επανάληψη εξετάσεις3 γ

1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
1
1.
. Να γίλνπλ νη πξάμεηο:
α)    
1
x
5
x
3
x
2
x
2
x
x
x
3 3
2
2
2






β)       














 2
2
2
2
y
x
y
8
x
8
xy
y
2
x
2
4
xy
2
xy
2
y
x
2
2.
. Γίλεηαη ε παξάζηαζε Α=      
y
x
y
x
20
x
3
y
4
y
3
x
4
2
2






α) Να γίλνπλ νη πξάμεηο.
β) Να βξεζεί ε ηηκή ηεο παξάζηαζεο γηα x=2 θαη y=1.
3
3.
.α) Αλ α, β>0 λα πξνζδηνξίζεηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο Α= 2
2
α
α
β
β
16 


 .
β) Να πξνζδηνξίζεηε ην θ ώζηε ε παξάζηαζε Β= 1
θ
3
2
3
y
x
3
y
x 
 λα είλαη κνλώλπκν.
4
4.
. α) Να ζπκπιεξώζεηε ηα θελά ζηηο παξαθάησ ηζόηεηεο έηζη ώζηε λα είλαη ζσζηά ηα αλαπηύγκαηα
ησλ ηαπηνηήησλ:
i.   

 


 2
2
x
9
2
ii.   

 


 xy
4
x
2
iii.   


 



 2
3
xy
12
x
β) Να απνδείμεηε ηελ ηζόηεηα:      xy
4
x
y
1
x
8
x
2
y
3
y
3
x
2
y
3
x
2 2
2













5
5.
. Γίλνληαη ηα πνιπώλπκα Α= 2
x
3
x2

 θαη Β= 1
x  .
α) Να ππνινγίζεηε ηελ παξάζηαζε Γ= 3
B
B
A 

β) Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε: Γ= 11
.

2. 6
6.
. Γίλεηαη ε παξάζηαζε: Α=        
1
x
9
x
2
x
2
x
3
30
x
x 2
2
2









α) Να γίλνπλ νη πξάμεηο ζηελ παξάζηαζε Α.
β) Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε : Α=3.
7
7.
. Γίλεηαη ε εμίζσζε 0
9
ι
2
ι
3
x
ι
3
x 2
2




 (κε άγλσζην ην x). Αλ ε εμίζσζε έρεη ιύζε x=2,
λα πξνζδηνξίζεηε ην ι.
8
8.
. Να ιπζεί ε εμίζσζε:      
4
x
2
x
2
x
4
x
9
x
3
x
4
2
x
x 2
2
3
2
2









9
9.
.α) Να παξαγνληνπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο: i. 12
x
7
x2

 , ii. x
3
x2
 , iii. 2
x
16
β) Να απινπνηεζεί ε παξάζηαζε: 2
2
2
x
16
x
3
x
6
x
2
12
x
7
x






.
1
10
0.
. α) Να παξαγνληνπνηεζεί ε παξάζηαζε Α= x
x5

β) Να ιπζεί ε εμίζσζε: Α=0
1
11
1.
. Γίλνληαη ηα πνιπώλπκα P(x) =         1
x
4
1
x
2
1
x
2
1
x
2
1
x
3
x
2
2









 θαη
Q(x) =  1
x
2
1
x 2
2


 .
α) Να απνδείμεηε όηη P(x) = 3
x
2
x
6 2

 θαη Q(x) = 2
x
2
x
3 2

 .
β) Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε: P(x)=Q(x).
1
12
2.
. Γίλνληαη νη παξαζηάζεηο Α=  2
2
x
5  θαη Β= 2
1
x
2  .
α) Να βξείηε ηα αλαπηύγκαηα ησλ παξαζηάζεσλ Α θαη Β.
β) Να παξαγνληνπνηήζεηε ηελ παξάζηαζε ΑΒ.
γ) Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε Α=Β.
1
13
3.
. Να ιπζεί ε εμίζσζε:
x
x
2
x
2
x
4
4
4
x
2
x
2





.
1
14
4.
. Να ιπζεί ε εμίζσζε:
2
x
x
7
x
x
1
1
x
2
x
3
x
2
2









.
1
15
5.
. Γίλεηαη ε παξάζηαζε: Α=
x
2
x
1
x
4
x
x
2
x
1
2
2
2





α) Να πξνζδηνξίζεηε ηηο ηηκέο ηνπ x γηα ηηο νπνίεο νξίδεηαη ε παξάζηαζε Α.
β) Να ιπζεί ε εμίζσζε: Α=0

3. 1
16
6.
. Γίλνληαη νη παξαζηάζεηο Α= 3
x
4
x2

 θαη Β= 3
x
2
x2


α) Να παξαγνληνπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο Α θαη Β.
β) Να ιπζεί ε εμίζσζε:
1
x
x
x
3
1
A
x
7
B 2






1
17
7.
. Γίλνληαη νη παξαζηάζεηο Α= 1
x
x
6 2

 θαη Β= 1
x
2
x2


α) Να παξαγνληνπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο Α θαη Β.
β) Να ιπζεί ε εμίζσζε:
A
2
x
11
B
1
x
3
1
1
x
2
3 





.
1
18
8.
. Γίλνληαη νη παξαζηάζεηο: Α=
1
x
5
x
4
1
x
16
2
2



θαη Β=
1
x
5
x
4
1
x
2
x
2
2




.
α) Να απινπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο Α θαη Β.
β) Να ιπζεί ε εμίζσζε: B
A
1
x
3
x
4
x
11
1
x
13
2
2







1
19
9.
. Γίλεηαη ην θιάζκα Α=
x
3
x
4
x
x
x
2
3
2
4



.
α) Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ x νξίδεηαη ην θιάζκα Α.
β) Να απινπνηεζεί ην θιάζκα Α.
γ) Να ιπζεί ε εμίζσζε Α=
9
x
x
3
x
2
2
3


.
2
20
0.
. α) Να παξαγνληνπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο: i. 2x+2, ii. 33x, iii. 6x2
6, iv. x2
11x+10
β) Να ιπζεί ε εμίζσζε:
6
x
6
9
x
x
3
3
1
x
2
x
2
1
x
2








2
21
1.
. α) Να παξαγνληνπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο 1
x
3
x
2 2

 θαη 3
x
5
x
2 2

 .
β) Να ιπζεί ε εμίζσζε:
3
x
1
x
1
x
2
x
3
x
5
x
2
x
3
x
2
2








.
2
22
2.
. Να βξείηε ηξεηο δηαδνρηθνύο θπζηθνύο αξηζκνύο πνπ ην άζξνηζκα ησλ ηεηξαγώλσλ ηνπο είλαη
14.
2
23
3.
. Γίλεηαη ε επζεία κε εμίζσζε 2x4y=6ι.
α) Να πξνζδηνξίζεηε ην ι ώζηε ε επζεία λα δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ.

4. β) Αλ ι=6, λα ιύζεηε ην ζύζηεκα:








10
y
2
x
ι
6
y
4
x
3
2
24
4.
. Γίλεηαη ε επζεία κε εμίζσζε y=αx+β. Αλ ε επζεία δηέξρεηαη από ηα ζεκεία Α(1, 2) θαη Β(3, 10)
ηόηε λα πξνζδηνξίζεηε ηα α, β.
2
25
5.
. Να ιπζεί ην ζύζηεκα:
   
















0
5
2
x
2
y
3
y
2
x
10
y
x
3
x
y
2
y
x
2
26
6.
. Να ιπζεί ην ζύζηεκα:
















2
4
y
3
x
2
3
x
4
1
5
y
3
x
3
y
x
2
2
27
7.
. Να ιπζεί ην ζύζηεκα:
















x
1
4
3
y
2
y
5
x
y
3
x
4
5
y
3
x
2
28
8.
. Να ιπζεί ην ζύζηεκα:













5
y
3
3
x
4
1
4
2
y
3
x
2
29
9.
. Να ιπζεί ην ζύζηεκα:


















x
4
5
x
3
y
4
3
y
3
x
1
y
3
3
x
4
4
1
y
x
3
30
0.
. Να βξείηε (αλ ππάξρεη) ηελ θνηλή ιύζε ησλ ζπζηεκάησλ
   















3
3
y
x
3
2
y
2
x
4
y
2
x
3
y
2
x
7
θαη








1
y
x
1
y
x2

5. 3
31
1.
. α) Να ιπζεί ην ζύζηεκα:








5
y
2
x
5
2
y
x
4
β) Αλ νη επζείεο κε εμηζώζεηο (ε1): 4xy=2, (ε2): 5x+2y=5 θαη (ε3): θxy=θ+2 δηέξρνληαη από ην
ίδην ζεκείν, λα πξνζδηνξίζεηε ην θ.
3
32
2.
. α) Να ιπζεί ε εμίζσζε 0
1
x
3
x
4 2



β) Αλ α είλαη ε θιαζκαηηθή ιύζε ηεο εμίζσζεο ηνπ α΄ εξσηήκαηνο, λα ιύζεηε ην ζύζηεκα:







4
y
x
2
y
x
α
4
2
2
3
33
3.
. α) Να ιπζεί ην ζύζηεκα:
   
   
















4
α
3
β
2
β
α
5
1
β
2
2
α
3
β) Γηα ηηο ηηκέο ησλ α, β πνπ βξήθαηε ζην α΄ εξώηεκα, λα ιύζεηε ηελ εμίζσζε:
    0
α
β
2
x
α
2
β
3
x
β
α 2







3
34
4.
. Γίλεηαη ην ζύζηεκα
   
   












9
y
α
β
x
6
β
α
1
y
α
β
2
x
β
α
2
. Αλ ην ζύζηεκα έρεη ιύζε (x, y) = (2, 3), λα
βξεζνύλ ηα α θαη β.
3
35
5.
. Γίλεηαη ην ζύζηεκα
   
   












4
y
β
2
α
x
β
3
α
2
10
y
β
2
α
x
β
α
2
2
πνπ έρεη ιύζε (x, y) = (4, 2). Να βξείηε
ηα α, β.
3
36
6.
. Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) θαη ην ύςνο ηνπ ΑΓ.
Παίξλνπκε ηπραίν ζεκείν Δ ηνπ ύςνπο ΑΓ. Να απνδείμεηε όηη:
α) ΔΒ=ΔΓ
β)


 E
Γ
A
ABE
3
37
7.
. Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ε δηρνηόκνο ηνπ ΑΓ. Σηελ πιεπξά
ΑΓ παίξλνπκε ζεκείν Δ έηζη ώζηε ΑΔ=ΑΒ. Να απνδείμεηε όηη:
α) ΓΔ=ΓΒ
β) ηα ζεκεία Β, Δ ηζαπέρνπλ από ηε δηρνηόκν ΑΓ.

6. 3
38
8.
. Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) θαη Γ, Δ, Ε ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ αληί-
ζηνηρα. Να απνδείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΓΔΕ είλαη ηζνζθειέο.
3
39
9.
. Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) θαη ηηο δηακέζνπο ηνπ ΒΓ, ΓΔ. Να απνδείμεηε όηη:
α) ΒΓ=ΓΔ
β) ηα ζεκεία Γ, Δ ηζαπέρνπλ από ηελ πιεπξά ΒΓ
4
40
0.
. Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) θαη ηα ύςε ηνπ ΒΓ, ΓΔ. Να απνδείμεηε όηη:
α) ΒΓ=ΓΔ
β) ην ηξίγσλν ΑΔΓ είλαη ηζνζθειέο
4
41
1.
. Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) θαη ηα ύςε ηνπ ΒΓ, ΓΔ. Από ηα ζεκεία Γ, Δ
θέξλνπκε ηα ηκήκαηα ΓΕ θαη ΔΖ θάζεηα πξνο ηε ΒΓ (ηα ζεκεία Ζ, Ε είλαη ζεκεία ηεο ΒΓ). Να
απνδείμεηε όηη:
α) ΒΓ=ΓΔ
β) ην ΓΔΖΕ είλαη νξζνγώλην παξαιιειόγξακκν
4
42
2.
. Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) θαη ηα ζεκεία Γ, Δ ζηηο πιεπξέο ΑΒ θαη ΑΓ αληί-
ζηνηρα, έηζη ώζηε ΑΓ=ΑΔ.
α) Να δείμεηε όηη ΒΔ=ΓΓ
β) Αλ Μ είλαη ην ζεκείν ηνκήο ησλ ΒΔ θαη ΓΓ, λα δείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΒΜΓ είλαη ηζνζθειέο.
4
43
3.
. Σε ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) πξνεθηείλνπκε ηηο ίζεο πιεπξέο θαηά ηκήκαηα ΒΓ θαη ΓΔ
έηζη ώζηε ΒΓ=ΓΔ. Να απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Γ, Δ ηζαπέρνπλ από ηελ επζεία ΒΓ.
4
44
4.
. Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Σηε βάζε ΒΓ
παίξλνπκε ηα ζεκεία Γ, Δ έηζη ώζηε λα ηζρύεη ΒΓ=ΔΓ.
α) Να δείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΑΓΔ είλαη ηζνζθειέο.
β) Αλ ΓΕΑΒ θαη ΔΖΑΓ, λα απνδείμεηε όηη ΓΕ=ΔΖ.
γ) Να απνδείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΑΕΖ είλαη ηζνζθειέο.
4
45
5.
. Γίλνληαη ηα ηξίγσλα ΑΒΓ θαη ΓΔΕ (όπσο θαίλεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα) ζηα νπνία είλαη
γλσζηό όηη έρνπλ ίζεο ηηο δηρνηόκνπο ΑΖ θαη ΓΘ, 0
30
Ε
Γ
Θ
Γ
A
H 



θαη 0
70
Δ
Β 



.

7. Να δείμεηε όηη:
α) ηα ηξίγσλα ΑΒΖ θαη ΓΔΘ είλαη ίζα
β) ΑΒ=ΓΔ
γ) ηα ηξίγσλα ΑΒΓ θαη ΓΔΕ είλαη ίζα.
4
46
6.
. Γίλνληαη ηα ηξίγσλα ΑΒΓ θαη ΓΔΕ γηα ηα νπνία γλσξίδνπκε όηη


 Γ
A =550
,

Γ =450
,

Δ =800
,
ΑΒ=6cm, AΓ=9cm θαη ΓΔ=3cm.
α) Να απνδείμεηε όηη ηα ηξίγσλα ΑΒΓ θαη ΓΔΕ είλαη όκνηα.
β) Να ππνινγίζεηε ην κήθνο ηεο πιεπξάο ΓΕ.
4
47
7.
. Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ (

A =900
) κε ΑΒ=8 θαη ΑΓ=6. Σηελ
ππνηείλνπζα ΒΓ παίξλνπκε ζεκείν Γ ηέηνην ώζηε ΒΓ=4. Από ην ζεκείν
Γ θέξλνπκε ηελ θάζεηε ζηελ ΒΓ πνπ ηέκλεη ηελ ΑΒ ζην ζεκείν Δ.
α) Να απνδείμεηε όηη ηα ηξίγσλα ΑΒΓ θαη ΒΓΔ είλαη όκνηα.
β) Να ππνινγίζεηε ην κήθνο ηνπ ΓΔ.
4
48
8.
. Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ (

A =900
) θαη ην ύςνο ηνπ ΑΓ.
α) Να δείμεηε όηη ηα ηξίγσλα ΑΒΓ θαη ΑΒΓ είλαη όκνηα.
β) Αλ ΑΒ=6 θαη ΒΓ=10, λα πξνζδηνξίζεηε ην κήθνο ηνπ ηκήκαηνο ΒΓ.
4
49
9.
. Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη θέξλνπκε ηελ ΓΔ//ΒΓ. Αλ
γλσξίδνπκε όηη ΑΓ=x+1, ΑΔ=6, ΓΒ=4 θαη ΔΓ=x+11, λα
πξνζδηνξίζεηε ην x.

8. 5
50
0.
. Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ΓΔ//ΒΓ (όπσο θαίλεηαη ζην
δηπιαλό ζρήκα). Αλ ΑΒ=x+1, ΓΒ=2, ΑΔ=6 θαη ΔΓ=x2,
λα πξνζδηνξίζεηε ην x.
5
51
1.
. Να απνδείμεηε όηη:       14
x
εκ
3
x
ζπλ
2
2
2
x
ζπλ
3
x
εκ
2
2






 .
5
52
2.
. Να απνδείμεηε όηη:     25
x
εκ
3
x
ζπλ
4
x
ζπλ
3
x
εκ
4
2
2



 .
5
53
3.
. Να απνδείμεηε ηηο ηζόηεηεο:
α) 0
σ
εκ
σ
ζπλ
σ
εκ
σ
εκ 2
2
2
4




β)  2
2
ζπλσ
εκσ
1
ζπλσ
εκσ
εθσ
σ
ζπλ 




 .
5
54
4.
. Να απνδείμεηε ηελ ηζόηεηα:     2
2
2
2
β
α
ζπλθ
α
εκθ
β
ζπλθ
β
εκθ
α 







 .
5
55
5.
. Αλ εκσ=
5
4
θαη 900
<σ < 1800
, λα πξνζδηνξίζεηε ηνπο ππόινηπνπο ηξηγσλνκεηξηθνύο αξηζκνύο
ηεο γσλίαο σ.
5
56
6.
. Αλ γηα ηελ ακβιεία γσλία σ ηζρύεη όηη εκσ=
13
12
, ηόηε:
α) λα πξνζδηνξίζεηε ηνπο ππόινηπνπο ηξηγσλνκεηξηθνύο αξηζκνύο ηεο γσλίαο σ
β) λα πξνζδηνξίζεηε ηνπο ηξηγσλνκεηξηθνύο αξηζκνύο ηεο παξαπιεξσκαηηθήο ηεο γσλίαο σ.
5
57
7.
. Αλ ζπλσ=
5
3
 θαη 1800
< σ < 2700
, λα ππνινγίζεηε:
α) ηνπο ππόινηπνπο ηξηγσλνκεηξηθνύο αξηζκνύο ηεο γσλίαο σ
β) ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο: Α= θ
ζπλ
ζπλσ
3
20
θ
εκ
εκσ
5
εθσ
3 2
2




5
58
8.
. Γίλεηαη ε ακβιεία γσλία σ γηα ηελ νπνία ηζρύεη
5
3
εκσ  .
α) Να βξείηε ηνπο ππόινηπνπο ηξηγσλνκεηξηθνύο αξηζκνύο ηεο γσλίαο σ.

9. β) Να απνδείμεηε ηε ζρέζε: 1
120
ζπλ
16
ζπλσ
5
135
εθ
εθσ
4
0
0




.
5
59
9.
. Αλ γηα ηελ ακβιεία γσλία σ ηζρύεη όηη
17
15
ζπλσ 
 , ηόηε:
α) Να βξείηε ηνπο ππόινηπνπο ηξηγσλνκεηξηθνύο αξηζκνύο ηεο γσλίαο σ.
β) Να ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο: Α=  
  0
0
135
εθ
εθσ
15
ζπλσ
σ
180
εκ
17 



 .
6
60
0.
. Γίλεηαη ε εμίζσζε 0
8
x
14
x
5 2


 θαη κηα γσλία σ κε 0
0
180
σ
90 
 .
α) Να ιπζεί ε εμίζσζε.
β) Αλ κηα ιύζε ηεο εμίζσζεο ηζνύηαη κε ην εκσ, λα πξνζδηνξίζεηε ηνπο ππόινηπνπο ηξηγσλνκε-
ηξηθνύο αξηζκνύο ηεο γσλίαο σ.