This document discusses water quality parameters including pH levels, dissolved oxygen, total solids, fecal coliforms, and turbidity. It defines two categories - A and B - for classifying water based on the measured levels of these parameters, with Category A having lower acceptable levels than Category B. The document provides a link to a blog post with more details on water quality guidelines.
This document contains a list of various URLs and web links on different topics including: project approaches, e-learning, Linux, word processors, physics equations, astronomy, computer science topics like computer generated holograms, shopping applications using barcodes, robotic locomotion, mobile applications, electronics connectors, and game development. Many of the links are broken and no longer function or the websites no longer exist. The document seems to be collecting various online references and resources but without much organization or context around the various topics.
This document contains a list of various URLs and web links on different topics including: e-learning, online courses, Linux, word processors, physics formulas, astronomy, computer science, shopping applications, barcode scanning, robotics, and game development. Many of the links are broken or outdated. The document seems to be collecting various online references but lacks context or overall organization.
This document contains a list of various URLs and web links on different topics including:
1. Websites related to e-learning projects, course design, and learning management systems
2. Links to blogs and websites about word processors, physics equations, and astronomy
3. Links to pages about holograms, laser interference patterns, and shopping applications using barcodes.
1. This document contains water quality test results from 5 sampling periods including measurements for temperature, color, turbidity, odor, taste, conductivity, pH, dissolved oxygen, biochemical oxygen demand, and chemical oxygen demand.
2. Treatment methods are described including pretreatment, secondary treatment using activated sludge, and advanced treatment to remove 75% of contaminants.
3. The results of the 7 water quality experiments are presented including measurements before and after each stage of treatment and comparisons to standards.
1. This document appears to contain water quality test results from multiple samples taken on different dates. It includes measurements for temperature, color, turbidity, odor, taste, conductivity, pH, dissolved oxygen, biochemical oxygen demand, and chemical oxygen demand.
2. The document also describes several water treatment processes including pretreatment, secondary treatment, and advanced treatment. It notes that advanced treatment can achieve 75% removal of certain contaminants.
3. The tables and charts in the document show results from water samples taken at various depths and locations, along with pH levels before and after certain water treatment stages.
2. 2
คำานวณหาพื้นที่รูปทรงประหลาดๆ ที่สนใจก็แบ่งพื้นที่ให้เป็นรูปง่าย ๆ
เช่น รูป 3 เหลี่ยม 4 เหลี่ยม โดยเริ่มจากการใช้รูปง่าย ๆ ใส่ลงไปใน
พื้นที่ที่ต้องการหาและซอยย่อยลงไปเรื่อย ๆ ดังนั้นผลรวมก็จะได้ใกล้
เคียงกับพื้นที่ที่ต้องการ
นี่คือเทคนิคการอินทิเกรตโดยใช้ภาพของนักคณิตศาสตร์กรีก
โบราณนั่นเอง นักคณิตศาสตร์ชาวเอเชียก็มีผู้คิด"ปฐมแคลคูลัส"ไว้คือคน
จีนกับคนญี่ปุ่น นักคณิตศาสตร์ญี่ปุ่นคำานวนหาพื้นที่วงกลม โดยแบ่งเป็น
แถบ 4 เหลี่ยมย่อย ๆ
จวบจนถึงคริต์ศตวรรษที่ 14 จึงมีคำาถามประเภทว่าวัตถุเคลื่อนที่
ด้วยอัตราเร็วไม่คงที่จะหาระยะทางที่วิ่งไปได้อย่างไร แต่แคลคูลัสสมัย
ใหม่ต้องรอเวลานานกว่าจะถือกำาเนิดขึ้นได้ เพราะแคลคูลัส จำาเป็นต้องใช้
แนวคิดจากคณิตศาสตร์สาขาอื่นๆหลายวิชานำามาก่อน เช่น ฟังก์ชั่น
พีชคณิตสัญลักษณ์ และเรขาคณิตวิเคราะห์
แนวคิดเรื่องฟังก์ชันนี้มาสุกงอมตอนที่กาลิเลโอมาศึกษาเรื่องการ
เคลื่อนที่ส่วนสองเรื่องหลังคือ พีชคณิตสัญลักษณ์ และเรขาคณิตวิเคราะห์
เป็นฝีมือของเดอคาร์ตส์ยอดนักคณิตศาสตร์ที่คิดแกนอ้างอิงแบบคาร์ที
เชียนให้เราใช้กันจนถึงเดี๋ยวนี้นี่เอง
ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน
-ลิมิตของฟังก์ชัน
y = f(x) ที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซต
ของจำานวนจริง ขณะที่ x เข้าใกล้
จำานวนจริงใด ๆ เพียงจำานวนเดียวเท่านั้น
ความหมายของการที่ x เข้าใกล้จำานวนจริง a ใด ๆ ดังรูป
x a x
เมื่อ x เข้าใกล้ a โดยที่ x < a หมายความว่า x เข้าใกล้ a ทางด้านซ้าย
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ x a ฟังก์ชัน f ใด ๆ ที่มีโดเมนและเรนจ์
3. 3
เป็นสับเซต
ของเซตจำานวนจริง เมื่อ x เข้าใกล้ a ทางด้านซ้าย แล้ว f(x) เข้าใกล้
จำานวนจริง
เรียก ว่า ลิมิตซ้ายของ f ที่ a เขียนแทนได้ว่า f(x) =
เมื่อ x เข้าใกล้ a โดยที่ x> a หมายความว่า x เข้าใกล้ a ทางด้านขวา
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ x a ฟังก์ชัน f ใด ๆ ที่มีโดเมนและเรนจ์
เป็นสับเซต
ของเซตจำานวนจริง เมื่อ x เข้าใกล้ a ทางด้านขวา แล้ว f(x) เข้าใกล้
จำานวนจริง
เรียก ว่า ลิมิตซ้ายของ f ที่ a เขียนแทนได้ว่า f(x) =
เมื่อ x เข้าใกล้ a ไม่ว่าจะทางด้านซ้ายหรือด้านขวา แล้ว
ค่าของ f(x)เข้าใกล้จำานวนจริง L เขียนแทนได้ว่า f(x) =
L
ลิมิตข้างเดียว (One - side limit)
10. 10
การหาอนุพันธ์ของ์ฟังก์ชันพีชคณิต
(Differentiation Algebraic Function)
ฟังก์ชันพีชคณิต (Algebraic Function)
หมายถึงฟังก์ชันลักษณะ
y =
เมื่อ n เป็นจำานวนจริง
กฎข้อที่ 1 เมื่อ y = c เมื่อ c เป็นตัวคงที่ จะได้ว่า = 0
กฎข้อที่ 2 เมื่อ y = x จะได้ว่า
กฎข้อที่ 3 เมื่อ y = c f (x) และ c เป็นตัวคงที่ จะได้ว่า
กฎข้อที่ 4 เมื่อ u,v,w เป็นฟังก์ชันของ x
จะได้ว่า
กฎข้อที่ 5 เมื่อ y เป็นฟังก์ชันของ เมื่อ n เป็นจำานวนตรรภยะ
จะได้ว่า =
กฎข้อที่ 6 อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน
ถ้า y = f (x) g(x) เมื่อ f (x) และ g(x) เป็นฟังก์ชันที่สามารถ
หา
f '(x) และ g '(x) ได้ แล้ว = f (x) g '(x) + f '(x) g(x)
11. 11
กฎข้อที่ 7 อนุพันธ์ของผลหารของฟังก์ชัน
ถ้า y = โดยที่ f(x) และ g(x) เป็นฟังก์ชันที่สามารถหา
f '(x) และ g '(x) ได้ และ g(x) 0 แล้ว
=
กฎข้อที่ 8 กฎลูกโซ่ (chain rule )
ถ้า y = f เมื่อ n เป็นจำานวนตรรภยะ และ
f(x) เป็นฟังก์ชันที่สามารถหา f '(x) ได้ แล้ว
= n f '(x)
ตัวอย่างการนำากฎดังกล่าวไปใช้หาอนุพันธ์ฟังก์ชัน
1) กำาหนดให้ y = 8
จะได้ = 0
2) กำาหนดให้ y = 5x
จะได้ = = 5 = 5
3) กำาหนดให้ y =
จะได้ = = 8
4) กำาหนดให้ y =
17. 17
แสดงว่า
กรณีแรก = = 2 x
เมื่อ x จริงหรือไม่
กรณีสอง = = - 2 x เมื่อ x
พิจารณาจากกราฟ y = f(x) = เป็นดังนี้
จากกราฟ จะเห็นได้ว่าเกิดการหักมุมที่ x = -2 และ x = 2
แสดงว่า และ หาค่าไม่ได้
ดังนั้น = เมื่อ x 2
สามารถคิดลัดได้ดังนี้
ถ้า y = แล้ว = g' (x) เมื่อ g(x) 0
ถ้า y = แล้ว = เมื่อ x 2
18. 18
ดังนั้น = เมื่อ x 2
ตัวอย่าง กำาหนดให้ y = f(x) = จงหาค่าของ
สามารถคิดลัดได้ดังนี้
ถ้า y = แล้ว = g' (x) เมื่อ g(x) 0
ถ้า y = แล้ว = เมื่อ 5x - 7 0
ดังนั้น = เมื่อ x
ตัวอย่าง กำาหนดให้ y = f(x) = จงหาค่าของ
สามารถคิดลัดได้ดังนี้
ถ้า y = แล้ว = g' (x) เมื่อ g(x) 0
ถ้า y = แล้ว = = เมื่อ x 0
ดังนั้น = เมื่อ x 0 หรือเขียนได้ว่า 3 x
19. 19
กฎลูกโซ่ (Chain rule) กับอนุพันธ์ของ
ฟังก์ชันคอมโพสิท
กฎลูกโซ่ คือกฏที่ใช้ในการหาอนุพันธ์ของ"ฟังก์ชันคอมโพสิท"
ถ้า y = = g(f(x)) แล้ว
=
การปรับสูตรใหม่ให้ดูง่าย
ถ้าให้ u = f(x) แล้ว
y = = g(f(x)) = g(u)
จาก =
จะได้ =
จาก u = f(x) แล้ว y = g(u)
ดังนั้น =
การปรับสูตรใหม่ให้ดูง่าย อีกรูปแบบหนึ่ง
ถ้า y = f เมื่อ n เป็นจำานวนตรรภยะ และ
f(x) เป็นฟังก์ชันที่สามารถหา f '(x) ได้ แล้ว
= n f '(x)
20. 20
ตัวอย่าง ถ้า y = จงหา
กำาหนดให้ y = เมื่อ f (x) = + 5
เพราะฉะนั้น f ' (x) = 2x
= 3 f ' (x)
= 3 f ' (x)
= 6 x
อนุพันธ์ในทางเรขาคณิตความชันและเส้น
สัมผัสของเส้นโค้ง
กำาหนดให้ y = f(x) เป็นสมการของเส้นโค้งใด ๆ เส้นสัมผัสโค้ง y =
f(x)
ที่จุด ใด ๆ คือ เส้นตรงที่ผ่านจุด
และมีความชันเท่ากับ f '(x) หรือ | x =
ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด ใด ๆ หมายถึงความชันของเส้น
โค้ง ที่จุดนั้น ๆ
21. 21
พื้นฐานความรู้ของผู้เรียน
1. ความชันของเส้นตรง (m) ที่ผ่านจุด และ
จะได้ m = =
2. ให้เส้นตรง และ มีความชันเป็น และ ตามลำาดับ
เส้นตรง จะขนานกับเส้นตรง ก็ต่อเมื่อ =
เส้นตรง จะตั้งฉากกับเส้นตรง ก็ต่อเมื่อ = -1
3. สมการเส้นตรงทั่วไป y - = m เมื่อผ่านจุด และมีความชัน
m
การหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง และสมการของเส้นตรงที่
ตั้งฉากกับเส้นสัมผัส
ตัวอย่าง จงหาจุดบนเส้นโค้ง y = ที่มีความชันของเส้นสัมผัส
เท่ากับ 1
y =
จะได้ = 2x - 3
หาค่า x ที่ทำาให้ = 1
จะได้ 2 x - 3 = 1
x = 2
นำาค่า x แทนใน y จะได้ y = - 3(2) - 4
22. 22
y = - 6
ดังนั้น จุดบนเส้นโค้ง y =
ที่มีความชันของเส้นสัมผัสเท่ากับ 1 คือ ( 2 , - 6)
ตัวอย่าง กำาหนดให้เส้นตรง L มีความชัน 2 และสัมผัสเส้นโค้ง y =
+2 แล้ว
จงหาสมการเส้นตรง L
จากที่กำาหนด y = + 2
= 2 x
เส้นตรง L มีความชัน 2 และสัมผัสเส้นโค้ง y = + 2
จะได้ = 2
2 x = 2
x = 1
นำาค่า x แทนใน y จะได้ y = + 2
y = 3
จะได้ จุด ( 1 , 3 ) เป็นจุดสัมผัส
ดังนั้น สมการเส้นตรง L คือ (y -3 ) = 2( x -1 ) หรือ y = 2 x + 1
อนุพันธ์แบบอิมปลิสิต (Implicit
Differentiation)
23. 23
การหาอนุพันธ์แบบอิมปลิสิตเป็นวิธีหนึ่งที่ใช้การหาอนุพันธ์
จากสมการที่อยู่ในรูป f(x,y) = 0
โดยที่ f ( x , y ) เป็นนิพจน์ของตัวแปร x และ y
ซึ่งสมการนี้ในบางครั้งเป็นการยากที่จะเขียนให้อยู่ในรูป y = g(x) ได้
ดังนั้นจึงเกิดการหาอนุพันธ์แบบอิมปลิสิตขึ้น
หลักในการหา จากสมการ f (x,y) = 0 แบบอิมปลิสิตนั้นมีอยู่ว่า
จะต้องถือว่าตัวแปร y ในสมการนี้ทุกตัวก็เป็นฟีงก์ชันของ x
ดังนั้น การหาอนุพันธ์ของพจน์ที่มีตัวแปร y จะต้องใช้กฎลูกโซ่ คือ
จะต้องคูณผลลัพธ์ จากการหาอนุพันธ์ด้วย เสมอ ดังตัวอย่าง
ดังนี้
ตัวอย่าง จงหา จากสมการ = 0
วิธีทำา = 0
จากการหาอนุพันธ์ของ y เทียบกับตัวแปร x จะได้ว่า
2 x + 2 y - 0 = 0
2 y = - 2 x
เพราะฉะนั้น = =
ตัวอย่าง จากสมการ = 0 จงหา
24. 24
วิธีทำา = 0
จากการหาอนุพันธ์ของ y เทียบกับ x จะได้ว่า
2 x + 2 y - 2 + 2 + 0 = 0
2 y + 2 = 2 - 2 x
( 2 y + 2 ) = 2 - 2 x
=
=
ตัวอย่าง สมการ = 0 จงหา เมื่อ x =
= 0
8 x + 18 y - 0 = 0
= =
ถ้า x = แล้ว y =
ที่จุด ( , ) จะได้ว่า = =
ที่จุด ( , )จะได้ว่า = =
25. 25
อนุพันธ์อันดับสูง
กำาหนดให้ y = f(x) และ
f ' (x) เป็นอนุพันธ์ของ f(x) ที่ x ใด ๆ ซึ่งสามารถหาอนุพันธ์ได้
จะเรียกอนุพันธ์ของอนุพันธ์ของ f(x) ที่ x ใด ๆ ว่า
อนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ f(x) ที่ x ใด ๆ
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ f ' ' (x) หรือ ในทำานองเดียวกัน
อนุพันธ์อันดับที่ 3 ของ f(x) ที่ x ใด ๆ ว่าเป็น
อนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ f(x) ที่ x ใด ๆ . . .
สรุปได้ว่า อนุพันธ์อันดับที่ n ของ f(x) ที่ x ใด ๆ
เป็นอนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับที่ n - 1 ดังนี้
f ' (x) = แทนอนุพันธ์อันดับที่ 1 ของ f(x) ที่ x ใด ๆ
f '' (x) = แทนอนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ f(x) ที่ x ใด ๆ
f ''' (x) = แทนอนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ f(x) ที่ x ใด ๆ
f '''' (x) = แทนอนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ f(x) ที่ x ใด ๆ
. . .
26. 26
= แทนอนุพันธ์อันดับที่ n ของ f(x) ที่ x ใด ๆ
ตัวอย่าง จงหาอนุพันธ์ทั้งหมดของฟังก์ชัน f ซึ่ง f(x) =
f ' (x) =
f ' ' (x) =
f ' ' '(x) = 192 x + 30
= 192
= 0
= 0 เมื่อ n 5
บทประยุกต์อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ตอน 1
1) ค่าสูงสุดและตำ่าสุดของฟังก์ชัน (Maximum and minimum values of
function)
นิยาม ฟังก์ชัน f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ณ ที่ x = c
ถ้าในช่วงเปิดมีค่า c ที่ทำาให้ f(c) f(x) สำาหรับทุก ๆ ค่า x ใน
ช่วงเปิดนี้
27. 27
ถ้า f '(x) >0 เมื่อ x น้อยกว่า c เล็กน้อย
แต่ f '(x) < 0 เมื่อ x มากกว่า c เล็กน้อย
แล้วฟังก์ชัน f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ที่ x = c และค่าสูงสุดสัมพัทธ์เท่ากับ
f(c)
นิยาม ฟังก์ชัน f มีค่าตำ่าสุดสัมพัทธ์ ณ ที่ x = c
ถ้าในช่วงเปิดมีค่า c ที่ทำาให้ f(c) f(x) สำาหรับทุก ๆ ค่า x ในช่วงเปิด
นี้
ถ้า f '(x)<0 เมื่อ x น้อยกว่า c เล็กน้อย แต่ f '(x)> 0 เมื่อ x มากกว่า c เล็ก
น้อย
แล้วฟังก์ชัน f มีค่าตำ่าสุดสัมพัทธ์ที่ x = c และค่าตำ่าสุดสัมพัทธ์เท่ากับ
f(c)
นิยาม ถ้า c เป็นจำานวนในโดเมนของฟังก์ชัน f และถ้า f ' (c) =
0
หรือ f ' (c) หาค่าไม่ได้
จะเรียก c ว่าเป็นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน f และจุด (c , f(c) )
บนกราฟของ f ถูกเรียกว่า จุดวิกฤตของกราฟของ f
เมื่อทราบว่า f ' (c) = 0 แสดงว่า c เป็นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน ให้ระวัง
ดังนี้
1. c อาจเป็นค่าวิกฤตที่ทำาให้ฟังก์ชันมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์
28. 28
ถ้ากราฟเป็นรูปควำ่าลง แล้ว f '' (x) < 0 แสดงว่า f ''(c) < 0 ด้วย
2. c อาจเป็นค่าวิกฤตที่ทำาให้ฟังก์ชันมีค่าตำ่าสุดสัมพัทธ์
ถ้ากราฟเป็นรูปหงายขึ้น แล้ว f '' (x) > 0 แสดงว่า f ''(c) > 0 ด้วย
3. c อาจเป็นค่าวิกฤตที่ไม่ได้ทำาให้ฟังก์ชันมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์
หรือค่าตำ่าสุดสัมพัทธ์ เช่น
ตัวอย่าง กำาหนดให้ f(x) = อยากทราบว่าฟังก์ชันมีค่าสูงสุด
สัมพัทธ์ที่ใด และมีค่าเท่าใด
f (x) =
29. 29
f '(x) =
ให้ = 0 จะได้ค่าวิกฤตของฟังก์ชัน x =
ตรวจสอบจุดตำ่าสุดและจุดสูงสุดสัมพัทธ์
f ' '(x) = = -12 x
นำาค่าวิกฤตของฟังก์ชัน x = แทนค่าใน f ' '(x)
จะได้ f ' '( ) = < 0
และ f ' '( ) = > 0
แสดงว่าที่ x = จะเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์
ดังนั้นฟังก์ชันมีค่า สูงสุดสัมพัทธ์ที่ x =
ฟังก์ชันมีค่า สูงสุดสัมพัทธ์ = f ( )
= =
ตัวอย่าง กำาหนดให้ f(x) = แล้ว อยากทราบว่าที่จุด x =
2
จะทำาให้ฟังก์ชันมีค่าเท่าไร
จาก f(x) =
f ' (x) =
30. 30
แทนค่า x = 2 ใน f ' (x)
จะได้ f ' (2) = = 0
แสดงว่า x = 2 เป็นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน
ตรวจสอบจุดตำ่าสุดและจุดสูงสุดสัมพัทธ์
f ' ' (x) =
แทนค่า x = 2 ใน f ' ' (x)
f ' ' (2) = = 48 มีค่ามากกว่า 0
แสดงว่าที่ x = 2 จะเป็นจุดตำ่าสุดสัมพัทธ์
ฟังก์ชันมีค่า ตำ่าสุดสัมพัทธ์ = f(2) = = -
15
ค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าตำ่าสุดสัมบูรณ์
นิยาม ฟังก์ชัน f มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์บนช่วงหนึ่งช่วงใด
ถ้ามีจำานวน c ที่อยู่ในช่วงนั้นซึ่ง f(c) f(x) สำาหรับทุก ๆ ค่า x ใน
ช่วงนั้น
กรณีเช่นนี้ f(c) เป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของ f บนช่วงนั้น
นิยาม ฟังก์ชัน f มีค่าตำ่าสุดสัมบูรณ์บนช่วงหนึ่งช่วงใด
ถ้ามีจำานวน c ที่อยู่ในช่วงนั้นซึ่ง f(c) f(x) สำาหรับทุก ๆ ค่า x ใน
ช่วงนั้น
กรณีเช่นนี้ f(c) เป็นค่าตำ่าสุดสัมบูรณ์ของ f บนช่วงนั้น
นิยาม f(c) เป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของ ฟังก์ชัน f ถ้า c อยู่ในโดเมน
ของ f
และถ้า f(c) f(x) สำาหรับทุก ๆ ค่า x ในโดเมนของ f
นิยาม f(c) เป็นค่าตำ่าสุดสัมบูรณ์ของ ฟังก์ชัน f ถ้า c อยู่ในโดเมน
ของ f
และถ้า f (c) f(x) สำาหรับทุก ๆ ค่า x ในโดเมนของ f