Hubungan Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan

1. ANALISIS REAL II
Kelompok 8

2. ANGGOTA KELOMPOK:
 Anzi Lina Ukhtin Nisa (135090401111012)
 Umi Fauziyah (135090401111040)
 Nafi’atuz Zahro (135090407111014)
 R. M. Racel Purnomo (135090407111016)

3. KONVERGEN SERAGAM DAN
KEKONTINUAN
KONVERGEN SERAGAM DAN
PENGINTEGRALAN
BARISAN
FUNGSI

4. KONVERGEN SERAGAM DAN
KEKONTINUAN

5. Diberikan 𝑓𝑛 barisan dari fungsi-fungsi kontinu pada 𝐸 ⊂ ℝ. Jika
𝑓𝑛 → 𝑓 seragam pada 𝐸, maka 𝑓 kontinu pada 𝐸.
Teorema 10.4.1.
KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

6. Bukti:
Diberikan sebarang 𝜀 > 0. Karena 𝑓𝑛 → 𝑓 seragam, maka terdapat 𝑁 𝜖 ℕ
sedemikian sehingga untuk setiap 𝑛 ≥ 𝑁 berlaku ;
(10.19) 𝑓𝑛 𝑥 − 𝑓(𝑥) <
𝜀
4
,
untuk setiap 𝑥 𝜖 𝐸.
Ambil sebarang 𝑥0 𝜖 𝐸, karena 𝑓𝑛 kontinu pada 𝐸 untuk setiap 𝑛 𝜖 ℕ, maka
terdapat δ > 0 sedemikian sehingga untuk setiap 𝑥 𝜖 𝐸 dengan 𝑥 − 𝑥0 < δ
berlaku ;
(10.20) 𝑓𝑛 𝑥 − 𝑓𝑛(𝑥0) <
𝜀
4
.
KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

7. Berdasarkan (10.19) dan (10.20) maka untuk setiap 𝑥 𝜖 𝐸 dengan
𝑥 − 𝑥0 < δ dan setiap 𝑛 ≥ 𝑁 berlaku ;
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0) ≤ 𝑓 𝑥 − 𝑓𝑛 𝑥 + 𝑓𝑛 𝑥 − 𝑓𝑛 𝑥0 +
𝑓𝑛 𝑥0 − 𝑓 𝑥0 <
𝜀
4
+
𝜀
4
+
𝜀
4
=
3𝜀
4
< 𝜀.
Terbukti 𝑓 kontinu di titik 𝑥0 𝜖 𝐸. Karena 𝑥0 sebarang, maka 𝑓 kontinu
pada 𝐸.
KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

8. Jika deret fungsi-fungsi kontinu 𝑘=1
∞
𝑓𝑘 konvergen seragam ke fungsi
jumlah 𝑓 pada 𝐸, maka 𝑓 kontinu pada 𝐸.
Teorema 10.4.2.
KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

9. KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN
Bukti :
 Deret 𝑆 𝑛 (𝑥) = 𝑘=1
𝑛
𝑓k dikatakan konvergen seragam ke
fungsi 𝑓 jika barisan fungsi 𝑆 𝑛(𝑥) konvergen seragam ke 𝑓(𝑥)
 Diketahui deret 𝑘=1
𝑛
𝑓k konvergen untuk setiap 𝑛 > 𝑚 ≥ 𝑁
berlaku | 𝑆 𝑛 (𝑥) − 𝑆 𝑚 (𝑥) | < 𝜀
 Menurut Teorema Cauchy, barisan 𝑆 𝑛 konvergen seragam
pada 𝐸. Terbukti bahwa deret 𝑘=1
𝑛
𝑓𝑘 konvergen seragam
pada 𝐸

10.  Diketahui 𝑓 𝑘 kontinu maka | 𝑓 𝑘 (𝑥) − 𝑓 𝑘 (𝑥0)| <
𝜀
4
, berlaku
𝑆 𝑛 = 𝑘=1
𝑛
𝑓k kontinu. Karena 𝑓 𝑘 kontinu ∀𝑘 dan
berlaku juga untuk |𝑠 𝑛 (𝑥) − 𝑠 𝑛 (𝑥0)| <
𝜀
4
 𝑘=1
𝑛
𝑓𝑘 konvergen seragam ke fungsi 𝑓, menurut definisi 𝑆 𝑛
konvergen ke fungsi 𝑓, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐸 berlaku
|𝑆 𝑛(𝑥) – 𝑓(𝑥)| <
𝜀
4
↔ | 𝑘=1
𝑛
𝑓k (𝑥) – 𝑓(𝑥)|<
𝜀
4
KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

11. Akan dibuktikan 𝑓 kontinu pada 𝐸
|𝑓 (𝑥) − 𝑓 (𝑥0)| = |𝑓(𝑥) − 𝑠 𝑛 (𝑥)| + |𝑠 𝑛 (𝑥) −
𝑠𝑛 (𝑥0)| + |𝑠 𝑛 (𝑥0) − 𝑓 (𝑥0)| <
𝜀
4
+
𝜀
4
+
𝜀
4
=
3𝜀
4
< 𝜀
Terbukti 𝑓 kontinu di titik 𝑥0 ∈ 𝐸. Karena 𝑥0
sebarang, maka 𝑓 kontinu pada 𝐸.
KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

12. KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN
Contoh 10.4.3.
Diberikan deret fungsi kontinu pada ℝ, 𝑘=0
∞
𝑓𝑘
dengan
𝑓𝑘 𝑥 =
[10 𝑘 𝑥]
102𝑘 , 𝑥 𝜖 ℝ, 𝑘 = 0,1, …
di mana 𝑥 adalah jarak 𝑥 ke bilangan bulat yang terdekat
Jika 𝑓 = 𝑘=0
∞
𝑓𝑘, buktikan 𝑓 kontinu pada ℝ.

13. KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN
Bukti :
Pertama perhatikan terlebih dulu bentuk fungsi pembilang, yaitu bahwa
ℎ 𝑥 = 10 𝑘 𝑥 ≤
1
2
10 𝑘
Jadi 𝑓𝑘 𝑥 ≤
10 𝑘
2(102𝑘)
Katakan 𝑀 𝑘 =
1
2(10 𝑘)
, sehingga 𝑓𝑘 𝑥 < 𝑀 𝑘
Karena ℎ(𝑥) kontinu pada ℝ, maka 𝑓𝑘 kontinu pada ℝ
Karena 𝑓𝑘 𝑥 ≤ 𝑀 𝑘 dan deret bilangan 𝑘=0
∞
𝑀 𝑘 konvergen,

14. KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN
maka menurut Teorema 10.3.2., deret 𝑘=0
∞
𝑓𝑘 konvergen
seragam pada ℝ
Dengan demikian menurut Teorema 10.4.1. fungsi jumlah
𝑓 = 𝑘=0
∞
𝑓𝑘 kontinu pada ℝ.

15. Dimisalkan 𝑓𝑛 → 𝑓 seragam pada 𝐸 dan 𝑝 titik limit 𝐸. Jika untuk setiap 𝑛 ∈
ℕ
(10.21) lim
𝑥→𝑝
𝑓𝑛 𝑥 = 𝑠 𝑛
maka barisan 𝑆 𝑛 konvergen.
dan
(10.22) lim
𝑥→𝑝
𝑓 𝑥 = lim
𝑛→∞
𝑠 𝑛
atau dengan kata lain
(10. 23) lim
𝑥→𝑝
lim
𝑛→∞
𝑓𝑛 𝑥 = lim
𝑛→∞
lim
𝑥→𝑝
𝑓𝑛 𝑥 .
Teorema 10.4.4.
KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

16. KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN
Bukti:
Diberikan 𝜖 > 0. karena 𝑓𝑛 → 𝑓 seragam pada 𝐸, maka terdapat 𝑁1 ∈ ℕ
sedemikian sehingga untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐸 dan 𝑛, 𝑚 ≥ 𝑁 berlaku
(10.24) 𝑓𝑛 x − 𝑓𝑚 𝑥 < 𝜖.
Dengan 𝑥 → 𝑝, maka menurut (10.21) ketaksamaan (10.24) menjadi
(10.25) 𝑠 𝑛 − 𝑠 𝑚 < 𝜖
untuk setiap 𝑛, 𝑚 ≥ 𝑁1.

17. KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN
Sehingga barisan 𝑆 𝑛 merupakan barisan Cauchy di dalam
ℝ.
Oleh karena itu 𝑆 𝑛 konvergen kesuatu bilangan 𝑠 ∈ ℝ.
Kembali ke pernyataan awal bahwa 𝑓𝑛 → 𝑓 seragam pada
𝐸, maka terdapat 𝑁2 ∈ ℕ sehingga untuk setiap 𝑛 ≥ 𝑁2 dan
setiap 𝑥 ∈ 𝐸 berlaku
(10.26) 𝑓𝑛 𝑥 − 𝑓 𝑥 <
𝜖
3
.

18. KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN
Karena 𝑠 𝑛 → 𝑠, maka terdapat 𝑁3 ∈ ℕ sehingga untuk setiap 𝑛 ≥
𝑁3 dihasilkan
(10.27)|𝑠 𝑛 − 𝑠| <
𝜖
3
Kesamaan (10.21) menggambarkan bahwa, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐸
dengan 0 < 𝑥 − 𝑝 < 𝛿
(10.28)|𝑓𝑛 − 𝑠 𝑛| <
𝜖
3
untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ

19. KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN
Pilih 𝑁 = 𝑚𝑎𝑘𝑠 𝑁2, 𝑁3 ,
Ketaksamaan (10.26), (10.27), (10.28) menjadi
𝑓 𝑥 − 𝑠 ≤ 𝑓 𝑥 − 𝑓𝑛 𝑥 + 𝑓𝑛 𝑥 − 𝑠 𝑛 + |𝑠 𝑛 −s|
<
𝜖
3
+
𝜖
3
+
𝜖
3
= 𝜖.
Untuk setiap 𝑛 ≥ 𝑁 dan setiap 𝑥 ∈ 𝐸 dengan
0 < 𝑥 − 𝑝 < 𝛿.

20. KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN
Dengan demikian dapat disimpulkan
lim
𝑥→𝑝
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→𝑝
lim
𝑛→∞
𝑓𝑛 𝑥 = 𝑠 = lim
𝑛→∞
𝑠 𝑛 = lim
𝑛→∞
lim
𝑥→𝑝
𝑓𝑛 𝑥 .

21. KONVERGEN SERAGAM DAN
PENGINTEGRALAN

22. KONVERGEN SERAGAM DAN PENGINTEGRALAN
Diberikan barisan fungsi 𝑓𝑛 terintegral Riemann pada 𝑎, 𝑏 ∀𝑛 ∈ ℕ. Jika
𝑓𝑛 → 𝑓 seragam pada 𝑎, 𝑏 , maka 𝑓 terintegral Riemann pada 𝑎, 𝑏 dan
10.29
𝑎
𝑏
𝑓𝑑𝑥 = lim
𝑛→∞ 𝑎
𝑏
𝑓𝑛 𝑑𝑥
Teorema 10.5.1.

23. KONVERGEN SERAGAM DAN PENGINTEGRALAN
Bukti:
∀𝑛 ∈ ℕ, dimisalkan 𝑀 𝑛 = sup
𝑎≤𝑥≤𝑏
|𝑓𝑛 𝑥 − 𝑓 𝑥 |
Maka ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 dan 𝑛 ∈ ℕ
Berlaku |𝑓𝑛 𝑥 − 𝑓 𝑥 | ≤ 𝑀 𝑛
Atau 𝑓𝑛 − 𝑀 𝑛 ≤ 𝑓 ≤ 𝑓𝑛 + 𝑀 𝑛
Sehingga untuk integral Riemann atas dan bawah dari f memenuhi
10.30
𝑎
𝑏
𝑓𝑛 − 𝑀 𝑛 𝑑𝑥 ≤
𝑎
𝑏
𝑓𝑑𝑥 ≤
𝑎
𝑏
𝑓𝑑𝑥 ≤
𝑎
𝑏
(𝑓𝑛+𝑀 𝑛)𝑑𝑥

24. KONVERGEN SERAGAM DAN PENGINTEGRALAN
Sehingga
0 ≤
𝑎
𝑏
𝑓𝑑𝑥 −
𝑎
𝑏
𝑓𝑑𝑥 ≤
𝑎
𝑏
2𝑀 𝑛 𝑑𝑥 = 2𝑀 𝑛(𝑏 − 𝑎)
Karena 𝑓𝑛 → 𝑓 seragam pada [𝑎, 𝑏], maka 𝑀 𝑛 → 0 sehingga
𝑎
𝑏
𝑓𝑑𝑥 =
𝑎
𝑏
𝑓𝑑𝑥
Maka 𝑓 dikatakan terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] dan ditulis
𝑎
𝑏
𝑓𝑑𝑥 =
𝑎
𝑏
𝑓𝑑𝑥 =
𝑎
𝑏
𝑓𝑑𝑥

25. KONVERGEN SERAGAM DAN PENGINTEGRALAN
Selanjutnya ketaksamaan (10.30) dapat dinyatakan sebagai
𝑎
𝑏
𝑓𝑛 − 𝑀 𝑛 𝑑𝑥 ≤
𝑎
𝑏
𝑓𝑑𝑥 ≤
𝑎
𝑏
𝑓𝑛 + 𝑀 𝑛 𝑑𝑥
sehingga diperoleh
𝑎
𝑏
𝑓𝑑𝑥 −
𝑎
𝑏
𝑓𝑛 𝑑𝑥 ≤ 𝑀 𝑛(𝑏 − 𝑎)
Artinya ketaksamaan (1) dipenuhi, yaitu
𝑎
𝑏
𝑓𝑑𝑥 = lim
𝑛→∞ 𝑎
𝑏
𝑓𝑛 𝑑𝑥

26. KONVERGEN SERAGAM DAN PENGINTEGRALAN
Jika 𝑓𝑛 terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] dan deret
𝑓 𝑥 =
𝑛=1
∞
𝑓𝑛 𝑥 , (𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏)
Konvergen seragam pada [𝑎, 𝑏], maka
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑛=1
∞
𝑎
𝑏
𝑓𝑛 𝑥 𝑑𝑥
Akibat 10.5.2.

27. TERIMA KASIH 

28. KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN
Contoh
Diberikan barisan fungsi 𝑓𝑛 𝑥 = 𝑛𝑥(1 − 𝑥) 𝑛
, 𝑥 𝜖 0,1
Selidiki apakah barisan tersebut konvergen seragam ke
limitnya!