Analisis Kompleks

1. TRANSFORMASI ELEMENTER
Kelompok 2:
 Ira Rumasingap
 Penny Charity Lumbanraja
 Rizky Ananda
 Robin Sanjaya Halawa
 Solihadi

2. TRANSFORMASI
ELEMENTER
TRANSFORMASI LINIER
W=az+b
TRANSFORMASI KEBALIKAN
W=1/z
TRANSFORMASI BILINIER
W=(az+b)/(cz+d)

3. Transformasi Linier
Pada bab ini akan membicarakan arti geometri fungsi
kompleks. Suatu fungsi dapat dipikirkan sebagai suatu proses
bahwa sebagian dari –Z dipetakan ke bagian bidang –W. Hal
ini menjelaskan istilah pemetaan dan transformasi sebagai
nama lain untuk suatu fungsi f yang memetakan z0 ke w0.
Peta dari z0 di bawah f adalah w0 dan z0 adalah prapeta dari
w0. Keadaan seperti ini yang mendasari pembahasan
mengenai trasformasi elementer.
Transformasi yang berbentuk
disebut transformasi linier. Sebelum membicarakan lebih jauh
mengenai transformasi linier, perhatikan beberapa contoh
berikut:
w = f(z) = az + b, a,b∈ C

4. Misalkan f(z) = iz dengan z = x + iy, maka
f(z) = iz = i(x+iy) = -y+ix
modulus dari i adalah 𝑖 = 1 dan Arg i =
𝜋
2
fungsi f(z) = iz, bila dituliskan dalam bentuk
pengaitannya diperoleh
𝑧 → 𝑖𝑧
𝑥 + 𝑖𝑦 → 𝑢 + 𝑖𝑣 = −𝑦 + 𝑖𝑥
Hal ini memperlihatkan bahwa setiap titik (x,y) di
bidang –Z ditransformasikan oleh f(z) = iz ke bidang –
W di titik (-y,x). Hal ini transformasi ini sesuai dengan
rotasi R (0,
𝜋
2
) yaitu rotasi berpusat di O dengan sudut
putar
𝜋
2
.

5. Secara umum fungsi w = f(z) = az, a≠0,
mentransformasikan z ke bidang –W dengan cara:
Merotasikan z sebesar Arg a atau R(0,
𝜋
2
) dan
Dilatasi oleh faktor 𝑎 atau dilatasi D(0, 𝑎 )
Faktor dilatasi 𝑎 menentukan jenis transformasi z ke
bidang –W yaitu,
 Jika 𝑎 = 1, maka z ditransformasikan ke bidang –W
dengan rotasi R (0, Arg a)
 Jika 𝑎 > 1, maka z ditransformasikan ke bidang –W
dengan rotasi R (0, Arg a) kemudian dilatasi
(diperbesar) oleh faktor 𝑎 > 1.
 𝑎 < 1, maka z ditransformasikan ke bidang-W
dengan rotasi R(0, Arg a) kemudian dilatasi (diperkecil)
oleh faktor 𝑎 < 1.

7. Contoh
Temukan Bayangan dari S’ dari Persegi S dengan titik-titik
pada 1+i, 2+i, 2+2i, dan 1+2i di bawah pemetaan linier T(z) = z
+ 2-i
Penyelesaian:
Kita akan menunjukkan S dan S’ pada bidang kompleks.
Pemetaan T adalah Translasi dan S’ dapat ditentukan dengan
mengikuti identifikasi
b = xo +yo = 2+i(-1). Sehingga titik vektor pada (2,-1) untuk tiap
titik di S. Sehingga himpunan titik-titik vektor adalah S’ adalah
bayangan dari S dibawah T. S’ adalah persegi dengan titik-titik
pada:
 T ( 1+ i ) = ( 1+i ) + ( 2- i) = 3
 T ( 2 + 2i ) = ( 2+2i ) + ( 2-i ) = 4 + i
 T ( 2 + i ) = ( 2+ i ) + ( 2-i ) = 4
 T ( 1 + 2i ) = ( 1+2i ) + ( 2-i ) = 3 + i

8. Contoh
Tentukan peta dari kurva 𝑦 = 𝑥2 oleh transformasi linier w = 2
iz + (1-i)
Penyelesaian:
Arg (2i) = arc cot 0 =
𝜋
2
dan 2𝑖 = 2.
Transformasi linier w = 2iz + (1-i) bila dituliskan dalam bentuk
pengaitannya adalah : (Seperti pada buku)
a. karena 𝑦 = 𝑥2 bila ditulis dalam bilangan kompleks z = x +
ix2 diperoleh

𝑥′
𝑦′
=
cos
𝜋
2
− sin
𝜋
2
sin
𝜋
2
cos
𝜋
2
𝑥
𝑥2
 =
0 −1
1 0
𝑥
𝑥2
 = −𝑥2
𝑥

9. Jadi, z = x + ix2 w = - x2 + ix = - y2 + iy
Dengan demikian kurva 𝑦 = 𝑥2
dirotasi sejauh R(0,
𝜋
2
)
petanya adalah 𝑥 = −𝑦2
b. Kurva 𝑥 = −𝑦2
dilatasi oleh faktor 2 diperoleh:
z = - x + ix2 w = - 2x2 + 2ix = - 1/2 y2 + iy
jadi, kurva 𝑥 = −𝑦2
dilatasi oleh faktor 2. Petanya 𝑥 = −
1
2
𝑦2
c. Kurva 𝑥 = −
1
2
𝑦2
ditranslasi oleh vektor b(1,-1) ,:
z = - 2x2 + 2ix w = (- 2x2 +1)+ i(2x-1)
= −
1
2
𝑦 + 1 2 + 1 + 𝑖𝑦
Jadi kurva 𝑥 = −
1
2
𝑦2
ditranslasi oleh vektor (1,-1) petanya
adalah
𝑥 = −
1
2
𝑦 + 1 2
+ 1

10. Dari (1), (2), dan (3) diperoleh peta dari kurva 𝑦 = 𝑥2
oleh
transformasi linier
w = 2iz + (1-i) ke bidang –W adalah
𝑥 = −
1
2
𝑦 + 1 2 + 1
𝑢 = −
1
2
𝑣 + 1 2 + 1
Penyelesaian masalah di atas dapat pula dilakukan dengan
cara lain, seperti berikut. Namakan w = u + iv dan z = x + iy,
diperoleh
w = 2iz + (1-i)
u + iv = 2i(x+iy) + (1-i)
= (-2y+1) + (2x-1)i
Dengan menyatakan x dan y dalam u dan v diperoleh:
u= -2y+1 dan v=2x-1

11. 𝑦 = −
1
2
𝑢 +
1
2
dan 𝑥 =
1
2
𝑣 +
1
2
Jadi, kurva 𝑦 = 𝑥2 ditransformasikan oleh w = 2iz + (1-i)
petanya adalah
𝑦 = 𝑥2
−
1
2
𝑢 +
1
2
=
1
2
𝑣 +
1
2
2
𝑢 = −
1
2
(𝑣 + 1)2 + 1

12. Transformasi Kebalikan
Transformasi kebalikan adalah transformasi yang
berbentuk
Untuk mencari peta 𝑧 ∈ 𝐶 oleh transformasi kebalikan
𝑤 =
1
𝑧
, dilakukan dengan cara sebagai berikut. Jika 𝑧 =
𝑟 (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃), diperoleh:
𝑤 =
1
𝑧
=
1
𝑟 (cos 𝜃+𝑖 sin 𝜃)
𝑤 =
1
𝑧

13. =
1
𝑟 (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)
.
cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃
cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃
=
1
𝑟
cos(− 𝜃) + 𝑖 sin(− 𝜃)
Dengan demikian transformasi kebalikan memetakan
suatu titik pada bidang –Z dengan modulus sama
dengan r dan argumennya 𝜃 menjadi suatu titik pada
bidang –W dengan modulus sama dengan
1
𝑟
dan
argumennya (−𝜃).
Transformasinya kebalikan bila digambarkan secara
geometri ,tampak seperti di bawah ini,

14. Perhatikan ∆𝑂𝐶𝐵 dan
∆𝑂𝐴𝐶. Karena ∠𝑂𝐶𝐵
dan ∠𝑂𝐴𝐶 =
𝜋
2
dan
∠𝐶𝑂𝐵 dan ∠𝐴𝑂𝐶,
maka ∆𝑂𝐶𝐵 − ∆𝑂𝐴𝐶
Akibatnya diperoleh:
𝑂𝐶
𝑂𝐵
=
𝑂𝐴
𝑂𝐶

15. ↔ 𝑍 𝑂𝐵 = 1 ↔ 𝑂𝐴 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 2
↔ 𝑂𝐵 =
1
𝑍
=
1
𝑍
= 𝑊
Selanjutnya akan ditentukan peta dari garis lurus dan
lingkaran di 𝑅2
oleh transformasi kebalikan 𝑤 =
1
𝑧
.
Adapun prosesnya sebagai berikut :
1. Misalkan persamaan garis lurus di 𝑅2
𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 , a dan b tak bersama-sama nol
ditransformasikan oleh 𝑤 =
1
𝑧
. Namakan 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦
dan 𝑤 = 𝑢 + 𝑖𝑣 , maka:
𝑤 =
1
𝑧
=
1
𝑥 + 𝑖𝑦
=
𝑥 − 𝑖𝑦
𝑥2 + 𝑦2
=
𝑥
𝑥2 + 𝑦2
−
𝑖𝑦
𝑥2 𝑦2

16. Jadi peta garis lurus di R2 oleh transformasi w=1/z
adalah:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
𝑤=
1
𝑧
𝑎
𝑢
𝑢2 + 𝑣2
+ 𝑏
−𝑣
𝑢2 + 𝑣2
+ 𝑐 = 0
𝑐 𝑢2 + 𝑣2 + 𝑎𝑢 − 𝑏𝑣 = 0
Jadi c=0 , maka petanya berupa suatu garis lurus.
Tetapi jika 𝑐 ≠ 0, petanya berupa suatu lingkaran.
2. Misalkan persamaan lingkaran di R2 adalah 𝑥2 +
𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝑐 = 0 di transformasikan oleh w=1/z
adalah: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝑐 = 0
𝑤=
1
𝑧
1
𝑢2 + 𝑣2
+ 𝐴
𝑢
𝑢2 + 𝑣2
− 𝐵
𝑣
𝑢2 + 𝑣2
+ 𝐶 = 0

17. 𝐶 𝑢2 + 𝑣2 + 𝐴𝑢 − 𝐵𝑣 + 1 = 0
Jika C=0 , maka petanya berupa garis lurus, tetapi jika
𝐶 ≠ 0, petanya berupa suatu lingkaran.
Contoh:
Tentukan peta garis x=1 oleh transformasi w=1/z
Penyelesaian:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
𝑤=
1
𝑧
𝑐 𝑢2 + 𝑣2 + 𝑎𝑢 − 𝑏𝑣 = 0
𝑥 − 1
𝑤=
1
𝑧
𝑐 𝑢2 + 𝑣2 + 𝑎𝑢 − 𝑏𝑣 = 0
− 𝑢2 + 𝑣2 + 𝑢 = 0
(𝑢 −
1
2
)2+𝑣2 =
1
4

18. Jadi garis x=1
pada bidang –Z
dipetakan oleh
w=1/z ke bidang
–W menjadi
suatu lingkaran
dengan pusat
(0,1/2) dan jari-
jari ½

19. Contoh:
Tentukan peta dari lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑥 = 0 oleh
transformasi w=1/z.
Penyelesaian:
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 − 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
𝑤=
1
𝑧
𝑐 𝑢2 + 𝑣2 + 𝑎𝑢 − 𝑏𝑣 = 0
𝑥2 + 𝑦2 − 𝑥 = 0
𝑤=
1
𝑧
0 𝑢2 + 𝑣2 + −1 𝑢 − 0𝑣 + 1 = 0
−𝑢 + 1 = 0
𝑢 = 1
Jadi lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑥 = 0 oleh w=1/z di bidang –W
adalah u=1

21. Transformasi Bilinier
Misalkan a, b, c dan d konstanta kompleks.
Transformasi dengan bentuk
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0 dan 𝑐 ≠ 0 disebut transformasi bilinear
(Mobius).
Transformasi 𝑤 =
𝑎𝑧+𝑏
𝑐𝑧+𝑑
, dapat ditulis sebagai komposisi
dari fungsi linear dan kebalikan seperti berikut.
𝑤 =
𝑎𝑧 + 𝑏
𝑐𝑧 + 𝑑

22. 𝑤 = 𝑓 𝑧 =
𝑎𝑧 + 𝑏
𝑐𝑧 + 𝑑
= 𝑤 =
𝑎 𝑧 +
𝑏
𝑎
𝑐 𝑧 +
𝑑
𝑐
=
𝑎(𝑧 +
𝑑
𝑐
−
𝑑
𝑐
+
𝑏
𝑎
)
𝑐 𝑧 +
𝑑
𝑐
=
𝑎
𝑐
+
𝑎(
𝑑
𝑐
+
𝑏
𝑎
)
𝑐 𝑧 +
𝑑
𝑐
=
𝑎
𝑐
+
𝑏 −
𝑎𝑐
𝑐
𝑐(𝑐𝑧 + 𝑑)
=
𝑎
𝑐
+
𝑏𝑐 − 𝑎𝑑
𝑐(𝑐𝑧 + 𝑑)
Komposisinya adalah
𝑠 = 𝑐𝑧 + 𝑑
𝑡 =
1
𝑠
𝑑𝑎𝑛
𝑤 =
𝑎
𝑐
+
𝑏𝑐 − 𝑎𝑑
𝑐
𝑡

23. Contoh:
Tentukan peta Im(z) > 0 oleh transformasi bilinier 𝑤 =
𝑧−1
𝑧+𝑖
.
Penyelesaian:
𝑤 =
𝑧 − 1
𝑧 + 𝑖
=
𝑧 + 𝑖 − 21
𝑧 + 𝑖
= 1 −
2𝑖
𝑧 + 𝑖
Misalkan 𝑠 = 𝑧 + 1, 𝑡 =
1
𝑠
𝑑𝑎𝑛 𝑤 = 1 − 2𝑖𝑡. Diperoleh
penggantinya adalah
𝑧 → 𝑧 + 1 →
1
𝑧 + 𝑖
→
2𝑖
𝑧 + 𝑖

25. Proses untuk memperoleh peta dari I(z) > 0 masing – masing
oleh transformasi s, t dan w diberikan kepada para
mahasiswa sebagai latihan. Berikut ini akan diberikan cara
lain untuk menentukan hasil transformasi oleh 𝑤 =
𝑧−1
𝑧+𝑖
Nyatakan z dalam w sehingga
𝑤 =
𝑧 − 1
𝑧 + 𝑖
𝑤 𝑧 + 𝑖 = 𝑧 − 𝑖
𝑧 =
−𝑖 𝑤 + 1
𝑤 − 1
; 𝑤 = 𝑢 + 𝑖𝑣
=
−𝑖(𝑢 + 𝑖𝑣 + 1)
𝑢 + 𝑖𝑣 − 1
=
−𝑖(𝑢 + 𝑖𝑣 + 1)
𝑢 − 1 + 𝑖𝑣
=
−2𝑣
(𝑢 − 1)2+𝑣2 + 𝑖
(−𝑢2
−𝑣2
+1
(𝑢 − 1)2+𝑣2

26. Diperoleh:
𝑥 =
−2𝑣
(𝑢 − 1)2+𝑣2
𝑑𝑎𝑛 𝑦 =
−𝑢2 −𝑣2 +1
(𝑢 − 1)2+𝑣2
Jadi peta dari I(z) > 0 oleh transformasi 𝑤 =
𝑧−1
𝑧+𝑖
𝐼(𝑧) > 0
𝑦 > 0
−𝑢2
−𝑣2
+1
(𝑢 − 1)2+𝑣2
> 0
𝑢2
+ 𝑣2
< 1
Maka bentuk petanya adalah daerah lingkaran yang berpusat
di titik 0(0,0) dan berjari – jari 1.
Berikut ini akan dibicarakan bagaimana materi fungsi
transformasi linier dan bilinear yang disajikan pada teorema
dibawah ini.

27.  Teorema 1
Jika 𝑧1 ≠ 𝑧2 sebarang titik pada bidang – 𝑍 dan 𝑤1 ≠
𝑤2 sebarang titik pada bidang −𝑊 , maka fungsi
transformasi linear yang memetakan 𝑧𝑗 𝑘𝑒 𝑤𝑗 dengan
𝑗 = 1,2 adalah
𝑤 − 𝑤1
𝑤 − 𝑤2
=
𝑧 − 𝑧1
𝑧 − 𝑧2
 Bukti
Misalkan fungsi transformasi linearnya adalah = 𝑎𝑧 + 𝑏
, diperoleh system persamaan.
𝑎𝑧1 + 𝑏 = 𝑤1
𝑎𝑧2 + 𝑏 = 𝑤2
Dengan menyelesaikan system persamaan tersebut
diperoleh :

28. 𝑎 =
𝑤 − 𝑤1
𝑤 − 𝑤2
𝑑𝑎𝑛 𝑏 =
𝑤2 𝑧1 − 𝑤1 𝑧2
𝑧1 − 𝑧2
 Sehingga fungsi transformasinya adalah
 𝑤 = 𝑎𝑧 + 𝑏
 𝑤 =
𝑤−𝑤1
𝑤−𝑤2
+
𝑤2 𝑧1−𝑤1 𝑧2
𝑧1−𝑧2
 𝑤 𝑧1 − 𝑧2 = 𝑤𝑧1 − 𝑤𝑧2 + 𝑤2 𝑧1 − 𝑤1 𝑧2
 −𝑤𝑧2 − 𝑤𝑧1 + 𝑤2 𝑧1 − 𝑤1 𝑧2 = −𝑤1 𝑧𝑤2 𝑧 + 𝑤2 𝑧1
 −𝑤𝑧 − 𝑤𝑧2 − 𝑤1 𝑧 + 𝑤1 𝑧1 = 𝑤𝑧 − 𝑤𝑧1 − 𝑤2 𝑧 + 𝑤2 𝑧1
 𝑤 − 𝑤1 𝑧 − 𝑧2 = 𝑤 − 𝑤2 𝑧 − 𝑧1

𝑤−𝑤1
𝑤−𝑤2
=
𝑧−𝑧1
𝑧−𝑧2

29.  Teorema 2
 Jika 𝑧1 ≠ 𝑧2 ≠ 𝑧3 sebarang titik pada batang – 𝑧 dan
𝑤1 ≠ 𝑤2 ≠ 𝑤3 sebarang titik pada batang – 𝑤, maka
fungsi transformasi bilinear yang memetakan 𝑧𝑗 𝑘𝑒 𝑤𝑗
dengan 𝑗 = 1,2,3 adalah :
𝑤 − 𝑤1 𝑤2 − 𝑤3
𝑤 − 𝑤3 𝑤2 − 𝑤1
=
𝑧 − 𝑧1 𝑧2 − 𝑧3
𝑧 − 𝑧3 𝑧2 − 𝑧1

30. Contoh
Tentukan transformasi bilinear yang memetakan 𝑧1 = 0 ke
𝑤1 = −3, 𝑧2 = −𝑖 ke 𝑤2 = −1 − 2𝑖 dan 𝑧3 = 1 ke 𝑤3 = −1
Penyelesaian :
𝑤 + 3 (−1 − 2𝑖 + 1)
𝑤 + 1 (−1 − 2𝑖 + 3)
=
𝑧 − 0 (−1 − 1)
𝑧 − 1 (−𝑖 − 0)
𝑤 + 3 (−2𝑖)
𝑤 + 1 (−2 + 2𝑖)
=
𝑧(−𝑖 − 1)
𝑧 − 3 − 𝑖
−𝑧𝑤𝑖 − 5𝑖 −𝑧𝑖 + 𝑖 = 2𝑤 − 2𝑤𝑖 − 2𝑤𝑖 + 2 − 2𝑖 −2𝑖 − 2
2𝑤𝑧 + 2𝑤 = 6𝑧 − 2𝑧 − 6
𝑤 =
2 − 3
𝑧 + 1