แบบฝึกทักษะเรื่อง จำนวนเชิงซ้อน ชั้น ม.5 ครูฉัตรชัย ศรีนัครินทร์

1. 1
คำำแนะนำำในกำรใช้แบบฝึกทักษะ
แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ชุดนี้ ใช้ประกอบการจัด
กิจกรรมการเรียนรู้
รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม٤ รหัสวิชา ค٤٠٢٠٤ ชั้น
มัธยมศึกษาปีที่ ٥
เรื่อง จำานวนเชิงซ้อน ซึงภายในเล่มนี้ประกอบด้วย จุด
่
ประสงค์การเรียนรู้ แบบทดสอบก่อนเรียน ใบความรู้ แบบ
ฝึกทักษะ และแบบทดสอบหลังเรียน
ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนเกิดประโยชน์สูงสุด
นักเรียนควรปฏิบัติดังนี้
1. ทำาแบบทดสอบก่อนเรียน ใช้เวลา ตามที่ระบุใน
แบบทดสอบ
2. ศึกษาใบความรู้ เริ่มจากการศึกษาเนื้อหา
ตัวอย่าง
3. ทำาแบบฝึกทักษะ
4. ตรวจคำาตอบจากเฉลยท้ายเล่ม
5. เมื่อทำาแบบฝึกทักษะเสร็จแล้ว จึงทำาแบบทดสอบ
หลังเรียนแล้วตรวจจากเฉลยท้ายเล่ม
٦. นักเรียนควรมีความซื่อสัตย์ ไม่เปิดดูเฉลยก่อน
ในการทำาแบบทดสอบ
และแบบฝึกทักษะ

2. 2
จุดประสงค์กำรเรียนรู้
١. นักเรียนสามารถบอกได้ว่าจำานวนใดเป็น
จำานวนเชิงซ้อน
٢. นักเรียนสามารถหาส่วนจริงและส่วนจินตภาพของ
จำานวนเชิงซ้อนได้
٣. นักเรียนสามารถระบุได้ว่าจำานวนเชิงซ้อนใดบ้างที่
เท่ากัน

3. 3

4. 4
แบบทดสอบก่อนเรียน
เรื่อง จำำนวนเชิงซ้อน
คำำชี้แจง ١. แบบทดสอบชุดนี้มี จำานวน ١٠ ข้อ
ใช้เวลา ١٠ นาที
٢. ให้นักเรียนเลือกคำาตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียง
ข้อเดียว แล้วทำาเครื่องหมาย
กากบาท () ทับหน้าข้อ ก, ข, ค,
หรือ ง ลงในกระดาษคำาตอบ
١.สมการในข้อใดที่ไม่มีคำาตอบในระบบ
จำานวนจริง
ก. x 2 − 2x + 1 = 0 ข.
x + 2x + 1 = 0
2
ค. x2 + 1 = 0 ง.
x −1= 0
2
٢.ข้อใดแทนจำานวนเชิงซ้อน
ก. {1,2} ข.
{1,2,3}
ค. (1,2) ง.
(1,2,3)
٣.กำาหนดจำานวนเชิงซ้อน z = ( −2, −5) ข้อใด
ผิด
ก. 2 Re(z) = −4 ข.
1
(Im(z)) = −1
5
ค. Re(z) − Im(z) = 3 ง.
Im(z) − Re(z) = −7
1 3
٤.กำาหนดจำานวนเชิงซ้อน z1 =  , 
 2 2
และ

5. 5
1 2
z2 =  , 
 3 3
ข้อใดถูก
ก. 6 Re(z 1 ) + Im(z 2 ) = 7
  ข.
6 Im(z1 ) + Re(z 2 ) = −7
 
ค. 6 Re(z 1 ) − Im(z 2 ) = 7
  ง.
6 Im(z1 ) − Re(z 2 ) = −7
 
٥.จำานวนใดต่อไปนี้เป็นจำานวนจินตภำพแท้
ก. (1,0) ข.
(1,2)
ค. ( −2,−2) ง.
( 0,2)
٦.กำาหนดให้ ( 4,2) = ( 2a,2) แล้ว a เท่ากับข้อใด
ก. 4 ข.
1
2
ค. 2 ง.
1
4
x 
٧.กำาหนดให้  ,4  = ( 2,4y ) ข้อใดถูกต้อง
3 
ก. x+y = 5 ข. x−y = 5
ค. y−x=5 ง. 2x − y = 5
٨.กำาหนดให้ ( x − y , x + y ) = (2,6) ข้อใดคือ 2x + y
ก. 8 ข.
10
ค. 12 ง.
14
9.กำาหนดให้ ( 3x, y − x ) = (6,0) ข้อใดคือ x + y
ก. 2 ข.

6. 6
3
ค. 4 ง.
5
10.ข้อใดคือจำำนวนจริง
ก. (0,0) ข. ( 2,−4)
1 
ค.  ,4 
2 
ง. (0,−8)
ใบควำมรู้ที่ ١
จำำนวนเชิงซ้อน
ในระบบจำานวนจริง สมการบางสมการ เช่น x + 1 = 0
2
ไม่มีคำาตอบ
ของสมการเพราะกำาลังสองของจำานวนจริงใดๆ จะมีค่า
มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ เพื่อให้หาคำาตอบของสมการ
พหุนามทุกสมการได้เสมอ จึงต้องศึกษาวิธีการสร้างระบบ
จำานวนชนิดใหม่และเรียกจำานวนในระบบที่สร้างขึ้นใหม่นี้ว่า
จำานวนเชิงซ้อน
(Complex Numbers) ซึ่งนอกจากจะแก้ปัญหาในเรื่องการมี
คำาตอบของสมการพหุนามใดๆ แล้ว ยังสามารถนำาไป
ประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวางกับสาขาต่างๆ ทางด้าน
วิทยาศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์ เช่น วงจรอิเล็กทรอนิกส์
กลศาสตร์ของไหล ทฤษฎีคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า เป็นต้น
บทนิยำม จำานวนเชิงซ้อน คือ จำานวนที่เขียนใน
รูปของคู่อันดับ (a, b)

7. 7
โดยที่ a และ b เป็นจำานวนจริงใดๆ
จำานวนจริง a เรียกว่า ส่วนจริง (Real
part)
จำานวนจริง b เรียกว่า ส่วนจินตภาพ
(Imaginary part)
หมำยเหตุ 1. นิยมใช้ £ แทน เซตของจำานวนเชิงซ้อน
ดังนั้น £ = { (a, b) a ∈ ¡ ,b ∈ ¡ } โดยที่ ¡ เป็น
เซตของจำานวนจริง
٢. ถ้าให้ z = (a,b) เป็นจำานวนเชิงซ้อน แล้ว ส่วน
จริงและส่วนจินตภาพ
ของ z จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
ดังนี้
a = Re(z) หรือ a = Re(a, b )
b = Im(z) หรือ b = Im(a, b )
٣. ถ้าให้ z = (a,b)
٣.١ ถ้า b = 0 แล้ว เรียก z ว่า จำานวนจริง
٣.٢ ถ้า b ≠ 0 แล้ว เรียก z ว่า
จำานวนจินตภาพ
٣.٣ ถ้า a = 0 และ b ≠ 0 แล้ว เรียก z ว่า
จำานวนจินตภาพแท้
ตัวอย่ำงที่ ١ กำาหนดจำานวนเชิงซ้อน z = (1, 2)
1
จะได้ ส่วนจริง คือ ١ แทนด้วย
Re(1,2) = 1
ส่วนจินตภาพ คือ ٢ แทนด้วย
Im(1,2) = 2
กำาหนดจำานวนเชิงซ้อน
 2 3
z2 =  , − 
5 5
2
จะได้ ส่วนจริง คือ 5 แทนด้วย
2
Re(z) =
5

8. 8
3
ส่วนจินตภาพ คือ −
5
แทนด้วย
3
Im(z) = −
5
กำรเท่ำกันของจำำนวนเชิงซ้อน
บทนิยำม จำานวนเชิงซ้อน (a, b) และ (c, d) จะเท่ากันก็ต่อ
เมื่อ ส่วนจริงเท่ากัน และ
ส่วนจินตภาพเท่ากัน นั่นคือ
(a, b ) = (c, d ) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d
ตัวอย่ำงที่ ٢ กำาหนดให้ (a,4) = ( 2, b ) จง
หา a และ b
วิธีทำำ
เนื่องจาก (a,4) = ( 2, b )
จะได้ว่า a=2
และ b=4
ตัวอย่ำงที่ ٣ กำาหนดให้
( 2x,4y ) = (8,−8) จงหา x+y
วิธีทำำ เนื่องจาก ( 2x,4y ) = (8,−8)
จะได้ว่า 2x = 8
และ 4y = −8
x=4 และ y = −2
ดังนั้น
x + y = 4 + ( −2) = 2
แบบฝึกทักษะที่ 1

9. 9
เรื่อง จำำนวนเชิงซ้อน
คำำชี้แจง จงเติมค่าของ Re(z) และ Im(z) ในช่องว่างให้
สมบูรณ์
z Re(z) Im(z)
(2, 3)
( − 5, 5)
 1 3
 2 ,− 2 
 
( −4, 0)
(0, 3)
คำำชี้แจง จงเติมค่าของ a และ b ในช่องว่างให้สมบูรณ์
١. (5a,−2) = (−10,4b)
a = ................................................ และ b=
...........................................................
٢. (2a, b) = (10,2a)
a = ................................................ และ b=
...........................................................
٣. (2a,−3b) = (4,6)
a = ................................................ และ b=
...........................................................
٤. (a + b,2ab) = (5,−12)
a = ................................................ และ b=
...........................................................
٥. (3a, a − b) = (2,1)

10. 10
a = ................................................ และ b=
...........................................................

11. 11
เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 1
เรื่อง จำำนวนเชิงซ้อน
คำำชี้แจง จงเติมค่าของ Re(z) และ Im(z) ในช่องว่างให้
สมบูรณ์
z Re(z) Im(z)
(2, 3) 2 2
( − 5, 5)
− 5 5
 1 3
 2 ,− 2  1
−
3
 
2 2
( −4, 0)
−4 0
(0, 3) 0 3
คำำชี้แจง จงเติมค่าของ a และ b ในช่องว่างให้สมบูรณ์
١. (5a,−2) = (−10,4b)
a = .................... −2 ......................... และ b=
1
........................... − 2 .........................
٢. (2a, b) = (10,2a)
a = ..................... 5 ......................... และ b=
............................. 5 ...........................
٣. (2a,−3b) = (4,6)
a = ...................... 2 ......................... และ b=
.......................... −2 ..........................
٤. (a + b, a − b) = (5,1)
a = ....................... 3 ........................ และ b=
............................ 2 ...........................
٥. (3a, a − b) = (2,1)

12. 12
2
a = .................... ....................... และ b =
3
1
............................ − 3 ..........................

13. 13
แบบทดสอบหลังเรียน
เรื่อง จำำนวนเชิงซ้อน
คำำชี้แจง ١. แบบทดสอบชุดนี้มี จำานวน ١٠ ข้อ ใช้
เวลา ١٠ นาที
٢. ให้นักเรียนเลือกคำาตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียง
ข้อเดียว แล้วทำาเครื่องหมาย
กากบาท () ทับหน้าข้อ ก, ข, ค,
หรือ ง ลงในกระดาษคำาตอบ
١.จำานวนใดต่อไปนี้เป็นจำานวนจินตภำพแท้
ก. (1,0) ข.
(1,2)
ค. ( −2,−2) ง.
(0,2)
٢.ข้อใดแทนจำานวนเชิงซ้อน
ก. {1,2} ข.
{1,2,3}
ค. (1,2) ง.
(1,2,3)
٣.สมการในข้อใดที่ไม่มีคำาตอบในระบบ
จำานวนจริง
ก. x 2 − 2x + 1 = 0 ข.
x + 2x + 1 = 0
2
ค. x2 + 1 = 0 ง.
x −1 = 0
2
1 3
٤.กำาหนดจำานวนเชิงซ้อน z1 =  , 
 2 2
และ
1 2
z2 =  , 
 3 3
ข้อใดถูก

14. 14
ก. 6 Re(z 1 ) + Im(z 2 ) = 7
  ข.
6 Im(z1 ) + Re(z 2 ) = −7
 
ค. 6 Re(z 1 ) − Im(z 2 ) = 7
  ง.
6 Im(z1 ) − Re(z 2 ) = −7
 
٥.กำาหนดจำานวนเชิงซ้อน z = ( −2, −5) ข้อใด
ผิด
ก. 2 Re(z) = −4 ข.
1
(Im(z)) = −1
5
ค. Re(z) − Im(z) = 3 ง.
Im(z) − Re(z) = −7
٦.กำาหนดให้ ( 4,2) = ( 2a,2) แล้ว a เท่ากับข้อใด
1
ก. ٤ ข. 2
ค. ٢ ง.
1
4
7.ข้อใดคือจำำนวนจริง
ก. (0,0) ข. ( 2,−4)
1 
ค.  ,4 
2 
ง. (0,−8)
x 
٨.กำาหนดให้  ,4  = ( 2,4y ) ข้อใดถูกต้อง
3 
ก. x+y = 5 ข. x−y = 5
ค. y−x=5 ง.
2x − y = 5
9.กำาหนดให้ ( 3x, y − x ) = (6,0) ข้อใดคือ x + y
ก. 2 ข.
3

15. 15
ค. 4 ง.
5
١٠.กำาหนดให้ ( x − y , x + y ) = (2,6) ข้อใดคือ 2x + y
ก. ٨ ข. ١
٠
ค. ١٢ ง. ١
٤3

16. 16
เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน
เรื่อง จำำนวนเชิงซ้อน
ข้อ ข้อ
١ ค ٦ ค
٢ ค ٧ ข
٣ ง ٨ ข
٤ ก ٩ ค
٥ ง ١٠ ก

17. 17
เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน
เรื่อง จำำนวนเชิงซ้อน
ข้อ ข้อ
١ ง ٦ ค
٢ ค ٧ ก
٣ ค ٨ ข
٤ ก ٩ ค
٥ ง ١٠ ข

18. 18
บรรณำนุกรม
กนกวลี อุษณกรกุล. แบบฝึกหัดคณิตศำสตร์เพิ่มเติม
มัธยมศึกษำปีที่ ٥ เล่ม ٢. กรุงเทพฯ :
เดอะบุคส์, ٢٥٥٠.
กรมวิชาการ. คู่มือกำรจัดกำรเรียนรู้กลุ่มสำระกำรเรียนรู้
คณิตศำสตร์. กรุงเทพฯ :
โรงพิมพ์องค์การรับส่งสินค้าและพัสดุภัณฑ์, 2545
ข.
กระทรวงศึกษาธิการ. กำรจัดสำระกำรเรียนรู้กลุ่มสำระกำร
เรียนรู้คณิตศำสตร์
ตำมหลักสูตรกำรศึกษำขั้นพื้นฐำน พุทธศักรำช
2544. กรุงเทพฯ :
โรงพิมพ์องค์การรับส่งสินค้าและพัสดุภัณฑ์, 2546.
จักรินทร์ วรรณโพธิ์กลาง. คู่มือสำระกำรเรียนรู้เพิ่มเติม
คณิตศำสตร์ ม. 5 เล่ม 2. กรุงเทพฯ :
พ.ศ. พัฒนา, 2547.
ทรงวิทย์ สุวรรณธาดา. หนังสือเรียนเสริมมำตรฐำนแม็ค
คณิตศำสตร์เพิ่มเติม
มัธยมศึกษำปีที่ 5 ภำคเรียนที่ 2 . กรุงเทพฯ :
สำานักพิมพ์แม็ค จำากัด, 2547.
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวง
ศึกษาธิการ.
หนังสือเรียนสำระกำรเรียนรู้เพิ่มเติม
คณิตศำสตร์ เล่ม 2. กรุงเทพฯ :
โรงพิมพ์คุรุสภาลาดพร้าว, 2547.