1. T.KAINOY
ฟั งก์ ชัน(function)
ฟังก์ ชัน คือ ความสัมพันธ์ซ่ ึ งในสองคู่อนดับใดๆ ของความสัมพันธ์น้ น ถ้าสมาชิกตัวหน้าเหมือนกันแล้ว
ั
ั
สมาชิกตัวหลังต้องไม่ต่างกัน
ถ้า (x1,y1) ∈ r และ (x1,y2) ∈ r แล้ว y1= y2
หลักในการพิจารณาว่ าความสั มพันธ์ เป็ นฟังก์ ชันหรือไม่
่
1. ถ้าความสัมพันธ์น้ นอยูในรู ปแจกแจงสมาชิก ให้ดูวาสมาชิกตัวหน้าของคู่อนดับซํ้ากันหรื อไม่
ั ่
ั
ถ้าสมาชิกตัวหน้าของคู่อนดับซํ้ากัน แสดงว่าความสัมพันธ์น้ นไม่ เป็ นฟังก์ชน
ั
ั
ั
ตัวอย่ างที่ 1 ความสัมพันธ์ในข้อใดต่อไปนี้เป็ นฟังก์ชน
ั
r1 = {(0, 1),(1, 2),(1, 3),(2, 4)}
ั
ไม่เป็ นฟังก์ชน เพราะ 1 คู่กบทั้ง 2 และ 3
ั
r2 = {(0, 1),(1, 2),(3, 1),(2, 4)}
เป็ นฟังก์ชน เพราะไม่มีการใช้สมาชิกตัวหน้าซํ้าเลย(ห้ามใช้สมาชิกตัวหน้าซํ้า แต่ใช้สมาชิก
ั
ตัวหลังซํ้าได้)
2. ถ้าความสัมพันธ์น้ นอยูในรู ปของการกําหนดเงื่อนไขสมาชิก
ั ่
r = {(x,y) ∈ A× B | P(x,y) } ให้แทนค่าแต่ละสมาชิกของ x ลงในเงื่อนไข P(x,y) เพื่อหา
ค่า y ถ้ามี x ตัวใดที่ให้ค่า y มากกว่า 1 ค่า แสดงว่าความสัมพันธ์น้ นไม่ เป็ นฟังก์ชน
ั
ั
่
r3 = {(x, y) | y2 = x } ไม่เป็ นฟังก์ชน เพราะถ้าสมมติ x = 4 จะได้วา y = 2 หรื อ -2
ั
่
r4 = {(x, y) | y = x2 } เป็ นฟังก์ชน เพราะไม่วาจะแทน x ค่าใด ก็ได้ y เพียงค่าเดียว
ั

2. T.KAINOY
r5= {(x, y) | y = x } ไม่เป็ นฟังก์ชน เพราะว่า ถ้า x = 2 จะได้ y = 2, -2
ั
3. พิจารณาจากกราฟของความสัมพันธ์ โดยการลากเส้นตรงขนานกับแกน y ถ้าเส้นตรงดังกล่าวตัด
กราฟของความสัมพันธ์มากกว่า 1 จุด แสดงว่าความสัมพันธ์น้ นไม่ เป็ นฟังก์ชน
ั
ั
ความสัมพันธ์ r จะเป็ นฟังก์ชนก็ต่อเมื่อ ถ้า (x , y1) ∈ r และ (x , y2) ∈ r แล้ว y1 = y2
ั
ั
ตัวอย่ างที่ 2 จงตรวจสอบว่า r = {(x,y) ∈ R × R y2 = 4x +1 }เป็ นฟังก์ชนหรื อไม่
วิธีทา จาก y2 = 4x + 1
ํ
ให้ (x , y1) ∈ r จะได้ y12 = 4a + 1
….. (1)
ให้ (x , y2) ∈ r จะได้ y22= 4a + 1
….. (2)
จาก (1) และ (2) จะได้ y12 = y22
y1 = ± y 2
่
ั
ดังนั้นเราไม่สามารถสรุ ปได้วา y1 = y2 แสดงว่าความสัมพันธ์น้ ีไม่เป็ นฟังก์ชน
ตัวอย่ างที่ 3
จงตรวจสอบว่า r = {(x,y) ∈ R × R y =
วิธีทา จาก
ํ
y=
ให้ (x , y1) ∈ r จะได้
ั
x + 1 } เป็ นฟั งก์ชนหรื อไม่
x +1
y1 =
a +1
…..(1)
ให้ (x , y2) ∈ r จะได้ y2 =
a +1
…..(2)
จาก (1) และ (2) จะได้ y1 = y2
∴ความสัมพันธ์ดงกล่าวเป็ นฟังก์ชน
ั
ั

3. T.KAINOY
สั ญลักษณ์ของฟังก์ ชัน
นิยมใช้
y = f(x) หรื อ y = g(x) การเขียนฟังก์ชนนิยมเขียนเฉพาะส่ วนที่เป็ นเงื่อนไขของฟังก์ชน
ั
ั
f = {( x, y ) ∈ R × R y = 2 x + 5}
{
g = ( x, y ) ∈ R × R y = x 2
}
เขียนสั้นๆได้ในรู ป
y = 2x + 5
เขียนสั้นๆได้ในรู ป
หรื อ
f ( x) = 2 x + 5
y = x 2 หรื อ g ( x) = x 2
♥หมายเหตุ♥ เรี ยก f(x) ว่าค่าฟังก์ชน f ที่ x
ั
ตัวอย่ างที่ 4 ให้ f เป็ นฟังก์ชนโดยที่
ั
จงหา
f ( x) = 2 x 2 − 1
f(0) , f(2) และ f(-1)
วิธีทา จาก
ํ
f ( x) = 2 x 2 − 1
จะได้
f (0) = 2(0) 2 − 1
f (2) = 2(2) 2 − 1
จงหาค่า
วิธีทา
ํ
จาก
=7
f (−1) = 2(−1) 2 − 1
ตัวอย่ างที่ 5 กําหนดให้
= −1
=1
f (1) = 2
และ
2
f ( x)
เมื่อ x เป็ นจํานวนเต็มบวก
f (4)
f ( x + 1) = 1 +
ให้
f ( x + 1) = 1 +
x =1
จะได้
2
f ( x)
และ
f ( 2) = 1 +
f (1) = 2
2
2
= 1+ = 2
f (1)
2
x=2
จะได้
f (3) = 1 +
2
2
= 1+ = 2
f (2)
2
x=3
จะได้
f (4) = 1 +
2
2
= 1+ = 2
f (3)
2
ลักษณะของฟังก์ ชัน
1. ฟังก์ ชัน จาก A ไป B (f : A → B )
คือฟังก์ชนซึ่ง Df = A และ Rf ⊂ B
ั
ตัวอย่ างที่ 6
ให้ A = {1,2,3,4}
B = {3,6,7,8}
1. ถ้า f1 = { (1,3) , (2,6) , (3,7) , (4,8) }
จะพบว่า f1 เป็ นฟังก์ชน และ D f = { 1,2,3,4, } = A
ั
1
ั
∴ f1 เป็ นฟังก์ชนจาก A ไป B

4. T.KAINOY
2. ถ้า f2 = { (1,6) , (2,7) , (3,8) }
จะพบว่า f2 เป็ นฟังก์ชน และ D f = { 1,2,3 } ≠ A
ั
2
เราจะเรี ยกว่า f2 เป็ นฟังก์ชนเฉย ๆ แต่ถาจะเรี ยกว่าเป็ นฟังก์ชนจากไหนไปไหน
ั
้
ั
ต้องเรี ยกว่า f2 เป็ นฟังก์ชนจาก
ั
2. ฟังก์ ชันจาก A ไปทัวถึง B (f : A
่
D f 2 ไป B
onto B )
→

คือฟังก์ชนซึ่ง Df = A และ Rf = B
ั
3. ฟังก์ ชันแบบ 1 – 1 (One – to – one function )
ฟังก์ชน f จะเรี ยกว่า ฟังก์ชนแบบ 1-1 ก็ต่อเมื่อสมาชิกในเรนจ์แต่ละตัวมีความสัมพันธ์ กับ
ั
ั
่
สมาชิกในโดเมนเพียงตัวเดียวเท่านั้น หรื อกล่าวอีกนัยหนึ่งได้วา ไม่มีสมาชิกในโดเมน 2 สมาชิก หรื อ
ั
มากกว่าไปมีความสัมพันธ์กบสมาชิกในเรนจ์สมาชิกเดียวกัน และเพื่อความเข้าใจ ขอให้นกเรี ยนดูแผนภาพ
ั
ต่อไปนี้
ถ้า f เป็ นฟังก์ชนซึ่ งมีความสัมพันธ์ดงแผนภาพต่อไปนี้
ั
ั
A
1
f1
B
x
2
y
3
z
A
m
o
B
f2
x
y
n
เราเรี ยก f1 ว่า เป็ นฟังก์ชนแบบ 1-1
ั
ส่ วน f2 เรี ยกว่า เป็ นฟังก์ชนไม่ใช่แบบ 1-1 หรื ออาจจะเรี ยกอีกอย่างหนึ่งว่าเป็ นฟังก์ชนแบบ manyั
ั
to-one

5. T.KAINOY
การตรวจสอบว่ า f เป็ นฟังก์ ชันแบบ 1 – 1 หรือไม่
ลักษณะการตรวจสอบจะคล้ายคลึงกับการตรวจสอบว่าความสัมพันธ์เป็ นฟังก์ชนหรื อไม่ แต่
ั
กลับกัน
1. ถ้าเราสามารถเขียนกราฟของฟังก์ชนนั้นได้ เราจะใช้วธีการตรวจสอบโดยการลากเส้นขนาน
ั
ิ
กับแกน X ตัดกับกราฟของฟังก์ชนนั้น และถ้ามีเส้นที่ขนานกับแกน X เส้นใดเส้นหนึ่งตัดกับ
ั
กราฟเกิน 1 จุด ก็แสดงว่าฟังก์ชนนั้นเป็ นฟังก์ชน ไม่ใช่แบบ 1 – 1
ั
ั
่
2. ใช้วธีการคาดคะเน กล่าวคือ ใช้พิจารณาจากตัวแปร X ว่าอยูในรู ปกําลังที่เป็ นจํานวนเต็มคู่หรื อ
ิ
่
่
อยูในรู ปค่าสัมบูรณ์หรื อไม่ ถ้าอยูในลักษณะดังกล่าว ฟังก์ชนนั้นไม่ควรเป็ นฟังก์ชนแบบ 1-1
ั
ั
กล่าวคือควรจะเป็ นฟังก์ชนแบบ many – to – one
ั
่
3. ตรวจสอบโดยใช้หลักที่วา
ให้ (x1,y) ∈ f และ (x2,y) ∈ f ดังภาพ
่
ั
ั
ถ้าสามารถสรุ ปได้วา x1 = x2 ก็แสดงว่าฟังก์ชนดังกล่าวเป็ นฟังก์ชนแบบ 1-1
ตัวอย่ างที่ 7 กําหนดให้ f เป็ นฟังก์ชน โดยที่ f ={(x , y) ∈ R × R
ั
X +1
+
Y +1
=2}
จงพิจารณาว่า f เป็ นฟังก์ชนแบบ 1-1 หรื อไม่
ั
วิธีทา ให้ (x1,y) ∈ f และ (x2,y) ∈ f
ํ
่
∴ จะได้วา
+
y +1
=2
….. (1)
x2 + 1 +
y +1
=2
…...(2)
x1 + 1
และ
∴ (1)=(2) จะได้
x1 + 1
x1
=
x2 + 1
+1=
x2
=
x2
x1
+1
แสดงว่าฟังก์ชนดังกล่าวเป็ นฟังก์ชนแบบ 1-1
ั
ั
ั
ตัวอย่ างที่ 8 กําหนดให้ f = {(x , y) ∈ R × Ry = x2} จงตรวจสอบว่าฟังก์ชน f เป็ น 1-1 หรื อไม่
วิธีทา ให้ (x1,y) ∈ f และ (x2,y) ∈ f
ํ
y = x12
…….. (1)
c = x22
…….. (2)
∴ x12= x22 และได้ x1 = ± x2
่
ซึ่ งไม่าสามารถสรุ ปได้วา x1 = x2
ดังนั้น f เป็ นฟังก์ชนไม่ใช่แบบ 1-1
ั

6. T.KAINOY
ั
เมื่อเขียนกราฟของความสัมพันธ์ จะทําการตรวจสอบว่า y แต่ละตัว คู่กบ x เพียงตัวเดียวหรื อไม่
่
โดยลากเส้นแนวนอนและดูวาที่ y แต่ละค่า เส้นนี้ตดกราฟไม่เกินหนึ่งจุดหรื อไม่
ั
1−1
4. ฟังก์ ชันหนึ่งต่ อหนึ่งจาก A ไป B” ( f : A → B )
ั
คือฟังก์ชนที่ Df = A และ Rf ⊂ B และ “สําหรับ y แต่ละตัว จะคู่กบ x เพียงตัวเดียวด้วย”
ั
5.ฟังก์ ชันหนึ่งต่ อหนึ่งจาก A ไปทัวถึง B ( f : A
่
B)
ั
คือฟังก์ชนที่ Df = A และ Rf = B และ “สําหรับ y แต่ละตัว จะคู่กบ x เพียงตัวเดียวด้วย”
ั
บทสรุ ป
ถ้า f เป็ นฟังก์ชนจาก A ไป B ลักษณะของฟังก์ชน f สามารถแยกออกเป็ น 4 ชนิดคือ
ั
ั

7. T.KAINOY
ฟังก์ชันทีน่าสนใจ
่
1. ฟังก์ชนคงตัว (Constant Function)
ั
f (x) = a
(กราฟเส้นตรงแนวนอน)
เช่น f (x) = 2 , f (x) = -3 เป็ นต้น
2. ฟังก์ชนเชิงเส้น (Linear Function)
ั
f (x) = ax + b
(กราฟเส้นตรงเฉียงๆ)
เช่น f (x) = 5x+3 , f (x) = 4x เป็ นต้น
3. ฟังก์ชนกําลังสอง (Quadratic Function)
ั
f (x) = ax2+ bx + c (กราฟพาราโบลาหงายหรื อควํ่า)
เช่น f (x) = 3x2+ 2x + 1 , f (x) = 7x2- 4 เป็ นต้น
4. ฟังก์ชนพหุ นาม (Polynomial Function)
ั
f(x) = an x n + an−1 x n−1 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0
โดยที่ an , an−1 ,..., a2 , a1 , a0 เป็ นค่าคงตัว และ n เป็ นจํานวนเต็มที่มีค่ามากกว่าหรื อเท่ากับ
ศูนย์
เช่น
f(x) = 2x5+ 3x3 + 4x + 7
5. ฟังก์ชนตรรกยะ (Rational Function)
ั
f(x) =
𝑝𝑝(𝑥𝑥)
𝑞𝑞(𝑥𝑥)
เช่น f(x) =
เมื่อ p(x), q(x) เป็ นฟังก์ชนพหุนาม และ q(x) ≠ 0
ั
3x − 2
x 2 −1

8. T.KAINOY
6.ฟังก์ชนค่าสัมบูรณ์ (Absolute Value Function)
ั
f (x) = ax + b + c
เช่น f(x)
(กราฟรู ปตัววีหงายหรื อควํ่า )
= x
7.ฟังก์ชนขั้นบันได (step function) คือ ฟังก์ชนที่มีค่าคงตัวเป็ นช่วง ๆ
ั
ั
กราฟของฟังก์ชนนี้จะมีรูปร่ างคล้ายขั้นบันได
ั
8. ฟังก์ชนที่เป็ นคาบ (periodic function)
ั
f เป็ นฟังก์ชนที่เป็ นคาบ ก็ต่อเมื่อ มีจานวนจริ ง p ที่ทาให้ f(x+p) = f(x) สําหรับ ทุกค่าของ x และ x+p
ั
ํ
ํ
่
ที่อยูในโดเมนของ f