ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม

1. 1แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
แบบฝึ กทักษะเรื่อง แคลคูลัสเบื้องต้น
รายวิชา ค 33201 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 5
ชั้นมัธยมศึกษาปี ที่ 6
ภาคเรียนที่ 1 ปี การศึกษา 2559
ผู้สอน
นางสาวชัชชญา กลั่นบุศย์
โรงเรียนเฉลิมพระเกียรติสมเด็จพระศรีนครินทร์
กาญจนบุรี

2. 2แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
ใบความรู้
เรื่อง ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน
1. ลิมิตของฟังก์ชัน
หลักการ
ให้ f(x) เป็นฟังก์ชัน และ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
1. lim ( ) lim ( ) 
 
 
x a x a
f x f x L แล้ว lim ( )


x a
f x L มีลิมิตที่ a
( ลิมิตเข้ำทำงซ้ำย เท่ำกับ ลิมิตเข้ำทำงขวำ)
2. lim ( ) lim ( ) 
 

x a x a
f x f x แสดงว่ำ f(x) ไม่มีลิมิตที่ a
ตัวอย่างที่ 1 ให้ f(x) = 4x – 3 จงหำ
2 2
lim ( ) , lim ( )
x x
f x f x 
 
วิธีทำ  2 2
lim ( ) lim 4 3 4(2) 3 8 3 5
x x
f x x 
 
      
 2 2
lim ( ) lim 4 3 4(2) 3 5
x x
f x x 
 
    
ตัวอย่างที่ 2 ให้ f(x) = | x-3 | จงหำ (1)
3 3
lim ( ) , lim ( )
x x
f x f x 
 
(2)
3 3
lim ( ) , lim ( )
x x
f x f x
 
   
วิธีทำ เนื่องจำก f(x) เป็นค่ำสัมบูรณ์ ค่ำ x ภำยในค่ำสัมบูรณ์มี 2 ค่ำ
, 0
| |
, 0
x x
x
x x

 
 
 
3 , 3 0 3
| 3|
( 3) , 3 0 3
x x x
x
x x x

    
  
     
(1)
3 3 3
lim ( ) lim | 3| lim ( 3) (3 3) 0
x x x
f x x x  
  
        
 3 3 3
lim ( ) lim | 3| lim 3 3 3 0
x x x
f x x x  
  
      
(2)
3 3 3
lim ( ) lim | 3| lim ( 3) ( 3 3) 6
x x x
f x x x
  
     
         
 
3 3 3
lim ( ) lim | 3| lim 3 3 3 6
x x x
f x x x
  
     
        
 เข้ำทำงขวำ , ทำงด้ำนบวก
 เข้ำทำงซ้ำย , ทำงด้ำนลบ

3. 3แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
ตัวอย่างที่ 3 ถ้ำ
2
, 1
( ) 1 ,0 1
0 , 0
x x
f x x x
x



   

 

จงหำค่ำของ
0 1 0
lim ( ) , lim ( ), lim ( )
x x x
f x f x f x  
  
วิธีทำ (1)
0
lim ( ) 0
x
f x


(2)
2 2
1 1
lim ( ) lim 1 1
x x
f x x 
 
  
(3)  0 0
lim ( ) lim 1 0 1 1
x x
f x x 
 
     
ตัวอย่างที่ 4 ถ้ำ 2
( ) 5 4f x x x   จงหำ 3
lim ( )
x
f x

วิธีทำ
2 2
3 3
lim ( ) lim( 5 4) 3 5(3) 4 20
x x
f x x x
 
      
ตัวอย่างที่ 5 ถ้ำ
2
( )f x
x
 จงหำ 4
lim ( )
x
f x

,
0
lim ( )
x
f x

วิธีทำ (1) 4 4
2 2 1
lim ( ) lim
4 2x x
f x
x 
  
(2) 0 0
2 2
lim ( ) lim
0x x
f x
x 
  หำค่ำไม่ได้
ตัวอย่างที่ 6 ถ้ำ
3
( )
5
x
f x
x



จงหำ 5
lim ( )
x
f x

,
3
lim ( )
x
f x

วิธีทำ (1) 5 5
3 3 5 2
lim ( ) lim
5 5 5 0x x
x
f x
x 
   
   
  
หำค่ำไม่ได้
(2) 3 3
3 3 3 0
lim ( ) lim 0
5 3 5 2x x
x
f x
x 
  
    
   
ตัวอย่างที่ 7 ถ้ำ
2
4
( )
2
x
f x
x



จงหำ 2
lim ( )
x
f x

วิธีทำ แทนค่ำ x = 2 ใน f(x) จะได้
2
2 4 4 4 0
(2)
2 2 2 2 0
f
 
  
 
ข้อสังเกต ::  เรำจะสนใจพิจำรณำลิมิตทำงซ้ำยหรือทำงขวำ เมื่อ ฟังก์ชัน เป็นแบบ ………………………….
 ถ้ำ เป็นฟังก์ชันปกติ เรำสำมำรถหำค่ำ lim ( ) ( )
x a
f x f a

 โดยกำรแทนค่ำได้เลย

4. 4แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
 กรณี ผลของ ลิมิต ออกมาในรูปของ 0
0
lim ( )
x a
f x

อำจหำค่ำได้โดยพยำยำมเปลี่ยนรูปของ f(x) ใหม่เพื่อให้สำมำรถตัดทอนกันและหำค่ำลิมิตได้โดยตรง
การเปลี่ยนรูปของ f(x) มีวิธีการหลายวิธี ดังนี้
1. แยกตัวประกอบ 2. ใช้คอนจูเกต (conjugate) คูณทั้งเศษและส่วน (เน้น ติดรูท )
3. กฎของโลปิตำล (L ‘ Hopital ‘ Rule) 4. 0
sin
lim 1




จำกตัวอย่ำงที่ 7 กำหนดให้
2
4
( )
2
x
f x
x



เรำจะต้องเปลี่ยนรูปของ f(x) ใหม่เพื่อทำให้สำมำรถตัดทอนกันได้
และหำลิมิตได้โดยตรง จะได้
2
2 2 2
4 ( 2)( 2)
lim ( ) lim lim
2 ( 2)x x x
x x x
f x
x x  
     
    
   
2
lim( 2) 2 2 4
x
x

    
ดังนั้น
2
2
4
lim 4
2x
x
x
 
 
 
 สูตรการแยกตัวประกอบ
# กาลัง 2 สมบูรณ์
1.
2 2 2
2 ( )x xy y x y   
2.
2 2 2
2 ( )x xy y x y   
# กาลัง 3 สมบูรณ์
4.
3 3 2 2 3
3 3 ( )x x y xy y x y    
5.
3 3 2 2 3
3 3 ( )x x y xy y x y    
# ผลต่างกาลัง 2
3.
2 2
( )( )x y x y x y   
# ผลต่างกาลัง 3
6.
3 3 2 2
( )( )x y x y x xy y    
7.
3 3 2 2
( )( )x y x y x xy y    
ตัวอย่างที่ 8 ถ้ำ
3
2
27
( )
2 3
x
f x
x x


 
จงหำ 3
lim ( )
x
f x

วิธีทำ นำ x = 3 แทนใน f(x) จะได้
3
2
3 27 27 27 0
(3)
3 2(3) 3 9 6 3 0
f
 
  
   
เปลี่ยนรูปโดยกำรแยกตัวประกอบ 3 2
27 ( 3)( 3 9)x x x x    
2
2 3 ( 3)( 1)x x x x    
จะได้
3 2
23 3 3
27 ( 3)( 3 9)
lim ( ) lim lim
2 3 ( 3)( 1)x x x
x x x x
f x
x x x x  
   
 
   
2 2
3
( 3 9) 3 3(3) 9 27
lim
( 1) 3 1 4x
x x
x
   
  
 

5. 5แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
ตัวอย่างที่ 9 ถ้ำ
2
2
1
( )
2 1
x
f x
x x


 
จงหำ 1
lim ( )
x
f x

วิธีทำ นำ x = 1 แทนใน f(x) จะได้
2
2
1 1 0
(1)
2(1 ) 1 1 0
f

 
 
เปลี่ยนรูปโดยกำรแยกตัวประกอบ 2
1 ( 1)( 1)x x x   
2
2 1 (2 1)( 1)x x x x    
จะได้
2
21 1 1
1 ( 1)( 1)
lim ( ) lim lim
2 1 ( 1)(2 1)x x x
x x x
f x
x x x x  
  
 
   
1
( 1) 1 1 2
lim
(2 1) 2(1) 1 3x
x
x
 
  
 
ดังนั้น
2
21
1 2
lim
2 1 3x
x
x x


 
ตัวอย่างที่ 10 ถ้ำ
4 2
( )
x
f x
x
 
 จงหำ 0
lim ( )
x
f x

วิธีทำ นำ x = 1 แทนใน f(x) จะได้
4 0 2 2 2 0
(0)
0 0 0
f
  
  
เปลี่ยนรูปโดย ใช้คอนจูเกต (conjugate) คูณทั้งเศษและส่วน  ติดรูท คอนจูเกต ทันที
จะได้
0 0 0
4 2 4 2 4 2
lim lim lim
4 2 ( 4 2)x x x
x x x x
x x x x x  
     
  
   
0
1 1 1 1
lim
2 2 44 2 4 0 2x x
   
   
ดังนั้น 0
4 2 1
lim
4x
x
x
 

2. ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน
หลักการ
ให้ f(x) เป็นฟังก์ชัน และ a เป็นจำนวนจริงใดๆ ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = a เมื่อเป็นจริง
ทั้ง 3 ข้อดังนี้
1. f(a) หำค่ำได้
2. lim ( )
x a
f x

หำค่ำได้ นั่นคือ lim ( ) lim ( )
x a x a
f x f x 
 
 และ
3. lim ( ) ( )
x a
f x f a


** ถ้ำเงื่อนไขข้อใด ข้อหนึ่งขำดไป แสดงว่ำ f ไม่ต่อเนื่อง x = a

6. 6แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
ตัวอย่างที่ 11 ถ้ำ
2
3 , 3
( ) 2 5 , 1 3
3 2 , 1
x x
f x x x
x x



    

   

ข้อใดต่อไปนี้ถูก
1. f ต่อเนื่องที่ x = – 1 แต่ไม่ต่อเนื่องที่ x =3
2. f ต่อเนื่องที่ x = – 1 และ x =3
3. f ไม่ต่อเนื่องที่ x = – 1 แต่ต่อเนื่องที่ x =3
4. f ไม่ต่อเนื่องที่ x = – 1 และ x =3
วิธีทำ
มี 2 จุดที่ต้องพิจำรณำคือ x = 1 และ x = 3
1. พิจำรณำควำมต่อเนื่องของ f ที่ x = – 1
 f(-1) = 2(-1) + 5 = 3

2 2
1 1
lim ( ) lim 3 3( 1) 3
x x
f x x 
 
   

1 1
lim ( ) lim(2 5) 2( 1) 5 3
x x
f x x 
 
     
แสดงว่ำ ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = – 1
2. พิจำรณำควำมต่อเนื่องของ f ที่ x = 3
 f(3) = 3(3) - 2 = 9 – 2 = 7

3 3
lim ( ) lim(2 5) 2(3) 5 6 5 11
x x
f x x 
 
      

33
lim ( ) lim(3 2) 3(3) 2 9 2 7
xx
f x x  
      
แสดงว่ำ ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องที่ x = 3
ดังนั้น f ต่อเนื่องที่ x = – 1 แต่ไม่ต่อเนื่องที่ x = 3 ตอบ ตัวเลือก 1

7. 7แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
…เอกสารฝึกหัดที่ 1…
1. จงหำค่ำ
2
0
(1 ) 1
lim
x
x
x
 
[ 2 ]
2. จงหำค่ำ
3
0
1 (1 )
lim
x
x
x
 
[–3 ]
3. จงหำค่ำ 4
4 2
lim
4x
x
x x
   
   
   
[
1
2
 ]
4. จงหำค่ำ 22
10 2
lim 1
4x x x
   
    
   
[
5
4
]
5. จงหำค่ำ
2
22
4
lim
6x
x
x x

 
[
4
5
]
6. จงหำค่ำ 3
lim 3
x
x

 [ 6 ]
7. จงหำค่ำ 23
1 6
lim
3 9x x x
 
 
  
[
1
6
]

8. 8แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
…เอกสารฝึกหัดที่ 2…
1. กำหนด
3
( )
8
x
f x
mx

 

ถ้ำ f ต่อเนื่องที่ 2x   แล้ว m มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด [ 8 ]
2. กำหนด
3 5
( )
3
x
f x
x

 

จงหำค่ำ
3
lim ( )
x
f x
 
[ 18 ]
3. กำหนด
3
2
3
4
( )
1
1
a
f x
x
x



 
 
 
ถ้ำ f ต่อเนื่องที่ 1x  แล้ว a มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด [ 2 ]
, เมื่อ 2x  
, เมื่อ 2x  
, เมื่อ 3x 
, เมื่อ 3x  
, เมื่อ 1x 
, เมื่อ 1x 

9. 9แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
ใบความรู้ที่ 1
อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย
หลักการ
อัตรำกำรเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง x ถึง x + h คือ
( ) ( )f x h f x
h
 
ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ 3
( )y f x x  แล้ว จงหำอัตรำกำรเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง
x = 2 ถึง x = 4
วิธีทา จำกโจทย์ 3
( )y f x x 
อัตรำกำรเปลี่ยนเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง x = 2 ถึง x = 4  h =4 – 2 = 2
เท่ำกับ
3 3
(4) (2) 4 2 64 8 56
28
2 2 2 2
f f  
   
ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ ( ) 2 1f x x  แล้ว จงหำอัตรำกำรเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย ในช่วง x ถึง x + h
วิธีทา จำกโจทย์ ( ) 2 1y f x x  
อัตรำกำรเปลี่ยนเฉลี่ย ในช่วง x ถึง x + h คือ
( ) ( )f x h f x
h
 
( ) 2( ) 1f x h x h    , ( ) 2 1f x x 
ดังนั้น
   2( ) 1 2 1( ) ( ) x h xf x h f x
h h
    

2( ) 1 2 1 2 2 1 2 1
2
2
x h x x h x
h h
h
h
       
 
 

10. 10แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
…ใบงานที่ 1…
1. จงหำอัตรำกำรเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเทียบกับควำมยำวของด้ำน เมื่อควำมยำวด้ำน
ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเปลี่ยนจำก x นิ้ว ไปเป็น hx  นิ้ว และจงหำอัตรำ กำรเปลี่ยนแปลงของรูปพื้นที่
สี่เหลี่ยมจัตุรัสเทียบกับควำมยำวด้ำน ขณะที่ด้ำนยำว x นิ้ว และ 4 นิ้ว
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
2. จงหำอัตรำกำรเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่ของวงกลมเทียบกับควำมยำวของรัศมีของวงกลม
เมื่อควำมยำวของรัศมีเปลี่ยนจำก x ฟุตไปเป็น hx  ฟุต และจงหำอัตรำกำรเปลี่ยนแปลงของ พื้นที่
วงกลมเทียบกับควำมยำวของรัศมีขณะที่รัศมียำว x ฟุต
วิธีทำ จำกสูตรพื้นที่วงกลม = ……………………………………………………………...
ให้ r แทนรัศมี และ f(r) แทนพื้นที่วงกลม
จะได้ f(r)  ……………………………………………………………………
อัตรำกำรเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย  ...............................................................................
………………………………………………………………………………………...
อัตรำกำรเปลี่ยนแปลง = ..............................................................................................
3. จงหำอัตรำกำรเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของปริมำตรทรงกลมเทียบกับรัศมี เมื่อรัศมีเปลี่ยนจำก r ไปเป็น r+h และ
อัตรำกำรเปลี่ยนแปลงขณะรัศมียำว r เซนติเมตร
วิธีทำ จำกสูตรพื้นที่วงกลม 3
r
3
4

จะได้ f(r)  …………………………………………., f(r) แทนปริมำตรวงกลม
อัตรำกำรเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย  ...........................................................................
 ...........................................................................
อัตรำกำรเปลี่ยนแปลง  ................................................................................

11. 11แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
ใบความรู้ที่ 2
อัตราการเปลี่ยนแปลง
อัตรำกำรเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x มีค่ำใด ๆ =
0
( ) ( )
lim
h
f x h f x
h
 
=
dy
dx
ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้
2
( )y f x x  แล้ว จงหำอัตรำกำรเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x
มีค่ำใด ๆ และ ที่ x = 3
วิธีทา จำกโจทย์
2
( )f x x
2 2 2
( ) ( ) 2f x h x h x xh h     
นั่นคือ
 2 2 2
0 0
2( ) ( )
lim lim
h h
x xh h xf x h f x
h h 
   

2 2 2
0
2
0
2
lim
2
lim
h
h
x xh h x
h
xh h
h


  



0
0
(2 )
lim
lim2
2
h
h
h x h
h
x h
x




 

และ อัตรำกำรเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ที่ x = 3 เท่ำกับ 2(3) = 6
ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้
2
( )y f x x x   แล้ว จงหำอัตรำกำรเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x มีค่ำใด
ๆ และ ที่ x = – 2
วิธีทา จำกโจทย์
2
( )f x x x 
   2 2 2
( ) ( ) ( ) 2f x h x h x h x xh h x h         
2 2
2x xh h x h    

12. 12แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
นั่นคือ
   2 2 2
0 0
2( ) ( )
lim lim
h h
x xh h x h x xf x h f x
h h 
      

 
2 2 2
0
2
0
0
0
2
lim
2
lim
(2 1)
lim
lim 2 1
2 1
h
h
h
h
x xh h x h x x
h
xh h h
h
h x h
h
x h
x




     

 

 

  
 
และ อัตรำกำรเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ที่ x = – 2 เท่ำกับ 2(-2) + 1 = – 2

13. 13แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
…ใบงานที่ 2…
1. จงหำอัตรำกำรเปลี่ยนแปลงของ พื้นที่วงกลมเทียบกับควำมยำวของรัศมีขณะที่รัศมียำว x ฟุตเมื่อ
ควำมยำวของรัศมีเปลี่ยนจำก x ฟุตไปเป็น hx  ฟุต
วิธีทำ จำกสูตรพื้นที่วงกลม = ……………………………………………………………...
ให้ r แทนรัศมี และ f(r) แทนพื้นที่วงกลม
จะได้ f(r)  ……………………………………………………………………
อัตรำกำรเปลี่ยนแปลง = ..............................................................................................
2. จงหำอัตรำกำรเปลี่ยนแปลงของปริมำตรทรงกลมเทียบกับรัศมี เมื่อรัศมีเปลี่ยนจำก r ไป เป็น r+h และ
วิธีทำ จำกสูตรพื้นที่วงกลม 3
r
3
4

จะได้ f(r)  …………………………………………., f(r) แทนปริมำตรวงกลม
อัตรำกำรเปลี่ยนแปลง  ................................................................................
3. จงหำอัตรำกำรเปลี่ยนแปลงของปริมำตรลูกบำศก์เทียบกับควำมยำวด้ำนขณะที่ด้ำนยำว 12 เซนติเมตร
วิธีทำ จำกสูตรปริมำตร  กว้ำง  ยำว  สูง ...................................................................
ให้ x แทนด้ำนของลูกบำศก์ , f(x) แทน ปริมำตรของลูกบำศก์ ………………………
จะได้ f(x)  ……………………………………………………………………..
อัตรำกำรเปลี่ยนแปลง  ....................................................................................

14. 14แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
ใบความรู้ที่ 3
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
บทนิยาม ถ้ำ y = f(x) เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรจน์เป็นสับเซตของเซตจำนวนจริงและ
0
( ) ( )
lim
h
f x h f x
h
 
หำค่ำได้เรียกว่ำค่ำลิมิตที่ได้นี้ว่ำ “ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f
ที่ x ” เขียนแทนด้วย
dy
dx
หรือ y หรือ ( )f x หรือ
( )d f x
dx
0
( ) ( )
lim
h
f x h f x dy
y
h dx
 
 
Note : 1.
dy y
dx x
 2.
dy
dx
คืออัตรำกำรเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x มีค่ำใด ๆ
3. เมื่อ s แทนระยะทำงที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ในเวลำ t หรือ s = f(t)
ถ้ำ v คือ ควำมเร็วขณะเวลำ t ใดๆ จะได้ v = 0
( ) ( )
lim
h
f t h f t
h
 
ds
s v
dt
  
กฎห้าขั้นสาหรับการหาค่าอนุพันธ์
วิธีกำรหำค่ำอนุพันธ์ของฟังก์ชันตำมบทนิยำม 1 สำมำรถทำตำมลำดับ 5 ขั้นตอน ซึ่งเรียกว่ำ กฎห้าขั้นของการ
หาค่าอนุพันธ์ มีขั้นตอนดังต่อไปนี้
ขั้นที่ 1. เขียน y = f(x) ตำมที่โจทย์กำหนดให้
ขั้นที่ 2. แทนค่ำ x ในฟังก์ชันด้วย x + x แล้วคำนวณหำค่ำใหม่ของฟังก์ชัน y +y
ขั้นที่ 3. เอำค่ำเดิมของฟังก์ชันไปลบออกจำกค่ำใหม่เพื่อหำ y
ขั้นที่ 4. หำรด้วย x ตลอด
ขั้นที่ 5. หำลิมิตของผลหำร เมื่อ x เข้ำสู่ 0 จะได้ค่ำอนุพันธ์ตำมต้องกำร
ตัวอย่างที่ 1 จงหำค่ำอนุพันธ์ของ f(x) = 3x2
+ 5
วิธีทา ขั้นที่ 1 ให้ y = f(x) = 3x2
+ 5 หรือ y = 3x2
+ 5
ขั้นที่ 2 y + y = 3(x + x)2
+ 5
= 3x2
+ 6x. x + 3(x)2
+ 5
Δx
Δy

15. 15แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
ขั้นที่ 3 y + y = 3x2
+ 6x. x + 3(x)2
+ 5
y = 3x2
+ 5
ลบกันได้ y = 6x. x + 3(x)2
ขั้นที่ 4 = 6x + 3x
ขั้นที่ 5 ให้ x 0 จะได้
f(x) = = = = 6x
นั่นคือ f(x) = y  = (3x2
+ 5) = 6x
ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ f(x) = , x  0 จงหำ f(x)
วิธีทา
ขั้นที่ 1. ให้ y = , x  0
ขั้นที่ 2. y + y = , x  0
ขั้นที่ 3. y = f(x+ x) – f(x)
= –
= –
ขั้นที่ 4. = –
ขั้นที่ 5. ให้ x  0 จะได้
นั่นคือ
Δx
Δy
dx
dy
Δx
Δy
0Δx
lim

Δx)3x(6
0Δx
lim 

dx
d
x
1
x
1
xΔx
1

xΔx
1
 x
1
Δx)x(x
Δx

Δx
Δy
Δx)x(x
1


16. 16แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
…ใบงานที่ 3…
คาชี้แจง จงหำค่ำอนุพันธ์ของ f(x) เทียบกับ x
1. f(x) = 5
2. f(x) = 2x
3. f(x) = 5x + 5
4. f(x) = 5x2
+ 3x + 5
5. f(x) = 3 – 2x
6. f(x) =
7. f(x) =
8. f(x) = 2x3
+ 5x2
+ 2x +4
9. f(x) = 4 –
10. f(x) =
x
1
2x
2
x
3x
2


17. 17แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
ใบความรู้ที่ 4
ความชันของเส้นโค้ง
 สิ่งที่ควรรู้
ถ้ำ ( )y f x เป็นสมกำรของเส้นโค้ง
1. จะมีควำมชันของเส้นโค้ง ( m ) เท่ำกับ ( )
dy
f x
dx

2. เส้นสัมผัสเส้นโค้งผ่ำนจุด 0 0( , )x y ใด ๆ จะมีควำมชัน ( m ) คือ 0( )m f x
3. สมกำรเส้นตรง ที่ สัมผัสเส้นโค้ง ที่จุด 0 0( , )x y จะมีสมกำรเส้นตรงเป็น 0 0( )y y m x x  
4. สมกำรเส้นตรง มีควำมชัน เป็น 1m ตั้งฉากกับ เส้นสัมผัส ที่ 0 0( , )x y มีควำมชัน เป็น 2m จะได้ว่ำ
1 2 1m m  
5. สมกำรเส้นตรง มีควำมชัน เป็น 1m ขนานกับ เส้นสัมผัส ที่ 0 0( , )x y มีควำมชัน เป็น 2m จะได้ว่ำ
1 2m m
6. เส้นตรงที่ผ่ำนจุด 2 จุด คือ ( , )x y และ 0 0( , )x y จะได้ว่ำ ควำมชัน 0
0
y y
m
x x



ตัวอย่างที่ 1 จงหำจุดสัมผัส บนเส้นโค้ง 2
3 4y x x   ที่มีควำมชันของเส้นสัมผัสเท่ำกับ 1
วิธีทำ diff สมการเส้นโค้ง 2
3 4y x x  
 2
3 4 2 3 1
dy d
x x x
dx dx
     
จำก 2 3 1x  แก้สมกำรหำค่ำ x
2x 
นำ 2x  แทนในสมการเส้นโค้ง 2
3 4y x x   เพื่อหำค่ำ y
2
2 3(2) 4 4 6 4 6y        
ดังนั้น จุดสัมผัส คือ 0 0( , ) (2, 6)x y  
ตัวอย่างที่ 2 เส้นตรงเส้นหนึ่ง มีควำมชันเท่ำกับ 2 และสัมผัสเส้นโค้ง 2
2y x  จงหำสมกำรเส้นตรงนั้น
วิธีทำ diff สมการเส้นโค้ง 2
2y x 
 2
2 2 2
dy d
x x
dx dx
   
จำก 2 2x  แก้สมกำรหำค่ำ x
1x 
นำ 1x  แทนในสมการเส้นโค้ง 2
2y x  เพื่อหำค่ำ y
2
(1) 2 1 2 3y     

18. 18แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
นั่นคือ จุดสัมผัส คือ 0 0( , ) (1,3)x y 
สมกำรเส้นตรงเป็น 0 0( )y y m x x   แทนค่ำ 0 0( , ) (1,3)x y  และ 2m 
จะได้ สมกำรเส้นตรงเป็น 3 2( 1) 2 2y x x    
2 2 3 2 1y x x    
ดังนั้น สมกำรเส้นตรง คือ 2 1y x 
ตัวอย่างที่ 3 ให้ (a,b) เป็นจุดบนเส้นโค้ง 2
2 2 5y x x   ซึ่งเส้นสัมผัสโค้งที่จุด (a,b) นี้จะตั้งฉำกกับ
เส้นตรง 6 1 0x y   ดังนั้น a+b มีค่ำเท่ำใด
วิธีทำ จำก 2
2 2 5y x x   จะได้ 4 2y x  
(a,b) เป็นจุดบนเส้นโค้ง ควำมชันของเส้นโค้ง คือ 4 2m y a  
และ เส้นตรง 6 1 0x y   ตั้งฉำกเส้นสัมผัสโค้ง นั้นคือ ควำมชันคูณกันเท่ำกับ -1
จัดรูปของ 6 1 0x y   ให้อยู่รูปของ 0 0( )y y m x x  
จะได้
1 1
( 1)
6 6
x
y x
  
   ดังนั้น m =
1
6

เอำควำมชัน ของ เส้นสัมผัสโค้ง กับ เส้นตรงมีคูณกัน จะได้
 
1
4 2 1
6
a
 
    
 
4 2 6a 
4 4a 
4
1 1
4
a x   
แทน x=1 ในสมกำร 2
2 2 5y x x   จะได้
2
2(1) 2(1) 5 2 2 5 1 1y b          
ดังนั้น a + b = 1+( –1) = 0

19. 19แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
…ใบงานที่ 4…
คาชี้แจง ข้อ 1 – 5 จงหำควำมชันของเส้นโค้งจำกสมกำรที่กำหนดให้ ณ จุดที่กำหนดให้
1. y = x2
+ 4 ณ จุด ( – 2 , 8)
2. y = 2 – 3x2
ณ จุด (1, – 1)
3. y = 4x2
– 5 ณ จุด (0, – 5)
4. y = x2
– 6x ณ จุด (4, – 8)
5. y = ณ จุด (3, 1)
คาชี้แจง ข้อ 6 – 10 จงหำสมกำรของเส้นสัมผัสโค้งที่จุดกำหนดให้
6. f(x) = 3x2
+ 3x – 4 ณ จุด (–1, 4)
7. f(x) = ณ จุด (3, 1)
8. f(x) = x2
– 6x ณ จุด (4, – 8)
9. f(x) = 2x2
ณ จุด (1, 2)
10. f(x) = x3
– 3x2
+ 4 ณ จุด (0, 4)
x
3
x
3

20. 20แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
ใบความรู้ที่ 5
การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้สูตร
ถ้ำ c , n เป็นค่ำคงที่ใดๆ และ u = f(x) , v=g(x) , w=h(x) เป็นฟังก์ชัน
1. ( ) 0
d
c
dx

2. ( ) 1
d
x
dx

3. ( )
d d
cu c u
dx dx

4.
1n nd
x n x
dx

 
5. ( )
d d d d
u v w u v w
dx dx dx dx
    
6. ( )
d d d
u v v u u v
dx dx dx
  
ดิฟผลคูณ  หลัง ดิฟหน้ำ + หน้ำดิฟหลัง
7. 2
( )
d d
v u u v
d u dx dx
dx v v


ดิฟผลหำร  ล่ำงดิฟบน - บนดิฟล่ำง
ล่ำงยกกำลัง 2
8.
1
ln
d d
u u
dx u dx

9.
u ud d
e e u
dx dx

ตัวอย่าง จงหำค่ำของอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้
1. y = 5 วิธีทำ 5 0
d
dx

2. y = x วิธีทำ 1
d
x
dx

3. y = 5x + 3 วิธีทำ  5 3 5 3 5 0 5
d d d
x x
dx dx dx
     
4. y =
4
2x วิธีทำ
4 4 1 3
2 4 2 8
d
x x x
dx

 
5. y =
2
x
วิธีทำ
2 2 1 3
( 2) 2
d
x x x
dx
   
   
6. y = 2
2 5 3x x  วิธีทำ  2 2
2 5 3 2 5 3 4 5
d d d d
x x x x x
dx dx dx dx
      

21. 21แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
7.   2
2y x x วิธีทำ   2 2 2
2 2 2
d d d
x x x x x x
dx dx dx
 
2
(2) 2 (2 )x x x 
2 2
2
2 4
6
x x
x
 

จำกข้อ 7 สำมำรถทำได้อีกแบบ คือ   2 3
2 2y x x x 
วิธีทำ
3 2 2
2 (2)(3) 6
d
x x x
dx
 
8.
2 1x
y
x

 วิธีทำ
   
2
2 1 2 1
2 1
( )
d d
x x x x
d x dx dx
dx x x
  


 
2
2
2
(2) 2 1
2 2 1
1
x x
x
x x
x
x
 

 



9. ln(2 1)y x  วิธีทำ
1
ln(2 1) (2 1)
(2 1)
d d
x x
dx x dx
  

1
(2)
(2 1)
2
(2 1)
x
x




10.
2x
y e วิธีทำ
2 2 2 2
2 (2) 2x x x xd d
e e x e e
dx dx
  
 กฏลูกโซ่
ถ้ำ ( )y f z และ ( )z g x
จะได้ ( )
dy dy dz
f x
dx dz dx
  

22. 22แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
ตัวอย่างที่ 1 ถ้ำ 9
( ) (2 1)f x y x   จงหำ
dy
dx
และ (0)f , (0)f 
วิธีทำ ให้ 2 1z x  จะได้
9
y z
จำกสูตร
dy dy dz
dx dz dx

   9
2 1
dy d d
z x
dx dz dx
 
8 8
9 (2) 18
dy
z z
dx
 
แทน 2 1z x  จะได้
8
18(2 1)
dy
x
dx
 
จำก 9
( ) (2 1)f x x  แล้ว  
9 9
(0) 2(0) 1 1 1f    
และ 8
( ) 18(2 1)f x x   แล้ว    
8 8
(0) 18 2(0) 1 18 1 18f     
ตัวอย่างที่ 2 ถ้ำ 2
( ) 1f x y x   จงหำ ( )f x และ (2)f 
วิธีทำ จำก  
1
2 2 21 1y x x   
ให้
2
1z x  จะได้
1
2
y z
จำกสูตร ( )
dy dy dz
f x
dx dz dx
  
 
1 1
1
22 2
1
1 (2 )
2
dy d d
z x x
dx dz dx
z
 
   
 
1
2
1
2
1
( ) ( )
x
z x x
z
z

  
แทน
2
1z x  จะได้ 2
( )
1
x
f x
x
 

จะได้ว่ำ 2
2 2 2 3 2 3
(2)
33 3 32 1
f      


23. 23แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
…ใบงานที่ 5…
จงหำค่ำ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
1. y = 2
2. 2
( ) 4f x x 
3.
3 2
2 3 1y x x x   
4. ( ) (3 1)(2 )f x x x  ที่ x = 1
5. ( ) ( 2)(5 1)f x x x   ที่ x = 0
6.
3
( )f x
x
 ที่ x = 1
7. 2
4
4
y
x


8.
2
2
3 1
x
y
x


9.  
4
2
( ) 2 2 5f x x x   ที่ x = 0
10.
2
y x x 
11.
1
( )f x
x
 ที่ x = 2
12.
1
3 3
( 2 1)y x x  
13.
1
2 2
(2 3 )y x x

 

24. 24แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
ใบความรู้ที่ 6
อนุพันธ์ของฟังก์ชันคอมโพสิต หรือฟังก์ชันประกอบ
ถ้ำ ( )( ) ( ( ))y g f x g f x  แล้ว  
( )
( ( ))
( )
dy d df x
g f x
dx df x dx

ให้ ( )u f x และ ( )y g u จะได้  ( )
dy d du dy du
g u
dx du dx du dx
 
ใช้เทคนิคของกฎลูกโซ่
ตัวอย่างที่ 1 ให้ ( )( )y g f x , 3
( ) 2g x x  และ 2
( ) 2 3 4f x x x   จงหำ
dy
dx
วิธีทำ จำก ( )( ) ( ( ))y g f x g f x 
 
2
3
2
(2 3 4)
2 3 4 2
g x x
x x
  
   
เทคนิค 1. ดิฟข้ำงนอก     
3 2
2 2
2 3 4 2 3 2 3 4
d
x x x x
dx
      
  
2. ดิฟข้ำงใน   2
2 3 4 4 3
d
x x x
dx
   
3. เอำผลดิฟมำคูณกัน     
2
2
3 2 3 4 4 3
dy
x x x
dx
   
หรืออีกวิธีหนึ่ง ให้
2
2 3 4u x x   จะได้ 3
1y u 
   3 2
1 2 3 4
dy dy du d d
u x x
dx du dx du dx
    
   2
3 4 3u x 
แทน
2
2 3 4u x x   จะได้
   
2
2
3 2 3 4 4 3
dy
x x x
dx
   
ตัวอย่างที่ 2 ให้ 3 2
( ) 2 1f x x x x    , ( ) ( )g x f x จงหำ ( )( )g f x และ ( )(1)g f
วิธีทำ จำก ( ) ( )g x f x จะได้
2
( ) 3 2 2
( ) 6 2
f x x x
f x x
   
  
นั่นคือ ( ) ( ) 6 2g x f x x  

25. 25แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
จำก
3 2
( )( ) ( ( )) ( 2 1)g f x g f x g x x x    
3 2
6( 2 1) 2x x x    
3 2
3 2
6 6 6 6 2
6 6 12 8
x x x
x x x
    
   
ดังนั้น 3 2
( )(1) 6(1) 6(1) 12(1) 8g f    
6 6 12 8
4
   

ตัวอย่างที่ 3 ให้ 8 6
( )f x x x  และ f  คือ อนุพันธ์ ของ f ถ้ำ  na เป็นลำดับซึ่งมี lim 1n
x
a


แล้ว   lim n
x
f f a

 เท่ำกับเท่ำใด
วิธีทำ 8 6
( )f x x x 
7 5
( ) 8 6f x x x  
นั้นคือ    ( ( ))f f x f f x 
   
8 6
8 67 5 7 5
( ) ( )
8 6 8 6
f x f x
x x x x
  
         
ดังนั้น   
8 67 5 7 5
8 6 8 6n n n n nf f a a a a a          
  
8 67 5 7 5
lim lim 8 6 lim 8 6n n n n n
x x x
f f a a a a a
  
          
8 6
7 5 7 5
8lim 6lim 8lim 6limn n n n
x x x x
a a a a
   
      
   
   
8 6
8 6
8 6 8 6
2 2
256 64
192
   
 
 


26. 26แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
…ใบงานที่ 6…
คาชี้แจง ข้อ 1 – 5 จงหำ
1. y = u2
+ 3u – 7 , u = 2x + 1
2. y = , u =
3. y = , z = x2
+ 1
4. y = w2
– w – 1
, w = 3x
5. y = 2v3
+ , v =
คาชี้แจง ข้อ 6 – 10 จงหำ
6. x = 3t + 1, y = t2
7. x = t2
, y = t3
8. x = , y = t2
9. x = , y =
10. x = , y = t2
dx
dy
12u
2u
 1x2 
3
2
z
3v
2
3
2
2)x(3 
dx
dy
t1
t

t1
t
 t1
2t

42t 

27. 27แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
ใบความรู้ที่ 7
อนุพันธ์อันดับสูง
ข้อกาหนด
ให้ ( )y f x เป็นฟังก์ชันที่สำมำรถหำอนุพันธ์ได้และ ( )f x เป็นอนุพันธ์ ของ ( )f x ซึ่งสำมำรถหำ
อนุพันธ์ได้
1. จะเรียกอนุพันธ์ ของ อนุพันธ์ ของ ( )f x หรือ อนุพันธ์ ของ ( )f x ( diff ซ้อน diff ) ว่ำ
อนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ ( )f x
2. สำมำรถเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ เป็น ( )f x หรือ
2
2
d y
dx
 อนุพันธ์อันดับที่ 1 ( )
dy
f x
dx
 
 อนุพันธ์อันดับที่ 2
2
2
( )
d dy d y
f x
dx dx dx
    
 
 อนุพันธ์อันดับที่ 3
2 3
(3)
2 3
( ) ( )
d d y d y
f x f x
dx dx dx
 
    
 
 อนุพันธ์อันดับที่ 4
4
(4)
4
( )
d y
f x
dx

 ... …
 อนุพันธ์อันดับที่ n ( )
( )
n
n
n
d y
f x
dx

ตัวอย่างที่ 1 ถ้ำ
5
( )f x x จงหำ (4)
( )f x ที่ x = 2
วิธีทำ ให้ 5
( )f x x
5 4
( ) 5
d
f x x x
dx
  
5 4 3
( ) 5 20
d d d d
f x x x x
dx dx dx dx
         
   
(3) 2
( ) 60f x x
(4)
( ) 120f x x

(4)
( )f x ที่ x = 2 เท่ำกับ (4)
(2) 120(2) 240f  

28. 28แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
ตัวอย่างที่ 2 ถ้ำ
4 3
( ) 4 2 9f x x x x    จงหำ
5
5
d y
dx
วิธีทำ ให้ 4 3
( ) 4 2 9f x x x x   
3 2
4 12 2
dy
x x
dx
  
2
2
2
12 24
d y
x x
dx
 
3
3
24 24
d y
x
dx
 
4
4
5
5
24
0
d y
dx
d y
dx


ดังนั้น
5
5
0
d y
dx


29. 29แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
…ใบงานที่ 7…
คาชี้แจง ข้อ 1 – 5 จงหำ yและ y และข้อ 6 – 10 จงหำ y
1. y = x4
– 7x3
+ 2x2
+ 5
2. y = 5x3
– 3x5
3. y = 4x2
– 8x + 1
4. y =
5. y = 2x4
– 4x2
– 8
6. 12y = 6x4
– 18x2
– 12x
7. y = 3x7
– 7x3
+ 21x2
8. y = x2
(x3
– 1)
9. y = (x – 2)(x + 3)
10. y = (3x – 1)(2x + 5)
3x
2
x
3
x
4
x 234


30. 30แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
ใบความรู้ที่ 8
การประยุกต์อนุพันธ์
1.ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด
หลักการ ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์บนช่วง ( , )a b และต่อเนื่องบน [ , ]a b แล้ว
1. ถ้ำ ( ) 0f x  สำหรับทุกค่ำ x แล้ว f(x) เป็นฟังก์ชัน เพิ่มบนช่วง (a,b)
2. ถ้ำ ( ) 0f x  สำหรับทุกค่ำ x แล้ว f(x) เป็นฟังก์ชัน ลดบนช่วง (a,b)
ตัวอย่างที่ 1 3 21
( ) 3 8
3
f x x x x   เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด ในช่วงใด
วิธีทำ หำอนุพันธ์ของ f(x)
3 2 21
( ) 3 8 6 8 ( 2)( 4)
3
d
f x x x x x x x x
dx
           
 
ดังนั้น f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม เมื่อ ( 2)( 4) 0x x  
4x  หรือ 2x 
และ f เป็นฟังก์ชันลด เมื่อ ( 2)( 4) 0x x  
2 4x 
นั่นคือ f เป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วง ( ,2) (4, )  
และ f เป็นฟังก์ชันลดในช่วง (2,4)
ตัวอย่างที่ 2 2
( ) 2 8 5f x x x   เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด ในช่วงใด
วิธีทำ หำอนุพันธ์ของ f(x)
 2
( ) 2 8 5 4 8
d
f x x x x
dx
     
ดังนั้น f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม เมื่อ 4 8 0x  2x 
และ f เป็นฟังก์ชันลด เมื่อ 4 8 0x  2x 
นั่นคือ f เป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วง (2, )
และ f เป็นฟังก์ชันลดในช่วง ( ,2)

31. 31แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
2.ค่ำสูงสุดและค่ำต่ำสุด
หลักการ ให้ ( )f x เป็นฟังก์ชัน ที่ต้องกำรหำค่ำสูงสุดและ ค่ำต่ำสุด
1. หำ ( )f x
2. จับ ( ) 0f x  แล้ว แก้สมกำรหำค่ำ x ค่ำ x ที่ได้เรียกว่ำ “ ค่าวิกฤต ”
สมมติว่ำได้ x c
3. หำ ( )f x
4. นำค่ำวิกฤติ x c แทนใน ( )f x แล้วทำกำรตรวจสอบ
4.1 ถ้ำ ( ) 0f c  แล้ว f ให้ค่ำ สูงสุดสัมพัทธ์ ที่ x c
4.2 ถ้ำ ( ) 0f c  แล้ว f ให้ค่ำ ต่าสุดสัมพัทธ์ ที่ x c
5. ถ้ำ นำค่ำ c ที่ทำให้เกิดค่ำสูงสุดสัมพัทธ์ แทนใน ( )f x จะได้ค่าสูงสุดสัมบูรณ์
ถ้ำ นำค่ำ c ที่ทำให้เกิดค่ำต่ำสุดสัมพัทธ์ แทนใน ( )f x จะได้ค่าต่าสุดสัมบูรณ์
** ค่ำสูงสุดสัมบูรณ์ และ ค่ำต่ำสุดสัมบูรณ์ คือ ค่ำสูงสุดและค่ำต่ำสุด จริงๆๆ
ตัวอย่างที่ 1 จงหำค่ำ x ที่ทำให้เกิดจุดสูงสุดสัมพัทธ์ และ จุดต่ำสุดสัมพัทธ์ ของ 3 2
( ) 3 9 4f x x x x   
และหำค่ำสูงสุดสัมบูรณ์ และ ค่ำต่ำสุดสัมบูรณ์ ด้วย
วิธีทำ 1.) หำอนุพันธ์ของ f(x) 2
( ) 3 6 9f x x x   
2.) ให้ ( ) 0f x  จะได้ 2
3 6 9 0x x  
2
2 3 0x x  
( 3)( 1) 0x x  
3 , 1x  
จุดวิกฤติ คือ 3 , 1x  
3.) ( )f x จะได้ ( ) 6 6f x x  
4.) แทนค่ำ 3x  ใน ( ) 6 6f x x  
(3)f  6(3) 6 18 6 12 0     
แสดงว่ำ 3x  ให้ค่ำต่ำสุดสัมพัทธ์
แทนค่ำ 1x   ใน ( ) 6 6f x x  
( 1)f   6( 1) 6 6 6 12 0        
แสดงว่ำ 1x   ให้ค่ำสูงสุดสัมพัทธ์
5.) หำค่ำสูงสุดสัมบูรณ์ 3 2
( 1) ( 1) 3( 1) 9( 1) 4f        
1 3 9 4
9
    

หำค่ำต่ำสุดสัมบูรณ์ 3 2
(3) (3) 3(3) 9(3) 4f    
27 27 27 4
23
   
 

32. 32แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
ตัวอย่างที่ 2 ในกำรประมำณกำรปลูกมันสำปะหลังพบว่ำ ถ้ำขุดมันสำปะหลัง 100 กิโลกรัม จะขำยได้กิโลกรัมละ
1.50 บำท ถ้ำยังไม่ขุดและรอต่อไป จะได้มันสำปะหลังเพิ่มขึ้นสัปดำห์ละ 10 กิโลกรัม แต่รำคำขำยจะลดลงไปสัปดำห์ละ
0.05 บำทต่อกิโลกรัม ดังนั้นควรขำยมันสำปะหลังเมื่อใด จึงจะมีรำยได้จำกกำรขำยมำกที่สุด
วิธีทำ ให้ x เป็นสัปดำห์ที่จะขำย
( )f x เป็นรำยได้ในกำรขำยเมื่อสัปดำห์ที่ x
ดังนั้น ( ) (100 10 )(1.5 0.05 )f x x x  
2
150 10 0.5x x  
( ) 10f x x  
ให้ ( ) 0f x  จะได้ 10 0x 
10x 
ตรวจสอบ ( )f x จะได้ ( ) 1 0f x    ให้ค่ำสูงสุดสัมพัทธ์
แสดงว่ำ ( )f x ให้ค่ำสูงสุดเมื่อ 10x 
ดังนั้น ควรขำยมันสำปะหลังเมื่อสิ้นสัปดำห์ที่ 10
3.ควำมเร็วและควำมเร่ง
หลักการ
ถ้ำ ( )s f t เป็นสมกำรกำรเคลื่อนที่
1. ควำมเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลำ 1t ถึง 2t 2 1
2 1
( ) ( )f t f t
t t



2. ควำมเร็วขณะเวลำ t ( )
ds
v f t
st
 
3. ควำมเร่งขณะเวลำ t
2
2
( )
dv d s
a f t
st dt
  
ตัวอย่างที่ 1 วัตถุชนิดหนึ่งเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรง มีสมกำรเป็น
3 2
6 9 4s t t t    โดยที่ s เป็น
ระยะทำงจำกจุดเริ่มต้นมีหน่วยเป็น เมตร เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ไป t วินำที
1. จงหำว่ำวัตถุอยู่ห่ำงจำกจุดเริ่มต้นเป็นระยะทำงเท่ำใด เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ไป 2 วินำที
2. จงหำระยะทำงและควำมเร่ง ในขณะที่ควำมเร็ว เป็น ศูนย์
วิธีทำ 1. จำก 3 2
6 9 4s t t t   
เมื่อเวลำ t = 2 ; 3 2
(2) (2) 6(2) 9(2) 4s    
8 24 18 4
6
   


33. 33แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
ดังนั้น เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ไป 2 วินำที วัตถุจะอยู่ห่ำงจำกจุดเริ่มต้น 6 เมตร
2. จำก 3 2
6 9 4s t t t   
2
( ) 3 12 9
ds
v t t t
dt
   
( ) 6 12
dv
a t t
dt
  
ควำมเร็วเป็นศูนย์เมื่อ ( ) 0
ds
v t
dt
  จะได้
2
3 12 9 0t t  
2
4 3 0t t  
( 3)( 1) 0t t  
1 , 3t 
 หำระยะทำงและควำมเร่ง
เมื่อ t = 1 3 2
(1) (1) 6(1) 9(1) 4s    
1 6 9 4   
8 เมตร
(1) 6(1) 12a  
6 12 
6  เมตร / (วินำที)2
เมื่อ t = 3 3 2
(1) (3) 6(3) 9(3) 4s    
27 54 27 4   
4 เมตร
(3) 6(3) 12a  
18 12 
6 เมตร / (วินำที)2

34. 34แบบฝึกเสริมทักษะแคลคูลัส
…ใบงานที่ 8…
1. ข้ำวเปลือกไหลออกจำกเครื่องกองบนพื้นเป็นรูปกรวย ด้วยอัตรำ 10 ลูกบำศก์ฟุตต่อวินำที ถ้ำรัศมีของปำก
กรวยเป็น 1.5 เท่ำของส่วนสูงเสมอ จงหำว่ำ สูงจะเพิ่มขึ้นเร็วเท่ำไร เมื่อกรวยนี้สูง 5 ฟุต
2. ชำยคนหนึ่งสูง 6 ฟุต เดินด้วยควำมเร็ว 5 ฟุตต่อวินำที เดินเข้ำหำเสำไฟฟ้ำในตอนกลำงคืน โดยที่เสำไฟฟ้ำมี
หลอดไฟสูงจำกพื้น 16 ฟุต จงหำควำมเร็วของเงำในกำรเคลื่อนที่เมื่อชำยคนนั้นอยู่ห่ำงจำกเสำไฟฟ้ำ 10 ฟุต
3. จงหำจุดวิกฤต ค่ำสูงสุดสัมพัทธ์ ค่ำต่ำสุดสัมพัทธ์ ค่ำสูงสุดสัมบูรณ์ และค่ำต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน
ต่อไปนี้
3.1. f (x) = x2
- 2x + 3 บนช่วง [0,1]
3.2. f (x) = x - x2
สำหรับ x∈[0,1]
3.3. f (x) = x - x3
สำหรับ x∈[0,1]
3.4. f (x) = (x + x2
) -1
สำหรับ x∈(0,1)