1. ΘΔΜΑΤΑ ΔΞΔΤΑΣΔΩΝ
ΘΔΜΑ 10
  




 
  
Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα , ,  κε α  2, β =1, γ=α  θβ, θ  R , θαη (, )  .
3
 
α) Να βξείηε ην εζσηεξηθό γηλόκελν   .


β) Να βξείηε ην αξηζκό θ , αλ γλσξίδεηε όηη ην δηάλπζκα  είλαη θάζεην ζην  .


γ) Αλ θ=4 λα βξείηε ηε γσλία ησλ δηαλπζκάησλ    .
ΘΔΜΑ 20
 
  

 



5
Αλ OA  2OB  3O  0 θαη OA  OB  1, OΓ 
3
α. Να δείμεηε όηη ηα ζεκεία Α, Β, Γ είλαη ζπλεπζεηαθά.
β. Να βξείηε ηε ζρεηηθή ζέζε ησλ Α, Β, Γ .
 

γ. Να απνδείμεηε όηη ηα δηαλύζκαηα OA,OB είλαη νξζνγώληα.
 

δ. Να απνδείμεηε όηη ε γσλία ησλ OA,O είλαη νμεία. (mathematica)
ΘΔΜΑ 30




Γηα ηα δηαλύζκαηα ηζρύνπλ νη ζρέζεηο θαη 2 α  3 β  (4,2) θαη α  3 β  (–7, 8)


α) Να δείμεηε όηη α  (–1, 2) θαη β  (2,2)




β) Να βξεζεί ν πξαγκαηηθόο αξηζκόο k, ώζηε ηα δηαλύζκαηα k α  β θαη 2 α  3 β λα είλαη θάζεηα

γ) Να αλαιπζεί ην δηάλπζκα γ =(3,–1) ζε δύν θάζεηεο ζπληζηώζεο, από ηηο νπνίεο ε κία λα είλαη

παξάιιειε ζην δηάλπζκα α
(Παλ 2000)
ΘΔΜΑ 40


 

1
Έζησ ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα ,  κε o    2 θαη o     


4


α. Γείμηε όηη   2 2  .
  
β. Βξείηε ηελ  ,   .(mathematica)




ΦΡΔ΢ΚΟ΢ ΔΤ΢ΣΑΘΗΟ΢
3 0 ΓΔΛ ΖΛΗΟΤΠΟΛΖ΢

2. ΘΔΜΑ 50
 

 
 
π
   

Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα α , β , α+β κε α  3 , α+β  13 θαη α, β  .
6

α) Να βξεζεί ην | β |

 
 
   

β) Αλ | β |=2 λα βξεζνύλ ηα α · β , α  β , β, α  β , πξνββ α  β




ΘΔΜΑ 60

    π

Γίλνληαη ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα α θαη β γηα ηα νπνία ηζρύνπλ νη ζρέζεηο  α, α  2β   θαη

 3
 

α  2β  2 α
 
α. Να απνδείμεηε όηη α  β


β. Να απνδείμεηε όηη 2 β  3 α .
 
  
 

γ. Αλ γηα ην δηάλπζκα  ηζρύεη α   4γ  α   4β 2  γ 2 , λα δείμεηε όηη 2α  γ . Ση ζπκπεξαίλεηε γηα ηελ
 
γσλία ησλ α, γ
ΘΔΜΑ 70
 
 

  

Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a, b, c ηέηνηα ώζηε | b || c | 7,| a | 13 θαη 4b  3c  7a .

α. Να βξείηε ηελ γσλία ησλ (b, c) .
β. Αλ ηα ηξία δηαλύζκαηα α έρνπλ θνηλή αξρή λα δείμεηε όηη ηα πέξαηα ηνπο είλαη ζπλεπζεηαθά.
 


 

γ. Να βξείηε δηάλπζκα x θαη ην κεηξό ηνπ αλ x / /(2b  c) , (x  2c)  b .(mathematica)
ΘΔΜΑ 80
 
Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a, b κε



a  2 θαη b  5 .Αλ γηα έλα δηάλπζκα c
έρνπκε

 



 
 
 
c  3,  a, c   θαη b, c  , λα γξάςεηε ην c ζαλ γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ a θαη b
6
3
 
(mathematica)
ΘΔΜΑ 90
 5





Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα  θαη  γηα ηα νπνία ηζρύνπλ:|  |=4 θαη |  |=5 θαη    .
8
 
α) Να απνδείμεηε όηη:    =10.


β) Να βξείηε ηε γσλία ησλ  θαη  .
  
γ) Να ππνινγίζεηε ην κέηξν ηνπ δηαλύζκαηνο u =  −  .


   
β) Αλ ην δηάλπζκα v= α  β    , θ   είλαη θάζεην ζην δηάλπζκα  , λα βξείηε ηελ ηηκή ηνπ θ
 
ΦΡΔ΢ΚΟ΢ ΔΤ΢ΣΑΘΗΟ΢
3 0 ΓΔΛ ΖΛΗΟΤΠΟΛΖ΢

3. ΘΔΜΑ 100

1 
 

 
 )
Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα  ,  γηα ηα νπνία ηζρύνπλ  = ( 1, 8−    ) θαη  = ( 2,
5
α). Να απνδείμεηε όηη

i)|  | 5, ,
 

ii)    = 5 θαη |  | = 10
 
β). Να ππνινγίζεηε ηε γσλία ( , )
 

γ). i) Να απνδείμεηε όηη  = 

ii) Nα αλαιύζεηε ην δηάλπζκα  ζε δύν θάζεηεο ζπληζηώζεο από ηηο νπνίεο ε κηα λα είλαη

παξάιιειε κε ην  .
ΘΔΜΑ 110

 

Θεσξνύκε ην δηάλπζκα  =(2|  |, |  |1) κε  κε παξάιιειν ζηνλ x΄x

Η) Να δείμεηε όηη  = ( - 3 , 4 )


ΗΗ)Να βξείηε ηελ πξνβνιή ηνπ  = ( 2 , 1 ) ζην  .



ΗΗΗ) Να γξάςεηε ην  σο γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ  θαη  = ( 1 , 1 )

 

ΗΗΗΗ) Να βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο δηαλύζκαηνο v όηαλ v   θαη | v |=1
ΘΔΜΑ 120


   2


Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα ,  θαη  κε |  |=2 θαη |  |= 3 θαη ( , ) 
Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ θαη
3



 
 
ΑΜ δηάκεζόο ηνπ γηα ην νπνίν ηζρύνπλ   2   θαη A  3  
 
α) Να βξείηε ην  




β) Να εθθξάζεηε ην A σο γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ  θαη  .
γ) Να ππνινγίζεηε ην κήθνο ηεο δηακέζνπ ΑΜ .




δ) Να απνδείμεηε όηη ε γσλία ησλ A θαη  είλαη ίζε κε
3
ΘΔΜΑ 130







΢ε ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη AB   θαη    ,γηα ηα νπνία ηζρύεη  |=1,| |=4 , θαη  =
|
3

Α. Να βξείηε ην κέηξν ηνπ δηαλύζκαηνο 


Β. Να βξείηε ην εζσηεξηθό γηλόκελν  ∙ 


Γ. Να βξείηε ην ζπλεκίηνλν ηεο γσλίαο (  ,  )


Γ. Να βξείηε ηελ πξνβνιή ηνπ  ζην 
ΘΔΜΑ 140
 π


Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε AB  2 , AΓ  3 θαη Α  θαη Μ ην κέζνλ ηεο ΒΓ
3
i) Να βξείηε ην εζσηεξηθό γηλόκελν AB AΓ
ΦΡΔ΢ΚΟ΢ ΔΤ΢ΣΑΘΗΟ΢
3 0 ΓΔΛ ΖΛΗΟΤΠΟΛΖ΢

4. ii) Να εθθξάζεηε ην δηάλπζκα AM ζπλαξηήζεη ησλ AB θαη AΓ
iii) Να βξείηε ην AM



 AB, AM 
iv) Να βξείηε ην ζπλ 



ΘΔΜΑ 150
Αλ νη εμηζώζεηο δύν δηρνηόκσλ ησλ γσληώλ ελόο ηξηγώλνπ ΑΒΓ είλαη νη ( ) : x  y  0 θαη
1
15 3
( ) : y  1  0 θαη ε θνξπθή ( , ) ,
2
13 13
I) Nα βξεζνύλ ηα ζπκκεηξηθά ηνπ Γ σο πξνο (ε1), (ε2)
II) Να βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ Α θαη Β. (mathematica)
ΘΔΜΑ 160


    2
Γίλνληαη ηα ζεκεία Α(2,-1), Β(5,3) θαη ην δηάλπζκα  ηέηνην ώζηε  =2 θαη  ,   
. Να

 3
βξείηε:


Β1.
ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ δηαλύζκαηνο  .
 
 
Β2.
ην εζσηεξηθό γηλόκελν  
 2  
 
Β3.
ην κέηξν ηνπ δηαλύζκαηνο u     .
5
ΘΔΜΑ 170





 
 
2
 
΢ε ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη AB  2   θαη   3 ,όπνπ |  |=|  |=1 θαη ,  
.
3

 
 2
i) Να ππνινγίζεηε ηηο παξαζηάζεηο:    θαη (4 + 2 )
 


ii) Αλ Μ ην κέζν ηεο πιεπξάο ΒΓ λα εθθξάζεηε ηα δηαλύζκαηα ,  σο


γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ δηαλπζκάησλ  θαη  .
 


iii) Να βξείηε ηε γσλία ησλ δηαλπζκάησλ ( ,  ).
 
ΘΔΜΑ 180
Γίλνληαη ηα ζεκεία Α(1,3), Β(−2,2) θαη ε επζεία (ε) : 3x + y + α = 0 όπνπ αR .
α) Αλ ε απόζηαζε ηνπ Α από ην Β είλαη ίζε κε ηελ απόζηαζε ηνπ Α από ηελ επζεία ε, λα βξείηε ηελ
ηηκή ηνπ α.
β) Γηα ηελ ηηκή α = 4 λα βξείηε:
i) Σν εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ πνπ έρεη θνξπθέο ηα ζεκεία Α, Β θαη ην ζεκείν Γ πνπ ε επζεία ε
ηέκλεη ηνλ άμνλα y΄y.
ii) Πνην ζεκείν ηεο επζείαο ε έρεη ηε κηθξόηεξε απόζηαζε από ηελ αξρή Ο ησλ αμόλσλ.
ΘΔΜΑ 190
Γίλεηαη ε εμίζσζε (2α+1)x + (α–1)y + 3 = 0 (1)
i) Να απνδείμεηε όηη ε (1) παξηζηάλεη επζεία γηα θάζε R .
ΦΡΔ΢ΚΟ΢ ΔΤ΢ΣΑΘΗΟ΢
3 0 ΓΔΛ ΖΛΗΟΤΠΟΛΖ΢

5. ii) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε α R νη επζείεο ηεο κνξθήο (1) δηέξρνληαη από ην ζεκείν Μ (-1,2).
iii) Γίλεηαη ε επζεία (ε) : x + 5y − 3 = 0 . Αλ Α θαη Β είλαη ηα ζεκεία ηνκήο ηεο (ε) κε ηηο επζείεο
πνπ πξνθύπηνπλ από ηελ (1) γηα α = 0 θαη α = -1 αληίζηνηρα, λα απνδείμεηε όηη ην εκβαδόλ ηνπ
ηξηγώλνπ ΑΜΒ είλαη 3 η.κ.
ΘΔΜΑ 200
 ι  4 ι 9 
,
Γίλνληαη ηα ζεκεία Β(–1,1) , Γ(1,5/2) θαη Α 
 κε ιR
4 
 3
Α. Να απνδεηρζεί όηη γηα θάζε ιR ηα Α,Β,Γ είλαη θνξπθέο ηξηγώλνπ
Β Να βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ
Γ Να απνδεηρζεί όηη ν γ.η. ηνπ Α είλαη δύν επζείεο ε 1 θαη ε2. Ση ζπκπεξαίλεηε γηα ηελ ΒΓ θαη ηηο ε1,
ε2
ΘΔΜΑ 210
Γίλεηαη έλα ηξίγσλν κε θνξπθέο Α(2ι –1, 3ι+2), Β(1,2) θαη Γ(2,3) όπνπ ιIR κε ι≠–2.
Α. Να απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Α θηλείηαη ζε επζεία, θαζώο ην ι κεηαβάιιεηαη ζην IR.
Β.
Δάλ ι=1, λα βξείηε:
α.
ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ
β. ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ, πνπ έρεη θέληξν ηελ θνξπθή Α(1,5) θαη εθάπηεηαη ζηελ επζεία ΒΓ.
ΘΔΜΑ 220
Γίλεηαη ε εμίζσζε x2 - y2 + 6x + 9 = 0.
α.
Να δείμεηε όηη ε παξαπάλσ εμίζσζε παξηζηάλεη 2 επζείεο ε1 θαη ε2.
β.
Να δείμεηε όηη νη επζείεο ε1 θαη ε2 είλαη θάζεηεο.

γ.
Να βξείηε έλα ζεκείν Μ(θ,ι) κε θ0 θαη ι0 ηέηνην, ώζηε ην δηάλπζκα α = (3,θ) λα είλαη

παξάιιειν πξνο ηε κία από ηηο δύν επζείεο ε1 θαη ε2 θαη ην δηάλπζκα β = (-16, 4ι) λα είλαη
παξάιιειν πξνο ηελ άιιε επζεία.
δ.
Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηεο παξαβνιήο πνπ έρεη θνξπθή ηελ αξρή ησλ αμόλσλ Ο, άμνλα
ζπκκεηξίαο ηνλ άμνλα x΄x θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν Μ.
ΘΔΜΑ 230
Γίλεηαη ε εμίζσζε 6x2 –y2 =x∙y (1)
α. Να δείμεηε όηη ε εμίζσζε (1) παξηζηάλεη δύν επζείεο (ε1) θαη (ε2), ηηο νπνίεο θαη λα βξείηε.
β. Αλ (ε1): y=2x θαη (ε2): y=–3x λα βξείηε ηελ νμεία γσλία ζ πνπ ζρεκαηίδνπλ νη (ε1) θαη (ε2).
γ. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο (ε) πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν Μ(0,1) θαη ηέκλεη ηηο επζείεο
(ε1) θαη (ε2) ζηα ζεκεία A,B αληηζηνίρσο , ώζηε ην ζεκείν Μ λα είλαη κέζν ηνπ AB.
(mathematica)
ΘΔΜΑ 240
Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ κε Α(3,4) θαη ηα ύςε ηνπ ΒΔ: x-2y+3=0 θαη ΓΕ: x+y-6=0. Να βξεζνύλ
α) Οη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ΑΒ,ΑΓ
β) Σα ζεκεία Β,Γ θαζώο θαη ε επζεία ΒΓ
γ) Αλ Β(1,2) θαη Γ(4,2) λα βξεζνύλ ην ύςνο ΑΓ θαη ε δηάκεζνο ΑΜ
δ) Σν (ΑΒΓ)

ε) Ζ γσλία B
ΦΡΔ΢ΚΟ΢ ΔΤ΢ΣΑΘΗΟ΢
3 0 ΓΔΛ ΖΛΗΟΤΠΟΛΖ΢

6. ΘΔΜΑ 250
΢ην θαξηεζηαλό επίπεδν Οxς δίλνληαη ηα ζεκεία Α(2,0), Β(4,5), Γ(6,θ) κε θℝ −{10}.
α. Να δείμεηε όηη:
i) Σα ζεκεία Α, Β, Γ δελ είλαη ζπλεπζεηαθά.
ii) H εμίζσζε ηεο επζείαο ηεο δηακέζνπ (ε) πνπ θέξνπκε από ηελ θνξπθή Β ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ,
είλαη x=4.
β. Να πξνζδηνξίζεηε ηελ θνξπθή Γ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ, αλ ην εκβαδόλ ηνπ είλαη (ΑΒΓ)=8
ηεηξαγσληθέο κνλάδεο.
γ. Γηα θ=2,λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο ηνπ ύςνπο (ε) πνπ θέξνπκε από ηελ θνξπθή Α ηνπ
ηξηγώλνπ ΑΒΓ, θαζώο θαη ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ Γ ζην νπνίν ηέκλνληαη νη επζείεο (ε) θαη
(ε).
ΘΔΜΑ 260
Γίλεηαη ε εμίζσζε (2x+ y)α(x+y–1)=0 (1)
i) Να απνδείμεηε όηη ε (1) παξηζηάλεη επζεία γηα θάζε αR .
ii) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε α R νη επζείεο ηεο κνξθήο (1) δηέξρνληαη από ζηαζεξό ζεκείν.
iii)Να βξεζνύλ νη επζείεο πνπ ηθαλνπνηνύλ ηελ (1) θαη ζρεκαηίδνπλ κε ηνπο άμνλεο ηξίγσλν κε
1
Δ=
2
ΘΔΜΑ 270
Γίλνληαη ηα ζεκεία A(k  1,3), B(k, 2) θαη C(k  1, 1) κε kR
α. Να δείμεηε όηη γηα θάζε kR , ηα ζεκεία A,B,C απνηεινύλ θνξπθέο ηξηγώλνπ.
β. Γηα k=–1, λα βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Μ ώζηε (MAB)=2(ABC)
γ. Γηα k=1, λα βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Ν γηα ηα νπνία ηζρύεη
d(N, AB)
 5
d(N, BC)
(mathematica)
ΘΔΜΑ 280
Γίλεηαη ε εμίζσζε (ι2 –1)x+2ιy–ι2–2ι–γ=0 όπνπ ι,γR
Α) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ι ε εμίζσζε παξηζηάλεη επζεία
Β) Αλ γ=–1 λα απνδείμεηε όηη όιεο νη επζείεο πνπ νξίδνληαη από ηελ παξαπάλσ εμίζσζε δηέξρνληαη
από ην ίδην ζεκείν
Γ) Αλ γ≠ –1 λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ εθείλσλ πνπ από ην θαζέλα δηέξρεηαη
κόλν κία επζεία ε νπνία επαιεζεύεη ηελ παξαπάλσ εμίζσζε
ΘΔΜΑ 290
Γίλεηαη ε εμίζσζε x 2  y2  2(2x  y)k  3k 2  0, k  R
α. Να απνδείμεηε όηη ε παξαπάλσ εμίζσζε παξηζηάλεη δύν επζείεο ( ) θαη ( ) .
β. Να απνδείμεηε όηη ( )  ( ) .
γ. Να βξείηε ην ζεκείν ηνκήο M
ησλ επζεηώλ ( ) θαη ( ) .
δ. Να βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ηνπ ζεκείνπ Μ.
ΦΡΔ΢ΚΟ΢ ΔΤ΢ΣΑΘΗΟ΢
(mathematica)
3 0 ΓΔΛ ΖΛΗΟΤΠΟΛΖ΢

7. ΘΔΜΑ 300
i) Να απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε ηεο παξαβνιήο (C) πνπ έρεη άμνλα ζπκκεηξίαο ηνλ άμνλα ς΄ς θαη
1
θνξπθή ηελ αξρή ησλ αμόλσλ Ο(0,0) θαη πεξλά από ην ζεκείν Α(2,1) είλαη ς = ρ2
4
ii) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο παξαβνιήο (C) ηνπ πξνεγνπκέλνπ i) εξσηήκαηνο
ζην ζεκείν Α
iii) Να βξείηε ην ζεκείν ηνκήο Β ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ ii) εξσηήκαηνο κε ηνλ άμνλα ρ΄ρ
iv) Να βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΟΑΒ.
ΘΔΜΑ 310
Γίλεηαη ε εμίζσζε x2 + y2 –2xζπλζ–2yεκζ –1=0, 0≤ζ2π.
Α. Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ζ ε εμίζσζε απηή παξηζηάλεη θύθιν, ηνπ νπνίνπ λα
πξνζδηνξίζεηε ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα.
π
Β. Αλ ζ 
, λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ θύθινπ ζην ζεκείν Μ(1,2).
2
Γ. Να απνδείμεηε όηη γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ζ ηα θέληξα ησλ παξαπάλσ θύθισλ βξίζθνληαη
ζε θύθιν κε θέληξν Ο(0,0) θαη αθηίλα ξ = 1.
ΘΔΜΑ 320
Α. Γίλεηαη ε εμίζσζε x2 + y2 + 6κx + 8ιy = 0, όπνπ κ, ι πξαγκαηηθνί αξηζκνί δηάθνξνη ηνπ
κεδελόο. Να δείμεηε όηη, γηα θάζε ηηκή ησλ κ, ι, ε παξαπάλσ εμίζσζε παξηζηάλεη θύθιν πνπ
δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ Ο.
Β. Έζησ όηη γηα ηνπο πξαγκαηηθνύο αξηζκνύο κ, ι ηζρύεη ε ζρέζε 3κ + 2ι = 0.
α. Να δείμεηε όηη, όινη νη θύθινη πνπ νξίδνληαη από ηελ εμίζσζε x2 + y2 + 6κx + 8ιy = 0 γηα ηηο
δηάθνξεο ηηκέο ησλ κ θαη ι, έρνπλ ηα θέληξα ηνπο ζε επζεία πνπ δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ
αμόλσλ.
β. Να βξείηε ηα κ, ι έηζη, ώζηε, αλ Α, Β είλαη ηα ζεκεία ηνκήο ηνπ αληίζηνηρνπ θύθινπ κε ηελ
 


επζεία x + y + 2 = 0, λα ηζρύεη OA  OB  0.
γ. Γηα ηηο ηηκέο ησλ κ, ι πνπ βξήθαηε ζην εξώηεκα β λα ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ
ΑΟΒ.
ΘΔΜΑ 330
Γίλεηαη ν θύθινο C1 : x 2  y2  2 θαη ε εμίζσζε x 2  y2  2  ι(x  y  2)  0 (1)
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
Να πξνζδηνξίζεηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ε ηνπ C 1 ζην ζεκείν ηνπ Α(-1,1)
Να εμεηάζεηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ι  R ε (1) παξηζηάλεη εμίζσζε θύθινπ.
Ση παξηζηάλεη ε (1) γηα ι=2
Να απνδείμεηε όηη ε (1) δηέξρεηαη από ζηαζεξό ζεκείν, ην νπνίν θαη λα βξεζεί.
Να απνδείμεηε όηη θάζε θύθινο ηεο (1) εθάπηεηαη ζηελ επζεία ε (ηνπ πξώηνπ εξσηήκαηνο)
Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ θέληξσλ ηεο (1).
ΘΔΜΑ 340
Γίλεηαη ε έιιεηςε C:3x 2  4y2  12 θαη εμίζσζε C :x 2  y2  2x  2y  α  2010
1
i) Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ α  R ε C1 παξηζηάλεη θύθιν.
ii) Γηα πνηα ηηκή ηνπ α  R ν θύθινο C1 δηέξρεηαη από ηελ εζηία Δ΄ (-γ,0) ηεο έιιεηςεο C.
ΦΡΔ΢ΚΟ΢ ΔΤ΢ΣΑΘΗΟ΢
3 0 ΓΔΛ ΖΛΗΟΤΠΟΛΖ΢

8. 3
iii) Να απνδείμεηε όηη ε εθαπηνκέλε ηεο έιιεηςεο C ζην Μ(1, ) έρεη εμίζσζε x+2y–4=0 θαη λα
2
βξείηε ηελ ηηκή ηνπ α  R ώζηε απηή ε εθαπηνκέλε λα εθάπηεηαη θαη ζηνλ θύθιν C1
ΘΔΜΑ 340
Γίλεηαη ν θύθινο
 c  :  x 1   y  2
2
2
 4 θαη ε επζεία
  :  2 1 x    1 y  3  0
κε
 
  δηέξρεηαη από ζηαζεξό ζεκείν γηα θάζε   .
β. Να απνδείμεηε όηη ε επζεία   ηέκλεη ηνλ θύθιν (c) γηα θάζε  
γ. Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ   , ε επζεία   νξίδεη ρνξδή ζηνλ θύθιν (c) κε:
α. Να απνδείμεηε όηη ε επζεία
i. ειάρηζην κήθνο
ii. κέγηζην κήθνο
iii. κήθνο 2 2
(mathematica)
ΘΔΜΑ 350
 
Γίλνληαη ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα    , θαη ε εμίζσζε


 
 
x 2  y2  2   2 x  2 2   y   2  2  0 (1)
 
Γ1.Γείμηε όηη ε εμίζσζε (1) παξηζηάλεη θύθιν αθηίλαο   2   


  1
Γ2. Γηα   1,   1 θαη (, )  , λα απνδείμεηε όηη ν παξαπάλσ θύθινο (1) παίξλεη ηε
4
2
2
κνξθή C : (x  2)  (y  2)  6
Γ3.Nα εμεηάζεηε αλ ε εζηία ηεο παξαβνιήο y 2  8 x βξίζθεηαη ζην εζσηεξηθό ηνπ θύθινπ C ηνπ
πξνεγνύκελνπ εξσηήκαηνο Γ2.
ΘΔΜΑ 360
Γίλνληαη ε επζεία    : y  x ,   θαη ν θύθινο  C  : x 2  2x  y2  0
α. Γείμηε όηη ε
  θαη ν  c  ηέκλνληαη ζε
δύν ζεκεία.
β. Αλ Α ην ζεκείν ηνκήο ηνπο πνπ είλαη δηαθνξεηηθό ηνπ O  0,0  θαη Μ ην κέζν ηνπ ΟΑ , λα
βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ Μ ζπλαξηήζεη ηνπ   .
 
γ. Γείμηε όηη ην Μ αλήθεη ζε θύθιν c1 θαζώο    .
 
δ. Γείμηε όηη νη θύθινη  c  θαη c1 εθάπηνληαη εζσηεξηθά.
(mathematica)
ΘΔΜΑ 370
Γίλεηαη ε εμίζσζε C : x 2  y2  4x  2y 11  0 .
i) Να δείμεηε όηη ε C παξηζηάλεη θύθιν ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα.
ΦΡΔ΢ΚΟ΢ ΔΤ΢ΣΑΘΗΟ΢
3 0 ΓΔΛ ΖΛΗΟΤΠΟΛΖ΢

9. ii) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ θύθινπ πνπ είλαη θάζεηε ζηελ επζεία
 : 3x  4y  15  0 .
iii) Να βξείηε ηελ απόζηαζε ηνπ θέληξνπ ηνπ παξαπάλσ θύθινπ από ηελ επζεία ε.
ΘΔΜΑ 380
Γίλεηαη ε έιιεηςε κε εμίζσζε C1 : 9x  25y  225 θαη ε παξαβνιή C2 : y  12x .
i)
Να βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ εζηίσλ Δ, E΄, ην κήθνο ηνπ κεγάινπ άμνλα θαη ηελ
εθθεληξόηεηα ηεο έιιεηςεο C1 .
ii)
Να βξείηε ηα θνηλά ζεκεία Κ, Λ ηεο έιιεηςεο C1 κε ηε δηεπζεηνύζα ηεο παξαβνιήο C2 .
iii)
Να βξείηε ην εκβαδό ησλ ηξηγώλσλ ΔKE΄ θαη ΔΛΔ΄ θαζώο επίζεο θαη ηελ πεξίκεηξό ηνπο.
2
2
2
ΘΔΜΑ 390
x 2 y2

 1 θαη ε παξαβνιή y2 = 16 x.
25 9
Α. Να βξείηε ηηο εζηίεο ηεο έιιεηςεο θαη ηελ εζηία ηεο παξαβνιήο.
Β. Έζησ Δ΄, Δ νη εζηίεο ηεο έιιεηςεο ( ε Δ΄ λα έρεη αξλεηηθή ηεηκεκέλε ).
i) Να γξάςεηε ηηο εμηζώζεηο ησλ εθαπηόκελσλ ηεο παξαβνιήο ζηα ζεκεία ηεο Μ(4, 8) θαη
Μ΄(4, −8), θαη λα δείμεηε  
όηη ηέκλνληαη ζην Δ΄.

ii) Να απνδείμεηε όηη EM  EM = 0
iii) Αλ Ν είλαη ην κέζν ηνπ Δ΄Μ λα απνδείμεηε όηη ΔΝ//Δ΄Μ΄.
Γίλεηαη ε έιιεηςε
ΘΔΜΑ 400
Γίλεηαη ε εμίζσζε x 2  y2  2x  4y  0 ,
α) Να απνδείμεηε όηη, ε παξαπάλσ εμίζσζε παξηζηάλεη θύθιν θαη λα βξείηε ην θέληξν θαη ηελ
αθηίλα ηνπ.
β)Γίλεηαη ε παξαβνιή κε εμίζσζε y2=–2x
η) Να βξείηε ηελ εζηία θαη ηελ δηεπζεηνύζα ηεο παξαβνιήο.
ηη) Nα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο παξαβνιήο ζην ζεκείν Α(-2,2).
γ) Να απνδείμεηε όηη ε εθαπηνκέλε ηεο παξαπάλσ παξαβνιήο, εθάπηεηαη θαη ζην θύθιν .
ΘΔΜΑ 410
Γίλνληαη ηα ζεκεία Α(–1,1) , Β(–2,2) θαη Γ(ι2,2ι) κε ιR.
Α. Να απνδεηρζεί όηη γηα θάζε ιR ηα Α,Β,Γ είλαη θνξπθέο ηξηγώλνπ
Β. Να απνδεηρζεί όηη ην Γ αλήθεη ζε παξαβνιή γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ι
Γ Να βξεζνύλ ηα ζεκεία Γ ώζηε ην (ΑΒΓ)=9/2 ηκ
ΘΔΜΑ 420
Γίλεηαη ε παξαβνιή C: y2 =4x θαη ε επζεία ε πνπ εθάπηεηαη ζηε C. Αλ ε ε ζρεκαηίδεη
κε ηνλ xx′ γσλία 450 , ηόηε:
α) λα απνδείμεηε όηη ε: x −y+1= 0
β) λα βξείηε ηα ζεκεία ηνκήο Β θαη Γ ηεο ε κε ηνπο άμνλεο xx′ κε yy′ αληίζηνηρα
γ) αλ Δ ε εζηία ηεο παξαβνιήο λα ππνινγίζεηε ην εκβαδό ηνπ ηξηγώλνπ ΒΓΔ.
ΦΡΔ΢ΚΟ΢ ΔΤ΢ΣΑΘΗΟ΢
3 0 ΓΔΛ ΖΛΗΟΤΠΟΛΖ΢

10. ΘΔΜΑ 430
Γίλεηαη ε παξαβνιή C κε εμίζσζε C : x 2  4y θαη ην ζεκείν ηεο Α(2,1).
Γ1.
Να βξείηε ηελ εζηία Δ ηεο παξαβνιήο θαζώο θαη ηελ εμίζσζε εθαπηνκέλεο ηεο ζην Α.
Γ2.
Έζησ Β ηπραίν ζεκείν ηεο παξαβνιήο κε ηεηκεκέλε x B  2 . Από ην Β θέξλνπκε θάζεηε
πξνο ηελ επζεία ε: y= – 1 πνπ ηελ ηελ ηέκλεη ζην ζεκείν Γ. Αλ ε ΔΑ ηέκλεη ηελ ΒΓ ζην ζεκείν Γ
(i) λα δείμεηε όηη (ΒΓ)=(ΔΒ)–(ΔΑ).
(ii) λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ Β ώζηε ην εκβαδό ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΔ λα γίλεη ίζν κε 3 η.κ.
ΘΔΜΑ 440
Γίλεηαη ε εμίζσζε 2x2+2y2 – 4kx+8y+8k=0
α) Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ k ε εμίζσζε απηή παξηζηάλεη θύθιν;
β) Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ θέληξσλ απηώλ ησλ θύθισλ.
γ) Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ k ν παξαπάλσ θύθινο εθάπηεηαη ζηελ επζεία y=2x+6
ΘΔΜΑ 450
Γίλνληαη ηα ζεκεία Α(3,1) , Β(5,4) θαη Γ(ι24ι+4 ,42ι ),.
Γ1. Να απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Γ θηλείηαη ζε παξαβνιή κε εμίζσζε y2=4x θαζώο ην ι
κεηαβάιιεηαη ζην R.
Γ2. Να βξείηε ηηο εθαπηόκελεο ηεο παξαβνιήο πνπ δηέξρνληαη από ην ζεκείν (-2, 0).
Γ3. Να βξείηε ηα ιR ώζηε ηα Α ,Β ,Γ λα είλαη ζπλεπζεηαθά
Γ4. Γηα ι=4 λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ C κε θέληξν ην Γ ν νπνίνο εθάπηεηαη ηεο ΑΒ.
ΘΔΜΑ 460
Γίλεηαη ε επζεία (ε) κε εμίζσζε y = ιx θαη ν θύθινο C κε εμίζσζε x 2 2x  y 2 0
Α. Να απνδείμεηε όηη ε επζεία θαη ν θύθινο ηέκλνληαη κε έλα ζεκείν ηνκήο ην O (0, 0).
Β. Αλ Α είλαη ην δεύηεξν θνηλό ηνπο ζεκείν, λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ κέζνπ Μ ηνπ OA
ζπλαξηήζεη ηνπ ι.
Γ. Να απνδείμεηε όηη θαζώο ην ι κεηαβάιιεηαη ην Μ θηλείηαη επίζεο ζ’ έλα θύθιν κε εμίζσζε
(x -
1 2
1
) + y2 = .
2
4
ΘΔΜΑ 470
 
 

  
Γίλεηαη ε εμίζσζε x 2  y2  2 α  β x  2 α  β y  2αβ  0 (1) κε α,β ≠ 0 θαη κε ζπγγξακκηθά
 
Γ1. Να απνδείμεηε όηη ε (1) παξηζηάλεη πάληα θύθιν κε ξ= α  β
 
Γ2. Αλ ηα δηαλύζκαηα είλαη θάζεηα θαη α  β  1 ηόηε:
α) Να δείμεηε όηη ν θύθινο έρεη θέληξν Κ(1,1) θαη αθηίλα ξ= 2
β) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο ειιεηςεο κε εζηίεο ζηνλ ρ΄ρ ε νπνία έρεη εζηηαθή απόζηαζε ίζε κε 4ξ
θαη κήθνο ηνπ κεγάινπ άμνλα ίζν κε ην ηεηξαπιάζην ηνπ κήθνπο ηεο ρνξδήο πνπ νξίδεη ζηνλ
παξπάλσ θύθιν ν άμνλαο y΄y
γ) Να βξείηε ηελ εθαπηνκέλε ηεο παξαπάλσ έιιεηςεο πνπ είλαη θάζεηε ζηελ επζεία ε: y=2x+12
ΘΔΜΑ 480
Έζησ ε παξαβνιή C1: y2=2px κε εζηία Δ ε νπνία δηέξρεηαη από ην Α(1,2)
α) Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο θαζώο θαη ε εθαπηνκέλε (ε1) ηεο C1 ζην Α
ΦΡΔ΢ΚΟ΢ ΔΤ΢ΣΑΘΗΟ΢
3 0 ΓΔΛ ΖΛΗΟΤΠΟΛΖ΢

11. β) Αλ (ε1):
y=x+1 λα βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ έρεη θέληξν ζηνλ αξλεηηθό εκηάμνλα Ορ΄,
εθάπηεηαη ζηελ (ε1) θαη έρεη αθηίλα ξ=
 ΔΑ 
γ) Να βξεζεί ε άιιε εθαπηνκέλε (ε2) ηνπ θύθινπ πνπ θέξνπκε από ην Α
δ) Αλ (ε2): x7y+13=0 λα βξεζεί ην ζπλεκίηνλν ηεο νμείαο γσλίαο ησλ (ε1), (ε2)
ΘΔΜΑ 490
Γίλεηαη ε εμίζσζε x2 + y2 − 2xζπλζ − 2yεκζ −1 = 0 , 0 ≤ ζ < 2π .
α. Να δείμεηε όηη γηα θάζε ζ ε εμίζσζε παξηζηάλεη θύθιν ηνπ νπνίνπ λα πξνζδηνξίζεηε ην θέληξν
θαη ηελ αθηίλα.
β. Αλ είλαη ζ=π/2 , ηόηε λα πξνζδηνξίζεηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ θύθινπ ζην ζεκείν
Μ(1, 2) .
γ. Να δείμεηε όηη ηα θέληξα ησλ παξαπάλσ θύθισλ αλήθνπλ ζε θύθιν ηνπ νπνίνπ λα θαζνξίζεηε ηα
ζηνηρεία
ΘΔΜΑ 500
Θεσξνύκε ηελ παξαβνιή y2 = x θαη ηνλ θύθιν x2 + y2 − x = 0 .
Α) Να απνδεηρζεί όηη ν θύθινο θαη ε παξαβνιή έρνπλ έλα κόλν θνηλό ζεκείν ην Ο(0,0)
Β) Να βξεζνύλ ηα ζεκεία Α,Β πνπ ε δηρνηόκνο ηεο xOˆ y πνπ ηέκλεη ηνλ θύθιν θαη ηελ παξαβνιή
αληίζηνηρα.
Γ) Να απνδείμεηε όηη νη εθαπηόκελεο ηνπ θύθινπ θαη ηεο παξαβνιήο ζηα ζεκεία Α θαη Β
αληίζηνηρα. ηέκλνληαη ζηνλ άμνλα y΄y.
ΘΔΜΑ 510
Γίλνληαη ηα ζεκεία A(14,0) θαη B(2, 4) θαη ε παξαβνιή y2 = 8x
α. Βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο κεζνθαζέηνπ ηνπ ΑΒ.
β. Βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο παξαβνιήο ζην Β.
γ. Βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ πεξλάεη από ηα Α, Β θαη εθάπηεηαη ηεο εθαπηόκελεο ηεο
παξαβνιήο ζην Β.
ΘΔΜΑ 520
x2
y2

 1 ,(1) όπνπ κℝ −{−2,3}.
  2 3
α. Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ κ ώζηε ε εμίζσζε (1) λα παξηζηάλεη θύθιν.
β. Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ κ ε εμίζσζε (1) παξηζηάλεη έιιεηςε;
1

γ. Αλ κ   2,  , ηόηε:
2

i) Να δείμεηε όηη ε έιιεηςε πνπ πξνθύπηεη από ηελ (1) έρεη ηηο εζηίεο ηεο πάλσ ζηνλ άμνλα ς’ς.
3
ii) Να ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηνπ κ ώζηε ε εθθεληξόηεηα ηεο έιιεηςεο (1) λα είλαη ίζε κε
2
Γίλεηαη ε εμίζσζε:
ΘΔΜΑ 530
Γίλεηαη έιιεηςε κε εζηίεο ζηνλ x΄x ε νπνία δηέξρεηαη από ην ζεκείν Μ(2,1) θαη έρεη εθθεληξόηεηα
2
ε=
.
2
α. Βξείηε ηελ εμίζσζή ηεο θαη ηελ εθαπηνκέλε ηεο (ε) ζην Μ.
β. Βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ εθάπηεηαη ηεο (ε) ζην ζεκείν πνπ απηή ηέκλεη ηνλ x΄x θαη
δηέξρεηαη από ην ζεκείν ΢(5,2).
ΦΡΔ΢ΚΟ΢ ΔΤ΢ΣΑΘΗΟ΢
3 0 ΓΔΛ ΖΛΗΟΤΠΟΛΖ΢

12. γ. Βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο παξαβνιήο κε εζηία ηνλ x΄x πνπ πεξλάεη από ην ζεκείν Μ θαη ηελ
εθαπηνκέλε ηεο ζην Μ έζησ (ζ).
δ. Βξείηε ην ζπλεκίηνλν ηεο νμείαο γσλίαο (ε), (ζ).
ΘΔΜΑ 540
16x 2
 y 2  1 θαη ε επζεία ε : 4x3y=0
25
α. Αλ ην ζεκείν Μ ηεο ππεξβνιήο απέρεη από κηα εζηία ηεο C απόζηαζε ίζε κε 2 βξείηε πόζν
απέρεη ην Μ από ηελ άιιε εζηία.
β. Βξείηε ζεκείν ηεο C κε ζεηηθέο ζπληεηαγκέλεο ην νπνίν λα απέρεη από ηελ (ε) απόζηαζε 1.
γ. Βξείηε ηηο εθαπηόκελεο ηεο C πνπ είλαη παξάιιειεο ζηελ ε.
Γίλεηαη ε ππεξβνιή C:
ΘΔΜΑ 550
Γίλεηαη ε παξαβνιή x2 = 2y, θαη έλα ζεκείν ηεο Κ. Να ππνινγηζηνύλ:
i) Οη ζπληεηαγκέλεο ηνπ Λ, όπνπ Λ ην ζεκείν ηνκήο ηεο εθαπηνκέλεο ηεο παξαβνιήο ζην Κ κε
ηνλ xx΄.
ii) Σν εκβαδόλ ηνπ ΟΛΚ ηξηγώλνπ.
iii) Να δεηρηεί όηη ην ύςνο ηνπ ηξηγώλνπ ΟΛΚ από ηελ θνξπθή Λ πεξλά από ζηαζεξό ζεκείν
ΘΔΜΑ 560
Ζ παξαβνιή κε εμίζσζε y2=αx δηέξρεηαη από ην ζεκείν Α(2, 4) κε α
α. Να απνδείμεηε όηη ε εζηία ηεο παξαβνιήο είλαη ην ζεκείν Δ(4, 0)
β. Έζησ Δ΄ ην ζπκκεηξηθό ηνπ Δ σο πξνο ηνλ y΄y Αλ Μ(x, y) είλαη έλα νπνηαδήπνηε ζεκείν ηζρύεη



ME2  ME EE , λα απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Μ αλήθεη ζε θύθιν θέληξνπ Ο(0,0) θαη αθηίλαο 2
γ. Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ηνπ παξαπάλσ θύθινπ πνπ δηέξρνληαη από ην Α
ΘΔΜΑ 570


Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα α = (−2,2) θαη β = (3,2)
 

 
α. Βξείηε ην δηάλπζκα: γ  πξνβα β (α  β)

β. Βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ είλαη θάζεηε ζην γ θαη πεξλάεη από ην ζεκείν Α(2, 2).
  
γ. Αλ δ = (5,4) θαη ε επζεία (ε): α  β  δ x  3y =ι ζρεκαηίδεη κε ηνπο άμνλεο ηξίγσλν εκβαδνύ
3/20 η.κ., βξείηε ην ι > 0.
δ. Βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο ππεξβνιήο πνπ έρεη εζηία ην ζεκείν πνπ ε (ε) ηέκλεη ηνλ y΄y θαη έρεη
αζύκπησηε ηελ επζεία y = 2 x.
ΘΔΜΑ 580
Γίλεηαη ε παξαβνιή C:ς2=8ρ θαη ε επζεία (ε): 3ρ-4ς=6
Α. Να δείμεηε όηη ε επζεία (ε) πεξλά από ηελ εζηία ηεο παξαβνιήο.
Β. Να βξείηε ηα θνηλά ζεκεία ηεο (ε) θαη ηεο παξαβνιήο C.
Γ. Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ εθαπηόκελσλ ηεο παξαβνιήο ζηα ζεκεία
απηά (ηνπ εξσηήκαηνο Β) θαη λα δείμεηε όηη είλαη θάζεηεο.
Γ. Να δείμεηε όηη ην ζεκείν ηνκήο ησλ παξαπάλσ εθαπηόκελσλ βξίζθεηαη πάλσ ζηε
δηεπζεηνύζα ηεο παξαβνιήο.
ΦΡΔ΢ΚΟ΢ ΔΤ΢ΣΑΘΗΟ΢
3 0 ΓΔΛ ΖΛΗΟΤΠΟΛΖ΢

13. ΘΔΜΑ 590
x 2 y2

 1 θαη ην ζεκείν Κ(0,6) . Μηα επζεία κε ζπληειεζηή δηεύζπλζεο ι
5 2 32
δηέξρεηαη από ην ζεκείν Κ θαη ηέκλεη ηηο εθαπηόκελεο ηεο έιιεηςεο ζηα άθξα ηνπ κεγάινπ άμνλά
ηεο ζηα ζεκεία Μ θαη Ν.
α) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ κε δηάκεηξν ΜΝ σο ζπλάξηεζε ηνπ ι.
β) Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ ι ώζηε ν θύθινο κε δηάκεηξν ΜΝ λα δηέξρεηαη από ηηο εζηίεο ηεο
έιιεηςεο.
Β. Γίλεηαη ε έιιεηςε
ΘΔΜΑ 600
Γίλεηαη ε εμίζσζε: x2 + y2 2ι2 x + 2ιy + 2ι3 = 0 (1)
Α. Να βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ ι ∈ R ώζηε ε εμίζσζε (1) λα παξηζηάλεη θύθιν.
Β. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο παξαβνιήο ζηελ νπνία αλήθνπλ ηα θέληξα ησλ παξαπάλσ
θύθισλ, θαζώο θαη ηελ εζηία θαη ηε δηεπζεηνύζα ηεο.
Γ. Να βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ επζεηώλ πνπ δηέξρνληαη από ην ζεκείν Ο(0,0) θαη
εθάπηνληαη ζηνλ θύθιν πνπ πξνθύπηεη από ηελ εμίζσζε (1) γηα ηελ ηηκή ι = 2.
ΘΔΜΑ 610


Αλ α = (4x + 1, y + 1) θαη β = (1, y −1) θάζεηα δηαλύζκαηα.
Α. Να απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Μ(x, y) αλήθεη ζε παξαβνιή ηεο νπνίαο λα βξείηε ηελ εζηία
θαη ηε δηεπζεηνύζα.
Β. Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ επζεηώλ πνπ δηέξρνληαη από ηελ εζηία Δ ηεο παξαβνιήο θαη
απέρνπλ από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ απόζηαζε ίζε κε 12.
Γ. Να ππνινγίζεηε ηελ νμεία γσλία ησλ παξαπάλσ επζεηώλ.
ΘΔΜΑ 620


Γίλνληαη ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα α θαη β θαη ε εμίζσζε
 

  
C1: x2+y2– α  2β x  α y – α α  2β =0 (1)


Α. Αλ ε (1) είλαη εμίζσζε θύθινπ πνπ ην θέληξν ηνπ Κ είλαη ζεκείν ηεο επζείαο ρ–2ς=0 θαη


3α
    π
 


 
ξ=
ηόηε λα απνδεηρζεί όηη α) α  2β  2 α
β)  α, α  2β  
γ) α  β δ) 2 β  3 α
2

 3
Β. Αλ ν θύθινο δηέξρεηαη από ην Α(1,–1) λα βξεζεί ε εθαπηνκέλε ηνπ ζην Α
ΘΔΜΑ 630


Γίλνληαη ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα α θαη β θαη ε εμίζσζε
 

  
C1: x2+y2– α  2β x  α y – α α  2β =0 (1)


Α. Αλ ε (1) είλαη εμίζσζε θύθινπ πνπ ην θέληξν

3α
 

ξ=
ηόηε λα απνδεηρζεί όηη α) α  2β  2 α
β)
2
ηνπ Κ είλαη ζεκείν ηεο επζείαο ρ–2ς=0 θαη

    π

 
γ) α  β δ) 2 β  3 α
 α, α  2β  

 3
 1 

B Aλ επηπιένλ ηζρύεη όηη α   α , 3  λα απνδεηρζεί όηη ην θέληξν ηνπ θύθινπ είλαη ην ζεκείν
2

Κ(4,2) θαη ε αθηίλα ηνπ ξ=3
ΦΡΔ΢ΚΟ΢ ΔΤ΢ΣΑΘΗΟ΢
3 0 ΓΔΛ ΖΛΗΟΤΠΟΛΖ΢

14. ΘΔΜΑ 640


Γίλνληαη ηα κε κεδεληθά θαη κε παξάιιεια δηαλύζκαηα α θαη β θαη ε εμίζσζε


 
C: x2+y2+2 α x  β y  4α  β =0
α)Να απνδείμεηε όηη ε C: παξηζηάλεη θύθιν ηνπ νπνίνπ λα βξεζεί ε αθηίλα θαη ην θέληξν


β) Αλ ν θύθινο δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη εθάπηεηαη ηεο επζείαο ε: y=x+2| α |+4| β |


ζην
ζεκείν Α(–2| α |,4| β | ) λα απνδείμεηε
 
Η) α  β


ΗΗ) | α |=2| β |
 1 

ΗΗΗ) Aλ επηπιένλ ηζρύεη όηη α   α , 3  λα απνδεηρζεί όηη ην θέληξν ηνπ θύθινπ είλαη Κ(–2,2)
2

θαη ε αθηίλα ηνπ ξ= 2 2
ΘΔΜΑ 650

 

Γίλνληαη ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα α , β κε | α |= 2| β |,
 

x2 + y2 – αβ ⋅x +| α 2 β | y – 10 = 0 (1)

 
 
Α. Να απνδείμεηε όηη α β =| β |2 θαη | α 2 β | = 2| β | .


α,β   π θαη ε εμίζσζε:
3


Β. Να απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε (1) παξηζηάλεη θύθιν C γηα θάζε ηηκή ηνπ | β | θαη λα βξείηε
ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα ηνπ θύθινπ.
Γ. Να βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ θέληξσλ ησλ θύθισλ C.

Γ. Να ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηνπ | β | ώζηε ε επζεία (ε) κε εμίζσζε: 2x + y –10 = 0
λα εθάπηεηαη ζηνλ θύθιν C.
Δ. Να απνδείμεηε όηη όινη νη θύθινη C δηέξρνληαη από δύν ζηαζεξά ζεκεία.
ΘΔΜΑ 660
Γίλεηαη ε εμίζσζε: x2 + y2 2θx + 4θy = 0 (1) κε θ ∈ R −{0}.
Α. Να δείμεηε όηη ε (1) γηα θάζε θ ≠ 0 παξηζηά θύθιν πνπ πεξλά από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ,
ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ηελ αθηίλα θαη ην θέληξν.
Β. Γηα θ ≠ 0, λα βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ θέληξσλ ησλ παξαπάλσ θύθισλ.
Γ. Γίλεηαη ε επζεία ε: 2x y 4 = 0, λα βξείηε ηελ ηηκή ηνπ θ ≠ 0 γηα ηελ νπνία ε επζεία
(ε) ηέκλεη ηνλ θύθιν ηεο ζρέζεο (1) ζε δύν ζεκεία Α θαη Β ηέηνηα ώζηε ε ρνξδή ΑΒ λα
ζρεκαηίδεη κε ην ζεκείν Ο(0,0) νξζνγώλην ηξίγσλν ζην Ο(0,0)
ΘΔΜΑ 670
Γίλεηαη ε εμίζσζε: x2 + y2 − 2ι2x − 4ιy + 4ι2 = 0 (1)
Α. Να δείμεηε όηη παξηζηάλεη θύθιν γηα θάζε ι≠0 ηνπ νπνίνπ λα βξείηε θέληξν θαη αθηίλα
Β. Να δείμεηε όηη θάζε θύθινο πνπ παξηζηάλεη ε (1) εθάπηεηαη ηνπ y΄y
Γ. Να δείμεηε όηη ηα θέληξα όισλ ησλ παξαπάλσ θύθισλ αλήθνπλ ζε παξαβνιή από ηελ
νπνία εμαηξείηαη ε θνξπθή ηεο
Γ. Να δείμεηε όηη από ην ζεκείν 0 (0, 0) άγνληαη πξνο θάζε θύθιν πνπ πξνθύπηεη από ηελ
(1) δύν εθαπηόκελεο
ΘΔΜΑ 680
Γίλεηαη ε εμίζσζε: x2 + y2 − ι2x − 2ιy  1 = 0 (1)
ΦΡΔ΢ΚΟ΢ ΔΤ΢ΣΑΘΗΟ΢
3 0 ΓΔΛ ΖΛΗΟΤΠΟΛΖ΢

15. Α. Να δείμεηε όηη παξηζηάλεη θύθιν γηα θάζε ιR ηνπ νπνίνπ λα βξείηε θέληξν θαη αθηίλα
Β. Να δείμεηε όηη ην Ο(0,0) είλαη εζσηεξηθό ζεκείν όισλ ησλ θύθισλ πνπ νξίδεη ε (1)
Γ. Να δείμεηε όηη ηα θέληξα όισλ ησλ παξαπάλσ θύθισλ αλήθνπλ ζε παξαβνιή από ηελ (1)
Γ. Να βξείηε ηνλ θύθιν πνπ πξνθύπηεη από ηελ (1) κε ην κηθξόηεξν εκβαδό
ΘΔΜΑ 690
Γίλεηαη ε εμίζσζε: 2x 2  2y2  4ιx  8ιy  2ι 2  0 (1)
α) Να δεηρζεί όηη γηα θάζε ι  0 ε εμίζσζε (1) παξηζηάλεη θύθιν.
β) Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ θέληξσλ ησλ παξαπάλσ θύθισλ.
γ) Αλ ι > 0, λα δεηρζεί όηη ν άμνλαο x΄x είλαη θνηλή εθαπηνκέλε ησλ παξαπάλσ θύθισλ.
δ) Να βξεζνύλ νη θύθινη ηεο εμίζσζεο (1) νη νπνίνη εθάπηνληαη ζηελ επζεία πνπ δηέξρεηαη από ηελ
εζηία ηεο C1: y2 = 16x θαη από ηελ εζηία ηεο C2: 25x2 + 16y2 = 400 πνπ βξίζθεηαη ζε ζεηηθό
ΘΔΜΑ 700
Γίλεηαη ε εμίζσζε (ι −2)x2 + (2ι − 5)y2 + 6(3− ι)x =16(ι −2), ιR (1).
i) Αλ ι = 2, λα απνδείμεηε όηη ε (1) παξηζηάλεη παξαβνιή C1 ηεο νπνίαο λα βξείηε ηελ δηεπζεηνύζα
δ θαη ηελ εζηία Δ.
ii) Αλ ι = 3, λα απνδείμεηε όηη ε (1) παξηζηάλεη θύθιν C2, ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ην θέληξν Ο θαη
ηελ αθηίλα R.
iii)Να βξείηε ηελ εμίζσζε θαη ηελ εθθεληξόηεηα ηεο έιιεηςεο, πνπ έρεη θέληξν ηελ αξρή Ο ησλ
αμόλσλ, κία εζηία ηεο θνηλή κε ηελ εζηία Δ ηεο παξαβνιήο C1 θαη κεγάιν άμνλα ίζν κε ηελ αθηίλα
R ηνπ θύθινπ C2.
iv) Να βξείηε ηα θνηλά ζεκεία Ρ1 θαη Ρ2 ησλ θσληθώλ ηνκώλ C1 θαη C2, θαη λα απνδείμεηε όηη:
d(P1,δ)-(Ρ1Δ)= d(P2,δ)-(Ρ2Δ).
ΘΔΜΑ 710
Ζ παξαβνιή κε εμίζσζε y2=αx δηέξρεηαη από ην ζεκείν Α(2, 4) κε α
α. Να απνδείμεηε όηη ε εζηία ηεο παξαβνιήο είλαη ην ζεκείν Δ(4, 0)
β. Έζησ Δ΄ ην ζπκκεηξηθό ηνπ Δ σο πξνο ηνλ y΄y Αλ Μ(x, y) είλαη έλα νπνηαδήπνηε ζεκείν ηζρύεη



ME2  ME EE , λα απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Μ αλήθεη ζε θύθιν θέληξνπ Ο(0,0) θαη αθηίλαο 4
γ. Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ηνπ παξαπάλσ θύθινπ πνπ δηέξρνληαη από ην Α
ΘΔΜΑ 720
Γίλεηαη ην ζεκείν Α(1,4) θαη ν θύθινο x2+y2-4x+6y-12=0 η) Να απνδείμεηε όηη ην Α είλαη
εμσηεξηθό ζεκείν ηνπ θύθινπ. ηη) Να βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ηνπ θύθινπ πνπ
δηέξρνληαη από ην Α ηηη) Να βξεζεί ε γσλία ησλ δύν εθαπηνκέλσλ ηλ) Να βξεζεί ε επζεία πνπ
νξίδνπλ ηα ζεκεία ηνκήο ησλ εθαπηνκέλσλ κε ηνλ θύθιν θαη θαηόπηλ ε απόζηαζε ηνπ Α από απηήλ
ΘΔΜΑ 730
Γίλνληαη ηα ζεκεία Α(1,0) , Β(1,3) θαη Γ(ι24ι+4 ,42ι ),.
1. Να απνδείμεηε όηη ην Γ θηλείηαη ζε παξαβνιή κε εμίζσζε y2=4x θαζώο ην ι κεηαβάιιεηαη ζην R
2. Να απνδείμεηε όηη δελ ππάξρνπλ ιR ώζηε ηα Α ,Β ,Γ λα είλαη ζπλεπζεηαθά. Ση ζπκπεξαίλεηε
γηα ηελ ζέζε ηεο επζείαο ΑΒ θαη ηεο C1 ;
3. Να βξείηε ηηο εθαπηόκελεο ΑΓ, ΑΔ ηεο παξαβνιήο πνπ δηέξρνληαη από ην ζεκείν Α(-1, 0).
4. Αλ ΑΓ: y=x+1 κία από ηηο πξνεγνύκελεο εθαπηόκελεο ( Γ ην ζεκείν επαθήο) λα βξείηε ηελ
εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ έρεη θέληξν Κ ζηνλ ρρ΄, εθάπηεηαη ζηελ ΑΓ ζην Γ΄ θαη λα απνδεηρζεί όηη
ΑΓ΄ΚΔ΄ είλαη ηεηξάγσλν ( Γ΄,Δ΄ηα ζπκκεηξηθά ηνπ Γ, Δ σο πξνο Ο(0,0))
ΦΡΔ΢ΚΟ΢ ΔΤ΢ΣΑΘΗΟ΢
3 0 ΓΔΛ ΖΛΗΟΤΠΟΛΖ΢

16. ΘΔΜΑ 740
Γίλεηαη ε ηζνζθειήο ππεξβνιή x2-y2=4.
Α. Να βξείηε ηηο εζηίεο Δ , Δ΄ ,ηηο θνξπθέο Α , Α΄ θαη ηηο αζύκπησηεο ηεο ππεξβνιήο.
Β. Να δείμεηε όηη ε έιιεηςε κε εζηίεο ηα ζεκεία Α, Α΄, (ηηο θνξπθέο ηεο ππεξβνιήο ) , θαη
θνξπθέο ηα ζεκεία Δ, Δ΄, (ηηο εζηίεο ηεο ππεξβνιήο), έρεη εμίζσζε x 2 +2y 2 =8.
Γ. Να βξείηε ηα ζεκεία ηνκήο ηεο ππεξβνιήο θαη ηεο έιιεηςεο.

 4 2 
Γ. Αλ Μ 
λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ επζεηώλ πνπ δηρνηνκνύλ ηηο γσλίεο E M E΄ θαη
,

 3 3

A M A΄ .
ΘΔΜΑ 750
Γίλεηαη ε εμίζσζε C1: x2+y2–4x   1 –2y 3 +7ι=0 (1).
Α) Να απνδεηρζεί όηη ε (1) γηα θάζε ι≥0 παξηζηάλεη θύθιν κε ζηαζεξή αθηίλα
Β) α) Να βξεζεί ε ηηκή ηνπ ι ώζηε ε επζεία (ε): ρ=2 λα εθάπηεηαη ηνπ θύθινπ θαη
β)γηα ι=3 λα βξεζνύλ νη εθαπηόκελεο ηνπ θύθινπ πνπ δηέξρνληαη από ην Α(2,0)
Γ) Να απνδεηρζεί όηη ε εηθόλα ησλ θέληξσλ ησλ θύθισλ θηλείηαη ζε ηκήκα ππεξβνιήο ηεο νπνίαο
λα βξεζεί
ΘΔΜΑ 760
Γίλεηαη έιιεηςε κε εζηίεο ζηνλ x΄x ε νπνία δηέξρεηαη από ην
2
ζεκείν Μ(2,1) θαη έρεη εθθεληξόηεηα ε=
.
2
α. Βξείηε ηελ εμίζσζή ηεο θαη ηελ εθαπηνκέλε ηεο (ε) ζην Μ.
β. Βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ εθάπηεηαη ηεο (ε) ζην
ζεκείν πνπ απηή ηέκλεη ηνλ x΄x θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν
΢(5,2).
γ. Βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο παξαβνιήο κε εζηία ηνλ x΄x πνπ
πεξλάεη από ην ζεκείν Μ θαη ηελ εθαπηνκέλε ηεο ζην Μ έζησ (ζ).
δ. Βξείηε ην ζπλεκίηνλν ηεο νμείαο γσλίαο (ε), (ζ). (mathematica)
ΘΔΜΑ 770
Γίλεηαη ε εμίζσζε C1: x2+y2+8ιx+ι2=0 θαη ε παξαβνιή C2: y2=–6ιx κε ιR*.
α. Να δείμεηε όηη γηα θάζε ιR* ε C1 παξηζηάλεη θύθιν θαη έρεη κε ηελ C2 δύν θνηλά ζεκεία Α θαη
Β ζηα νπνία νη εθαπηόκελεο ησλ C1 C2.είλαη θνηλέο (C1 ,C2 εθάπηνληαη ζηα Α,Β ).
β. Αλ νη εθαπηόκελεο ηεο ζηα ζεκεία Α,Β ηέκλνληαη ζην ζεκείν Γ, λα δεηρζεί όηη ην θέληξν ηνπ
πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ζην ηξίγσλν
ζπκπίπηεη κε ηελ εζηία ηεο παξαβνιήο C2 γηα θάζε
ιR*
ΦΡΔ΢ΚΟ΢ ΔΤ΢ΣΑΘΗΟ΢
3 0 ΓΔΛ ΖΛΗΟΤΠΟΛΖ΢

17. ΘΔΜΑ 780
1) Γείμηε όηη ε εμίζσζε : x 2  4y  y2  2ky  k 2  0 , k>0 παξηζηάλεη θύθιν εθαπηόκελν ζηνλ
άμνλα yy΄ .
2) Βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο άιιεο εθαπηνκέλεο ηνπ θύθινπ , ε νπνία δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ
αμόλσλ Ο.
3) Βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ επαθήο Α , όηαλ ε εθαπηνκέλε ζρεκαηίδεη γσλία 300 κε
ηνλ xx΄ (mathematica)
ΘΔΜΑ 790
Γίλνληαη νη επζείεο ε1: ιx+y–2ι=0 θαη ε2: x+ιy+2=0
α) Nα απνδεηρζεί όηη γηα θάζε ι≠±1 νη επζείεο ηέκλνληαη ζε έλα ζεκείν Μ ην νπνίν θαη λα βξεζεί
β) Να απνδεηρζεί όηη ην ζεκείν Μ θηλείηαη ζε ηζνζθειή ππεξβνιή ηεο νπνίαο λα βξεζνύλ νη εζηίεο
θαη νη θνξπθέο.
γ) Αλ ην Μ αλήθεη ζηελ ππεξβνιή x2-y2=4 θαη Μ1(x1,y1), Μ2(x2,y2) δύν ζεκεία ηεο ππεξβνιήο λα
βξεζεί ε επζεία Μ1Μ2 αλ είλαη γλσζηό όηη ην ΢(4,4) είλαη ην κέζν ηνπ Μ1Μ2
ΦΡΔ΢ΚΟ΢ ΔΤ΢ΣΑΘΗΟ΢
3 0 ΓΔΛ ΖΛΗΟΤΠΟΛΖ΢