integral

1. Aplikasi Integral
1. Menghitung Luas Bidang Datar
2. Menghitung Isi Benda
3. Panjang Busur Grafik Datar
4. Luas Permukaan Benda Putar
5. Titik Berat Benda

2. 69
1. Luas daerah bidang rata
a) Daerah di atas sumbu x misalkan
Y = F(X) adalah grafik di atas sumbu
X dan F kontinu dan tidak negatif
Pada selang a ≤ x ≤ b, maka
A (R) = ∫
b
a
dx)X(F
Dimana daerah R dibatasi grafik Y = F (X), X = a, X = b dan Y = 0
b) Daerah dibawah sumbu X
misalkan Y = F (X) adalah
grafik dibawah sumbu X
dan negatifbildx)X(F
b
a
=∫
Maka : A = - ∫
b
a
dx)X(F
Contoh : 1.)Ditentukan luas daerah R dibawah kurva Y = X4
– 2X3
+ 2 antara
X = -1 dan X = 2
Jawab :
A (R) = ∫−
+−
2
1
34
dx)2X2X(
=
245
X2
2
X
5
X






+−
= 





−−−−





+− 2
2
1
5
1
4
2
16
5
32
2)Tentukan luas daerah R yang dibatasi oleh Y = 4
3
2
−
x
, sumbu X = -2 dan X = 3
Jawab :
A (R) = - dX4
3
X
3
2
2
∫−






− = dX
X
∫−






+−
3
2
2
4
3
=
3
2
3
4
9 −






+− X
X
=
9
145
8
9
8
12
9
27
=





−−





+−
Y
X
a b
Y = f (x)
R
Xa b
Y = f (x)
Y
-1
5
4
3
2
1
1 2
X
Y

3. 70
Gambar untuk contoh No. 2
2. Volume Benda
a) Misalkan luas penampang di iX adalah A ( iX )
dengan Xi-1 ≤ iX ≤ Xi dan X berada pada selang
(a, b) selang (a, b) dibagi dalam titik :
a = Xo < X1 < X2 …… < Xn + b, maka
pemotongan benda menjadi lempengan yang
tipis-tipis.
Volume ∆Vi suatu lempeng dapat dianggap volume tabung jika : ∆Vi ≈ A ( iX ) ∆Xi dan
volume V benda dapat dinyatakan dengan rumus berikut :
V ≈ ∑=
∆
n
1i
Xi)iX(A
Bila ∆Xi → 0, maka V = ∫
b
a
dx)X(A
b) Volume benda putar
Bila grafik Y = F (X) yang dibatasi
X = 2 dan X = b, diputar mengeliligi
sumbu X (sebagai poros), maka volume
benda putar dinyatakan VX, karena
luas penampang lempengan merupakan
lingkaran, maka luas penampang = πr2
dimana r adalah jarak suatu titik X
antara a dan b, maka
A(X) = πr2
= πy2
= π (F (X))2
, a ≤ X ≤ b
Jadi VX = π [ ] dx)X(F
2b
a
∫
Y = 4
3
2
−
X
321-1-2
a
iXXi=1 Xi
b
∆Xi
A (x)
Y
Y = F(x)
a b

4. 71
c) Bila luasan yang dibatasi oleh dua
grafik Y1 = F (X) dan Y2 = g (X),
bilamana X = a dan X = b diputar
mengelilingi X, maka
Vx = ( )[ ]dxXgXF
b
a
∫ − 22
))(()(π
d) Bila luasan dibatasi oleh Y = F (X)
X = a dan X = b, diputr mengililingi -
Sumbu Y, maka volume benda putar
dinyatakan Vy
- Keliling suatu lingkaran adalah 2πr
AV ≈ 2 πX. ∆X . F(X)
Bila ∆X →, maka Vy = 2π dx)X(F
b
a
∫
e) Bila luasan yang dibatasi dua grafik
Y1 = F (X) dan Y2 = g (X) diputar
mengelilingi sumbu Y maka :
Vg = [ ] dXx)X(g)X(F2
b
a
−π∫
f) Bila luasan dibatasi oleh Y1 = F (X),
Y2 = g (X) diputar mengelilingi
Garis X = - L, maka :
V = 2 π [ ]∫ +−
b
a
dXlXXgXF )()()(
Contoh :
1) Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh grafik Y = X , sumbu X dan garis
X = 4
y
x
x
a b∆X
F(x)
Y=f(x)
x
∆X ba
x
x
y1-y2
y2=g(x)
y1=f(x)
0
ba x∆
x
y
l x
y1=f(x)
y2=g(x)
l
0
Y1 = F (x)
Y1 = g (x)
a b
X
y

5. 72
Jawab : V = π ∫ ∫ 





==
b
a
X
dXXdXXF
4
0
4
0
2
2
2
)( ππ = π
2
16
= 8 π
2) Tentukan volume benda yang dibatasi oleh Y =
X
1 , sumbu X, garis X = 1 dan garis
X = 4, yang diputar mengelilingi sumbu Y.
Jawab :
V = 2π ∫∫ =





4
1
2/1
4
1
2
1
dXXdX
X
X π
= 2π
4
1
2/3
X
3
2






= 2π
3
28
1.
3
2
8.
3
2 π
=





− ≈ 29,32
3) Tentukan volume benda putar yang terjadi apabila daerah yang dibatasi oleh Y = X
dan Y = X diputar terhadap
a) Sumbu Y (X = 0)
b) Garis X= -2
Jawab :
Titik kedua grafik yaitu pada X = 0 dan X = 1
X
Y = 1 X
0 ∆X X41
Y = X
Y = X
XY
X = -2
0
∆X
X
1
Y = X
Y
X
∆X
X
40

6. 73
a) V = 2π ( )∫∫ −=−
1
0
22/3
1
0
2/3
2)( dXXXdXxXX π
= ππ
15
2
3
1
5
2
2
3
1
5
2 1
0
32/5
=





−=



Xx
b) V = 2π dxXXX )2()(
1
0
+−∫
= 2π dxXXXX )22( 22/3
1
0
−−+∫
= 2π
1
0
322/52/3
3
1
5
2
3
4






−−+ XXXX
= 2π π=



−−+
5
4
3
1
1
5
2
5
4
3. Panjang Busur Grafik Datar
Bila ada sebuah kurva / grafik dengan persamaan parametrik X = F (b), Y= g (t)
dengan a ≤ t ≤ b.
Selang [a, b] dibagi menjadi n selang bagian dengan titik2 :
A = to < t1 < t2 <….. < tn = b sehingga grafik terbagi oleh titik Q0, Q1, Q2 .. Qn-1, Qn
seperti pada gambar
Misalkan panjang ∆si tertentu pada grafik dinyatakan :
∆Wi = 22
)Yi()Xi( ∆+∆
= [ ]
2
1
2
1
)()(()()( −− −+− ii tgtigtFtiF
Y
X
Q0
Q1
Q2
Qi-1
Qi
Qn
Qi
∆Yi
∆Si
Qi-1 ∆Xi
∆Wi

7. 74
Dengan menggunakan teorema nilai rata-rata untuk turunan, pada titik [ ])iˆt(f,iˆt
terdapat garis singgung di ∆w yang sejajar dengan dengas ∆Wi dimana [ ]itˆ dalam
selang (ti-1, ti) sehingga :
F (ti) – F (ti-1) = F’( itˆ ) ∆ti
G (ti) – G (ti-1) = G’ ( itˆ ) ∆ti
Dengan ∆ti = ti-1 - ti-1, maka
∆wi = [ ] 22
)ti)itˆ('g(ti)it('F ∆+∆&&
= 2
)2)itˆ('g(2)it('F[ +&& ∆ti
Dan panjang segi banyak = [ ] [ ]∑ ∑= =
∆+=∆
n
i
n
i
tiitgitFwi
1 1
22
)ˆ(')ˆ('
Dengan ∆ti → 0, maka : L = [ ] [ ]∫ ∆+
b
a
22
t)t('g)t('f
L = ∫ 





+





b
a
dt
dt
dy
dt
dx
22
Jika persamaan grafik adalah Y = F (X) dengan a ≤ x ≤ b ;
L = ∫ 





+
b
a
2
dx
dx
dy
1
Untuk persaman X = g (Y) dengan a ≤ Y ≤ b, L = ∫ 





+
b
a
dy
dy
dx
2
1
Contoh :
Untuk panjang busur grafik Y = X3/2
antara titik (1, 1) hingga (4,0)
Jawab : Karena
dx
dy
=
2
3
X1/2
, maka
L = ∫ 





+
b
a
2
2/1
dxX
2
3
1
= ∫ +
4
1
dxx
4
9
1
=
4
9
∫ 





++
4
1
x
4
9
1x
4
9
1
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
Y
X(1,1)
Y = X3/2
(4,8)

8. 75
=
4
1
2/3
x
4
9
1
3
2
9
4














+− =
27
8
63,7
8
13
10
2/3
2/3
≈





−
4. Luas Permukaan Benda Putar
Ø Misalkan Y = F (x), dan a ≤ X ≤ b merupakan persamaan grafik pada bidang datar
seperti pada gambar
Ø Partisi dari selang (a, b)
Dibagi menjadi n bagian
Dengan a = X0 < X1 < … <Xn = b
Yang berarti grafik terbagi menjadi n
bagian (lempengan)
Ø Bila ∆Si menyatakan panjang dari
lempengan dan Yi adalah koordinat titik pada lempeng tersebut. Maka luas dari
sebuah kerucut terpancang yaitu 2π Yi ∆Si sehingga :
A = ∑=
→
∆π
n
ni
0p
SiYi2lim
= 2π ∫
b
a
dsY dengan ds = dx
dx
dy
1
2






+
A = 2π [ ]∫ +
b
a
2
)X('F1)X(F ds = ( ) dx)x('F1
2
+
Atau dalam bentuk persamaan parametrik X = F (t), Y = g (t) dan a ≤ t ≤ b; maka
A = 2π [ ] [ ]∫ +
b
a
22
)t('g)t('F)t(g dt
Contoh :
Tentukan luas permukaan benda putar bila grafik y= X , 0 ≤ x ≤ 4, yang diputar
mengelilingi sumbu X.
Jawab :
Y = F (X) = X dan F’ (X) = 1/ (2 X ). A = 2π ∫ 





+
b
a
2
dx
dx
dy
1Y
∆Si
X
Y
Yi
a b

9. 76
A = 2π ∫ +
4
0
dx
x4
1
1X
= 2π ∫
+
4
0
dx
x4
1x4
X
= π ∫ +
4
0
dx1x4
= ( )
4
0
2/3
1x4
3
2
.
4
1
. 





+π
=
6
π
( ) 18,36117 2/32/3
≈−
5. Momen, Pusat Massa
Momen merupakan hasil kali massa dan jarak bauran dari titik tertentu seperti pada gambar.
Momen = (jarak berarah) . (massa) = M = x . m
Jika suatu sistem terdiri dari n massa yaitu m1, m2, m3, .....mn yang berada pada X1, X2 ...., Xn
pada sumbu X, maka
M = X1 m1 + X1 m2 + .... + Xn mn ∑=
n
1i
Ximi
Untuk memperoleh titik seimbang pada X, dengan syarat keseimbangan M = 0, sehingga
(X1 - X ) m1 + (X2 - X ) m2 + ..... + (Xn - X ) mn + 0
Atau X1 m1 + X1 m2 + ....... + Xn mn = X m1 + X m2 + ..... + X mn
X =
m
M
=
∑
∑
=
=
n
1i
n
1i
mi
miXi
Misalkan suatu bidang datar yang dibatasi oleh X = a, X = b, Y = F(X), dan Y = g (X). Setiap
potongan dianggap segi empat yang sejajar dengan sumbu Y, sehingga massa dari masing-
masing potongan terpusat pada bentuknya, setiap potongan merupakan benda yang memiliki
keragaman. (ρ).
m
x
Y
X
2
1
-1
-2
Y = X
1 2 3 4
0

10. 77
∆m ≈ ρ [ ] x)X(g)X(F ∆−
m = ρ [ ]∫ −
b
a
dx)X(g)X(F
∆ MY ≈ X ρ [F (X) – g (X) ] ∆X → MY = ρ [ ]∫ −
b
a
dx)x(g)X(FX
∆MX ≈
2
)X(g)X(F +
ρ [ F (X) – g (X) ] ∆X → MX =
2
ρ
[ ]∫ −
b
a
dxXgXF )()( 22
Dari sini akan menghasilkan koordinat titik berat (X , Y ), yaitu :
X =
m
MY
=
[ ]
[ ]∫
∫
−
−
b
a
b
a
dx)X(g)X(F
dx)X(g)x(F
Y =
m
MX
=
[ ]
[ ]∫
∫
−
−
b
a
b
a
22
dx)x(g)x(F
dx)X(g)X(F
2
1
Contoh :
a) Tentukan sentroid (titik berat) daerah yang dibatasi oleh
Y = X2
dan Y = X
Jawab :
X =
[ ]
[ ]∫
∫
−
−
1
0
2
1
0
1
dxXX
dxXXX
=
∫
∫
−
−
1
0
2
1
0
42/2
dx)Xn1(
dx)XX
Y = F (X)
Y = g(X)
∆X
a b
2
)X(g)X(F +
x X
Y

11. 78
= 1
0
4
2/3
1
0
5
2/5
4
X
X
3
2
5
X
X
5
2






−






−
=
12
5
5
1
=
25
12
Y =
( )( )
∫
∫
−
−+
1
0
3
1
0
33
dx)XX(
dxXXXX
2
2
=
( ) ( )
( )∫
∫
−



 −
1
0
3
1
0
232
dxXx
dxXX
2
1
=
12/5
7
X
2
X
2
1
1
0
72






−
= 7/3
12/5
28/5
=
b) Titik berat busur datar
Bila ( X , Y ) adalah titik berat busur AB,
Maka :
X =
m
MY
=
∫
∫
b
a
b
a
ds
dsX
Y =
m
MX
=
∫
∫
b
a
b
a
ds
dsXF )(
Dimana : ds = dx
dx
dy
1
2






+
c) Titik berat benda putaran
Luasan yang dibatasi oleh Y = F (X)
X = a, X = b dan sumbu X, diputar keliling sumbu X.
X
2
XX 3
+
Y
X0 1
1
3
XX −
Y = X
Y = X3
Y
X
X
Y
B
A Y = F (X)
∆S
ba

12. 79
X =
m
My
[ ]
[ ]dx)X(F
dx)X(FX
b
a
2
b
a
2
∫
∫
Y =
m
dx
d) Titik berat luasan putaran (benda putar)
Apabila Y = F (X) dibatasi oleh X = a, dan X = b diputar keliling sumbu X, maka :
X =
m
My
=
[ ]
∫
∫
b
a
b
a
ds)X(F
ds)X(FX
Dimana ds = dx
dx
dy
1
2






+
Y
Y = F (X)
X
0
z
ba
∆X