1. Kalkulus variasi digunakan untuk menemukan lintasan yang ditempuh oleh kelereng dalam waktu terpendek ketika meluncur di bidang akibat gravitasi. 2. Prinsip energi mekanik dan fungsi waktu minimum digunakan untuk menghitung persamaan diferensial yang menggambarkan lintasan. 3. Integrasi persamaan diferensial tersebut menghasilkan solusi parametrik lintasan dalam bentuk sinus dan kosinus.

1. A. Kalkulus Variasi
1. Sebuah kelereng yang meluncur tanpa rotasi akibat pengaruh
gaya gravitasi melalui sebuah lintasan di bidang (x,y)
sebagaimana diilustrasikan pada Gambar dengan kecepatan
awal v=0, x=0 dan y=0. Carilah kurva yang merupakan lintasan
yang ditempuh dengan waktu yang paling minimum.
(x1, y1)
(x2, y2)
g
y
x

2. Penyelesaian
Misalkan kelajuan sesaat kelereng
tersebut diberikan oleh v sehingga
jarak infinitesimal yang
ditempuhnya diberikan oleh dx = vdt
atau dt = dx/v dimana
Jika kelereng tersebut memiliki kondisi awal v =
0 pada y = 0 , maka berdasarkan prinsip
kekekalan energi mekanik diketahui bahwa :
22
dydxdx +=
02
2
1
=−= mgymvE
sehingga: gyv 2=
Lintasan waktu minimun yang dicari maka
bentuk fungsionalnya adalah
∫ ∫== vdsdtI /
Ambil y sebagai variabel bebas maka
fungsi terkaitnya adalah
dy
y
x
g
I
y
y
∫ 






 +
=
2
1
2,
1
2
1
Dengan demikian
y
x
F
2,
1 +
=
Substitusi fungsi F kedalam
persamaan Euler
0,
=





∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
x
F
yx
F
dimana
2,
2,
,
1
0
xy
x
x
F
dan
x
F
+
=
∂
∂
=
∂
∂

3. diperoleh
Dengan mengatur kembali
persamaan di atas didapat
θcos21 2
=− yc
c
xy
x
=
+ 2,
,
1
2
2
2
2
1
y
c
y
ydy
yc
c
dydx
−
=
−
=
Integralkan kedua ruas
diperoleh (lihattabel integral)
( ) bycarcy
c
y
x +−+−−= 22
2
21cos
Untuk mengetahui bentuk solusi (v) secara
parametrik dengan sudut θ sebagai
parameternya, dapat dilakukan dengan
memperkenalkan hubungan
Mengakibatkan (buktikan)
θsin
2
1
2
2
2
c
y
c
y
=−
Berdasarkan bentuk tersebut maka x dan y
secara parametrik dapat dinyatakan
( ) ( )θθθθ cos
2
1
,sin
2
1
22
−=−=
c
y
c
x