Downloaded 28 times
More Related Content
![Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/kritirioaksiologisisglukeiou-pezos-peseridis-210520195858-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
B kat
- 1.
- 2. Κσκλοθορούν επίζης Μαθημαηικά Καηεύθσνζης Γ΄ Λσκείοσ ΜαθημαηικάΓενικής Παιδείας, Άλγεβρα Β΄ Λσκείοσ Θεόδωρος Παγώνης e-mail: theomath@yahoo.gr https://www.facebook.com.theodoros.pagones http://lisari.blogspot.gr/ 2015-2016
- 3.
- 4. διανύσματα κεφάλαιο 1 -2 - §1. η έννοια του διανύςματοσ 1) Από ηα δηαλύζκαηα πνπ είλαη ζεκεησκέλα ζην παξαθάησ παξαιιειεπίπεδν , ην νπνίν έρεη βάζεηο ηεηξάγσλα , λα δηαθξίλεηαη εθείλα πνπ α. έρνπλ ην ίδην κήθνο κε ην δηάλπζκα β. έρνπλ ίδηα δηεύζπλζε κε ην δηάλπζκα γ. έρνπλ ίδηα θνξά κε ην δηάλπζκα δ. είλαη ίζα κε ην ε. είλαη αληίζεηα κε ην 2) Έλα θηλεηό εθηειεί θπθιηθή θίλεζε . Δίλαη γλσζηό από ηελ Φπζηθή όηη ζε θάζε ζεκείν ε δηεύζπλζε ηεο ηαρύηεηαο είλαη εθαπηόκελε ηνπ θύθινπ . α. ε πνηα ζεκεία ηνπ ζρήκαηνο ηα δηαλύζκαηα ηεο ηαρύηεηαο ηνπ θηλεηνύ είλαη αληίζεηα ; β. Λα βξείηε ην ζεκείν ζην νπνίν ην δηάλπζκα ηεο ηαρύηεηαο ηνπ θηλεηνύ είλαη αληίζεην κε ην δηάλπζκα ηεο ηαρύηεηαο ζην Κ. 3) ην παξαθάησ ζρήκα λα βξείηε : α. ίζα δηαλύζκαηα β. αληίζεηα δηαλύζκαηα 4) Γίλεηαη ξόκβνο ΑΒΓΓ κε Ο ην ζεκείν ηνκήο ησλ δηαγσλίσλ ηνπ . Λα ραξαθηεξίζεηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε ζσζηό ή ιάζνο : α. β. γ. δ. , , 5) Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξαπέδην ΑΒΓΓ κε / / . Λα ραξαθηεξίζεηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε ζσζηό ή ιάζνο : α. β. γ. | | | | δ. 6) Γίλεηαη ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ΑΓ ην ύςνο ηνπ. Λα βξείηε ηηο γσλίεο : α. , β. , γ. , δ. , 7) Έζησ παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ κε a θαη . Πνηα δηαλύζκαηα είλαη ηα : α. a β. a γ. a 8) Γίλεηαη ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ . Λα βξείηε δηαλύζκαηα ίζα κε : α. β. γ. δ. ε. ζη. 9) ην επίπεδν ζεσξνύκε ηα ζεκεία Α , Β , Γ , Γ . Λα βξείηε ζεκείν Ο ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη .
- 5. διανύσματα κεφάλαιο 1 -3 - 10) Έζησ Κ εζσηεξηθό ζεκείν παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ . Λα δείμεηε όηη 0 . 11) Λα εθθξάζεηε ην δηάλπζκα x ζε θάζε έλα από ηα παξαθάησ ζρήκαηα σο ζπλάξηεζε ησλ άιισλ δηαλπζκάησλ πνπ δίλνληαη : 12) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη Δ ζεκείν ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη . Λα δείμεηε όηη . 13) Έζησ ηα κε ζπλεπζεηαθά ζεκεία Α , Β , Γ , Γ . Λα δείμεηε όηη αλ ππάξρεη ζεκείν Ρ ηέηνην , ώζηε , ηόηε ην ΑΒΓΓ είλαη παξαιιειόγξακκν. 14) ηηο πιεπξέο ΑΒ , ΒΓ , ΓΓ , ΓΑ παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ ζεσξνύκε ηα ζεκεία Θ , Ι , Κ , Λ ηέηνηα , ώζηε , . Λα δείμεηε όηη ην ΘΙΚΛ είλαη παξαιιειόγξακκν. 15) Αλ γηα ηα ζεκεία Α , Β , Γ , Γ , Δ ηζρύεη ε ζρέζε λα δείμεηε όηη ηα Γ θαη Δ ηαπηίδνληαη. 16) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη Κ ηπραίν ζεκείν ηεο πιεπξάο ΑΓ . Αλ ην ζεκείν Δ νξίδεηαη από ηελ ζρέζε λα δείμεηε όηη ην ΑΒΓΔ είλαη παξαιιειόγξακκν. 17) Αλ νη δηαγώληνη θπξηνύ ηεηξαπιεύξνπ ΑΒΓΓ δηρνηνκνύληαη , λα δεηρζεί όηη ην ηεηξάπιεπξν είλαη παξαιιειόγξακκν. 18) Γπν παξαιιειόγξακκα ΑΒΓΓ θαη ΓΓΘΙ έρνπλ θνηλή πιεπξά ΓΓ . Λα δεηρζεί όηη ην ΑΒΙΘ είλαη παξαιιειόγξακκν. 19) Γπν παξαιιειόγξακκα ΑΒΓΓ θαη ΑΒ1ΓΓ1 έρνπλ θνηλή ηελ δηαγώλην ΑΓ . Λα δεηρζεί όηη ην ηεηξάπιεπξν ΒΒ1ΓΓ1 είλαη παξαιιειόγξακκν . 20) Δμσηεξηθά ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ θαηαζθεπάδνπκε ηα ηεηξάγσλα ΑΒΔΕ θαη ΓΓΘΖ . Λα δείμεηε όηη : α. . β. Σα επζύγξακκα ηκήκαηα ΑΓ θαη ΖΔ έρνπλ θνηλό κέζν . γ. Σν θέληξν Ο ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ είλαη θνηλό κέζν ησλ ΔΖ θαη ΕΘ . 21) Γίλνληαη ηα ζεκεία Α , Β , Γ , Θ , Ι , Κ . Λα απνδείμεηε όηη ηζρύεη ε ζρέζε . 22) Έζησ ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ θαη Θ , Ι , Κ , Λ ηα κέζα ησλ ΑΒ , ΒΓ , ΓΓ θαη ΓΑ αληίζηνηρα . Λα δείμεηε όηη . 23) Αλ Ο ην κέζν ηεο δηαγσλίνπ ΑΓ , ηεηξάπιεπξνπ ΑΒΓΓ , λα δεηρζεί όηη .
- 6. διανύσματα κεφάλαιο 1 -4 - 24) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ . Λα θαηαζθεπάζεηε ηα δηαλύζκαηα θαη από ηηο ηζόηεηεο , θαη λα δείμεηε όηη . 25) Από ην θέληξν Ο παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ θέξνπκε επζεία πνπ ηέκλεη ηηο ΑΒ θαη ΓΓ ζηα ζεκεία Ε θαη Δ αληίζηνηρα . Λα δεηρζεί όηη . 26) Γίλεηαη θαλνληθό εμάγσλν ΑΒΓΓΔΕ . Λα δείμεηε όηη . 27) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , , ηζρύνπλ 3| | 2 | | 5| |a θαη | | | | | | 1a , λα βξείηε ηα κέηξα ησλ a , , . 28) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , , ηζρύνπλ 2 | | 3| | 4 | |a θαη | | | | | | 26a α. λα βξείηε ηα κέηξα ησλ a , , θαη β. λα απνδείμεηε όηη είλαη κήθε πιεπξώλ ακβιπγσλίνπ ηξηγώλνπ . §2. πολλαπλαςιαςμόσ αριθμού με διάνυςμα 29) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , , x , y γηα ηα νπνία ηζρύνπλ 2 4 3 0x y a θαη 4 2 3 0x y . Λα βξείηε ηα δηαλύζκαηα x , y ζπλαξηήζεη ησλ a , . 30) Θεσξνύκε ηξία ζεκεία Θ , Ι , Κ ηέηνηα , ώζηε 4 3 . Λα δείμεηε όηη γηα θάζε ζεκείν Ο ηζρύεη 4 3 7 7 . 31) Έζησ ηα ζπλεπζεηαθά ζεκεία Α , Β , Γ , Γ . Αλ Θ , Ι είλαη ηα κέζα ησλ ΑΓ , ΒΓ αληίζηνηρα λα δείμεηε όηη 2 . 32) Έζησ Θ , Ι ηα κέζα ησλ ΑΒ , ΓΓ . Λα δείμεηε όηη 2 . 33) ηελ πιεπξά ΒΓ ηξηγώλνπ ΑΒΓ παίξλνπκε ζεκείν Κ ηέηνην , ώζηε 2 3 . Λα δείμεηε όηη 5 2 3 0 . 34) Έζησ ΑΒΓ ηξίγσλν θαη ηα ζεκεία Θ , Ι ηέηνηα , ώζηε 2 θαη 2 3 . Λα απνδείμεηε όηη 4 . 35) Γίλνληαη ηα επζύγξακκα ηκήκαηα ΑΓ , ΒΔ , ΓΕ κε θνηλό κέζν ην ζεκείν Ο . Λα δεηρζεί όηη : α. 3 . β. 6 , όπνπ Κ ηπραίν ζεκείν . 36) Έζησ Θ , Ι ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ΑΒ θαη ΓΓ ηεηξαπιεύξνπ ΑΒΓΓ αληίζηνηρα θαη G κέζν ηνπ ΘΙ . Λα απνδείμεηε όηη : α. 4 G β. 0G G G G 37) Έζησ ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ θαη Κ , Λ ηα κέζα ησλ δηαγσλίσλ ηνπ ΑΓ θαη ΒΓ αληίζηνηρα . Λα δεηρζεί όηη 2 . 38) Γίλεηαη ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ θαη Κ , Λ ηα κέζα ησλ δηαγσλίσλ ηνπ . Αλ Θ είλαη ην κέζν ηνπ ΚΛ θαη Ο ηπραίν ζεκείν αλαθνξάο , λα δεηρζεί όηη 4 . 39) Λα δείμεηε όηη ζε θάζε θαλνληθό εμάγσλν ΑΒΓΓΔΕ ηζρύεη 2 .
- 7. διανύσματα κεφάλαιο 1 -5 - 40) ε ηξαπέδην ΑΒΓΓ (ΑΒ//ΓΓ) πξνεθηείλσ ηελ δηάκεζν ΘΙ θαηά . Λα δείμεηε όηη 2 . 41) Οη δηαγώληνη θαη ηζνζθεινύο ηξαπεδηνύ ηέκλνληαη θάζεηα ζην Ο ελώ νη κεζνθάζεηνη ησλ δηαγώλησλ ζην Κ . Λα δείμεηε όηη 2 . 42) Αλ Ο είλαη ην ζεκείν ηνκήο ησλ δηαγσλίσλ παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ θαη Κ ην κέζν ηνπ , λα δεηρζεί όηη 1 2 . 43) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη έζησ Ο ην ζεκείν ηνκήο ησλ δηαγσλίσλ ηνπ . Αλ Κ ηπραίν ζεκείν ηνπ επηπέδνπ ηνπ , λα δεηρζεί όηη 4 . 44) ηηο πιεπξέο ΒΓ , ΓΑ , ΑΒ ηξηγώλνπ ΑΒΓ παίξλνπκε ηα ζεκεία Γ , Δ , Ε έηζη ώζηε 1 4 , 3 2 , 3 7 . Αλ ζηελ ΑΒ πάξνπκε ζεκείν Κ ηέηνην , ώζηε 1 3 λα δείμεηε όηη 4 10 . 45) Έζησ παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη Ο ζεκείν ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηέηνην , ώζηε 2 0 . Λα δείμεηε όηη 2 . 46) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ζεκεία Κ , Λ ηέηνηα ώζηε 3 0 θαη 2 2 3 0 . Λα δεηρζεί όηη ην ΑΒΚΛ είλαη παξαιιειόγξακκν. 47) Γίλνληαη ηα παξαιιειόγξακκα ΑΒΓΓ θαη Α1Β1Γ1Γ1 . Αλ Θ , Ι , Κ , Λ είλαη ηα κέζα ησλ ΑΑ1 , ΒΒ1 , ΓΓ1 θαη ΓΓ1 αληίζηνηρα , λα δεηρζεί όηη ην ΘΙΚΛ είλαη παξαιιειόγξακκν . 48) Λα δεηρζεί όηη ηα δηαλύζκαηα πνπ αληηζηνηρνύλ ζηηο δηακέζνπο ηπραίνπ ηξηγώλνπ , ζρεκαηίδνπλ ηξίγσλν . 49) Κε βάζεηο ηηο πιεπξέο ηξίγσλνπ ΑΒΓ θαηαζθεπάδνπκε εμσηεξηθά ηα παξαιιειόγξακκα ΒΓΓΔ , ΓΑΕΖ θαη ΑΒΘΗ . Λα δεηρζεί όηη ηα δηαλύζκαηα , θαη ζρεκαηίδνπλ ηξίγσλν . 50) Λα απνδείμεηε όηη Κ είλαη ην κέζν ηνπ ηκήκαηνο ΑΒ αλ θαη κόλν εάλ ππάξρεη ζεκείν Ο ηέηνην , ώζηε 2 . 51) Γίλνληαη ηα δηαθεθξηκέλα ζεκεία Α , Β , Γ , Γ ώζηε 1 3 . Λα βξεζεί ν ώζηε ( 1) . 52) Έζησ ηα ηξίγσλα ΑΒΓ , ΑΘΙ γηα ηα νπνία ηζρύεη . Λα απνδείμεηε όηη ηα επζύγξακκα ηκήκαηα ΒΓ , ΘΙ έρνπλ ην ίδην κέζν. 53) Γίλεηαη ηξαπέδην ΑΒΓΓ κε 2 θαη ζεκείν Κ ηέηνην , ώζηε 2 . Λα απνδείμεηε όηη 3 . 54) Γίλεηαη θύθινο κε θέληξν Ο θαη έζησ ΑΒ θαη ΓΓ δπν θάζεηεο κεηαμύ ηνπο ρνξδέο , νη νπνίεο ηέκλνληαη ζην Ρ . α. Λα απνδείμεηε όηη : i. 2 ii. 2 β. Αλ Θ θαη Ι είλαη ηα κέζα ησλ ρνξδώλ ΑΓ θαη ΒΓ αληίζηνηρα , λα απνδείμεηε όηη ην ηεηξάπιεπξν ΟΘΡΙ είλαη παξαιιειόγξακκν. 55) Γίλεηαη ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΓ θαη έζησ Γ ην κέζν ηεο ΒΓ θαη Ρ ε πξνβνιή ηνπ πάλσ ζηελ ΑΓ. Λα απνδείμεηε όηη 3 0 . 56) Γίλεηαη ην δηάλπζκα 0 θαη ζεκείν Γ ηνπ ηέηνην , ώζηε v , * , v . α. Λα δεηρζεί όηη 0v . β. Αλ Κ ηπραίν ζεκείν , λα δεηρζεί όηη v v .
- 8. διανύσματα κεφάλαιο 1 -6 - 57) Σα ζεκεία Α , Β , Γ σο πξνο έλα ζεκείν αλαθνξάο Ο έρνπλ δηαλύζκαηα ζέζεο a , , ελώ σο πξνο άιιν ζεκείν αλαθνξάο Ο΄ έρνπλ δηαλύζκαηα ζέζεο u , v , w . Αλ , , κε 0 ώζηε a θαη u v w , λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία Κ θαη Κ΄ ηαπηίδνληαη . 58) Γίλεηαη επζύγξακκν ηκήκα ΑΒ ην νπνίν ηξηρνηνκείηαη από ηα ζεκεία Γ θαη Γ . Έζησ Ο ηπραίν ζεκείν ηνπ ΑΒ . Αλ u , v , λα εθθξαζηνύλ ηα θαη ζπλαξηήζεη ησλ u , v . 59) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη έζησ Κ ην κέζν ηεο ΑΓ . Λα εθθξάζεηε ηα δηαλύζκαηα θαη ζπλαξηήζεη ησλ a θαη . 60) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη έζησ Γ ην κέζν ηεο ΑΒ , Δ ζεκείν ηεο ΑΓ ηέηνην , ώζηε 3 θαη Ρ ην κέζν ηνπ ΓΔ . Λα εθθξάζεηε ην σο γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ δηαλπζκάησλ θαη . 61) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη ηα ζεκεία Δ θαη Ε ηεο δηαγσλίνπ ΑΓ ηέηνηα , ώζηε 1 4 . α. Λα εθθξάζεηε ηα δηαλύζκαηα θαη ζπλαξηήζεη ησλ a θαη . β. Λα απνδείμεηε όηη ην ΔΒΕΓ είλαη παξαιιειόγξακκν. 62) Έζησ ΑΒΓΓΔΕ θαλνληθό εμάγσλν , Θ ην κέζν ηεο ΔΓ , Ι ην κέζν ηεο ΒΓ θαη Λ ην κέζν ηεο ΑΘ. Λα εθθξάζεηε ην δηάλπζκα ζπλαξηήζεη ησλ a θαη . 63) Έζησ ΑΒΓΓΔΕ θαλνληθό εμάγσλν . Θέηνπκε a θαη . Λα εθθξάζεηε ην δηάλπζκα ζπλαξηήζεη ησλ a , . 64) Έζησ ξόκβνο ΑΒΓΓ κε δηαγώληνπο a θαη . Λα εθθξάζεηε ηα δηαλύζκαηα θαη ζπλαξηήζεη ησλ a , . 65) Έζησ ΑΒΓΓΔΕ θαλνληθό εμάγσλν κε a , θαη . Λα δείμεηε όηη a θαη 3 a . 66) Έζησ u , v , 3u v , 3u v . Λα εθθξαζηνύλ ηα δηαλύζκαηα , , ζπλαξηήζεη ησλ u , v . Κεηά λα δείμεηε όηη / / . 67) Αλ = ι , = ι λα δείμεηε όηη ηα δηαλύζκαηα , είλαη ζπγγξακκηθά . 68) Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ . Αλ ηζρύεη 2 5 3 6 , 5 2 6 3 λα δείμεηε όηη ηα δηαλύζκαηα , είλαη αληίξξνπα . 69) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ηα ζεκεία Γ , Δ ηέηνηα , ώζηε 4 9 , 6 . Λα δεηρζεί όηη / / . 70) Έζησ ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ , ΑΖ ε δηρνηόκνο ηνπ θαη Δ , Ε ηα κέζα ησλ ΑΓ , ΖΓ αληίζηνηρα . Λα δείμεηε όηη . 71) Αλ ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα u , v είλαη κε παξάιιεια , ηόηε : α. Αλ 0u v είλαη 0 . β. Αλ u v u v κε , , , .
- 9. διανύσματα κεφάλαιο 1 -7 - 72) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ηα κέζα Κ , Λ ησλ πιεπξώλ ΑΒ , ΑΓ αληίζηνηρα. Λα δείμεηε όηη / / . 73) Αλ γηα ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα u , v , w γλσξίδνπκε όηη 0u v w θαη όηη | | | | | | 3 4 7 u v w , λα δεηρζεί όηη u v θαη v w . 74) Αλ ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα u , v δελ είλαη ζπγγξακκηθά , λα δεηρζεί όηη : α. ηα δηαλύζκαηα 2x u v θαη 3y u v δελ είλαη ζπγγξακκηθά β. ηα δηαλύζκαηα 9 5x u v θαη 5 3 3 y u v είλαη ζπγγξακκηθά . 75) Σα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα u , v , w είλαη κε ζπγγξακκηθά αλά δύν . Αλ / /(2 )v u w θαη / /( )w u v , λα δεηρζεί όηη / /( 2 )u w v . 76) Αλ ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα u , v , w είλαη κε ζπγγξακκηθά αλά δύν θαη / /( )u v w θαη / /( )v u w , λα δεηρζεί όηη / /( )w u v . 77) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , , x , y γηα ηα νπνία ηζρύνπλ 2 4x y a θαη 4 2 2x y a . Λα απνδείμεηε όηη ηα δηαλύζκαηα x , y είλαη νκόξξνπα. 78) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , , x , y γηα ηα νπνία ηζρύνπλ 1 2 2 x y a θαη 11 3 11 2 y a x . Λα απνδείμεηε όηη x y . 79) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , , x , y γηα ηα νπνία ηζρύνπλ 2 14 21x a y θαη 3 5 6 4x y a . Λα απνδείμεηε όηη x y . 80) Έζησ δπν κε ζπγγξακκηθά δηαλύζκαηα u , v θαη έλα δηάλπζκα w ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη ( ) / /( )w u u v θαη ( ) / /( 2 )w u u v . Λα δεηρζεί όηη 1 ( 4 ) 3 w u v . 81) Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ θαη Γ , Δ ηέηνηα , ώζηε θαη . α. Λα πξνζδηνξίζεηε ηελ ζέζε ησλ ζεκείσλ Β , Γ , Γ . β. Αλ Ε ην ζπκκεηξηθό ηνπ Γ σο πξνο ην κέζν Κ ηνπ ΑΒ , λα πξνζδηνξίζεηε ηελ ζέζε ησλ ζεκείσλ Ε , Α , Δ . 82) Γίλνληαη ηα κε ζπλεπζεηαθά ζεκεία Α , Β , Γ θαη Γ , Δ ηέηνηα , ώζηε θαη . Λα απνδείμεηε όηη ην Γ είλαη κέζν ηνπ . 83) Έζησ ηα δηαλύζκαηα a , . α. Λα θαηαζθεπάζεηε ηα δηαλύζκαηα 2a , a , 4 5a . β. Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Γ , Δ , Ε είλαη ζπλεπζεηαθά. 84) ην δηπιαλό ζρήκα λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Γ , Δ είλαη ζπλεπζεηαθά . 85) Αλ Ο , Α , Β , Γ είλαη ζεκεία ηνπ επηπέδνπ ηέηνηα , ώζηε 10u , 5 v θαη 4 3u v , λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά. 86) Έζησ ηα δηαλύζκαηα 3u v , 2u v θαη 3 5u v . Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά .
- 10. διανύσματα κεφάλαιο 1 -8 - 87) Έζησ ηα δηαλύζκαηα u v w , 5 3 4u v w θαη 13 7 10u v w . Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά. 88) Αλ 7 4 3 0 λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά. 89) Αλ 5 3 2 4 , λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά. 90) Αλ Α , Β , Γ είλαη ζεκεία ηνπ επηπέδνπ ηέηνηα , ώζηε 3 4 0 λα δείμεηε όηη είλαη ζπλεπζεηαθά . 91) Αλ Α , Β , Γ είλαη ζεκεία ηνπ επηπέδνπ ηέηνηα , ώζηε 2 3 0 λα δείμεηε όηη είλαη ζπλεπζεηαθά . 92) Γίλνληαη ηα ζεκεία Ο , Α , Β , Γ ηέηνηα , ώζηε 6 13 7 0 . Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά . 93) Έζησ (2 ) 3 . Λα δείμεηε όηη γηα θάζε ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά . 94) Έζησ 2 ( 1) . Λα δείμεηε όηη γηα θάζε ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά . 95) Έζησ ζεκεία Α , Β , Γ γηα ηα νπνία ηζρύεη ε ζρέζε 2 (1 2 ) 3 2 , . Λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία : Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά , αλ Ο ηπραίν ζεκείν αλαθνξάο . Λα εμεηαζζεί γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ηα ζεκεία είλαη δηαθεθξηκέλα . 96) Γίλνληαη ηα ζεκεία Α , Β , Γ θαη Ο έλα ζεκείν αλαθνξάο . Λα δεηρζεί ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά εάλ θαη κόλν εάλ ηζρύεη ε ζρέζε (1 ) , . 97) Γίλνληαη ηέζζεξα ζεκεία Ο , Α , Β , Γ ηέηνηα , ώζηε ηα Ο , Α , Β δελ είλαη ζπλεπζεηαθά . Λα δεηρζεί όηη αλ ηζρύεη ε ζρέζε ( 2) 3 ( 5) , ηόηε ηα Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά. 98) Έζησ ζεκεία Α , Β , Γ γηα ηα νπνία ηζρύεη 3 5u v , u v , 4u v , όπνπ Ο ηπραίν ζεκείν αλαθνξάο u , v κε ζπγγξακκηθά δηαλύζκαηα θαη , κε 3 . Αλ ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά , λα βξεζνύλ ηα , . 99) Γίλνληαη ηα ζπλεπζεηαθά ζεκεία Α , Β , Γ θαη Ο έλα ζεκείν αλαθνξάο . Αλ 0 θαη 0 , λα δεηρζεί όηη . 100) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα u , v , w θαη ηα 3 4x u v w , 2 5y u v w , 5 13 14z u v w . Λα απνδείμεηε όηη αλ ηα x , y , z έρνπλ θνηλή αξρή , ηόηε ηα πέξαηά ηνπο είλαη ζεκεία ζπλεπζεηαθά. 101) Θεσξνύκε επζεία x x , δπν δηαθνξεηηθά ζεκεία ηεο Α , Β θαη έλα ζεκείν Ο πνπ δελ αλήθεη ζηελ x x ώζηε λα ηζρύεη κε 1 . α. Λα απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Γ αλήθεη ζηελ επζεία x x . β. Λα βξείηε ηηο ηηκέο ησλ , ώζηε ην ζεκείν Γ λα είλαη κεηαμύ ησλ Α θαη Β . 102) Έζησ παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ . ηηο πξνεθηάζεηο ησλ ΑΒ θαη ΑΓ πξνο ην κέξνο ησλ Β θαη Γ ζεσξνύκε ηα ζεκεία Κ θαη Λ κε ΒΚ = ΒΓ , ΓΛ = ΑΒ αληίζηνηρα . Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Κ , Λ , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά . 103) Έζησ ΑΒΓΓ παξαιιειόγξακκν θαη ηα ζεκεία Δ θαη Ε ηέηνηα , ώζηε 1 5 , 1 6 . Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Δ , Ε , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά.
- 11. διανύσματα κεφάλαιο 1 -9 - 104) Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ θαη Κ ζεκείν ηνπ επηπέδνπ ηνπ . Αλ 2u v , 7 28u v , 2 3u v λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Β , Γ , Κ είλαη ζπλεπζεηαθά. 105) Έζησ ΑΒΓ ηξίγσλν θαη Κ κέζν ηεο ΑΒ . ηε ΒΓ ζεσξνύκε ζεκείν Γ κε 3 θαη ζηελ ΑΓ ζεκείν Δ κε 3 5 . Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Κ , Γ , Δ είλαη ζπλεπζεηαθά θαη λα βξείηε ην ώζηε λα ηζρύεη . 106) ηελ πιεπξά ΓΓ παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ παίξλνπκε ζεκείν Δ ηέηνην , ώζηε 1 4 . Αλ Θ ζεκείν ηνπ επηπέδνπ ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ ηέηνην , ώζηε 2 4 5 5 , λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία Δ , Θ , Β είλαη ζπλεπζεηαθά . 107) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ηα ζεκεία Γ , Δ θαη Ε ηνπ επηπέδνπ ηνπ ώζηε 3 2 3 . Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Δ , Ε , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά. 108) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ζεκείν Δ ηεο ΑΓ ηέηνην , ώζηε 2 3 . Αλ Γ είλαη ζεκείν ηεο δηακέζνπ ΑΚ ηέηνην , ώζηε 3 , λα απνδείμεηε όηη ζεκεία Β , Γ , Δ είλαη ζπλεπζεηαθά. 109) Έζησ παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη Κ ζεκείν ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηέηνην , ώζηε 3 . Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Γ , Γ , Κ είλαη ζπλεπζεηαθά. 110) Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ κε u v , 5 9u v θαη ζεκείν Ρ ηνπ επηπέδνπ κε 2 3u v . Λα απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Ρ είλαη ζεκείν ηεο ΒΓ. 111) ηηο πιεπξέο γσλίαο xOy έρνπκε ηα ζεκεία Α ζηελ Ox θαη Β ζηελ Oy ώζηε u θαη v . Έζησ ζεκεία Γ θαη Γ ζηηο Ox θαη Oy ώζηε 3u θαη 3v . ηηο ΑΒ θαη ΓΓ παίξλνπκε ηα ζεκεία Δ θαη Ε ώζηε 1 2 θαη 1 2 . Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Ο , Ε , Δ είλαη ζπλεπζεηαθά . 112) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ζεκείν Κ ηεο ΒΓ . Λα απνδείμεηε όηη ππάξρνπλ κνλαδηθνί , ηέηνηνη , ώζηε κε 1 (1) θαη αληίζηξνθα , αλ ηζρύνπλ νη ζρέζεηο (1) λα απνδείμεηε όηη ην Κ είλαη ζεκείν ηεο ΒΓ . 85. Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ θαη Ο ζεκείν ηεο πιεπξάο ΒΓ κε , . Λα δείμεηε όηη 1 . 113) Θεσξνύκε παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη Κ ζεκείν ηεο ΑΒ ηέηνην , ώζηε , * θαη Λ ζεκείν ηεο ΑΓ ηέηνην , ώζηε , * . α. Λα εθθξάζεηε ηα , ζπλαξηήζεη ησλ , . β. Λα βξείηε ηελ ζρέζε κεηαμύ ησλ , ώζηε ηα ζεκεία Γ , Κ , Λ λα είλαη ζπλεπζεηαθά . 114) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ΒΓ ε δηάκεζόο ηνπ . Αλ Δ ην κέζν ηεο ΒΓ θαη Ε ην ζεκείν ηνκήο ηεο ΑΔ κε ηε ΒΓ , λα δεηρζεί όηη 1 3 . 115) ηε δηαγώλην ΒΓ παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ παίξλνπκε ζεκείν Δ ηέηνην , ώζηε 1 4 . Αλ ε ΓΔ ηέκλεη ηελ ΑΓ ζην Ε , λα δεηρζεί όηη 1 5 . 116) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ , Γ ην κέζν ηεο ΒΓ θαη ζεκείν Δ ηεο ΑΓ ηέηνην , ώζηε 1 3 . Λα δείμεηε όηη 5 3(2 ) (4 ) 2 .
- 12. διανύσματα κεφάλαιο 1 -10 - 117) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη έζησ Δ , Ε ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ΒΓ θαη ΓΓ αληίζηνηρα . Λα απνδείμεηε όηη 3 2 . 118) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη έζησ Δ , Ε ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ΒΓ θαη ΓΓ αληίζηνηρα . Αλ Ρ είλαη ην ζεκείν ηνκήο ησλ ΑΔ θαη ΒΕ , λα απνδείμεηε όηη 4 5 θαη 2 5 . 119) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη έζησ Δ ην κέζν ηεο ΑΒ θαη ζεκείν Ε ηέηνην , ώζηε 2 . Αλ Ο είλαη ην ζεκείν ηνκήο ησλ ΑΓ θαη ΔΕ , λα απνδείμεηε όηη 2 . 120) ην παξαθάησ ζρήκα Δ είλαη ην κέζν ηεο δηακέζνπ ΒΓ ηξηγώλνπ ΑΒΓ θαη Ε ζεκείν ηεο ΒΓ ηέηνην , ώζηε 1 3 . Λα απνδείμεηε όηη 2 3 . 121) Σα ζεκεία Α , Β , Γ , Γ είλαη ζηαζεξά θαη ην ζεκείν Κ κεηαβιεηό . Αλ ( ) 2 4f λα δεηρζεί όηη ( )f ζηαζεξό . 122) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ην ηπραίν ζεκείν Κ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ώζηε ( ) 2 3 5f . Λα δεηρζεί όηη ην δηάλπζκα ( )f λα είλαη ζηαζεξό . 123) Γίλνληαη ηα ζεκεία Α , Β θαη Γ . Λα απνδείμεηε όηη γηα νπνηνδήπνηε ζεκείν Κ ην δηάλπζκα 4 3 είλαη ζηαζεξό . 124) Γίλνληαη ηα ζεκεία Α , Β θαη Γ . Λα απνδείμεηε όηη γηα νπνηνδήπνηε ζεκείν Κ ην δηάλπζκα 2 είλαη ζηαζεξό . 125) Γίλνληαη ηα ζεκεία Α , Β , Γ θαη νη αξηζκνί , , . Αλ ( )f , λα βξεζεί ε ζρέζε κεηαμύ ησλ , , ώζηε ην δηάλπζκα ( )f λα είλαη ζηαζεξό . 126) Γίλνληαη ηα ζεκεία Α , Β , Γ , Γ . Λα βξείηε ζεκείν Κ ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη 0 . 127) Έζησ Α , Β , Γ , Γ ζεκεία ηνπ επηπέδνπ . Λα βξείηε ην ζύλνιν ησλ ζεκείσλ Ο ηνπ επηπέδνπ γηα ηα νπνία ηζρύεη | | | | . 128) Έζησ ΑΒΓΓ ηεηξάγσλν . Λα βξείηε ζην επίπεδν ηνπ ηεηξαγώλνπ ζεκείν Ο ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη 2 . 129) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ . Λα βξείηε ζεκείν Κ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη 3 3 2 0 . 130) α. Λα βξείηε ζην επίπεδν ελόο ηξηγώλνπ ΑΒΓ ζεκεία Κ θαη Ρ ηέηνηα , ώζηε λα ηζρύνπλ 3 0 θαη 2 2 3 0 . β. Λα απνδείμεηε όηη ην ηεηξάπιεπξν ΑΒΚΡ είλαη παξαιιειόγξακκν. 131) Λα βξείηε ζεκείν Ρ ηνπ επηπέδνπ ελόο ηξηγώλνπ ΑΒΓ ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη 2 3 0 . 132) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ηα ζεκεία Γ , Δ θαη Ρ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηέηνηα , ώζηε λα ηζρύεη 1 2 , 1 3 , 2 . α. Λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Ρ , Γ , Δ είλαη ζπλεπζεηαθά . β. Λα πξνζδηνξίζεηε ζεκείν Κ ηνπ επηπέδνπ ώζηε λα ηζρύεη 2 3 0 .
- 13. διανύσματα κεφάλαιο 1 -11 - 133) Λα βξείηε ζεκείν Κ ηνπ επηπέδνπ ελόο ηξηγώλνπ ΑΒΓ ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη 2 . 134) Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ . Λα βξείηε ην ζύλνιν ησλ ζεκείσλ Ο ηνπ επηπέδνπ γηα ηα νπνία ηζρύεη ( 1) , 0 . 135) Γίλνληαη νη πξαγκαηηθνί αξηζκνί , κε 2 θαη ηα κε ζπλεπζεηαθά ζεκεία ηνπ επηπέδνπ Α , Β , Γ . Λα βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ , ώζηε λα ηζρύεη ε ηζόηεηα 2 . 136) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ζεκείν Κ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηέηνην ώζηε (1 ) , 0 , 1 . Λα απνδείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηνπ Κ είλαη επζεία πνπ πεξλά από ην Α θαη είλαη παξάιιειε ζην . 137) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ . Λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ ηνπ επηπέδνπ γηα ηα νπνία ην δηάλπζκα 2u είλαη παξάιιειν πξνο ην . 138) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ζεκείν Κ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηέηνην , ώζηε 0 κε 2 . Λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ηνπ Κ . 139) Γίλεηαη ηεηξάγσλν ΑΒΓΓ κε πιεπξά 2a . α. Λα βξείηε ην ζεκείν Ο γηα ην νπνίν ηζρύεη 2 0 . β. Λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηεηξαγώλνπ ΑΒΓΓ γηα ηα νπνία ηζρύεη | 2 | 2a . 140) Έζησ Α , Β , Γ ζηαζεξά ζεκεία ηνπ επηπέδνπ. α. Λα πξνζδηνξίζεηε ζεκείν Ο ηέηνην ,ώζηε 2 3 0 . β. Λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ πνπ είλαη ηέηνηα , ώζηε | 2 3 | 4 | | . 141) Γίλεηαη νξζνγώλην θαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ κε a . α. Λα βξείηε ην ζεκείν Ο γηα ην νπνίν ηζρύεη 4 . β. Λα απνδείμεηε όηη ην δηάλπζκα 2u είλαη ζηαζεξό . γ. Λα βξείηε ζεκείν Α΄ ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη u . δ. Έπεηηα λα ππνινγίζεηε ηα κέηξα | | θαη | | ζπλαξηήζεη ηνπ a . ε. Λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ γηα ηα νπνία ηζρύεη | 2 | | 2 | . 142) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 2a . α. Λα βξείηε ην ζεκείν Ρ γηα ην νπνίν ηζρύεη 2 2 γηα θάπνην ζεκείν Ο . β. Λα απνδείμεηε όηη γηα θάζε ζεκείν Κ ηζρύεη 2 2 . γ. Λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ γηα ηα νπνία ηζρύεη | 2 | | 2 | . 143) α. Γίλνληαη ηα ζεκεία Ο , Α , Β , Γ ηνπ επηπέδνπ γηα ηα νπνία ηζρύεη 2 5 3 0 . Λα απνδείμεηε όηη ηα Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά θαη όηη ην Β είλαη κεηαμύ ησλ Α θαη Γ . β. Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ . Λα πξνζδηνξίζεηε ζεκείν Ρ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ώζηε λα ηζρύεη 2 4 . γ. Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ . Λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ ηνπ επηπέδνπ ηνπ πνπ είλαη ηέηνηα , ώζηε | 2 | | 2 | .
- 14. διανύσματα κεφάλαιο 1 -12 - §3. ςυντεταγμένεσ ςτο επίπεδο 144) Λα πξνζδηνξηζηνύλ νη πξαγκαηηθνί αξηζκνί , ώζηε ην δηάλπζκα 2 2 , 3 3u λα είλαη ην κεδεληθό . 145) Λα πξνζδηνξηζηνύλ νη πξαγκαηηθνί αξηζκνί x , y ώζηε ηα δηαλύζκαηα , 2a x x y θαη 2 , 4y λα είλαη ίζα . 3. Λα βξεζεί ην ώζηε : α. ην δηάλπζκα 2 81, 9u λα είλαη ην κεδεληθό. β. ηα δηαλύζκαηα 2 8 22 , 6 7u θαη 7 , 5 2v λα είλαη ίζα . 146) Λα βξεζεί ην ώζηε ην δηάλπζκα 2 5 6 , 2a λα είλαη ην κεδεληθό. 147) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα 2 , 4a θαη 1, 3 . Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ δηαλύζκαηνο 2 3a . 148) Γίλνληαη ηα ζεκεία 2 , 3 , 1, 1 , 1,1 . Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ δηαλύζκαηνο u γηα ην νπνίν ηζρύεη ε ζρέζε 2 2 0u . 149) Γίλνληαη ηα ζεκεία 1,1 , 2 , 1 , 3 , 4 . Λα βξεζνύλ ηα ζεκεία Θ , Ι ώζηε λα ηζρύεη 2 , 3 . 150) Γίλνληαη ηα ζεκεία 6 , 4 , 2 2 5 , 2 2 , 2 2 3 4 , 2 4 7 1 . Λα βξεζνύλ ηα , ώζηε . 151) Γίλνληαη ηα ζεκεία 1, 2 θαη 3 , 8 . α. Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ Γ ώζηε λα είλαη 2 . β. Ση ζπκπεξαίλεηε γηα ηα ζεκεία Α θαη Γ . 152) Έζησ ην δηάλπζκα ( 1) 2 , (2 1) 1u x x x x , x . Λα βξεζεί ην x ώζηε λα είλαη 0u . 153) Γίλεηαη ην δηάλπζκα 2 4 , 2a , . Λα βξείηε ην ώζηε λα είλαη : α. 0a β. 0a θαη / /a x x γ. 0a θαη / /a y y . 154) Έζησ ηα ζεκεία 4 , 3 , 9 , 4 1 . Λα βξεζεί ν ώζηε ην δηάλπζκα λα είλαη παξάιιειν ζηνλ x x . 155) Έζησ ηα ζεκεία , 6 , 3 , 7 . Λα βξεζεί ν ώζηε ην δηάλπζκα λα είλαη παξάιιειν ζηνλ y y . 156) Έζησ ηα ζεκεία 3 4 , 6 1 , 2 5 , 5 8 . Λα βξεζνύλ ηα , ώζηε ην δηάλπζκα λα κελ είλαη παξάιιειν ζε θαλέλα από ηνπο άμνλεο . 157) Γίλνληαη νη θνξπθέο 2 , 3 , 4 , 1 , 0 , 5 ελόο παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ . Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ θέληξνπ Ο θαη ηεο θνξπθήο Γ .
- 15. διανύσματα κεφάλαιο 1 -13 - 158) Έζησ ν θύθινο ηνπ παξαθάησ ζρήκαηνο κε θέληξν 3 , 2 θαη δηάκεηξν ΑΒ κε 1, 3 . Λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ Β. 159) Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ κε 1,1 , 2 , 0 θαη 2 , 3 . Λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ηεο δηακέζνπ θαζώο θαη ηνπ ζεκείνπ Γ γηα ην νπνίν ηζρύεη . 160) Σα κέζα ησλ πιεπξώλ ηξηγώλνπ ΑΒΓ είλαη ηα ζεκεία 1, 2 , 3 , 5 θαη 2 , 4 . Λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ ηνπ . 161) Σα κέζα ησλ πιεπξώλ ηξηγώλνπ ΑΒΓ είλαη ηα ζεκεία 1, 4 , 5 , 4 θαη 2 , 1 . Λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ ηνπ . 162) ε έλα ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ νη ηεηκεκέλεο δπν ζεκείσλ Α θαη Β είλαη νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο 2 2 ( 5 14) 7 0x x , ελώ νη ηεηαγκέλεο είλαη ξίδεο ηεο εμίζσζεο 2 2 ( 3 2) 5 0y y . Λα βξείηε ηελ ηηκή ηνπ , ώζηε ην κέζν ηνπ ηκήκαηνο ΑΒ λα έρεη ζπληεηαγκέλεο 4 , 6 . 163) ε έλα ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ νη ηεηκεκέλεο δπν ζεκείσλ Α θαη Β είλαη νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο 2 2 ( 3 5) 10 0x x . Λα βξείηε ηελ ηηκή ηνπ , ώζηε ην κέζν ηνπ ηκήκαηνο ΑΒ λα έρεη ηεηκεκέλε ίζε κε 1 2 . 164) Έζησ ηα δηαλύζκαηα 1, 3u θαη 2 2 ,v . Λα βξεζεί ν ώζηε ηα u , v λα είλαη παξάιιεια . 165) Αλ 1, 4a , 5 , 2 , , 5u x y y , 4 3 , 5 6v x y y , λα βξεζνύλ ηα ,x y ώζηε / /a u θαη / / v . 166) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα 2 , 1a , 2 , 3 2 , 2 , 4u , 1, 5v . Λα βξεζνύλ ηα , ώζηε ( ) / /a u θαη ( ) / /a v . 167) Έζησ ηα δηαλύζκαηα 2 , 1u , 1, 3v θαη 2 1, 2w . Λα βξεζνύλ νη ζρέζεηο κεηαμύ ησλ , ώζηε : α. (2 3 ) / /12u v v β. ( 2 3 ) / / 5u v w v 168) Έζησ ηα ζεκεία 3 , 2 , 2 , , 5 , 3 θαη 4 , . Λα βξεζεί ν ώζηε / / . 169) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα ,u , 2 3 1, 2v θαη ,w . α. Λα βξεζνύλ ηα , ώζηε 0u v w . β. Λα δείμεηε όηη / / 0u w u w . 170) Έζησ ηα δηαλύζκαηα 5 6 ,1u x y θαη 3( 3 ) , 2v x y z κε x y . Λα δείμεηε όηη 3 3 3 / / 3u v x y z xyz . 171) Έζησ δηαλύζκαηα 1, 2u θαη 3 , 4v . Λα βξεζνύλ ηα ζπγγξακκηθά πξνο ηα u , v δηαλύζκαηα πνπ λα έρνπλ άζξνηζκα 0 , 3w . 172) Λα αλαιπζεί ην 9 , 4u θαηά ηηο δηεπζύλζεηο ησλ 2 , 3v θαη 1, 2w .
- 16. διανύσματα κεφάλαιο 1 -14 - 173) Λα βξεζνύλ νη , ,x y z ώζηε 0xu y v z w όπνπ 1, 2u , 1, 2v θαη 3 , 4w . 174) Έζησ ηα δηαλύζκαηα 2u i j , 3v i j . Λα δείμεηε όηη ηα δηαλύζκαηα u , v δελ είλαη ζπγγξακκηθά . 175) Έζησ δηαλύζκαηα 1, 2u θαη 0 , 3v . Λα νξηζζνύλ ηα ζπγγξακκηθά πξνο ηα u , v δηαλύζκαηα πνπ έρνπλ δηαθνξά ίζε κε i . 176) Έζησ ηα δηαλύζκαηα 1, 2u , 3 , 5v θαη 8 ,10w . Λα αλαιπζεί ην δηάλπζκα w ζε δπν ζπληζηώζεο παξάιιειεο ησλ u , v αληίζηνηρα . 177) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα 3 , 2u , 2 ,1v θαη 7 , 4w . Λα απνδείμεηε όηη ην w εθθξάδεηαη θαηά κνλαδηθό ηξόπν σο γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ u θαη v . 178) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα 1, 3u θαη 2 ,1v . Λα γξαθεί ην δηάλπζκα 4 ,16w ζαλ γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ u , v . 179) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα 1, 3u , 1, 2v θαη 1,1w . Λα εθθξάζεηε ην δηάλπζκα w σο γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ u θαη v . 180) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα 3 , 4u , 2 ,1v θαη 3 , 2w . Λα αλαιύζεηε ην δηάλπζκα w ζε δπν ζπληζηώζεο παξάιιειεο πξνο ηα u θαη v . 181) Λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία 1, 2 , 1,1 θαη 3 , 3 είλαη ζπλεπζεηαθά . 182) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα 2 , 3u , 1, 2v θαη 1, 2w . Λα βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ ώζηε ην δηάλπζκα w λα εθθξάδεηαη σο γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ u θαη v . ε απηή ηελ πεξίπησζε λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ σο πξνο ηα u θαη v . 183) Γίλνληαη ηα ζεκεία 0 , 4 , , 2 θαη 2 , 2 . Λα βξεζεί ν ώζηε ηα ζεκεία Α , Β , Γ λα είλαη ζπλεπζεηαθά . 184) Γίλνληαη ηα ζεκεία 8 , 6 , 2 , 2 θαη 7 , 0 . α. Λα δείμεηε όηη ηα Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά . β. Λα βξεζνύλ ηα , ώζηε θαη . 185) Γίλνληαη ηα ζεκεία 1, 1 , 3 , 3 θαη 2 , 2 . Λα βξεζεί ν ώζηε ηα ζεκεία Α , Β , Γ λα είλαη ζπλεπζεηαθά . 186) Λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία ,a , , a θαη , a είλαη ζπλεπζεηαθά . 187) Γίλνληαη ηα ζεκεία 1, 2 , , 3a , 2 , 3a θαη 4 , 7 . Λα βξείηε ην a ώζηε ηα κέζα ησλ δηαλπζκάησλ , θαη λα είλαη ζπλεπζεηαθά ζεκεία . 188) Γίλνληαη ηα ζεκεία Α , Β , Γ θαη Ο έλα ζεκείν αλαθνξάο . Λα δεηρζεί όηη αλ (1 ) , * , ηόηε ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά . 189) Έζησ ηα ζεκεία 0 , 1 , 2 , 3 , 1,1 , 2 , 7 , 3 ,11 . Λα δείμεηε όηη / / θαζώο θαη όηη ην Δ είλαη ζεκείν ηεο ΑΓ .
- 17. διανύσματα κεφάλαιο 1 -15 - 190) Έζησ ηα ζεκεία 2 , 5 , 6 , 1 , 3 ,1 θαη 5 , 1 . Λα δείμεηε όηη ην κέζν ηνπ ηκήκαηνο ΑΒ αλήθεη ζηελ επζεία ΓΓ . 191) Έζησ ηα ζεκεία 0 , 2 , 3 , 1 , 5 , 3 . Λα βξεζεί ην Γ ώζηε ην ΑΒΓΓ λα είλαη παξαιιειόγξακκν . 192) Γίλνληαη ηα ζεκεία 1, 5 , 2 ,1 , 1, 5 , 2 , 1 . α. Λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ , Γ είλαη θνξπθέο παξαιιειόγξακκνπ . β. Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ ηνκήο ησλ δηαγσλίσλ ηνπ παξαιιειόγξακκνπ . 193) Λα εμεηαζηεί αλ ην ηεηξάπιεπξν ΘΙΚΛ κε θνξπθέο ηα ζεκεία 2 , 3 , 4 , 1 , 0 , 5 θαη 2 , 9 είλαη παξαιιειόγξακκν . 194) Αλ 1, 6 , 2 ,1 , 4 , 4 είλαη ηξεηο από ηηο θνξπθέο ελόο παξαιιειόγξακκνπ ΑΒΓΓ λα βξεζνύλ ηα κήθε ησλ δηαγσλίσλ ηνπ . 195) ην δηπιαλό ηεηξάπιεπξν έρσ 11, 2 , 6 , 10 , 6 , 5 θαη 1, 7 . Λα δεηρζεί όηη ην ΑΒΓΓ είλαη ηεηξάγσλν . 196) Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ην ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ κε 1,1 , 1, 2 , 3 ,1 θαη , 1 είλαη ηξαπέδην . 197) Γίλεηαη ην ηζνζθειέο ηξαπέδην ΑΒΓΓ κε βάζεηο ΑΒ θαη ΓΓ . Αλ 1, 2 , 2 , 3 θαη 5 , 0 , λα βξεζεί ε θνξπθή Γ . 198) Λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία 4 , 6 , 5 , 3 , 4 , 1 , 0 , 3 είλαη θνξπθέο ηζνζθεινύο ηξαπεδίνπ . 199) Λα βξεζεί ην είδνο ηνπ ηεηξαπιεύξνπ πνπ έρεη θνξπθέο 0 , 7 , 6 , 9 , 4 , 3 θαη 2 ,1 . 200) Λα βξεζεί ην είδνο ηνπ ηεηξαπιεύξνπ πνπ έρεη θνξπθέο 1, 5 , 7 , 7 , 8 , 4 θαη 2 , 2 . 201) Λα ππνινγηζζεί ε απόζηαζε ησλ ζεκείσλ ,a a θαη ,a a , a . 202) Αλ 4 , 0 , 0 , 6 λα βξεζνύλ ηα ζεκεία ,x y ώζηε ην ΑΒΓ λα είλαη ηζόπιεπξν . 203) ην δηπιαλό ηξίγσλν ΑΒΓ έρσ 2 , 2 , 1, 5 θαη 1, 1 . Λα απνδείμεηε όηη ην ΑΒΓ είλαη νξζνγώλην θαη ηζνζθειέο . 204) Λα απνδείμεηε όηη ην ηξίγσλν πνπ έρεη θνξπθέο ηα ζεκεία 3 ,1 , 0 , 2 θαη 1, 0 είλαη νξζνγώλην θαη ηζνζθειέο . 205) Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία 2 , 3 , 6 , 7 θαη 7 , 5 είλαη θνξπθέο νξζνγσλίνπ ηξηγώλνπ.
- 18. διανύσματα κεφάλαιο 1 -16 - 206) Έζησ ηα ζεκεία 8 , 2 , 0 , 6 θαη 2 , 0 . Λα δεηρζεί όηη ην ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη ηζνζθειέο θαη λα βξεζεί ην κήθνο ηεο δηακέζνπ ΑΓ . 207) Έζησ ηα ζεκεία 2 , 3 , 1, 5 . Λα βξείηε ζεκείν Γ ηνπ άμνλα y y ώζηε ην ΑΒΓ ηξίγσλν λα είλαη ηζνζθειέο . 208) Έζησ ηα ζεκεία 1, 3 , 3 , 5 . Λα βξεζνύλ ζεκεία Γ , Γ ησλ αμόλσλ x x θαη y y αληίζηνηρα ώζηε ηα ηξίγσλα ΑΒΓ , ΑΒΓ λα είλαη ηζνζθειή κε θαη αληίζηνηρα . 209) Γίλνληαη ηα ζεκεία 3 ,1 θαη 1, 5 . Λα βξεζεί ζεκείν Γ ηνπ άμνλα x x ώζηε ην ηξίγσλν ΑΒΓ λα είλαη ηζνζθειέο . 210) Γίλνληαη ηα ζεκεία 3 ,1 θαη 1, 5 . Λα βξεζεί ζεκείν Γ ηνπ άμνλα y y ώζηε ην ηξίγσλν ΑΒΓ λα είλαη ηζνζθειέο . 211) Γίλνληαη ηα ζεκεία 3 , 2 θαη 1, 5 . Λα βξεζεί ζεκείν Γ ηνπ άμνλα x x ώζηε ην ηξίγσλν ΑΒΓ λα είλαη νξζνγώλην ζην Β . 212) Γίλνληαη ηα ζεκεία 3 , 2 θαη 1, 5 . Λα βξεζεί ζεκείν Γ ηνπ άμνλα y y ώζηε ην ηξίγσλν ΑΒΓ λα είλαη νξζνγώλην ζην Β . 213) Γίλνληαη ηα ζεκεία 3 , 2 θαη 1, 0 . Λα βξεζεί ζεκείν Α ώζηε ην ηξίγσλν ΑΒΓ λα είλαη νξζνγώλην ( 0 90 ) θαη ηζνζθειέο . 214) Λα βξεζνύλ ηα , ώζηε ηα κε ζπγγξακκηθά δηαλύζκαηα 1, 3u , 2 , 3 4v θαη 4 1, 2 3w λα ζρεκαηίδνπλ ηξίγσλν . 215) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα 1,x x , 2 1, 1x x θαη 1, 3 . Λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη θνξπθέο ηξηγώλνπ x . 216) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 0 , 2 , 7 , 3 θαη 8 , 2 , λα βξεζεί ην πεξίθεληξό ηνπ . 217) Ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΓ έρεη θνξπθέο 1, 3 θαη 1, 3 . Λα βξεζεί ε θνξπθή Α . 218) Γίλνληαη ηα ζεκεία 1,1 , 3 , 3 θαη 3 ,1 . α. Λα απνδείμεηε όηη ηα Α , Β , Γ είλαη θνξπθέο ηξηγώλνπ . β. Λα βξείηε ηελ απόζηαζε ηνπ Κ από ην Β όπνπ ΑΚ δηάκεζνο ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ . 219) Γίλνληαη ηα ζεκεία 8 , 2 , 0 , 5 θαη 2 , 6 . α. Λα απνδείμεηε όηη ηα Α , Β , Γ είλαη θνξπθέο ηξηγώλνπ . β. Αλ Θ είλαη ην κέζν ηεο πιεπξάο ΑΓ , λα ππνινγίζεηε ην | | . 220) Γίλνληαη ηα ζεκεία 1, 2 θαη 3 , 0 . Λα βξείηε : α. ζεκείν Γ ηνπ άμνλα x x ώζηε ην ηξίγσλν ΑΒΓ λα είλαη ηζνζθειέο κε βάζε ηελ πιεπξά ΑΒ , β. ηα κήθε ησλ δηακέζσλ ηνπ ηξηγώλνπ πνπ θέξνληαη πξνο ηηο ίζεο πιεπξέο . 221) Έζησ ηα ζεκεία 2 , 1 , 3 , 2 , 1, 4 θαη ,x y . Αλ ν ζπληειεζηήο δηεύζπλζεο ηνπ δηαλύζκαηνο είλαη 2 3 , λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ Γ ώζηε ην ΑΒΓΓ λα είλαη ηξαπέδην . 222) Έζησ έλαο ξόκβνο ΑΒΓΓ κε πιεπξά 5 2 θαη θνξπθέο 3 ,1 , 11, 7 . Λα βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ . 223) Έζησ , 1x x , 2 ,1x x , 0x . Λα βξεζεί ην x ώζηε | | (1 5) 1x . 224) Γίλεηαη δηάλπζκα 1 2,a a a κε 1 2 1a a θαη 2 2 1 2 14a a . Λα βξεζεί ην | |a .
- 19. διανύσματα κεφάλαιο 1 -17 - 225) Λα βξεζεί δηάλπζκα u αλ έρεη ίδην κήθνο κε 4 , 3v θαη ηελ δηεύζπλζε ηνπ 1, 3w . 226) Λα δεηρζεί όηη ηα δηαλύζκαηα ,u , ,v έρνπλ ην ίδην κέηξν θαη είλαη θάζεηα. 227) ε νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( 0 90 ) είλαη 5 , 3 θαη 2 , 1 θαη 0 60 . Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηεο πξνβνιήο ηεο θνξπθήο Α πάλσ ζηε ΒΓ . 228) Λα βξεζεί ζεκείν ηνπ επηπέδνπ πνπ ηζαπέρεη από ηα ζεκεία 0 , 4 , 2 , 2 θαζώο θαη από ηα ζεκεία , 1, 6 , 4 , 5 . 229) Λα βξεζεί ην ζεκείν Θ ηνπ παξαθάησ ζρήκαηνο ην νπνίν ηζαπέρεη από ηα ζεκεία 2 , 2 , 0 , 4 θαζώο θαη από ηα ζεκεία 1, 4 , 2 , 3 . 230) Οη θνξπθέο ελόο ηεηξαπιεύξνπ ΑΒΓΓ είλαη ηα ζεκεία 2 , 3 , 1, 7 , 8 , 5 θαη 6 , 1 . Λα δεηρζεί όηη ηα ηκήκαηα πνπ ελώλνπλ ηα κέζα ησλ απέλαληη πιεπξώλ δηρνηνκνύληαη. 231) Έζησ ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ θαη Θ , Ι , Κ , Λ ηα κέζα ησλ ΑΒ , ΒΓ , ΓΓ θαη ΓΑ αληίζηνηρα . Λα δεηρζεί όηη ηα ηκήκαηα ΘΚ θαη ΙΛ δηρνηνκνύληαη. 232) Έζησ 2 ,1 , 3 , 2 , 0 , 7 . α. Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά. β. Λα βξείηε ζεκείν Κ ηνπ επηπέδνπ ώζηε | | | | θαη | | 5 . 233) Σξίγσλν ΑΒΓ έρεη θνξπθέο ηα ζεκεία 1, 4 , 2 , 4 θαη 5 ,1 . Λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ πξνβνιήο ηεο θνξπθήο Α , ζηελ απέλαληη πιεπξά . 234) Γίλεηαη νξζνγώλην ΑΒΓΓ θαη δεηείηαη ζεκείν Κ γηα ην νπνίν λα ηζρύεη . 235) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ. Λα δεηρζεί όηη ππάξρεη κνλαδηθό ζεκείν Κ ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη 2 3 0 . 236) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ . Λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ ηνπ επηπέδνπ γηα ηα νπνία ην δηάλπζκα 2u είλαη παξάιιειν ζην δηάλπζκα . 237) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 2 , 3 , 2 , 1 θαη 4 ,1 . Αλ Δ ζεκείν ηεο δηακέζνπ ΒΓ ηέηνην , ώζηε 1 2 , λα βξεζεί ζεκείν Ε ηεο ΒΓ ηέηνην , ώζηε / / . 238) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ κε 2 , 2 , 1, 3 θαη 4 , 3 . Αλ Θ , Ι ζπκκεηξηθά ηνπ Α σο πξνο ην Β θαη Γ αληίζηνηρα , λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία Θ , Γ , Ι είλαη ζπλεπζεηαθά . 239) Γίλεηαη ηα ζεκεία 2 , 5 θαη 1, 2 . Λα βξεζεί ην ζπκκεηξηθό Α΄ ηνπ Α σο πξνο θέληξν ζπκκεηξίαο ην Β θαη θαηόπηλ ην ζπκκεηξηθό Α΄΄ ηνπ Α΄ σο πξνο θέληξν ζπκκεηξίαο ην Α . 240) Αλ Δ ην κέζν ηεο δηακέζνπ ΒΓ ηξηγώλνπ ΑΒΓ θαη Ε ζεκείν ηεο ΒΓ ηέηνην , ώζηε 1 3 λα απνδείμεηε όηη 2 3 .
- 20. διανύσματα κεφάλαιο 1 -18 - 241) ην παξαθάησ ζρήκα δίλνληαη ηα ζεκεία 3 , 2 , 1, 0 θαη 0 , 4 . Έζησ Γ ζεκείν ηνκήο ηεο ΑΓ κε ηνλ άμνλα x x θαη Δ ην ζεκείν ηνκήο ηεο ΑΒ κε ηνλ άμνλα y y . α. Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ Γ θαη Δ . β. Αλ Θ , Ι , Κ είλαη ηα κέζα ησλ ΟΑ , ΓΔ θαη ΒΓ αληίζηνηρα , λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Θ , Ι , Κ είλαη ζπλεπζεηαθά. 242) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε θνξπθέο ηα ζεκεία 1, 2 θαη 2 , 4 . Θεσξνύκε ηα ζεκεία Γ θαη 2 , 3 ηέηνηα , ώζηε λα ηζρύνπλ 2 θαη 3 . Λα βξείηε ηελ θνξπθή Α . 243) Έζησ ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ ( ) θαη ην ύςνο ηνπ ΑΓ . Αλ Κ είλαη ην κέζν ηνπ ΑΓ θαη Ρ ζεκείν ηεο ΑΒ ηέηνην , ώζηε 1 3 , λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Γ , Κ , Ρ είλαη ζπλεπζεηαθά . 244) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ζεκείν Κ ηεο ΒΓ ώζηε λα είλαη 2 . α. Λα απνδείμεηε όηη 1 2 3 3 . β. Αλ 1, 2 , 2 , 4 θαη 7 ,11 , λα βξείηε ην Κ θαζώο θαη ην κήθνο ηνπ ΑΚ . 245) Κε βάζε ηελ πιεπξά ΑΒ ηεηξαγώλνπ ΑΒΓΓ θαηαζθεπάδνπκε ζην εζσηεξηθό ηνπ ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΔ . Κε βάζε ηελ πιεπξά ηνπ ΒΓ θαηαζθεπάδνπκε εμσηεξηθά ην ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΒΓΕ. Λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία Γ , Δ , Ε είλαη ζπλεπζεηαθά . 246) Γίλεηαη νξζνγώλην ΑΒΓΓ θαη ζεκείν Ρ ηεο δηαγσλίνπ ηνπ ΒΓ . Αλ Δ είλαη ην ζπκκεηξηθό ηνπ Γ σο πξνο θέληξν ζπκκεηξίαο ην Ρ θαη Ε , Ζ νη πξνβνιέο ηνπ Δ ζηηο ΑΓ θαη ΑΒ αληίζηνηρα , λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία Ρ , Ε , Ζ είλαη ζπλεπζεηαθά. 247) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 3 , 4 θαη 6 , 2 . Αλ Κ είλαη ζεκείν ηεο ΒΓ ηέηνην , ώζηε , 3 , όπνπ 0 λα απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Κ βξίζθεηαη κεηαμύ ησλ Β θαη Γ . §4. εςωτερικό γινόμενο διανυςμάτων 248) Λα βξεζεί ην εζσηεξηθό γηλόκελν a αλ | | 2a , | | 3 , ( , ) 6 a . 249) Λα βξείηε ην εζσηεξηθό γηλόκελν ησλ δηαλπζκάησλ a θαη όηαλ : α. | | 2a , | | 3 θαη 3 ( , ) 4 a β. 3 | | 3 a , | | 2 θαη 5 ( , ) 6 a 250) Λα βξεζεί ε ηηκή ηεο παξάζηαζεο 2 ( ) 3a a a a , αλ | | | | 2a θαη ( , ) 4 a . 251) Λα βξεζεί ην εζσηεξηθό γηλόκελν ( )a αλ | | 2a , | | 3 , ( , ) 6 a . 252) Αλ | | | |a λα δείμεηε όηη ( )( ) 0a a .
- 21. διανύσματα κεφάλαιο 1 -19 - 253) Αλ | | | | | |a a λα δείμεηε όηη | | | | 3a a . 254) Λα δείμεηε όηη 2 ( )( ) ( ) 2 ( )a a a a a . 255) Αλ a , , είλαη κνλαδηαία δηαλύζκαηα λα δείμεηε όηη | | | | | | | | | | | |a a a . 256) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , είλαη | | | |a a , λα δείμεηε όηη | | | |a a . 257) Αλ a λα δείμεηε όηη | | | | 1 | | | | a a a . 258) Λα βξείηε ηελ ζρέζε πνπ ζπλδέεη ηα , ώζηε ηα δηαλύζκαηα ,u θαη ,v λα είλαη θάζεηα. 259) Λα βξεζεί ν ώζηε ηα δηαλύζκαηα 3 , 4 1a , 3 9 , 3 λα είλαη θάζεηα. 260) Λα βξεζεί ν ώζηε ηα δηαλύζκαηα 3 ,1a , , 2 λα είλαη θάζεηα. 261) Λα βξείηε ηα , ώζηε ηα δηαλύζκαηα 1 2 ,1a θαη 2 2 2 , 4 λα είλαη θάζεηα. 262) Αλ 1, 2a , 3 , 4 λα βξείηε ηνλ ώζηε ην a λα είλαη θάζεην ζην . 263) Έζησ ηα δηαλύζκαηα 1, 3a , 1, 2 . Λα βξείηε ηνλ ώζηε ηα δηαλύζκαηα a θαη a λα είλαη θάζεηα κεηαμύ ηνπο . 264) ε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα αλαθνξάο ( , , )i j ζεσξνύκε ηα δηαλύζκαηα ( 1) 2a i j , 3 (3 1)i j . Λα βξείηε ηνλ ώζηε λα είλαη a . 265) Έζησ 2a i j , 2 3i j . Λα βξείηε ηνλ ώζηε λα είλαη ( )a a . 266) Αλ | | 1a , | | 2 , ( , )a = 3 λα βξείηε ηνλ ώζηε ( ) ( 4 )a a . 267) Αλ | | 2a , | | 3 , ( , )a = 3 , λα βξεζεί ην κέηξν ηνπ 3a . 268) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα : a , , είλαη | | | | | | 1a , ( , ) 6 a , 2 ( , ) 3 , θαη ( , ) 6 a , λα βξεζνύλ ηα κέηξα | 2 4 |a , | 2 |a . 269) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , ηνπ επηπέδνπ ηέηνηα , ώζηε | | 2a , | | 5 θαη 2 ( , ) 3 a . Λα βξείηε ην | 5 4 |a . 270) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , ηζρύνπλ | | 1a , | | 2 θαη ( , ) 3 a λα βξείηε ην κέηξν ηνπ 2a . 271) Αλ | | 1a , | | 2 , | | 3 θαη 0a λα βξεζεί ην a a . 272) Αλ | | 3a , | | 4 , | | 5 θαη 0a λα βξεζεί ην a a .
- 22. διανύσματα κεφάλαιο 1 -20 - 273) Αλ | | | | | | 2a θαη 8a , λα δείμεηε όηη a . 274) Αλ | | 1a , | | 2 , | | 5 , θαη 0a , λα δεηρζεί όηη 4a a . 275) Έζησ ηα δηαλύζκαηα a , , ηέηνηα , ώζηε | | | | | | 1a . α. Αλ 2a ηόηε a β. Λα εμεηάζεηε ηη ζπκβαίλεη αλ 2a . 276) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , , ηζρύνπλ νη ζρέζεηο 2 ( , ) ( , ) ( , ) 3 a a θαη | | | | | | 1a , λα βξεζνύλ ηα | |a θαη a a . 277) Αλ | | 1a , | | 3 , | | 1 θαη 2 0a , λα απνδείμεηε όηη : α. 1a a β. 3a θαη a . 278) Αλ | | 2a , | | 3 , ( , ) 3 a , λα βξεζεί ην 3 ( )a a . 279) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , , ηζρύεη 2 2 | | | | 2 ( )a a , λα απνδείμεηε όηη a . 280) Αλ | | 1a , ( , ) 3 a θαη | 3 2 | 13a , λα βξεζεί ην κέηξν ηνπ . 281) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , είλαη | | 1a , ( , ) 3 a θαη | 2 3 | 3a , λα βξεζεί ην | | 282) Έζησ a , δηαλύζκαηα πνπ ζρεκαηίδνπλ γσλία 3 θαη | | 3a . Αλ (3 )( 3 ) 15a a θαη | | | |a , λα βξεζεί ην| | . 283) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a θαη γηα ηα νπνία ηζρύεη a , ( ) ( 4 )a a θαη | | 2 5a . Λα απνδείμεηε όηη | | 4a , | | 2 . 284) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a θαη γηα ηα νπνία ηζρύεη a , (2 ) ( 2 )a a θαη | | 2a . Λα απνδείμεηε όηη | | | | 2a . 285) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a θαη γηα ηα νπνία ηζρύεη | 2 | 5a θαη | 2 | 1a κε ( 2 , 2 ) 3 a a . Λα ππνινγηζζνύλ ηα κέηξα | |a θαη | | . 286) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a θαη ώζηε | | 2a θαη | | 4a κε ( , ) 3 a a . Λα ππνινγηζζνύλ ηα κέηξα | |a θαη | | . 287) Λα βξεζεί ην δηάλπζκα a κε | | 6a αλ γλσξίδνπκε όηη ζρεκαηίδεη γσλία 3 κε ηνλ νξηδόληην άμνλα x x ζε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα ( , , )i j . 288) Λα βξεζεί ην δηάλπζκα a κε | | 1a αλ γλσξίδνπκε όηη ζρεκαηίδεη κε ηα κνλαδηαία δηαλύζκαηα i θαη j ησλ αμόλσλ γσλίεο 30ν θαη 60ν αληίζηνηρα . 289) Αλ | | | | | |a a ( 0a ) θαη 2 2a a λα δείμεηε όηη ηα a , , είλαη ζπγγξακκηθά.
- 23. διανύσματα κεφάλαιο 1 290)Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , , ηζρύνπλ 0a θαη | | | | | | 2 3 5 a λα απνδείμεηε όηη a θαη . 291) Έζησ ηα δηαλύζκαηα a , γηα ηα νπνία ηζρύεη 2 0a θαη 2 | | 4 | | | |a . Να δεηρζεί όηη : α. a β. 2 0a . 292) Αλ ηα a , , είλαη κνλαδηαία κε 6( , ) 3( , ) 4( , ) 2a a λα δείμεηε όηη 2 2 2 0 0a . 293) Γηα ηα δηαλύζκαηα a , λα δεηρζεί όηη | | | |a a a . 294) Αλ a θαη a , λα δείμεηε όηη a . 295) Αλ | | | |a a λα δείμεηε όηη ηα δηαλύζκαηα 2u a θαη v είλαη θάζεηα. 296) Αλ γηα θάζε ηα δηαλύζκαηα u a θαη v a είλαη θάζεηα κεηαμύ ηνπο θαη | | 1a , λα απνδείμεηε όηη : α. a β. | | 1 γ. | 3 4 | 5a 297) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a θαη είλαη θάζεηα κεηαμύ ηνπο θαη έρνπλ ίζα κέηξα , λα απνδείμεηε όηη ηα δηαλύζκαηα 2u a θαη 2v a είλαη θάζεηα θαη έρνπλ ίζα κέηξα . 298) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a θαη είλαη | | | | 1 3 4 a θαη | | 5a , λα δεηρζεί όηη a . 299) Έζησ ηα δηαλύζκαηα ( 1, 2)a , (4 , 3) . Να βξείηε δηάλπζκα u ηέηνην , ώζηε 3a u θαη 1u . 300) Αλ (2 , 3)a θαη (8 ,1) λα βξεζνύλ δπν δηαλύζκαηα u , v ώζηε u v , u v θαη / /u a . 301) Αλ ( 2 , 1)a θαη (1, 3) , λα βξεζνύλ δπν δηαλύζκαηα u θαη v ηέηνηα , ώζηε a u v , / /v θαη a u . 302) Αλ ( 1, 2)a θαη (4 , 3) , λα βξεζεί δηάλπζκα u ηέηνην , ώζηε 3a u θαη / /u . 303) Αλ (3 , 3)a θαη ( 1, 4) , λα βξεζνύλ δπν δηαλύζκαηα u θαη v ηέηνηα , ώζηε a u v , / /u θαη a v . 304) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a θαη είλαη | | 1a , | | 4 θαη ( , ) 3 a , λα βξεζεί δηάλπζκα u ζπλαξηήζεη ησλ a , ώζηε / /u a θαη a u . 305) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a θαη είλαη | | 2a , | | 1 θαη 2 ( , ) 3 a , λα βξεζεί δηάλπζκα u ζπλαξηήζεη ησλ a , ώζηε / /u a θαη a u . 306) Γίλεηαη ηα δηάλπζκα (1,1)a . Να βξεζεί δηάλπζκα u ώζηε α. a u θαη | | | |a u . β. / /u a θαη 2 | | | |a u .
- 24. διανύσματα κεφάλαιο 1 -22 - 307) Αλ a u v , / /u θαη v , 0 λα γξαθνύλ ηα δηαλύζκαηα u , v ζπλαξηήζεη ησλ a , . 308) Γίλεηαη όηη ην δηάλπζκα a έρεη ζπληεηαγκέλεο (17 , 7) θαη ην δηάλπζκα a έρεη ζπληεηαγκέλεο ( 13 ,13) . Να απνδείμεηε όηη a . 309) Γίλνληαη ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα a , , ηέηνηα , ώζηε ( ) / /a , ( )a θαη ( , ) 4 . Να απνδείμεηε όηη a . 310) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , ηέηνηα , ώζηε | | | | 1a , ( , ) 3 a θαη ηα δηαλύζκαηα u a , v a , όπνπ , . Να βξείηε ηα , ώζηε λα είλαη u v θαη | | 2u v . 311) Αλ | | 1a θαη 1a a λα δεηρζεί όηη a ή a ή ( ) ( )a a . 312) Έζησ 2 2 2 2 1 , 1 1 a , 2 2 2 1 2 , 1 1 κε , , 1 . Να δείμεηε όηη | | | | 1a θαη a . 313) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , , u , v κε 0v ώζηε λα ηζρύνπλ 2 | | u v a v v θαη 2 | | u v v u v . Να απνδείμεηε όηη : α. a β. Αλ u v ηόηε 0 . 314) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , , θαη έζησ ( ) ( )u a a θαη 2 | | a v a a . Να απνδείμεηε όηη u a θαη v a . 315) Γίλνληαη ηα παξάιιεια δηαλύζκαηα a θαη . Να απνδείμεηε όηη : α. 2 2 2 ( )a a β. 2 2 2 2 ( ) ( )a a a a 316) Γίλνληαη ηα κε κεδεληθά θαη κε ζπγγξακκηθά δηαλύζκαηα a θαη . Να απνδείμεηε όηη αλ γηα ηα δηαλύζκαηα u , v ηα νπνία είλαη ζπλεπίπεδα κε ηα a , ηζρύνπλ νη ηζόηεηεο a u a v θαη u v ηόηε u v . 317) Αλ ηα δηαλύζκαηα a , , , u ηνπ επηπέδνπ ηθαλνπνηνύλ ηελ ζρέζε ( )a u u : α. Να δεηρζεί όηη ( 1)( )a a u a . β. Αλ 1a , λα εθθξαζηεί ην u ζπλαξηήζεη ησλ a , , . 318) Αλ 1 0a λα βξεζεί ην δηάλπζκα u , ζπλαξηήζεη ησλ a , , από ηελ ηζόηεηα ( )u u a . 319) Έζησ ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα a θαη . Να απνδείμεηε όηη 2 2 2 4 ( ) 4 0a a γηα θάζε . Πόηε ηζρύεη ε ηζόηεηα ; 320) α. Γηα νπνηαδήπνηε δηαλύζκαηα a θαη , λα απνδείμεηε όηη | | | | | |a a . Πόηε ηζρύεη ε ηζόηεηα ; β. Γίλεηαη ε παξάζηαζε 6 8x y κε 2 2 25x y . Να βξείηε ηελ ειάρηζηε θαη ηελ κέγηζηε ηηκή ηεο παξάζηαζεο Α . γ. Γίλεηαη ε παξάζηαζε 3 4x y κε 2 2 16x y . Να βξείηε ηελ ειάρηζηε θαη ηελ κέγηζηε ηηκή ηεο παξάζηαζεο Β .
- 25. διανύσματα κεφάλαιο 1 -23 - 321) Να βξείηε ηελ κέγηζηε ηηκή ηεο ( )f x x x , 0 ,x . 322) Αλ | | | | | | 1a θαη a , λα βξεζεί ε ηηκή ηνπ ώζηε ην | | λα γίλεη ειάρηζην . Γηα ηελ ηηκή απηή λα δεηρζεί όηη απνδείμεηε όηη a . 323) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , , u , v ηζρύνπλ νη ζρέζεηο | | 2a , | | | |u u v a , | | | |v u v , λα δεηρζεί όηη 4 a v u a . 324) Να ιπζεί σο πξνο u θαη v ην ζύζηεκα : 2 ( 1) ( 2) u v a u v . 325) Αλ είλαη ε γσλία ησλ δηαλπζκάησλ a , θαη ηζρύεη | | | |a a λα απνδείμεηε όηη 0 2 . 326) Έζησ ηα δηαλύζκαηα ( 3 1, 3 1)a θαη (1, 1) . Να βξείηε ηελ γσλία ( , )a . 327) Να βξείηε ην εζσηεξηθό γηλόκελν ησλ δηαλπζκάησλ a θαη , θαζώο θαη ηελ γσλία ηνπο , όηαλ : α. ( 5 , 3)a θαη (6 ,10) . β. (2 , 3)a θαη 5 3 ( , ) 2 2 . 328) ε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα ( , , )i j δίλνληαη ηα δηαλύζκαηα 3 1 ( , ) 2 2 a θαη (3 , 4) . Να βξείηε : α. Γηάλπζκα κε | | 1 πνπ λα είλαη ζπγγξακκηθό ηνπ . β. Σελ γσλία ( , )j a . 329) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , ηζρύεη | | | | 1a θαη ( ) ( 2 )a a λα βξεζεί ε γσλία ησλ δηαλπζκάησλ a , . 330) Έζησ ηα a , κε | | | | 1a θαη 3 2u a , 7 8v a . Να βξεζεί ε γσλία ( , )a , αλ u v . 331) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , είλαη | | 2a , | | 1 θαη (3 5 ) (2 )a a λα ππνινγίζεηε ηελ γσλία ( , )a . 332) Έζησ ηα a , κε | | | | 1a . Να βξείηε ηελ γσλία ( , )a εάλ ( 2 ) (5 4 )a a . 333) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , είλαη | | 5a , | | 3 , θαη ( , ) 3 a , λα ππνινγίζεηε ηελ γσλία ( , )a a . 334) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , είλαη | | | | 1a θαη ( , ) 4 a a , λα δεηρζεί όηη ( , ) 2 a . 335) Έζησ ηα a , κε | | | | 1a θαη ( , ) 3 a a . Να βξείηε ηελ γσλία ( , )a . 336) Έζησ ηα a , ( a ) κε | | | |a θαη ( , ) 3 a a . Να βξείηε ηελ γσλία ( , )a . 337) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , είλαη | | 2a , | | 1 , θαη 2 ( , ) 3 a , λα ππνινγηζζνύλ νη γσλίεο ( , 2 )a a , ( 2 , )a a .
- 26. διανύσματα κεφάλαιο 1 -24 - 338) Αλ 0a κε 4 | | | | 3a θαη 4 | | 27 , λα βξεζεί ε γσλία ( , )a . 339) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , θαη 2 3u a . Αλ | | 3a , | | 4 θαη ( , ) 3 a , λα βξείηε ην κέηξν | |u θαη ηελ γσλία ( , )a u . 340) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , θαη 3u a . Αλ | | 1a , | | 3 θαη ( , ) 2 a , λα απνδείμεηε όηη : α. | | 3 2u β. ( , ) 4 u a γ. 3 ( , ) 4 u 341) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , , κε ( 3 1) 3a θαη | | | | | | 0 3 1 a . Να ππνινγίζεηε ηηο γσλίεο : ( , )a , ( , ) . 342) Αλ | | 1a , | | 2 , ( , ) 2 a λα βξεζεί δηάλπζκα u ζπλαξηήζεη ησλ a , πνπ δηρνηνκεί ηελ γσλία ησλ ( , )a κε | | 3 2u . Οκνίσο εάλ | | 2a , | | 3 θαη | | 1u . 343) Αλ | | | | | | 1a θαη | | | |a a κε a λα δείμεηε όηη αλ ηα a , , ιεθζνύλ κε θνηλή αξρή ηόηε ν θνξέαο ηνπ δηρνηνκεί ηηο δπν από ηηο ηέζζεξηο γσλίεο πνπ ζρεκαηίδνπλ νη θνξείο ησλ a θαη . 344) Να δεηρζεί όηη ην δηάλπζκα | | | | a a είλαη ζπγγξακκηθό κε ηελ δηρνηόκν ηεο γσλίαο ησλ a , . 345) Έζησ ηα δηαλύζκαηα ( 4 ,11)a , (1, 2) θαη ( 2 , 5) . Να αλαιπζεί ην δηάλπζκα a ζε δπν ζπληζηώζεο , από ηηο νπνίεο ε κηα λα είλαη παξάιιειε πξνο ην θαη ε άιιε θάζεηε ζην . 346) Έζησ ηα δηαλύζκαηα (2 , 3)a , ( 1, 4) . Να αλαιπζεί ην δηάλπζκα a ζε δπν ζπληζηώζεο , από ηηο νπνίεο ε κηα λα είλαη παξάιιειε πξνο ην a θαη ε άιιε θάζεηε ζην . 347) Να αλαιπζεί ην δηάλπζκα (2 , 3) ζε δπν ζπληζηώζεο θάζεηεο κεηαμύ ηνπο έηζη , ώζηε ε κηα λα έρεη ηελ δηεύζπλζε ηνπ δηαλύζκαηνο (1, 2)a . 348) Να αλαιπζεί ην δηάλπζκα (10 , 5) ζε δπν ζπληζηώζεο , κηαο παξάιιειεο πξνο ην δηάλπζκα (3 , 4)a θαη κηαο θάζεηεο ζε απηό . 349) Να αλαιπζεί ην δηάλπζκα (2 , 3) ζε δπν ζπληζηώζεο , κηαο θάζεηεο πξνο ην δηάλπζκα (2 ,1)a θαη κηαο παξάιιειεο πξνο ην a . 350) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , , κε | | 3a , | | 4 , | | 5 , ( , ) 3 a , ( , ) 6 Να αλαιύζεηε ην δηάλπζκα ζε δπν ζπληζηώζεο παξάιιειεο ησλ a , . 351) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , , κε 1 | | 5 a , 3 | | 3 , | | 10 , ( , ) 3 a , ( , ) 6 . Να αλαιύζεηε ην δηάλπζκα θαηά ηηο δηεύζπλζεο ησλ a θαη .
- 27. διανύσματα κεφάλαιο 1 -25 - 352) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , , κε | | 3a , | | 5 , | | 8 , ( , ) 2 a , ( , ) 3 a . Να εθθξάζεηε ην δηάλπζκα σο γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ a θαη . 353) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , , κε | | 1a , | | 2 , | | 4 , a , ( , ) 6 a . Να αλαιύζεηε ην δηάλπζκα ζε δπν δηαλύζκαηα παξάιιεια πξνο ηα a θαη . 354) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα ( 2 ,1)a θαη (3 , 4) . Να βξείηε ηελ a . 355) Αλ ( 3 , 4)a θαη (1, 3) λα βξείηε ηελ a . 356) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα (2 , 1)a θαη (3 , 4) . Να βξείηε ηηο a θαη a . 357) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , ηζρύνπλ | | 4a , | | 2 θαη 2 ( , ) 3 a λα βξείηε ηα δηαλύζκαηα a θαη a . 358) Αλ ( 6 , 8)a θαη (1, 3) λα βξείηε ηελ ( ) a a . 359) Αλ 0a θαη 0 λα δείμεηε όηη 2 | | a a a a . 360) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , ηζρύνπλ | | 2a , | | 1 θαη ( , ) 3 a λα απνδείμεηε όηη 5 ( ) ( ) 2 4a a a a . 361) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , γηα ηα νπνία ηζρύνπλ ( ) 2 a a a θαη ( ) 2a .Να απνδείμεηε όηη a . 362) Γίλνληαη ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα a , γηα ηα νπνία ηζρύεη 2 3a . α. Να απνδείμεηε όηη 3a . β. Να βξείηε ηνλ πξαγκαηηθό αξηζκό x γηα ηνλ νπνίν ηζρύεη ( ) ( 1)x a x . 363) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 2 , 4 , 3 , 2 θαη 1, 3 . Να βξεζνύλ νη γσλίεο ηνπ . 364) Γίλεηαη ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΓ κε πιεπξά α θαη έζησ ΑΓ ην ύςνο . Να βξείηε ην κήθνο ηνπ ΑΓ ζπλαξηήζεη ηνπ α θαη ζηε ζπλέρεηα ηα εζσηεξηθά γηλόκελα , , , , , , , . 365) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε | | 2 , | | 2 θαη 3 . Να βξεζνύλ ηα κήθε ηεο πιεπξάο ΑΒ θαη ηεο δηακέζνπ ΓΜ . 366) Να βξεζνύλ ηα κήθε ησλ δηαγσλίσλ ξόκβνπ ΑΒΓΓ αλ | | 2 θαη ( , ) 3 . 367) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε | | 3 , | | 5 θαη | | 7 . Να ππνινγηζζεί ε γσλία ( , ) . 368) Να ππνινγίζεηε ην κήθνο ηεο δηαγσλίνπ ΑΓ παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ ζην νπνίν (3 , 5) , (2 ,1) . 369) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε θνξπθέο 2 , 3 , 1,1 θαη 3 , 4 . Να ππνινγίζεηε ην κήθνο ηνπ ύςνπο ΑΓ .
- 28. διανύσματα κεφάλαιο 1 -26 - 370) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε θνξπθέο 7 , 0 , 1, 2 θαη 3 , 4 . Να ππνινγίζεηε ην κήθνο ηνπ ύςνπο ΑΓ . 371) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , κε | | 3a , | | 1 θαη ( , ) 6 a . Να βξείηε ηα κήθε θαη ηελ γσλία ησλ δηαγσλίσλ ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ πνπ θαηαζθεπάδεηαη κε πιεπξέο ηα a θαη . 372) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ κε πιεπξέο ηα δηαλύζκαηα 2a θαη 2a . Αλ | | | | 1a θαη ( , ) 3 a , λα βξείηε ηα κέηξα ησλ δηαγσλίσλ ηνπ ΑΒΓΓ . 373) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , κε a θαη | | | | 1a . Αλ γηα ηηο πιεπξέο ηξηγώλνπ ΑΒΓ ηζρύνπλ 3 4a θαη 12 5a , λα βξείηε ηα κήθε ησλ πιεπξώλ ηνπ ηξηγώλνπ θαη ην κήθνο ηεο δηακέζνπ ΑΓ ηνπ ηξηγώλνπ . 374) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 2 ,1 , 4 , 8 θαη 2 , 4 . Να βξεζεί ε πξνβνιή ηεο πιεπξάο ΑΓ πάλσ ζηε ΒΓ . 375) Να δείμεηε όηη ηα δηαλύζκαηα (7 ,11)a , ( 3 , 12) , ( 4 ,1) ζρεκαηίδνπλ νξζνγώλην ηξίγσλν . 376) Να δείμεηε όηη ηα δηαλύζκαηα (2 , 3)a , ( 6 , 4) , (4 , 7) ζρεκαηίδνπλ νξζνγώλην ηξίγσλν . 377) Να δείμεηε όηη ηα δηαλύζκαηα (5 , 5)a , ( 2 , 6) , ( 3 ,1) ζρεκαηίδνπλ νξζνγώλην ηξίγσλν. 378) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα ( 1, 7) , (3 , 3) . Να δείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη νξζνγώλην. 379) Έζησ 10 , 8 , 3 , 9 , 4 , 4 , 9 , 5 . Να δείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ , Γ είλαη θνξπθέο νξζνγσλίνπ παξαιιεινγξάκκνπ. 380) Έζησ 1, 3 , 1, 1 , 2 , 2 , 3 , 4 . Να δείμεηε όηη . 381) Γίλνληαη ηα ζεκεία 1,1 , 1, 1 , 6 ,1 θαη 3 , 2 . α. Να απνδείμεηε όηη . β. Να εθθξάζεηε ην σο γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ , , όπνπ Ο ε αξρή ησλ ζπληεηαγκέλσλ . 382) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 1,1 , 3 , 2 , 2 2 , 3 . α. Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ γηα ηηο νπνίεο ην ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη νξζνγώλην κε 0 90 . β. Γηα ηηο ηηκέο ηνπ πνπ βξήθαηε ζην ( α ) εξώηεκα , λα απνδείμεηε όηη ην ΑΒΓ είλαη ηζνζθειέο . 383) Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ ( ) . Αλ γηα ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα θαη ηζρύνπλ θαη , λα απνδείμεηε όηη . 384) Γίλεηαη ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ κε 2 3 , 3 , 0 60 θαη 0 90 . Να βξεζεί ην | | 385) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε (0 , 4) θαη (2 , 0) . Να ππνινγηζζνύλ ηα δηαλύζκαηα ηεο δηακέζνπ , ηνπ ύςνπο θαη ηεο δηρνηόκνπ . 386) Γηα ηα δηαλύζκαηα a , , ηζρύνπλ | | 1a , | | 2 θαη | | 3 . Να δεηρζεί όηη ηα δηαλύζκαηα 2 a , 3 , δελ κπνξεί λα ζρεκαηίδνπλ ηξίγσλν .
- 29. διανύσματα κεφάλαιο 1 -27 - 387) Αλ 1 1,x y , 2 2,x y , 1 2 1 2,x x y y θαη | | | | | | λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Ο , Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά . 388) Να δείμεηε όηη νη δηαγώληνη ηνπ ξόκβνπ ηέκλνληαη θάζεηα . 389) Ζ γσλία ηνπ δηπιαλνύ ζρήκαηνο είλαη εγγεγξακκέλε πνπ βαίλεη ζε εκηθύθιην . Να δεηρζεί όηη 0 90 . 390) Να δείμεηε όηη ην άζξνηζκα ησλ ηεηξαγώλσλ ησλ δηαγσλίσλ ελόο παξαιιεινγξάκκνπ ηζνύηαη κε ην άζξνηζκα ησλ ηεηξαγώλσλ ησλ πιεπξώλ ηνπ . 391) Να δεηρζεί όηη ε δηάκεζνο νξζνγσλίνπ ηξηγώλνπ πνπ αληηζηνηρεί ζηελ ππνηείλνπζα , ηζνύηαη κε ην κηζό ηεο ππνηείλνπζαο . 392) Να δεηρζεί όηη αλ δπν δηάκεζνη ελόο ηξηγώλνπ είλαη ίζεο , ην ηξίγσλν είλαη ηζνζθειέο . 393) Αλ ζε ηξίγσλν ΑΒΓ ε δηάκεζνο ΑΓ είλαη θαη δηρνηόκνο , λα δεηρζεί όηη ην ηξίγσλν είλαη ηζνζθειέο . 394) Να απνδείμεηε δηαλπζκαηηθά ζε νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( 0 90 ) όηη ηζρύεη 2 2 2 a . (Πυθαγόρειο Θεώρημα) 395) Να δεηρζεί όηη αλ δπν ύςε ελόο ηξηγώλνπ είλαη ίζα , ην ηξίγσλν είλαη ηζνζθειέο . 396) Να απνδείμεηε όηη νη δηαγώληνη ηνπ ηεηξαγώλνπ : α. δηρνηνκνύληαη β. ηέκλνληαη θάζεηα γ. είλαη ίζεο δ. δηρνηνκνύλ ηηο γσλίεο ηνπ 397) Έζησ ηα ζεκεία 1,1 , 4 , 2 . Να βξεζεί ζεκείν Μ ηνπ άμνλα x x ώζηε ε γσλία λα είλαη νξζή . 398) ην δηπιαλό ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ ( ) νη δηάκεζνη ΒΔ , ΓΕ ηέκλνληαη θάζεηα . Να βξείηε ην ζπλεκίηνλν ηεο γσλίαο . 399) Γίλνληαη ηα ζεκεία 2 , 3 θαη 1, 4 . Να βξεζεί ζεκείν Α ηνπ επηπέδνπ ηέηνην , ώζηε ην ηξίγσλν ΑΒΓ λα είλαη νξζνγώλην ζην Α θαη ηζνζθειέο . 400) ην επίπεδν ζεσξνύκε ηα ζεκεία 1, 3 θαη 3 , 3 όπσο θαίλνληαη ζην δηπιαλό ζρήκα . Να βξείηε ζεκείν Α ηνπ επηπέδνπ ώζηε ην ηξίγσλν ΑΒΓ λα είλαη ηζνζθειέο θαη νξζνγώλην . 401) ην δηπιαλό ζρήκα δίλνληαη ηα ζεκεία 1, 2 , 4 ,1 . Να βξεζεί ζεκείν Μ ηνπ άμνλα x x ώζηε ε γσλία λα είλαη νξζή .
- 30. διανύσματα κεφάλαιο 1 -28 - 402) Γίλνληαη ηα ζεκεία 4 , 2 θαη 3 , 5 . Να βξεζεί ζεκείν Μ ηεο επζείαο : 7 23y x ώζηε ην ηξίγσλν ΑΜΒ λα είλαη νξζνγώλην ζην Μ . 403) Αλ ζε ηεηξάπιεπξν ην ηκήκα πνπ ελώλεη ηα κέζα ησλ δύν απέλαληη πιεπξώλ είλαη ίζν κε ην εκηάζξνηζκα ησλ δπν άιισλ λα δείμεηε όηη ην ηεηξάπιεπξν είλαη ηξαπέδην . 404) ην δηπιαλό ζρήκα δίλεηαη ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ κε 0 90 θαη Δ , Ε ηα κέζα ησλ ΒΓ , ΑΓ αληίζηνηρα . Να απνδείμεηε όηη . 405) Έζησ ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ ( ) , κε δηάκεζν ΑΓ . Φέξνπκε ηελ θαη Δ ην κέζν ηεο ΓΕ . Να δείμεηε όηη . 406) Έζησ ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ ( ) , ην ύςνο ηνπ ΑΓ θαη ε θάζεηε ζηελ ΑΓ ζην ζεκείν Α πνπ ηέκλεη ηελ ΒΓ ζην Δ . Αλ Μ είλαη ην κέζν ηεο ΑΔ λα δεηρζεί όηη . 407) Γίλεηαη ηεηξάγσλν ΑΒΓΓ . ηηο πιεπξέο ηνπ ΑΒ θαη ΒΓ παίξλνπκε ζεκεία Δ θαη Ε αληίζηνηρα ώζηε . Να δεηρζεί όηη . 408) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη θέξνπκε ηηο θάζεηεο x θαη y ζηηο ΑΓ θαη ΑΒ αληίζηνηρα , ζην ζεκείν Α . Παίξλνπκε ζηελ x ηκήκα θαη ζηελ y ηκήκα . Να δεηρζεί όηη : α. Ζ δηάκεζνο ηνπ ηξηγώλνπ ΑΔΓ είλαη ύςνο ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ . (Θεώρημα Vecten) β. . 409) Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ θαη Γ ηπραίν ζεκείν ηεο βάζεο ΒΓ . Να δείμεηε όηη 2 2 | | | | | | | | . 410) Αλ νη δηάκεζνη ΑΓ θαη ΓΔ ηξηγώλνπ ΑΒΓ είλαη θάζεηεο λα δείμεηε όηη 4 5 . 411) Έζησ ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ . Να απνδείμεηε όηη 2 2 2 2 αλ θαη κόλν νη δηαγώληεο ΑΓ , ΒΓ είλαη θάζεηεο . 412) Έζησ παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη , . Να δείμεηε όηη 2 . 413) Γίλεηαη ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ εγγεγξακκέλν ζε θύθιν κε 2 θαη 2 . Να δείμεηε όηη 0 . 414) Αλ ζε ηξίγσλν ΑΒΓ ε ΑΜ είλαη δηάκεζνο θαη ΑΓ ύςνο ηνπ , λα δεηρζεί όηη 2 2 2 . (2ο Θεώρημα Διαμέζου) 415) ε ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ ( ) θέξνπκε ην ύςνο ΒΓ . Να δεηρζεί όηη 2 | | 2 | | | | . ην δηπιαλό ζρήκα δίλεηαη ην δηζνξζνγώλην ηξαπέδην ΑΒΓΓ ( / / ) κε 0 90 ζην νπνίν 2 | | | | 2 . Αλ Μ είλαη ην κέζν ηεο ΑΒ λα δεηρζεί όηη 0 90 . 416) ε παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ είλαη | | 2 | | . Αλ Μ είλαη ην κέζν ηεο ΓΓ , λα δεηρζεί όηη 0 90 .
- 31. διανύσματα κεφάλαιο 1 -29 - 417) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ε δηάκεζόο ηνπ ΑΓ. Αλ ( ) ( ) , λα δεηρζεί όηη ην ηξίγσλν είλαη νξζνγώλην θαη ηζνζθειέο . 418) Γίλεηαη ην ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ θαη Δ , Ε ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ηνπ ΑΓ θαη ΒΓ . Αλ 2 | | | | | | , λα δεηρζεί όηη ην ΑΒΓΓ είλαη ηξαπέδην . 419) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε | | 2 | | . Αλ Δ κέζν ηεο ΑΓ θαη Ε ζεκείν ηεο ΒΓ ηέηνην , ώζηε 2 , λα βξεζεί ε γσλία . 420) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ηα ζεκεία Γ , Δ θαη Ε ζηηο πιεπξέο ηνπ ΒΓ , ΑΓ θαη ΑΒ αληίζηνηρα ηέηνηα , ώζηε 1 2 , 1 2 , 1 2 . Να δεηρζεί όηη ηα ΑΓ , ΒΔ θαη ΓΕ είλαη πιεπξέο ηξηγώλνπ . 421) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ην κέζν Μ ηεο δηακέζνπ ΒΓ . Αλ Ε ζεκείν ηεο ΒΓ ηέηνην , ώζηε 1 2 , λα δεηρζεί όηη / / . 422) Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( 0 90 ) θαη ΑΓ ην ύςνο ηνπ . Να απνδεηρζεί όηη : α. 2 β. 2 γ. 2 δ. 2 2 2 1 1 1 423) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη έζησ ΑΜ ε δηάκεζόο ηνπ . Να απνδεηρζεί όηη : α. 2 2 21 ( 2 ) 4 . β. Αλ 0 90 ηόηε 1 | | | | 2 . Πνηα πξόηαζε ηεο Δπθιείδεηαο Γεσκεηξίαο είλαη απηή ; 424) ε ηξίγσλν ΑΒΓ κε δηακέζνπο ΑΓ , ΒΔ , ΓΕ λα απνδεηρζεί όηη 0 . 425) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη έζησ ΑΓ ην ύςνο . Να απνδεηρζεί όηη : α. 2 . β. 2 . Αλ 0 90 , πνηα πξόηαζε ηεο Δπθιείδεηαο Γεσκεηξίαο είλαη ε (β) ; 426) α. ε θπξηό ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ λα απνδείμεηε όηη 2 2 2 2 2 . β. Με ηελ βνήζεηα ηνπ εξσηήκαηνο (α) λα δηαηππώζεηε κηα ηθαλή θαη αλαγθαία ζπλζήθε γηα λα είλαη δπν επζείεο θάζεηεο . 427) Γίλεηαη ηεηξάγσλν ΑΒΓΓ θαη έζησ Δ ην κέζν ηεο ΑΒ . Αλ Ε ζεκείν ηεο ΑΓ ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη 3 , λα απνδείμεηε όηη 0 90 . 428) α. Αλ Α , Β , Γ , Γ ζεκεία ηνπ επηπέδνπ , λα δεηρζεί όηη 0 . β. Με ηελ βνήζεηα ηνπ εξσηήκαηνο (α) λα απνδείμεηε όηη ηα ύςε ελόο ηξηγώλνπ δηέξρνληαη από ην ίδην ζεκείν . 429) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε θνξπθέο 6 , 1 , 4 , 5 θαη 2 , 3 . Θεσξνύκε ζεκείν Ρ ηεο δηακέζνπ ΑΜ ηέηνην , ώζηε 4 . α. Να βξείηε ην δηάλπζκα . β. Να απνδείμεηε όηη ( , ) 4 . 430) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ εγγεγξακκέλν ζε θύθιν θαη ΑΓ δηάκεζόο ηνπ . Αλ ΑΔ δηάκεηξνο ηνπ θύθινπ , λα δεηρζεί όηη 2 2 2 . 431) Αλ γηα ην ζεκείν Μ ηνπ επηπέδνπ , ηξηγώλνπ ΑΒΓ ηζρύεη , λα δεηρζεί όηη ην ζεκείν Μ είλαη νξζόθεληξν ηνπ ηξηγώλνπ . 432) Αλ Ο είλαη ην πεξίθεληξν ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ θαη Μ ζεκείν ηνπ ηέηνην , ώζηε , λα δεηρζεί όηη ην ζεκείν Μ είλαη νξζόθεληξν ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ .
- 32. διανύσματα κεφάλαιο 1 -30 - 433) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ζεκείν Μ ηνπ επηπέδνπ ηνπ γηα ην νπνίν ηζρύεη 0 . α. Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Μ . β. Πνηνο είλαη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ Μ όηαλ ην ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη ηζνζθειέο ( ) ; 434) Γίλνληαη δπν ζηαζεξά ζεκεία Α θαη Β κε | | 1 . Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Μ γηα ηα νπνία ηζρύεη 1 2 . 435) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ζεκείν Μ γηα ην νπνίν ηζρύεη 2 ( ) . Να δεηρζεί όηη ην Μ αλήθεη ζε θύθιν δηακέηξνπ ΑΒ . 436) Έζησ νξζνθαλνληθό ζύζηεκα αλαθνξάο Oxy θαη ζηαζεξό ζεκείν Α κε | | 3 . Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ Μ ηνπ επηπέδνπ γηα ηα νπνία είλαη ( 2 ) 7 . 437) Γίλεηαη ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΓ . Αλ Μ είλαη ηπραίν ζεκείν ηνπ εγγεγξακκέλνπ θύθινπ , λα δεηρζεί όηη ην άζξνηζκα 2 2 2 | | | | | | , είλαη ζηαζεξό . 438) ην επίπεδν ζεσξνύκε ηα ζεκεία Α θαη Β θαη έζησ ζεκείν Θ , ώζηε 5 3 2 γηα θάζε ζεκείν Ο ηνπ επηπέδνπ . α. Να βξείηε ηελ ζέζε ηνπ ζεκείνπ Θ . β. Σν γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Μ ηνπ επηπέδνπ γηα ηα νπνία ηζρύεη 3 2 0 . 439) Μηα νξζή γσλία θνξπθήο 2 , 3 ζηξέθεηαη γύξσ από ην Α ώζηε νη πιεπξέο ηεο λα ηέκλνπλ ηνπο άμνλεο ζηα ζεκεία Β θαη Γ , όπσο ζην δηπιαλό ζρήκα . Αλ Μ είλαη ην κέζν ηεο ΒΓ λα απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Μ θηλείηαη ζε επζεία ηεο νπνίαο λα βξείηε ηελ εμίζσζε . 440) Γίλεηαη έλα επζύγξακκν ηκήκα 2a θαη έλα κεηαβιεηό ζεκείν Μ ηνπ επηπέδνπ . Αλ Ο είλαη ην κέζν ηνπ ΑΒ , ηόηε : α. Να απνδείμεηε όηη 2 2 a . β. Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ Μ ηνπ επηπέδνπ γηα ηα νπνία ηζρύεη , . 441) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη Γ ην κέζν ηεο ΒΓ . Να απνδείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ Μ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηξηγώλνπ γηα ηα νπνία ηζρύεη 2 2 είλαη θύθινο δηακέηξνπ ΒΓ . 442) Γίλνληαη ηα ζεκεία , 0a θαη 0 , 2a κε 0a . Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Μ ηνπ επηπέδνπ έηζη , ώζηε λα ηζρύεη : α. 2 2 2 2 (όπνπ Ο ε αξρή ησλ αμόλσλ) . β. 2 . 443) Έζησ νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( 0 90 ) . α. Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Μ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηξηγώλνπ γηα ηα νπνία ηζρύεη 2 . β. Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη κνλαδηθό ζεκείν Μ ηνπ παξαπάλσ γεσκεηξηθνύ ηόπνπ ηέηνην , ώζηε 2 . 444) Γίλεηαη επζύγξακκν ηκήκα ΑΒ κε | | 4 . Να απνδείμεηε όηη ην ζύλνιν ησλ ζεκείσλ Ν ηνπ επηπέδνπ πνπ είλαη ηέηνηα , ώζηε λα ηζρύεη 5 , είλαη θύθινο κε θέληξν ην κέζν Ο ηνπ ΑΒ . Πνηα είλαη ε αθηίλα ηνπ θύθινπ ; 445) Να απνδείμεηε όηη ην ζύλνιν ησλ ζεκείσλ Μ ηνπ επηπέδνπ ώζηε 2009 είλαη επζεία θάζεηε ζηελ ΑΒ ζε ζπγθεθξηκέλν ζεκείν ηνπ θνξέα ηεο ΑΒ . 446) Σα δηαλύζκαηα a θαη είλαη κε ζπγγξακκηθά . Αλ | | 1a , , λα δεηρζεί όηη ην εκβαδόλ ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ πνπ έρεη a θαη είλαη κηθξόηεξν ή ίζν ηνπ | | .
- 33. διανύσματα κεφάλαιο 1 -31 - 447) Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ θαη , . Αλ Δ είλαη ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ , λα απνδείμεηε όηη : 2 2 2 2 4 | | | | ( ) . 448) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε | | | | 5 θαη | | 6 . α. Να βξείηε ην . β. Να βξείηε ηελ ζέζε ηνπ ζεκείνπ Θ γηα ην νπνίν ηζρύεη 2 3 3 0 . γ. Να απνδείμεηε όηη 2 22 . δ. Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Μ ηνπ επηπέδνπ γηα ηα νπνία ηζρύεη : 2 14 . 449) Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ θαη έζησ ην ύςνο ηνπ ΑΓ . α. Να απνδείμεηε όηη 2 | | . β. ε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα αλαθνξάο ( , , )i j είλαη 2i j θαη 2 2i j . Να βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ . §5. γενικέσ αςκήςεισ & προβλήματα 450) Έζησ 0a . Να βξεζεί ην δηάλπζκα x ζε θάζε πεξίπησζε : α. ( ) ( ) 0a x x x x a . β. ( ) ( ) 0a x x x a x , κε 2 0a . 451) Θεσξνύκε ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ θαη Μ ην ζεκείν ηνκήο ησλ επζπγξάκκσλ ηκεκάησλ πνπ ελώλνπλ ηα κέζα ησλ απέλαληη πιεπξώλ ηνπ . Θεσξνύκε ηα ζεκεία Δ θαη Ε , ώζηε θαη . Να απνδείμεηε όηη ην Μ είλαη κέζν ηνπ ΓΕ . 452) Γίλνληαη ηα ζεκεία Α , Β , Γ , Γ ηέηνηα , ώζηε , θαη 1 3 όπνπ . α. Να απνδείμεηε όηη ηα Α , Β , Γ , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά. β. Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ γηα λα είλαη 1 2 . γ. Αλ Μ ηπραίν ζεκείν θαη γηα ηελ ηηκή ηνπ ηνπ (β) εξσηήκαηνο λα απνδείμεηε όηη 3 4 7 . 453) Θεσξνύκε ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ηα ζεκεία Γ , Δ ησλ ΑΒ θαη ΑΓ αληίζηνηρα ηέηνηα , ώζηε 1 3 θαη 3 4 . Αλ Κ είλαη ην ζεκείν ηνκήο ησλ ΒΔ θαη ΓΓ λα εθθξάζεηε ην σο γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ θαη . 454) Θεσξνύκε παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ , Δ ην κέζν ηεο ΑΒ θαη Ε ζεκείν ηεο ΒΓ ηέηνην , ώζηε 2 3 . Αλ Μ είλαη ην θνηλό ζεκείν ησλ ΑΓ θαη ΔΕ , λα απνδείμεηε όηη 2 . 455) Γίλνληαη ηα κνλαδηαία θαη θάζεηα δηαλύζκαηα a θαη . Να βξείηε ηα δηαλύζκαηα u , v γηα ηα νπνία ηζρύεη : i. 2u v a ii. ( 4 )v a iii. / /( )u a . ηε ζπλέρεηα λα ππνινγίζεηε ην | |u v . 456) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε θνξπθέο 1, 2 , 3 , 0 θαη 5 , 4 . Να βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Μ ηνπ επηπέδνπ γηα ηα νπνία ηζρύεη | | | 2 | .
- 34. διανύσματα κεφάλαιο 1 -32 - 457) Γίλεηαη ην ζύζηεκα : ( ) 0 0 a x y x y , όπνπ , ,a κε 0 . α. Να απνδείμεηε όηη ην ζύζηεκα έρεη άπεηξεο ιύζεηο αλ θαη κόλν εάλ 2 2 0a . β. Έζησ 1 1,x y θαη 2 2,x y κε κεδεληθέο ιύζεηο ηνπ ζπζηήκαηνο πνπ αληηζηνηρνύλ ζε δπν δηαθνξεηηθέο ηηκέο 1 θαη 2 ηνπ 1 αληίζηνηρα . Να απνδείμεηε όηη είλαη θάζεηα ηα δηαλύζκαηα 1 1( , )u x y θαη 2 2( , )v x y . 458) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a θαη γηα ηα νπνία ηζρύεη | | 2a , | | 1 θαη 1a . Θεσξνύκε ηα δηαλύζκαηα u a θαη v a όπνπ , . α. Να πξνζδηνξίζεηε ηα , ώζηε ηα κέηξα ησλ δηαλπζκάησλ u θαη v λα γίλνληαη ειάρηζηα . β. Γηα ηηκέο ησλ , ηνπ εξσηήκαηνο (α) λα βξείηε ηελ γσλία ( , )u v . 459) Αλ γηα ην ζεκείν Μ ηνπ επηπέδνπ ελόο ηξηγώλνπ ΑΒΓ ηζρύνπλ θαη όπνπ , , λα απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Μ είλαη κέζν ηεο ΒΓ . 460) Έζησ νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( 0 90 ) . Φέξνπκε ην ύςνο ΑΓ θαη ηελ δηάκεζν ΑΜ ηνπ ηξηγώλνπ . Αλ , θαη Δ , Ε ζεκεία ησλ ΑΒ , ΑΓ αληίζηνηρα , λα απνδείμεηε όηη . 461) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , ηέηνηα , ώζηε | | | | | ( 1) | 2 a x a x , γηα θάζε x . Nα απνδείμεηε όηη 0a . 462) Έζησ ε γσλία ησλ δηαλπζκάησλ , κε 2 . Να απνδείμεηε όηη ην εκβαδόλ Δ ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ ΟΑΓΒ είλαη 2 2 2 | ( ) | | | | | ( ) . 463) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , ηέηνηα , ώζηε | | | | 1a θαη a κε 0 , 2 . α. Να απνδείμεηε όηη ηα a , δελ είλαη ζπγγξακκηθά . β. Γηα ηα δηαλύζκαηα 1 ( ) 2 2 u a θαη 1 ( ) 2 2 v a , λα απνδείμεηε όηη | | | |u v θαη u v . 464) Έζησ a , κε κεδεληθά δηαλύζκαηα θαη ( ) | |f x a x , x . Να απνδείμεηε όηη : α. ( ) 0f x γηα θάπνην x αλ θαη κόλν εάλ / /a . β. ( ) | |f a a αλ θαη κόλν εάλ a . γ. Αλ ( , ) 2 a , ηόηε 1 | | | |f a . Πόηε ηζρύεη ην ίζνλ ; 465) Έζησ ΑΒΓΓ παξαιιειόγξακκν θαη Δ , Ε , Ζ , Θ ζεκεία ζηηο ΑΒ , ΒΓ , ΓΓ , ΓΑ αληίζηνηρα . Αλ Ο ην θέληξν ηνπ , λα δεηρζεί όηη : α. Σα θαη δηαηεξνύλ ζηαζεξή δηεύζπλζε γηα νπνηαδήπνηε ζέζε ησλ Δ , Ε , Ζ , Θ πνπ δελ ηα κεδελίδεη ( Δ , Ο , Ζ κε ζπλεπζεηαθά , Ε , Ο , Θ κε ζπλεπζεηαθά) . β. 0 αλ θαη κόλν εάλ ΑΒΓΓ νξζνγώλην . 466) Σα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα u , v είλαη θάζεηα θαη ηζρύεη (1 )u v u v , . α. Να ππνινγηζηεί ην . β. Αλ ( )f x , λα απνδεηρζεί όηη ( (3 )) ( (1999)) 0f f x f f . 467) Γίλνληαη ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα a , , u , v γηα ηα νπνία ηζρύνπλ | | | |u u v a θαη | | | |v u v . Να απνδείμεηε όηη : α. | | | | | | | |u v a . β. 2( )(| | | |)u a v a a .
- 35. διανύσματα κεφάλαιο 1 -33 - 468) Γίλνληαη ηα ζεκεία , , , a , , a πνπ είλαη θνξπθέο ηζόπιεπξνπ ηξηγώλνπ. Να απνδείμεηε όηη : α. 2 β. 3 | | | | 2 a γ. Ζ εμίζσζε 2 0 a x x έρεη εθηόο ηεο κεδεληθήο ξίδαο θαη άιιε ξίδα πνπ είλαη άξξεηνο αξηζκόο . 469) Έζησ 0a θαη ( ) | (1 ) |f x x a x , x . Να απνδείμεηε όηη : α. (0) 0f θαη (1) 1f θαη όηη (0) (1) | | | |f f a . β. | | | | | | | | | | | | | | | | a f f a a a . γ. Αλ 1 2 x θαη (1 ) ( )f x f x , ηόηε | | | |a . δ. Αλ ( ) | (1 ) |g x x a x , x , δείμηε όηη αλ ( ) ( )f x g x γηα θάπνην 0 ,1x ηόηε a . 470) Αλ Ο ζεκείν ζην επίπεδν ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ ώζηε , όπνπ Μ , Κ , Λ κέζα ησλ ΑΒ , ΓΒ , ΓΑ αληίζηνηρα , λα δεηρζεί όηη ην Ο είλαη πεξίθεληξν ηνπ ΑΒΓ . 471) Γίλεηαη ηξαπέδην 0 90 θαη νλνκάδνπκε Μ ην κέζν ηνπ ΑΒ . Να δείμεηε όηη : α. . β. 2 | | | | | | . γ. Πνηα ζπλζήθε πξέπεη λα πιεξνύλ ηα κέηξα ησλ επζπγξάκκσλ ηκεκάησλ ΑΒ , ΑΓ , ΒΓ ώζηε ηα δηαλύζκαηα θαη λα ζρεκαηίδνπλ γσλία : i. νμεία , ii. νξζή , iii. ακβιεία ; 472) Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ θαη a , | | | |a , , | | | | πνπ ε θνξά ηνπο είλαη πξνο ην εμσηεξηθό κέξνο ηνπ ηξηγώλνπ θαη 0a Να δείμεηε όηη : α. a β. γ. | | | | . 473) Σν δηπιαλό ζρήκα παξηζηάλεη έλα νδηθό δίθηπν θαη γλσξίδνπκε ηηο απνζηάζεηο ΟΑ = 3 Km , ΑΓ = 4,5 Km , ΟΒ = 4 Km θαη ΒΓ = 2 Km . Να πξνζδηνξίζεηε ηε ζέζε ηνπ ζεκείνπ ζην νπνίν δηαζηαπξώλνληαη νη δξόκνη ΑΒ θαη ΓΓ . 474) Σέζζεξηο επζύγξακκνη δξόκνη δ1 , δ2 , δ3 θαη δ4 δηαζηαπξώλνληαη αλά δύν ζε δηαθνξεηηθά ζεκεία όπσο θαίλεηαη ζην δηπιαλό ζρήκα . Αλ ζέζνπκε a θαη , ηόηε : α. Να απνδείμεηε όηη ππάξρνπλ ζεηηθνί αξηζκνί ι θαη κ έηζη , ώζηε λα ηζρύεη a θαη . Δπίζεο λα απνδείμεηε όηη . β. Να εθθξάζεηε , σο ζπλάξηεζε ησλ , , a , ηηο δηαλπζκαηηθέο αθηίλεο ησλ κέζσλ Ζ θαη Θ ησλ επζύγξακκσλ δξόκσλ ΑΓ θαη ΒΓ αληίζηνηρα κε ζεκείν αλαθνξάο ην Ε. γ. Να βξείηε ηνπο πξαγκαηηθνύο αξηζκνύο θαη v γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη θαη v . δ. Να εθθξάζεηε , σο ζπλάξηεζε ησλ , v , a , ηηο δηαλπζκαηηθέο αθηίλεο ηνπ κέζνπ Κ ηνπ επζύγξακκνπ δξόκνπ ΔΕ κε ζεκείν αλαθνξάο ην Ε. ε. Να εμεηάζεηε αλ ν δξόκνο ΘΖΚ είλαη επζύγξακκνο.
- 36. 2015-2016 η ευθεία στοεπίπεδο Ασκήσεις Παγώνης Θεόδωρος Μαθηματικός
- 37. η ευθεία στοεπίπεδο κεφάλαιο 2 - 35 - §1. εξίςωςη ευθείασ 1) Λα βξείηε ηνλ ζπληειεζηή δηεύζπλζεο : α. ηεο επζείαο 1 ε νπνία δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 2 , 3 θαη 2 ,1 , β. ηεο επζείαο 2 ε νπνία ηέκλεη ηνπο άμνλεο ζηα ζεκεία 2 , 0 θαη 0 , 3 , γ. ηεο επζείαο 3 πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 , 2 θαη είλαη παξάιιειε κε ηελ 2 . 2) Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην 2 , 3 θαη : α. είλαη παξάιιειε πξνο ην δηάλπζκα 1,1 , β. ζρεκαηίδεη γσλία 45ν κε ηνλ άμνλα x x , γ. είλαη θάζεηε ζηελ επζεία 1 3 2 y x . 3) Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην 1, 2 θαη : α. είλαη παξάιιειε ζηελ δηρνηόκν ηεο 1εο γσλίαο ησλ αμόλσλ , β. ζρεκαηίδεη γσλία 135ν κε ηνλ άμνλα x x , γ. είλαη θάζεηε ζηελ επζεία 2 2009 0x y . 4) Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην 1, 5 θαη : α. είλαη παξάιιειε πξνο ην δηάλπζκα 2 , 4 , β. είλαη παξάιιειε πξνο ην δηάλπζκα 0 , 3 , γ. ζρεκαηίδεη κε ηνλ άμνλα x x γσλία 3 4 . 5) Λα βξείηε ηελ γσλία ηελ νπνία ζρεκαηίδνπλ κε ηνλ άμνλα x x νη επζείεο πνπ δηέξρνληαη από ηα ζεκεία : α. 3 , 2 , 1, 4 β. 1, 5 , 2 , 6 γ. 1, 0 , 2 , 3 δ. 3 , 3 , 0 , 4 6) Γίλεηαη ε επζεία 1 : 2 3y x . α. Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο 2 ε νπνία είλαη θάζεηε ζηελ επζεία 1 θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1, 1 . β. Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο 3 ε νπνία είλαη παξάιιειε κε ηελ 1 θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 , 3 . 7) Γίλνληαη ηα ζεκεία 2 ,1 θαη , 3a a , όπνπ a θαη ε επζεία : 2 1 0x y . Λα βξείηε ην a ώζηε ε επζεία ΑΒ λα είλαη : α. παξάιιειε ζηελ , β. θάζεηε ζηελ . 8) Λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο : α. ηεο επζείαο 1 πνπ είλαη θάζεηε ζηελ επζεία : 2 2y x θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1, 4 , β. ηεο επζείαο 2 πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 3 , 3 θαη 1, 5 , γ. ηεο επζείαο 3 πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1 2 , 2 θαη ζρεκαηίδεη γσλία 45ν κε ηνλ άμνλα x x . 9) Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο : α. πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 ,13 θαη έρεη ζπληειεζηή δηεύζπλζεο 3 4 , β. πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 , 3 θαη ζρεκαηίδεη κε ηνλ άμνλα x x γσλία 3 , γ. πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 5 , 2 θαη 4 , 7 . 10) Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο : α. πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 0 , 3 θαη είλαη παξάιιειε πξνο ηελ επζεία 2 5 0x y , β. πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1, 0 θαη είλαη θάζεηε πξνο ηελ επζεία 2 3( 1)y x , γ. πνπ ηέκλεη ηνπο άμνλεο ζηα ζεκεία 2 , 0 θαη 0 , 5 .
- 38. η ευθεία στοεπίπεδο κεφάλαιο 2 - 36 - 11) Έζησ ε επζεία : y ax , 0a . α. Λα βξεζνύλ ηα ,a ώζηε ε λα δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 4 , 3 θαη 2 , 5 . β. Λα βξείηε ηελ ηηκή ηνπ ώζηε ην ζεκείν 3 , 2 1 λα αλήθεη ζηελ . 12) Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 2 2 0x y θαη 2 : 5 23 0x y . α. Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν ηνκήο ησλ 1 , 2 θαη είλαη παξάιιειε ζην δηάλπζκα 2 , 2 . β. Λα βξείηε : i. ηελ ηηκή ηνπ ώζηε ε επζεία λα δηέξρεηαη από ην ζεκείν 3 1, 5 , ii. ηελ εμίζσζε ηεο θάζεηεο ζηελ επζεία πνπ δηέξρεηαη από ην Θ . 13) Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 2 3 0x y θαη 2 : 2 3 1 0x y . Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν ηνκήο ησλ 1 , 2 θαη ην κέζν ηνπ ηκήκαηνο ΑΒ κε 2 , 3 θαη 4 , 1 . 14) Γίλνληαη ηα ζεκεία 2 , 5 θαη 4 , 3 . Λα βξείηε : α. ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο ΑΒ , β. ηα ζεκεία ηνκήο ηεο ΑΒ κε ηνπο άμνλεο , γ. ηελ γσλία πνπ ζρεκαηίδεη ε ΑΒ κε ηνλ άμνλα x x . 15) Γίλνληαη ηα ζεκεία 4 , 1 θαη 5 , 2 . Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο 1 πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία απηά . Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο 2 πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 1 3 , 2 , 3 6 , 2 . Λα δείμεηε όηη ε 1 είλαη θάζεηε ζηελ 2 . 16) Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ ηέκλεη ηνπο άμνλεο ζηα ζεκεία : α. 1 , 0 a θαη 1 0 , β. , 0 a θαη 0 , a 17) Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία ( ) ,a a θαη , ( )a a . 18) Ζ επζεία δηέξρεηαη από ην ζεκείν 3 , 5 θαη ζρεκαηίδεη γσλία 60ν κε ηνλ άμνλα x x . α. Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο . β. Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο ζπκκεηξηθήο ηεο επζείαο 1 σο πξνο ηνλ άμνλα x x . 19) Λα βξείηε ην ζπκκεηξηθό ηνπ 3 , 6 σο πξνο ηελ επζεία 1 : 1 4 y x . 20) Γίλεηαη ε επζεία : 2 3 1 0x y θαη ην ζεκείν 1, 3 . Λα βξεζεί ην ζπκκεηξηθό Β ηνπ Α κε άμνλα ζπκκεηξίαο ηελ . 21) Γίλεηαη ε επζεία : 1 0x y θαη ην ζεκείν 2 , 1 . Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο : α. ηεο πξνβνιήο ηνπ Κ πάλσ ζηελ επζεία , β. ηνπ ζπκκεηξηθνύ ηνπ Κ σο πξνο ηελ επζεία . 22) Γίλεηαη ην ζεκείν 6 , 4 θαη ε επζεία : 4 5 3 0x y . Λα βξείηε : α. ηελ πξνβνιή ηνπ Κ πάλσ ζηελ επζεία , β. ην ζπκκεηξηθό ηνπ Κ σο πξνο ηελ επζεία . 23) Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 2 2 0x y , 2 : 2 0x y θαη 3 : 2 7 0x y . Λα βξεζεί ζεκείν Α ηεο 1 ώζηε ην ζπκκεηξηθό ηνπ σο πξνο ηελ 2 λα αλήθεη ζηελ 3 . 24) Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 2 1 0x y θαη 2 :3 2 3 0x y . Λα βξεζεί ε ζπκκεηξηθή επζεία ηεο 1 κε άμνλα ζπκκεηξίαο ηελ 2 . 25) Γίλνληαη ηα ζεκεία 1, 3 θαη 3 , 7 . Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο κεζνθάζεηεο ηνπ ΑΒ . 26) Λα βξείηε ην ζεκείν ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 2 ,1 θαη 4 , 3 κε ζπληεηαγκέλεο ίζεο .
- 39. η ευθεία στοεπίπεδο κεφάλαιο 2 - 37 - 27) Σα ζεκεία ηνκήο ηεο επζείαο κε ηηο επζείεο 1 : 3 3y x θαη 2 : 3 3y x είλαη ηα ζεκεία Α θαη Β αληίζηνηρα . Αλ ε επζεία δηέξρεηαη από ην ζεκείν 3 3 , 2 2 , λα βξεζεί ε εμίζσζή ηεο ώζηε ην Κ λα είλαη ην κέζν ηνπ ΑΒ . 28) Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 0 ,1 θαη ηέκλεη ηηο επζείεο 1 : 3 10 0x y θαη 2 : 2 8 0x y ζηα ζεκεία Α θαη Β αληίζηνηρα , ώζηε ην Κ λα είλαη ην κέζν ηνπ ΑΒ . 29) Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1, 4 θαη ηέκλεη ηηο επζείεο 1 : 4x y θαη 2 : 2 3y x ζηα ζεκεία Α θαη Β αληίζηνηρα , ώζηε ην Κ λα είλαη ην κέζν ηνπ ΑΒ . 30) Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 1 0x y θαη 2 : 3 4 0x y θαη ην 4 , 3 . Λα βξεζεί ζεκείν Β ηεο 1 ώζηε ε 2 λα δηέξρεηαη από ην κέζν ηνπ ΑΒ . 31) Ζ επζεία ηέκλεη ηελ 1 : 2 2y x ζην ζεκείν Α θαη ηελ 2 : 2 2y x ζην Β . Αλ ε επζεία δηέξρεηαη από ην ζεκείν 4 , 2 ην νπνίν είλαη ην κέζν ηνπ ΑΒ , λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο . 32) Λα βξείηε ηελ επζεία πνπ δηέξρεηαη από ην ζπκκεηξηθό ηνπ 1, 2 σο πξνο ηελ επζεία 2 0x y θαη είλαη παξάιιειε πξνο ηελ επζεία : 2 1 0x y . 33) Γίλνληαη νη παξάιιειεο επζείεο 1 : 2 8 0x y θαη 2 : 4 2 8 0x y . Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο κεζνπαξάιιειήο ηνπο . 34) Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο κεζνπαξάιιειεο ησλ παξαιιήισλ επζεηώλ 1 :3 4y x θαη 2 :3 5y x . 35) Λα ππνινγηζηεί ε γσλία ησλ επζεηώλ 1 : 5 2 0x y θαη 2 : 2 3 1 0x y . 36) Λα βξείηε ηελ νμεία γσλία ησλ επζεηώλ α. 1 :3 1 0x y θαη 2 : 2 5 0x y β. 1 : 1 0x θαη 2 : 3 2 0x y 37) Λα βξείηε κηα από ηηο γσλίεο πνπ ζρεκαηίδνπλ νη επζείεο 1 :3 2 4 0x y θαη 2 : 5 3 0x y 38) Γίλνληαη ηα ζεκεία 1 , θαη 1 , v v . α. Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ηα Κ θαη Λ . β. Αλ ε ΚΛ ηέκλεη ηνπο άμνλεο x x θαη y y ζηα ζεκεία Α θαη Β αληίζηνηρα λα δείμεηε όηη 2 2 22 2 2 1 ( ) . 39) Γίλνληαη ηα ζεκεία 1 , a a θαη 1 , . α. Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ηα Α θαη Β . β. Αλ ε επζεία απηή ηέκλεη ηνπο άμνλεο x x θαη y y ζηα Γ θαη Γ αληίζηνηρα λα δείμηε όηη ΓΑ = ΓΒ. 40) Λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ επζεηώλ πνπ δηέξρνληαη από ην ζεκείν 2 , 0 θαη ηέκλνπλ ηηο επζείεο 1 : 1x y θαη 2 : 3x y ζηα ζεκεία Α θαη Β , ηέηνηα ώζηε ( ) 4 . 41) Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ είλαη θάζεηε ζηελ επζεία 1 1 : 5 3 y x θαη ηέκλεη ηνπο άμνλεο x x θαη y y ζηα ζεκεία Α θαη Β αληίζηνηρα έηζη ώζηε ην άζξνηζκα ηεο ηεηκεκέλεο ηνπ Α θαη ηεο ηεηαγκέλεο ηνπ Β λα είλαη ίζν κε 6. 42) Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ είλαη παξάιιειε ζηελ επζεία 2 5y x θαη ηέκλεη ηνπο άμνλεο x x θαη y y ζηα ζεκεία Α θαη Β έηζη , ώζηε ε δηαθνξά ηεο ηεηαγκέλεο ηνπ Β από ηελ ηεηκεκέλε ηνπ Α λα είλαη ίζε κε 5 . 43) Γίλνληαη ηα ζεκεία 0 , 2 , 3 , 3 θαη ε επζεία : 4 0x y . Λα βξείηε ηα ζεκεία Κ ηεο γηα ηα νπνία είλαη 4 .
- 40. η ευθεία στοεπίπεδο κεφάλαιο 2 - 38 - 44) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 4 , 5 , 1, 2 θαη 3 , a , a . Λα βξεζεί ην a ώζηε 0 90 . 45) Γίλνληαη νη θνξπθέο ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ 3 ,1 , 4 , 4 θαη 6 , 0 . α. Λα δείμεηε όηη 0 90 . β. Λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ . 46) Γίλνληαη ηα ζεκεία 3 ,1 , 0 , 2 θαη 1, 0 . α. Λα απνδείμεηε όηη ηα Α , Β , Γ είλαη θνξπθέο νξζνγσλίνπ θαη ηζνζθεινύο ηξηγώλνπ . β. Λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο : i. ηνπ ύςνπο ΓΔ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ , ii. ηεο δηακέζνπ ΑΓ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ . γ. Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ ηνκήο ησλ παξαπάλσ επζεηώλ . 47) Σα ζεκεία 2 , 5 , 0 ,1 θαη 2 , 5 είλαη θνξπθέο ηξηγώλνπ . α. Λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ . β. Λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ κεζνθαζέησλ ηνπ . 48) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 3 ,1 , 2 , 1 θαη 4 , 2 . Λα βξείηε ηελ εμίζσζε : α. ηεο δηακέζνπ ΑΓ , β. ηνπ ύςνπο ΒΔ , γ. ηεο κεζνθάζεηεο ηεο πιεπξάο ΑΒ . 49) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε θνξπθέο ηα ζεκεία 1,1 , 1, 3 θαη 2 , 4 . Λα βξείηε : α. ηελ εμίζσζε ηνπ ύςνπο ηνπ ηξηγώλνπ από ηελ θνξπθή Α , β. ηελ εμίζσζε ηεο δηακέζνπ ηνπ ηξηγώλνπ από ηελ θνξπθή Β , γ. ην ζεκείν ηνκήο ησλ παξαπάλσ επζεηώλ . 50) Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 3 , 2 θαη ζρεκαηίδεη κε ηνπο άμνλεο ηζνζθειέο ηξίγσλν . 51) Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 , 3 θαη ζρεκαηίδεη κε ηνπο άμνλεο ηζνζθειέο ηξίγσλν . 52) Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 3 ,1 θαη ζρεκαηίδεη κε ηνπο άμνλεο ηζνζθειέο ηξίγσλν . 53) Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 , 1 θαη ζρεκαηίδεη κε ηηο επζείεο 1 : 2 5 0x y θαη 2 :3 6 1 0x y ηζνζθειέο ηξίγσλν . 54) Σα κέζα ησλ πιεπξώλ ΑΒ , ΑΓ θαη ΒΓ είλαη ηα ζεκεία 1, 3 , 2 , 4 θαη 3 , 6 αληίζηνηρα . Λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ ηξηγώλνπ . 55) Σα κέζα ησλ πιεπξώλ ΑΒ , ΑΓ θαη ΒΓ είλαη ηα ζεκεία 3 , 4 , 1, 4 θαη 7 , 2 αληίζηνηρα . Λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ ηξηγώλνπ . 56) Λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ΑΒ θαη ΑΓ θαη ηεο δηακέζνπ ΑΚ ηξηγώλνπ ΑΒΓ κε 3 , 2 , 4 , 3 θαη 1, 5 . 57) Γίλνληαη ηα ζεκεία 4 , 3 , 2 , 5 θαη 0 ,1 . α. Λα απνδείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη νξζνγώλην . β. Λα βξείηε ηα , ώζηε ε επζεία ΑΒ λα δηέξρεηαη από ηα ζεκεία , θαη 2 , . 58) Λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηξηγώλνπ ΑΒΓ θαζώο θαη ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ Β θαη Γ , αλ ην ύςνο πνπ δηέξρεηαη από ηελ θνξπθή Β έρεη εμίζσζε 2 1y x θαη ην ύςνο πνπ δηέξρεηαη από ηελ θνξπθή Γ έρεη εμίζσζε 3 13y x . Γίλεηαη ε θνξπθή 2 , 4 . 59) Σν ύςνο πνπ δηέξρεηαη από ηελ θνξπθή β ηξηγώλνπ ΑΒΓ έρεη εμίζσζε 2 5y x , ελώ ην ύςνο πνπ δηέξρεηαη από ηελ θνξπθή Γ έρεη εμίζσζε 2 2 1y x . Λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ ηξηγώλνπ θαη νη ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ Β θαη Γ αλ γλσξίδνπκε όηη ε θνξπθή 1, 3 . 60) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 1, 2 . Αλ νη επζείεο 1 : 2 0x y θαη 2 :3 5 0x y , είλαη κεζνθάζεηεο ησλ πιεπξώλ ΑΒ θαη ΑΓ αληίζηνηρα , λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ Β θαη Γ .
- 41. η ευθεία στοεπίπεδο κεφάλαιο 2 - 39 - 61) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 1, 2 . Αλ νη επζείεο 1 : 2 0x y θαη 2 :3 5 0x y , είλαη κεζνθάζεηεο ησλ πιεπξώλ ΑΒ θαη ΑΓ αληίζηνηρα , λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ Β θαη Γ . 62) ε ηξίγσλν ΑΒΓ δπν ύςε ηνπ έρνπλ εμηζώζεηο 1 : 2 11 5 0x y θαη 2 :5 6 16 0x y . Αλ ε θνξπθή Α έρεη ζπληεηαγκέλεο 2 , 5 , λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ . 63) Γίλεηαη ε θνξπθή 2 ,1 ελόο ηξηγώλνπ ΑΒΓ θαη έζησ όηη νη επζείεο πάλσ ζηηο νπνίεο βξίζθνληαη δπν ύςε ηνπ έρνπλ εμηζώζεηο 1 :3 11 0x y θαη 2 : 3 0x y . Λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ θαη ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ ηνπ Β θαη Γ . 64) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 1, 3 θαη έζησ 1 :3 2 0x y , 2 : 2 7 0x y νη εμηζώζεηο δπν πςώλ ηνπ ηξηγώλνπ . Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ Β θαη Γ . 65) ε ηξίγσλν ΑΒΓ δίλεηαη ε θνξπθή 2 ,1 θαη δπν εμηζώζεηο εζσηεξηθώλ δηρνηόκσλ ηνπ 1 : 2 12x y θαη 2 : 3x y . Λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ ηνπ . 66) Λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ κε θνξπθή 1, 2 , δηρνηόκνο ΒΔ κε εμίζσζε 1 : 6x y θαη ύςνο ΓΕ κε εμίζσζε 2 : 2 3 0x y . 67) ε ηξίγσλν ΑΒΓ δίλεηαη ε θνξπθή ηνπ 2 , 3 , ην ύςνο ηνπ ΓΓ κε εμίζσζε 1 :3 4 3 0x y θαη ε δηάκεζόο ηνπ ΒΚ κε εμίζσζε 2 :5 9 16 0x y . Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ ύςνπο ΒΔ θαη ηεο δηακέζνπ ΓΛ . 68) Γίλεηαη ε θνξπθή 2 ,1 ελόο ηξηγώλνπ ΑΒΓ , : 4 0y ε εμίζσζε ηνπ ύςνπο ΒΓ θαη ε εμίζσζε :3 5 4 0x y ε εμίζσζε ηεο δηακέζνπ ΓΚ . Λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ ηξηγώλνπ . 69) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 3 , 5 ηνπ νπνίνπ νη δηάκεζνη ΒΔ θαη ΓΕ έρνπλ εμηζώζεηο 1 : 4 3 0x y θαη 2 : 4 5 23 0x y αληίζηνηρα . Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ Β θαη Γ . 70) Λα Βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ κε θνξπθή 3 ,1 αλ 1 : 2 1 0x y θαη 2 : 1y είλαη νη εμηζώζεηο δπν δηακέζσλ ηνπ . 71) Λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηξηγώλνπ ΑΒΓ ηνπ νπνίνπ ε θνξπθή Α είλαη ε ηξίγσλν ΑΒΓ δίλεηαη ε θνξπθή 2 ,1 θαη δπν εμηζώζεηο εζσηεξηθώλ δηρνηόκσλ ηνπ 1 : 2 12x y θαη 2 : 3x y . Λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ ηνπ . 72) Λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηξηγώλνπ ΑΒΓ αλ 4 , 1 θαη 1 : 1 0x , 2 : 1 0x y , όπνπ 1 , 2 δηρνηόκνη . 73) ε ηξίγσλν ΑΒΓ νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ ΑΒ θαη ΑΓ είλαη 1 : 2 7 0x y θαη 2 :3 3x y αληίζηνηρα . Γίλεηαη αθόκε ε δηρνηόκνο ΓΖ κε εμίζσζε 1 : 9x y . Λα βξεζνύλ νη θνξπθέο ηνπ . 74) Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ ηξηγώλνπ ΑΒΓ κε 2 , 7 αλ 3 11 0x y θαη 2 7 0x y είλαη αληίζηνηρα νη εμηζώζεηο ελόο ύςνπο θαη κηαο δηακέζνπ πνπ θέξνληαη από δηαθνξεηηθέο θνξπθέο . 75) Έζησ :3 12 0x y , : 2 5 25 0x y νη εμηζώζεηο ηνπ ύςνπο θαη ηεο δηακέζνπ αληίζηνηρα ηξηγώλνπ ΑΒΓ πνπ θέξνληαη από ηελ ίδηα θνξπθή ηνπ θαη 1, 4 . Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ άιισλ θνξπθώλ ηνπ . 76) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 1, 4 θαη έζησ : 1x y , : 6y νη εμηζώζεηο ελόο ύςνπο θαη κηαο δηακέζνπ αληίζηνηρα . Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ ηνπ . 77) ε ηξίγσλν ΑΒΓ δίλνληαη νη θνξπθέο ηνπ 1, 2 , 2 , 3 θαη 3 , 2 . Λα βξεζεί ην ζπκκεηξηθό ηνπ Γ σο πξνο άμνλα ζπκκεηξίαο ηελ επζεία ΑΒ .
- 42. η ευθεία στοεπίπεδο κεφάλαιο 2 - 40 - 78) Οη κεζνθάζεηεο ησλ πιεπξώλ ΑΒ θαη ΑΓ ελόο ηξηγώλνπ έρνπλ εμηζώζεηο 1 :12 4 11 0x y θαη 2 : 2 4 1 0x y αληίζηνηρα . Λα βξεζνύλ νη πιεπξέο ηνπ αλ 1,1 είλαη ε κηα θνξπθή ηνπ . 79) Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) κε 2 , 2 θαη 1, 3 . Αλ ε εμίζσζε ηνπ ύςνπο ΑΓ είλαη 2 6 0x y , λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ . 80) ε ηξίγσλν ΑΒΓ δίλνληαη νη θνξπθέο ηνπ 1, 2 θαη 4 , 1 . Αλ ην νξζόθεληξν ηνπ είλαη ην ζεκείν 3 , 5 , λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ . 81) Σξίγσλν ΑΒΓ έρεη θνξπθή 3 ,1 , νξζόθεληξν 6 , 2 θαη ε εμίζσζε κεζνθάζεηεο ηεο ΑΒ ηελ επζεία 3 26 0x y . Λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ . 82) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 3 , 1 θαη : 4 16 0x y ε εμίζσζε ηεο κεζνθάζεηεο ηεο πιεπξάο ΑΒ . Αλ 4 , 1 είλαη ην νξζόθεληξό ηνπ , λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ. 83) ε ηξίγσλν ΑΒΓ δίλνληαη 10 , 2 , 6 , 4 θαη 5 , 2 ην νξζόθεληξν . Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ Γ . 84) Σξίγσλν ΑΒΓ έρεη θνξπθέο 2 ,1 , 5 , 4 . Αλ 3 , 6 είλαη ην έγθεληξό ηνπ , λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ . 85) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 3 , 6 , 1, 2 θαη 5 , 4 . Λα βξείηε ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ. 86) Γίλνληαη ηα ζεκεία 4 , 3 , 2 ,1 θαη 2 , 3 . α. Λα απνδείμεηε όηη ηα Α , Β , Γ είλαη θνξπθέο ηξηγώλνπ θαη λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο ηνπ ύςνπο ΑΓ ηνπ ηξηγώλνπ . β. Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ θέληξνπ ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ ηξηγώλνπ . 87) Γίλεηαη ην παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ κε 2 , 3 , 3 , 2 θαη 3 ,1 . Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηεο θνξπθήο Γ θαζώο θαη ηηο εμηζώζεηο ησλ δηαγσλίσλ ηνπ . 88) Γίλνληαη ηα ζεκεία 2 , 3 , 6 , 6 , 7 ,1 θαη 3 , 2 . α. Λα δείμεηε όηη ην ΑΒΓΓ είλαη παξαιιειόγξακκν . β. Λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ δηαγσλίσλ ηνπ . 89) Οη δπν πιεπξέο παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ έρνπλ εμηζώζεηο 1 : 2 1 0x y θαη 2 :8 3 1 0x y , ελώ κηα δηαγώληόο ηνπ έρεη εμίζσζε :3 2 3 0x y . Λα βξεζνύλ νη θνξπθέο ηνπ . 90) Παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ έρεη ηηο πιεπξέο ΑΒ θαη ΑΓ ζηηο επζείεο 1 :3 11y x θαη 2 : 5x y αληίζηνηρα . Αλ ην θέληξν ηνπ είλαη ην ζεκείν 1,1 , λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ άιισλ πιεπξώλ ηνπ . 91) Λα βξεζνύλ νη πιεπξέο ηεηξαγώλνπ ΑΒΓΓ ηνπ νπνίνπ δίλνληαη νη θνξπθέο 2 , 0 θαη 5 ,1 . 92) Γίλνληαη ηα ζεκεία 1, 2 , 11 3 , 2 , 13 7 , 2 2 θαη 9 , 0 2 . α. Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία απηά ζρεκαηίδνπλ ηεηξάγσλν . β. Λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ δηαγσλίσλ ηνπ . 93) Οη θνξπθέο Β θαη Γ ηεηξαγώλνπ ΑΒΓΓ έρνπλ ζπληεηαγκέλεο 1, 3 θαη 3 ,1 αληίζηνηρα . Λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ . 94) Σεηξαγώλνπ ΑΒΓΓ κηα πιεπξά ηνπ βξίζθεηαη ζηελ επζεία : 2 12 0x y , ην θέληξν ηνπ είλαη ην ζεκείν 1, 1 θαη κηα θνξπθή ηνπ είλαη ε 4 , 8 . Λα βξεζνύλ νη άιιεο θνξπθέο ηνπ .
- 43. η ευθεία στοεπίπεδο κεφάλαιο 2 - 41 - 95) Γίλεηαη ηεηξάγσλν ΑΒΓΓ κε θέληξν ην ζεκείν 1, 2 ηνπ νπνίνπ νη δπν πιεπξέο βξίζθνληαη ζηηο επζείεο 1 : 2 6 0x y θαη 2 : 2 12 0x y . Λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ επζεηώλ πάλσ ζηηο νπνίεο βξίζθνληαη νη άιιεο δπν πιεπξέο ηνπ . 96) Γίλεηαη ην ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ κε θνξπθέο ηα ζεκεία 1,1 , 11, 6 , 6 , 6 θαη 4 , 5 α. Λα απνδείμεηε όηη ην ΑΒΓΓ είλαη ηζνζθειέο ηξαπέδην. β. Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο δηακέζνπ ηνπ . 97) Γίλεηαη όηη ην ζεκείν 0 , 4 είλαη θνξπθή ξόκβνπ . Αλ κηα δηαγώληνο ηνπ ξόκβνπ βξίζθεηαη πάλσ ζηελ επζεία 1 : 3 2 0x y θαη δπν πιεπξέο ηνπ είλαη παξάιιειεο πξνο ηελ επζεία 2 : 0y x , λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ ηνπ . 98) Οη δηαγώληεο ελόο ξόκβνπ έρνπλ κήθε 4 θαη 6 αληίζηνηρα θαη βξίζθνληαη ζηνπο άμνλεο x x θαη y y . Λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ . 99) Γίλνληαη ηα ζεκεία 2 ,1 θαη 2 , 4 . Αλ έλα ζεκείν ,x y είλαη ηέηνην ώζηε 0 90 λα δείμεηε όηη νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ Κ επαιεζεύνπλ ηελ εμίζσζε 2 2 3 8 0x y y . 100) Γίλεηαη ε επζεία : 3x y θαη ηα ζεκεία 1,1 θαη 4 , 7 . Λα βξεζεί ζηελ ζεκείν Κ ώζηε ην άζξνηζκα ( ) ( ) λα είλαη ειάρηζην . 101) Γίλνληαη ηα ζεκεία 1, 1 , 2 , 3 θαη ε επζεία : 2 4 0x y . Λα βξείηε ζεκείν Κ ηεο ώζηε ην άζξνηζκα ησλ απνζηάζεσλ ηνπ Κ από ηα Α θαη Β λα είλαη ειάρηζην . Πνην είλαη ην ειάρηζην απηό ; 102) Γίλεηαη επζεία κε ζπληεηαγκέλεο επί ηελ αξρή a θαη . Σπραίν ζεκείν Ρ ηεο πξνβάιιεηαη ζηα ζεκεία Α΄ θαη Β΄ ησλ αμόλσλ x x θαη y y αληίζηνηρα . Λα βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ Κ ηεο Α΄Β΄ γηα ηα νπνία ηζρύεη 2 . 103) Λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ γηα ηα νπνία ηζρύεη 2 2 ( ) ( ) 5 , όπνπ 2 , 3 θαη 1, 4 104) Οη επζείεο 1 :( ) ( ) 1 0x y , 2 :( ) ( ) 1 0x y , 3 : 2x y , 4 : 2 x y , 0 , 2 πεξλνύλ από ην ίδην ζεκείν . Λα βξεζεί πνηα γξακκή δηαγξάθεη ην ζεκείν , , όπνπ , . 105) Γίλνληαη ηα ζεκεία ,a , 0 , 0 θαη , 0 κε 0 . α. Λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη θνξπθέο ηξηγώλνπ . β. Αλ Ο είλαη ην θέληξν ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ , λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ Ο. γ. Λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία ,x y ηνπ επηπέδνπ γηα ηα νπνία ηζρύεη 2 2 2 2 αλήθνπλ ζε επζεία πνπ είλαη θάζεηε ζηελ δηάκεζν ΑΓ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν Ο . §2. γενική μορφή εξίςωςησ ευθείασ 106) Γίλνληαη ηα ζεκεία 2 , 2 θαη 1, 5 . Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο 1 πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία απηά . Αλ ην ζεκείν 5 , 4 αλήθεη ζε κηα επζεία 2 πνπ είλαη θάζεηε ζηελ 1 , λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο 2 . 107) Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν ηνκήο ησλ επζεηώλ 1 : 2 4 0x y θαη 2 :3 8 7 0x y θαη από ην ζεκείν 1, 4 .
- 44. η ευθεία στοεπίπεδο κεφάλαιο 2 - 42 - 108) Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 3 ,1 θαη είλαη θάζεηε ζηελ επζεία 2 10 0x y . Πνην είλαη ην ζεκείν ηνκήο ησλ επζεηώλ ; 109) Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 0 , 2 θαη ηέκλεη ηηο επζείεο 1 : 2 1 0x y θαη 2 : 4 3 0x y ζηα ζεκεία Α θαη Β αληίζηνηρα ώζηε ην Κ λα είλαη κέζν ηνπ ΑΒ . 110) Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 1 0x y θαη 2 : 3 2 0x y θαζώο θαη ην ζεκείν 3 , 2 . Λα βξείηε ζεκείν Β ηεο 1 ηέηνην ώζηε ε 2 λα δηέξρεηαη από ην κέζν ηνπ ΑΒ . 111) Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν ηνκήο ησλ επζεηώλ 1 : 2 3 3 0x y θαη 2 : 4 9 0x y θαη είλαη θάζεηε ζηελ επζεία 3 : 2 1 0x y . 112) Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο κεζνπαξάιιειεο ησλ επζεηώλ 1 : 3 6 0x y θαη 2 :3 9 28 0x y . 113) Γίλεηαη ε επζεία : 2 4 0x y θαη ην ζεκείν 4 , 4 . Λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ηεο πξνβνιήο ηνπ Α ζηελ επζεία . 114) Λα βξείηε ην ζπκκεηξηθό ηνπ ζεκείνπ 5 , 4 σο πξνο ηελ επζεία : 2 3 9 0x y . 115) Λα δείμεηε όηη νη επζείεο 1 : 2 3x y , 2 :5 3 2x y θαη 3 :11 4 7x y δηέξρνληαη από ην ίδην ζεκείν . 116) Λα δείμεηε όηη νη επζείεο 1 : 2 5 20 0x y , 2 : 3 11 0x y θαη 3 : 2 9 0x y δηέξρνληαη από ην ίδην ζεκείν . 117) Λα βξείηε ηελ νμεία γσλία πνπ ζρεκαηίδνπλ νη επζείεο 1 : 3 1 0x y θαη 2 : 2 2 3 1 0x y . 118) Λα βξείηε ηελ νμεία γσλία ησλ επζεηώλ 1 : 1 2 1 2 1 0x y θαη 2 : 2 2 0x y . 119) Λα βξείηε ηελ νμεία γσλία ησλ επζεηώλ 1 :3 4 1 0x y θαη 2 : 7 5 0x y . 120) Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο 1 πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1, 2 θαη 2 2( , ) 4 , όπνπ 2 : 2 4 5 0x y . 121) Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ είλαη θάζεηε ζηελ επζεία : 1 x y a a ζην ζεκείν όπνπ ε ηέκλεη ηνλ άμνλα x x . 122) Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη από ην ζεκείν ηνκήο ησλ επζεηώλ 1 : 1 y x a θαη 2 : 1 x y a ην νπνίν δελ βξίζθεηαη πάλσ ζηνπο άμνλεο x x θαη y y . 123) ε ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη 2 , 6 . Ζ εμίζσζε ηνπ ύςνπο ΑΓ είλαη 2 2 0x y θαη ε δηάκεζνο ΓΕ έρεη εμίζσζε 2 0x y . Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ άιισλ θνξπθώλ ηνπ . 124) Γίλνληαη ηα ζεκεία 1, 3 , 4 , 7 , 2 , 2 ελόο παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ . Λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο όισλ ησλ πιεπξώλ ηνπ , θαζώο θαη νη ζπληεηαγκέλεο ηεο θνξπθήο Γ . 125) Οη δπν πιεπξέο ελόο νξζνγσλίνπ παξαιιεινγξάκκνπ έρνπλ εμηζώζεηο 1x y θαη 3y x θαη κηα θνξπθή ηνπ 3 , 2 . Λα βξείηε ηηο άιιεο θνξπθέο ηνπ νξζνγσλίνπ . 126) Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη ηέκλεη ηηο επζείεο 1 : 2 0x y θαη 2 : 4 0x y ζηα ζεκεία Α θαη Β αληίζηνηρα ώζηε | | 2 .
- 45. η ευθεία στοεπίπεδο κεφάλαιο 2 - 43 - 127) Λα βξείηε ηελ νμεία γσλία πνπ ζρεκαηίδνπλ νη επζείεο 1 :3 3 1y x θαη 2 : 1 1 4x y , . 128) Λα βξείηε ηελ νμεία γσλία πνπ ζρεκαηίδνπλ νη επζείεο 2 : 1 1 5 0x y θαη 1 : 3 0x y , . 129) Γίλνληαη νη επζείεο 1 :3 2 7 0x y θαη 2 : 4 5 6 0x y . Λα βξεζεί ε επζεία : 2 3 4 0x y , πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν ηνκήο ησλ 1 θαη 2 . 130) Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 2 2 2 2 1 0a a x a a y a , a . Λα απνδείμεηε όηη γηα θάζε a ε παξαπάλσ εμίζσζε παξηζηάλεη επζεία γξακκή . 131) Λα εμεηαζζεί γηα πνηεο ηηκέο ηνπ a ε εμίζσζε 2 2 5 6 4 2 3 0a a x a y a , παξηζηάλεη επζεία γξακκή . 132) Λα εμεηαζζεί αλ είλαη δπλαηόλ ε εμίζσζε 2 2 2 2 3 3 5 9a a x a x a y a y , a λα παξηζηάλεη επζεία . 133) Γίλεηαη ε εμίζσζε ( 2 2) 2 0y x y x . Λα δείμεηε όηη απηή παξηζηάλεη επζεία γηα θάζε ηηκή ηνπ . Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ είλαη παξάιιειε πξνο ηνλ άμνλα x x θαη γηα πνηεο ζηνλ y y ; Πόηε δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ ; 134) Λα απνδείμεηε όηη γηα θάζε ε εμίζσζε 2 2 2 4 2 1 1 0x y παξηζηάλεη επζεία γξακκή . Πόηε ε επζεία απηή είλαη παξάιιειε πξνο ηνλ άμνλα x x θαη πόηε πξνο y y ; Πόηε δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ ; 135) Λα απνδείμεηε όηη όιεο νη επζείεο ηεο κνξθήο 2 2 2 2 3 3 4 5 10 0a a x a a y a a , a δηέξρνληαη από ην ίδην ζεκείν . 136) Λα απνδείμεηε όηη όιεο νη επζείεο ηεο κνξθήο 2 2 2 2 1 3 1 2 2 0a a x a a y a a , a δηέξρνληαη από ην ίδην ζεκείν . 137) Γίλεηαη ε εμίζσζε 3 1 5x y , . α. Λα δεηρζεί όηη ε παξαπάλσ εμίζσζε γηα θάζε παξηζηάλεη επζεία . β. Λα δεηρζεί όηη γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ , όιεο νη επζείεο πεξλνύλ από ζηαζεξό ζεκείν. 138) Γίλεηαη ε εμίζσζε 3 1 3 0x y x y , . α. Λα δεηρζεί όηη ε παξαπάλσ εμίζσζε γηα θάζε παξηζηάλεη επζεία . β. Λα δεηρζεί όηη γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ , όιεο νη επζείεο πεξλνύλ από ζηαζεξό ζεκείν. 139) Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 2 : 2 4 2 4 0x y . α. Λα βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ ώζηε ε λα παξηζηάλεη επζεία . β. Λα βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ γηα ηηο νπνίεο νη επζείεο απηέο πεξλνύλ από ην ζεκείν 4 , 2 . 140) Λα δεηρζεί όηη ε εμίζσζε 2 2 2 2 3 1 4 1 0x y , παξηζηάλεη επζεία . Λα βξεζνύλ θαηόπηλ ην ζηαζεξό ζεκείν από ην νπνίν δηέξρεηαη ε επζεία . 141) Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 2 2 : 2 2 2 3 3 2 1 0a a x a a y a a . α. Λα δεηρζεί όηη γηα θάζε a ε παξηζηάλεη επζεία , πνπ δηέξρεηαη από ζηαζεξό ζεκείν , ην νπνίν θαη λα βξεζεί . β. Λα δεηρζεί όηη γηα θάζε a ε ηέκλεη ηελ : 2 5 0x y . 142) Λα δεηρζεί όηη ε εμίζσζε 3 3 2 1 5 1 12 1 0x y παξηζηάλεη επζεία . Λα βξεζνύλ θαηόπηλ ην ζηαζεξό ζεκείν από ην νπνίν δηέξρεηαη ε επζεία.
- 46. η ευθεία στοεπίπεδο κεφάλαιο 2 - 44 - 143) Γίλεηαη ε εμίζσζε : 2 1 3 1 0ax a y a , a . α. Λα δεηρζεί όηη γηα θάζε a ε παξηζηάλεη επζεία . β. Λα δεηρζεί όηη όιεο νη επζείεο πνπ νξίδνληαη από ηελ δηέξρνληαη από ζηαζεξό ζεκείν . γ. Λα βξεζεί ν a ώζηε κηα επζεία λα δηέξρεηαη από ην κέζν ηνπ ΑΒ , όπνπ 1, 5 θαη 5 , 1 . 144) Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 : 2 9 8 5 0a x a y a , 0a . Αθνύ απνδείμεηε όηη ε παξηζηάλεη επζεία , λα βξείηε ην * a ώζηε ε επζεία απηή : α. λα είλαη παξάιιειε ζηνλ άμνλα x x , β. λα είλαη παξάιιειε ζηνλ άμνλα y y , . γ. λα δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ . 145) Λα δεηρζεί όηη όιεο νη επζείεο πνπ εθθξάδνληαη από ηελ εμίζσζε : 3 4 1 2 5 0x y , , δηέξρνληαη από ην ίδην ζεκείν . Θαηόπηλ λα βξεζνύλ εθείλεο πνπ είλαη θάζεηεο ζηελ επζεία 2 2 0x y θαη δηέξρνληαη από ην ζεκείν 0 ,1 . 146) Λα βξεζεί ε επζεία ε νπνία είλαη θάζεηε ζηελ επζεία : 2 4 0x y θαη δηέξρεηαη από ην θνηλό ζεκείν ησλ επζεηώλ 2 2 5 0x y a x y , a . 147) Λα βξεζεί ην a ώζηε ε εμίζσζε 2 2 2 2 3 0a a x a a y a , λα παξηζηάλεη επζεία. Θαηόπηλ λα βξεζεί ν a ώζηε ε επζεία λα είλαη παξάιιειε ζηε επζεία 3 7 0x y . 148) Γίλεηαη ε επζεία 1 2 1 3 1 0a x a y a . Λα βξεζεί ε επζεία εθείλε ε νπνία είλαη παξάιιειε ζηελ επζεία 2 3 5 0x y . 149) Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 1 3 0x y θαη 2 2 : 1 2 3 2 0x y . Λα βξείηε ηελ ηηκή ηνπ ώζηε νη επζείεο λα είλαη παξάιιειεο . 150) Λα βξείηε ηα , ώζηε ε επζεία 2 1 2 3 2 0x y λα είλαη παξάιιειε ζηνλ άμνλα x x θαη λα ηέκλεη ηνλ άμνλα y y ζην ζεκείν κε ηεηαγκέλε 2 . 151) Γίλνληαη νη εμηζώζεηο 1 : 1 2 3 4 0x y x y θαη 2 : 2 3 0x y . α. Λα δεηρζεί όηη ε 1 παξηζηάλεη επζεία γηα θάζε . β. Λα βξεζεί ν ώζηε λα ηζρύεη 1 2 . 152) Γίλεηαη ε εμίζσζε : 2 2 5 0x y x y , . α. Λα δεηρζεί όηη ε γηα θάζε παξηζηάλεη επζεία θαη όηη νη επζείεο δηέξρνληαη από ζηαζεξό ζεκείν . β. Λα βξείηε πνηεο από ηηο επζείεο είλαη θάζεηε ζηελ επζεία 2 4 0x y . 153) Από ην ζύλνιν ησλ επζεηώλ πνπ παξηζηάλεη ε εμίζσζε 1 2 2 0x y x y λα βξείηε εθείλε ε νπνία είλαη θάζεηε ζηελ επζεία 3 2 8 0x y . 154) Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 3 2 1 7 0x y θαη 2 : 1 4 2 0x y . Λα βξείηε ηελ ηηκή ηνπ ώζηε λα είλαη θάζεηεο . 155) Λα βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ ώζηε νη επζείεο 1 : 2 1 1 2 0x y θαη 2 : 1 2 3 6 0x y , λα ηέκλνληαη ζε ζεκείν ηνπ άμνλα y y . 156) Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 4 2 1 3 1x y θαη 2 : 3 2 5 1 2 2x y . Λα βξείηε ηελ ηηκή ηνπ ώζηε νη επζείεο : α. Λα είλαη παξάιιειεο . β. Λα ηαπηίδνληαη . 157) Λα βξείηε ην ώζηε νη επζείεο 1 : 1 3 0x y θαη 2 2 : 2 1 1 2x y λα είλαη θάζεηεο .
- 47. η ευθεία στοεπίπεδο κεφάλαιο 2 - 45 - 158) Λα βξεζνύλ νη ζρεηηθέο ζέζεηο ησλ επζεηώλ 2 1 : 6 3 0x y θαη 2 2 : 3 2 9 0x y γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ . 159) Λα βξεζεί ε ζέζε ησλ επζεηώλ 1 : 8 2 0ax a y θαη 2 , όπνπ 2 ε επζεία ζηελ νπνία αλήθεη ην ζεκείν 3 1, 2a a , a . 160) Λα βξείηε ην ώζηε ε επζεία 2 4 5 2 3 0x y λα δηέξρεηαη από ην ζεκείν ηνκήο ησλ επζεηώλ 1 : 4 0x y θαη 2 :3 2 10 0x y . 161) Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 1 1a x y a , 2 : ( 1) 1x a y θαη ηα ζεκεία 1, 2a , 1, 2 2a , a . Λα βξεζεί ε ηηκή ηνπ a ώζηε νη επζείεο 1 , 2 θαη ε επζεία πνπ νξίδνπλ ηα ζεκεία Κ θαη Ρ , λα έρνπλ κνλαδηθό θνηλό ζεκείν ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο . 162) Λα βξείηε ην a ώζηε νη επζείεο 1 : 1 0ax y , 2 : 1 0x ay θαη 3 : 0x y a λα έρνπλ θνηλό ζεκείν . 163) Λα δεηρζεί όηη ε εμίζσζε 2 2 2 2 1 2 2 x y , 0 , , είλαη επζεία πνπ δηέξρεηαη από ζηαζεξό ζεκείν . 164) Λα απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε 2 2 2 3 3 2 0x y xy x y παξηζηάλεη δπν επζείεο . 165) Λα απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε 2 2 4 2 8 3 0x y x y παξηζηάλεη δπν επζείεο . 166) Λα απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε 2 2 2 4 3 0x y x y παξηζηάλεη δπν επζείεο . Λα εμεηαζζεί ε ζέζε ησλ επζεηώλ απηώλ . 167) Λα απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε 2 2 3 3 8 9 23 30 0x y xy x y , παξηζηάλεη δπν επζείεο ησλ νπνίσλ λα βξεζεί ε γσλία ηνπο . 168) Λα ζρεδηάζεηε ηηο γξακκέο ηηο νπνίεο παξηζηάλεη ε εμίζσζε 2 2 2 3 3 2 0x y xy x y . 169) Λα απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε 3 2 2 3 6 11 6 0y y x x y x , παξηζηάλεη ηξεηο επζείεο πνπ δηέξρνληαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ . 170) Λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο πνπ παξηζηάλνπλ νη γξακκέο : α. 2 3 2 4 0x y β. | | | 2 | 0x y 171) Λα απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε | | | | 3x y παξηζηάλεη ηεηξάγσλν . 172) Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 2 2 0x y θαη 2 : 2 3 4 0x y , . α. Λα δεηρζεί όηη γηα θάζε , νη δπν επζείεο ηέκλνληαη . β. Λα βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηνπ ζεκείνπ ηνκήο ηνπο . 173) Γίλνληαη νη επζείεο 1 :( 1) 2 2x y θαη 2 : 2 3x y , . Λα απνδείμεηε όηη : α. νη επζείεο έρνπλ κνλαδηθό θνηλό ζεκείν Ρ , γηα θάζε , β. ην ζεκείν Ρ θηλείηαη ζε επζεία ηεο νπνίαο λα βξείηε ηελ εμίζσζε . 174) Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 1 2 2 1 0x y θαη 2 : 2 4x y , 1 . α. Λα απνδείμεηε όηη νη 1 θαη 2 ηέκλνληαη . β. Έζησ Κ ην θνηλό ζεκείν ησλ 1 θαη 2 . Λα απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Κ θηλείηαη ζε επζεία ηεο νπνίαο λα βξείηε ηελ εμίζσζε . 175) α. Λα απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε 2 2 2 3 2 0y xy x παξηζηάλεη δπν επζείεο θάζεηεο . β. Λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ επζεηώλ πνπ δηέξρνληαη από ην ζεκείν 1, 0 θαη ζρεκαηίδεη κε ηηο επζείεο ηνπ (α) εξσηήκαηνο ηζνζθειέο ηξίγσλν .
- 48. η ευθεία στοεπίπεδο κεφάλαιο 2 - 46 - 176) ηνπο ζεηηθνύο εκηάμνλεο Ox θαη Oy παίξλνπκε ηα κεηαβιεηά ζεκεία , 0a θαη 0 , ηέηνηα ώζηε 1 1 1 a k , * k . Λα δεηρζεί όηη νη επζείεο ΑΒ δηέξρνληαη από ζηαζεξό ζεκείν . 177) ε νξζνγώλην ζύζηεκα αλαθνξάο xOy δίλεηαη ην νξζνγώλην ΟΑΒΓ , ηνπ νπνίνπ νη θνξπθέο Α , Γ θηλνύληαη ζηνπο ζεηηθνύο εκηάμνλεο θαη είλαη ,a κε 1a . Λα απνδείμεηε όηη ε θάζεηε πνπ θέξνπκε από ην Β ζηελ ΑΓ δηέξρεηαη από ζηαζεξό ζεκείν . 178) Λα βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ 2 3, 3 1 , . 179) Αλ ηα ζεκεία ,a , , , ,a αλήθνπλ ζε επζεία πνπ δελ πεξλά από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ , ηόηε λα δείμεηε όηη 1 . 180) Αλ ην ζεκείν , θηλείηαη ζηελ επζεία : 4 5 9 0x y , λα βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηνπ ζεκείνπ 2 1, 5 3 . 181) Λα βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ 5 4 3 , 2 , . 182) Λα απνδείμεηε όηη ην ζύλνιν ησλ ζεκείσλ ,x y ηα νπνία ηθαλνπνηνύλ ηελ εμίζσζε 2 2 2y axy x , παξηζηάλεη δπν επζείεο θάζεηεο πνπ δηέξρνληαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ . 183) Γπν ζεκεία Α θαη Β θηλνύληαη ζηνπο ζεηηθνύο εκηάμνλεο Ox θαη Oy αληίζηνηρα , ώζηε ΟΑ=ΟΒ . Κε βάζε ΑΒ θαηαζθεπάδνπκε ην νξζνγώλην ΑΒΚΘ ώζηε ην Θ λα αλήθεη ζηελ επζεία : 2 3 6x y . Λα βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηνπ ζεκείνπ Κ. §3. εμβαδόν τριγώνου 184) Λα βξεζεί ε απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ 1, 4 από ηηο επζείεο : α. 1 : 2 1 0x y β. 2 :3 4 7x y γ. 3 3 : 2 1 2 x y 185) Λα βξεζεί ε απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ 2 , 4 από ηηο επζείεο : α. 1 :8 6 3 0x y β. 2 3 1 : 4 4 y x 186) Λα βξείηε ηελ απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ 4 , 2 από ηελ επζεία ε νπνία δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 1, 2 θαη 3 , 4 . 187) Λα βξείηε ηελ απόζηαζε ησλ επζεηώλ 1 :3 4 7 0x y θαη 2 :3 4 33 0x y . 188) Λα βξείηε ηελ απόζηαζε ησλ επζεηώλ 1 :3 4 12 0x y θαη 2 :3 4 27 0x y . 189) Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 4 3 9 0x y θαη 2 :12 9 7 0x y . α. Λα δείμεηε όηη 1 2/ / . β. Λα βξείηε ηελ απόζηαζε ησλ 1 θαη 2 . 190) Γίλνληαη νη επζείεο 1 :8 6 3 0x y θαη 2 : 4 3 5 0x y . α. Λα ππνινγίζεηε ηηο απνζηάζεηο ηεο αξρήο ησλ αμόλσλ από ηηο 1 θαη 2 . β. Λα βξείηε ηελ απόζηαζε ησλ 1 θαη 2 . 191) Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 2 3 0x y θαη 2 : 2 1 0x y . α. Λα δείμεηε όηη 1 2/ / . β. Λα βξείηε ηελ απόζηαζε ησλ 1 θαη 2 .
- 49. η ευθεία στοεπίπεδο κεφάλαιο 2 - 47 - 192) Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 5 2 2 0x y θαη 2 : 2 10 11y x . α. Λα δείμεηε όηη 1 2/ / . β. Λα βξείηε ηελ απόζηαζε ησλ 1 θαη 2 . 193) Γίλνληαη νη επζείεο 1 :8 6 3 0x y θαη 2 :3 4 5 0x y . α. Λα βξεζεί ην ζεκείν ηνκήο ηνπο . β. Λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ δηρνηόκσλ ησλ γσληώλ πνπ ζρεκαηίδνπλ νη επζείεο 1 θαη 2 . 194) Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 4 14 0x y θαη 2 : 4 4 0x y . Λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ δηρνηόκσλ ησλ γσληώλ πνπ ζρεκαηίδνπλ νη επζείεο 1 θαη 2 . 195) Γίλνληαη νη επζείεο 1 :3 2 4 0x y θαη 2 : 2 3 6 0x y . Λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ δηρνηόκσλ ησλ γσληώλ πνπ ζρεκαηίδνπλ νη επζείεο 1 θαη 2 . 196) Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 3 2 0x y θαη 2 :3 4 0x y . Λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ δηρνηόκσλ ησλ γσληώλ πνπ ζρεκαηίδνπλ νη επζείεο 1 θαη 2 . 197) Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 4 3 5 0x y θαη 2 :5 12 2 0x y . Λα απνδείμεηε όηη ην ζεκείν 2 ,1 αλήθεη ζηελ δηρνηόκν κηαο εθ ησλ γσληώλ πνπ ζρεκαηίδνπλ νη 1 θαη 2 . 198) Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο , ε νπνία έρεη ηελ κνξθή : y ax θαη ηζαπέρεη από ηα ζεκεία 2 , 2 θαη 1, 8 . 199) Γίλεηαη ε επζεία : 7 0ax y . Αλ ε έρεη ζπληειεζηή δηεύζπλζεο 4 3 θαη ην ζεκείν 1, 3 απέρεη απ’ απηήλ απόζηαζε 1,2 λα βξεζνύλ ηα a θαη . 200) Γίλεηαη ε επζεία : 4 0ax y . Αλ ε έρεη ζπληειεζηή δηεύζπλζεο 4 3 θαη ην ζεκείν 1,1 απέρεη απ’ απηήλ απόζηαζε 3 5 , λα βξεζνύλ ηα a θαη . 201) Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη ηζαπέρεη από ηα ζεκεία 2 , 0 θαη 0 , 4 . 202) Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην 3 , 5 θαη από ηελ νπνία ηζαπέρνπλ ηα ζεκεία 7 , 3 θαη 11, 15 . 203) Γίλνληαη ηα ζεκεία 2 , 0 θαη 5 , 3 . Λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ επζεηώλ πνπ δηέξρνληαη από ην Α θαη από ηηο νπνίεο ε απόζηαζε ηνπ Β είλαη ίζε κε 3 . 204) Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ απέρεη από ην ζεκείν 2 ,1 απόζηαζε ίζε κε 12 θαη δηέξρεηαη από ηελ ηνκή ησλ επζεηώλ 1 : 3 0x y θαη 2 : 2 7 3 0x y . 205) Γίλεηαη ε επζεία 1 :3 5 2 0x y θαη ην ζεκείν 3 ,1 . Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο 2 , ε νπνία είλαη παξάιιειε πξνο 1 αλ γλσξίδνπκε όηη ην ζεκείν Α ηζαπέρεη από ηηο επζείεο 1 θαη 2 . 206) Λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ επζεηώλ , νη νπνίεο δηέξρνληαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη απέρνπλ από ην ζεκείν 4 , 2 απόζηαζε ίζε κε 2 . 207) Λα βξείηε ζεκείν ηνπ άμνλα x x ην νπνίν ηζαπέρεη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη από ηελ επζεία :3 6 0x y . 208) Λα βξεζεί ζεκείν ηνπ άμνλα x x πνπ λα ηζαπέρεη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη από ηελ επζεία :3 4 12x y . 209) Λα βξείηε ζεκείν Κ ηνπ άμνλα x x πνπ ηζαπέρεη από ην ζεκείν 0 , 2 θαη από ηελ επζεία :3 4 10 0x y .
- 50. η ευθεία στοεπίπεδο κεφάλαιο 2 - 48 - 210) Γίλνληαη νη επζείεο 1 :5 12 7 0x y θαη 2 :3 4 8 0x y . Λα βξείηε ηα ζεκεία Κ ηεο 1 πνπ απέρνπλ από ηελ 2 απόζηαζε 1 . 211) Λα βξείηε ηα ζεκεία ηεο επζείαο 1 : 1 0x y ησλ νπνίσλ ε απόζηαζε από ηελ επζεία 2 :3 4 2 0x y είλαη ίζε κε 2 . 212) Γίλνληαη ηα ζεκεία 4 , 2 θαη 7 ,1 . Λα βξείηε ζεκείν Α ηεο επζείαο :3 3 0x y , ην νπνίν ηζαπέρεη από ηα ζεκεία Β θαη Γ . 213) Γίλνληαη ηα ζεκεία 1,1 θαη 2 , 5 . ηελ εμίζσζε : 2y x a λα βξείηε ηελ ηηκή ηνπ a ώζηε ηα ζεκεία Α θαη Β λα ηζαπέρνπλ από ηελ επζεία . 214) Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 2 0x y , 2 : 3 3 0x y θαη 3 : 2 1 0x y . Λα βξεζεί ζεκείν πνπ λα ηζαπέρεη από ηα ζεκεία ηνκήο ηνπο . 215) Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ είλαη παξάιιειε ζηελ επζεία :3 2 0x y θαη απέρεη από απηή απόζηαζε 3 . 216) Γίλεηαη ε επζεία :3 2 4 0x y θαη ην ζεκείν 1, 2 . Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ είλαη παξάιιειε ζηελ θαη ην ζεκείν Α απέρεη από απηή απόζηαζε 2 . 217) Έζησ ε επζεία : 2 0x y . Λα γξαθνύλ νη εμηζώζεηο ησλ παξαιιήισλ πξνο ηελ πνπ απέρνπλ από απηή απόζηαζε 2d . 218) Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ πεξλάεη από ην θνηλό ζεκείν ησλ επζεηώλ 1 : 3 1 0x y , 2 : 2 5 9 0x y θαη απέρεη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ απόζηαζε 2d . 219) Γίλνληαη νη επζείεο 1 :3 2 6 0x y θαη 2 :3 2 12 0x y . Λα βξεζεί ε επζεία πνπ πεξλάεη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη ηέκλεη ηηο επζείεο ζηα Α θαη Β ώζηε ( ) 6 3 . 220) Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 ,1 θαη απέρεη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ απόζηαζε 2 . 221) Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν ηνκήο ησλ επζεηώλ 1 : 3 0x y θαη 2 : 1 0x y αλ είλαη γλσζηό όηη ε αξρή ησλ αμόλσλ απέρεη από απηή απόζηαζε 1 . 222) Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο κεζνπαξάιιειεο ησλ επζεηώλ 1 : 2 3 0x y θαη 2 : 2 4 5 0x y . 223) Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο κεζνπαξάιιειεο ησλ επζεηώλ 1 :6 8 11 0x y θαη 2 :6 8 13 0x y . 224) Λα απνδείμεηε όηη ππάξρεη κηα κόλν επζεία πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 7 , 2 θαη ε απόζηαζε ηεο από ην 4 , 6 είλαη ίζε κε 5 . 225) Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 3 1 0x y θαη 2 : 2 5 9 0x y . α. Λα βξείηε επζεία πνπ λα δηέξρεηαη από ηελ ηνκή ησλ 1 , 2 θαη ε απόζηαζε ηεο από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ είλαη 2 . β. Λα βξείηε επζεία πνπ λα δηέξρεηαη από ηελ ηνκή ησλ 1 , 2 θαη ηα ζεκεία 1, 1 , 4 , 5 λα ηζαπέρνπλ από απηή . 226) Γίλνληαη νη επζείεο 1 :3 4 7 0x y , 2 :3 4 8 0x y θαη ην ζεκείν 2 , 3 . Λα βξεζνύλ νη επζείεο θαη πνπ δηέξρνληαη από ην Α θαη ηέκλνπλ ηηο 1 , 2 ζηα ζεκεία Β , Β΄ θαη Γ , Γ΄ αληίζηνηρα , ώζηε ( ) ( ) 3 2 . 227) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 2 , 7 . Αλ 1 :3 11 0x y θαη 2 : 2 7 0x y είλαη νη εμηζώζεηο ελόο ύςνπο θαη κηαο δηακέζνπ αληίζηνηρα πνπ θέξνληαη από δηαθνξεηηθή θνξπθή , λα βξείηε : α. ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ Β θαη Γ , β. ηα κήθε ηνπ ύςνπο θαη ηεο δηακέζνπ .
- 51. η ευθεία στοεπίπεδο κεφάλαιο 2 - 49 - 228) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 3 , 2 , 2 , 4 θαη 1, 3 . Λα βξείηε : α. ηηο γσλίεο ηνπ ηξηγώλνπ , β. ην κήθνο ηεο δηρνηόκνπ ΑΓ ηνπ ηξηγώλνπ . 229) Λα ππνινγηζζεί ην κήθνο ηνπ ύςνπο ΑΓ ηξηγώλνπ ΑΒΓ ζην νπνίν είλαη 4 ,13 , 10 ,1 θαη 2 , 5 . 230) Γίλνληαη νη εμηζώζεηο 1 : 2 1 3 1 0ax a y a θαη 2 : 3 1 1 6 2 0a x a y a . Λα δεηρζεί όηη γηα θάζε a νη επζείεο 1 , 2 δηέξρνληαη από ζηαζεξά ζεκεία Α , Β ησλ νπνίσλ δεηείηαη ε απόζηαζε . 231) Γίλεηαη ε εμίζσζε : 1 2 3 0x y . Λα δεηρζεί όηη παξηζηάλεη επζεία γηα θάζε , πνπ δηέξρεηαη από ζηαζεξό ζεκείν . Θαηόπηλ λα βξεζεί ν ώζηε ε απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ απηνύ από ην , 0 λα ηζνύηαη κε 2 2d . 232) Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 1 0x ay θαη 2 : 2 2 0ax y . Λα βξείηε ηηο ηηκέο ησλ ,a γηα ηηο νπνίεο νη 1 , 2 είλαη παξάιιειεο θαη ε απόζηαζή ηνπο είλαη ίζε κε 2 2d . 233) Γίλεηαη ε εμίζσζε : 2 2 1 3 0a x a y a , a . Λα δεηρζεί όηη παξηζηάλεη επζεία γηα θάζε a , πνπ δηέξρεηαη από ζηαζεξό ζεκείν . Θαηόπηλ λα βξεζεί ν a ώζηε ε απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ απηνύ από ην 2 ,1 λα ηζνύηαη κε 1 . 234) Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 1 2 4 0x y θαη 2 : 0x y , κε , . Λα βξείηε ηα , γηα ηα νπνία νη επζείεο 1 θαη 2 είλαη παξάιιειεο θαη ε κεηαμύ ηνπο απόζηαζε είλαη 2d . 235) Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 1 0x y θαη 2 : 2 2 0x y , κε , . Λα βξείηε ηα , γηα ηα νπνία νη επζείεο 1 θαη 2 είλαη παξάιιειεο θαη ε κεηαμύ ηνπο απόζηαζε είλαη 2 2d . 236) Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 2 5 0x y θαη 2 : 2 1 2 1 3 0x y . Λα βξείηε ην ώζηε λα ηζρύεη 1 2/ / θαη ζηελ ζπλέρεηα λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο κεζνπαξάιιειεο ησλ 1 , 2 θαζώο θαη ηελ απόζηαζε ηνπο . 237) Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 3 0x y , 2 : 2 0ax y θαη 3 : 2 2 1 0x y . Λα πξνζδηνξίζεηε ηα ,a αλ είλαη γλσζηό όηη ε επζεία 3 είλαη κεζνπαξάιιειε ησλ 1 , 2 . 238) Γίλεηαη ε εμίζσζε : 2 4 2 3 0x y x y . α. Λα απνδείμεηε όηη ε παξηζηάλεη επζεία πνπ δηέξρεηαη από ζηαζεξό ζεκείν . β. Λα βξείηε ηελ επζεία ώζηε ε απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ 2 , 3 από απηή λα είλαη ίζε κε 10 . γ. Λα βξείηε ην ώζηε ηα ζεκεία 1,1 θαη 1, 0 λα ηζαπέρνπλ από ηελ επζεία . 239) Γίλεηαη ην ζεκείν 3 , 4 . Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν Α θαη ε απόζηαζε ηεο αξρήο Ο από απηή είλαη κέγηζηε . 240) Έζησ ε επζεία : 4 0x y . Λα βξείηε πνην ζεκείν ηεο απέρεη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ ειάρηζηε απόζηαζε . Λα βξείηε ηελ απόζηαζε απηή . 241) Γίλνληαη ηα ζεκεία 2 , 0 θαη 2 , 3 . Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν Α , έηζη ώζηε ε απόζηαζε ηνπ Β από απηή λα είλαη κέγηζηε . 242) Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) . Λα βξείηε ζεκείν Κ ηεο πιεπξάο ΒΓ ώζηε ην γηλόκελν ησλ απνζηάζεώλ ηνπ από ηηο ίζεο πιεπξέο λα είλαη κέγηζην . 243) Λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ κε θνξπθέο: α. 1, 2 , 2 , 6 θαη 0 , 4 β. 0 ,1 , 1, 3 θαη 5 , 8 γ. 1,1 , 1, 2 θαη 3 , 5
- 52. η ευθεία στοεπίπεδο κεφάλαιο 2 - 50 - 244) Λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ πνπ ζρεκαηίδεη ε επζεία : 2 3 6 0x y κε ηνπο άμνλεο . 245) Λα βξεζεί ε επζεία πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1, 3 θαη ζρεκαηίδεη κε ηνπο άμνλεο ηξίγσλν κε εκβαδόλ 2 . 246) Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1, 4 θαη ζρεκαηίδεη κε ηνπο άμνλεο ηξίγσλν κε εκβαδόλ 1 . 247) Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη ζρεκαηίδεη κε ηνλ άμνλα y y ηξίγσλν κε εκβαδόλ 9 . 248) Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 2y x θαη 2 : 4y x . Λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ πνπ ζρεκαηίδεηαη από ην ζεκείν ηνκήο ηνπο Κ θαη ηα ζεκεία 3 , 5 , 0 , 2 . 249) Γίλνληαη ηα ζεκεία 1,1 , 5 , 5 θαη ε επζεία : 2 1 0x y . Λα βξείηε ζεκείν Ρ ηεο επζείαο ώζηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ λα είλαη 4 . 250) Έλα ηζνζθειέο ηξίγσλν έρεη θνξπθή ην ζεκείν 3 , 5 , ε βάζε ηνπ βξίζθεηαη ζηελ επζεία 2 12y x θαη ην εκβαδόλ ηνπ είλαη 15 . Λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ . 251) Γίλνληαη ηα ζεκεία 1, 2 θαη 3 , 5 . Λα βξείηε ζεκείν Β ηνπ άμνλα x x ώζηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ λα είλαη 8 . 252) Γίλνληαη ηα ζεκεία 2 , 3 θαη 5 , 7 . Λα βξείηε ζεκείν Γ πνπ αλήθεη ζηελ επζεία 3x ώζηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ λα είλαη 1 . 253) Γίλνληαη ηα ζεκεία 5 , 2 θαη 3 , 8 . Λα βξείηε ζεκείν Γ πνπ αλήθεη ζηελ επζεία 1y ώζηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ λα είλαη 2 . 254) Γίλνληαη ηα ζεκεία 2 , 4 θαη 2 , 3 . Λα βξείηε ζεκείν A πνπ αλήθεη ζηελ επζεία 1x ώζηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ λα είλαη 11 2 . 255) Γίλνληαη ηα ζεκεία 5 , 3 θαη 1, 7 . Λα βξείηε ζεκείν Β πνπ αλήθεη ζηελ επζεία 6y ώζηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ λα είλαη 8 . 256) Γίλνληαη ηα ζεκεία 1, 3 θαη 2 , 6 . Λα βξείηε ζεκείν Γ πνπ αλήθεη ζηελ επζεία 4y x ώζηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ λα είλαη 7 . 257) Γίλνληαη ηα ζεκεία 1,1 , 5 , 5 θαη ε επζεία : 2 1 0x y . Λα βξείηε ζεκείν Γ ηεο , ώζηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ λα είλαη ίζν κε 4 . 258) Γίλνληαη ηα ζεκεία 1, 7 θαη 1, 3 . Λα βξείηε ζεκείν Ρ , ώζηε ΘΙ=ΙΡ θαη ( ) 8 . 259) ε ηξίγσλν ΑΒΓ δίλεηαη όηη 2 , 4 , 1,1 θαη 5 ,1 . Αλ ΑΚ είλαη ε δηάκεζνο θαη κηα επζεία πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν Κ ηέηνηα ώζηε , λα πξνζδηνξίζεηε πάλσ ζηελ επζεία ζεκείν Θ ώζηε λα ηζρύεη ( ) ( ) . 260) Ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) έρεη θνξπθή 1, 2 θαη εκβαδόλ 6 . Αλ ε βάζε ηνπ ΒΓ αλήθεη ζηελ επζεία 5 0x y , λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ . 261) Έλα ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ έρεη θνξπθή 1, 2 . Ζ βάζε ηνπ βξίζθεηαη ζηελ επζεία 2 10 0x y θαη ην εκβαδόλ ηνπ είλαη 5 . Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ άιισλ δπν θνξπθώλ ηνπ . 262) ε ηξίγσλν ΑΒΓ δίλεηαη ε θνξπθή 1, 4 θαη νη εμηζώζεηο δπν πςώλ ηνπ 1 : 4 0x y θαη 2 :3 2 14 0x y . Λα βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ .
- 53. η ευθεία στοεπίπεδο κεφάλαιο 2 - 51 - 263) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 8 ,10 , 2 , 4 θαη 12 , 2 . Λα βξεζεί ε απόζηαζε ηνπ νξζόθεληξνπ Ζ από ηελ δηάκεζν ΒΚ ηνπ ηξηγώλνπ . 264) Έλα παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ έρεη ζπληεηαγκέλεο θνξπθώλ 2 , 3 , 3 , 8 θαη 4 , 5 . Λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ . 265) Γίλνληαη νη ηξεηο θνξπθέο παξαιιεινγξάκκνπ 3 , 2 , 4 , 5 θαη 1, 6 . Λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ . 266) Λα βξείηε ην εκβαδόλ παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ κε θνξπθέο 2 , 3 , 4 , 5 θαη 3 ,1 . 267) Έζησ παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ κε 3 , 7 , 2 , 3 θαη 1, 4 . Λα βξείηε ην κέηξν ηνπ ύςνπο πνπ θέξλεηαη από ηελ θνξπθή Α ζηελ δηαγώλην ΒΓ . 268) Γίλεηαη ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ κε 4 ,1 , 4 , 2 , 1, 3 θαη 6 , 3 . Λα δεηρζεί όηη νη δηαγώληέο ηνπ ηέκλνληαη θάζεηα θαη λα βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ . 269) Λα δεηρζεί όηη ε εμίζσζε 2 2 9 12 4 4 0x xy y , παξηζηάλεη δπν παξάιιειεο επζείεο . Λα βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ πνπ έρεη θνξπθέο ηα ζεκεία ηνκήο ησλ παξαπάλσ επζεηώλ κε ηνπο άμνλεο x x θαη y y . 270) Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 2 3 2 3 2 0x x xy y y . α. Λα απνδείμεηε όηη ε παξαπάλσ εμίζσζε παξηζηάλεη δπν επζείεο . β. Λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ηεηξαγώλνπ ηνπ νπνίνπ δπν πιεπξέο βξίζθνληαη ζηηο παξαπάλσ επζείεο . γ. Λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξαπεδίνπ πνπ ζρεκαηίδνπλ νη παξαπάλσ επζείεο κε ηνπο άμνλεο . 271) Γίλνληαη ηα ζεκεία 0 , a , , 0 , ,a πνπ ζρεκαηίδνπλ ην ηξίγσλν ΘΙΚ . Θεσξνύκε ΚΛ ηελ δηάκεζν ηνπ ηξηγώλνπ , πνπ ηέκλεη ηνπο άμνλεο ζηα ζεκεία , 0P p θαη 0 ,Q q κε , , , 0a p q , p , 1 . α. Αλ 1 ( ) 4 , λα δείμεηε όηη 1 p a . β. Αλ 2( ) ( )OPQ λα εθθξάζεηε ην q ζπλαξηήζεη ησλ a , . 272) Γίλνληαη ηα ζεκεία 1, 2 θαη 3 , 4 . Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο όηαλ : α. ε δηέξρεηαη από ην ζεκείν Α θαη ζρεκαηίδεη κε ηνπο ζεηηθνύο εκηάμνλεο ηξίγσλν εκβαδνύ 4 . β. ε δηέξρεηαη από ην Α θαη έρεη από ην Β ηελ κεγαιύηεξε απόζηαζε . 273) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 3 , 4 , 2 ,1 ηνπ νπνίνπ ε θνξπθή Γ είλαη ζεκείν ηεο επζείαο 5x y θαη ηζρύεη 1 2 1 0 , 1 θαη Ο ε αξρή ησλ αμόλσλ . Λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ . 274) Γίλνληαη ηα ζεκεία 2 , 3 θαη 1, 4 . Λα βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ Γ γηα ηα νπνία ηζρύεη ( ) 4 . 275) Γίλνληαη ηα ζεκεία 1, 5 θαη 2 , 4 . Λα βξείηε ηα ζεκεία Κ γηα ηα νπνία ηζρύεη ( ) 6 . 276) Γίλνληαη ηα ζεκεία 3 , 2 , 1, 4 θαη 2 , 3 . Λα βξείηε ηα ζεκεία Κ γηα ηα νπνία ηζρύεη ( ) ( ) . 277) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε θνξπθέο 7 , 4 θαη 5 ,1 . Αλ 2 3, 3 1k k , λα βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηεο θνξπθήο Α . Θαηόπηλ λα δεηρζεί όηη ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ είλαη ζηαζεξό , ρσξίο λα ππνινγηζζεί . 278) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 6 , 6 , 3 , 0 θαη 3 1, 2 3a a . Λα βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηεο θνξπθήο Γ θαη ην εκβαδόλ ηνπ .
- 54. η ευθεία στοεπίπεδο κεφάλαιο 2 - 52 - 279) Γίλνληαη νη κεηαβιεηέο επζείεο 1 : 3y x θαη 2 : 2 5 2y x . α. Λα απνδείμεηε όηη ην θνηλό ζεκείν ησλ 1 θαη 2 γξάθεη επζεία . β. Αλ ε πην πάλσ επζεία είλαη ε κεζνπαξάιιειε ησλ επζεηώλ 1 :5 3 0x y θαη 1 : 2 0ax y λα βξεζνύλ ηα a θαη . 280) Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 2 3 0x y θαη 2 : 1 0x y . Λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ γηα ηα νπνία ηζρύεη 1 25 , 2 ,d d . §4. γενικέσ αςκήςεισ & προβλήματα 281) Γλσξίδνπκε όηη ν λεξό παγώλεη ζηνπο 0 o C ή 32 o F , ελώ βξάδεη ζηνπο 100 o C ή 212 o F . α. Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ παξηζηάλεη ηε ζρέζε κεηαμύ ηεο ζεξκνθξαζίαο ζε βαζκνύο Θειζίνπ θαη ζε βαζκνύο Φαξελάηη . β. Αλ ζε έλα ηόπν ε ζεξκνθξαζία είλαη 10 o C , πόζε είλαη ε ζεξκνθξαζία ζε βαζκνύο F ; γ. Ζ ειάρηζηε θαη ε κέγηζηε ζεξκνθξαζία ελόο ηόπνπ είλαη 5 o F θαη 23 o F αληίζηνηρα . Λα βξείηε ηηο ζεξκνθξαζίεο απηέο ζε βαζκνύο Θειζίνπ . δ. Λα ραξάμεηε ηελ επζεία ηνπ εξσηήκαηνο (α) ζε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ . 282) Θεσξνύκε ζην επίπεδν έλα νξζνθαλνληθό ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ xOy . Κηα θσηεηλή αθηίλα δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 1, 3 , 1,1 θαη αλαθιάηαη ζηνλ άμνλα x x . Λα βξείηε: α. ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο ζηελ νπνία θηλείηαη ε θσηεηλή αθηίλα , β. ηελ γσλία ηεο επζείαο κε ηνλ άμνλα x x , γ. ηνλ ζπληειεζηή δηεύζπλζεο ηεο αλαθιώκελεο επζείαο , δ. ηελ εμίζσζε ηεο αλαθιώκελεο επζείαο . 283) ην παξαθάησ ζρεδηάγξακκα , κε θαξηεζηαλό ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ xOy , ηα ζεκεία Α , Β θαη Γ παξηζηάλνπλ ηηο ζέζεηο ηξηώλ θνηλνηήησλ ελόο δήκνπ . Ο άμνλαο y y παξηζηάλεη κηα εζληθή νδό θαη ηα επζύγξακκα ηκήκαηα ΑΒ θαη ΑΓ δπν επαξρηαθνύο δξόκνπο πνπ ζπλδένπλ ηελ θνηλόηεηα Α κε ηηο θνηλόηεηεο Β θαη Γ θαη έρνπλ ίζα κήθε 5 km θαη 3 km αληίζηνηρα . Πξόθεηηαη λα θαηαζθεπαζηεί έλαο επαξρηαθόο δξόκνο ΒΓ πνπ λα ζπλδέεη ηηο θνηλόηεηεο Β θαη Γ, ν νπνίνο παξηζηάλεηαη κε ην επζύγξακκν ηκήκα ΒΓ . Αλ νη απνζηάζεηο ησλ θνηλνηήησλ Β θαη Γ από ηελ εζληθή νδό y y είλαη 3 km θαη 5 km αληίζηνηρα , ηόηε : α. Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ Α , Β θαη Γ . β. Λα βξείηε ην κήθνο ηνπ επαξρηαθνύ δξόκνπ ΒΓ . γ. Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο ΒΓ θαη ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ ζην νπνίν ν επαξρηαθόο δξόκνο ΒΓ ζπλαληά ηελ εζληθή νδό . 284) ε έλα ράξηε κε θαξηεζηαλό ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ ηα δεύγε , 3t t θαη 3 3 , 3 2t t παξηζηάλνπλ ηηο ζέζεηο δπν απηνθηλήησλ Α θαη Β γηα θάζε ρξνληθή ζηηγκή 0t . α. Λα απνδείμεηε όηη νη ηξνρηέο ησλ δπν απηνθηλήησλ είλαη επζύγξακκεο . β. Λα εμεηάζεηε αλ ππάξρεη ρξνληθή ζηηγκή t θαηά ηελ νπνία ηα δπν απηνθίλεηα ζα ζπλαληεζνύλ . γ. Λα απνδείμεηε όηη ε απόζηαζε ησλ δπν απηνθηλήησλ ζε θάζε ρξνληθή ζηηγκή είλαη ηνπιάρηζηνλ 10 . Πόηε ε απόζηαζε γίλεηαη ειάρηζηε ; δ. Λα βξεζεί ε απόζηαζε ηνπ απηνθηλήηνπ Α ηελ ρξνληθή ζηηγκή 1t από ηελ επζεία ζηελ νπνία θηλείηαη ην Β .
- 55. η ευθεία στοεπίπεδο κεφάλαιο 2 - 53 - 285) ην παξαθάησ ζρήκα νη άμνλεο x x θαη y y παξηζηάλνπλ δπν δξόκνπο πνπ δηαζηαπξώλνληαη θάζεηα . Έλα θηλεηό Α μεθηλά από ην ζεκείν 2 ,1 θηλείηαη επζύγξακκα θαη θάπνηα ζηηγκή δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ . Έλα άιιν θηλεηό Β μεθηλά από ην ζεκείν 2 , 3 θηλείηαη επζύγξακκα θαη ε ηξνρηά ηνπ ζρεκαηίδεη γσλία 45ν κε ηνλ δξόκν x x . α. Λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ ηξνρηώλ ησλ δπν θηλεηώλ . β. Λα εμεηάζεηε αλ νη δπν ηξνρηέο ηέκλνληαη . γ. Λα ππνινγίζεηε ηελ νμεία γσλία ησλ δπν ηξνρηώλ . δ. Σελ ζηηγκή πνπ ην θηλεηό Α δηαζρίδεη ηνλ δξόκν x x πνηα είλαη ε απόζηαζε ηνπ από ηελ ηξνρηά ηνπ Β ; 286) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε θνξπθέο ηα ζεκεία 5 , 3 , 0 , 0 , 6 , 0 θαη έζησ επζεία παξάιιειε πξνο ηελ ΒΓ πνπ ηέκλεη ηηο επζείεο ΑΒ θαη ΑΓ ζηα ζεκεία Δ θαη Γ αληίζηνηρα . Λα απνδείμεηε όηη ην ζεκείν ηνκήο ησλ ΒΓ θαη ΓΔ θηλείηαη ζε επζεία ηεο νπνίαο λα βξείηε ηελ εμίζσζε . 287) ε έλα ζρέδην κε θαξηεζηαλό ζύζηεκα αμόλσλ παξηζηάλεηαη ζε θιίκαθα 1 : 50 έλα αγξνηεκάρην , ην νπνίν έρεη ζρήκα ηεηξαπιεύξνπ ΑΒΓΓ θαη νη θνξπθέο ηνπ είλαη ηα ζεκεία 2 , 0 , 1, 4 , 7 , 6 θαη 8 , 3 . Λα βξείηε : α. ηελ πξαγκαηηθή απόζηαζε ησλ θνξπθώλ Α θαη Γ , β. ηα ζεκεία ηνκήο ηεο ΒΓ κε ηνπο άμνλεο ζπληεηαγκέλσλ , γ. ην εκβαδόλ ηνπ αγξνηεκαρίνπ , δ. ην ζεκείν Κ ηεο ΒΓ γηα ην νπνίν ε επζεία ΓΚ ρσξίδεη ην αγξνηεκάρην ζε δπν ηζεκβαδίθα κέξε. 288) Γίλνληαη νη επζείεο 1 :3 4 1x y θαη 2 : 1ax y , a . Λα βξείηε ην ζεκείν ηνκήο ησλ 1 , 2 αλ είλαη γλσζηό όηη ε κεηαμύ ηνπο νμεία γσλία είλαη 45ν . 289) ην δηπιαλό ζρήκα δίλεηαη ε νηθνλνκηθή πνξεία κηαο επηρείξεζεο . Λα βξείηε : α. πόζα έμνδα θαη πόζα έζνδα είρε ε επηρείξεζε ηνλ 3ν ρξόλν ηεο ιεηηνπξγίαο ηεο . β. ηηο εμηζώζεηο ησλ επζεηώλ 1 θαη 2 . γ. πόηε ε επηρείξεζε άξρηζε λα έρεη θέξδε . δ. ην θέξδνο ηεο επηρείξεζεο ηνλ 5ν ρξόλν ηεο ιεηηνπξγίαο ηεο . ε. πνηα ρξνληθή ζηηγκή ε επηρείξεζε ζα έρεη θέξδνο 40.000 € . 290) Γίλεηαη επζεία 1 ε νπνία ηέκλεη ηνπο αξλεηηθνύο εκηάμνλεο ζηα ζεκεία , 0a θαη 0 , έηζη ώζηε λα ηζρύνπλ 2a θαη ( ) 16 , όπνπ Ο ε αξρή ησλ αμόλσλ . ρεκαηίδνπκε ην παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ ηνπ νπνίνπ νη δπν πιεπξέο βξίζθνληαη ζηηο επζείεο 1 θαη 2 : 2 4 0x y . Αλ 2 , 2 είλαη ην θέληξν ηνπ ΑΒΓΓ , λα απνδείμεηε όηη είλαη ηεηξάγσλν . 291) Έλα ρσξάθη έρεη ζρήκα ηεηξαπιεύξνπ ΑΒΓΓ θαη γηα λα βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ , έλαο ηνπνγξάθνο εξγάδεηαη σο εμήο : Από θάπνην ζεκείν Ο ηνπ ρσξαθηνύ πξνρσξά βόξεηα 2 km θαη ζηελ ζπλέρεηα 1 km δπηηθά , νπόηε ζπλαληά ηελ θνξπθή Α . Από ην Ο πξνρσξά 3 km αλαηνιηθά θαη 1 km βόξεηα , νπόηε βξίζθεη ηελ θνξπθή Β . Δπίζεο από ην Ο πξνρσξά 2 km λόηηα θαη βξίζθεη ηελ θνξπθή Γ . Σέινο , από ην Ο πξνρσξά 4 km δπηηθά θαη 1 km λόηηα , νπόηε βξίζθεη ηελ θνξπθή Γ . α. Λα ζεσξήζεηε θαηάιιειν ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ θαη λα γξάςεηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ ηνπ . β. Πόζα ρξήκαηα ζα ρξεηζηεί ν ηδηνθηήηεο γηα ηελ πεξίθξαμε ηνπ ρσξαθηνύ , αλ θάζε κέηξν πεξίθξαμεο ζηνηρίδεη 2 € ; γ. Λα ππνινγίζεηε ηελ αμία ηνπ ρσξαθηνύ , αλ ε αμία θάζε ζηξέκκαηνο ζηελ πεξηνρή είλαη 10.000 € . (Γίλεηαη όηη 17 4,123 θαη 2 1,414 )
- 56. η ευθεία στοεπίπεδο κεφάλαιο 2 - 54 - 292) Γίλνληαη νη εκηεπζείεο y x θαη y x κε 0y . Λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 , 0 θαη ηέκλεη ηηο παξαθάησ εκηεπζείεο ζηα ζεκεία Β θαη Γ , ώζηε | | 4 . 293) Σν εκβαδόλ ελόο ηξηγώλνπ ΑΒΓ είλαη 5 θαη δπν θξπθέο ηνπ είλαη 1, 2 θαη 2 , 3 . Αλ ε θνξπθή Α βξίζθεηαη ζηελ επζεία :5 1 0x y , λα βξείηε ηελ απόζηαζε ηεο θνξπθήο Β από ηελ επζεία , θαζώο θαη ηηο ζπληεηαγκέλεο ηεο θνξπθήο Α . 294) α. Λα απνδείμεηε όηη ε απόζηαζε ησλ παξάιιεισλ επζεηώλ 1 1: 0ax y θαη 2 2: 0ax y είλαη ίζε κε 1 2 2 2 | | d a . β. Γίλνληαη νη επζείεο 1 :3 4 2 0x y θαη 2 :3 4 22 0x y . i. Λα βξεζεί ην εκβαδόλ ηεηξαγώλνπ ηνπ νπνίνπ νη δπν πιεπξέο ηνπ βξίζθνληαη ζηηο 1 , 2 . ii. Αλ 2 , 2 είλαη νη ζπληεηαγκέλεο κηαο θνξπθήο ελόο ηεηξαγώλνπ κε ηηο δπν πιεπξέο ηνπ ζηηο 1 θαη 2 , λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ επζεηώλ πάλσ ζηηο νπνίεο βξίζθνληαη νη άιιεο δπν πιεπξέο ηνπ . 295) Γίλεηαη ε επζεία : 2y θαη ην ζεκείν 2 , 0 . Θεσξνύκε νξζνγώλην θαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ ( 0 90 ) ηνπ νπνίνπ ε θνξπθή Α θηλείηαη ζηελ επζεία . α. Λα βξείηε πνπ θηλείηαη ε θνξπθή Γ . β. Λα πξνζδηνξίζεηε ηελ ζέζε ηεο θνξπθήο Α , γηα ηελ νπνία ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ γίλεηαη ειάρηζην . 296) Γίλνληαη νη επζείεο 1 :( ) 3( ) 3 0a x a y θαη 2 :3( ) ( ) 1 0a x a y , a . α. Λα βξείηε γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ a ηηο ζρεηηθέο ζέζεηο ησλ επζεηώλ 1 , 2 . β. Αλ Κ είλαη ην ζεκείν ηνκήο ησλ 1 , 2 , λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο θακπύιεο ζηελ νπνία θηλείηαη ην Κ γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ a . 297) Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 2 2 2 2 1 0a x y ax , όπνπ ,a . α. Λα απνδείμεηε όηη ε παξαπάλσ εμίζσζε παξηζηάλεη δπν επζείεο 1 θαη 2 νη νπνίεο ηέκλνληαη . β. Έζησ Α ην ζεκείν ηνκήο ησλ 1 θαη 2 , Γ ην ζπκκεηξηθό ηνπ Α σο πξνο ηελ αξρή Ο θαη Β , Γ ηα ζεκεία πνπ νη επζείεο ηέκλνπλ ηνλ άμνλα y y . Λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ηεηξαπιεύξνπ ΑΒΓΓ . 298) Γίλεηαη ε εμίζσζε (1 ) (1 ) 1a x a y a , όπνπ a . α. Λα απνδείμεηε όηη είλαη εμίζσζε επζείαο ε νπνία δηέξρεηαη από ζηαζεξό ζεκείν . β. Έζησ ηα ζεκεία 4 , 4 θαη 0 , 4 . Λα βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ a ώζηε νη επζείεο πνπ νξίδεη ε παξαπάλσ εμίζσζε λα ηέκλνπλ εζσηεξηθά ην επζύγξακκν ηκήκα ΑΒ . 299) ε ηξίγσλν ΑΒΓ κε 3 ,1 θαη 9 , 0 ε θνξπθή Α βξίζθεηαη ζηελ επζεία : 3y x . Αλ ε δηρνηόκνο ΑΓ είλαη θάζεηε ζηελ δηάκεζν ΒΚ , λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ ηξηγώλνπ. 300) Έλα ζεκείν Ρ θηλείηαη ζηελ επζεία : 2 3 6 0x y θαη έζησ Α θαη Β νη πξνβνιέο ηνπ Ρ ζηνπο άμνλεο x x θαη y y αληίζηνηρα . Θεσξνύκε ζεκείν Κ ηεο επζείαο ΑΒ ηέηνην ώζηε 2 . Λα απνδείμεηε όηη ην Κ θηλείηαη ζε επζεία ηεο νπνίαο λα βξείηε ηελ εμίζσζε . 301) Γίλνληαη νη επζείεο 1 :( ) ( ) 1 0a x a y , 2 :( ) ( ) 1 0a x a y , 3 :( ( )) ( ( )) 0a x a y , ,a . Λα βξείηε ηηο ηηκέο ησλ ,a ώζηε νη επζείεο 1 , 2 θαη 3 , λα δηέξρνληαη από ην ίδην ζεκείν . 302) Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ θαη επζείεο 1 , 2 θάζεηεο ζηελ ΒΓ ζηα ζεκεία Β θαη Γ αληίζηνηρα . Φέξλνπκε ην ύςνο ΑΓ ηνπ ηξηγώλνπ θαη από ην ζεκείν Γ επζείεο παξάιιειεο ζηηο ΑΓ θαη ΑΒ πνπ ηέκλνπλ ηηο 1 θαη 2 ζηα ζεκεία Κ θαη Ρ αληίζηνηρα . Λα απνδείμεηε όηη : α. ηα ζεκεία Κ , Α , Ρ είλαη ζπλεπζεηαθά , β. ηα ηξίγσλα ΑΒΓ θαη ΓΚΡ είλαη ηζνδύλακα .
- 57. η ευθεία στοεπίπεδο κεφάλαιο 2 - 55 - 303) ε ηξίγσλν ΑΒΓ νη εμηζώζεηο ηνπ ύςνπο ΑΓ , ηεο δηακέζνπ ΒΚ θαη ηεο δηρνηόκνπ ΓΕ είλαη : 1x , :9 20 60 0x y θαη : 3 13 0x y αληίζηνηρα . Λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ . 304) Λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηξηγώλνπ ΑΒΓ , ηνπ νπνίνπ κηα θνξπθή είλαη ην ζεκείν 1, 2 , ε εμίζσζε ηεο δηρνηόκνπ : 2 1 0x y θαη ε εμίζσζε ηεο δηακέζνπ είλαη : 2 0x y . 305) Γίλεηαη ε επζεία : 3y x θαη ηα ζεκεία 4 , 3 , 0 , 0 . Λα βξείηε πάλσ ζηελ επζεία ζεκείν ,a κε 1a ώζηε ην εκβαδόλ ηνπ ΟΒΓ λα είλαη ειάρηζην . Όπνπ Γ είλαη ην ζεκείν ηνκήο ηεο ΑΒ κε ηνλ άμνλα x x . 306) Αλ ην ηκήκα ΒΓ ηεο επζείαο :3 2 6 0x y πνπ απνθόπηεηαη από ηνπο άμνλεο είλαη ε ππνηείλνπζα νξζνγσλίνπ θαη ηζνζθεινύο ηξηγώλνπ ΑΒΓ λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ ηνπ . 307) Γίλνληαη ηα ζεκεία 3 , 4 , 1, 0 θαη 3 , 2 . Λα απνδείμεηε όηη ην ζεκείν 1, 6 αλήθεη ζηελ εζσηεξηθή δηρνηόκν ηεο γσλίαο Β ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ . 308) ε έλα ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ xOy δπν ζεκεία Α , Β θηλνύληαη ζηνπο ζεηηθνύο εκηάμνλεο Ox θαη Oy αληίζηνηρα , έηζη ώζηε λα ηζρύεη 1 1 1 ( ) ( ) . Λα απνδείμεηε όηη ε επζεία ΑΒ δηέξρεηαη από ζηαζεξό ζεκείν . 309) Γίλεηαη ηξαπέδην ΑΒΓΓ κε 0 90 θαη Η ην κέζν ηεο ΑΓ . Αλ νη θάζεηεο από ηα Α , Γ ζηηο ΗΒ θαη ΗΓ αληίζηνηρα , ηέκλνληαη ζην Ρ , λα απνδείμεηε όηη . 310) Θεσξνύκε ηηο επζείεο 1 1 : y ax a , 2 1 : y x , 3 1 : y x κε 0a a . Λα απνδείμεηε όηη νη επζείεο απηέο ζρεκαηίδνπλ ηξίγσλν πνπ ην νξζόθεληξό ηνπ αλήθεη ζε ζηαζεξή επζεία . 311) Γίλεηαη νξζνγώλην θαη κε ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ ( 0 90 ) . Δμσηεξηθά ηνπ ηξηγώλνπ θαηαζθεπάζνπκε ηα ηεηξάγσλα ΑΒΓΔ θαη ΑΓΕΖ . Λα απνδείμεηε όηη : α. ηα ζεκεία Α , Γ , Ε είλαη ζπλεπζεηαθά , β. αλ Λ ην κέζν ηεο ΓΕ ηόηε ην ηξίγσλν ΛΒΓ είλαη νξζνγώλην θαη ηζνζθειέο . γ. νη επζείεο ΓΓ , ΒΕ θαη ε θάζεηε από ην Α ζηελ ΒΓ , δηέξρνληαη από ην ίδην ζεκείν .
- 58.
- 59. κωνικές τομές κεφάλαιο3 - 57 - §1. ο κύκλοσ 1) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ κε θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ ζηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο: α. όηαλ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 3 , 4 , β. όηαλ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 , 2 , γ. όηαλ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 3 , 3 2a a , δ. όηαλ δηέξρεηαη από ην ζεκείν , 2a a , ε. όηαλ εθάπηεηαη ηεο επζείαο 1x y , ζη. όηαλ εθάπηεηαη ηεο επζείαο 2 5x y , δ. όηαλ εθάπηεηαη ηεο επζείαο ax y a , ε. όηαλ εθάπηεηαη ηεο επζείαο ( ) ( ) 2a x a y a . 2) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ ζε θαζεκία από ηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο : α. έρεη θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη αθηίλα 2 2 , β. έρεη θέληξν ην ζεκείν 3 , 1 θαη αθηίλα 5 , γ. έρεη θέληξν ην ζεκείν 2 ,1 θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 , 3 , δ. έρεη δηάκεηξν ην επζύγξακκν ηκήκα ΑΒ κε 1, 3 θαη 3 , 5 , ε. δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 2 ,1 , 1, 2 θαη 2 , 1 , ζη. δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 3 ,1 , 1, 3 θαη ην θέληξν ηνπ είλαη πάλσ ζηελ επζεία 3 2y x , δ. έρεη θέληξν ην ζεκείν 8 , 6 θαη δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ , ε. έρεη θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη εθάπηεηαη ηεο επζείαο 3 10x y , ζ. έρεη αθηίλα 4 , εθάπηεηαη ζηνλ άμνλα x x θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν 5 , 4 , η. έρεη θέληξν ην ζεκείν 3 , 2 , εθάπηεηαη ζηνλ άμνλα y y θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν 6 , 2 , ηα. έρεη θέληξν ην ζεκείν 3 , 3 θαη εθάπηεηαη ησλ αμόλσλ x x θαη y y , 3) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ ζε θαζεκία από ηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο : α. έρεη θέληξν ην ζεκείν 1,1 θαη δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ , β. έρεη θέληξν ην ζεκείν 2 ,1 θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1, 5 , γ. έρεη δηάκεηξν ην επζύγξακκν ηκήκα ΑΒ κε 1, 4 θαη 3 , 2 , δ. έρεη δηάκεηξν ην επζύγξακκν ηκήκα ΜΛ κε 3 , 7 θαη 3 , 5 , ε. έρεη αθηίλα 5 θαη ηέκλεη ηνλ άμνλα y y ζηα ζεκεία 0 , 3 θαη 0 , 5 . ζη. έρεη αθηίλα 10 θαη ηέκλεη ηνλ άμνλα x x ζηα ζεκεία 4 , 0 θαη 8 , 0 . 4) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ ζε θαζεκία από ηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο : α. δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 2 , 3 , 2 , 5 θαη έρεη αθηίλα 10 , β. δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 1, 2 , 3 , 4 θαη έρεη αθηίλα 2 5 , γ. δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 2 , 5 , 4 ,1 θαη ην θέληξν ηνπ είλαη ζηελ επζεία : 2 2 5 0x y , δ. δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 1,1 , 2 , 3 θαη ην θέληξν ηνπ είλαη ζηελ επζεία : 2 2 3 0x y , ε. δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 2 ,1 , 1, 0 θαη 1, 4 , ζη. δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 1, 1 , 3 ,1 θαη 1, 3 , δ. εθάπηεηαη ησλ επζεηώλ 2 1 0x y θαη 2 3 0x y θαη ην θέληξν είλαη ζηελ επζεία 3 2 6 0x y , ε. δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 2 ,1 , 1, 0 θαη 1, 4 , 5) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ ζε θαζεκία από ηεο παξαθάησ πεξηπηώζεηο : α. δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 2 ,1 , 1, 4 θαη ην θέληξν ηνπ βξίζθεηαη ζηελ επζεία 4 5 11 0x y , β. ηέκλεη ηνλ άμνλα x x ζηα ζεκεία 2 , 0 , 14 , 0 θαη ηνλ άμνλα y y ζηα ζεκεία 0 , 2 θαη 0 , a . Πνηα είλαη ηόηε ε ηηκή ηνπ a ; γ. εθάπηεηαη ηνπ άμνλα x x ζην ζεκείν 1, 0 θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 , 3 .
- 60. κωνικές τομές κεφάλαιο3 - 58 - 6) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ ζε θαζεκία από ηεο παξαθάησ πεξηπηώζεηο : α. εθάπηεηαη ηνπ άμνλα y y θαη ηέκλεη ηνλ άμνλα x x ζηα ζεκεία 1, 0 θαη 5 , 0 , β. δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1, 8 θαη εθάπηεηαη ηεο επζείαο 3 4 4x y ζην ζεκείν 0 , 1 . 7) Να βξεζεί ην θέληξν θαη ε αθηίλα ηνπ θύθινπ πνπ έρεη εμίζσζε : α. 2 2 2 4 0x y x y β. 2 2 2 1 0x y y γ. 2 2 2 4 2 0x y x y δ. 2 2 2 2 2 3 0x y x y ε. 2 2 3 3 6 4 1 0x y x y ζη. 2 2 8 8 4 4 1 0x y x y δ. 2 2 2 2 0x y ax y ε. 2 2 2 2 2 0x y ax y a 8) Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ηνπ θύθινπ 2 2 : 10C x y ζηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο : α. όηαλ είλαη παξάιιειε ζηελ επζεία : 3 4x y , β. όηαλ είλαη θάζεηε ζηελ επζεία 1 : 3 y x , γ. όηαλ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 10 , 0 . 9) Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ηνπ θύθινπ 2 2 : 8C x y ζηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο : α. όηαλ είλαη παξάιιειε ζηελ επζεία : 1y x , β. όηαλ είλαη θάζεηε ζηελ επζεία : 4y x , γ. όηαλ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 3 , 0 . 10) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ησλ θύθινπ ζηα δεηνύκελα ζεκεία : α. 2 2 : 2 4 1 0C x y x y ζην 1, 2 β. 2 2 2 2 : 2 2 3C x y ax y a , 2 , 3a a γ. 2 2 : 4 2 4 0C x y x y ζην 1,1 δ. 2 2 2 2 : 2 4 3 4 0C x y ax y a , 2a 11) Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ηνπ θύθινπ 2 2 4x y πνπ είλαη παξάιιειεο ζηελ επζεία 0x y . 12) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ έρεη θέληξν ην ζεκείν 3 , 1 θαη ηέκλεη από ηελ επζεία : 6x y ρνξδή κήθνπο 4 2 . α. Να απνδείμεηε όηη 1 2/ / . β. Να ππνινγίζεηε ηελ απόζηαζε ησλ 1 , 2 . γ. Να βξείηε ηελ εθαπηνκέλε ηνπ θύθινπ πνπ ηέκλεη ηηο 1 θαη 2 ζηα ζεκεία Α θαη Β ώζηε ( ) 5 5 . 13) Γίλεηαη ν θύθινο 2 2 : 5C x y θαη νη επζείεο 1 : 2 8 0x y θαη 2 : 2 33 0x y . α. Να απνδείμεηε όηη 1 2/ / . β. Να ππνινγίζεηε ηελ απόζηαζε ησλ 1 , 2 . γ. Να βξείηε ηελ εθαπηνκέλε ηνπ θύθινπ πνπ ηέκλεη ηηο 1 θαη 2 ζηα ζεκεία Α θαη Β ώζηε ( ) 5 5 . 14) Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ηνπ θύθινπ 2 2 2 6 0x y x y πνπ είλαη θάζεηεο ζηελ επζεία 3 12 0x y . 15) Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ηνπ θύθινπ 2 2 2 6 0x y x y πνπ είλαη θάζεηεο ζηελ επζεία 3 12 0x y . 16) Να βξεζνύλ νη εθαπηόκελεο ηνπ θύθινπ 2 2 : ( 1) ( 2) 5C x y πνπ είλαη θάζεηεο ζηελ επζεία 9 : 2 x y . 17) Γίλεηαη ν θύθινο 2 2 12 6 5 0x y x y θαη ην ζεκείν 1, 12 . Να βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ πνπ θέξνπκε από ην Α πξνο ηνλ θύθιν . 18) Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ηνπ θύθινπ 2 2 9x y πνπ δηέξρνληαη από ην ζεκείν 0 , 6 . 19) Να απνδείμεηε όηη ε επζεία : 2x y είλαη εθαπηνκέλε ησλ θύθισλ 2 2 1 : 2C x y θαη 2 2 2 : ( 4) 2C x y . 20) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1, 0 θαη εθάπηεηαη ζηηο επζείεο 3 6 0x y θαη 3 12 0x y .
- 61. κωνικές τομές κεφάλαιο3 - 59 - 21) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ έρεη θέληξν 2 ,1 θαη εθάπηεηαη ζηελ επζεία : 4 0x y . 22) Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 2 3 0x y θαη 2 : 2 1 0x y . Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ ν νπνίνο εθάπηεηαη ζηηο 1 , 2 θαη έρεη ην θέληξν ηνπ πάλσ ζηελ επζεία 1x . 23) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ , ν νπνίνο είλαη εγγεγξακκέλνο ζην ηξίγσλν πνπ ζρεκαηίδεη ε επζεία 6 0x y κε ηνπο άμνλεο x x θαη y y 24) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ έρεη θέληξν ην ζεκείν 3 , 3 θαη ηέκλεη από ηελ επζεία : 2 7 0x y ρνξδή κήθνπο 4 . 25) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ έρεη ην θέληξν ηνπ ζηελ 2ε δηρνηόκν ησλ αμόλσλ θαη πεξλάεη από ην θνηλό ζεκείν ησλ θύθισλ 2 2 1 : 2 10 24 0C x y x y θαη 2 2 2 : 2 2 8 0C x y x y . 26) Να βξεζεί ε εμίζσζε θύθινπ πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 3 , 0a , 0 , 3a θαη 0 , 3a , 0a . 27) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ έρεη αθηίλα 10 θαη εθάπηεηαη ζηελ επζεία 3 4 13 0x y ζην ζεκείν ηεο 7 , 2 . 28) Γίλεηαη ν θύθινο 2 2 : 0C x y x y . Να βξείηε ηηο ηξηάδεο Α , Β , Γ ώζηε ν θύθινο C λα εθάπηεηαη ζηνπο άμνλεο x x , y y θαη ε αθηίλα ηνπ λα είλαη ίζε κε 1 . 29) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 1 2 , 4 , 2 5 , 0 θαη από ηα ζπκκεηξηθά ηνπο σο πξνο ηνλ άμνλα y y . 30) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ C πνπ έρεη θέληξν ην ζεκείν ηνκήο ησλ επζεηώλ 1 :3 4 24 0x y , 2 : 4 3 0y x θαη εθάπηεηαη ζηελ επζεία 3 : 2 3 0x y . 31) Να βξεζεί ε εμίζσζε θύθινπ πνπ έρεη ην θέληξν ζηελ επζεία 2 1 0x y θαη δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 1, 2 θαη 3 , 1 . 32) Να βξεζεί ε εμίζσζε θύθινπ πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 6 , 3 , 2 , 5 θαη ην θέληξν ηνπ απέρεη από ηελ επζεία 2 0x y απόζηαζε 2 . 33) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ έρεη ην θέληξν ηνπ πάλσ ζηελ επζεία 3 2 2 0x y θαη δηέξρεηαη από ηα ζεκεία ηνκήο ησλ θύθισλ 2 2 1 : 2 4 20 0C x y x y θαη 2 2 2 : 2 20 0C x y x y . 34) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ έρεη θέληξν 3 , 1 θαη απνθόπηεη από ηελ επζεία 2 5 18 0x y ρνξδή κήθνπο 6 . 35) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ έρεη αθηίλα 5 θαη εθάπηεηαη κε ηνλ θύθιν 2 2 ( 7) ( 5) 25x y ζην ζεκείν ηνπ 4 ,1 . 36) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 3 , 0 , 1, 2 θαη ην θέληξν ηνπ βξίζθεηαη ζηελ επζεία 2 0x y . 37) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 4 , 2 θαη εθάπηεηαη ζηηο επζείεο 2 0x y θαη 14 0x y . 38) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ εθάπηεηαη ζηελ επζεία y x θαη είλαη νκόθεληξνο ηνπ θύθινπ 2 2 2 4 1 0x y x y . 39) Γίλεηαη ν θύθινο 2 2 2 1 0x y x θαη ε επζεία 3y x . Να απνδείμεηε όηη ε επζεία εθάπηεηαη ηνπ θύθινπ θαη ζηελ ζπλέρεηα λα βξείηε ην ζεκείν επαθήο . 40) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ έρεη αθηίλα 2 5 θαη εθάπηεηαη ζηελ επζεία : 2 3 0x y ζην ζεκείν ηεο 1,1 .
- 62. κωνικές τομές κεφάλαιο3 - 60 - 41) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ έρεη αθηίλα 5 θαη εθάπηεηαη ζηελ επζεία : 2 0x y ζην ζεκείν ηεο 2 , 1 . 42) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ εθάπηεηαη ζηνλ θύθιν 2 2 : 4 2 5 0C x y x y ζην ζεκείν ηνπ 1, 0 θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν 9 , 4 . 43) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ εθάπηεηαη ζηνλ θύθιν 2 2 : 6 2 1 0C x y x y ζην ζεκείν ηνπ 3 , 4 θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1, 6 . 44) Να απνδεηρζεί όηη νη θύθινη 2 2 1 : ( 2) 4C x y θαη 2 2 2 : 2 0C x x y εθάπηνληαη εζσηεξηθά . 45) Να απνδεηρζεί όηη νη θύθινη 2 2 1 : 10 2 17 0C x y x y θαη 2 2 2 : 2 4 1 0C x y x y εθάπηνληαη εμσηεξηθά θαη λα βξεζεί ην ζεκείν επαθήο ηνπο . 46) Γίλνληαη νη θύθινη 2 2 1 : 2 2 2 0C x y x y θαη 2 2 2 : 4 2 4 0C x y x y . α. Να απνδείμεηε όηη εθάπηνληαη εζσηεξηθά . β. Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο θνηλήο ηνπο εθαπηνκέλεο . 47) Κύθινο C έρεη θέληξν 0 0,x y , * 0 0,x y , αθηίλα 10 θαη ηέκλεη από ηνλ άμνλα y y ρνξδή ΑΒ κήθνπο 16 , ελώ εθάπηεηαη ζηνλ άμνλα x x . Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ C 48) Γίλεηαη ν θύθινο 2 2 : 10C x y θαη ην ζεκείν 4 , 2 . Να βξεζεί ε γσλία ησλ εθαπηνκέλσλ πνπ θέξνπκε από ην Α πξνο ηνλ θύθιν . 49) Γίλεηαη ν θύθινο 2 2 9x y θαη ην ζεκείν 3 ,1 . Από ην Α θέξλνπκε ηηο εθαπηόκελεο ΑΒ θαη ΑΓ ηνπ θύθινπ . Να απνδείμεηε όηη ε επζεία ηεο ρνξδήο ΒΓ δηέξρεηαη από ην θέληξν ηνπ θύθινπ 2 2 ( 3) 16x y . 50) Γίλεηαη ν θύθινο 2 2 9x y θαη ην ζεκείν 5 , 3 . Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ θύθινπ πνπ δηέξρεηαη από ην Β . 51) Κύθινο C θαη αθηίλαο 4 , ηέκλεη από ηνλ άμνλα x x ρνξδή ΑΒ κήθνπο 4 3 θαη από ηνλ άμνλα y y ρνξδή κήθνπο 2 7 . Να βξείηε ηελ εμίζσζε θύθινπ C . 52) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν ηνπ θύθινπ 2 2 2 6 0x x y y θαη είλαη θάζεηε ζηελ επζεία 2 7 0x y . 53) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο ρνξδήο ηνπ θύθινπ 2 2 5x y πνπ έρεη κέζν ην ζεκείν 1,1 . 54) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ C πνπ εθάπηεηαη ζηνπο ζεηηθνύο εκηάμνλεο Ox θαη Oy θαη ζηνλ θύθιν 2 2 1 : ( 3) ( 3) 2C x y εμσηεξηθά θαη έρεη κηθξόηεξε αθηίλα από ηελ αθηίλα ηνπ 1C . 55) Γίλνληαη νη θύθινη 2 2 1 : 4 0C x y x θαη 2 2 2 : 4 0C x y x . α. Να απνδείμεηε όηη εθάπηνληαη εζσηεξηθά ζε ζεκείν Α ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο. β. Αλ ΑΒ είλαη ρνξδή ηνπ 1C θαη ΑΓ ρνξδή ηνπ 2C ώζηε , ηόηε λα δείμεηε όηη / / , όπνπ Κ , Λ ηα θέληξα ησλ 1C , 2C αληίζηνηρα . 56) Να βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ θύθισλ 1C , 2C αλ μέξνπκε όηη έρνπλ θνηλέο εθαπηόκελεο ηνπο άμνλεο θαη όηη έρνπλ θνηλό ζεκείν ην 2 , 4 . 57) Γίλνληαη ηα ζεκεία 2 , 2 θαη 3 ,1 αληίζηνηρα . Να απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ έρεη σο δηάκεηξν ην επζύγξακκν ηκήκα ΑΒ έρεη εμίζσζε 2 2 3 4 0x y x y . Αλ ηα Α , Β είλαη απέλαληη θνξπθέο ελόο ηεηξαγώλνπ ηόηε λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ δπν άιισλ απέλαληη θνξπθώλ ηνπ . 58) Από ην ζεκείν 6 ,1 θέξλνπκε ηηο εθαπηόκελεο ΑΒ θαη ΑΓ πξνο ηνλ θύθιν 2 2 : 1C x y . Να βξεζεί ε απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Α από ηελ ΒΓ .
- 63. κωνικές τομές κεφάλαιο3 - 61 - 59) Να δεηρζεί όηη ην ζεκείν 3 , 0 είλαη εζσηεξηθό ζεκείν ηνπ θύθινπ 2 2 4 2 1 0x y x y . Καηόπηλ λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην Α θαη νξίδεη ρνξδή ηνπ θύθινπ ζηελ νπνία ην Α είλαη ην κέζν ηεο . 60) Να βξείηε ην κήθνο ηεο ρνξδήο ηνπ θύθινπ κε εμίζσζε 2 2 ( 3) ( 4) 36x y πνπ έρεη κέζν ην ζεκείν 2 , 3 . 61) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο ρνξδήο ηνπ θύθινπ 2 2 9x y πνπ έρεη κέζν ην ζεκείν 2 ,1 . 62) Γίλεηαη ν θύθινο 2 2 : 2 2 2 0C x y x y θαη ην ζεκείν 2 ,1 . α. Να δεηρζεί όηη ην Α βξίζθεηαη ζην εζσηεξηθό ηνπ θύθινπ . β. Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην Α θαη νξίδεη ζηνλ C ρνξδή πνπ έρεη ην Α κέζν . 63) Γίλεηαη ν θύθινο 2 2 : ( 2) ( 4) 10C x y θαη ην ζεκείν 1, 2 . α. Να απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Α είλαη εζσηεξηθό ζεκείν ηνπ θύθινπ . β. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην Α θαη νξίδεη κε ηνλ θύθιν ρνξδή κε κέζν ην Α . 64) Γίλεηαη ν θύθινο 2 2 : 4 6 9 0C x y x y θαη ην ζεκείν 1, 2 . α. Να απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Α είλαη εζσηεξηθό ζεκείν ηνπ θύθινπ . β. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο ρνξδήο ΑΒ ηνπ θύθινπ πνπ έρεη κέζν ην Μ . 65) Γίλεηαη ν θύθινο 2 2 : 2 8 0C x y y θαη ην ζεκείν 2 6 , 5 5 . α. Να δεηρζεί όηη ην Α βξίζθεηαη ζην εζσηεξηθό ηνπ θύθινπ . β. Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην Α θαη νξίδεη ζηνλ C ρνξδή πνπ έρεη ην Α κέζν . 66) Δπζεία δηέξρεηαη από ην θέληξν ηνπ θύθινπ 2 2 : 2 0C x y ax , 0a θαη είλαη παξάιιειε ζηελ επζεία 1 : 2 2 0x y . Αλ Α , Β είλαη ηα ζεκεία ηνκήο ηεο κε ηνλ θύθιν , λα βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΟΒ . 67) Γίλεηαη ν θύθινο 2 2 : 8C x y . α. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ζην ζεκείν 2 , 2 . β. Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ πνπ ζρεκαηίδεη ε εθαπηνκέλε κε ηνπο άμνλεο . γ. Να βξείηε ηελ γσλία πνπ ζρεκαηίδεη ε εθαπηνκέλε κε ηνλ άμνλα x x . 68) Γίλνληαη νη επζείεο 1 :3 7 0x y θαη 2 :3 13 0x y . α. Να βξείηε επζεία ε νπνία δηέξρεηαη από ην ζεκείν 4 , 5 θαη ηεο νπνίαο ε κηα γσλία κε ηελ 1 είλαη 135ν . β. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ , ν νπνίνο εθάπηεηαη ζηηο 1 , 2 θαη έρεη ην θέληξν ηνπ ζηελ επζεία . 69) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ C πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 , 7 θαη εθάπηεηαη ηνπ θύθινπ 2 2 : ( 1) ( 2) 10C x y ζην ζεκείν ηνπ 0 , 5 . 70) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ θύθινπ 2 2 25x y πνπ ζρεκαηίδεη κε ηνπο ζεηηθνύο εκηάμνλεο ηξίγσλν εκβαδνύ 625 24 . 71) Γίλνληαη ηα ζεκεία 1, 2 , 2 , 4 θαη 3 ,1 . α. Να απνδεηρζεί όηη 0 90 . β. Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία Α , Β θαη Γ . 72) Γίλεηαη ν θύθινο 2 2 : 2 2 1 0C x y x y θαη ην ζεκείν ηνπ 2 ,1 . Να γξαθεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ ν νπνίνο εθάπηεηαη ζηνλ θύθιν C ζην Α εμσηεξηθά θαη έρεη αθηίλα δηπιάζηα ηεο αθηίλαο ηνπ C . 73) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ εθάπηεηαη εμσηεξηθά ηνπ θύθινπ 2 2 : 1C x y , έρεη ην θέληξν ηνπ ζηελ επζεία : 3 5y x θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν 3 , 0 .
- 64. κωνικές τομές κεφάλαιο3 - 62 - 74) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ είλαη νκόθεληξνο ηνπ θύθινπ 2 2 : 2 2 6 10 1 0C x y x y θαη εθάπηεηαη ζηελ επζεία , ε νπνία δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1, 2 θαη ζρεκαηίδεη κε ηνλ άμνλα x x γσλία 3 4 . 75) Γίλεηαη ν θύθινο 2 2 : ( 1) ( 2) 9C x y θαη ην ζεκείν 3 , 2 . Να γξαθεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην Α θαη νξίδεη ζηνλ θύθιν C ρνξδή κέγηζηνπ κήθνπο . 76) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ εθάπηεηαη ζηνπο ζεηηθνύο εκηάμνλεο Ox , Oy θαη εζσηεξηθά ηνπ θύθινπ 2 2 : 6 8 21 0C x y x y . 77) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1,1 έρεη αθηίλα 3 θαη εθάπηεηαη εμσηεξηθά κε ηνλ θύθιν 2 2 : 6 2 6 0C x y x y . 78) Έζησ ν θύθινο 2 2 2x y θαη ην ζεκείν 4 , 6 . α. Από ην Μ θέξλνπκε ηηο εθαπηνκέλεο ΜΑ θαη ΜΒ ζηνλ θύθιν . Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο ΑΒ . β. Να Βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ θύθινπ πνπ ζρεκαηίδεη κε ηνπο άμνλεο ηζνζθειέο ηξίγσλν κε θνξπθή ηελ αξρή ησλ αμόλσλ . 79) Γίλνληαη νη θύθινη 2 2 1 : 2 4 1 0C x y x y θαη 2 2 2 : 4 2 1 0C x y x y . α. Να απνδείμεηε όηη εθάπηνληαη ζηνπο άμνλεο x x θαη y y αληίζηνηρα . β. Να βξεζεί ην είδνο ηνπ ηεηξαπιεύξνπ ΑΒΚΛ , όπνπ Α , Β ηα ζεκεία επαθήο κε ηνπο άμνλεο θαη Κ , Λ ηα θέληξα ησλ 1C , 2C αληίζηνηρα . 80) Γίλεηαη ε επζεία : 2 3 15 0x y θαη ην ζεκείν 5 , 6 . Να βξείηε : α. ην ζπκκεηξηθό Μ΄ ηνπ ζεκείνπ Μ σο πξνο ηελ επζεία , β. ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ κε δηάκεηξν ην ηκήκα ΜΜ΄ , γ. ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία Μ , Μ΄ θαη εθάπηεηαη ζηνλ άμνλα x x . 81) Να βξείηε ηηο θνηλέο εθαπηνκέλεο ησλ θύθισλ 2 2 1 : 4C x y θαη 2 2 2 : ( 4) 4C x y . 82) Να βξείηε ηηο θνηλέο εθαπηνκέλεο ησλ θύθισλ 2 2 1 : 1C x y θαη 2 2 2 : 4 2 1 0C x y x y . 83) Γίλεηαη ην ηξίγσλν ΑΒΓ θαη έζησ 1x , 3y θαη 3 4 11 0x y νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ . Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ ηξηγώλνπ . 84) Γίλνληαη νη θύθινη 2 2 1 : ( ) 1C x k y θαη 2 2 2 : ( 1) 4C x y κε 1k . Να βξεζεί γηα πνηεο ηηκέο ηνπ k νη θύθινη ηέκλνληαη θαη λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο θνηλήο ρνξδήο ηνπο . 85) Γίλεηαη ν θύθινο 2 2 : 6 2 6 0C x y x y θαη ην ζεκείν 4 , 1 . Αθνύ απνδείμεηε όηη ην Α είλαη εζσηεξηθό ζεκείν ηνπ θύθινπ , λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο ρνξδήο ηνπ θύθινπ από ην Α , ε νπνία απέρεη ειάρηζηε απόζηαζε από ην θέληξν ηνπ θύθινπ . 86) Να βξεζνύλ ηα ζεκεία ηνπ θύθινπ 2 2 : 2 4 0C x y x y πνπ απέρνπλ ηελ ειάρηζηε θαη ηελ κέγηζηε απόζηαζε αληίζηνηρα από ηελ επζεία : 2 8 0x y . 87) Γίλεηαη ν θύθινο 2 2 4x y θαη ην ζεκείν 2 , 2 . Να απνδείμεηε όηη νη εθαπηνκέλεο ηνπ θύθινπ από ην Α ηέκλνληαη θάζεηα . 88) Γίλεηαη ν θύθινο 2 2 : 8 2 8 0C x y x y θαη ην ζεκείν 5 , 8 . α. Να απνδείμεηε όηη νη εθαπηνκέλεο ΜΑ θαη ΜΒ ηνπ θύθινπ είλαη θάζεηεο κεηαμύ ηνπο . β. Αλ Γ θαη Γ είλαη ηα αληηδηακεηξηθά ζεκεία ησλ Α θαη Β αληίζηνηρα , λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ηνπ θύθινπ ζηα Γ θαη Γ . 89) Γίλεηαη ν θύθινο 2 2 : 2 2 0C x y ax y θαη ην ζεκείν ,a . Αλ ΜΑ θαη ΜΒ είλαη νη εθαπηόκελεο πνπ θέξνληαη από ην Μ ζηνλ θύθιν θαη ηζρύεη 2 2 a , λα απνδείμεηε όηη ε ρνξδή ΑΒ δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ.
- 65. κωνικές τομές κεφάλαιο3 - 63 - 90) Γίλεηαη ν θύθινο 2 2 : 25C x y . α. Να απνδείμεηε όηη ηα κέζα ησλ ρνξδώλ ηνπ θύθινπ πνπ δηέξρνληαη από ην ζεκείν 3 , 4 είλαη θύθινο ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ηελ εμίζσζε . β. Αλ ε εθαπηνκέλε ηνπ θύθινπ ζην ζεκείν Α ηέκλεη ηηο εθαπηνκέλεο πνπ είλαη παξάιιειεο ζηνλ άμνλα y y ζηα ζεκεία Β θαη Γ , λα απνδείμεηε όηη ε γσλία 0 90 , όπνπ Ο ε αξρή ησλ αμόλσλ . 91) Γίλεηαη ν θύθινο 2 2 : ( 3) ( 5) 25C x y θαη ε επζεία : 2 4 0x y . α. Να βξείηε ην κήθνο ηεο ρνξδήο πνπ απνθόπηεη από ηνλ θύθιν C ε επζεία . β. Να απνδείμεηε όηη ν θύθινο ν νπνίνο είλαη νκόθεληξνο ηνπ θύθινπ C θαη εθάπηεηαη ηεο επζείαο δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1, 4 . 92) Να απνδεηρζεί όηη νη εθαπηόκελεο ηνπ θύθινπ 2 2 ( 1) ( 1) 1x y ζηα ζεκεία 1, 0 , 0 ,1 θαη 9 8 , 5 5 ζρεκαηίδνπλ νξζνγώλην ηξίγσλν. Πνηα είλαη ε εμίζσζε ηεο ππνηείλνπζαο; 93) Θεσξνύκε δπν θύθινπο δηακέηξσλ ΟΑ , ΟΒ ζε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ , κε , 0a , 0 , . Να δεηρζεί όηη ην έλα θνηλό ζεκείν ησλ θύθισλ αλήθεη ζηελ επζεία ΑΒ . (Σν άιιν θνηλό ζεκείν ηνπο είλαη ε αξρή ησλ αμόλσλ) . 94) Να απνδεηρηεί όηη ν θύθινο 2 2 2 : ( 2 ) 4C x y a a εθάπηεηαη ηνπ άμνλα x x ζην ζεκείν 0 , 0 . 95) Γίλεηαη ε επζεία y x θαη ν θύθινο 2 2 4 1 0x y x . Να βξεζεί ε ηηκή ηνπ ώζηε ε επζεία : α. λα ηέκλεη ηνλ θύθιν , β. λα εθάπηεηαη ηνπ θύθινπ , γ. λα κελ έρεη θνηλά ζεκεία κε ηνλ θύθιν . 96) Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 2 2 4 4 0x y x y (1) . α. Να απνδείμεηε όηη ε (1) είλαη εμίζσζε θύθινπ ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ην θέληξν ηνπ θαη ηελ αθηίλα . β. Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ ώζηε ε επζεία : 2y x λα εθάπηεηαη ηνπ θύθινπ πνπ παξηζηάλεη ε (1) . 97) Γίλεηαη ν θύθινο 2 2 : 9C x y θαη ε επζεία : 2y x , . Να βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ ώζηε ε επζεία λα εθάπηεηαη ζηνλ θύθιν C . 98) Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 2 2 0x y x (1) . α. Να απνδείμεηε όηη ε (1) είλαη εμίζσζε θύθινπ ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ην θέληξν ηνπ θαη ηελ αθηίλα . β. Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ a ώζηε ε επζεία πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 3 , 2a θαη 1, a λα δηέξρεηαη από ην θέληξν ηνπ θύθινπ πνπ παξηζηάλεη ε (1) . 99) Να βξεζεί ν ώζηε ε επζεία : 1y x θαη ν θύθινο 2 2 : 4 2 1 0C x y x y λα εθάπηνληαη . 100) Να βξεζεί ν ώζηε ε επζεία 2 6 0x y , λα ηέκλεη ηνλ θύθιν 2 2 2 2 0x y x y , θαηά δηάκεηξν . 101) Να απνδείμεηε όηη ε επζεία :(1 2 ) 2x y y ηέκλεη ηνλ θύθιν 2 2 : 2 6 1 0C x y x y γηα θάζε . Καηόπηλ λα βξεζεί εθείλε ε επζεία ε νπνία ηέκλεη ηνλ θύθιν θαηά δηάκεηξν . 102) Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 2 2 :( 1) ( 4) 8 16C x y a a , 0a . α. Να απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε C παξηζηάλεη θύθιν . β. Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ ώζηε ε επζεία 2 : 4y x λα δηέξρεηαη από ην θέληξν ηνπ θύθινπ C . 103) Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 2 2 : 2 2 0C x y ax y a , όπνπ ,a θαη 0 . Να απνδείμεηε όηη ε παξαπάλσ εμίζσζε παξηζηάλεη θύθιν ν νπνίνο εθάπηεηαη ζηνλ άμνλα x x θαη αληηζηξόθσο . 104) Να απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε 2 2 2 4 : 2 4 5 1C x y x y παξηζηάλεη θύθιν γηα θάζε . Καηόπηλ λα απνδείμεηε όηη ππάξρεη αθέξαηα ηηκή ηνπ γηα ηελ νπνία ε επζεία : 1 0x y εθάπηεηαη ηνπ θύθινπ C .
- 66. κωνικές τομές κεφάλαιο3 - 64 - 105) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ε εμίζσζε 2 2 ( 2) 2 0x y x παξηζηάλεη θύθιν ηνπ νπνίνπ δεηνύληαη ην θέληξν θαη ε αθηίλα ηνπ . 106) Να δεηρζεί όηη ε εμίζσζε 2 2 2 2 2 4 1 ( 4 2 1) 0x y x y x y x y παξηζηάλεη θύθιν γηα θάζε 1 . 107) Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 2 2 2 2 4 ( 2 ) 0x y x x y y , 1 Να δεηρζεί όηη γηα θάζε 1 ε παξαπάλσ εμίζσζε παξηζηάλεη θύθιν , ν νπνίνο δηέξρεηαη από ζηαζεξά ζεκεία . 108) Γίλεηαη ν θύθινο 2 2 2 6 9 (3 6 2) 0x y x y x y , . α. Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ν θύθινο δηέξρεηαη από δπν ζηαζεξά ζεκεία β. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ δηέξρεηαη από ηα δπν απηά ζεκεία θαη από ην ζεκείν 1,1 . 109) Να απνδεηρζεί όηη γηα θάζε θαη γηα θάζε ε εμίζσζε 2 2 ( ) ( ) 0x y x y παξηζηάλεη θύθιν . Αλ ην θέληξν ηνπ παξαπάλσ θύθινπ είλαη ην ζεκείν 1 3 , 3 2 λα βξείηε ηελ αθηίλα ηνπ . 110) Να δείμεηε όηη ε εμίζσζε 2 2 2 9 1 : 4 2 0 2 2 C x y x y παξηζηάλεη θύθιν γηα θάζε 1 . Να βξείηε ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα ηνπ θαη λα απνδείμεηε όηη εθάπηεηαη ζηελ επζεία : 1 0x y . 111) Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 : 25 25x y . α. Να βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ , γηα ηηο νπνίεο ε παξαπάλσ εμίζσζε παξηζηάλεη επζεία . β. Αλ 5 , 5 , λα απνδείμεηε όηη ππάξρεη θύθινο θέληξνπ 0 , 0 ζηνλ νπνίν εθάπηεηαη ε . 112) Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ ώζηε ε εμίζσζε 2 2 2 2 2 0x y x y λα παξηζηάλεη θύθιν . 113) Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 2 ( 2 ) ( 2 ) 0x y x y , 0 , 4 . Να βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ γηα ηηο νπνίεο ε δνζκέλε εμίζσζε παξηζηάλεη θύθιν . 114) Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ε εμίζσζε 2 2 2 3 : 3 1 2 1 0 2 C x y x παξηζηάλεη θύθιν . 115) Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 2 2 : 2 2 2 0C x y x y . α. Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ γηα ηηο νπνίεο ε εμίζσζε C παξηζηάλεη θύθιν , ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα . β. Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ ώζηε ε επζεία : 2 0x y λα εθάπηεηαη ηνπ θύθινπ C . 116) Να απνδεηρζεί όηη νη εθαπηνκέλεο πνπ θέξλνπκε από έλα ηπραίν ζεκείν ,a κε a , ηνπ θύθινπ 2 2 2 1 : 2C x y πξνο ηνλ θύθιν 2 2 2 2 :C x y είλαη θάζεηεο κεηαμύ ηνπο. 117) α. Να απνδείμεηε όηη ε επζεία : 4 0x y ηέκλεη ηνλ θύθιν 2 2 : 2 2 8 0C x y x y ζε δπν ζεκεία Α θαη Β. β. Να απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε 2 2 2 2 8 ( 4) 0x y x y x y γηα θάζε παξηζηάλεη θύθιν ν νπνίνο δηέξρεηαη από ηα ζεκεία Α θαη Β . 118) Γίλνληαη νη θύθινη 2 2 1 : 0C x y ax y θαη 2 2 2 : 0C x y x ay κε a . Να απνδεηρζεί όηη ην κήθνο ηεο θνηλήο ρνξδήο ηνπο είλαη 2 | | 2 a . 119) Να απνδεηρζεί όηη ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ θύθινπ 2 2 2 ( ) ( )x a y ζην ζεκείν , είλαη 2 ( )( ) ( )( )x a a y . 120) Να απνδεηρζεί όηη ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ θύθινπ
- 67. κωνικές τομές κεφάλαιο3 - 65 - 2 2 : 0C x y x y ζε έλα ζεκείν ηνπ 1 1,x y είλαη 1 1 1 1: 0 2 2 x x y y xx yy . 121) Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 2 : 2 2 2 0C x y x y , ε νπνία παξηζηάλεη θύθιν ηνπ νπνίνπ ην θέληξν ηνπ βξίζθεηαη ζηελ 2ε γσλία ησλ αμόλσλ θαη ν θύθινο δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 , . Να βξεζεί ε εμίζσζε νκόθεληξνπ θύθινπ 1C , νπνίνο δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 , 6 . 122) Γίλεηαη ν θύθινο 2 2 : 6 4 12 0C x y x y θαη ε επζεία :3 2 0x y . Να βξεζεί ν ώζηε ε λα είλαη δηάκεηξνο ηνπ θύθινπ. Καηόπηλ λα δεηρζεί όηη ηα άθξα ηεο δηακέηξνπ ηζαπέρνπλ από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ . 123) Να απνδεηρζεί όηη ην ζύλνιν ησλ ζεκείσλ ,x y ηνπ επηπέδνπ πνπ ηθαλνπνηνύλ ηηο εμηζώζεηο 2x y θαη 2x y , , βξίζθνληαη ζε θύθιν . 124) Να απνδεηρζεί όηη νη εμηζώζεηο 2 3 4 3 x y , παξηζηάλνπλ εμίζσζε θύθινπ ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ην θέληξν ηνπ θαη ηελ αθηίλα ηνπ . 125) Να απνδεηρζεί όηη κηα δηάκεηξνο ηνπ θύθινπ 2 2 2 2 1 0x y x y βξίζθεηαη πάλσ ζηελ επζεία 1x y , όπνπ ην δηαγξάθεη ην 0 , 2 . 126) Να απνδεηρζεί όηη θαζώο ην δηαγξάθεη ην δηάζηεκα 0 , 2 ην ζεκείν ,a , 0 , δηαγξάθεη ηνλ θύθιν κε θέληξν ην ,a θαη αθηίλα | | . 127) Γπν κεηαβιεηά ζεκεία , 0a , 0 , θηλνύληαη ζηνπο ζεηηθνύο εκηάμνλεο έηζη ώζηε 10a . Να απνδείμεηε όηη νη θύθινη πνπ γξάθνληαη κε δηάκεηξν ηελ ΑΒ δηέξρνληαη από δπν ζηαζεξά ζεκεία . 128) Να βξεζεί γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ε εμίζσζε 2 2 2 ( 2) 1 0x y x y παξηζηάλεη θύθιν . Καηόπηλ λα δεηρζεί όηη ην θέληξν ησλ θύθισλ απηώλ αλήθεη ζε γλσζηέο εκηεπζείεο . 129) Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 2 : 8 2 7 (2 4) 0C x y x y x y , . α. Να απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε C γηα θάζε παξηζηάλεη θύθιν , ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα . β. Να απνδείμεηε όηη γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ην θέληξν ηνπ θύθινπ αλήθεη ζε ζηαζεξή επζεία ηεο νπνίαο λα βξεζεί ε εμίζσζε . γ. Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ ώζηε ν θύθινο λα έρεη ην θέληξν ηνπ ζηελ επζεία y x . δ. Να απνδείμεηε όηη δελ ππάξρεη θύθινο C ώζηε λα εθάπηεηαη ζηνλ άμνλα x x . ε. Να απνδείμεηε όηη ν θύθινο C δηέξρεηαη από δπν ζηαζεξά ζεκεία ησλ νπνίσλ λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο. 130) Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 2 2 :( ) ( 1) 3 2aC x a y a a a . α. Να βξεζεί γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ε εμίζσζε aC παξηζηάλεη θύθιν . β. Γηα ηηο ηηκέο ηνπ a ηνπ εξσηήκαηνο (α) λα απνδείμεηε όηη ηα θέληξα ησλ θύθισλ απηώλ βξίζθνληαη ζε ζηαζεξή επζεία . 131) Να απνδεηρζεί όηη ε εμίζσζε 2 2 0x y x παξηζηάλεη θύθιν γηα θάζε * . Να βξεζεί ε γξακκή πάλσ ζηελ νπνία βξίζθνληαη ηα θέληξα απηώλ ησλ θύθισλ . 132) α. Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 1x a y a θαη 2 : 1x a y a . Αλ Μ είλαη ην θνηλό ηνπο ζεκείν , λα απνδείμεηε όηη ην Μ θηλείηαη ζε θύθιν ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ηελ εμίζσζε . β. Να βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ ζεκείσλ ησλ θύθισλ ηνπ εξσηήκαηνο ( α ) , ζηα νπνία νη εθαπηνκέλεο ζρεκαηίδνπλ κε ηνπο άμνλεο ηζνζθειέο ηξίγσλν. 133) Δπζεία δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ . Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ πξνβνιώλ Μ ηνπ ζεκείνπ 3 , 4 ζηελ .
- 68. κωνικές τομές κεφάλαιο3 - 66 - 134) Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ 0 0,x y ησλ νπνίσλ ην ηεηξάγσλν ησλ απνζηάζεσλ από ην ζεκείν 3 , 1 είλαη ίζν κε ηελ απόζηαζή ηνπο από ηελ επζεία : 4 3 7 0x y . 135) Έζησ ηα ζεκεία 2 , 1 θαη 3 , 4 . Να απνδείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ ηνπ επηπέδνπ ησλ νπνίσλ ν ιόγνο ησλ απνζηάζεσλ ηνπο από ηα Α θαη Β είλαη 2 3 , είλαη θύθινο ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα . 136) Γίλεηαη ν θύθινο 2 2 : 2 0C x y ax , 0a θαη ε κεηαβιεηή εκηεπζεία : y x κε , 0x , πνπ ηέκλεη ηνλ θύθιν C ζην ζεκείν Α . Να απνδείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηνπ κέζνπ Μ ηεο ρνξδήο Α είλαη ην εκηθύθιην 2 2 0x y ax κε 0y από ην νπνίν έρεη εμαηξεζεί ην ζεκείν 0 , 0 . 137) ε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα Oxy ζεσξνύκε ηελ ζηαζεξή επζεία x a , * a θαη κεηαβιεηό ζεκείν ηεο ,a . Αλ 0 , 2 θαη ε θάζεηε από ην ζεκείν Ο ζηελ ΡΛ ηελ ηέκλεη ζην ζεκείν Μ , λα απνδείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ Μ είλαη ν θύθινο κε εμίζσζε 2 2 2 ( )x a y a . 138) Γίλνληαη νη επζείεο 1 :( 1) ( 1) 4 1a x a y a θαη 2 : 2 2 3 1x ay a , * a . Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηνπ ζεκείνπ ηνκήο ηνπο . 139) Γίλνληαη νη επζείεο 1 :( ) ( ) 2x y θαη 2 :( ) ( ) 2x y , . α. Να δεηρζεί όηη νη 1 , 2 ηέκλνληαη γηα θάζε . β. Να βξεζεί ε γξακκή ζηελ νπνία αλήθνπλ ηα ζεκεία ηνκήο ηνπο . 140) Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ ,x y γηα ηα νπνία ηζρύεη ( 2 ) 7 , όπνπ 3 , 0 θαη Ο ε αξρή ησλ αμόλσλ . 141) Γίλνληαη ηα ζεκεία 6 , 2 , 3 , 1 θαη ζεκείν ,x y ηέηνην ώζηε λα ηζρύεη 1 . Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ Μ . 142) Γίλνληαη ηα ζεκεία , 0a θαη 0 , κε , 0a . Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ ,x y ηνπ επηπέδνπ γηα ηα νπνία ηζρύεη 2 2 | | 2 | | 2 . 143) Γίλνληαη ηα ζεκεία , 0a θαη 0 , κε , 0a . Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ ,x y ηνπ επηπέδνπ γηα ηα νπνία ηζρύεη 2 2 2 . 144) Έζησ Α , Β , Γ ζεκεία ηνπ επηπέδνπ ηέηνηα ώζηε λα ηζρύεη 1 2 . Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ ,x y ηνπ επηπέδνπ γηα ηα νπνία ηζρύεη 2 2 2 4 . 145) Γίλεηαη νξζνγώλην ΑΒΓΓ κε θέληξν Ο θαη έζησ | | a , | | . α. Να πξνζδηνξίζεηε ηα ζεκεία Ι θαη Ρ ώζηε λα ηζρύεη 3 0 θαη 3 0 . β. Να απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Ι , Ρ είλαη ζπκκεηξηθά σο πξνο ην Ο θαη ζηελ ζπλέρεηα λα ππνινγίζεηε ην | | . γ. Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Μ ηνπ επηπέδνπ ώζηε λα ηζρύεη ( 3 )( 3 ) . 146) Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ (Α γσλία νξζή) θαη ζεκείν Μ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηξηγώλνπ ηέηνην ώζηε 2 ( ) ( ) a , όπνπ a . Να απνδείμεηε όηη ην Μ θηλείηαη ζε θύθιν ηνπ νπνίνπ λα ππνινγίζεηε ηελ αθηίλα.
- 69. κωνικές τομές κεφάλαιο3 - 67 - 147) Γίλνληαη ηα ζεκεία 3 , 4 θαη 1, 2 . Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ ηνπ επηπέδνπ γηα ηα νπνία ηζρύεη 2 | | | | . 148) Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΟΑΒ (Ο γσλία νξζή) . Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ ,x y γηα ηα νπνία ηζρύεη 21 3 , όπνπ 2 , 0 θαη 0 , 4 . 149) α. Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 1, 3 , 0 , 4 θαη 2 ,1 . Να απνδείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ Μ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηξηγώλνπ πνπ είλαη ηέηνηα ώζηε λα ηζρύεη 2 2 2 7 είλαη θύθινο . β. Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ ώζηε ε επζεία :(2 3 ) (2 1) 3 6 0x y λα εθάπηεηαη ζηνλ πξνεγνύκελν θύθιν. 150) ε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα αλαθνξάο Oxy δίλνληαη ε επζεία : 2x θαη ην ζεκείν ,x y ηέηνην ώζηε 6 , όπνπ Α είλαη ην ζεκείν ηνκήο ηεο ΟΜ κε ηελ επζεία . Να απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Μ γξάθεη θύθιν ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ηελ εμίζσζε . 151) Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ ,x y ησλ νπνίσλ νη απνζηάζεηο από δύν ζηαζεξά ζεκεία , 0a θαη 0 , κε a , έρνπλ ζηαζεξό ιόγν κε 0 θαη 1 . 152) Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ ,x y ησλ νπνίσλ ην άζξνηζκα ησλ ηεηξαγώλσλ ησλ απνζηάζεσλ ηνπο από ηηο επζείεο 1 : 2 7 0x y θαη 2 : 2 1 0x y είλαη ζηαζεξό θαη ίζν κε 2 ( 0 ) . 153) Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ κέζσλ ησλ ρνξδώλ ηνπ θύθινπ 2 2 2 0x y ax πνπ δηέξρνληαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ . 154) Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ Α πνπ είλαη θνξπθέο νξζήο γσλίαο νξζνγσλίνπ ηξηγώλνπ κε ππνηείλνπζα ην επζύγξακκν ηκήκα ΒΓ , όπνπ ,a θαη , a κε a . 155) Γίλεηαη ν θύθινο 2 2 : 25C x y . Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηνπ κέζνπ ησλ ρνξδώλ ΑΒ κε 3 , 4 . 156) Γίλεηαη ν θύθινο 2 2 : ( 1) ( 1) 4C x y θαη ην ζεκείν ηνπ 3 ,1 . Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ κέζσλ ησλ ρνξδώλ ΑΒ ηνπ θύθινπ C . 157) Γίλνληαη νη θύθινη 2 2 1 : 4C x y θαη 2 2 2 : 4C x y x . Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Μ ώζηε ε εθαπηνκέλε από ην Μ πξνο ηνλ θύθιν 1C λα έρεη ηεηξαπιάζην κήθνο ηεο εθαπηνκέλεο από ην Μ πξνο ηνλ θύθιν 2C . 158) ε έλα ζεκείν 0 0,x y ηνπ θύθινπ 2 2 2 :C x y θέξλνπκε ηελ εθαπηνκέλε θαη πάλσ ζε απηή παίξλνπκε ζεκείν Ν ηέηνην ώζηε 2 . Αλ ε επζεία πνπ δηέξρεηαη από ην Ν θαη ην θέληξν ηνπ θύθινπ ηνλ ηέκλεη ζε έλα ζεκείν Κ , ηόηε λα δείμεηε όηη ν ιόγνο ( ) ( ) είλαη ζηαζεξόο θαη λα ηνλ βξείηε . 159) Γίλεηαη ν θύθινο 2 2 2 :C x y . α. Να βξεζεί ε γξακκή ηελ νπνία δηαγξάθνπλ ηα ζεκεία Μ , από ηα νπνία νη εθαπηόκελεο ηνπ θύθινπ , ηέκλνληαη θάζεηα . β. Να βξεζεί ε γξακκή ηελ νπνία δηαγξάθνπλ ηα κέζα Ρ ησλ ρνξδώλ πνπ νξίδνπλ ηα ζεκεία επαθήο . 160) εκείν Α θηλείηαη ζηελ επζεία 3x θαη ζεκείν Β θηλείηαη ζηνλ άμνλα y y . Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ πξνβνιώλ Μ ηεο αξρήο ησλ αμόλσλ ζηελ επζεία ΑΒ , αλ θάζε θνξά ε ηεηαγκέλε ηνπ Β είλαη δηπιάζηα ηεο ηεηαγκέλεο ηνπ Α . 161) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 2 , 3 , 4 , 7 ζην νπνίν νη δηάκεζνί ηνπ θαη ηέκλνληαη θάζεηα . Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηεο θνξπθήο Α .
- 70. κωνικές τομές κεφάλαιο3 - 68 - 162) Γίλνληαη ε επζεία :5 3 2 0x y θαη ν θύθινο 2 2 : 2 0C x y x πνπ ηέκλνληαη ζηα ζεκεία Μ θαη Ρ . Να απνδείμεηε όηη : α. ε εμίζσζε 2 2 2 (5 3 2) 0x y x x y παξηζηάλεη θύθιν γηα θάζε , πνπ δηέξρεηαη από ηα Μ θαη Ρ , β. ηα θέληξα ησλ θύθισλ ηνπ εξσηήκαηνο (α) αλήθνπλ ζε επζεία 1 ηεο νπνίαο λα βξείηε ηελ εμίζσζε . 163) Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 2 2 : 4 2( 2) 4 4 4 0C x y x y , 0 . α. Να απνδείμεηε όηη ε C παξηζηάλεη θύθιν γηα θάζε 0 ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα . β. Να απνδείμεηε όηη ηα θέληξα ησλ θύθισλ C θηλνύληαη ζε επζεία ηεο νπνίαο λα βξείηε ηελ εμίζσζε. γ. Να απνδείμεηε όηη νη θύθινη C εθάπηνληαη ζηηο επζείεο 1 : 4 3 6 0x y θαη 2 : 2 0y . 164) Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 2 (2 5) 6 4 0x y k x y k a (1) κε ,k a . α. Να βξεζεί γηα πνηεο ηηκέο ηνπ a ε (1) παξηζηάλεη θύθιν k . β. Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ θέληξσλ ησλ θύθισλ . γ. Γηα ηελ κηθξόηεξε αθέξαηα ηηκή ηνπ a , λα δεηρζεί όηη ε επζεία 2x ηέκλεη όινπο ηνπο θύθινπο ζηα ίδηα ζεκεία . §2. παραβολή 165) Να βξεζνύλ ηα ζηνηρεία ησλ παξαβνιώλ : α. 2 4y x β. 2 8 0x y γ. 2 12y x δ. 2 6y x ε. 2 12 0x y ζη. 2 8x y 166) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο παξαβνιήο πνπ έρεη θνξπθή ηελ αξρή ησλ αμόλσλ 0 , 0 θαη άμνλα ζπκκεηξίαο ηνλ x x αλ : α. δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 , 3 , β. έρεη εζηία ην ζεκείν 3 , 0 , γ. έρεη δηεπζεηνύζα ηελ επζεία : 4x . 167) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο παξαβνιήο πνπ έρεη θνξπθή ηελ αξρή ησλ αμόλσλ 0 , 0 θαη άμνλα ζπκκεηξίαο ηνλ x x αλ : α. δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1, 2 , β. έρεη δηεπζεηνύζα ηελ επζεία : 2 0x . 168) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο παξαβνιήο πνπ έρεη θνξπθή ηελ αξρή ησλ αμόλσλ 0 , 0 θαη άμνλα ζπκκεηξίαο ηελ επζεία 0x αλ : α. έρεη εζηία 0 , 3 , β. έρεη δηεπζεηνύζα : 2 0y , γ. δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 3 , 3 2 . 169) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο παξαβνιήο κε θνξπθή ηνπ ζεκείν 0 , 0 ζηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο : α. είλαη ζπκκεηξηθή σο πξνο ηνλ ζεηηθό εκηάμνλα Ox θαη έρεη παξάκεηξν 5p , β. είλαη ζπκκεηξηθή σο πξνο ηνλ άμνλα Ox θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1, 4 , γ. είλαη ζπκκεηξηθή σο πξνο ηνλ άμνλα Oy θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 , 2 , δ. έρεη άμνλα ζπκκεηξίαο ηνλ Oy θαη εζηία 0 , 4 .
- 71. κωνικές τομές κεφάλαιο3 - 69 - 170) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο παξαβνιήο κε εζηία 5 , 0 θαη εμίζσζε δηεπζεηνύζαο : 5 0x . 171) Να βξεζεί ε ζρεηηθή ζέζε ηεο επζείαο 1 0x y σο πξνο ηελ παξαβνιή 2 2y x . 172) Να βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ηεο παξαβνιήο 2 3y x ζηα ζεκεία 0 , 0 θαη 12 , 6 . 173) Να βξεζεί ε εθαπηνκέλε ηεο παξαβνιήο 2 24y x πνπ είλαη παξάιιειε πξνο ηελ επζεία 3 2y x . 174) Να βξεζεί ε εθαπηνκέλε ηεο παξαβνιήο 2 6x y πνπ θάζεηε πξνο ηελ επζεία 2 1 0x y . 175) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο παξαβνιήο 2 3y x πνπ είλαη παξάιιειε ζηελ επζεία 2 2009y x . 176) Έζησ ε παξαβνιή 2 4y x . Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο παξαβνιήο πνπ είλαη θάζεηε ζηελ επζεία 3 2010 0x y . 177) Γίλεηαη ε παξαβνιή 2 2y x . Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο πνπ νξίδεη κε ηνπο άμνλεο ηκήκα κήθνπο 5 . 178) Έζησ ε παξαβνιή 2 2y x θαη ηα ζεκεία , 2a , , 4 ηεο παξαβνιήο . Να βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ηεο παξαβνιήο ζηα Α , Β θαζώο θαη ην ζεκείν ηνκήο ηνπο Γ . 179) Έζησ ε παξαβνιή 2 2y x θαη ην ζεκείν ηεο 2 , 4 . Να βξεζνύλ : α. ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο παξαβνιήο ζην Α , β. ε εμίζσζε ηεο θάζεηεο ζηελ παξαβνιή ζην Α . 180) Έζησ ε παξαβνιή 2 2x y . Να βξεζνύλ ζεκεία Κ , Λ απηήο ώζηε λα είλαη ζπλεπζεηαθά κε ηελ εζηία Δ θαη λα ηζρύεη ( ) 8 . 181) Να βξεζεί ε ηηκή ηνπ a ώζηε ε επζεία : 1 0x y λα εθάπηεηαη ζηελ παξαβνιή 2 y ax . 182) Να βξεζεί ε ζπλζήθε ώζηε ε επζεία y ax , 0a λα εθάπηεηαη ζηελ παξαβνιή 2 2y px . 183) Να βξεζεί ε απόζηαζε ηεο εζηίαο ηεο παξαβνιήο 2 4y x από ηελ εθαπηνκέλε ηεο ε νπνία έρεη 1 3 . 184) Έζησ νη παξαβνιέο 2 1 : 32C y x , 2 2 : 4C x y νη νπνίεο ηέκλνληαη ζηελ αξρή ησλ αμόλσλ . Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο θνηλήο εθαπηνκέλεο ησλ δπν παξαβνιώλ . 185) Έζησ ε παξαβνιή 2 6y x θαη κηα ρνξδή ηεο ΑΒ . Αλ ΡΑ , ΡΒ νη εθαπηνκέλεο ηεο παξαβνιήο ζηα Α , Β θαη Κ ην κέζν ηνπ ΑΒ , λα δεηρηεί όηη ηα Ρ , Κ ηζαπέρνπλ από ηνλ νξηδόληην άμνλα . 186) Από ην ζεκείν 2 , 3 πξνο ηελ παξαβνιή 2 8y x γξάθνληαη δπν εθαπηόκελεο επζείεο . α. Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ απηώλ επζεηώλ . β. Να απνδείμεηε όηη νη εθαπηόκελεο απηέο επζείεο είλαη θάζεηεο κεηαμύ ηνπο . 187) Έζησ ε παξαβνιή 2 y x θαη ε επζεία : 2x y . α. Να απνδείμεηε όηη ε παξαβνιή θαη ε επζεία ηέκλνληαη . β. Αλ Α , Β είλαη ηα ζεκεία ηνκήο , λα δείμεηε όηη νη εθαπηόκελεο ηεο παξαβνιήο ζηα ζεκεία Α , Β ηέκλνληαη ζην ζεκείν Μ ην νπνίν βξίζθεηαη ζηελ παξαβνιή 2 1 8 y x . 188) Έζησ ε παξαβνιή 2 6y x . Αλ 1 1,x y , 2 2,x y είλαη ζεκεία ηεο παξαβνιήο κε 1 2 2 3y y , λα δείμεηε όηη ε επζεία ΑΒ ζρεκαηίδεη ζηαζεξή γσλία κε ηνλ άμνλα Ox ηελ νπνία θαη λα ππνινγίζεηε .
- 72. κωνικές τομές κεφάλαιο3 - 70 - 189) Γίλεηαη ε παξαβνιή 2 5y x θαη ην νξζνγώλην ηξίγσλν ΟΑΒ πνπ είλαη εγγεγξακκέλν ζε απηή. Να ππνινγίζεηε ηελ ππνηείλνπζα ΑΒ . 190) Η εθαπηνκέλε ηεο παξαβνιήο 2 8x y πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 12 ,18 ηέκλεη ηνλ άμνλα x x ζην Λ . Αλ Δ είλαη ε εζηία ηεο παξαβνιήο λα δείμεηε όηη . 191) Να βξεζεί ε ζρέζε ηεο επζείαο 2 : y x , 0 κε ηελ παξαβνιή 2 : 8C y x . 192) Να απνδείμεηε όηη ε επζεία 15 4 y x , 0 εθάπηεηαη ηεο παξαβνιήο 2 15y x . Καηόπηλ λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ θνηλώλ εθαπηνκέλσλ ηεο παξαβνιήο θαη ηνπ θύθινπ 2 2 16x y . 193) Γίλεηαη ε παξαβνιή 2 2y x . α. Να βξεζνύλ ε εζηία ηεο θαη ε δηεπζεηνύζα . β. Να βξεζεί ε απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ ηεο 2 ,1 από ηελ εζηία Δ θαη λα ζπγθξηζεί κε ηελ απόζηαζε (ΟΔ) . γ. Να απνδείμεηε όηη ζε θάζε παξαβνιή ην ζεκείν ηεο κε ηελ κηθξόηεξε απόζηαζε από ηελ εζηία είλαη ε θνξπθή ηεο Ο . δ. Να βξεζεί ζεκείν ηεο παξαβνιήο 2 2y x πνπ λα απέρεη από ηελ εζηία Δ απόζηαζε δηπιάζηα ηεο ΟΔ . 194) Γίλεηαη ε παξαβνιή 2 4y x θαη ε επζεία 1y x . α. Να δείμεηε όηη ε επζεία δηέξρεηαη από ηελ εζηία ηεο παξαβνιήο . β. Να βξείηε ηα θνηλά ζεκεία Α , Β ηεο επζείαο θαη ηεο παξαβνιήο . γ. Να δείμεηε όηη νη εθαπηνκέλεο ηεο παξαβνιήο ζηα ζεκεία Α , Β είλαη θάζεηεο . δ. Να δείμεηε όηη θάζε επζεία πνπ δηέξρεηαη από ηελ εζηία θαη ηέκλεη ηελ παξαβνιή ζε δπν ζεκεία έρεη ηελ ηδηόηεηα ηνπ (γ) εξσηήκαηνο . 195) Ιζόπιεπξν ηξίγσλν ΟΑΒ είλαη εγγεγξακκέλν ζηελ παξαβνιή 2 4y px κε θνξπθή ην Ο . Να βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ . 196) Γίλεηαη ε παξαβνιή 2 16y x θαη νη εθαπηνκέλεο 1 , 2 κε 1 2 θαη 2 1 3 . Να βξεζεί ην θνηλό ζεκείν ησλ 1 , 2 . 197) Γίλεηαη ε παξαβνιή 2 4y x κε εζηία ην ζεκείν Δ θαη ην ζεκείν ηεο 1 ,1 4 . α. Αλ ε εθαπηνκέλε ηεο παξαβνιήο ζην ζεκείν Μ ηέκλεη ηελ δηεπζεηνύζα ζην Κ λα δείμεηε όηη . β. Αλ ε επζεία ΜΔ ηέκλεη ηελ παξαβνιή μαλά ζην Κ θαη ε θάζεηε ηεο ΜΔ ζην Λ ηέκλεη ηελ εθαπηνκέλε ηεο παξαβνιήο (ζην Μ) ζην Ν , λα δείμεηε όηη ε ΛΝ δηρνηνκείηαη από ηελ δηεπζεηνύζα ηεο παξαβνιήο . 198) Έζησ ε παξαβνιή 2 : 2C y px , 0p . Να βξεζεί ην p αλ γλσξίδνπκε όηη ε παξαβνιή δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 , 2 θαη θαηόπηλ λα βξεζεί ε απόζηαζε ηεο εζηίαο Δ από ηελ εθαπηνκέλε ηεο παξαβνιήο ζην ζεκείν Α . 199) Έζησ ε παξαβνιή 2 : 2C y px , 0p θαη ε επζεία : y x . Να βξεζεί ην p ώζηε ε επζεία θαη ε παξαβνιή λα ηέκλνληαη ζε δπν ζεκεία , ησλ νπνίσλ ε απόζηαζε λα είλαη ίζε κε 8 2 . 200) Έζησ ε παξαβνιή 2 : 2C y px θαη ζεκείν 0 0,x y , όπνπ 0 0y . Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην Μ θαη ηέκλεη ηελ παξαβνιή ζε δπν ζεκεία Α , Β ηέηνηα ώζηε . 201) Γίλεηαη ε παξαβνιή 2 4y x θαη δπν ζεκεία ηεο Α θαη Β ώζηε , όπνπ Ο ε αξρή ησλ αμόλσλ . Να βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ , αλ ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΟΒ είλαη ίζν κε 16 . 202) Έζησ ε παξαβνιή 2 : 2C y px θαη κηα ρνξδή ηεο ΑΒ παξάιιειε κε ηνλ άμνλα y y , ε νπνία δηέξρεηαη από ηελ εζηία . Να απνδεηρζεί όηη : α. ( ) 2( ) , όπνπ Κ ην ζεκείν πνπ ηέκλεη ν άμνλαο x x ηελ δηεπζεηνύζα , β. νη εθαπηνκέλεο ζηα Α θαη Β δηέξρνληαη από ην Κ .
- 73. κωνικές τομές κεφάλαιο3 - 71 - 203) ην ζεκείν Λ ηεο παξαβνιήο 2 : 2C y px , θέξνπκε ηελ εθαπηνκέλε ηεο , ε νπνία ηέκλεη ηνλ άμνλα x x ζην Α . Να δείμεηε όηη ν άμνλαο y y δηρνηνκεί ην ηκήκα ΑΛ . 204) Έζησ ε παξαβνιή 2 : 2C y px , 0p . Να δείμεηε όηη ε απόζηαζε ηεο εζηίαο ηεο από ηελ εθαπηνκέλε ηεο ( ) κε ζπληειεζηή δηεύζπλζεο , είλαη 21 , 1 2 d p . 205) Έζησ ε παξαβνιή 2 4y px , 0p . Μηα ρνξδή ηεο ΑΒ είλαη θάζεηε ζηνλ άμνλα θαη έρεη κήθνο 8p . Να απνδεηρζεί όηη 0 . 206) Έζησ ε παξαβνιή 2 : 2C y px . Φέξλνπκε κηα ρνξδή ΚΛ ε νπνία δηέξρεηαη από ηελ εζηία Δ ηεο παξαβνιήο . Να δείμεηε όηη 1 1 2 | | | | p . 207) ε ζεκείν Μ δηαθνξεηηθό από ηελ θνξπθή ηεο παξαβνιήο 2 : 2C y px θέξλνπκε ηελ εθαπηνκέλε ηεο C πνπ ηέκλεη ηνλ άμνλα x x ζην ζεκείν Α . Αλ ηζρύεη x x , λα δείμεηε όηη (ΟΑ) = (ΟΓ) . 208) Έζησ Κ ε νξζή πξνβνιή ζεκείνπ Μ ηεο παξαβνιήο 2 : 2C y px ζηελ δηεπζεηνύζα . Αλ Δ είλαη ε εζηία ηεο παξαβνιήο , λα δείμεηε όηη ε κεζνθάζεηνο ηεο ΚΔ εθάπηεηαη ηεο παξαβνιήο ζην Μ . 209) Γίλεηαη ε παξαβνιή 2 : 2C y px θαη δπν ρνξδέο ΟΒ , ΟΓ ώζηε λα ηζρύεη 0 90 . Να απνδείμεηε όηη ε ΒΓ δηέξρεηαη από ζηαζεξό ζεκείν . 210) ηα ζεκεία 1 1,x y , 2 2,x y ηεο παξαβνιήο 2 : 2C y px θέξλνπκε ηηο εθαπηνκέλεο νη νπνίεο ηέκλνληαη ζην 3 3,x y . Να δείμεηε όηη 3 1 22y y y . 211) Γίλεηαη ε παξαβνιή 2 : 2C y px , 0p θαη Μ ηπραίν ζεκείν ηεο . Να απνδείμεηε όηη ν θύθινο κε δηάκεηξν ην ΔΜ , όπνπ Δ ε εζηία ηεο παξαβνιήο , εθάπηεηαη ζηνλ άμνλα y y . 212) Η εθαπηνκέλε ηεο παξαβνιήο 2 : 4C y px ζην ζεκείν 2 , 2pt pt , 0t θαη ε θάζεηε ζηελ εθαπηνκέλε ζην ίδην ζεκείν ηέκλνπλ ηνλ άμνλα x x ζηα ζεκεία Β θαη Γ . Να απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β θαη Γ ηζαπέρνπλ από ηελ εζηία ηεο παξαβνιήο . 213) Έζησ νη παξαβνιέο 2 1 : 2C y px , 2 2 : 2 ( )C y p x a , 0a . Αλ ε εθαπηνκέλε ηεο 1C ζην Μ ηέκλεη ηελ 2C ζηα Α , Β , λα δείμεηε όηη ην Μ είλαη ην κέζν ηνπ ΑΒ . 214) Έζησ ε παξαβνιή 2 : 2C y px θαη Κ , Λ είλαη δπν δηαθνξεηηθά ζεκεία ηεο παξαβνιήο ηέηνηα ώζηε νη εθαπηνκέλεο ηεο παξαβνιήο C ζηα ζεκεία απηά λα ηέκλνληαη ζε ζεκείν Μ . α. Να βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ζηα ζεκεία Κ , Λ . β. Να βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ ηνκήο Μ. γ. Να απνδείμεηε όηη 2 ( ) ( ) ( ) . 215) Γίλνληαη ε επζεία y x θαη ε παξαβνιή 2 : 2C y px , 0p . α. Να πξνζδηνξίζεηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ θνηλώλ ζεκείσλ Ο θαη Α ηεο επζείαο θαη ηεο παξαβνιήο . β. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο κεζνθάζεηεο επζείαο ηνπ ηκήκαηνο ΟΑ . γ. Έζησ Β θαη Γ ηα ζεκεία ζηα νπνία ε κεζνθάζεηνο ηέκλεη ηελ παξαβνιή . Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ κε δηάκεηξν ηελ ΒΓ . 216) Έζησ ε παξαβνιή 2 : 4C y ax , 0a κε θνξπθή Ο θαη εζηία Δ . Θεσξνύκε ηελ ρνξδή ΑΒ θάζεηε ζηνλ άμνλα x x κε (ΑΒ) = 8 . α. Να πξνζδηνξίζεηε ην a ώζηε . β. Αλ ε επζεία ΑΔ ηέκλεη ηελ παξαβνιή πνπ πξνθύπηεη γηα 1a ζην ζεκείν Γ θαη Κ , Λ είλαη νη πξνβνιέο ησλ Α , Γ αληίζηνηρα ζηελ δηεπζεηνύζα ηεο παξαβνιήο , λα απνδείμεηε όηη : i. 0 90 , όπνπ Μ ην κέζν ηνπ ΚΛ , ii. νη δηαγώληεο ηνπ ηξαπεδίνπ ΑΚΛΓ δηέξρνληαη από ηελ θνξπθή Ο . 217) Γίλεηαη ν θύθινο 2 2 2x y θαη ε παξαβνιή 2 8y x . α. Να βξεζνύλ νη θνηλέο εθαπηόκελεο ηνπ θύθινπ θαη ηεο παξαβνιήο . β. Να απνδείμεηε όηη νη εθαπηόκελεο απηέο είλαη θάζεηεο .
- 74. κωνικές τομές κεφάλαιο3 - 72 - 218) Να απνδείμεηε όηη ηα κέζα ησλ ρνξδώλ ηεο παξαβνιήο 2 4y x , πνπ έρνπλ ζπληειεζηή δηεύζπλζεο 1 , βξίζθνληαη ζε επζεία ηεο νπνίαο λα βξείηε ηελ εμίζσζε . 219) Έζησ ε παξαβνιή 2 4y x θαη ε επζεία y ax a , 0a . Να βξείηε ηελ θακπύιε ζηελ νπνία θηλνύληαη ηα κέζα ησλ ρνξδώλ ΑΒ , όπνπ Α , Β είλαη ηα ζεκεία ηνκήο ηεο παξαβνιήο θαη ηεο επζείαο . 220) Έζησ ε παξαβνιή 2 : 2C y px . Να βξεζεί ην ζύλνιν ησλ ζεκείσλ πνπ είλαη κέζα ησλ ρνξδώλ πνπ δηέξρνληαη από ηελ θνξπθή ηεο παξαβνιήο . 221) Γίλεηαη ε παξαβνιή 2 4y x . Αλ 1 1 1,x y , 2 2 2,x y κε 1 2x x είλαη δπν ζεκεία ηεο ηέηνηα ώζηε 1 2 4y y , λα απνδείμεηε όηη : α. ε επζεία 1 2 ζρεκαηίδεη ζηαζεξή γσλία κε ηνλ άμνλα x x , β. ην κέζν Μ ηνπ ηκήκαηνο 1 2 θηλείηαη ζε επζεία παξάιιειε ζηνλ x x , όηαλ ηα 1 , 2 θηλνύληαη πάλσ ζε παξαβνιή . 222) Γίλνληαη ηα ζεκεία ηνπ επηπέδνπ 2 2 , 2pa pa , a . α. Να απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία απηά αλήθνπλ ζε παξαβνιή . β. Αλ 2 1 12 , 2pa pa , 2 2 22 , 2pa pa είλαη ζεκεία ηεο παξαβνιήο απηήο , λα απνδεηρζεί όηη αλ ε ΑΒ δηέξρεηαη από ηελ εζηία , ηόηε 1 24 1a a . 223) Γίλεηαη ε παξαβνιή 2 : 2C y px . Θέηνπκε x ax θαη y ay , 0a . Να απνδείμεηε όηη ην ζεκείν ,x y θηλείηαη πάιη ζε παξαβνιή . 224) Γίλεηαη ζηαζεξό ζεκείν Α θαη ε επζεία πνπ δελ δηέξρεηαη από ην Α . Να απνδείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ θέληξσλ ησλ θύθισλ πνπ δηέξρνληαη από ην Α θαη εθάπηνληαη ζηελ , είλαη παξαβνιή . 225) Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ θέληξσλ ησλ θύθισλ πνπ εθάπηνληαη ζηνλ θύθιν 2 2 : 4 0C x y ax , 0a θαη ζηνλ άμνλα y y . 226) Γίλεηαη ε παξαβνιή 2 : 4C y x θαη ην ζεκείν 2 , 2a a , * a . Έζησ Β ε πξνβνιή ηνπ Α ζηνλ άμνλα y y θαη Μ ε πξνβνιή ηνπ Β ζηελ ΟΑ . α. Να απνδείμεηε όηη ε επζεία ΒΜ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 4 , 0 . β. Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηνπ Μ γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ * a . §3. παραβολή 227) Να βξείηε ηνπο εκηάμνλεο , ηελ εθθεληξόηεηα θαη ηηο εζηίεο ησλ ειιείςεσλ : α. 2 2 9 9x y β. 2 2 2 3 24 3 2 x y γ. 2 2 1 4 x y δ. 2 2 4 9 36x y ε. 2 2 4 25 225x y ζη. 2 2 4 16x y 228) Έζησ ε έιιεηςε 2 2 4 1 9 9 x y . Να βξεζνύλ νη εζηίεο , νη θνξπθέο , ε εθθεληξόηεηα θαη ν κεγάινο άμνλαο απηήο . 229) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο έιιεηςεο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 6 , 4 θαη ηζρύεη 2a . 230) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο έιιεηςεο κε εθθεληξόηεηα 1 3 θαη κηα εζηία 0 , 2 . 231) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο έιιεηςεο 2 2 2 2 1 x y a πνπ έρεη κεγάιν άμνλα 8 θαη εθθεληξόηεηα 3 4 .
- 75. κωνικές τομές κεφάλαιο3 - 73 - 232) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο έιιεηςεο 2 2 2 2 1 x y a κε 0 a ε νπνία δηέξρεηαη από ην ζεκείν 9 4 , 5 θαη έρεη εζηηαθή απόζηαζε ίζε κε 8 . 233) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο έιιεηςεο κε εζηίεο 4 , 0 , 4 , 0 θαη θνξπθέο 5 , 0 , 5 , 0 . 234) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο έιιεηςεο πνπ έρεη ηηο εζηίεο ηεο ζηνλ άμνλα y y , έρεη θνξπθέο 2 , 0 , 2 , 0 θαη κεγάιν άμνλα κήθνπο 6. 235) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο έιιεηςεο κε θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ , κεγάιν άμνλα ζηνλ x x θαη δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 6 , 4 , 8 , 3 . 236) Να γξαθεί ε εμίζσζε ηεο έιιεηςεο πνπ έρεη κεγάιν θαη κηθξό άμνλα κε κήθνο 6 θαη 4 κνλάδεο αληίζηνηρα θαη έρεη εζηίεο πάλσ ζηνλ άμνλα x x ζπκκεηξηθέο σο πξνο ηελ αξρή ησλ αμόλσλ . 237) Να βξεζεί ε κνξθή ηεο εμίζσζεο ηεο έιιεηςεο κε εθθεληξόηεηα 2 2 θαη εζηία 2 , 0 . 238) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο έιιεηςεο κε εζηίεο 5 , 0 , 5 , 0 θαη εθθεληξόηεηα 5 8 . 239) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο έιιεηςεο κε εθθεληξόηεηα 1 3 θαη απόζηαζε κεηαμύ ησλ εζηηώλ 6 , νη νπνίεο βξίζθνληαη ζηνλ άμνλα x x . 240) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο έιιεηςεο ε νπνία έρεη ηηο εζηίεο ηεο ζηνλ άμνλα y y , εθθεληξόηεηα 4 5 θαη κηθξό άμνλα 2 6 . 241) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο έιιεηςεο πνπ έρεη θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ , κεγάιν άμνλα πάλσ ζηνλ y y , εθθεληξόηεηα 2 3 θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν 5 , 2 3 . 242) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο έιιεηςεο ε νπνία δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 2 , 0 θαη 3 1, 2 . 243) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο έιιεηςεο πνπ έρεη θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ , κεγάιν άμνλα ηνλ x x θαη δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 3 , 4 θαη 6 , 2 . 244) Να δείμεηε όηη νη ειιείςεηο 2 2 1 : 1 4 3 x y C θαη 2 2 2 : 1 12 16 y x C είλαη όκνηεο . 245) Να βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ ηεηξαπιεύξνπ πνπ έρεη θνξπθέο ηηο εζηίεο Δ΄ , Δ θαη ηηο θνξπθέο ηνπ κηθξνύ άμνλα Β ΄, Β ηεο έιιεηςεο 2 2 9 25 225x y . 246) Να βξείηε ηελ εθαπηνκέλε ηεο θακπύιεο 2 2 16 16 0x y ζην ζεκείν 1 , 2 3 2 . 247) Να βξεζνύλ νη εθαπηόκελεο ηεο έιιεηςεο 2 2 9 16 144x y πνπ είλαη : α. παξάιιειεο ζηελ επζεία 0x y β. θάζεηεο ζηελ επζεία 1 0x y 248) Να βξεζνύλ νη εθαπηόκελεο ηεο έιιεηςεο 2 2 1 12 8 x y πνπ είλαη θάζεηεο ζηελ επζεία 2 5 0x y . 249) Να βξεζνύλ νη εθαπηόκελεο ηεο έιιεηςεο 2 2 1 3 x y πνπ είλαη : α. παξάιιειεο ζηελ επζεία 3 1 0x y β. θάζεηεο ζηελ επζεία 2 0x y
- 76. κωνικές τομές κεφάλαιο3 - 74 - 250) Να βξεζνύλ νη εθαπηόκελεο ηεο έιιεηςεο 2 2 5 20 100x y πνπ είλαη θάζεηεο ζηελ επζεία 3 3 7 0x y . 251) Να βξείηε ηηο επζείεο πνπ εθάπηνληαη ηεο έιιεηςεο 2 2 6 1 15 15 x y πνπ έρνπλ ζπληειεζηή δηεύζπλζεο 1 2 . 252) Να βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ηεο έιιεηςεο 2 2 1 6 3 x y ζηα θνηλά ζεκεία απηήο κε ηελ επζεία 2 3y x . 253) Να βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ηεο έιιεηςεο 2 2 1 9 5 x y , νη νπνίεο δηέξρνληαη από ην 3 , 5 . 254) Έζησ ε έιιεηςε 2 2 1 5 9 x y . Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο έιιεηςεο πνπ απνθόπηεη από ηνπο ζεηηθνύο εκηάμνλεο ίζα ηκήκαηα . 255) Γίλεηαη ε έιιεηςε 2 2 : 1 8 5 x y C . Να βξεζεί ε εθαπηνκέλε ηεο έιιεηςεο πνπ απνθόπηεη από ηνπο ζεηηθνύο εκηάμνλεο ίζα ηκήκαηα . 256) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο έιιεηςεο κε θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη εθάπηεηαη ησλ επζεηώλ 6 20x y θαη 3 2 20 0x y . 257) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο έιιεηςεο κε θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ ε νπνία εθάπηεηαη ζηελ επζεία : 4 3 11 0x y ζην ζεκείν ηεο 2 ,1 . 258) Μηα έιιεηςε C έρεη θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη ηηο εζηίεο ηεο ζηνλ άμνλα x x . Γηα έλα ζεκείν Μ ηεο C ε ΜΔ΄ είλαη θάζεηε ζηελ ΜΔ θαη ηζρύεη ( ) 6 , ( ) 8 , όπνπ Δ΄ , Δ νη εζηίεο . Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο έιιεηςεο θαη ην ζεκείν Μ . 259) Να βξεζεί ε έιιεηςε κε θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ , κεγάιν άμνλα ηνλ x x ε νπνία εθάπηεηαη ζηελ επζεία : y x . 260) Έζησ ε έιιεηςε 2 2 :9 25 225C x y θαη ην ζεκείν 5 , 4 . Να απνδείμεηε όηη ην Μ είλαη εζσηεξηθό ζεκείν ηεο έιιεηςεο . 261) Έζησ ε έιιεηςε 2 2 : 1 40 10 x y C θαη ην ζεκείν 8 , 2 . Να απνδείμεηε όηη ην Ρ είλαη εμσηεξηθό ζεκείν ηεο έιιεηςεο . 262) Γίλεηαη ε έιιεηςε 2 2 1 16 12 x y . Να βξείηε ηα ζεκεία ηεο έιιεηςεο ησλ νπνίσλ ε απόζηαζε από ην κεγάιν άμνλα είλαη ίζε κε 3 . 263) Να βξείηε ζεκείν ηεο έιιεηςεο 2 2 1 12 16 x y πνπ απέρεη από ηνλ κηθξό άμνλα ηεο απόζηαζε ίζε κε 2 . 264) Γίλεηαη ε έιιεηςε 2 2 1 4 3 x y θαη ην ζεκείν 3 , 2 . Αλ ΜΑ θαη ΜΒ είλαη νη εθαπηόκελεο ηεο έιιεηςεο από ην Μ λα βξεζεί ε απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Μ από ηελ επζεία ΑΒ . 265) Να βξείηε ηελ εμίζσζε κηαο δηακέηξνπ ηεο έιιεηςεο 2 2 6 2x y ηεο νπνίαο ην κήθνο είλαη 2 . 266) ηελ έιιεηςε 2 2 5 20x y , λα βξείηε ζεκεία ηεο Μ ηέηνηα ώζηε , όπνπ Δ΄ , Δ είλαη νη εζηίεο ηεο έιιεηςεο .
- 77. κωνικές τομές κεφάλαιο3 - 75 - 267) Έζησ ε έιιεηςε 2 2 : 1 25 9 x y C θαη Δ΄ , Δ νη εζηίεο ηεο . Να βξείηε ηα ζεκεία Μ ηεο έιιεηςεο γηα ηα νπνία ηζρύεη 0 90 . 268) Έζησ ε έιιεηςε 2 2 : 1 9 34 x y C . Να βξεζνύλ νη θνξπθέο ηνπ νξζνγσλίνπ Δ΄ΚΔΛ (Δ΄ , Δ νη εζηίεο) αλ ηα Κ , Λ βξίζθνληαη πάλσ ζηελ έιιεηςε . 269) Να βξεζεί ε πιεπξά ηνπ ηεηξαγώλνπ πνπ είλαη εγγεγξακκέλν ζηελ έιιεηςε 2 2 : 1 4 5 x y C . 270) Να βξείηε ηελ πιεπξά ηνπ ηεηξαγώλνπ πνπ είλαη εγγεγξακκέλν ζηελ έιιεηςε 2 2 1 16 9 x y . 271) Γίλεηαη ε έιιεηςε 2 2 : 1 4 2 x y C θαη ε επζεία 2 1y x . Να βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ κέζνπ ηεο ρνξδήο ΑΒ πνπ νξίδεηαη από ηελ επζεία θαη ηελ έιιεηςε . 272) Γίλεηαη ε έιιεηςε 2 2 : 1 4 9 x y C θαη νη ρνξδέο ηεο ησλ νπνίσλ ν ζπληειεζηήο δηεύζπλζεο είλαη 2 2 . Να απνδείμεηε όηη ηα κέζα ησλ ρνξδώλ απηώλ βξίζθνληαη ζε δηάκεηξν ηεο έιιεηςεο ηεο νπνίαο λα βξείηε ηελ εμίζσζε . 273) Ο θύθινο κε θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη αθηίλα δηέξρεηαη από ηελ εζηία ηεο έιιεηςεο 2 2 2 2 : 1 x y C a κε a . Να βξεζεί ε εθθεληξόηεηα ηεο έιιεηςεο . 274) Έζησ ε έιιεηςε 2 2 2 2 : 1 x y C a , a . Αλ νη εθαπηόκελεο ηεο έιιεηςεο ζηελ θύξηα θνξπθή ηεο Α θαη ζε έλα ηπραίν ζεκείν ηεο 0 0,x y ηέκλνληαη ζην Κ , λα δείμεηε όηη / / . 275) Αλ είλαη ε εθαπηνκέλε ηεο έιιεηςεο 2 2 2 2 : 1 x y C a ζην ζεκείν 1 1,x y , λα απνδείμεηε όηη ε θάζεηε ζηελ έρεη ζπληειεζηή δηεύζπλζεο 2 1 2 1 x ya . 276) Έζησ θύθινο κε εμίζσζε 2 2 2 x y a . Αλ ζέζνπκε x x θαη y cy λα απνδείμεηε όηη ην ζεκείν ,x y αλήθεη ζε έιιεηςε . 277) Να εμεηαζηεί αλ ππάξρεη έιιεηςε ζηελ νπνία έλα ζεκείν ηεο Μ λα ζρεκαηίδεη κε ηηο εζηίεο Δ΄ θαη Δ ηζόπιεπξν ηξίγσλν . 278) Να βξείηε ηελ εθθεληξόηεηα ηεο έιιεηςεο ηεο νπνίαο : α. ν κηθξόο άμνλαο θαίλεηαη από θάζε εζηία ππν γσλία 60ν , β. κηα θνξπθή ηνπ κηθξνύ άμνλα βιέπεη ππό νξζή γσλία ην ηκήκα Δ΄Δ (όπνπ Δ΄ , Δ νη εζηίεο ηεο έιιεηςεο) . 279) Να δείμεηε όηη νη ειιείςεηο 2 2 1 2 2 : 1 x y C θαη 2 2 2 2 2 2 2 : 1 x y C p p έρνπλ ηηο ίδηεο εζηίεο . 280) Γίλεηαη ε έιιεηςε 2 2 2 2 : 1 x y C a . Θεσξνύκε έλα ζεκείν Μ ηεο έιιεηςεο ηέηνην ώζηε ε ΟΜ λα ζρεκαηίδεη κε ηνλ άμνλα x x γσλία 6 θαη θέξλνπκε ηελ εθαπηνκέλε ηεο έιιεηςεο ζην Μ ε νπνία ηέκλεη ηνπο άμνλεο Α θαη Β ώζηε ην ζεκείν Μ λα είλαη ην κέζν ηνπ ΑΒ . Να βξείηε ηελ εθθεληξόηεηα ηεο έιιεηςεο . 281) Έζησ ε έιιεηςε 2 2 2 2 : 1 x y C a θαη ην ζεκείν 3 3 ,a . Αλ ΚΑ , ΚΒ νη εθαπηνκέλεο ζηελ έιιεηςε θαη ε εζηία Δ αλήθεη ζηελ επζεία ΑΒ , λα απνδείμεηε όηη 2 .
- 78. κωνικές τομές κεφάλαιο3 - 76 - 282) Γίλεηαη ε έιιεηςε 2 2 2 2 : 1 x y C a . α. Να δείμεηε ην ηεηξάπιεπξν Δ΄ΒΔΒ΄ είλαη ξόκβνο (Δ΄, Δ εζηίεο ηεο έιιεηςεο) . β. Να βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ ξόκβνπ. 283) Γίλεηαη ε έιιεηςε 2 2 2 2 2 2 :C x a y a θαη ε επζεία 2 : a x . Αλ 0 0,x y είλαη ηπραίν ζεκείν ηεο C , λα απνδείμεηε όηη ( , ) ( , ) d d a , όπνπ , 0 . 284) Γίλεηαη ν θύθινο 2 2 4x y θαη ε έιιεηςε 2 2 1 2 6 x y . α. Να δείμεηε όηη ην ζεκείν 1, 3 είλαη θνηλό ηνπο ζεκείν θαη ζηελ ζπλέρεηα λα βξείηε όια ηα θνηλά ζεκεία . β. Να δείμεηε όηη ηα θνηλά ηνπο ζεκεία είλαη θνξπθέο νξζνγσλίνπ παξαιιεινγξάκκνπ . γ. Να βξεζνύλ ηα ζεκεία 0 0,x y ώζηε 2 2 0 0 4x y θαη ( ) ( ) 2 6 (Δ΄, Δ εζηίεο ηεο έιιεηςεο) . 285) Γίλεηαη ην επζύγξακκν ηκήκα ΑΒ θαη ην κέζν ηνπ Κ . Να βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Μ ηνπ επηπέδνπ , γηα ηα νπνία ηζρύεη 2 1 | | | | , | | | | 1 2 §4. υπερβολή 286) Να βξείηε ηηο εζηίεο ησλ ππεξβνιώλ : α. 2 2 4 100x y β. 2 2 16 1x y γ. 2 2 9 121y x δ. 2 2 25 49y x 287) Να βξείηε ηηο εζηίεο θαη ηελ εθθεληξόηεηα ησλ ππεξβνιώλ : α. 2 2 16 9 144x y β. 2 2 16 16y x 288) Να βξείηε ηηο εζηίεο , ηελ εθθεληξόηεηα θαη ηηο αζύκπησηεο ησλ ππεξβνιώλ : α. 2 2 1 9 x y β. 2 2 1 100 25 x y γ. 2 2 4 16 64 0x y δ. 2 2 9 64 1x y 289) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο ππεξβνιήο πνπ έρεη ηηο εζηίεο ηεο ζηνλ άμνλα x x ζπκκεηξηθέο σο πξνο ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη αθόκε : α. έρεη εζηηαθή απόζηαζε (Δ΄Δ) = 6 θαη εθθεληξόηεηα 3 2 , β. έρεη εζηηαθή απόζηαζε (Δ΄Δ) = 20 θαη εμηζώζεηο αζπκπηώησλ 4 3 y x , 290) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο ππεξβνιήο κε θνξπθέο 0 , 4 , 0 , 4 θαη εζηίεο 0 , 5 , 0 , 5 . 291) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο ππεξβνιήο κε εζηίεο 13 , 0 , 13 , 0 θαη αζύκπησηεο ηηο επζείεο 1 2 : 3 y x , 2 2 : 3 y x . 292) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο ππεξβνιήο πνπ έρεη αζύκπησηεο ηηο επζείεο 1 2 y x θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν 10 , 5 .
- 79. κωνικές τομές κεφάλαιο3 - 77 - 293) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο ππεξβνιήο πνπ έρεη απόζηαζε θνξπθώλ 16 θαη εζηηαθή απόζηαζε 20 , κε εζηίεο ζηνλ άμνλα x x . 294) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο ππεξβνιήο ε νπνία δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 2 ,1 , 4 , 5 θαη έρεη ηηο εζηίεο ηεο ζηνλ άμνλα x x . 295) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο ππεξβνιήο 2 2 2 2 : 1 x y C a ε νπνία δηέξρεηαη από ηα ζεκεία 9 5 , 2 θαη 20 , 8 3 . 296) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο ππεξβνιήο κε εζηίεο 0 , 6 , 0 , 6 θαη εθθεληξόηεηα 3 2 . 297) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο ππεξβνιήο ε νπνία έρεη εζηίεο 5 , 0 , 5 , 0 θαη θνξπθέο ηηο εζηίεο ηεο έιιεηςεο 2 2 1 25 16 x y . 298) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο ηζνζθεινύο ππεξβνιήο ε νπνία έρεη ηηο ίδηεο εζηίεο κε ηελ έιιεηςε 2 2 9 25 225x y . 299) Γίλεηαη ε έιιεηςε 2 2 1 25 9 x y . Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο ππεξβνιήο πνπ έρεη ηηο ίδηεο εζηίεο κε ηελ έιιεηςε θαη ε εθθεληξόηεηά ηεο είλαη 2 . 300) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο ππεξβνιήο κε εμίζσζε 2 2 1x y πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 1, 2 . 301) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο ππεξβνιήο 2 2 1 3 2 x y πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 ,1 . 302) Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ηεο ππεξβνιήο 2 2 25 4 100x y πνπ είλαη παξάιιειεο πξνο ηελ επζεία 3 0x y . 303) Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ηεο ππεξβνιήο 2 2 1 9 4 x y πνπ είλαη : α. παξάιιειεο ζηελ επζεία 4 3 1 0x y , β. θάζεηεο ζηελ επζεία 2 1 0x y . 304) Γίλεηαη ε ππεξβνιή 2 2 1x y θαη ε επζεία 2x y a . Να βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ a ώζηε ε επζεία λα εθάπηεηαη ηεο ππεξβνιήο . 305) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο ππεξβνιήο πνπ έρεη ηηο ίδηεο εζηίεο κε ηελ έιιεηςε 2 2 16 25 400x y θαη εθάπηεηαη ηεο επζείαο 1 0x y . 306) Να απνδείμεηε όηη νη επζείεο 1 :3 4 24 0x y θαη 2 :3 4 6 0x y ηέκλνληαη πάλσ ζηελ ππεξβνιή 2 2 9 16 144x y 307) Να απνδείμεηε όηη ε απόζηαζε κηαο εζηίαο ηεο ππεξβνιήο 2 2 9 25 225x y από κηα αζύκπησηή ηεο είλαη ίζε κε 3 . 308) Να βξείηε ηελ γσλία ησλ αζύκπησησλ ηεο ππεξβνιήο 2 2 2 2 : 1 x y C a κε εθθεληξόηεηα 2 . 309) Γίλεηαη ε ππεξβνιή 2 2 1 4 y x θαη ην ζεκείν 2 , 3 . Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο ρνξδήο πνπ έρεη κέζν ην Μ . 310) Να βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ πνπ ζρεκαηίδεηαη από ηηο αζύκπησηεο ηεο ππεξβνιήο 2 2 16 9 144x y θαη από ηελ επζεία 2 3 6 0x y . 311) Έζησ Μ ηπραίν ζεκείν ηεο ππεξβνιήο 2 2 2 x y a , ε εθαπηνκέλε ζην Μ θαη Α , Β ηα ζεκεία πνπ ε ηέκλεη ηηο αζύκπησηεο . Να απνδείμεηε όηη ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΟΑΒ , όπνπ Ο ε αξρή ησλ αμόλσλ , είλαη ζηαζεξό .
- 80. κωνικές τομές κεφάλαιο3 - 78 - 312) Σν ζεκείν 6 , 8 βξίζθεηαη ζε ππεξβνιή πνπ έρεη θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη νη εζηίεο ηεο είλαη ζεκεία ηνπ άμνλα x x . Αλ 0 90 , λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο ππεξβνιήο . 313) Έζησ ε ππεξβνιή 2 2 2 2 : 1 x y C a . Να απνδείμεηε όηη θάζε παξάιιειε πξνο κηα αζύκπησηε ηέκλεη ηελ ππεξβνιή ζε έλα κόλν ζεκείν . 314) Να απνδείμεηε όηη θάζε εζηία ηεο ππεξβνιήο 2 2 2 2 : 1 x y C a απέρεη από ηηο αζύκπησηεο απόζηαζε ίζε κε . 315) Γίλεηαη ε ηζνζθειήο ππεξβνιή 2 2 16x y θαη ε επζεία 3y πνπ ηέκλεη ηελ ππεξβνιή ζηα ζεκεία Β θαη Γ . Αλ Α είλαη ε θνξπθή ηεο λα δείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη νξζνγώλην . 316) Να δείμεηε όηη ηα ζεκεία ηνκήο ηεο ππεξβνιήο 2 2 3 12 36x y θαη ηεο έιιεηςεο 2 2 5 20 100x y ζρεκαηίδνπλ νξζνγώλην παξαιιειόγξακκν . 317) Γίλεηαη ε ππεξβνιή 2 2 2 2 : 1 x y C a . Η εθαπηνκέλε ηεο ππεξβνιήο ζηελ θνξπθή ηεο , 0a ηέκλεη ηελ αζύκπησηε y x a ζην ζεκείν Κ . Αλ Δ κηα εζηία ηεο ππεξβνιήο λα απνδείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΚΟΔ είλαη ηζνζθειέο , όπνπ Ο ε αξρή ησλ αμόλσλ . 318) Γίλεηαη ε ππεξβνιή 2 2 2 x y a θαη επζεία παξάιιειε ζηνλ άμνλα x x πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 0 , θαη ηέκλεη ηελ ππεξβνιή ζηα ζεκεία Β θαη Γ . α. Να απνδείμεηε όηη ν θύθινο πνπ γξάθεηαη κε δηάκεηξν ηελ ΒΓ δηέξρεηαη από ηηο θνξπθέο ηεο ππεξβνιήο . β. Αλ Β΄ θαη Γ΄ είλαη ηα ζπκκεηξηθά ησλ Β θαη Γ σο πξνο ηνλ άμνλα x x αληίζηνηρα λα απνδείμεηε όηη 2 2 3a . γ. Αλ 2 ,a a είλαη ζεκείν ηεο ππεξβνιήο θαη Α΄ , Α νη θνξπθέο ηεο , λα απνδείμεηε όηη ην νξζόθεληξν ηνπ ηξηγώλνπ Α΄ΑΜ΄ είλαη ζεκείν ηεο ππεξβνιήο . 319) Η εθαπηνκέλε ηεο ππεξβνιήο 2 2 : 1 4 x C y ζην ζεκείν ηεο 2 2 ,1 θαη ε θάζεηε ζηελ εθαπηνκέλε ζην ίδην ζεκείν ηέκλνπλ ηνλ άμνλα y y ζηα ζεκεία Α θαη Β αληίζηνηρα . Να απνδείμεηε όηη ν θύθινο κε δηάκεηξν ΑΒ δηέξρεηαη από ηηο εζηίεο ηεο ππεξβνιήο . 320) Γίλεηαη ε ηζνζθειήο ππεξβνιή 2 2 2 x y a θαη ην ζεκείν ηεο Ρ . Αλ Δ΄ , Δ είλαη νη εζηίεο ηεο , λα απνδείμεηε όηη 2 ( ) ( ) ( ) . 321) Μηα επζεία παξάιιειε ζηνλ άμνλα x x ηέκλεη ηελ ηζνζθειή ππεξβνιή 2 2 2 x y a ζηα ζεκεία Γ , Γ . Να απνδείμεηε όηη ν θύθινο δηακέηξνπ ΓΓ δηέξρεηαη από ηηο θνξπθέο ηεο ππεξβνιήο . 322) Γίλεηαη ε ηζνζθειήο ππεξβνιή 2 2 2 x y a θαη ην ζεκείν ηεο Ρ . Φέξλνπκε ηηο εθαπηόκελεο ΡΑ , ΡΒ ζηελ ππεξβνιή . Αλ Ο είλαη ε αξρή ησλ αμόλσλ θαη Μ ην κέζν ηνπ ΑΒ λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Ρ , Ο , Μ είλαη ζπλεπζεηαθά .
- 81. κωνικές τομές κεφάλαιο3 - 79 - 323) Να δείμεηε όηη ην ηκήκα ηεο ππεξβνιήο 2 2 2 2 : 1 x y C a ζην ζεκείν ηεο Μ πνπ πεξηέρεηαη κεηαμύ ησλ αζπκπηώησλ ηεο δηρνηνκείηαη από ην Μ . 324) Γίλεηαη ε ππεξβνιή 2 2 2 2 : 1 x y C a θαη ε επζεία 2 a x . Να απνδείμεηε όηη ν ιόγνο ησλ απνζηάζεσλ ελόο ηπραίνπ ζεκείνπ Μ ηεο ππεξβνιήο από ηελ εζηία Δ΄ θαη από ηελ επζεία 2 a x είλαη ζηαζεξόο θαη ίζνο κε ηελ εθθεληξόηεηα ηεο ππεξβνιήο . 325) Γίλεηαη κεηαβιεηό ζεκείν 2 , 3 , όπνπ 2 , Z . Να απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Μ γξάθεη ππεξβνιή ηεο νπνίαο λα βξείηε ηελ εμίζσζε . 326) Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ θέληξσλ ησλ θύθισλ πνπ δηέξρνληαη από ην ζεκείν 2 , 0 θαη εθάπηνληαη εμσηεξηθά ηνπ θύθινπ 2 2 4 0x y x . 327) Έλα ζεκείν Μ θηλείηαη ζην επίπεδν έηζη ώζηε ε απόζηαζή ηνπ από ην ζεκείν 0 , 6 λα είλαη ηα 3 2 ηεο απόζηαζήο ηνπ από ηελ επζεία 8 0 3 y . Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ηνπ Μ . 328) Γίλνληαη νη επζείεο 1 : y x θαη 2 : y x . Θεσξνύκε κεηαβιεηό ζεκείν Μ ηνπ επηπέδνπ από ην νπνίν θέξλνπκε επζεία παξάιιειε πξνο ηελ 2 , ε νπνία ηέκλεη ηελ 1 ζην Α . Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Μ έηζη ώζηε 2 4( ) c , όπνπ , c ζηαζεξνί ζεηηθνί . 329) Γίλεηαη ε ππεξβνιή 2 2 2 2 2 2 :C x a y a κε θνξπθέο Α΄ , Α . Αλ Μ είλαη ηπραίν ζεκείν ηεο θαη Η ε νξζή πξνβνιή ηνπ ζηελ Α΄Α , λα απνδείμεηε όηη 2 2 2 a . 330) Γίλνληαη ηα ζεκεία , 0a , , 0a , , 0 , , 0 κε a . Μεηαβιεηό ζεκείν Μ θηλείηαη έηζη ώζηε ( ) ( ) ( ) ( ) . Να Γείμεηε όηη ην Μ γξάθεη ππεξβνιή ηεο νπνίαο λα βξείηε ηελ εμίζσζε θαη ηηο αζύκπησηεο . 331) Γίλεηαη ε ππεξβνιή 2 2 2 2 : 1 x y C a θαη 1 1,x y έλα ζεκείν ηεο δηαθνξεηηθό από ηηο θνξπθέο ηεο . Αλ είλαη ε εθαπηνκέλε ηεο ππεξβνιήο ζην Μ θαη ε θάζεηε ηεο ζην Μ ε νπνία ηέκλεη ηνπο άμνλεο x x θαη y y ζηα ζεκεία Γ θαη Γ αληίζηνηρα , ηόηε : α. λα βξεζεί ζπλαξηήζεη ησλ 1 1,x y ε εμίζσζε ηεο , β. λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ησλ Γ θαη Γ , γ. λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ κέζνπ Ν ηνπ ΓΓ , δ. λα δεηρζεί όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηνπ Ν είλαη κηα ππεξβνιή 1C , ε. λα απνδεηρζεί όηη νη ππεξβνιέο C θαη 1C έρνπλ ηηο ίδηεο εθθεληξόηεηεο αιιά ηηο εζηίεο ηνπο ζε δηαθνξεηηθνύο άμνλεο . 332) Γίλεηαη ε ππεξβνιή 2 2 2 2 : 1 x y C a θαη ηπραίν ζεκείν Μ δηαθνξεηηθό ησλ θνξπθώλ Α΄ , Α . ην νπνίν θηλείηαη πάλσ ζηελ ππεξβνιή C . Να απνδείμεηε όηη ην νξζόθεληξν Η ηνπ ηξηγώλνπ ΑΑ΄Μ θηλείηαη ζηελ ππεξβνιή 2 2 2 22 : 1 x y C a a . §5. γενικέσ αςκήςεισ & προβλήματα 333) Γίλεηαη ν θύθινο 2 2 :( 2) 4C x y . Να απνδείμεηε όηη ηα θέληξα ησλ θύθισλ πνπ δηέξρνληαη από ην ζεκείν 2 , 0 θαη εθάπηνληαη εμσηεξηθά ηνπ θύθινπ C , αλήθνπλ ζε θιάδν ππεξβνιήο .
- 82. κωνικές τομές κεφάλαιο3 - 80 - 334) ην δηπιαλό ζρεδηάγξακκα , κε θαξηεζηαλό ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ xOy , δίλεηαη ε παξαβνιή ππεξβνιή 2 : 4C y x θαη κηα επζεία ( ) πνπ δηέξρεηαη από ηελ εζηία Δ θαη ηέκλεη ηελ παξαβνιή ζηα ζεκεία Α θαη Β . Θεσξνύκε ηηο πξνβνιέο Γ , Γ ησλ Α , Β ζηελ δηεπζεηνύζα ( ) αληίζηνηρα θαη έζησ Μ ην κέζν ηνπ ΓΓ . α. Να βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ Α , Β , Γ , Γ , Μ ζπλαξηήζεη ηεο ηεηαγκέλεο Α . β. Να απνδείμεηε όηη ε αξρή ησλ αμόλσλ είλαη ην ζεκείν ηνκήο ησλ δηαγσλίσλ ηνπ ηξαπεδίνπ ΑΒΓΓ . γ. Να απνδείμεηε όηη 2 θαη ΜΔ ύςνο ηνπ ηξηγώλνπ ΑΜΒ . δ. Να απνδείμεηε όηη 2 θαη λα ππνινγίζεηε ην ΜΔ ζπλαξηήζεη ηεο ηεηαγκέλε ηνπ Α . 335) Γίλεηαη ε εμίζσζε 2 2 1 25 16 x y a a , όπνπ 16 , 25a (1) . α. Γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ a , λα βξείηε ην είδνο ηεο θσληθήο ηνκήο πνπ παξηζηάλεη ε εμίζσζε (1) . β. Να απνδείμεηε όηη όιεο νη θσληθέο ηνκέο πνπ παξηζηάλεη ε (1) έρνπλ θνηλέο εζηίεο . 336) Μηα κεηαβιεηή επζεία ( ) θηλείηαη ώζηε λα ζρεκαηίδεη κε ηνλ άμνλα x x γσλία 45ν θαη ζπγρξόλσο λα ηέκλεη ηελ παξαβνιή 2 2y px , 0p ζηα ζεκεία Α θαη Β . Να απνδείμεηε όηη ην κέζν Μ ηεο ρνξδήο ΑΒ θηλείηαη ζε επζεία . 337) Γίλεηαη ε παξαβνιή 2 : 4C y x θαη ηα ζεκεία ηεο 2 , 2t t θαη 2 , 2 , όπνπ t . α. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο ΑΒ . β. Αλ Δ είλαη ε εζηία ηεο παξαβνιήο , Μ ην κέζν ηνπ ΑΒ θαη ζεκείν 1, t , λα απνδείμεηε όηη 2( ) ( ) ( ) . 338) Γίλεηαη ε έιιεηςε 2 2 2 2 : 1 x y C a κε 0a θαη Μ ηπραίν ζεκείν ηεο . Αλ 1d θαη 2d νη απνζηάζεηο ηνπ Μ από ηηο εζηίεο Δ΄, Δ αληίζηνηρα , λα απνδείμεηε όηη : α. 1d a x a θαη 2d a x a . β. 1 2 2v v v d d a , γηα θάζε ζεηηθό αθέξαην v . 339) Γίλεηαη ε έιιεηςε 2 : 2C y px , 0p θαη νη εκηεπζείεο y x θαη 1 y x , όπνπ , 0x νη νπνίεο ηέκλνπλ εθηόο από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ ηελ παξαβνιή C ζηα ζεκεία Α , Β αληίζηνηρα . α. Να βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ Α θαη Β σο ζπλάξηεζε ηνπ . β. Να απνδείμεηε όηη ε επζεία ΑΒ δηέξρεηαη από ζηαζεξό ζεκείν . 340) Γίλεηαη νη εκηεπζείεο y x θαη y x , κε , 0x θαη κηα επζεία ( ) ε νπνία ηηο ηέκλεη ζηα ζεκεία Α θαη Β . α. Να βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ Α θαη Β σο ζπλάξηεζε ηνπ κέζνπ Μ ηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο ΑΒ . β. Να απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Μ γξάθεη ηνλ έλα θιάδν ππεξβνιήο όηαλ ε επζεία ( ) θηλείηαη έηζη ώζηε ην ηξίγσλν ΟΑΒ λα έρεη ζηαζεξό εκβαδόλ 2 . 341) Γίλεηαη νη επζείεο 1 : x y a θαη 2 : x y , όπνπ a , ηα κήθε ησλ θάζεησλ πιεπξώλ νξζνγσλίνπ ηξηγώλνπ κε ππνηείλνπζα . Να απνδείμεηε όηη : α. νη 1 , 2 έρνπλ κνλαδηθό θνηλό ζεκείν Σ , β. όηαλ ην δηαηξέρεη ην , ην Σ θηλείηαη ζε θύθιν ηνπ νπνίνπ λα βξεζεί ε εμίζσζε . 342) Η εθαπηνκέλε ηνπ θύθινπ 2 2 2 :C x y ζην ζεκείν ,a ηέκλεη ηνπο άμνλεο x x θαη y y ζηα ζεκεία Α θαη Β αληίζηνηρα . Να απνδείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΟΑΒ έρεη εκβαδόλ ίζν κε 4 2 | |a .
- 83. κωνικές τομές κεφάλαιο3 - 81 - 343) Γίλεηαη ν θύθινο 2 2 2 0 :C x y θαη ε εθαπηνκέλε ηνπ 2 1 1: xx yy ζην ζεκείν ηνπ 1 1,x y . Να απνδείμεηε όηη : α. γηα θάζε 2 ε εμίζσζε 2 2 2 2 1 1 0x y xx yy (1) παξηζηάλεη θύθιν C θαη λα βξείηε ηη παξηζηάλεη ε εμίζσζε απηή γηα 2 , β. ηα θέληξα ησλ παξαπάλσ θύθισλ αλήθνπλ ζηελ ζηαζεξή επζεία 1 1: 0y x x y , γ. όινη νη παξαπάλσ θύθινη : i. δηέξρνληαη από ζηαζεξό (αλεμάξηεην ηνπ ) ζεκείν ην νπνίν θαη λα βξεζεί , ii. εθάπηνληαη κεηαμύ ηνπο θαη λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο θνηλήο εθαπηνκέλεο ηνπο . 344) Γίλεηαη ν θύθινο 2 2 : 2 2 0C x y ax y θαη ππνζέηνπκε όηη νη εθαπηνκέλεο ηνπ ζηα ζεκεία ηνπ Α θαη Β δηέξρνληαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ . Να απνδείμεηε όηη ν πεξηγγεγξακκέλνο θύθινο ηνπ ηξηγώλνπ ΑΟΒ έρεη εμίζσζε 2 2 : 0C x y ax y . 345) ε ζεκείν Μ ηνπ θύθινπ 2 2 : 3C x y ζεσξνύκε ηελ εθαπηνκέλε , ε νπνία ππνζέηνπκε ηνπο άμνλεο x x θαη y y ζηα ζεκεία Α θαη Β αληίζηνηρα . Να βξείηε ην ζεκείν Μ ηνπ πξώηνπ ηεηαξηεκνξίνπ , ώζηε 2 . 346) Μηα επζεία είλαη παξάιιειε πξνο ηελ επζεία : 2 14y x θαη δηέξρεηαη από ην θέληξν Κ ηνπ θύθινπ 2 2 :( ) ( 3) 25C x a y . Αλ Α , Β είλαη ηα θνηλά ζεκεία ηνπ θύθινπ C θαη ηεο επζείαο , λα βξεζεί ε ηηκή ηνπ a γηα ηελ νπνία ηνπ ηξηγώλνπ ΑΟΒ είλαη ίζν κε 3 5 . 347) Γίλεηαη θύθινο θέληξνπ Κ θαη δηακέηξνπ ΑΒ. Σα δηαλύζκαηα ζέζεο ησλ ζεκείσλ Κ θαη Α είλαη 3 3i j θαη 2 4i j αληίζηνηρα . Να βξείηε : α. ην δηάλπζκα ζέζεο ηνπ ζεκείνπ Β , β. ην κήθνο ηεο αθηίλαο ηνπ θύθινπ , γ. ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ , δ. ηνλ ζπληειεζηή δηεύζπλζεο ηνπ , όπνπ Μ ζεκείν ηνπ θύθινπ ηέηνην ώζηε . 348) Η παξαβνιή κε εμίζσζε 2 y ax , a δηέξρεηαη από ην ζεκείν 2 , 4 . α. Να απνδείμεηε όηη ε εζηία ηεο παξαβνιήο είλαη ην ζεκείν 2 , 0 . β. Έζησ Δ΄ ην ζπκκεηξηθό ηεο εζηίαο Δ σο πξνο ηνλ άμνλα y y . Αλ ,x y είλαη έλα νπνηνδήπνηε ζεκείν γηα ην νπνίν ηζρύεη 2 λα απνδείμεηε όηη ην ζεκείν ,x y αλήθεη ζε θύθιν κε θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη αθηίλα 2 . γ. Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ηνπ παξαπάλσ θύθινπ πνπ δηέξρνληαη από ην ζεκείν Α . 349) Η εζηία ηεο παξαβνιήο 2 1 : 2C y px , 0p , ζπκπίπηεη κε κηα εζηία ηεο έιιεηςεο 2 2 2 2 2 : 1 x y C a , 0 a . α. Να απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία , a p p αλήθνπλ ζε κηα ηζνζθειή ππεξβνιή . β. Έζησ 1 , 2 νη εθαπηνκέλεο ηεο παξαβνιήο πνπ άγνληαη από ηελ εζηία ηεο έιιεηςεο πνπ δελ είλαη εζηία ηεο παξαβνιήο . i. Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ 1 , 2 θαη λα γξάςεηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ ζεκείσλ επαθήο Α , Β ησλ 1 , 2 κε ηελ παξαβνιή 1C . ii. Να απνδείμεηε όηη 1 2 . γ. Αλ ηα ζεκεία Α , Β αλήθνπλ ζηελ έιιεηςε 2C λα απνδείμεηε όηη γηα ηελ εθθεληξόηεηα ηεο έιιεηςεο ηζρύεη 3 2 2 .
- 84. κωνικές τομές κεφάλαιο3 - 82 - 350) Η θεληξηθή πιαηεία κηαο θνηλόηεηαο είλαη ηεηξάγσλε κε πιεπξά 35 m . ην εζσηεξηθό ηεο ππάξρεη έλα θπθιηθό ζηληξηβάλη . Θεσξνύκε ηξία ζεκεία Α , Β , Γ ηεο πεξηθέξεηαο ηνπ ζηληξηβαληνύ θαη κεηξάκε ηηο απνζηάζεηο ηνπο από δπν πιεπξέο ηεο πιαηείαο . Οη απνζηάζεηο ηνπ Α είλαη 5 m θαη 15 m , ηνπ Β είλαη 14 m θαη 12 m , ελώ ηνπ Γ είλαη 12 m θαη 14 m . α. ε θαηάιιειν ζύζηεκα αμόλσλ xOy λα ηνπνζεηήζεηε ηελ πιαηεία , ην ζηληξηβάλη θαη ηα ζεκεία Α , Β , Γ . Πνηεο νη ζπληεηαγκέλεο ησλ Α , Β , Γ; β. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ ηνπ ζηληξηβαληνύ. γ. Πνηα είλαη ε αθηίλα ηνπ ζηληξηβαληνύ ; Πόζν απέρεη ην θέληξν ηνπ ζηληξηβαληνύ από ηηο πιεπξέο ηεο πιαηείαο . δ. Έλα έληνκν πεηά θαηά κήθνο ηεο επζείαο 4 3 29 0x y . Να εμεηάζεηε αλ ην έληνκν ζα βξαρεί από ην λεξό ηνπ ζηληξηβαληνύ . 351) Έλα ζρνηλί είλαη δεκέλν ζε δπν ζηύινπο ζηήξημεο πνπ απέρνπλ κεηαμύ ηνπο 6 m . Σν ζρνηλί θξέκεηαη έρνληαο κνξθή παξαβνιήο θαη ην ρακειόηεξν ζεκείν ηνπ βξίζθεηαη 2 m πην ρακειά από ηα ζεκεία ζηήξημεο . α. Αθνύ ζεσξήζεηε θαηάιιειν ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ , λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ ζεκείσλ ζηήξημεο ηνπ ζρνηληνύ , θαζώο θαη ην ρακειόηεξν ζεκείν απηνύ . β. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο παξαβνιήο πνπ παξηζηάλεη παξαβνιή . γ. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ εθάπηεηαη ζην ζρνηλί ζε έλα ζεκείν ζηήξημεο . 352) Μηα ζθάια ΑΒ κήθνπο 8 m είλαη ηνπνζεηεκέλε έηζη , ώζηε ε βάζε ηεο Α λα ζηεξίδεηαη ζην έδαθνο θαη ε θνξπθή ηεο Β λα αθνπκπά ζ’ έλα θαηαθόξπθν ηνίρν . Έζησ ε γσλία πνπ ζρεκαηίδεη ε ζθάια κε ην έδαθνο . Έλα κπξκήγθη βξίζθεηαη ζηε ζθάια θαη ζε απόζηαζε 2 m από ηελ θνξπθή ηεο . Αλ ε ζθάια παίξλεη δηάθνξεο ζέζεηο (από ηελ νξηδόληηα έσο θαη ηελ θαηαθόξπθε ζέζε) θαη ην κπξκήγθη παξακέλεη αθίλεην , λα απνδείμεηε όηη , θαζώο αιιάδεη ζέζε ε ζθάια , ην κπξκήγθη θηλείηαη ζ’ έλα θιάδν έιιεηςεο .