สถิติการออกข้อสอบ PAT1 เจาะลึกเนื้อหาที่ชอบออกข้อสอบ พร้อมสรุปสูตรและทฤษฎีทุกบทมีครบทุกเนื้อหา สำหรับน้องๆเตรียม admissions

1. www.tutorferry.com T. 0998230343
1
PAT 1 คณิตศาสตร์
เจาะลึกแนวข้อสอบ PAT 1 พร้อมเนื้อหาสรุปสูตรและทฤษฎี
1. เซต เน้นเรื่องเพาเวอร์เซต สับเซต ผลต่างของเซต การหาจานวนสมาชิกของเซต
2. จานวนจริง เรื่องอสมการค่าสัมบูรณ์ อสมการพหุนาม สมการพหุนาม สมบัติของ
โอเปอเรเตอร์ การหาค่าโอเปอเรเตอร์ที่กาหนด
3. ฟังก์ชัน เรื่อง โดเมนของฟังก์ชัน ฟังก์ชัน 1-1 ฟังก์ชันคอมโพสิท อินเวอร์สของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเวียนเกิด
4. เมทริกซ์ เน้นเรื่องการบวก ลบ คูณ เมตริกซ์ det และอินเวอร์สของเมตริกซ์มิติ 2x2
5. Expo & Log ออกการแก้สมการและอสมการ Expo การแก้สมการและอสมการ Log
6. จานวนเชิงซ้อน เน้นเรื่องค่าสัมบูรณ์ อินเวอร์สและสังยุคของจานวนเชิงซ้อน การบวกและ
คูณจานวนเชิงซ้อน

2. www.tutorferry.com T. 0998230343
2
7. เรขาคณิตวิเคราะห์ ออกเรื่องระยะห่างระหว่างจุด 2 จุด ความชันของเส้นตรงระหว่างจุด
2 จุด ระยะระหว่างจุดกับเส้นตรง สมการเส้นตรง เส้นตรงที่ตั้งฉากกัน พื้นที่รูปสามเหลี่ยม
8. ฟังก์ชันตรีโกณมิติ เรื่องเอกลักษณ์ของตรีโกณมิติ กฎ cosine ผลบวกและผลต่างของ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ อินเวอร์สของฟังก์ชันตรีโกณมิติ สูตรมุม 2 เท่า สมการตรีโกณมิติ
9. เวกเตอร์ เน้นเรื่องเวกเตอร์ที่ขนานและตั้งฉากกัน ขนาดของผลบวกและผลต่างของ
เวกเตอร์ ค่าสัมบูรณ์ของผลบวกและผลต่างของเวกเตอร์ ผลคูณแบบ dot
10.ลาดับและอนุกรม เน้นๆเรื่องลาดับเลขคณิต ลาดับเรขาคณิต ลิมิตของลาดับ อนุกรม
อนันต์ อนุกรม 1 + 2 + ... + n
11.แคลคูลัส ออกเรื่องลิมิตของฟังก์ชัน ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน อนุพันธ์ อนุพันธ์ฟังก์ชัน
คอมโพสิท อินทิเกรต อินทิกรัลจากัดเขต ภาคตัดกรวย ออกเรื่องวงรี วงกลมไฮเพอร์โบลา
พาราโบลา
12.กาหนดการเชิงเส้น เรื่องค่าต่าสุดและสูงสุดของฟังก์ชันเป้าหมาย
13.ตรรกศาสตร์ ออกเรื่องการหาค่าความจริงของประพจน์ การหาค่าความจริงของตัวบ่ง
ปริมาณ นิเสธของตัวบ่งปริมาณ สัจนิรันดร์ ปัญหาเชิงตรรกะ ออกเกี่ยวกับปัญหาเชาวน์
ทางคณิตศาสตร์ การหาค่าตัวเลขที่หายไป จัตุรัสกล เป็นต้น
14.ความน่าจะเป็น เน้นเรื่องกฎการนับ การจัดหมู่ การเรียงสับเปลี่ยน ยูเนียนของเหตุการณ์
15.สถิติ ออกเรื่องค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม มัธยฐาน ฐานนิยม พิสัย ค่า
มาตรฐาน ความแปรปรวน สัมประสิทธิ์การแปรผัน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ควอร์ไทล์
เปอร์เซ็นไทล์

3. www.tutorferry.com T. 0998230343
3
เซต (เปอร์เซ็นต์จานวนข้อสอบ 3.75%)
 สับเซต และเพาเวอร์เซต
A เป็นสับเซตของ B เมื่อสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B เขียนแทนด้วย A B
A ไม่เป็นสับเซตของ B เมื่อมีสมาชิกอย่างน้อย 1 ตัว ของ A ไม่เป็นสมาชิกของ B
เขียนแทนด้วย A B
ตัวอย่างเช่น ถ้า  1,2A  สับเซตของ A มี 4 สับเซต คือ      , 1 , 2 , 1,2
ข้อสังเกต
1. ถ้า  n A เป็นจานวนสมาชิกของ A แล้วจานวนสับเซตของ  
2
n A
A 
2. เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต
3. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง
เพาเวอร์เซต : เพาเวอร์เซตของ A คือเซตที่มีสมาชิกเป็นสับเซตทั้งหมดของ A เขียนแทนด้วย P ( A )
ตัวอย่างเช่น  1,2A 
        , 1 , 2 , 1,2P A 
ข้อสังเกต จานวนสมาชิกของ  P A เท่ากับ  
2
n A
หรือ     
2
n A
n P A 
 การดาเนินการของเซต หมายถึง การกระทาที่จะเกิดเซตใหม่ หรือ การสร้างเซตใหม่จากเซตที่กาหนดให้
1. ยูเนียน :  A B x x Aor B   
2. อินเตอร์เซกชัน :  A B x x A x B   และ
3. คอมพลีเมนต์ :  A x x x A   และ
4. ผลต่าง :  A B x x A x B   และ
 B A x x B x A   และ
A B A B

4. www.tutorferry.com T. 0998230343
4
 ทฤษฎีของเซต
1. กฎการสลับที่
1.1 A B B A  
1.2 A B B A  
2. กฎการเปลี่ยนกลุ่ม
2.1    A B C A B C    
2.2    A B C A B C    
3. กฎการแจกแจง
3.1      A B C A B A C     
3.2      A B C A B A C     
4. กฎเดอมอร์แกน
4.1  A B A B    
4.2  A B A B    
5. สมบัติของผลต่าง
A A
A B A B

5. www.tutorferry.com T. 0998230343
5
5.1 U A A 
5.2   /
A B A A B A B     
6. สมบัติของเพาเวอร์เซต
6.1 A B เมื่อ    P A P B
6.2 P     A P B P A B  
6.3  P(A) P B = P(A B)
 จำนวนสมำชิกของเซตจำกัด
1.      n A n A n U 
2.        n A B n A n B n A B    
3.      n A B n A n A B   
4.  n A B C n(A) n(B) n(C) n(A B) n(A C) n(B C) n(A B C)             


6. www.tutorferry.com T. 0998230343
6
จำนวนจริง (เปอร์เซ็นต์จานวนข้อสอบ 6.75%)
 สมบัติของจำนวนจริง ถ้า a , b และ c  R
1. สมบัติการเท่ากัน
1.1 สมบัติการสะท้อน
a a
1.2 สมบัติการสมมาตร
ถ้า a b แล้ว b a
1.3 สมบัติการถ่ายทอด
ถ้า a b และ b c แล้ว a c
1.4 สมบัติการบวกด้วยจานวนที่เท่ากัน
ถ้า a b แล้ว a c b c  
1.5 สมบัติการคูณด้วยจานวนที่เท่ากัน
ถ้า a b แล้ว ac bc
จำนวนจริง
จำนวนตรรกยะ
จำนวนเต็มจำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม
ศูนย์จำนวนเต็มลบจำนวนเต็มบวกหรือจำนวนนับ
จำนวนอตรรกยะ

7. www.tutorferry.com T. 0998230343
7
2. สมบัติการบวกและการคูณ
สมบัติ กำรบวก กำรคูณ
2.1 ปิด a b R  ab R
2.2 การสลับที่ a b b a   ab ba
2.3 การเปลี่ยนหมู่ ( ) ( )a b c a b c     ( ) ( )ab c a bc
2.4 การมีเอกลักษณ์ มีจานวนจริง 0 เป็นเอกลักษณ์
การบวกซึ่ง 0 0a a a   
มีจานวนจริง 1 เป็นเอกลักษณ์
การคูณ ซึ่ง 1 1a a a   
2.5 การมีอินเวอร์ส มีจานวนจริง a เป็นอินเวอร์ส
การบวกของ a
( ) 0 ( )a a a a     
มีจานวนจริง 1
a
หรือ 1
a
เป็น
อินเวอร์สการคูณของ a เมื่อ
0a  1 1
1a a a a 
   
2.6 การแจกแจง ( )a b c ab ac  
 กำรนำสมบัติของจำนวนจริงไปแก้สมกำร
1. การแยกตัวประกอบ
1.1 สมการกาลัง 2 ตัวแปรเดียว ที่อยู่ในรูป 2
0x bx c  
ทาได้โดยหา d และ e ที่ de c และ d e b  ทาให้ 2
( )( ) 0x bx c x d x e     
จะได้คาตอบของสมการคือ d และ e
1.2 สมการกาลัง 2 ตัวแปรเดียว ที่อยู่ในรูป 2
0ax bx c  
หา , ,d e f และ g ที่ de c , fg a และ dg ef b 
ทาให้ 2
( )( ) 0ax bx c fx d gx e     
จะได้คาตอบของสมการคือ d
f
 และ e
g

2. การทาเป็นกาลัง 2 สมบูรณ์ โดยใช้แนวคิดดังนี้
2 2 2
2 ( )x ax a x a   
2 2 2
2 ( )x ax a x a   
2 2
( )( )x a x a x a   
3. ใช้สูตร
2
4
2
b b ac
x
a
  

3.1 ถ้า 2
4 0b ac  จะมี 2 คาตอบ

8. www.tutorferry.com T. 0998230343
8
3.2 ถ้า 2
4 0b ac  จะมี 1 คาตอบ
3.3 ถ้า 2
4 0b ac  ไม่มีคาตอบที่เป็นจานวนจริง
4. ทฤษฎีเศษเหลือ และทฤษฎีตัวประกอบ สาหรับแก้สมการตัวแปรเดียวที่มีกาลังสูงกว่า 2
 ทฤษฎีเศษเหลือ : เมื่อ 1
1 1 0( ) ...n n
n np x a x a x a x a
   
ถ้าหาร ( )p x ด้วย x c จะเหลือเศษ ( )p c
 ทฤษฎีตัวประกอบ : x c เป็นตัวประกอบของ ( )p x เมื่อ ( ) 0p c 
 สมบัติกำรไม่เท่ำกัน
 สมบัติไตรวิภาค : ถ้า a และ b R แล้ว a b , a b และ a b จะเป็นจริงเพียงอย่างใด
อย่าง หนึ่ง
 สมบัติการไม่เท่ากัน , ,a b c R
1. สมบัติการถ่ายทอด
ถ้า a b และ b c แล้ว a c
2. สมบัติการบวกด้วยจานวนเท่ากัน
ถ้า a b แล้ว a c b c  
3. สมบัติการคูณด้วยจานวนเท่ากันที่ไม่เป็นศูนย์
3.1 ถ้า a b และ 0c  แล้ว ac bc
3.2 ถ้า a b และ 0c  แล้ว ac bc
 ช่วงและกำรแก้อสมกำร
 ช่วง เมื่อเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจานวนจริง และ a b
1. ช่วงเปิด ( , )a b หมายถึง a x b 
2. ช่วงปิด  ,a b หมายถึง a x b 
3. ช่วงครึ่งเปิดหรือช่วงครึ่งปิด  ,a b หมายถึง a x b 
 


9. www.tutorferry.com T. 0998230343
9
4. ช่วงครึ่งเปิด หรือ ช่วงครึ่งปิด  ,a b หมายถึง a x b 
5. ช่วง ( , )a  หมายถึง x a
6. ช่วง  ,a  หมายถึง x a
7. ช่วง  ,a หมายถึง x a
8. ช่วง  ,a หมายถึง x a
9. ช่วง  ,  หมายถึง x R
 การแก้อสมการ มีขั้นตอนดังนี้
1. จัดอสมการให้อยู่ในรูป พหุนาม หรือเศษส่วนพหุนาม ถ้ากาลังมากกว่า 1 ให้แยกตัวประกอบจนมีกาลัง
เป็น 1 และสัมประสิทธิ์ตัวแปรเป็นบวก ดังนี้
1.1 รูปพหุนาม     1 2 ... 0nx a x a x a   
1.2 รูปเศษส่วนพหุนาม     
    
1 2
1 2
...
0
...
n
n
x a x a x a
x b x b x b
  

  
ข้อสังเกต เครื่องหมายอสมการอาจเป็น  ,  ,  , 
2. กรณีเศษส่วนพหุนาม  1.2 ให้หมายเหตุไว้ว่า
1x b , 2b , ... , nb




10. www.tutorferry.com T. 0998230343
10
3. พจน์ที่เหมือนกันของเศษส่วนให้ดาเนินการโดยใช้สมบัติของเลขยกกาลัง
4. ทาส่วนให้หายไป โดยคูณด้วยพจน์ที่เหมือนกันแต่มีกาลังเป็นเลขคู่ซึ่งไม่ทาให้เครื่องหมายอสมการ
เปลี่ยน เช่น คูณด้วย  
2
1x b
5. เมื่ออสมการอยู่ในรูปพหุนาม  1.1 ถ้าเครื่องหมายอสมการเป็น  หรือ  ให้หมายเหตุไว้ว่า
1x a , 2a , ... , na แต่ต้องไม่ตรงกับ 1b , 2b , ... , nb ที่เป็นตัวส่วน
6. เขียนเส้นจานวนระบุตาแหน่งของ 1a , 1b , 2a , 2b , ... , na , nb โดยเรียงจากน้อยไปหามาก
เฉพาะพจน์ที่กาลังเป็นเลขคี่
7. ใส่เครื่องหมาย  , - สลับกันไป โดยเริ่มจากช่องขวาสุดให้เป็น + เสมอ
8. ถ้าเครื่องหมายอสมการเป็น  หรือ  ให้เลือกช่วง +
ถ้าเครื่องหมายอสมการเป็น  หรือ  ให้เลือกช่วง -
9. นาคาตอบที่ได้จากข้อ 8 มายูเนียนกัน และนาไปยูเนียนกับข้อ 5 โดยตัดคาตอบที่ยกเว้นในข้อ 2
ออกไปด้วย
 ค่าสัมบูรณ์ : ค่าสัมบูรณ์ของ x หมายถึงระยะจากจุด 0 ถึง x บนเส้นจานวน เขียนแทนด้วย x
สมบัติของค่าสัมบูรณ์ x , y  R
1. x ถ้า 0x 
x  0 ถ้า 0x 
x ถ้า 0x 
จะเห็นว่า x มีได้ค่าเดียว ซึ่งมากกว่าหรือเท่ากับ 0
 x  0
1.1 x  x ถ้า x  0
1.2 x  x ถ้า x  0
2. x  x
3. xy  x y
4. x
y

x
y
; 0y 
-+ -- + - +

11. www.tutorferry.com T. 0998230343
11
5. x y  y x
6. x y  y x
7. 2
x  2
x
8. x y  x + y
9. x y  x - y
ถ้า 0a 
10. ถ้า x  a แล้ว x  a หรือ x  a
11. ถ้า x  a แล้ว a x a  
12. ถ้า x  a แล้ว a x a  
13. ถ้า x  a แล้ว x a  หรือ x a
14. ถ้า x  a แล้ว x a  หรือ x a
ถ้า 0a 
15. ถ้า x  a แล้ว เซตคาตอบ  
16. ถ้า x  a แล้ว เซตคาตอบ  
17. ถ้า x  a แล้ว เซตคาตอบ  
18. ถ้า x  a แล้ว x R
19. ถ้า x  a แล้ว x R

12. www.tutorferry.com T. 0998230343
12
ทฤษฎีจำนวน
 กำรหำรลงตัว
1. ให้ a และ b เป็นจานวนเต็ม โดยที่ b  0 b หาร a ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจานวนเต็ม c ที่ทาให้
a = bc เรียก b ว่าเป็น ตัวหารของ a และเรียก a ว่าเป็น พหุคูณของ b
b a แทน b หาร a ลงตัว
b † a แทน b หาร a ไม่ลงตัว
2. ให้ a , b และ c เป็นจานวนเต็ม โดยที่ a  0 และ b  0 ถ้า a b และ b c
แล้ว a c
3. ถ้า a และ b เป็นจานวนเต็มบวก ซึ่ง a b แล้ว a  b
4. ถ้า a , b และ c เป็นจานวนเต็ม โดยที่ a b และ a c แล้ว a (bx + cy)
เมื่อ x และ y เป็นจานวนเต็มใด ๆ
5. จานวนเต็มบวก p เป็นจานวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ p  1 และถ้าจานวนเต็ม x หาร p ลงตัว แล้ว x
เป็นสมาชิกของ  1, 1, ,p p 
 ขั้นตอนวิธีกำรหำร
1. ถ้า a และ b เป็นจานวนเต็ม โดยที่ b  0 แล้วจะมีจานวนเต็ม q และ r ชุดเดียว ซึ่ง
a bq r  โดย 0 r b 
เรียก q ว่า ผลหาร และ r ว่า เศษเหลือ
2. จานวนเต็ม a เป็นจานวนคู่ ก็ต่อเมื่อ สามารถเขียน a = 2k เมื่อ k เป็นจานวนเต็ม
จานวนเต็ม a เป็นจานวนคี่ ก็ต่อเมื่อ สามารถเขียน a = 2k + 1 เมื่อ k เป็นจานวนเต็ม
3. ให้ b เป็นจานวนเต็มที่มากกว่า 1 จานวนเต็มบวก n ใด ๆ สามารถเขียนในรูปการกระจาย
ฐาน b ได้เป็น
1
1 1 0...k k
k kn a b a b a b a
    
เมื่อ k เป็นจานวนเต็ม และ 0 1 1, ,..., ,k ka a a a เป็นจานวนเต็มที่ไม่เป็นลบและน้อยกว่า b และ
0ka 
 ตัวหำรร่วมมำก
1. ให้ a และ b เป็นจานวนเต็ม โดยที่ a และ b ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน จานวนเต็มบวก d ที่มีค่า
มากที่สุด ซึ่ง d a และ d b เรียกว่าเป็น ตัวหารร่วมมาก ( ห.ร.ม. ) ของ a และ b
ใช้สัญลักษณ์ ( a , b ) แทน ห.ร.ม. ของ a และ b

13. www.tutorferry.com T. 0998230343
13
2. กาหนดให้ a และ b เป็นจานวนเต็มบวก โดยที่ b < a โดยใช้ขั้นตอนวิธีการหารไปเรื่อย ๆ
จะได้ว่า
1 1 1
1 2 2 2 1
1 2 3 3 3 2
2 1 1
1 1
;0
;0
;0
;0
0
k k k k k k
k k k
a bq r r b
b rq r r r
r r q r r r
r r q r r r
r r q
  
 
   
   
   
   
 
ดังนั้น kr ซึ่งเป็นเศษตัวสุดท้ายที่ไม่ใช่ศูนย์จะเป็น ห.ร.ม. ของ a และ b
3. ผลจากขั้นตอนวิธีของยุคลิด ทาให้ได้ว่า ถ้า d = ( a , b ) แล้ว จะมีจานวนเต็ม x และ y
ที่ทาให้ d = ax + by
4. ให้ 1 2, ,..., na a a เป็นจานวนเต็มบวกที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน จานวนเต็มบวก D ที่มีค่ามากที่สุด
ซึ่ง 1 2, ,..., nD a D a D a เรียกว่าเป็น ตัวหารร่วมมาก ( ห.ร.ม. ) ของ 1 2, ,..., na a a
ใช้สัญลักษณ์  1 2, ,..., na a a แทน ห.ร.ม. ของ 1 2, ,..., na a a
5.     1 2 1 1 2 1, ,..., , , ,..., ,n n n na a a a a a a a 
6. จานวนเต็ม a และ b เป็นจานวนเฉพาะสัมพัทธ์ ก็ต่อเมื่อ ( a , b ) = 1
7. a และ b เป็นจานวนเฉพาะสัมพัทธ์ ก็ต่อเมื่อ มีจานวนเต็ม x และ y ที่ทาให้ ax + by = 1
8. กาหนดจานวนเต็ม a , b และจานวนเฉพาะ p ถ้า p ab จะได้ p a หรือ p b
 ตัวคูณร่วมน้อย
1. ให้ a , b เป็นจานวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์จานวนเต็มบวก c ที่มีค่าน้อยที่สุด ซึ่ง a c และ b c
เรียกว่า ตัวคูณร่วมน้อย ( ค.ร.น. ) ของ a และ b
ใช้สัญลักษณ์ [ a , b ] แทน ค.ร.น. ของ a และ b
2. ให้ 1 2, ,..., na a a เป็นจานวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์จานวนเต็มบวก C ที่มีค่าน้อยที่สุด ซึ่ง
1 2, ,..., na C a C a C เรียกว่า ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) ของ 1 2, ,..., na a a
ใช้สัญลักษณ์  1 2, ,..., na a a แทน ค.ร.น. ของ 1 2, ,..., na a a
3.    1 2 1 1 2 1, ,..., , , ,..., ,n n n na a a a a a a a    
4. ถ้า a และ b เป็นจานวนเต็มบวก แล้ว ab = ( a , b )[ a , b ]

14. www.tutorferry.com T. 0998230343
14
ฟังก์ชัน (เปอร์เซ็นต์จำนวนข้อสอบ 7.5%)
 คู่อันดับ (Ordered pairs) : คู่อันดับ (a , b) มี a เป็นสมาชิกตัวหน้า และ b เป็นสมาชิกตัวหลัง
เมื่อสลับตาแหน่งจะได้คู่อันดับใหม่ต่างจากเดิม ยกเว้นกรณีที่ a = b นั่นคือ
(a , b) = (c , d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d
 ผลคูณคำร์ทีเซียน (Cartesian product) : ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือ เซตของ
คู่อันดับ (a , b) ทั้งหมด โดยที่ a A และ b B เขียนแทนด้วย A B
  A B a,b a A b B   และ
ข้อสรุปเกี่ยวกับผลคูณคำร์ทีเซียน
1.    A B C (A B) A C     
2.      A B C A B A C     
3.      A B C A B A C     
4.      A B C A C B C     
5.      A B C A C B C     
6.      A B C A C B C     
7.        A B B A A B A B      
8.        A B B A A B A B      
9.        A B C D A C B D      
10.        A B C D A C B D      
11. ถ้า A B และ C D แล้ว A C B D  
12. ถ้า A,B   แล้ว A B B A   ก็ต่อเมื่อ A B
13. A B   ก็ต่อเมื่อ A   หรือ B  
14. ถ้า A B A C   และ A   แล้ว B C
15. ถ้า A, B เป็นเซตจากัด แล้ว n(A B) n(A) n(B)  
16. ถ้า A เป็นเซตอนันต์ และ B   แล้ว A B เป็นเซตอนันต์
 ควำมสัมพันธ์ (Relations) : r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r A B 
 ข้อสังเกต
1. r เป็นความสัมพันธ์ใน A เมื่อ r A A 
2. ถ้า (a ,b)  r หมายถึง a มีความสัมพันธ์ r กับ b เขียนแทนด้วย a r b
/

15. www.tutorferry.com T. 0998230343
15
3. ถ้า (a , c)  r หมายถึง a ไม่มีความสัมพันธ์ r กับ c เขียนแทนด้วย a r c
 กราฟของความสัมพันธ์ : กาหนดให้ R เป็นเซตของจานวนจริง r เป็นสับเซตของ R R
กราฟของความสัมพันธ์ r คือ เซตของจุดในระนาบ โดยที่แต่ละจุดแทนสมาชิกของความสัมพันธ์ r
กราฟของความสัมพันธ์อาจเป็น จุด เส้น หรือ อาณาบริเวณ ถ้ามีเส้นทึบ แสดงว่าทุกจุดบน
เส้นทึบรวมอยู่ในกราฟ แต่ถ้ามีเส้นประ แสดงว่าทุกจุดในแนวเส้นประไม่รวมอยู่ในกราฟ
 โดเมน และ เรนจ์ของความสัมพันธ์ ให้ r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B
โดเมนของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย Dr
 rD a A b B (a,b) rมี ซึ่ง   
เรนจ์ของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย Rr
 rR b B a A (a,b) r   มี ซึ่ง
 ข้อสังเกต rD A และ rR B
 อินเวอร์สของความสัมพันธ์ : อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย 1
r
โดยที่
    1
r y,x x, y r
 
 ข้อสังเกต ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B จะได้ว่า
1. 1
r
จะเป็นความสัมพันธ์จาก B ไป A
2. 1 rr
D R  และ 1 rr
R D 
3. กราฟของ r และ 1
r
มีเส้นตรง y = x เป็นแกนสมมาตร
 ฟังก์ชัน (Function) : คือความสัมพันธ์ซึ่งสาหรับคู่อันดับ 2 คู่ใด ๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้า
มีสมาชิกตัวหน้าเท่ากันแล้ว สมาชิกตัวหลังต้องเท่ากัน
ฟังก์ชัน f คือ ความสัมพันธ์ ซึ่งสาหรับ x, y และ z ใด ๆ ถ้า  x, y f และ  x,z f
แล้ว y z
ถ้า  x, y f และ  x,z f แล้ว y z จะได้ว่า f ไม่เป็นฟังก์ชัน
 การพิจารณาว่าความสัมพันธ์ใดเป็นฟังก์ชันหรือไม่ อาจพิจารณาจากกราฟของความสัมพันธ์
โดยลากเส้นขนานแกน Y ถ้าไม่มีเส้นใดตัดกราฟมากกว่า 1 จุด ความสัมพันธ์นั้นเป็นฟังก์ชัน แต่ถ้ามีเส้นใดตัด
มากกว่า 1 จุด ความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน

16. www.tutorferry.com T. 0998230343
16
 ข้อตกลงเกี่ยวกับสัญลักษณ์ของฟังก์ชัน
ในกรณีที่ความสัมพันธ์ f เป็นฟังก์ชัน เราจะเขียน y = f(x) แทน  x, y f
เรียกว่า ค่าของฟังก์ชัน f ที่ x หรือ เอฟเอ็กซ์
  
  
f
f
D x x, y f
R y x, y f
 
 
 ชนิดของฟังก์ชัน แบ่งออกเป็น 2 ชนิด คือ
1. ฟังก์ชันพีชคณิต (algebraic function) เป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูปตัวแปรอิสระและมีเครื่องหมายในทางพีชคณิต
เช่น บวก ลบ คูณ หาร กรณฑ์ ค่าสัมบูรณ์ และเลขยกกาลัง (ในกรณีที่ตัวแปรอิสระเป็นเลขชี้กาลังจะไม่จัด
อยู่ในกลุ่มนี้) ตัวอย่างเช่น
1.1 ฟังก์ชันตรรกยะ เป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูปเศษส่วนพหุนาม
P(x)
f(x)
Q(x)

เมื่อ P(x) และ Q(x) เป็นฟังก์ชันพหุนาม และ Q(x) 0
1.2 ฟังก์ชันพหุนาม (polynomial function)
n n 1 2
n n 1 2 1 0f(x) a x a x ....... a x a x a
     
โดยที่ n n 1 2 1 0a ,a ,......,a ,a a เป็นค่าคงตัว
และ n เป็นจานวนเต็มบวก หรือ ศูนย์
ข้อสังเกต ฟังก์ชันพหุนาม เป็นฟังก์ชันตรรกยะที่  Q x เท่ากับ 1 สาหรับฟังก์ชันพหุนามที่
มีกาลังน้อยกว่า 3 ได้แก่ ฟังก์ชันคงตัว ฟังก์ชันเชิงเส้น และฟังก์ชันกาลังสอง
1.3 ฟังก์ชันคงตัว (constant function)
0f(x) a
เมื่อ 0a R
ถ้าให้ 0a b จะได้ว่า f(x) b
x y = f(x)
f

17. www.tutorferry.com T. 0998230343
17
มีกราฟเป็นเส้นตรงที่ขนานแกน X มีระยะตัดแกน Y เท่ากับ b โดยตัดแกน Y ที่จุด (o,b)
1.4 ฟังก์ชันเชิงเส้น (linear function) ได้แก่ ฟังก์ชันกาลัง 1 ( 1a 0 ) และ ฟังก์ชันคงตัว ( 1a 0 )
1 0f(x) a x a  ; 1a 0
หรือ f(x) ax b  ; a 0
- กราฟเป็นเส้นตรง มีระยะตัดแกน Y เท่ากับ b
- ตัดแกน Y ที่จุด  0,b
- ตัดแกน X ที่จุด ( b
,0
a
 
 
 
- ความชัน = a
- ถ้า a > 0 กราฟทามุมแหลมกับแกน X
- ถ้า a < 0 กราฟทามุมป้านกับแกน X
1.5 ฟังก์ชันเอกลักษณ์ (identity function)
f(x) = x
เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นที่ a = 1 และ b = 0
1.6 ฟังก์ชันกาลัง 2 (quadratic function)
2
f(x) ax bx c   ; a 0
- กราฟเป็นเส้นโค้ง เรียกว่า พาราโบลา
- ถ้า a > 0 กราฟหงาย
- ถ้า a < 0 กราฟคว่า
รูปมาตรฐาน คือ 2
f(x) a(x h) k   ; a 0
- จะมี จุดวกกลับ หรือ จุดยอดที่ (h,k)
- ถ้า a > 0 เรียกว่า จุดต่าสุด โดยมีค่าต่าสุด = k
- ถ้า a < 0 เรียกว่า จุดสูงสุด โดยมีค่าสูงสุด = k
- เส้นสมมาตร คือ เส้นตรง x = h
รูปทั่วไป คือ   2
f x ax bx c   ; 0a 
จัดเป็นรูปมาตรฐานโดยใช้หลักกาลัง 2 สมบูรณ์ จะมี จุดวกกลับหรือจุดยอดที่
2
4
,
2 4
b ac b
a a
 
 
 
ค่าต่าสุดหรือค่าสูงสุด
2 2
4
2 4 4
b ac b b
f c
a a a
  
      
   
 จุดวกกลับอาจเขียนเป็น ,
2 2
b b
f
a a
  
   
  
เส้นสมมาตร คือ เส้นตรง
2
b
x
a
 

18. www.tutorferry.com T. 0998230343
18
1.7 ฟังก์ชันตรรกยะอื่น ๆ เช่น
1.7.1 ฟังก์ชันกาลังสาม   3
f x x
1.7.2 ฟังก์ชันส่วนกลับ  
1
f x
x
 ; 0x 
1.8 ฟังก์ชันอตรรกยะ เช่น
1.8.1 ฟังก์ชันรากที่ 2  f x x ; 0x 
1.8.2 ฟังก์ชันรากที่ 3   3
f x x
1.9 ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ ( absolute value function)
 ตัวอย่ำง เช่น
 f x x a b  
มีกราฟเป็นเส้นตรง 2 เส้น คือ
 f x x a b   เมื่อ x a
และ  f x a x b   เมื่อ x a
มีเส้นสมมาตร คือ เส้นตรง x a และเส้นสมมาตรผ่านจุด  ,a b
1.10 ฟังก์ชันขั้นบันได ( Step function)
 ตัวอย่ำง เช่น
 
3; 2
2; 2 1
1;1 3
2; 3
x
x
f x
x
x
  
   
 
 
 
   f x x
 x หมายถึง จานวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ x
2. ฟังก์ชันอดิศัย (transcendental function) คือ ฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันพีชคณิต ได้แก่
2.1 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเซียล (exponential function)
หรือฟังก์ชันเลขชี้กาลัง
  x
f x a ; 0a  และ 1a 
fD R และ fR R

- กราฟเป็นเส้นโค้ง ผ่านจุด  0,1 เพราะ 0
1a 

19. www.tutorferry.com T. 0998230343
19
- ถ้า 1a  เมื่อ x มีค่าเพิ่มขึ้น y จะมีค่าเพิ่มขึ้น (ฟังก์ชันเพิ่ม)
- ถ้า 0 1 a เมื่อ x เพิ่ม y ลด (ฟังก์ชันลด)
- 1 2
x x
a a เมื่อ 1 2x x
- ถ้า 0b  และ 1b  แล้ว x x
a b และ a b เมื่อ 0x
- 0x
a  เมื่อ 0a 
2.2 ฟังก์ชันลอการิทึม เช่น
  logaf x x ; 0a  และ 1a 
fD R
 และ fR R
2.3 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่น
  sinf x x
fD R และ  1,1fR  
ฟังก์ชันอื่น ๆ ที่น่าสนใจ
1. ฟังก์ชันที่เป็นคาบ ( periodic function ) เช่น
f ( x + k ) = f ( x )
2. ฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่ ( even function and odd function )
f ( -x ) = f ( x ) ; even function
f ( -x ) = -f ( x ) ; odd function
3. ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด
ถ้า 2 1x x แล้ว    2 1f x f x ; ฟังก์ชันเพิ่ม
ถ้า 2 1x x แล้ว    2 1f x f x ; ฟังก์ชันลด
 ลักษณะของฟังก์ชัน แบ่งออกเป็น 3 แบบ คือ
1. ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (one-to-one function) คือ ฟังก์ชันที่ไม่มีสมาชิกตัวหลังของสองคู่อันดับใด ๆ เหมือนกัน
แต่สมาชิกตัวหน้าต่างกัน
f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ก็ต่อเมื่อ ถ้า  1,x y f และ  2 ,x y f แล้ว 1 2x x
การพิจารณาว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่ อาจพิจารณาจากกราฟของฟังก์ชัน โดยลากเส้น
ขนานแกน X ถ้าไม่มีเส้นใดตัดกราฟมากกว่า 1 จุด ฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง แต่ถ้ามีเส้นใดตัด
มากกว่า 1 จุด ฟังก์ชันนั้นไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ( many-to-one function )

20. www.tutorferry.com T. 0998230343
20
2. ฟังก์ชันจาก A ( function from A )
f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B หมายถึง ฟังก์ชัน f มีโดเมนเท่ากับเซต A และมีเรนจ์เป็นสับเซตของ B
เขียนแทนด้วย :f A B โดยที่ fD A และ fR B
3. ฟังก์ชันทั่วถึง ( onto function )
f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B หมายถึง ฟังก์ชัน f มีโดเมนเท่ากับเซต A และมีเรนจ์เท่ากับเซต B
เขียนแทนด้วย : onto
f A B โดยที่ fD A และ fR B
หมายเหตุ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปไม่ทั่วถึง B หมายถึง ฟังก์ชัน f มีโดเมนเท่ากับเซต A และมีเรนจ์
ไม่เท่ากับเซต B
เขียนแทนด้วย : onto
f A B โดยที่ fD A และ fR B ( onto หมายถึง ไม่ทั่วถึง )
ข้อสังเกต ถ้ากาหนดให้ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B เขียนแทนด้วย :f A B สามารถจาแนกลักษณะ
ของฟังก์ชันได้ 4 ลักษณะ ดังนี้
1. f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไปทั่วถึง B เขียนแทนด้วย 1 1
: onto
f A B

2. f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไปไม่ทั่วถึง B เขียนแทนด้วย 1 1
: onto
f A B

3. f ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไปทั่วถึง B เขียนแทนด้วย 1
: many
onto
f A B

4. f ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไปไม่ทั่วถึง B เขียนแทนด้วย 1
: many
onto
f A B

 ฟังก์ชันคอมโพสิท ( composite function )
ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน โดยที่ f gR D   ฟังก์ชันคอมโพสิทของ f และ g ซึ่งเขียนแทนด้วย
สัญลักษณ์ gof สาหรับทุก ๆ ค่าของ x ซึ่งอยู่ในโดเมนของ f และ f ( x ) อยู่ในโดเมนของ g
( gof ) ( x ) = g ( f ( x ) )
gof fD D และ gof gR R
ถ้า 1 1
: onto
f A B
 และ 1 1
: onto
g B C
 แล้ว 1 1
: onto
gof A C


21. www.tutorferry.com T. 0998230343
21
 ฟังก์ชันอินเวอร์ส ( Inverse function )
ให้ f เป็นฟังก์ชัน 1
f 
จะเป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และเรียกฟังก์ชัน 1
f 
ว่า
ฟังก์ชันอินเวอร์ส โดยที่     1
f y,x x, y f
 
 ข้อสังเกต ถ้า 1 1
: onto
f A B
 จะได้ว่า
1. 1 11
: onto
f B A

2. 1 ff
D R  และ 1 ff
R D 
3. กราฟของ f และ 1
f 
มีเส้นตรง y = x เป็นแกนสมมาตร
4.  f  ก็ต่อเมื่อ  1
f 

5.  1
fof x x
 ; ฟังก์ชันเอกลักษณ์
6.  1
f of x x
 ; ฟังก์ชันเอกลักษณ์
 พีชคณิตของฟังก์ชัน ( Algebra of function ) คือ การสร้างฟังก์ชันใหม่ โดยนาฟังก์ชันเดิม
อย่างน้อย 2 ฟังก์ชันมา บวก ลบ คูณ หาร
ให้ f และ g เป็นฟังก์ชันที่มี fD และ gD เป็นโดเมนของ f และ g ตามลาดับ
      f g f gf g x, y y f x g x ;D D D     
      f g f gf g x, y y f x g x ;D D D     
      fg f gfg x, y y f x g x ;D D D    
 
 
 
  f f g
g
f xf
x, y y ;D D D x g x 0
g g x
  
      
  
 ข้อสังเกต 1. f g f g fg f gD D D D D    
2.   0f f g
g
D D D x g x   
3.       f g x f x g x  
4.       f g x f x g x  
5.       fg x f x g x 
6.  
 
 
f xf
x
g g x
 
 
 
เมื่อ   0g x 


22. www.tutorferry.com T. 0998230343
22
ระบบสมกำรเชิงเส้นและเมทริกซ์ (เปอร์เซ็นต์จำนวนข้อสอบ 4.25%)
เมทริกซ์ คือ ชุดของจานวน mn ตัว  m,n I
 ซึ่งเขียนเรียงกัน m แถว n หลัก
ภายในเครื่องหมายวงเล็บ
11a 12a 1na แถวที่ 1
21a 22a 2na แถวที่ 2
m1a m2a mna แถวที่ m
หลักที่ 1 หลักที่ 2 หลักที่ n
เรียก aij ว่าเป็นสมาชิก ( entry ) ในแถวที่ i และหลักที่ j ของเมทริกซ์ หรือเรียกว่าเป็นสมาชิกใน
ตาแหน่งที่ ij ของเมทริกซ์ เมื่อ i 1,2,...,m และ j 1,2,...,n เรียกเมทริกซ์ที่มี m แถว n หลัก ว่าเป็น mxn
เมทริกซ์ และเรียก mxn ว่าเป็นมิติของเมทริกซ์ ซึ่งอาจเขียนเมทริกซ์ได้อีกแบบ คือ
ij mxn
A a    หมายถึง เมทริกซ์ A เป็น m x n เมทริกซ์ที่มีสมาชิกในตาแหน่งที่ ij เป็น ija
เมื่อ i 1,2,...,m และ j 1,2,...,n
กำรเท่ำกันของเมทริกซ์
ให้ ij mxn
A a    และ ij mxn
B b    A เท่ากับ B ก็ต่อเมื่อ ij ija b สาหรับทุก i 1,2,...,m และ
j 1,2,...,n เขียนแทนด้วย A B
ข้อสังเกต A B เมื่อ
1. มีมิติต่างกัน
2. มีมิติเดียวกัน แต่มีสมาชิกที่อยู่ในตาแหน่งเดียวกัน ต่างกันอย่างน้อย 1 ตัว
กำรบวกเมทริกซ์
ให้ ij mxn
A a    และ ij mxn
B b    A บวกกับ B คือเมทริกซ์ ij mxn
c   เมื่อ ij ij ijc a b 
สาหรับทุก i 1,2,..,m และ j 1,2,...,n เขียนแทนด้วย A B

23. www.tutorferry.com T. 0998230343
23
ข้อสังเกต
เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์บวกกันได้เมื่อมีมิติเดียวกัน โดยนาสมาชิกที่อยู่ในตาแหน่งเดียวกันมาบวกกัน ถ้า
มิติต่างกันไม่สามารถหาผลบวกได้
กำรคูณเมทริกซ์ด้วยค่ำคงตัว
ให้ ij mxn
A a    และ c เป็นค่าคงตัว ผลคูณของ c และ A คือ เมทริกซ์ ij mxn
b  
เมื่อ bij = caij สาหรับทุก i 1,2,...,m และ j 1,2,...,n เขียนแทนด้วย cA
ข้อสังเกต
1.    A B A 1 B A B       เมื่อ A และ B มีมิติเดียวกัน
2. ให้ ij ijmxn mxn
A a ,B b        และ ,B เป็นค่าคงตัว จะได้ว่า ij mxn
A B c      เมื่อ
ij ij ijc a b   สาหรับทุก i 1,2,...,m และ j 1,2,...,n
3. เมทริกซ์ที่มีมิติ m x n และสามารถทุกตาแหน่งเป็นศูนย์เรียกว่า เมทริกซ์ศูนย์แทนด้วย 0mxn หรือ 0
สมบัติที่เกี่ยวข้องกับกำรบวกเมทริกซ์และกำรคูณเมทริกซ์ด้วยค่ำคงตัว
กาหนดให้ A,B,C,O มีมิติ mxn และ c,d เป็นค่าคงตัว
1. A B มีมิติ mxn
2. สมบัติการสลับที่ A B B A  
3. สมบัติการเปลี่ยนหมู่    A B C A B C    
4. การมีเอกลักษณ์การบวก A O A O A    เมื่อ O เป็นเอกลักษณ์การบวก
5. การมีตัวผกผันการบวก    A A O A A      เมื่อ A เป็นตัวผกผันการบวกของ A
6.  c A B cA cB  
7.  c d A cA dA  
8.    cd A c dA
9. 1A A
10. 0A 0

24. www.tutorferry.com T. 0998230343
24
กำรคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์
ถ้า ij mxn
A a    และ  nxrijbB  แล้ว A คูณ B คือ เมทริกซ์  mxrijc เมื่อ
ij i1 1j i2 2 j in njc a b a b ... a b    สาหรับทุก i 1,2,...,m และ j 1,2,...,r
11a 12a 1na 11b 12b 1rb
21a 22a 2na 21b 22b 2rb
=
m1a m2a mna n1b n2b nrb
n
1k k1
k 1
a b


n
1k k2
k 1
a ,b


n
1k kr
k 1
a b


n
2k k1
k 1
a b


n
2k k2
k 1
a b


n
2k kr
k 1
a b


n
mk k1
k 1
a b


n
mk k2
k 1
a b


n
mk kr
k 1
a b


เมื่อ
n
ik kj ij ij i2 2j in nj
k 1
a b a b a b ... a b

   
ข้อสังเกต
1. AB จะหาค่าได้เมื่อ A มีจานวนหลักเท่ากับจานวนแถวของ B เท่านั้น
2. AB BA ( AB อาจจะเท่ากับ BA หรือไม่เท่ากันก็ได้)
3. ถ้า A เป็น nxn เมทริกซ์
'
A A
2
A AA
3 2
A AA

25. www.tutorferry.com T. 0998230343
25
k k 1
A AA 
 เมื่อ k I
 และ k 1
เมทริกซ์เอกลักษณ์
สาหรับจานวนเต็มบวก n ใด ๆ จะให้  nxnjkn iI  มีสมาชิกดังนี้
l เมื่อ j k
0 เมื่อ j k
เรียก In ว่าเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ มิติ nxn อาจเขียนเป็น I
ข้อสังเกต
1. n nAI A I A 
2. ถ้า AB A BA  แล้ว B อาจจะเท่ากับ In หรือไม่เท่ากับ In ก็ได้
เมทริกซ์สลับเปลี่ยน
ให้ ij mxn
A a    ถ้า  nxmijbB  มีสมบัติว่า bij = aji ทุก 1,2,...,i n และ 1,2,...,j m แล้ว
เรียก B ว่าเป็น เมทริกซ์สลับเปลี่ยนของ A แทนด้วย At
ข้อสังเกต
ถ้า A เป็น mxn เมทริกซ์แล้ว At
จะเป็น nxm เมทริกซ์ที่มีแถวที่ i เหมือนหลักที่ i ของ A ทุก
1,2,...,i n
สมบัติที่เกี่ยวข้องกับกำรคูณเมทริกซ์และเมทริกซ์สลับเปลี่ยน
ถ้า , ,ij ij ijmxn nxp pxq
A a B b C c             แล้ว
1.    A BC AB C
2. 0 0mxn mxnA 
3. 0 0nxp mxpA 
4. mI A A
5. nAI A
6.      cA B A cB c AB  เมื่อ c คือค่าคงตัว
7.  A B D AB AD   เมื่อ D เป็น nxp เมทริกซ์
8.  A E B AB EB   เมื่อ E เป็น mxn เมทริกซ์
9.  
t t t
A F A F   เมื่อ F เป็น mxn เมทริกซ์
10.  
t t t
AB B A
11.  
t
t
A A

26. www.tutorferry.com T. 0998230343
26
12.  t t
cA cA เมื่อ c เป็นค่าคงตัว
ข้อสังเกต
1.  
2 2 2
2A B A AB B   
2.    2 2
A B A B A B   
ทั้ง 2 กรณีจะเท่ากัน เมื่อ AB BA
ตัวผกผันกำรคูณของเมทริกซ์ ( อินเวอร์สกำรคูณ )
ให้ A เป็น n xn เมทริกซ์ ถ้า B เป็น n x n เมทริกซ์ที่มีสมบัติ ว่า nAB BA I  แล้วจะเรียก B ว่า
เป็น ตัวผกผันการคูณของ A และเขียนแทน B ด้วย A-1
ข้อสังเกต
1. nI เป็นเอกลักษณ์การคูณในเซตของเมทริกซ์ที่มีมิติ n x n
2. ในระบบจานวนจริง เซต  0R  สมาชิกทุกตัวมีตัวผกผัน การคูณ แต่ในเมทริกซ์ อาจมีเมทริกซ์ที่ไม่เท่ากับ
onxn และไม่มีตัวผกผันการคูณ
3. a b
ถ้า A  และ 0ad bc 
c d
1 1 d b
A
c aad bc
  
  
  
กำรหำตัวผกผันกำรคูณของเมทริกซ์
เมื่อ A เป็น 2 x 2 เมทริกซ์ เราหา 1
A
ได้จากการสร้างเมทริกซ์ที่มีสมาชิกของเมทริกซ์ได้จากการแก้
ระบบสมการเชิงเส้น 4 ตัวแปรและประกอบด้วย 4 สมการ ดังนั้นถ้า A เป็น n x n เมทริกซ์ การหา 1
A
ต้อง
แก้ระบบสมการเชิงเส้น 2
n ตัวแปร จานวน 2
n ตัวแปร จานวน 2
n สมการซึ่งจะไม่สะดวกในทางปฏิบัติ
ดีเทอร์มิแนนต์
ให้   11xaA  เรียก a ว่าเป็นดีเทอร์มิแนนต์ของ A ซึ่ง a จะเป็นทั้งสมาชิกและ
ดีเทอร์มิแนนต์ของ A
ไมเนอร์และตัวประกอบร่วมเกี่ยว
ให้ ij nxn
A a    เมื่อ 2n  ไมเนอร์ของ ija คือ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้จากการตัดแถวที่ i
และ หลักที่ j ของ A ออก เขียนแทนด้วย  ijM A

27. www.tutorferry.com T. 0998230343
27
ตัวอย่ำงเช่น ถ้า 11 12
21 22
a a
A
a a
 
  
 
จะได้ว่า
 11 22M A a
 12 21M A a
 21 12M A a
 22 11M A a
ตัวประกอบร่วมเกี่ยว
ให้ ij nxn
A a    เมื่อ 2n  ตัวประกอบร่วมเกี่ยวของ ija คือ ผลคูณของ  1
i j
 และ  ijM A
เขียนแทนด้วย Cij(A)
     1
i j
ij ijC A M A

 
ตัวอย่ำงเช่น ถ้า 11 12
21 22
a a
A
a a
 
  
 
จะได้ว่า
       
1 1 2
11 11 22 221 1C A M A a a

    
       
1 2 3
12 12 21 211 1C A M A a a

     
       
2 1 3
21 21 12 121 1C A M A a a

     
       
2 2 4
22 22 11 111 1C A M A a a

    
กำรหำดีเทอร์มิแนนต์ ของ n x n เมื่อ n  2
ให้ ij nxn
A a    เมื่อ 2n  ดีเทอร์มิแนนต์ของ A คือ      11 11 12 12 1 1... n na c A a c A a c A  
เขียนแทนด้วย  det A
       11 11 12 12 1 1det ... n nA a c A a c A a c A   
11a 12a 1na
หรือ  det A  21a 22a 2na
1na 2na nna
ตัวอย่ำงเช่น ถ้า 1211
21 22
a a
A
a a
 
  
 
จะได้ว่า
     11 11 12 12det A a C A a C A 
   11 22 12 12a a a a  
11 22 12 21a a a a 

28. www.tutorferry.com T. 0998230343
28
กำรหำดีเทอร์มิแนนต์ของ n x n เมทริกซ์ เมื่อ n = 3
ถ้า 3 3ij x
A a    จะได้ว่า
11a 12a 13a
 det A  21a 22a 23a
31a 32a 33a
     11 11 12 12 13 13a C A a C A a C A  
     11 11 12 12 13 13a M A a M A a M A  
22 23 21 23 21 22
11 12 13
31 3232 33 31 33
a a a a a a
a a a
a aa a a a
  
     11 22 33 32 23 12 21 33 31 23 13 21 32 31 32a a a a a a a a a a a a a a a     
   11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 23 11 33 21 12a a a a a a a a a a a a a a a a a a     
ข้อสังเกต
เมื่อ 3 3ij x
A a    การหา  det A ทาได้โดยนาหลักที่ 1 และ 2 ของ A มาเขียนต่อจากหลักที่ 3 ดังนี้
a31a22a13 32 23 11a a a 33 21 12a a a
11a 12a 13a 11a 12a
21a 22a 23a 21a 22a
31a 32a 33a 31a 32a
11 22 33a a a 12 23 31a a a 13 21 32a a a
ให้ h  ผลบวกของผลคูณในแนวเฉียงจากซ้ายบนลงมาขวาล่าง
11 22 33 12 23 31 13 21 32a a a a a a a a a  
และ k ผลบวกของผลคูณในแนวเฉียงจากซ้ายล่างขึ้นไปขวาบน
31 22 13 32 23 11 33 21 12a a a a a a a a a  
 det A h k  

29. www.tutorferry.com T. 0998230343
29
สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์
กาหนดให้ ij nxn
A a    เมื่อ 2n 
1.        12 12det ...ij ij in inA a C A a C A a C A    ทุก 1,2,...,i n (กระจายตามแถวที่ i)
2.        2 2det ...ij ij j j nj njA a C A a C A a C A    ทุก 1,2,...,i n (กระจายตามแถวที่ j)
3. ถ้า A มีสมาชิกในแถวใดแถวหนึ่งหรือหลักใดหลักหนึ่งเป็นศูนย์ทุกตัวแล้ว  det 0A 
( เป็นผลของสมบัติข้อ 1 และ 2 )
4. ถ้า B ได้จากการสลับแถว 2 แถวหรือสลับหลัก 2 หลักของ A แล้ว    det detB A 
5. ถ้า A มี 2 แถวเหมือนกันหรือหลัก 2 หลักเหมือนกันแล้ว  det 0A  (เป็นผลของสมบัติข้อ 4 )
6.    det dett
A A
7. ถ้า B เกิดจากการคูณสมาชิกในแถวใดแถวหนึ่งหรือหลักใดหลักหนึ่งของ A ด้วยค่าคงตัว c แล้ว
   det detB c A
8. ถ้า B ได้จาก A โดยสมาชิกแถวที่ j ของ B ได้มาจากการคูณแถวที่ i ของ A ด้วยค่าคงตัว c และนาไป
บวกกับแถวที่ j ของ A เมื่อ i j แล้ว    det detB A
(สมบัติข้อนี้ยังคงเป็นจริงเมื่อเปลี่ยนจากแถวเป็นหลัก )
9.    det detn
cA c A เมื่อ c เป็นค่าคงตัว ( เป็นผลของสมบัติข้อ 7 )
10.      det det detAB A B เมื่อ B เป็น n x n เมทริกซ์
11.  det 1nI 
12. ถ้า ij nxn
A a    โดยที่ 0ija  เมื่อ i j แล้ว   11 22det ... nnA a a a
13. ถ้า ij nxn
B B    โดยที่ 0ijb  เมื่อ i j แล้ว   11 22det ... nnB b b b
14. ถ้า  det 0A  แล้ว    
1 1
det
det
A
A


เมทริกซ์เอกฐำนและเมทริกซ์ไม่เอกฐำน
ให้ A เป็น n x n เมทริกซ์
A เป็นเมทริกซ์เอกฐาน เมื่อ  det 0A 
A เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน เมื่อ  det 0A 
เมทริกซ์ผูกพัน
ให้ A เป็น n x n เมทริกซ์ เมื่อ 2n  เมทริกซ์ผูกพันของ A คือ  
t
ijC A   แทนด้วย  adj A
   
t
ijadj A C A   

30. www.tutorferry.com T. 0998230343
30
สรุปได้ว่ำ
1. A      det nadj A adj A A A I 
2. A มีตัวผกผันการคูณก็ต่อเมื่อ A เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานและ  det 0A  จะได้ว่า
 
 1 1
det
A adj A
A


3. ถ้า  det 0A  และมีมิติ nxn จะได้ว่า
   
1
det det
n
adj A A

      
กำรใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมกำรเชิงเส้น
กาหนดระบบสมการเชิงเส้นที่มี m สมการ และ n ตัวแปร
11 1 12 2 1 1n na x a x a x b   
22 221 1 2 2n na x a x a x b   
1 1 2 2m m mn n ma x a x a x b   
สมการเมทริกซ์ที่สัมพันธ์กับระบบสมการนี้ คือ
11a 12a 1na x1 1b
21a 22a 2na x2 = 2b
1ma 2ma mna xn mb
A X B
จะได้ว่า AX B
ถ้า m = n และ  det 0A  แล้วเราสามารถหาคาตอบของระบบได้จาก 1
X A B


31. www.tutorferry.com T. 0998230343
31
กฎของครำเมอร์
เมื่อกาหนดระบบสมการเชิงเส้นที่มี n สมการ และ n ตัวแปรโดย AX = B เป็นสมการเมทริกซ์ที่
สัมพันธ์กับระบบของสมการนี้
11a 12a 1na x1 1b
ให้ A = 21a 22a 2na , X  x2 , B = 2b
1na 2na nna xn nb
ถ้า  det 0A  แล้ว คาตอบของระบบสมการนี้ คือ
 
 
 
 
 
 
1 2
1 2
det det det
, ,...,
det det det
n
n
A A A
X X X
A A A
   เ มื่อ iA คือ เมทริกซ์ที่ได้จากการแทนหลักที่ i ของ A
ด้วยหลักของ B ทุก 1,2,...,i n
เมทริกซ์แต่งเติม
กาหนดระบบสมการเชิงเส้นที่มี m สมการ และ n ตัวแปร
11 1 12 2 1 1... n na x a x a x b   
21 1 22 2 2 2... n na x a x a x b   
1 1 2 2 ...m m mn n ma x a x a x b   
เมทริกซ์แต่งเติม ของระบบสมการนี้ คือ
11a 12a 1na 1b
21a 22a 2na 2b
1ma 2ma mna mb
กำรดำเนินกำรตำมแถว
ให้ A เป็น m x n เมทริกซ์ เรียกการดาเนินการต่อไปนี้ว่าเป็นการดาเนินงานตามแถวกับ
เมทริกซ์ A
1. สลับที่แถว i และ j ของ A เขียนบนแทนด้วย ijR
2. คูณแถวที่ i ด้วยค่าคงตัว 0c  เขียนแทนด้วย icR

32. www.tutorferry.com T. 0998230343
32
3. เปลี่ยนแถวที่ i ของ A โดยนาค่าคงตัว c คูณแถวที่ j  j i แล้วนาไปบวกกับแถวที่ i เขียนแทน ด้วย
i jR cR
รูปแบบขั้นบันไดแบบแถว
ให้ A เป็น m x n เมทริกซ์ เรากล่าวว่า A มีรูปแบบขั้นบันไดแบบแถว เมื่อ A มีสมบัติต่อไปนี้
1. ถ้า A มีแถวที่มีสมาชิกบางตัวไม่เท่ากับ 0 แล้วสมาชิกตัวแรก ( จากซ้ายไปขวา )ที่ไม่ใช่ 0 ต้องเป็น 1 เรียก 1
ตัวนี้ว่าเป็น 1 ตัวนาในแถว
2. ถ้า A มีแถวที่มีสมาชิกทุกตัวในแถวเท่ากับ 0 แถวเหล่านี้ต้องรวมกันอยู่ต่ากว่าแถวที่มีสมาชิกบางตัวไม่
เท่ากับ 0
3. ถ้า ija เป็น 1 ตัวนาในแถวที่ i และ  1i k
a 
เป็น 1 ตัวนาในแถวที่ i + 1 แล้ว j k
ข้อสังเกต
1. ถ้าเมทริกซ์ B ได้จากเมทริกซ์ A ในการดาเนินการตามแถวแล้วจะกล่าวว่า B สมมูลแบบแถวกับ A แทนด้วย
BA 
2. A สมมูล แบบแถวกับเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดแบบแถว
3. เมื่อกาหนดระบบสมการเชิงเส้นมาให้ มีขั้นตอนหาคาตอบ ดังนี้
11 1 12 2 1 1... n na x a x a x b   
221 1 22 2 2... n na x a x a x b   

an1x1 + an2x2 + … + annxn = bn
3.1 สร้างเมทริกซ์แต่งเติม
11a 12a 1na 1b
21a 22a 2na 2b
1na 2na ann nb
3.2 ดาเนินการตามแถวเพื่อให้ได้รูปแบบขั้นบันไดแบบแถว
1 o o 1c
o 1 0 2c
o o 1 nc

33. www.tutorferry.com T. 0998230343
33
3.3 เมทริกซ์ที่ได้จาก 3.2 จะเป็นเมทริกซ์แต่งเติมของระบบสมการที่มีคาตอบชุดเดียวกับระบบสมการที่กาหนด
จะได้ว่า    1 2 1 2, ,..., , ,..,n nx x x c c c
4. การดาเนินการตามแถว บอกได้ว่า ระบบสมการที่กาหนดมีคาตอบเดียว มีความคาตอบเป็นอนันต์ หรือไม่มี
คาตอบ
4.1 มีคาตอบเดียว ช่น
1 0 0 0 1c
0 1 0 0 2c
0 0 1 0 3c
0 0 0 1 4c
   1 2 3 4 1 2 3 4, , , , , ,x x x x c c c c
4.2 มีคาตอบเป็นอนันต์ เช่น
1 1 0 0 1c
0 0 1 0 2c
0 0 0 1 3c
เซตคาตอบ คือ   1 2 3 4 1 2 1 3 2 4 3, , , ,x x x x lX X c x c X c   
อาจเขียนเป็น   1 2 2 3 1 2 1, , ,x x c c lX X c  หรือ   1 1 2 3 1,3 , ,c c c c lc R 
4.3 ไม่มีคาตอบ เช่น
1 1a 2a 3a 1c
0 0 1 b 2c
0 0 0 0 3c
ถ้าแถวใดมีสมาชิกเป็น 0 หมดทั้งแถว ระบบสมการนี้จะไม่มีคาตอบ
กำรหำตัวผกผันโดยกำรดำเนินกำรตำมแถว
กาหนดให้ A เป็น n x n เมทริกซ์ โดยที่  det 0A 
11a 12a 1na
A = 21a 22a 2na

34. www.tutorferry.com T. 0998230343
34
1na an2 ann
1. เขียน  nA I (เฉพาะสมาชิก)
11a 12a 1na 1 0 0
 nA I = 21a 22a 2na 0 1 0
1na an2 nna 0 0 1
2. ดาเนินการตามแถว จนได้  nI B
1 0 0 11b 12b 1nb
 nI B  0 1 0 12b 22b 2nb
0 0 1 1nb 2nb nnb
จะได้ว่า B เป็นตัวผกผันการคูณของ A 1
B A



35. www.tutorferry.com T. 0998230343
35
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และฟังก์ชันลอกำริทึม (เปอร์เซ็นต์จำนวนข้อสอบ 5.5%)
 เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม
ถ้า a R และ n I
 แล้ว
1. ...n
a a a a a a
n
a เรียกว่า เลขยกกาลัง
a เรียกว่า ฐาน
n เรียกว่า เลขชี้กาลัง
2. 0
1a  เมื่อ 0a 
3. 1n
n
a
a

 เมื่อ 0a 
4. 1 n
n
a
a
 เมื่อ 0a 
 รำกที่ n ของจำนวนจริง
 รากที่ 2 : ถ้า ,a b R แล้ว b เป็นรากที่ 2 ของ a เมื่อ 2
b a
ค่าหลักของรากที่ 2 ของ a แทนด้วย a เรียกว่า กรณฑ์ ที่ 2 ของ a
1. ถ้า 0a  รากที่ 2 ของ a คือ a และ a
2. ถ้า 0a  รากที่ 2 ของ a คือ 0
3. ถ้า 0a  ไม่มีรากที่ 2 ของ a ที่เป็นจานวนจริง
สมบัติของกรณฑ์ที่ 2 ถ้า , 0a b 
1. a b ab
2. a a
bb
 เมื่อ 0b 
 รากที่n ของจานวนจริง : ให้ n I
 และ 1n  ถ้า ,a b R แล้ว b เป็นรากที่ n ของ a เมื่อ n
b a
ค่าหลักของรากที่ n ของ a แทนด้วย n
a เรียกว่า กรณฑ์ที่ n ของ a เมื่อ n คือดัชนีของกรณฑ์
 ข้อสังเกต
1. ถ้า 2n  จะเขียน แทน 2
2. 0 0n
3. 1 1n

4.  
n
n
a a เมื่อ n
a R
5. ถ้า 0a  แล้ว 0n
a 
n ตัว

36. www.tutorferry.com T. 0998230343
36
6. ถ้า 0a  และ
6.1 n เป็นจานวนคี่ แล้ว 0n
a 
6.2 n เป็นจานวนคู่ แล้ว n
a ไม่ใช่จานวนจริง
a เมื่อ 0a 
7. n n
a  a เมื่อ 0a  และ n เป็นจานวนคี่
a เมื่อ 0a  และ n เป็นจานวนคู่
สมบัติของรากที่ n ถ้า n
a , n
b R
1. n n n
a b ab
2. , 0
n
n
n
a a
b
bb
 
 การหาผลบวกและผลต่างของกรณฑ์ ทาได้เมื่อเป็นจานวนเดียวกัน ในกรณฑ์ที่มีดัชนีเท่ากัน โดยใช้สมบัติ
การแจกแจงดังนี้
1. กรณฑ์ที่ 2
 a c b c a b c  
 a c b c a b c  
2. กรณฑ์ที่ n
 n n n
a c b c a b c  
 n n n
a c b c a b c  
 การหาผลคูณและผลหารของกรณฑ์ ถ้าดัชนีของกรณฑ์ต่างกัน ต้องทาให้เท่ากันก่อน แล้วใช้สมบัติของราก
ที่ n ถ้า b , d > 0 จะได้ว่า
n mmnm n
(a b)(c d) (ac) b d
nm
mn
mn
a b a b
c dc d
 ; 0c 
 เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ
1. ถ้า ,a R n I
  และ 1, n
n a R
1
nn
a a
2. ถ้า a R , m และ n I โดย m
n
เป็นเศษส่วนอย่างต่า และ 0n  , n
a R โดยเมื่อ 0m 
แล้ว 0a 
 
1
 
  
 
mm
m
nn n
a a a
 
1m
nm mn na a a 

37. www.tutorferry.com T. 0998230343
37
สมบัติของเลขยกกำลัง
ถ้า ,m n เป็นจานวนตรรกยะ และ , , , m n n mn
a a b a R
1. m n m n
a xa a 

2.
m
m n
n
a
a
a

 0a 
3.  
nm mn
a a
4.  
nn n
a xb ab
5.
nn
n
a a
b b
 
  
 
0b 
 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ ฟังก์ชัน ( ){ }, ; 0, 1x
f x y RxR y a a a+
= Î = > ¹
1. fD R= , fR R+
= ( )0x
a >
2. กราฟผ่านจุด ( )0,1 เพราะ 0
1a =
3. ถ้า a > 1 เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และถ้า 0 < a < 1 เป็นฟังก์ชันลด
4. กราฟไม่ตัดแกน X แต่เข้าใกล้แกน X หรือมีแกน X เป็นเส้นกากับแนวนอน
5. เป็นฟังก์ชัน 1 – 1 จาก R ไปทั่วถึง R+
1 1
: onto
f R R- +
¾ ¾ ®
6. โดยสมบัติของฟังก์ชัน 1 – 1 จะได้ว่า
x y
a a= ก็ต่อเมื่อ x = y
7. ถ้า 0b > , 1b ¹ , a b¹ และ x x
a b= แล้ว 0x =
8. ถ้า 0x > , 0y > และ m , n Î +
I
m
n
x = y ก็ต่อเมื่อ x =
n
m
y
 ฟังก์ชันลอกำริทึม
ฟังก์ชันลอการิทึม คือ ฟังก์ชัน ( ){ }, log ; 0, 1af x y R xR y x a a+
= Î = > ¹
1. เป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล
2. fD R+
= , fR R=
3. กราฟของ x
y a= และ logay x= มีเส้นตรง y = x เป็นแกนสมมาตร
4. y
x a= สามารถเขียนในรูป logay x=
5. กราฟผ่านจุด ( )1,0 เพราะ log 1 0a =
6. ถ้า a > 1 เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และถ้า 0 < a < 1 เป็นฟังก์ชันลด
7. กราฟไม่ตัดแกน Y แต่เข้าใกล้แกน Y หรือมีแกน Y เป็นเส้นกากับแนวตั้ง

38. www.tutorferry.com T. 0998230343
38
8. เป็นฟังก์ชัน 1 – 1 จาก R+
ไปทั่วถึง R
1 1
: onto
f R R-+
¾ ¾ ®
9. โดยสมบัติของฟังก์ชัน 1 – 1 จะได้ว่า
log loga ax y= ก็ต่อเมื่อ x = y
10. จาก logay x= ก็ต่อเมื่อ y
a x=
loga x
a x= และ log y
ay a=
สมบัติของลอกำริทึม เมื่อ , ,a M N R+
Î ที่ 1a ¹ และ k RÎ
1. log log loga a aMN M N= +
2. log log loga a a
M
M N
N
= -
3. log logk
a aM k M=
4. log 1a a =
5. log 1 0a =
6. 1
log logk aa
M M
k
=
7. 1
log
log
b
a
a
b
=
8. log
log
log
c
b
c
a
a
b
=
กำรหำค่ำลอกำริทึม
1. ลอการิทึมสามัญ หมายถึง ลอการิทึมฐาน 10
เช่น 10log 2 จะเขียนแทนด้วย log2
2. ถ้า 0 10n
N N x= , 01 10N  และ n I จะได้ว่า
0log logN n N= +
N คือ แอนติลอการิทึมของ log N
3. ลอการิทึมธรรมชาติ หรือลอการิทึมแบบเนเปียร์ หมายถึง ลอการิทึมฐาน e ( 2.718)e »
เช่น log 2e จะเขียนแทนด้วย ln 2
log
ln 2.3026log
log
x
x x
e
= » ; log 0.4343e »


39. www.tutorferry.com T. 0998230343
39
จำนวนเชิงซ้อน (เปอร์เซ็นต์จำนวนข้อสอบ 4.5%)
 จำนวนเชิงซ้อน
 จำนวนจินตภำพ ( imaginary number )
ถ้า a R
 จะได้ว่า a ai  เมื่อ 1i   และ 2
1i 
ข้อสังเกต ถ้า n I
 หรือศูนย์ จะได้ว่า
1. 4 0
1n
i i 
2. 4 1 1n
i i i
 
3. 4 2 2
1n
i i
 
4. 4 3 3n
i i i
 
จำนวนจริง
จำนวนตรรกยะ
จำนวนเต็มจำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม
ศูนย์จำนวนเต็มลบจำนวนเต็มบวกหรือจำนวนนับ
จำนวนอตรรกยะ
จำนวนเชิงซ้อน
จำนวนจินตาำ

40. www.tutorferry.com T. 0998230343
40
 จำนวนเชิงซ้อน ( complex number )
จานวนเชิงซ้อน คือ คู่อันดับ ( a , b ) เมื่อ ,a b R ถ้า z เป็นจานวนเชิงซ้อน จะได้ว่า
z = ( a , b ) = a + bi
a คือ ส่วนจริง ( real part ) ของ z แทนด้วย Re ( z )
b คือ ส่วนจินตภาพ ( imaginary part ) ของ z แทนด้วย Im ( z )
เซตของจานวนเชิงซ้อน แทนด้วย C
ข้อสังเกต
1. จานวนจริง คือ จานวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจินตภาพเป็น ศูนย์
2. จานวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็นศูนย์ แต่ส่วนจินตภาพไม่เป็นศูนย์ เรียกว่า จานวนจินตภาพแท้
3. ทั้งจานวนจริงและจานวนจินตภาพเป็นสับเซตของจานวนเชิงซ้อน
 สมบัติของจำนวนเชิงซ้อน
กาหนดให้ , , , ,a b c d k R
1. สมบัติการเท่ากัน
a + bi = c + di ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d
2. การบวกจานวนเชิงซ้อน
( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d )i
3. การคูณจานวนเชิงซ้อน
3.1 การคูณจานวนเชิงซ้อนด้วยจานวนจริง
k( a + bi ) = ka + kbi
3.2 การคูณจานวนเชิงซ้อนด้วยจานวนจินตภาพ i
i( a + bi ) = -b + ai
3.3 การคูณจานวนเชิงซ้อนด้วยจานวนเชิงซ้อน
( a + bi )( c + di ) = ( ac - bd ) + ( ad + bc )i
4. สมบัติการบวกและการคูณจานวนเชิงซ้อน
ถ้า z1 , z2 , z3 เป็นจานวนเชิงซ้อน จะได้ว่า
4.1 สมบัติการสลับที่
z1 + z2 = z2 + z1 และ z1z2 = z2z1
4.2 สมบัติการเปลี่ยนหมู่
z1 + ( z2 + z3 ) = ( z1 + z2 ) + z3
z1( z2z3 ) = ( z1z2 )z3
4.3 สมบัติการแจกแจง
z1( z2 + z3 ) = z1z2 + z1z3

41. www.tutorferry.com T. 0998230343
41
5. เอกลักษณ์การบวก
( a , b ) + ( 0 , 0 ) = ( a , b ) = ( 0 , 0 ) + ( a , b )
นั้นคือ ( 0 , 0 ) เป็นเอกลักษณ์การบวกในระบบจานวนเชิงซ้อน
6. ตัวผกผันการบวก ( อินเวอร์สการบวก )
ถ้า z = ( a , b ) = a + bi
ตัวผกผันการบวกของ z คือ -z = -a - bi
7. การลบจานวนเชิงซ้อน
z1 - z2 = z1 + ( -z2 )
การลบจานวนเชิงซ้อน คือ การบวกด้วยตัวผกผันการบวกของจานวนเชิงซ้อน
8. เอกลักษณ์การคูณ
( a , b )( 1 , 0 ) = ( a , b ) = ( 1 , 0 )( a , b )
นั้นคือ ( 1 , 0 ) เป็นเอกลักษณ์การคูณในระบบจานวนเชิงซ้อน
9. ตัวผกผันการคูณ ( อินเวอร์สการคูณ )
ถ้า z = ( a , b ) = a + bi โดยที่ z  ( 0 , 0 )
ตัวผกผันการคูณของ z คือ 1
2 2
a bi
z
a b
 


10. การหารจานวนเชิงซ้อน
1 1
1 2 1 2
2
z
z z z z
z

  
การหารจานวนเชิงซ้อน คือ การคูณด้วยตัวผกผันการคูณของจานวนเชิงซ้อน
 สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน ( conjugate )
ถ้า z = a + bi สังยุคของ z แทนด้วย z
z a bi a bi   
ข้อสังเกต 2 2
zz a b 
สมบัติของสังยุค
1.
1
Re( ) ( )
2
z z z  ,
1
Im( ) ( )
2
z z z
i
 
2. z z
3.
1 1
( )
z z
 เมื่อ (0,0)z 
4. 1 2 1 2z z z z  

42. www.tutorferry.com T. 0998230343
42
5. 1 2 1 2z z z z  
6. 1 2 1 2z z z z
7. 1 1
2 2
z z
z z
 
 
 
เมื่อ 2 (0,0)z 
การนาสังยุคมาใช้ในการหารจานวนเชิงซ้อน
ถ้า z1 = a + bi และ z2 = c + di โดยที่ 2 (0,0)z 
   
1
2
1
2 2
2
z a bi a bi c di
z c di c di c di
z ac bd bc ad i
z c d
       
     
  


 รำกที่ 2 ของจำนวนเชิงซ้อน
ถ้า z = a + bi และ 2 2
c a b  แล้วรากที่ 2 ของ z คือ
2 2
c a c a
i
  
  
 
เมื่อ 0b 
2 2
c a c a
i
  
  
 
เมื่อ b < 0
ข้อสังเกต
1. ถ้า z = ( 0 , 0 ) รากที่ 2 ของ z จะมีเพียงจานวนเดียว คือ ( 0 , 0 )
2. ถ้า z  ( 0 , 0 ) รากที่ 2 ของ z จะมี 2 จานวนที่แตกต่างกัน
3. ถ้า z = ( a , 0 )
รากที่ 2 ของ z =
, 0
, 0
a a
a i a
 

 
4. ถ้า z = ( 0 , b )
รากที่ 2 ของ z =
, 0
2 2
, 0
2 2
b b
i b
b b
i b
  
    
 

      

43. www.tutorferry.com T. 0998230343
43
 กรำฟของจำนวนเชิงซ้อน
จานวนเชิงซ้อนอยู่ในรูปของคู่อันดับ ( a , b ) โดย a เป็นส่วนจริง และ b เป็นส่วน- จินตภาพ
ซึ่งแทนได้ด้วยจุดบนระนาบในระบบแกนมุมฉาก โดยแกนนอนเรียกว่า แกนจริง แกนตั้งเรียกว่า แกนจินต
ภาพ และระนาบที่เกิดจากแกนทั้ง 2 เรียกว่า ระนาบเชิงซ้อน
ให้ แกน X แทนแกนจริง และแกน Y แทนแกนจินตภาพ จานวนเชิงซ้อน 1 + 2i แทนได้ด้วย
จุด ( 1 , 2 ) หรือแทนด้วยเวกเตอร์ที่มีจุด ( 0 , 0 ) เป็นจุดเริ่มต้น และจุด ( 1 , 2 ) เป็นจุดสิ้นสุด
 ค่ำสัมบูรณ์ ( absolute value หรือ modulus ) ของจำนวนเชิงซ้อน
ถ้า z = a + bi ค่าสัมบูรณ์ของจานวนเชิงซ้อน z คือจานวนจริง 2 2
a b เขียน
แทนด้วย z หรือ a bi
2 2
z a bi a b   
ข้อสังเกต a bi คือระยะทางจากจุดกาเนิด ( 0 , 0 ) ถึงจุด ( a , b ) ในระนาบเชิงซ้อน
สมบัติของค่าสัมบูรณ์
1. 22
z zz z 
2. z z z  
3.
1 1
z z
 เมื่อ z  ( 0 , 0 )
4. 1 2 1 2z z z z
5. 11
2 2
zz
z z
 เมื่อ z  ( 0 , 0 )
-1
-1
0
Y
X
1 2 3 4
2
3
.( 1 , 2 )
( 1 , 2 )

44. www.tutorferry.com T. 0998230343
44
6. 1 2 1 2z z z z  
7. 1 2 1 2z z z z  
8.
2 2 2 2
1 2 1 2 1 22 2z z z z z z    
9.
2
1 2 1 2 1 2( )( )z z z z z z   
10.
2
1 2 1 2 1 2( )( )z z z z z z   
ข้อสังเกต
1. 1 2z z คือระยะทางระหว่างจุด z1 และ z2 ในระนาบเชิงซ้อน
2. ถ้า z1 และ z2 เป็นจานวนเชิงซ้อน r เป็นจานวนจริงบวก
2.1  1 1 2z C z z r   คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อนที่มีระยะห่างจาก z1 เท่ากับ r
ซึ่งก็คือเซตของจุดทั้งหมดที่อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมที่มี z2 เป็นจุดศูนย์กลาง และมีรัศมี r
 จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว
ถ้า z = x + yi เราสามารถเขียนในรูปเชิงขั้วได้ดังนี้
z = r ( cos + isin )
การคูณและการหารจานวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว
กาหนดให้ z = r ( cos + isin ) , z1 = r1 ( cos 1 + isin 1 ) , z2 = r2 ( cos 2 + isin 2 )
1.       sincos irz
2.       sincos
11
i
rz
3.     21212121 sincos   irrzz
4.     2121
2
1
2
1
sincos   i
r
r
z
z
ทฤษฎีบทของเดอมัวร์
ถ้า z = r ( cos + isin ) และ 
 In จะได้ว่า
     ninrz nn
sincos 
รำกที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน
ถ้า z = r ( cos + isin ) แล้วรากที่ n ของ z แทนด้วย zk











 





 

n
k
i
n
k
rz n
k
 2
sin
2
cos
เมื่อ k = 0 , 1 , 2 , … , n-1


45. www.tutorferry.com T. 0998230343
45
เรขำคณิตวิเครำะห์ (เปอร์เซ็นต์จำนวนข้อสอบ 3%)
 เรขำคณิต
ระยะทางระหว่างจุดสองจุด
1. ถ้า  1 1,0P x และ  2 2 ,0P x อยู่บนแกน X หรือถ้า  1 1,P x y และ  2 2 ,P x y ขนานแกน X
1 2 1 2PP x x 
2. ถ้า  1 10,P y และ  2 20,P y อยู่บนแกน Y หรือถ้า  1 1,P x y และ  2 2,P x y ขนานแกน Y
1 2 1 2PP y y 
3. ถ้า  1 1 1,P x y และ  2 2 2,P x y เป็นจุดในระนาบแล้ว
   
2 2
1 2 1 2 1 2PP x x y y   
จุดกึ่งกลางระหว่างจุดสองจุด
ถ้า  ,P x y เป็นจุดกึ่งกลางระหว่างจุด  1 1 1,P x y และ  2 2 2,P x y แล้ว
1 2
2
x x
x


1 2
2
y y
y


จุดแบ่งระหว่างจุดสองจุด
ให้  1 1 1,P x y และ  2 2 2,P x y เป็นจุดในระนาบแล้ว ถ้า  ,P x y เป็นจุดบนเส้นตรง 1 2PP โดยที่
1 2 1 2: :PP PP r r แล้ว
2 1 1 2
1 2
r x r x
x
r r



2 1 1 2
1 2
r y r y
y
r r



จุดรวมมวล หรือจุดตัดกันของเส้นมัธยฐาน
ให้  1 1,A x y ,  2 2,B x y และ  3 3,C x y เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม ABC ถ้า  ,P x y เป็น
จุดรวมมวลของรูปสามเหลี่ยม ABC แล้ว
1 2 3
3
x x x
x
 

1 2 3
3
y y y
y
 

เส้นมัธยฐาน คือ เส้นที่ลากจากจุดยอดไปแบ่งครึ่งฐาน

46. www.tutorferry.com T. 0998230343
46
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ
ให้  1 1,A x y ,  2 2,B x y และ  3 3,C x y เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม ABC
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC = 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2
1
2
x y x y x y x y x y x y    
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ
ให้  1 1,A x y ,  2 2,B x y ,  3 3,C x y และ  4 4,D x y เป็นจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยม ABCD
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD = 1 2 2 3 3 4 4 1 1 4 2 1 3 2 4 3
1
2
x y x y x y x y x y x y x y x y      
 เส้นตรง
ความชันของเส้นตรง
ให้ L เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด  1 1 1,P x y และ  2 2 2,P x y โดยที่ 1 2x x
m เป็นความชันของเส้นตรง L
1 2
1 2
y y
m
x x



m > 0 เส้นตรงทามุมแหลมกับแกน X
m < 0 เส้นตรงทามุมป้านกับแกน X
m = 0 เส้นตรงขนานกับแกน X
m หาค่าไม่ได้ เส้นตรงขนานกับแกน Y
ถ้า  เป็นมุมที่เส้นตรงทากับแกน X แล้ว tanm 
เส้นขนานและเส้นตั้งฉาก
ให้เส้นตรง 1L และ 2L มีความชัน 1m และ 2m ตามลาดับ
1. 1 2//L L ก็ต่อเมื่อ 1 2m m
2. 1 2L L ก็ต่อเมื่อ 1 2 1m m  
มุมระหว่างเส้นตรง
ให้เส้นตรง 1L และ 2L มีความชัน 1m และ 2m ตามลาดับ ถ้า  เป็นมุมระหว่างเส้นตรง 1L
และ 2L โดยที่ 0 90  แล้ว
1 2
1 2
tan
1
m m
m m





47. www.tutorferry.com T. 0998230343
47
สมการเส้นตรง
1. เส้นตรงขนานแกน X
y = b
ความชัน = 0
ตัดแกน Y ที่จุด ( 0 , b )
2. เส้นตรงขนานแกน Y
x = a
ไม่มีความชัน
ตัดแกน X ที่จุด ( a , 0 )
3. เส้นตรงที่ไม่ขนานแกน X และไม่ขนานแกน Y
3.1 มีความชันเท่ากับ m และผ่านจุด  1 1x , y
 1 1y y m x x  
ความสัมพันธ์ คือ     1 1x, y RxR y y m x x   
3.2 ผ่านจุด  1 1x , y และ  2 2x , y
1 1 2
1 1 2
y y y y
x x x x
 

 
สมการเส้นตรงในรูปมาตรฐาน
y mx c 
ความชัน = m
ระยะตัดแกน X = c
m
 , ระยะตัดแกน Y = c
จุดตัดแกน X คือ c
,0
m
 
 
 
, จุดตัดแกน Y คือ  0,c
สมการเส้นตรงในรูปทั่วไป
Ax By C 0  
ความชัน = A
B

ระยะตัดแกน X = C
A
 , ระยะตัดแกน Y = C
B

จุดตัดแกน X คือ C
,0
A
 
 
 
, จุดตัดแกน Y คือ C
0,
B
 
 
 

48. www.tutorferry.com T. 0998230343
48
สมการเส้นตรงในรูประยะตัดแกน
x y
1
a b
 
ความชัน = b
a

ระยะตัดแกน X = a , ระยะตัดแกน Y = b
จุดตัดแกน X คือ  a,0 , จุดตัดแกน Y คือ  0,b
ระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับจุด
ระยะห่างระหว่างเส้นตรง Ax By C 0   กับจุด  1 1x , y คือ
1 1
2 2
Ax By C
d
A B
 


ระยะห่างระหว่างเส้นตรง Ax By C 0   กับจุดกาเนิด คือ
2 2
C
d
A B


ระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับเส้นตรง
ระยะห่างระหว่างเส้นตรง 1Ax By C 0   และ 2Ax By C 0   คือ
1 2
2 2
C C
d
A B



 ภำคตัดกรวย
วงกลม คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบที่ห่างจากจุด ๆ หนึ่งที่ตรึงอยู่กับที่เป็นระยะคงตัว จุดที่ตรึงอยู่
กับที่นี้เรียกว่า จุดศูนย์กลางของวงกลม และระยะทางคงตัวดังกล่าวเรียกว่า รัศมีของวงกลม
รูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลม
1. 2 2 2
x y r 
จุดศูนย์กลาง ( 0 , 0 )
รัศมี r
2. 2 2
x y 1 
จุดศูนย์กลาง ( 0 , 0 )
รัศมี 1 หน่วย
เรียกว่า วงกลมหนึ่งหน่วย
3.    
2 2 2
x h y k r   
จุดศูนย์กลาง ( h , k )

49. www.tutorferry.com T. 0998230343
49
รัศมี r
รูปแบบทั่วไปของสมการวงกลม
2 2
x y Dx Ey F 0    
จุดศูนย์กลาง D E
,
2 2
 
  
 
รัศมี 2 21
D E 4F
2
 
1. 2 2
D E 4F 0   ; r > 0 , กราฟเป็นรูปวงกลม
2. 2 2
D E 4F 0   ; r = 0 , กราฟเป็นจุด 1 จุด
3. 2 2
D E 4F 0   ; ไม่มีค่า r , เป็นวงกลมจินตภาพ
เส้นสัมผัสวงกลม
ให้  1 1P x , y เป็นจุดนอกวงกลม และ PQ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด Q
1. ให้สมการวงกลม คือ    
2 2 2
x h y k r   
1.1 ความยาวเส้นสัมผัสวงกลม คือ
   
2 2 2
1 1PQ x h y k r    
1.2 สมการเส้นสัมผัสวงกลม
      2
1 1x h x h y k y k r     
1.3 สมการเส้นปกติ หรือเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัส ณ จุดสัมผัสบนวงกลมซึ่งผ่านจุด
 1 1P x , y
1 1
1 1
y y y k
x x x h
 

 
2. ให้สมการวงกลม คือ 2 2
x y Dx Ey F 0    
2.1 ความยาวเส้นสัมผัสวงกลม คือ
2 2
1 1 1 1PQ x y Dx Ey F    
1.2 สมการเส้นสัมผัสวงกลม
     1 1 1 1D x x E y y 2 F xx yy 0      
1.3 สมการเส้นปกติ หรือเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัส ณ จุดสัมผัสบนวงกลมซึ่งผ่านจุด
 1 1P x , y
1 1
1 1
y y 2y E
x x 2x D
 

 

50. www.tutorferry.com T. 0998230343
50
วงรี คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดใด ๆ ไปยังจุด 1F และ 2F ที่ตรึง
อยู่กับที่มีค่าคงตัว โดยค่าคงตัวนี้มีค่ามากกว่าระยะห่างระหว่างจุดที่ตรึงอยู่กับที่ทั้งสอง จุดสองจุดที่ตรึง
อยู่กับที่นี้ เรียกว่า โฟกัสของวงรี
1. วงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกาเนิด และแกนเอกอยู่บนแกนพิกัด
สมการรูปแบบมาตรฐาน
2 2
2 2
x y
1
a b
 
2 2
2 2
x y
1
b a
 
จุดศูนย์กลาง  0,0  0,0
จุดยอด ( จุดปลายแกนเอก )  a,0  0, a
จุดปลายแกนโท  0, b  b,0
แกนเอก อยู่บนแกน X ยาว 2a อยู่บนแกน Y ยาว 2a
แกนโท อยู่บนแกน Y ยาว 2b อยู่บนแกน X ยาว 2b
โฟกัส  c,0  0, c
ระยะระหว่างโฟกัส 2c 2c
2. วงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่  h,k
สมการรูปแบบมาตรฐาน    
2 2
2 2
x h y k
1
a b
 
 
   
2 2
2 2
x h y k
1
b a
 
 
จุดศูนย์กลาง  h,k  h,k
จุดยอด ( จุดปลายแกนเอก )  h a,k  h,k a
จุดปลายแกนโท  h,k b  h b,k
แกนเอก ขนานแกน X ยาว 2a ขนานแกน Y ยาว 2a
แกนโท ขนานแกน Y ยาว 2b ขนานแกน X ยาว 2b
โฟกัส  h c,k  h,k c
ระยะระหว่างโฟกัส 2c 2c
ข้อสังเกต
1. ความเยื้องศูนย์กลาง c
e
a
 ; 0 e 1 
2. 2 2 2
a b c  ; a b 0  และ a c 0 
3. เลตัสเรกตัม คือ ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายบนวงรี ผ่านโฟกัส และตั้งฉากกับแกนเอกของวงรี
เลตัสเรกตัม =
2
2b
a

51. www.tutorferry.com T. 0998230343
51
4. ผลบวกของระยะทางจากจุดใด ๆ บนวงรีไปยังโฟกัส เท่ากับ 2a
พาราโบลา คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งห่างจากจุด F ที่ตรึงอยู่กับที่จุดหนึ่ง และเส้นตรง L
ที่ตรึงอยู่กับที่เส้นหนึ่ง เป็นระยะทางเท่ากัน จุดที่ตรึงอยู่กับที่นี้เรียกว่า โฟกัส และเส้นตรงที่ตรึงอยู่กับ
ที่นี้เรียกว่า เส้นบังคับหรือไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา
1. พาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดกาเนิด
สมการรูปแบบมาตรฐาน 2
x 4py 2
y 4px
แกนสมมาตร อยู่บนแกน Y อยู่บนแกน X
จุดยอด  0,0  0,0
โฟกัส  0,p  p,0
ไดเรกตริกซ์ y p  x p 
เลตัสเรกตัม 4p 4p
ลักษณะกราฟ p > 0 กราฟหงาย p > 0 กราฟเปิดขวา
p < 0 กราฟคว่า p > 0 กราฟเปิดซ้าย
2. พาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด  h,k
สมการรูปแบบมาตรฐาน    
2
x h 4p y k      
2
y k 4p x h  
แกนสมมาตร ขนานแกน Y ขนานแกน X
จุดยอด  h,k  h,k
โฟกัส  h,k p  h p,k
ไดเรกตริกซ์ y k p  x h p 
เลตัสเรกตัม 4p 4p
ลักษณะกราฟ p > 0 กราฟหงาย p > 0 กราฟเปิดขวา
p < 0 กราฟคว่า p > 0 กราฟเปิดซ้าย
ข้อสังเกต
1. ระยะทางจากจุดยอดไปยังโฟกัส และจากจุดยอดไปยังไดเรกตริกซ์เท่ากัน คือ เท่ากับ p
2. แกนของพาราโบลา คือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอดกับโฟกัส
3. ความเยื้องศูนย์กลาง e = 1
4. เลตัสเรกตัม คือ คอร์ดที่ตั้งฉากกับแกนของพาราโบลาและผ่านโฟกัสของพาราโบลา
( ช่วยในการเขียนกราฟ )

52. www.tutorferry.com T. 0998230343
52
ไฮเพอร์โบลา คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งผลต่างของระยะทางจากจุดใด ๆ ไปยังจุด 1F และ
2F ที่ตรึงอยู่กับที่มีค่าคงตัว โดยค่าคงตัวนี้มีค่าน้อยกว่าระยะห่างระหว่างจุดคงที่ที่ตรึงอยู่กับที่ทั้งสอง
จุดสอง จุดที่ตรึงอยู่กับที่นี้ เรียกว่า โฟกัสของไฮเพอร์โบลา
1. ไฮเพอร์โบลาที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกาเนิด และแกนตามขวางอยู่บนแกนพิกัด
สมการรูปแบบมาตรฐาน
2 2
2 2
x y
1
a b
 
2 2
2 2
y x
1
a b
 
จุดศูนย์กลาง  0,0  0,0
จุดยอด  a,0  0, a
แกนตามขวาง อยู่บนแกน X ยาว 2a อยู่บนแกน Y ยาว 2a
แกนสังยุค อยู่บนแกน Y ยาว 2b อยู่บนแกน X ยาว 2b
เส้นกากับ ( asymptote ) b
y x
a
 
a
y x
b
 
โฟกัส  c,0  0, c
ระยะระหว่างโฟกัส 2c 2c
2. ไฮเพอร์โบลาที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่  h,k
สมการรูปแบบมาตรฐาน    
2 2
2 2
x h y k
1
a b
 
 
   
2 2
2 2
y k x h
1
a b
 
 
จุดศูนย์กลาง  h,k  h,k
จุดยอด  h a,k  h,k a
แกนตามขวาง ขนานแกน X ยาว 2a ขนานแกน Y ยาว 2a
แกนสังยุค ขนานแกน Y ยาว 2b ขนานแกน X ยาว 2b
เส้นกากับ ( asymptote )  
b
y k x h
a
     
a
y k x h
b
   
โฟกัส  h c,k  h,k c
ระยะระหว่างโฟกัส 2c 2c
ข้อสังเกต
1. ความเยื้องศูนย์กลาง c
e
a
 ; e 1
2. 2 2 2
c a b  ; c a 0  และ c b 0 
3. ผลต่างของระยะทางจากจุดใด ๆ บนไฮเพอร์โบลาไปยังโฟกัส เท่ากับ 2a

53. www.tutorferry.com T. 0998230343
53
4. ไฮเพอร์โบลาที่มีเส้นกากับตั้งฉากกัน เรียกว่า ไฮเพอร์โบลามุมฉาก ( a = b )
5. รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากศูนย์กลาง ช่วยในการเขียนกราฟ
6. เส้นโค้งแต่ละเส้น เรียกว่า กิ่ง
ภาคตัดกรวยลดรูป
รูปทั่วไป คือ 2 2
Ax Cy Dx Ey F 0     โดยที่ A และ C ไม่เป็น 0 พร้อมกัน และเป็น
ภาคตัดกรวย
1.ถ้า A = C เป็นรูปวงกลม
2.ถ้า A และ C มีเครื่องหมายเหมือนกัน และ A C เป็นรูปวงรี
3.ถ้า A หรือ C เป็น 0 เป็นรูปพาราโบลา
4.ถ้า A และ C มีเครื่องหมายต่างกัน เป็นรูปไฮเพอร์โบลา
5.ถ้าไม่เป็นตามเงื่อนไขข้อ 1 – 4 จะเป็นภาคตัดกรวยลดรูป
5.1    
2 2
x h y k 0    ; จุด 1 จุด
5.2    
2 2 2
x h y k r     , r 0 ; วงกลมจินตภาพ
5.3    
2 2
2 2
x h y k
0
a b
 
  ; จุด 1 จุด
5.4    
2 2
2 2
x h y k
1
a b
 
   ; วงรีจินตภาพ
5.5    
2 2
2 2
x h y k
0
a b
 
  ; เส้นตรง 2 เส้นตัดกัน


54. www.tutorferry.com T. 0998230343
54
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (เปอร์เซ็นต์จำนวนข้อสอบ 8.75%)
 ฟังก์ชันไซน์ และโคไซน์
( )
( )
f x
g y




เรียกฟังก์ชัน f และ g ว่า ฟังก์ชันโคไซน์ ( cosine ) และ ฟังก์ชันไซน์ ( sine ) โดยเขียนแทนด้วย
ข้อสังเกต
1. ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ มีค่าตั้งแต่ -1 ถึง 1
1 cos 1
1 sin 1


  
  
2. ค่าของ  คือเซตของจานวนจริง หรือ R 
โดเมนของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ คือ เซตของจานวนจริง
เรนจ์ของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ มีค่าตั้งแต่ -1 ถึง 1
3. ค่าของฟังก์ชันไซน์ และโคไซน์ ของจานวนจริง  และ 
4. ค่าของฟังก์ชันไซน์ และโคไซน์ ของจานวนจริง  เมื่อ 2 
เมื่อ n เป็นจานวนเต็มบวก
และ 0 2  
cos
sin
x
y




 
 
sin sin
cos cos
 
 
  
 
 
 
sin 2 sin
cos 2 cos
n
n
  
  
 
 

55. www.tutorferry.com T. 0998230343
55
3. ค่าของฟังก์ชันไซน์ และโคไซน์ ในแต่ละควอดรันต์
 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ อื่นๆ
1. ฟังก์ชันแทนเจนต์ ( tangent ) หรือ tan
2. ฟังก์ชันซีแคนต์(secant ) หรือ sec
3. ฟังก์ชันโคซีแคนต์( cosecant ) หรือ cosec
4. ฟังก์ชันโคแทนเจนต์( cotangent ) หรือ cot
จะได้ว่า
sin
tan ; cos 0
cos

 

 
1
sec ; cos 0
cos
1
cosec ; sin 0
sin
cos 1
cot ; sin 0,tan 0
sin tan
 

 


  
 
 
 
   
 ข้อสังเกต
1. โดเมนของฟังก์ชัน tan และ sec คือ
 2 1
|
2
n 
 
 
  
 
เมื่อ n I
2. โดเมนของฟังก์ชัน cot และ cosec คือ  | n    เมื่อ n I
3. เรนจ์ของฟังก์ชัน tan และ cot คือ เซตของค่าฟังก์ชัน tan และ cot ตามลาดับ โดยที่ เซตดัง
กล่าวคือ เซตของจานวนจริง หรือจะได้ว่า tan  และ cot 
4. เรนจ์ของฟังก์ชัน sec และ cosec คือ เซตของค่าฟังก์ชัน sec และ cosec ตามลาดับ โดยที่
sec 1  หรือ sec 1  
และ cosec 1  หรือ cosec 1  
5. 2 2
sin cos 1  
6. 2 2
cosec cot 1  
7. 2 2
sec tan 1  
x
y

56. www.tutorferry.com T. 0998230343
56
 ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ เมื่อ 0 2   หรือ 0 360 
 ( องศา )  ( เรเดียน ) sin cos tan
0 0 0 1 0
30
6
 1
2
3
2
3
3
45
4
 2
2
2
2
1
60
3
 3
2
1
2
3
90
2
 1 0 หาค่าไม่ได้
120 2
3
 3
2
1
2
 3
135 3
4
 2
2
2
2

-1
150 5
6
 1
2
3
2

3
3

180  0 -1 0
210 7
6
 1
2
 3
2

3
3
225 5
4
 2
2

2
2

1
240 4
3
 3
2

1
2
 3
270 3
2
 -1 0 หาค่าไม่ได้
300 5
3
 3
2

1
2
3
315 7
4
 2
2

2
2
-1
330 11
6
 1
2
 3
2
3
3

360 2 0 1 0

57. www.tutorferry.com T. 0998230343
57
 ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ดังนั้น sin
a
A
c
 ( ข้าม – ฉาก )
cos
b
A
c
 ( ชิด – ฉาก )
tan
a
A
b
 ( ข้าม – ชิด )
 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
1. กราฟของ siny x เมื่อ 2 2x   
2 3
2 2 2
3
2
2
-1
-0.5
0.5
1
A
A C
ac
b
B
a คือ ด้านตรงข้ามมุม A
b คือ ด้านตรงข้ามมุม B
c คือ ด้านตรงข้ามมุม C

58. www.tutorferry.com T. 0998230343
58
2. กราฟของฟังก์ชันโคไซน์
cosy x เมื่อ 2 2x   
 ข้อสังเกต เมื่อ 0n  และ 0a 
การหาเรนจ์ คาบ และแอมพลิจูด ของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ สรุปได้ดังนี้
ฟังก์ชัน คาบ แอมพลิจูด เรนจ์
( ) sinf x x 2 1 [-1, 1]
( ) cosf x x 2 1 [-1, 1]
 ( ) sinf x nx
2
n

1 [-1, 1]
 ( ) cosf x nx
2
n

1 [-1, 1]
 ( ) sinf x a nx
2
n

a [-a, a]
2
n

a [-a, a]
 ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของจานวนจริงหรือมุม
1.  cos cos cos sin sin      
2.  sin sin cos cos sin       
3.  
tan tan
tan
1 tan tan
 
 
 

 
2 3
2 2 2
3
2
2
-1
-0.5
0.5
1

59. www.tutorferry.com T. 0998230343
59
 ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ ที่สาคัญ ได้แก่
   
   
   
   
1. 2sin cos sin sin
2. 2cos sin sin sin
3. 2cos cos cos cos
4. 2sin sin cos cos
5. sin sin 2sin cos
2 2
6. sin sin 2cos sin
2 2
7. cos cos 2cos
2
     
     
     
     
   
 
   
 
 
 
   
   
   
   
    
     
   
    
     
   

 

2 2
2
2
cos
2
8. cos cos 2sin sin
2 2
9. sin 2 2sin cos
10. cos2 cos sin
2cos 1
1 2sin
 
   
 
  
  


  
   
  
    
      
   

 
 
 
2
3
3
2tan
11. tan 2
1 tan
12. sin3 3sin 4sin
13. cos3 4cos 3cos



  
  


 
 
3
2
2
3tan tan
14. tan3
1 3tan
1 cos
15. sin
2 2
 








2
2
1 cos
16. cos
2 2
1 cos
17. tan
2 1 cos
 
 






 ตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ หรืออินเวอร์สของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชัน โดเมน เรนจ์
arcsiny x 1 1x  
2 2
y
 
  
arccosy x 1 1x   0 y  

60. www.tutorferry.com T. 0998230343
60
กราฟของฟังก์ชัน กับฟังก์ชันผกผันมีดังนี้
1. กราฟของฟังก์ชัน sine และ arcsine
sin ,
2 2
y x x
 
   
arcsin , 1 1y x x   
2. กราฟของฟังก์ชัน cosine และ arccosine
cos , 0y x x    arccos , 1 1y x x   
2 2
X
-1
1
Y
-1 1
X
2
2
Y
2
X
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
Y
-1 1
X
2
Y

61. www.tutorferry.com T. 0998230343
61
 กฏของไซน์และโคไซน์
กฏของโคไซน์ ในรูปสามเหลี่ยม ABC ใดๆ ถ้า , ,a b c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุม A, B และ C
ตามลาดับ จะได้ว่า
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
  
  
  
กฏของไซน์
sin sin sinA B C
a b c
 
 การหาระยะทางและความสูง
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ กฏของไซน์และโคไซน์ รวมทั้งความรู้เกี่ยวกับ มุมก้ม มุมเงย นามาใช้ในการหา
ระยะทางและความสูงได้
มุมเงย คือ มุมที่อยู่เหนือระดับสายตา  
มุมก้ม คือ มุมที่อยู่ต่ากว่าระดับสายตา  

วัตถุ
วัตถุ
ระดับสายตา

62. www.tutorferry.com T. 0998230343
62
เวกเตอร์ในสำมมิติ (เปอร์เซ็นต์จำนวนข้อสอบ 4%)
 ระยะทางระหว่างจุด 2 จุด ในปริภูมิ 3 มิติ
กาหนดให้ P1(X1,Y1,Z1) และ P2(X2,Y2,Z2) เป็นจุดใด ๆ ในปริภูมิ 3 มิติ
     
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2PP x x y y z z     
 เวกเตอร์
ปริมาณเวกเตอร์ ใช้บอกทั้งขนาดและทิศทาง
1. เวกเตอร์ขนานกัน เมื่อมีทิศทางเดียวกัน หรือตรงข้ามกัน
2. เวกเตอร์เท่ากัน เมื่อมีขนาดเท่ากัน และทิศทางเดียวกัน
3. นิเสธของเวกเตอร์ เมื่อมีขนาดเท่ากัน แต่ทิศตรงข้ามกัน
4. เวกเตอร์ศูนย์ คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเป็นศูนย์ เขียนแทนด้วย 0
 เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก
บทนิยำม เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉำก 2 มิติ เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉำก 3 มิติ
1. การเท่ากัน
a c
b d
   
   
   
ก็ต่อเมื่อ a =c และ b = d
x u
y v
z w
   
      
      
ก็ต่อเมื่อ
x = u , y = v และ z = w
2. การบวกเวกเตอร์ a c a c
b d b d
     
           
x u x u
y v y v
z w z w
     
            
          
3. การลบเวกเตอร์ a c a c
b d b d
     
           
x u x u
y v y v
z w z w
     
            
          
4. เวกเตอร์ศูนย์ 0
0
 
 
 
0
0
0
 
 
 
  
5. การคูณเวกเตอร์
ด้วยสเกลาร์
k
a ka
b kb
   
   
    k
x kx
y ky
z kz
   
      
      

63. www.tutorferry.com T. 0998230343
63
6. นิเสธของเวกเตอร์ นิเสธของ
a
b
 
 
 
คือ
a
b
 
  
หรือ
a a
b b
   
       
นิเสธของ
x
y
z
 
 
 
  
คือ
x
y
z
 
  
  
หรือ
x x
y y
z z
   
        
      
7. การขนานกัน a
b
 
 
 
ขนานกับ
c
d
 
 
 
ก็ต่อเมื่อ a = kc, b= kd
และ k 0 ( หรือ a c
b d
 )
ถ้า k > 0 จะมีทิศเดียวกัน
ถ้า k< 0 จะมีทิศตรงข้ามกัน
x
y
z
 
 
 
  
ขนานกับ
u
v
w
 
 
 
  
ก็ต่อเมื่อ x = ku , y = kv, z = kw
และ k  0
ถ้า k > 0 ทิศเดียวกัน
ถ้า k< 0 ทิศตรงข้ามกัน
*** a c
b d
 ถ้า a = c = 0 เวกเตอร์ขนานกันและขนานแกน Y
ถ้า b = d = 0 เวกเตอร์ขนานกันและขนานแกน X
 ขนาดของเวกเตอร์ใน 2,3 มิติ
ถ้า 1 2PP เป็น เวกเตอร์ใน 2 มิติ โดย P1 และ P2 มีพิกัดเป็น  1 1,x y แล  2 2,x y ตามลาดับ
 1 2PP = 2 1
2 1
x x
y y
 
  
1 2PP =    
2 2
2 1 2 1x x y y  
ถ้า 1 2PP เป็น เวกเตอร์ใน 3 มิติ โดย P1 และ P2 มีพิกัดเป็น  1 1 1, ,x y z แล  2 2 3, ,x y z ตามลาดับ
 1 2PP =
2 1
2 1
2 1
x x
y y
z z
 
  
  
1 2PP =      
2 2 2
2 1 2 1 2 1x x y y z z   
หมายเหตุ 1. ถ้า 1 2PP =
a
b
 
 
 
แล้ว 1 2PP = 2 2
a b
2. ถ้า 1 2PP =
a
b
c
 
 
 
  
แล้ว 1 2PP = 2 2 2
a b c 

64. www.tutorferry.com T. 0998230343
64
 เวกเตอร์ 1 หน่วยใน 2 , 3 มิติ
1. ถ้า 0
a
b
 
 
 
จะได้ว่า 2 2
1 a
ba b
 
 
  
เป็นเวกเตอร์ 1 หน่วย และมีทิศเดียวกับ
a
b
 
 
 
2. ถ้า 0
a
b
c
 
   
  
จะได้ว่า 2 2 2
1
a b c 
a
b
c
 
 
 
  
เป็นเวกเตอร์ 1 หน่วย และมีทิศเดียวกับ
a
b
c
 
 
 
  
 ข้อสังเกต
1. ถ้า 1 2PP  0 จะได้ว่า 1 2
1 2
PP
PP
เป็นเวกเตอร์ 1 หน่วย และมีทิศเดียวกับ 1 2PP
2.
1
0
 
 
 
เป็นเวกเตอร์ 1 หน่วย มีทิศตามแกน X ไปทางขวา แทนด้วย i
1
0
 
 
 
เป็นเวกเตอร์ 1 หน่วย มีทิศตามแกน Y ไปทางบน แทนด้วย j
ถ้าเป็นเวกเตอร์ใน 3 มิติ
1
0
0
i
 
   
  
,
0
1
0
j
 
   
  
และ
0
0
1
 
 
 
  
= k
3. เขียนเวกเตอร์ ในรูปของเวกเตอร์ 1 หน่วย ,i j และk
ถ้า U =
a
b
 
 
 
= ai b j
และ ถ้า V =
a
b
c
 
 
 
  
= ai b j ck 
** 2 2
ai b j a b  
** 2 2 2
ai b j ck a b c    
 โคไซน์ แสดงทิศทำง
1. ถ้า a =
1
2
3
a
a
a
 
 
 
  
และ a  0 จะได้ว่า โคไซน์แสดงทิศทางของ a เทียบกับแกน X, Y และ Z คือ
1 2
,
a a
a a
และ 3a
a
ตามลาดับ
2. ถ้า 0U  และ V O
2.1 U และ V จะมีทิศทางเดียวกัน เมื่อมีโคไซน์แสดงทิศทางชุดเดียวกัน
2.2 U และ V จะมีทิศทางตรงข้ามกัน เมื่อมีโคไซน์แต่ละแกนเป็นจานวนตรงข้ามกัน

65. www.tutorferry.com T. 0998230343
65
 ผลคูณเชิงสเกลาร์
1. ถ้า 1 1u x i y j= + และ 2 2v x i y j= + แล้ว
1 2 1 2u v x x y y× = +
1.1 u v v u× = ×
1.2 ( )u v w u v u w× + = × + ×
1.3 ( ) ( ) ( )a u v au v u av× = × = ×
1.4 0 0u× =
1.5
2
u u u× =
1.6 1i i j j k k× = × = × =
1.7 0i j j k k i× = × = × =
2. ถ้า q เป็นมุมระหว่าง u และ v ซึ่ง 0 180q£ £ แล้ว
cosu v u v q× =
3.
2
U V± =
2 2
2U V U V+ ± =
2 2
2 cosU V U V q+ ±
4.
2 2 2
U V U V   เมื่อ U ตั้งฉากกับ V หรือ  = 900
5. U V± £ U V+
5.1 U V U V+ = + เมื่อ 0
0q =
5.2 U V U V- = + เมื่อ 0
180q =
6. ถ้า U , V  0 และ U ตั้งฉากกับ V แล้ว U V = 0
 ข้อสังเกต จาก U V = cosU V 
และ 00
   1800
จะได้ว่า U V > 0 เมื่อ 00
  < 900
U V = 0 เมื่อ  = 900
U V < 0 เมื่อ 900
<   1800
และ U V มีค่ามากที่สุดเมื่อ  = 00
U V มีค่าน้อยที่สุดเมื่อ  = 1800

66. www.tutorferry.com T. 0998230343
66
 ผลคูณเชิงเวกเตอร์
จะหาผลคูณเชิงเวกเตอร์ได้ใน 3 มิติ เท่านั้น
ถ้า U = 1 1 1x i y j z k  และ V = 2 2 2x i y j z k 
ผลคูณเชิงเวกเตอร์ของ U และ V เขียนแทนด้วย U  V
U V =      1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2y z z y i z x x z j x y y x k    
= 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
y z x z x y
i j k
y z x z x y
 
= 1 1 1
2 2 2
i j k
x y z
x y z
 สมบัติที่สาคัญของผลคูณเชิงเวกเตอร์
กาหนดให้ ,U V และ W เป็นเวกเตอร์ใด ๆ และ a R
1. 0U U 
2.  U V V U   
3.      U V W U W V W     
4.      U V W U V U W     
5.      a U V aU V U aV    
6. i j k 
7. j k i 
8. k i j 
9.      U V W W U V V W U      U V W
10.        U V W U W V V U V W V U         
11. ถ้า ,U V และ W อยู่บนระนาบเดียวกัน แล้ว   0U V W 
12. ถ้า ,U V และ W มีเวกเตอร์ที่เท่ากัน 2 เวกเตอร์ แล้ว   0U V W 
 มุมระหว่างเวกเตอร์
ถ้า  เป็นมุมระหว่าง U และ V ซึ่ง 0   1800
และ , 0U V  แล้ว
sinU V U V  

67. www.tutorferry.com T. 0998230343
67
 ข้อสังเกต ถ้า U , 0V  และไม่ขนานกัน แล้ว U V ตั้งฉากกับ U และ V (กฎมือขวา)
 การใช้เวกเตอร์ หาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
 เป็นมุมระหว่าง U กับ V ส่วนสูง (h)
ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เท่ากับ V sin เมื่อ V
มีขนาน V
ฐานของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เท่ากับ U
เมื่อ U มีขนาน U
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน = sinU V  = U V
 การใช้เวกเตอร์หาปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งมี U , V และ
W เป็นด้านทั้ง 3
 เป็นมุมระหว่าง U และ V W
h เป็นมุมสูงตรงทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ซึ่งเป็นเส้นที่ลากจากจุดสิ้นสุดของ U มาตั้ง
ฉากกับระนาบของ V และ W
 h = cosU 
พื้นที่ฐานของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน = V W
ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน = cosU V W  =  U V W

h =

68. www.tutorferry.com T. 0998230343
68
ลำดับและอนุกรม (เปอร์เซ็นต์จำนวนข้อสอบ 12.5%)
 ลำดับ คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซต  1,2,3,...,n หรือมีโดเมนเป็นเซตของจานวนเต็มบวก
ลำดับจำกัด และลำดับอนันต์
ลาดับจากัด คือ ลาดับที่มีโดเมนเป็นเซตจากัด ;  1,2,3,...,D n
ลาดับอนันต์ คือ ลาดับที่มีโดเมนเป็นเซตอนันต์ ;  1,2,3,..., ,...D n
กำรหำพจน์ทั่วไปของลำดับ
การหาพจน์ทั่วไปของลาดับ ก็คือ การหาค่าของ an นั่นเองซึ่งทาได้ 2 วิธี ดังนี้
1. ใช้วิธีการสังเกต
2. ใช้ฟังก์ชันพหุนาม ( ใช้ได้เฉพาะพจน์ทั่วไปอยู่ในรูปฟังก์ชันพหุนาม )
 
      2 3
1 1
1 2 1 2 3
1
2! 3!
n
n n d n n n d
a a n d
    
     
ควำมสัมพันธ์เวียนเกิด หมายถึง การกาหนดพจน์เริ่มต้นจานวนหนึ่ง พร้อมกับสูตรการหาพจน์ถัดไปจากพจน์
ก่อนหน้า ตัวอย่างเช่น
1 1a  , 2 1a  และ 1 2n n na a a   เมื่อ 3n 
ลำดับเลขคณิต
นิยาม ลาดับเลขคณิต คือ ลาดับที่ผลต่างซึ่งได้จากพจน์ที่ n + 1 ลบด้วยพจน์ที่ n มีค่าคงตัว และเรียกค่าคงตัวนี้ว่า
ผลต่างร่วม เขียนแทนด้วย d
an = a1 + (n-1)d เป็นพจน์ทั่วไปของลาดับเลขคณิต
ข้อสังเกต ถ้า d = 0 จะได้ an = a1 นั่นคือทุกพจน์ของลาดับมีค่าเท่ากัน เรียกว่า ลาดับคงตัว
เทคนิคกำรสมมำตรสำหรับกำรสมมติค่ำ สำหรับลำดับเลขคณิต
1. จานวนพจน์เป็นเลขคี่ ให้กาหนดพจน์กลางเป็น a ซึ่งจะได้รูปทั่วไปของลาดับ คือ
… , a – 2d , a – d , a , a + d , a + 2d , …
เช่น มี 1 พจน์ a
มี 3 พจน์ a – d , a , a + d
มี 5 พจน์ a – 2d , a –d , a , a + d , a + 2d

69. www.tutorferry.com T. 0998230343
69
2. จานวนพจน์เป็นเลขคู่ ให้กาหนดพจน์กลางเป็น a – d และ a + d ซึ่งจะได้รูปทั่วไปของลาดับ คือ
… , a – 5d , a – 3d , a – d , a + d , a + 3d , a + 5d , …
เช่น มี 2 พจน์ a – d , a + d
มี 4 พจน์ a – 3d , a –d , a + d , a + 3d
มี 6 พจน์ a – 5d , a – 3d , a –d , a + d , a + 3d , a + 5d
ลำดับเรขำคณิต คือ ลาดับที่อัตราส่วนของพจน์ที่ 1n  ต่อพจน์ที่ n มีค่าคงตัว และเรียกค่าคงตัวนี้ว่า
อัตรำส่วนร่วม เขียนแทนด้วย r
1
1
n
na a r 
 เป็นพจน์ทั่วไปของลาดับเรขาคณิต
ข้อสังเกต ถ้า 1r  จะได้ 1na a นั่นคือทุกพจน์ของลาดับมีค่าเท่ากัน เรียกว่า ลาดับคงตัว
พจน์แต่ละพจน์ของลาดับเรขาคณิตจะไม่เท่ากับ 0 เพราะจะหาค่าอัตราส่วนร่วมไม่ได้ ดังนั้น ค่า 0r 
ดังนั้นลาดับ 0,0,0,0,...,0,... เป็นลาดับคงตัว และเป็นลาดับเลขคณิตที่มีผลต่างส่วนร่วมเป็นศูนย์( d = 0 )
แต่ไม่เป็นลาดับเรขาคณิต
เทคนิคกำรสมมำตรสำหรับกำรสมมติค่ำ สำหรับลำดับเรขำคณิต
1. จานวนพจน์เป็นเลขคี่ ให้กาหนดพจน์กลางเป็น a ซึ่งจะได้รูปทั่วไปของลาดับ คือ
2
2
..., , , , , ,...
a a
a ar ar
r r
เช่น มี 1 พจน์ a
มี 3 พจน์ , ,
a
a ar
r
มี 5 พจน์ 2
2
, , , ,
a a
a ar ar
r r
2. จานวนพจน์เป็นเลขคู่ ให้กาหนดพจน์กลางเป็น a
r
และ ar ซึ่งจะได้รูปทั่วไปคือ
3 5
5 3
..., , , , , , ,...
a a a
ar ar ar
r r r
เช่น มี 2 พจน์ ,
a
ar
r
มี 4 พจน์ 3
3
, , ,
a a
ar ar
r r
มี 6 พจน์ 3 5
5 3
, , , , ,
a a a
ar ar ar
r r r

70. www.tutorferry.com T. 0998230343
70
 อนุกรม คือ ผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลาดับ
1. เมื่อกาหนด 1 2 3, , ,..., na a a a เป็นลาดับจากัด
ดังนั้น 1 2 3 ... na a a a    เรียกว่า อนุกรมจำกัด
เขียนแทนด้วย
1
n
i
i
a

 หรือ nS
ดังนั้น 1 2 3
1
...
n
i n n
i
a a a a a S

     
2. เมื่อกาหนด 1 2 3, , ,..., ,...na a a a เป็นลาดับอนันต์
ดังนั้น 1 2 3 ... ...na a a a     เรียกว่า อนุกรมอนันต์
เขียนแทนด้วย
1
i
i
a


 หรือ S
ดังนั้น 1 2 3
1
... ...i n
i
a a a a a S



      
ข้อสังเกต อนุกรมจากัด มาจาก ผลบวกของลาดับจากัด
อนุกรมอนันต์ มาจาก ผลบวกของลาดับอนันต์
สัญลักษณ์แทนกำรบวก  (Summation)
1.
1
n
i
c cn

 , เมื่อ c เป็นค่าคงที่
2.
1 1
n n
i i
i i
ca c a
 
  , เมื่อ c เป็นค่าคงที่
3.  
1 1 1
n n n
i i i i
i i i
a b a b
  
    
กำรหำผลบวกย่อย n พจน์แรก
1.  
1
1
1 2 3 ...
2
n
i
n n
i n


     
2.   2 2 2 2 2
1
1 2 1
1 2 3 ...
6
n
i
n n n
i n

 
     
3.  
2 2
3 3 3 3 3
1 1
1
1 2 3 ...
2
n n
i i
n n
i n i
 
   
         
  
 

71. www.tutorferry.com T. 0998230343
71
อนุกรมเลขคณิต
เมื่อกาหนด 1 1 1 1, , 2 ,..., ( 1)a a d a d a n d    เป็นลาดับเลขคณิต
ดังนั้น 1 1 1 1( ) ( 2 ) ... [ ( 1) ]a a d a d a n d        เป็นอนุกรมเลขคณิต
เขียนแทนด้วย nS
 12 ( 1)
2
n
n
S a n d  
หรือ 1( )
2
n n
n
S a a 
อนุกรมเรขำคณิต
เมื่อกาหนด 2 1
1 1 1 1, , ,..., n
a a r a r a r 
เป็นลาดับเรขาคณิต
ดังนั้น 2 1
1 1 1 1... n
a a r a r a r 
    เป็นอนุกรมเรขำคณิต
เขียนแทนด้วย nS
1(1 )
, 1
1
n
n
a r
S r
r

 

หรือ 1
, 1
1
n
n
a a r
S r
r

 

ข้อสังเกต
อนุกรมเลขคณิต มาจาก ผลบวกของลาดับเลขคณิต
อนุกรมเรขาคณิต มาจาก ผลบวกของลาดับเรขาคณิต
 ลำดับอนันต์ คือ ลาดับที่มีโดเมนเป็นเซตอนันต์
ให้ 1 2 3, , ,..., ,...na a a a เป็นลาดับอนันต์ ถ้า n มีค่ามากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุด และทาให้ na มีค่าเข้าใกล้หรือ
เท่ากับจานวนจริงเพียงจานวนเดียว เรียกจานวนจริงนั้นว่า ลิมิตของลาดับ
lim n
n
a L


ลาดับลู่เข้า หรือลาดับคอนเวอร์เจนต์ คือ ลาดับอนันต์ที่มีลิมิต
ลาดับลู่ออก หรือลาดับไดเวอร์เจนต์ คือ ลาดับอนันต์ที่ไม่มีลิมิต
หมำยเหตุ ลาดับแกว่งกวัด คือ ลาดับไดเวอร์เจนต์ ตัวอย่างเช่น  1
n
na  
มีลักษณะของกราฟที่ขึ้นและลงสลับกัน โดยไม่เข้าใกล้จานวนใดจานวนหนึ่ง

72. www.tutorferry.com T. 0998230343
72
กำรหำลิมิตของลำดับ ให้ c เป็นค่าคงตัว , lim n
n
a L

 และ lim n
n
b M


1. lim
n
c c


2. lim n
n
ca cL


3.  lim n n
n
a b L M

  
4.  lim n n
n
a b LM


5. lim n
n
n
a L
b M
 
 
 
เมื่อ 0M 
6. lim 0
n
n
c
d
 เมื่อ lim n
n
d

  หรือ 
7.  
 
lim
n
f n
g n
 
 
 
เมื่อ  f n และ  g n เป็นฟังก์ชันพหุนาม
7.1 ถ้า  f n มีดีกรีต่ากว่า  g n แล้ว  
 
lim 0
n
f n
g n
 
 
 
7.2 ถ้า  f n มีดีกรีเท่ากับ  g n แล้ว  
 
lim
n
f n p
g n q
 
 
 
เมื่อ p และ q เป็นสัมประสิทธิ์ของ
พจน์ที่มีดีกรีสูงสุดของ  f n และ  g n ตามลาดับ
7.3 ถ้า  f n มีดีกรีสูงกว่า  g n แล้ว  
 
lim
n
f n
g n
 
 
 
ไม่สามารถหาลิมิตได้
8. ถ้า na เป็นลาดับอนันต์ซึ่งแต่ละพจน์มีเครื่องหมายบวกและลบสลับกันแล้ว
8.1 ถ้า lim 0n
n
a

 แล้ว na เป็นลาดับคอนเวอร์เจนต์
8.2 ถ้า lim n
n
a L

 และ 0L  แล้ว na เป็นลาดับไดเวอร์เจนต์
9. ให้ r เป็นจานวนจริงบวกใด ๆ จะได้ว่า
9.1 lim r
n
n

หาค่าไม่ได้
9.2 1
lim 0rn n

10. ให้ r เป็นจานวนจริงใด ๆ
10.1 ถ้า 1r  แล้ว lim 0n
n
r


10.2 ถ้า 1r  แล้ว lim n
n
r

หาค่าไม่ได้
11. ถ้า lim n
n
a L

 แล้ว
11.1  lim
m m
n
n
a L

 เมื่อ m
L R
11.2 lim mm
n
n
a L

 เมื่อ m
L R

73. www.tutorferry.com T. 0998230343
73
 อนุกรมอนันต์ คือ ผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลาดับอนันต์
กาหนดให้ 1 2 3 ... ...na a a a     เป็นอนุกรมอนันต์
1 1
2 1 2
3 1 2 3
1 2 3 ...n n
S a
S a a
S a a a
S a a a a

 
  
    
เรียก nS ว่า ผลบวกย่อย n พจน์แรกของอนุกรม เมื่อ n เป็นจานวนเต็มบวก
เรียกลาดับอนันต์ 1 2 3, , ,..., ,...nS S S S ว่า ลาดับของผลบวกย่อยของอนุกรม
ถ้า n มีค่ามากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุด และทาให้ nS มีค่าเข้าใกล้หรือเท่ากับจานวนจริงเพียงจานวนเดียว
เรียกจานวนจริงนั้นว่า ลิมิตของลาดับของผลบวกย่อยของอนุกรม
lim n
n
S S


อนุกรมลู่เข้า หรืออนุกรมคอนเวอร์เจนต์ ก็ต่อเมื่อ ลาดับ nS เป็นลาดับลู่เข้า
อนุกรมลู่ออก หรืออนุกรมไดเวอร์เจนต์ ก็ต่อเมื่อ ลาดับ nS เป็นลาดับลู่ออก
ข้อสังเกต
1. อนุกรมจากัด เป็นอนุกรมลู่เข้า
2. อนุกรมอนันต์
2.1 เป็นอนุกรมลู่เข้า ก็ต่อเมื่อ nS เป็นลาดับลู่เข้า
2.2 เป็นอนุกรมลู่ออก ก็ต่อเมื่อ nS เป็นลาดับลู่ออก
3. ให้ 1 1 1 1( ) ( 2 ) ... [ ( 1) ] ...a a d a d a n d         เป็นอนุกรมเลขคณิตอนันต์
3.1 เป็นอนุกรมลู่เข้า ก็ต่อเมื่อ 1 0a  และ 0d 
3.2 เป็นอนุกรมลู่ออก ก็ต่อเมื่อ 1 0a  หรือ 0d 
4. ให้ 2 1
1 1 1 1... ...n
a a r a r a r 
     เป็นอนุกรมเรขาคณิตอนันต์
4.1 เป็นอนุกรมลู่เข้า ก็ต่อเมื่อ 1r  และผลบวกของอนุกรม = 1
1
a
r
4.2 เป็นอนุกรมลู่ออก ก็ต่อเมื่อ 1r 


74. www.tutorferry.com T. 0998230343
74
แคลคูลัส (เปอร์เซ็นต์จำนวนข้อสอบ 9%)
 ลิมิตของฟังก์ชัน
สาหรับฟังก์ชัน f ใด ๆ ที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจานวนจริง ถ้าค่าของ f ( x ) เข้าใกล้
จานวนจริง L เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ a จะเรียก L ว่าเป็น ลิมิตของ f ที่ a
 x a
limf x L


แต่ถ้าไม่มีจานวนจริง L จะได้ว่า  x a
limf x

หาค่าไม่ได้ ( ไม่มีลิมิตที่ a )
ข้อสังเกต
1. ถ้า  f x เข้าใกล้ 1L เมื่อ x เข้าใกล้ a ทางด้านซ้าย แล้ว   1
x a
lim f x L

 ( ลิมิตซ้าย )
2. ถ้า  f x เข้าใกล้ 2L เมื่อ x เข้าใกล้ a ทางด้านขวา แล้ว   2
x a
lim f x L

 ( ลิมิตขวา )
3. ถ้า 1 2L L L  แล้ว  x a
limf x L

 ( มีลิมิต )
4. ถ้า 1 2L L แล้ว  x a
limf x

หาค่าไม่ได้ ( ไม่มีลิมิตที่ a )
5.  x a
limf x L

 ก็ต่อเมื่อ    x a x a
lim f x L lim f x 
 
 
ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต เมื่อ a , c , L และ M  R ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชัน ที่มีโดเมน
และเรนจ์ เป็นสับเซตของ R โดยที่  x a
limf x L

 และ  x a
limg x M

 แล้ว
1. x a
limc c


2. x a
limx a


3. n n
x a
limx a


4.  x a
limcf x cL


5.    x a
lim f x g x L M

    
6.    x a
lim f x g x LM

  
7.  
 x a
f x L
lim
g x M
 
 
 
เมื่อ M 0
8.  
n n
x a
lim f x L

   เมื่อ n
L R
9.   nn
x a
lim f x L

 เมื่อ n
L R
10.    x a
limp x p a

 เมื่อ  p x เป็นฟังก์ชันพหุนาม
11.  
 
 
 x a
p x p a
lim
q x q a
 เมื่อ  p x และ  q x เป็นฟังก์ชันพหุนาม โดยที่  q a 0

75. www.tutorferry.com T. 0998230343
75
 ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน
ให้ f เป็นฟังก์ชันซึ่งนิยามบนช่วงเปิด  a,b และ  c a,b
f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x c ก็ต่อเมื่อ
1.  f c หาค่าได้
2.  x c
limf x

หาค่าได้
3.    x c
limf x f c


ถ้าฟังก์ชัน f ขาดสมบัติข้อใดข้อหนึ่งแล้ว f เป็นฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องที่ x c
ทฤษฎีบทเกี่ยวกับความต่อเนื่อง ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x a แล้ว
1. f g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x a
2. f g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x a
3. fg เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x a
4. f
g
เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x a เมื่อ  g a 0
5.  p x เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x a เมื่อ  p x เป็นฟังก์ชันพหุนาม
6.  
 
p x
q x
เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x a เมื่อ  p x ,  q x เป็นฟังก์ชันพหุนาม และ  q a 0
ความต่อเนื่องบนช่วง
1. f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง  a,b ก็ต่อเมื่อ f ต่อเนื่องที่ทุก ๆ จุดในช่วง  a,b
2. f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง  a,b ก็ต่อเมื่อ
2.1 f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ทุก ๆ จุดในช่วง  a,b
2.2    x a
lim f x f a


2.3    x b
lim f x f b


3. f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง  a,b ก็ต่อเมื่อ
3.1 f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ทุก ๆ จุดในช่วง  a,b
3.2    x b
lim f x f b


4. f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง  a,b ก็ต่อเมื่อ
4.1 f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ทุก ๆ จุดในช่วง  a,b
4.2    x a
lim f x f a



76. www.tutorferry.com T. 0998230343
76
 ควำมชันของเส้นโค้ง
ถ้า  y f x เป็นสมการของเส้นโค้ง เส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด  P x, y ใด ๆ จะเป็นเส้นตรงที่ผ่าน
จุด P และมีความชันดังนี้
ความชัน =    
h 0
f x h f x
lim
h
 
; ถ้าลิมิตหาค่าได้
 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ถ้า  y f x เป็นฟังก์ชันที่ fD , fR R และ    
h 0
f x h f x
lim
h
 
หาค่าได้ แล้ว เรียกค่า
ลิมิตที่ได้นี้ว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x เขียนแทนด้วย  f x
 
   
h 0
f x h f x
f x lim
h
 
 
ข้อสังเกต
1.  f x อาจแทนด้วย y หรือ  
d
f x
dx
หรือ dy
dx
2. สาหรับ a ใด ๆ ที่อยู่ใน fD จะได้ว่า อนุพันธ์ของ f ที่ x = a คือ  f a
 
   
h 0
f a h f a
f a lim
h
 
 
3. อนุพันธ์ของ f ที่ a หรือ  f a คือ ความชันของเส้นโค้งที่จุด   a,f a
 อัตรำกำรเปลี่ยนแปลง
ถ้า  y f x เป็นฟังก์ชัน และ fa D แล้ว อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x
เมื่อค่าของ x เปลี่ยนจาก a เป็น a + h คือ y
x
   f a h f ay
x h
 

ข้อสังเกต
1. y
x
คือ ความชันระหว่างจุด   a,f a และ   a h,f a h 
2. อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะที่ x = a คือ dy
dx
   
h 0
f a h f ady
lim
dx h
 

3. อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะที่ x = a คือ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x = a
หรือ ความชันของเส้นโค้งที่จุด x = a นั่นเอง
4. อัตราการเปลี่ยนแปลงเป็นบวก เมื่อค่า x เพิ่ม ค่า y เพิ่ม และเป็นลบ เมื่อค่า x เพิ่ม ค่า y ลด

77. www.tutorferry.com T. 0998230343
77
 กำรหำอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต
ถ้า c เป็นค่าคงตัว , nn n 1 n 1n
n,x ,x , x, x R 
 , f และ g หาอนุพันธ์ได้ที่ x แล้ว
1.  
d
c 0
dx

2. dx
1
dx

3.  n n 1d
x nx
dx


4.  n
n n 1
d 1
x
dx n x 

5.            
d
f x g x f g x f x g x
dx
        
6.            
d
f x g x f g x f x g x
dx
        
7.        
d
c f x c f x c f x
dx
    
8.                
d
f x g x f g x f x g x g x f x
dx
      
9.  
 
 
       
 
2
f x g x f x f x g xd f
x
dx g x g g x
    
    
     
10.
 
 
 
 
2
f xd 1 1
x
dx f x f f x
   
     
      
11.      
n n 1d
f x n f x f x
dx

      
12.  
 
 
n
n 1
n
f xd
f x
dx n f x


  
 
  
ข้อสังเกต
1.          1 2 n 1 2 nf f ... f x f x f x ... f x         
2.          1 2 n 1 2 nf f ... f x f x f x ... f x         
3.          f g h x f x g x h x       
4.                   f g h x f g x h x g h x f x h f x g x     
5.              1 2 n 1 2 n 1 n 2 3 n 1f f ... f x f f ... f x f x f f ... f x f x
   
    n 1 n 2 n 1... f f ... f x f x 
 

78. www.tutorferry.com T. 0998230343
78
 อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ ( ฟังก์ชันคอมโพสิท )
ถ้า f หาอนุพันธ์ได้ที่ x และ g หาอนุพันธ์ได้ที่ f ( x ) แล้ว gof หาอนุพันธ์ได้ที่ x และ
       gof x g f x f x     
ข้อสังเกต ถ้าให้  u f x และ   y gof x แล้ว    y g f x g u   
ดังนั้น      
dy d du dy du
g f x f x g u
dx du dx du dx
     
เรียก dy dy du
dx du dx
 ว่า กฎลูกโซ่
 อนุพันธ์ของฟังก์ชันอิมพลิสิท ( ฟังก์ชันแฝง หรือฟังก์ชันโดยปริยำย )
การหา dy
dx
ของฟังก์ชันอิมพลิสิท ทาได้โดยหาอนุพันธ์ของทุก ๆ เทอมทั้ง 2 ข้างของสมการ
จากนั้นจึงแก้สมการหา dy
dx
 อนุพันธ์อันดับสูง
ให้ f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ และ  f x เป็นอนุพันธ์ของ f ที่ x ซึ่งหาอนุพันธ์ได้ จะเรียก
อนุพันธ์ของอนุพันธ์ของ f ที่ x หรืออนุพันธ์ของ f ที่ x ว่าเป็นอนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ f ที่ x
เขียนแทนด้วย  f x
จาก    
d
f x f x
dx
 
    
d
f x f x
dx
 
ข้อสังเกต
1.  f x อาจเขียนเป็น y หรือ  
2
2
d
f x
dx
หรือ
2
2
d y
dx
2.    
d
f x f x
dx
  เรียกว่า อนุพันธ์อันดับที่ 3
 
   4 d
f x f x
dx
 เรียกว่า อนุพันธ์อันดับที่ 4
 
   
 n n 1d
f x f x
dx

 เรียกว่า อนุพันธ์อันดับที่ n

79. www.tutorferry.com T. 0998230343
79
 กำรประยุกต์ของอนุพันธ์
ฟังก์ชันเพิ่ม และฟังก์ชันลด
กาหนด f เป็นฟังก์ชันจากสับเซตของ R ไป R และ fA D สาหรับสมาชิก 1x , 2x ใด ๆ ใน A
1. ถ้า 1 2x x และ    1 2f x f x แล้ว f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม
2. ถ้า 1 2x x และ    1 2f x f x แล้ว f เป็นฟังก์ชันลด
ข้อสังเกต ให้ f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วง fA D สาหรับทุก x ในช่วง A
1. ถ้า  f x 0  แล้ว f เป็นฟังก์ชันลดบนช่วง A
2. ถ้า  f x 0  แล้ว f เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง A
ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และค่าต่าสุดสัมพัทธ์
ฟังก์ชัน f มีช่วง   fa,b D ซึ่ง  c a,b สาหรับทุก x ใน  a,b
1. ถ้า    f c f x แล้ว  f c เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และ   c,f c เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์
2. ถ้า    f c f x แล้ว  f c เป็นค่าต่าสุดสัมพัทธ์ และ   c,f c เป็นจุดต่าสุดสัมพัทธ์
ข้อสังเกต
1. ให้ f เป็นฟังก์ชันที่นิยามบนช่วง  a,b ซึ่ง  c a,b และ  f c หาค่าได้ ถ้า  f c เป็น
ค่าสูงสุดหรือต่าสุดสัมพัทธ์ แล้ว  f c 0 
2. ค่า c ที่ทาให้  f c 0  หรือหาค่าไม่ได้ เรียกว่า ค่าวิกฤต
3. ให้ c เป็นค่าวิกฤตของ f เมื่อ x มีค่าเพิ่มขึ้นรอบ ๆ c
3.1 ถ้า  f x เปลี่ยนจากบวกเป็นลบ แล้ว  f c เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์
3.2 ถ้า  f x เปลี่ยนจากลบเป็นบวก แล้ว  f c เป็นค่าต่าสุดสัมพัทธ์
4. ให้ c เป็นค่าวิกฤตของ f ซึ่ง  f x 0 
4.1 ถ้า  f c 0  แล้ว  f c เป็นค่าต่าสุดสัมพัทธ์
4.2 ถ้า  f c 0  แล้ว  f c เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์
4.3 ถ้า  f c 0  หรือหาค่าไม่ได้ ให้กลับไปทาตามข้อ 3
ขั้นตอนการหาค่าสูงสุดและต่าสุดสัมพัทธ์
1. หา  f x
2. ให้  f x 0  แล้วหาค่า x ( ค่าวิกฤต ) ให้ค่าวิกฤต เท่ากับ c
3. พิจารณาค่าของ  f x รอบ ๆ ค่าวิกฤต

80. www.tutorferry.com T. 0998230343
80
3.1 ถ้า x c แล้ว  f x 0  และถ้า x c แล้ว  f x 0 
จะได้ว่า  f c เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ (  f x เปลี่ยนจากบวกเป็นลบ )
3.2 ถ้า x c แล้ว  f x 0  และถ้า x c แล้ว  f x 0 
จะได้ว่า  f c เป็นค่าต่าสุดสัมพัทธ์ (  f x เปลี่ยนจากลบเป็นบวก )
3.3 ถ้า  f x ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายที่ x c หรือ x c จะได้ว่า ไม่มีค่าสูงสุดหรือต่าสุด
สัมพัทธ์
วิธีที่ 2
1. หา  f x
2. ให้  f x 0  แล้วหาค่า x ( ค่าวิกฤต ) ให้ค่าวิกฤต เท่ากับ c
3. หา  f x แล้วแทนค่า x ด้วย c เพื่อหาค่า  f c
3.1 ถ้า  f c 0  แล้ว  f c เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์
3.2 ถ้า  f c 0  แล้ว  f c เป็นค่าต่าสุดสัมพัทธ์
3.3 ถ้า  f c 0  หรือหาค่าไม่ได้ สรุปไม่ได้ ให้ไปพิจารณาวิธีแรก
ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ และค่าต่าสุดสัมบูรณ์
สาหรับทุก x ใน fD
1. ถ้า    f c f x และ f มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์ที่ x c
2. ถ้า    f c f x และ f มีค่าต่าสุดสัมบูรณ์ที่ x c
ข้อสังเกต ค่าสูงสุดหรือต่าสุดสัมพัทธ์ อาจไม่ใช่ค่าสูงสุดหรือต่าสุดสัมบูรณ์
ขั้นตอนการหาค่าสูงสุดและต่าสุดสัมบูรณ์
ถ้าฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิด [ a , b ]
1. หาค่าวิกฤตทั้งหมดในช่วงปิด [ a , b ] ; หาค่า c
2. หาค่าของฟังก์ชัน ณ ค่าวิกฤตที่ได้จากข้อ 1 ; หาค่า f ( c )
3. หาค่า f ( a ) และ f ( b )
4. เปรียบเทียบค่าของ f ( a ) , f ( b ) และ f ( c )
4.1 ค่าที่มากที่สุด เป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์
4.2 ค่าที่น้อยที่สุด เป็นค่าต่าสุดสัมบูรณ์

81. www.tutorferry.com T. 0998230343
81
โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับค่าสูงสุดหรือค่าต่าสุด
มีหลักเกณฑ์ทั่ว ๆ ไปในการแก้โจทย์ปัญหาดังนี้คือ
1. ทาความเข้าใจกับปัญหาอย่างละเอียดให้ทราบแน่นอนว่าต้องการหาค่าสูงสุดหรือค่าต่าสุดของอะไร
ให้กาหนดสิ่งนั้นเป็น y หรือตัวแปรอื่นตามความเหมาะสม และควรวาดรูปประกอบ
2. สมมติให้ y เป็นตัวแปรที่มีการเปลี่ยนแปลงในปัญหา โดยที่ค่า y จะมีค่ามากหรือน้อยขึ้นอยู่กับ
ค่า x
3. เขียน y ในรูปตัวแปร x
4. หาค่า dy
dx
5. ให้ dy
0
dx
 แล้วแก้สมการหาค่า x ( ซึ่งก็คือค่า c )
6. นาค่าวิกฤต ( c ) มาตรวจสอบว่าทาให้ y มีค่าสูงสุดหรือต่าสุดหรือไม่
 ปฏิยำนุพันธ์ การหาปฏิยานุพันธ์ เป็นกระบวนการตรงข้ามกับการหาอนุพันธ์
ฟังก์ชัน F เป็นปฏิยานุพันธ์หนึ่งของ f ถ้า    F x f x  สาหรับทุกค่าของ x ที่อยู่ใน fD
ข้อสังเกต
1. ถ้า F เป็นปฏิยานุพันธ์หนึ่งของ f แล้ว ฟังก์ชัน G ที่นิยามโดย G ( x ) = F ( x ) + c
เมื่อ c เป็นค่าคงตัว จะเป็นปฏิยานุพันธ์ของ f ด้วย
2. ปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันเดียวกันจะแตกต่างกันเพียงค่าคงตัวเท่านั้น
 ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต
รูปทั่วไปของปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน f เขียนแทนด้วย  f x dx อ่านว่า ปริพันธ์ไม่จากัดเขตของ
ฟังก์ชัน f เทียบกับตัวแปร x ดังนั้น ถ้า    F x f x  แล้ว
   f x dx F x c  เมื่อ c เป็นค่าคงตัว
ข้อสังเกต
1. ปริพันธ์ไม่จากัดเขตของ f ก็คือ ปฏิยานุพันธ์ของ f นั่นเอง
2. กระบวนการหา  f x dx เรียกว่า การหาปริพันธ์
3. เครื่องหมาย  เรียกว่า ปริพันธ์
4. f ( x ) เรียกว่า ปริพัทธ์
5. dx เป็นสัญลักษณ์บอกว่าการหาปริพันธ์นี้เทียบกับตัวแปร x

82. www.tutorferry.com T. 0998230343
82
สูตรในการหาปริพันธ์ไม่จากัดเขต k และ c เป็นค่าคงตัว
1. kdx kx c 
2.
n 1
n x
x dx c
n 1

 
 เมื่อ n 1 
3.    kf x dx k f x dx 
4.        f x g x dx f x dx g x dx      
5. ถ้า  
dy
f x
dx
 แล้ว  y f x dx 
 ปริพันธ์จำกัดเขต
กาหนด f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [ a , b ] ถ้า F เป็นปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน f แล้ว
       
b
b
a
a
f x dx F b F a F x  
พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง
เมื่อ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [ a , b ] และ A เป็นพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยกราฟ f จาก x = a
ถึง x = b
1. ถ้า  f x 0 สาหรับทุกค่าของ x ที่อยู่ในช่วง [ a , b ] และ A เป็นพื้นที่เหนือแกน X แล้ว
 
b
a
A f x dx 
2. ถ้า  f x 0 สาหรับทุกค่าของ x ที่อยู่ในช่วง [ a , b ] และ A เป็นพื้นที่ใต้แกน X แล้ว
 
b
a
A f x dx 


83. www.tutorferry.com T. 0998230343
83
กำหนดกำรเชิงเส้น (เปอร์เซ็นต์จำนวนข้อสอบ 0.5%)
 กรำฟของอสมกำรเชิงเส้น สามารถเขียนได้โดยใช้เส้นประ เส้นทึบ หรืออาณาบริเวณ
อสมการเชิงเส้น มีรูปแบบดังนี้ คือ
1. Ax By C 0  
2. Ax By C 0  
3. Ax By C 0  
4. Ax By C 0  
5. Ax By C 0  
วิธีการเขียนกราฟอสมการเชิงเส้น
1. เปลี่ยนเครื่องหมายของอสมการให้อยู่ในรูปสมการ Ax By C 0  
2. หาจุดตัดแกน X โดยให้ y = 0 แล้วแก้สมการหาค่า x จะได้จุดตัดแกน X คือจุด ( x , 0 )
3. หาจุดตัดแกน Y โดยให้ x = 0 แล้วแก้สมการหาค่า y จะได้จุดตัดแกน Y คือจุด ( 0 , y )
4. ลากเส้นตรงให้ผ่านจุดตัดแกน X และ แกน Y
5. กาหนดอาณาบริเวณโดยพิจารณาจากจุดทดสอบ
จุดทดสอบ ใช้ในการทดสอบว่า บริเวณใดเป็นบริเวณที่สอดคล้องกับอสมการ โดยทั่วไปนิยมใช้
จุด ( 0 , 0 ) เป็นจุดทดสอบ
ข้อสังเกต สมการเส้นตรงในรูปทั่วไป Ax By C 0   จะมีจุดตัดแกน X และ แกน Y คือ
จุด C
P ,0
A
 
 
 
และ C
Q 0,
B
 
 
 
ตามลาดับ
 กรำฟของระบบอสมกำรเชิงเส้น
ระบบอสมการเชิงเส้น ประกอบด้วย อสมการเชิงเส้นมากกว่า 1 อสมการ คาตอบของระบบอสมการ
เชิงเส้น คือ คู่อันดับ ( x , y ) ที่สอดคล้องกับอสมการทั้งหมดของระบบอสมการ แทนได้ด้วยบริเวณ
ที่ซ้อนทับกันของกราฟของอสมการทั้งหมด
ข้อสังเกต เพื่อให้กราฟมีรายละเอียดที่จะเป็นประโยชน์มากขึ้น ควรหาและระบุจุดตัดแกน X , แกน Y
และจุดตัดกันของกราฟอสมการ

84. www.tutorferry.com T. 0998230343
84
การหาจุดตัดกันของกราฟอสมการ
1. เปลี่ยนระบบอสมการเชิงเส้นให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น
2. หาจุดตัดกันโดยพิจารณาทีละ 2 สมการ โดยวิธีการหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้น
การหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้น มี 3 แนวทาง คือ
1. การกาจัดตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งให้หมดไป
2. การแทนค่าตัวแปร
3. การเขียนตัวแปรหนึ่งในรูปของตัวแปรอีกตัวหนึ่งทั้ง 2 สมการ
การกาจัดตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งให้หมดไป มีขั้นตอนดังนี้ คือ
1. ทาสัมประสิทธิ์ของตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งให้เท่ากันทั้ง 2 สมการ
2. เมื่อสัมประสิทธิ์ของตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งเท่ากันแล้ว ให้นาสมการทั้ง 2 มาลบกันเพื่อ
กาจัดตัวแปรนั้นออก ในกรณีที่สัมประสิทธิ์มีเครื่องหมายต่างกัน ให้นามาบวกกัน
3. แก้สมการในขั้นตอนที่ 2 แล้วจะได้ค่าตัวแปรอีกตัวหนึ่ง
4. นาค่าตัวแปรที่ได้จากขั้นตอนที่ 3 ไปแทนค่าในสมการตั้งต้นสมการใดสมการหนึ่ง
5. แก้สมการหาค่าตัวแปรที่เหลือ
6. ค่าของตัวแปรในข้อ 3 และข้อ 5 เป็นคาตอบของระบบสมการเชิงเส้น
การแทนค่าตัวแปร มีขั้นตอนดังนี้ คือ
1. หาค่าของตัวแปรหนึ่งในรูปของอีกตัวแปรหนึ่งจากสมการใดสมการหนึ่ง
2. นาค่าของตัวแปรที่ได้จากขั้นตอนที่ 1 ไปแทนค่าในอีกสมการหนึ่ง
3. แก้สมการในขั้นตอนที่ 2 แล้วจะได้ค่าตัวแปรอีกตัวหนึ่ง
4. นาค่าตัวแปรที่ได้จากขั้นตอนที่ 3 ไปแทนค่าในสมการตั้งต้นสมการใดสมการหนึ่ง
5. แก้สมการหาค่าตัวแปรที่เหลือ
6. ค่าของตัวแปรในข้อ 3 และข้อ 5 เป็นคาตอบของระบบสมการเชิงเส้น
การเขียนตัวแปรหนึ่งในรูปของตัวแปรอีกตัวหนึ่งทั้ง 2 สมการ มีขั้นตอนดังนี้ คือ
1. หาค่าของตัวแปรหนึ่งในรูปของอีกตัวแปรหนึ่งจากทั้ง 2 สมการ
2. ใช้สมบัติการเท่ากัน ( สมการที่ 1 = สมการที่ 2 )
3. แก้สมการในขั้นตอนที่ 2 แล้วจะได้ค่าตัวแปรอีกตัวหนึ่ง
4. นาค่าตัวแปรที่ได้จากขั้นตอนที่ 3 ไปแทนค่าในสมการตั้งต้นสมการใดสมการหนึ่ง
5. แก้สมการหาค่าตัวแปรที่เหลือ
6. ค่าของตัวแปรในข้อ 3 และข้อ 5 เป็นคาตอบของระบบสมการเชิงเส้น

85. www.tutorferry.com T. 0998230343
85
 กำรแก้ปัญหำกำหนดกำรเชิงเส้นโดยวิธีกรำฟ มีขั้นตอนดังนี้
1. สร้างระบบอสมการจากสถานการณ์ในปัญหา อสมการทั้งหมด เรียกว่า อสมการข้อจากัด
2. กาหนดฟังก์ชันจุดประสงค์ในรูป P = Ax + By และตัดสินว่าต้องการหาค่าสูงสุดหรือค่าต่าสุด
3. เขียนกราฟของอสมการข้อจากัด
4. เลือกอาณาบริเวณที่เป็นไปได้ของคาตอบ เซตของจุดที่อยู่ในบริเวณที่แรเงารวมทั้งจุดที่เส้นขอบ
เรียกว่า อาณาบริเวณที่หาคาตอบได้
5. หาพิกัดจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมของอาณาบริเวณของคาตอบที่เป็นไปได้ คาตอบที่ต้องการจะ
อยู่ที่จุดมุมของรูปหลายเหลี่ยมของอาณาบริเวณที่หาคาตอบได้
6. แทนตัวแปรของฟังก์ชันจุดประสงค์ด้วยพิกัดของจุดยอดต่าง ๆ ในข้อ 5 และพิจารณาผลที่สอด –
คล้องกับสิ่งที่ต้องการตามข้อ 2 ดังนี้คือ
จุดมุม  C x, y P Ax By 
 1 1 1C x , y 1 1Ax By
 2 2 2C x , y 2 2Ax By
 n n nC x , y n nAx By


86. www.tutorferry.com T. 0998230343
86
ตรรกศำสตร์ (เปอร์เซ็นต์จำนวนข้อสอบ 3.75%)
 ประพจน์ คือ ประโยคที่เป็นจริง หรือเท็จ อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น อยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือ
ประโยคปฏิเสธ
ข้อสังเกต
1. ในตรรกศาสตร์ การเป็นจริง หรือเท็จ ของแต่ละประพจน์ เรียกว่า ค่าความจริงของประพจน์
2. ประโยคที่ไม่อยู่ในรูปประโยคบอกเล่า หรือปฏิเสธ ไม่เป็นประพจน์ เช่น ประโยคคาถาม คาสั่ง
ห้าม ขอร้อง อ้อนวอน อุทาน ฯลฯ
 กำรเชื่อมประพจน์
ข้อสังเกต
1.  แทนเครื่องหมาย และ
2.  แทนเครื่องหมาย หรือ
3.  แทนเครื่องหมาย ถ้า...แล้ว...
4.  แทนเครื่องหมาย ก็ต่อเมื่อ
5. นิเสธของประพจน์ p แทนด้วย p
6. ประพจน์ที่นามาเชื่อมกันด้วยตัวเชื่อมต่าง ๆ เรียกว่า ประพจน์ย่อย
 กำรหำค่ำควำมจริงของประพจน์ ทาได้โดยใช้แผนภาพ ในกรณีที่มีตัวเชื่อมตั้งแต่ 2 ตัวขึ้นไป มีขั้นตอน
ดังนี้ คือ
1. หาค่าความจริงของประพจน์ย่อยในวงเล็บก่อน ถ้ามีหลายวงเล็บ ให้ทาจากวงเล็บเล็กไปยังวงเล็บ -
ใหญ่ ดังนี้ คือ      ... ... ... ...  
2. ถ้าไม่มีวงเล็บ ให้หาค่าความจริงของตัวเชื่อมตามลาดับ ดังนี้ คือ
       ,      
p q p q p q p q p q
T T T T T T
T F F T F F
F T F T T F
F F F F T T

87. www.tutorferry.com T. 0998230343
87
 กำรสร้ำงตำรำงค่ำควำมจริง ใช้ในกรณีที่ประพจน์ย่อย ยังไม่ได้กาหนดค่าความจริง
ถ้ามีประพจน์เดียว พิจารณาค่าความจริง 2 กรณี
ถ้ามี 2 ประพจน์ พิจารณาค่าความจริง 4 กรณี
ถ้ามี 3 ประพจน์ พิจารณาค่าความจริง 8 กรณี
ถ้ามี n ประพจน์ พิจารณาค่าความจริง n
2 กรณี
 รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน หมายถึง รูปแบบของประพจน์ 2 รูปแบบ ที่มีค่าความจริงตรงกันกรณี
ต่อกรณี แทนด้วย 
1. p q q p  
2. p q q p  
3. p q q p  
4.    p q r p q r    
5.    p q r p q r    
6.    p q r p q r    
7.      p q r p q p r     
8.      p q r p q p r     
9. p q p q q p    
10.    p q p q q p    
11.  p q p q  
12.  p q p q  
13.  p q p q  
14.  p p
 สัจนิรันดร์ หมายถึง รูปแบบของประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี
การตรวจสอบความเป็นสัจนิรันดร์ ทาได้โดย
1. พิจารณาค่าความจริงของรูปแบบของประพจน์ โดยสร้างตารางค่าความจริง
2. ถ้าเป็นรูปแบบของประพจน์ที่เชื่อมด้วย ถ้า...แล้ว... ใช้วิธีการหาข้อขัดแย้ง ดังนี้ คือ
2.1 สมมุติให้รูปแบบของประพจน์เป็นเท็จ โดยให้ เหตุเป็นจริง และผลเป็นเท็จ
2.2 หาค่าความจริงของประพจน์ย่อย
2.2.1 ถ้ามีข้อขัดแย้งกับที่สมมุติไว้ แสดงว่า รูปแบบของประพจน์นั้นเป็นสัจนิรันดร์
2.2.2 ถ้าไม่มีข้อขัดแย้งกับที่สมมุติไว้ แสดงว่า รูปแบบของประพจน์นั้นไม่เป็นสัจนิรันดร์

88. www.tutorferry.com T. 0998230343
88
 กำรอ้ำงเหตุผล คือ การอ้างว่า เมื่อมีข้อความ 1 2 nP ,P ,...,P ชุดหนึ่ง แล้วสามารถสรุปข้อความ C
ข้อความหนึ่งได้
ข้อความ 1 2 nP ,P ,...,P เรียกว่า เหตุหรือสิ่งที่กาหนดให้
ข้อความ C เรียกว่า ผลหรือข้อสรุป
เขียนเป็นรูปแบบได้ดังนี้ คือ
 1 2 nP P ... P C   
ถ้ารูปแบบ  1 2 nP P ... P C    เป็นสัจนิรันดร์ แสดงว่า การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล
ถ้ารูปแบบ  1 2 nP P ... P C    ไม่เป็นสัจนิรันดร์ แสดงว่า การอ้างเหตุผลนี้ ไม่สมเหตุสมผล
การตรวจสอบความสมเหตุสมผล ใช้วิธีเดียวกับการตรวจสอบ สัจนิรันดร์
 ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปร และเมื่อแทนค่าของตัวแปรด้วยสมาชิก
ในเอกภพสัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์
สัญลักษณ์แทนประโยคเปิดใด ๆ ที่มี x เป็นตัวแปร เขียนแทนด้วย  P x หรือ xP
การเชื่อมประโยคเปิดด้วยตัวเชื่อม , , ,    หรือ การเติม ทาได้เช่นเดียวกับการเชื่อมประพจน์
 ตัวบ่งปริมำณ มี 2 แบบ คือ
1. สาหรับ ... ทุกตัว แทนด้วย  เช่น x หมายถึง สาหรับ x ทุกตัว
2. สาหรับ ... บางตัว แทนด้วย  เช่น x หมายถึง สาหรับ x บางตัว
ข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ประกอบด้วย ตัวบ่งปริมาณ และประโยคเปิด
เช่น 2
x x 2x 3 0     
ข้อสังเกต การเขียนสัญลักษณ์แทนประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณ เราจะต้องเขียนเอกภพสัมพัทธ์กากับ
ไว้เสมอ แต่จะละไว้ เมื่อเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจานวนจริง หรือในกรณีการศึกษาเกี่ยวกับเซต
 ค่ำควำมจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมำณตัวเดียว จะพิจารณาจาก
1. ตัวบ่งปริมาณ
2. ประโยคเปิด
3. เอกภพสัมพัทธ์
ให้  P x แทนประโยคเปิดที่มีตัวแปร x
1. ประโยค  x P x    มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกแต่ละ
ตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งหมด

89. www.tutorferry.com T. 0998230343
89
2. ประโยค  x P x    มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกอย่าง
น้อย 1 ตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ
3. ประโยค  x P x    มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกอย่าง
น้อย 1 ตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง
4. ประโยค  x P x    มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกแต่ละ
ตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จทั้งหมด
 สมมูลของประโยคที่มีตัวบ่งปริมำณ รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน นามาใช้กับประโยคเปิดที่สมมูล
กันได้ เช่น
รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน ประโยคเปิดที่สมมูลกัน
p q q p          P x Q x Q x P x  
p q p q          P x Q x P x Q x  
 p q p q          P x Q x P x Q x    
 p q p q          P x Q x P x Q x    
ถ้าเติมตัวบ่งปริมาณชนิดเดียวกันไว้ข้างหน้า จะได้ประพจน์ที่สมมูลกันด้วย เช่น
1.        x P x Q x x Q x P x          
2.        x P x Q x x P x Q x          
3.         x P x Q x x P x Q x          
4.         x P x Q x x P x Q x          
เนื่องจากประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณเป็นประพจน์ ดังนั้น สามารถเทียบรูปแบบที่สมมูลกับรูปแบบของ
ประพจน์ที่สมมูลกันได้ เช่น
1.        x P x x Q x x Q x x P x                  
2.        x P x x Q x x P x x Q x                    
3.         x P x x Q x x P x x Q x                    
4.         x P x x Q x x P x x Q x                    
 นิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมำณ
จาก p นิเสธของ คือ p ดังนั้น นิเสธของประโยคเปิด หรือประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ คือ
1. นิเสธของ  P x คือ  P x

90. www.tutorferry.com T. 0998230343
90
2. นิเสธของ  x P x    คือ  x P x   
3. นิเสธของ  x P x    คือ  x P x   
4. นิเสธของ    x P x Q x    คือ    x P x Q x   
5. นิเสธของ    x P x x Q x         คือ     x P x x Q x        
สาหรับนิเสธของประโยคเปิด หรือประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ โดยเปรียบเทียบกับนิเสธของประพจน์ เช่น
1. จาก  p q p q   จะได้ว่า
1.1 นิเสธของ p q คือ p q
1.2 นิเสธของ    P x Q x คือ    P x Q x
1.3 นิเสธของ    x P x x Q x         คือ    x P x x Q x        
2. จาก  p q p q   จะได้ว่า
2.1 นิเสธของ p q คือ p q
2.2 นิเสธของ    P x Q x คือ    P x Q x
2.3 นิเสธของ    x P x x Q x         คือ    x P x x Q x        
ข้อสังเกต ประโยคเปิดที่เป็นนิเสธกัน ถ้าเติมตัวบ่งปริมาณชนิดเดียวกันไว้ข้างหน้า ผลจะไม่ได้
ประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน เช่น นิเสธของ  P x คือ  P x
แต่  x P x    กับ  x P x    ไม่เป็นนิเสธกัน
รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน และเป็นนิเสธกัน
1.    x P x x P x        
2.    x P x x P x        
ข้อสังเกต
1. นิเสธของ  x P x    สมมูลกับ  x P x   
2. นิเสธของ  x P x    สมมูลกับ  x P x   

91. www.tutorferry.com T. 0998230343
91
 ค่ำควำมจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมำณ 2 ตัว
ประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ 2 ตัว มี 8 รูปแบบ คือ
1.  x y P x, y     5.  y x P x, y    
2.  x y P x,y     6.  y x P x,y    
3.  x y P x,y     7.  y x P x,y    
4.  x y P x,y     8.  y x P x,y    
การพิจารณาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ 2 ตัว
1.  x y P x, y    
1.1 มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x และ y ด้วยสมาชิก a และ b ทุกตัวใน
เอกภพสัมพัทธ์ แล้วทาให้  P a,b เป็นจริงเสมอ
1.2 มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x และ y ด้วยสมาชิก a และ b บางตัวใน
เอกภพสัมพัทธ์ แล้วทาให้  P a,b เป็นเท็จ
2.  x y P x,y    
2.1 มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x และ y ด้วยสมาชิก a และ b บางตัวใน
เอกภพสัมพัทธ์ แล้วทาให้  P a,b เป็นจริง
2.2 มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x และ y ด้วยสมาชิก a และ b ทุกตัวใน
เอกภพสัมพัทธ์ แล้วทาให้  P a,b เป็นเท็จ
3.  x y P x,y    
3.1 มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ด้วยสมาชิก a ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้ว
ทาให้ประโยค  y P a,y    เป็นจริง
3.2 มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ด้วยสมาชิก a บางตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้ว
ทาให้ประโยค  y P a,y    เป็นเท็จ
4.  x y P x,y    
4.1 มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ด้วยสมาชิก a บางตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้ว
ทาให้ประโยค  y P a,y    เป็นจริง
4.2 มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ด้วยสมาชิก a ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้ว
ทาให้ประโยค  y P a,y    เป็นเท็จ
ข้อสังเกต สาหรับค่าความจริงของรูปแบบ 5 – 8 หาได้ในทานองเดียวกันกับรูปแบบ 1 - 4


92. www.tutorferry.com T. 0998230343
92
ควำมน่ำจะเป็น (เปอร์เซ็นต์จานวนข้อสอบ 6.25%)
หลักการนับ
1. หลักการบวก
2. หลักการคูณ
หลักการบวก
ถ้าการทางานหนึ่งมีวิธีการทา k วิธี คือ วิธีที่ 1 ถึง วิธีที่ k โดยที่
การทางานวิธีที่ 1 มีวิธีทา 1n วิธี
การทางานวิธีที่ 2 มีวิธีทา 2n วิธี
การทางานวิธีที่ k มีวิธีทา kn วิธี
และวิธีการทางานแต่ละวิธีแตกต่างกัน แล้ว
จานวนวิธีทางานนี้เท่ากับ 1 2 ... kn n n   วิธี
หลักการคูณ
ถ้าการทางานอย่างหนึ่งประกอบด้วยการทางาน k ขั้นตอน คือ ขั้นตอนที่ 1 ถึง ขั้นตอนที่ k โดยที่
การทางานขั้นตอนที่ 1 มีวิธีทา 1n วิธี
การทางานขั้นตอนที่ 2 มีวิธีทา 2n วิธี
การทางานขั้นตอนที่ k มีวิธีทา kn วิธี
และวิธีการทางานแต่ละวิธีแตกต่างกัน แล้ว
จานวนวิธีทางานนี้เท่ากับ 1 2... kn n n วิธี
กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ

93. www.tutorferry.com T. 0998230343
93
ถ้า n เป็นจานวนเต็มบวก แฟกทอเรียล n คือ ผลคูณของจานวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง n
เขียนแทนด้วย n!
n! = 1 x 2 x 3 x … x ( n – 1 ) x n
หรือ n! = n x ( n – 1 ) x … x 3 x 2 x 1
n! = n x ( n – 1 )!
0! = 1
1! = 1
1. จานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ n สิ่งซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด เท่ากับ ,n nP วิธี
, !n nP n
2. จานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ n สิ่งซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด
โดยจัดเรียงคราวละ r สิ่ง  1 r n  เท่ากับ ,n rP วิธี
 ,
!
!
n r
n
P
n r


3. ถ้ามีสิ่งของอยู่ n สิ่ง ในจานวนนี้
มี 1n สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่ 1
มี 2n สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่ 2
มี kn สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่ k
โดยที่ 1 2 ... kn n n n   
จานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนกลุ่มของสิ่งของ n สิ่ง เท่ากับ
1 2
!
! !... !k
n
n n n
วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น
แฟคทอเรียล

94. www.tutorferry.com T. 0998230343
94
1. จานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของสิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่ง เท่ากับ  1 !n 
2. จานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของสิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่ง และมองได้ 2 ด้าน
เท่ากับ  1 !
2
n 
1. จานวนวิธีจัดหมู่ของสิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่ง โดยเลือกคราวละ r สิ่ง  0 r n 
เท่ากับ ,n rC หรือ  n
r
 ,
!
! !
n r
n
C
n r r


2.    n n
r n r
1. ถ้ามีสิ่งของอยู่ n สิ่งซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด ต้องการแบ่งกลุ่มเป็น
กลุ่มละ 1n ชิ้น จานวน 1m กลุ่ม
กลุ่มละ 2n ชิ้น จานวน 2m กลุ่ม
กลุ่มละ kn ชิ้น จานวน km กลุ่ม
จานวนวิธีแบ่งกลุ่มของสิ่งของ n สิ่ง เท่ากับ
     1 2
1 1 2 2
!
! ! ! !... ! !km m m
k k
n
n m n m n m
2. วิธีแบ่งสิ่งของ n สิ่งซึ่งเหมือนกันทั้งหมด โดยแบ่งให้คน r คน
2.1 ถ้าได้รับทุกคน จานวนวิธี เท่ากับ 1, 1n rC  
2.2 ถ้าไม่สนใจว่าจะได้รับทุกคน จานวนวิธี เท่ากับ 1, 1n rC  
วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม
วิธีจัดหมู่
วิธีแบ่งกลุ่ม

95. www.tutorferry.com T. 0998230343
95
ถ้า x , y เป็นจานวนจริง และ n เป็นจานวนเต็มบวก แล้ว
         1
0 1 ... ...
n n n n n n n r r n n
r nx y x x y x y y 
      
ข้อสังเกต
1.        0 1, ,..., ,...,n n n n
r n เรียกว่า สัมประสิทธิ์ทวินาม
2.      0 1 ... 2n n n n
n   
3.    0 1n n
n 
4.      1
1
n n n
r r r

  เมื่อ 0 r n 
5. ให้พจน์ที่ r + 1 ของการกระจาย  
n
x y แทนด้วย 1rT  จะได้ว่า
 1
n n r r
r rT x y
 
6. สัมประสิทธิ์ของ c d
x y จากการกระจาย  
n
ax by เท่ากับ !
! !
c dn
a b
c d
การทดลองสุ่ม คือ การทดลองหรือการกระทาใด ๆ ซึ่งทราบว่าผลลัพธ์อาจจะเป็นอะไรได้บ้าง แต่ไม่
สามารถบอกได้อย่างถูกต้องแน่นอนว่าในแต่ละครั้งที่ทดลอง ผลที่เกิดขึ้นจะเป็นอะไรในบรรดาผลลัพธ์
ที่อาจเป็นไปได้เหล่านี้
ปริภูมิตัวอย่าง หรือแซมเปิลสเปซ คือ เซตของผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้จากการทดลองสุ่ม แต่ละ
สมาชิกของปริภูมิตัวอย่างหรือผลการทดลอง เรียกว่า จุดตัวอย่าง ( sample point or outcome )
เหตุการณ์ คือ สับเซตของปริภูมิตัวอย่าง
ข้อสังเกต ให้ S เป็นปริภูมิตัวอย่าง และให้ A และ B เป็นเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์
1.  ... ...A B x x A or x B   
2.  ... ...A B x x A and x B   
3.  ... ...A x x S but x A   
4.  ... ...A B x x A but x B   
5. ถ้า A B   แล้ว จะเรียกเหตุการณ์ A และ B ว่า เหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน
ทฤษฎีบททวินาม
ความน่าจะเป็น

96. www.tutorferry.com T. 0998230343
96
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
ถ้า S แทนปริภูมิตัวอย่างของการทดลองสุ่มอย่างหนึ่ง ซึ่งแต่ละจุดตัวอย่างของการทดลองมีโอกาส
เกิดขึ้นเท่า ๆ กัน และ E แทนเหตุการณ์ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E เขียนแทนด้วย P(E) ซึ่ง
 
 
 
n E
P E
n S

เมื่อ  n E แทนจานวนสมาชิกในเหตุการณ์ E
 n S แทนจานวนสมาชิกในปริภูมิตัวอย่าง S
สมบัติของความน่าจะเป็น
1. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E ใด ๆ จะมีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1 เสมอ
 0 1P E 
  0P E  หมายความว่า เหตุการณ์ E ไม่มีโอกาสเกิดขึ้นเลย
  1P E  หมายความว่า เหตุการณ์ E จะเกิดขึ้นอย่างแน่นอน
2. ความน่าจะเป็นของปริภูมิตัวอย่าง S มีค่าเท่ากับ 1 นั่นคือ   1P S 
3. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นเซตว่าง มีค่าเท่ากับ 0 นั่นคือ   0P  
กฎของความน่าจะเป็น ให้ S เป็นปริภูมิตัวอย่าง ซึ่งเป็นเซตจากัด และ A , B , C เป็นเหตุการณ์ใด ๆ
1.        P A B P A P B P A B    
2.    1P A P A  
3.      P A B P A P A B   
4. ถ้า A B   แล้ว      P A B P A P B  
5.        P A B P A B P B A P A B      
6.              P A B C P A P B P C P A B P A C P B C          
 P A B C  


97. www.tutorferry.com T. 0998230343
97
สถิติ (เปอร์เซ็นต์จำนวนข้อสอบ 8%)
 กำรวัดค่ำกลำงของข้อมูล ประกอบด้วย
1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
2. มัธยฐาน
3. ฐานนิยม
4. ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต
5. ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก
6. ค่ากึ่งกลางพิสัย
 ค่ำเฉลี่ยเลขคณิต เหมาะที่จะนามาใช้เป็นค่ากลางของข้อมูล เมื่อข้อมูลนั้น ๆ ไม่มีค่าใดค่าหนึ่งหรือ
หรือหลาย ๆ ค่า ซึ่งสูงหรือต่ากว่าค่าอื่น ๆ มาก
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่ หาได้โดยตรงจากข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมด โดยการหาร
ผลรวมของข้อมูลทั้งหมดด้วยจานวนข้อมูล แทนด้วย x
n
i
1 2 n i 1
x
x x ... x
x
n n
  
 

1 2 nx ,x ,...,x คือ ค่าจากการสังเกต
n คือ จานวนตัวอย่าง
สัญลักษณ์แทนการบวก ใช้แทนผลบวกของข้อมูล ix ทุก ๆ ค่า จาก i = 1 ถึง i = n
n
i 1 2 n
i 1
x x x ... x

   
สมบัติของสัญลักษณ์แทนการบวก ถ้า c เป็นค่าคงตัวใด ๆ
1.
1
n
i
c nc


2.
1 1
n n
i i
i i
cx c x
 
 
3.  
1 1 1
n n n
i i i i
i i i
x y x y
  
    
4.  
1 1 1
n n n
i i i i
i i i
x y x y
  
    

98. www.tutorferry.com T. 0998230343
98
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้าหนัก ใช้ในกรณีที่ข้อมูลแต่ละค่ามีความสาคัญไม่เท่ากัน
ถ้าให้ 1w เป็นความถี่ของค่าจากการสังเกต 1x
2w เป็นความถี่ของค่าจากการสังเกต 2x
nw เป็นความถี่ของค่าจากการสังเกต nx
1 1 2 2 1
1 2
1
...
...
n
i i
n n i
n
n
i
i
w x
w x w x w x
x
w w w
w


  
 
  


ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว ใช้ในกรณีที่มีข้อมูลจานวนมาก และไม่มีข้อมูลดิบ
แต่ละหน่วย เช่น ข้อมูลที่รายงานจากทะเบียนต่าง ๆ ในลักษณะที่ได้แจกแจงความถี่แล้ว
ถ้าให้ 1f เป็นความถี่ของค่าจากการสังเกต 1x
2f เป็นความถี่ของค่าจากการสังเกต 2x
kf เป็นความถี่ของค่าจากการสังเกต kx
1 1 2 2 1 1
1 2
1
...
...
k k
i i i i
k k i i
k
k
i
i
f x f x
f x f x f x
x
f f f n
f
 

  
  
  
 

ข้อสังเกต ในกรณีที่มีการแจกแจงความถี่ของข้อมูลเป็นอันตรภาคชั้น จะได้ว่า
ix เป็นจุดกึ่งกลางของชั้นที่ i
k เป็นจานวนอันตรภาคชั้น
การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่มีการแจกแจงความถี่เป็นอันตรภาคชั้นโดยใช้ค่ากึ่งกลางสมมุติ
1 1
1
k k
i i i i
i i
k
i
i
f d f d
x a id a i a i
n
f
 

     
 

เมื่อ i
i
x a
d
i


id คือ ค่ากึ่งกลางสมมุติของชั้นที่ i
a คือ ค่ากึ่งกลางชั้นที่มีความถี่สูงสุด
i คือ ความกว้างของอันตรภาคชั้น
d คือ ค่าเฉลี่ยสมมุติ

99. www.tutorferry.com T. 0998230343
99
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม ใช้ในการวิเคราะห์ข้อมูลของตัวแปรเดียวกันจากตัวอย่างหลาย ๆ ชุดที่สุ่มมาจาก
ประชากรเดียวกัน และหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวอย่างแต่ละชุดไว้แล้ว
ถ้า 1 2, ,..., kx x x เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ ข้อมูลชุดที่ 1 , 2 , ... , k
2, ,...,i kn n n เป็นจานวนค่าจากการสังเกตของ ข้อมูลชุดที่ 1 , 2 , ... , k
1 1 2 2 1 1
1 2
1
...
...
k k
i i i i
k k i i
k
k
i
i
n x n x
n x n x n x
x
n n n n
n
 

  
  
  
 

สมบัติที่สาคัญของค่าเฉลี่ยเลขคณิต
1.
1
n
i
i
x nx


2.  1
0
n
i
i
x x

 
3.  
2
1
n
i
i
x a

 มีค่าน้อยที่สุดเมื่อ a x
4. min maxx x x 
5. ถ้า i iy ax b  แล้ว y ax b 
ข้อสังเกต x และ n จะใช้แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตและจานวนตัวอย่างซึ่งเป็นตัวแทนของประชากร
ส่วน  และ N จะใช้แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตและจานวนของประชากร
 มัธยฐำน คือ ค่าที่มีตาแหน่งอยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด โดยเรียงลาดับข้อมูลจากค่าน้อยที่สุดไปหาค่า
มากที่สุด เหมาะที่จะนามาใช้ในกรณีที่มีข้อมูลค่าใดค่าหนึ่งหรือหลาย ๆ ค่า ซึ่งสูงหรือต่ากว่าค่าอื่น ๆ มาก
แทนด้วย Me
ขั้นตอนการหามัธยฐานของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่
1. เรียงข้อมูลจากน้อยไปหามาก
2. หาตาแหน่งของมัธยฐาน
2.1 กรณีที่จานวนข้อมูลเป็นเลขคี่ ตาแหน่งของมัธยฐาน คือ 1
2
n 
2.2 กรณีที่จานวนข้อมูลเป็นเลขคู่ ตาแหน่งของมัธยฐานจะอยู่ระหว่าง
2
n
กับ 1
2
n

3. หาค่าของมัธยฐาน
3.1 กรณีที่จานวนข้อมูลเป็นเลขคี่ ค่ามัธยฐาน คือ ค่าของข้อมูลในตาแหน่ง 1
2
n 

100. www.tutorferry.com T. 0998230343
100
3.2 กรณีที่จานวนข้อมูลเป็นเลขคู่ ค่ามัธยฐาน คือ ค่าเฉลี่ยของข้อมูลในตาแหน่ง
2
n
กับ 1
2
n

1
2 2
2
n nx x
Me



ขั้นตอนการหามัธยฐานของข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว
1. สร้างช่องความถี่สะสม
2. หาตาแหน่งของมัธยฐาน จาก
2
n
3. หาอันตรภาคชั้นที่มีมัธยฐานอยู่
4. หาค่าของมัธยฐาน
2
L
Me
n
f
Me L i
f
 
 
   
 
 

เมื่อ L คือ ขอบล่างของอันตรภาคชั้นที่มีมัธยฐานอยู่
n คือ ผลรวมความถี่ทั้งหมด
1
k
i
i
n f

 
 
 

Lf คือ ผลรวมความถี่ของทุกอันตรภาคชั้นที่ต่ากว่าชั้นที่มีมัธยฐานอยู่
Mef คือ ความถี่ของชั้นที่มีมัธยฐานอยู่
i คือ ความกว้างของอันตรภาคชั้นที่มีมัธยฐานอยู่
ข้อสังเกต
1. ขอบล่าง คือ ค่ากึ่งกลางระหว่างค่าที่มากที่สุดในอันตรภาคชั้นก่อนหน้านั้น 1 ชั้นกับค่าที่น้อยที่สุด
ของอันตรภาคชั้นนั้น ถ้าเป็นขอบล่างของชั้นต่าสุดให้ถือว่ามีอันตรภาคชั้นที่ต่ากว่าชั้นนั้นอีก 1 ชั้น
2. ขอบบน คือ ค่ากึ่งกลางระหว่างค่าที่มากที่สุดในอันตรภาคชั้นนั้นกับค่าที่น้อยที่สุดของอันตรภาคชั้น
ถัดไปชั้นหนึ่ง ถ้าเป็นขอบบนของชั้นสูงสุดให้ถือว่ามีอันตรภาคชั้นที่สูงกว่าชั้นนั้นอีก 1 ชั้น
3.
1
n
i
i
x Me

 มีค่าน้อยที่สุด
 ฐำนนิยม คือ ค่าของข้อมูลที่มีความถี่สูงสุด นิยมใช้กับข้อมูลเชิงคุณภาพมากกว่าข้อมูลเชิงปริมาณ
แทนด้วย Mo
การหาฐานนิยมของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่
1. ถ้าข้อมูลที่มีความถี่สูงสุดมี 1 ข้อมูล ข้อมูลชุดนี้มีฐานนิยม 1 ค่า
2. ถ้าข้อมูลที่มีความถี่สูงสุดมี 2 ข้อมูล ข้อมูลชุดนี้มีฐานนิยม 2 ค่า

101. www.tutorferry.com T. 0998230343
101
3. ถ้าข้อมูลที่มีความถี่สูงสุดมีมากกว่า 2 ข้อมูล ข้อมูลชุดนี้จะไม่พิจารณาฐานนิยม
4. ถ้าข้อมูลทุกตัวมีความถี่เท่ากันหมด ข้อมูลชุดนี้ไม่มีฐานนิยม
ข้อสังเกต ในกรณีที่ข้อมูลชุดหนึ่งมีฐานนิยมมากกว่า 1 ค่า อาจหาตัวแปรเชิงคุณภาพอื่นๆ ที่เกี่ยวข้อง
มาแบ่งข้อมูลออกเป็นคนละชุด เพื่อทาให้แต่ละชุดมีฐานนิยมเพียง 1 ค่า
การหาฐานนิยมของข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว
1. ถ้าเป็นเส้นโค้งของความถี่ ฐานนิยม คือ ค่าของข้อมูลที่อยู่ตรงจุดสูงสุดบนเส้นโค้งของความถี่
2. ถ้าข้อมูลที่มีการแจกแจงความถี่เป็นอันตรภาคชั้น
2.1 ความกว้างของอันตรภาคชั้นเท่ากัน จุดกึ่งกลางของชั้นที่มีความถี่สูงสุด คือ ฐานนิยม
2.2 ความกว้างของอันตรภาคชั้นไม่เท่ากัน ให้หารความถี่ด้วยความกว้างของแต่ละชั้น ชั้นใดที่
ผลหารมีค่ามากที่สุด จุดกึ่งกลางของชั้นนั้น คือ ฐานนิยม
2.3 การหาฐานนิยมโดยใช้สูตรคานวณ
1
1 2
d
Mo L i
d d
 
   
 
เมื่อ 1d คือ ผลต่างระหว่างความถี่ของชั้นที่เป็นฐานนิยมกับชั้นที่อยู่ต่ากว่า
2d คือ ผลต่างระหว่างความถี่ของชั้นที่เป็นฐานนิยมกับชั้นที่อยู่สูงกว่า
i คือ ความกว้างของอันตรภาคชั้น
L คือ ขอบล่างของอันตรภาคชั้นที่มีฐานนิยมอยู่
ข้อสังเกตและหลักเกณฑ์ที่สาคัญในการใช้ค่ากลางชนิดต่าง ๆ
1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นค่ากลางที่ได้จากการนาทุก ๆ ค่าของข้อมูลมาเฉลี่ย แต่มัธยฐานและฐานนิยม
เป็นเพียงค่ากลางที่ใช้ตาแหน่งที่ของข้อมูลบางค่าเท่านั้น
2. ถ้ามีข้อมูลบางตัวมีค่าสูงหรือต่ากว่าข้อมูลอื่น ๆ มาก จะมีผลกระทบต่อค่าเฉลี่ยเลขคณิต แต่จะไม่มี
ผลต่อมัธยฐานหรือฐานนิยม
3. มัธยฐานและฐานนิยม ใช้เมื่อต้องการทราบค่ากลางโดยประมาณและรวดเร็ว
4. ถ้าข้อมูลที่มีการแจกแจงความถี่มีอันตรภาคชั้นเปิด ไม่สามารถหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต แต่หามัธยฐาน
หรือฐานนิยมได้
5. ถ้าข้อมูลที่มีการแจกแจงความถี่มีความกว้างของอันตรภาคชั้นไม่เท่ากัน อาจมีผลต่อค่าเฉลี่ยเลขคณิต
หรือฐานนิยม แต่ไม่มีผลต่อมัธยฐาน
6. ข้อมูลเชิงคุณภาพ หาได้เฉพาะฐานนิยมเท่านั้น
7. ในกรณีที่สามารถนาข้อมูลมาเรียงลาดับได้ ควรหามัธยฐานก่อน และถ้าเป็นข้อมูลเชิงปริมาณที่มีค่า
ต่อเนื่องด้วย ควรใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตแทนมัธยฐาน
8. ในกรณีที่ข้อมูลมีจานวนน้อย ไม่ควรใช้ฐานนิยม

102. www.tutorferry.com T. 0998230343
102
 ค่ำเฉลี่ยเรขำคณิต ใช้ในกรณีที่ข้อมูลมีลักษณะไม่สมมาตร หรือมีค่าสูงหรือต่ามารวมอยู่ แทนด้วย G.M.
1. ข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่
ถ้า 1 2, ,..., nx x x เป็นข้อมูล n จานวน ซึ่งเป็นจานวนบวกทุกจานวน
1 2. . ...n
nG M x x x
หรือ
1
1
log . . log
n
i
i
G M x
n 
 
2. ข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว
ถ้า 1f เป็นความถี่ของค่าจากการสังเกต 1x
2f เป็นความถี่ของค่าจากการสังเกต 2x
kf เป็นความถี่ของค่าจากการสังเกต kx
1 2
1 2. . ... kff fn
kG M x x x
หรือ
1
1
log . . log
k
i i
i
G M f x
n 
 
ข้อสังเกต 1 2, ,..., kx x x อาจหมายถึง ค่ากึ่งกลางของอันตรภาคชั้น
 ค่ำเฉลี่ยฮำร์มอนิก ใช้ในการหาค่าเฉลี่ยของข้อมูลที่เป็นอัตราส่วน แทนด้วย H.M.
1. ข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่
ถ้า 1 2, ,..., nx x x เป็นข้อมูล n จานวน ซึ่งเป็นจานวนบวกทุกจานวน
11 2
1
. .
11 1 1 1
...
n
i in
n
H M
xn x x x 
 
 
   
 

2. ข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว
ถ้า 1f เป็นความถี่ของค่าจากการสังเกต 1x
2f เป็นความถี่ของค่าจากการสังเกต 2x
kf เป็นความถี่ของค่าจากการสังเกต kx
1 2
11 2
1
. .
1
...
k
ik
i ik
n
H M
fff f
xn x x x 
 
 
   
 

ข้อสังเกต 1 2, ,..., kx x x อาจหมายถึง ค่ากึ่งกลางของอันตรภาคชั้น

103. www.tutorferry.com T. 0998230343
103
 ค่ำกึ่งกลำงพิสัย ใช้ในการหาค่ากลางของข้อมูลอย่างคร่าว ๆ แทนด้วย M.R.
1. ข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่
max min
. .
2
x x
M R


เมื่อ maxx คือ ค่าสูงสุดของข้อมูล
minx คือ ค่าต่าสุดของข้อมูล
2. ข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว
max min
. .
2
x x
M R


เมื่อ maxx คือ ขอบบนของชั้นสูงสุด minx คือ ขอบล่างของชั้นต่าสุด
ค่ากลางของข้อมูล ข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่ ข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
1. 1
n
i
i
x
x
n



2. 1
1
n
i i
i
n
i
i
w x
x
w





3. 1
1
k
i i
i
k
i
i
n x
x
n





1. 1 1
1
k k
i i i i
i i
k
i
i
f x f x
x
n
f
 

 
 

2. x a id 
1
1
k
i i
i
k
i
i
i
i
f d
d
f
x a
d
i







มัธยฐาน ค่าของข้อมูลที่อยู่ตาแหน่งกึ่งกลาง
ของข้อมูล
1
2
n  
 
 
2Me
L
Me
n
f
L i
f
 
 
   
 
 

ฐานนิยม ค่าของข้อมูลที่มีความถี่สูงสุด 1
1 2
Mo
d
L i
d d
 
   
 
ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต
   
2
1
G.M. ...
1
log G.M. log
n
i n
n
i
i
x x x
x
n 

     
1 2
1 2
1
G.M. ...
1
log G.M. log
kff fn
k
k
i i
i
x x x
f x
n 

 
ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก
1
H.M.
1n
i i
n
x

 1
H.M. k
i
i i
n
f
x


ค่ากึ่งกลางพิสัย max min
M.R.
2
x x

maxx  ค่าสูงสุดของข้อมูล
minx  ค่าต่าสุดของข้อมูล
max min
M.R.
2
x x

maxx  ขอบบนของชั้นสูงสุด
minx  ขอบล่างของชั้นต่าสุด

104. www.tutorferry.com T. 0998230343
104
 กำรวัดตำแหน่งของข้อมูล หมายถึง การบอกตาแหน่งที่หรือตาแหน่งสัมพัทธ์ของข้อมูล โดยใช้
ควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์
ควอร์ไทล์ จะแบ่งข้อมูลออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กัน จุดแบ่งมี 3 จุด เรียกว่า ควอร์ไทล์ที่ 1 ( Q1 ) ,
ควอร์ไทล์ที่ 2 ( Q2 ) และควอร์ไทล์ที่ 3 ( Q3 )
เดไซล์ จะแบ่งข้อมูลออกเป็น 10 ส่วน เท่า ๆ กัน จุดแบ่งมี 9 จุด เรียกว่า เดไซล์ที่ 1 ( D1 ) ,
เดไซล์ที่ 2 ( D2 ) , … , เดไซล์ที่ 9 ( D9 )
เปอร์เซ็นไทล์ จะแบ่งข้อมูลออกเป็น 100 ส่วน เท่า ๆ กัน จุดแบ่งมี 99 จุด เรียกว่า
เปอร์เซ็นไทล์ที่ 1 ( P1 ) , เปอร์เซ็นไทล์ที่ 2 ( P2 ) , … , เปอร์เซ็นไทล์ที่ 99 ( P99 )
ข้อสังเกต
1. 2 5 50Med = Q = D = P
2. 1 25Q = P และ 3 75Q = P
3. 1 10 2 20 9 90D = P , D = P , ... , D = P
การหาควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์
1. ข้อมูลยังไม่ได้แจกแจงความถี่
1.1. เรียงข้อมูลจากน้อยไปหามาก
1.2. หาตาแหน่งควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์ จากสูตร
( 1)
Q
4
( 1)
D
10
( 1)
P
100
r
r
r
r n
r n
r n







105. www.tutorferry.com T. 0998230343
105
1.3. หาค่าของควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์ โดยการนับ
1.3.1.ถ้าลงตัวพอดี ข้อมูลตัวนั้นจะเป็นคาตอบ
1.3.2.ถ้าไม่ลงตัว ให้เทียบบัญญัติไตรยางศ์
2. ข้อมูลที่มีการแจกแจงความถี่แล้ว
2.1. สร้างช่องความถี่สะสมเพิ่ม
2.2. หาตาแหน่งควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์ จากสูตร
Q
4
D
10
P
100
r
r
r
rn
rn
rn



2.3. หาอันตรภาคชั้นที่มีควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์อยู่
2.4. หาค่าของควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์ จากสูตร
4Q
10D
100P
r
r
r
L
r
Q
L
r
D
L
r
P
rn
f
L i
f
rn
f
L i
f
rn
f
L i
f
 
 
   
 
 
 
 
   
 
 
 
 
   
 
 



เมื่อ L คือ ขอบล่างของอันตรภาคชั้นที่มีควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์อยู่
n คือ ผลรวมความถี่ทั้งหมด
1
k
i
i
n f

 
 
 

i คือ ความกว้างของอันตรภาคชั้นที่มีควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์อยู่
Lf คือ ผลรวมความถี่ของทุกอันตรภาคชั้นที่ต่ากว่าชั้นที่มีควอร์ไทล์ เดไซล์ และ
เปอร์เซ็นไทล์อยู่
, ,r r rQ D Pf f f คือ ความถี่ของชั้นที่มีควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์อยู่

106. www.tutorferry.com T. 0998230343
106
 กำรวัดกำรกระจำยของข้อมูล หมายถึง การวัดความแตกต่างกันของข้อมูลว่ามีมากน้อยเพียงใด
แบ่งออกเป็น 2 แบบ คือ
1. การวัดการกระจายสัมบูรณ์
2. การวัดการกระจายสัมพัทธ์
การวัดการกระจายสัมบูรณ์ เป็นการวัดการกระจายของข้อมูลเพียงชุดเดียว ดังนี้คือ
1. พิสัย
max minR x x 
หรือ R  ขอบบนของอันตรภาคชั้นสูงสุด - ขอบล่างของอันตรภาคชั้นต่าสุด
2. ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์
3 1Q -Q
Q.D.=
2
3. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
1
. .
n
i
i
x x
M D
n




ข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่
หรือ 1
1
. .
k
i i
i
k
i
i
f x x
M D
f






ข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว
4. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
 
 
2 2
21 1
n n
i i
i i
x x x
s x
n n
 

  
 
ข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่
 
 
2 2
21 1
1 1
k k
i i i i
i i
k k
i i
i i
f x x f x
s x
f f
 
 

  
 
 
ข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว
5. ความแปรปรวน แทนด้วย 2
s
 
 
2
2
2
2 1 1
n n
i i
i i
x x x
s x
n n
 

  
 
ข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่
 
 
2
2
2
2 1 1
1 1
k k
i i i i
i i
k k
i i
i i
f x x f x
s x
f f
 
 

  
 
 
ข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว

107. www.tutorferry.com T. 0998230343
107
ข้อสังเกต
1. 0s 
2.
   
2 2
1 1
n n
i i
i i
x a x x
n n
 
 

 
เมื่อ a x
3. ความแปรปรวนของข้อมูลทั้งหมด แทนด้วย 2
s
ถ้า 2 2 2
1 2, ,..., ks s s เป็นความแปรปรวนของข้อมูลชุดที่ 1 , 2 , ... , k
1 2, ,..., kx x x เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดที่ 1 , 2 , ... , k
2, ,...,i kn n n เป็นจานวนค่าจากการสังเกตในข้อมูลชุดที่ 1 , 2 , ... , k
3.1 ข้อมูลแต่ละชุดมีค่า x เท่ากัน
2
2 2 2
2 1 1 2 2 1
1 2
1
...
...
k
i i
k k i
k
k
i
i
n s
n s n s n s
s
n n n
n


  
 
  


3.2 ข้อมูลแต่ละชุดมีค่า x ไม่เท่ากัน
     
 
2 2 22 2 2
1 1 2 2 1 1 2 22
1 2
... ...
...
k k k k
k
n s n s n s n x x n x x n x x
s
n n n
         

  
เมื่อ 1 1 2 2 1
1 2
1
...
...
k
i i
k k i
k
k
i
i
n x
n x n x n x
x
n n n
n


  
 
  


หรือ
 
2
2
2 1
1
k
ii i
i
k
i
i
n s x x
s
n


  
  



การวัดการกระจายสัมพัทธ์ เป็นการวัดการกระจายระหว่างข้อมูล 2 ชุดขึ้นไป ดังนี้คือ
1. สัมประสิทธิ์ของพิสัย
max min
max min
. .
x x
C R
x x



2. สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์
3 1
3 1
Q -Q
. . .
Q +Q
C Q D 
3. สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
. .
. . .
M D
C M D
x

4. สัมประสิทธิ์ของการแปรผัน
. .
s
C V
x


108. www.tutorferry.com T. 0998230343
108
 กำรแจกแจงปกติ
ความสัมพันธ์ระหว่างการแจกแจงความถี่ ค่ากลาง และการกระจายของข้อมูล
ข้อมูลที่มีการแจกแจงความถี่แล้ว โดยทั่ว ๆ ไปจะมีเส้นโค้งของความถี่ แบ่งออกได้เป็น 3 รูปแบบ คือ
1. เส้นโค้งปกติ หรือรูประฆัง
Me , x , Mo
ลักษณะสาคัญ คือ มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม อยู่ที่จุดเดียวกัน โดยอยู่ที่จุดยอดของ
เส้นโค้งของความถี่
2. เส้นโค้งเบ้ขวา หรือเบ้ลาดทางบวก
Mo Me x
ลักษณะสาคัญ คือ เส้นโค้งที่มีความชันน้อยอยู่ทางด้านขวา ค่าเฉลี่ยเลขคณิตมีค่ามากที่สุด มัธยฐาน
อยู่ระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิตและฐานนิยม โดยที่ฐานนิยมจะอยู่ที่จุดยอดของเส้นโค้งของความถี่
3. เส้นโค้งเบ้ซ้าย หรือเบ้ลาดทางลบ
x Me Mo
ลักษณะสาคัญ คือ เส้นโค้งที่มีความชันน้อยอยู่ทางด้านซ้าย ฐานนิยมมีค่ามากที่สุด และอยู่ที่จุดยอด
ของเส้นโค้งของความถี่ มัธยฐานอยู่ระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิตและฐานนิยม

109. www.tutorferry.com T. 0998230343
109
ลักษณะการกระจายของข้อมูล
ถ้าข้อมูลมีการกระจายมาก เส้นโค้งจะมีความโด่งน้อย หรือค่อนข้างแบน
ถ้าข้อมูลมีการกระจายน้อย เส้นโค้งจะมีความโด่งมาก หรือค่อนข้างสูง
 ค่ำมำตรฐำน คือ ค่าวัดตาแหน่งของข้อมูล บอกให้ทราบว่า ความแตกต่างระหว่างค่าของข้อมูลนั้น ๆ กับ
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนั้น เป็นกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
x x
z
s


z คือ ค่ามาตรฐาน
x คือ ค่าของข้อมูล
x คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
s คือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ข้อสังเกตเกี่ยวกับค่ามาตรฐาน
1.
1
0
n
i
i
z


2. 0z 
3. 2
1
n
i
i
z n


4. 1zs 
5. 3 3z   สาหรับข้อมูลที่มีการแจกแจงแบบปกติ
 เส้นโค้งปกติ
โดยทั่วไปแล้ว ประเด็นหลัก ๆ ของวิชาสถิติ จะพิจารณา 3 เรื่อง ด้วยกัน คือ
1. ค่ากลางของข้อมูล
2. การกระจายของข้อมูล
3. ลักษณะการแจกแจงของข้อมูล
เส้นโค้งของความถี่ที่มักพบเสมอ ๆ จะมีรูปเป็นระฆัง เรียกว่า เส้นโค้งปกติ ซึ่งการแจกแจงความถี่
ข้อมูลกระจายน้อย
ข้อมูลกระจายมาก

110. www.tutorferry.com T. 0998230343
110
ของข้อมูลในลักษณะนี้ เรียกว่า การแจกแจงปกติ
ลักษณะของเส้นโค้งปกติ
จะขึ้นอยู่กับค่าเฉลี่ยเลขคณิต (x ) และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( s ) ถ้ามีเส้นโค้งปกติ 2 รูปนามา
เปรียบเทียบกัน จะได้ว่า
1. x และ S เท่ากัน เส้นโค้งปกติจะซ้อนทับกัน
1 2,x x
2. x เท่ากัน แต่ S ต่างกัน เส้นโค้งปกติจะมีแกนสมมาตรเดียวกัน เส้นโค้งที่มี S มากกว่า
จะเตี้ยกว่า
1 2,x x
3. x ต่างกัน แต่ S เท่ากัน ลักษณะของเส้นโค้งปกติจะเหมือนกัน แต่ตั้งอยู่บนตาแหน่งที่
ต่างกัน เส้นโค้งปกติที่มี x มากกว่า จะอยู่ด้านขวา
4. x และ S ต่างกัน
S2
S1
1 2x x
1 2s s
S2
S1

111. www.tutorferry.com T. 0998230343
111
สมบัติของเส้นโค้งปกติ
1. x = Me = Mo และอยู่ตรงจุดยอดของเส้นโค้ง
2. เส้นโค้งมีเส้นตั้งฉากกับแกนนอนที่ลากผ่าน x เป็นแกนสมมาตร
3. เส้นโค้งจะเข้าใกล้แกนนอน เมื่อห่างจาก x ออกไป แต่จะไม่ตัดแกนนอน
4. พื้นที่ใต้เส้นโค้ง เท่ากับ 1
5. พื้นที่อยู่เหนือค่าใดค่าหนึ่งของ x เท่ากับ 0
 เส้นโค้งปกติมำตรฐำน
การหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติซึ่งอยู่ระหว่างข้อมูล 2 ค่าใด ๆ เช่น x1 กับ x2 ทาได้โดยวิธีการของ
แคลคูลัส
1x x 2x
เนื่องจากเส้นโค้งปกติแต่ละเส้นจะมี x และ S ที่แตกต่างกัน ดังนั้นจึงใช้วิธีแปลงค่าของข้อมูล ( x )
ให้เป็นค่ามาตรฐาน ( z )
x x
z
s


ซึ่งเมื่อนาค่ามาตรฐานแต่ละค่ามาเขียนเป็นเส้นโค้งของความถี่จะได้เส้นโค้งปกติเช่นเดียวกัน
x z
จากบทพิสูจน์ในเรื่องค่ามาตรฐานจะพบว่า z = 0 และ sz = 1 ดังนั้นเส้นโค้งปกติที่ค่าเฉลี่ย
เลขคณิตเท่ากับ 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 1 เรียกว่า เส้นโค้งปกติมาตรฐาน
พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง x1 และ x2 จะเท่ากับพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานระหว่าง
z1 และ z2 เมื่อ 1
1
x x
z
s


และ 2
2
x x
z
s


แปลงค่าของข้อมูลเป็นค่ามาตรฐาน

112. www.tutorferry.com T. 0998230343
112
ในการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน จะใช้ตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน
การหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน
1. 0 < Z < 1
จากตาราง พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง Z=0
ถึง Z = 1.00 เท่ากับ 0.3413
2. -1 < Z < 0
ในตารางไม่มีค่า Z ที่เป็นลบ แต่เส้นที่ตั้งฉากกับ
แกนนอน และผ่าน Z = 0 เป็นแกนสมมาตร ดังนั้น
พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติของ 0 < Z < 1 เท่ากับ
-1 < Z < 0
 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ ระหว่าง Z = -1.00 ถึง
Z =0 เท่ากับ 0.3413
3. Z < -0.5
เนื่องจากพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ = 1 และมีแกน
สมมาตรผ่านจุด Z = 0 ดังนั้นพื้นที่ทางขวาและซ้าย
ของ Z=0 มีค่าเท่ากันคือ 0.5
 Z < 0 มีพื้นที่ 0.5
-0.5 < Z < 0 มีพื้นที่เท่ากับ 0 < Z < 0.5
ดังนั้น -0.5 < Z < 0 มีพื้นที่ 0.1915
จะได้ว่า Z < -0.5 มีพื้นที่ 0.5-0.1915 = 0.3085
4. Z < 2.22
Z< 0 มีพื้นที่ 0.5
0 < Z < 2.22 มีพื้นที่ 0.4868
 Z < 2.22 มีพื้นที่ 0.5+0.4868 = 0.9868
0 1
0-1
0-0.5
0 2.22

113. www.tutorferry.com T. 0998230343
113
5. Z > -0.5
Z > 0 มีพื้นที่ 0.5
-0.5 < Z < 0 มีพื้นที่ 0.1915
 Z >-0.5 มีพื้นที่ 0.5+0.1915 = 0.6915
6. Z > 2.22
Z > 0 มีพื้นที่ 0.5
0 < Z < 2.22 มีพื้นที่ 0.4868
 Z > 2.22 มีพื้นที่ 0.5-0.4868 = 0.0132
7. -2.34 < Z < -1.23
-2.34 < Z < 0 มีพื้นที่ 0.4904
-1.23 < Z < 0 มีพื้นที่ 0.3907
 -2.34< Z< 1.23 มีพื้นที่ 0.4904-0.3907 = 0.0997
8. 0.12 < Z < 2.46
0 < Z < 2.46 มีพื้นที่ 0.4931
0< Z < 1.12 มีพื้นที่ 0.0478
 0.12 < Z< 2.46 มีพื้นที่ 0.4931-0.0478 = 0.4453
9. -1.35 < Z < 1.11
-1.35 < Z < 0 มีพื้นที่ 0.4115
0 < Z < 1.11 มีพื้นที่ 0.3665
 -1.35 < Z < 1.11 มีพื้นที่ 0.4115 + 0.3665 = 0.7780
ข้อสังเกต
1. พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ x s มีค่าประมาณ 68.27%
2. พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ 2x s มีค่าประมาณ 95.45%
3. พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ 3x s มีค่าประมาณ 99.73%
00.5
0-2.34 -1.23
0 0.12 2.46
0-1.35 1.11
0 2.22

114. www.tutorferry.com T. 0998230343
114
 ควำมสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่ำงข้อมูล
การวิเคราะห์ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล
ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูลที่ประกอบด้วยตัวแปร 2 ตัว แบ่งเป็น 2 กลุ่ม คือ
1. ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่กราฟเป็นเส้นตรง มีสมการทั่วไป คือ
y = a + bx
2. ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่กราฟไม่เป็นเส้นตรง
2.1 ความสัมพันธ์ที่มีกราฟเป็นรูปพาราโบลา มีสมการทั่วไป คือ
y = a + bx + cx2
2.2 ความสัมพันธ์ที่มีกราฟเป็นรูปเอกซ์โพเนนเชียล มีสมการทั่วไป คือ
y = abx
แผนภาพการกระจาย จะแสดงแนวโน้มของความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างตัวแปรอิสระ ( x ) และ
ตัวแปรตาม ( y ) ในรูปแบบของกราฟ 2 แบบ หลัก ๆ คือ
1. แบบที่ 1 แบบเป็นเส้นตรง ซึ่งมี 2 กรณี คือ
1.1 มีแนวโน้มทางบวก หมายถึง ค่า x เพิ่มขึ้น , ค่า y เพิ่มขึ้น
1.2 มีแนวโน้มทางลบ หมายถึง ค่า x เพิ่มขึ้น , ค่า y ลดลง
2. แบบที่ 2 แบบไม่เป็นเส้นตรง อาจมีแนวโน้มทางบวก หรือแนวโน้มทางลบ หรืออาจมีแนวโน้ม
ทั้งทางบวกและทางลบในกราฟเดียวกัน
ข้อสังเกต เมื่อพิจารณาแนวโน้มทั้งทางบวก หรือทางลบแล้ว ควรพิจารณาความแรงของความสัมพันธ์
ซึ่งแบ่งเป็น 3 ระดับ คือ มาก ปานกลาง น้อย ถ้าจุดต่าง ๆ หรือกลุ่มของจุดอยู่ใกล้รอบ ๆ เส้นที่
คาดไว้ แสดงว่ามีความสัมพันธ์มาก แต่ถ้ากลุ่มของจุดกระจายห่างจากเส้นที่คาดไว้ แสดงว่ามี
ความสัมพันธ์ปานกลาง หรือน้อย และอาจจะไม่มีความสัมพันธ์กันเลย ถ้าการกระจายปราศจากรูป
แบบแนวโน้มใด ๆ โดยมีลักษณะการกระจายเต็มทุกทิศทุกทาง
 กำรประมำณค่ำของค่ำคงตัวโดยใช้วิธีกำลังสองน้อยสุด จะได้สมการซึ่งเรียกว่า สมการปกติ โดยมี
จานวนสมการเท่ากับจานวนค่าคงตัว ที่ต้องการหา ดังนี้คือ
1. สมการเส้นตรง มีรูปสมการทั่วไป คือ y = a + bx
มีค่าคงตัวคือ a และ b จะมีสมการปกติ 2 สมการ คือ
1 1
n n
i i
i i
y an b x
 
   …….(1)
2
1 1 1
n n n
i i i i
i i i
x y a x b x
  
    …….(2)

115. www.tutorferry.com T. 0998230343
115
2. สมการพาราโบลา มีรูปสมการทั่วไป คือ y = a + bx + cx2
มีค่าคงตัว คือ a , b และ c จะมีสมการปกติ 3 สมการ คือ
2
1 1 1
n n n
i i i
i i i
y an b x c x
  
     .......(1)
2 3
1 1 1 1
n n n n
i i i i i
i i i i
x y a x b x c x
   
      .......(2)
2 2 3 4
1 1 1 1
n n n n
i i i i i
i i i i
x y a x b x c x
   
      .......(3)
3. สมการเอกซ์โพเนนเชียล มีรูปสมการทั่วไป คือ y = abx
หรือ log y = log a + x log b
มีค่าคงตัว คือ a และ b จะมีสมการปกติ 2 สมการ คือ
1 1
log log (log )
n n
i i
i i
y n a b x
 
   ......(1)
2
1 1 1
log (log ) (log )
n n n
i i i i
i i i
x y a x b x
  
    ......(2)
ขั้นตอนการสร้างความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล
1. รวบรวมข้อมูลเชิงปริมาณที่ประกอบด้วยตัวแปร 2 ตัว โดยมีชุดของข้อมูลตั้งแต่ 8 ชุด ขึ้นไป
2. เขียนแผนภาพการกระจาย โดยแทนค่าของข้อมูลที่เป็นตัวแปรอิสระในแกน X และตัวแปรตามใน
แกน Y
3. พิจารณาว่าเป็นความสัมพันธ์แบบใด โดยเขียนกราฟแทนความสัมพันธ์ระหว่าง x และ y
4. สร้างสมการปกติ ตามจานวนค่าคงตัว
5. แทนค่าของข้อมูลในสมการปกติ
6. แก้สมการหาค่าคงตัว
7. ประมาณค่าตามเงื่อนไข
ข้อสังเกต ถ้าต้องการประมาณค่าหรือพยากรณ์ค่าของตัวแปรใด ต้องกาหนดให้ตัวแปรนั้นเป็นตัวแปร
ตาม และอีกตัวแปรหนึ่งเป็นตัวแปรอิสระ
ข้อสรุปกำรวิเครำะห์ควำมสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่ำงข้อมูล
1. การพยากรณ์ค่าของ y โดยใช้ค่าของ x ที่สนใจนั้นมี 2 ลักษณะ
1.1 ค่าของ x อยู่ในพิสัยของตัวแปร x ( หมายถึง อยู่ระหว่าง xmin และ xmax ) จะเรียกว่า
การพยากรณ์ในช่วง
1.2 ค่าของ x อยู่นอกพิสัยของตัวแปร x ( หมายถึง มีค่ามากกว่า xmax หรือ น้อยกว่า xmin )
จะเรียกว่า การพยากรณ์นอกช่วง ซึ่งจะมีความคลาดเคลื่อนมากกว่าข้อ 1.1
2. ตัวแปรอิสระ x เรียกอีกชื่อหนึ่งว่า ตัวแปรอธิบาย หรือตัวแปรพยากรณ์
3. ตัวแปรตาม y เรียกอีกชื่อหนึ่งว่า ตัวแปรตอบสนอง

116. www.tutorferry.com T. 0998230343
116
 ควำมสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของข้อมูลที่อยู่ในรูปอนุกรมเวลำ
ข้อมูลที่อยู่ในรูปอนุกรมเวลา เป็นข้อมูลที่แสดงการเปลี่ยนแปลงตามลาดับก่อนหลัง ตาม
ระยะเวลาหรือช่วงเวลาที่ข้อมูลนั้นเกิดขึ้น ซึ่งโดยปกติมักเกิดขึ้นในช่วงเวลาที่เท่า ๆ กัน เช่น รายได้
เฉลี่ยในวันแต่ละเดือน ภาษีที่เก็บได้ในแต่ละปี อุณหภูมิเฉลี่ยในแต่ละวัน ข้อมูลเหล่านี้ขึ้นอยู่กับเวลา
ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล เขียนได้เป็น
y = f (t)
เมื่อ t คือ ช่วงเวลาเป็นตัวแปรอิสระ
y คือ เป็นตัวแปรตาม
ขั้นตอนในการสร้างความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล มีหลักเกณฑ์ ดังนี้คือ
1. ถ้าช่วงเวลาเป็นจานวนคี่ จะกาหนดช่วงเวลาที่อยู่ตรงกลางเป็น 0 ช่วงเวลาก่อนหน้านั้นกาหนดเป็น
-1 , -2 , -3 , ... และช่วงเวลาหลังจากนั้นกาหนดเป็น 1 , 2 , 3 , ... ตามลาดับ
2. ถ้าช่วงเวลาเป็นจานวนคู่ จะกาหนด 2 ช่วงเวลาที่อยู่ตรงกลางเป็น -1 และ 1 ช่วงเวลาก่อนหน้านั้น
กาหนดเป็น -3 , -5 , -7 , ... และช่วงเวลาหลังจากนั้นกาหนดเป็น 3 , 5 , 7 , ... ตามลาดับ
3. ในการหาค่าคงตัวของความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน y = f (t) ที่อยู่ในรูปอนุกรมเวลา จะมีขั้นตอน
เหมือนกับการหาค่าคงตัว โดยวิธีกาลังสองน้อยสุด เช่นกัน
ข้อสังเกต การกาหนดช่วงเวลาในข้อ 1 และ 2 ก็เพื่อให้การคานวณหาค่าคงตัวทาได้สะดวกและ
รวดเร็วขึ้น เพราะผลรวมของทุก ๆ ค่าของ t จะเท่ากับ 0 ส่วนการพยากรณ์ค่าของตัวแปรตาม ( y )
จะต้องเปลี่ยนช่วงเวลาให้อยู่ในรูปของค่า t ที่กาหนดให้โดยวิธีดังกล่าวด้วย
