1. ชุดกิจกรรม ชุดที่ 4
เรื่อง การแก้โจทย์ปัญหาของค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิค
ชื่อ..............................................................
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 /….. เลขที่.................
โดย ครูรัศมี ธัญน้อม
ตาแหน่ง ครูชานาญการ
โรงเรียนพิชัย อาเภอพิชัย จังหวัดอุตรดิตถ์

2. ชุดกิจกรรมที่ 4 การแก้โจทย์ปัญหาของค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิค
จานวน 3 คาบ ประกอบด้วย
ใบความรู้ที่ 4.1 ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิคของข้อมูลไม่แจกแจงความถี่
ใบกิจกรรมที่ 4.1 แก้โจทย์ปัญหาค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิคของข้อมูล
ใบความรู้ที่ 4.2 สถานการณ์ ระยะทาง....นี้อีกยาวไกล
ใบกิจกรรมที่ 4.2 แก้โจทย์ปัญหาระยะทางนี้อีกยาวไกล
ใบความรู้ที่ 4.3 สถานการณ์ หนทาง....สู่ความสาเร็จ
ใบกิจกรรมที่ 4.3 แก้โจทย์ปัญหาหนทาง....สู่ความสาเร็จ
ใบความรู้ที่ 4.4 ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิคของข้อมูลแจกแจงความถี่
ใบกิจกรรมที่ 4.4 ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิคของข้อมูลแจกแจงความถี่
แบบทดสอบท้ายชุดกิจกรรม
จุดประสงค์
จุดประสงค์ประจาหน่วย
นักเรียนสามารถแก้โจทย์ปัญหาของค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกได้
จุดประสงค์การเรียนรู้
1. นักเรียนสามารถทาความเข้าใจปัญหาของค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกได้
2. นักเรียนสามารถวางแผนการแก้ปัญหาได้
3. นักเรียนสามารถดาเนินการแก้ปัญหาตามแผนได้
4. นักเรียนสามารถตรวจสอบคาตอบได้
ผลการเรียนรู้
1. สามารถหาค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกได้
2. สามารถแก้โจทย์ปัญหาของค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกได้

3. ใบความรู้ที่ 4.1
ชื่นชมความสาเร็จ ( ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก )
4.1 ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก ( harmonic mean )
ก. ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของข้อมูลไม่แจกแจงความถี่
เป็นค่ากลางที่เหมาะสมกับข้อมูลที่เป็นอัตราส่วน เช่น ระยะทางต่อเวลา
จานวนครั้งต่อเวลา
ถ้า X1 , X2 , X3 , . . . , XN เป็นข้อมูล N จานวนซึ่งเป็นจานวนบวกทุกจานวน
H.M. =
}
1
...
111
{
1
1
321 NXXXXN

=

N
i iX
N
1
1
ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของข้อมูล 2 , 4 , 8
วิธีทา ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก H.M. =

N
i iX
N
1
1
=
8
1
4
1
2
1
3

=
8
7
3
=
7
24
= 3.43

4. ใบกิจกรรมที่ 4.1
ชื่อ……………………………………...................ชั้น……………….เลขที่………….
ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก ( harmonic mean )
จงหาค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของข้อมูลต่อไปนี้
1. ข้อมูล 2 , 4 , 4 , 8 , 8
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….
2. ข้อมูล 4 , 4 , 6 , 6 , 6
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….
3. ข้อมูล 10 ,10 , 10 , 5 , 20 , 20 , 10 , 10
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….
4. ข้อมูล 4 , 4 , 4 , 4 , 6 , 6 , 8 , 8 , 12 , 12
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….
5. ข้อมูล 4 , 4 , 4 4 , 6 , 6 , 6 , 6 , 12 , 12
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….

5. ใบความรู้ที่ 4.2
ระยะทางนี้.......อีกยาวไกล
สถานการณ์
ตัวอย่างที่ 1 ชายคนหนึ่งขับรถจากเมือง ก ไปเมือง ข โดยวันที่หนึ่งขับรถด้วยความเร็ว
30 กิโลเมตร/ชั่วโมง วันที่สองขับด้วยความเร็ว 40 กิโลเมตร/ชั่วโมง วันที่สามขับด้วยความเร็ว
60 กิโลเมตร/ชั่วโมงโดยเฉลี่ยแล้วเขาขับรถด้วยความเร็วเท่าไร โดยใช้กระบวนการแก้ปัญหา
ของโพลยา
ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจกับปัญหา
1.1 สิ่งที่โจทย์กาหนดอะไรให้บ้าง (ความเร็วและจานวนวันที่ขับรถ)
1.2 สิ่งที่โจทย์ถามหาอะไร (ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก)
ขั้นที่ 2 วางแผนในการแก้ปัญหา
2.1 โจทย์ให้หาค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก
2.2 ใช้สูตรค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก H.M. =

N
i iX
N
1
1
ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน
หาคาตอบจากสูตรในข้อ 2.2
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผลที่ได้
N = H.M. 
N
i ix1
1
วิธีทา ข้อมูลชุดนี้กาหนดให้อยู่ในรูประยะทางต่อเวลาหรือความเร็ว คือ 30 , 40 , 60
เราต้องพิจารณาผลงานต่อหนึ่งหน่วยเวลา ค่าเฉลี่ยที่เหมาะสมคือ ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก
ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก H.M. =

N
i iX
N
1
1
=
60
1
40
1
30
1
3

=
120
9
3
=
9
120
3 = 40
ดังนั้นโดยเฉลี่ยแล้วเขาขับรถด้วยความเร็ว 40 กิโลเมตร/ชั่วโมง

6. ใบกิจกรรมที่ 4.2
ระยะทางนี้.......อีกยาวไกล
ชื่อ……………………………………...................ชั้น……………….เลขที่………….
1. ชายคนหนึ่งขับรถจากเมือง ก ไปเมือง ข โดยวันที่หนึ่งขับรถด้วยความเร็ว 40 กิโลเมตร/ชั่วโมง
วันที่สองขับด้วยความเร็ว 60 กิโลเมตร/ชั่วโมง วันที่สามขับด้วยความเร็ว 60 กิโลเมตร/ชั่วโมง
โดยเฉลี่ยแล้วเขาขับรถด้วยความเร็วเท่าไร โดยใช้กระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา
ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจกับปัญหา
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
ขั้นที่ 2 วางแผนในการแก้ปัญหา
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผลที่ได้
……………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

7. ใบความรู้ที่ 4.3
หนทาง,,,,,สู่ความสาเร็จ
ตัวอย่างที่ 2 ในโรงงานแห่งหนึ่งนาย ก ทางานหนึ่งหน่วยแล้วเสร็จในเวลา 2 นาที นาย ข นาย ค
นาย ง และนาย จ ทางานหน่วยเดียวกันนี้เสร็จใน 3 , 4 , 6 และ 12 นาทีตามลาดับ จงหาค่าเฉลี่ยของ
อัตราการทางานของคนทั้ง 5 คน และจงหาว่า ใน 5 ชั่วโมง ทั้ง 5 คน จะทางานได้รวมกันทั้งหมดกี่
หน่วย
ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจกับปัญหา
1.1 สิ่งที่โจทย์กาหนดอะไรให้บ้าง (เวลาที่ใช้ทางานหนึ่งหน่วยและจานวนคนที่ทางาน)
1.2 สิ่งที่โจทย์ถามหาอะไร (ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก)
ขั้นที่ 2 วางแผนในการแก้ปัญหา
2.1 โจทย์ให้หาค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก
2.2 ใช้สูตรค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก H.M. =

N
i iX
N
1
1
ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน
แสดงวิธีการหาคาตอบจากสูตรในข้อ 2.2
วิธีทา ข้อมูลชุดนี้กาหนดให้อยู่ในรูปเวลาที่ใช้ต่องานหนึ่งหน่วย คือ 2 , 3 , 4 , 6 , 12
เราต้องพิจารณาผลงานต่อหนึ่งหน่วยเวลา ค่าเฉลี่ยที่เหมาะสมคือ ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก
ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก H.M. =

N
i iX
N
1
1
=
12
1
6
1
4
1
3
1
2
1
5

=
3
4
5
=
4
15
=
4
3
3
ดังนั้น อัตราการทางานเฉลี่ยของคนทั้ง 5 คน คือ
4
3
3 นาทีต่อหนึ่งหน่วย
ใน 5 ชั่วโมง หรือ 300 นาที คนทั้ง 5 คน จะทางานได้
4
15
3005
= 400 หน่วย
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผลที่ได้ N = H.M. 
N
i ix1
1

8. 5 =
3
4
4
15

ใบกิจกรรมที่ 4.3
ชื่นชม....ความสาเร็จ
2. ในโรงงานแห่งหนึ่งนาย ก ทางานหนึ่งหน่วยแล้วเสร็จในเวลา 4 นาที นาย ข นาย ค และนาย ง
ทางานหน่วยเดียวกันนี้เสร็จใน 6 , 8 และ 12 นาทีตามลาดับ จงหาค่าเฉลี่ยของอัตราการทางานของ
คนทั้ง 4 คน และจงหาว่า ใน 5 ชั่วโมง ทั้ง 4 คน จะทางานได้รวมกันทั้งหมดกี่หน่วย
โดยใช้กระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา
ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจกับปัญหา
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
ขั้นที่ 2 วางแผนในการแก้ปัญหา
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผลที่ได้
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

9. ใบความรู้ที่4.4
4.5 ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของข้อมูลแจกแจงความถี่
ในกรณีที่ XI มีความถี่ fI และ 
k
i
if
1
= N
H.M. =
}
1
...
111
{
1
1
3
3
2
2
1
1
k
k
X
f
X
f
X
f
X
f
N

=

k
i i
i
X
f
N
1
ตัวอย่างที่ 4.5 ข้อมูลต่อไปนี้เป็นคะแนนสอบกลางภาควิชาคณิตศาสตร์รอบรู้ 5
ซึ่งมีคะแนนเต็ม 20 คะแนน ของนักเรียน 20 คน ดังนี้
คะแนน 1 – 5 6 – 10 11- 15 16 – 20
ความถี่(f) 4 5 8 3
จงหาค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก โดยใช้กระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา
วิธีทา ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจกับปัญหา
1.1 สิ่งที่โจทย์กาหนด คะแนนและความถี่
1.2 สิ่งที่โจทย์ถามหาอะไร จงหาค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก
ขั้นที่ 2 วางแผนในการแก้ปัญหา
2.1 สร้างตารางแจกแจงความถี่
2.2 กาหนดตัวแปร x แทนจุดกึ่งกลางชั้น และ f แทนความถี่
ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน
3. 1 สร้างตารางแจกแจงความถี่ หาจุดกึ่งกลางชั้น(x) และหา
x
f
3.2 แสดงวิธีการคานวณคาตอบ ใช้สูตร ตารางที่ 4.5ก
คะแนน ความถี่ (f) จุดกึ่งกลางชั้น (x)
x
f
1 – 5 4 3
3
4
= 1.33
6 – 10 5 8
8
5
= 0.63
11- 15 8 13
13
8
= 0.62
16 - 20 3 18
18
3
= 0.17

10. รวม 20 - 
20
1i x
f
= 2.75
ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก ( H.M.) =

k
i i
i
X
f
N
1
=
75.2
20
= 7.27
ดังนั้นค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของคะแนนสอบเท่ากับ 7.27 คะแนน
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผลที่ได้
4.1 เขียนคาตอบที่โจทย์ถาม ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของคะแนนสอบเท่ากับ 7.27 คะแนน
4.2 แสดงวิธีการตรวจผลของคาตอบ
N = H.M. 
20
1i x
f
20 = 7.27 
4
11
= 19.99  20

11. ใบกิจกรรมที่ 4.4
ชื่อ……………………………………...................ชั้น……………….เลขที่………….
ข. ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของข้อมูลแจกแจงความถี่
ตารางแจกแจงความถี่แสดงคะแนนสอบปลายภาควิชาคณิตศาสตร์รอบรู้ 5 ของนักเรียน
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 จานวน 50 คน ดังนี้
คะแนน 10 - 14 15 - 19 20 - 24 25 - 29 30 - 34 35 -39
จานวน(คน) 3 7 10 14 9 7
จง หาค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก โดยใช้กระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา
คะแนน ความถี่ (f) จุดกึ่งกลางชั้น (x)
x
f
10 - 14 3
15 – 19 7
20 – 24 10
25 – 29 14
30 – 34 9
35 - 39 7
รวม 50
ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจกับปัญหา
ขั้นที่ 2 วางแผนในการแก้ปัญหา
ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผลที่ได้

12. แบบทดสอบท้ายชุดกิจกรรม ชุดที่ 4 เรื่อง ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก
วิชาคณิตศาสตร์รอบรู้ 5 ( ค43201 ) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แผนการเรียนวิทย์-คณิต
จุดประสงค์ที่ 4 หาค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของข้อมูลได้
1. จงหาค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิคของข้อมูล 4 , 6
ก. 2.4 ข. 4.8
ค. 5 ง.
5
2
2
2. จงหาค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิคของข้อมูล 4 , 6 , 12
ก. 0.5 ข. 1.5
ค. 3 ง. 6
3. จงหาค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิคของข้อมูล 2 , 2 , 4 , 4
ก.
2
3
ข.
3
2
ค.
3
2
1 ง.
3
2
2
4. จงหาค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิคของข้อมูล 2 , 3 , 4, 6
ก.
5
1
3 ข.
5
2
3
ค.
5
4
3 ง. 5
5. จงหาค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิคของข้อมูล 2 , 3 , 4 , 6 , 12
ก. 3.75 ข. 5.5
ค.
3
2
3 ง.
3
2
6
6. ชายคนหนึ่งขับรถจากเมือง ก ไปเมือง ข โดย
วันที่หนึ่งขับรถด้วยความเร็ว 40 กิโลเมตร/ชั่วโมง
วันที่สองขับด้วยความเร็ว 60 กิโลเมตร/ชั่วโมง
โดยเฉลี่ยแล้วเขาขับรถด้วยความเร็วเท่าไร
ก. 45 ข. 48
ค. 50 ง. 55
7. ชายคนหนึ่งขับรถจากเมือง ก ไปเมือง ข โดย
วันที่หนึ่งขับรถด้วยความเร็ว 40 กิโลเมตร/ชั่วโมง
วันที่สองขับด้วยความเร็ว 40 กิโลเมตร/ชั่วโมง
วันที่สามขับด้วยความเร็ว 60 กิโลเมตร/ชั่วโมง
โดยเฉลี่ยแล้วเขาขับรถด้วยความเร็วเท่าไร
ก. 45 ข. 48
ค. 50 ง. 55
8. นาย ก ทางานหนึ่งหน่วยใช้เวลา 3 นาที
นาย ข ทางานอย่างเดียวกันใช้เวลา 4 นาที
นาย ค ทางานอย่างเดียวกันใช้เวลา 12 นาที
จงหาอัตราเฉลี่ยการทางานคนทั้ง 3 คน
ก. 2.5 ข. 3.5
ค. 4.5 ง. 5.5
9. รถไฟขบวนหนึ่ง แล่นได้ระยะทาง 180 , 120
และ 120 กิโลเมตร ด้วยอัตราเร็ว 60 , 40 และ 60
ตามลาดับ รถไปขบวนนี้แล่นด้วยอัตราเร็วเฉลี่ย
เท่าไร
ก. 45 ข. 50
ค. 52.5 ง. 53.3
10. ในการทางานอย่างหนึ่งต้องใช้น้ามันดีเซล
40 ลิตร น้ามันเบนซิน 30 ลิตร น้ามันก๊าด 30 ลิตร
ถ้าน้ามันดีเซล น้ามันเบนซินและน้ามันก๊าดราคา
ลิตรละ 20 , 30 และ 15 บาท ตามลาดับ
จงหาค่าเฉลี่ยของการใช้น้ามันทั้งสามชนิด
ก. 15 ข. 20
ค. 25 ง. 30

13. เกณฑ์การประเมิน หรือแนวทางการให้คะแนน
สาหรับการวิจัยในครั้งนี้ จะใช้เกณฑ์การประเมินการแก้ปัญหาของโพลยา
ที่พัฒนาปรับปรุงมาจากแนวทางของกรมวิชาการ (2544) ดังนี้
เกณฑ์การให้คะแนนกระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา (10 คะแนน)
ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจกับปัญหา ( 2 คะแนน )
ขั้นที่ 2 วางแผนในการแก้ปัญหา ( 2 คะแนน )
ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน ( 4 คะแนน )
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบคาตอบ ( 2 คะแนน )
รายละเอียดของการให้คะแนน
ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจกับปัญหา
ให้ 0 คะแนน ถ้าเข้าใจผิดพลาด
ให้ 1 คะแนน ถ้ามีบางส่วนเข้าใจผิดพลาด แต่มีบางส่วนเข้าใจถูกต้อง
ให้ 2 คะแนน ถ้าเข้าใจปัญหาอย่างถูกต้อง
ขั้นที่ 2 วางแผนในการแก้ปัญหา
ให้ 0 คะแนน ถ้าไม่มีการวางแผนในการแก้ปัญหาหรือมีแผนการแก้ปัญหาไม่
เหมาะสม
ให้ 1 คะแนน ถ้ามีแผนการแก้ปัญหาที่ถูกต้องบางส่วนแต่มีบางส่วนไม่ถูกต้อง
ให้ 2 คะแนน ถ้ามีแผนการแก้ปัญหาที่สามารถนาไปใช้แก้ปัญหาได้อย่าง
เหมาะสม
ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน
ให้ 0 คะแนน ถ้าไม่มีคาตอบหรือคาตอบผิด
ให้ 1 คะแนน ใช้วิธีการแก้ปัญหาบางส่วนถูกต้อง ข้อมูลบางส่วนผิดพลาด
จึงทาให้การคานวณผิดพลาด คาตอบผิด
ให้ 2 คะแนน ใช้วิธีการแก้ปัญหาถูกต้อง ข้อมูลบางส่วนผิดพลาด
จึงทาให้การคานวณผิดพลาด แต่มีบางส่วนคานวณถูกต้อง
ให้ 3 คะแนน ใช้วิธีการแก้ปัญหาถูกต้อง ข้อมูลบางส่วนผิดพลาด ส่วนใหญ่
คานวณถูกต้อง ได้คาตอบถูกต้อง
ให้ 4 คะแนน ใช้ยุทธวิธีการแก้ปัญหาสาเร็จอย่างมีประสิทธิภาพ
ได้คาตอบถูกต้อง
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบ

14. ให้ 0 คะแนน ไม่ตรวจสอบคาตอบ หรือคาตอบไม่ตรงกับที่คานวณได้
ให้ 1 คะแนน ตรวจสอบคาตอบ และมีค่าใกล้เคียงกับที่คานวณได้
ให้ 2 คะแนน ตรวจสอบคาตอบ และตรงกับที่คานวณได้
สรุปผลการประเมินกระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา
ระดับคุณภาพ ดีมาก ได้คะแนน 8 - 10
ระดับคุณภาพ ดี ได้คะแนน 6 - 7
ระดับคุณภาพ พอใช้ ได้คะแนน 3 - 5
ระดับคุณภาพ ปรับปรุงได้คะแนน 1 – 2
เกณฑ์การประเมินด้านคุณลักษณะ
มีความรับผิดชอบ
4 หมายถึง ส่งงานก่อนกาหนด รับผิดชอบงานที่ได้รับมอบหมายและปฏิบัติเองจน
เป็นนิสัย เป็นระบบ ช่วยเหลือผู้อื่นและแนะนาชักชวนผู้อื่นปฏิบัติ
3 หมายถึง ส่งงานตรงตามกาหนด รับผิดชอบงานที่ได้รับมอบหมายและปฏิบัติเอง
จนเป็นนิสัย เป็นระบบ ช่วยเหลือผู้อื่นและแนะนาชักชวนผู้อื่นปฏิบัติ
2 หมายถึง ส่งงานตรงตามกาหนดรับผิดชอบงานที่ได้รับมอบหมายและปฏิบัติเองจน
เป็นนิสัย เป็นระบบ
1 หมายถึง ส่งงานล่าช้ากว่ากาหนด รับผิดชอบงานที่ได้รับมอบหมายและปฏิบัติเอง
ได้บางส่วนต้องคอยแนะนา ตักเตือน
ความมีระเบียบ
4 หมายถึง ชิ้นงานสะอาดเรียบร้อยปฏิบัติงานอยู่ในข้อตกลงที่กาหนดร่วมกันทุกครั้ง
3 หมายถึง ชิ้นงานส่วนใหญ่สะอาดเรียบร้อยปฏิบัติงานอยู่ในข้อตกลงที่กาหนด
ร่วมกันเป็นส่วนใหญ่
2 หมายถึง ชิ้นงานไม่ค่อยเรียบร้อยปฏิบัติงานอยู่ในข้อตกลงที่กาหนดร่วมกัน
บางครั้ง
1 หมายถึง ชิ้นงานไม่เรียบร้อยปฏิบัติงานอยู่ในข้อตกลงที่กาหนดร่วมกันโดยอาศัย
การแนะนา

15. มีความรอบคอบ
4 หมายถึง มีความรอบคอบในการแก้ปัญหาทาให้ได้คาตอบที่ถูกต้อง
3 หมายถึง มีความรอบคอบในการแก้ปัญหาแต่ได้คาตอบผิดเล็กน้อย
2 หมายถึง มีความรอบคอบในการแก้ปัญหาปานกลางแต่ได้คาตอบผิดพลาดเล็กน้อย
1 หมายถึง มีความรอบคอบในการแก้ปัญหาเล็กน้อยได้คาตอบไม่ถูกต้อง
การให้เหตุผล
4 หมายถึง มีการอ้างอิง เสนอแนวคิดประกอบการตัดสินใจอย่างสมเหตุสมผล
3 หมายถึง มีการอ้างอิงถูกต้องบางส่วนและเสนอแนวคิดประกอบการตัดสินใจ
2 หมายถึง เสนอแนวคิดไม่สมเหตุสมผลในการประกอบการตัดสินใจ
1 หมายถึง มีความพยายามเสนอแนวคิดประกอบการตัดสินใจ
สรุปผลการประเมินด้านคุณลักษณะ
ระดับคุณภาพ ดีมาก ได้คะแนน 13 - 16
ระดับคุณภาพ ดี ได้คะแนน 9 - 12
ระดับคุณภาพ พอใช้ ได้คะแนน 5 - 8
ระดับคุณภาพ ปรับปรุงได้คะแนน 1 - 4
เกณฑ์การประเมินของคะแนนกลุ่ม
การวางแผนการทางาน
4 หมายถึง มีการวางแผนการทางานทุกขั้นตอน มีข้อเสนอที่เป็นประโยชน์ใน
การวางแผนงานดีมาก
3 หมายถึง มีการวางแผนการทางานเกือบครบทุกขั้นตอน มีข้อเสนอที่เป็น
ประโยชน์ในการวางแผนงานดี
2 หมายถึง มีการวางแผนการทางานบ้าง มีข้อเสนอที่เป็นประโยชน์ใน
การวางแผนงานดีพอสมควร
1 หมายถึง มีการวางแผนการทางานน้อยมาก หรือไม่มีข้อเสนอแนะที่เป็น
ประโยชน์ใน การวางแผนงาน
แสดงความคิดเห็นอย่างมีเหตุผล
4 หมายถึง ใช้เหตุผลในการแสดงความคิดเห็นได้ดีมาก และมุ่งประโยชน์เพื่อ
พัฒนาคุณภาพงานเป็นสาคัญ
3 หมายถึง ใช้เหตุผลในการแสดงความคิดเห็นได้ดี
2 หมายถึง ใช้เหตุผลในการแสดงความคิดเห็นได้บ้างพอสมควร

16. 1 หมายถึง ใช้ความรู้สึกส่วนตัวในการแสดงความคิดเห็นมากกว่าใช้เหตุผล
ยอมรับข้อสรุปและผลงานของกลุ่ม
4 หมายถึง สมาชิกทุกคนมีส่วนร่วมในการสรุป ยอมรับข้อสรุปของกลุ่ม
ร่วมรับผิดชอบ ปรับปรุง แก้ไขงานของกลุ่มทั้งหมดด้วยความเต็มใจ
3 หมายถึง สมาชิกทุกคนมีส่วนร่วมในการสรุป ยอมรับข้อสรุปของกลุ่ม
ร่วมรับผิดชอบ ปรับปรุง แก้ไขงานส่วนใหญ่ของกลุ่ม
2 หมายถึง สมาชิกบางคนไม่มีส่วนร่วมในการสรุป แต่ยอมรับข้อสรุปของกลุ่ม
ร่วมรับผิดชอบ และปรับปรุง แก้ไขงานของกลุ่มพอสมควร
1 หมายถึง สมาชิกส่วนใหญ่จะไม่มีส่วนร่วมในการสรุป แต่ยอมรับข้อสรุปของกลุ่ม
ร่วมรับผิดชอบ และปรับปรุง แก้ไขงานของกลุ่มเพียงเล็กน้อย
ความสามัคคี
4 หมายถึง ให้ความร่วมมือช่วยเหลือกันในการทางานอย่างสม่าเสมอ
3 หมายถึง ให้ความร่วมมือช่วยเหลือกันในการทางานพอสมควร
2 หมายถึง ให้ความร่วมมือช่วยเหลือกันในการทางานเป็นบางขั้นตอน
1 หมายถึง ไมค่อยให้ความร่วมมือไม่ช่วยเหลือกันในการทางาน
ทักษะการแก้ปัญหา
4 หมายถึง ถ้านักเรียนแก้ปัญหาผิดพลาดเล็กน้อย และความผิดพลาดไม่ส่งผล
กระทบต่อข้อมูลอื่นๆ นักเรียนแก้ปัญหาได้ถูกต้องสมบูรณ์ได้คาตอบถูกต้อง
3 หมายถึง ถ้ามีเครื่องมือที่จะนาไปใช้แก้ปัญหา สามารถแสดงวิธีการแก้ปัญหาได้
ถูกต้องแต่เข้าใจผิดพลาดในบางส่วนจึงทาให้คาตอบผิด มียุทธวิธีในการแก้ปัญหาอย่างเหมาะสมแต่
คาตอบผิดโดยไม่ปรากฏเหตุผล หรือมีคาตอบบางส่วนถูกต้อง แสดงวิธีการแก้ปัญหาถูกต้อง
เลือกยุทธวิธีแก้ปัญหาได้ถูกต้องแต่การแก้ปัญหาไม่สมบูรณ์
2 หมายถึง ถ้าแสดงยุทธวิธีการแก้ปัญหาได้ถูกต้องแต่การคานวณผิดพลาด
และมีร่องรอยปรากฏว่ามีความเข้าใจในปัญหา แต่ไม่ได้แสดงการแก้ปัญหาเพียงพอที่จะค้นพบ
คาตอบได้หรือใช้วิธีการคานวณผิดพลาดในบางส่วนจึงทาให้คาตอบผิด นักเรียนค้นพบคาตอบของ
ปัญหาย่อยแสดงวิธีทาได้ถูกต้องแต่กระบวนการทางานไม่ถูกต้องหรือไม้ได้แสดงให้เห็น
กระบวนการทางาน
1 หมายถึง ถ้ามีร่อยรอยปรากฏว่าพบวิธีการแก้ปัญหาที่ถูกต้องและคัดลอกข้อมูลที่
จาเป็นในการแก้ปัญหาแสดงให้เห็นว่ามีความเข้าใจในปัญหา มีร่องรอยการแสดงยุทธวิธีในการ
อย่างเหมาะสมแต่ทาไม่สาเร็จ

17. สรุปผลการประเมิน
ระดับคุณภาพ ดีมาก ได้คะแนน 16 - 20
ระดับคุณภาพ ดี ได้คะแนน 11 - 15
ระดับคุณภาพ พอใช้ ได้คะแนน 6 - 10
ระดับคุณภาพ ปรับปรุงได้คะแนน 1 – 5
แบบสังเกตคุณลักษณะ
เลขที่
รายการประเมิน
รวมความรับผิดชอบ
4
ความมีระเบียบ
4
ความรอบคอบ
4
การให้เหตุผล
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
ผู้ประเมิน ตนเอง
ผู้เรียนกลุ่มที่....................................................
ผู้สอน..............................................................
….............../.............../.................

18. แบบประเมินการทางานกลุ่ม
กลุ่มที่
รายการประเมิน
รวม
20
การวางแผนการ
ทางาน
4
แสดงความคิด
อย่างมีเหตุผล
4
ยอมรับข้อสรุป
ผลงานของกลุ่ม
4
ความสามัคคี
4
ทักษะการ
แก้ปัญหา
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ผู้ประเมิน ตนเอง
ผู้เรียนกลุ่มที่....................................................
ผู้สอน..............................................................
….............../.............../.................

19. บรรณานุกรม
กรมวิชาการ. (2544 ). การแก้ปัญหาคณิตศาสตร์. กรุงเทพมหานคร : คุรุสภาลาดพร้าว.
. (2544 ). หลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐานพุทธศักราช 2544 . กรุงเทพมหานคร :
คุรุสภาลาดพร้าว.
. (2545 ). คู่มือการจัดการเรียนรู้กลุ่มสาระคณิตศาสตร์ . กรุงเทพมหานคร :
คุรุสภาลาดพร้าว.
ฉวีวรรณ เศวตมาลย์. (2545). ชุดปฏิรูปการเรียนรู้หลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช
2544 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ช่วงชั้นที่ 4 ( ม.4 - 6) เล่ม 3 สาระที่ 5
การวิเคราะห์ข้อมูลและความน่าจะเป็น. กรุงเทพมหานคร: สานักพิมพ์ประสานมิตร.
ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบัน. (2547). คู่มือครูสาระการเรียนรู้
เพิ่มเติมคณิตศาสตร์เล่ม 1 กลุ่มสาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2544. กรุงเทพมหานคร:
คุรุสภา ลาดพร้าว.
. (2550). หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้เพิ่มเติม คณิตศาสตร์เล่ม 1 กลุ่มสาระการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน
พุทธศักราช 2544. กรุงเทพมหานคร : คุรุสภา ลาดพร้าว.
ค่ากลางของข้อมูล. http://www.chanupatham.ac.th/math/pensri/Unit4_02.htm : [ออนไลน์]
24 มีนาคม 2553

20. เฉลยใบกิจกรรมที่ 4.1
ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก ( harmonic mean )
ก. ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของข้อมูลไม่แจกแจงความถี่
จง หาค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกและเติมคาตอบลงในตารางต่อไปนี้
ข้อมูล
ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก
1. 2 , 4 , 4 , 8 , 8
8
10
5
= 4
2. 4 , 4 , 6 , 6 , 6
12
12
5
= 5
3. 10 ,10 , 10 , 5 , 20 , 20 , 10 , 10
20
16
8
= 10
4. 4 , 4 , 4 , 4 , 6 , 6 , 8 , 8 , 12 , 12
24
42
10
=
7
40
=
7
5
5
5. 4 , 4 , 4 4 , 6 , 6 , 6 , 6 , 12 , 12
12
22
10
=
11
60
=
11
5
5
H.M. =
}
1
...
111
{
1
1
321 NXXXXN

=

N
i iX
N
1
1

21. เฉลยใบกิจกรรมที่ 4.2 ระยะทางนี้.......อีกยาวไกล
วิธีทา ข้อมูลชุดนี้กาหนดให้อยู่ในรูประยะทางต่อเวลาหรือความเร็ว คือ 40 , 60 , 60
เราต้องพิจารณาผลงานต่อหนึ่งหน่วยเวลา ค่าเฉลี่ยที่เหมาะสมคือ ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก
ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก H.M. =

N
i iX
N
1
1
=
60
1
60
1
40
1
3

=
120
7
3
=
7
120
3 =
7
3
51
ดังนั้นโดยเฉลี่ยแล้วเขาขับรถด้วยความเร็ว
7
3
51 กิโลเมตร/ชั่วโมง
เฉลยใบกิจกรรมที่ 4. 3 หนทาง,,,,,สู่ความสาเร็จ
วิธีทา ข้อมูลชุดนี้กาหนดให้อยู่ในรูปเวลาที่ใช้ต่องานหนึ่งหน่วย คือ 4 , 6 , 8 , 12
เราต้องพิจารณาผลงานต่อหนึ่งหน่วยเวลา ค่าเฉลี่ยที่เหมาะสมคือ ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก
ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก H.M. =

N
i iX
N
1
1
=
12
1
8
1
6
1
4
1
4

=
24
15
4
=
15
24
4x =
3
32
=
3
2
10
ดังนั้น อัตราการทางานเฉลี่ยของคนทั้ง 4 คน คือ
3
2
10 นาทีต่อหนึ่งหน่วย
ใน 5 ชั่วโมง หรือ 300 นาที คนทั้ง 4 คน จะทางานได้
3
32
3004x
= 112.50 หน่วย

22. เฉลยใบกิจกรรมที่ 4.4
ตารางที่ 4.4 ข ค่าเฉลี่ยฉาร์มอนิก
คะแนน ความถี่ (f) จุดกึ่งกลางชั้น (x)
x
f
10 - 14 3 12 0.25
15 – 19 7 17 0.41
20 – 24 10 22 0.45
25 – 29 14 27 0.52
30 – 34 9 32 0.28
35 - 39 7 37 0.19
รวม 50  x
f
= 2.1
H.M. =

k
i i
i
X
f
N
1
=
1.2
50
= 23.81
เฉลยแบบทดสอบท้ายชุดกิจกรรม
ชุดที่ 4 ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิค
1. ข 6. ก
2. ง 7. ก
3. ง 8. ค
4. ก 9. ค
5. ก 10. ข