δνκή ηνπ λαπηίινπ επεξεάδνπλ επίζεο θαη νη γξήγνξεο θαη δηεπξπλόκελεο θηλήζεηο ησλ ζηξνβίισλ ζηα πνηάκηα ή ζε δηάθνξα πγξά όηαλ απνξξένπλ. 62
- 63. Επίζηρ ηον ζςνανηάμεζηην αναπαπαγωγή κάποιων ζώων π.σ ηων μελιζζών κ.α. Κεθήλεο Ο αξηζκόο Φ ππάξρεη, ζην γελεαινγηθό δέληξν θάζε θεθήλα ζε έλα κειίζζη. Σν ελ ιόγσ έληνκν γελληέηαη από έλα κε γνληκνπνηεκέλν αβγό ηεο βαζίιηζζαο, δειαδή έρεη κεηέξα αιιά όρη θαη παηέξα. Αληηζέησο, ηόζν ε βαζίιηζζα (ε κνλαδηθή πνπ κπνξεί λα θάλεη αβγά) όζν θαη νη εξγάηξηεο γελληνύληαη από αβγά πνπ έρνπλ γνληκνπνηεζεί από αξζεληθό. Απηέο, ινηπόλ, έρνπλ θαη παηέξα θαη κεηέξα. Δπνκέλσο, ην γελεαινγηθό δέληξν ηνπ θεθήλα δηακνξθώλεηαη σο εμήο: έρεη 1 κεηέξα, 2 παππνύδεο (αξζεληθό θαη ζειπθό), 3 πξνπαππνύδεο (δύν από ηελ νηθνγέλεηα ηεο γηαγηάο θαη κία ηνπ παππνύ), 5 πξν- πξνπαππνύδεο , 8 πξν- 63 πξν-πξνπαππνύδεο.
- 64. Mειίζζη θαη αξηζκόοθ Σν γελεαινγηθό δέληξν ηνπ θεθήλα είλαη κηα αθνινπζία Fibonacci! Καη όρη κόλν απηό. Σν 1966, ν Νηαγθ Γηαλέγθα, από ην Μνπζείν Έξεπλαο ζηελ Δληνκνινγία ηνπ Παλεπηζηεκίνπ ηεο Καιηθόξληαο, αλαθάιπςε όηη ε αλαινγία πνπ πθίζηαηαη αλάκεζα ζε εξγάηξηεο κέιηζζεο θαη θεθήλεο ζε έλα κειίζζη πξνζεγγίδεη ην ρξπζό αξηζκό. 64
- 65. ηα θπηά, ηώξαέρεη βξεζεί όηη ε ρξπζή αλαινγία εκθαλίδεηαη θπξίσο ζηελ αλάπηπμε ησλ θπιισκάησλ, ζηνλ αξηζκό ησλ πεηάισλ, θαζώο επίζεο θαη ζηε δηάηαμή ηνπο πρ. Μαξγαξίηεο θαη ζηα ειηνηξόπηα. 65
- 66. Κξίλνο (1 πέηαιν) Enchanter’sNightshade (2 πέηαλα) 66
- 67. Αγξηόθξηλνο ( 3 πέηαια ) Πξίκνπια ( 5 πέηαια ) 67
- 68. Delphiniums (8 πέηαλα) Μειία ( 13 πέηαια) 68
- 69. Heleniums (21 πέηαλα) Μαξγαξίηα ( 34 πέηαια ) 69
- 70.
- 71. Έλα θπηό επηδεηθλύεηηνπο αξηζκνύο Fibonacci κε ηνλ αξηζκό "απμαλόκελσλ ζεκείσλ" πνπ έρεη. Τπνζέζηε όηη όηαλ έλα θπηό βγάδεη έλαλ λέν βιαζηό, εθείλνο ν βιαζηόο πξέπεη λα απμεζεί δύν κήλεο πξνηνύ λα γίλεη αξθεηά ηζρπξόο ώζηε λα ζηεξίμεη 71 κηα λέα δηαθιάδσζε.
- 72. • Ζ αθνινπζία Fibonacci βξίζθεηαη παληνύ ζηελ θύζε, ζηελ βάζε ησλ αλαλάδσλ θαη ησλ θνπθνπλαξηώλ… 72
- 73.
- 74. Ζιίαλζνο Ίζσο ην πηνόκνξθν θαη γλσζηό παξάδεηγκα ηεο ρξήζεο ηνπ Φη ζηελ νξγάλσζε ζπόξσλ, είλαη ζην καγεπηηθό θπηό γλσζηό σο ην ήιηνο. Οη ζπόξνη ηνπ βξίζθνληαη ζην θέληξν ησλ κεγάισλ ινπινπδηώλ ηνπ ειίαλζνπ έρνπλ έλα πνιύ ζπγθεθξηκέλν γεσκεηξηθό ζρήκα. Αλ θάπνηνο παξαθνινπζήζεη πξνζεθηηθά, ζα δεη όηη ππάξρεη έλα ζρέδην κε δύν ζηαπξσηέο ζεηξέο από ζπείξεο, ε κηα ζεηξά από ζπείξεο κε ζηξνθή πξνο ηα δεμηά, θαη ε άιιε κε ζηξνθή πξνο ηα αξηζηεξά. ε θάζε ζεκείν πνπ δηαζηαπξώλνληαη νη δύν ζπείξεο βξίζθεηαη έλαο ζπόξνο. Ο αξηζκόο ησλ αξηζηεξόζηξνθσλ ζπεηξώλ είλαη 55 θαη ν αξηζκόο ησλ ζπεηξώλ δεμηόζηξνθσλ είλαη89 - θαη νη δύν 74 αξηζκνί είλαη ηνπ Fibonacci.
- 75. Ο Άλζξσπνο ηνπΒηηξνύβηνπ Ο Άλζξσπνο ηνπ Βηηξνύβηνπ είλαη έλα δηάζεκν ζρέδην κε ζπλνδεπηηθέο ζεκεηώζεηο ηνπ Λενλάξλην ληα Βίληζη, πνπ θηηάρηεθε πεξίπνπ ην 1490 ζε έλα από ηα εκεξνιόγηά ηνπ. Απεηθνλίδεη κία γπκλή αληξηθή θηγνύξα ζε δύν αιιεινθαιππηόκελεο ζέζεηο κε ηα κέιε ηνπ αλεπηπγκέλα θαη ζπγρξόλσο εγγεγξακκέλε ζε έλα θύθιν θαη έλα ηεηξάγσλν. Σν ζρέδην θαη ην θείκελν ζπρλά νλνκάδνληαη Καλόλαο ησλ Αλαινγηώλ. 75
- 76. Φαίλεηαη όηη νληα Βίληζη δεκηνύξγεζε ην ζρέδην βαζηδόκελνο ζην De Architectura ηνπ Βηηξνύβηνπ πνπ γξάθεη: «Ο νκθαιόο είλαη θπζηθά ηνπνζεηεκέλνο ζην θέληξνπ ηνπ αλζξώπηλνπ ζώκαηνο, θαη, αλ ζε έλα άλδξα μαπισκέλν κε ην πξόζσπν ζηξακκέλν επάλσ θαη ηα ρέξηα θαη ηα πόδηα ηνπ αλεπηπγκέλα, κε ηνλ νκθαιό ηνπ σο θέληξν εγγξάςνπκε έλα θύθιν, ζα αθνπκπήζεη ηα δάθηπια ησλ ρεξηώλ θαη ηα δάθηπια ησλ πνδηώλ ηνπ. Γελ γίλεηαη κόλν κέζσ ελόο θύθινπ, ε πεξηγξαθή ελόο αλζξώπηλνπ ζώκαηνο, όπσο θαίλεηαη ηνπνζεηώληαο ηνλ ζε έλα ηεηξάγσλν. Μεηξώληαο από ηα πόδηα σο ζηελ θνξπθή ηνπ θεθαιηνύ, θαη έπεηηα θαηά κήθνο ησλ ρεξηώλ ζε πιήξε έθηαζε, βξίζθνπκε ηελ ηειεπηαία κέηξεζε ίζε κε ηελ πξώηε· έηζη γξακκέο ζε νξζή γσλία κεηαμύ ηνπο, πεξηθιείνληαο ηε θηγνύξα, ζρεκαηίδνπλ έλα ηεηξάγσλν.» 76
- 77. Σν ρέξη δεκηνπξγείηελ ρξπζή ηνκή ζε ζρέζε κε ηνλ βξαρίνλα. 77
- 78. Γάθηπια θαη θάιαγγεο. Αλκεηξήζεηε ηα µήθε ησλ θαιαγγώλ ζα δείηε όηη ν ιόγνο ηεο κεζαίαο θάιαγγαο πξνο ηελ µηθξή (ηελ αθξαία) είλαη πεξίπνπ ίζνο µε ην ιόγν ηεο κεγάιεο θάιαγγαο πξνο ηελ κεζαία πνπ είλαη πεξίπνπ ίζνο µε ηνλ αξηζµό ηνπ Φεηδία Φ. 78
- 79. ζν αλαθνξά ηελνδνληηαηξηθή νη γηαηξνί πξέπεη λα επηδηώθνπλ ηελ «ρξπζή ηνκή» δειαδή ηελ αλαινγία 1,618 ώζηε έλα ρακόγειν λα θαίλεηαη όκνξθν. Χξπζέο αλαινγίεο κεηαμύ ησλ δνληηώλ 79
- 80. • Η ζπείξα ηνπ DNA είλαη κηα Χξπζή Σνκή Σν κόξην ηνπ DNA, ην πξόγξακκα γηα όιε ηε δσή, βαζίδεηαη ζηε Υξπζή Σνκή. 34 angstroms κήθνο 21 angstroms πιάηνο γηα θάζε πιήξε θύθιν ηεο δηπιήο έιηθαο ηνπ ζπηξάι. 34 θαη 21, βέβαηα, νη αξηζκνί ζηελ αθνινπζία Fibonacci θαη ε αλαινγία ηνπο, 1,6190476 πξνζεγγίδεη θαηά πνιύ θ, 1,6180339. 80
- 81. Σν DNA δηαηνκήβαζίδεηαη ζην Phi • Μηα ζπγρξνληθή ζέα από ηελ θνξπθή ηεο δηπιήο έιηθαο ηνπ DNA απνηειεί κία δεθάγσλν ζηελ νπζία δύν πεληάγσλα πνπ ην έλα πεξηζηξέθεηαη θαηά 36ν 81
- 82.
- 83. Γλσξίδεηε γηα ηερξπζή ηνκή; Ναη ρη Ίζσο 75 49 35 22% 47% Ναη Ορη 31% Μπνξεί 83
- 84. Έρεηε ζπλαληήζεη ηερξπζή ηνκή ζε θάπνην ζρνιηθό βηβιίν; Ναη Όρη Ίζσο 33 62 49 23% 34% Ναί Ορη 43% Μπνξεί 84
- 85. ε πνηέο απόηηο παξαθάησ εηθόλεο ηεο Mona Lisa ζνπ θαίλεηαη πεξηζζόηεξν ζσζηή (κόλν κία είλαη ζσζηή); 14 □ 8% 118 10% A B □ 82% Γ 12 85
- 86. Γλσξίδεηε αλ ζηααλζξώπηλα δόληηα πεξηέρεηαη ε ρξπζή αλαινγία ; Ναη Όρη Ίζσο 43 57 42 30% 30% Ναη Ορη 40% Ηζσο 86
- 87. Πνηά από ηηοεηθόλεο θαηά ηε γλώκε ζαο πεξηέρεη ηνλ αξηζκό Φ; Γή Κξόλνο 43 101 30% Γή 70% θξόλνο 87
- 88. Πηζηεύεηε πσο εεηθόλα ηνπ Βηηξνύβηνπ Άλδξα (Leonardo Da Vinci) έρεη ρξπζή αλαινγία; Ναη Όρη Ίζσο 96 11 37 26% Ναί 7% Ορη 67% Ηζσο 88
- 89. Πηζηεύεηε πσο ηνκειίζζη επεξεάδεηαη θαη βαζίδεηαη ζηελ ρξπζή αλαινγία; Ναη Όρη Ίζσο 53 38 55 38% 36% Ναί Ορη 26% Ηζσο 89
- 90. Πηζηεύεηε πσο νΠαξζελώλαο πεξηέρεη ηε ρξπζή αλαινγία ; Ναη Όρη Ίζσο 104 15 50 30% Ναί 61% Ορη 9% Ηζσο 90
- 91. Ο λαπηίινο θξύβεηκέζα ηνπ ηε ρξπζή αλαινγία; Ναί Ορη Ιζσο 69 22 54 37% 48% Ναί Ορη 15% Ηζσο 91
- 92. «θαιιηηερληθή (θ)ύζε» Μηα απνξίαπνπ πιαλάηαη από αξραηνηάησλ ρξόλσλ είλαη ε ζρέζε κεηαμύ καζεκαηηθώλ θαη ηέρλεο. Πην ζπγθεθξηκέλα πνιινί καζεκαηηθνί θαη εξεπλεηέο πξνζπαζνύλ θαηά θαηξνύο λα απνδείμνπλ όηη όια ηα έξγα ηέρλεο ζηεξίδνληαη ζε απαξάβαηνπο καζεκαηηθνύο λόκνπο ,πνπ ε ελζηηθηώδεο ή ε ελζπλείδεηε εθαξκνγή ηνπο από ηνλ θαιιηηέρλε δεκηνπξγεί άξηην αηζζεηηθό απνηέιεζκα. Ζ ρξπζή ηνκή ρξεζηκνπνηήζεθε επξύηαηα ζηελ αξρηηεθηνληθή, ηε γιππηηθή θαη ηε δσγξαθηθή ηόζν ζηελ αξραία Διιάδα όζν θαη ζηελ Αλαγέλλεζε. ε αξθεηά νηθνδνκήκαηα, γιππηά θαη ζε πίλαθεο εκθαλίδεηαη ν αξηζκόο Φ, αθνύ ηα έξγα δείρλνπλ λα πεξηγξάθνληαη ζε γεσκεηξηθά ζρήκαηα ηα νπνία ραξαθηεξίδνληαη σο «ρξπζά» ιόγσ ηεο αξκνλίαο πνπ πξνζθέξνπλ. Μεξηθά από απηά είλαη ην ρξπζό νξζνγώλην, ην ρξπζό ηξίγσλν, ην ρξπζό νξζνγώλην ηξίγσλν θαη ην θαλνληθό πεληάγσλν (πεληάιθα). 92
- 93. Ζ ηειεπηαία ύλαμεDali (1955) Ο πίλαθαο ζρεδηάζηεθε ζε ρξπζό νξζνγώλην ελώ ην ηξαπέδη ρσξίδεη ηνλ πίλαθα ζε δύν κέξε, ν ιόγνο ησλ νπνίσλ είλαη ρξπζόο: (KO)/(OΛ)= (ΝΟ)/(ΟΜ)=θ. Υξπζέο αλαινγίεο ρξεζηκνπνηνύληαη θαη ζηελ ηνπνζέηεζε ησλ κνξθώλ. πγθεθξηκέλα, νη δύν καζεηέο αξηζηεξά θαη δεμηά από ηνλ Ηεζνύ, ρσξίδνπλ ζε ρξπζέο αλαινγίεο ην πιάηνο ηνπ πίλαθα. Σν δσδεθάεδξν, πιαησληθό ζηεξεό, πνπ απνηειείηαη από 12 ρξπζά πεληάγσλα, βξίζθεηαη 93 αθξηβώο θάησ από ην ζώκα ηνπ «Θενύ».
- 94. Ζ Γέλλεζε ηεοΑθξνδίηεο – Botticelli (1486) Ζ ΑΒ δηέξρεηαη από ην ζεκείν Ο, αθαιό ηεο Αθξνδίηεο, θαη ρσξίδεη ην ύςνο ηνπ πίλαθα ΓΓ πνπ δηέξρεηαη απ‟ ην Ο, ζε ρξπζό ιόγν. Σν θνρύιη εγγξάθεηαη ζην νξζνγώλην ΔΕΖΘ, ην νπνίν ρσξίδεη ε ΓΓ ζε δπν όκνηα νξζνγώληα ΔΕΚΗ θαη ΚΖΘΗ. Σν νξηδόληην επζύγξακκν ηκήκα ΣΡ δηέξρεηαη από ην θαηώηεξν ζεκείν ηνπ πνδηνύ ηεο θαη ρσξίδεηαη απ‟ ηε ΓΓ ζε ρξπζό ιόγν. 94
- 95. Βηηξνύβηνο – LeonardoDa Vinci ηνλ πίλαθα νη ίζεο απνζηάζεηο κεηαμύ πεικάησλ- γνλάησλ, γνλάησλ-αξρή πνδηώλ,αξρή πνδηώλ- ζηήζνπο, ζηήζνπο-ηέινπο θεθαιήο, ηέινο ρεξηνύ- αγθώλα, αγθώλα-κέζν θνξκνύ, θαη αλνίγκαηνο πιαηώλ νδεγνύλ ζηελ απεηθόληζε ηνπ ηδαληθνύ αλδξηθνύ ζώκαηνο. Ο θαιιηηέρλεο επεξεαζκέλνο από ηνλ νπαδό ηεο ρξπζήο ηνκήο καζεκαηηθό Paccioli, ηε ρξεζηκνπνηνύζε θαηά 95 θόξνλ. ην Βηηξνύβην ζπλαληάηαη
- 96. Ζ απόζηαζε απόηα δάρηπια ηεο Μόλα Λίδα κέρξη ηελ θνξπθή ηνπ κεηώπνπ είλαη 1,618 όπσο θη ε απόζηαζε από ηα δάρηπια κέρξη ηε βάζε ηνπ ιαηκνύ. Δπίζεο, ν Leonardo δσγξάθηζε ηε Μόλα Λίδα, ώζηε ε κνξθή ηεο λα ρσξάεη ηέιεηα ζ‟ έλα ρξπζό νξζνγώλην. Ο ππόινηπνο πίλαθαο γύξσ από ην πξόζσπν είλαη ρσξηζκέλνο επίζεο ζε έλα ρξπζό νξζνγώλην. 96
- 97.
- 98. Ζ ΑΓΗΑ ΟΗΚΟΓΔΝΔΗΑ- MICHELANGELO Υάξε ζηελ θπθιηθή ηνπ κνξθή, ζρεκαηίδεηαη έλα Υξπζό Πεληάγξακκν ζην νπνίν ην ηξίγσλν ζηελ θνξπθή πεξηέρεη ην πξόζσπν ηεο Μαξίαο. Κάζε ηξίγσλν ηνπ πεληαγξάκκνπ είλαη „ρξπζό‟ αθνύ πεξηέρεη ην Υξπζό Λόγν. 98
- 99. Ο Luca Paccioliέγξαςε έλα βηβιίν πνπ νλνκάδεηαη «Ζ Θετθή αλαινγία» (1509) ην νπνίν πεξηέρεη έλα ηκήκα γηα ηα Πιαησληθά ζηεξεά ην νπνίν κέζα ζηηο ζειίδεο ηνπ έρεη ζρέδηα ηνπ Leonardo Da Vinci. Απηά ηα ζρέδηα είλαη ηα πην πάλσ. 99
- 100. Ο πίλαθαο δείρλεηηνλ Fra Luca Paccioli θαη ηνλ καζεηή ηνπ Guidobaldo δνύθα ηνπ Οπξπίλν. Πάλσ ςειά ζηα αξηζηεξά είλαη έλα ξνκβνθπβνθηάεδξν θαη πάλσ ζην ηξαπέδη έλα δσδεθάεδξν πάλσ από ηα «ηνηρεία» ηνπ Δπθιείδε 100
- 101. COMPOSITION IN REDYELLOW AND BLUE- PIET MONDRIAN Σν ρξπζό νξζνγώλην είλαη έλα από ηα βαζηθά ζρήκαηα πνπ εκθαλίδεηαη ζηελ ηέρλε ηνπ . 101
- 102. Ο Γνξπθόξνο ή"Κανών". Ο Πνιύθιεηηνο έθηηαμε απηό ην άγαικα εηδηθά γηα λα ππνζηεξίμεη ηελ ζεσξεηηθή εξγαζία ηνπ "Κανών", ζηελ νπνία αλέθεξε κε καζεκαηηθνύο όξνπο ηηο αλαινγίεο ησλ δηαθνξεηηθώλ κειώλ ηνπ αλζξσπίλνπ ζώκαηνο κε ην ζύλνιν, π.ρ. ηελ αλαινγία ηνπ δαθηύινπ κε ηα ππόινηπα δάθηπια, απηά κε ηελ παιάκε, ηελ παιάκε κε ηνλ θαξπό ηεο ρεηξόο, ηνλ θαξπό ηεο ρεηξόο κε ηνλ αγθώλα, ηνλ αγθώλα κε ηνλ βξαρίνλα, θιπ 102
- 103. Ο Ρώζνο αξρηηέθηνλαοG.D.Grimm δείρλεη ηελ αθνινπζία ηνπ δηάζεκνπ αγάικαηνο κε ηελ ρξπζή αλαινγία. Μ=η 1. Σν πξώην ηκήκα ηνπ αγάικαηνο είλαη ζε αλαινγία ρξπζήο ηνκήο Μº = 1 Μ¹ = η¹ θαη πεξλά από ηνλ νκθαιό Μ² =η² 2. To δεύηεξν ηκήκα ηνπ θάησ κέξνπο ηνπ θνξκνύ Μ¹ = η¹ Μ² =η² πεξλά από ηε γξακκή ζην γόλαην ηνπ. 3. Σν ηξίην ηκήκα Μ³ =η 103
- 104. Αθξνδίηε ηεο Μήινπ Ζ απόζηαζε από ην πέικα ησλ πνδηώλ κέρξη ηνλ νκθαιό είλαη 1,618 θνξέο κεγαιύηεξε από ηελ αληίζηνηρε από ηνλ νκθαιό κέρξη ην πςειόηεξν ζεκείν ηεο θεθαιήο ηεο… Σν ίδην ηζρύεη θαη γηα ην ύςνο ηνπ θεθαιηνύ ζε ζρέζε κε ην πιάηνο. 104
- 105. Σν ρξπζειεθάληηλν άγαικα ηεοΑζελάο • Καηαζθεπαζκέλν από ηνλ Φεηδία. 105
- 106. Η μεγάλη πςπαμίδαηος Χέοπα Δάλ πάξνπκε κηα δηαγώλην ηεο ππξακίδαο ηόηε παίξλνπκε έλα ηξίγσλν, απηό είλαη ην αηγππηηαθό ηξίγσλν. Απηό ην ηξίγσλν είλαη εηδηθό γηαηί πεξηέρεη ηελ ρξπζή ηνκή. πγθεθξηκέλα ν ιόγνο ηνπ παξάπιεπξνπ ύςνπο ηεο ππξακίδαο S πξνο ηελ κηζή βάζε b είλαη ζε ρξπζή αλαινγία. 106
- 107. Παξζελώλαο Η αλαινγία ηνπκήθνπο ηνπ θηεξίνπ πξνο ην ύςνο ηεο πξόζνςεο είλαη θ, ε ρξπζή ηνκή 107
- 108.
- 109. Σν αξραίν ζέαηξνηεο επηδαύξνπ Καηαζθεπάζηεθε από ηνλ Πνιπθιέηε γηα ηελ 40ε Οιπκπηάδα. Δίλαη ρσξεηηθόηεηαο 15000 αηόκσλ. Σν ζέαηξν ρσξίζηεθε ζε δύν θιηκαθσηέο ζεηξέο. Ζ πξώηε έρεη 34 ζεηξέο θαζηζκάησλ, ε δεύηεξε 21 (αξηζκνί Fibonacci). Ζ γσλία κεηαμύ ηνπ ζεάηξνπ θαη ηεο ζθελήο ρσξίδεη ηελ πεξηθέξεηα ηεο βάζεο ηνπ ακθηζεάηξνπ κε αλαινγία 222,5º:137,5º=1,618 . 109
- 110. Θέαηξν Γηνλύζνπ ζηελΑζήλα Σν ζέαηξν ηνπ Γηνλύζνπ ζηελ Αζήλα έρεη 3 θιηκαθσηέο ζεηξέο. Ζ πξώηε έρεη 13 ηνκείο, ε δεύηεξε 21 (αξηζκνί Fibonacci!). 110
- 111. ΘΔΑΣΡΟ ΣΖ ΓΧΓΧΝΖ Απνηειείηαηαπό 3 δηαδώκαηα κε αξηζκό εδσιίσλ 19,15 θαη 21. Παξαηεξνύκε όηη: (19+15)/21=34/21=1,619=Φ 111 (19+15+21)/(19+15)=55/34=Φ
- 112. Έλα ρξπζό νξζνγώληνείλαη έλα νξζνγώλην κε κήθνο πιεπξάο πνπ εκθαλίδεηαη ε ρξπζή αλαινγία, έλα πξνο θ(1:θ), δειαδή πεξίπνπ 1 πξνο 1,618 (1:1,618). Έλα ηδηαίηεξν ραξαθηεξηζηηθό απηνύ ηνπ ζρήκαηνο είλαη όηη όηαλ αθαηξείηαη έλα ηεηξάγσλν ηκήκα, ην ππόινηπν είλαη έλα άιιν ρξπζό νξζνγώλην, ην νπνίν έρεη ηηο ίδηεο αλαινγίεο κε ην αξρηθό. Οη παξαπάλσ ηδηόηεηεο εκθαλίδνληαη ζην Taj Mahal , έλα καπζσιείν πνπ βξίζθεηαη ζηελ Άγθπξα(Ηλδία) πνπ ρηίζηεθε ζύκθσλα κε ηνλ απηνθξάηνξα Shah Jahan ζηε κλήκε ηεο ο ηνπ ζπδύγνπ. 112
- 113. TAJ MAHAL 113
- 114. ΒΗΛΛΑ STEIN ζηνGrarches ηεο Γαιιίαο. ην έξγν απηό εληνπίδνπκε παληνύ ην ρξπζό νξζνγώλην. Ο “Le Corbusier ” ήηαλ Διβεηόο αξρηηέθηνλαο ν νπνίνο κειέηεζε ελδειερώο ην έξγν ηνπ Ηηαινύ καζεκαηηθνύ Λνύθα Παηζηόιη “proportione” (Ζ Θεία Αλαινγία). 114
- 115.
- 116. ηέγαζηξν ζην Βξεηαληθόκνπζείν κε εθαξκνγή ηηο θακπύιεο ηεο ζεηξάο Fibonacci, Norman Foster. 116
- 117. Υξπζή κνπζηθή • Με δεδνκέλε ηελ ηζηνξηθή ζρέζε κεηαμύ ηεο κνπζηθήο θαη ησλ αξηζκώλ, ζεσξείηαη θπζηνινγηθό λα αλαξσηεζνύκε ην αλ ν Υξπζόο Αξηζκόο „Φ‟ έρεη παίμεη ζεκαληηθό ξόιν ζηελ εμέιημε ησλ κνπζηθώλ νξγάλσλ θαη ζηε ζύλζεζε ηεο κνπζηθήο. • Σν βηνιί είλαη έλα όξγαλν ζην νπνίν παξνπζηάδεηαη ε Υξπζή Σνκή ζπρλά. Σν ερείν ηνπ πεξηέρεη δώδεθα ή πεξηζζόηεξα ηόμα πνπ δεκηνπξγνύλ ηηο θακπύιεο ηνπ ζε θάζε πιεπξά. Σν επίπεδν ηόμν ζηε βάζε ζπρλά επηθεληξώλεηαη ζην ζεκείν Υξπζήο Σνκήο πνπ βξίζθεηαη ζηελ θάζεην πξνο ην θεληξηθό επζύγξακκν ηκήκα. 117
- 118. Πηάλν • Έλα άιιν κνπζηθό όξγαλν πνπ ζπρλά αλαθέξεηαη ζε ζρέζε κε ηνπο αξηζκνύο Φηκπνλάηζη είλαη ην πηάλν. Ζ νθηάβα ηνπ πιεθηξνινγίνπ ηνπ πηάλνπ απνηειείηαη από δεθαηξία πιήθηξα, νρηώ ιεπθά θαη πέληε καύξα. • Σα πέληε καύξα πιήθηξα απνηεινύλ κηα νκάδα δύν πιήθηξσλ θαη κηα νκάδα ηξηώλ πιήθηξσλ. Οη αξηζκνί 2,3,5,8 θαη 13 ηπραίλεη λα είλαη δηαδνρηθνί αξηζκνί Φηκπνλάηζη. Ζ „ππέξνρε‟ ηεο θιίκαθα Νην Μείδνλα νθείιεηαη ελ κέξεη ζην γεγνλόο όηη παίδεηαη ζηα ιεπθά πιήθηξα ηνπ πηάλνπ. κσο ε ζρέζε κεηαμύ ηνπ πιεθηξνινγίνπ ηνπ πηάλνπ θαη ησλ αξηζκώλ Φηκπνλάηζη είλαη πηζαλώο αβάζηκε. 118
- 119. Φσηνγξαθία θαη θ Γηαλα δεκηνπξγήζεη θαλείο κηα θσηνγξαθία πνπ λα αθεγείηαη θάηη, δελ αξθεί απιά λα ηξαβήμεη κηα εηθόλα. ηελ πξαγκαηηθόηεηα, ε εληύπσζε πνπ καο κέλεη από κηα θσηνγξαθία εμαξηάηαη ζεκαληηθά από ηελ ηζνξξνπία, ηελ απιόηεηα, ηελ θαζαξόηεηα ηεο ζύλζεζεο, ηα δπλαηά ζεκεία ηεο. Οη βαζηθνί θαλόλεο θσηνγξαθηθήο ζύλζεζεο είλαη: Ο Καλόλαο ησλ Σξίησλ Ο Καλόλαο ηεο Χξπζήο Σνκήο 119 Ο Καλόλαο ηεο Γηαγσλίνπ
- 120. Δίλαη κηα θαιήηδέα ινηπόλ, λα εθαξκνζηνύλ νη ηδαληθέο αλαινγίεο ηεο «Υξπζήο Σνκήο» ζηε θσηνγξαθηθή καο ζύλζεζε, ώζηε λα επηηεπρζεί ε πην αξκνληθή παξνπζίαζε ηνπ ζέκαηνο. πρλά ρξεζηκνπνηνύκε 4 ζεκεία πνπ βξίζθνληαη ζε απόζηαζε 3/8 θαη 5/8 από ηα άθξα όπσο θαίλεηαη ζηελ παξαθάησ εηθόλα. 120
- 121.
- 122. Βηβιηνγξαθία • Υξπζή Σνκή / Fernado Corbalan • Ο Μπζηηθόο Κώδηθαο ηνπ Ππζαγόξα / Ηππνθξάηεο Γάθνγινπ • Υξπζόο Λόγνο / Mario Livio • Δγθπθινπαίδεηα “Διιεληθή” • Γνκή • Δπθιείδε “Σηνηρεία” Τόκνο 1 • Βηβιίν Γεσκεηξίαο Α ιπθείνπ • ΗΣΟΔΛΗΓΔ: • http://www.hms.gr/apothema • http://portal.kathimerini.gr • http://mednet.gr/archives • http://goldennumber.net • http://www.focusmag.gr • http://www.tovima.gr • http://www.freestuff.gr/forums/viewtopic.php?t=56330 • http://www.andzer.gr/index.php?option=com_content&view=article&id=6%3Acomposition&catid=4 %3Aphotoissues&Itemid=20&lang=el • http://www.hiphop.gr/forum_topic/415405/1 • http://www.asxetos.gr/Default.aspx?tabId=157&c=47 • http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A7%CF%81%CF%85%CF%83%CE%AE_%CF%84%CE%BF% CE%BC%CE%AE • http://www.iranon.gr/PENTELI/PENTELI2addendum.htm • http://www.prosxedio.gr/news/38-2010-01-10-18-12-42.html?start=1 • http://mathmosxos.blogspot.com/ 122
- 123. Αλαθεθαιαηώλνληαο όια ηαπαξαπάλσ ζπκπεξαίλνπκε όηη ν ρξπζόο αξηζκόο θ είλαη έκκεζα εκθαλίζηκε αλαινγία ε νπνία καο ειθύεη άιινηε κέζσ ηεο όξαζεο θαη άιινηε κέζσ ησλ άιισλ αηζζήζεσλ καο. Δπζύλεηαη γηα όηη θαιαίζζεην βξίζθεηαη γύξσ καο θαη πξνβιεκαηίδεη αθόκα θαη ζήκεξα ηνπο πεξηζζόηεξνπο αλζξώπνπο, ιόγσ ηνπ εμαηξεηηθνύ ελδηαθέξνληνο ηνπ. 123
- 124. Δπραξηζηνύκε πνιύ γηα ηελ πξνζνρή ζαο! 124