1. ชุดกิจกรรม ชุดที่ 1
เรื่อง ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
ชื่อ..............................................................
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 /….. เลขที่.................
โดย ครูรัศมี ธัญน้อม
ตาแหน่ง ครูชานาญการ
โรงเรียนพิชัย อาเภอพิชัย จังหวัดอุตรดิตถ์

2. 2
คาชี้แจงสาหรับการใช้ชุดกิจกรรม
เรื่อง การวัดค่ากลางของข้อมูล
ชุดกิจกรรมนี้ มีวัตถุประสงค์เพื่อใช้ในการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ เพื่อพัฒนา
ความสามารถในการแก้โจทย์ปัญหาทางคณิตศาสตร์ เรื่อง การวัดค่ากลางของข้อมูล สาหรับ
นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ได้ใช้กระบวนการ 4 ขั้นตอนของโพลยา ขั้นที่หนึ่ง การทาความ
เข้าใจกับปัญหา (Understanding the problem) ขั้นที่สอง วางแผนแก้ปัญหา (Devising a plan)
ขั้นที่สาม ดาเนินการตามแผน (Carring out plan) ขั้นที่สี่ ตรวจสอบผล( Looking back )
เพื่อให้นักเรียนมีความรู้ มีทักษะในการแก้โจทย์ปัญหา สามารถตีความโจทย์ปัญหาได้ สามารถ
วางแผนในการแก้ปัญหาได้ สามารถดาเนินการแก้ปัญหาตามแผนได้ รู้จักคิดอย่างมีเหตุผล รู้จัก
คิดวางแผนในการทางาน และให้นักเรียนสามารถนาความรู้ไปใช้ในการดาเนินชีวิตประจาวัน โดย
นาโจทย์ปัญหาหรือสถานการณ์ต่างๆ ที่ใช้ภาษาง่าย เหมาะสมกับความสามารถของนักเรียน เป็น
ภาษาที่นักเรียนคุ้นเคย มีนักเรียนเคยฝึกแก้ปัญหา โดยจัดกิจกรรมการเรียนรู้ไว้อย่างเป็นลาดับ
ขั้นตอน เพื่อความสะดวกแก่ครูผู้สอน และเปิดโอกาสให้นักเรียนมีส่วนร่วมในการเรียน โดยใช้
กิจกรรมที่หลากหลายให้สอดคล้องกับธรรมชาติและลักษณะของผู้เรียน
องค์ประกอบของชุดกิจกรรม
ผลการเรียนรู้
สาระการเรียนรู้
จุดประสงค์การเรียนรู้
คู่มือการใช้ชุดกิจกรรม
บทบาทของครู
สิ่งที่ต้องเตรียม
การจัดสถานที่เรียน
การประเมินผล
สื่อประกอบชุดกิจกรรม
ใบความรู้
ใบกิจกรรม
เฉลยกิจกรรม
แบบประเมินผล

3. 3
องค์ประกอบของชุดกิจกรรม
ชุดกิจกรรมนี้เป็นชุดกิจกรรมเพื่อแก้โจทย์ปัญหาการวัดค่ากลางของข้อมูล โดยใช้
กระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา สาหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
1. ผลการเรียนรู้
1. หาค่ากลางของข้อมูลได้
2. สามารถเลือกใช้ค่ากลางได้เหมาะสมกับข้อมูล
2. สาระการเรียนรู้
1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
2. มัธยฐาน
3. ฐานนิยม
4. ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิค
5. ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต
3. จุดประสงค์การเรียนรู้
1. นักเรียนสามารถทาความเข้าใจโจทย์ปัญหาของการวัดค่ากลางของข้อมูล
2. นักเรียนสามารถวางแผนการแก้ปัญหาได้
3. นักเรียนสามารถดาเนินการแก้ปัญหาตามแผนได้
4. นักเรียนสามารถตรวจสอบคาตอบได้

4. 4
คู่มือการใช้ชุดกิจกรรม
ชุดที่ 1 เรื่อง ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
1. บทบาทของครูผู้สอน
1.1 ครูผู้สอนเตรียมตัวให้พร้อม โดยศึกษารายละเอียดเกี่ยวกับการใช้ชุดกิจกรรมและ
เตรียมสื่อการเรียนที่ใช้ประกอบการจัดการเรียนรู้
1.2 การจัดกิจกรรมการเรียนรู้ ครูต้องจัดกิจกรรมให้ครบตามที่กาหนดไว้ เพื่อให้
กิจกรรมนั้นเป็นอย่างต่อเนื่องและบรรลุตามวัตถุประสงค์
1.3 ก่อนจัดกิจกรรมการเรียนรู้ทุกครั้ง ครูต้องอธิบาย ชี้แจงการปฏิบัติกิจกรรมให้
ชัดเจนให้นักเรียนได้เข้าใจตรงกัน จึงจะทาให้การจัดกิจกรรมการเรียนรู้บรรลุตามเป้ าหมายและมี
ประสิทธิภาพ
1.4 ครูควรกระตุ้นให้นักเรียนทุกคนมีส่วนร่วมในการทากิจกรรม เพื่อเป็นการฝึกให้
นักเรียนรู้จักทางานร่วมกัน ช่วยเหลือซึ่งกันและกัน รับผิดชอบในหน้าที่ที่ได้รับมอบหมาย
1.5 ก่อนจัดกิจกรรมการเรียนรู้เสร็จสิ้นลง ในแต่ละกิจกรรมให้นักเรียนแต่ละกลุ่มส่ง
ตัวแทนมานาเสนอผลงาน ครูและนักเรียนร่วมกันประเมินผลการเรียนรู้ของนักเรียนแต่ละกลุ่ม
2. สิ่งที่ครูต้องเตรียม
ครูต้องเตรียมสื่อการจัดการเรียนรู้ให้ครบตามขั้นตอนของชุดกิจกรรม ดังนี้
2.1 ใบความรู้
2.2 ใบกิจกรรม
2.3 เครื่องคอมพิวเตอร์(ถ้ามี)
3. การจัดชั้นเรียน(สถานที่เรียน)
ในการเรียนแต่ละครั้ง ครูจะแบ่งกลุ่มนักเรียนออกเป็นกลุ่มๆละ 4 คน โดยแต่ละกลุ่มให้มี
ทั้งนักเรียนเก่ง อ่อน อย่างละ1 คน ปานกลาง 2 คน คละกัน แล้วให้สมาชิกในแต่ละกลุ่มเลือก
ประธานกลุ่มและเลขาของกลุ่ม แบ่งหน้าที่ในการทากิจกรรมและหมุนเวียนหน้าที่กันในกลุ่ม
ช่วยกันทางานกลุ่ม ซึ่งนักเรียนจะอยู่กลุ่มเดียวกันจนสิ้นสุดการสอน

5. 5
ผังการจัดสถานที่เรียน
ห้องศูนย์คณิตศาสตร์
ครู
กลุ่ม 1 กลุ่ม 2 กลุ่ม 3 กลุ่ม 4
กลุ่ม 5 กลุ่ม 6 กลุ่ม 7
กลุ่ม 8 กลุ่ม 9 กลุ่ม 10
4. การประเมินผล
4.1 การประเมินผลการปฏิบัติกิจกรรมในกลุ่ม
4.2 การประเมินผลการปฏิบัติกิจกรรมรายบุคคล

6. 6
ชุดกิจกรรมที่ 1 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
จานวน 5 คาบ ประกอบด้วย
คาแนะนาสาหรับนักเรียน
ใบความรู้ที่ 1 ก โจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์
ใบกิจกรรมที่ 1 ก ขั้นตอนของกระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา
ใบความรู้ที่ 1.1 การเลือกซื้อสินค้าในราคาถูกที่สุด
ใบกิจกรรมที่ 1.1 การเลือกซื้อสินค้าในราคาถูกที่สุด
แบบฝึกทักษะชุดที่ 1.1 สมบัติของซิกมา
แบบฝึกทักษะชุดที่ 1.2 การค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลไม่แจกแจงความถี่
ใบความรู้ที่ 1.2 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้าหนัก
ใบกิจกรรมที่ 1.2 เกรดเฉลี่ยของฉัน
ใบความรู้ที่ 1.3 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม
ใบกิจกรรมที่ 1.3 แก้โจทย์ปัญหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม
ใบความรู้ที่ 1.4 สมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิต
ใบกิจกรรมที่ 1.4 ฝึกใช้สมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิต
ใบความรู้ที่ 1.5 การค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลแจกแจงความถี่
ใบกิจกรรมที่ 1.5 แก้โจทย์ปัญหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต
ใบความรู้ที่ 1.6 การตรวจสอบค่าเฉลี่ยเลขคณิตโดยโปรแกรมเอกซ์เซลล์
ใบกิจกรรมที่ 1.6 สร้างข้อมูล หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต และหาเกรดเฉลี่ย
โดยใช้โปรแกรมเอกซ์เซลล์
แบบทดสอบท้ายชุดกิจกรรม

7. 7
คาแนะนาสาหรับนักเรียน
ชุดกิจกรรมจัดการเรียนรู้คณิตศาสตร์ เรื่อง การวัดค่ากลางของข้อมูล โดยใช้กระบวนการ
แก้ปัญหาของโพลยา สาหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
ในการเรียนแต่ละครั้ง ครูจะแบ่งกลุ่มนักเรียนออกเป็นกลุ่มๆละ 4 คน โดยแต่ละกลุ่มให้มี
ทั้งนักเรียนเก่ง อ่อน อย่างละ1 คน ปานกลาง 2 คน คละกัน แล้วให้สมาชิกในแต่ละกลุ่มเลือก
ประธานกลุ่มและเลขาของกลุ่ม แบ่งหน้าที่ในการทากิจกรรมและหมุนเวียนหน้าที่กันในกลุ่ม
ช่วยกันทางานกลุ่ม ซึ่งนักเรียนจะอยู่กลุ่มเดียวกันจนสิ้นสุดการสอน
ชุดกิจกรรมเหล่านี้ จัดทาขึ้นเพื่อเป็นสื่อการจัดการเรียนรู้กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ซึ่งประกอบด้วยรายละเอียด ดังนี้
1. เนื้อหาสาระการเรียนรู้ มี 6 ชุดกิจกรรม ดังนี้
ชุดกิจกรรมที่ 1 เรื่อง ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ใช้เวลา 5 ชั่วโมง
ชุดกิจกรรมที่ 2 เรื่อง มัธยฐาน ใช้เวลา 2 ชั่วโมง
ชุดกิจกรรมที่ 3 เรื่อง ปัญหาฐานนิยม ใช้เวลา 2 ชั่วโมง
ชุดกิจกรรมที่ 4 เรื่อง ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก ใช้เวลา 3 ชั่วโมง
ชุดกิจกรรมที่ 5 เรื่อง ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต ใช้เวลา 3 ชั่วโมง
ชุดกิจกรรมที่ 6 เรื่อง โจทย์ระคน ใช้เวลา 3 ชั่วโมง
2. แบบฝึกกิจกรรมแต่ละเนื้อหาสาระ มีแบบฝึกที่ทาให้ผู้เรียนสามารถเรียนรู้ได้ด้วย
ตนเองจึงเกิดศักยภาพในการแก้โจทย์ปัญหาอย่างแม่นยา
3. แบบทดสอบท้ายชุดกิจกรรม จัดทาไว้แต่ละชุดกิจกรรม เพื่อให้ผู้เรียนได้ทราบผลการ
เรียนรู้แต่ละสาระ แล้วนาไปแก้ไขข้อบกพร่องของตนเอง
4. แบบทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์ทางการเรียน เป็นแบบทดสอบเพื่อวัดศักยภาพของผู้เรียน
หลังการเรียนครบทุกชุดกิจกรรม เพื่อให้ผู้เรียนได้ทราบความก้าวหน้าทางการเรียน
ของตนเอง
ผู้จัดทาหวังว่า ทุกชุดกิจกรรมเล่มนี้จะเป็นประโยชน์แก่ครูผู้สอนที่นาไปจัดการเรียนรู้
ผู้เรียนที่นาไปศึกษาและฝึกฝนด้วยตนเอง และพ่อ แม่ ผู้ปกครองที่นาไปเป็นแนวทางใน
การสร้างเสริมศักยภาพให้กับบุตรหลานได้อย่างแท้จริง

8. 8
ใบความรู้ที่ 1 ก
กระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา
กระบวนการแก้ปัญหา
การมีความรู้เกี่ยวกับกระบวนการแก้ปัญหา ทาให้สามารถแก้ปัญหาได้ดีและกระบวนการ
แก้ปัญหามีบทบาทสาคัญในการพัฒนาคณิตศาสตร์เพราะคาตอบของปัญหาที่ได้จากกระบวนการ
แก้ปัญหาจะทาให้เกิดข้อค้นพบใหม่และเป็นวิธีการที่สามารถนาไปประยุกต์กับปัญหาอื่นๆได้
กระบวนการแก้ปัญหาที่เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปคือ กระบวนการแก้ปัญหาของ Polya (1957)
ซึ่งประกอบด้วยกระบวนการ 4 ขั้นตอนดังนี้
ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจกับปัญหา (Understanding the problem ) ต้องอาศัยทักษะที่สาคัญ
และจาเป็นอีกหลายประการ เช่น ทักษะในการอ่านโจทย์ปัญหา ทักษะการแปลความหมายทางภาษา
ซึ่งผู้เรียนควรแยกแยะได้ว่าโจทย์กาหนดอะไรให้และโจทย์ถามให้หาอะไรหรือพิสูจน์ข้อความใด
ขั้นที่ 2 วางแผนในการแก้ปัญหา( Devising a plan ) เป็นขั้นตอนที่สาคัญที่สุด ต้องอาศัย
ทักษะในการนาความรู้หลักการหรือทฤษฎีที่เรียนรู้มาแล้ว ทักษะในการเลือกใช้ยุทธวิธีที่เหมาะสม
เช่น เลือกใช้การเขียนรูปหรือแผนภาพ ตาราง การสังเกตหาแบบรูปหรือความสัมพันธ์ เป็นต้น
ในบางปัญหาอาจใช้ทักษะในการประมาณค่า คาดการณ์ หรือคาดเดาคาตอบมาประกอบด้วย ผู้สอน
ต้องหาวิธีการฝึกวิเคราะห์แนวคิดในขั้นนี้ให้มาก หลักการวางแผนในการแก้ปัญหาดังนี้
1) เป็นโจทย์ปัญหาที่เคยประสบมาก่อนหรือไม่ หรือมีลักษณะคล้ายคลึงกับโจทย์ที่เคย
แก้ปัญหามาก่อนหรือไม่
2) รู้จักใช้โจทย์ปัญหาที่เกี่ยวข้องหรือสัมพันธ์กับโจทย์ปัญหาที่แก้หรือไม่เพียงใด และ
รู้จักทฤษฎีที่ใช้แก้หรือไม่
3) พิจารณาสิ่งที่ไม่รู้ในโจทย์และพยายามคิดถึงปัญหาที่คุ้นเคย ซึ่งมีสิ่งที่ไม่รู้เหมือนกัน
และพิจารณาดูว่าจะใช้วิธีการแก้ปัญหาที่เคยพบ มาใช้กับโจทย์ปัญหาที่กาลังจะแก้หรือไม่
4) ควรอ่านโจทย์ปัญหาอีกครั้งและวิเคราะห์เพื่อดูความแตกต่างจากปัญหาที่เคยพบมา
หรือไม่
ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน ( Carrying out the plan ) ต้องอาศัยทักษะในการคิดคานวณ
หรือดาเนินการทางคณิตศาสตร์ ทักษะในการพิสูจน์หรืออธิบายและแสดงเหตุผล
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผลที่ได้ ( Looking back ) ต้องอาศัยทักษะการคานวณการประมาณ
คาตอบ การตรวจสอบผลลัพธ์ที่ได้โดยอาศัยคามรู้สึกเชิงจานวน หรือความรู้สึกเชิงปริภูมิ ในการ
พิจารณาความสมเหตุสมผลขอคาตอบที่สอดคล้องกับสถานการณ์หรือปัญหา

9. 9
2. เกณฑ์การประเมิน หรือแนวทางการให้คะแนน
สาหรับการวิจัยในครั้งนี้ จะใช้เกณฑ์การประเมินการแก้ปัญหาของโพลยา
ที่พัฒนาปรับปรุงมาจากแนวทางของกรมวิชาการ (2544) ดังนี้
เกณฑ์การให้คะแนนกระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา (10 คะแนน)
ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจกับปัญหา ( 2 คะแนน )
ขั้นที่ 2 วางแผนในการแก้ปัญหา ( 2 คะแนน )
ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน ( 4 คะแนน )
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบคาตอบ ( 2 คะแนน )
รายละเอียดของการให้คะแนน
ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจกับปัญหา
ให้ 0 คะแนน ไม่สามารถบอกได้ว่าโจทย์กาหนดอะไรและโจทย์ถามอะไร
ให้ 1 คะแนน สามารถบอกได้ว่าโจทย์กาหนดอะไรและโจทย์ถามอะไร
ได้ถูกต้องบางส่วน
ให้ 2 คะแนน สามารถบอกได้ว่าโจทย์กาหนดอะไรและโจทย์ถามอะไรได้
ขั้นที่ 2 วางแผนในการแก้ปัญหา
ให้ 0 คะแนน ถ้าไม่มีการวางแผนในการแก้ปัญหาหรือมีแผนการแก้ปัญหาไม่
เหมาะสม
ให้ 1 คะแนน ถ้ามีแผนการแก้ปัญหาที่ถูกต้องบางส่วนแต่มีบางส่วนไม่ถูกต้อง
ให้ 2 คะแนน ถ้ามีแผนการแก้ปัญหาที่สามารถนาไปใช้แก้ปัญหาได้อย่าง
เหมาะสม
ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน
ให้ 0 คะแนน ถ้าไม่มีคาตอบหรือคาตอบผิด
ให้ 1 คะแนน ใช้วิธีการแก้ปัญหาบางส่วนถูกต้อง ข้อมูลบางส่วนผิดพลาด
จึงทาให้การคานวณผิดพลาด คาตอบผิด
ให้ 2 คะแนน ใช้วิธีการแก้ปัญหาถูกต้อง ข้อมูลบางส่วนผิดพลาด
จึงทาให้การคานวณผิดพลาด แต่มีบางส่วนคานวณถูกต้อง
ให้ 3 คะแนน ใช้วิธีการแก้ปัญหาถูกต้อง ข้อมูลบางส่วนผิดพลาด ส่วนใหญ่
คานวณถูกต้อง ได้คาตอบถูกต้อง
ให้ 4 คะแนน ใช้ยุทธวิธีการแก้ปัญหาสาเร็จอย่างมีประสิทธิภาพ
ได้คาตอบถูกต้อง

10. 10
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบ
ให้ 0 คะแนน ไม่ตรวจสอบคาตอบ หรือคาตอบไม่ตรงกับที่คานวณได้
ให้ 1 คะแนน ตรวจสอบคาตอบ และมีค่าใกล้เคียงกับที่คานวณได้
ให้ 2 คะแนน ตรวจสอบคาตอบ และตรงกับที่คานวณได้
สรุปผลการประเมินกระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา
ระดับคุณภาพ ดีมาก ได้คะแนน 8 - 10
ระดับคุณภาพ ดี ได้คะแนน 6 - 7
ระดับคุณภาพ พอใช้ ได้คะแนน 3 - 5
ระดับคุณภาพ ปรับปรุงได้คะแนน 1 – 2

11. 11
ใบกิจกรรมที่ 1 ก
ชื่อ........................................................ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ ………..เลขที่................
คาชี้แจง ให้นักเรียนตอบคาถามต่อไปนี้ให้สมบูรณ์ที่สุด
1. ให้นักเรียนอธิบายขั้นตอนการดาเนินการในแต่ละขั้นของการแก้ปัญหาของโพลยา
ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจกับปัญหา
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
ขั้นที่ 2 วางแผนในการแก้ปัญหา
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผลที่ได้
…………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………..
ใบความรู้ที่ 1.1

12. 12
ใบความรู้ที่ 1.1
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
ค่ากลางของข้อมูล คือ ตัวเลขทางสถิติเป็นค่าที่ได้จากการคานวณหาค่าที่เหมาะสมที่สุด ที่จะทา
หน้าที่เป็นตัวแทนของข้อมูลชุดนั้นซึ่งช่วยให้สะดวกในการจดจาหรือสรุปเรื่องราวที่เกี่ยวข้องกับ
ข้อมูลนั้นๆ ได้
1.1 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ( Arithmetic mean ) คือ อัตราส่วนระหว่างผลรวมของข้อมูลทั้งหมดกับ
จานวนข้อมูลทั้งหมด แทนด้วยสัญลักษณ์ X และ  เมื่อ X คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่มตัวอย่าง
 คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลไม่แจกแจงความถี่
ให้ x1 , x2 , x3 , . . . , xN เป็นข้อมูลแต่ละตัว

N
i
ix
1
= x1 + x2 + x3 . . . + xN
1) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร (  )
 =
N
x
N
i
i1
N = จานวนข้อมูลของประชากร
2 ) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่มตัวอย่าง (X )
X =
n
x
N
i
i1
n = จานวนข้อมูลของตัวอย่าง
สมบัติของซิกมา
หมายเหตุ สัญลักษณ์ 
N
i
ix
1
แทนผลบวกของตัวแปร x ซึ่งประกอบด้วยค่าจากการสังเกตทั้งหมด
N จานวน เรียกสัญลักษณ์  ว่า ซิกมา
สมบัติของ  ที่ควรทราบมีดังนี้
ถ้า c และ d เป็นค่าคงตัวใดๆ
1) 
N
i
c
1
= Nc
2) 
N
i
icx
1
= 
N
i
ixc
1
3) 

N
i
ii yx
1
)( = 
N
i
ix
1
+ 
N
i
iy
1
4) 

N
i
ii yx
1
)( = 
N
i
ix
1
- 
N
i
iy
1

13. 13
ค่าต่างๆของ  ที่ควรทราบมีดังนี้
1. 
5
1
8
i
= 8 + 8 + 8 + 8 +8 = 5 x 8 = 40
2. 
N
i
ix
1
= )1(
2
N
N
เช่น 
20
1i
ix =
2
)21(20
= 210
3. 
N
i
ix
1
2
=
6
)12)(1(  NNN
3.1 หาผลบวก
25
1
i
ix = 12
+ 22
+ 32
+ 42
+ 52
= 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55
3.2 ใช้สูตร 
N
i
ix
1
2
=
6
)12)(1(  NNN
= )11)(6(
6
5
= 55
4. 
N
i
ix
1
3
=
2
1







N
i
ix =
2
)1(
2 





N
N
4.1 หาผลบวก 
N
i
ix
1
3
= 13
+ 23
+ 33
+ 43
+ 53
= 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225
4.2 ใช้สูตร ถ้า 
N
i
ix
1
3
=
2
)6(5
= ดังนั้น 
N
i
ix
1
3
=
2
1







N
i
ix = (15 = 225
ใช้โจทย์ต่อไปนี้ในตัวอย่างที่ 1 – 4
กาหนด ให้ x1 = 1, x2 = 2 , x3 = 3 , x4 = 4
y1 = 6 , y2 = 7 , y3 = 8 , y 4 = 9 และ c = 5
(แนวคิด x = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
y = 6 + 7 + 8 + 9 = 30
 2
x = 12
+ 22
+ 32
+ 42
= 30
 2
y = 62
+ 72
+ 82
+ 92
= 230
xy = 6 + 14 + 24 + 36 = 80

14. 14
ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ

4
1
)2(
i
ix
วิธีทา 

4
1
)2(
i
ix =   

4
1
4
1
2
i i
ix
= 10 – (4 2 )
= 2
ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ

4
1
)53(
i
iii yyx
วิธีทา 

4
1
)53(
i
iii yyx =
  

4
1
4
1
)53
i i
iii yyx = 3(80) - 5(30)
= 240 – 150
= 90
ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่าของ )3x( i
2
4
1i


วิธีทา )3x( i
2
4
1i


= )96(
4
1
2


i
ii xx
= 30 – 6(10) + 9(4)
= 30 – 60 + 36 = 6
ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่าของ )yx( ii
2
4
1i


วิธีทา )yx( ii
2
4
1i


= )(
4
1
22


i
iiii yyxx
= 30 – 80 + 230
= 180
ตัวอย่างที่ 1 สถานการณ์ นักเรียนไปเลือกซื้อสินค้าจากร้านแห่งหนึ่ง
จะซื้อสินค้าในข้อใดให้ในราคาถูกที่สุดโดยใช้กระบวนการของโพลยา
ซื้อน้ามันพืชขนาด 1 ลิตรในข้อใดราคาถูกที่สุด
ก. ขวดละ 43 บาท
ข. 2 ขวด 85 บาท
ค. 4 ขวด 168 บาท
ง. 6 ขวด 249 บาท
ตารางวิเคราะห์

15. 15
ขั้นที่ การวิเคราะห์
1 ทาความเข้าใจกับปัญหา 1.1 สิ่งที่โจทย์กาหนด
น้ามันพืชขนาด 1 ลิตรในราคาต่างๆกัน
1.2 สิ่งที่โจทย์ถามหาอะไร
ซื้อน้ามันพืชขนาด 1 ลิตรในข้อใดราคาถูกที่สุด
2 วางแผนในการแก้ปัญหา 2.1 เป็นโจทย์เกี่ยวกับเรื่องอะไร
2.2 หาค่าเฉลี่ยของสินค้าหนึ่งหน่วย
3. ดาเนินการตามแผน หาค่าเฉลี่ยของสินค้าหนึ่งหน่วยใช้สูตร
X =
n
x
N
i
i1
ก. ขวดละ 43 บาท (ขวดละ 43 บาท )
ข. 2 ขวด 85 บาท (ขวดละ 42.5 บาท )
ค. 4 ขวด 168 บาท (ขวดละ 42 บาท )
ง. 6 ขวด 249 บาท (ขวดละ 41.50 บาท )
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผลที่ได้

n
i
ix
1
= n X
ดังนั้น ควรเลือกซื้อน้ามันพืชขนาด 1 ลิตร
ในข้อ ง. 6 ขวด 249 บาท(ขวดละ 41.50 บาท )
จึงจะประหยัดที่สุด
ใบกิจกรรมที่ 1.1 การเลือกซื้อสินค้า

16. 16
ชื่อ………………………………………................ชั้น……………….เลขที่………….
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวังข้อที่ 1 หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลได้
สถานการณ์ นักเรียนไปเลือกซื้อสินค้าจากร้านแห่งหนึ่ง จะซื้อสินค้าในข้อใดให้ประหยัดที่สุด
กระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา
1. ซื้อสบู่ขนาด 80 กรัมในข้อใดราคาถูกที่สุด
ก. ก้อนละ 11 บาท
ข. 4 ก้อน 45 บาท(ซื้อ 4 ก้อนแถม 1 ก้อน )
ค. โหลละ 120 บาท
ง. 3 ก้อน 32 บาท
ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจกับปัญหา
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
ขั้นที่ 2 วางแผนในการแก้ปัญหา
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผลที่ได้
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
2. ผงซักฟอกในข้อใดราคาถูกที่สุด

17. 17
ก. 5,000 กรัม กล่องละ 200 บาท
ข. 2500 กรัม กล่องละ 110 บาท
ค. 800 กรัม กล่องละ 45 บาท
ง. 50 กรัม กล่องละ 18 บาท
โดยใช้กระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา
ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจกับปัญหา
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
ขั้นที่ 2 วางแผนในการแก้ปัญหา
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผลที่ได้
……………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
3. ซื้อยาสระผมในข้อใดราคาถูกที่สุด

18. 18
ก. ขวดละ 76 บาท
ข. 2 ขวด 150 บาท
ค. 3 ขวด 218 บาท
ง. 6 ขวด 450 บาท ( ซื้อ 6 ขวดแถม 1 ขวด )
โดยใช้กระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา
ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจกับปัญหา
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
ขั้นที่ 2 วางแผนในการแก้ปัญหา
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผลที่ได้
……………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….

19. 19
แบบฝึกทักษะชุดที่ 1.1
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง ใช้สมบัติของสัญลักษณ์แทนการบวกได้
1. ให้ x1 = 1, x2 = 2 , x3 = 3 , x4 = 4
y1 = 6 , y2 = 7 , y3 = 8 , y 4 = 9 และ c = 5
จงหาค่าของ
1. 
10
1i
c 6. 

3
1
)6(
i
ii yx
2. 
4
1i
ix 7. 

4
1
)(
i
ii cyx
3. 
4
1i
iy 8. 

4
1
)3(
i
ii yx
4. 

4
1
)2(
i
ix 9. 

4
1
2
)5(
i
ix
5. 

4
1
)(
i
ii yx 10. 

4
1
22
)(
i
ii yx
2. ถ้า 
5
1i
iy = 10 และ
25
1
i
iy = 30 จงหาค่าของ
1. 

5
1
)505(
i
iy 2. 

5
1
2
)3(
i
iy
3. ถ้า 
5
1i
ix = 5 และ 
5
1i
iy = - 2 และ i
i
i yx
5
1
= 4 จงหาค่าของ


5
1
)34)(1(
i
ii yx

20. 20
แบบฝึกทักษะชุดที่ 1.2
1. จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต เติมคาตอบลงในตาราง
ข้อมูล ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
1. 11 , 13 , 13 , 16 , 17 , 20
2. 15 , 14 , 16 , 17 , 15 , 14 , 14
3. 10 , 15 , 10 , 5 , 20 , 20 , 10 , 12
4. 10 , 15 , 9 , 8 , 11 , 12 , 17 , 16 , 20 , 14
5. 16 , 21 , 25 , 30 , 38 , 40 , 31 , 25 , 21 , 17
6. 157 , 156 , 160 , 156 , 175 , 160 , 156
7. 163 , 169 , 178 , 179 , 149 , 153 , 156 , 168 , 170 , 168
8. 169 , 158 , 155 , 164 , 165 , 168 , 174 , 162 , 169 , 155
9. 157 , 154 . 148 , 145 , 150 , 148 , 155 , 160 , 159 , 165
10. 160 , 158 , 155 , 164 , 155 , 160 , 174 , 162 , 160 , 155

21. 21
ใบความรู้ที่ 1.2 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้าหนัก
1.2 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้าหนัก ( Weighted Arithmetic Mean )
การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้าหนักนี้ใช้ในกรณีที่ข้อมูลแต่ละค่ามีความสาคัญไม่เท่ากัน
เช่น การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบ 4 วิชา ที่แต่ละวิชาใช้เวลาเรียนในแต่ละสัปดาห์
ไม่เท่ากัน
ถ้าให้ w 1 ,w 2 ,w 3 , . . . , w N เป็นความสาคัญหรือน้าหนักถ่วงของค่าจากการสังเกต
x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x N ตามลาดับ
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้าหนัก ( ) =
N
NN
wwww
xwxwxwxw


...
...
321
332211
=




N
i
i
N
i
ii
w
xw
1
1
ตัวอย่างที่ 1 ผลการสอบของ ด.ช. เอ วิชาคณิตศาสตร์ ภาษาไทย และภาษาอังกฤษ ได้ผลการเรียน
เป็น4 ,3 และ 2 ตามลาดับ แต่ละวิชามีหน่วยการเรียน 2.5 , 2 และ 1.5 ตามลาดับ ดังนี้
จงหาเกรดเฉลี่ย 3 วิชาของ ด.ช. เอ โดยใช้กระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา
ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจกับปัญหา
1.1 สิ่งที่โจทย์กาหนด หน่วยการเรียนและผลการเรียน
1.2 สิ่งที่โจทย์ถามหาอะไร จงหาเกรดเฉลี่ย 3 วิชาของ ด.ช. เอ
ขั้นที่ 2 วางแผนในการแก้ปัญหา
2.1 โจทย์ให้หาเกรดเฉลี่ย 3 วิชาของ ด.ช. เอ (หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้าหนัก)
ถ้าถามหาเกรดเฉลี่ยจะนา
3
234 
= 3 ไม่ได้เพราะ จะเกิดความไม่ยุติธรรม
เนื่องจากไม่ได้นาหน่วยการเรียนของแต่ละวิชามาคิดด้วย
2.2 ใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้าหนัก ( ) = =




N
i
i
N
i
ii
w
xw
1
1
ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน
หาคาตอบจากสูตรในข้อ 2.2

22. 22
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผลที่ได้
i
n
i
i wx1
=  
n
i
iw
1
16 = 3.17  6
วิธีทา ถ้าถามหาเกรดเฉลี่ยจะนา
3
234 
= 3 ไม่ได้เพราะ จะเกิดความไม่ยุติธรรม
เนื่องจากไม่ได้นาหน่วยการเรียนของแต่ละวิชามาคิดด้วย
ต้องหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงน้าหนัก ( ) = =




N
i
i
N
i
ii
w
xw
1
1
=
5.125.2
)2)(5.1()3)(2()4)(5.2(


=
6
3610 
=
6
19
= 3.17
ดังนั้นเกรดเฉลี่ย 3 วิชาของ ด.ช. เอ เท่ากับ 3.17

23. 23
ใบกิจกรรมที่ 1.2 เกรดเฉลี่ยของฉัน
ชื่อ………………………………………................ชั้น……………….เลขที่………….
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวังข้อที่ 1 หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลได้(ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้าหนัก)
ผลการสอบของนักเรียน 4 คน จงหาเกรดเฉลี่ย และเรียงลาดับของเกรดเฉลี่ย
วิชา
หน่วย
วิทยาศาสตร์
1.5
คณิตศาสตร์
2.0
อังกฤษ
1.0
สังคม
1.0
ภาษาไทย
1.5
เกรด
เฉลี่ย
ลาดับที่
นาย เอ 3.0 2.5 3.0 2.5 2.5
นาย บี 2.5 3.5 3.5 3.0 3.0
นาย ซี 2.0 3.5 3.0 2.5 3.0
นาย ดี 3.0 3.5 2.5 3.0 2.5
นาย อี 2.5 2.0 3.0 3.5 2.5
ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจกับปัญหา
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
ขั้นที่ 2 วางแผนในการแก้ปัญหา
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผลที่ได้
……………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
เกรดเฉลี่ยของนาย เอ ...........................ลาดับที่................
เกรดเฉลี่ยของนาย บี ...........................ลาดับที่................
เกรดเฉลี่ยของนาย ซี ...........................ลาดับที่................
เกรดเฉลี่ยของนาย ดี ...........................ลาดับที่................
เกรดเฉลี่ยของนาย อี ...........................ลาดับที่................

24. 24
ใบความรู้ที่ 1.3 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวังข้อที่ 1 หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลได้
1.3 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม ( Combined Arithmetic Mean )
ในการวิเคราะห์ข้อมูลหลายๆ ชุดที่หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของแต่ละชุดไว้แล้ว หากผู้วิเคราะห์
ถามทราบค่าเฉลี่ยของข้อมูลทั้งหมดโดยนับรวมเป็นชุดเดียวกันก็สามารถหาได้จากค่าเฉลี่ยเลข
คณิตของข้อมูล แต่ละชุดที่คานวณไว้แล้วกล่าวคือ
ถ้าให้ X 1 , X 2 , X 3 , . . . , X k เป็นค่าเฉลี่ยของข้อมูลชุดที่ 1 , 2, 3 ,…,k ตามลาดับ
n1 , n2 , n3 , . . . , nk เป็นจานวนค่าจากการสังเกตในข้อมูลชุดที่ 1 , 2, 3 ,…,k ตามลาดับ
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม (X รวม ) =




k
1i
i
k
1i
ii
n
Xn
ตัวอย่างที่ 1 ถ้าน้าหนักเฉลี่ยของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปี่ที่ 6/1 , 6/2 , 6/3 6/4 และ 6/5 ของ
โรงเรียนแห่งหนึ่งเป็น 53 , 52 , 50 , 55 และ 50 ปีตามลาดับ โรงเรียนแห่งนี้มีนักเรียนแต่ละชั้น
ดังกล่าวเป็น 44 , 47 , 46 , 43 และ 35 คน ตามลาดับ จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมน้าหนักของ
นักเรียนของมัธยมศึกษาปี่ที่ 6 ทั้งห้าห้องรวมกัน โดยใช้กระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา
วิธีทา
ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจกับปัญหา
1.1 สิ่งที่โจทย์กาหนด (ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและจานวนนักเรียน)
1.2 สิ่งที่โจทย์ถามหาอะไร (ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมน้าหนักของนักเรียน)
ขั้นที่ 2 วางแผนในการแก้ปัญหา
2.1 โจทย์ให้หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม
2.2 ใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม (X รวม ) =




k
1i
i
k
1i
ii
n
Xn
ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน
หาคาตอบจากสูตรในข้อ 2.2

25. 25
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผลที่ได้
i
k
1i
i Xn

= X รวม 
k
i
in
1
11191 = 52.05215
วิธีทา ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม (X รวม ) =




k
1i
i
k
1i
ii
n
Xn
=
3543464744
)3550()4355()4650()4752()4453(


=
215
17502365230024442332 
=
215
11191
= 52.05
ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมของน้าหนักของนักเรียนของมัธยมศึกษาปี่ที่ 6
เท่ากับ 52.05 กิโลกรัม

26. 26
ใบกิจกรรมที่ 1.3 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม
ชื่อ………………………………………................ชั้น……………….เลขที่………….
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม( Combine Arithmetic Mean )
คะแนนสอบวัดความรู้พื้นฐานวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
ปีการศึกษา 2552 คือ ม. 6/1 – ม. 6/5 ได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตดังนี้
ชั้น จานวน(คน) n ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (X ) nX
ม. 6/1 44 29.45
ม. 6/2 47 20.70
ม. 6/3 46 17.17
ม. 6/4 43 13.67
ม. 6/5 35 13.63
รวม 215
จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม
ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจกับปัญหา
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
ขั้นที่ 2 วางแผนในการแก้ปัญหา
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผลที่ได้
……………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….

27. 27
ใบความรู้ที่ 1.4
สมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิต
1.4 สมบัติที่สาคัญของค่าเฉลี่ยเลขคณิต
(1) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเมื่อคูณกับจานวนข้อมูลทั้งหมด ไม่ว่าจะเป็นทั้งประชากรขนาด Nหรือ
ตัวอย่างขนาด n จะมีค่าเท่ากับผลรวมของข้อมูลทุกๆค่าตามลาดับดังนี้

N
i
ix
1
= N N และ 
n
i
ix
1
= n nX
(2) ผลรวมของความแตกต่างระหว่างแต่ละค่าของข้อมูลจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนั้น
เท่ากับ 0
กล่าวคือ 

N
i
ix
1
)(  = 0 และ 


n
1i
i )Xx( = 0
(3) ผลรวมของความแตกต่างกาลังสองของแต่ละข้อมูลจากจานวน M ใดๆ จะมีค่าน้อยที่สุด
เมื่อ M เท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนั้นกล่าวคือ
2
1
)(

N
i
i Mx น้อยที่สุด M = 
และ
2
1
)(

n
i
i Mx น้อยที่สุด M = X
สมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิต
1. ถ้าบวกข้อมูลทุกตัวด้วยค่าคงตัวค่าหนึ่ง c
X ใหม่ = X เดิม + c
2. ถ้าลบข้อมูลทุกตัวด้วยค่าคงตัวค่าหนึ่ง c
X ใหม่ = X เดิม - c
3. ถ้าคูณข้อมูลทุกตัวด้วยค่าคงตัวค่าหนึ่ง c
X ใหม่ = X เดิม x c
4. ถ้าหารข้อมูลทุกตัวด้วยค่าคงตัวค่าหนึ่ง c
X ใหม่ = X เดิม  c
5. ถ้าตัดข้อมูลที่เท่ากับ X ออก1 จานวน
X ใหม่ จะเท่าเดิม
6. ถ้าตัดข้อมูลที่น้อยกว่า X ออก1 จานวน
X ใหม่ จะมากกว่าเดิม
7. ถ้าตัดข้อมูลที่มากกว่า X ออก1 จานวน
X ใหม่ จะน้อยกว่าเดิม

28. 28
ใบกิจกรรมที่ 1.4
ชื่อ………………………………………................ชั้น……………….เลขที่………….
กิจกรรมที่ 1.4 กาหนดให้ข้อมูล
กลุ่มที่ 1 นา 2 บวกข้อมูลทุกตัว
กลุ่มที่ 2 นา 2 ลบข้อมูลทุกตัว
กลุ่มที่ 3 นา 2 คูณข้อมูลทุกตัว
กลุ่มที่ 4 นา 2 หารข้อมูลทุกตัว
จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดใหม่และสรุปสมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิต
1. นา 2 บวกข้อมูลทุกตัว
ข้อมูลเดิม……………………………………
ข้อมูลใหม่……………………………………
X เดิม =
X ใหม่ =
สรุป
……………………………………………….
………………………………………………..
2. นา 2 ลบข้อมูลทุกตัว
ข้อมูลเดิม……………………………………
ข้อมูลใหม่……………………………………
X เดิม =
X ใหม่ =
สรุป
…………………………………………………..
…………………………………………………
3. นา 2 คูณข้อมูลทุกตัว
ข้อมูลเดิม……………………………………
ข้อมูลใหม่……………………………………
X เดิม =
X ใหม่ =
สรุป
………………………………………………..
………………………………………………..
4. นา 2 หารข้อมูลทุกตัว
ข้อมูลเดิม……………………………………
ข้อมูลใหม่……………………………………
X เดิม =
X ใหม่ =
สรุป
………………………………………………..
………………………………………………..
2 4 6 8 10

29. 29
ใบความรู้ที่ 1.5
1.5 การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว
ถ้าให้ f1 เป็นความถี่ของค่าจากการสังเกต x1 , f2 เป็นความถี่ของค่าจากการสังเกต x2
ไปเรื่อยๆจนถึง fk เป็นความถี่ของค่าจากการสังเกต xk แล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ
 =
k
kk
ffff
xfxfxfxf


...
...
321
332211
=




k
i
i
k
i
ii
f
xf
1
1
=
N
xf
k
i
ii1
เมื่อ N เป็นจานวนค่าจากการสังเกตทั้งหมด หรือ N = 
k
i
if
1
xi เป็นจุดกึ่งกลางของชั้นที่ i , k เป็นจานวนอันตรภาคชั้น
หมายเหตุ ถ้าเป็นค่าเฉลี่ยของตัวอย่างที่เป็นตัวแทนของประชากรยังคงใช้สูตรของค่าเฉลี่ย
แบบเดิม แต่เปลี่ยน  เป็น X และหารด้วย n แทน N
ตัวอย่างที่ 1 ข้อมูลต่อไปนี้เป็นคะแนนสอบกลางภาควิชาคณิตศาสตร์รอบรู้ 5
ซึ่งมีคะแนนเต็ม 20 คะแนน ของนักเรียน 20 คน ดังนี้
คะแนน 1 – 5 6 – 10 11- 15 16 – 20
ความถี่ (f) 4 5 8 3
จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต โดยใช้กระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา
วิธีทา ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจกับปัญหา
1.1 สิ่งที่โจทย์กาหนด คะแนนและความถี่
1.2 สิ่งที่โจทย์ถามหาอะไร จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต
ขั้นที่ 2 วางแผนในการแก้ปัญหา
2.1 สร้างตารางแจกแจงความถี่
2.2 กาหนดตัวแปร x แทนจุดกึ่งกลางชั้น และ f แทนความถี่
ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน
3. 1 สร้างตารางแจกแจงความถี่ หาจุดกึ่งกลางชั้น(x) และหา fx
3.2 แสดงวิธีการคานวณคาตอบ ใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิต X =
N
xf
N
i
ii1

30. 30
ตารางที่ 1.5 ก หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต
คะแนน ความถี่ (f) จุดกึ่งกลางชั้น (x) ความถี่ xจุดกึ่งกลางชั้น = (f)(x)
1 – 5 4 3 12
6 – 10 5 8 40
11- 15 8 13 104
16 – 20 3 18 54
รวม 20 - 210
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต X =
N
xf
N
i
ii1
=
20
210
= 10.5
ดังนั้น คะแนนเฉลี่ยของการสอบ เท่ากับ 10.5 คะแนน
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผลที่ได้
4.1 เขียนคาตอบที่โจทย์ถาม ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (X ) = 10.5
4.2 แสดงวิธีการตรวจผลของคาตอบ
N X = 
N
i
ii xf
1
2010.5 = 210

31. 31
ใบกิจกรรมที่ 1.5
ชื่อ………………………………………................ชั้น……………….เลขที่………….
คาชี้แจง ให้นักเรียนหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตโดยสร้างเป็นตารางแจกแจงความถี่
ตารางแจกแจงความถี่แสดงความสูง ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6/1 จานวน 50 คน ดังนี้
ความสูง(ซม.) 145 - 149 150 - 154 155 - 159 160 - 164 1 65 - 169 170 - 174 175 - 179
จานวน(คน) 6 10 11 5 9 7 2
จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตโดยใช้กระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา
ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจกับปัญหา
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
ขั้นที่ 2 วางแผนในการแก้ปัญหา
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน
ตารางที่ 1.5 ข หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต
ความสูง ความถี่ (f) จุดกึ่งกลางชั้น (x) ความถี่ x จุดกึ่งกลางชั้น
145 - 149 6
150 - 154 10
155 - 159 11
160 - 164 5
165 - 169 9
170 - 174 7
175 - 179 2
รวม 50
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผลที่ได้
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….

32. 32
ใบความรู้ที่1.6
เรื่อง การตรวจสอบคาตอบค่าเฉลี่ยเลขคณิต
โดยใช้โปรแกรมเอกซ์เซลล์(Excel)
มารู้จักกับโปรแกรม Excel กันเถอะ
บทนา
การใช้โปรแกรม Excel สาหรับการวิเคราะห์สถิติเบื้องต้น
Microsoft Excel เป็นโปรแกรมที่มีความสามารถในการจัดการข้อมูลในเรื่องของตารางได้
อย่างดี และมีความสะดวกในการใช้งาน Excel สามารถคานวณได้อย่างแม่นยา ซึ่งมีจุดเด่นคือ เมื่อ
ค่าที่ใช้เป็นตัวตั้งในสูตรคานวณเปลี่ยนไป ผลลัพธ์ที่ได้จากการคานวณก็จะเปลี่ยนไปเป็นแบบ
อัตโนมัติ (ณรงค์ศรีสมาน.2547 : 102 -103) โปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่ใช้สาหรับการคานวณทาง
สถิติในปัจจุบันมีอยู่หลายโปรแกรม เช่น NySCC , SPSS , SAS , STATA ฯลฯ ซึ่งเป็นโปรแกรมที่
นิยมใช้ โดยแต่ละโปรแกรมมีข้อเด่นแตกต่างกันไป แล้วแต่ประเภทหรือลักษณะของการใช้งาน
ของผู้ใช้ นอกจากโปรแกรมที่กล่าวข้างต้นแล้ว โปรแกรม Excel ที่มีอยู่ในMicrosoft Office ซึ่ง
เป็นโปรแกรมที่ใช้ทั่วๆไปในเครื่องคอมพิวเตอร์ก็สามารถใช้การวิเคราะห์ข้อมูลทางสถิติได้เช่นกัน
มารู้จักกับความหมายของคาต่างๆที่ใช้ในโปรแกรม Excel กันเถอะ
Row แถว
Column หลัก

N
i
iX
1
ผลบวก
AVERAGE ค่าเฉลี่ย
SUM ผลบวก
MAX ค่าสูงสุด
MIN ค่าต่าสุด
STDEV ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

33. 33
1. หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลการใช้โปรแกรม Excel
หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดใหม่ที่เกิดจากการนาค่าคงตัวค่าหนึ่ง บวก ลบ คูณและหารข้อมูล
ชุดเดิม
1. พิมพ์ข้อมูลใน Column A1:A10 (นักเรียนกาหนดขึ้นมาเอง)
2. นาค่าคงตัวค่าหนึ่ง บวก ลบ คูณและหารข้อมูลชุดเดิม
2.1 นา 5 บวกข้อมูลทุกตัว สร้างฟังก์ชันดังนี้
คลิก Column B1 สร้างฟังก์ชัน= (A1:A10)+5 แล้วคลิก Enter
คลิก Column B1 ลากลงมา
2.2 นา 8 ลบข้อมูลทุกตัว สร้างฟังก์ชันดังนี้
คลิก Column C1 สร้างฟังก์ชัน= (A1:A10)-8 แล้วคลิก Enter
คลิก Column C1 ลากลงมา
2.3 นา 3 คูณข้อมูลทุกตัว สร้างฟังก์ชันดังนี้
คลิก Column D1 สร้างฟังก์ชัน= (A1:A10)*3 แล้วคลิก Enter
คลิก Column D1 ลากลงมา
2.4 นา 5 หารข้อมูลทุกตัว สร้างฟังก์ชันดังนี้
คลิก Column E1 สร้างฟังก์ชัน= (A1:A10)/5 แล้วคลิก Enter
คลิก Column E1 ลากลงมา
3. หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดใหม่
3.1 นาลูกศรคลิกที่ fx
3.2 เมื่อปรากฎหน้าต่าง เลือกที่ =AVERAGE(B1:B10) จากนั้นคลิก OK
(เปลี่ยน Column ตามช่องตัวอักษรที่สร้างขึ้น)
จะได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดใหม่และนักเรียนช่วยกันสรุปสมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิต
ดังรูป

34. 34

35. 35
สรุป สมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้ดังนี้
ให้ c เป็นค่าคงตัวค่าหนึ่ง ; c > 0
1. ถ้าบวกข้อมูลทุกตัวด้วยค่าคงตัวค่าหนึ่ง c
X ใหม่ = X เดิม + c
2. ถ้าลบข้อมูลทุกตัวด้วยค่าคงตัวค่าหนึ่ง c
X ใหม่ = X เดิม - c
3. ถ้าคูณข้อมูลทุกตัวด้วยค่าคงตัวค่าหนึ่ง c
X ใหม่ = X เดิม x c
4. ถ้าหารข้อมูลทุกตัวด้วยค่าคงตัวค่าหนึ่ง c
X ใหม่ = X เดิม  c
ใบกิจกรรมที่ 1.6
คาสั่ง จงใช้โปรแกรมExcel สร้างข้อมูลต่อไปนี้
1. ให้นักเรียนสร้างข้อมูล 10 ตัวโดยใช้โปรแกรมExcel แล้ว
2.1 นา 10 บวกข้อมูลทุกตัว
2.2 นา 5 ลบข้อมูลทุกตัว
2.3 นา 4 คูณข้อมูลทุกตัว
2.4 นา 2 หารข้อมูลทุกตัว
จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดเดิมและชุดใหม่ พร้อมกับสรุปสมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิต
2. ให้นักเรียนใช้โปรแกรมExcel คิดเกรดเฉลี่ยในภาคเรียนที่ 2 ปีการศึกษา 2552 ของตนเอง
แล้ว Print งาน ใส่กระดาษขนาด A4 มาส่งครู
การคิดเกรดเฉลี่ยโดยใช้โปรแกรมExcel
1. พิมพ์ชื่อวิชาใน Column A
2. พิมพ์จานวนหน่วยกิตของแต่ละวิชาใน Column B
3. พิมพ์เกรดที่นักเรียนได้ใน Column C
4. สร้างฟังก์ชันหาผลคูณคือ =B1:C1 ในช่อง D1 เพื่อให้ได้ผลคูณระหว่างหน่วยกิตกับเกรด แล้ว
พิมพ์=B2:C2 ในช่อง D2 จากนั้นพิมพ์คล้าย ๆ กันใน D3, D4,……
5. สร้างฟังก์ชันหาเกรดเฉลี่ยคือ =sum(D1:D…)/ จานวนหน่วยกิตทั้งหมด

36. 36
แบบทดสอบท้ายชุดกิจกรรม ชุดที่ 1 เรื่องค่าเฉลี่ยเลขคณิต
วิชาคณิตศาสตร์รอบรู้ 5 ( ค43201 ) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แผนการเรียน วิทย์-คณิต
คาสั่ง จงเลือกคาตอบที่ถูกที่สุดเพียงข้อเดียว
จุดประสงค์ที่ 1 หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต ของข้อมูลได้
1. ซื้อยาสระผมในข้อใดราคาถูกที่สุด
ก. ขวดละ 76 บาท
ข. 2 ขวด 150 บาท
ค. 3 ขวด 218 บาท
ง. 6 ขวด 450 บาท ( ซื้อ 6 ขวดแถม 1 ขวด )
2. ซื้อน้ามันพืชในข้อใดราคาถูกที่สุด
ก. ขวดละ 32 บาท
ข. 2 ขวด 57 บาท
ค. โหลละ 324 บาท
ง. 3 ขวด 85 บาท
3. ผงซักฟอกในข้อใดราคาถูกที่สุด
ก. 5,000 กรัม กล่องละ 200 บาท
ข. 2500 กรัม กล่องละ 110 บาท
ค. 800 กรัม กล่องละ 45 บาท
ง. 50 กรัม กล่องละ 18 บาท
4. ซื้อสบู่ในข้อใดราคาถูกที่สุด
ก. ก้อนละ 21.75 บาท
ข. 4 ก้อน 82.50 บาท ( ซื้อ 4 ก้อน แถม 1 ก้อน )
ค. โหลละ 250 บาท
ง. 3 ก้อน 55.50 บาท
5. ผลการสอบ 5 วิชา ในภาคเรียนที่ 1 ของนายหนึ่ง
เป็นดังนี้
วิชา ผลการเรียน หน่วยกิต
1. คณิต 4 2.5
2. อังกฤษ 3 2
3. สังคม 4 2
4. ภาษาไทย 3 2
5. ฟิสิกส์ 3 1.5
จงหาเกรดเฉลี่ย
ก. 2.03 ข. 3.25
ค. 3.45 ง. 3.54
6. ผลการสอบกลางภาควิชาคณิตศาสตร์ ของนักเรียน
กลุ่มหนึ่งจานวน 20 คน เป็นดังนี้
คะแนน ความถี่
1 - 5 4
6 - 10 9
11 - 15 2
16 - 20 5
รวม 20
จงหาคะแนนเฉลี่ยของนักเรียนกลุ่มนี้
ก. 9 ข. 9.5
ค. 10 ง. 10.5

37. 37
แบบทดสอบท้ายชุดกิจกรรม ชุดที่ 1 เรื่องค่าเฉลี่ยเลขคณิต
วิชาคณิตศาสตร์รอบรู้ 5 ( ค43201 ) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แผนการเรียน วิทย์-คณิต
7. ถ้าความสัมพันธ์ระหว่างราคาซื้อ (B) และ
ราคาขาย (S) ของสินค้าชนิดหนึ่งเป็น
S = 10 + 1.4B
และพ่อค่า 5 ราย ซื้อสินค้าดังกล่าวมาด้วยราคา
80 , 85 , 70 , 80 , 75 บาท ตามลาดับ
จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของราคาขายของสินค้า
ชนิดนี้
ก. 115 ข. 119.2
ค. 120.6 ง. 124.8
8. จากการสารวจอุณหภูมิสูงสุดในแต่ละ
วันในสัปดาห์หนึ่ง พบว่า อุณหภูมิต่าสุด
เป็นองศาเซลเซียส (o
C) เป็นดังนี้
14 , 15 , 12 , 13, 15 , 14 , 15
จงหาอุณหภูมิเฉลี่ยเป็นองศาฟาเรนไฮต์
(o
F ) ( ให้ F =
5
9
c + 32 )
ก. 14 ข. 15
ค. 46 ง. 57.2
9. นักเรียนชั้นหนึ่งมี 100 คน แบ่งเป็น 2 กลุ่ม
ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ปรากฎว่าคะแนน
เฉลี่ยของนักเรียนทั้งหมดเท่ากับ 55.3 ถ้า
นักเรียนกลุ่ม 1 มากกว่านักเรียนกลุ่ม 2 อยู่ 6 คน
และคะแนนเฉลี่ยของกลุ่ม 1 เป็น 60
จงหาคะแนนของนักเรียนกลุ่ม 2
ก. 50 ข. 50.6
ค. 55.3 ง. 57.65
10. โรงเรียนแห่งหนึ่งมีนักเรียน 3 ห้อง ห้องที่
หนึ่ง มีนักเรียน 40 คน ห้องที่สองมีนักเรียน
30 คน ห้องที่ 3 มีนักเรียน 30 คน ในการสอบ
วิชาคณิตศาสตร์ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของนักเรียน
ทั้งสามห้องเป็น 25 , 20 และ 18 ตามลาดับ
จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมทั้งสามห้อง
ก. 21.4 ข. 25.42
ค. 30.26 ง. 33.97

38. 38
เกณฑ์การประเมิน หรือแนวทางการให้คะแนน
สาหรับการวิจัยในครั้งนี้ จะใช้เกณฑ์การประเมินการแก้ปัญหาของโพลยา
ที่พัฒนาปรับปรุงมาจากแนวทางของกรมวิชาการ (2544) ดังนี้
เกณฑ์การให้คะแนนกระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา (10 คะแนน)
ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจกับปัญหา ( 2 คะแนน )
ขั้นที่ 2 วางแผนในการแก้ปัญหา ( 2 คะแนน )
ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน ( 4 คะแนน )
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบคาตอบ ( 2 คะแนน )
รายละเอียดของการให้คะแนน
ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจกับปัญหา
ให้ 0 คะแนน ถ้าเข้าใจผิดพลาด
ให้ 1 คะแนน ถ้ามีบางส่วนเข้าใจผิดพลาด แต่มีบางส่วนเข้าใจถูกต้อง
ให้ 2 คะแนน ถ้าเข้าใจปัญหาอย่างถูกต้อง
ขั้นที่ 2 วางแผนในการแก้ปัญหา
ให้ 0 คะแนน ถ้าไม่มีการวางแผนในการแก้ปัญหาหรือมีแผนการแก้ปัญหาไม่
เหมาะสม
ให้ 1 คะแนน ถ้ามีแผนการแก้ปัญหาที่ถูกต้องบางส่วนแต่มีบางส่วนไม่ถูกต้อง
ให้ 2 คะแนน ถ้ามีแผนการแก้ปัญหาที่สามารถนาไปใช้แก้ปัญหาได้อย่าง
เหมาะสม
ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน
ให้ 0 คะแนน ถ้าไม่มีคาตอบหรือคาตอบผิด
ให้ 1 คะแนน ใช้วิธีการแก้ปัญหาบางส่วนถูกต้อง ข้อมูลบางส่วนผิดพลาด
จึงทาให้การคานวณผิดพลาด คาตอบผิด
ให้ 2 คะแนน ใช้วิธีการแก้ปัญหาถูกต้อง ข้อมูลบางส่วนผิดพลาด
จึงทาให้การคานวณผิดพลาด แต่มีบางส่วนคานวณถูกต้อง
ให้ 3 คะแนน ใช้วิธีการแก้ปัญหาถูกต้อง ข้อมูลบางส่วนผิดพลาด ส่วนใหญ่
คานวณถูกต้อง ได้คาตอบถูกต้อง
ให้ 4 คะแนน ใช้ยุทธวิธีการแก้ปัญหาสาเร็จอย่างมีประสิทธิภาพ
ได้คาตอบถูกต้อง

39. 39
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบ
ให้ 0 คะแนน ไม่ตรวจสอบคาตอบ หรือคาตอบไม่ตรงกับที่คานวณได้
ให้ 1 คะแนน ตรวจสอบคาตอบ และมีค่าใกล้เคียงกับที่คานวณได้
ให้ 2 คะแนน ตรวจสอบคาตอบ และตรงกับที่คานวณได้
สรุปผลการประเมินกระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา
ระดับคุณภาพ ดีมาก ได้คะแนน 8 - 10
ระดับคุณภาพ ดี ได้คะแนน 6 - 7
ระดับคุณภาพ พอใช้ ได้คะแนน 3 - 5
ระดับคุณภาพ ปรับปรุงได้คะแนน 1 – 2
เกณฑ์การประเมินด้านคุณลักษณะ
มีความรับผิดชอบ
4 หมายถึง ส่งงานก่อนกาหนด รับผิดชอบงานที่ได้รับมอบหมายและปฏิบัติเองจน
เป็นนิสัย เป็นระบบ ช่วยเหลือผู้อื่นและแนะนาชักชวนผู้อื่นปฏิบัติ
3 หมายถึง ส่งงานตรงตามกาหนด รับผิดชอบงานที่ได้รับมอบหมายและปฏิบัติเอง
จนเป็นนิสัย เป็นระบบ ช่วยเหลือผู้อื่นและแนะนาชักชวนผู้อื่นปฏิบัติ
2 หมายถึง ส่งงานตรงตามกาหนดรับผิดชอบงานที่ได้รับมอบหมายและปฏิบัติเองจน
เป็นนิสัย เป็นระบบ
1 หมายถึง ส่งงานล่าช้ากว่ากาหนด รับผิดชอบงานที่ได้รับมอบหมายและปฏิบัติเอง
ได้บางส่วนต้องคอยแนะนา ตักเตือน
ความมีระเบียบ
4 หมายถึง ชิ้นงานสะอาดเรียบร้อยปฏิบัติงานอยู่ในข้อตกลงที่กาหนดร่วมกันทุกครั้ง
3 หมายถึง ชิ้นงานส่วนใหญ่สะอาดเรียบร้อยปฏิบัติงานอยู่ในข้อตกลงที่กาหนด
ร่วมกันเป็นส่วนใหญ่
2 หมายถึง ชิ้นงานไม่ค่อยเรียบร้อยปฏิบัติงานอยู่ในข้อตกลงที่กาหนดร่วมกัน
บางครั้ง
1 หมายถึง ชิ้นงานไม่เรียบร้อยปฏิบัติงานอยู่ในข้อตกลงที่กาหนดร่วมกันโดยอาศัย
การแนะนา

40. 40
มีความรอบคอบ
4 หมายถึง มีความรอบคอบในการแก้ปัญหาทาให้ได้คาตอบที่ถูกต้อง
3 หมายถึง มีความรอบคอบในการแก้ปัญหาแต่ได้คาตอบผิดเล็กน้อย
2 หมายถึง มีความรอบคอบในการแก้ปัญหาปานกลางแต่ได้คาตอบผิดพลาดเล็กน้อย
1 หมายถึง มีความรอบคอบในการแก้ปัญหาเล็กน้อยได้คาตอบไม่ถูกต้อง
การให้เหตุผล
4 หมายถึง มีการอ้างอิง เสนอแนวคิดประกอบการตัดสินใจอย่างสมเหตุสมผล
3 หมายถึง มีการอ้างอิงถูกต้องบางส่วนและเสนอแนวคิดประกอบการตัดสินใจ
2 หมายถึง เสนอแนวคิดไม่สมเหตุสมผลในการประกอบการตัดสินใจ
1 หมายถึง มีความพยายามเสนอแนวคิดประกอบการตัดสินใจ
สรุปผลการประเมินด้านคุณลักษณะ
ระดับคุณภาพ ดีมาก ได้คะแนน 13 - 16
ระดับคุณภาพ ดี ได้คะแนน 9 - 12
ระดับคุณภาพ พอใช้ ได้คะแนน 5 - 8
ระดับคุณภาพ ปรับปรุงได้คะแนน 1 - 4
เกณฑ์การประเมินของคะแนนกลุ่ม
การวางแผนการทางาน
4 หมายถึง มีการวางแผนการทางานทุกขั้นตอน มีข้อเสนอที่เป็นประโยชน์ใน
การวางแผนงานดีมาก
3 หมายถึง มีการวางแผนการทางานเกือบครบทุกขั้นตอน มีข้อเสนอที่เป็น
ประโยชน์ในการวางแผนงานดี
2 หมายถึง มีการวางแผนการทางานบ้าง มีข้อเสนอที่เป็นประโยชน์ใน
การวางแผนงานดีพอสมควร
1 หมายถึง มีการวางแผนการทางานน้อยมาก หรือไม่มีข้อเสนอแนะที่เป็น
ประโยชน์ใน การวางแผนงาน
แสดงความคิดเห็นอย่างมีเหตุผล
4 หมายถึง ใช้เหตุผลในการแสดงความคิดเห็นได้ดีมาก และมุ่งประโยชน์เพื่อ
พัฒนาคุณภาพงานเป็นสาคัญ
3 หมายถึง ใช้เหตุผลในการแสดงความคิดเห็นได้ดี
2 หมายถึง ใช้เหตุผลในการแสดงความคิดเห็นได้บ้างพอสมควร

41. 41
1 หมายถึง ใช้ความรู้สึกส่วนตัวในการแสดงความคิดเห็นมากกว่าใช้เหตุผล
ยอมรับข้อสรุปและผลงานของกลุ่ม
4 หมายถึง สมาชิกทุกคนมีส่วนร่วมในการสรุป ยอมรับข้อสรุปของกลุ่ม
ร่วมรับผิดชอบ ปรับปรุง แก้ไขงานของกลุ่มทั้งหมดด้วยความเต็มใจ
3 หมายถึง สมาชิกทุกคนมีส่วนร่วมในการสรุป ยอมรับข้อสรุปของกลุ่ม
ร่วมรับผิดชอบ ปรับปรุง แก้ไขงานส่วนใหญ่ของกลุ่ม
2 หมายถึง สมาชิกบางคนไม่มีส่วนร่วมในการสรุป แต่ยอมรับข้อสรุปของกลุ่ม
ร่วมรับผิดชอบ และปรับปรุง แก้ไขงานของกลุ่มพอสมควร
1 หมายถึง สมาชิกส่วนใหญ่จะไม่มีส่วนร่วมในการสรุป แต่ยอมรับข้อสรุปของกลุ่ม
ร่วมรับผิดชอบ และปรับปรุง แก้ไขงานของกลุ่มเพียงเล็กน้อย
ความสามัคคี
4 หมายถึง ให้ความร่วมมือช่วยเหลือกันในการทางานอย่างสม่าเสมอ
3 หมายถึง ให้ความร่วมมือช่วยเหลือกันในการทางานพอสมควร
2 หมายถึง ให้ความร่วมมือช่วยเหลือกันในการทางานเป็นบางขั้นตอน
1 หมายถึง ไมค่อยให้ความร่วมมือไม่ช่วยเหลือกันในการทางาน
ทักษะการแก้ปัญหา
4 หมายถึง ถ้านักเรียนแก้ปัญหาผิดพลาดเล็กน้อย และความผิดพลาดไม่ส่งผล
กระทบต่อข้อมูลอื่นๆ นักเรียนแก้ปัญหาได้ถูกต้องสมบูรณ์ได้คาตอบถูกต้อง
3 หมายถึง ถ้ามีเครื่องมือที่จะนาไปใช้แก้ปัญหา สามารถแสดงวิธีการแก้ปัญหาได้
ถูกต้องแต่เข้าใจผิดพลาดในบางส่วนจึงทาให้คาตอบผิด มียุทธวิธีในการแก้ปัญหาอย่างเหมาะสมแต่
คาตอบผิดโดยไม่ปรากฏเหตุผล หรือมีคาตอบบางส่วนถูกต้อง แสดงวิธีการแก้ปัญหาถูกต้อง
เลือกยุทธวิธีแก้ปัญหาได้ถูกต้องแต่การแก้ปัญหาไม่สมบูรณ์
2 หมายถึง ถ้าแสดงยุทธวิธีการแก้ปัญหาได้ถูกต้องแต่การคานวณผิดพลาด
และมีร่องรอยปรากฏว่ามีความเข้าใจในปัญหา แต่ไม่ได้แสดงการแก้ปัญหาเพียงพอที่จะค้นพบ
คาตอบได้หรือใช้วิธีการคานวณผิดพลาดในบางส่วนจึงทาให้คาตอบผิด นักเรียนค้นพบคาตอบของ
ปัญหาย่อยแสดงวิธีทาได้ถูกต้องแต่กระบวนการทางานไม่ถูกต้องหรือไม้ได้แสดงให้เห็น
กระบวนการทางาน
1 หมายถึง ถ้ามีร่อยรอยปรากฏว่าพบวิธีการแก้ปัญหาที่ถูกต้องและคัดลอกข้อมูลที่
จาเป็นในการแก้ปัญหาแสดงให้เห็นว่ามีความเข้าใจในปัญหา มีร่องรอยการแสดงยุทธวิธีในการ
อย่างเหมาะสมแต่ทาไม่สาเร็จ

42. 42
สรุปผลการประเมิน
ระดับคุณภาพ ดีมาก ได้คะแนน 16 - 20
ระดับคุณภาพ ดี ได้คะแนน 11 - 15
ระดับคุณภาพ พอใช้ ได้คะแนน 6 - 10
ระดับคุณภาพ ปรับปรุงได้คะแนน 1 – 5
แบบสังเกตคุณลักษณะ
เลขที่
รายการประเมิน
รวมความรับผิดชอบ
4
ความมีระเบียบ
4
ความรอบคอบ
4
การให้เหตุผล
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
ผู้ประเมิน ตนเอง
ผู้เรียนกลุ่มที่....................................................
ผู้สอน..............................................................
….............../.............../.................

43. 43
แบบประเมินการทางานกลุ่ม
กลุ่มที่
รายการประเมิน
รวม
20
การวางแผนการ
ทางาน
4
แสดงความคิด
อย่างมีเหตุผล
4
ยอมรับข้อสรุป
ผลงานของกลุ่ม
4
ความสามัคคี
4
ทักษะการ
แก้ปัญหา
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ผู้ประเมิน ตนเอง
ผู้เรียนกลุ่มที่....................................................
ผู้สอน..............................................................
….............../.............../.................

44. 44
บรรณานุกรม
กรมวิชาการ. (2544 ). การแก้ปัญหาคณิตศาสตร์. กรุงเทพมหานคร : คุรุสภาลาดพร้าว.
. (2544 ). หลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐานพุทธศักราช 2544 . กรุงเทพมหานคร :
คุรุสภาลาดพร้าว.
. (2545 ). คู่มือการจัดการเรียนรู้กลุ่มสาระคณิตศาสตร์ . กรุงเทพมหานคร :
คุรุสภาลาดพร้าว.
ฉวีวรรณ เศวตมาลย์. (2545). ชุดปฏิรูปการเรียนรู้หลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช
2544 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ช่วงชั้นที่ 4 ( ม.4 - 6) เล่ม 3 สาระที่ 5
การวิเคราะห์ข้อมูลและความน่าจะเป็น. กรุงเทพมหานคร : ประสานมิตร.
ณรงค์ศรีสมาน. (2547). คู่มือการเรียนรู้คอมพิวเตอร์และการใช้งาน. กรุงเทพมหานคร :
รุ่งแสง.
ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบัน. (2547). คู่มือครูสาระการเรียนรู้
เพิ่มเติมคณิตศาสตร์เล่ม 1 กลุ่มสาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2544. กรุงเทพมหานคร:
คุรุสภา ลาดพร้าว.
. (2550). หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้เพิ่มเติม คณิตศาสตร์เล่ม 1 กลุ่มสาระการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน
พุทธศักราช 2544. กรุงเทพมหานคร : คุรุสภา ลาดพร้าว.
ค่ากลางของข้อมูล. http://www.chanupatham.ac.th/math/pensri/Unit4_02.htm : [ออนไลน์]
24 มีนาคม 2553

45. 45
เฉลยใบกิจกรรมที่ 1.1
กิจกรรมข้อ 1
ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจกับปัญหา
1.1 โจทย์กาหนดอะไรให้บ้าง (ซื้อสบู่ขนาด 80 กรัมในราคาที่แตกต่างกัน)
1.2 โจทย์ถามหาอะไร(ซื้อสบู่ขนาด 80 กรัมในข้อใดราคาถูกที่สุด)
ขั้นที่ 2 วางแผนในการแก้ปัญหา
2.1 โจทย์ให้เลือกซื้อสินค้าในราคาถูกที่สุด (หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสินค้าหนึ่งหน่วย)
2.2 ใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิต X =
n
x
N
i
i1
ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน
หาคาตอบจากสูตรในข้อ 2.2
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผลที่ได้

n
i
ix
1
= nX
1. ซื้อสบู่ขนาด 80 กรัมในข้อใดราคาถูกที่สุด
ก. ก้อนละ 11 บาท (ก้อนละ 11 บาท)
ข. 4 ก้อน 45 บาท(ซื้อ 4 ก้อนแถม 1 ก้อน ) (ก้อนละ 9 บาท)
ค. โหลละ 120 บาท(ก้อนละ 10 บาท)
ง. 3 ก้อน 32 บาท(ก้อนละ 10.67 บาท)
สรุปได้ว่า ซื้อสบู่ขนาด 80 กรัมในข้อ ข 4 ก้อน 45 บาท(ซื้อ 4 ก้อนแถม 1 ก้อน )
(ก้อนละ 9 บาท) ราคาถูกที่สุด
กิจกรรมข้อ 2
2. ผงซักฟอกในข้อใดราคาถูกที่สุด
ราคา1 บาท / กรัม
ก. 5,000 กรัม กล่องละ 200 บาท (0.04)
ข. 2500 กรัม กล่องละ 110 บาท (0.044)
ค. 800 กรัม กล่องละ 45 บาท (0.056)
ง. 50 กรัม กล่องละ 18 บาท (0.36)
สรุปได้ว่าซื้อผลซักฟอกในข้อ ก. 5,000 กรัม กล่องละ 200 บาท (0.04) ราคาถูกที่สุด

46. 46
กิจกรรมข้อ 3
3. ซื้อยาสระผมขนาด 340 มิลลิลิตรในข้อใดราคาถูกที่สุด
ก. ขวดละ 76 บาท (ขวดละ 76 บาท)
ข. 2 ขวด 150 บาท บาท (ขวดละ 75 บาท)
ค. 3 ขวด 218 บาทบาท (ขวดละ 72.67 บาท)
ง. 6 ขวด 450 บาท ( ซื้อ 6 ขวดแถม 1 ขวด ) (ขวดละ 64.68 บาท)
สรุปได้ว่า ซื้อยาสระผมขนาด 340 มิลลิลิตรในข้อใด ง. 6 ขวด 450 บาท ( ซื้อ 6 ขวดแถม 1 ขวด )
(ขวดละ 64.68 บาท) ราคาถูกที่สุด
แบบฝึกทักษะชุดที่ 1
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง ใช้สมบัติของสัญลักษณ์แทนการบวกได้
1. ให้ x1 = 1, x2 = 2 , x3 = 3 , x4 = 4
y1 = 6 , y2 = 7 , y3 = 8 , y 4 = 9 และ c = 5
จงหาค่าของ
1. 
10
1i
c = 50 6. 

3
1
)6(
i
ii yx = 15
2. 
4
1i
ix = 10 7. 

4
1
)(
i
ii cyx = 100
3. 
4
1i
iy = 30 8. 

4
1
)3(
i
ii yx = 110
4. 

4
1
)2(
i
ix = 2 9. 

4
1
2
)5(
i
ix = 30
5. 

4
1
)(
i
ii yx = 40 10. 

4
1
22
)(
i
ii yx = - 200
2. ถ้า 
5
1i
iy = 10 และ
25
1
i
iy = 30 จงหาค่าของ
1. 

5
1
)505(
i
iy = - 200 2. 

5
1
2
)3(
i
iy = 15
3. ถ้า 
5
1i
ix = 5 และ 
5
1i
iy = - 2 และ i
i
i yx
5
1
= 4 จงหาค่าของ


5
1
)34)(1(
i
ii yx = - 22

47. 47
แบบฝึกทักษะชุดที่ 2
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
1.
6
90
= 15 2.
7
105
= 15 3.
8
102
= 12.75 4.
10
132
= 13.2 5.
10
264
= 26.4
6.
7
1120
= 160 7.
10
1653
=
165.3
8.
10
1639
=
163.9
9.
10
1541
=
154.1
10.
10
1603
=
160.3
เฉลยใบกิจกรรมที่ 1.2
ผลการสอบของนักเรียน 4 คน จงเรียงลาดับที่เกรดเฉลี่ยของนักเรียนทั้งสี่คน
วิชา
หน่วย
วิทยาศาสตร์
1.5
คณิตศาสตร์
2.0
อังกฤษ
1.0
สังคม
1.0
ภาษาไทย
1.5
เกรดเฉลี่ย ลาดับที่
นาย เอ 3.0 2.5 3.0 2.5 2.5
7
75.18
= 2.68 4
นาย บี 2.5 3.5 3.5 3.0 3.0
7
75.21
= 3.11 1
นาย ซี 2.0 3.5 3.0 2.5 3.0
7
20
= 2.86 3
นาย ดี 3.0 3.5 2.5 3.0 2.5
7
75.20
= 2.96 2
นาย อี 2.5 2.0 3.0 3.5 2.5
7
18
= 2.57 5
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้าหนัก (X w ) =




N
1i
i
N
1i
ii
w
Xw
เกรดเฉลี่ยของนาย เอ .........2.68..................ลาดับที่........4.........
เกรดเฉลี่ยของนาย บี ..........3.11..................ลาดับที่........1........
เกรดเฉลี่ยของนาย ซี ..........2.86..................ลาดับที่........3........
เกรดเฉลี่ยของนาย ดี ..........2.96..................ลาดับที่........2.......
เกรดเฉลี่ยของนาย อี ..........2.57...................ลาดับที่.......5........

48. 48
เฉลยใบกิจกรรมที่ 1.3
คะแนนสอบวัดความรู้พื้นฐานวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
ปีการศึกษา 2552 คือ ม. 6/1 – ม. 6/5 ได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตดังนี้
ชั้น จานวน(คน) ค่าเฉลี่ยเลขคณิต(X ) N(X )
ม. 6/1 44 29.45 1259.8
ม. 6/2 47 20.70 972.9
ม. 6/3 46 17.17 789.82
ม. 6/4 43 13.67 578.81
ม. 6/5 35 13.63 477.05
รวม 215 2957.38
จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม
วิธีทา ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม ( Combine Arithmetic Mean )
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม (X รวม ) =




k
1i
i
k
1i
ii
N
XN
=
215
38.2957
= 13.76
เฉลยใบกิจกรรมที่ 1.4
กิจกรรมที่ 8.2 กาหนดให้ข้อมูล 2 , 4 , 6 , 8 , 10
กลุ่มที่ 1 นา 2 บวกข้อมูลทุกตัว X ใหม่ =
5
40
= 8
กลุ่มที่ 2 นา 2 ลบข้อมูลทุกตัว X ใหม่ =
5
20
= 4
กลุ่มที่ 3 นา 2 คูณข้อมูลทุกตัว X ใหม่ =
5
60
= 12
กลุ่มที่ 4 นา 2 หารข้อมูลทุกตัว X ใหม่ =
5
15
= 3

49. 49
เฉลยใบกิจกรรมที่ 1.5
ตารางที่ 1.5ข หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต
ความสูง ความถี่ (f) จุดกึ่งกลางชั้น (x) ความถี่ x จุดกึ่งกลางชั้น
145 - 149 6 147 882
150 - 154 10 152 1520
155 - 159 11 157 1727
160 - 164 5 162 810
165 - 169 9 167 1503
170 - 174 7 172 1204
175 - 179 2 177 354
รวม 50 -  fx = 8000
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต X =
N
Xf
N
1i
ii

=
50
8000
ดังนั้นความสูงเฉลี่ย = 160 เซนติเมตร
เฉลยกิจกรรมที่ 1.6
1. เนื่องจากเป็นข้อมูลที่นักเรียนแต่ละคนสร้างขึ้นมา จึงไม่สามารถเฉลยคาตอบได้
2. เกรดเฉลี่ย สามารถตรวจสอบกับสมุดรายงานของนักเรียน
เฉลยแบบฝึกทักษะชุดที่ 1.3
การใช้โปรแกรมเอกซ์เซลล์
1. ค 6. ก
2. ง 7. ค
3. ก 8. ง
4. ก 9. ค
5. ค 10. ก
เฉลยแบบทดสอบท้ายชุดกิจกรรม
ชุดที่ 1 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
1. ง 6. ค
2. ค 7. ข
3. ก 8. ง
4. ข 9. ก
5. ค 10. ก

50. 50