1. เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 2.1
1. จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x
1.
35
35

 )(f)(f
=
2
2674
= 24
2.
13
13

 )(f)(f
=
2
62 )(
= 2
3.
25
25

 )(f)(f
=
3
1061
= 17
4.
24
24

 )(f)(f
=
2
941
= 16
5.
35
35

 )(f)(f
=
2
935
= 13
2. จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x ใดๆ
1. 6x ดังนั้น 6(2) = 12
2. 4x + 3 ดังนั้น 4(3) + 3 = 15
3. 2x - 4 ดังนั้น 2(5) - 4 = 6
4. 6x - 2 ดังนั้น 6(4) - 2 = 22
5. 4x - 3 ดังนั้น 4(5) - 3 = 17
3. วงกลมวงหนึ่ง มีรัศมียาว r เซนติเมตร จงหา
1. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่วงกลมเทียบกับความยาวของรัศมี
เมื่อความยาวของรัศมีเปลี่ยนจาก 8 เป็น 10 เซนติเมตร
810
810

 )(f)(f
=
2
64100 
= 18 ตารางเซนติเมตร/ เซนติเมตร
2. อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่วงกลมเทียบกับความยาวของด้าน ขณะรัศมียาว 8 เซนติเมตร
0
lim
h h
xfhxf )()( 
= 2r = 2(8) = 16 ตารางเซนติเมตร/ เซนติเมตร
4. สามเหลี่ยมด้านเท่ารูปหนึ่ง มีด้านยาว x หน่วย จงหา
1. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่เทียบกับความยาวของด้าน
เมื่อความยาวของรัศมีเปลี่ยนจาก 8 เป็น 12 เซนติเมตร
สูตร พื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่า = 2
4
3
x เมื่อ x แทน ความยาวของด้าน
จะได้
812
4
364
4
3144


=
4
320
= 35 ตารางเซนติเมตร/ เซนติเมตร
2. อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่เทียบกับความยาวของด้าน ขณะด้านยาว 12 เซนติเมตร
0
lim
h h
xfhxf )()( 
= x2
4
3
ดังนั้น )(122
4
3
= 36 ตารางเซนติเมตร/ เซนติเมตร

2. 2
5. ปริมาตรของทรงกลมมีรัศมียาว r เซนติเมตร จงหา
1. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของปริมาตรทรงกลมเทียบกับความยาวของรัศมี
เมื่อความยาวของรัศมีเปลี่ยนจาก 6 เป็น 9 เซนติเมตร
สูตร ปริมาตรทรงกลม =
3
4
r3
69
69

 )(f)(f
=
3
288972 
=
3
684
= 228 ลูกบาศก์เซนติเมตร/เซนติเมตร
2. อัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรทรงกลมเทียบกับความยาวของรัศมี ขณะรัศมียาว 5 เซนติเมตร
0
lim
h h
xfhxf )()( 
= 4r2
= 4(5)2
 = 100 ลูกบาศก์เซนติเมตร/เซนติเมตร
เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 2.2
ชุดที่ 1
1.
dx
dy
= 2
2.
dx
dy
= 5x4
3.
dx
dy
= 6x2
4.
dx
dy
= 8x + 5
5.
dx
dy
= 9x2
– 4x + 1
ชุดที่ 3
11.
dx
dy
= 8x3
– 9x2
+ 2x
12.
dx
dy
= 2x + 6
13.
dx
dy
= 18x – 12
14.
dx
dy
= 12x + 11
15.
dx
dy
=
2
15 xx
- x6
ชุดที่ 2
6.
dx
dy
= 5
4
x

7.
dx
dy
= 3
6
x

8.
dx
dy
= 33
2
x
9.
dx
dy
= 3 2
3
2
x
10.
dx
dy
=
xx
1

16.
dx
dy
= 2x - 3
6
x
17.
dx
dy
= 2
2
6
)x( 
18.
dx
dy
=
2
1
19.
dx
dy
= 2
12
4
)x( 
20.
dx
dy
= xx2
7 +
2
9 x
+

3. 3
เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 2.2 (ต่อ)
ชุดที่ 5
21.
dx
dy
= 6(3x + 2)
22.
dx
dy
= 8(2x - 1)3
23.
dx
dy
= 6
23
15
)x( 

24.
dx
dy
= 2
21
2
x
x


25.
dx
dy
= 22
2121
2
x)x(
x

ชุดที่ 6
26.
dx
dy
= 24(4x - 1)5
27.
dx
dy
=
xx
x
23
13
2


28.
dx
dy
=
xx)xx(
x
2323
13
22


29.
dx
dy
= 5
3
13
1324
)x(
)x(


30.
dx
dy
= 6
4
12
1220
)x(
)x(


เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 2.3 ชุดที่ 1 เส้นสัมผัสเส้นโค้ง
สมการเส้นโค้ง ความชัน (m) สมการเส้นสัมผัส สมการเส้นตั้งฉาก
1. y = x2
– 3x ที่จุด ( 2 , -2 ) m = 1 y = x – 4 x + y = 0
2. y = x - 2x2
ที่จุด ( 2 , - 6 ) m =
3. y = x2
+ 4x - 2 ที่จุด ( - 3 , - 5 ) m = -10 y = -10x – 27 x – 10y + 33 = 0
4. y = (2x- 1 )2
ที่จุด ( 2 , 9 ) m =
5. y =
x
x 22

ที่จุดซึ่ง x = 1 m = - 1 y = - x + 4 y = x + 2
เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 2.3 ชุดที่ 2
1. จุดที่สัมผัสเส้นโค้ง คือ (3 , - 4)
2. จุดที่สัมผัสเส้นโค้ง คือ (-2 , - 15)
3. จุดที่สัมผัสเส้นโค้ง คือ (3 , 15)
4. จุดที่สัมผัสเส้นโค้ง คือ (3 , 15)
5. ค่าของ 2a = 6 , a = 3
6. สมการเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง คือ
7. จุดบนเส้นโค้ง y = x3
– 3x คือ (1 , -2 ) และ (- 1 , 2 )
8. จุดบนเส้นโค้ง y = x3
– 27x คือ (3 , - 54 ) และ (- 3 , 54 )
เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 2.4

4. 4
1. กาหนดให้ S แทนระยะทาง (เมตร) t แทนเวลา ( วินาที) v แทนความเร็ว ( เมตร/วินาที )
วัตถุชิ้นหนึ่ง มีสมการของการเคลื่อนที่เป็น S = t2
- 2t + 3 จงหา
1) อัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทางเทียบกับเวลา ตั้งแต่ t = 2 ถึง t = 5 วินาที
ตอบ 5 เมตร/วินาที
2) อัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทางเทียบกับเวลาขณะเวลา t = 3 วินาที ( ความเร็ว)
ตอบ 4 เมตร/วินาที
2. วัตถุชิ้นหนึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็วต้น 96 ฟุต/วินาที มีสมการของการเคลื่อนที่เป็น S = 96 t – 8 t2
จงหา
1) ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลา t = 2 ถึง t = 4
ตอบ 48 ฟุต/วินาที
2) ความเร็วขณะเวลา t = 5 วินาที
ตอบ 16 ฟุต/วินาที
3) ระยะทางที่ก้อนหินขึ้นไปได้สูงสุด
ตอบ t = 6 วินาที , S = 288 ฟุต/วินาที
4) เมื่อใดที่ก้อนหินขึ้นไปได้สูง 256 ฟุต
ตอบ t = 4 , 8 วินาที
5) ความเร่งของวัตถุขณะเวลา t = 3 วินาที
ตอบ -16 ฟุต/วินาที2
3. วัตถุชิ้นหนึ่ง มีสมการของการเคลื่อนที่เป็น S = t3
– 6t2
+ 9t + 4 จงหา
1) ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลา t = 2 ถึง t = 4
ตอบ 1 เมตร/วินาที
2) ความเร็วขณะเวลา t = 6 วินาที
ตอบ 45 เมตร/วินาที
3) ระยะทางเมื่อความเร็วของวัตถุเท่ากับ 0
ตอบ t = 4 , 8 วินาที
4) เมื่อใดที่ก้อนหินขึ้นไปได้สูง 128 เมตร
ตอบ t = 4 , 8 วินาที
5) ความเร่งของวัตถุขณะเวลา t = 3 วินาที
ตอบ 6 เมตร/วินาที2
เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 2.5

5. 5
1. จงหาค่าต่าสุดสัมพัทธ์หรือค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้
1) y = x2
– 4x – 2
ตอบ จุดต่าสุดคือ (2 , - 6)
2) y = 2x2
– 8x + 3
ตอบ จุดต่าสุดคือ (2 , - 5)
3) y = 4x – x2
ตอบ จุดสูงสุดคือ (2 , 4)
4) y = - 3x2
– 18x – 20
ตอบ จุดสูงสุดคือ (- 3 , 7)
5) y = x2
– 6x + 5
ตอบ จุดต่าสุดคือ (3 , 4)
6) y = 6 – 2x – x2
จุดสูงสุดคือ
7) y = x3
– 27x
ตอบ ค่าต่าสุดคือ
ค่าสูงสุดคือ
8) y = 12x – x3
ตอบ ค่าต่าสุดคือ
ค่าสูงสุดคือ
9) y = x3
– 3x2
– 9x + 1
ตอบ จุดต่าสุดคือ (3 , - 26)
จุดสูงสุดคือ (- 1 , 6)
10) y = 2x3
– 9x2
+ 12 x – 3
ตอบ จุดต่าสุดคือ (2 , 1)
จุดสูงสุดคือ (1 , 2)
11) y = ( x- 2 )3
ตอบ กรณีที่ 3 ถ้า f /
( c ) = 0
ไม่มีค่าต่าสุดและค่าสูงสุด
12) y = x ( 12 – 2x )2
ตอบ จุดต่าสุดคือ (6 , 0)
จุดสูงสุดคือ (2 , 128)
13) y = x3
– 3x
ตอบ จุดต่าสุดคือ (1 , - 2)
จุดสูงสุดคือ (- 1 , 2)
14) y = 2x3
+ 3x2
– 12x – 7
ตอบ จุดต่าสุดคือ (1 ,-14)
จุดสูงสุดคือ ( - 2 , 13)
15) y = x3
+ x2
– 8x - 1
ตอบ จุดต่าสุดคือ (-2 , 11)
จุดสูงสุดคือ (
3
4
,
27
203
)
เฉลยแบบฝึกทักษะ1 คน 1 ข้อ ชุดที่ 2.1

6. 6
ให้ y = f(x) เป็นสมการของเส้นโค้ง ที่ผ่านจุด ( 2 , - 1 ) จงหา
สมการเส้นโค้ง ความชันของเส้นโค้ง สมการของเส้นสัมผัสโค้ง สมการของเส้นที่ตั้งฉาก
1. y = x2
+ x
2. y = x2
- x
3. y = x2
+ 2x
4. y = x2
- 2x
5. y = x2
+ 3x
6. y = x2
- 3x
7. y = x2
+ 5x
8. y = x2
- 5x
9. y = x2
+ 6x
10. y = x2
- 6x
5
3
6
2
7
1
9
-1
10
-2
y = 5x – 11
y = 3x – 7
y = 6x – 13
y = 2x – 5
y = 7x – 15
y = x – 3
y = 9x – 19
y = - x + 1
y = 10x – 21
y = -2x + 3
x + 5y + 3 = 0
x + 3y + 1 = 0
x + y + 4 = 0
x + 2y = 0
x + 7y + 5 = 0
x + y - 1 = 0
x + 9y + 7 = 0
x - y - 3 = 0
x + 10y + 8 = 0
x - 2y - 4 = 0
11. y = 2x2
+ x
12. y = 2x2
– x
13. y = 2x2
+ 3x
14. y = 2x2
– 3x
15. y = 2x2
+ 5x
16. y = 2x2
- 5x
17. y = 3x2
+ x
18. y = 3x2
- x
19. y = 3x2
+ 2x
20. y = 3x2
- 2x
9
7
11
5
13
3
13
11
14
10
y = 9x – 19
y = 7x – 15
y = 11x – 23
y = 5x – 11
y = 13x – 27
y = 3x – 7
y = 13x – 27
y = 11x – 23
y = 14x – 29
y = 10x –21
x + 9y + 7 = 0
x + 7y + 5 = 0
x + 11y + 9 = 0
x + 5y + 3 = 0
x + 13y + 11 = 0
x + 3y + 1 = 0
x +13y +11 = 0
x + 11y + 9 = 0
x + 14y + 12 = 0
x + 10y + 8 = 0
21. y = 3x2
+ 4x
22. y = 3x2
- 4x
23. y = 3x2
+ 5x
24. y = 3x2
- 5x
25. y = 4x2
+ x
26. y = 4x2
- x
27. y = 4x2
+ 2x
28. y = 4x2
- 2x
29. y = 4x2
+ 3x
30. y = 4x2
- 3x
16
8
17
7
17
15
18
14
19
13
y = 16x – 33
y = 8x – 17
y = 17x – 35
y = 7x – 15
y = 17x – 35
y = 15x – 31
y = 18x – 37
y = 14x – 29
y = 19x – 39
y = 13x – 27
x + 16y + 14 = 0
x + 8y + 6 = 0
x + 17y + 15 = 0
x + 7y + 5 = 0
x + 17y + 15 = 0
x + 15y + 13 = 0
x + 18y + 16 = 0
x - 14y + 12 = 0
x + 19y + 17 = 0
x + 13y + 11 = 0
เฉลยแบบฝึกทักษะ1 คน 1 ข้อ ชุดที่ 2.1

7. 7
ให้ y = f(x) เป็นสมการของเส้นโค้ง ที่ผ่านจุด ( 2 , - 1 ) จงหา
สมการเส้นโค้ง ความชันของเส้นโค้ง สมการของเส้นสัมผัสโค้ง สมการของเส้นที่ตั้งฉาก
31. y = x2
- 4x + 3
32. y = x2
+ 6x + 5
33. y = x2
- 6x + 5
34. y = x2
+ 6x + 8
35. y = x2
- 6x + 8
36. y = x2
+ 10 x + 9
37. y = x2
- 10x + 9
38. y = x2
+ 2x - 15
39. y = x2
- 2x - 15
40. y = x2
+ 4x - 24
41. y = 6x2
+ x
42. y = 6x2
- x
43. y = 6x2
+2x
44. y = 6x2
- 2x
45. y = x - x2
46. y = x - 2x2
47. y = x2
+ 5x - 2
48. y = x2
- 5x + 2
49. y = (2x - 1)2
50. y = (1 - 3x)2
21
11
21
19
22
18
23
17
24
16
25
23
26
22
- 3
- 7
9
- 1
12
18
y = 21x – 43
y = 11x – 23
y = 21x – 43
y = 19 x – 39
y = 22x – 45
y = 18x – 37
y = 23x – 47
y = 17x – 35
y = 24x – 49
y =16x – 33
y = 25x – 51
y = 23x – 47
y = 26x – 53
y = 22x – 45
y = - 3x + 5
y = - 7x + 13
y = 9x - 19
y = - x + 1
y = 12x - 25
y = 18x - 37
x + 21y + 19 = 0
x + 117y + 9 = 0
x + 21y + 19 = 0
x + 19y + 17 = 0
x + 22y + 20 = 0
x + 18y +16 = 0
x + 23y + 21 = 0
x + 17y + 15 = 0
x + 24y + 22 = 0
x +16y + 14 = 0
x + 25y + 23 = 0
x + 23y + 21 = 0
x + 26y + 24 = 0
x + 22y + 20 = 0
x - 3y - 5 = 0
x - 7y - 9 = 0
x + 9y + 7 = 0
y = x - 3
x + 12y + 10 = 0
x + 18y + 16 = 0
เฉลย แบบฝึกทักษะที่ 2.2
คาสั่ง ให้นักเรียนทาแบบฝึกทักษะเรียงตามเลขที่

8. 8
จงหาจุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดของฟังก์ชันต่อไปนี้
1. y = x2
+ 2x จุดต่าสุดคือ ( - 1 , 1 )
2. y = x2
- 2x จุดต่าสุดคือ ( 1 , - 1 )
3. y = x2
+ 4x จุดต่าสุดคือ ( - 2 , - 4 )
4. y = x2
- 4x จุดต่าสุดคือ ( 2 , - 4 )
5. y = x2
+ 6x จุดต่าสุดคือ ( - 3 , - 9 )
6. y = x2
- 6x จุดต่าสุดคือ ( 3 , - 9 )
7. y = x2
+ 8x จุดต่าสุดคือ ( - 4 , - 16 )
8. y = x2
- 8x จุดต่าสุดคือ ( 4 , - 16 )
9. y = x2
+ 10x จุดต่าสุดคือ ( - 5 , - 25 )
10. y = x2
- 10x จุดต่าสุดคือ ( 5 , - 25 )
11. y = 2x - x2
จุดสูงสุดคือ ( 1 , 1 )
12. y = 4x - x2
จุดสูงสุดคือ ( 2 , 4 )
13. y = 6x - x2
จุดสูงสุดคือ ( 3 , 9 )
14. y = 8x - x2
จุดสูงสุดคือ ( 4 , 16 )
15. y = 10x - x2
จุดสูงสุดคือ ( 5 , 25 )
16. y = x2
+ 2x + 1 จุดต่าสุดคือ ( - 1 , 0 )
17. y = x2
- 2x + 1 จุดต่าสุดคือ ( 1 , 0 )
18. y = x2
+ 4x + 4 จุดต่าสุดคือ ( - 2 , 0 )
19. y = x2
- 4x + 4 จุดต่าสุดคือ ( 2 , 0 )
20. y = x2
+ 6x + 9 จุดต่าสุดคือ ( - 3 , 0 )
21. y = x2
- 6x + 9 จุดต่าสุดคือ ( 3 , 0 )
22. y = x2
+ 8x + 16 จุดต่าสุดคือ ( - 4 , 0 )
23. y = x2
+ 8x + 16 จุดต่าสุดคือ ( 4 , 0 )
24. y = x2
+ 10x + 25 จุดต่าสุดคือ ( - 5 , 0 )
25. y = x2
- 10x + 25 จุดต่าสุดคือ ( 5 , 0 )
26. y = x2
+ 8x + 12 จุดต่าสุดคือ ( - 4 , - 4 )
27. y = x2
- 8x + 12 จุดต่าสุดคือ ( 4 , - 4 )
28. y = x2
+ 4x – 12 จุดต่าสุดคือ ( - 2 , - 16 )
29. y = x2
- 4x – 12 จุดต่าสุดคือ ( 2 , - 16 )
30. y = x2
+ 4x + 3 จุดต่าสุดคือ ( - 2 , - 1 )
31. y = x2
- 4x + 3 จุดต่าสุดคือ ( 2 , - 1 )
32. y = x2
+ 6x + 5 จุดต่าสุดคือ ( - 3 , - 4 )
33. y = x2
- 6x + 5 จุดต่าสุดคือ ( 3 , - 4 )
34. y = x2
+ 6x + 8 จุดต่าสุดคือ ( - 3 , - 1 )
35. y = x2
- 6x + 8 จุดต่าสุดคือ ( 3 , -1 )
36. y = x2
+ 10 x + 9 จุดต่าสุดคือ ( - 5 , - 16 )
37. y = x2
- 10x + 9 จุดต่าสุดคือ ( 5 , - 16)
38. y = x2
+ 2x – 15 จุดต่าสุดคือ ( - 1 , - 16 )
39. y = x2
- 2x – 15 จุดต่าสุดคือ ( 1 , - 16 )
40. y = x2
+ 4x - 24 จุดต่าสุดคือ ( - 2 , - 28 )
41. y = x2
- 4x - 24 จุดต่าสุดคือ ( 2 , - 28 )
42. y = x2
+ 6x - 16 จุดต่าสุดคือ ( - 3 , - 25 )
43. y = x2
- 6x - 16 จุดต่าสุดคือ ( 3 , - 25 )
44. y = x2
+ 10x - 24 จุดต่าสุดคือ ( - 5, - 49 )
45. y = x2
- 10 x - 24 จุดต่าสุดคือ ( 5 , - 49 )
46. y = 2x2
- 8 x - 3 จุดต่าสุดคือ ( 2 , - 5 )
47. y = - 3x2
- 12 x - 5 จุดสูงสุดคือ ( - 2 ,7 )
48. y = 12x - x2
จุดสูงสุดคือ ( 6 , - 36 )
49. y = x2
+ 8x + 7 จุดต่าสุดคือ ( - 4 , - 9 )
50. y = x2
- 8x + 7 จุดต่าสุดคือ ( 4 , - 9 )
เฉลยแบบฝึกหัดที่ 2.5
จงหาค่าต่าสุดสัมพัทธ์หรือค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้

9. 9
7) f(x) = x3
-27x
วิธีทา จาก f(x) = x3
-27x
f /
(x) = 3x² - 27
0 = 3(x² - 9)
0 = (x+3)(x-3)
ดังนั้นค่าวิกฤตของฟังก์ชันคือ - 3 และ 3
ตรวจสอบค่าวิกฤตโดยใช้อนุพันธ์อันดับที่ 2
f´´ (x) = 6x
f´´ (-3) = -18 < 0
f´´ (3) = 18 > 0
ดังนั้น f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x = -3
และค่าสูงสุดสัมพัทธ์คือ
f (-3) = (-3)² - 27(-3)
= -27+81 = 54
F มีค่าต่าสุดสัมพัทธ์ที่ x = 3 และค่าต่าสุดสัมพัทธ์คือ
f (3) = (3)² -27(-3)
= 27-81 = -54
8) f (x) = 12x - x³
วิธีทา จาก f (x) = 12x - x³
f´ (x) = 12 – 3x²
0 = 12 – 3x²
x2
= 4
x =  2
ดังนั้นค่าวิกฤตของฟังก์ชันคือ - 2 และ 2
ตรวจสอบค่าวิกฤตโดยใช้อนุพันธ์อันดับที่2
f´´ (x) = -6x
f´´ (2) = -12 < 0
f´´ (-2) = 12 > 0
ดังนั้น f มีค่าต่าสุดสัมพัทธ์ที่ x = -2
และต่าสุดสัมพัทธ์คือ
f(-2) =12 (-2)-(-2)³ = -16
และ f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x = 2
และค่าสูงสุดสัมพัทธ์คือ
f (2) = 12 (2) – (2)³ = 16
80
70
60
50
40
30
20
10
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
-90
-160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 20 40 60 80 100 120 140 160
f x  = x3-27x

10. 1030
25
20
15
10
5
-5
-10
-15
-20
-25
-30
-50 -40 -30 -20 -10 10 20 30 40 50
f x  = 12x-x3
9) f (x) = x3
- 3x2
- 9x + 1
วิธีทา จาก f (x) = x3
-3x2
-9x + 1
f /
(x) = 3x² - 6x – 9
= 3 (x² - 2x – 3)
= 3(x – 3) ( x + 1)
ถ้า f´(x) = 0 = 3( x – 3) ( x + 1) จะได้
x = 3 หรือ x = -1
ดังนั้นค่าวิกฤตของฟังก์ชันคือ 3 และ -1
ตรวจสอบค่าวิกฤตโดยใช้อนุพันธ์อันดับที่ 2
f´´ (x) = 6x -6 = 6 (x – 1)
f´´ (3) = 12 > 0
f´´ (-1) = -12 < 0
ดังนั้น f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x = -1 และ
ค่าสูงสุดสัมพันธ์ คือ
f (-1) = (-1)3
– 3(-1)2
– 9(-1) + 1
= -1 -3 +9 +1 = 6
f มีค่าต่าสุดสัมพันธ์ที่ x = 3
และค่าต่าสุดสัมพันธ์ คือ
f (3) = (3)3
– 3 (3)2
-9 (3) + 1
= 27 - 27 - 27 + 1 = - 26
ดังรูปข้างล่าง
10. f (x) = 2x3
– 9x2
+ 12x - 3
วิธีทา จาก f (x) = 2x3
-9x2
+ 12x -3
f /
(x) = 2x3
– 9x2
+ 12x – 3
= 6 ( x2 –
3x + 2 )
= 6 ( x -2 ) ( x – 1)
= 6 ( x – 2 ) ( x - 1 )
ถ้า f /
( x ) = 0 = 6 ( x -2 ) ( x – 1 )
จะได้ x = 2 หรือ x = 1 ดังนั้นค่าวิกฤตของ
ฟังก์ชัน คือ 2 และ 1
ตรวจสอบค่าวิกฤตโดยใช้อนุพันธ์อันดับที่ 2
f //
( x ) = 12x - 18 = 6 ( 2x - 3 )
f //
( 2 ) = 6 > 0
f //
( 1 ) = - 6 < 0
ดังนั้น f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x = 1 และ
ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ คือ
f ( 1 ) = 2 ( 1 )2
- 9 (1 )2
+ 12( 1 ) - 3
= 2 – 9 + 12 – 3 = 2
f มีค่าต่าสุดสัมพัทธ์ที่ x = 2 และ
ค่าต่าสุดสัมพัทธ์คือ
f(2) = 2(2)3
– 9(2)2
– 12(2) - 3
= 16 – 36 + 24 – 3 = 1

11. 1125
20
15
10
5
-5
-10
-15
-20
-25
-30
-35
-40
-60 -50 -40 -30 -20 -10 10 20 30 40 50 60
f x  = x3-3x2-9x +1
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-15 -10 -5 5 10 15
f x  = 2x3-9x2 +12x -3

12. 12
11. f(x) = (x - 2)3
วิธีทา จาก f(x) = (x - 2)3
f /
(x) = 3(x - 2)2
= 3(x - 2)(x - 2)
ถ้า f’(x) = 0 จะได้ x = 2
ตรวจสอบค่าวิกฤตโดยใช้อนุพันธ์อันดับที่ 2
f //
x) = 6x – 12
f //
(2) = 6(2) – 12 = 0 กรณีที่ 3 ถ้า f //
(c) = 0 ไม่สามารถสรุปได้
เนื่องจาก f //
(2) = 0 จะไม่สามารถสรุปได้ว่า f(2) จะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-15 -10 -5 5 10 15
f x  = x-2 3